Непрерывные группы - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Гайдамак И.В.
Хохлов А.Г.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль подготовки
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Гайдамак И.В., Хохлов А.Г. Непрерывные группы. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления 01.03.01 «Математика»,
профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ». Форма
обучения очная, Тюмень, 2014, 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Непрерывные группы
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Гайдамак И.В., Хохлов А.Г., 2014.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Основными объектами изучения в данной дисциплине являются непрерывные или,
что тоже самое, топологические группы, которые представляют собой простое соединение
двух основных математических понятий: группы и топологического пространства.
Именно, элементы одного и того же множества составляют группу и в то же время
топологическое пространство. Такое объединение не имело бы никакого смысла, если бы
алгебраические и топологические операции, определённые на одном и том же множестве,
не были связаны между собой. Связь эта заключается в том, что групповые операции
умножения и взятия обратного элемента непрерывны в смысле заданной топологии.
Оказалось, что, налагая на тополого-алгебраический объект ограничения(аксиомы) весьма
общего характера, мы приходим к конкретным математическим понятиям. Например,
непрерывное алгебраическое тело, если оно связано и локально бикомпактно, изоморфно
либо телу действительных чисел, либо телу комплексных чисел, либо телу кватернионов.
Общая теория топологических групп является одной из самых молодых ветвей
анализа, однако отдельные топологические группы были известны уже давно. Во второй
половине 19 века норвежец Софус Ли создал обширную теорию топологических групп,
названных им “непрерывными группами” и известных в настоящее время под названием
“групп Ли”. Начало изучению общих топологических групп положил в 1926 г. О. Шрейер.
Оно сделалось с тех пор объектом многочисленных работ, которые позволили выяснить в
значительной мере структуру локально компактных групп. Огромный вклад в развитие
теории сделан Л. С. Понтрягиным, А. Вейлем, Д. Монгомери, Л. Циппиным.
Цель курса «Непрерывные группы» - ознакомление с фундаментальными
положениями топологических групп. Сформировать новые элементы математической
культуры, способность понимать и ценить абстрактную аксиоматическую теорию.
Задачи курса. Расширить математическую культуру студентов. Понятно и точно
говорить о объектах, обладающих тополого-алгебраическими свойствами. Научиться
применять инструменты непрерывных групп в любых областях математики, как бы они не
были далеки от алгебры или топологии на первый взгляд.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Непрерывные группы» входит в блок Б1 Дисциплины
(модули), является дисциплиной по выбору.
Требования к входным знаниям и умениям студента – знание математического,
функционального и действительного анализа.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
2.2.
2.3.
3.2.
3.3.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.1.
2.1.
Таблица 1.
изучения
1.3.
2.
Пространства
непрерывных
функций
Преддипломная
практика
Темы
дисциплины
необходимые
для
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.2.
1.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
1.1.
№
п/п
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
ПК-2, ПК-3.
ПК-2 - способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики.
ПК-3 - способность строго доказать утверждение, сформулировать результат,
увидеть следствия полученного результата.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия, определения и свойства объектов топологических
групп, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и
дисциплинах естественнонаучного содержания.
Уметь: доказывать утверждения, связанные с топологическими группами,
решать задачи непрерывных групп, уметь применять полученные навыки в других
областях математики и дисциплинах естественнонаучного содержания.
Владеть: аппаратом топологических групп, методами
утверждений, навыками применения этого в других областях
дисциплинах естественнонаучного содержания.
доказательства
математики и
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации – зачет, контрольные работы.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 академических
часов, из них 56,6 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем (36 часов
лекций, 18 часов практических занятий, 2,6 часа иных видов работ), 51,4 часа,
выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план.
Таблица 2.
3.1.
3.2.
3.3.
Тема
2
Модуль 1
Группы. Топологические
пространства. Топологические
группы.
Однопараметрические группы.
n
Аддитивные группы R .
Всего
Модуль 2
Топологические тела. Линейные
представления бикомпактных
топологических групп.
Коммутативные локально
бикомпактные топологические
группы.
Понятие группы Ли. Структура
бикомпактных топологических
групп.
Всего
Модуль 3
Локально изоморфные группы.
Группы Ли и алгебры Ли.
Структура компактных групп Ли.
