Алгебра и теория чисел

Приложение 3
ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА
Наименование дисциплины
Алгебра и теория чисел
Рекомендуется для направления подготовки
010500 «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем»
Квалификация выпускника: Бакалавр
1. Цели и задачи дисциплины:
1) овладение фундаментальными основами современной математики:
2) обучение основам исследовательской деятельности:
a) выбору направлений исследования;
b) постановке целей и задач исследования, их уточнению и корректировке;
c) оцениванию результатов исследования, уровня достижения целей, оценивание
изменений целей;
3) обучение моделированию:
a) определению необходимости построения моделей;
b) построению моделей с использованием математических объектов не только в
качестве моделирующих, т.е. образов, но и в качестве моделируемых объектов
(прообразов, прототипов): выделение типовых способов задания объектов,
оценивания
адекватности
рассматриваемых
типовых
способов,
различных
представлений объектов (моделей-диад, моделей-триад, моделей-полиад);
c) оцениванию адекватности создаваемых моделей (например, конгруэнцию можно
рассматривать как оценку адекватности модели, в случае, когда конгруэнция
совпадает с отношением равенства, адекватность оказывается максимально
высокой);
d) оцениванию перспективности построенных моделей как средства изучения
(математического) объекта.
2. Место дисциплины в структуре ООП: Б.2 Математический и
естественнонаучный цикл, базовая часть
(указывается цикл, к которому относится дисциплина; формулируются требования к
входным знаниям, умениям и компетенциям студента, необходимым для ее изучения;
определяются дисциплины, для которых данная дисциплина является предшествующей)
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс
изучения
дисциплины
направлен
на
формирование
компетенций,
представленных в табл.1.
Таблица 1
Компетенции, формируемые в процессе изучения дисциплины
«Алгебра и теория чисел»
№ п/п
Шифр компетенции
Формулировка компетенции
1
ОК-5-010500-00
способность применять знания на практике;
2
ОК-6-010500-00
исследовательские навыки;
3
ОК-7-010500-00
способность учиться;
4
ОК-8-010500-00
способность адаптироваться к новым ситуациям;
5
ОК-10-010500-00
фундаментальная
подготовка
профессиональных знаний;
по
основам
6
ОК-13-010500-00
базовые знания в различных областях;
7
ОК-14-010500-00
способность к анализу и синтезу;
8
ПК-1-010500-00
определение
общих
форм,
закономерностей,
инструментальных средств для данной дисциплины;
9
ПК-2-010500-00
умение понять поставленную задачу;
10
ПК-3-010500-00
умение формулировать результат;
11
ПК-4-010500-00
умение строго доказать математическое утверждение;
12
ПК-5-010500-00
13
ПК-6-010500-00
14
ПК-7-010500-00
15
ПК-8-010500-00
умение ориентироваться в постановках задач;
16
ПК-10-010500-00
понимание корректности постановок задач;
17
ПК-11-010500-00
самостоятельное построение алгоритма и его анализ;
умение на основе анализа увидеть и корректно
сформулировать математически точный результат;
умение
самостоятельно
увидеть
следствия
сформулированного результата;
умение грамотно пользоваться языком предметной
области;
глубокое понимание сути точности фундаментального
знания;
выделение
главных
смысловых
аспектов
в
19
ПК-16-010500-00
доказательствах;
умение публично представить собственные и
20
ПК-18-010500-00
известные научные результаты;
В результате изучения дисциплины студент должен:
18
ПК-13-010500-00
Знать:
1) определения основных понятий;
2) формулировки основных теорем;
3) методы доказательства теорем, в том чисел метод доказательства «от противного»,
метод математической индукции.
Уметь:
1) выбирать оптимальный способ введения нового понятия (дедуктивный – с помощью
определения, или индуктивный);
2) оценивать корректность формулировок математических утверждений (определений,
теорем, гипотез);
3) формулировать определения;
4) решать типовые задачи алгебры и теории чисел;
Владеть:
1) методами решения типовых задач алгебры и теории чисел;
2) методами доказательства теорем.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины составляет 12 зачетных единиц.
Всего часов
Вид учебной работы
1
2
3
204
68
68
68
-
-
-
-
Лекции
102
34
34
34
Практические занятия (ПЗ)
102
34
34
34
156
52
52
52
-
-
-
-
156
52
52
52
3 зачета,
Зачет,
Зачет,
Зачет,
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Вид промежуточной аттестации (зачет,
экзамен)
Общая трудоемкость
3 экзамена
час
зач. ед.
