о моделировании термодинамических характеристик плотной

О МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЫ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ
НА ОСНОВЕ ХИМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
П. А. ЛОБОДА, А. А. ШАДРИН, В. В. ПОПОВА
Российский федеральный ядерный центр –
ВНИИ технической физики, Россия, Снежинск
Введение
> EF
Последовательный расчет термодинамических свойств плотной плазмы в области температур T ∼
( EF — энергия Ферми) и плотностей порядка или меньших плотности ρ 0 твердого тела при нормальных
условиях — т.н. «теплого» плотного вещества (Warm Dense Matter, или WDM) — является на сегодняшний
день одной из важных нерешенных задач. Плазма с такими параметрами образуется при взаимодействии
мощных потоков излучения и пучков частиц с веществом во многих современных экспериментах по физике
высоких плотностей энергии (ФВПЭ). Поэтому в настоящее время в научных лабораториях мира, ведущих
исследования по ФВПЭ, решению этой задачи уделяется большое внимание.
Вещество в области фазовой диаграммы WDM характеризуется сильным кулоновским взаимодействием
заряженных частиц, вырождением электронной подсистемы плазмы, наличием внутренних степеней свободы многоэлектронных ионов, связанных с энергетической структурой их электронных оболочек, возмущенной плазменным окружением (т.н. оболочечных эффектов), а также влиянием собственных объемов ионов
при высоких плотностях плазмы. Необходимость одновременного учета всей совокупности этих факторов
приводит к тому, что детальное описание термодинамических свойств плотной неидеальной плазмы из
«первых принципов» в общем случае становится практически невозможным.
Кроме того, отсутствие систематических экспериментальных данных в интересующей области параметров плазмы в значительной степени осложняет построение не только первопринципных, но и полуэмпирических моделей уравнений состояния (УРС) веществ, имеющих важное практическое значение, например,
для моделирования термоядерных микромишеней в исследованиях по инерциальному термоядерному синтезу, для разработки перспективных проектов ядерно-энергетических установок и др [1].
Для теоретического описания УРС плотной плазмы в настоящее время широко используются хорошо
разработанные ячеечные приближения [2]. Однако, как отмечается в обзорной работе [3], при всей привлекательности и практическом удобстве такого подхода в нем изначально отсутствует важнейший элемент —
самосогласованное обратное влияние межъядерных кулоновских корреляций на равновесное распределение
электронов внутри выделенной ячейки, и, как следствие этого, на суммарные термодинамические функции.
Это обстоятельство может быть проиллюстрировано в рамках т.н. химической модели плазмы [3–6], в которой, как известно, кулоновские корреляции между ионами приводят не только к появлению соответствующих прямых поправок к УРС, но и к сдвигу ионизационного равновесия. При этом наиболее существенное
влияние на УРС часто оказывает именно последний, косвенный, эффект [1].
Другим примером несамодостаточности ячеечного приближения является неучет снижения границы
континуума ионов в плотной плазме за счет влияния соседних ионов (см., например, [3]). Кроме того, в этих
моделях вклад ионов зачастую описывается в приближении модели точечных частиц, что представляется
неоправданным при описании плазмы при плотностях сравнимых и тем более превышающих нормальную
плотность.
По отношению к ячеечным моделям вещества химическая модель плазмы (ХМП) привлекательна тем,
что строится на основе первичных характеристик элементов вещества (например, энергетических спектров
совокупности изолированных ионов и др.), допускает обобщение на плазму сложного состава, и позволяет
провести полное, термодинамически согласованное описание. Как показано в работах авторов обзора [3],
химическая модель вещества, помимо ее традиционной области применимости — разреженной газовой
плазмы, допускает экстраполяцию в область умеренно неидеальной плазмы плотных газов, а также т.н. расширенных металлов в интересующем нас диапазоне плотностей 0.1 ≤ ρ ρ 0 ≤ 1 .
Вместе с тем, в ряде публикаций [1,3,7,8] при расчете уравнений состояния и ударных адиабат пористых
металлов на основе ХМП авторами использовались существенные упрощения. В частности, при описании
вклада связанных состояний ионов в статсуммы:
− либо проводилось ограничение статсумм ионов по основным состояниям;
− либо использовался ограниченный набор данных по энергиям и статвесам уровней энергии (как пра-
1
вило, для первых ионов) — приведенных в справочнике [9] или рекомендованных ИВТ РАН — с непосредственным суммированием вкладов в статсуммы ионов, полученных путем компиляции экспериментальных и расчетных результатов, а также из соображений подобия в строении электронных
оболочек (см., например, [1]).
Эти данные, разумеется, не обеспечивают сколько-нибудь полного описания всей совокупности возбужденных состояний многоэлектронных ионов, особенно с незаполненными оболочками основных конфигураций.
В некоторых известных вариантах химической модели [3,7] опубликованные результаты расчетов плотной сильнонеидеальной плазмы металлов получены авторами в случае, когда сопоставляемые ионным остовам эффективные радиусы не согласованы с учтенными в статсуммах возбужденными конфигурациями. В
частности, в работе [7] статсуммы ионов меди получали суммированием вкладов, используя данные по
энергетическим спектрам [9], тогда как «для простоты» всем ионам меди приписывался одинаковый размер.
Ограничение же статсумм ионов на основных состояниях, очевидно, оправдано либо при низких температурах (по сравнению с энергией однократно возбужденных конфигураций), либо в случае очень высоких
плотностей ρ ρ 0 1 .
Как результат, для достижения удовлетворительного согласия с экспериментальными данными по ударно-волновому сжатию пористых металлов авторы [3,7] вынуждены были прибегать к использованию феноменологического подхода — увеличению радиусов основных состояний ионов (как свободных параметров
модели).
В данной работе в представлении химической модели плазмы построено согласованное описание термодинамических характеристик плотной плазмы многозарядных ионов, которое учитывает:
− эффекты кулоновской неидеальности (в настоящее время используется модель однородной ионной
сферы) и вырождения подсистемы свободных электронов,
− вклад всех связанных состояний ионов (на основе суперконфигурационного подхода [10]), которые
могут реализоваться в рамках физически обоснованного критерия обрезания статсумм,
− эффекты собственных объемов ионов по модели твердых сфер, параметры которых — эффективные
радиусы ионов, согласованы с учтенными в статсуммах ионов вкладами возбужденных конфигураций.
В качестве исследуемого вещества был взят алюминий — материал, широко применяемый в технике и
научных исследованиях по физике высоких плотностей энергии, что обусловливает необходимость знания
его УРС в широком диапазоне давлений и температур.
В работе представлены результаты расчетов степени ионизации, давления и удельной внутренней энергии плазмы алюминия для температур T 10 − 100 эВ и плотностей ρ ρ 0 10−3 − 5 ( ρ 0 = 2.7 г/см 3 ), а также
ударной адиабаты сплошного алюминия в сравнении с экспериментальными данными [11–15] и теоретическими ячеечными моделями ТФПК [16,17], КУРС [18,19], ССП [20], МХФС [21].
