Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x -a-1 -a 0 -5 Ульяновск 2015 х Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В. Баринова; — Ульяновск: 2015.— 55 с. Данные методические рекомендации являются продолжением работы [9] авторов. Рассмотрены различные типы задач с параметром, соответствующие курсу математики средней школы, и методы их решения. В частности, среди них задачи С5 (20 в 2015 г.) подготовительных, репетиционных и реальных вариантов контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2010г. - 2015г. Набор задач для самостоятельного решения достаточно разнообразен как по уровню сложности, так и по охвату тем, и может быть использован для реализации спецкурса, составления вариантов контрольных работ и пробных экзаменов. Рекомендации помогут учителям математики подготовить учащихся к ЕГЭ. Некоторые материалы данных рекомендаций могут быть использованы в девятых и десятых классах. Предназначены для учителей математики и учащихся. Рецензент: Мухаметзянова Ф.С., Заслуженный учитель РФ. ©Штраус Л.А., Баринова И.В., 2015. 2 Введение Умение решать задачи с параметром во многом является залогом достижения высокого результата на ЕГЭ. Сами учащиеся довольно успешно пытаются овладеть этим умением: результаты ЕГЭ показывают, что коэффициент решаемости задачи С5 (20) в несколько раз выше, чем для задач С4 (18) и С6 (21), да и в баллах задача С5 оценивается выше, чем объективно более тяжёлая С4. Тем самым организаторы ЕГЭ стимулируют изучение школьниками разделов программы, связанных с вузовским курсом, таких, как применение производной к исследованию функций и построению графиков. Можно знать геометрические теоремы и приёмы решения задач, освоить большой объём упражнений и всё же не решить задачу по планиметрии, поскольку необходимые ходы подчас нелегко заметить. В этом смысле задачи с параметром представляют собой более благодарный материал. К специфике решения таких задач, заключающейся в основном в учёте всех возможных ситуаций и исследовании изменения характера решений в зависимости от параметра, можно подготовиться. Методы их решения в основном алгоритмичны и знание нескольких способов, наличие аналитической и графической культуры с высокой долей вероятности приведут к успеху. Изменилось отношение учителей к задачам с параметром. Если раньше такие задачи в основном содержались в вариантах вступительных экзаменов в вузы с повышенными требованиями к знаниям абитуриентов по математике и по этой причине учителя дистанцировались от них, то теперь они стали неотъемлемой частью вариантов ЕГЭ. Это обязывает вникать в соответствующую тематику, совершенствовать свои знания и методику изучения темы. Данное пособие поможет в этом учителям, а также учащимся, которые могут пользоваться пособием самостоятельно. В основу работы положены как уже используемые авторами в течение многих лет классические материалы и задачи [6,7], так и задачи ЕГЭ последних лет, включая 2015 год. Используя имеющийся положительный опыт изложения материала [8,9], авторы старались максимально охватить как методы решения, так и типы задач и вместе с тем стремились к лаконичности, ибо имеющиеся пособия (например[3, 4],) чрезмерно объёмны. Следует помнить о том, что в вариантах есть и другие задачи, и что у учащихся есть экзамены по другим предметам. Набор задач для самостоятельного решения достаточно широк как по уровню сложности, так и по охвату тем и может быть использован как для реализации спецкурса с развитием и закреплением необходимых навыков, так и для составления вариантов контрольных работ и пробных экзаменов. Следует отметить, что дополнительное изучение данной темы способствует формированию 3 математического стиля мышления, развитию творческих способностей, метапредметных умений, а также положительно отражается на общем результате экзамена, поскольку автоматически повышается уровень логической и графической культуры учащихся, совершенствуются знания по началам анализа, тригонометрии, методам решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Содержание Введение…………………………………………………………….3 1. Простейшие задачи: линейные уравнения, системы, ……………………..5 неравенства, иррациональные уравнения и неравенства, метод интервалов. 2. Расположение корней квадратного трёхчлена и свойства параболы…….9 3. Замена переменной………………………………………………………….12 4. Графический метод………………………………………………............. 14 4.1. Преобразование графиков функций; движение графика…………….14 по траектории. 4.2. Решение в системе координат (х,а);метод областей…………………21 4.2. Окружности……………………………………………………………..27 4.4. Использование функции 𝒚 = |𝒙 − 𝒙𝟏 | + |𝒙 − 𝒙𝟐 |. …………………31 5. Оценка значений выражений………………………………………………32 6. Принцип симметрии………………………………………………………..34 7. Введение вспомогательной функции…………………………………......36 8. Применение производной……………………………………………….....37 9. Задачи для самостоятельного решения……………………………………42 10. Литература………………………………………………………………….54 4 1. Простейшие задачи: линейные уравнения, системы, неравенства, иррациональные уравнения и неравенства, метод интервалов. Решим несколько задач, требующих только внимания, «деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом» [3] и никаких специальных знаний. Вместе с тем, они иллюстрируют специфику задач с параметром. Пример 1. Решить уравнение (𝑎2 − 3𝑎 + 2)𝑥 = 𝑎 − 1. Решение. Найдём корни квадратного трёхчлена в левой части уравнения и запишем его в виде (𝑎 − 1)(𝑎 − 2)𝑥 = 𝑎 − 1. При 𝑎 = 1 уравнение принимает вид 0 ∙ 𝑥 = 0. Любое действительное значение х удовлетворяет уравнению. При а=2 получаем 0 ∙ 𝑥 = 1, уравнение решений не имеет. При 𝑎 ≠ 1 и 𝑎 ≠ 2 𝑎−1 𝑥 = (𝑎−1)(𝑎−2) = 1 𝑎−2 . Ответ: при 𝑎 = 1 𝑥 ∈ (−∞; +∞), при 𝑎 = 2 решений нет, при 1и 𝑎 ≠2 𝑥 = 1 𝑎−2 𝑎≠ . Пример 2. При каких значениях а для всех х, принадлежащих промежутку (−1; 1), выполняется неравенство (3 − 3𝑎)𝑥 + 2𝑎2 − 3𝑎 + 1 > 0? Решение. Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) = 3(1 − 𝑎)𝑥 + 2𝑎2 − 3𝑎 + 1. Она является линейной относительно х. Требуемое неравенство выполняется тогда и только тогда, когда значения функции неотрицательны на концах промежутка, причём, не равны нулю одновременно: 𝑓(−1) ≥ 0, 𝑓(−1) > 0, 𝑎2 − 1 > 0, 𝑎2 − 1 ≥ 0, или { то есть { 2 или { 2 { 𝑓(1) > 0 𝑓(1) ≥ 0 , 𝑎 − 3𝑎 + 2 ≥ 0, 𝑎 − 3𝑎 + 2 > 0 𝑎 ∈ (−∞; −1] ∪ (2; +∞) или 𝑎 ∈ (−∞; −1) ∪ [2; +∞). Объединяем множества и получаем ответ. Ответ: (−∞; −1] ∪ [2; +∞). Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 𝑎𝑥 2 +𝑥+1 𝑥−1 =0 имеет единственное решение. Решение. Мы ищем решение уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0 (1) при условии 𝑥 ≠ 1. Возможны следующие случаи: 1. Уравнение (1) линейное, 𝑎 = 0, 𝑥 + 1 = 0, 𝑥 = −1. 2. Уравнение (1) квадратное, его дискриминант равен нулю: D = 1 − 4𝑎 = 0, 𝑎 = 1 4 , 𝑥 = −2. 3. Уравнение (1) квадратное, D > 0, один из корней равен 1: 1 𝑎 + 2 = 0, 𝑎 = −2, −2𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0, 𝑥 = 1 или 𝑥 = − . 2 1 Ответ: 0; ; −2. 4 5 Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых 𝑎2 + 1 = 𝑎𝑥 + 3𝑦, система { 2 не имеет решений. 5𝑎 + 5 = (3𝑎 + 14)𝑥 + (𝑎 + 8)𝑦 Решение. Выразив y из первого уравнения системы и подставив во второе, получим систему, равносильную исходной: 𝑦= 𝑎2 +1−𝑎𝑥 , 3 { 𝑎2 +1−𝑎𝑥 (𝑎 + 8) + (3𝑎 + 14)𝑥 = 5𝑎2 + 5. 3 После преобразований второе уравнение принимает вид (𝑎 − 7)(𝑎 + 6)𝑥 = (𝑎 − 7)(𝑎2 + 1). Каждому x, удовлетворяющему этому уравнению, отвечает единственное значение y, которое находим из первого уравнения. Получаем: если 𝑎 ≠ 7, 𝑎 ≠ −6, то 𝑥 = 𝑎2 +1 𝑎+6 и система имеет единственное решение; если a=7, то 0 ∙ 𝑥 = 0 , 𝑥 ∈ R- бесчисленное множество решений; если 𝑎 = −6, то 0 ∙ 𝑥 = −13 ∙ 37 - нет решений. Ответ: -6. Пример 5. Для любых значений а решить неравенство 5 − 𝑎 > (4 − 𝑎)√𝑥 − 3. Решение. Если 𝑎 < 4, то исходное неравенство равносильно 5−𝑎 2 5−𝑎 неравенствам √𝑥 − 3 < , 3 ≤ 𝑥 < ( ) + 3. При 4 ≤ 𝑎 < 5 неравенство 4−𝑎 4−𝑎 выполняется для 𝑥 ≥ 3, поскольку 5 − 𝑎 > 0, (4 − 𝑎)√𝑥 − 3 ≤ 0. 5 4 − 𝑎 < 0, 5−𝑎 2 5−𝑎 4−𝑎 При 𝑎 ≥ 5−𝑎 ≥ 0 и неравенство принимает вид √𝑥 − 3 > , 𝑥−3> 4−𝑎 5−𝑎 2 (4−𝑎) , 𝑥 > 3 + (4−𝑎) . Ответ: при 𝑎 < 4 при 𝑎 ≥ 5 5−𝑎 2 𝑥 ∈ [3; ( 4−𝑎 ) + 3), при 4 ≤ 𝑎 < 5 𝑥 ∈ [3; +∞), 5−𝑎 2 𝑥 ∈ (3 + ( 4−𝑎 ) ; +∞). Пример 6. Для любых значений а решить уравнение log 2 𝑥 + log 𝑎 𝑥 + log 4 𝑥 = 1. Решение. Преобразуем уравнение, учитывая условия 𝑥 > 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1: 3 log 2 𝑥 3 1 3 log 2 𝑎 + 2 log 2 𝑥 + = 1, log 2 𝑥 ( + log 2 𝑥 ∙ = 1. ) = 1, 2 log 2 𝑎 2 log 2 𝑎 2 log 2 𝑎 Находим отсюда х при условии 3 log 2 𝑎 + 2 ≠ 0, 𝑎 ≠ Ответ: 𝑥=2 2 log2 𝑎 3 log2 𝑎+2 при 1 3 √4 ∶ 𝑥=2 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑎 ≠ значениях 𝑎 решений нет. 6 1 3 √4 2 log2 𝑎 3 log2 𝑎+2 . ; при остальных Пример При 7. каких значениях а неравенство выполняется при любых значениях х? Решение. Рассматриваемое неравенство неравенству 2𝑥 2 +(3+𝑎)𝑥+2 𝑥 2 +𝑥+1 −3 < > 0, 𝑥 2 −𝑎𝑥+1 < 3. 𝑥 2 +𝑥+1 4𝑥 2 +(3−𝑎)𝑥+4 𝑥 2 +𝑥+1 Отсюда 𝑥 2 −𝑎𝑥+1 𝑥 2 +𝑥+1 равносильно получаем, должны >0 | что выполняться |<3 двойному неравенства при любых значениях х. Заметив, что квадратный трёхчлен 𝑥 2 + 𝑥 + 1 положителен при всех х (его дискриминант отрицателен), получаем, что при всех х должны быть справедливы неравенства 2𝑥 2 + (3 + 𝑎)𝑥 + 2 > 0, 4𝑥 2 + (3 − 𝑎)𝑥 + 4 > 0. Это выполняется, если дискриминанты квадратных трёхчленов отрицательны: (3 + 𝑎)2 − 16 < 0, −4 < 3 + 𝑎 < 4, ⟺{ ⟺ −5 < 𝑎 < 1. { 2 −8 < 3 − 𝑎 < 8 (3 − 𝑎) − 64 < 0 Ответ: (−5; 1). Метод интервалов в задачах с параметром требует особенно внимательного применения, поскольку расположение корней исследуемых выражений может значительно меняться в зависимости от параметра и требуется исследовать каждую из возможных ситуаций. Пример 8. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 𝑥−2𝑎−4 𝑥+3𝑎−2 ≤ 0 выполняется для всех х из отрезка [1; 3]. Решение. По условию корень знаменателя 𝑥1 = −3𝑎 + 2 не принадлежит отрезку [1; 3]. Возможны следующие случаи: 1. 𝑥1 > 3. Обозначим 𝑥2 = 2𝑎 + 4 - корень числителя. Тогда 𝑥2 ≤ 1 ( промежуток неположительности рассматриваемого выражения должен «накрывать» отрезок [1; 3], см. рис. 1; во всех остальных случаях, то есть при 1 < 𝑥2 < 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥1 или 𝑥2 > 𝑥1 значение исходного выражения в точке 1 положительно ). – + x2 1 + x1 x 3 Рис. 1 𝑥 > 3, 3 −3𝑎 + 2 > 3, Решаем систему { 1 то есть { : 𝑎≤− . 2 𝑥2 ≤ 1, 2𝑎 + 4 ≤ 1. 2. 𝑥1 < 1. Аналогично предыдущему получаем, что 1 −3𝑎 + 2 < 1, приходим к системе { Отсюда 𝑎 > . 3 2𝑎 + 4 ≥ 3. 3 1 Ответ: (−∞; − ] ∪ ( ; +∞). 2 𝑥2 ≥ 3 и 3 Пример 9. При каких значениях а ровно одно решение неравенства 𝑥 2 + (5𝑎 + 3)𝑥 + 4𝑎2 − 4 ≤ 0 удовлетворяет неравенству 𝑎𝑥(𝑥 − 4 − 𝑎) ≤ 0? 7 Решение. Условия задачи означают, что система данных неравенств имеет единственное решение. Квадратный трёхчлен 𝑥 2 + (5𝑎 + 3)𝑥 + 4𝑎2 − 4 5 имеет корни −𝑎 + 1 и −4𝑎 − 4, совпадающие при 𝑎 = − . 3 Возможны следующие случаи: 1. 5 8 𝑎 = − . Первое неравенство имеет единственное решение 𝑥 = − , 3 3 5 7 которое удовлетворяет второму неравенству − 𝑥 (𝑥 − ) ≤ 0. 3 3 2. а = 0. Решением первого неравенства является отрезок [−4; 1], все точки которого удовлетворяют второму неравенству, 0 ∙ 𝑥(𝑥 − 4) ≤ 0 которое выполняется для всех х. 3. Корни квадратного трёхчлена 𝑎𝑥(𝑥 − 4 − 𝑎) совпадают: а = - 4. Решением первого неравенства является отрезок [5; 12], все точки которого удовлетворяют второму неравенству −4𝑥 2 ≤ 0, которое выполняется для всех х. 4. Дискриминанты обоих квадратных трёхчленов положительны. Условиям задачи может удовлетворять только такая ситуация, когда трёхчлены имеют общий корень, поскольку в противном случае решением соответствующей системы неравенств является отрезок или объединение двух отрезков (рис. 2 соответствует одному из таких случаев) или решений нет. x Рис. 2 𝑥(𝑥 + 8) ≤ 0, Если -а+1=0, то а=1 . Система принимает вид { и имеет 𝑥(𝑥 − 5) ≤ 0 единственное решение x=0. 