Г. С. КОСТЕЦКАЯ, Т. Н. РАДЧЕНКО УРАВНЕНИЯ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Г. С. КОСТЕЦКАЯ, Т. Н. РАДЧЕНКО
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(учебное пособие)
Ростов–на–Дону
2014
Учебное пособие разработано кандидатами физико-математических
наук, доцентами кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ
Костецкой Г. С. и Радченко Т. Н.
Ответственный редактор
доктор физ.мат-.наук О. Г. Авсянкин
Компьютерный набор и верстка
Е. В. Ширяевой, И. В. Ширяевой
В данном пособии излагается один из разделов математической физики — уравнения эллиптического типа. Авторы дают постановки задач,
формулируют теоремы единственности и устойчивости решений, излагаются метод Фурье и метод функций Грина.
Пособие разбито на четыре модуля. К каждому модулю приведено
проектное задание и тест рубежного контроля. Пособие предназначено
для студентов естественных факультетов университетов, а также будет
полезно всем, изучающим математическую физику самостоятельно.
Содержание
1 Постановка задач для уравнения эллиптического типа.
Гармонические функции
5
1.1 Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа .
6
1.2 Постановка основных краевых задач для уравнения Лапласа 8
1.3 Фундаментальные решения уравнения Лапласа . . . . . . .
10
1.4 Основные свойства гармонических функций . . . . . . . .
12
1.5 Проектное задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6 Тест рубежного контроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 Теоремы единственности и устойчивости решений задач
Дирихле и Неймана
25
2.1 Теоремы единственности и устойчивости решений задач
Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2 Теоремы единственности решений задач Неймана . . . . .
30
2.3 Замечание о разрешимости задач Дирихле и Неймана . . .
33
2.4 Проектное задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3 Метод Фурье
3.1 Решение внутренней задачи Дирихле для круга . . . . . .
36
37
3.2 Обоснование решения внутренней задачи Дирихле для круга 42
3.3 Интеграл Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.4 Решение задачи Неймана для круга . . . . . . . . . . . . .
48
3.5 Проектное задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4 Метод функции Грина
52
4.1 Решение задачи Дирихле методом функции Грина . . . . .
52
4.2 Свойства функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.3 Нахождение функции Грина методом электростатических
изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.4 Решение задачи Дирихле для полупространства . . . . . .
59
Содержание
4
4.5 Решение задачи Дирихле для шара . . . . . . . . . . . . .
4.6 Построение функции Грина с помощью конформных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
66
4.7 Проектное задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Тест рубежного контроля к модулям 2, 3, 4 . . . . . . . . .
69
70
Великие математики
77
Список литературы
91
Об авторах
92
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
4
Модуль 1
1.1. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа
1.2. Постановка основных краевых задач для уравнения Лапласа
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Фундаментальные решения уравнения Лапласа
Основные свойства гармонических функций
Проектное задание
Тест рубежного контроля
Перейти в
модуль 2
модуль 3
модуль 4
1. Постановка задач для уравнения эллиптического
типа. Гармонические функции
Комплексная цель модуля — показать физическую природу уравнений эллиптического типа, их связь с уравнениями гиперболического и параболического типов, поставить наиболее распространенные задачи для
уравнения Лапласа и изучить свойства решений уравнения Лапласа.
При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят
к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенными уравнениями этого типа являются уравнение Лапласа
∆u = 0,
(1.1)
∆u = f,
(1.2)
∆u + λu = f,
(1.3)
уравнение Пуассона
уравнение Гельмгольца
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
6
где оператор Лапласа ∆u в трехмерном пространстве имеет вид
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
∆u = 2 + 2 + 2 ,
∂x
∂y
∂z
а в двухмерном
∆u =
∂ 2u ∂ 2u
+
.
∂x2 ∂y 2
1.1. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа
Рассмотрим уравнение колебания однородной мембраны под действием внешней силы с плотностью g(x, y, t):
2
∂ 2u
g(x, y, t)
∂ 2u
2 ∂ u
=
a
+
+
,
(1.4)
∂t2
∂x2 ∂y 2
ρ
T0
, T0 — натяжение, ρ — плотность мембраны, u(x, y, t) — отρ
клонение точки мембраны (x, y) от положения равновесия в момент времени t. Пусть
где a2 =
g(x, y, t) = g(x, y)
и пусть форма мембраны устоялась и уже не меняется с течением времени. Тогда u(x, y, t) = u(x, y), поэтому
∂u ∂ 2 u
= 2 = 0.
∂t
∂t
В этом случае уравнение колебания (1.4) принимает вид
∂ 2u ∂ 2u
∆u ≡ 2 + 2 = f (x, y),
∂x
∂y
(1.5)
g(x, y)
. Уравнение (1.5) является уравнением Пуассона.
a2 ρ
Если f (x, y) ≡ 0, т. е. внешняя сила отсутствует, то уравнение (1.5)
переходит в уравнение Лапласа
где f (x, y) = −
∂ 2u ∂ 2u
∆u ≡ 2 + 2 = 0.
∂x
∂y
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
6
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
7
Рассмотрим теперь уравнение распространения тепла в твердом изотропном теле, внутри которого распределены источники тепла с плотностью g(x, y, t),
2
∂u
∂ 2u ∂ 2u
g(x, y, z, t)
2 ∂ u
=a
+
+
+
,
(1.6)
∂t
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
cρ
k
, k — теплопроводность, c — теплоемкость, ρ — плотность,
cρ
u(x, y, z, t) — температура точки (x, y, z) тела в момент времени t. Если
плотность внутренних источников тепла не меняется с течением времени,
где a2 =
g(x, y, z, t) = g(x, y, z),
и температура внутри тела устоялась
u(x, y, z, t) = u(x, y, z),
то
∂u
= 0 и поэтому из уравнения (1.6) получаем уравнение Пуассона
∂t
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
∆u = 2 + 2 + 2 = f (x, y, z),
∂x
∂y
∂z
g(x, y, z)
.
k
Если же внутри тела нет источников тепла g(x, y, z) ≡ 0, то приходим
где f (x, y, z) = −
к уравнению Лапласа:
∆u ≡
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
= 0.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Рассмотрим задачу, приводящую к уравнению Гельмгольца. Дискриминантом уравнения
∆u = a(t)
∂u
∂ 2u
+
b(t)
+ c(t)u + f (x, y, z, t)
∂t2
∂t
(1.7)
является B 2 − AC = 0 − 1 · (−a) = a(t). Если a(t) > 0, ∀ t > 0, то
уравнение (1.7) гиперболического типа; при a(t) ≡ 0 для всех t > 0
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
7
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
8
уравнение (1.7) параболического типа, а при a(t) < 0, ∀ t > 0, уравнение
(1.7) эллиптического типа. Предположим, что
