Технология решения задач - Образование Костромской области

Областной методический конкурс педагогов
образовательных учреждений Костромской области
Дидактические материалы
для учащихся по геометрии в 9 классе
ТЕМА:
Свойства элементов прямоугольного треугольника.
Свойство биссектрисы угла треугольника.
Коржева Наталия Александровна,
учитель математики муниципального общеобразовательного
учреждения
средней общеобразовательной школы №13
КОСТРОМА 2009
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
При составлении данных дидактических материалов, были поставлены следующие
цели:
- помочь учителю организовать учебный процесс при изучении тем « Свойство
биссектрисы угла треугольника» и «Свойство высоты, опущенной из вершины прямого
угла на гипотенузу»,
-дополнить учебник по геометрии по данным темам задачами для самостоятельной
работы учащихся;
- выделение задач для подготовки к ЕГЭ по математике.
Данные дидактические материалы помогают закрепить навыки решения заданий по
применению свойств, вытекающих из подобия прямоугольных треугольников.
Подборку задач можно использовать для текущего и итогового контроля, для
проведения самостоятельной работы, для индивидуального задания на дом, как в 9
классе, так и в 10-11 классах при повторении материала и подготовке к ЕГЭ. В
материалах представлено 22 задачи, к половине из них прилагаются решения. Задачи,
решения которых аналогичны рассмотренным, предлагаются или для самостоятельного
решения в классе, или в качестве домашней работы. Задачи расположены по степени
повышения трудности.
Почему у меня, как у учителя возникла потребность в подборке задач именно по этой
теме? Ответов здесь несколько. Во-первых, в учебнике А.В.Погорелова по которому я
работаю, задач по этой теме практически нет ( только две задачи: №40 п.106 и ещё
несколько задач в дидактических материалах), но они однотипны и в целом не
отражают различных ситуаций на применение свойств. Задач на применение свойств
биссектрисы угла треугольника вообще нет.
Во- вторых отражение этой темы не раз имело место быть в материалах ЕГЭ, и поэтому
я считаю необходимым эту тему более подробно обозначить и для учащихся. В
экзамене по математике увеличилось количество задач по геометрии
Литература:
Комарова В.В. «Экзаменационные вопросы и ответы на 5»
Зеленский А.С. «Справочник для поступающих в вузы» 2003-2004г
Зеленский А.С. Панфилов И.И. «Геометрия в задачах». Серия математика:
«Перезагрузка»
Рыбкин Н.А. «Сборник задач по геометрии»
Зив Б.Г. Мейлер В.М. Баханский А.Г. «Задачи по геометрии»
Гусев В.А. Медяник А.И. «Дидактические материалы по геометрии»
Заголовок
Свойство № 1
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу
Свойство № 2
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между
гипотенузой и его проекцией на гипотенузу
Свойство № 3
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные двум другим сторонам
УровеньА
А1 Периметр треугольника равен 25 см, а его биссектриса делит противолежащую
сторону на отрезки, равные 7,5 см и 2,5 см. Найдите стороны треугольника.
А2 Периметр треугольника равен 35 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса
треугольника делит противоположную сторону.
А3 Один из катетов прямоугольного треугольника равен 10 дм, а его проекция на
гипотенузу – 8 дм. Найдите второй катет и гипотенузу.
А4 Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их проекции на гипотенузу
равны 36 см 64 см.
А5 Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого
угла, если её основание делит гипотенузу на отрезки 4 см и 9 см.
А6 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к
гипотенузе равна 4 3 . Найдите гипотенузу, если один из катетов равен 8.
УровеньВ
В1 В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 36 см и
делит её на отрезки в отношении 9:16. Найти РАВС
Решение
Пусть х – коэффициент пропорциональности,
C
тогда АК -9х см, ВК – 16х см.
А
K
B
Применим свойство высоты в прямоугольном треугольнике,
опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу:
СК = АК  КВ ; СК2= АК ∙ КВ;
362 = 9х∙16х; 1296 = 144х2 ; х2 = 9; х = 3
АК=27см; ВК=48см; АВ=75см.
2) Из ∆ АКС по теореме Пифагора: АС= 1296  729 =
2025 =45 (см)
Из ∆ АВС по теореме Пифагора: ВС= 5625  2025 = 3600 =60 (см)
3) Р АВС = АС+АВ+ВС; РАВС= 180см.
Ответ 180см
В2 В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит её на
отрезки в отношении 16:9. Больший катет треугольника равен 60см. найти длину этой
высоты. (эта задача аналогична предыдущей и поэтому её решение не рассмотрено)
Ответ: 36см
В3 Из точки окружности к диаметру проведен перпендикуляр, который делит диаметр
на отрезки, длины которых относятся как 9:4. Найти длину окружности, если длина
перпендикуляра равна 24см.
Решение:
1) Найдем длину опущенного перпендикуляра,
C
используя свойство высоты. Запишем СD2 =
АD ∙DВ;
А
D
B
O
Пусть х- коэффициент
пропорциональности, тогда АD - 4х, DВ- 9х.
36 х2 = 576, х = 4
2) АВ - диаметр, АВ = АD + DB, АВ = 13х т.к.
х = 4,то
АВ = 52 см АО = 26 см
3) Для нахождения длины окружности
применим формулу: L = 2  R, L = 52  см
Ответ: 52  см.
В4 Из точки окружности, длина которой равна 52 см , опущен перпендикуляр на её
диаметр, Найти отрезки, на которые он делит диаметр, если длина перпендикуляра
равна 24см. ( эта задача является обратной к задаче №3)
Ответ:16см и 36см.
В5 Из вершины угла прямоугольника к диагонали проведен перпендикуляр, который
делит её на отрезки, разность между которыми равна 12 см. Найти площадь
прямоугольника, если длина перпендикуляра равна 8см.
Решение
B
C
проведенной
K
A
D
1) Применим свойство высоты,
из вершины прямого угла ∆АВС на
гипотенузу АС: ВК=
АК  КС ; ВК2=
АК ∙ ВК ; Пусть АК – х см, КС – (х+12)
см, ВК=
х  ( х  12) см,  АК=4см,
КС=16см.
2)Из ∆АКВ по теореме Пифагора:
АВ= 80 cм
3)Из ∆ВКС по теореме Пифагора:
ВС= 320 см
4) SАВСД =АВ ∙ ВС ; S АВСД = 160 см2
Ответ:160см2
В6
Из вершин противолежащих углов прямоугольника к диагонали проведены
перпендикуляры, расстояние между основаниями которых 16см. Найти площадь
прямоугольника, если длины этих перпендикуляров по 6см. (Задача похожа на
предыдущую, поэтому её решение не представлено)
Ответ:120см2
Задачи В7, В8, В9 можно предложить учащимся или в качестве домашней работы или
вынести на самостоятельное решение в классе
В7 Площадь прямоугольного треугольника равна 150, один из катетов равен 15. Найти
длину высоты, опущенной из вершины прямого угла
Ответ: 12
В8 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к
гипотенузе, равна 4  3 Найти гипотенузу, если один из катетов 8.
Ответ:16
В9 Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна b , а один
из острых углов 60○. Найти гипотенузу.
Ответ:
4b
3
В10 Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет 12см и15см.
Найти площадь треугольника на отрезки.
Решение:
1) По свойству биссектрисы угла треугольника
запишем:
С
KB KC
AB 5



