Элементы механики

1
Основы механики
Все живые организмы подчиняются законам механики. Механикой называют раздел физики, в котором изучается механическое движение материальных тел. Механическое движение-это изменение в пространстве и с течением времени взаимного положения
тел или их частей. Примерами механического движения могут быть перемещения небесных тел, транспортных средств, людей, животных, органов людей и животных.
Основными видами механического движения являются поступательное, вращательное и колебательное движения.
Для медиков этот раздел представляет интерес по следующим причинам:
1) понимание механики опорно-двигательного аппарата человека – для целей анатомии и
физиологии; механики движения целого организма для решения задач реабилитационной,
профилактической, спортивной медицины;
2) знание механических свойств биологических тканей и жидкостей;
3) понимание физических основ некоторых лабораторных методик, используемых в практике медико-биологических исследований, например центрифугирования.
Первый раздел механики – кинематика, изучает движение тел без учёта причин, вызвавших это движение.
Составим кинематическое уравнение поступательного1 движение некоторого материального тела вдоль оси ОХ, например, эритроцита вдоль сосудистого русла из точки с координатой Х0 в t=0 в точку с координатой Х за время t (см.рис.1).
0
Х0
Х
Рис.1.
Если движение происходит с постоянной скоростью v, то закон движения примет вид:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡; [x]=м; [t]=с.
Если движение происходит с постоянным ускорением, то закон движения будет иметь:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
𝑎 𝑡2
2
, где x0 v0 – координата и скорость тела в момент t=0.
Мгновенные скорость и ускорения есть производные от перемещения (пути) и скорости
по времени:
1
При поступательном движении траектории любых точек тела одинаковы, поэтому оно эквивалентно движению материальной точки.
2
𝑣=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣
, [v]=м/с , 𝑎 = 𝑑𝑡 , , [a]=м/с2 .
Мгновенная скорость и ускорение – векторные величины. Вектор скорости направлен по
касательной к траектории движения. В общем случае ускорение может быть направленно
под любым углом к скорости. Поэтому его удобно представить как векторную сумму двух
ускорений – тангенциального и нормального.
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения,
направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном
𝑑𝑣
движении: 𝑎𝜏 = 𝑑𝑡 .
Рис. 2. Тангенциальное и нормальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 2) совпадает с направлением
линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения
лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения
тела.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор
нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 2). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается
буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории. А
модуль рассчитывается по формуле:
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝑟
; где v- линейная скорость, r – радиус окружности.
Полное ускорение
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и
нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
3
Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:
=
τ
+
n
Законы динамики
Динамика изучает движение материальных тел под действием сил, приложенных к
этим телам, либо возникающих при взаимодействиях между этими телами или их частями. Основа классической динамики – законы Ньютона.
I закон Ньютона: Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или
действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
II закон Ньютона: В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе:
2
где — ускорение материальной точки;
— равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке;
— масса материальной точки.
Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульс: В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних
сил.
где
— импульс точки3, — её скорость, а — время. При такой
формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки
неизменна во времени.
III закон Ньютона: Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:
2
Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон
Ньютона записывается в виде:
3
Закон сохранения импульса: когда сумма внешних сил, действующих на тело или систему тел, равна нулю,
импульс тела или системы тел является величиной постоянной:
4
Механика вращательного движения абсолютно твердого тела
Кинематика вращательного движения
Вращательное движение составляет, в частности, основу движений элементов
опорно-двигательного аппарата человека и животных. Ноги, крылья совершают вращательные движения, хотя и поворачиваются на небольшие углы. Вращательное движение
тел широко используется в медицине, фармации, санитарной гигиене, в стоматологии и
т.д.
Для описания вращательного движения введём специальную модель – абсолютно
твердое тело (АТТ). Абсолютно твердым телом называют такое, расстояние между любыми двумя точками которого неизменно. При движении размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются. Примером АТТ может быть стальное колесо или стеклянный
шарик. При вращательном движении все точки тела движутся по концентрическим
окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения
ОО’(см. рис. 3):
OO’
Рис. 3
При вращательном движении тела положение тела в любой момент времени
определяется углом поворота φ (угол поворота в радианах). Вращение твердого тела характеризуется угловой скоростью ω4 ( рад/сек) и угловым ускорением ε ( рад/сек2).
