УТВЕРЖДАЮ: Зам. председателя приемной комиссии ________________ В.Н. Фальков

УТВЕРЖДАЮ:
Зам. председателя приемной
комиссии
________________ В.Н. Фальков
30 марта 2009 года
ПРОГРАММА
аттестационных испытаний для специальности
«Математика»
2 курс
Математический анализ
Теорема Больцано - Коши (о промежуточном значении функции одной переменной,
непрерывной на сегменте). Обобщение теоремы на функции нескольких
переменных.
2. Теоремы Вейерштрасса (о свойствах функции одной переменной, непрерывной на
сегменте) и их обобщение на функции нескольких переменных.
3. Равномерная непрерывность функции одной переменной. Теорема Кантора.
4. Понятие дифференцируемой функции одной переменной. Необходимое и
достаточное условия дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой
функции.
5. Теорема Ролля и теорема Лагранжа о конечных приращениях.
6. Формулы Тейлора для функций одной переменной и нескольких переменных.
7. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства определённого
интеграла (доказательство одного из свойств по выбору экзаменующегося).
8. Определенный интеграл с переменным верхним пределом, его свойства в
зависимости от свойств подынтегральной функции. Формула Ньютона - Лейбница.
9. Функциональный ряд. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся
рядов (доказательство одного из свойств по выбору экзаменующегося).
10. Теоремы о среднем интегрального исчисления.
11. Теорема Остроградского - Гаусса.
12. Экстремумы функции одной и нескольких переменных. Необходимые и достаточные
условия экстремума.
1.
Алгебра
Нахождение обратной матрицы и метод Крамера решений СЛУ.
Условия изоморфизма линейных пространств.
Теорема Кронекера - Капелли. Решение СЛОУ.
Понятие определителя, его свойства. Теорема Лапласа. Теорема о произведении
определителей.
17. Деление многочленов. Теорема Безу и формула Виета.
13.
14.
15.
16.
Аналитическая геометрия
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Первая квадратичная форма поверхности, ее применения.
Классификация кривых второго порядка.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Вывод канонических уравнений эллипса, параболы, гиперболы.
Плоскость и прямая линия в пространстве.
Первая квадратичная форма поверхности, ее применения.
1
3 курс
Математический анализ
1. Двойной интеграл Римана как предел по базе. Критерий Римана интегрируемости
функции от двух переменных по прямоугольнику.
2. Критерий измеримости по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры.
3. Эквивалентность двух определений - обобщенного и через характеристическую
функцию множества, - двойного интеграла по ограниченной области, измеримой по
Жордану.
4. Критерий измеримости по Жордану плоского множества. Основные свойства двойного
интеграла (линейность, интегрирование неравенств, теорема о среднем, аддитивность).
Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле.
5. Критерий Лебега интегрируемости функции двух переменных по Риману.
6. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерий сходимости и признак
сравнения для несобственного интеграла первого рода от неотрицательной функции.
7. Площадь поверхности. Выражение площади поверхности через двойной интеграл.
8. Свойства криволинейных интегралов первого и второго рода. Сведение криволинейного
интеграла к определенному интегралу.
9. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути
интегрирования.
Алгебра
10. Описание простых и максимальных идеалов коммутативных колец.
11. Группы. Описание циклических групп. Теоремы Лагранжа и Кэли.
12. Предложения о порождающих и теорема Фраттини.
13. Построение фактор-групп. Теорема о гомоморфизмах.
14. Теоремы Прюфера и основная теорема об абелевых группах.
15. Теорема об описании простых и максимальных идеалов и колец главных идеалов.
16. Основные теоремы о рациональных дробях и симметрических многочленах.
17. Описание простых полей, простых и конечных расширений. Теорема о степенях.
18. Теорема о полях разложения многочленах и нормальных расширениях.
19. Описание совершенных и конечных полей.
20. Теоремы о примитивном элементе и простых трансцендентных расширениях.
21. Основная теорема о комплексных числах.
Дифференциальные уравнения
22. Системы линейных дифференциальных уравнений.
23. Понятие
об
устойчивости
и
асимптотической
устойчивости
решения
дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно
производной.
24. Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка. Теорема об общем решении
неоднородного линейного уравнения n - го порядка.
25. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения
y'=f(x,y).
26. Неподвижные точки линейных систем дифференциальных уравнений. Фазовые
портреты простых линейных систем на плоскости и их классификация.
4 курс
Функциональный анализ
1.
2.
3.
4.
5.
Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.
Принцип сжимающих отображений.
Теорема Неймана об обратном операторе.
Теорема Рисса об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.
Спектр компактного оператора.
2
Уравнения с частными производными
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Классификация линейных уравнений в частных производных 2-го порядка.
Каноническая форма основных типов уравнений.
Формула Даламбера, как решение задачи Коши для волнового уравнения. Ее
физический смысл.
