Задачи по геометрии

Задачи по геометрии – 8 класс
1
1. Многоугольники
1. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: AB=AD,
BC=CD, O – точка пересечения диагоналей четырехугольника. Сравните периметры пятиугольников
ABCOD и ABOCD.
2. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон
многоугольника.
3. Диагональ AC невыпуклого четырехугольника ABCD разделяет этот четырехугольник на два
треугольника, причем AB>BC, AB=AD, BC=CD, а прямые, содержащие диагонали четырехугольника,
пересекаются в точке О. Сравните периметры пятиугольников BCODA и DCOBA.
4. Докажите, что разность сумм углов выпуклых п-угольника и (п-1) –угольника не зависит от п.
2. Параллелограмм
1. В четырехугольнике ABCD <A + <B = 180o, AB║CD. На сторонах BC и AD отмечены точки М и К
соответственно так, что ВМ =KD. Докажите, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии от точки
пересечения диагоналей четырехугольника.
2. На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки А и В соответственно, МР=РВ=АК,
<MPB=60o. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН.
3. В четырехугольнике МРКН <РМК = <НКМ, РК║МН. Через точку пересечения диагоналей проведена
прямая, пересекающая стороны РК и МН в точках А и В соответственно. Докажите, что АР = НВ.
4. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и К, АВ = ВМ = KD, <AMB=30о. Найдите
углы параллелограмма и сравните отрезки АМ и СК.
5. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС – точки
М и Р соответственно, причем РК=МВ, <KPC=80o, <C=50o. Докажите, что <KMB + <MBP = 180o.
6. Внутри треугольника АВС отмечена точка М, а на сторонах АВ и АС – точки К и Н соответственно так,
что отрезки АМ и КН имеют общую середину, а <KMH=<C. Докажите, что треугольник АВС является
равнобедренным.
7. В треугольнике МРК <M=65o. На сторонах МК, МР, РК отмечены точки А, В, С соответственно так, что
середина стороны РК – точка С, АМ=КС, ВР=АС, <ВАМ=50o. Докажите, что <СРВ + <АBP = 180o.
8. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. На сторонах АВ, ВС и АС отмечены точки D, E
и P соответственно так, что отрезки АЕ и DP имеют общую середину. Докажите, что <DEP=<BCA.
3. Трапеция
1. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в 120 о. Боковая сторона равна
меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
2. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим
основанием, равны по 60о. Найдите отношение оснований.
3. В равнобедренной трапеции Большее основание в два раза превосходит меньшее. Середина большего
основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Найдите углы
трапеции.
4. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол равен 45 о.
Найдите отношение оснований.
4. Прямоугольник
1. В прямоугольнике ABCD О – точка пересечения диагоналей, ВН и DЕ – высоты треугольников АВО и
COD соответственно, <BOH=60o, AH=5см. Найдите ОЕ.
2. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О; АО=ОD, ВО=ОС, <BAC=<DCA. Найдите
<ABC.
3. В прямоугольнике МРКН О – точка пересечения диагоналей, РА и НВ – перпендикуляры, проведенные
из вершин Р и Н к прямой МК. Известно, что МА=ОВ. Найдите угол РОМ.
Задачи по геометрии – 8 класс
2
4. В четырехугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О; РН=МК, РК=МН, <ОМН=<ОНМ.
Найдите <МНК.
5. Ромб и квадрат
1. В ромбе АВСD О – точка пересечения диагоналей; ОМ, ОК, ОЕ – перпендикуляры, опущенные на
стороны АВ, ВС, СD соответственно. Докажите, что ОМ=ОК, и найдите сумму углов МОВ и СОЕ.
2. В треугольнике АВС <B=90o, AB=BC. На сторонах АВ и ВС взяты точки М и Р, а на стороне АС – точки
К и Н так, что четырехугольник МРНК является квадратом, МР=а. Найдите АС.
3. В ромбе МРНК О – точка пересечения диагоналей; на сторонах МК, КН, РН взяты точки А, В, С
соответственно, АК=КВ=РС. Докажите, что ОА=ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
4. В треугольнике МРК <М=90o, МР=МК. На сторонах МР, РК и МК отмечены точки А, В и С
соответственно так, что четырехугольник МАВС является квадратом, АС=а. Найдите РК.