360
12
экза-
экза-
экза-
мен
мен
мен
120
4
120
4
120
4
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов дисциплины
№
п/п
Наименование раздела
дисциплины
1.
Введение
2.
Делимость в кольцах
3.
Целые числа и кольца
Содержание раздела
Первый семестр
Множества. Бинарные отношения, эквивалентность,
фактормножество. Отображения. Композиция
отображений, обратимые отображения. Бинарные
алгебраические действия. Основные алгебраические
структуры: группа, кольцо, модуль. Подструктуры.
Изоморфные структуры. Разные типы колец. Идеал и
факторкольцо.
Свойства делимости в коммутативном кольце с 1.
Ассоциированность. Наибольший общий делитель в
кольце главных идеалов. Евклидовы кольца, алгоритм
Евклида. Простые элементы евклидова кольца, основная
теорема арифметики.
Простые и составные числа, бесконечность множества
вычетов
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
простых. Каноническое разложение целого числа. Идеалы
кольца целых чисел. Сравнения и кольца вычетов.
Обратимые классы. Теоретико-числовая функция Эйлера.
Полная и приведенная системы вычетов. Теорема
Лагранжа для конечных абелевых групп и ее теоретикочисловые следствия. Китайская теорема об остатках.
Первоначальные
Кольцо многочленов от одной переменной над
сведения о многочленах коммутативным кольцом с 1. Степень многочлена и ее
свойства. Теорема о делении с остатком для многочленов.
Значение многочлена в точке, функциональное равенство
многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Корень
многочлена, теорема о числе корней. Многочлены от
нескольких переменных. Теорема о тождестве.
Комплексные числа
Определение поля комплексных чисел. Действия в
компонентах. Комплексное сопряжение. Геометрическая
интерпретация. Модуль и аргумент. Тригонометрическая
форма записи, связь с действиями. Формула Муавра и ее
применение в вещественных вычислениях. Извлечение
корня из комплексного числа. Корни из 1. Решение
алгебраических уравнений. Формулировка основной
теоремы алгебры. Канонические разложения
комплексных и вещественных многочленов.
Матрицы и операции
Сложение матриц, умножение матрицы на скаляр.
над ними
Умножение матриц. Единичная матрица.
Транспонирование. Свойства матричных операций.
Определители
Определители второго и третьего порядков. Перестановки
и инверсии, четность перестановки. Определение
детерминанта квадратной матрицы произвольного
порядка. Определитель транспонированной матрицы.
Перестановка строк и свойства линейности. Разложение
по строке. Методы вычисления определителей.
Определитель Вандермонда. Формулировка теоремы
Лапласа. Ранг матрицы в терминах ее миноров.
Неизменность ранга при элементарных преобразованиях.
Ранг трапециевидной матрицы.
Системы линейных
Матричная запись линейной системы. Теорема Крамера.
уравнений
Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Число
решений линейной системы. Однородные системы,
условия существования нетривиального решения. Связь
между решениями неоднородной и соответствующей
однородной систем.
Алгебра квадратных
Некоммутативность матричного кольца, делители нуля.
матриц
Многочлен от матрицы. Определитель произведения
квадратных матриц. Невырожденные матрицы, полная
линейная группа. Взаимная матрица и ее свойства.
Обратная матрица, методы ее вычисления. Собственные
числа и собственные векторы матрицы,
характеристический многочлен. Теорема ГамильтонаКэли.
Второй семестр
Линейные пространства Определение и примеры. Система образующих,
11.
12.
13.
конечномерные пространства. Линейная независимость
векторов. Базис, размерность. Координаты вектора, их
изменение при изменении базиса. Матрица перехода.
Подпространство, его размерность. Ранг матрицы как
размерность линейной оболочки ее строк, столбцов.
Эквивалентность разных определений ранга. Факторпространство. Сумма и пересечение подпространств,
связь между размерностями. Прямая сумма
подпространств, внешняя прямая сумма.
Пространства с
Билинейная и полуторалинейная форма на линейном
формами
пространстве. Матрица Грама., ранг формы. Эрмитовы и
симметрические билинейные формы, их матрицы Грама.
Ортогональные векторы. Ортогональное дополнение
относительно эрмитовой формы. Теорема Лагранжа об
эрмитовых формах. Положительная определенность
формы, скалярное произведение. Неравенство КошиБуняковского. Длина вектора, угол между векторами.
Ортонормированные семейства векторов. Евклидово и
унитарное пространства. Ортонормированные базисы.
