Приложение 1 к рабочей программе дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»

Приложение 1
к рабочей программе дисциплины
«Математическая логика и
теория алгоритмов»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по направлению подготовки
09.03.02 «Информационные системы и технологии»
Тип ООП: прикладной бакалавр
Владивосток 2015
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по
дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов» разработан в соответствии с
требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 09.03.02 «Информационные системы и
технологии» и Порядком организации и осуществления образовательной деятельности по
образовательным программам высшего образования – программам бакалавриата, программам
специалитета, программам магистратуры (утв. приказом Минобрнауки России от 19 декабря 2013
г. N 1367).
Составитель:
Первухин Михаил Александрович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и
моделирования
Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования от 24.06.2015г., протокол № 11
Заведующий кафедрой (разработчика) _____________________
подпись
Мазелис Л.С.
фамилия, инициалы
«____»_______________20__г.
Заведующий кафедрой (выпускающей) _____________________ __________________
подпись
«____»_______________20__г.
фамилия, инициалы
1 ПЕРЕЧЕНЬ ФОРМИРУЕМЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ
№
п/п
Код
компетенции
1
ОПК-2
2
ПК-25
Номер
этапа
(1–8)
Формулировка компетенции
Способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
Способность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований
3
4
2 ОПИСАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ И КРИТЕРИЕВ ОЦЕНИВАНИЯ КОМПЕТЕНЦИЙ
ОПК-2 Способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности,
применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
Планируемые
результаты
обучения
(показатели
достижения
заданного уровня
освоения
компетенций)
Знает:
основные поняти и
методы
математической
логики
Критерии оценивания результатов обучения
1
Отсутствие знания
Умеет:
решать типовые
задачи по основным
разделам курса
Отсутствие умения
Владеет:
методами
построения
математических
Отсутствие владения
2
Фрагментарное
знание основных
понятий и методов
математической
логики.
3
Неполное знание
основных основных
понятий и методов
математической
логики.
4
В целом
сформировавшееся
знание основных
понятий и методов
математической
логики.
Фрагментарное
Неполное умение
В целом
умение решать
решать типовые задачи сформировавшееся
типовые задачи по
по основным разделам
умение решать типовые
основным разделам
курса
задачи по основным
курса
разделам курса
Фрагментарное
Неполное владение
В целом
владение
методами методами построения сформировавшееся
построения
математических
владение методами
математических
моделей
построения
5
Сформировавшееся
систематическое знание
основных понятий и
методов
математической
логики.
Сформировавшееся
систематическое
умение решать типовые
задачи по основным
разделам курса
Сформировавшееся
систематическое
владение
методами
построения
моделей
профессиональных
задач и
содержательной
интерпретации
полученных
результатов
Шкала оценивания
моделей
профессиональных
задач
и
содержательной
интерпретации
полученных
результатов.
0–8
9–12
неудовлетворительно неудовлетворительно
профессиональных
задач и содержательной
интерпретации
полученных
результатов.
13–15
удовлетворительно
математических
моделей
профессиональных
задач и содержательной
интерпретации
полученных
результатов.
16–18
хорошо
математических
моделей
профессиональных
задач и содержательной
интерпретации
полученных
результатов.
19–20
отлично
ПК-25 Способность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных
исследований
Планируемые
результаты
обучения
(показатели
достижения
заданного уровня
освоения
компетенций)
Знает:
методов теории
алгоритмов
Умеет:
применять методы
теории множеств,
математической
логики, алгебры
высказываний,
теории графов,
теории автоматов,
теории алгоритмов
при решении
профессиональных
Критерии оценивания результатов обучения
1
2
3
Отсутствие знания
Фрагментарное
знание методов
теории алгоритмов.
Неполное знание
методов теории
алгоритмов.
Отсутствие умения
Фрагментарное
умение применять
методы теории
множеств,
математической
логики, алгебры
высказываний, теории
графов, теории
автоматов, теории
алгоритмов при
решении
Неполное умение
применять методы
теории множеств,
математической
логики, алгебры
высказываний, теории
графов, теории
автоматов, теории
алгоритмов при
решении
профессиональных
4
5
В целом
сформировавшееся
знание методов теории
алгоритмов.
В целом
сформировавшееся
умение применять
методы теории
множеств,
математической
логики, алгебры
высказываний, теории
графов, теории
автоматов, теории
алгоритмов при
Сформировавшееся
систематическое знание
методов теории
алгоритмов.
