Уральский федеральный университет имени первого президента России Б.Н.Ельцина Институт естественных наук

Уральский федеральный университет
имени первого президента России Б.Н.Ельцина
Институт естественных наук
Специализированный учебно-научный центр
IV Уральский физический турнир
для учащихся 8-10 классов памяти
А.И.Кроткого
Личная олимпиада
РАЗБОР ЗАДАНИЙ
8 класс
1.Впереди паровоза.
Паровоз двигается по направлению с юга на север. Возможна ли ситуация, чтобы
дым из трубы этого движущегося паровоза двигался также на север со
скоростью, большей скорости паровоза? Приведите подробное объяснение своей
точки зрения.
РЕШЕНИЕ:
Дым представляет собой несгоревшие частицы топлива (дров или угля).
Поднятые вверх по трубе горячим воздухом эти частицы вылетают наружу.
Обычно дым отклоняется против хода паровоза, так как частицы дыма сносятся
встречным воздухом. Если вдоль движения паровоза будет дуть ветер со
скоростью, равной скорости паровоза, то дым будет подниматься вверх. Если же
скорость попутного ветра относительно земли будет превосходить скорость
паровоза, то частицы дыма будут двигаться быстрее паровоза.
2.Такие одинаковые, но разные вёдра.
Взяли два одинаковых ведра цилиндрической формы. Ко дну одного из них
изнутри был приморожен ледяной кубик. Затем в оба ведра налили до самого
верха воду и поставили их на рычажные весы. Будут ли весы в равновесии? Если
равновесия не будет, то какое из вёдер перетянет?
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим в ведре с водой объём, равный объёму льда в другом ведре. Так как
плотность льда меньше, то и масса льда меньше массы воды такого же объёма.
Следовательно, ведро со льдом весит меньше. Поэтому чашка весов, на которой
стоит ведро с водой и льдом поднимется вверх. То есть перетянет ведро без льда.
Ответ: перетянет ведро без льда.
3.Черепахи
Первую треть пути черепаха проползла равномерно за 1 час, вторую треть тоже
равномерно, но уже за 2 часа, третью –равномерно за три часа. Средняя скорость
черепахи оказалась равной 2 см/с. Чему равны скорости черепахи на всех
участках?
РЕШЕНИЕ:
Средняя скорость черепахи равна
S
,
Vcp 
t1  t 2  t3
где S – путь черепахи.
Тогда скорость черепахи на первом участке равна
S Vcp (t1  t 2  t3 )
см
.
V1 

; V1  4
3t1
3t1
с
Скорость черепахи на втором участке равна
S Vcp (t1  t 2  t3 )
см
.
V2 

; V2  2
3t 2
3t 2
с
Скорость черепахи на третьем участке равна
S Vcp (t1  t 2  t3 )
4 см
.
V3 

; V3 
3t3
3t3
3 с
Ответ: 4 см/с, 2 см/с, 4/3 см/с.
4.Плотномер.
Профессор Буравчик изобрёл устройство,
измеряющее плотность жидкостей. Опустив это
устройство в банку, он стал наливать туда же
однородную жидкость А. Этому процессу
соответствует график 1-2. Затем профессор стал
добавлять в ту же банку однородную жидкость Б.
Этот процесс на графике представлен отрезком 23. Найдите плотность жидкости Б. Считать, что
жидкости не растворяются друг в друге и никаких химических реакций между
ними нет. При смешивании жидкостей с разными плотностями эти жидкости
мгновенно перемешиваются. Представленный график показывает зависимость
плотности налитой в банку жидкости от налитого объёма.
РЕШЕНИЕ:
Введём следующие обозначения:
m1 , 1 , V1 - масса, плотность и объём соответственно для жидкости А,
m2 ,  2 , V2 - масса, плотность и объём соответственно для жидкости Б,
m  m1  m2 ,  , V  V1  V2 - масса, плотность и объём соответственно для смеси
жидкостей.
Запишем выражение для плотности смеси