f (x, y, z, t) = g(x, y, z) · m(t),
тогда решение уравнения (1.7) будем искать в таком же виде, т. е.
u(x, y, z, t) = v(x, y, z) · m(t).
Из (1.7) имеем
m(t)∆v ≡ (a(t)m00 + b(t)m0 + c(t)m)v(x, y, z) + g(x, y, z)m(t),
откуда после деления на v(x, y, z)m(t) получаем
∆v g
am00 + bm0 + cm
− ≡
.
(1.8)
v
v
m
Так как левая часть тождества (1.8) зависит от (x, y, z), а правая от t,
то тождество возможно, если только обе части равны одной и той же
постоянной, обозначим ее за −λ. Приравняв левую часть (1.8) к −λ,
приходим к уравнению Гельмгольца
∆v + λv = g(x, y, z).
Итак, процессы, изменяющиеся с течением времени по известному закону m(t), например, eαt , sin αt, cos αt, называются установившимися
и приводят к уравнению эллиптического типа.
1.2. Постановка основных краевых задач
для уравнения Лапласа
Через M будем обозначать или точку двухмерного пространства
M (x, y), или точку трехмерного пространства M (x, y, z).
Определение 1. Функция u(M ) называется гармонической в конечной области V , если она в области V дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяет в ней уравнению Лапласа
∆u(M ) = 0,
M ∈ V.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
8
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
9
Определение 2. Функция u(M ) называется гармонической в бесконечной области V , если она в этой области дважды непрерывно
дифференцируемая, удовлетворяет в ней уравнению Лапласа
∆u(M ) = 0,
M ∈ V,
и в двухмерном пространстве ограничена при M → ∞, а в трехмерном
пространстве равномерно стремится к нулю при M → ∞, т. е. для любого ε > 0 найдется число R = R(ε) такое, что |u(M )| < ε как только
расстояние точки M от некоторой фиксированной точки больше, чем R.
Через V + будем обозначать конечную область с границей Σ, а дополнение области V + до всего пространства через V − . Границей области V −
также является Σ. Через M будем обозначать точки области, а через N
точки границы Σ.
Основными задачами для уравнения Лапласа являются следующие.
1. Внутренняя задача Дирихле (D+ ). Найти функцию u(M ), гармоническую в области V + , непрерывную в замкнутой области V + =
S
V + Σ и принимающую на границе Σ заданные значения u(N ) = f (N ),
N ∈ Σ, или
D+ :
∆u(M ) = 0, M ∈ V + ,
u(M ) ∈ C(V + ),
u(N ) = f (N ),
N ∈ Σ.
2. Внешняя задача Дирихле (D− ). Найти функцию u(M ), гармоS
ническую в области V − , непрерывную в замкнутой области V − = V − Σ
и принимающую на границе Σ заданные значения u(N ) = f (N ), N ∈ Σ,
или
D− :
∆u(M ) = 0, M ∈ V − ,
u(M ) ∈ C(V − ),
u(N ) = f (N ),
N ∈ Σ.
3. Внутренняя задача Неймана (N + ). Найти функцию u(M ), гармоническую в области V + , непрерывно дифференцируемую в замкнутой
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
9
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
области V + = V +
10
S
Σ и производная которой по внешней нормали n̄i
∂u(N )
принимает заданные значения
= f (N ), N ∈ Σ, или
∂ n̄i
N+ :
∆u(M ) = 0, M ∈ V + ,
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
∂u(N )
= f (N ),
∂ n̄i
N ∈ Σ.
4. Внешняя задача Неймана (N − ).
N− :
∆u(M ) = 0,
M ∈ V −,
u(M ) ∈ C 1 (V − ),
∂u(N )
= f (N ),
∂ n̄i
N ∈ Σ.
5. Внутренняя смешанная задача
∆u(M ) = 0,
M ∈ V +,
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
a(N )u(N ) + b(N )
∂u(N )
= f (N ),
∂ n̄i
N ∈ Σ,
где a(N ), b(N ), f (N ) — заданные на Σ функции.
6. Внешняя смешанная задача
∆u(M ) = 0,
M ∈ V −,
u(M ) ∈ C 1 (V − ),
a(N )u(N ) + b(N )
∂u(N )
= f (N ),
∂ n̄i
N ∈ Σ.
1.3. Фундаментальные решения уравнения Лапласа
Пусть M (x, y, z) и M0 (x0 , y0 , z0 ) — соответственно переменная и фиксированная точки пространства, а
p
r = rM M0 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
10
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
11
— расстояние между ними. Попытаемся найти решение уравнения Лапласа
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
∆u ≡ 2 + 2 + 2 = 0,
∂x
∂y
∂z
зависящее только от расстояния от некоторой точки M0 , т. е. вида u = rm .
Нетрудно посчитать
∂u ∂u ∂r
(x − x0 )
=
·
= mrm−1 ·
= mrm−2 · (x − x0 ),
∂x
∂r ∂x
r
∂
∂r
∂ 2u
m−2
=
(mr
)
·
· (x − x0 ) + mrm−2 =
2
∂x
∂r
∂x
(x − x0 )
= m(m − 2)rm−3
· (x − x0 ) + mrm−2 =
r
= m(m − 2)rm−4 (x − x0 )2 + mrm−2 .
Аналогично имеем
∂ 2u
= m(m − 2)rm−4 (y − y0 )2 + mrm−2 ,
2
∂y
∂ 2u
= m(m − 2)rm−4 (z − z0 )2 + mrm−2 .
2
∂z
Подставим в уравнение Лапласа ∆u = 0 полученные производные
∆u = m(m − 2)rm−4 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 + 3mrm−2 =
= m(m − 2)rm−2 + 3mrm−2 = mrm−2 (m + 1).
Откуда получаем, что ∆u = 0 при m = −1, т. е. функция
u=
1
1
=
r
rM M0
является решением уравнения Лапласа в трехмерном пространстве в любой области, не содержащей точки M0 , т. е. является гармонической. Эта
функция называется фундаментальным решением уравнения Лапласа.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
11
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
12
Функция u = rm в двухмерном пространстве не удовлетворяет уравнению Лапласа ни при каком m 6= 0, действительно:
∂ 2u ∂ 2u
∆u = 2 + 2 = m(m − 2)rm−4 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + 2mrm−2 =
∂x
∂y
= mrm−2 (m − 2 + 2) = m2 rm−2 6= 0.
1
является решением уравнеr
ния Лапласа в двухмерном пространстве в любой области не содержащей
1
точки M0 . Функция u = ln называется фундаментальным решениr
ем уравнения Лапласа на плоскости.
Но легко проверить, что функция u = ln
1.4. Основные свойства гармонических функций
При изучении свойств гармонических функций важное место занимают первая и вторая формулы Грина, получаемые из формулы Гаусса–
Остроградского. Если V — конечная область трехмерного пространства
с границей Σ, то имеем
y
x ∂ψ
ds,
(ϕ∆ψ + (grad ϕ, grad ψ)) dx dy dz =
ϕ
∂ni
(1.9)
Σ
V
где ϕ ∈ C 1 (V ), ϕ ∈ C(V ), ψ ∈ C 2 (V ), ψ ∈ C 1 (V ), n̄i — внешняя нормаль,
и
y
x ∂ψ
∂ϕ
−ψ
ds,
(1.10)
(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dx dy dz =
ϕ
∂ni
∂ni
Σ
V
где ϕ, ψ ∈ C 2 (V ); ϕ, ψ ∈ C 1 (V ). Аналогичные формулы имеют место и
для двухмерного пространства.
Свойство 1 (Свойство нормальной производной гармонической функции). Если функция u(M ) гармоническая в области V и непрерывно
S
дифференцируемая в V = V Σ, то
x ∂u
ds = 0.
∂ n̄i
Σ
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
12
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
13
Доказательство свойства получим, если в первой формуле Грина (1.9)
положим ϕ = 1, ψ = u(M ), тогда ∆ψ = ∆u = 0, grad ϕ = 0.
Свойство 2 (Интегральное представление гармонических функций).
Если функция u(M ) гармоническая в области V и непрерывно диффеS
ренцируемая в V = V Σ, то имеет место так называемое интегральное представление в трехмерном пространстве