Equation Section (Next)1. Свободная энергия неидеальной плазмы
Как известно [22,23], термодинамически согласованные выражения, описывающие состояние плазмы в
переменных температуры Т и удельного объема V = 1/ ρ , находятся путем определения термодинамического потенциала — удельной свободной энергии Гельмгольца.
Свободная энергия F (T , V , N ) неидеальной плазмы дается выражением [22,23]:
Z
F (T , ρ , N ) = ∑ Fq( id ) + Fe( id ) + ΔF (T , ρ , N ) , N =
q =0
{{N } , N }.
q
(1.1)
e
Здесь
⎡ ⎛U
q e − βε 0q ⎞ ⎤
Fq(id ) = − k BTN q ⎢ ln ⎜ 3
(1.2)
⎟ + 1⎥ ,
⎢⎣ ⎜⎝ λ ρ N q ⎟⎠ ⎥⎦
— идеально-газовый вклад ионов с кулоновским зарядом q; T — температура плазмы; ρ — плотность плазмы; N = ∑ N q = N A / A — число ядер в 1 г вещества; N q , N e — число ионов заряда q и число свободных
q
электронов в 1 г вещества; N A — число Авогадро; A — атомный вес; λ = ( h 2 / ( 2π Mk BT ) )
12
— тепловая де-
q — модифицированная статсумма по возбужденным состояБройлевская длина волны иона с массой M; U
ниям q-иона в суперконфигурационном приближении, выражение для которой приведено ниже в п.3;
2
⎛
⎞
2
(1.3)
I 3 2 ( βμe ) ⎟ ,
⎜ μe I1 2 ( βμe ) −
3β
⎝
⎠
— вклад свободных электронов в приближении идеального частично-вырожденного ферми-газа, где
β = 1/ k BT ; k B — постоянная Больцмана; λe — тепловая де-Бройлевская длина волны электрона с массой
Fe(id ) =
4
π ρλe3
me ; μe — химический потенциал свободных электронов; I k ( βμe ) — интегралы Ферми-Дирака;
( CS )
ΔF (T , ρ , N ) = ΔFc( IS ) + ΔFHS
(1.4)
— поправка к свободной энергии на взаимодействие частиц плазмы;
⎛ 3q ⎞
( qe )
9
ΔF (T , ρ , N ) = − ∑ N q
(1.5)
, Rq = ⎜
⎟
10 q > 0
Rq
⎝ 4πρ N e ⎠
— учет кулоновского взаимодействия заряженных частиц по модели ионной сферы [24], где Rq — радиус
1/ 3
2
( IS )
c
экранирования для ионной сферы с ионом заряда q в центре;
ΔF
( CS )
HS
(T , ρ , N ) = NkBT ⋅
4ν − 3ν 2
(1 −ν )
2
4π
, ν =
3V
⎛ rq
∑q N r = ∑q N q ⎜⎜ r i
⎝ 0
3
q q
— учет эффектов собственного объема ионов с эффективными радиусами
⎞
⎟
⎟
⎠
3
{r (T , ρ , N )}
q
(1.6)
в приближении
Карнахана-Старлинга для твердых сфер [25], где ν — параметр упаковки, равный отношению собственного
объема ионов к полному объему плазмы.
2. Модифицированные уравнения Саха
Равновесный состав плазмы N =
{{N } , N } , соответствующий min ( F (T , ρ , N )) (1.1), находится из реq
e
шения системы нелинейных уравнений ионизационного равновесия (совместно с условиями электронейтральности и сохранением числа ядер в системе) с учетом поправок на межчастичное взаимодействие1:
( ln U
q' )
− ∑ Nq ' L
⎧ cq +1
− β ( I q −ΔI q( c ) −ΔI q( HS ) )
− βμe U q +1
q'
e
e
e
,
=
⋅
⋅
⋅
⎪
q
U
⎪ cq
⎪
3/ 2
AT[ кэВ
4
]
⎪
357.7854
βμ
=
=
⋅
⋅ I ( βμe ) ,
Z
I
(
)
e
12
⎪⎪
ρ ⎡г / см3 ⎤ 1 2
π ρ N λe3
(1.7)
⎣
⎦
⎨
⎪Z
⎪∑ qcq = Z ,
⎪ q =0
⎪Z
⎪∑ cq = 1.
⎪⎩ q = 0
≡ ⎛⎜ ∂ − ∂ − ∂ ⎞⎟ — оператор дифференцирования по числу частиц, ΔI ( c ) , ΔI ( HS ) — поЗдесь L
q
q
⎜ ∂N
⎟
⎝ q ∂N q +1 ∂N e ⎠
правки к потенциалам ионизации на кулоновское взаимодействие ионов как бесструктурных заряженных
частиц (снижение потенциала ионизации за счет экранировки) и за счет эффектов собственных объемов ионов, приводящих к формированию равновесного ионного состава с меньшими радиусами.
Выражения для поправок ΔI q( c ) в приближении ионной сферы и ΔI q( HS ) по модели твердых сфер Карнаха-
на-Старлинга имеют следующий вид:
ΔI q( c )
1
⎧ e2
q = 0,
⎪ i,
⎪ 2r0
⎨
2
⎪ 3 qe , q > 0,
⎪ 2 Rq
⎩
(1.8)
На данный момент в разработанной программе по техническим причинам не реализован учет поправки ∑ Nq ' L ( ln U q ' ) в
q'
(1.7).
3
ΔI
⎛ 4 − 2ν ⎞ ⎛ ⎛ rq
⎟⋅⎜⎜
= Nk BT ⋅ ⎜
⎜ (1 −ν )3 ⎟ ⎜ ⎜ r0i
⎝
⎠ ⎝⎝
( HS )
q
3
3
⎞ ⎛ rq +1 ⎞ ⎞
⎟⎟ − ⎜⎜ i ⎟⎟ ⎟ .
⎠ ⎝ r0 ⎠ ⎠⎟
(1.9)
3. Модифицированные статсуммы ионов в модели STA
В данной работе расчет вклада возбужденных состояний ионов в статсуммы проводится в рамках суперконфигурационного подхода, лежащего в основе модели STA (Super Transition Arrays), разработанной для
эффективного описания оптических характеристик плазмы многоэлектронных ионов [10].
В модели STA множество всех детальных конфигураций представляется множеством т.н. суперконфигураций (SC), каждая из которых объединяет совокупность атомных конфигураций с близкими средними
значениями энергии. В результате число SC может быть существенно меньшим числа исходных конфигураций. Важным достоинством модели STA является возможность введения различного уровня детализации
описания множества связанных конфигураций. При максимальной детализации множества SC реализуется
т.н. конфигурационное приближение, когда каждая SC представляет собой детальную конфигурацию.
