О СУММИРУЕМЫХ С КВАДРАТОМ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ

О СУММИРУЕМЫХ С
КВАДРАТОМ РЕШЕНИЯХ
УРАВНЕНИЯ
КЛЕЙНА - ГОРДОНА НА
МНОГООБРАЗИЯХ
В.В. Козлов, И.В. Волович
Классическая задача на
собственные значения:
эллиптические уравнения.
Фурье, В.А.Стеклов, Гильберт,
Г.Вейль, Биркгоф, фон Нейман,
Гординг, М.Г.Крейн, Кодаира,...
Задача на собственные
значения для
гиперболического уравнения
Клейна-Гордона на
многообразиях :
В.В.Козлов (1987),
В.В.Козлов, И.В.Волович (2007)
Построено:
Бесконечное семейство
суммируемых с квадратом
решений уравнения
Клейна-Гордона на
многообразиях типа
Фридмана.
Дискретный спектр масс.
Конечное действие.
(M, g) - псевдориманово
многообразие,
dim M = n + 1
x = (xµ ), µ = 0, 1, ..., n
g = (gµν ), (+ − −...−)
Уравнение Клейна-Гордона
¤f + λf = 0
p
1
¤f = ∇µ ∇µ f = p ∂µ ( |g|g µν ∂ν f )
|g|
g = det(gµν )
Задача:
Определить значения λ,
для которых существуют
(ненулевые) решения f
уравнения Клейна-Гордона,
удовлетворяющие условию
Z
f
p
2
|g|dx < ∞.
M
λ - соответствует квадрату
массы.
Пример
f = f (x, t) ∈ S(R2 ) ⊂ L2 (R2 )
∂2
∂2
Af = 2 f − 2 f + φ(x, t)f
∂t
∂x
Действие:
Z
1
2
2
2
2
S=
(ft −fx −φf +λf )dtdx
2 R2
φ = x2 − t2
Afjn = λjn fjn , j, n = 0, 1, 2, ...,
fjn
1 2 2
= Hj (t)Hn (x) exp{− (t +x )},
2
λjn = 2(n − j), j, n = 0, 1, 2, ...
В.Л.Гинзбург, М.А.Марков,...
Многообразия типа Фридмана
M = I × N n, I ⊂ R
ds2 = gµν dxµ dxν = dt2 − a2 (t)dl2 ,
a(t) > 0, t ∈ I
N n - Риманово многообразие.
dl2 = hij (y)dy i dy j , i, j = 1, ..., n
риманова метрика на N n .
Уравнения Эйнштейна:
Rµν
1
− gµν R = Tµν
2
Уравнение Клейна-Гордона
1
n ˙
¨
f + ȧf − 2 ∆h f + λf = 0
a
a
∆h - оператор
Лапласа-Бельтрами для
метрики hij ,
√ ij
1
∆h f = √ ∂i ( hh ∂j f )
h
i, j = 1, 2, ..., n
Уравнение Штурма-Лиувилля
(Шредингера)
f = B(t)a(t)
− n2
Φ(y).
Предположим (на N n ):
−∆h Φ = qΦ
Φ = Φ(y),
√
Φ2 hdy < ∞
Z
Nn
Из уравнения
Клейна-Гордона следует
уравнение
Штурма-Лиувилля
(Шредингера)
B̈ + [λ − v(t)]B = 0
где
n ä n n
ȧ2
q
v(t) =
+ ( − 1) 2 − 2
2a 2 2
a
a
Теорема.
Пусть
M = R × N n - многообразиe
типа Фридмана,
−∆h Φ = qΦ,
a(t) : v(t) → ∞,
|t| → ∞.
Тогда уравнение
Клейна-Гордона имеет
семейство решений вида
− n2
fj = Bj (t)a(t)
Φ(y),
причем собственные
значения λj , j = 1, 2, ...:
λj → ∞, j → ∞.
Пример
a(t) = C exp(αt2k ),
C > 0, α > 0, k > 1.
λj → ∞, j → ∞.
Пространство де Ситтера
M = R × S3
ds2 = dt2 − cosh2 t · hij (y)dy i dy j ,
hij метрика на S 3 .
−∆h Φ = qΦ
q = j(j + 2), j = 0, 1, 2, ...
α
2
B̈ + [
−
ν
]B = 0
2
cosh t
Теорема. Если собственные
значения для уравнения
Клейна-Гордона на
пространстве де Ситтера
λ ≥ 0, то λ = 0 или λ = 2.
(В.В.Козлов, 1987)
Масса = 0,
√
2.
j
X
1
(−j)s (j + 2)s
1
Bj (t) =
,
(3/2)s s! (e2t + 1)s
(cosh t)1/2 s=0
(k)0 = 1, (k)s = k(k + 1)...(k + s − 1),
j = 0, 1, 2, ...
Метрика Фридмана де Ситтера
ds2 = dt2 − e2Ht · hij (y)dy i dy j ,
0<t<∞
H - постоянная Хаббла.
9 2
v(t) = H − qe−2Ht
4
модель дейтрона
B(t) = Jν (ce−Ht )
Метрика Фридмана Робертсона - Уолкера
ds2 = dt2 − a(t)2 hij (y)dy i dy j
hij - риманова метрика на
многообразии постоянной
положительной, нулевой
или отрицательной
кривизны.
Уравнения Фридмана:
3ȧ2 /a2 = 8πρ − 3k/a2 , 3ä/a = −4π(ρ + 3p),
k = 1, −1, 0.
p = p(ρ).
Излучение (p = ρ/3) в торе
(k = 0) :
√
a(t) = c t, c > 0, 0 < t < ∞.
3
q
v(t) = − 2 − 2 , q > 0
16t
ct
Дискретный спектр:
4q 2
λn = − 4
, n = 1, 2, ...
2
c (4n + 1)
¤f + λf = 0,
f ∈ L2 (M )
Действие
1
S=
2
Z
p
[g µν ∂µ f ∂ν f −λf 2 ] |g|dx
M
конечно.
Массы частиц.
Квантовая гравитация.
Космологический
ландшафт.
(А.Д.Сахаров, L.Susskind,...)
Z
Ψ[g 3 , φ] ∼
eiS[g,φ] DgDφ ∼ eiS
C
Самосопряженность.
Полнота.
Уравнение Дирака.
Нелинейные уравнения.
[1] Козлов В.В., УМН, 1987,Т.42,В.4,С.171.
[2] Волович И.В., Козлов В.В., ДАН, 2006,
т. 408, N 3, сс. 317-320.
[3] Kozlov V.V., Volovich I.V.,
Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys. 3 (2006)
1349-1358.
[4] Kozlov V.V., Volovich I.V.,
http://www.arxiv.org/abs/hep-th/0612135