1
∂
1 x
1 ∂u(N )
rM0 N 
 ds,

u(M0 ) =
−
u(N
)

4π
rM0 N ∂ni
∂ni 
Σ
в двухмерном пространстве


1
Z
∂ ln

1
1
∂u(N
)
rM0 N 
ln
 ds.
u(M0 ) =
−
u(N
)

2π
rM0 N ∂ni
∂ni 
Σ
Доказательство проведем для трехмерного пространства. Пусть M0 ∈
V произвольная фиксированная точка, а Σε (M0 ) — сфера радиуса ε с
центром в точке M0 . Пусть ε настолько мало, что Σε (M0 ) ⊂ V . Обозначим через V1 область с границами Σ и Σε (M0 ) (из области V выбросим шар вместе с его границей Σε (M0 )). К области V1 применяем
1
. Так как
вторую формулу Грина (1.10), положив ϕ = u(M ), ψ =
rM M0
1
∆ϕ = ∆u(M ) = 0 и ∆ψ = ∆
= 0 для M ∈ V1 , то из (1.10) имеем
rM M 0


1
∂
x

u(N ) rN M0 − 1 ∂u(N )  ds +
0 =

∂ni
rN M0 ∂ni 
Σ

1

∂
x 

u(N ) rN M0 − 1 ∂u(N )  ds.
+

∂ni
rN M0 ∂ni 
(1.11)
Σε (M0 )
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
13
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
14
Так как на сфере Σε (M0 ) направление внешней нормали (по отношению к области V1 ) прямо противоположно направлению радиуса M0 M и
rM0 N = ε, то
1
1 = ,
rN M0 Σε (M0 ) ε
1
1
∂
∂
1 1
rN M 0 r
=− = 2
= 2.
∂ni Σε (M0 )
∂r Σε (M0 ) r Σε (M0 ) ε
Подставляя полученные выражения в (1.11), получаем


1
∂
x
1 ∂u(N ) 
rN M 0

 ds +
u(N
)
−
0=

∂ni
rN M0 ∂ni 
Σ
1 x ∂u(N )
1 x
u(N ) ds −
ds.
+ 2
ε
ε
∂ni
Σε (M0 )
(1.12)
Σε (M0 )
Теорема о среднем для определенного интеграла имеет вид
Zb
f (x) dx = f (ξ)(b − a),
ξ ∈ [a, b].
a
Применяя аналог этой теоремы для поверхностных интегралов, получаем:
x
u(N ) ds = u(N1 )4πε2 ,
N1 ∈ Σε (M0 ),
Σε (M0 )
x ∂u(N )
∂u(N2 )
ds =
4πε2 ,
∂ni
∂ni
N2 = Σε (M0 ).
(1.13)
Σε (M0 )
Подставляем формулы (1.13) в (1.12)


1
∂
x

u(N ) rN M0 − 1 ∂u(N )  ds +
0=

∂ni
rN M0 ∂ni 
Σ
+ 4πu(N1 ) − 4πε ·
∂u(N2 )
.
∂ni
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(1.14)
14
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
15
Перейдем в выражении (1.14) к пределу при ε → 0. В этом случае
сфера Σε (M0 ) стягивается в точку M0 , область V1 стремится к области V .
Так как точки N1 и N2 лежат на сфере Σε (M0 ), то N1 , N2 → M0 . В силу
∂u(M )
непрерывности u(M ) и
имеем
∂ n̄i
u(N1 ) → u(M0 ),
∂u(N2 )
∂u(M0 )
→
,
∂ni
∂ni
∂u(M0 )
— ограниченная. Учитывая выше перечислен∂ni
ное, из (1.14) получаем:


1
∂
x
1 ∂u(N ) 
rN M0
 ds + 4πu(M0 ).

−
0=
u(N
)

∂ni
rN M0 ∂ni 
причем величина
Σ
Из последней формулы следует утверждение свойства.
Свойство 3 (Дифференцирование гармонических функций). Если
функция u(M ) гармоническая в области V , то она в этой области бесконечно дифференцируемая.
Доказательство. Пусть M0 — произвольная точка области V . Возьмем
область V1 с границей Σ1 такую, что V 1 ⊂ V и M0 ∈ V1 . Функция u(M ) на
границе Σ1 непрерывно-дифференцируемая, поэтому можем применить
к области V1 интегральное представление гармонической функции