Унитарная и ортогональная группы. Процесс
ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное
дополнение к подпространству в евклидовом или
унитарном пространстве. Разложение пространства в
ортогональную прямую сумму. Квадратичная форма как
однородный многочлен, ее матрица. Квадратичная форма
на пространстве, связь с однородными многочленами.
Полярная билинейная форма. Метод Лагранжа
приведения квадратичной формы к диагональному виду.
Каноническая матрица комплексной или вещественной
квадратичной формы. Закон инерции вещественных
квадратичных форм, индексы инерции. Угловые миноры
матрицы, теорема Якоби. Признаки положительной
определенности квадратичной формы. Формулировка
теоремы об ортогональном приведении формы.
Дальнейшие сведения о Производная многочлена и ее свойства. Кратные корни и
многочленах
производная. Освобождение от кратных корней. Формула
Тейлора. Формулы Виета. Симметрические многочлены.
Конструкция поля частных для данной области
целостности. Поле рациональных функций. Простейшие
дроби, разложение правильной дроби в сумму
простейших, формула Лагранжа. Интерполяционная
задача, ее разрешимость. Метод Ньютона и
интерполяционная формула Лагранжа. Многочлены с
рациональными и целочисленными коэффициентами.
Редукция целочисленного многочлена, редукционный
признак неприводимости. Теорема Гаусса о
целочисленных многочленах. Признак Эйзенштейна.
Рациональные корни целочисленного многочлена.
Алгоритм разложения целочисленного многочлена на
неразложимые множители.
Элементы теории групп Циклические группы, классификация. Подгруппа,
примеры. Умножение подмножеств в группе. Смежные
классы по подгруппе, разложение Лагранжа, индекс
подгруппы. Теорема Лагранжа о группах. Порядок
элемента. Нормальная подгруппа. Факторгруппа.
Групповой гомоморфизм, его ядро и образ. Первая
теорема о гомоморфизме, ее применение к вычислению
факторгруппы. Прямое произведение групп и разложение
группы в прямое произведение своих подгрупп.
Формулировка теоремы о строении конечно порожденной
абелевой группы. Подгруппа и нормальная подгруппа,
порожденные данным множеством. Центр и коммутант.
Критерий абелевости факторгруппы. Автоморфизмы
группы. Факторгруппа группы по ее центру. Построение
свободной группы, универсальное свойство.
Соотношения между образующими, определяющие
соотношения. Теорема Дика. Примеры задания группы
образующими и определяющими соотношениями.
Третий семестр
14.
Расширения полей
15.
Линейные отображения
16.
Алгебра линейных
операторов
Простые поля, классификация. Расширение подполя,
получающееся присоединением подмножества большего
поля;
простое
расширение.
Алгебраические
и
трансцендентные элементы. Аннуляторы, минимальный
аннулятор. Конечное расширение, степень расширения.
Алгебраические расширения, алгебраичность конечного
расширения.
Простое
расширение,
порожденное
алгебраическим элементом; присоединение к полю корня
неприводимого
многочлена.
Поле
разложения
многочлена, существование и единственность. Поле
разложения семейства многочленов, алгебраическое
замыкание. Число элементов конечного поля. Конечное
поле как поле разложения. Мультипликативная группа
конечного поля. Существование и единственность поля,
содержащего данное число элементов. Подполя
конечного поля. Неприводимые многочлены над
конечным полем.
Линейное отображение, его ядро и образ. Ранг и дефект.
Матрица линейного отображения, каноническая матрица.
Пространство линейных отображений, связь с матричным
пространством. Композиция линейных отображений.
Изоморфность линейного отображения. Двойственное
пространство.
Свойство
рефлексивности
для
конечномерного пространства. Двойственные базисы.
Ковариантность и контравариантность изменения
координат. Линейный оператор и его матрица, связь
алгебры операторов с матричной алгеброй. Условия
обратимости оператора.
Инвариантное подпространство. Сужение оператора на
инвариантное
подпространство;
индуцированный
оператор на факторпространстве. Матрица оператора при
наличии
инвариантного
подпространства,
при
разложении пространства в прямую сумму инвариантных
подпространств. Собственное число и собственный
17.
Операторы в
евклидовых и
унитарных
пространствах
18.
Алгебры
вектор оператора. Характеристический многочлен
оператора, теорема Гамильтона-Кэли. Собственное
подпространство и его свойства. Оператор, имеющий
диагональную матрицу в некотором базисе; критерий
диагонализуемости. Аннулятор вектора,
свойства
аннуляторов. Циклическое подпространство, клетка
Фробениуса. Примарные подпространства и их свойства.