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
*с учетом иных видов работ
Итого количество баллов
2.3.
Из них в интерактивной
форме
2.2.
Итого часов по теме
2.1.
Самостоятельная
работа
1.2.
1.3
Практические
занятия
1.1.
Лекции
1
3
4
5
6
7
8
9
1-2
4
2
6
12
3-4
5-6
4
4
12
2
2
6
6
6
18
12
12
36
7-8
4
2
6
12
9-10
4
2
6
12
11-12
4
2
6
12
12
6
18
36
4
0-30
4
4
4
12
2
2
2
6
0-10
0-15
0-15
0-40
18
11,2
11,2
11
33,4
2,6
108
2
2
2
6
36
5,2
5,2
5
15,4
2,6
54
14
0-100
3
11
недели семестра
№
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
13-14
15-16
17-18
0-10
2
2
4
0-10
0-10
0-30
0-10
4
0-10
0-10
14
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3.
Итого количество
баллов
ответ на
семинаре
собеседование
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
контрольная
работа
Письменные
работы
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-10
0-30
0-10
0-10
0-5
0-25
0-10
0-10
0-10
0-30
0-10
0-10
0-15
0-15
0-40
0–100
Модуль 1
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Тема 1.3.
Всего
0-10
0-10
Модуль 2
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Тема 2.3.
Всего
0-5
0-5
Модуль 2
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Тема 3.2.
Всего
Итого
0-5
0-5
0-10
0-20
0-5
0-5
0-10
0-5
0-5
0-5
0-10
0-20
0-65
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1
Тема 1.1. Группы. Топологические пространства. Топологические группы
Группы. Понятие группы. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа.
Изоморфизм. Гомоморфизм. Центр. Коммутант. Прямое произведение групп.
Коммутативные группы. Топологические пространства. Понятие топологического
пространства. Окрестности. Непрерывное отображение. Подпространство. Аксиомы
отделимости. Бикомпактность. Прямое произведение топологических пространств.
Связность. Размерность. Топологические группы. Понятие топологической группы.
Системы окрестностей единицы. Прямое произведение топологических групп. Связные
и вполне несвязные группы. Локальные свойства. Локальный изоморфизм.
Непрерывные группы преобразований.
Тема 1.2. Однопараметрические группы.
Замкнутые подгруппы группы R .
Факторгруппы группы R . Непрерывные
представления группы R в себя. Измерение величин. Топологическая характеризация
групп R и T .
Тема 1.3. Аддитивные группы
Rn .
n
n
Подгруппы и факторгруппы R . Непрерывные представления группы R и её
n
n
факторгрупп. Автоморфизмы группы R . Бесконечные суммы в группах R .
n
n
Суммируемые семейства в R . Ряды в R .
Модуль 2
Тема 2.1. Топологические тела. Линейные представления бикомпактных топологических
групп
Топологические тела. Топологические кольца и тела. Классические непрерывные тела.
Структура непрерывных тел. Непрерывные функции на топологической группе.
Инвариантное интегрирование. Интегральные уравнения на группе. Предварительные
сведения о матрицах. Соотношения ортогональности. Полнота системы неприводимых
представлений.
Тема 2.2. Коммутативные локально бикомпактные топологические группы
Группа характеров. Группы характеров факторгруппы и открытой подгруппы. Группы
характеров элементарных групп. Теоремы двойственности для бикомпактных и
дискретных групп. Размерность, связность и локальная связность бикомпактной
группы. Структуры локально бикомпактных групп. Теоремы двойственности для
локально бикомпактных групп.
Тема 2.3. Понятие группы Ли. Структура бикомпактных топологических групп
Группа Ли. Теорема инвариантности. Подгруппа и факторгруппа. Группы Ли и
аналитические многообразия. Сходящиеся ряды бикомпактных групп. Конечномерные
бикомпактные группы. Транзитивные бикомпактные группы преобразований
конечномерных пространств.
Модуль 3
Тема 3.1. Локально изоморфные группы.
Локально изоморфные группы Фундаментальная группа. Накрывающее пространство.
Накрывающие группы.
Тема 3.2. Группы Ли и алгебры Ли
Структурные константы. Алгебра Ли. Подалгебра. Факторалгебра. Гомоморфное
отображение. Линейные группы Автоморфизмы алгебр Ли. Условия интегрируемости.
