Влияние магнитных полей на траекторию движения планет

Краевой конкурс творческих работ учащихся
«Прикладные и фундаментальные вопросы математики»
Математическое моделирование
Влияние магнитных полей на траекторию движения планет
Солнечной системы
Нестеров Кирилл Юрьевич,
Бояршинов Роман Алексеевич,
11 кл., МБОУ «Лицей №1» г. Перми,
Волегов Павел Сергеевич,
доцент ПНИПУ, к.ф.-м. н.
Пермь. 2012.
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………….......3
Глава 1. Содержательная постановка…………………………………………………4
§1. Параметры солнца и планет солнечной системы……………….............6
§2. Границы солнечной системы…………………………………………….6
Глава 2. Концептуальная постановка…………………………………………………7
Глава 3. Дифференциальные уравнения………………………………………………7
§1. Метод Эйлера для решения дифференциальных уравнений…………9
Глава 4. Математическая постановка…………………………………………………9
§1. Второй закон Ньютона…………………………………………………..9
§2. Закон всемирного тяготения………………………………………….....9
§3. Сила Лоренца…………………………………………………………...12
Глава 5. Результаты и заключение…………………………………………………...16
Список литературы…………………………………………......................................18
Введение
2
Солнечная система представляет собой систему, состоящую из Солнца
вращающихся вокруг него объектов, таких как планеты, их спутники,
астеройды, кометы, а так же космической пыли. Вокруг Солнца по
эллиптическим орбитам обращаются девять известных
больших планет,
которые подразделяются на внутренние – Меркурий, Венера, Земля, Марс и
внешние планеты-гиганты – Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и отдельно Плутон.
Рис 1. Солнечная система
Между Марсом и Юпитером находится пояс астероидов – малых планет.
Все планеты движутся вокруг Солнца под действием его гравитационного поля
приблизительно в одной плоскости против часовой стрелки относительно
Северного полюса мира, а также вокруг собственной оси также против часовой
стрелки, исключение составляют Венера и Уран, и некоторые спутники планет.
В основном параметры движения тел в Солнечной системе определяется
гравитационным полем Солнца, однако важное значение имеет также взаимное
гравитационное взаимодействие планет и на другие объекты планет-гигантов.
Исследование влияния магнитных полей на движение небесных тел
актуально тем, что современных учёных интересует движение комет и
астероидов вблизи Земли и угроза их столкновения с ней. Чтобы уточнить
3
упадёт ли инородное тело на Земли или нет, нужно определить траекторию
этого тела. На планеты, по мере
того, что на них распространяется закон
всемирного тяготения, действует сила Лоренца, которую не учитывают. Если её
учитывать и, он будет существенно влиять на движение тел, то можно будет
более точно определять траекторию движения космических тел и с большей
точностью прогнозировать, когда и где они столкнуться.
Глава 1. Содержательная постановка
§1. Параметры солнца и планет солнечной системы
Описание параметров Солнечной системы сводится в основном к
описанию параметров орбит ее объектов. Важным понятием здесь является
термин эклиптика. Эклиптика - плоскость, в которой Земля вращается вокруг
Солнца, а также путь, движение Солнца по небу. Для планет основными
параметрами являются: среднее расстояние от Солнца, эксцентриситет, угол
наклона орбиты к эклиптике, периоды обращения.
Рис. 2.Порядок расположения солнечной системы
Среднее расстояние от Солнца обычно выражается в астрономических
единицах 1 а.е. – это среднее расстояние от Земли до Солнца, оно равняется 149
4
597 870 км. Обычно указывается значение большой полуоси – максимальный
радиус эллипса орбиты. Эксцентриситет орбиты показывает насколько форма
орбиты близка к окружности. Для эллиптической орбиты эксцентриситет
находится в пределах от 0 (для окружности) до 1 (для параболы).
Непосредственно для объектов используются такие параметры как: сжатие отличие формы от идеальной сферы, ускорение свободного падения (сила
тяжести), угол наклона оси вращения.
Таблица 1.Сравнительные характеристики планет Солнечной системы [1]
Расст.
Планеты
от
Диаметр, Масса,
Солнца, относит. относит.
а.е.
Меркурий 0,387
Плость,
кг/м
Длина
дня,час
3
Орбит.
период, Спутники
год
0,383
0,0553 5427 4222,6 0,241
0
5243 2802,0 0,615
0
Венера
0,723
0,949
0,815
Земля
1
1
1
5515
24,0
1
1
Марс
1,52
0,533
0,107
3933
24,7
1,88
2
Юпитер
5,20
11,21
317,8
1326
9,9
11,9
28
Сатурн
9,58
9,45
95,2
687
10,7
29,4
30
Уран
19,20
4,01
14,5
1270
17,2
83,7
21
Нептун
30,05
3,88
17,1
1638
16,1
163,7
8
Плутон
39,24
0,187
0,0021 1750 153,3
248,0
1
§2. Границы Солнечной системы
5
Наблюдаемая граница Солнечной системы ограничивается орбитой
Плутона,
примерно
40
а.е.
Однако
Солнце
может
оказывать
свое
гравитационное воздействие на гораздо большем расстоянии, вплоть до
ближайших звёзд. Единственными наблюдаемыми объектами, удаленными на
столь значительные
расстояния,
являются
долгопериодические
кометы,
которые по некоторым предположениям могли бы происходить из так
называемого облака Оорта-Эпика, окружающем Солнечную систему в радиусе
до 1 св. года.
Глава 2. Концептуальная постановка
Основная задача исследования: Наблюдение движение планет солнечной
системы и их траекторию с участием и без участия магнитного поля. Выяснить
существенно ли отклоняются планеты от своей первоначальное траектории под
действием магнитных полей.
Гипотезы модели:
1. При исследовании мы пренебрегаем эклиптикой, то есть планеты двигаются
в одной плоскости.
2. Рассматриваются только четыре планеты солнечной системы: Венеру,
Меркурий, Землю и Марс так, как остальные планеты солнечной системы
находятся на более отдалённом расстоянии от солнца и планет (Венера,
Меркурий, Земля, Марс) и незначительно воздействуют на них.
Для обоснования гипотезы воспользуемся законом всемирного тяготения,
где сила взаимодействия между планетами ровна отношению произведения
масс взаимодействующих планет и гравитационной постоянной к квадрату
расстояния между взаимодействующими планетами. Рассмотрим планеты
Юпитер и Марс. Воспользуемся таблицей 1 и найдём среднее расстояние d
от Юпитера до Марса , d=3,68 а.е. Тогда сила взаимодействия этих планет
6
39
ровна F=6,00559* 10 Н, что по сравнению с силой взаимодействия Марса и
Земли на порядок меньше. Поэтому мы не рассматриваем планеты
расположенные дальше Марса.
3. Для вычисления траектории мы используем второй закон Ньютона.
4. В случае, когда есть магнитное поле, во второй закон Ньютона, помимо сил
всемирного тяготения, добавляется сила Лоренца.
5. Планеты и Солнце считаем материальными точками.
6. Солнце неподвижно, находится в центре координат.
7. Выполняются законы классической механики. Скорость движения планет
много меньше скорости света.
Глава 3. Дифференциальные уравнения
Дифференциальное
уравнение
—
в
математике
это
уравнение,
связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и
значение
её
производных
различных
порядков
в
той
же
точке.
Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию,
ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение,
содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным
уравнением.
§1. Метод Эйлера для решения дифференциальных уравнений
Метод Эйлера - простейший одношаговый метод. Его можно выводить из
разных соображений. Например, пусть U ( x)
- скалярная непрерывно
дифференцируемая функция, т.е. в каждой точке x существует производная
du ( x )
dx
 lim u ( x hh) u ( x ) ,
k 0
(1)
7
Тогда при малых h
du ( x )
dx
 u ( x hh)u ( x ) ,
(2)
и выражение
u ( x  h ) u ( x )
h
,
(3)
может использоваться в качестве разностной аппроксимации для первой
производной. Рассмотрим задачу Коши для одного скалярного уравнения
u( x )  f ( x, u )
u ( x0 )  u0
,
(4)
на отрезке [ x0 ; b] и в узлах сетки заменим производную ее разностной
аппроксимацией. В результате получим систему уравнений для нахождения
сеточной функции:
yi 1  yi
h
 f ( xi , yi ), y0  u0 , i  1, 2,3....n  1
(5)
Эта система уравнений называется разностной схемой Эйлера. Для нахождения
yi 1 имеем явную формулу
yi 1  yi  h  f ( xi , yi ) .
(6)
Глава 4. Математическая постановка задачи
В данной главе получим зависимость ускорения от текущих координат
планеты Земля для определения её траектории с учётом и без учёта силы
Лоренца, пользуясь вторым законом Ньютона, законом всемирного тяготения.
§1. Второй закон Ньютона
   