Рис. 4.
4
Связь между линейной и угловой скоростями: v =ω⋅r
5
Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени ω = dφ/dt .
Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой
скорости, определяется как производная угловой скорости ε = dω/dt .
Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.
Уравнение равномерного вращения имеет вид φ = φ0 + ωt.
В частном случае, когда начальный угол поворота φ0=0, φ = ωt.
Угловую скорость равномерно вращающегося тела ω = φ/t можно выразить и так:
ω = 2π/T, где T – период вращения тела; φ=2π – угол поворота за один период.
Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным. Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.
Уравнение равнопеременного вращения φ = φ0 + ω0t + εt2/2 и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени, ω = ω0 + εt представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.
Динамика вращения
Мерой взаимодействия тел при вращательном движении является не сила, как при
поступательном движении, а момент силы M (см. рис.5).
Рис. 5
Момент силы М относительно центра вращения — это векторная величина, численно
равная произведению силы F на длину l перпендикуляра, опущенного из центра вращения
на направление силы, называемого плечом силы (кратчайшее расстояние от этой точки
до линии действия силы).
Единица СИ момента силы: [M]= Ньютон · метр
Если: M — момент силы (Ньютон · метр), F — Приложенная сила (Ньютон), r — расстояние от центра вращения до места приложения силы (метр), l — длина перпендикуляра,
опущенного из центра вращения на линию действия силы (метр), α — угол, между вектором силы F и вектором положения r, то
M= F·l= F·r·sin(α)
Момент силы — аксиальный вектор. Он направлен вдоль оси вращения (см. рис. 6).
Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его
равна M. Если тело по отношению к наблюдателю вращается по часовой стрелке, то момент считается положительным, в противоположном случае – отрицательным.
6
Рис.6
Момент инерции
При вращательном движении инерция тела зависит от расположения его массы относительно оси вращения. Чем дальше от оси вращения распределена масса тела, тем
больше её инерция. Это учитывается с помощью величины, называемой моментом
инерции. Момент инерции I материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от центра вращения, численно равен произведению массы на квадрат расстояния
:
I=mr2 ; [I] = кг⋅м2.
Для вычисления момента инерции какого-либо тела его разделяют на множество достаточно малых элементов. Для каждого элемента вычисляют момент инерции, а затем
результаты вычислений суммируют. По такому правилу были рассчитаны моменты
инерции однородных тел правильной геометрической формы (см. рис. 7).
Рис.8
Моменты инерции при вращательном движении туловища человека или его конечностей вычисляются или приблизительно по формулам для цилиндра и круглого стержня, или определяют из опыта. Например, момент инерции человека относительно вертикальной оси вращения, проходящей через центр масс (центр масс тела человека
находится в сагиттальной плоскости несколько впереди второго крестцового позвонка)
составляет 1,2 кгм2 при стойке «смирно» (см. рис. 9).
7
Рис.9.
Момент импульса (орбитальный момент, момент количества движения)
Для материальной точки массой m, равномерно движущейся по окружности со скоростью v, величина L, равная произведению импульса р=mv на радиус окружности r,
называют моментом импульса: L=mvr , [L]=кг⋅м2/с. Момент импульса – величина векторная. Направление вектора, приложенного в центре окружности, перпендикулярно
её плоскости определяют по правилу буравчика (правого винта)(см. рис. 10)
Рис.10
Закон сохранения момента импульса
Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент
импульса этого тела остается постоянным. Этот закон справедлив не только для абсолютно твердого тела. Так, для системы, состоящей из N тел, вращающихся вокруг общей оси,
закон сохранения момента импульса можно записать в форме:
L=∑𝑛𝑖(𝑚𝑣𝑟)𝑖 = ∑𝑛𝑖(𝑚𝜔𝑟 2 )𝑖 = 𝜔 ∑𝑛𝑖(𝑚𝑟 2 )𝑖 = 𝜔 ∑𝑛𝑖(𝐼)𝑖 = 𝜔𝐼=const
Эта зависимость хорошо известна спортсменам, артистам балета (см. рис.11) и цирка.
Фигурист, выполняя вращение в волчке, прижимает руки к туловищу, а по окончании фигуры, разводя руки в разные стороны, постепенно прекращает вращение. «Знают» об этом
законе и выпадающие из окон кошки (см. рис.12).