В основе модели STA лежит предположение о том, что для равновесной высокотемпературной плазмы
больцмановский множитель слабо изменяется в пределах каждой конфигурации, так что соответствующие
им термы (детальные уровни энергии, проклассифицированные по квантовым числам) можно считать заселенными пропорционально их статвесам. При этом распределение населенности по конфигурациям внутри
суперконфигурации считается больцмановским.
Суперконфигурация Ξ Q( jσ) Qσ Qσ … определяется совокупностью супероболочек {σ n } , объединяющих обо1
2
3
{ }
лочки с близкими энергиями связи, с заданными числами заполнения Qσ( nj ) :
σ 1 = (1s)
Q1( j )
,
σ 2 = (2s2p)
Q(2 j )
σ 3 = (3s3p3d)
(1.10)
,
Q3( j )
и т.д.
Например, для j-й SC:
Ξ Q( j()j ) Q( j ) Q( j ) … = (1s )
σ1
σ2
Qσ( j )
1
σ3
∑ Qσ
( j)
n
n
( 2s 2 p )
Qσ( j )
2
( 3s3 p3d )
Qσ( j )
3
…,
(1.11)
= Q, Qσ( nj ) ≤ 2n 2
(1.12)
для иона с зарядом q и Q = Z − q связанными электронами.
Суперконфигурационная модель позволяет свести рассмотрение огромного числа детальных конфигураций многозарядных ионов с большим числом связанных электронов к нескольким десяткам – сотням SC.
В SC-приближении энергии суперконфигураций Ξ ( j ) ионов аппроксимируются суммой, в которой явно
выделяется одноэлектронный вклад EΞ(0)( j ) (из решения задачи для атомных электронов в центральном поле)
и поправка 1-го порядка на не сферически-симметричную часть межэлектронного взаимодействия ΔEΞ( j ) ,
которая предполагается одинаковой для всех термов SC:
EΞ( j ) = EΞ(0)( j ) + ΔEΞ( j ) =
∑
qs ε s + ΔEΞ( j ) .
( s∈σ )∈Ξ ( j )
(1.13)
Приближение (1.13) позволяет выделить в статсумме суперконфигурации U Ξ( j ) q-иона основной вклад
q
«уточненного» нулевого порядка U
(0)
Ξ (q j )
:
U Ξ( j ) = e
− βΔE
( j)
Ξq
q
U Ξ(0)( j ) =
q
∏
q
(1.14)
⎛ g s ⎞ qs
− βε sq
.
⎟⋅ Xs , Xs = e
s ⎠
n ⎝
(1.15)
q
∏σ ⎜ q
∑
Uσ n =
⋅ U Ξ(0)( j ) ,
∑ s qs = Qσ( nj ) s∈
Искомая статсумма q-иона в модели STA равна:
U q = ∑ U Ξ( j ) .
σ n ∈ Ξ (q j )
j
(1.16)
q
Здесь приняты следующие обозначения: U Ξ( j ) — статсумма SC Ξ (q j ) q-иона; U σ n — статсумма суперq
q
4
⎛g ⎞
оболочки σ n q-иона; ⎜ s ⎟ — биномиальный коэффициент, определяющий статвес (кратность вырождения)
⎝ qs ⎠
s-оболочки с емкостью (статвесом) одноэлектронных состояний g s = 2 ( 2ls + 1) , т.е. число возможных состояний qs электронов; qs — числа заполнения s-оболочек; ε sq — одноэлектронные энергии s-оболочек.
Одно из основных достижений SC-подхода состоит в том, что необходимые для расчетов статсуммы
(1.14) ионов могут быть получены с использованием следующих рекурсивных соотношений:
(
Q −1
)
QU Q = ∑ U i χ Q − i , χ k = ∑ s − g s ( − X s ) ,
i =0
k
(1.17)
позволяющих рассчитать статсумму иона с Q связанными электронами всего за Q шагов. Учитываемое при
этом число суперконфигураций ~ нескольких сотен, содержащих в случае среднеионизованных ионов с высоким Z огромное количество возбужденных конфигураций, детальный расчет которых, по существу, бессмыслен с точки зрения обеспечения необходимого уровня точности и к тому же, практически нереален по
времени счета.
Для ограничения статсумм ионов в данной работе использован подход Хаммера и Михаласа [5,6,26], основанный на введении в статсумму иона физически обоснованных эффективных вероятностей заселения
одноэлектронных состояний изолированных ионов при учете эффектов плазменной неидеальности. Для учета плазменных эффектов использовались модифицированные статсуммы ионов в SC-приближении (на данном этапе без учета поправок 1-го порядка ΔEΞ( j ) ):
q (T , ρ , N ) = U
U
∑ Ξ(q j ) ,
(1.18)
j
Ξ( j ) =
U
q
∏
σ n ∈ Ξ (q j )
σ =
U
nq
∑
∑ s qs = Qσ( nj )
⎛ g s ⎞ qs − βε sq
( MF )
,
⎟ ⋅ X s , X s = ws (T , ρ , N ) ⋅ e
s ⎠
n ⎝
∏σ ⎜ q
s∈
(1.19)
MF
в которые введены ws( ) (T , ρ , N ) — одноэлектронные вероятности заселения одноэлектронных состояний
ионов при учете возмущения плазменным ионным микрополем с использованием аппроксимации функции
распределения микрополя по модели Хупера [26], зависящие от плотности, температуры и состава плазмы.
{ }
Необходимые одноэлектронные энергии связи ε sq
для ионов Al были рассчитаны методом Хартри-
Фока с релятивистскими поправками (HFR-методом) в одноконфигурационном приближении по программе
RCN36 из пакета CATS, разработанного Р. Кауэном (R.D.Cowan) [27]. В этих расчетах значения энергий
связи электронов возбужденных оболочек определялись для конечного набора конфигурацийпредставителей, составленного из основных и однократновозбужденных конфигураций всех ионов алюминия. Последние строились путем возбуждения одного электрона из верхней оболочки основной конфигурации каждого иона. При этом волновые функции электронов остова не фиксировались, но в качестве значе-
{ } оболочек остова брались те энергии, что были получены в HFR-расчете для основной конфигура-
ний ε sq
ции соответствующего иона.
Таким образом, для каждого иона алюминия был получен набор одноэлектронных энергий оболочек от
{ }
(1s) до (8k), и составлена таблица ε sq . Потенциалы ионизации основных конфигураций ионов при этом
равны энергиям связи электронов на внешних оболочках и приведены в таблице 1.
4. Эффективные радиусы ионных остовов
В данной работе расчет модифицированных статсумм в SC-приближении проводился с использованием
разбиения на супероболочки, объединяющие атомные оболочки с одинаковыми главными квантовыми числами n (1.11).