6. Площади
1. На стороне ВС параллелограмма АВСD взята точка М. Докажите, что площадь параллелограмма вдвое
больше площади треугольника АМD.
2. На продолжении стороны AD квадрата ABCD за вершину А взята точка М, МС=20дм, <CMD=30o.
Найдите площадь квадрата.
3. В трапеции АВСD AD – большее основание. Через середину стороны CD и вершину В проведена прямая,
пересекающая луч AD в точке Е. Докажите, что площадь трапеции равна площади треугольника АВЕ.
4. Биссектриса угла В прямоугольника АВСD пересекает сторону AD в точке К, АК=5см, КD=7см. Найдите
площадь прямоугольника.
5. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20см 2, а высота, проведенная из вершины тупого
угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла.
6. Сравните площади параллелограмма и прямоугольника, если они имеют одинаковые основания и
одинаковые периметры.
7. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 40см 2, а стороны 10 см и 8 см.
8. Сравните площади параллелограмма и квадрата, если они имеют одинаковые периметры и сторона
квадрата равна высоте параллелограмма. (Параллелограмм не является прямоугольником).
9. В треугольнике АВС <В=130о, АВ = а, ВС = в, а в параллелограмме МРКН МР =а, МН=в, <M=50o.
Найдите отношение площади треугольника к площади параллелограмма.
10. В прямоугольном треугольнике АВС точка О – середина медианы СН, проведенной к гипотенузе АВ, АС
= 6см, ВС=8см. Найдите площадь треугольника ОВС.
11. В треугольнике АВС <А=15о, АВ = х, АС = у, а в треугольнике МРК КР =х, МК=у, <К=165o. Сравните
площади этих треугольников.
12. В ромбе АВСD диагонали равны 5см и 12см. На диагонали АС взята точка М так, что
АМ:МС = 4:1. Найдите площадь треугольника AMD.
13. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 3дм и составляет с меньшей диагональю
угол 45о. Найдите площадь трапеции, если острый угол трапеции равен 45 о.
14. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания равнобедренной трапеции, делят большее
основание на три отрезка, сумма двух из которых равна третьему. Найдите площадь этой трапеции, если ее
меньшее основание и высота равны по 6 см.
15. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 4см и составляет с меньшей диагональю угол 45 о.
Найдите площадь трапеции, если ее тупой угол равен 135 о.
16. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла и делящая большее основание
на два отрезка, один из которых равен половине меньшего основания, равна 6 см. Большее основание
превосходит меньшее на 2см. Найдите площадь этой трапеции.
Задачи по геометрии – 8 класс
3
17. В равнобедренной трапеции диагональ, меньшее основание и высота равны
соответственно. Найдите площадь этой трапеции.
35 см, 3см и 10 см
18. Меньшая высота параллелограмма равна 4см и делит большую сторону на отрезки, каждый из которых
равен по 3 см. Найдите большую высоту параллелограмма.
7. Теорема Пифагора
1. В некоторой трапеции диагональ и боковая сторона, выходящие из вершины тупого угла, равны 26см и
577 см соответственно, высота трапеции 24см, меньшее основание 7см. Найдите площадь трапеции.
2. В треугольнике АВС АВ=
<ABC.
2 , ВС =2. На стороне АС отмечена точка М так, что АМ =1, ВМ =1. Найдите
3. В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и
диагональ 15 см. Найдите площадь параллелограмма.
82 см соответственно. Большая
4. В треугольнике МРК РК=2. На стороне МК отмечена точка А так, что МА=АР=
<МРК.
3 , АК=1. Найдите
8. Пропорциональные отрезки
1.В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, CD=10 см. Найдите периметр
параллелограмма, если
BC AC

.
CD OC
2. В равнобедренном треугольнике основание меньше боковой стороны на 9,6 см, а биссектриса делит
боковую сторону на отрезки, которые относятся как 3 : 5. Найдите периметр треугольника.
3. В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС. Площади треугольников АВК и КВС относятся как
1:3, ВС=10 см. Найдите АС, если
BC AK

.
AC KC
4. Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки,
из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника.
9. Подобные треугольники
1. Дан треугольник АВС, на стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ=16 см, СЕ=9 см, углы АВС и ВЕС
тупые, ∆ АВС ∆ ВЕС. Найдите ВС.
2. Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см 2. Найдите
площадь каждого треугольника.
3. Дан треугольник АВС. На сторонах ВС и АС взяты точки Е и D соответственно так, что ∆ АВС ∆ DЕС,
причем DE и AB не параллельны, АD = 3cм, DC=5 см, ВС= 7 см.
Найдите СЕ.
4. Площади двух подобных треугольников равны 50 дм 2 и 32 дм2, сумма их периметров равна 117дм.
Найдите периметр каждого треугольника.
5. В треугольнике АВС через точку Р, лежащую на стороне ВС, проведены прямые, пересекающие стороны
АВ и АС соответственно в точках Q и R и параллельные АС и АВ. Докажите, что
PQ •PR= BQ•CR.
6. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и АОD относятся как 1
: 9. Сумма оснований ВС и АD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.
7. На продолжении сторон DC (за точку С) и ВА (за точку А) параллелограмма АВСD взяты соответственно
точки К и Е. КЕ пересекает сторону ВС в точке М, а сторону AD – в точке F. Докажите, что AE •MC=
KC•AF.
8. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке О. Периметры треугольников ВОС и АОD относятся как
2 : 3, АС = 20. Найдите длины отрезков АО и ОС.
9. В треугольниках АВС и А1В1С1 BD и B1D1 – медианы, <A = <A1, <BDA = <B1D1A1. Докажите, что ∆
BDС ∆ В1D1C1.
Задачи по геометрии – 8 класс
4
10. В треугольнике АВС АВ= 4, ВС= 6, АС= 9. Точка Е лежит на стороне ВС. Внутри треугольника взята
точка М так, что МВ= 1
7
2
, МЕ= 2 , СЕ= 2. Докажите, что МЕ ║АС.
3
9
11. В треугольниках АВС и А1В1С1 BЕ и B1Е1 – биссектрисы, <В = <В1,
AE A1 E1
.

EC E1C1
Докажите, что ∆ ABE ∆ A1B1E1.
12. В треугольнике АВС АВ= 4, ВС= 6, АС= 7. Точка Е лежит на стороне AB. Внутри треугольника взята
точка М так, что МВ= 5
1
1
, МЕ= 4 , AЕ= 1. Прямая ВМ пересекает АС в точке Р. Докажите, что ∆ АРВ
4
2
равнобедренный.
10. Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника.
1. ABCD – параллелограмм. От вершин А и В на сторонах AD и BC отложены равные отрезки AQ и BP, E и
F – точки пересечения диагоналей четырехугольника ABPQ и QPCD. Докажите, что EF║BC и EF=
1
BC.
2
2. В треугольнике АВС АВ= ВС. Медианы треугольника пересекаются в точке О, ОА= 5, ОВ= 6. Найдите
площадь треугольника АВС.
3. В прямоугольном треугольнике АВС (<C = 90о ) ВС= 9. Медианы треугольника пересекаются в точке О,
ОВ= 10. Найдите площадь треугольника АВС.
11. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена Медиана ВD, DE ┴ ВС, BD:DC = 2 : 1.
Площадь треугольника DEC равна 20 см2. Найдите площадь треугольника АВС.
2. ABCD – прямоугольник, АВ= 4, ВС= 6, ВЕ ┴АС. Через точку Е проведена прямая, параллельная AD, до
пересечения в точке F со стороной CD. Найдите EF.
3. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, АС : BD= 3 : 2, ОЕ ┴АВ. Площадь треугольника АЕО
равна 27 см2. Найдите площадь ромба.
4. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ= СВ) BD – биссектриса, DЕ ┴АВ, АЕ : ЕВ= 4 : 9, BD+AC =14.
Найдите периметр треугольника АВС.
12. Решение прямоугольных треугольников
1. В прямоугольной трапеции ABCD (<D =<C=90o, AC и BD – основания) АВ= 9, AD=15, BD= 12. Найдите
синус, косинус и тангенс угла CBD.
2. В трапеции ABCD AD=2ВС, BD= 3
основанием диагонали трапеции.
3. В трапеции ABCD
угла BCE.
