1.1. Электрические сигналы

СИГНАЛЫ
1.1. Электрические сигналы,
их классификация и параметры
Электрические сигналы представляют собой электрические процессы, используемые для передачи, приема и преобразования информации.
Сигналы можно разделить на два больших класса: детерминированные и случайные. Детерминированными называются сигналы,
мгновенные значения которых в любой момент времени можно предсказать с вероятностью, равной единице, и которые могут быть заданы в виде некоторой определенной функции времени. Приведем несколько характерных примеров: гармонический сигнал с известной
амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 а); последовательность прямоугольных импульсов с известным периодом следования T, длительностью импульса и и его амплитудой A (рис. 1.1 б); последовательность
импульсов произвольной, но не изменяющейся формы с известной
длительностью и, амплитудой A и периодом T (рис. 1.1 в). Такие детерминированные сигналы, в принципе, не содержат никакой информации.
Случайные сигналы представляют собой хаотические функции
времени, значения которых в конкретный момент времени заранее неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице, например, одиночный импульс с длительностью и и амплитудой A
(рис. 1.1 г), речь или музыка, преобразованные в электрические процессы и т. д. К случайным сигналам относятся также шумы.
Детерминированные сигналы, в свою очередь, подразделяются на
периодические, для которых выполняется условие S(t)=S(t+kT), где
T – период, k – любое целое число, а под S(t) чаще всего понимаются
изменяющиеся со временем ток, напряжение, иногда заряд
(рис. 1.1 а, б, в). Очевидно, что к непериодическим сигналам относится любой детерминированный сигнал, для которого выполняется
условие S(t)S(t+kT). Простейшим периодическим сигналом является,
в частности, гармонический сигнал вида S t   A cost   
 2

 A cos t    , где  – круговая или циклическая частота,  –
T

начальная фаза сигнала.
1
S(t)
A
a
T
t
S(t)
и
A
б
T
t
S(t)
A
в
T
t
и
S(t)
A
г
и
t
S(t)
д
t
Рис. 1.1. Виды сигналов: а – гармонический; б – последовательность прямоугольных импульсов ; в – сложный периодический; г – непериодический; д – радиосигнал
Гармонический сигнал высокой частоты, в котором путем модуляции, например, амплитудной, заложена информация, называется радиосигналом (рис. 1.1 д). Подробнее вопросы модуляции сигналов будут рассмотрены в п. 4.7 настоящего курса.
2
1.2. Периодические сигналы
Любой сложный периодический сигнал S(t)=S(t+kT) (рис. 1.2), заданный на интервале значений времени t от – до +, может быть
представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов.
Это представление осуществляется в виде ряда Фурье, если только заS(t)
t1
t2
T
T
T
t
Рис. 1.2. Сложный периодический сигнал
данная периодическая функция удовлетворяет условиям Дирихле.
В тригонометрической форме ряд Фурье имеет вид
a0 
a0 
S t  
  an cosnt  bn sin nt     An cosnt  n ,
2 n 1
2 n 1
(1.1)
где постоянная составляющая
a0 1

2 T

T
2
 S t dt ,
(1.2)
T

2
а коэффициенты an, и bn при косинусоидальных и синусоидальных
членах разложения определяются выражениями
an 
2
T

T
2
 S t cosntdt,
bn 
T

2
2
T

T
2
 S t sin ntdt .
(1.3)
T

2
Амплитуда (модуль) и начальная фаза (аргумент) n-й гармоники
выражаются через коэффициенты an, и bn следующим образом:
b
An  an2  bn2 , n  arctg n .
(1.4)
an
При использовании комплексной формы записи выражение для
1 n
сигнала S(t) принимает вид S t    An e j nt n . Здесь коэффици2 n
3
енты An e  j n  A n , называемые комплексными амплитудами, равны
2
A n 
T
T
2
 S t  e

 jn t
dt и связаны с величинами an и bn формулами
T
2
 j n
A n  An e
 an  jb n при n>0 и A  n  An e j n  an  jb n при n<0. С
учетом введенных обозначений сигнал в комплексном виде может