Для каждого иона с зарядом q и числом связанных электронов Q = Z − q генерируется набор SC {Ξ j } ,
характеризующихся числами заполнения супероболочек {Qi( j ) } :
( j)
( j)
( j)
( j)
( j)
Ξ j = (1s )Q1 (2 s 2 p )Q2 (3s3 p3d )Q3 (4 s 4 p 4d 4 f )Q4 (5s5 p5d 5 f 5 g )Q5 …
(1.20)
( j)
… (8s8 p8d 8 f 8 g 8h8i8k )Q8 .
Для иллюстрации характерного разбиения множества всех конфигураций на подмножество SC в таблице
1 приведены примеры суперконфигураций, содержащих основные конфигурации ионов алюминия — для
краткости, основные SC.
5
Определим величину kσ — число дополнительных (непустых) супероболочек с n > nоснmax (nоснmax —
наибольшее значение главного квантового числа для оболочек основной конфигурации иона), определяющих наборы SC конкретных ионов в расчетах статсумм по SC-модели. Например, для атома алюминия, в
зависимости от kσ будем иметь различные наборы SC, образованные разным числом супероболочек:
(1s )Q1 (2s 2 p )Q2 (3s3 p3d )Q3 ,
(1s )Q1 (2s 2 p )Q2 (3s3 p3d )Q3 (4 s 4 p 4d 4 f )Q4 ,
(1.21)
kσ =1
(1s ) (2s 2 p ) (3s3 p3d ) (4 s 4 p 4d 4 f )Q4 (5s5 p5d 5 f 5 g )Q5 ,
Q1
Q3
Q2
kσ = 2
и, соответственно, разное число учтенных вкладов возбужденных конфигураций в статсумме.
Далее для каждой SC Ξ j рассчитываются статсуммы всех супероболочек U σ( ij ) и статсумма суперконфигурации U Ξ j = ∏ U σ( ij ) . Искомая статсумма иона есть U q = ∑ U Ξ j . Одновременно для каждой SC Ξ j расj
i
считываются средние числа заполнения оболочек q
( j)
s
[10].
Для каждой SC рассчитывается эффективный заряд ионного остова, видимый связанными электронами с
главным квантовым числом n:
Z eff( j , n ) = Z − ∑ σ nn ' ( Qn − δ nn ' ).
(1.22)
n'
Здесь Z — заряд ядра химического элемента, σ nn ' — матрица экранировки, взятая из работы [28]; Qn —
число электронов на оболочках с главным квантовым числом n (в данном случае равное числу заполнения nй супероболочки). С помощью рассчитанных значений Z eff( j , n ) находятся радиусы орбиталей по водородоподобному выражению ( a0 — боровский радиус):
rnl( j ) =
( 3n
2
− l ( l + 1) )
2 Z eff( j , n )
(1.23)
a0 .
Для определения эффективного радиуса rq ионного остова определяется суперконфигурация Ξ J , внося-
{ }
щая наибольший вклад в полную статсумму иона, т.е. U Ξ J = max U Ξ j . Таким образом, определенная
Таблица 1 — Основные SC и потенциалы ионизации ионов алюминия в основных конфигурациях,
полученные в HFR-расчетах по программе RCN36 из пакета CATS.
Заряд иона, q
Основные суперконфигурации
I q , эВ
0
(1s ) 2 (2 s 2 p )8 (3s3 p3d )3
6.40
1
(1s ) 2 (2 s 2 p )8 (3s3 p3d ) 2
18.54
2
8
3
2
(1s ) (2 s 2 p )
8
122.73
4
(1s ) 2 (2s 2 p )7
158.53
5
(1s ) 2 (2 s 2 p )6
197.39
6
(1s ) 2 (2s 2 p )5
239.27
2
1
(1s ) (2 s 2 p ) (3s3 p3d )
28.65
2
4
284.11
8
2
(1s ) (2 s 2 p )
3
331.88
9
(1s ) 2 (2s 2 p ) 2
395.71
10
(1s ) 2 (2 s 2 p )1
442.68
11
(1s ) 2
2088.42
12
1
2304.58
7
(1s ) (2s 2 p )
(1s )
6
(
) (
наиболее представленная SC — согласно распределению Больцмана N qJ / N q ∼ U Ξ J / U q
) — отвечает наи-
более представленному суперконфигурационному набору состояний ионов сорта q. Среди оболочек непустых внешних супероболочек SC Ξ J , находится оболочка с наибольшим радиусом rs , значение которого
выбирается в качестве эффективного радиуса ионного остова rq .
Таким образом, в результате самосогласованной вариационной процедуры рассчитываются статсуммы
ионов U q (T , ρ , N ) с учетом возмущения плазменным микрополем, эффективные радиусы ионов
{r (T , ρ , N )}
q
и определяется равновесный ионный состав плазмы N =
{{N } , N }
q
e
с учетом поправок на
кулоновское взаимодействие заряженных частиц и эффекты собственных объемов ионов.
5. Уравнения состояния плазмы
Дифференцирование свободной энергии F (1.1) по удельному объему V = 1/ ρ и температуре T позволяет получить термодинамически согласованные выражения для давления Р (T , ρ , N ) и (удельной) внутренней энергии E (T , ρ , N ) [22,23]:
Р (T , ρ , N ) = Рi(id ) + Рe(id ) + ΔРint + ΔРc + ΔРHS ,
E (T , ρ , N ) = E
( id )
i
+E
( id )
e
(1.24)
+ Eioniz + ΔЕint + ΔEc + ΔEHS .
(1.25)
Здесь
Рi(id ) = ρ Nk BT , Ei(id ) =
— идеально-газовый вклад ионов;
Рe(id ) = k BT
8
I 3 / 2 ( βμe )
3
Nk BT
2
, Ee( id ) = k BT
4
(1.26)
I 3 2 ( βμe )
λ
λe
πρ
3 π
— идеально-газовый вклад (частично) вырожденных свободных электронов;
3
e
3
q −1
Eioniz = ∑ N q (1 − δ q ,0 ) ∑ I k
(1.27)
(1.28)
k =0
q >1
q
— энергозатраты на ионизацию ионов (относительно энергии системы изолированных атомов);
q
q
∂ ln U
∂ ln U
(1.29)
, ΔЕint = k BT 2 ⋅ ∑ N q
ΔРint = k BT ∑ N q
∂V
∂T
q
q
— вклад в давление, связанный с зависимостью статсумм от плотности, и вклад энергозатрат на возбуждение ионов в внутреннюю энергию;
2
2
( qe )
( qe )
3
9
, ΔEc = − ∑ N q
ΔPc = − ∑ ρ N q
(1.30)
Rq
Rq
10 q
10 q
— поправки на кулоновское взаимодействие заряженных частиц;
⎛ 4 − 2ν ⎞ ∂ν
⎛ 4 − 2ν ⎞ ∂ν
⎟⋅
⎟⋅
ΔPHS = − Nk BT ⋅ ⎜
, ΔEHS = − Nk BT 2 ⋅ ⎜
3
⎜ (1 −ν ) ⎟ ∂V
⎜ (1 −ν )3 ⎟ ∂T
⎝
⎠
⎝
⎠
— поправки на эффекты собственных объемов ионов.