3 Если -а+1=4+ a, то 𝑎 = − . Система принимает вид 2 5 (𝑥 − 2) (𝑥 − ) ≤ 0, 2 { 5 𝑥 (𝑥 − ) ≥ 0 и имеет единственное решение x=0. 2 Если −4𝑎 − 4 = 0, то 𝑎 = −1. Система принимает вид { 𝑥(𝑥 − 2) ≤ 0, и 𝑥(𝑥 − 3) ≥ 0 имеет единственное решение x=0. 8 Если −4𝑎 − 4 = 4 + 𝑎, то 𝑎 = − . Система принимает вид 5 12 13 (𝑥 − 5 ) (𝑥 − 5 ) ≤ 0, { 12 𝑥 (𝑥 − ) ≥ 0 12 13 и имеет решение [ ; ]. 5 5 8 5 5 3 3 2 Ответ: − ; − ; ±1. Замечание. Задачу можно решить в системе координат (х,а) методом областей. Далее в связи с методом интервалов см. пример 40. 2. Расположение корней квадратного трёхчлена и свойства параболы. Расположение корней квадратного трёхчлена относительно нескольких точек можно определить с помощью нахождения значений трёхчлена в этих точках, дискриминанта, абсциссы вершины параболы. При этом удаётся избежать решения громоздких уравнений и неравенств, зачастую иррациональных. Типовые ситуации хорошо известны и подробно описаны в различных пособиях [3, 7]. В этом пункте мы ограничимся двумя примерами, другие нам встретятся ниже как вспомогательные. Обозначим 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Для того, чтобы корни 𝑥1,2 трёхчлена 𝑎 < 0, а 0, + { 𝑓(𝑎) > 0. f ( ) 0. х1 х2 х 𝛼 Рис. 3 𝑥1 𝑥2 – располагались по разные стороны от данной точки α, необходимо и достаточно, чтобы старший коэффициент а и 𝑓(𝛼) имели разные знаки (см. рис. 3): 𝑎𝑓(𝛼) < 0. (2) Пример 10. При каких а один корень уравнения 2𝑎𝑥 2 − 2𝑥 − 3𝑎 − 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1? Решение. В нашем случае неравенство (2) принимает вид 2𝑎(−𝑎 − 4) < 0, 𝑎(𝑎 + 4) > 0. Отсюда 𝑎 ∈ (−∞; −4) ∪ (0; +∞). Ответ: (−∞; −4) ∪ (0; +∞). Условия того, что корни квадратного трёхчлена 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 располагаются справа от точки α, задаются системой D > 0, + 𝑎𝑓(𝛼) > 0 , { 𝑏 𝑥0 = − 2𝑎 > 𝛼. х1 х0 х2 х1 х Рис. 4 – 9 х0 х2 х Далее типовые ситуации рассматривается в примерах 13, 14, 16. При 𝑎 > 0(𝑎 < 0) квадратичная функция 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 убывает (возрастает) при 𝑥 ≤ 𝑥0 , возрастает (убывает) при 𝑥 ≥ 𝑥0 и принимает наименьшее (наибольшее) значение в точке 𝑥0 . Пример 11. Найдите все значения а, при каждом из которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет нечётное число общих точек с графиком функции 𝑓(𝑥) = (3𝑎 + 2)𝑥 − (𝑥 − 1)|𝑥 − 𝑎|. Решение. Если 𝑥 ≤ 𝑎, то 𝑓(𝑥) = (3𝑎 + 2)𝑥 + (𝑥 − 1)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥 2 + (2𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎 и графиком функции является часть параболы, направленной ветвями вверх. Обозначим 𝑥0 = − 2𝑎+1 2 - абсциссу вершины параболы. Если 𝑥 > 𝑎 , то 𝑓(𝑥) = (3𝑎 + 2)𝑥 − (𝑥 − 1)(𝑥 − 𝑎) = −𝑥 2 + (4𝑎 + 3)𝑥 − 𝑎 . Парабола направлена ветвями вниз.Обозначим 𝑥1 = 4𝑎+3 2 . Таким образом, функция имеет вид 𝑥 2 + (2𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎 , −𝑥 2 + (4𝑎 + 3)𝑥 − 𝑎, 𝑥 ≤ 𝑎, 𝑥 > 𝑎. Возможны следующие случаи (в соответствии с принадлежностью точек 𝑥0 , 𝑥1 промежуткам 𝑥 < 𝑎 и 𝑥 > 𝑎 соответственно): 1. 𝑥0 < 𝑎, 𝑥1 > 𝑎 (рис.5) ; 2. 𝑥0 ≥ 𝑎, 𝑥1 > 𝑎 (рис .6) ;3. 𝑥0 < 𝑎, 𝑥1 ≤ 𝑎 (рис. 7) ; 4. 𝑥0 ≥ 𝑎, 𝑥1 ≤ 𝑎 (рис. 8). 𝑓(𝑥) = { Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 В каждом из первых трёх случаев функция имеет по две точке экстремума и горизонтальная прямая (иначе, перпендикулярная оси ординат) 10 проведённая через точку графика над точкой экстремума, имеет с ним две общие точки. В последнем случае функция является убывающей и любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет одну общую точек с графиком. 2𝑎+1 1 − ≥ 𝑎, 𝑎≤− , 3 2 4 ⇔{ { 4𝑎+3 3 ⟺ 𝑎 ≤ −2 . ≤𝑎 𝑎≤− 2 2 3 Ответ: 𝑎 ≤ − . 2 Пример 12. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 9|𝑥 − 𝑎| − 𝑥 на отрезке [−9; 8] принимается хотя бы на одном из концов этого отрезка. Решение. Если 𝑥 ≤ 𝑎, то 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 9(𝑥 − 𝑎) − 𝑥 = −𝑥 2 − 10𝑥 + 9𝑎 и графиком функции является часть параболы, направленной ветвями вниз Абсцисса вершины равна -5. Если 𝑥 > 𝑎, то 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 9(𝑥 − 𝑎) − 𝑥 = −𝑥 2 + 8𝑥 − 9𝑎, графиком функции является часть параболы, направленной ветвями вниз. Абсцисса вершины равна 4. Возможны следующие случаи: Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11 1. 𝑎 ≤ −5. Тогда на отрезке [−9; 4] функция возрастает (рис. 9), на отрезке [4; 8] убывает, в точке 4 она принимает наибольшее значение, а наименьшее значение на отрезке принимает хотя бы на одном из его концов. 11 2. 𝑎 ≥ 4. Тогда на отрезке [−9; −5] функция возрастает (рис.10), на отрезке [−5; 8] убывает, в точке -5 она принимает наибольшее значение, а наименьшее значение на отрезке принимает хотя бы на одном из его концов. 3. −5 < 𝑎 < 4. В точке а функция имеет минимум (рис.11). Требуемые условия выполняются, если значение функции хотя бы на одном из концов отрезка не больше, чем в точке а: 𝑓(−9) ≤ 𝑓(𝑎) 𝑎2 + 10𝑎 + 9 ≤ 0 −9 ≤ 𝑎 ≤ −1 ⟺[ ⟺ [ [ 𝑓(8) ≤ 𝑓(𝑎) 𝑎2 − 8𝑎 ≤ 0 0 ≤ 𝑎 ≤ 8. Отсюда с учётом условия −5 < 𝑎 < 4 𝑎 ∈ (−5; −1] ∪ [0; 4). Объединяем результаты и получаем ответ. Ответ: 𝑎 ≤ −1; 𝑎 ≥ 0. Замечание. Вместо решения последней системы можно было потребовать, чтобы точка а была от -5 не дальше, чем -9, или от 4 не дальше, чем 8. 3. Замена переменной. Замена переменной является распространённым приёмом при решении уравнений и неравенств, в частности, уравнений и неравенств с параметром. Наиболее простой является ситуация, когда неважно, сколько решений исходной задачи даёт значение новой переменной (примеры 13, 15, 17). Большего внимания требуют задачи, где необходимо учитывать соотношение количества решений старой и новой задач. Это связано с монотонностью функции, используемой для замены переменной (примеры 14, 16, 21, 22). Пример 13. Найдите все значения а, для которых при каждом х из 3 3 промежутка [−27; 8) значение выражения 𝑎2 √𝑥 2 + 4 √𝑥 не равно 3 значению выражения 2(4 + 𝑎 √𝑥 ). 3 Решение. Обозначим 𝑡 = √𝑥 . Если −27 ≤ 𝑥 < 8 , то −3 ≤ 𝑡 < 2 и условия задачи означают, что на промежутке −3 ≤ 𝑡 < 2 уравнение 𝑎2 𝑡 2 + 4𝑡 = 2(4 + 𝑎𝑡) не имеет решений. Преобразуем уравнение: 𝑎2 𝑡 2 + (4 − 2𝑎)𝑡 − 8 = 0. Возможны случаи: 1. 𝑎 = 0, 𝑡 = 2 ∉ [−3; 2), следовательно, 𝑎 = 0 удовлетворяет условиям задачи. 2. 𝑎 ≠ 0, уравнение квадратное, его дискриминант положителен, корни имеют разные знаки: 𝑡1 ∙ 𝑡2 = − 8 𝑎2 < 0. Обозначим 𝑓(𝑡) = 𝑎2 𝑡 2 + (4 − 2𝑎)𝑡 − 8. Требуется, чтобы 𝑡1 < −3, 𝑡2 ≥ 2. Это условие выполняется, если 𝑓(−3) < 0 и 𝑓(2) ≤ 0 (см. рис. 12). 12 Рис. 12 9𝑎2 + 6𝑎 − 20 < 0, Получаем систему { и решаем её: 0 < 𝑎 ≤ 1. Объединяем 𝑎2 − 𝑎 ≤ 0 результаты и получаем ответ. Ответ: [0; 1]. Пример 14. При каких значениях параметра а уравнение 25𝑥 − (𝑎 − 1)5𝑥 + 2𝑎 + 3 = 0 имеет ровно 2 различных решения? Решение. Обозначим 𝑡 = 5𝑥 . Исходное уравнение принимает вид 𝑡 2 − (𝑎 − 1)𝑡 + 2𝑎 + 3 = 0. (3) Поскольку показательная функция является строго монотонной и принимает только положительные значения, то требуется найти а, при которых уравнение (3) имеет два различных положительных решения 𝑡1,2 . Искомые значения а задаются системой (см. рис. 4) 𝐷 > 0, 𝑎−1 > 0, {𝑡0 = 2 𝑓(0) > 0. 𝑎 − 10𝑎 − 11 > 0, 𝑎 > 11 [ 𝑎 > 1, Получаем { { 𝑎 < −1, 3 𝑎 > 1, 𝑎>− , 2 𝑎 > 11. 2 Ответ: 𝑎 > 11. Рассмотрим пример гораздо сложнее предыдущих. Он содержит полезный приём решения уравнений степени выше второй. Пример 15. Найти все значения параметра а, при каждом из которых a a sin x sin x имеет решение. уравнение Решение. Приведём один из аналитических способов решения. Уравнение a at t с условием 1 t 1 равносильно уравнению условием 0 t 1 и уравнению a t t 2 a Преобразуем и решим последнее уравнение: 2 13 a t t2 a с с условиями t 2 a, 0 t 1. a 2 2t 2 1 a t 4 t 0; 2t 2 1 2t 1 D 4t 4t 1 2t 1 , a , 2 t 2 t 1 a . 2 t t a 2 2 Если t 2 t 1 a , то t 2 a и решений нет. В случае t 2 t a условие t 2 a 1 t t a 0, выполнено и система имеет решение, если 1 0 t 1 1 a 0. 4 1 Ответ: a 0 . 4 2 1 4a 1, 2 , откуда 1 4a 0 2 t 2 t a 0, Замечание. Ответ о разрешимости системы можно было 0 t 1 получить с помощью её графической интерпретации. Такие вопросы обсуждаются в следующем разделе. 4. Графический метод. Чаще всего графический метод в задачах с параметром применяется по следующей схеме: исходное уравнение 𝐹(𝑥, 𝑎) = 0 приводится к виду 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥, 𝑎), где 𝑓(𝑥) не зависит от а, а конструкция функций 𝑔(𝑥, 𝑎), зависящих от а, удобна для исследования и характер их изменения в зависимости от а легко прослеживается. Перед решением таких задач следует повторить тему «Преобразование графиков функций», вспомнить, как из графика 𝑦 = 𝑓(𝑥) получаются графики 𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎, 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎, 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎), 𝑦 = 𝑎 + 𝑓(𝑥 − 𝑎), 𝑦 = 𝑓(−𝑥), 𝑦 = |𝑓(𝑥)|, 𝑦 = |𝑓(𝑥) − 𝑎|. Выделение следующего пункта весьма условно, поскольку преобразование графиков встречается в большинстве из рассматриваемых здесь примеров. 4.1 Преобразование графиков функций; движение графика по траектории. 1 Пример 16. При каких значениях а уравнение √𝑥 + 1 = 𝑥 + 𝑎 имеет 2 единственное решение? Решение. Первый способ. Нарисуем графики функций в обеих частях 1 уравнения (рис. 13). Пусть l- прямая семейства 𝑦 = 𝑥 + 𝑎, проходящая через 2 точку (-1;0). Условиям задачи отвечают прямые семейства, проходящие ниже l, 14 или касательная m. Находим значение 1 1 2 2 а для прямой l: − + 𝑎 = 0, 𝑎 = . 1 Следовательно, нас устраивают значения 𝑎 < . 2 Рис. 13 а, соответствующее касанию. Возведём исходное Теперь найдём значение уравнение почленно в квадрат: 1 4 1 𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 , 4 𝑥 2 + (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑎2 − 1 = 0. (4) D = 0: 𝐷 = (𝑎 − 1)2 − 𝑎2 + 1 = −2𝑎 + 2 = 0, 𝑎 = 1. 1 равносильно 2 Уравнение (4) 𝑥 + 𝑎 = ±√𝑥 + 1 (дуга 𝑦 = − √𝑥 + 1 нарисована пунктиром). 1 Поэтому мы нашли a, при которoм 𝑦 = 𝑥 + 𝑎 будет касательной к параболе 2 𝑦 = ±√𝑥 + 1 и в данном случае к её верхней дуге. 1 Ответ: (−∞; ) ∪ {1}. 2 Замечание. Значение а, соответствующее касанию, можно найти с помощью производной (см. (29)): 1 1 √𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 𝑎, ⟺{ Отсюда 𝑥 = 0, 𝑎 = 1. { ′ 1 1 1 = . (√𝑥 + 1) = ( 𝑥 + 𝑎)′ 2√𝑥+1 2 √𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 𝑎, 2 Второй способ. Обозначим 𝑡 = √𝑥 + 1 , 𝑡 ≥ 0. Исходное уравнение принимает вид 𝑡= 𝑡 2 −1 2 + 𝑎, Тогда 𝑥 = 𝑡 2 − 1. 𝑡 2 − 2𝑡 = 1 − 2𝑎. Поскольку каждому t соответствует единственное х, то требуется найти а, при которых последнее уравнение имеет единственное неотрицательное решение. 1 Из рис.14 получаем: 1 − 2𝑎 = −1 или 1 − 2𝑎 > 0, откуда 𝑎 = 1 или 𝑎 < . 2 Третий способ решения можно получить, используя приёмы раздела 2: уравнение 1 √𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 𝑎 равносильно системе 15 1-2а 0 t -1 Рис. 14 1 𝑥 2 + (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑎2 − 1 = 0, Поэтому требуется найти значения а, при 𝑥 ≥ −2𝑎. которых уравнение системы имеет на промежутке 𝑥 ≥ −2𝑎 ровно одно решение. Пример 17. При каких а все числа x отрезка [1; 5] удовлетворяют неравенству 3𝑎𝑥 + 2√3𝑥 + 1 − 6𝑥 + 𝑎 − 5 < 0? {4 Решение. Обозначим 𝑡 = √3𝑥 + 1. Тогда 𝑥 = принимает вид 𝑎𝑡 2 + 2𝑡 − 6 𝑡 2 −1 3 𝑡 2 −1 3 и исходное неравенство − 5 < 0, (2 − 𝑎)𝑡 2 > 2𝑡 − 3. (5) Если 𝑥 ∈ [1; 5], то t ∈ [2; 4]. Таким образом, исходная задача равносильна следующей: при каких а все числа t отрезка [2; 4] удовлетворяют неравенству (5)? Если 𝑎 ≥ 2, то (2 − 𝑎)𝑡 2 ≤ 0, 2𝑡 − 3 > 0 на отрезке и неравенство не выполняется. Пусть теперь 𝑎 < 2. Сделаем рисунок (рис. 15). Над отрезком [2; 4] парабола 𝑦 = (2 − 𝑎)𝑡 2 должна лежать выше прямой 𝑦 = 2𝑡 − 3. Находим а, при котором происходит касание: уравнение (2 − 𝑎)𝑡 2 − 2𝑡 + 3 = 0 имеет единственный корень, следовательно, дискриминант равен нулю: 5 6 + 3𝑎 = 0, 𝑎 = . Проверяем правильность рисунка, то есть то, что 3 y t 0 2 3 4 Рис. 15 16 𝐷 4 =1− точка касания расположена над отрезком [2; 4]: 𝑡 = 1 2−𝑎 = 3. Парабола лежит 5 выше прямой при 𝑎 < . 