быть записан как S t   1  A ne jnt .
2 n
Спектр периодической функции состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, , 2, 3, …, т. е. имеет линейчатый или дискретный хаAn
рактер (рис. 1.3).
a0
При разложении периодиче2
ской функции в ряд Фурье
следует учитывать ее симмет0  2 3 4 5
n 
рию относительно начала коРис. 1.3. Спектр периодической функции
ординат, что позволяет упростить расчеты.
1.3. Распределение мощности в спектре
периодического сигнала
Рассмотрим сигнал S(t), являющийся сложной периодической
функцией времени t с периодом T. По определению под средней мощностью периодического сигнала Pср понимают среднюю мощность за
один период, так что для средней мощности, выделяющейся на единичном сопротивлении, можно записать
Pср 
1T 2
 S t dt .
Т0
(1.5)
Если разложить сигнал S(t) в ряд Фурье и воспользоваться его три
гонометрической формой S  t   a0   An cos  nt   n  , а затем возвести
2
n 1
4
этот ряд в квадрат и проинтегрировать его почленно, то с учетом равенства
T
1 T
1
T
 cos nt  n  dt  n  cos nt  n  d nt  n   n sin nt  n  0 
0
0
1
 2


sin  n t   n 
n  T

T

0
1
1
sin   n   sin   n   0,
n
n
T
а также аналогичных ему равенств
 cosnt  n  cosmt  m  dt  0
0
T
1
1
cos2 nt   n  dt  , можно получить следующее выра
T0
2
жение для мощности Pср:
при mn, и
a02 1  2
1  2
2
Pср 
  An  S0   Sn .
4 2 n 1
2 n 1
(1.6)
Если взять в качестве S(t) ток i(t), то при его прохождении через
сопротивление R будет выделяться средняя за период мощность


I2 I2
Pср  Riср 2 t   R I 02  1  2   .
2
2


Таким образом, средняя мощность периодического сигнала не зависит от фаз гармоник и является суммой средних мощностей, выделяемых по отдельности постоянной составляющей и каждой из гармоник. В силу этого, в энергетическом отношении вклад отдельных гармоник аддитивен, и суммарную мощность периодического сигнала
можно представить в виде суммы мощностей всех составляющих
спектра рассматриваемого сигнала.
1.4. Спектр периодической последовательности
прямоугольных импульсов
Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
изображена на рис. 1.4., а ее спектр на рис. 1.5. Постоянная составляющая ряда Фурье определяется выражением (1.2) и в данном случае
a0 1 

  S t  dt  E . Амплитуда cos-составляющей аn
будет равна
2 T0
T
находится по первой из формул (1.3) и, соответственно, имеет вид:
5
S(t)

E
0
t
T
Рис. 1.4. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
An
A0
1

2

3

f
Рис. 1.5. Спектр периодической последовательности
прямоугольных импульсов
2
2
2 1
E



S
t
cos
n

tdt

E cos ntdt  E
sin nt 0  sin n .


T0
T0
T n
n
А амплитуда sin-составляющей bn согласно второй формуле выражений (1.3) равна
2
2 1
 cos nt  0  E 1  cos n .
bn   S t sin ntdt  E
T0
T n
n
an 
Амплитуда n-й гармоники согласно (1.4) An  an2  bn2 
E
1  cosn 2  sin 2 n   E 1  2 cosn   cos2 n   sin 2 n  

n
n
E
E
n  2 E
n 

21  cos n  
2  2 sin 2

sin
.
n
n
2
n
2
Из последнего выражения видно, что амплитуда n-й гармоники завиn 
sin
2 , т. е. изменяется согласно этому закону.
сит от величины
n
6
Определим далее номера гармоник n0k, которые обращаются в нуль.
n 
Значения номеров этих гармоник находятся из условия sin 0k 
2
n0k  2 T
 sin
 sin n0k   T  0 , откуда n0 k   T  k , где k=1, 2, 3,…, и
2
T
n0k  k .