Корневой
вектор
и
корневое
подпространство.
Нильпотентный оператор, его характеристический
многочлен.
Построение
жордановой
матрицы
нильпотентного
оператора.
Жорданова
матрица
произвольного оператора. Естественные нормальные
формы матрицы оператора в пространстве над
произвольным полем.
Сопряженный оператор. Инвариантные подпространства
для сопряженных операторов. Условие ортонормальной
диагонализуемости оператора. Нормальный оператор к
унитарном и евклидовом пространстве. Существование
ортогонального
преобразования,
приводящего
вещественную квадратичную форму к диагональному
виду. Каноническая матрица нормального оператора в
евклидовом пространстве. Самосопряженный оператор.
Положительно определенные операторы, извлечение
квадратного корня. Унитарные и ортогональные
операторы. Полярное разложение.
Тело классических кватернионов как вещественная
подалгебра алгебры комплексных матриц. Алгебры с 1.
Алгебра с делением. Алгебра Ли, связь с ассоциативной
алгеброй. Структурные константы и структурный тензор
алгебры. Изоморфные алгебры. Алгебра с инволюцией,
процесс удвоения Кэли-Диксона. Алгебра кватернионов
как удвоенная алгебра комплексных чисел. Скалярная и
векторная часть кватерниона; умножение векторов.
Норма кватерниона и ее свойства. Формулировка
теоремы Фробениуса. Алгебра Кэли и ее свойства.
Внешняя алгебра, градуирующие подпространства.
Свойства внешнего умножения векторов. Определение
детерминанта в терминах внешней алгебры. Теорема
Лапласа. Формула Бинэ-Коши.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№ Наименование
п/п обеспечиваемых
№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
18
(последующих)
дисциплин
1. Математи* *
*
ческий анализ
2. Геометрия и
*
*
топология
3. Дифферен* * * *
циальные
уравнения
4. Функцио*
* *
нальный анализ
5. Теория
*
*
* * *
вероятностей и
математическая
статистика
6. Дискретная
*
*
* * *
математика
7. Математи* *
* * *
ческая логика
8. Структуры и
* * *
*
алгоритмы
компьютерной
обработки
данных
9. Архитектура
*
*
вычислительных систем
и компьютерных систем
10. Операционные *
*
системы и
оболочки
11. Базы данных
*
*
12. Теория
*
*
вычислительных процессов
и структур
5.3. Разделы дисциплин и виды занятий
№
Наименование раздела дисциплины
п/п
* *
* *
*
*
*
*
* *
* *
*
*
*
*
* *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* *
*
*
*
*
*
*
* *
*
*
*
Лекц. Практ. Лаб.
зан.
зан.
Семин
СРС
Всего
час.
6
14
Первый семестр
1.
Введение
2.
Делимость в кольцах
2
2
4
8
3.
Целые числа и кольца вычетов
4
4
6
14
4.
Первоначальные сведения о
многочленах
Комплексные числа
6
6
10
22
4
4
6
14
5.
4
4
6.
Матрицы и операции над ними
2
2
6
10
7.
Определители
6
6
4
16
8.
Системы линейных уравнений
2
2
4
8
9.
Алгебра квадратных матриц
4
4
6
14
Второй семестр
10.
Линейные пространства
6
6
16
34
11.
Пространства с формами
10
10
12
42
12.
Дальнейшие сведения о многочленах
8
8
10
34
13.
Элементы теории групп
10
10
14
44
Третий семестр
14.
Расширения полей
8
8
12
28
15.
Линейные отображения
8
8
16
32
16.
Алгебра линейных операторов
8
8
6
22
17.
Операторы в евклидовых и
унитарных пространствах
Алгебры
6
6
8
20
4
4
10
18
18.
19.
6. Лабораторный практикум
№ п/п № раздела
дисциплины
Наименование лабораторных работ
Трудоемкость
(час.)
1.
2.
…
7. Практические занятия (семинары)
№ п/п № раздела
дисциплины
Тематика практических занятий (семинаров)
Первый семестр
1. 1
2. 1
3. 2
Структура
определения.
Множества.
Бинарные
4
отношения, эквивалентность, фактор-множество.
Отображения. Композиция отображений, обратимые
отображения.
Бинарные
алгебраические
действия.
Основные
6
алгебраические структуры: группа, кольцо, модуль.
Подструктуры. Изоморфные структуры. Разные типы
колец. Идеал и факторкольцо.