(1.31)
6. Результаты расчетов
6.1 Степень ионизации и ионный состав плазмы
Моделирование оптических и термодинамических свойств плазмы предъявляет высокие требования к
точности расчета ионного состава плазмы. Одной из его характеристик является средняя степень ионизации
Z = N e / N — число свободных электронов на одно ядро.
7
Рисунок 3 — Состав плазмы алюминия при температуре
T = 40 эВ в зависимости от относительной плотности.
Сплошные линии — расчет при kσ = 0 ; пунктир — расчет
Рисунок 2 — Влияние числа учтенных дополнительных супероболочек на зависимость степени ионизации
Z (T , ρ ) плазмы алюминия при T = 40 эВ от относи-
при kσ = 2
тельной плотности
На рисунке 2 представлены результаты расчетов зависимости Z (T , ρ ) плазмы алюминия от плотности
при температуре T = 40 эВ. На рисунке хорошо видна сходимость по числу учтенных возбужденных конфигураций в статсуммах ионов. В основном эффект от учета дополнительных вкладов в статсуммы проявляется в области низких плотностей, поскольку в этой области возбужденные состояния возмущены значительно
слабее, чем при высоких плотностях. В области твердотельных плотностей ρ ρ 0 ≥ 1 учет дополнительных
супероболочек практически не влияет на ионный состав плазмы вдоль данной изотермы и, соответственно,
степень ионизации, поскольку плазменное окружение делает существование суперконфигурационных состояний, отвечающих “добавочным” супероболочкам, еще менее вероятным, чем основных SC. Учитывая
результаты сравнительных расчетов, представленных на рисунке 2, дальнейшие расчеты статсумм ионов
проведены по СК-модели при kσ = 2 .
Реалистичность описания вклада связанных состояний ионов в статсуммы может быть охарактеризована
зависимостями ионного состава для ряда значений. Из представленных на рисунке 3 результатов расчетов
видно, что используемое описание вклада связанных состояний является, в целом, удовлетворительно и не
содержит изломов на зависимостях ионного состава, возникающих в случае значительной неточности в описании вкладов связанных состояний в статсуммы ионов. В результате учета бóльшего числа (при kσ = 2 )
вкладов связанных состояний распределение оказывается сдвинутым в сторону меньших q.
На рисунке 4 приведены зависимости средней степени ионизации Z (T , ρ ) плазмы алюминия в зависимости от плотности при температуре T = 12.5, 40 и 58 эВ в сравнении с расчетами по другим моделям.
Из рисунка 4 видно, что при газовых плотностях наблюдается хорошее согласие между всеми представленными моделями. Результаты расчетов по моделям UBCAM, QEOS, TF [29,30], SPECTR [31] и настоящей
работы в области твердотельных плотностей качественно согласуются и воспроизводят один из важных эффектов в сильнонеидеальной плазме — ионизацию давлением. При этом результаты по моделям TF и QEOS,
электронный вклад в которой описывается по модели Томаса-Ферми, практически повторяют друг друга.
Результаты данной работы наиболее близки к результатам расчета по модели UBCAM (радиационностолкновительная модель с использованием эффективного экранированного потенциала, учитывающего
квазисвязанные состояния). Вместе с тем, при малых температурах наблюдается существенное расхождение
в величине эффекта ионизации давлением при ρ ρ 0 > 1 по разным моделям.
Средняя степень ионизации по модели SPECTR, разработанной для вычисления спектров поглощения
многоэлектронных ионов в слабо- и умеренно-неидеальной плазме ( Γ Z Z < 1 ), в целом, близка к результатам, полученным по другим моделям, всюду кроме области больших сжатий ρ ρ 0 > 5 , где с увеличением
температуры SPECTR дает завышенные значения Z (T , ρ ) . Очевидно, это связано с тем, что используемое
в пакете SPECTR приближение для обрезания вклада связанных состояний, опирающееся на кулоновскую
поправку по известной модели Стюарта-Пьятта [32], приводит к переоценке эффекта ионизации давлением.
Отметим, что подобное поведение средней степени ионизации алюминия в области больших сжатий и умеренно больших температур ( T ≥ 40 эВ) было ранее получено в модельных расчетах по UBCAM, учитывавших снижение континуума по модели Стюарта-Пьятта, за счет быстрого последовательного сокращения
8
содержания ионов Al4+ – Al6+ [29].
Рисунок 4 — Степень ионизации
Z (T , ρ ) плазмы алюминия в зависимости от плотности при температурах
T = 12.5, 40, 58 эВ. UBCAM, QEOS — данные работы [29]; TF — интерполяция степени ионизации по модели ТомасаФерми [30]; SPECTR — результаты расчета по пакету SPECTR (РФЯЦ-ВНИИТФ) [31]; МХФС — данные работы [21]
В области высоких плотностей ( ρ ρ 0 > 3 ) при относительно низких температурах (Т = 12.5 эВ) расхождение результатов данной работы может быть связано с использованием упрощенного выражения [26] для
описания микрополевого возмущения связанных состояний, полученного путем аппроксимации распределения Хупера для ионов с зарядами q = 0, ..., 5 при Гее ≤ 0.2. Кроме того, из-за неучета постепенного выхода
свободных электронов из участия в формировании микрополя (через экранирование квазистатических полей
ионов) по мере их вырождения занижается вероятность высоких значений напряженности плазменного микрополя (см. [33], стр. 173). Расчеты показывают, что именно в этой области плазма характеризуется наиболее сильной неидеальностью как по кулоновскому взаимодействию ( Γ Z Z > 1 ), так и по вырождению свободных электронов ( TF / T ≥ 1 ). Кроме того, использованные в данной работе приближения — модель твердых сфер для описания эффектов собственного объема ионов и модель однородной ионной сферы для учета
кулоновского взаимодействия заряженных частиц — безусловно, не универсальны и также требуют своего
уточнения.
9
В результате, использованное приближение для описания сложных физических эффектов в этой области
параметров оказывается недостаточно адекватным и приводит к недооценке степени ионизации плазмы, и,
соответственно, «электронных» вкладов в УРС в этой области температур и плотностей.
Сравним результаты расчета изохоры средней степени ионизации Z (T ) на примере алюминия при
нормальной плотности ρ = ρ 0 = 2.7 г/см 3 . Такие результаты приведены на рисунке 5 в сравнении с расчетами по моделям UBCAM, QEOS, DFT (метод функционала плотности) [34], TF, SPECTR.