3 , АС= 3, BD ┴АC. Найдите углы, которые образуют с
(AD║BC) AВ=12, BD=16, АD= 20, BD ┴CE. Найдите синус, косинус и тангенс
4. Площадь ромба равна 4
2 , а его сторона 2 2 . Найдите углы ромба.
5. В ромбе ABCD острый угол равен а. Меньшая диагональ равна d. Найдите площадь ромба. Вычислите
площадь, если d =12,3 , а =62о50’.
6. В прямоугольном треугольнике АВС (<C=90o) точка М лежит на катете ВС. Эта точка находится на
равном расстоянии от АВ и АС, МС= 2,7 , АМ= 4,1. Найдите угла треугольника АВС.
7. В трапеции ABCD (AD║BC) BС=а, АD= 2а, BD ┴АВ, <CBD= β. Найдите площадьтрапеции.
Вычислите площадь, если а =7,6, β =54о21’.
8. В прямоугольном треугольнике АВС (<C=90o) CD – медиана. Найдите угол DCB, если CD= 5,3, ВС=4,7.
5
Задачи по геометрии – 8 класс
13. Взаимное расположение прямой и окружности. Вписанные углы.
1. Диаметр АВ окружности продолжен за точку В на отрезок ВС, СD – касательная к окружности (D – точка
касания). Через точку В проведена хорда, параллельная CD. Радиус окружности равен 10 см, а расстояние от
центра окружности до хорды равно 4 см. Найдите АС.
2. На касательной к окружности от точки касания Р по обе стороны от нее отложены два отрезка РА и РВ.
Точки А и В соединены отрезками с центром окружности О. АО пересекает окружность в точке С, а ВО – в
точке D. Найдите CD, если радиус окружности равен 7, а ОА= ОВ= 25.
3. МА и МВ – хорды окружности с центром в точке О, <AMB = 30o. Найдите длину хорды АВ, если радиус
окружности равен 10 см.
4. На катете АС прямоугольного треугольника АВС ( <C = 90o) как на диаметре построена окружность,
пересекающая гипотенузу АВ в точке D; BD =4см, AD =9см. Найдите CD.
5. КА и КВ – хорды окружности с центром в точке О, <AКB = 45o, АВ =3
окружности.
2 . Найдите длину радиуса этой
6. В равнобедренном треугольнике АВС АС = СВ. На стороне АС как на диаметре построена окружность,
пересекающая сторону АВ в точке D; СD =18, AD =16. Найдите площадь треугольника.
7. Диаметр СD окружности перпендикулярен хорде АВ, АВ и CD пересекаются в точке Е, СЕ =2см. Сумма
АВ и СЕ равна диаметру окружности. Найдите радиус окружности.
8. Диаметр СD окружности с центром О пересекается с хордой АВ в точке К, ОК =5см. Расстояние от
центра окружности до хорды равно 4см. Найдите радиус окружности, если длина хорды равна 16 см.
14. Четыре замечательные точки треугольника
1. В треугольнике АВС биссектрисы АD и СЕ пересекаются в точке М, ВМ=m, <ABC= a. Найдите
расстояние от точки М до стороны АС.
2. Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О, ОА =4, OD =3, BD =4.
Найдите расстояние от точки О до стороны АС.
3. В остроугольном треугольнике АВС h и р – серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС. Они
пересекаются в точке F, CF =10, AB =16. Найдите расстояние от точки F до стороны АВ.
4. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. <A = 2<B. Биссектрисы AF и СЕ пересекаются в точке
О, АО пересекает окружность в точке К. Докажите, что КС║АВ.
15. Вписанная и описанная окружности
1. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 10, 10, 12.
2. Периметр ромба равен 80, а одна из диагоналей 32. Найдите радиус вписанной в ромб окружности.
3. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит ее на части,
равные 6 и 4. Найдите радиус окружности.
4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если ее основания равны 8 и 2.
5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 10, 12.
6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что сторона AD является диаметром этой окружности,
<ABC =130o, <BCD =140o. Найдите углы ВАD, CDA, ACB.
7. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24 см, а радиус описанной около него
окружности 13см. Найдите боковую сторону треугольника.
3 см. Высоты треугольника AD и ВЕ пересекаются
8. Сторона равностороннего треугольника АВС равна
в точке М. Докажите, что вокруг четырехугольника MDCE можно описать окружность, и найдите ее
радиус.