8
Рис.11. Балерина, исполняющая фуэте.
Рис. 12. Кошка в полёте
Сводная таблица формул прямолинейного и вращательного движений
Прямолинейное движение
Вращательное движение
Положение тела в пространстве
Путь s (м)
Угловая координата φ (рад)
Скорость
Скорость v (м/с)
Угловая скорость ω (рад/с)
Ускорение
2
Ускорение а (м/с )
Угловое ускорение ε (рад/с2)
Мера инертности тел
Масса m (кг)
Момент инерции I (кгм2)
Мера взаимодействия тел
Cила F (Н)
Момент силы M=Fl (кгм2/с)
Закон сохранения количества движения
L== ∑𝒏𝒊(𝝎𝑰)𝒊 =const
Кинетическая энергия
K=mv /2 (Дж)
K=Iω2/2 (Дж)
Второй закон Ньютона
F=ma
M=Iε
2
9
Сочленения и рычаги в опорно-двигательном аппарате
человека
Если рассматривать скелет как совокупность отдельных звеньев, соединенных в
один организм, то окажется, что все эти звенья при нормальной стойке образуют систему,
находящуюся в крайне неустойчивом равновесии. Так, опора туловища представлена шаровыми поверхностями тазобедренного сочленения. Центр массы туловища расположен
выше опоры, что при шаровой опоре создает неустойчивое равновесие. То же относится и
к коленному соединению, и к голеностопному, все эти звенья находятся в состоянии неустойчивого равновесия. Поддержание опорно-двигательной системы в состоянии равновесия и движение человека осуществляется системой костных рычагов, которые приводятся в движение силой тяги, возникающей при сокращении мышц.
Рычагом называется твердое тело, имеющее ось вращения (точку опоры), к которому
приложены силы, создающие моменты относительно этой оси.
Рис.13. Гравюра из «Журнала механики», изданного в Лондоне в 1842 году, изображающая Архимеда, переворачивающего Землю с помощью рычага.
Различают рычаги 1 рода (см. рис. 14), в которых точка опоры располагается между точками приложения сил, и рычаги 2 рода (см. рис.14), в которых точки приложения сил
располагаются по одну сторону от опоры. Среди рычагов 2 рода выделяют рычаги 3 рода (см. рис. 14), с точкой приложения "входящей" силы ближе к точке опоры, чем нагрузки, что даёт выигрыш в скорости и пути.
10
Рис.14
Принцип равновесия для рычага: рычаг находится в равновесии, если сумма моментов
сил (с учётом знака), приложенных к нему, равна нулю (см. рис.15)
Рис.15.
F1D1=F2D2
Примером рычага первого рода может быть череп человека. Ось вращения О рычага проходит через сочленение черепа с первым позвонком. Спереди от точки опоры на относительно коротком плече действует сила тяжести R головы, приложенная в центре масс
черепа, позади точки опоры – сила тяги F мышц и связок, прикреплённых к затылочной
кости. Условие равновесия рычага:Fa=Rb (см. рис. 16).
Рис. 16
11
В анатомии различают также рычаги силы, в которых происходит выигрыш в силе, но
проигрыш в перемещении, и рычаги скорости, в которых, проигрывая в силе, выигрывают
в скорости перемещения. Примером рычага силы может служить действие свода стопы
при подъёме на полупальцы (см. рис. 17).
Рис.17
Опорой рычага служат головки плюсневых костей. Преодолеваемая сила – сила тяжести,
приходящаяся на нижнюю конечность. Осуществляет подъём тела мышечная сила F, приложенная к выступу пяточной кости. Такой рычаг даёт выигрыш в силе.
Примером рычага скорости могут быть кости предплечья, нижняя челюсть человека и т.д..
Точка опоры находится в локтевом суставе (см. рис. 18). Действующая сила – сила F – сила мышц предплечья, сила сопротивления R – сила тяжести поддерживаемого груза и самого предплечья.
У нижней челюсти действующая сила осуществляется жевательной мышцей. Противодействующая сила – сопротивление раздавливаемой пищи – действует на зубы. Плечо
действующей силы значительно короче, чем у сил противодействия, поэтому жевательная
мышца короткая и сильная. Когда надо разгрызть что-либо зубами, уменьшается плечо
силы сопротивления.
Рис. 18.