S1(T)
а
An
1
E
0
1
Т1
0
t
T1
S2(T)
1
1
2
1
3
1
f
1
Т2
An
2
б
E
0
0
t
T2
S3(T)
An
1
2
2 f
2
1
3
2 f
3
1
4
2 f
4
1
Т3
3
в
E
0
0
t
T3
S4(T)
An
г
1
Т4
4
E
0
0
T4
t
Рис. 1.6. Зависимость спектра периодической последовательности прямоугольных
импульсов от их длительности и периода следования: а – 1 – длительность импульса, T1 – период; б – 2=1/2, T2=T1; в – 3=1/2, T3=T1/2; г – 4=1/2, T4=2T1
7
Определим также соответствующие «нулевые» частоты f0k, т. е. те
частоты, на которых амплитуда An равна нулю, – f 01  n01 f ,
T 1 k
k
k  и тогда f0k  .
 T 

На рис. 1.6 в качестве примера изображен вид спектров (модуль
амплитуд) последовательностей с различными параметрами  и Т.
f 02  n02 f , , f0k  n0k f 
1.5. Непериодические сигналы. Спектральная
плотность непериодического сигнала
От гармонического анализа периодических сигналов можно осуществить предельный переход к анализу непериодических сигналов, для
которых S(t)S(t+kT). Пусть, например, непериодический сигнал S(t)
задан на некотором интервале времени t1<t<t2. Будем считать формально эту функцию периодической, повторяющейся с периодом
T>t2–t1. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье и найти коэффициенты
a0/2, an, bn. Устремив T , поскольку исходная функция S(t) непериодическая, получим бесконечное множество гармоник с бесконечно
малыми амплитудами, составляющих сплошной спектр, (так как интервал между гармониками определяется величиной 1/T).
Воспользуемся далее комплексной формой записи разложения периодической функции в ряд Фурье (см. п. 1.2)
S t  
1 n   jn t
 An e ,
2 n 
(1.7)
где
2
An 
T
T
2
 S t e
 jn t
dt .
T

2
(1.8)
Подставим A n из последнего равенства в формулу (1.7). Тогда получим следующее соотношение
 T
n


2 2
1


S t      S t e  jn t dt  e jn t .
2 n   T T


 2

8
(1.9)
Положим, что T  для того, чтобы периодическая функция стремилась к непериодической. При этом d, n и
n  

n  

T
2


.
T
2
T
T
до » изменяются на
2
2
«от – до +». Если все эти изменения учесть в выражении (1.9), то
оно примет вид
Кроме того, пределы интегрирования «от 
S t  

1   jt  
e d  S t e  jt dt  .

2  
 

(1.10)
Обозначим интеграл в квадратных скобках формулы (1.10) через
S 
S  

 S t e
 jt
dt .
(1.11)

Эта функция в теории сигналов носит название «спектральная
плотность». Наконец, подставив равенство (1.11) в соотношение
(1.10), получим
S t  
1  
S e jt d .

2  
(1.12)
Выражения (1.11) и (1.12) называются соответственно прямым и
обратным преобразованиями Фурье. Сравнивая выражения (1.11) и
(1.8), можно заключить, что в пределе выражение для комплексных
амплитуд гармоник A n периодического сигнала отличается от выражения для спектральной плотности сигнала только коэффициентом
2/Т и тогда
A
2
A n  S ; 2 S   A nT  n .
T
f
Таким образом, 2 S  получается путем деления амплитуды n-й
гармоники на интервал частот между соседними гармониками, поскольку в пределе fdf. Отсюда следует, что спектральной плотности
можно придать смысл плотности амплитуд.
9
1.6. Спектральная плотность
прямоугольного импульса
В качестве примера спектральной плотности конкретного непериодического сигнала рассмотрим спектральную плотность импульса
прямоугольной формы (рис 1.7 а).
Согласно определению спектральной плотности для импульса длительности  и амплитудой E будем иметь

S   E

2



2
e
 jt
E  
dt   
e
j 

Применив формулу Эйлера sin x  
j
2
e
j
2

.


e  jx  e jx
, получим, что
2j
2E

sin / 2
. Эта функция имеет вид, показанный
S  
sin
 E

2
/ 2
на рис. 1.7 б.
Спектральная плотность прямоугольного импульса S  обращает

ся в нуль, когда sin
 0 , т. е. когда
  k , k=1, 2, 3, …. В этом
2
2
2k
случае   
, и, следовательно, точки пересечения графика спек
2
4
тральной плотности с осью  имеют значения  ,  , ….