Решение краевых задач для уравнения теплопроводности методом Фурье.
Решение краевых задач для волнового уравнения методом Фурье.
Применение метода Фурье к решению краевых задач для уравнения Лапласа.
Решение линейных уравнений б частных производных 1-го порядка и задач Коши.
Гармонические функции и свойства. Фундаментальные решения уравнения Лапласа.
Сведение решения задач Дирихле и Неймана к интегральному уравнению.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Теорема о существовании минимума квадратичного функционала в пространстве.
Методы Ритца и Бубнова - Галёркина.
Интегральные функционалы.
Теорема об экстремуме интегрального функционала. Уравнения Эйлера.
Постановки задач линейного программирования.
Основные идеи симплекс метода.
20.
21.
22.
23.
24.
Математическая ожидание и дисперсия случайной величины.
Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Колмогорова.
Аксиомы теории вероятностей. Примеры моделей, реализующих систему аксиом.
Распределение случайной величины. Основные типы распределений.
Центральная предельная теорема.
6.
7.
Вариационное исчисление и методы оптимального управления
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория функций комплексного переменного
Элементы теории вычетов.
Теорема Коши - Римана.
Интегральная формула Коши.
Интеграл типа Коши и бесконечная дифференцируемость голоморфной функции.
Разложение в ряд Тейлора: теорема Тейлора, неравенства Коши и теорема Лиувилля.
Разложение в ряд Лорана: теорема Лорана и теорема о единственности разложения
функции в ряд Лорана, неравенство Коши.
31. Изолированные особые точки однозначной функции.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
5 курс
Топология
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Определение топологического пространства. Окрестность точки. Способы задания
топологии через базу. Классификация точек в топологическом пространстве.
Индуцированная топология. Аксиомы отделимости.
Непрерывные отображения. Классификация отображений. Метрические, метризуемые
пространства.
Пространство отображений. Топология поточечной и равномерной сходимости.
Теорема Дини и Стоуна-Вейерштрасса.
Пути и линейно-связные пространства. Теорема Жордана. Топологические группы.
Связные группы преобразований.
Гладкие многообразия. Проективные пространства. Многообразия матриц. Гладкие
функции на многообразии и гладкое разбиение единицы.
Симплициальные комплексы и полиэдры. Гомологии симплициальных комплексов и
полиэдров.
Симплициальные отображения. Гомологии сфер. Степень отображения.
3
Дополнительные главы анализа
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой. Формула Грина.
Поверхностные интегралы первого и второго рода. Ориентация кусочно-гладких
поверхностей.
Формула Стокса.
Формула Гаусса- Остроградского.
Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной поверхности.
Общая формула Стокса.
Потенциальное и соленоидальное векторные поля. Условия независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Дивергенция и ротор векторного поля. Условия потенциальности векторного поля.
Основные формулы векторного анализа.
Дополнительные главы вариационного исчисления
16. Уравнение Эйлера для функционалов, содержащих несколько функций одного
переменного
17. Уравнение Эйлера для функционалов, содержащих функцию одного переменного и
несколько её производных.
18. Функционалы для функций многих переменных, обобщение понятия вариации.
19. Вывод уравнения Эйлера в случае функционала, зависящего от функции двух
переменных.
20. Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные и неголономные связи.
Теорема о экстремуме функционала при наличии голономных связей.
21. Симметричный оператор А. Положительные и положительно определённые
операторы. Теорема о единственности решения уравнения Аu=f для положительного
оператора А
22. Теорема о минимуме квадратичного функционала на линеале
23. Понятие о классическом и обобщенном решении. Пространство (энергетическое
пространство). Схема его построения на основе гильбертова пространства и оператора А
Теорема о полноте пространства .
24. Определение обобщенного решения. Понятие непрерывной зависимости обобщенного
решения от правой части уравнения. Определение минимизирующей последовательности
для квадратичного функционала.
25. Простейшие подходы к построению функционалов в случае неоднородных граничных
условий. Приближенная минимизация функционала.
26. Метод Ритца. Доказательство теоремы о сходимости метода Ритца.
27. Метод Бубнова –Галёркина. Условия совпадения с системой метода Ритца. Теорема о
сходимости метода. Широта и области применения метода Бубнова –Галёркина.
28. Метод наименьших квадратов. Понятие А-базиса. Система алгебраических уравнений
метода и теорема о сходимости.
29. Линейные ограниченные операторы. Метод наискорейшего спуска минимизации
квадратичного функционала, оценка скорости сходимости.
30. Использование метода квадратичного функционала для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
31. Неравенство Фридрихса и частные случаи. Неравенство Пуанкаре и частные случаи.
32. Применение неравенств в доказательствах положительной определённости
дифференциальных операторов
Зав.кафедрой
Математики и Информатики ИМиКН
Т.В. Мальцева
4