1
∂
1 x
1
∂u(N
)
rN M0 

 ds.
u(M0 ) =
−
u(N
)
(1.15)
 rN M ∂ni

4π
∂n
i
0
Σ1
Так как N ∈ Σ1 и N 6= M0 , то функция
1
— бесконечно диффеrN M0
ренцируемая по M0 , тогда подынтегральная функция в (1.15) бесконечно дифференцируемая, а значит и сам интеграл в (1.15), т. е. функция
u(M0 ), бесконечно дифференцируемая.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
15
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
16
В случае двухмерного пространства доказательство свойства получают совершенно аналогично из интегрального представления гармонической функции. Приведем доказательство этого свойства в плоском случае, используя связь аналитических и гармонических функций.
Известно, что:
1) действительная и мнимая части аналитической функции являются
гармоническими;
2) по данной гармонической функции можно построить аналитическую функцию такую, что данная функция будет ее или действительной, или мнимой частью;
3) аналитические функции бесконечно дифференцируемые, а, следовательно, бесконечно дифференцируемые их действительные и мнимые части.
Из перечисленного вытекает доказательство свойства в двухмерном
пространстве.
Свойство 4 (О среднем арифметическом). Если функция u(M ) гармоническая внутри шара ШR (M0 ) радиуса R с центром в точке M0 и
S
непрерывная в ШR (M0 ) = ШR (M0 ) ΣR (M0 ), то значение функции
u(M ) в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на
сфере, т. е.
x
1
u(M0 ) =
u(N ) ds.
(1.16)
4πR2
ΣR (M0 )
В случае двухмерного пространства формула (1.16) имеет вид
Z
1
u(M0 ) =
u(N ) ds.
2πR
ΣR (M0 )
Доказательство. Возьмем R1 < R, тогда шар ШR1 (M0 ) ⊂ ШR (M0 ),
следовательно функция u(M ) на сфере ΣR1 (M0 ) непрерывно дифференцируемая. Можем применить интегральное представление гармониКостецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
16
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
ческой функции к области ШR1 (M0 ):

1
u(M0 ) =
4π
x
ΣR1 (M0 )
1
17

∂
 1 ∂u(N )
rN M 0 

 ds.
−
u(N
)
 rN M ∂ni

∂n
i
0
(1.17)
Так как нормаль n̄i к ΣR1 (M0 ) направлена по радиусу M0 M и rN M0 =
R1 , то
1
1 =
,
rN M0 ΣR1 (M0 ) R1
1
1
∂ ∂ 1 1
r r
=
= − 2
= − 2.
∂ni ΣR1 (M0 ) ∂r ΣR1 (M0 )
r ΣR1 (M0 )
R1
Подставляя последние формулы в (1.17) получаем
x ∂u(N )
x
1
1
u(M0 ) =
ds +
u(N ) ds.
4πR1
∂ni
4πR12
ΣR1 (M0 )
(1.18)
ΣR1 (M0 )
Так как u(M ) гармоническая в ШR1 (M0 ) и непрерывно дифференцируемая в ШR1 (M0 ), то из свойства 1 имеем
x ∂u(N )
ds = 0.
∂ni
(1.19)
ΣR1 (M0 )
Тогда из (1.19) и (1.18) следует, что
x
1
u(M0 ) =
4πR12
u(N ) ds.
ΣR1 (M0 )
Переходя в последнем равенстве к пределу при R1 → R получим
(1.16).
Свойство 5 (Принцип max–min для гармонической функции). Функция u(M ), гармоническая в конечной области V , непрерывная в замкнутой области V , достигает своего наибольшего и наименьшего значений на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть
тождественная постоянная.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
17
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
18
Это свойство предлагается доказать самостоятельно аналогично тому,
как доказывалось такое же свойство для уравнения теплопроводности.
Приведем ряд следствий из свойства 5, которые будут использованы
в дальнейшем.
Следствие 1. Если функция u(M ), непрерывная в V̄ = V
S
Σ гар-
моническая в V , равна нулю на границе Σ, то она тождественно равна
нулю в V̄ .
Действительно, в этом случае наибольшее и наименьшее значение равны нулю и, следовательно, u(M ) ≡ 0 в V̄ .
Следствие 2. Если u1 (M ) и u2 (M ) непрерывны в V̄ , гармонические
в V и если u1 (N ) 6 u2 (N ), N ∈ Σ, то u1 (M ) 6 u2 (M ) всюду в замкнутой
области V̄ .
В самом деле, функция u2 (M ) − u1 (M ) непрерывна в V̄ , гармоническая в V и u2 )N )−u1 (N ) > 0 на Σ. Поэтому ее наибольшее и наименьшее
значения в V̄ неотрицательны и, следовательно, u2 (M ) − u1 (M ) > 0 в V̄ ,
т. е. u1 (M ) 6 u2 (M ) в V̄ .
Следствие 3. Если u1 (M ) и u2 (M ) (u2 (M ) > 0) непрерывны в V̄ ,
гармонические в V и если |u1 (N )| 6 u2 (N ) на Σ, то |u1 (M )| 6 u2 (M )
всюду в V̄ .
Действительно, неравенство на Σ эквивалентно следующему
−u2 (N ) 6 u1 (N ) 6 u2 (N ),
N ∈ Σ.
Применяя следствие 2 к левому и правому неравенствам, получим,
что
−u2 (M ) 6 u1 (M ) 6 u2 (M ), M ∈ V̄
или
|u1 (M )| 6 u2 (M ),
M ∈ V̄ .
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
18
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
19
1.5. Проектное задание
1. Какие процессы приводят к уравнениям эллиптического типа.
2. Запишите уравнения Лапласа, Пуассона и Гельмгольца.
3. Дайте определение гармонической функции в конечной и бесконеч-
ной области.
4. Сформулируйте внутреннюю и внешнюю задачи Дирихле, Неймана
и смешанные.
5. Какие функции являются фундаментальными решениями уравне-
ния Лапласа в трехмерном и в двухмерном пространствах.
6. Проверьте, что функция
u(M ) = ln
1
rM M0
удовлетворяет уравнению Лапласа в плоском случае, а функция
u(M ) =
1
rM M 0
— в трехмерном пространстве.
7. Запишите первую и вторую формулы Грина; каким условиям долж-
ны удовлетворять входящие в них функции.
8. Сформулируйте и докажите свойство нормальной производной гар-
монической функции.
9. Запишите и докажите формулу интегрального представления гар-
монической функции в трехмерном пространстве.
10. Для чего в свойствах о нормальной производной и интегральном
представлении гармонической функции требуется непрерывная дифференцируемость в замкнутой области V .
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
19
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
20
11. Докажите формулу интегрального представления в двухмерном про-
странстве.
12. Сколько раз дифференцируема гармоническая функция. Докажи-
те утверждение о дифференцируемости для трехмерного пространства, пользуясь интегральным представлением, а для двухмерного
пространства — связью с аналитическими функциями.
13. Чему равно значение гармонической функции в центре шара через
ее значения на границе шара.
14. Сформулируйте и докажите принцип max–min для гармонических
функций.
15. Приведите следствия из принципа max–min для гармонических функ-
ций.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
20
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
21
1.6. Тест рубежного контроля
1. Уравнением Лапласа является уравнение
∂ 2u ∂ 2u
а)
+
= f (x, y);
∂x2 ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u
б)
+
= 0;
∂x2 ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
в) 2 = 2 + 2 ;
∂t
∂x
∂y
∂ 2u ∂ 2u
г)
+
+ λu = f (x, y).
∂x2 ∂y 2
2. Уравнением Пуассона является уравнение
∂ 2u ∂ 2u
а)
+
= f (x, y);
∂x2 ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u
б)
+
= 0;
∂x2 ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
в) 2 = 2 + 2 ;
∂t
∂x
∂y
∂ 2u ∂ 2u
г)
+
+ λu = f (x, y).
∂x2 ∂y 2
3. Уравнением Гельмгольца является уравнение
∂ 2u ∂ 2u
+
= f (x, y);
а)
∂x2 ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
в) 2 = 2 + 2 ;
∂t
∂x
∂y
∂ 2u ∂ 2u
б)
+
= 0;
∂x2 ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u
г)
+
+ λu = f (x, y).
∂x2 ∂y 2
4. Фундаментальным решением уравнения Лапласа в трехмерном про-
странстве является функция
а) u(M ) = ln
в) u(M ) =
1
rM M 0
1
;
;
rM M 0
б) u(M ) = sin
1
;
rM M 0
1
г) u(M ) = cos
.
rM M0
5. Фундаментальным решением уравнения Лапласа в двухмерном про-
странстве является функция
а) u(M ) = ln
в) u(M ) =
1
rM M 0
1
;
rM M 0
;
б) u(M ) = sin
1
;
rM M 0
1
г) u(M ) = cos
.
rM M0
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
21
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
22
6. Внутренняя задача Дирихле имеет вид:
M ∈ V +,
а) ∆u(M ) = 0,
N ∈ Σ;
∂u(N )
= f (N ),
∂ni
M ∈ V +,
г) ∆u(M ) = g(M ),
u(N ) = f (N ),
u(M ) ∈ C(V + ),
u(N ) = f (N ),
M ∈ V +,
u(M ) ∈ C(V + ),
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
в) ∆u(M ) = 0,
б) ∆u(M ) = g(M ),
N ∈ Σ;
N ∈ Σ;
M ∈ V +,
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
∂u(N )
= f (N ), N ∈ Σ.
∂ni
7. Внутренняя задача Неймана имеет вид
M ∈ V +,
а) ∆u(M ) = 0,
в) ∆u(M ) = g(M ),
N ∈ Σ;
∂u(N )
= f (N ),
∂ni
M ∈ V + , г) ∆u(M ) = 0,
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
u(N ) = f (N ),
M ∈ V +,
u(M ) ∈ C(V + ),
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
u(N ) = f (N ),
б) ∆u(M ) = g(M ),
N ∈ Σ;
N ∈ Σ;
M ∈ V +,
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
∂u(N )
= f (N ), N ∈ Σ.
∂ni
8. Гармоническую функцию в трехмерном пространстве представляют
в виде
1