Рисунок 5 — Степень ионизации Z (T , ρ ) плазмы алюминия в зависимости от температуры при нормальной плотности ( ρ / ρ 0 = 1 ). UBCAM, QEOS, DFT — данные работы [29]; TF — интерполяция степени ионизации по
модели Томаса-Ферми [30]; SPECTR — результаты расчета по SPECTR (РФЯЦ-ВНИИТФ) [31]
Из рисунка 5 видно, что большинство из представленных моделей хорошо согласуются между собой и с
результатами настоящей работы. Сравнение также показывает, что значение Z по TF при T > 40 эВ оказывается заниженным. Это связано со сглаженным характером описания термодинамических характеристик
в модели Томаса-Ферми, приводящим к их завышению или занижению в области неполной ионизации по
сравнению другими зависимостями, отражающими оболочечные осцилляции [35].
Можно также видеть, что с уменьшением температуры зависимость средней степени ионизации алюминия выходит на некоторое плато. При относительно небольших температурах T ~ 5 эВ степень ионизации
алюминия составляет Z 3 и равна числу коллективизированных электронов в металлическом алюминии
при нормальной плотности (см., например, [36], стр. 143). Это обстоятельство, в том числе, свидетельствует
о возможности применения химической модели плазмы при аккуратном учете плазменных эффектов для
описания сильнонеидеальной плазмы.
6.2 Уравнения состояния плазмы
Очевидно, оценка степени достоверности УРС неидеальной плазмы в рамках ХМП может исходить из
оценок величин поправок на неидеальность к идеально-газовым вкладам; сравнений результатов расчетов
по различным моделям, используемые приближения в которых не противоречат описанию вещества в области рассматриваемых параметров; и точности расчетного описания имеющихся экспериментальных данных.
Представленные ниже результаты расчетов УРС получены при kσ = 0 ; исследование влияния числа учитываемых супероболочек при расчете статсумм ионов на УРС проведено в разделе, посвященному расчету
ударной адиабаты.
Известно, что УРС плазмы при больших сжатиях и высоких температурах широко достаточно хорошо
описываются с помощью (ячеечной) модели Томаса-Ферми [2,23].
10
(b)
(a)
(c)
(d)
Рисунок 6 — Давление и удельная внутренняя энергия плазмы алюминия вдоль изохор: (a) ρ / ρ 0 = 10−3 ; (b) ρ / ρ 0 = 10−1 ;
(c) ρ / ρ 0 = 1 ; (d) ρ / ρ 0 = 5
На рисунке 6 представлены результаты расчетов давления и удельной внутренней энергии плазмы алю-
11
миния вдоль изохор ρ / ρ 0 = 10−3 , 10−1 , 1, 5 при T ≤ 1 кэВ в сравнении с расчетами по моделям ТФПК (модель Томаса-Ферми с квантовыми и обменными поправками и описанием вклада теплового движения ядер
по модели Копышева) [2,16,17], КУРС (квазиклассическая ячеечная модель с учетом вклада ядер в идеально
газовом приближении, учитывающая оболочечные эффекты) [18].
Из представленных на рисунке 6 изохор давления и внутренней энергии плазмы алюминия следует, что
результаты данной работы, в целом, показывают разумное согласие с моделями КУРС и ТФПК. Расчеты по
КУРС и химической модели плотной плазмы показывают наличие оболочечных эффектов и в области сильносжатой высокотемпературной плазмы. При этом наиболее заметно оболочечные осцилляции проявляются
в калорическом уравнении состояния, а их амплитуда уменьшается с увеличением плотности вещества. Модель ТФПК, как видно из приведенного на рисунке 6 сравнения, оболочечные эффекты описывает весьма
грубо.
Из рисунка также видно, что описываемые квазиклассической моделью КУРС оболочечные осцилляции
термодинамических функций на изохорах проходят достаточно близко от соответствующих участков наших
кривых. Как и следовало ожидать, различие наших результатов и полученных по КУРС — тем меньше, чем
больше плотность. Исключение составляет область температур T > 600 эВ на изохоре ρ / ρ 0 = 5 , где квазиклассическая модель КУРС, по-видимому, недостаточно точно описывает оболочечные осцилляции внутренней энергии высокоионизованной плазмы алюминия.
6.3 Ударная адиабата
Как отмечалось выше, одним из критериев достоверности модельного УРС может служить точность описания экспериментальных данных. Экспериментальные результаты по ударно-волновому сжатию вещества
при различных амплитудах давления на фронте ударной волны (УВ) позволяют получить богатую информацию о термодинамических свойствах вещества при высоких давлениях и температурах, что позволяет в
свою очередь проводить калибровку теоретических моделей для описания плотного горячего вещества.
В (80–90)-х годах в экспериментах, проведенных в РФЯЦ-ВНИИЭФ и РФЯЦ-ВНИИТФ, была получена
достаточно богатая информация по ударно-волновому сжатию различных веществ. В частности, в экспериментах [11–15] получены уникальные данные по ударной адиабате сплошного алюминия при высоких давлениях.
Результаты расчетов ударной адиабаты сплошного алюминия в сравнении с экспериментальными данными [11–15] и теоретическими моделями ТФПК [16,17], МХФС [21], КУРС [19], ССП [20], Плазма-4 [4],
вариантом химической модели неидеальной плазмы [3] приведены на рисунке 7.
Расчет термодинамических параметров вдоль ударной адиабаты проводился по программе UDAR, входящей в программный комплекс ТУР [37]. Исходными данными при этом являлись давление Р (T , ρ , N ) и
внутренняя энергия вещества E (T , ρ , N ) , рассчитанные по описанной выше модифицированной химической модели плазмы на сетке по T , ρ .
В эксперименте [11] было сложно достичь высокой точности измерений (см. рисунок 7), а также надлежащего учета затухания УВ внутри экспериментальной сборки, что затрудняет их использование для уточнения теоретических УРС. Позже для достижения требуемой точности в [13] была усовершенствована постановка опытов и методика измерений, что позволило уточнить ранее полученные экспериментальные данные по сжимаемости сплошного алюминия в области давлений P 4 − 24 ТПа. Экспериментальные данные
[13] приведены на рисунке 7 в статистической обработке авторов работы [37].
Из представленного на рисунке 7 сравнения видно, что модель ТФПК «сглаживает» ветвь ударной адиабаты в области давлений P 10 − 1000 ТПа, при которых расчеты по химической модели неидеальной плазмы, а также МХФС, ССП и КУРС, предсказывают наличие оболочечных осцилляций, связанных с ионизацией электронов L- и K-оболочек ионов алюминия.
В пределе высоких давлений в области высоких температур при полной ионизации расчетная ударная
адиабата на рисунке 7, как и должно быть, выходит на предельное сжатие для идеального полностью ионизованного газа ρ / ρ 0 = 4 [23].