S(t)
S()
E

–2
0

+2
t
4
–
2
–
2

4


а
б
Рис. 1.7. Импульс прямоугольной формы (а) и его спектральная плотность (б)
10
1.7. Корреляционный анализ детерминированных
сигналов. Автокорреляционная
и взаимно корреляционная функции
Важным математическим инструментом, расширяющим возможность изучения детерминированных сигналов, является такое понятие,
как корреляционный (или автокорреляционный) и взаимно корреляционный анализ функций.
Корреляционная функция сигнала S(t) определяется равенством
   

 S t  S t   dt ,
(1.13)

где  – величина сдвига сигнала S(t) относительно самого себя во времени. Когда сдвиг равен нулю (=0), получим
 0  

2
 S t dt  E ,
(1.14)

где E – энергия сигнала, выделяющаяся на единичном сопротивлении.
Следовательно, при нулевом временном сдвиге корреляционная
функция численно характеризует энергию сигнала.
Отметим следующие основные свойства корреляционной функции
().
1. При =0 она положительна и достигает своего максимального
значения, т. е. справедливо неравенство 0   .
2. Корреляционная функция представляет собой четную функцию
относительно времени сдвига, т. е. (–)=(), откуда следует, что
  




 S t S t   dt   S t S t   dt .
Автокорреляционная функция количественно характеризует степень сдвига сигнала S(t) и его смещенной во времени копии S(t–). Эта
функция не дает возможность определить время прихода сигнала. Вид
прямоугольного импульса и его автокорреляционной функции представлен на рис. 1.8. Построение () в данном случае проведено на
основе графической интерпретации операции интегрирования.
Так как энергия периодического сигнала стремится к , то его
энергетические свойства необходимо характеризовать отношением
11
энергии за некоторый промежуток времени к длительности этого
промежутка. Учитывая это для корреляционной функции периодического сигнала будем иметь
 пер   
1
T

T
2
1

T
2
 S t  S t   dt  T  S t  S t   dt ,

T
2

(1.15)
T
2
где Т – период функции S(t). Из этого выражения следует, в частности,
что автокорреляционная функция гармонического колебания есть
также гармоническое колебание.
S(t)
()
Е2и
Е
и
0
S(t)
t
Е
0

+и
а
t
+и 
–и
 2 
 
 Е  и 1  , если    и ,
   
 и 
0, если   
и

б
Рис. 1.8. Прямоугольный импульс (а) и его
автокорреляционная функция (б)
Помимо корреляционной функции можно также ввести понятие
взаимно корреляционной функции
1, 2   


 S1 t S 2 t   dt   S1 t   S 2 t dt .

(1.16)

Эта функция может и не обладать свойствами четности или нечетности относительно времени сдвига и не всегда максимальна при =0.
Автокорреляционная функция и спектральная плотность связаны
следующими соотношениями:
12
2
S  

  e
 jt
d ,
(1.17)
2
S  e  jt d,
(1.18)

  



где формула (1.17) соответствует прямому, а формула (1.18) – обратному преобразованиям Фурье. Следовательно, прямое преобразование
Фурье дает спектральную плотность энергии (энергетический спектр
2
S  ), а обратное – корреляционную функцию  .
Контрольные вопросы
1. Что такое электрический сигнал?
2. В чем состоит основное отличие детерминированных сигналов от случайных?
3. Какой сигнал является периодическим (непериодическим)?
4. Какими параметрами можно характеризовать различные типы сигналов?
5. Какие радиотехнические сигналы можно представить рядами Фурье?
6. Запишите разложение сигнала в ряд Фурье в комплексной форме.
7. Какие преимущества в радиоэлектронике дает использование спектрального
представления сигналов?
8. Что можно сказать о характере распределения мощности в спектре периодического сигнала?
9. Дайте определение спектральной плотности. В чем состоит ее физический
смысл?
10. Какая связь существует между спектрами одиночного прямоугольного импульса и периодической последовательности точно таких же импульсов?
11. Для каких целей вводится понятие автокорреляционной функции детерминированного сигнала?
12. Какими свойствами обладает автокорреляционная функция сигналов?
13. Постройте графически автокорреляционную функцию прямоугольного импульса с длительностью и и амплитудой Е.
14. Для чего вводится понятие взаимно корреляционной функции сигналов?
15. Как связаны между собой автокорреляционнная функция и энергетический
спектр данного сигнала?
13