ma  F1  F2  F3 ,
(7)
где F1 , F2 , F3 - силы, действующие на тело со стороны ближайших тел.
§2. Закон всемирного тяготения
8
В рамках классической механики гравитационное взаимодействие
описывается законом всемирного тяготения. Этот закон был открыт Ньютоном
в 1666 г.. Он гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя
материальными точками массы m1 и m2, разделёнными расстоянием R,
пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна
квадрату
расстояния между ними.
F G
M *m
,
R2
(8)
где G – гравитационная постоянная,
М – масса тела 1 которое действует на другое тело 2,
m – масса тела 2 на которое действует тело 1,
R – расстояние между телом 1 и телом 2.
Найдём зависимость ускорение от текущих координат без учёта силы
Лоренца.
x   ,
  a ,
Где v это скорость, а а это ускорение:

x  a.
9
Рис 3.Модель движения планет вокруг Солнца влиянием силы всемирного тяготения
Спроецируем второй закон ньютона на ось Ox:
X: ma  F1 cos   F2 cos   F3 cos ,
a
F1 cos   F2 cos   F3 cos
,
m
cos  
x1
2
1
2
1
(9)
(10)
,
(11)
,
(12)
x y
cos  
cos  
x2
x22  y22
x2  x1
( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
.
(13)
Расписываем проекцию ускорение на ось Ох
10
ax 
m *m
x2 x1
G* ïë2 2 ïë1 *