m m1  m2 1V1   2V2


.
V
V
V
Из последнего выражения найдём плотность жидкости Б
V  1V1   2 V  V1  ,
2 
V  1V1
V  V1
.
кг
кг
 90  10 6 м 3  2,0  10 3 3  60  10 6 м 3
3
кг
м
м
2 
 5,0  10 3 3 .
6
3
30  10 м
м
V  1V1
кг
Ответ:  2 
,  2  5,0  10 3 3 .
V  V1
м
3,0  10 3
5. Шар с цепью.
К шару массой 10 кг, диаметром 30 см и объемом 14,1 л прикреплена одним
концом железная цепь, другой конец которой свободен. Длина цепи 3 м, масса 9
кг. Шар с цепью находится в водоеме, глубина которого 3 м. Определите
глубину, на которой будет плавать шар. Считать, что железо тяжелее воды в 7,85
раз.
РЕШЕНИЕ:
Решение задачи усложняет то, что
- часть цепи лежит на дне.
- нужно учитывать силу Архимеда, действующую на «висящую часть».
Объем висящей части цепи лучше выразить через массу.
mш  mц  в (Vш  жц )
m
Решая это уравнение, найдем массу висящей части цепи:
mц  ( вVш  mш ) : (1  жв )
Подставив числа, получим 4,7 кг. Так как длина цепи пропорциональна ее
массе, то полученный результат соответствует длине 1,57 м. Прибавив к этому
результату радиус шара, получим расстояние от дна –1,87 м. Это соответствует
глубине 1,13 м.
Ответ: 11,3 м.
9 класс
1.Стометровка
Спортсмен, пробежав стометровку, начал останавливаться в момент пересечения
линии финиша и полностью остановился на расстоянии 5 метров за ней.
Определите, за какое время спортсмен пробежал дистанцию, если его
наибольшая скорость была Vmax=10м/с. Считать что при разгоне, и при
торможении скорость спортсмена менялась равномерно, время разгона и время
торможения одинаковы.
РЕШЕНИЕ:
Если время движения при разгоне и торможении одинаковы, также
начальная скорость при разгоне равна конечной скорости при торможении (0),
конечная скорость при разгоне равна начальной скорости при торможении
(Vmax=10м/с), то одинаковы и пути, который пробежал спортсмен при разгоне и
торможении. Таким образом, при движении с постоянной скоростью он
95
пробежал 95 м. Время движения на этом участке равно t 2 
 9,5 c .
10
Определим ускорение при разгоне и торможении а
2
2ad  Vmax
;
2
Vmax
м
a
; a  10 2 .
2d
с
Время движения при разгоне и торможении равно
V
t1  max ; t1  1 c .
a
Всё время бега спортсмена равно
t  2t1  t 2 ; t  11,5 c .
Время прохождения дистанции 10,5 с.
Ответ: 10,5 с.
2. Вольтметры
Напряжение источника U = 12 В. В схеме использованы
одинаковые вольтметры. Найти их показания.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим сопротивление вольтметра RV . Полное
сопротивление цепи R равно
R
R
3
R  V  V  RV .
2
4 4
Два левых вольтметра соединены параллельно, а четыре
правых вольтметра, соединённых также параллельно, подсоединены к ним
последовательно.
Ток в подводящих проводах равен
U 4 U
.
I  
R 3 RV
Ток через пару левых вольтметров одинаков и равен
I 2 U
.
I1   
2 3 RV
Тогда показания левых вольтметров одинаковы и равны
V1  I 1  RV ;
V1  8 В.
Ток через четыре правых вольтметра одинаков и равен
I 1 U
.
I2   
4 3 RV
Показания четырёх правых вольтметров одинаковы и равны
V2  I 2  RV ;
V2  4 В.
Ответ: левые вольтметры показывают 8 В, правые – 4 В.
3.Шар в аквариуме
В небольшом цилиндрическом аквариуме у дна находится шар, наполненный
воздухом. С течением времени шар сдувается. На сколько опуститься уровень
жидкости в аквариуме (ответ выразите через радиус шарика)? Объёмом
оболочки пренебречь. Радиус шара в два раза меньше радиуса аквариума.
Примечание: объём шара равен
4
  r 3 , где r – радиус шара.
3
РЕШЕНИЕ:
4
  r 3 , где r – радиус шара. Когда шар сдулся,
3
этот объём заняла жидкость, объём которой равен объёму цилиндра R 2 h , где R
– радиус основания цилиндра, h – высота, на которую уменьшился уровень
Объём воздушного шара равен
жидкости в аквариуме. Объёмы эти равны
4
  r 3  R 2 h .
3
По условию R  2r . Подставим эти данные в формулу
4
  r 3   2r 2 h  4  r 2 h .
3
Откуда сразу же следует ответ
4  r 3
r
 .
2
3
3  4  r
r
Ответ: h  .
3
h
4.Метеоритная жидкость
Из упавшего на Землю метеорита в лаборатории была получена и помещена в
закрытый сосуд загадочная бесцветная жидкость. Температура жидкости в
закрытом сосуде всегда имела одно и то же значение T0 . Когда сосуд открыли,
жидкость при контакте с земной атмосферой повела себя странно:
1
часть всей
4
массы жидкости мгновенно испарилась, при этом оставшаяся жидкость остыла
на T . Далее, оставшаяся в сосуде жидкость разделилась на две части – синюю
и зелёную. Синяя нагрелась до первоначальной температуры T0 , а зелёная остыла
T0
1
. Масса синей жидкости составила также часть массы всей
4
2
находящейся в закрытом сосуде. Найдите T . Удельные
до температуры
жидкости,
теплоёмкости всех веществ одинаковы. Считать, что после испарения
оставшаяся жидкость представляет собой замкнутую систему.
РЕШЕНИЕ:
Пусть m – первоначальная масса жидкости в сосуде, с – удельная теплоёмкость
всех веществ. Из условия задачи известно, что масса испарившейся жидкости
равна
1
1
m , масса синей жидкости равна m , тогда масса зелёной жидкости будет
4
4
1
m . Так как после испарения систему можно рассматривать как замкнутую,
2
применим к ней уравнение теплового баланса
QС  QЗ  0 ,
с
m
T0  T0  T   c m  T0  T  T0   0 .
4
2
2
где QС – количество теплоты, полученное синей жидкостью от зелёной, QЗ –
количество теплоты, отданное зелёной жидкостью.
Из последнего уравнения выразим искомую величину
1
1 T