Для сравнения на рисунке 7 приведена ударная адиабата, рассчитанная по варианту ХМП Плазма-4,
предложенной Н.Н. Калиткиным [4]. Используемое в Плазме-4 представление о точечных бесструктурных
ионах со статсуммами ионов U q = 1 является весьма грубым и существенно завышает расчетную сжимаемость плазмы алюминия на ударной адиабате в области давлений. В результате данные расчетов по Плазме4 не укладываются даже в (широкие) границы экспериментальной погрешности в области давлений
P < 300 ТПа.
На рисунке 7 приведены результаты настоящей работы при kσ = 1 (при расчете статсумм ионов дополнительно учтена одна вышележащая супероболочка). В результате увеличения числа учтенных суперконфигураций, а вместе с ними и вкладов возбужденных состояний ионов в статсуммы, сжимаемость плазмы (по
12
сравнению с kσ = 0 ) уменьшается на ≤ 1 %. При этом ударная адиабата в расчете с kσ = 2 практически не
отличается от приведенной на рисунке 7 ударной адиабаты при kσ = 1 . Это говорит о том, что возбужденные конфигурации ионов, включающие в себя оболочки с бóльшими главными квантовыми числами n, не
вносят сколько-нибудь заметного вклада в УРС в данной области.
На рисунке 7 справа по оси ординат отложена температура вдоль ударной адиабаты, полученная в наших
расчетах. Согласно результатам этих расчетов, в условиях эксперимента [13] за фронтом УВ при относительных плотностях ρ / ρ 0 = 4 − 5 плазмы алюминия были достигнуты температуры T 25 ÷ 80 эВ . Т.е.,
плазма алюминия за фронтом УВ в эксперименте [13] отвечает области параметров WDM.
Из рисунка видно, что наилучшее описание номинальных значений экспериментальных данных [13] по
сжимаемости сплошного алюминия в области давлений P 3.6 − 23.7 ТПа достигается по моделям МХФС,
ССП, а также по нашей модели.
Отдельное сравнение результатов настоящей работы с расчетами по моделям КУРС, ССП, МХФС представлено на рисунке 8.
13
14
Рисунок 7 — Ударная адиабата сплошного алюминия. Эксперимент: (1) — [11]; (2) — [12]; (3) — [13]; (4) — [14]; (5) — данные [15].
Теоретические модели: ТФПК [16,17], МХФС [21], КУРС [19], ССП [20], Плазма-4 [4], вариант химической модели неидеальной плазмы [3], настоящая работа
Рисунок 8 — Сравнение ударных адиабат, рассчитанных в данной работе, с
моделями КУРС, ССП, МХФС
15
Заключение
В данной работе представлены результаты моделирования термодинамических характеристик плотной
плазмы многозарядных ионов алюминия на основе ХМП. Построенное согласованное описание термодинамических характеристик такой плазмы учитывает:
− эффекты кулоновской неидеальности (по модели однородной ионной сферы) и вырождения подсистемы свободных электронов,
− вклад всех связанных состояний ионов (на основе суперконфигурационного подхода), которые могут
реализоваться в рамках физически обоснованного критерия обрезания статсумм,
− эффекты собственных объемов ионов по модели твердых сфер, параметры которых — эффективные
радиусы ионов, согласованы с учтенными в статсуммах ионов вкладами возбужденных конфигураций.
Приведенные в работе результаты сравнительных расчетов для высоких температур и плотностей свидетельствуют о разумном согласии наших результатов с данными других моделей плотного горячего вещества, в частности, (ячеечными) моделями МХФС и моделями, построенными на основе метода Томаса-Ферми.
Представленная в данной работе модель описывает экспериментальные данные [13] по ударно-волновой
сжимаемости алюминия, область достигнутых параметров которых:
ρ / ρ0 = 4 − 5, T 25 − 80 эВ ,
P 3.6 − 23.7 ТПа, Е 0.5 − 3.6 МДж/г
отвечает состоянию WDM. При этом важно отметить, что полученные в данной работе результаты опираются только на расчетные данные по энергетической структуре ионов и физические приближения для описания сложных по своей природе взаимодействий в плотном ионизованном веществе, и не содержат какихлибо эмпирических подгоночных параметров.
Дальнейшее развитие химической модели неидеальной плазмы на основе суперконфигурационного подхода предполагает:
− реализацию гибкого алгоритма группировки атомных оболочек в супероболочки, при котором разбиение по супероболочкам будет зависеть от температуры и являться индивидуальным для каждого
иона;
− непосредственное использование распределения ионного плазменного микрополя неидеальной плазмы по модели Хупера, применяемого в настоящее время в пакете LineDM [38] для учета возмущения
спектра связанных состояний ионов, вместо (реализованной на данный момент) его аппроксимации;
− уточнение описания эффектов собственных объемов ионов [3,39], а также кулоновского взаимодействия с применением более универсальных моделей, обеспечивающих сохранение термодинамической
устойчивости системы при больших значениях параметра неидеальности [3,40].
Каждый из этих вопросов требует детальной проработки, которая проводится в настоящее время.
Развитие в РФЯЦ-ВНИИТФ химической модели плотной неидеальной плазмы позволит проводить на
современном уровне расчеты термодинамических и оптических (пробегов излучения) характеристик плазмы
на основе суперконфигурационного подхода.
Список использованных источников
1. Теплофизические свойства рабочих сред газофазного ядерного реактора / Под ред. В.М. Иевлева. М: Атомиздат, 1980.
2. Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы и методы расчета росселандовых пробегов и уравнений состояния. М.: Физматлит, 2000.
3. Грязнов В.К., Иосилевский И.Л., Фортов В.Е. Термодинамические свойства ударно сжатой плазмы в представлении
химической модели // Ударные волны и экстремальные состояния вещества. Под ред. В.Е. Фортова и др. М: Наука,
2000. С. 342.
4. Калиткин Н.Н., Ритус И.В., Миронов А.М. Ионизационное равновесие с учетом вырождения электронов // Препринт
№ 46. – ИПМ АН СССР, 1983.
5. Hummer D.G., Mihalas D. The equation of state for stellar envelopes. I An occupation probability formalism for the truncation
of internal partition functions // The Astrophys. J. – 1988. – V. 331. – P. 794.
6. Hakel P., Kilcrease D.P. CHEMEOS: a new chemical-picture-based model for plasma equation-of-state calculations // 14th
APS topical conference on atomic processes in plasmas, AIP conference proceedings, vol.730. Melville, NY: American Institute of Publishing, 2004. P. 190.
7. Грязнов В.К., Иосилевский И.Л., Фортов В.Е. Термодинамика сильносжатой плазмы мегабарного диапазона давлений
// Письма в ЖЭТФ. – 1982. – Т. 8. – № 22. – C. 1378–1381.
8. Gryaznov V.K., Fortov V.E., Iosilevski I.L. Equation of state of shock compressed plasma of metals // Nucl. Instruments and
Methods in Physics Research A. – 1998. – V. 415. – P. 581–585.