3 5 Ответ: 𝑎 < . 3 Пример 18. Найдите все а, при каждом из которых уравнение 5 | − 3| = 𝑎𝑥 − 1 имеет на промежутке (0; +∞) более двух корней. 𝑥 Решение. Нарисуем графики функций в обеих частях уравнения (рис. 16). y y n 3 m 3 l x 0 -1 0 х 5 3 -1 Рис. 16 График 5 получается 𝑦 = | − 3| 𝑥 5 3 Рис. 17 из гиперболы 5 𝑦 = −3 𝑥 отражением относительно оси Ох её части, расположенной ниже оси. Прямая 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1 проходит через точку (0; −1). Нам понадобятся следующие положения этой прямой: 5 5 3 3 l). прямая проходит через точку ( ; 0): 3 𝑎 − 1 = 0, 𝑎 = . 5 5 m). прямая касается ветви гиперболы 𝑦 = 3 − . В нашем случае 𝑎 ≠ 0 и 𝑥 5 касание равносильно тому, что уравнение 3 − = 𝑎𝑥 − 1 имеет единственное 𝑥 решение (рис. 17). Последнее уравнение равносильно уравнению 𝑎𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 0. Из условия единственности получаем 𝐷 4 4 = 4 − 5𝑎 = 0, 𝑎 = . 5 n). условиям задачи отвечает положение прямой, промежуточное между 3 4 l и m. В этом случае уравнение имеет три решения и 𝑎 ∈ ( ; ). 5 5 3 4 Ответ: ( ; ). 5 5 Замечание. Значение а, соответствующее касанию, можно найти с помощью производной (см. (29)): 17 5 5 3 − = 𝑎𝑥 − 1 , { 𝑥 5 ′ ⟺{ 3 − = 𝑎𝑥 − 1, 𝑥 5 (3 − 𝑥) = (𝑎𝑥 − 1)′ 𝑥2 5 4 2 5 Отсюда 𝑥 = , 𝑎 = . = 𝑎. Пример 19. При каких значениях а уравнение 9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 − 2|𝑥 − 2𝑎| − 4𝑎 + 𝑎2 = 0 Решение. Запишем уравнение в виде имеет решение? 9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 = 2|𝑥 − 2𝑎| + 4𝑎 − 𝑎2 (6) y f g 6 х 0 Рис. 18 2а и нарисуем графики функций (рис. 18) в обеих частях (6). Функция 𝑓(𝑥) = 9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 6чётная. Поскольку 3√𝑥 2 + 4 ≥ 6, то график 𝑓(𝑥) = 9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 лежит не ниже графика 𝑦 = 9|𝑥| + 6 (последний нарисован пунктиром) и у них одна общая точка (0;6). График 𝑔(𝑥) = 2|𝑥 − 2𝑎| + 4𝑎 − 𝑎2 - угол, причём, его стороны более пологие, чем у угла 𝑦 = 9|𝑥| + 6 (меньшему положительному угловому коэффициенту отвечает меньший угол наклона). Из рис. 18 получаем, что у уравнения (6) есть решение тогда и только тогда, когда низшая точка графика 𝑓(𝑥) = 9|𝑥| + 3√𝑥 2 + 4 (0;6) лежит не выше графика 𝑔(𝑥), то есть когда выполнено условие 𝑔(0) ≥ 6: 4|𝑎| + 4𝑎 − 𝑎2 ≥ 6. Решаем это неравенство. 1. Если 𝑎 ≥ 0, то 𝑎2 − 8𝑎 + 6 ≤ 0, 4 − √10 ≤ 𝑎 ≤ 4 + √10 . 2 2. Если 𝑎 < 0, то 𝑎 ≤ −6. Решений нет. Ответ: 4 − √10 ≤ 𝑎 ≤ 4 + √10 . Пример 20. Определите все значения параметра а, для которых уравнение 𝑥 2 + 4𝑥 − 2|𝑥 − 𝑎| + 2 − 𝑎 = 0 имеет два решения. Решение. Первый способ (вторым способом задача решена в разделе «Решение в системе координат (х,а)»). Запишем уравнение в виде 𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = 2|𝑥 − 𝑎| + 𝑎 и нарисуем графики функций в обеих частях уравнения (рис. 18 19). Графиком выражения в левой части является парабола, график 𝑦 = 2|𝑥 − 𝑎| + 𝑎 представляет собой угол, вершина которого скользит по прямой 𝑦 = 𝑥. При 𝑎 > −2 у параболы и угла две точки пересечения: при y g х 0 -1 f -2 7 3 Рис. 19 −2 < 𝑎 < −1 вершина угла находится внутри параболы, при 𝑎 > −1 правая сторона 𝑦 = 2𝑥 − 𝑎 угла не пересекается с параболой, левая сторона пересекается в двух точках. При 𝑎 = −1 правая сторона является касательной для параболы. Это видно из уравнения 𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = 2𝑥 − 𝑎, 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 + 𝑎 = 0. 𝐷 4 = 1 − 2 − 𝑎 = −1 − 𝑎 = 0 при 𝑎 = −1. Найдём а, при котором левая сторона 𝑦 = −2𝑥 + 3𝑎 угла касается параболы: 𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = −2𝑥 + 𝑥 2 + 6𝑥 + 2 − 3𝑎 = 0, 3𝑎, 𝑎 = −2 и 𝑎 = − 7 3 𝐷 4 7 = 7 + 3𝑎 = 0, 𝑎 = − . Таким образом, при 3 7 уравнение имеет 3 решения, при − < 𝑎 < −2 3 решения, при 𝑎 > −2 и 𝑎 < − 7 4 2 решения. 3 7 Ответ: (−∞; − ) ∪ (−2; +∞). 3 5 Пример 21. Найдите все значения а, при которых уравнение 3 √𝑥 + 2 − 10 5 16𝑎2 ∙ √32𝑥 + 32 = √𝑥 2 + 3𝑥 + 2 имеет единственное решение. Решение. Запишем уравнение в виде 10 5 5 3 √𝑥 + 2 − √𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 32𝑎2 ∙ √𝑥 + 1. По условию 𝑥 ≤ −2 или 𝑥 ≥ −1. Заметим, что х =-1 не является корнем уравнения, следовательно, 𝑥 ≤ −2 или 𝑥 > −1. Разделим уравнение почленно 5 5 10 на √𝑥 + 1. При 𝑥 > −1 √𝑥 + 1 = √(𝑥 + 1)2 и мы получаем 5 3√ При 𝑥 ≤ −2 5 𝑥+2 𝑥+1 10 − √ 𝑥+2 𝑥+1 = 32𝑎2. 10 √𝑥 + 1 = − √(𝑥 + 1)2 и мы получаем 19 (7) 5 3√ 𝑥+2 10 + √ 𝑥+1 𝑥+2 Рассмотрим функцию 𝑦 = 𝑥+1 𝑥+2 𝑥+1 = 32𝑎2. (8) и её график (рис. 20). Она убывает на каждом из промежутков (−∞; −2] и (−1; +∞) и отображает их на промежутки [0; 1) и (1; +∞) соответственно. При этом каждому значению у соответствует только одно значение х. Обозначим 𝑡 = 10√𝑦 . Эта функция отображает промежутки [0; 1) и (1; +∞) на себя и в силу её возрастания каждому значению t соответствует одно значение у и, следовательно, одно значение х. Введём 3𝑡 2 + 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, функцию 𝑓(𝑡) = { С учётом взаимно-однозначного 3𝑡 2 − 𝑡, 𝑡 > 1. соответствия между t и x, а также равенств (7) и (8) исходная задача сводится к следующей: при каких значениях а уравнение 𝑓(𝑡) = 32𝑎2 имеет единственное решение? Нарисуем график 𝑓(𝑡) (рис.21). Горизонтальная прямая должна пересекать график только в одной точке. Отсюда 32𝑎2 ≥ 4 или 32𝑎2 ≤ 2, то есть |𝑎| ≥ Ответ: (−∞; − 1 1 1 2√2 или |𝑎| ≤ . 1 1 4 1 4 4 2√2 ] ∪ [− ; ] ∪ [ 2√2 ; +∞). Y 2 4 1 -2 -1 0 2 x 32a2 0 Рис. 20 1 t Рис. 21 Пример 22 (ЕГЭ 2015). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений (𝑦 2 −𝑥𝑦−4𝑦+2𝑥+4)√𝑥+4 { √5−𝑦 = 0, (9) 𝑎 =𝑥+𝑦 имеет единственное решение. Решение. Используем геометрическую интерпретацию системы (9): в системе координат XoY должна найтись единственная точка (x;y), координаты 20 которой удовлетворяют (9). В первом уравнении преобразуем выражение в скобках: 𝑦 2 − 𝑥𝑦 − 4𝑦 + 2𝑥 + 4 = 𝑦 2 − (𝑥 + 4)𝑦 + 2(𝑥 + 2) = =(𝑦 − 2)(𝑦 − 𝑥 − 2). Тогда уравнение принимает вид: (𝑦 − 2)(𝑦 − 𝑥 − 2)√𝑥 + 4 = 0. √5 − 𝑦 Следовательно, оно задаёт совокупность двух лучей и отрезка, ограниченных выделенным углом (рис. 22). Рис. 22 Рис.23 Второе уравнение задаёт прямую l, параллельную биссектрисе 𝑦 = −𝑥 или совпадающую с ней при а=0. Эта прямая имеет с указанной совокупностью одну общую точку в следующих случаях (рис. 23): 1. l проходит через точку (0;2), то есть значение функции 𝑦 = −𝑥 + 𝑎 в точке 0 равно 2: 2=0+а, а=2. 2. l проходит не выше точки (-4;-2), то есть значение в точке -4 не больше -2: 4+а ≤ -2, а ≤-6. 3. l проходит не ниже точки (3;5): -3+а ≥ 5, а ≥8. Ответ:(−∞; −6] ∪ {2} ∪ [8; +∞). 4.2. Решение в системе координат (х,а). Если уравнение имеет вид а = f(x) или уравнение F (x,a) = 0 можно разрешить относительно а, т.е. привести к виду а = f(x), то для ответа на вопрос о числе решений уравнения и их правильного отбора целесообразно построить график функции а = f(x) в системе координат (х,а). Например, 1 уравнение 𝑎 = 𝑥|𝑥 − 1| имеет два решения при а=0 и 𝑎 = . Это следует из 4 того, что горизонтальные прямые а=0 и 𝑎 = графиком 𝑎 = 𝑥|𝑥 − 1| (рис.24). 21 1 4 имеют две общие точки с Пример 20. Определите все значения параметра а, для которых уравнение 𝑥 2 + 4𝑥 − 2|𝑥 − 𝑎| + 2 − 𝑎 = 0 имеет два решения. Решение. Второй способ. Нарисуем график уравнения в системе координат (х, а). Возможны случаи: 𝑥 ≥ 𝑎, Отсюда 𝑎 = −(𝑥 2 + 2𝑥 + 2), { 2 𝑥 + 4𝑥 − 2(𝑥 − 𝑎) + 2 − 𝑎 = 0. следовательно, мы должны нарисовать часть полученной параболы в полуплоскости 𝑥 ≥ 𝑎 (ниже биссектрисы х = а, рис. 25). 𝑥 < 𝑎, 1 2. Отсюда 𝑎 = (𝑥 2 + 6𝑥 + 2). { 2 3 𝑥 + 4𝑥 + 2(𝑥 − 𝑎) + 2 − 𝑎 = 0. Рисуем часть параболы в полуплоскости 𝑥 < 𝑎 и объединяем обе кривые. Горизонталь 𝑎 = 𝑎0 имеет с полученным графиком две общие точки при 𝑎0 > 1. 7 7 3 3 −2 или 𝑎0 < − (при 𝑎0 = −2 и 𝑎0 = − три общие точки, при − 7 3 < 𝑎0 < −2 - четыре). 7 Ответ: (−∞; − ) ∪ (−2; +∞). 3 а а=х -3 -1 0 -1 -2 7 3 Рис. 24 Рис. 25 Пример 23. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝜋 |𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑎| = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑎 имеет на промежутке ( ; 𝜋] 2 единственный корень. Решение. Первый способ. Обозначим 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑥. Уравнение принимает вид |1 − 𝑡 2 + 2𝑡 + 𝑎| = 1 − 𝑡 2 + 𝑡 − 𝑎, |𝑡 2 − 2𝑡 − 𝑎 − 1| = −𝑡 2 + 𝑡 − 𝑎 + 1. (10) 22 𝜋 Из монотонности функции 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 на промежутке ( ; 𝜋] следует, что 2 требуется найти а, при которых уравнение (10) имеет единственное решение на промежутке [−1; 0)∗ . Построим график уравнения в системе координат (t,а) (рис. 26). Для этого раскроем модуль и рассмотрим два случая. а 1 4 1 2 -1 2 0 t -1 a а -2 Рис. 26 𝑎 ≤ 𝑡 2 − 2𝑡 − 1, 1. { 2 1 2𝑡 − 3𝑡 − 2 = 0, 𝑡 = 2 или 𝑡 = − . Это означает, что в области, 2 𝑎 = 𝑡 2 − 2𝑡 − 1, график состоит из расположенной не выше параболы вертикальных лучей 𝑡 = − 1 2 𝑎 > 𝑡 2 − 2𝑡 − 1, 2. { 𝑡 𝑎=− . или 𝑡 = 2 (это значение постороннее). В области выше параболы график состоит из 2 отрезка прямой 𝑡 𝑎=− . 2 Таким образом, графиком уравнения является ломаная, состоящая из трёх звеньев. Условие −1 ≤ 𝑡 < 0 означает, что мы должны взять часть ломаной в закрашенной полосе. Горизонтальная прямая пересекает это множество в одной точке при Ответ: (−∞; 0]; 1 4 𝑎= 1 4 или 𝑎 ≤ 0. . Замечание. Разумеется, эту задачу можно решить аналитически. Второй способ дословно совпадает с первым до ∗ . Далее решаем уравнение (10). Возможны следующие случаи: 1. 𝑡 2 − 2𝑡 − 𝑎 − 1 ≥ 0, { 1 𝑡 = 2 или 𝑡 = − . 1 Условиям задачи удовлетворяет 𝑡 = − . 2 2 1 1 2 4 Подставляем 𝑡 = − в неравенство системы и получаем 𝑎 ≤ . 23 2 {𝑡 − 2𝑡 − 𝑎 − 1 < 0, Подставляем 𝑡 = −2𝑎 в неравенство системы 𝑡 = −2𝑎. 1 и получаем 4𝑎2 + 3𝑎 − 1 < 0, −1 < 𝑎 < . Кроме того, условие −1 ≤ 𝑡 < 0 2. 4 1 1 2 4 даёт −1 ≤ −2𝑎 < 0, 0 < 𝑎 ≤ . Отсюда 0 < 𝑎 < 1 1 2 4 имеет корень 𝑡1 = − при 𝑎 ≤ . Таким образом, уравнение и корень 𝑡2 = −2𝑎 при 0 < 𝑎 < 1 1 2 4 Следовательно, оно имеет один корень (𝑡 = − ) при 𝑎 = 1 4 (𝑡1 ≠ 𝑡2 ). или 𝑎 ≤ 0. Метод областей Метод областей является обобщением метода интервалов на случай плоскости. Пусть, например, требуется решить неравенство 𝐹(𝑥, 𝑦) > 0. Уравнение 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 задаёт границу, которая разбивает ОДЗ на области, в каждой из которых выражение 𝐹(𝑥, 𝑦) сохраняет знак + или - . Выбираем области, в которых 𝐹(𝑥, 𝑦) имеет знак + (как это сделать, показано в следующих примерах). Их объединение является решением неравенства. Если требуется, в ответе переходим к аналитической записи решения. Пример 24. Построить на плоскости множество точек (х;у), координаты которых удовлетворяют условию x 2y 1 2 x 2 3x 2 Решение. Находим ОДЗ: 0. (11) 2 x 2 3x 2 0 x 2 1 2 и x . Таким образом, из координатной плоскости исключаются вертикальные 1 x 2 1 2 прямые 𝑥 = −2 и 𝑥 = . Уравнение f(x,y)= 0 задаёт прямые y , за 2 исключением их точек пересечения с указанными вертикальными прямыми. Получаем соответствующие области ( рис. 27). Найдём знаки левой части выражения (11) в областях. В области I возьмём точку (0;0): 1 1 0. 