Свойства делимости в коммутативном кольце с 1.
6
Ассоциированность. Наибольший общий делитель в
кольце главных идеалов. Евклидовы кольца, алгоритм
Трудоемкость
(час.)
4. 3
5. 3
6. 4
7. 4
8. 4
9. 5
10.5
11.6
12.7
13.7
14.7
15.8
Евклида. Простые элементы евклидова кольца,
основная теорема арифметики.
Простые и составные числа, бесконечность множества
5
простых. Каноническое разложение целого числа.
Идеалы кольца целых чисел. Сравнения и кольца
вычетов. Обратимые классы.
Теоретико-числовая функция Эйлера. Полная 5и
приведенная системы вычетов. Теорема Лагранжа для
конечных абелевых групп и ее теоретико-числовые
следствия.
Кольцо многочленов от одной переменной над
4
коммутативным кольцом с 1. Степень многочлена и ее
свойства. Теорема о делении с остатком для
многочленов.
Значение многочлена в точке, функциональное равенство
6
многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Корень
многочлена, теорема о числе корней.
Многочлены от нескольких переменных. Теорема 6о
тождестве.
Определение поля комплексных чисел. Действия 6в
компонентах.
Комплексное
сопряжение.
Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент.
Тригонометрическая
форма
записи,
связь
с
действиями.
Формула Муавра и ее применение в вещественных
4
вычислениях. Извлечение корня из комплексного
числа. Корни из 1. Решение алгебраических уравнений.
Формулировка
основной
теоремы
алгебры.
Канонические
разложения
комплексных
и
вещественных многочленов.
Сложение матриц, умножение матрицы на скаляр.
8
Умножение
матриц.
Единичная
матрица.
Транспонирование. Свойства матричных операций.
Определители
второго
и
третьего
порядков.
2
Перестановки и инверсии, четность перестановки.
Определение детерминанта квадратной матрицы
произвольного порядка.
Определитель
транспонированной
матрицы.
4
Перестановка строк и свойства линейности.
Разложение по строке. Методы вычисления
определителей.
Определитель
Вандермонда.
Формулировка теоремы Лапласа.
Ранг матрицы в терминах ее миноров. Неизменность ранга
4
при
элементарных
преобразованиях.
Ранг
трапециевидной матрицы.
Матричная запись линейной системы. Теорема Крамера.
6
Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Число
решений линейной системы. Однородные системы,
условия существования нетривиального решения.
Связь
между
решениями
неоднородной
и
соответствующей однородной систем.
16.9
17.9
Не коммутативность матричного кольца, делители
6
нуля. Многочлен от матрицы. Определитель
произведения квадратных матриц. Невырожденные
матрицы, полная линейная группа. Взаимная матрица и
ее свойства.
Обратная матрица, методы ее вычисления.
4
Второй семестр
18.10
19.10
20.10
21.11
22.11
23.11
24.11
25.11
26.12
Определение и примеры. Система образующих,
8
конечномерные пространства. Линейная
независимость векторов. Базис, размерность.
Координаты вектора, их изменение при изменении
базиса. Матрица перехода.
Подпространство, его размерность. Ранг матрицы как 8
размерность линейной оболочки ее строк, столбцов.
Эквивалентность разных определений ранга.
Фактор-пространство. Сумма и пересечение
6
подпространств, связь между размерностями. Прямая
сумма подпространств, внешняя прямая сумма.
Билинейная и полуторалинейная форма на линейном 4
пространстве. Матрица Грама., ранг формы. Эрмитовы
и симметрические билинейные формы, их матрицы
Грама. Ортогональные векторы. Ортогональное
дополнение относительно эрмитовой формы. Теорема
Лагранжа об эрмитовых формах.
Положительная определенность формы, скалярное 6
произведение. Неравенство Коши-Буняковского.
Длина вектора, угол между векторами.
Ортонормированные семейства векторов. Евклидово и
унитарное пространства. Ортонормированные базисы.
Унитарная и ортогональная группы.
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
4
Ортогональное дополнение к подпространству в
евклидовом или унитарном пространстве. Разложение
пространства в ортогональную прямую сумму.
Квадратичная форма как однородный многочлен, ее
матрица. Квадратичная форма на пространстве, связь с
однородными многочленами. Полярная билинейная
форма.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к 4
диагональному виду. Каноническая матрица
комплексной или вещественной квадратичной формы.