2
2
R1
(x2 x1) (y2 y1)
M *m
m *m
x
x
G* c 2 ïë1 * 1 G* ïë3 2 ïë1 * 2
R
R2
x12 y12
x22 y22
(14)
mïë1
Спроецируем второй закон Ньютона на ось Оу.
Y: ma  F1 sin   F2 sin   F3 sin  ,
a
F1 sin   F2 sin   F3 sin 
,
m
sin  
sin  
y1
x12  y12
,
y2  y1
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 )2
sin  
y2
2
2
x y
2
2
(15)
(16)
(17)
,
.
(18)
(19)
Расписываем проекцию ускорения на ось Оу.
ay 
m *m
y2 y1
G* ïë2 2 ïë1 *

2
2
R1
(x2 x1) (y2 y1)
M *m
m *m
y
y
G* c 2 ïë1 * 1 G* ïë3 2 ïë1 * 2
R
R2
x12 y12
x22 y22
(20)
mïë1
11
§3. Сила Лоренца
Сила Лоренца - сила, действующая на движущуюся заряженную частицу
со стороны магнитного поля, названная
в честь великого голландского
физика Х. Лоренца (1853 — 1928) — основателя электронной теории строения
вещества.
 
Fл  q * B  V ,
(21)
где q – это заряд движущейся частицы, B – магнитная индукция, V – скорость
движущейся частицы.
Найдём зависимость ускорение от текущих координат с учёта силы
Лоренца:
x   ,
  a ,
Где v это скорость, а а это ускорение.

x  a.
Рис 4.Модель движения планет вокруг Солнца с влиянием силы всемирного
тяготения
12
Рис 5. Модель движения планет вокруг Солнца с влиянием силы всемирного
тяготения и силы Лоренца
Спроецируем второй закон ньютона на ось OХ:
X: ma  F1 cos   F2 cos   F3 cos   Fл cos  ,
a
F1 cos   F2 cos   F3 cos   Fл cos 
,
m
cos  
x1
2
1
2
1
(22)
(23)
,
(24)
,
(25)
x y
cos  
cos  
x2
x22  y22
x2  x1
( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
,
(26)
13
y2  y2
sin  
2
( x2  x1 )  ( y2  y1 )
.
2
(27)
Расписываем проекцию ускорение на ось ОХ:
ax 
m *m
x2 x1
M *m
x
G* ïë2 2 ïë1 *
G* c 2 ïë1 * 1 
R1
R
(x2 x1)2 (y2 y1)2
x12 y12
m *m
x
y2 y2
G* ïë3 2 ïë1 * 2  q*B*V*
R2
x22 y22
(x2 x1)2 (y2 y1)2
mïë1
(28)
Спроецируем второй закон Ньютона на ось Оу:
Y: ma  F1 sin   F2 sin   F3 sin  ,
a
F1 sin   F2 sin   F3 sin 
,
m
sin  
y1
x12  y12
2
( x2  x1 )  ( y2  y1 )
sin  
cos  
y2
x22  y22
(30)
,
(31)
y2  y1
sin  
(29)
2
,
(32)
,
х2  х1
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 )2
(33)
,
(34)
Расписываем проекцию ускорения на ось Оу:
14
ay 
m *m
y2 y1
M *m
y
G* ïë2 2 ïë1 *
G* c 2 ïë1 * 1 
R1
R
(x2 x1)2 (y2 y1)2
x12 y12
m *m
y
x2 x1
G* ïë3 2 ïë1 * 2  q *B*V*
R2
x22 y22
(x2 x1)2 (y2 y1)2
mïë1
(35)
Глава 5. Результаты и заключение
В данной главе показано, как отличается траектория движения планеты с
учётом Силы Лоренца и без её учёта, используя при этом написанную
программу на языке Pascal в среде разработки Delphi. В программе выводится
траектория и разность координат между координатами земли без силы Лоренца
и
координатой
земли
с
силой
Лоренца.
В программе для определения координат использовались вышеперечисленные
второй закон Ньютона и метод Эйлера для решения дифференциальных
уравнений второго порядка.
15
Рис. 6 Интерфейс компьютерной программы, которая показывает изменение траектории.
- Траектория
движения планеты с учётом Силы Лоренца.
-Траектория движения планеты без учёта Силы Лоренца.
На рис.3 показана траектория планеты Земля с воздействующей на неё
силой всемирного тяготения, с участием и без участия силы Лоренца.
dX и dY – это разность координат планеты с учётом и без учёта силы Лоренца.
Х и У – это изменение координат движения планеты.
16
Рис.7 Движение планеты Земля по орбите.
Так как разность координат значительно мала, в космическом масштабам,
то сила Лоренца незначительно влияет на изменение траектории движения
планет.
Рис. 8 Движущаяся комета.
Можно сделать вывод, что при расчёте траектории движения космических
тел таких как, спутники, кометы, астероиды и другие инородные космические
тела, можно не учитывать силу Лоренца.
17
Список использованной литературы
1. http://astrosite.narod.ru/sunsys.html.
18