2 2 Следовательно, в этой области выражение f(x,y) имеет знак +. В области II 2 3 возьмём точку (1;1): 0. В этой области выражение имеет знак -. Продолжив этот процесс и выделяя штриховкой области со знаком +, получаем 24 Рис. 27 Рис. 28 требуемое множество (рис. 28). Точки, лежащие на прямых, выделенных пунктиром, в искомое множество не входят. Пример 25. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство| 𝑥 2 +𝑥−2𝑎 𝑥+𝑎 − 1| ≤ 2 не имеет решений на интервале (1;2). Решение. Преобразуем исходное неравенство. Оно равносильно 𝑥 2 +𝑥−5𝑎 неравенству −1 ≤ 𝑥 2 +𝑥−2𝑎 𝑥+𝑎 ≤ 3 и системам { 𝑥+𝑎 𝑥 2 +𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 𝑎−(𝑥 2 +2𝑥) { 𝑥+𝑎 𝑎− 𝑥2 −2𝑥 5 𝑥+𝑎 ≤ 0, или ≥0 ≤ 0, (12) ≥ 0. Нарисуем на плоскости хОа множества, задаваемые неравенствами системы (12), и пересечём их. Первое из них равносильно совокупности 25 2 {𝑎 ≥ 𝑥 + 2𝑥, 𝑎 < −𝑥 [ 2 {𝑎 ≤ 𝑥 + 2𝑥, 𝑎 > −𝑥. 2 Система {𝑎 ≥ 𝑥 + 2𝑥, задаёт множество точек, лежащих не 𝑎 < −𝑥 2 ниже параболы 𝑎 = 𝑥 2 + 2𝑥, и ниже прямой 𝑎 = −𝑥 , а система {𝑎 ≤ 𝑥 + 2𝑥, 𝑎 > −𝑥. множество точек, лежащих не выше параболы и выше прямой (рис. 29). Учитывая условие 1<х<2, получаем закрашенную область. Часть границы, отмеченная пунктиром, в искомое множество не входит. Знаки выражений в областях можно было получить, подставляя в них координаты соответствующих точек (пример 24). Аналогично получаем область, задаваемую вторым неравенством системы (12) (рис. 30). Пересекаем полученные области и получаем область, задаваемую исходным неравенством с условием 1<х<2 (рис. 31). Горизонтальная прямая не пересекает область при 1 𝑎 ≤ − или 𝑎 ≥ 8. 5 а а 8 + 1 -3 -3 1 0 х 2 1 5 + Рис. 29 Рис. 30 а 8 0 2 1 x 1 5 Рис. 31 1 Ответ: (−∞; − ] ∪ [8; +∞). 5 26 2 x Пример 26. При каких значениях параметра а множеством решений неравенства log 𝑎−𝑥 (𝑎 + 𝑥) ≤ 2 является промежуток (концы промежутка могут ему не принадлежать)? Решение. Сделаем замену переменной. Обозначим t a x. Исходное неравенство принимает вид log t 2a t 2. Это неравенство равносильно совокупности систем неравенств 0 t 1, 2 2 a t t , t 1, 0 2a t t 2 т.е. 0 t 1, a 1 t 2 t , 2 t 1, 1 1 2 t a t t . 2 2 (13) Введём координатную плоскость tOa и изобразим на ней г.м.т., задаваемое совокупностью (13) (рис. 32). Рис. 32 Проводя на рисунке горизонтальные прямые, т.е. задавая постоянные значения а, получаем, что для прямых при значениях 0 a 1 2 их пересечением с выделенным множеством является промежуток. Его проекция на ось Оt – также промежуток, являющийся решением неравенства. 1 2 Ответ: 0 a . 4.3. Окружности. Стандартное (каноническое) уравнение окружности имеет вид (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑅2 . Если требуется убедиться в том, что некоторое выражение задаёт окружность, его надо преобразовать, используя приём выделения полных квадратов. Например, уравнение 𝑥 2 − 𝑥 + 𝑦 2 = 0 задаёт 27 1 2 окружность, поскольку его можно записать в виде (𝑥 − ) + 𝑦 2 = 2 1 4 . Уравнение 𝑦 = √3 + 2𝑥 − 𝑥 2 задаёт полуокружность с центром (1;0) радиуса 2, расположенную выше оси Ох, поскольку его можно записать в виде 𝑦 = √4 − (𝑥 − 1)2 . Именно так надо было записать выражение в задаче С5 ЕГЭ 2013 (пример 9.4.5). Пример 27. . Найдите все положительные значения а, при каждом из (|𝑥| − 4)2 + (𝑦 − 4)2 = 4, которых система { (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 𝑎2 имеет единственное решение. Ответ: 3; √41 + 2. Указание. Использовать геометрическую интерпретацию системы (рис. 33). Пример 28. Найдите все а, при каждом из которых уравнение log 𝑎𝑥−7 √8𝑥 − 𝑥 2 − 15 = 1 имеет единственное решение. 2 Решение. Уравнение равносильно системе {√8𝑥 − 𝑥 − 15 = 𝑎𝑥 − 7, 𝑎𝑥 − 7 > 0, 𝑎𝑥 − 7 ≠ 1. Приведём уравнение системы к виду √1 − (𝑥 − 4)2 = 𝑎𝑥 − 7 и нарисуем графики функций в обеих его частях ( рис. 34). (14) y 1 0 3 4 5 -7 Рис. 33 Рис. 34 Это соответственно полуокружность единичного радиуса с центром (4;0) и прямая, проходящая через точку (0;-7). По условиям задачи из полуокружности следует исключить точки (3;0), (4;1), (5;0). Находим а, при которых прямая проходит через эти точки, подставляя их координаты в уравнение 𝑦 = 𝑎𝑥 − 7: 7 7 5 3 (5; 0): 5𝑎 − 7 = 0, 𝑎 = ; (4; 1): 4𝑎 − 7 = 1, 𝑎 = 2; (3; 0): 3𝑎 − 7 = 0, 𝑎 = . 28 Найдём также значение а, соответствующее касанию. Возведём уравнение (14) почленно в квадрат, приведём подобные слагаемые и найдём дискриминант полученного квадратного уравнения. D (𝑎2 + 1)𝑥 2 − 2(7𝑎 + 4)𝑥 + 64 = 0, = −15𝑎2 + 56𝑎 − 48. 4 Положению касания соответствует значение D=0 (последнее уравнение равносильно ±√1 − (𝑥 − 4)2 = 𝑎𝑥 − 7, то есть даёт точки пересечения прямой и всей окружности; общая точка одна в случае касания). Находим 𝑎 = 4 7 3 3 𝑎 = . Искомое а должно быть больше , следовательно, 𝑎 = 12 5 или 12 5 . Условиям задачи отвечают положения прямой, проходящей между точками (3;0) и (5;0), 7 7 12 включая (3;0) и не включая (4;1), (5;0). Следовательно, 𝑎 ∈ ( ; 2) ∪ (2; ] ∪ { }. 5 3 5 7 7 12 Ответ: ( ; 2) ∪ (2; ] ∪ { }. 5 3 5 Пример 29 (ЕГЭ 2015). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений 2𝑥 − 2𝑦 − 2 = |𝑥 2 + 𝑦 2 − 1|, { 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1) (15) имеет ровно три решения. Решение. Используем геометрическую интерпретацию системы (15). Найдём геометрическое место точек F, задаваемое первым уравнением системы. 1. Если 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 1, то есть точка (𝑥; 𝑦) находится вне единичного круга или на его границе, то 2𝑥 − 2𝑦 − 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1, (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 1. 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 1, Получаем дугу окружности единичного радиуса с центром (1;-1) (рис. 35). 2. Если 𝑥 2 + 𝑦 2 < 1 , то есть точка (𝑥; 𝑦) находится внутри круга, то 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑦 = 3, 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 = 5, (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 5 и мы получаем дугу окружности радиуса √5 с центром (-1;1). Итак, первое уравнение задаёт совокупность F двух дуг окружностей. 29 Рис. 35 Рис. 36 Уравнение 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1) задаёт прямую 𝑙 с угловым коэффициентом, равным а, и проходящую через точку (1;0) (рис. 36). При а=0 система имеет единственное решение, поскольку ось абсцисс является касательной к окружности с центром (1;-1). При а <0 прямая 𝑙 (на рис. соответствующее положение имеет 𝑙2 ) и F имеют две общие точки, система имеет два решения. При а >0 выделим 𝑙0 – касательную к большей окружности в точке (1;0). Пусть 𝑎0 - её угловой коэффициент. Рассмотрим также прямую 𝑙1 с угловым коэффициентом 1, проходящую через точки (1;0) и (-1;0). Условиям задачи отвечают значения а такие, что 1 < 𝑎 < 𝑎0 . Находим 𝑎0 : проведём прямую 𝑙2 через точки (-1;1) и (1;0). Тогда 𝑙2 ⊥ 𝑙0 (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания). Угловой коэффициент прямой 𝑙2 равен 𝑎2 = 1 − . Поскольку 𝑎2 ∙ 𝑎0 = −1, то 𝑎0 = 2. 2 Ответ: (1;2). Пример 30. Найти все значения параметра а, при каждом из которых 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 = 𝑏 2 + 2𝑥 − 4𝑦, система имеет ровно два { 2 𝑥 + (12 − 2𝑎)𝑥 + 𝑦 2 = 2𝑎𝑦 + 12𝑎 − 2𝑎2 − 27 𝑥 −𝑥 𝑦 +𝑦 различных решения (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), удовлетворяющих условию 1 2 = 1 2 . 𝑦2 −𝑦1 𝑥1 +𝑥2 Решение. Преобразуем уравнения системы, выделяя полные квадраты: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 𝑏 2 , { (𝑥 + 6 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑎)2 = 9. Первое уравнение системы при 𝑏 = 0 задаёт точку. Следовательно, этот случай не удовлетворяет условиям задачи. При 𝑏 ≠ 0 это уравнение задаёт окружность радиуса |𝑏| с центром в точке 𝑂1 (1;-2) (рис. 37). y O2 4 30 Рис. 37 Второе уравнение задаёт окружность радиуса 3 с центром следовательно, эта точка лежит на прямой 𝑦 = 𝑥 + 6. Из условия 𝑥1 −𝑥2 𝑦2 −𝑦1 = 𝑦1 +𝑦2 𝑥1 +𝑥2 𝑂2 (𝑎 − 6; 𝑎), 𝑥1 2 + 𝑦1 2 = 𝑥2 2 + 𝑦2 2 . Это означает, что решения получаем M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) равноудалены от начала координат, то есть лежат на одной окружности с центром О. Точки M1 , M2 лежат на пересечении окружностей с центрами О и O1 и поэтому симметричны относительно прямой 𝑦 = −2𝑥, проходящей через O, O1 . Но точки M1 , M2 также должны быть симметричны относительно прямой OO2 . В силу единственности такой прямой (это серединный перпендикуляр к M1 M2 ) три точки O, O1 , O2 лежат на прямой 𝑦 = −2𝑥. Находим O2 (−2; 4). Отсюда 𝑎 = 4. Теперь находим b из двух крайних положений (они отмечены пунктиром, нас устраивает промежуточное положение) окружности с центром O1 . Для её радиуса получаем неравенство |O1 O2 | − 3 < |𝑏| < |O1 O2 | + 3, 3√5 − 3 < |𝑏| < 3√5 + 3. Ответ: 𝑎 = 4, 𝑏 ∈ (−3√5 − 3; −3√5 + 3) ∪ (3√5 − 3; 3√5 + 3). 4.4. Использование функции 𝒚 = |𝒙 − 𝒙𝟏 | + |𝒙 − 𝒙𝟐 |. Рассмотрим график этой функции. При 𝑥1 = 𝑥2 𝑦 = 2|𝑥 − 𝑥1 | и графиком является угол с вершиной в точке (𝑥1 ; 0). Пусть теперь 𝑥1 < 𝑥2 . Тогда −2𝑥 + 𝑥1 + 𝑥2 , 𝒙 ≤ 𝑥1 , 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 , 𝑦 = { 𝑥2 − 𝑥1 , 2𝑥 − 𝑥1 − 𝑥2 , 𝑥 ≥ 𝑥2 . График изображён на рис. 38. Пример 31. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 1 2 𝑎2 −4𝑎+3 |𝑎 − 2||𝑥 + 𝑎 − 4| + ( |𝑎−2| 1 − |𝑎 − 2|) ∙ |𝑥 − 2| + |𝑎 − 2||𝑥 − 𝑎| ≤ 1 2 выполняется ровно для двух различных значений х. Решение. Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю и запишем неравенство в виде 31 1 2 |𝑎 − 2|(|𝑥 + 𝑎 − 4| + |𝑥 − 𝑎|) ≤ 1 + |𝑥−2| |𝑎−2| . (16) y y f g (a-2)2 x1 0 x2 x x 0 4-a 2 a Рис. 38 Рис. 39 Графиком функции в левой части неравенства является ломаная из трёх звеньев (см. рис. 38). Здесь 𝑥1 = 4 − 𝑎, 𝑥2 = 𝑎, поскольку без ограничения общности можно считать, что 𝑥1 < 𝑥2 . Заметим, что точка 2 – середина отрезка [𝑥1 ; 𝑥2 ]: 4−𝑎+𝑎 2 = 2. Графиком функции в правой части (14) является угол с вершиной (2;1) (рис. 39). Если вершина (2;1) лежит не ниже прямой 𝑦 = (𝑎 − 2)2 , то неравенство имеет бесчисленное множество решений. Нас устраивает такое расположение, когда вершина лежит ниже горизонтальной прямой, стороны угла проходят через точки (𝑎; (𝑎 − 2)2 ), (4 − 𝑎; (𝑎 − 2)2 ) и угловой коэффициент правой стороны угла меньше углового коэффициента правого звена ломаной. Первое из этих условий является следствием второго, а второе и третье дают: (𝑎 − 2)2 = 2, (𝑎 − 2)2 = 2, ⟺{ ⟺ 𝑎 − 2 = ±√2, 𝑎 = 2 ± √2. { 1 < |𝑎 − 2|, (𝑎 − 2)2 > 1, |𝑎−2| Ответ: 2 ± √2. Функция 𝑦 = |𝑥 − 𝑥1 | + |𝑥 − 𝑥2 | рассматривается и в следующем разделе ( пример 34). 5. Оценка значений выражений. Приведём типичные правила для оценки значений выражений. 1. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда равно нулю каждое слагаемое. 2. Пусть мы решаем уравнение 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) и известно, что при всех рассматриваемых 𝑥 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, 𝑔(𝑥) ≥ 𝑀, где M – некоторая постоянная (то есть М есть наибольшее возможное значение функции 𝑓(𝑥) и наименьшее возможное значение 𝑔(𝑥)). Тогда уравнение равносильно системе 𝑓(𝑥) = 𝑀, (17) { 𝑔(𝑥) = 𝑀. 32 Заметим, что эти правила эквивалентны и следует выбирать формулировку, которая удобна для данной задачи. В ряде случаев при решении задач удаётся использовать неравенство 𝑎+𝑏 2 ≥ √𝑎𝑏 (18) 2 (оно равносильно (√𝑎 − √𝑏) ≥ 0), связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое неотрицательных чисел, а также неравенство 2|𝑡| 𝑡 2 +1 ≤1 (19) (оно равносильно (|𝑡| − 1)2 ≥ 0, равенство достигается при |𝑡| = 1). Задачи на оценку значений выражений часто отличаются визуально: компоненты исследуемых выражений выглядят неоднородно, они получаются с использованием нескольких различных элементарных функций (примеры 32, 33, А5.2, Б70, Б78, Б79). Пример 32. При всех значениях параметра а решить уравнение 5+ 2𝑥−2𝑎 𝑥 2 −2𝑎𝑥+𝑎2 +1 = 3𝑥 + 9 3𝑥 . Решение. Обозначим через 𝑓(𝑥) выражение в левой части уравнения и пребразуем его: 𝑓(𝑥) = 5 + Тогда 2(𝑥−𝑎) (𝑥−𝑎)2 +1 = 2𝑡 𝑡 2 +1 2𝑥−2𝑎 2(𝑥−𝑎) 𝑥 2 −2𝑎𝑥+𝑎2 +1 = 5 + (𝑥−𝑎)2 . Обозначим 𝑡 = 𝑥 − 𝑎. +1 и из (19) получаем 𝑓(𝑥) ≤ 6, равенство достигается при 𝑡 = 𝑥 − 𝑎 = 1. Обозначим 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 9 3𝑥 . Из (18) следует 𝑔(𝑥) ≥ 2√3𝑥 ∙ 9 3𝑥 = 6. Таким образом, наименьшее возможное значение функции 𝑔(𝑥) равно наибольшему значению функции 𝑓(𝑥). Из (17) получаем 2(𝑥−𝑎) 5+ = 6, 𝑥 − 𝑎 = 1, 𝑎 = 0, (𝑥−𝑎)2 +1 ⇔ ⇔ { { { 𝑥 2 9 (3 − 3) = 0 𝑥 = 1. 