Закон инерции вещественных квадратичных форм, 4
индексы инерции. Угловые миноры матрицы, теорема
Якоби. Признаки положительной определенности
квадратичной формы. Формулировка теоремы об
ортогональном приведении формы.
Производная многочлена и ее свойства. Кратные корни6
и производная. Освобождение от кратных корней.
Формула Тейлора. Формулы Виета. Симметрические
многочлены.
27.12
28.12
29.12
30.13
31.13
32.13
33.13
34.13
35.14
36.14
37.14
Конструкция поля частных для данной области
4
целостности. Поле рациональных функций.
Простейшие дроби, разложение правильной дроби в
сумму простейших, формула Лагранжа.
Интерполяционная задача, ее разрешимость.
Метод Ньютона и интерполяционная формула
4
Лагранжа. Многочлены с рациональными и
целочисленными коэффициентами. Редукция
целочисленного многочлена, редукционный признак
неприводимости.
Теорема Гаусса о целочисленных многочленах.
4
Признак Эйзенштейна. Рациональные корни
целочисленного многочлена. Алгоритм разложения
целочисленного многочлена на неразложимые
множители.
Циклические группы, классификация. Подгруппа,
4
примеры. Умножение подмножеств в группе. Смежные
классы по подгруппе, разложение Лагранжа, индекс
подгруппы. Теорема Лагранжа о группах.
Порядок элемента. Нормальная подгруппа.
4
Факторгруппа.
Групповой гомоморфизм, его ядро и образ. Первая 6
теорема о гомоморфизме, ее применение к
вычислению факторгруппы. Прямое произведение
групп и разложение группы в прямое произведение
своих подгрупп. Формулировка теоремы о строении
конечно порожденной абелевой группы.
Подгруппа и нормальная подгруппа, порожденные 4
данным множеством. Центр и коммутант. Критерий
абелевости факторгруппы. Автоморфизмы группы.
Факторгруппа группы по ее центру. Построение
6
свободной группы, универсальное свойство.
Соотношения между образующими, определяющие
соотношения. Теорема Дика. Примеры задания группы
образующими и определяющими соотношениями.
Третий семестр
Простые поля, классификация. Расширение подполя, 6
получающееся присоединением подмножества
большего поля; простое расширение. Алгебраические и
трансцендентные элементы. Аннуляторы,
минимальный аннулятор.
Конечное расширение, степень расширения.
4
Алгебраические расширения, алгебраичность
конечного расширения. Простое расширение,
порожденное алгебраическим элементом;
присоединение к полю корня неприводимого
многочлена.
Поле разложения многочлена, существование и
4
единственность. Поле разложения семейства
многочленов, алгебраическое замыкание. Число
элементов конечного поля. Конечное поле как поле
38.14
39.15
40.15
41.15
42.15
43.16
44.16
45.16
46.16
47.17
48.17
разложения.
Мультипликативная группа конечного поля.
6
Существование и единственность поля, содержащего
данное число элементов. Подполя конечного поля.
Неприводимые многочлены над конечным полем.
Линейное отображение, его ядро и образ. Ранг и
6
дефект. Матрица линейного отображения,
каноническая матрица.
Пространство линейных отображений, связь с
6
матричным пространством. Композиция линейных
отображений. Изоморфность линейного отображения.
Двойственное пространство. Свойство рефлексивности6
для конечномерного пространства. Двойственные
базисы. Ковариантность и контравариантность
изменения координат.
Линейный оператор и его матрица, связь алгебры
6
операторов с матричной алгеброй. Условия
обратимости оператора.
Инвариантное подпространство. Сужение оператора на2
инвариантное подпространство; индуцированный
оператор на факторпространстве. Матрица оператора
при наличии инвариантного подпространства, при
разложении пространства в прямую сумму
инвариантных подпространств.
Собственное число и собственный вектор оператора. 4
Характеристический многочлен оператора, теорема
Гамильтона-Кэли.
Собственное подпространство и его свойства.
4
Оператор, имеющий диагональную матрицу в
некотором базисе; критерий диагонализуемости.
Аннулятор вектора, свойства аннуляторов.
Циклическое подпространство, клетка Фробениуса.
Примарные подпространства и их свойства. Корневой
вектор и корневое подпространство. Нильпотентный
оператор, его характеристический многочлен.
Построение жордановой матрицы нильпотентного
оператора.
Жорданова матрица произвольного оператора.
4
Естественные нормальные формы матрицы оператора
в пространстве над произвольным полем.
Сопряженный оператор. Инвариантные
4
подпространства для сопряженных операторов.