∂
1 x
1
∂u(N
)
rM 0 N 
ln
 ds;
а) u(M0 ) =
−
u(N
)
 rM M ∂ni

2π
∂n
i
0
Σ

1

∂
1 x
1
∂u(N
)
rM 0 M 

 ds;
б) u(M0 ) =
−
u(N
)
 rM M ∂ni

4π
∂n
i
0
Σ
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
22
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции

1


1

23
∂ ln
1 x
1
∂u(N
)
rM 0 N 
ln
 ds;
в) u(M0 ) =
−
u(N
)
 rM M ∂ni

2π
∂n
i
0
Σ
∂ ln
1 x
1
∂u(N
)
rM0 M 
ln
 ds.
г) u(M0 ) =
−
u(N
)
 rM M ∂ni

4π
∂n
i
0
Σ
9. Если функция u(M ) гармоническая в области V + трехмерного про-
странства, то она в этой области имеет
а) непрерывные производные до второго порядка включительно;
б) непрерывные производные до третьего порядка включительно;
в) непрерывные производные до n-ого порядка включительно;
г) непрерывные производные любого порядка.
10. Если функция u(M ) 6≡ const, гармоническая в конечной области V ,
непрерывная в замкнутой области V , то она достигает своего наи-
большего и наименьшего значений.
а) только во внутренних точках области V ;
б) или на границе области V , или во внутренних точках.
в) только на границе области;
г) или на границе области V , или вне области V .
11. Если функция u(M ) гармоническая в области V и непрерывно диф-
ференцируемая в замкнутой области V , то ее нормальная производная удовлетворяет условию
x ∂u(N )
ds = 0;
а)
∂ni
Σ
x ∂u(N )
б)
ds = −1;
∂ni
Σ
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
23
Постановка задач для уравнения эллиптического типа. Гармонические функции
1