T   0  T   0 ,
4
2 2

T  T0 .
1
1
1T
T  T   0 ,
4
2
2 2
Ответ: T  T0 .
5.Пиротехнический аттракцион
К концу горизонтального невесомого стержня прикреплена тарелочка с
горючим веществом. Расстояние от тарелочки до оси вращения стержня L
(размеры тарелочки малы по сравнению с L ). На другом конце стержня стоит
мальчик массой m . В тот момент, когда тарелочку поджигают, мальчик начинает
бежать с постоянной скоростью
вдоль стержня так, что стержень
остаётся в равновесии. Найдите
скорость мальчика, если вещество
в тарелочке сгорает с постоянной
скоростью  . Массой тарелочки пренебречь.
M  M0 M0  M
M


показывает изменение
t
t
t
массы горючего вещества со временем, где M 0 – масса вещества в момент
Примечание. Величина   
времени t , M – масса вещества в момент времени t  t .
РЕШЕНИЕ:
На стержень действуют
следующие силы: сила
тяжести
тарелочки
с
веществом и сила тяжести
мальчика. В любой момент
времени стержень уравновешен, поэтому запишем условие равновесия стержня
(равновесие моментов) для момента времени t  0
M 0 gL  mgl0
И для момента времени t  t
MgL  mgl .
Вычтем из первого уравнения второе
M 0  M gL  mgl0  l 
Поделим на промежуток времени t
M0  M
l l
Lm 0
.
t
t
Известно, что
M0  M
l l
  , а выражение 0
равно скорости движения мальчика
t
t
v,
L  mv .
Скорость мальчика равна
v
L
m
.
Ответ: v 
L
m
.
10 класс
1.Скорость звука
В глубине озера на большом расстоянии друг от друга находятся две маленькие
подводные лодки А и Б. Лодка А неподвижна и через одинаковые промежутки
времени излучает кратковременные (длительность сигнала много меньше, чем
моменты времени между сигналами) звуковые сигналы, которые расходятся во
все стороны в виде сферических поверхностей. Лодка Б движется с постоянной
м
вдоль прямой, соединяющей А и Б. Если Б удаляется от А,
с
то Б слышит звуковые сигналы, повторяющиеся каждые t1  2,00с , а если
скоростью v  100
приближается, то слышит каждые t 2  1,00с . Найдите скорость звука в этом
озере при этих условиях. Считайте, что лодки находятся на одной глубине вдали
от поверхности и дна озера. Скорость звука постоянна и одинакова по всем
направлениям. Затуханием звука с расстоянием пренебречь.
РЕШЕНИЕ:
Пусть v - скорость лодки Б, u - скорость
звука в воде. Если лодка Б неподвижна
(рис.1), то один из звуковых сигналов из
положения 1 через промежуток времени
t
попадает в положение 2 и
принимается лодкой Б. За время t этот
сигнал прошёл расстояние ut .
Теперь рассмотрим движение лодки Б
(рис2). Сигнал находится в положении 1,
лодка Б находится в положении Б2. Когда
лодка Б попала в положение Б3, её догнал
этот сигнал. Исходя из рисунка можно
записать соотношение
ut1  ut  vt1
Если лодка Б движется навстречу лодки А (рис.3), то из рисунка следует, что
ut  ut 2  vt 2 .
Выразим из первого уравнения ut , подставим во второе и найдём скорость
звука,
u  vt1  u  vt 2 ,
t1  t 2
.
t1  t 2
м 2,00с  1,00с
м
u  100
 300 .
с 2,00с  1,00с
с
t  t 2
м
Ответ: u  v 1
, u  300 .
t1  t 2
с
uv
2.Фотосопротивление
Проволочный каркас в виде равностороннего треугольника с длиной стороны L
спаян из фотосопротивлений, проводимость которых зависит от того, как они
освещены. В тени сопротивление, приходящееся
на единицу длины, равно ρ, а на солнце

