10 класс 10.1. Можно ли число 3102 представить в виде

10 класс
10.1. Можно ли число 3102 представить в виде разности квадратов двух
натуральных чисел?
и
. Тогда число 3102 представляется в
РЕШЕНИЕ. Пусть
. Так как число
виде произведения двух натуральных чисел:
или
является
3102 четно, то по меньшей мере один из сомножителей
и
имеют одинаковую четность (т.к.
четным числом. Но числа
отличаются на четное число:
). Поэтому каждый сомножитель
и
четен. Но тогда их произведение
делится на 4, в то
время как число 3102 на 4 не делится. Следовательно, число 3102 нельзя
представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.
(
10.2. Найдите x + y , если x + 1 + x 2
РЕШЕНИЕ.
Умножим
)( y +
)
1 + y2 = 1.
на
равенство
, получим
.
Аналогично
Сложив два последних равенства, найдем
.
.
10.3. Найдите углы треугольника, в котором медиана и высота, проведенные из
одной вершины, делят угол на три равные части.
РЕШЕНИЕ. Пусть МС=2b. Тогда АМ=2b и AH=HM=b (т.к. ∆АНВ=∆МНВ).
В прямоугольном треугольнике ВНС отрезок ВМ является биссектрисой. По
, т.е.
. Значит,
,
свойству биссектрисы имеем
поэтому
Наконец,
. Из ∆ВНС
.
,
. Следовательно
.
10.4. Каждый ученик класса ходил хотя бы в один их двух походов. В каждом
2
от числа участников. Докажите, что
походе мальчиков было не больше
5
4
во всем классе мальчиков не больше .
7
РЕШЕНИЕ. Ведем обозначения: М1 – число мальчиков, участвовавших только в
первом походе, М2 – только во втором походе, М12 – число мальчиков,
участвовавших и в первом и втором походе. Аналогичные обозначения Д1, Д2, Д12
для девочек.
,
По условию для первого похода
откуда
,
.
аналогично для второго похода
Сложив два последних неравенства,
получим
.
Ослабим это неравенство (уменьшим левую часть, увеличим правую):
.
Но
– общее число мальчиков в классе,
= Д – общее число девочек.
Если n – число всех учеников класса, то
. Тогда
находим
10.5.
, откуда
, что и требовалось доказать.
x и y – неотрицательные числа, сумма которых не превосходит 1.
Докажите, что x 2 + 8 x 2 y 2 + y 2 ≤ 1 .
РЕШЕНИЕ. В условиях задачи верно даже более сильное неравенство
, т.е.
. Последнее вытекает из неравенства
, которое вытекает из простого неравенства
.