24

∂
x  1 ∂u(N )
rN M0 

 ds = 0;
в)
−
u(N
)
 rN M ∂ni

∂n
i
0
Σ
1


∂ ln
∂u(M0 )
1 x
1
∂u(N
)
rN M 0 

 ds.
г)
=
−
u(N
)
 rM N ∂ni

∂ni
4π
∂n
i
0
Σ
12. В принципе max–min для гармонической функции предполагают
непрерывность в замкнутой области V , чтобы можно было применить
а) теорему о среднем;
б) теорему Вейершрасса;
в) первую формулу Грина;
г) интегральное представление гармонической функции.
Таблица правильных ответов
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
б а г в а в г б г
в
а
б
Если Вы правильно ответили на 11–12 вопросов, то получаете оценку «отлично»; если же правильно ответили на 9–10 вопросов, то оценка «хорошо»; если правильных ответов всего 6–8, то получаете оценку
«удовлетворительно»; в остальных случаях — оценка «неудовлетворительно».
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
24
Модуль 2
2.1. Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле
2.2. Теоремы единственности решений задач Неймана
2.3. Замечание о разрешимости задач Дирихле и Неймана
2.4. Проектное задание
Перейти в
раздел 1
раздел 3
раздел 4
2. Теоремы единственности и устойчивости решений
задач Дирихле и Неймана
Комплексная цель модуля — подчеркнуть важность и необходимость
исследования любой задачи математической физики на единственность
и ее устойчивость.
2.1. Теоремы единственности и устойчивости решений
задач Дирихле
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле D+ не может иметь более
одного решения.
Доказательство. Пусть u1 (M ) 6≡ u2 (M ) решения задачи Дирихле:
∆uk (M ) = 0,
M ∈ V +,
uk (M ) ∈ C(V + ),
uk (N ) = f (N ),
N ∈ Σ,
k = 1, 2.
Функция u(M ) = u1 (M ) − u2 (M ) является решением следующей за-
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
26
дачи Дирихле:
∆u(M ) = 0,
M ∈ V +,
u(M ) ∈ C(V + ),
N ∈ Σ,
u(N ) = 0,
т. е. u(M ) — гармоническая в области V + , непрерывная в V + и на границе равна нулю. Тогда в силу следствия 1 из свойства 5 о max–min
гармонической функции имеем u(M ) ≡ 0, M ∈ V + , или u1 (M ) ≡ u2 (M )
в V + , что противоречит предположению u1 (M ) 6≡ u2 (M ).
Теорема доказана.
Теорема 2. Внешняя задача Дирихле D− не может иметь более
одного решения.
Доказательство. Пусть аналогично u1 (M ) 6≡ u2 (M ) — два решения
одной и той же внешней задачи Дирихле:
∆uk (M ) = 0,
M ∈ V −,
uk (M ) ∈ C(V − ),
uk (N ) = f (N ),
N ∈ Σ,
k = 1, 2.
Тогда для функции u(M ) = u1 (M ) − u2 (M ) будем иметь задачу
∆u(M ) = 0,
M ∈ V −,
u(M ) ∈ C(V − ),
u(N ) = 0,
N ∈ Σ.
В бесконечной области V − принцип max–min не имеет места. Не нарушая общности, можно считать, что начало координат принадлежит
области V + . Через ΣR — обозначим сферу (окружность) с центром в начале координат радиуса R такого большого, что ΣR целиком лежит в V − .
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
26
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
27
За область V1 обозначим часть области V − с границами Σ и ΣR .
Гармоническая функция u(M ) в бесконечной области V − должна быть
на бесконечности ограниченной в двухмерном пространстве и равномерно стремиться к нулю при M → ∞ в трехмерном. Рассмотрим трехмерное пространство. Возьмем число R достаточно большим, что
|u(M )| < ε.
ΣR
Тогда для функции u(M ) в области V1 имеем:
∆u(M ) = 0,
u(N ) = 0,
|u(N )| < ε,
M ∈ V1 ,
N ∈ Σ,
N ∈ ΣR .
Область V1 уже конечная, применяя в ней принцип max–min к функции u(M ), заключаем, что
|u(M )| < ε,
∀ M ∈ V 1.
(2.1)
Пусть P — произвольная точка бесконечной области V − . Возьмем
число R таким большим, что P ∈ V1 , тогда для этой точки имеет место
неравенство (2.1), т. е.
|u(P )| < ε.
(2.2)
Так как ε > 0 любое сколь угодно малое, то из (2.2) заключаем, что
u(P ) = 0. Но точка P — произвольная точка из V − , поэтому u(M ) ≡
0, ∀ M ∈ V − , т. е. u1 (M ) ≡ u2 (M ), что доказывает теорему в случае
трехмерного пространства.
Рассмотрим теперь двухмерное пространство, тогда ограниченность
u(M ) на бесконечности означает существование такого числа A, что
|u(M )| < A,
∀ M ∈ V −.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(2.3)
27
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
28
Пусть число ρ такое, что окружность с центром в начале координат
радиуса ρ целиком лежит в области V + (см. рис. 1).
y
Введем функцию
V1
ω(M ) =
V+
ρ Σ R
x
где rM O =
A
rM O
,
· ln
R
ρ
ln
ρ
p
x2 + y 2 = r — расстояние от
начала координат до точки M (x, y).
Рис. 1.
Так как функция ln
1
— гармоническая в любой области не содерrM O
жащей точки O(0, 0), то функция ω(M ) гармоническая в V1 , причем на
границе области V1 выполняются условия:
A
rN O
ω(N )Σ =
· ln
> 0,
(2.4)
R
ρ
ln
ρ
ω(N )ΣR = A,
(2.5)
> 1 и rN O ΣR = R. Используя (2.3), (2.4) и (2.5),
rN O
ρ
сравним поведение гармонических функций u(M ) и ω(M ) на границах
Σ и ΣR области V1
ω(N )Σ > 0 = u(N )Σ , ω(N )ΣR = A > |u(M )|ΣR .
(2.6)
в силу того, что
Из (2.6) следует, что на границе области V1 выполняется неравенство
|u(N )| < ω(N ),
откуда в силу следствия 3 из принципа max–min для гармонических
функций всюду в V 1 имеем
|u(M )| < ω(M ),
M ∈ V 1.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(2.7)
28
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
29
Пусть M0 (x0 , y0 ) — любая конечная точка области V − . Выбирая R
достаточно большим, добьемся того, чтобы точка M0 ∈ V1 . Тогда согласно (2.7) получим неравенство, справедливое для всех достаточно больших R:
A
rM O
· ln 0 .
(2.8)
R
ρ
ln
ρ
Переходя в неравенстве (2.8) к пределу при R → ∞, с учетом того,
|u(M0 )| <
что его левая часть от R не зависит, получим
|u(M0 )| = 0.
(2.9)
Из (2.9) в силу произвольности точки M0 ∈ V − следует, что u(M ) ≡ 0
в V − или
u1 (M ) ≡ u2 (M ),
∀ M ∈ V −,
что доказывает теорему в двухмерном пространстве.
Теорема 3 (Устойчивость решения внутренней задачи Дирихле). Пусть