Условие ортонормальной диагонализуемости
оператора. Нормальный оператор к унитарном и
евклидовом пространстве.
Существование ортогонального преобразования,
6
приводящего вещественную квадратичную форму к
диагональному виду. Каноническая матрица
нормального оператора в евклидовом пространстве.
Самосопряженный оператор. Положительно
определенные операторы, извлечение квадратного
корня.
Унитарные и ортогональные операторы. Полярное
4
разложение.
Тело классических кватернионов как вещественная 8
подалгебра алгебры комплексных матриц. Алгебры с 1.
Алгебра с делением. Алгебра Ли, связь с
ассоциативной алгеброй. Структурные константы и
структурный тензор алгебры. Изоморфные алгебры.
Алгебра с инволюцией, процесс удвоения КэлиДиксона. Алгебра кватернионов как удвоенная алгебра
комплексных чисел.
Скалярная и векторная часть кватерниона; умножение6
векторов. Норма кватерниона и ее свойства.
Формулировка теоремы Фробениуса. Алгебра Кэли и
ее свойства. Внешняя алгебра, градуирующие
подпространства. Свойства внешнего умножения
векторов. Определение детерминанта в терминах
внешней алгебры. Теорема Лапласа. Формула БинэКоши.
49.17
50.18
51.18
52.
8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
1) Классификация конечных простых групп (различные аспекты: история вопроса,
основные результаты и др.).
2) Теория Галуа (различные аспекты).
3) Программа построения расширения поля Галуа с помощью корня неприводимого
многочлена.
4) Линейная алгебра и ее применения в экономике.
5) Теория полугрупп (различные аспекты).
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература
1) Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука,
1984, 320 с.
2) Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии, М.: Наука, 1980, 176 с.
3) Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.:Наука, 1979. с. 623.
4) И.М.Гельфанд. Лекции про линейной алгебре. Изд-е 5-е, исправленное.
М.: Добросвет, Московский центр непрерывного математического образования.
1998, 320 с.
5) Каргаполов М.И. Основы теории групп/ М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков //
М.: Наука, 1982, 288 с.
6) Кострикин А. И. Линейная алгебра и геометрия/ А. И. Кострикин, Ю. И. Манин //
М.: Наука, 1986. 303 с.
7) Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973, 400 с.
8) Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. и др. Общая алгебра./ под ред.
Л.А.Скорнякова, т. 1, М.: Наука, 1990. 592 с.
9) Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. и др. Общая алгебра./ под ред.
Л.А.Скорнякова, т. 2, М.: Наука, 1991. 480 с.
10) Мельников Ю.Б. Алгебра и теория чисел. Изд-е 3-е, испр. и доп. [Электронный
ресурс]/ Ю. Б. Мельников/ Издательство УрГЭУ, Екатеринбург, 2010 г., 65,1 уч.изд.л. [режим доступа свободный]
http://lib.usue.ru/resource/free/10/MelnikovAlgebra3/index.html
11) Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Изд-во
МГУ, 1990. 328 с.
12) Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Учебное пособие для ВУЗов, М.: Наука, 1984.
416 с.
б) дополнительная литература
1) Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М:. Наука, 1978, 384 с.
2) Мельников Ю.Б. Алгебра и теория чисел. Практикум по линейной и матричной
алгебре, тензорам и полям Галуа.
в) программное обеспечение
1) Adobe Acrobat Reader
2) MikTeX 2.7
3) GsView 4.9
г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы: Википедия,
поисковые системы Яндекс, Google.
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
Для организации эффективного учебного процесс необходим компьютер и проектор.
11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
1) Организация текущего контроля:
a) для обеспечения регулярного мониторинга качества изучения дисциплины и
внешнего стимулирования студентов к изучению понятийного аппарата и
усвоению типовых планов (в частности, алгоритмов) целесообразно регулярно, не
реже чем 1 раз в две недели проводить тесты;
b) в семестре следует проводить не менее двух контрольных работ
продолжительностью 1-2 академических часа;
c) для стимулирования самостоятельной работы студентов и контроля ее
результативности в каждом семестре студенты должны выполнять 12 индивидуальных домашних задания.