AB AC
AC 4
К
Пусть х – коэффициент пропорциональности,
тогда
А
В
5х – сторона АВ, 4х – сторона АС
2) Для ∆АСВ применим теорему Пифагора
АВ2 = АС2 + ВС2 ;
25х2 = 16х2 +729;
х=9;
3) Применим формулу для площади
треугольника: S∆ =
1
АС∙ВС; АС = 36(см); ВС = 27(см)
2
S∆АСВ =486 см2
Ответ: 486 см2
В11, В12 подобны предыдущей задаче.
В11 Биссектриса прямого угла треугольника делит его гипотенузу на отрезки 15см
и20см. Найти площадь треугольника.
Ответ: 294см2
В12 В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный
катет на отрезки длиной 8см и10 см. Найти периметр этого треугольника.
Ответ: 72см
В13 Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на
отрезки 20см и 15см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение
1) Применим свойство биссектрисы угла
А
треугольника:
АК КВ
АС 4



АС СВ
СВ 3
20
К
2) Пусть х- коэффициент пропорциональности , тогда
15
С
В
АС -4х, СВ-3х
Для ∆АСВ применим теорему Пифагора:
АВ2 = АС2+СВ2
25х2=1225
х=7  АС= 28см, СВ=21см
3)Для нахождения радиуса вписанной окружности
применим формулу: r ═
2S
2  294
 7 см
; r=
abc
84
Ответ: 7см
В14 Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки
10см и 26см. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
В
1)Используем свойство биссектрисы угла
треугольника :
26
АВ АС
АВ 26 13