u1 (M ) и u2 (M ) — решения внутренних задач Дирихле
∆uk (M ) = 0,
M ∈ V +,
uk (M ) ∈ C(V + ),
uk (N ) = fk (N ),
N ∈ Σ,
k = 1, 2,
тогда для любого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε), что, если
|f1 (N ) − f2 (N )| < δ для ∀ N ∈ Σ,
то
|u1 (M ) − u2 (M )| < ε для ∀ M ∈ V + .
Доказательство. Разность u(M ) = u1 (M ) − u2 (M ) является функцией
гармонической в области V + , непрерывной в V + и на границе Σ удовлетворяет неравенству
|u(N )| = |f1 (N ) − f2 (N )| < δ,
N ∈ Σ.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
29
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
30
Поэтому в силу следствия 3 к принципу max–min имеем
M ∈ V +.
|u(M )| < δ = ε,
Теорема доказана.
2.2. Теоремы единственности решений задач Неймана
Теорема 4. Решение внутренней задачи Неймана N + единственно
с точностью до постоянного слагаемого, если оно существует.
Доказательство. Пусть u1 (M ) 6= u2 (M ) — два решения одной и той же
задачи Неймана N + , т. е.
∆uk (M ) = 0,
M ∈ V +,
uk (M ) ∈ C 1 (V + ),
∂uk (N )
= f (N ), N ∈ Σ, k = 1, 2.
∂ni
Тогда функция u(M ) = u1 (M ) − u2 (M ) будет решением задачи:
∆u(M ) = 0,
M ∈ V +,
(2.10)
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
∂u(N )
= 0, N ∈ Σ.
(2.11)
∂ni
Применяя первую формулу Грина (1.9) для функций ϕ = ψ = u(M ),
имеем
y
(u∆u + (grad u, grad u)) dx dy dz =
x
Σ
V+
u
∂u
ds.
∂ni
Откуда используя (2.10) и (2.11), получаем
y
(grad u, grad u) dx dy dz = 0,
V+
или
y
V+
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
+
∂u
∂z
2 !
dx dy dz = 0.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(2.12)
30
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
31
Так как подынтегральная функция в (2.12) непрерывна и неотрицательна, а интеграл равен нулю, то подынтегральная функция не может быть
ни в одной точке V + строго положительной. Иначе подынтегральная
функция была бы положительной в целой окрестности такой точки, а
интеграл был бы также положителен. Итак, из (2.12) получаем
2 2 2
∂u
∂u
∂u
+
+
≡ 0.
(2.13)
∂x
∂y
∂z
Каждое слагаемое суммы (2.13) не отрицательное. Сумма неотрицательных слагаемых может равняться нулю, если только каждое слагаемое равно нулю:
∂u
∂u
∂u
≡ 0,
≡ 0,
≡ 0.
∂x
∂y
∂z
Откуда следует, что u(M ) = const, тогда
u1 (M ) − u2 (M ) = const .
Теорема доказана.
Для доказательства теоремы единственности решения внешней задачи Неймана нам понадобится следующая теорема.
Теорема 5 (О поведении гармонических функций на бесконечности).
Если функция u(M ) ограниченная и гармоническая в бесконечной области V − , то для точек, достаточно удаленных от начала координат имеют
место оценки для двухмерного пространства
|u(M )| < const,
∂u A
< , ∂u < A ,
∂x r2
∂y r2
(2.14)
для трехмерного
A
|u(M )| < ,
r ∂u A
< , ∂u < A , ∂u < A ,
∂x r2
∂y r2
∂z r2
где r — расстояние точки M от начала координат A — const.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(2.15)
31
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
32
Доказательство этой теоремы см. в [1], [3].
Теорема 6. Если решение внешней задачи Неймана N − существует,
то оно единственно в трехмерном пространстве и единственно с точностью до постоянного слагаемого в двухмерном пространстве.
Доказательство. Рассуждая как и в теореме 1 придем к задаче для
функции u(M ) = u1 (M ) − u2 (M )
∆u(M ) = 0,
M ∈ V −,
(2.16)
u(M ) ∈ C 1 (V − ),
∂u(N )
= 0,
∂ni
N ∈ Σ.
(2.17)
Через ΣR — обозначим сферу (окружность) радиуса R такого большого, что граница Σ целиков лежит внутри ΣR . Через V1 обозначим область
с границами Σ и ΣR . Область V1 конечная. Применим первую формулу
Грина (1.19) к функциям ϕ = ψ = u(M ) в области V1 :
y
u∆u +
V1
=
2
x
x ∂u
∂u
u
ds +
u
ds.
∂ni
∂ni
Σ
+
∂u
∂y
2
2 !
∂u
∂x
+
∂u
∂z
dx dy dz =
(2.18)
ΣR
В силу (2.16) и (2.17) из (2.18) получаем
!
y ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2
x ∂u
+
+
dx dy dz =
u
ds.
∂x
∂y
∂z
∂ni
V1
(2.19)
ΣR
Рассмотрим трехмерное пространство. Так как для функции u(M )
справедливы оценки (2.15), то имеем
∂u ∂u
∂u
∂u
= cos(nd
6 3A
,
x)
+
cos(
n
d
,
y)
+
cos(
n
d
,
z)
i
i
i
∂ni ∂x
∂y
∂z
R2
ΣR
ΣR
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
32
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
и
x
A 3A x
∂u
A1
3A2
2
u
6
ds
·
4πR
=
.
ds
=
∂ni R R2
R3
R
ΣR
33
(2.20)
ΣR
При R → ∞ область V1 стремится к области V − , в силу (2.20) правая
часть (2.19) стремится к нулю, тогда
!
y ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2
+
+
dx dy dz = 0.
∂x
∂y
∂z
−
V
Откуда как и в теореме 3 получаем, что u(M ) = const. Но так как
u(M ) — гармоническая в бесконечной области трехмерного пространства, то u(M ) равномерно стремится к нулю при M → ∞. Следовательно, const = 0, т. е. u(M ) ≡ 0 или u1 (M ) = u2 (M ), что доказывает
теорему в трехмерном пространстве.
Рассмотрим теперь двухмерное пространство. Аналогично из (2.14)
имеем
и
∂u 6 2A ,
∂ni ΣR R2
Z ∂u A
ds 6 A · 2 · 2πR −−−→ 0.
u
n→∞
∂ni
R
ΣR
Откуда используя равенство аналогичное равенству (2.19) только для
двухмерного пространства , как в предыдущем случае заключаем, что
u(M ) = const. Так как u(M ) гармоническая в бесконечное области двухмерного пространства, то теперь уже u(M ) ограничена на бесконечности
и, вообще говоря, const 6= 0. Следовательно,
u1 (M ) − u2 (M ) = const,
что доказывает теорему для двухмерного пространства.
2.3. Замечание о разрешимости задач Дирихле и Неймана
Как мы увидим в дальнейшем, задачи Дирихле как внутренняя, так
и внешняя, разрешимы при любых непрерывных функциях f (N ), N ∈
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
33
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
34
Σ, (и достаточно гладкой границе Σ). Этого нельзя сказать о задаче
Неймана. Действительно, пусть внутренняя задача Неймана разрешима.
Тогда интегрируя уже тождественное граничное условие