Построение группы Ли по структурным константам. Построение подгруппы и
гомоморфизма. Построение группы Ли в целом. Локальные группы Ли преобразований.
Тема 3.3. Структура компактных групп Ли.
Компактные алгебры Ли. Корневая система полупростой компактной алгебры Ли.
Построение полупростой компактной алгебры Ли по её корневой системе.
Инвариантность корневой системы. Классические алгебры Ли и их корневые системы.
Классификация простых компактных алгебр Ли.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1
Тема 1.1. Группы. Топологические пространства. Топологические группы
Группы.
Подгруппа.
Нормальный
делитель.
Факторгруппа.
Изоморфизм.
Гомоморфизм. Центр. Коммутант. Прямое произведение групп. Коммутативные
группы. Топологические пространства. Непрерывное отображение. Подпространство.
Прямое произведение топологических пространств. Связность. Размерность. Системы
окрестностей единицы. Прямое произведение топологических групп. Непрерывные
группы преобразований.
Тема 1.2. Однопараметрические группы.
Замкнутые подгруппы группы R . Факторгруппы группы R . Непрерывные
представления группы R в себя. Измерение величин. Топологическая характеризация
групп R и T .
Тема 1.3. Аддитивные группы
Rn .
n
n
Подгруппы и факторгруппы R . Непрерывные представления группы R и её
n
n
факторгрупп. Автоморфизмы группы R . Бесконечные суммы в группах R .
n
n
Суммируемые семейства в R . Ряды в R .
Модуль 2
Тема 2.1. Топологические тела. Линейные представления бикомпактных топологических
групп
Топологические тела. Топологические кольца и тела. Классические непрерывные тела.
Структура непрерывных тел. Непрерывные функции на топологической группе.
Инвариантное интегрирование. Интегральные уравнения на группе.
Тема 2.2. Коммутативные локально бикомпактные топологические группы
Группы характеров факторгруппы и открытой подгруппы. Группы характеров
элементарных групп. Размерность, связность и локальная связность бикомпактной
группы. Структуры локально бикомпактных групп.
Тема 2.3. Понятие группы Ли. Структура бикомпактных топологических групп
Группа Ли. Подгруппа и факторгруппа. Группы Ли и аналитические многообразия.
Сходящиеся ряды бикомпактных групп. Конечномерные бикомпактные группы.
Транзитивные бикомпактные группы преобразований конечномерных пространств.
Модуль 3
Тема 3.1. Локально изоморфные группы.
Локально изоморфные группы Фундаментальная группа. Накрывающее пространство.
Накрывающие группы.
Тема 3.2. Группы Ли и алгебры Ли
Алгебра Ли. Построение группы Ли по структурным константам. Построение
подгруппы и гомоморфизма. Построение группы Ли в целом. Локальные группы Ли
преобразований.
Тема 3.3. Структура компактных групп Ли.
Компактные алгебры Ли. Корневая система полупростой компактной алгебры Ли.
Построение полупростой компактной алгебры Ли по её корневой системе.
Инвариантность корневой системы. Классические алгебры Ли и их корневые системы.
Классификация простых компактных алгебр Ли.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
1.2.
1.3.
Группы. Топологические
пространства.
Топологические группы.
Однопараметрические
группы.
Аддитивные группы
Rn .
обязательные
дополнительные
Модуль 1
Проработка
Работа с
лекций
дополнительной
Работа с
литературой
основной
Работа с
литературой
ИнтернетРешение
ресурсами
типовых задач
Количество
баллов
1.1.
Модули и темы
Объём часов
№
Неделя
семестра
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 4.
Виды СРС
1-2
6
0-10
3-4
6
0-10
5-6
6
0-10
18
0-30
7-8
6
0-10
9-10
6
0-10
11-12
6
0-10
18
0-30
13-14
5,2
0-10
15-16
5,2
0-15
17-18
5
0-15
15,4
2,6
54
0-40
Всего по модулю 1:
Модуль 2
Топологические тела.
Линейные представления
2.1.
бикомпактных
топологических групп.
Коммутативные локально
2.2. бикомпактные
топологические группы.
Понятие группы Ли.
2.3. Структура бикомпактных
топологических групп.
Всего по модулю 2:
3.1.