. Тень
2
от Солнца движется со скоростью V как показано
на рисунке. Построить график зависимости
сопротивления R(t) между точками А и В от
времени t. В начальный момент времени вся
система освещена, граница тени находится ниже
точки В.
РЕШЕНИЕ:
Когда вся система находится на солнце, то её сопротивление равно
3
R0  L (сопротивления левой и правой ветви схемы, которые соединены
8
3
3
параллельно, одинаковы и равны L , так как длина каждой ветви L , а
4
2
сопротивление единицы длины

).
2
Пусть в момент времени t1 граница тени достигает точки В. Когда тень
полностью «поглотит» нижнюю проволоку, то сопротивление системы скачком
увеличится, так как у стороны треугольника, содержащей точку В,
сопротивление единицы длины станет равным  . В момент t1 сопротивление
L 
одной ветви будет равно   L  L , а сопротивление всей конструкции
2 2
1
R1  L .
2
Пусть в тень попала часть
конструкции длины x  Vt . Длина
стороны треугольника, которая попала в
тень, равна
x
2Vt
.
l

0
cos 60
3
Сопротивление одной ветви теперь
равно
L
2Vt  
2Vt 
Vt
.
 
 L 
  L 
2
3 2
3
3
Сопротивление всей конструкции равно
1 
Vt 
R(t )    L 
.
2 
3
Тень будет двигаться от точки В к точке А в течение времени Т
L cos L 3
.
T

V
2V
Сопротивление конструкции в этот момент времени равно
3
R(T )  L .
4
График
зависимости
сопротивления
от
времени
представлен на рисунке.
Ответ: см.рис.
3. Каша по-гусарски. Расположившись на привале, два отряда гусар решили
разогреть кашу, которую взяли с собой в поход. У каждого отряда была своя
кастрюля с кашей. Развести огонь было невозможно. Первый отряд поступил так
– гусары встали возле кастрюли с кашей и одновременно выстрелили в кашу из
пистолетов. Все пули застряли в каше. Известно, что пули массой 10г каждая
м
с
обрыва и сбросил вниз с высоты 100 м . В обоих случаях каша нагрелась до одной
влетали в кашу со скоростью 200 . Второй отряд поднял кастрюлю на край
и той же температуры. Сколько каши досталось каждому гусару? Считайте, что
кастрюли с кашей совершенно одинаковые. Вся механическая энергия идёт
только на нагрев каши. Масса кастрюли мала по сравнению с массой каши. При
падении кастрюля не деформируется и не разрушается. В каждом отряде равное
количество гусар.
РЕШЕНИЕ:
Пусть N – количество гусар в одном отряде. Пули, выпущенные первым
отрядом, застряли в каше. Каждая пуля обладала кинетической энергией
mv 2
,
2
где m1 – масса пули, v – скорость пули. Значит, при торможении пуль каше была
m1v 2
сообщена энергия N
. Второй отряд, сбросив кастрюлю с обрыва, разогрел
2
кашу за счёт потенциальной энергии каши mgh , где m – масса каши. Так как
каша нагрелась до одной и той же температуры, то на нагрев было затрачено
одинаковое количество энергии, поэтому
m1v 2
N
 mgh .
2
Масса каши, приходящаяся на одного гусара
m m1v 2
.