3𝑥 + 𝑥 = 6 3 Ответ: при 𝑎 = 0 𝑥 = 1, при остальных значениях 𝑎 решений нет. Замечание. Набольшее и наименьшее значения функций можно было найти с помощью производной и мы рекомендуем это сделать в качестве упражнения. Пример 33. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (𝑥 2 − 6|𝑥| + 𝑎)2 + 10(𝑥 2 − 6|𝑥| + 𝑎) + 26 = cos 16𝜋 имеет ровно два корня. 𝑎 Решение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат и запишем его в виде (𝑥 2 − 6|𝑥| + 𝑎 + 5)2 + (1 − cos 16𝜋 𝑎 ) = 0. Поскольку сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда равно нулю каждое слагаемое, уравнение равносильно системе 33 𝑥 2 − 6|𝑥| = −𝑎 − 5, { Из второго уравнения системы получаем 16𝜋 cos = 1. 𝑎 16𝜋 𝑎 = 2𝜋𝑛, 8 𝑎 = , 𝑛𝜖𝑍. Нарисуем графики 𝑦 = 𝑥 2 − 6|𝑥|, 𝑦 = −𝑎 − 5 (рис. 40). Графики 𝑛 8 должны иметь ровно две общие точки и при этом 𝑎 = , 𝑛𝜖𝑍. Это 𝑛 произойдёт, если – 𝑎 − 5 = −9, 𝑎 = 4 (𝑛 = 2) или – 𝑎 − 5 > 0, 𝑎 < −5. 8 В последнем случае условию 𝑎 = , 𝑛𝜖𝑍 отвечает только 𝑎 = −8 (𝑛 = −1), 𝑛 так как при 𝑛 ≤ −2 8 𝑛 ≥ −4. Ответ: -8; 4. y -a-5 0 3 x 6 -9 Рис. 40 Пример 34. При каких значениях параметра а система |𝑥 + 𝑎| + |𝑦 − 𝑎| + |𝑎 + 1 + 𝑥| + |𝑎 + 1 − 𝑦| = 2, { 𝑦 = 2|𝑥 − 4| − 5 имеет единственное решение? Решение. Заметим, что наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 𝑎| + |𝑎 + 1 + 𝑥| равно – 𝑎 − (𝑎 − 1) = 1 (см. рис. 38) и достигается при всех 𝑥 ∈ [−𝑎 − 1; −𝑎]. Аналогично, при всех 𝑦 |𝑦 − 𝑎| + |𝑎 + 1 − 𝑦| ≥ 1 и |𝑦 − 𝑎| + |𝑎 + 1 − 𝑦| = 1 при 𝑦 ∈ [𝑎; 𝑎 + 1]. Поэтому первое уравнение системы обращается в верное равенство тогда и только тогда, когда каждое из двух рассмотренных выражений равно 1, и имеет решение {(𝑥; 𝑦); 𝑥 ∈ [−𝑎 − 1; −𝑎], 𝑦 ∈ [𝑎; 𝑎 + 1]}. На координатной плоскости это множество представляет собой квадрат, диагональ которого скользит по прямой 𝑦 = −𝑥 (рис. 41). y=-x -a-1 0 34 -5 -a х Рис. 41 Условия задачи означают, что квадрат и угол 𝑦 = 2|𝑥 − 4| − 5 имеют одну общую точку. Это происходит в следующих случаях: 1. Правый верхний угол квадрата (его уравнение 𝑦 = −𝑥 + 1) лежит на левой стороне угла: −𝑥 + 1 = −2𝑥 + 3, 𝑥 = 2, 𝑎 = −2. 2. Левый верхний угол квадрата (его уравнение 𝑦 = −𝑥) лежит на правой стороне угла: −𝑥 = 2𝑥 − 13, 𝑥 = 13 3 , −𝑎 − 1 = 13 3 16 , 𝑎=− . 3 16 Ответ: −2; − . 3 6. Принцип симметрии. Здесь мы рассмотрим задачи, в условиях которых в том или ином виде используется симметрия: чётные функции, симметричные системы, симметрия решений относительно прямой, плоскости и т.д. К ним, в частности, относится задача С5 демонстрационного варианта ЕГЭ 2011 (А6.2) и задача С5 одной из волн ЕГЭ 2013 (Б103). Пример 35. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 𝑎2 𝑥 2 − 𝑎 ∙ 𝑡𝑔(cos 𝑥) + 1 = 0 имеет единственное решение. Решение. Обозначим 𝑓(𝑥) = 𝑎2 𝑥 2 − 𝑎 ∙ 𝑡𝑔(cos 𝑥) + 1. Функция 𝑓(𝑥) является чётной как сумма чётных функций, 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Пусть х является решением уравнения 𝑓(𝑥) = 0. Тогда и –х является решением: 𝑓(−𝑥) = 0. Из условия единственности получаем, что 𝑥 = −𝑥, 𝑥 = 0. Подставляем х=0 в исходное уравнение и находим значение а: −𝑎𝑡𝑔1 + 1 = 0, 𝑎 = 𝑐𝑡𝑔1. Проверим, будет ли уравнение иметь единственное решение х=0 при найденном значении a. Запишем уравнение в виде 𝑎2 𝑥 2 + 1 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠 𝑥). Очевидно, наименьшее значение выражения в левой части уравнения равно 1: достигается оно при х=0. Поскольку −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1, а функция 𝑦 = 𝑎𝑡𝑔𝑡 возрастает на отрезке [−1; 1], то наибольшее значение выражения в правой части уравнения равно 𝑎𝑡𝑔1 = 𝑐𝑡𝑔1 ∙ 𝑡𝑔1 = 1. Таким образом, наименьшее значение одного выражения равно наибольшему значению другого и решением может быть только такое х, при котором эти значения достигаются, то есть х=0. Ответ: 𝑐𝑡𝑔1. 35 Пример 36. Найдите все значения а, при каждом из которых система 𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) + (2 + 𝑥𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) = 𝑧, 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 + 𝑧 2 = 𝑎 + 2𝑥, уравнений (20) { 2 (𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑧)((1 − 𝑎)𝑙𝑛(1 − 𝑥𝑦) + 1) = 0 имеет единственное решение, и укажите решение системы для каждого из найденных значений а. Решение. Преобразуем второе уравнение системы: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 + 𝑧 2 = 𝑎 + 1. Теперь заметим, что если (𝑥; 𝑦; 𝑧) – решение системы, то и (𝑦; 𝑥; 𝑧) - решение, и из единственности получаем, что 𝑥 = 𝑦. 𝜋 Положим в первом уравнении 𝑥 = 𝑦: (2 + 𝑥 2 )𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0. Отсюда 𝑥 = 𝑛, 𝑛 ∈ 2 𝑍. Из третьего уравнения по условиям задачи получаем: 1 − 𝑥𝑦 > 0, 1 − 𝑥 2 > 0, 𝜋 2 𝑥 2 < 1, ( 𝑛) < 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0. При этих значениях первое уравнение 2 является тождеством относительно z, а второе и третье принимают вид 1 + 𝑧 2 = 𝑎, { 𝑎𝑠𝑖𝑛2 𝑧 = 0. Выражения в левых частях уравнений являются чётными относительно z, следовательно, из условия единственности решения получаем 𝑧 = 0, 𝑎 = 1. Выясним, будет ли (0;0;0) единственным решением при 𝑎 = 1. Из (20) при 𝑎 = 1 следует (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2 − z 2 , (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 2, Отсюда { { 𝑥 + 𝑦 ≤ 0. 𝑥 + 𝑦 = −sin2 z. Последние неравенства задают на плоскости (рис. 42) y 1 0 1 х Рис. 42 множества с единственной общей точкой (0;0). Следовательно, единственные возможные значения неизвестных х и у равны 0. Из второго уравнения системы z=0. Ответ: a=1, x=0, y=0, z=0. 36 7. Введение вспомогательной функции. Пусть 𝑓(𝑦), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) - функции и мы рассматриваем уравнение 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(ℎ(𝑥)). (21) В общем случае оно не равносильно уравнению 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥). (22) Например, уравнение 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 не равносильно уравнению 3𝑥 = 2𝑥, 𝑥 = 0 (в действительности оно равносильно 3𝑥 = (−1)𝑛 2𝑥 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍) и если мы в качестве решения уравнения 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 возьмём 𝑥 = 0, то потеряем бесчисленное множество решений. Но если функция f(y) строго монотонна при рассматриваемых значениях y, то (21) и (22) равносильны. Пример 37. Решить уравнение (2𝑥 + 1) (2 + √(2𝑥 + 1)2 + 3) + 3𝑥 (2 + √9𝑥 2 + 3) = 0. Решение. Заметим, что оба слагаемых в левой части уравнения «устроены» однотипно и введём функцию 𝑓(𝑡) = 𝑡(2 + √𝑡 2 + 3), 𝐷(𝑓) = 𝑅. Исходное уравнение можно записать в виде 𝑓(2𝑥 + 1) + 𝑓(3𝑥) = 0. (23) Исследуем функцию 𝑓(𝑡). Она нечётная: 𝑓(−𝑡) = −𝑡(2 + √(−𝑡)2 + 3) = −𝑡(2 + √𝑡 2 + 3) = −𝑓(𝑡), 𝑓(0) = 0. При 𝑡 > 0 𝑓(𝑡) возрастает, поскольку является произведением возрастающих положительных функций 𝑦 = 𝑡 и 𝑦 = 2 + √𝑡 2 + 3. Из нечётности 𝑓(𝑡) следует, что она возрастает на всей действительной оси. Также с помощью нечётности функции преобразуем (23): 𝑓(2𝑥 + 1) = −𝑓(3𝑥), 𝑓(2𝑥 + 1) = 𝑓(−3𝑥). Значения строго монотонной функции равны тогда и только тогда, когда равны значения аргумента. Поэтому последнее уравнение равносильно уравнению 2𝑥 + 1 = −3𝑥, откуда 𝑥 = −0,2. Ответ: −0,2. Пример 38. При каких значениях а уравнение 5 log 0,5 2𝑥 2 𝑥−2𝑎 − 2𝑥 2 + 𝑥 = 2𝑎 имеет ровно два корня? Решение. Используя свойства логарифма, перейдём к уравнению, равносильному исходному: 5 log 0,5 2𝑥 2 − 2𝑥 2 = 5 log 0,5 (𝑥 − 2𝑎) − (𝑥 − 2𝑎). Введём функцию 𝑓(𝑡) = 5log 0,5 𝑡 − 𝑡, 𝑡 > 0. Последнее уравнение запишется в виде 𝑓(2𝑥 2 ) = 𝑓(𝑥 − 2𝑎). (24) 37 Исследуем функцию 𝑓(𝑡). Она убывает как сумма двух убывающих функций. Следовательно, при 𝑡 > 0 уравнение 𝑓(𝑡1 ) = 𝑓(𝑡2 ) равносильно уравнению 𝑡1 = 𝑡2 . Поэтому (24) равносильно уравнению 2𝑥 2 = 𝑥 − 2𝑎 (25) с условиями 𝑥 ≠ 0 , 𝑥 − 2𝑎 > 0 (последнее условие лишнее, оно выполняется автоматически) или уравнению 𝑥 − 2𝑥 2 = 2𝑎. Сделаем рисунок (рис. 43). Горизонтальная прямая 𝑦 = 2𝑎 пересекает график параболы в двух точках при 1 1 8 16 2𝑎 < 0, то есть при 𝑎 < 0 или 0 < 2𝑎 < , 0 < 𝑎 < . 1 Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; ). 16 1 8 0 1 2 1 4 2a Рис. 43 Замечание. На заключительной стадии решения можно обойтись без рисунка. Вместо (25) рассмотрим уравнение 2𝑥 2 − 𝑥 + 2𝑎 = 0 с условием 𝑥 ≠ 0 . Оно должно иметь два корня: 𝐷 = 1 − 16𝑎 > 0, 𝑎 < 1 . Находим а, при 16 котором х=0 является корнем: а=0. Следовательно, условиям задачи отвечают 1 все найденные значения а, кроме 0: 𝑎 ∈ (−∞; 0) ∪ (0; ). 16 Далее вспомогательная функция рассматривается в примере 41 (задача С5 ЕГЭ 2009), где для её исследования применяется производная. Применение производной. Задачи с параметром, для решения которых используется производная, формально можно отнести к соответствующему типу задач дифференциального исчисления. Однако, ситуация в этих задачах является динамической (меняются промежутки монотонности функций, точки экстремума, кривые в зависимости от параметра меняют конфигурацию) и важно не упустить из вида ни одну из возникающих стандартных ситуаций. В ряде случаев ключевую роль здесь играет момент касания кривых (примеры 16,18, 40, 42). Пример 39. Для каждого положительного значения а найти наибольшее значение функции y = 1 3 (x - a)3 + (x - a)2 на отрезке Решение. Найдем производную: 38 2 х 0. y'(x) = (x - a)2 + 2(x - a) = (x - (a - 2))(x - a). Стационарными точками являются х = а - 2 и х = а. Рассмотрим следующие случаи: 1. 0 < a < 2. На данный отрезок попадает одна критическая точка Поскольку при 2 x a 2 y 0 , при a 2 x 0 y 0 , наибольшее а -2. 4 значение функции на отрезке равно y(a - 2) = . 3 y' + - + -2 a-2 0 a x 2. а 2. На всем промежутке [-2;0) у' > 0 , функция на отрезке возрастает и её наибольшее значение равно y(0) = a2 у' + -2 Ответ: 4 3 0 a3 при 0< a <2 , a2 - a-2 𝑎3 3 . - x при a 2 . 3 Пример 40. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 𝑎𝑥 2 = |ln|𝑥|| имеет ровно 2 различных решения. Решение. ОДЗ: 𝑥 ≠ 0. Выразим а из исходного уравнения и получим уравнение, равносильное ему: 𝑎= |ln|𝑥|| 𝑥2 . (26) Это уравнение задаёт а как функцию a(x) переменной х. Построим её график. Поскольку функция чётная, достаточно исследовать её при x>0. Введём вспомогательную функцию 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 и исследуем её. Находим производную, 𝑥2 критическую точку, знаки производной и характер монотонности на 𝑙𝑛 𝑥 получившихся промежутках, характер точки экстремума: 𝑔΄(𝑥 ) = ( 𝑥−2𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑥4 = 1−2 𝑙𝑛 𝑥 𝑥3 . 𝑔΄(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = √𝑒 − точка максимума, 𝑔(√𝑒) = 1 2𝑒 𝑥2 )΄ = . g g 0 + e – x Строим график g(x), затем отражаем симметрично относительно оси Ох его часть, расположенную ниже оси и к полученной кривой добавляем 39 симметричную ей относительно оси Оу (рис.44). Мы получили график функции (26). Горизонтальные прямые a=0 и 𝑎 = 𝑎0 , где 𝑎0 > 1 2𝑒 , пересекают график в двух точках. 