3.2.
3.3
Локально изоморфные
группы.
Группы Ли и алгебры Ли.
Структура компактных
групп Ли.
Всего по модулю 3:
Иные виды работ
ИТОГО:
Проработка
лекций
Работа с
основной
литературой
Решение
типовых задач
Работа с
дополнительной
литературой
Работа с
Интернетресурсами
Модуль 3
Проработка
Работа с
лекций
дополнительной
Работа с
литературой
основной
Работа с
литературой
ИнтернетРешение
ресурсами
типовых задач
0-100
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и
практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях,
развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на
самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется
в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического
материала, предусмотренного учебным планом ОП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и
литературу, предложенную в соответствующем разделе данной рабочей программы. В нем
расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые
интернет-ресурсы.
Упражнения и задачи для самостоятельного решения.
1. Доказать, что для всякой топологической группы G отображение G→G: х→х-1
является гомеоморфизмом
2. Привести пример(ы) топологических групп, которые гомеоморфны как
топологические пространства, но не являются изоморфными как группы.
3. Введите на группе R с операцией сложения топологическую структуру, отличную
от стандартной, дискретной и антидискретной, так, чтобы в результате мы получили
топологическую группу.
4. Пусть С – компактное подмножество топологической группы G. Докажите, что для
всякой окрестности U единицы группы существует окрестность V единицы, такая что для
каждого элемента хС справедливо включение Vх-1Ux
5. Топологическая группа является хаусдорфовой, когда она удовлетворяет первой
аксиоме счетности, когда одноточечное множество {1} замкнуто
6. Доказать, что в топологических группах первые три аксиомы отделимости
эквивалентны.
7*. Доказать, что всякая топологическая группа, удовлетворяющая первой аксиоме
отделимости и второй аксиоме счетности, метризуема.
8. Доказать, что всякое сепарабельная и удовлетворяющая первой аксиоме счетности
топологическая группа удовлетворяет второй аксиоме счетности.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы
ПК-2 - способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики.
ПК-3 - способность строго доказать утверждение, сформулировать результат,
увидеть следствия полученного результата.
ПК-3
+
* - дисциплины базовой части
+
+
Дифференциальные уравнения*
+
+
+
+
+
Дифференциальная геометрия и топология*
+
+
+
+
Базы данных
Уравнения в частных производных
Системы компьютерной математики
Нестандартный анализ
Ряды и интегралы Фурье
Комплексный анализ*
Объектно-ориентированное программирование
+
Действительный анализ
3
семестр
Дифференциальные уравнения*
Дифференциальная геометрия и топология*
Теория чисел
2
семестр
Объектно-ориентированное программирование
Индекс
компетенции
ПК-2
Дискретная математика*
1
семестр
Аналитическая геометрия*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Избранные вопросы математики
Аналитическая геометрия*
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Таблица 5
Б.1. Дисциплины (модули)
4 семестр
5 семестр
+
+
+
+
+
+
ПК-3
+
* - дисциплины базовой части
Системы компьютерной математики
Непрерывные группы
Функции с ограниченной вариацией
Теоретико-множественная топология
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Выпускная квалификационная работа
+
Учебная практика
Б.1. Дисциплины (модули)
Преддипломная практика
Граничные свойства аналитических функций
+
Р-адический анализ
7 семестр
Пространства Соболева
История развития математической науки
Вариационное исчисление
Пространства непрерывных функций
Теория обобщенных функций
Банаховы алгебры и гармонический анализ
6 семестр
Физика
Методы оптимизации
Теоретическая механика*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Случайные процессы*
Уравнения в частных производных
ПК-2
Математическая статистика
Индекс
компетенции
Теоретическая механика*
Комплексный анализ*
Таблица 5 - продолжение
Б.2.
Практики
Б.3.