N
2 gh
2
м

10  10 кг   200 
m
с


 0,20кг .
Н
N
2  9,8  100 м
кг
m m v2 m
Ответ:  1 ,  0,20кг .
N
2 gh N
3
4. Движущийся стол
Стол массы М = 15 кг может
перемещаться
без
трения
по
горизонтальному полу. На столе лежит
груз массой m = 10 кг. К грузу
прикреплена верёвка, перекинутая через
два блока, закреплённых на столе.
Коэффициент трения между столом и
грузом равен  = 0,6. С каким ускорением
будет двигаться стол, если к свободному концу верёвки приложить постоянную
силу, равную F = 80 Н? Рассмотреть два случая: а) сила направлена
горизонтально; б) сила направлена вертикально вверх.
РЕШЕНИЕ:
Для того, чтобы не загромождать рисунок, отдельно рассмотрим силы,
действующие на тело и силы, действующие на стол.
а) рассмотрим случай, когда сила
направлена горизонтально. На тело
массой m действуют – сила тяжести

mg , сила реакции стола N m , сила

трения Fтр , сила натяжения нити Т,
Запишем второй закон Ньютона для
этого тела в проекциях на вертикальное
и горизонтальное направления
mam  T  Fтр ;
N  mg.
Так как сила трения равна Fтр  kN  kmg , а сила натяжения нити равна T  F ,
то ускорение тела равно
F
am   kg;
m
м
am  2 2 .
c
Рассмотрим силы, действующие на стол. Так как со столом жёстко связаны
блоки, то при рассмотрении движения стола следует кроме сил, действующих
непосредственно на стол, принимать во внимание ещё силы, действующие на
блоки. Силы, действующие на стол и блоки, изображены на рисунке. Второй
закон Ньютона для стола в проекциях на вертикальное и горизонтальное
направления имеет вид
N M  F  F  P  Mg;
MaM  F  F  Fтр ;
Fтр  kNm  kmg.
Следовательно,
N M  (m  M ) g ;
m
g;
M
м
aM  4 2 .
с
aM  k
б)Теперь рассмотрим случай, когда сила F направлена вертикально. Силы,
действующие на тело, остаются прежними, а силы, действующие на стол,
изображены на рисунке.
N M  F  F  F  P  Mg;
MaM  Fтр  F ;
Fтр  kNm  kmg.
Следовательно,
N M  (m  M ) g  F ;
m
F
g ;
M
M
4 м
aM  
.
3 с2
Знак «минус» у ускорения означает, что стол будет двигаться влево, а не вправо,
как в случае а).
Ответ: а) стол движется вправо с ускорением 4 м/с2, б) стол движется влево с
ускорением -4/3 м/с2.
aM  k
5.Н-образная трубка
Какой максимальный объём воды плотностью ρ1 = 1,0 г/см3
можно налить в H-образную несимметричную трубку с
открытыми верхними концами, частично заполненную
маслом плотностью ρ2 = 0,8 г/см3? Площадь горизонтального
сечения вертикальных частей трубки равна S. Объёмом
горизонтальной
части
трубки
можно
пренебречь.
Вертикальные размеры трубки и высота столба масла
Рис. 5
приведены на рисунке 5 (высоту h считать заданной).
Примечание. Затыкать открытые концы трубки, наклонять её или выливать из
неё масло запрещено.
РЕШЕНИЕ:
Важно, чтобы в коротком колене осталось как можно меньше масла. Тогда
в высокой трубке можно будет создать столб максимальной высоты,
превышающей 4h. Для этого начнём наливать воду в правое колено. Так будет
продолжаться до тех пор, пока уровень воды не достигнет 2h в правом колене, а
уровень масла, соответственно, – 3h в левом. Дальнейшее вытеснение масла
невозможно, так как граница раздела масло-вода в правом колене станет выше
соединительной трубки, и в левое колено начнёт поступать вода. Процесс
добавления воды придётся прекратить, когда верхняя граница масла в правом
колене достигнет верха колена. Условие равенства давлений на уровне
соединительной трубки даёт:
(2h  x)  0,81  1h  0,81h,
откуда x = 0,25h. Окончательно, воды удалось налить 4,25h.
Ответ: 4,25h.