Сформировавшееся
систематическое
умение применять
методы теории
множеств,
математической
логики, алгебры
высказываний, теории
графов, теории
автоматов, теории
алгоритмов при
задач
профессиональных
задач
задач
Неполное владение
навыками
моделирования
прикладных задач
Владеет:
навыками
моделирования
прикладных задач
Отсутствие владения
Фрагментарное
владение навыками
моделирования
прикладных задач
Шкала оценивания
0–8
неудовлетворительно
9–12
неудовлетворительно
13–15
удовлетворительно
решении
профессиональных
задач
В целом
сформировавшееся
навыками
моделирования
прикладных задач
16–18
хорошо
решении
профессиональных
задач
Сформировавшееся
систематическое
владение
навыками
моделирования
прикладных задач
19–20
отлично
3 ПЕРЕЧЕНЬ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
№
п/п
Коды компетенций и
планируемые
результаты обучения
знать
1.
Оценочные средства
Наименование
Собеседование
Контрольные работы
ОПК-2
уметь
Индивидуальные
домашние работы
Представление в ФОС
Вопросы
по темам/разделам
дисциплины
Комплект контрольных
заданий по вариантам
Комплект заданий
по вариантам
владеть
знать
2.
Собеседование
Контрольные работы
ПК-25
уметь
Индивидуальные
домашние работы
Вопросы
по темам/разделам
дисциплины
Комплект контрольных
заданий по вариантам
Комплект заданий
по вариантам
владеть
4 ОПИСАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ОЦЕНИВАНИЯ
Промежуточная аттестация по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов»
включает в себя теоретические задания, позволяющие оценить уровень усвоения обучающимися
знаний, и практические задания, выявляющие степень сформированности умений и владений (см.
раздел 5).
Усвоенные знания и освоенные умения проверяются при помощи электронного
тестирования, умения и владения проверяются в ходе решения задач.
Объем и качество освоения обучающимися дисциплины, уровень сформированности
дисциплинарных компетенций оцениваются по результатам текущих и промежуточной аттестаций
количественной оценкой, выраженной в баллах, максимальная сумма баллов по дисциплине равна
100 баллам.
Сумма баллов, набранных студентом по дисциплине, переводится в оценку в соответствии
с таблицей.
Сумма
баллов
по
дисциплине
от 91 до 100
«зачтено» / «отлично»
от 76 до 90
«зачтено» / «хорошо»
от 61 до 75
«зачтено» /
«удовлетворительно»
Оценка по
промежуточной
аттестации
Характеристика уровня освоения дисциплины
Студент демонстрирует сформированность дисциплинарных
компетенций на итоговом уровне, обнаруживает всестороннее,
систематическое и глубокое знание учебного материала, усвоил
основную литературу и знаком с дополнительной литературой,
рекомендованной программой, умеет свободно выполнять
практические задания, предусмотренные программой, свободно
оперирует приобретенными знаниями, умениями, применяет их
в ситуациях повышенной сложности.
Студент демонстрирует сформированность дисциплинарных
компетенций на среднем уровне: основные знания, умения
освоены, но допускаются незначительные ошибки, неточности,
затруднения при аналитических операциях, переносе знаний и
умений на новые, нестандартные ситуации.
Студент демонстрирует сформированность дисциплинарных
компетенций на базовом уровне: в ходе контрольных
мероприятий допускаются значительные ошибки, проявляется
отсутствие отдельных знаний, умений, навыков по некоторым
дисциплинарным
компетенциям,
студент
испытывает
от 41 до 60
«не зачтено» /
«неудовлетворительно»
от 0 до 40
«не зачтено» /
«неудовлетворительно»
значительные затруднения при оперировании знаниями и
умениями при их переносе на новые ситуации.
Студент демонстрирует сформированность дисциплинарных
компетенций на уровне ниже базового, проявляется
недостаточность знаний, умений, навыков.
Дисциплинарные компетенции не формированы. Проявляется
полное или практически полное отсутствие знаний, умений,
навыков.
5 КОМПЛЕКС ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
5.1 Собеседование
Вопросы по темам
К теме 1:
1. Что такое СДНФ?
2. Что такое СКНФ?
3. Для всякой ли формулы АВ есть эквивалентная ей формула, находящаяся в СКНФ?
4. Как составить СДНФ по таблице истинности?
5. Находится ли формула 𝑥𝑦 ∨ ¬𝑧 в КНФ?
К теме 2:
1. Что называется выводом в ИВ?
2. Что такое формула ИВ?
3. Какая формула называется выводимой из множества формул 𝜑1 , … , 𝜑𝑛 ?
4. Что такое формальное исчисление?
5. Какое исчисление называется непротиворечивым?
К темам 3-4:
1. Теорема о дедукции?
2. Теорема о замене?