ГИА
8 семестр
+
+
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Код
компетенц
ии
Карта критериев оценивания компетенций
ПК-2
ПК-3
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды
занятий
лекции,
практические
занятия
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
Опрос,
контрольная
работа
Контрольная
работа
лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа,
опрос
Знает: основные понятия, определения и
свойства объектов топологических
групп; постановки классических задач
теории непрерывных групп
Умеет: пользоваться основными
определениями и понятиями
Знает: методы исследования свойств
объектов топологических групп в
математически формализованных
задачах
Умеет: решать задачи теории
непрерывных групп
Знает связи и приложения теории
непрерывных групп в других областях
математического знания и дисциплинах
естественнонаучного содержания
Умеет: самостоятельно анализировать
свойства топологических групп
Владеет:
методами
решения
простейших задач на исследование
свойств топологических групп
Знает: основные теоремы дисциплины и
следствия из них
Владеет:
навыками
интерпретации
результатов
исследования
свойств
непрерывных групп
Знает: специфику формулировки задач
профессиональной деятельности в
терминах дисциплины
Умеет: проводить доказательства
математических утверждений, не
аналогичных ранее изученным, но тесно
примыкающих к ним;
систематизировать основные знания о
приемах и методах решения типовых
задач курса с использованием
справочной литературы
Владеет: способностью
интерпретировать профессиональный
смысл полученного результата
Владеет: навыками самостоятельной
постановки задач теории
топологических групп
Знает: на высоком уровне учебную
программу теории непрерывных групп
Умеет: использовать теоретический и
практический материал, необходимый
для представления задачи в терминах и
понятиях изучаемой дисциплины;
доказывать основные теоремы теории
топологических групп;
Владеет: первоначальными
представлениями о методах
доказательства основных теорем
дисциплины
Умеет: проявлять высокую степень
понимания утверждений теории
непрерывных групп, развернуто
характеризовать сущность и содержание
приемов и методов решения типовых
задач
Владеет: навыками чтения и анализа
учебной и научной математической
литературы; способностью
формулировать и доказывать
утверждения теории топологических
групп
Оценочные
средства
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
Контрольная
работа,
собеседование
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Перечень типовых заданий контрольных работ и коллоквиумов:
1.
Докажите,
что
для
всякой
топологической
группы
 :G
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
G:x
G отображение
1
x является гомеоморфизмом.
Будет ли топологической группа, наделённая а). дискретной, б). антидискретной
топологической структурой?
Введите на группе R с операцией сложения топологическую структуру, отличную от
стандатной, дискретной и антидискретной так, чтобы в результате мы получили
топологическую группу.
Укажите пару топологических групп, которые гомеоморфны, как топологические
простанства, но не являются изоморфными, как группы.
Всякое ли сопряжение является автоморфизмом топологической группы?
Докажите, что если U и V - подмножества топологической группы и U - открыто,
то UV и VU - открытые множества.
Докажите, что если множество U - компактно, а V - замкнуто, то множества UV и
VU являются замкнутыми множествами.
Пусть C - компактное подмножество группы C . Докажите, что для всякой
окрестности U единицы группы существует окрестность V единицы такая, что для
1
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
каждого элемента x  C справедливо включение V  x Ux .
Проверьте, что топологическая группа является хаусдорфовой, когда она
удовлетворяет первой аксиоме отделимости, то есть когда одноточечное множество
{1} - замкнуто.
Докажите, что всякая топологическая группа, удовлетворяющая первой аксиоме
отделимости и второй аксиоме счётности, является метризуемой.
Докажите, что подгруппа топологической группы открыта, когда её внутренность
непуста.
Докажите, что всякая открытая подгруппа топологической группы является
одновременно и замкнутой.
Приведите пример подгруппы топологической группы, которая:
А). замкнута, но не открыта.
Б). не открыта и не замкнута.
Верно ли, что внутренность подгруппы топологической группы является подгруппой
этой группы?
Докажите, что замыкание нормальной подгруппы топологической группы G
является нормальной подгруппой группы G .
Теоретические вопросы к зачету
1.
2.
3.
4.
Группы. Понятие группы. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа. Прямое
произведение групп. Коммутативные группы.
Топологические
пространства.
Понятие
топологического
пространства.
Бикомпактность. Связность. Размерность.
Топологические группы. Понятие топологической группы.
Прямое произведение топологических групп. Связные и вполне несвязные группы.
Локальные свойства. Непрерывные группы преобразований.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Однопараметрические группы. Замкнутые подгруппы группы R . Факторгруппы
группы R .
Непрерывные представления группы R в себя. Топологическая характеризация
групп R и T .
n
n
Аддитивные группы R . Подгруппы и факторгруппы R . Непрерывные
n
представления группы R и её факторгрупп.
n
n
Автоморфизмы группы R . Бесконечные суммы в группах R .