1 Ответ: 0; ( ; +∞). 2𝑒 a 1 2e 0 1 x Рис. 44 Замечание. Для решения можно было использовать графический метод в традиционной форме: нарисовать графики функций в левой и правой частях уравнения; с помощью производной найти значение а, при котором происходит касание (рис. 45). Рис. 45 Пример 41. Решить уравнение 𝑥 8 + 96 cos(5 − 6𝑥) = 96 cos 𝑥 2 + (5 − 6𝑥)4 Решение. Запишем уравнение в виде 𝑥 8 − 96 cos 𝑥 2 = (5 − 6𝑥)4 − 96 cos(5 − 6𝑥) 40 (27) и рассмотрим функцию записать в виде 𝑓(𝑡) = 𝑡 4 − 96 cos 𝑡. Тогда уравнение (27) можно 𝑓(𝑥 2 ) = 𝑓(5 − 6𝑥) . (28) Исследуем функцию 𝑓(𝑡). Она чётная, поскольку является разностью чётных функций 𝑡 4 и 96 cos 𝑡. Далее, 𝑓 ′ (𝑡) = 4(𝑡 3 + 24 sin 𝑡). При 0<𝑡≤𝜋 sin 𝑡 ≥ 0, следовательно, 𝑓 ′ (𝑡) > 0. При 𝑡>𝜋 𝑓 ′ (𝑡) > 4(𝜋 3 − 24) > 4(33 − 24) = 12. Таким образом, при 𝑡 > 0 𝑓 ′ (𝑡) > 0 и на промежутке 𝑡 ≥ 0 𝑓(𝑡) возрастает, а на промежутке 𝑡< 0 за счёт чётности 𝑓(𝑡) убывает ( рис. 46). Из чётности и монотонности функции на соответствующих промежутках следует, что каждое своё значение (за исключением −96) 𝑓 принимает ровно в двух симметричных относительно нуля точках и условие 𝑓(𝑡1 ) = 𝑓(𝑡2 ) равносильно условию 𝑡1 = ±𝑡2 , 2 следовательно, уравнение (28) равносильно совокупности 𝑥 = ±(5 − 6𝑥) . Отсюда 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0 или 𝑥 2 + 6𝑥 − 5 = 0. Решая эти уравнения, получаем 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5, 𝑥3,4 = −3 ± √14 . Ответ: 1; 5; −3 ± √14. Рис. 46 Условия касания кривых y = f(x) и y = g(x) в точке с абсциссой х можно записать в виде системы f x g x , f x g x , (29) поскольку у них общая касательная: совпадают значения в точке х и угловые коэффициенты касательных, то есть производные. 41 Пример 42. Какое наименьшее число решений может быть у первого уравнения системы sin 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, (30) { cos 𝑥 = 𝑎. коэффициенты а и b которой выбираются так, что уравнение имеет не менее трёх решений, а система - ровно одно? Решение. Исходную систему можно записать в виде sin 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, { (sin 𝑥)′ = (𝑎𝑥 + 𝑏)′ . Первое уравнение этой системы задаёт общие точки синусоиды y = sinx и прямой y = ax+b. Согласно (29) вместе эти уравнения (то есть система) задают точки, в которых прямая является касательной к синусоиде. Таким образом, из условий задачи вытекает, что у синусоиды и прямой должно быть не менее трёх общих точек, но только в одной из них происходит касание. Рассматривая различные случаи взаимного расположения синусоиды и касательной (рис. 47), убеждаемся в том, что условиям задачи отвечает положение прямой 3 (у прямой 1 лишь две общие точки с кривой, у прямой 2 три таких точки, но в двух из них происходит касание), у которой четыре общие точки с кривой, и лишь в одной из них происходит касание. Ответ: 4. Рис. 47 9. Задачи для самостоятельного решения. Группа А ( первая цифра совпадает с номером темы из содержания). 1.1. Найти все пары (𝛼; 𝛽), при каждой из которых система уравнений (𝛼 + 𝛽)𝑥 + 26𝑦 = 2, { имеет бесконечно много решений. Ответ: (-2;6), (6;-2). 8𝑥 + (𝛼 2 − 𝛼𝛽 + 𝛽 2 )𝑦 = 4 1.2. При каких а система 𝑎𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 = 3, { (2𝑎 + 2)𝑥 + 3𝑦 = 4𝑎 + 1 1 1 имеет единственное решение? Ответ: (−∞; − 2) ∪ (− 2 ; 2) ∪ (2; +∞). 42 1.3. При каких значениях параметра а решения неравенства числовой оси промежуток длины 1? Ответ: 2𝑥−3𝑎 √𝑥+1−𝑎 ≤ 0 образуют на 3+√41 3 ; 2 ; 0. 4 3 𝑎𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0, { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑥𝑦 + 1 = 0 1.4. При каких значениях а система имеет единственное 1 −7+4√2 решение? Ответ: 1; − 2 ; 2 . 1.5. При каких значениях параметра а сумма S квадратов корней уравнения 𝑥 + 2𝑎𝑥 + 2𝑎2 + 4𝑎 + 3 = 0 является наибольшей? Чему равна эта сумма? Ответ: 𝑎 = 2 −3; 𝑆 = 18. 2.1. Найдите все значения параметра а∈ [−6; 6], при которых неравенство (а + 3)((𝑥 + 1)(𝑎 + 2) + 3𝑥) > 0 выполняется при любых 𝑥 ≥ 0. Ответ: [−6; −5] ∪ (−2; 6]. 2.2. При каких значениях а существует единственный корень уравнения 𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 2 = 0, 11 удовлетворяющий условию 1< x <3 ? Ответ: [3; 3 ) ∪ {2√2}. 𝑥 1 2.3. При каких а уравнение √𝑥 + 2𝑎 + 1 = 𝑎 + 4 имеет ровно два корня? Ответ: 2 ≤ 𝑎 < 5 . 2 2.4. При каких значениях а уравнение 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 − 𝑎 = 0 имеет корни и все они лежат на отрезке [−2; 6]? Ответ: [0; 4]. 2.5. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 𝑎 ≤ 0 не 1 2 имеет ни одного решения х, удовлетворяющего условию 𝑥 ≥ − 2. Ответ: 𝑎 > 5. 2.6. Найдите все значения а, при каждом из которых ровно один корень уравнения 𝑥 + 2(𝑎 − 1)𝑥 + 3𝑎 + 1 = 0 удовлетворяет неравенству х < - 1. Ответ: 𝑎 < −4; 𝑎 = 5. 2.7. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство 𝑥 2 + 2|𝑥 − 𝑎| ≥ 𝑎2 справедливо для всех действительных x . Ответ:[−1; 1]. 2.8. Найдите все значения а, при каждом из которых функция 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3|𝑥 − 𝑎2 | − 2 7𝑥 имеет более двух точек экстремума. Ответ: −√5 < 𝑎 < −√2; √2 < 𝑎 < √5. 2.9. Найдите все значения а, при каждом из которых функция 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2|𝑥 − 𝑎2 | − 6𝑥 имеет хотя бы одну точку максимума. Ответ: −2 < 𝑎 < −√2; √2 < 𝑎 < 2. 2.10. Для каждого значения 𝑎 > 0 найдите уравнения всех прямых, проходящих через начало координат и имеющих ровно две общие точки с графиком функции 𝑓(𝑥) = −𝑥|𝑥 + 8𝑎| − −16𝑎2 . Ответ: 𝑦 = 0; 𝑦 = 2𝑎𝑥; 𝑦 = −16𝑎𝑥. 3.1. При каких значениях а все числа из отрезка -1≤ 𝑎 ≤ 3 удовлетворяют неравенству 1 2𝑎𝑥 + 2√2𝑥 + 3 − 2𝑥 + 3𝑎 − 5 < 0 ? Ответ: (−∞; 2). 3.2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение (4 cos 𝑥 − 3 − 𝑎) cos 𝑥 − 2,5 cos 2𝑥 + 1,5 = 0 имеет хотя бы один корень. Ответ: (−∞; −6] ∪ [0; +∞). 3.3. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение log 𝑥 (4𝑥 − 6 ∙ 2𝑥 − 𝑎) = 0 имеет ровно два различных корня, удовлетворяющих неравенству |𝑥 − 1| ≤ 1. Ответ: (−10; −9). 2 3.4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение хотя бы одно решение. Ответ: 𝑎 < −3; 𝑎 ≥ −2. 43 2 4−𝑥 −𝑎∙21−𝑥 +𝑎 1−𝑥2 2 −1 = 3 имеет 1 𝑎 3.5. При каких значениях a уравнение 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 − (𝑎 + 2) sin 3𝑥 + 2 = 0 имеет ровно три 2𝜋 корня, расположенных на отрезке [ 3 ; 𝜋]? Ответ: 1. 4.1. Найдите все а, при каждом из которых уравнение √1 − 2𝑥 = 𝑎 − 7|𝑥| имеет более двух корней. 4.2. 7 25 Ответ: [2 ; 7 ). Найдите все значения параметра a, при которых при любых значениях параметра b уравнение |𝑥 − 2| + 𝑏|2𝑥 + 1| = 𝑎 имеет хотя бы одно решение. Ответ: 5 2 . 4.3. При каких значениях параметра а уравнение 𝑎|𝑥 − 4| + |𝑥 + 2| − 6 = 0 имеет ровно два различных решения? Ответ: (−1; 1). 4.4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система 2 𝑥 + (𝑦 + 3)2 < 4, −3−√5 { имеет хотя бы одно решение. Ответ: 𝑎 < 16 . 2 𝑦 = 2𝑎𝑥 4.5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑎𝑥 + √−27 − 12𝑥 − 𝑥 2 = 7𝑎 + 3 3 3 имеет единственный корень. Ответ: [− 10 ; − 16); 0. 6 4.6. Найдите все а, при каждом из которых уравнение |𝑥 − 3| = 𝑎𝑥 − 1 имеет на 1 2 промежутке (0; +∞) более двух корней. Ответ: (2 ; 3). 5 4.7. Найдите все а, при каждом из которых уравнение 𝑎|𝑥 − 4| = 𝑥+1 5 имеет на 4 промежутке [0; +∞) ровно два корня. Ответ: (4 ; +∞) ; 5 . 4.8. При каких значениях параметра а из условия |𝑥 + 1| + 𝑎|𝑥 − 2| ≥ 4 следует 3 |𝑥| ≥ 2 ? Ответ: 𝑎 ≤ . 4 4.9. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (−6; −1] (𝑎 + 4)|𝑥|. значение выражения 𝑥2 − 3 не равно значению выражения Ответ:(−∞; −6) ∪ [1,5; +∞). 4.10. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение |𝑥 2 − 16|𝑥|| = 𝑎(𝑥 − 9) имеет ровно три различных корня. Ответ: 0;-4. 4.11. Найдите все значения а, при каждом из которых система (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 4, { 𝑦 = |𝑥 − 𝑎| + 1 имеет ровно три различных решения. Ответ: 2; 2√2 ; −2√2 + 4. 4.12. Найдите все значения а, при каждом из которых общие решения неравенств 𝑦 + 2𝑥 ≥ 𝑎 и 𝑦 − 𝑥 ≥ 2𝑎 являются решениями неравенства 9 2𝑦 − 𝑥 > 𝑎 + 3. Ответ: 𝑎 > 8 . 4.13. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |1 − 𝑎𝑥| = 1 + (1 − 2𝑎)𝑥 + 𝑎𝑥 2 имеет единственный корень. Ответ: 0;1. 4.14. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑥|𝑥 − 2𝑎| − 1 − 𝑎 = 0 имеет единственный корень. Ответ: −1 < 𝑎 < 1+√5 2 . 4.15. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система (|𝑥| − 4)2 + (𝑦 − 4)2 = 4, { (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 𝑎2 имеет единственное решение. Ответ: 3; √41 + 2. 44 4.16. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||||𝑥 2 − 𝑎| − 5| − 2| + 1| = 3 имеет ровно три различных корня. Ответ: -5. 5.1.Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎(√2 − 1)𝑥 + √𝑥 − 2 = 2√2 − 3 имеет хотя бы одно решение. Ответ: 5.2. Решить систему 2𝑥 − sin 𝑦 = 0, 1 { 𝑥2 2 3 2 3 (𝑥 − 𝑥 + 10) (𝑥 − ) − cos 𝑦 = 0. 2 1−√2 2 . 1 π Ответ: (2 ; 2 + 2πn) , nϵZ. cos 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 2, 𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 9 ≤ 0 𝜋 2 имеет единственное решение. Ответ:( + 𝜋𝑛; 3) , 𝑛𝜖𝑍; (𝑎; −3), 𝑎𝜖𝑅. 5.3.Найдите все значения а и b , при которых система 3 { 3 6.1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 2 𝑥 − |𝑥 − 𝑎 + 6| = |𝑥 + 𝑎 − 6| − (𝑎 − 6)2 имеет единственное решение. Ответ: 4; 8. 6.2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система 𝑎(𝑥 4 + 1) = 𝑦 + 2 − |𝑥|, { имеет единственное решение. Ответ: 4. 𝑥2 + 𝑦2 = 4 7.1. Решить уравнение (2𝑥 + 1) (2 + √(2𝑥 + 1)2 + 3) + 3𝑥(2 + √9𝑥 2 + 3) = 0. 1 Ответ:− 5 . 7.2. Найдите все значения а, при каждом из которых число решений уравнения 3(𝑥 2 + 𝑎2 ) = 1 − (9𝑎2 − 2)𝑥 не превосходит числа решений уравнения 𝑥 + (3𝑎 − 2)2 ∙ 3𝑥 = 1 2 (8𝑎 − 4) ∙ log 3 (3𝑎 − ) − 3𝑥 3 . Ответ: . 2 3 7.3. Найдите все значения a, при каждом из которых любое решение уравнения 3 4√3,5𝑥 − 2,5 + 3 log 2 (3𝑥 − 1) + 2𝑎 = 0 принадлежит отрезку [1;3]. Ответ: [-8,5;-3,5]. 8.1. При каких значениях параметра a уравнение √sin 𝑥 + √cos 𝑥 = 𝑎 имеет решения? Ответ: [1; √2√2]. 8.2. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑎𝑥 2 + 5 на множестве, заданном неравенством |𝑥 − 2| ≤ 1, не меньше, чем -3. Ответ: 𝑎 ≤2. 8.3. При каких значениях а уравнение ax 6 e x имеет единственное решение? Ответ: e 6 0; . 6 Группа Б. 1. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству (𝑎 + 2)𝑥 3 − (1 + 2𝑎)𝑥 2 − 6𝑥 + (𝑎2 + 4𝑎 − 5) > 0 хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [−2; 1]. Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (2; +∞). 2. При каждом значении а найдите все решения неравенства 𝑥 + 2𝑎 − 2√3𝑎𝑥 + 𝑎2 > 0. 𝑎 Ответ: при а<0 решений нет; при а=0 х>0; при а>0 [– 3 ; 0) ∪ (8𝑎; +∞). 45 3. При каких значениях параметра а неравенство 𝑥 2 + 4𝑥 + 6𝑎|𝑥 + 2| + 9𝑎2 ≤ 0 имеет 2 не более одного решения? Ответ: 𝑎 ≥ . 3 4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 5|𝑥 − 3𝑎| + |𝑥 − 𝑎2 | + 4𝑥 = 𝑎 не имеет решений. Ответ: (−∞; −8) ∪ (0; +∞). 5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (1 + 𝑎)𝑥 2 + (1 − 𝑎)𝑥 − 5𝑎 − 3 = 0 имеет по крайней мере один корень и все его корни 3 являются целыми числами. Ответ: ±1; − 5 . 6. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение + 2(𝑎 − 2)𝑥 + 𝑎2 − 4𝑎)2 + (𝑎 + 5)(𝑥 2 + 2(𝑎 − 2)𝑥 + 𝑎2 − 4𝑎) − 𝑎2 + 8𝑎 + 2 = 0 имеет (𝑥 2 а) единственное решение; б) ровно два различных решения. Ответ: а)2 + √2; б)(−∞; 2 − √2) ∪ {1} ∪ (2 + √2; +∞). 𝑥 √𝑥 5 7. Для каких а уравнение (1+𝑥)2 + 2𝑎 1+𝑥 + 1 = 0 имеет решение ? Ответ: (−∞; − 4]. 