3. Можно ли к данной формуле 𝜑 → (𝜓 → 𝜒) ⊢ 𝜑 ∧ 𝜓 → 𝜒 применить теорему о дедукции?
4. Зачем стоит применять теорему о замене?
5. Теорема о полноте.
6. Теорема о непротиворечивости.
К темам 5-6:
1. Дайте определение n-местного предиката.
2. Что такое сигнатура?
3. Дайте определение алгебраической системы.
4. Что такое терм сигнатуры?
5. Является ли набор ⟨𝑍; +; ∶ ; √2⟩ алгебраической системой?
К теме 7:
1. Дайте определение атомарной формулы?
2. Что такое подформула?
3. Какие формулы называются эквивалентными?
4. Какая переменная называется свободной?
5. Что такое логическое следствие?
К теме 8:
1. Что такое бескванторная формула?
2. Какая формула называется находящейся в ПНФ?
3. Приведите алгоритм приведения формулы к ПНФ.

4. Находится ли формула x y ( x, y )  (xy ( x, y )  xy( x, y )) в ПНФ?
К темам 9-10:
1. Какая формула называется выводимой из множества формул 𝜑1 , … , 𝜑𝑛 в ИП?
2. Что такое тавтология в ИП?
3. Есть ли среди аксиом ИВ и ИП одинаковые?
4. Как, применяя понятие терма, можно построить подсистему, порожденную множеством,
для данной системы?
5. Что такое логическое следствие в логике предикатов?
6. Определить понятие противоречивого множества формул логики предикатов.
7. Сформулировать и доказать утверждения, эквивалентные понятию логического следствия.
К темам 11-12:
1. Какие формулы исчисления предикатов называются пропозиционально эквивалентными?
2. Какие формулы исчисления предикатов называются эквивалентными?
3. Доказать основные эквивалентности исчисления предикатов.
4. Что такое пренексная нормальная форма для формул исчисления предикатов?
5. Доказать теорему существования формулы, эквивалентной данной, находящейся в
пренексной нормальной форме.
К теме 13-15:
1. Сформулировать связь между понятиями алгоритма, машины Тьюринга и рекурсивными
функциями.
2. Дать определения машины Тьюринга, примитивно рекурсивной функцией, частично
рекурсивной функцией.
3. Доказать, что простейшие арифметические операции вычислимы по Тьюрингу.
4. Доказать, что простейшие арифметические операции являются примитивно рекурсивными
функциями.
5.3 Контрольные работы
Контрольная работа №1
Привести данную формулу АВ к СДНФ (СКНФ) двумя способами: по таблице истинности и с
помощью элементарных преобразований. ((𝑥 ∧ ¬𝑧) ∨ ¬𝑦) → 𝑧 ∧ ¬(𝑥 → 𝑦).
Критерии оценки
№
5
Баллы
5
4
4
3
3
2
1-2
1
0
Описание
Задание выполнено полностью и абсолютно правильно.
Задание выполнено полностью и правильно, но решение содержит некоторые
неточности и несущественные ошибки.
Задание выполнено не полностью, с существенными ошибками, но подход к
решению, идея решения, метод правильны.
Задание выполнено частично, имеет ошибки, осуществлена попытка решения на
основе правильных методов и идей решения.
Задание не выполнено.
Контрольная работа №2
Пусть , ,  - формулы исчисления высказываний. Построить вывод формулы исчисления
высказываний из данного множества гипотез.
  ,    ⊢     
Критерии оценки
№
5
Баллы
5
4
4
3
3
2
1-2
1
0
Описание
Задание выполнено полностью и абсолютно правильно.
Задание выполнено полностью и правильно, но решение содержит некоторые
неточности и несущественные ошибки.
Задание выполнено не полностью, с существенными ошибками, но подход к
решению, идея решения, метод правильны.
Задание выполнено частично, имеет ошибки, осуществлена попытка решения на
основе правильных методов и идей решения.
Задание не выполнено.
Контрольная работа №3
1. Написать формулу Ф(х, 𝑦, 𝑧), истинную в алгебраической системе N;,, тогда и только
тогда, когда 𝑥 делится на 𝑦 с остатком 2.
2. Пусть , , ,  – формулы логики предикатов, x  x1 ,  , x n
и x  x1 ,  , x n  .
Докажите, что ( x, x ), x(( x, x )  ( x, x )) ⊨ x ( x, x ) .
Критерии оценки
№
5
Баллы
6
4
5
3
4
2
2-3
1
0
Описание
Задание выполнено полностью и абсолютно правильно.
Задание выполнено полностью и правильно, но решение содержит некоторые
неточности и несущественные ошибки.
Задание выполнено не полностью, с существенными ошибками, но подход к
решению, идея решения, метод правильны.