Топологические тела. Топологические кольца и тела.
Классические непрерывные тела.
Непрерывные функции на топологической группе.
Инвариантное интегрирование. Интегральные уравнения на группе.
Группа характеров. Группы характеров факторгруппы и открытой подгруппы.
Группы характеров элементарных групп.
Теоремы двойственности для бикомпактных и дискретных групп.
Структуры локально бикомпактных групп.
Группа Ли. Теорема инвариантности.
Подгруппа и факторгруппа. Группы Ли и аналитические многообразия.
Сходящиеся ряды бикомпактных групп.
Конечномерные бикомпактные группы.
Транзитивные бикомпактные группы преобразований конечномерных пространств.
Локально изоморфные группы.
Накрывающее пространство. Накрывающие группы.
Алгебра Ли. Подалгебра. Факторалгебра. Гомоморфное отображение.
Линейные группы. Автоморфизмы алгебр Ли.
Построение группы Ли по структурным константам.
Построение группы Ли в целом.
Компактные алгебры Ли.
Классические алгебры Ли и их корневые системы.
Классификация простых компактных алгебр Ли.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Студент, набравший в течение семестра не менее 61 балла, получает автоматически
зачет.
Если студент не набрал необходимого числа баллов (то есть суммарное количество
баллов 60 или меньше), то ему необходимо сдавать зачет в назначенное преподавателем и
утвержденное руководством института время.
Билеты к зачету формируются из вопросов, список которых был приведен в п.10.3
данной рабочей программы.
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям
сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность
обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую
активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Понтрягин, Л. С. Непрерывные группы/ Л. С. Понтрягин. - 6-е изд.. - Москва: Изд-во
ЛКИ, 2009. - 520 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Бурбаки, Н. Общая топология. Основные структуры [Электронный ресурс] /
Н. Бурбаки; под ред. Д.А. Райков; пер. С.Н. Крачковский. - 3-е изд. - М.: Изд-во
"Наука",
1968.
275
с.
–
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112130 (дата обращения: 12.10.2014).
2. Бурбаки, Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними
группы и пространства [Электронный ресурс] / Н. Бурбаки; под ред. Д.А. Райков; пер.
С.Н. Крачковский. - М.: Изд-во "Наука", 1969. - 392 с. - Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112132 (дата
обращения:
12.10.2014)
3. Зверович, Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Электронный ресурс] : учебное
пособие в 6 частях / Э.И. Зверович. - Минск: Вышэйшая школа, 2006. - Ч. 1. Введение
в анализ и дифференциальное исчисление. - 320 с. – Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=234982 (дата обращения: 12.10.2014).
4. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - (Учебники для вузов. Специальная
литература). - Ч. 1. - 2005. - 448 с.
5. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - Ч. 2. - 2005. - 464 с.
6. Элементарная топология [Электронный ресурс] / О.Я. Виро, О.А. Иванов,
Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. - М.: МЦНМО, 2010. - 368 с. - Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=64196 (дата обращения: 12.10.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Наглядная топология В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович
http://math.ru/lib/book/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.djvu
2.
3.
Наглядная топология. В.В.Прасолов http://math.ru/lib/book/pdf/prasolov/pra.pdf
Литература по математике: http://window.edu.ru/library?p_rubr=2.2.74.12
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
В организации
учебного процесса
необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Непрерывные группы» содержит 3 модуля, которые изучаются 1
семестр. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по отношению
к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных
достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а
непрерывно складываются на протяжении всего семестра. Комплексность означает учет
всех форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а также
по базовым знаниям, полученным на практических занятиях. Промежуточный контроль –
это проверка знаний студентов по разделу программы, проводится в виде регулярных
контрольных мероприятий или коллоквиумов. Итоговый контроль по дисциплине – это
проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Условия получения зачета на основе полученного суммарного количества
баллов можно найти в п.10.4 данной рабочей программы.
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и
готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические
задания, выполнять упражнения. Примеры задач и упражнений приведены в разделе 9
(Упражнения и задачи для самостоятельного решения). Результаты решения задач и
выполнения упражнений, а также возникшие трудности студент может обсудить с
преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.