КВ КС
АС 10 5
К
10
С
2) Пусть х - коэффициент пропорциональности,
А
тогда сторона
АВ- 13х, АС – 5х
3) Применим для
∆
АСВ теорему Пифагора:
АВ2= АС2 + ВС2
169х2= 1396+25х2  х=3 АВ=39см
4) Т.к. центр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, является
серединой гипотенузы  R=
1
 АВ R=19,5см
2
Ответ:19,5см
В15, В16, В17 можно задать на дом, с последующей проверкой в классе.
Задача№15 Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу
на отрезки в отношении 4:3. Найти эти отрезки, если радиус вписанной окружности
равен 7.
Ответ: 32
2
1
см и 24 см
3
2
В16 Биссектриса, проведенная из вершины прямоугольника, делит его диагональ на
отрезки 65 см и 156 см. Найти площадь прямоугольника.
Ответ 17340см2
В17Длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника равна 39  см,
один из катетов равен15см. Найти отрезки, на которые биссектриса делит второй катет.
Ответ:26см и 10см
Уровень С
С1 В треугольнике АВС с длинами сторон 13, 14, 15 вычислить площадь треугольника,
заключенного между высотой и биссектрисой, проведенной из вершины В.
1
Решение: 1) S∆АВС = DВ∙DК; ВD - ? DК - ?
2
2) Найдем S∆АВС по формуле Герона: p = 21, S∆АВС = 84.
3) С другой стороны S ∆АВС =
1
2S
АС∙DВ  АС∙DВ = 2S; DВ =
; DВ = 12;
2
АС
4) Примем АК = х, тогда СК = 14 – х; Применим свойство биссектрисы угла
треугольника:
АК КС 
14  х
=
:
=
;  х = 6,5: АК = 6,5
АВ ВС 13
15
5) DК = АК – АD. Найдем АD из ∆АВD по теореме Пифагора: АD = 169  144 =5;
DК = 6,5-5 = 1,5.
6) S∆ВDК =
1
∙12∙1,5 = 9.
2
Ответ: 9.
С2 В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены биссектриса
и высота. Найти тангенс острого угла между ними, если тангенс острого угла
треугольника равен 3.
Решение
А
1) Пусть tg  ВСА=3. Обозначим ВС - х, АВ3х. Выразим АС по теореме Пифагора из
треугольника АВС: АС = х 10 ;
D
2)По свойству биссектрисы угла треугольника
Н
В
запишем:
С
АD
АВ
АD
3
 3, то
 АD = 3DС;
=.
=
DС
ВС
DС
1
т.к. АС = АD + DС, то АС = 4DС
DС =
x 10
1
3
∙АС, DC 
АD = x 10 ;
4
4
4
3) Из подобия треугольников АВН и АСВ (по двум
углам) имеем:
АВ АС
АВ  ВС
3х  х
3х

;  ВН 
; ВН =

;
ВН ВС
АС
х 10
10
НС=
ВН
х
; НС=
tg ВСА
10
4) tg DHB 
DC  HC
10
x

 (x 
);
BH
3x
10
tg  DВН =
10  1
3
С3. Угол треугольника, заключённый между сторонами в 6см и 4см, разделён пополам.
Один из отрезков третьей стороны оказался равным одной из данных сторон.
Определить третью сторону.
Решение:
B
Дано: ∆АВС; АВ = 4см; ВС = 6см;
ABD  DBC 
1
ABC
2
Определить АС
A
ABD  DBC 
D
C
1
ABC - по условию 
2
ВD - биссектриса 
AB BC

- по свойству
AD DC
биссектрисы треугольника
2. Выясним, какой из отрезков (АD или DС) оказался
равным одной из данных сторон: (АВ = 4см или ВС =
6см):
Пусть АD = АВ = 4см, тогда
AB 4
BC 6
  1  DC 
  6(см)
AD 4
1
1
АС = АD + DС = 4 + 6 = 10 (см)
По теореме о неравенстве сторон треугольника:
АВ + ВС > АС, но 6 + 4 > 10 – неверно, то есть:
AD  AB  AD  4см , а также:
BC  DC  BC  6см .
3) Пусть АD = ВС = 6см, тогда
AB 4
BC  6 6  6
  DC 

 9(см)
AD 6
4
4
АС = АD + DС = 6 + 9 = 15 (см)
По теореме о неравенстве сторон треугольника:
АВ + ВС > АС, но 6 + 4 > 15 – неверно, то есть:
AD  AB  AD  4см
4) Пусть DС = АВ = 4см, тогда
BC 6
AB  4 4  4
2
  AD 

 2 (см)
DC 4
6
6
3
АС = АD + DС = 4 + 2
2
2
 6 (см).
3
3
По теореме о неравенстве сторон треугольника:
АВ + ВС > АС, а именно: 6 + 4 > 6
2
- верно, то есть
3
задача имеет единственное решение при
DС = АВ = 4 см.
2
Ответ: АС  6 (см).
3