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система { 1 − √|𝑥 − 1| = √7|𝑦|, 1 1 имеет ровно 4 различных решения. Ответ: − 32 ; − 4 . 2 2 49𝑦 + 𝑥 + 4𝑎 = 2𝑥 − 1 9. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система (|𝑥| − 6)2 + (|𝑦| − 6)2 = 4, 15−√57 15 { имеет единственное решение. Ответ: 16 ; 8 . 𝑦 = 𝑎𝑥 + 1, 𝑥𝑦 > 0 10. Решить систему { 𝑥 2 = (𝑥 − 𝑎)𝑦, 𝑦 2 − 𝑥𝑦 = 9𝑎𝑥 3𝑎 9𝑎 Ответ: (𝑐; 𝑐), 𝑐 ∈ 𝑅 при a=0; ( 2 ; 2 для всех значений параметра а. 3𝑎 ), ( 4 ; − 9𝑎 4 ) , (0; 0) при 𝑎 ≠ 0. 11. Найдите все а, при каждом из которых уравнение √3𝑎 + √3𝑎 + 2𝑥 − 𝑥 2 = 2𝑥 − 𝑥 2 1 имеет решения. Ответ: − 12 ≤ 𝑎 ≤ 0. 12. При каких значениях параметра а уравнение 2|𝑥 − 9𝑎| − 2𝑎2 + 35 + 𝑥 = 0 не имеет решений? При каких (остальных) значениях а все решения этого уравнения принадлежат отрезку [−30; 63]? 5 Ответ: (− 2 ; 7) ; [ 9−√211 2 5 ; − 2] ∪ {7}. 13. При каких а неравенство|𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑎| ≤ 10 выполняется при всех 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑎 + 5] ? Ответ:[−2; √69−7 ]. 2 14. Найдите все а, при каждом из которых наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 + 4𝑎𝑥 + 𝑎2 − 2𝑎 + 2 на множестве 1 ≤ |𝑥| ≤ 3 не меньше 6 . Ответ:𝑎 ≤ −2; 𝑎 ≥ 7 + √17; 𝑎 = 0. 15. При каких а уравнение |𝑥 2 − 𝑥 + 𝑎| + |𝑥| = 9 имеет ровно три корня? Ответ: -8; -72. −1±√2 16. При каких а уравнение |𝑥 2 + 𝑎| = |𝑥 + 𝑎2 | имеет ровно три корня? Ответ: 0;-1; 17. Для каждого значения параметра а решить неравенство 𝑥 + √10𝑥 ≤ 𝑎 + 2 + √𝑎 + 9𝑥 + 2 . Ответ: при 𝑎 > −2 𝑥𝜖[0; 𝑎 + 2]; при 𝑎 = −2 𝑥 = 0; при 𝑎 < −2 решений нет. 46 2 . 18. Найдите наименьшее значение выражения 𝑎2 + (𝑏 − 1)2 среди всех тех a и b , для которых уравнение ||𝑥 − 4| − 2| − 𝑎𝑥 + 4𝑎 − 𝑏 = 0 имеет ровно три различных корня. Укажите, при каких a и b достигается это наименьшее значение. Ответ: |𝑥 2 1 5 2 4 ; 𝑎 = ± 5 ; 𝑏 = 5. 19. Найдите все а, при каждом из которых наименьшее значение функции − (1 + 𝑎)𝑥 + 𝑎| + (𝑎 − 1)|𝑥 + 1| меньше 2. Ответ: (−∞; 2). 20. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений 𝑦 2 + 𝑎 = 4 cos 𝑥, { √𝑦 + 𝑧 2 = 𝑎, (𝑎 − 2)2 = |𝑧 2 − 2𝑧| + |sin 2𝑥| + 4 имеет хотя бы одно решение, и укажите решение системы для каждого из найденных 𝜋 значений а . Ответ: ( 2 + 𝜋𝑛; 0; 0) при 𝑎 = 0, где 𝑛 ∈ Ζ; (2𝜋𝑘; 0; 2) при 𝑎 = 4, где 𝑘 ∈ Ζ; при прочих а решений нет. 21. Найдите наибольшее а, при котором неравенство √𝑎 𝜋 4 1 𝑎√𝑎(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 𝑥 2 −2𝑥+1 ≤ √𝑎3 |𝑠𝑖𝑛 2 𝑥| имеет хотя бы одно решение. Ответ: 16 . 3𝑥+𝑎 22. При каких а множество значений функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +5𝑥+7 содержит промежуток (−1; 3]? Ответ : 9. 4 sin 𝑥+𝑎 23. При каких а множество значений функции 𝑓(𝑥) = 4𝑎−2 sin 𝑥 содержит отрезок [0; 1]? Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 2). 24. Найдите все значения а, при которых уравнение 𝑥 4 + (𝑎 − 3)2 = |𝑥 − 𝑎 + 3| + |𝑥 + 𝑎 − 3| имеет не более 1 решения. Ответ: (−∞; 1] ∪ [5; +∞). 25. Найдите все пары значений параметров (𝑎; 𝑏), при каждой из которых уравнение 3 |𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑎| + |𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑎 − 2𝑠𝑖𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4 4𝑎| = 𝑏 (𝑎 + 𝜋) 2 𝜋 Ответ: (2 + 2𝜋𝑘; 0) , 𝑘𝜖𝑍 или (− 3𝜋 2 имеет единственное решение. ; 𝑝), p –любое действительное число. 26. Найдите все значения а, при которых уравнение 𝑥 + (𝑎 − 2|𝑥|)5 + 𝑥 2 − 2|𝑥| + 𝑎 = 0 имеет более трёх решений. Ответ: (0;1). 27. Найдите все действительные значения параметров p и q, при которых система 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑝2 = (10 − 2𝑝)𝑦 + 2𝑝𝑥 + 10𝑝 − 21, уравнений { 𝑥 2 + 𝑦 2 + 52 = 𝑞 2 − 8𝑥 − 12𝑦 𝑥 −𝑥 𝑦 −𝑦 имеет два решения (𝑥1 ; 𝑦1 ) и (𝑥2 ; 𝑦2 ), удовлетворяющие условию 𝑦1 +𝑦2 = 𝑥2 +𝑥1 . 10 1 2 1 2 Ответ: 𝑝 = 2, 𝑞 ∈ (−3√13 − 2; −3√13 + 2) ∪ (3√13 − 2; 3√13 + 2). 28. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (𝑥 2 − 6|𝑥| − 𝑎)2 + 12(𝑥 2 − 6|𝑥| − 𝑎) + 37 = cos 18𝜋 𝑎 имеет ровно два корня. Ответ: -3; 9. 29. Найдите все значения а , при каждом из которых система { 𝑦 = √−5 + 6𝑥 − 𝑥 2 + 3, 𝑦 = √4 − 𝑎2 − 2𝑎𝑥 − 𝑥 2 − 𝑎 имеет единственное решение. Ответ: −5 ≤ 𝑎 < −3; −3 < 𝑎 ≤ −1. 30. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑎 + √−8 + 6𝑥 − 𝑥 2 = 3 + √1 − 𝑎2 + 2𝑎𝑥 − 𝑥 2 имеет единственное решение. Ответ: 2≤ 𝑎 < 3; 3 < 𝑎 ≤ 4. 47 31. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = 2𝑎𝑥 + |𝑥 2 − 8𝑥 + 7| больше 1. 1 Ответ: ( ; 4 + √6). 2 32. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции 8 5 𝑓(𝑥) = 3|𝑥 − 𝑎| + |𝑥 2 + 𝑥 − 2| меньше 2. Ответ:(− 3 ; −1) ∪ (0; 3). 33. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2|𝑥 + 𝑎 − 1| + (𝑎 + 1)2 меньше 3. Ответ:(−1; 1 ). √2 34. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 7|𝑥 − 𝑎| − 𝑥 на отрезке [−5; 5] принимается хотя бы на одном из концов этого отрезка. Ответ: 𝑎 ≤ −3; 𝑎 ≥ 1. 35. Найдите все значения а, при каждом из которых система 𝑥 2 + (5𝑎 + 6)𝑥 + 4𝑎2 + 6𝑎 < 0, { 𝑥 2 + 𝑎2 = 36 48 имеет решения. Ответ: (−3√2; − 17) ∪ (0; 3√2). 36. Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система 𝑦 3 +𝑦𝑥 2 −4𝑦 уравнений { √𝑥+1 = 0, 𝑦 − 𝑎𝑥 = 5𝑎 + 2 имеет единственное решение. Ответ:(− 1 2 √3+2 ; − 2] ; − 7 ; 0. 4 37. Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система (𝑦 − 2𝑎 + 2)2 + (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑎2 − 5𝑎 + 4, { 𝑦 ≥ |𝑥| имеет единственное решение. Ответ: 0;4; 3-√5. 38. Пример. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система (𝑦 2 +𝑥 2 −1)(𝑦 2 −𝑦+𝑥 2 −𝑥) уравнений { √𝑦−𝑥 = 0, 𝑥+𝑦 =𝑎 имеет единственное решение. Ответ:(−√2; 0] ∪ {1} ∪ [√2; 2). 39. Пример. При каких значениях параметра a система уравнений 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑎), { 2 𝑥 + 𝑦 2 ≤ 2(𝑦 − 𝑥 + 7) имеет единственное решение? Ответ: 0; ±7. 40. Найдите все значения а, при каждом из которых система 𝑦 2 − 𝑥 2 ≥ 4(𝑦 − 1), { 2 𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑎2 + 1 ≤ 𝑎2 + 4𝑎(𝑥 + 1) − 2(𝑥 + 𝑎𝑦) 1 имеет решения. Ответ: [− 3 ; 3]. 41. Найдите наименьшее значение а, при котором система 𝑦 2 − 𝑥 2 ≥ 2(𝑥 + 4𝑦) − 15, { 2 𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑎2 − 4 ≤ 𝑎2 + 4(𝑎 − 1)(𝑥 + 1) − 2𝑦(𝑎 − 2) имеет решения. Ответ: −5 − 4√2 . 42. Найдите все значения а, при каждом из которых система 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 − |𝑦| + 𝑎2 + 𝑎 ≤ 0, { 2 𝑦 + 𝑥𝑦 − 2𝑎𝑦 − 𝑎𝑥 + 𝑎2 = 0 48 1 имеет ровно 3 решения. Ответ: 4 . 43. Найдите все значения b, при которых оба неравенства 2𝑏 cos 2(𝑥 − 𝑦) + 8𝑏 2 cos(𝑥 − 𝑦) + 8𝑏 2 (𝑏 + 1) + 5𝑏 < 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 > 2𝑏𝑥 + 2𝑦 + 𝑏 − 𝑏 2 1 выполняются при любых х и у. 1 Ответ: 𝑏 < −1 − 2√2 , − 2 < 𝑏 < 0. 44. Найдите все значения а , при каждом из которых система |𝑥 + 2𝑦 + 1| ≤ 11, { (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 2𝑎)2 = 2 + 𝑎 имеет единственное решение. Ответ: -2; 3. 45. Найдите все значения а, при каждом из которых система { (3√𝑥|𝑥| + |𝑦| − 3) (|𝑥| + 3|𝑦| − 9) = 0, (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦 2 = 25 имеет ровно три решения. Ответ: ±4; 6. 46. Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств 𝑎𝑥 2 + 4𝑎𝑥 − 𝑦 + 7𝑎 + 2 ≥ 0, { 2 𝑎𝑦 − 𝑥 − 2𝑎𝑦 + 4𝑎 − 1 ≥ 0. 1 имеет единственное решение. Ответ: - 2. 47. Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств 𝑥 3 − (𝑎 + 3)𝑥 2 + (3𝑎 + 2)𝑥 − 2𝑎 ≥ 0, { 𝑥 3 − (𝑎 + 3)𝑥 2 + 3𝑎𝑥 ≤ 0 имеет единственное решение. Ответ: 𝑎 ≥ 3. 48. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑎 𝑥 − 2 = 4|4|𝑥| − 𝑎2 | имеет ровно три различных корня. Найти эти корни. Ответ: {−1; 1 7 {− 136 ; 0; 120 } 1 15 17 7 ; 15} при 𝑎 = −2; 1 при 𝑎 = − 8 . 49. Для каждого а найти наименьшее значение функции 𝑦(𝑥) = 𝑥 2 + (𝑎 − 2)𝑥 + 𝑎|𝑥 − 2| − 2𝑎 на отрезке [0; 4]. Ответ: при 𝑎 ≥ 2 𝑥 = −1 , при −3 ≤ 𝑎 < 2 𝑥 = −(𝑎 + 1)2 , при 𝑎 < −3 𝑥 = 8 + 4𝑎 . 𝑥−2 50. Решить неравенство log 8 𝑥(𝑥 − 4) + log 8 𝑥−4 ≥ 𝑎. Ответ: (−∞; 1 − √1 + 8𝑎 ] ∪ (4; +∞) при 𝑎 ≤ 1; (−∞; 1 − √1 + 8𝑎 ] ∪ [1 + √1 + 8𝑎 ; +∞) при 𝑎 > 1. 51. Найти все значения а, при каждом из которых неравенство 1 − |𝑎 + 3||𝑥 + 𝑎 + 6| + (|𝑎 + 3| − 2 𝑎2 +6𝑎+8 )∙ |𝑎+3| 1 |𝑥 + 3| − |𝑎 + 3||𝑥 − 𝑎| ≥ −2 2 выполняется ровно для двух различных значений х. Ответ: −3 ± √3 . 52. Определить, при каких значениях параметра а уравнение log 𝑥+1 (𝑥 2 − 𝑎𝑥) = 1 имеет единственное решение. Ответ: 𝑎 ≤ −1. 53. Определить, при каких значениях параметра а уравнение log 𝑥+𝑎 (𝑥 − 2) = 2 имеет единственное решение. 7 Ответ: 𝑎 < −2; 𝑎 = − 4. 54. Определить, при каких значениях параметра а уравнение 𝑥 𝑥 (√𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 6 + √𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 2) + (√𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 6 − √𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 2) = 2𝑥+1 имеет единственное решение . Ответ: − 2√2 < 𝑎 < 2√2. 49 55. Найдите все а, при каждом из которых уравнение 𝑠𝑖𝑛|𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥| + 𝑎𝑐𝑜𝑠 ( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2 𝑎|𝑥| ) = √1+𝑥 2 имеет хотя бы одно решение. Ответ: 𝑎 ≤ 0; 𝑎 > 2 + √2 . 56. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение log 1 1 1 5 (𝑥 3 −1)(𝑥2 −25) 5 (𝑥−𝑎)−log5(19𝑎−𝑥) =0 1 имеет единственное решение. Ответ: (19 ; 10) ∪ (10 ; 19] ∪ {2} ∪ [1; 5). 57. Найдите все значения 𝑏, при каждом из которых система уравнений 1 { 𝑥 3 − 𝑏𝑦 3 = 2 (𝑏 − 1)2 𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 = 1, имеет решение, и всякое решение системы удовлетворяет уравнению х-у =0 . Ответ: ±1. 58. Найдите все значения а , -1< a <1, при каждом из которых выражение 1 + 2√𝑥 2 − 2𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 10 принимает наименьшее значение только для одной пары чисел x,y. Ответ: − 1 √10 ≤𝑎≤ 59. Решить систему { 1 √10 . √𝑥 2 + (𝑦 − 4)2 + 1 √5 |𝑥 − 2𝑦 − 2| = 2√5, Ответ: (2;0). 𝑥 ≥ 2. 60. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 8|𝑥| + 5√𝑥 2 + 25 = 4|𝑥 − 5𝑎| + 10𝑎 − 𝑎2 имеет решение. Ответ: 15−10√2 ≤ 𝑎 ≤ 15 + 10√2; 𝑎 = −5. 61. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений. Ответ: 𝑎 < − 25 2 √2𝑥𝑦 + 𝑎 = 𝑥 + 𝑦 + 5 . 62. Найти все значения параметров a и b , при которых среди корней уравнения + 2𝑎𝑏 − 𝑏 2 − 7)2 − (2𝑎2 − 5𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 1)(𝑥 − 7)5−𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 0 есть два различных корня с равными абсолютными величинами. Ответ: (2; 1), (−2; −1). 63. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 2 (𝑥 − 𝑥 + 𝑎2 + 1)2 = 4𝑎2 (5𝑥 2 − 𝑥 + 1) имеет ровно три различных корня. (𝑎2 1 Ответ: ±1; ± 10 (2 + √19). 64. Найдите все значения а, при каждом из которых система 2|𝑥|+2 + 3|𝑥| + 5 = 4𝑦 + 3𝑥 2 + 2𝑎, { 𝑥2 + 𝑦2 = 1 5 имеет единственное решение. Ответ: 2 . 65. Найдите все значения а, при каждом из которых система 5 ∙ 2|𝑥| + 3|𝑥| − 2 = 5𝑦 + 3𝑥 2 − 5𝑎, { 𝑥2 + 𝑦2 = 1 2 имеет единственное решение. Ответ: 5 . 66. Найдите все значения а, при каждом из которых система 𝑥 𝑥 (2 − √3) + (2 + √3) − 5 = 𝑎 − 2𝑦 + 𝑦 2 , { 𝑥 2 + (2 − 𝑎 − 𝑎2 )𝑦 2 = 0, 0≤𝑦≤2 имеет единственное решение. Ответ: -3; -2. 67. Найти все значения а, при каждом из которых равносильны системы уравнений: 50 { 𝑎𝑥 + 3𝑦 = 6𝑎 − 4, и 𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 { 𝑥 2 − 2𝑦 4 − 6𝑥 + 8 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 − (2𝑎 + 4)𝑥 + 2(𝑎2 + 𝑎 + 2) = 0. Ответ: 2; 3. 68. Найдите все значения а и b, при каждом из которых система уравнений 𝑥𝑦𝑧 + 𝑧 = 𝑎, { 𝑥𝑦𝑧 2 − 𝑧 = 𝑏, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 имеет единственное решение. Ответ: a =2, b= -2. 69. При каких значениях а уравнение 𝑥 2 +1 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎4 𝑥 + 50−20𝑎 𝑎 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎2 𝑥 + sin(𝜋𝑎) ∙ √3 − 𝑎 = 0 имеет единственный корень? Ответ: 2. 70. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение 2 9−𝑥+1 ∙ 3𝑥 + 𝑎3 + 5𝑎2 + 𝑎 + √2 = sin Ответ: 0; 𝜋𝑥 4 + cos 𝜋𝑥 4 +3 имеет единственное решение. −5±√21 2 . 71. При каких значениях а уравнение (sin 𝑥 − log 4 𝑎)(sin 𝑥 − 2 + 2𝑎) = 0 имеет ровно 𝜋 5𝜋 два корня на отрезке [ 2 ; 2 ]? 1 1 3 Ответ: (4 ; 2) ∪ {1} ∪ (2 ; 4]. 72. Для каждого значения а найти число решений уравнения 𝑎 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝑥 − 1 = cos 2𝑥 , принадлежащих отрезку [0; 2𝜋]. Ответ: при 𝑎 < −1, 𝑎 = 0, 𝑎 > 1 2 решения ; при 𝑎 = ±1 4 решения; при − 1 < 𝑎 < 1, 𝑎 ≠ 0 6 решений. 69. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 2 log 1 (√𝑥 + 𝑎𝑥 + 5 + 1) ∙ log 5 (𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 6) + log 𝑎 3 ≥ 0 имеет ровно одно решение. Ответ:2. 𝑎 73. Найдите все значения 𝑥(3𝑥 −1) а, при каждом из которых уравнение | 3𝑥 +1 − 2𝑎| = 𝑎2 + 1 имеет нечётное число решений. Ответ: ±1. 74. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3 sin 𝑥 + 𝑎| = 𝑎 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − sin 𝑥 имеет хотя бы одно решение на промежутке (𝜋; 3𝜋 2 ]. Ответ: (−1; 1]. 75. Найти все значения параметра b, при которых для любого а уравнение cos(𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥) + 4 cos 𝑎2 𝑥 = 5 𝑏 2 имеет хотя бы одно решение. Ответ: -1. 76. Найдите все значения а, при каждом из которых функция 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 − 8(𝑎 + 1) sin 𝑥 + (4𝑎2 + 8𝑎 − 14)𝑥 является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек. Ответ: 𝑎 < −2 − √5 ; 𝑎 > √5 . 77. Найдите все значения а, при которых решения системы неравенств 2 1 𝑥 − 2𝑥 ≤ 𝑎 − 1, { 2 образуют на числовой оси отрезок длины 1. Ответ: 4 ; 1. 𝑥 − 4𝑥 ≤ 1 − 4𝑎 𝑥 78. Решить неравенство (𝑥 2 − 4𝑥 + 3) log 1 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜋𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2 2) ≥ 2. Ответ: 2. √2 79. Найти все тройки чисел (𝑥; 𝑦; 𝑧), удовлетворяющие уравнению 2 𝑥 + 1 − 2𝑥 sin(𝜋𝑦) + √𝑦𝑧 − 2𝑧 2 − 64 = (41 − 𝑦𝑧)(cos(2𝜋𝑦) + cos(𝜋𝑧))2 . Ответ: 1 1 (1; 256 2 ; 128) , (−1; −256 2 ; −128). 80. При каких значениях p уравнение 4𝑥 + 2𝑥+2 + 7 = 𝑝 − 4−𝑥 − 2 ∙ 21−𝑥 имеет решение? Ответ: 𝑝 ≥ 17. 81. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение 51 cos 2𝑥 + 2𝑎 cos 𝑥 + |2𝑎 + 1| − 2 = 0 имеет решения и все его положительные решения 1 1 2 2 образуют арифметическую прогрессию. Ответ: -2;[− ; 0] ; ; [2; +∞). 82. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений √𝑦 + 𝑎 = 2𝑥 − 𝑥 2 , 1 1 { имеет ровно 4 различных решения. Ответ: (−1; − 2) ∪ (− 2 ; 0). 2 2 𝑦 + 𝑥 = 2𝑥 + 𝑎 83. Найдите все значения параметра a, при которых решением неравенства 1 |3 − 4𝑥|√𝑥 − 𝑥 2 ≥ (2𝑎𝑥 + 0,5 − 𝑎)|3 − 4𝑥| является отрезок длиной 0,5. Ответ:(−∞; − ]. 2 84. При каких значениях уравнение 2𝜋 2 (𝑥 − 1)2 + 4𝑎 cos 2𝜋𝑥 − 9𝑎3 = 0 2 имеет единственное решение? Ответ: 0;− 3 . 85. Найдите наибольшее целое значение а, при котором уравнение 4𝑥−𝑥 2 −𝑎−3 3𝑥 2 − 12𝑥 + 3𝑎 + 9 = 4𝑠𝑖𝑛 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 −2𝑥−𝑎−1 2 имеет ровно два различных решения. Ответ: 0. 86. Найдите все значения а, при каждом из которых система 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦 2 = 8, { 2 2𝑥 + 4𝑥𝑦 + 5𝑦 2 = 𝑎4 − 4𝑎3 + 4𝑎2 − 12 + √105 имеет решение. Ответ: 𝑎 ≤ −1; 𝑎 ≥ 3 . 87. Найдите все значения а, при которых уравнение 𝑎√𝑥 + 𝑦 = √𝑥 + √3𝑦 единственное решение. Ответ: 𝑎 < 1; 𝑎 > 2. 88. При каких значениях параметра а неравенство 𝑎−(2𝑥 +3√2∙2−𝑥 −5) 𝑎−(2 sin √𝑥−1−3) имеет ≥ 0 не имеет 4 решений? Ответ:[−1; 2 √18 − 5). 89. Найдите все значения а, при которых уравнение 10 5 5 3 ∙ √𝑥 + 4 − 7𝑏 2 ∙ √32𝑥 + 96 = √𝑥 2 + 7𝑥 + 12 имеет единственное решение. 2 1 1 2 Ответ: (−∞; −√7] ∪ [−√7 ; √7] ∪ [√7 ; +∞). 90. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑥+1 (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) + 3(𝑥 − 3)√ 𝑥−3 1 = (𝑎 − 1)(𝑎 + 2) имеет единственный корень. Ответ: − 2. 91. При каких значениях параметра уравнение 𝑠𝑖𝑛 + 6) − (𝑎 − 1) sin(𝑥 + 6) sin 𝜋𝑥 + (𝑎 − 1)𝑠𝑖𝑛2 𝜋𝑥 = 0 Ответ: (1; 5). 2 (𝑥 имеет единственное решение? 92. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение √𝑥 3 − 24𝑥 2 + 118𝑥 + 7 = 5√7𝑥 − 𝑥 2 + √𝑎2 − 11𝑎 + 18 имеет единственное решение. Ответ: [ 11−√77 2 ; 2) ∪ (9; 𝑎 11+√77 2 ]. 93. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение sin (𝑥 + 𝑥 ) = 𝑥 + 1 имеет единственное решение. Ответ: 𝑎 ≠ 0. 94. При каких значениях параметра а четыре корня уравнения 4 𝑥 + (𝑎 − 5)𝑥 2 + (𝑎 + 2)2 = 0 являются последовательными членами арифметической 5 прогрессии? Ответ:− 13 ; −5. 95. При каких значениях параметра а три различных корня уравнения 3 𝑥 + (𝑎2 − 9𝑎)𝑥 2 + 8𝑎𝑥 − 64 = 0 являются последовательными членами арифметической прогрессии? Ответ: а =7; корни 2, 4, 8. 96. Найдите все значения а, при каждом из которых область значений функции 52 𝑦= sin 𝑥+2(1−𝑎) 𝑎−𝑐𝑜𝑠2 𝑥 содержит отрезок [1; 2]. 1 3 3 33 Ответ: [3 ; 4) ∪ (4 ; 32]. 97. Найдите все значения а, при каждом из которых система 𝑦 2 − (2𝑎 + 1)𝑦 + 𝑎2 + 𝑎 − 2 = 0, { √(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦 2 + √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 3)2 = 3 имеет единственное решение. Ответ: 𝑎 ∈ [−2; 1) ∪ (1; 4]. 98. При каких значениях параметра a система уравнений √𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 5 + √𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 − 12𝑦 + 40 = 5, { 𝑦 = 𝑥2 + 𝑎 имеет ровно два различных решения? Ответ:[2; 34 9 ). 99. Пример.При каких значениях параметра a система уравнений √𝑦 2 + 𝑦 − 20|𝑦| − 6𝑥 − 𝑎 + 113 + √𝑦 2 + 𝑦 + 12|𝑦| + 10𝑥 − 𝑎 + 49 = √320, { 𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑦 + 𝑎 + 3 = 0 имеет ровно два различных решения? Ответ:[−1; 3); −6; −5. 100. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 4 4 4 √𝑥 2 + 10𝑎2 − 6𝑎𝑥 + √3 − 𝑥 2 − 10𝑎2 + 6𝑎𝑥 ≥ √√3𝑎 + 24 − 3 √2 + |𝑦 − √2𝑎2 | + |𝑦 − √3𝑎| 3 имеет единственное решение. Ответ:√2 . 101. При каждом значении параметра а решить систему ax 2, 3 log 2 a log 2 x 4 log 2 a 2. sin2 sin2 2 x , при a 1;2 9 решений нет. Ответ: при a 1;2 9 a 102. Найти все неотрицательные х, при которых из неравенств 𝑎𝑏𝑥 ≥ 3𝑎 + 4𝑏 + 𝑥, 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 следует неравенство 𝑎𝑏 ≥ 2. Ответ: (0; 4√6]. 7𝑎 12𝑎+17 103. Найдите все значения а, при которых уравнение 𝑎−5 2|𝑥| = 4|𝑥| + ровно два различных корня. Ответ: -170; (−2; 5). 104. Найдите все значения параметра a такие, что каждый корень уравнения 4 2𝑥 4 − 3 𝑎3 = 7𝑎2 + 6𝑎 − 162 sin|𝑥| 𝑎−5 имеет 4 является корнем данного уравнения только при одном значении параметра. Ответ: 𝑎 > 3 . 105. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 36𝑎−9𝑎2 ((2𝑥 + 𝑎)√22𝑎 − 4𝑎2 − 24 − 2(𝑥 2 + 𝑥)𝑙𝑔𝑎) 𝑙𝑔 ( 35 )=0 имеет по крайней мере два 3 5 корня, один из которых неотрицателен, а другой не превосходит -1. Ответ: 2 ; 3 ; [2; 4). 106. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение |𝑥 − 𝑎2 + 𝑎 + 2| + |𝑥 − 𝑎2 + 3𝑎 − 1| = 2𝑎 − 3 имеет корни, но ни один из них не 3 принадлежит интервалу (4; 19) . Ответ: [2 ; 3] ∪ [6; +∞). 107. Найти все решения системы уравнений 53 𝑦 sin 𝑥 { 𝑦 sin 𝑥 = log 2 | 1+3𝑦 | , (6𝑦 2 + 2𝑦)(4𝑠𝑖𝑛 2𝑥 2 + 4𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) = 25𝑦 2 + 6𝑦 + 1, для которых |𝑦| ≤ 1. 𝜋 Ответ: 𝑥 = 2 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; 𝑦 = −1. 108. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 3 4 a4 sin x 3 cos 2 x a 0 выполняется для всех х. Ответ: ( ;). 82 109. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение √𝑥 4 − 8𝑥 3 + 16𝑥 2 − √𝑥 2 + 4𝑎𝑥 + 4𝑎2 = 𝑎 имеет ровно три корня на отрезке [-1; 4]. 4 3 Ответ:−4; [− 3 ; 0) ∪ (0; 4) . 110. Найдите все значения a, при каждом из которых для любого действительного х выполнено неравенство |3 sin 𝑥 + 𝑎2 − 22| + |7 sin 𝑥 + 𝑎 + 12| ≤ 11 sin 𝑥 + |𝑎2 + 𝑎 − 20| + 11. Ответ: -5; [5; +∞). |𝑥| 2 2 111. Найдите все значения а, при каждом из которых система {𝑥 + 𝑦 = log 2 (3 − 𝑥 ) , 𝑦−𝑥 =𝑎 имеет ровно одно решение. Ответ:−√2; 2; [1; √2]. 112. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (|𝑥 + 2| + |𝑥 − 𝑎|)2 − 5(|𝑥 + 2| + |𝑥 − 𝑎|) + 3𝑎(5 − 3𝑎) = 0 имеет ровно два решения. 3 Ответ: (−∞; ) ∪ (1; +∞). 4 113. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (log 8 (𝑥 + 𝑎) − log 8 (𝑥 − 𝑎))2 − 12𝑎(log 8 (𝑥 + 𝑎) − log 8 (𝑥 − 𝑎)) + 35𝑎2 − 6𝑎 − 9 = 0 3 имеет 3 ровно два решения. Ответ:(−∞; −3) ∪ (−3; − 7) ∪ (5 ; +∞). 1 2 114. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (𝑥 + 𝑥−𝑎) − (𝑎 + 9) (𝑥 + 1 𝑥−𝑎 ) + 2𝑎(9 − 𝑎) = 0 имеет ровно 4 решения. Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 3) ∪ (3; 3,5) ∪ (5,5; +∞). 115. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение √𝑥 4 + (𝑎 − 5)4 = |𝑥 − 𝑎 + 5| + |𝑥 + 𝑎 − 5| имеет единственное решение. Ответ: 3; 7. 116. При каких значениях а уравнение 11|𝑥 − 2| + 9 log 4 (𝑥 2 − 4𝑥 + 8) + 𝑎2 = 6𝑎 + 4|2𝑥 − 4 − 3𝑎| имеет решение? Ответ: -3;[9 − 6√2; 9 + 6√2]. 117. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 + |2𝑥 + 5| = |𝑥−3|2 𝑎 имеет не менее двух решений. Ответ: (0; 1) ∪ (1; 5). 118. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |log 3 (𝑥 2 ) − 𝑎| − |log 3 𝑥 +2𝑎| = (log 3 𝑥)2 имеет ровно четыре решения. 1 1 Ответ: (− 12 ; 0) ∪ (0; 12 ). 119. Найдите все значения параметра a, при которых среди корней уравнения sin 2𝑥 + 3𝜋 4𝑎 sin 𝑥 − cos 𝑥 − 2𝑎 = 0 найдутся два корня, разность между которыми равна 2 . Ответ:± 1 √2 ; ± 4. 4 120. При каких значениях параметра a система уравнений 54 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + (𝑥 2 + 2𝑥 − 3)(3 − 𝑥 2 ) = 0, 𝑦 − 𝑎𝑥 − 6𝑎 = 0 имеет более двух различных решений? Ответ: (−∞; −12 − 2√33] ∪[−12 + 2√33; 10 − 2√21] ∪ [10 + 2√21; +∞). 121. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 , { имеет решение. Ответ:(−∞; −√2] ∪[√2; +∞). 𝑥𝑦(2𝑥 2 − 𝑎2 ) = 1 122. При каких значениях параметра a система уравнений 𝑦 = 2𝑎𝑥 − 2𝑥 2 + 6𝑎 − 4, 2 { 3∙3𝑥 3𝑎𝑥 𝑦 = 27𝑎 − 3 { имеет не менее двух различных решений? Ответ: (−∞; −6 − 2√11) ∪ (−6 + 2√11; +∞). Литература 1. Высоцкий И.Р. ЕГЭ 2011. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся [Текст] / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. ФИПИ. – М.: Интеллект-Центр, 2011. – 144 с. 2. Высоцкий И.Р. ЕГЭ 2014. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части С [Текст] / И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, В.С. Панфёров и др.; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. –215 с. 3. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами Изд. 3-е, перераб., доп. [Текст] / П.И. Горнштейн, В. В. Полонский, М. С. Якир. - Харьков: Издательство Илекса, Гимназия, Серия: Кладовая школьной математики, 2005.328 с. 4. Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения [Текст] / В. С. Крамор.- М.: ООО «Издательство Оникс», 2007.- 416 с. 5. Прокофьев А.А. Математика. ЕГЭ 2012. Функция и параметр (типовые задания С5) [Текст] / А.А. Прокофьев, А.Г. Корянов. – Электронный ресурс. Режим доступа: www.alexlarin.net.- 78 с. 6. Ткачук В.В. Математика-абитуриенту [Текст] / В.В. Ткачук.-М.: МЦМНО, 2005.- 944 с. 7. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред. шк. [Текст] / И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение, 1989.- 252 с. 8. Штраус Л.А. Планиметрия в вариантах ЕГЭ и ГИА [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В. Баринова.- Ульяновск: УИПКПРО, 2014.- 46 с. 55 9. Штраус Л.А. Задачи с параметром в вариантах ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В. Баринова.- Ульяновск: УИПКПРО, 2014.- 56 с. Штраус Леонид Авраамович, Баринова Ирина Валентиновна Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации 56 57