2) Методы, методики, технологии обучения, подходы к организации обучения:
a) в исследовательской и учебной деятельности в алгебре и теории чисел и решении
задач, значительную долю занимает «рутинный компонент», состоящий в
регулярном использовании обозримой системы базовых идей и методов и весьма
небольшого набора базовых методов алгоритмов. Это обстоятельство создает
благоприятные условия для применения проблемного метода обучения (см.,
например, презентацию к лекции «Алгебра и теория чисел» из [10]);
b) доступность для студентов большинства основных идей алгебры и алгебраических
методов, значительный объем регулярной, «рутинной» познавательной (вы
частности, исследовательской) деятельности позволяет успешно применять
компетентностный подход, обеспечивать формирование многих ключевых
компетенций (перечисленных выше), когнитивной и других видов компетентности.
c) содержание курса «Алгебра и теория чисел» открывает богатые возможности по
использованию метода моделирования и образовательных методик и технологий,
основанных на методе моделирования и деятельностном подходе. При этом
математические объекты выступают не столько в качестве образов (моделей)
реальных объектов, сколько в качестве объектов моделирования, прототипов,
прообразов. Например, основная идея линейной алгебры, представленной в
разделах 10,11, 15-17, состоит в представлении, моделировании произвольного
линейного пространства средствами матричной алгебры. В частности, векторы
представляются
массивами
координатами,
т.е.
векторами
линейного
n
пространства R , линейные операторы – их матрицами, билинейные или
полуторалинейные формы (в частности, скалярное произведение) представляются с
помощью матриц этих форм (в частности, матрицы Грама) и др.
Виды и образовательные технологии
№
раздела
Виды учебной работы
шифр
1
Л, ПЗ, Кс,
СР
2
Л, ПЗ, Кс,
СР
3
Л, ПЗ, Кс,
СР
4
Л, ПЗ, Кс,
СР
5
Л, ПЗ, Кс,
СР
6
Л, ПЗ, Кс,
СР
7
Л, ПЗ, Кс,
СР
8
Л, ПЗ, Кс,
Приоритетные
образовательные технологии
наименование
Наименование
Лекция,
Практическое Лекция-презентация,
занятие,
Консультация, Моделирование.
Самостоятельная работа
Лекция,
Практическое Лекция-презентация,
занятие,
Консультация, моделирование,
проблемное
Самостоятельная работа
обучение
Лекция,
Практическое Лекция-презентация,
занятие,
Консультация, моделирование,
проблемное
Самостоятельная работа
обучение
Лекция,
Практическое Лекция-презентация,
занятие,
Консультация, моделирование,
проблемное
Самостоятельная работа
обучение
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный
Самостоятельная работа
подход
Лекция,
Практическое Лекция-презентация,
занятие,
Консультация, моделирование,
проблемное
Самостоятельная работа
обучение
Лекция,
Практическое Лекция-презентация,
занятие,
Консультация, моделирование,
Самостоятельная работа
деятельностный подход
Лекция,
Практическое Лекция-презентация,
СР
9
Л, ПЗ, Кс,
СР
10
Л, ПЗ, Кс,
СР
11
Л, ПЗ, Кс,
СР
12
Л, ПЗ, Кс,
СР
13
Л, ПЗ, Кс,
СР
14
Л, ПЗ, Кс,
СР
15
Л, ПЗ, Кс,
СР
16
Л, ПЗ, Кс,
СР
17
Л, ПЗ, Кс,
СР
18
Л, ПЗ, Кс,
СР
занятие,
Консультация, моделирование,
проблемное
Самостоятельная работа
обучение
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный
Самостоятельная работа
подход
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Лекция-презентация,
Лекция,
Практическое
моделирование,
проблемное
занятие,
Консультация,
обучение, компетентностный и
Самостоятельная работа
деятельностный подходы
Разработчики:
Уральский государственный
экономический университет,
(место работы)
доцент
(занимаемая должность)
Ю.Б. Мельников
(инициалы, фамилия)
Уральский федеральный
университет,
доцент
Н.В. Мельникова
(место работы)
(занимаемая должность)
(инициалы, фамилия)
Эксперты:
заведующий кафедрой информационных систем в экономике УрГЭУ доктор
физико-математических наук, профессор А.Ф. Шориков;
заведующий кафедрой информационных технологий Института экономики
управления и права доктор технических наук, профессор В.Н.
Сыромятников.
Эксперты:
Уральский
государственный
экономический
университет,
(место работы)
Уральский
институт
экономики управления
и права,
(место работы)
зав.каф.
информационных
систем в экономике
д.ф.-м.н., проф.
(занимаемая должность)
А.Ф. Шориков
(инициалы, фамилия)
зав.каф.
информационных
технологий
д.ф.-м.н., профессор
(занимаемая должность)
В.Н. Сыромятников
(инициалы, фамилия)