9. Moore C.E. Atomic Energy Levels. Washington: NBS, 2, 1952.
16
10. Oreg J., Bar-Shalom A., Klapisch M. Operator technique for calculating superconfiguration-averaged quantities of atoms in
plasmas // Phys. Rev. E. – 1997. – V. 55 – № 5. P. 5874.
11. Владимиров А.С., Волошин Н.П., Ногин В.Н., Петровцев А.В., Симоненко В.А. Ударная сжимаемость алюминия при
давлениях P >1 Гбар // Письма в ЖЭТФ. – 1984. – Т. 39. – С. 69.
12. Симоненко В.А., Волошин Н.П., Владимиров А.С., Нагибин А.П., Ногин В.Н. и др. Абсолютные измерения ударной
сжимаемости алюминия при давлениях P > 1 ТПа // ЖЭТФ. – 1985. – Т. 88. – Вып. 4. , С. 1452–1459.
13. Аврорин Е.Н., Водолага Б.К., Волошин Н.П., Куропатенко В.Ф. Экспериментальное подтверждение оболочечных
эффектов на ударных адиабатах алюминия и свинца // Письма в ЖЭТФ. – 1986. – Т. 43, С. 241.
14. Аврорин Е.Н., Водолага Б.К., Волошин Н.П., Коваленко Г.В., Куропатенко В.Ф., Симоненко В.А. и др. Экспериментальное изучение оболочечных эффектов на ударных адиабатах конденсированных веществ // ЖЭТФ. – 1987.– Т. 93.
– Вып. 2. – С. 613–626.
15. Подурец М.А., Ктиторов В.М., Трунин Р.Ф. и др. Ударно-волновое сжатие алюминия при давлениях в 1.7 ТПа // ТВТ.
– 1994. – Т. 32. – № 6 – С. 952–955.
16. Н.Н.Калиткин, Л.В.Кузьмина. Таблицы термодинамических функций вещества при высокой концентрации энергии //
Препринт № 35. – ИПМ АН СССР, 1975.
17. Копышев В.П. О термодинамике ядер одноатомного вещества // Численные методы механики сплошной среды. –
1977. – Т. 8 – № 6. С. 54–67.
18. Андрияш А.В., Симоненко В.А. Оценка влияния оболочечных эффектов на термодинамические свойства веществ //
ВАНТ, сер. Методики и программы численного решения задач математической физики. – 1984. – Т. 2 – № 2. – С. 52–
56.
19. Андрияш А.В., Симоненко В.А. Статистическая оболочечная модель высокотемпературной плотной плазмы // Физика плазмы. – 1988. – Т. 14. – № 10. – С. 1201–1208.
20. Барышева Н.М., Синько Г.В. Результаты расчета уравнений состояния алюминия, железа, свинца методом самосогласованного поля // Численные методы механики сплошной среды. – 1982. – Т. 13. – № 5. – С. 3–12.
21. Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Труханов С.К., Уваров В.Б. Расчеты уравнений состояния алюминия в области высоких температур на основе модифицированной модели Хартри-Фока-Слэтера // ВАНТ, сер. Методики и программы
численного решения задач математической физики. – 1990. – Т. 3. – С. 62–74.
22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. V. Статистическая физика. М: Наука, 1964.
23. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: НАУКА,
1966.
24. More R.M. Atoms in Dense Plasmas // Lecture at High-Energy-Density Physics Summer School, Santa Cruz, CA, August 4–
16, 2002.
25. Carnahan N.F., Starling K.E. Equation of State for Nonattracting Rigid Spheres // J. Chem. Phys. – 1969. – V. 51 – P. 635.
26. Nayfonov A., Dappen W., Hummer D., Mihalas D. The MHD equation of state with post-Holtsmark microfield distributions //
The Astrophys. J. – 1999. – V. 526. – P. 451.
27. Cowan R.D. The theory of atomic structure and spectra. Berkeley, Los Angeles, London, UC. Press, 1981.
28. More R.M. Electronic energy levels in dense plasmas // J.Q.S.R.T. – 1982. – V. 27. – P. 345.
29. Chiu G., Ng A. Pressure ionization in dense plasmas // Phys. Rev. E. – 1999. – V. 59. – P. 1024.
30. More R.M. // Advances in atomic and molecular physics. – 1985. – V. 21. – P. 305.
31. Loboda P.A., Netsvetayev D.S., Popova V.V., Samolovskikh L.B. Calculation of opacities for indirect-driven ICF targets //
J. Phys. A: Math. Gen. – 2006. – V. 39. – P. 4781–4786.
32. Stewart J.C. and Pyatt K.D. Lowering of ionization potentials in plasmas // Astrophys. J. – 1966. – V. 144. – P. 1203.
33. Демура А.В. Статистические и термодинамические аспекты концепции микрополя в плазме // Энциклопедия по физике плазмы, т. III. Под ред. В.Е. Фортова и др. Москва, 2004. С. 163.
34. Perrot F., Dharma-Wardana M.W.C. Photoabsorption K edge of shock compressed aluminum // Phys. Rev. E. – 1995. – V. 52.
– 5352.
35. Иосилевский И.Л., Грязнов В.К. О сравнительной точности термодинамического описания свойств газовой плазмы в
приближениях Томаса-Ферми и Саха // ТВТ. – 1981. – Т. 19 – С. 1121.
36. Ликальтер А.А. Газообразные металлы // УФН. – 1992. – Т. 162. – С. 119–147.
37. Миронова Е.Е., Сапожников А.Т. Комплекс программ «ТУР» для построения и исследования уравнений состояния //
Сб. тезисов докладов Международной конференции: VIII Забабахинских научных чтений, Снежинск, 5–9 сентября
2005 г. С. 139;
Миронова Е.Е., Сапожников А.Т. Уравнение состояния алюминия с учетом испарения и ионизации // Сб. тезисов
докладов Международной конференции: VIII Забабахинских научных чтений, Снежинск, 8–12 сентября 2003 г. С.
190.
38. Loboda P.A., Litvinenko I.A., Baydin G.V., Popova V.V., Koltchugin S.V. Line shape modeling of multielectron ions in plasmas // Laser and Particle Beams. – 2000. – V. 18. – P. 275–289.
39. Brilliantov N.V., Malinin V.V., Netz R.R. Systematic field-theory for the hard-core one-component plasma // Eur. Phys. J. D. –
2002. – V. 18. – P. 339–345.
40. Chabrier G., Potekhin A. Equation of state of fully ionized electron-ion plasmas. I // Phys. Rev. E. – 1988. – V. 58. – P. 4941.;
Chabrier G., Potekhin A. Equation of state of fully ionized electron-ion plasmas. II // Phys. Rev. E. – 2000. – V. 62. – P. 8554.
17