Задание выполнено частично, имеет ошибки, осуществлена попытка решения на
основе правильных методов и идей решения.
Задание не выполнено.
5.4 Индивидуальные домашние работы
ИДЗ «Алгебраические системы»
1. Проверить истинность соотношений тремя способами (используя определение
логического следствия и пп. 3,4 теоремы 2. (см. уч. пособие Степанова А.А. Математическая
логика и теория алгоритмов).
x  y  z, x  y, z  ( x  y) ⊨ x  y .
2. Построить подсистему алгебраической системы 𝔄, порожденную множеством X (через
P(B) обозначен булеан множества B, т.е. множество всех подмножеств множества B) при 𝔄
= N;, X = {3,72}.
3. Пусть , ,  - атомарные формулы логики предикатов. Выписать все подформулы
данной

формулы
и
определить
свободные
и
связанные
переменные
формулы
((xy( x, y )  xy ( x, y ))  y( x, y )).
Критерии оценки
№
Баллы
6
6
5
5
3-4
3-4
2
1-2
1
0
Описание
Текст задачи оригинален. Задание выполнено полностью и абсолютно
правильно.
Задание выполнено полностью и правильно, но решение содержит
некоторые неточности и несущественные ошибки.
Задание выполнено не полностью, с существенными ошибками, но
подход к решению, идея решения, метод правильны.
Задание выполнено частично, имеет ошибки, осуществлена попытка
решения на основе правильных методов и идей решения.
Задание не выполнено.
ИДЗ «Пренексная нормальная форма (ПНФ) для формул ЛП»
1. Пусть  - формула исчисления предикатов. Построить вывод формулы исчисления
предикатов из данного множества гипотез yx( x, y) ⊢ yz( y, z ) .
2. Пусть , ,  – атомарные формулы логики предикатов. Привести следующие
формулы логики предикатов к пренексной нормальной форме

((xy( x, y )  xy ( x, y ))  xy  ( x, y )).
Критерии оценки
№
Баллы
Описание
5
7
Задание выполнено полностью и абсолютно правильно.
Задание выполнено полностью и правильно, но решение содержит
4
6
некоторые неточности и несущественные ошибки.
3
4-5
2
1-3
1
0
Задание выполнено не полностью, с существенными ошибками, но
подход к решению, идея решения, метод правильны.
Задание выполнено частично, имеет ошибки, осуществлена попытка
решения на основе правильных методов и идей решения.
Задание не выполнено.
ИДЗ «Машины Тьюринга»
Построить машину Тьюринга, вычисляющую следующую функцию
𝑥 − 1, если 𝑥 делится на 2 ,
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑦 − 1, в остальных случаях.
Критерии оценки
№
Баллы
Описание
5
7
Задание выполнено полностью и абсолютно правильно.
Задание выполнено полностью и правильно, но решение содержит
4
6
некоторые неточности и несущественные ошибки.
Задание выполнено не полностью, с существенными ошибками, но
3
4-5
подход к решению, идея решения, метод правильны.
Задание выполнено частично, имеет ошибки, осуществлена попытка
2
2-3
решения на основе правильных методов и идей решения.
1
0
Задание не выполнено.
ИДЗ «Примитивно рекурсивные функции»
0, если 𝑥 = 0,
примитивно рекурсивна.
1, если 𝑥 > 0.
Доказать, что функция 𝑠𝑔(𝑥) = {
Критерии оценки
№
Баллы
Описание
5
7
Задание выполнено полностью и абсолютно правильно.
Задание выполнено полностью и правильно, но решение содержит
4
6
некоторые неточности и несущественные ошибки.
Задание выполнено не полностью, с существенными ошибками, но
3
4-5
подход к решению, идея решения, метод правильны.
Задание выполнено частично, имеет ошибки, осуществлена попытка
2
1-3
решения на основе правильных методов и идей решения.
1
0
Задание не выполнено.
ИДЗ «Частично рекурсивные функции»
log 𝑦 𝑥 , если 𝑥 делится на 3,
частично рекурсивна.
log 𝑥 𝑦 в остальных случаях
Доказать, что функция 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
Критерии оценки
№
Баллы
Описание
5
7
4
6
3
4-5
2
1-3
1
0
Задание выполнено полностью и абсолютно правильно.
Задание выполнено полностью и правильно, но решение содержит некоторые
неточности и несущественные ошибки.
Задание выполнено не полностью, с существенными ошибками, но подход к
решению, идея решения, метод правильны.
Задание выполнено частично, имеет ошибки, осуществлена попытка решения на
основе правильных методов и идей решения.
Задание не выполнено.