∂u(N )
≡ f (N )
∂ni
по границе Σ, получим
x ∂u(N )
x
ds =
f (N ) ds.
∂ni
Σ
Σ
Откуда в силу первого свойства гармонических функций получаем необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана
x
f (N ) ds = 0.
Σ
Аналогичное условие является необходимым и для разрешимости внешней задачи Неймана. Будет показано в дальнейшем, что указанное условие является и достаточным для разрешимости и внутренней, и внешней
задач Неймана.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
34
Теоремы единственности и устойчивости решений задач Дирихле и Неймана
35
2.4. Проектное задание
1. Сформулируйте и докажите теорему единственности для внутрен-
ней задачи Дирихле.
2. Почему теорему единственности для внешней задачи Дирихле нель-
зя доказать совершенно аналогично, как доказывалась теорема единственности для внутренней задачи.
3. Почему теорему единственности для внешней задачи Дирихле для
двухмерного и трехмерного пространств доказывают разными способами.
4. Докажите теорему единственности внешней задачи Дирихле в плос-
ком случае.
5. Докажите теорему единственности внешней задачи Дирихле в трех-
мерном пространстве.
6. Сформулируйте и докажите теорему об устойчивости внутренней
задачи Дирихле.
7. Сколько решений имеет внутренняя задача Неймана, докажите тео-
рему о числе решений внутренней задачи Неймана.
8. Чем отличается поведение гармонической функции на бесконечно-
сти в трехмерном пространстве от двухмерного, сформулируйте теорему о поведении производных гармонической функции.
9. Сформулируйте и докажите теорему о единственности решения внеш-
ней задачи Неймана.
10. Всякая ли задача Неймана разрешима?
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
35
Модуль 3
3.1. Решение внутренней задачи Дирихле для круга
3.2. Обоснование решения внутренней задачи Дирихле для круга
3.3. Интеграл Пуассона
3.4. Решение задачи Неймана для круга
3.5. Проектное задание
Перейти в
раздел 1
раздел 2
раздел 4
3. Метод Фурье
Комплексная цель модуля — показать применение одного из основных
методов решения уравнений в частных производных — метода Фурье
к решению уравнений эллиптического типа.
При решении краевых задач для уравнений эллиптического типа используются различные методы. Рассмотрим наиболее употребительные
из них: метод Фурье, метод функции Грина, метод интегральных уравнений.
Метод Фурье применялся нами ранее при решении краевых задач для
уравнений гиперболического и параболического типов. Область, где ставились эти задачи, являлась прямоугольником: 0 < x < `, 0 < t < T .
Краевые задачи для уравнения Лапласа в случае прямоугольника также
могут быть решены методом Фурье в виду возможности разделения переменных в краевом условии. Введение полярных координат позволяет
решать эти задачи также и в случаях круга, сектора, кольца. Имеется
еще ряд областей, где разделение переменных может быть осуществлено
за счет введения криволинейных координат. Для областей произвольной
формы метод Фурье неприменим.
Метод Фурье
37
3.1. Решение внутренней задачи Дирихле для круга
Найдем решение уравнения Лапласа
∆u(M ) ≡
∂ 2u ∂ 2u
+
= 0,
∂x2 ∂y 2
M ∈ V + = {x2 + y 2 < `2 },
непрерывное вплоть до границы Σ = {x2 + y 2 = `2 } и удовлетворяющее
граничному условию
u(N ) = f (N ),
N ∈ Σ = {x2 + y 2 = `2 }.
Переходя к полярным координатам x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, задачу
Дирихле для круга перепишем в виде
∂ 2 u 1 ∂u
1 ∂ 2u
∆u ≡ 2 +
= 0,
+
∂r
r ∂r r2 ∂ϕ2
u(`, ϕ) = f (ϕ),
f (ϕ + 2π) = f (ϕ),
ϕ ∈ [0, 2π].
(3.1)
(3.2)
В этих координатах искомая функция u(r, ϕ), очевидно, должна быть
периодической с периодом 2π:
u(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π).
(3.3)
Очевидно также, что функция u(r, ϕ) в центре круга при r = 0 дважды непрерывно дифференцируемая по r и ϕ и, следовательно, ограничена:
|u(0, ϕ)| < const .
(3.4)
Ищем решение уравнения (3.1) в виде
u(r, ϕ) = R(r) · Φ(ϕ),
(3.5)
причем из периодичности (3.3) и ограниченности (3.4) следуют условия
на Φ(ϕ) и R(r):
Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ),
(3.6)
|R(0)| < const .
(3.7)
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
37
Метод Фурье
38
Подставляя предполагаемое решение (3.5) в уравнение Лапласа (3.1),
находим
1
1
R00 (r)Φ(ϕ) + R0 (r)Φ(ϕ) + 2 Φ00 (ϕ)R(r) ≡ 0.
r
r
Откуда, разделив на R(r) · Φ(ϕ) и умножив на r2 , имеем
Φ00 (ϕ)
r2 R00 (r) + rR0 (r)
≡−
.
R(r)
Φ(ϕ)
(3.8)
В (3.8) левая часть зависит только от r, а правая только от ϕ, тождественное совпадение этих функций возможно лишь в случае, когда обе
части равны одной и той же константе. Обозначив ее через λ и приравнивая обе части (3.8) к λ, получаем:
r2 R00 (r) + rR0 (r) − λR(r) = 0,
(3.9)
Φ00 (ϕ) + λΦ(ϕ) = 0.
(3.10)
Решим вначале задачу Штурма–Лиувилля (3.10), (3.6). Пусть λ = 0,
тогда из уравнения (3.10) находим
Φ00 (ϕ) = 0,
Φ0 (ϕ) = c1 ,
Φ(ϕ) = c1 ϕ + c2 ,
а из условия периодичности (3.6) следует, что c1 = 0. таким образом,
собственному значению λ = 0 соответствует собственная функция
Φ0 (ϕ) = a0 .
Пусть теперь λ < 0, λ = −µ2 , µ > 0. Тогда уравнение (3.10) принимает
вид
Φ00 (ϕ) − µ2 Φ(ϕ) = 0,
характеристическое уравнение которого γ 2 − µ2 = 0 имеет действительные корни γ1,2 = ±µ. Общее решение в этом случае
Φ(ϕ) = c1 eµϕ + c2 e−µϕ
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
38
Метод Фурье
39
не является периодическим, т. е. λ < 0 — не собственные числа. Пусть,
наконец, λ > 0, λ = µ2 , µ > 0. Тогда уравнение (3.10) сводится к уравнению
Φ00 (ϕ) + µ2 Φ(ϕ) = 0.
Его характеристическое уравнение
γ 2 + µ2 = 0,
корни которого комплексно сопряженные γ1,2 = ±iµ. Общее решение
уравнения (3.10) есть
Φ(ϕ) = c1 cos µϕ + c2 sin µϕ.
Это решение будет удовлетворять условию периодичности (3.6) лишь
при µ = n, n = 1, 2, . . . Таким образом, решение задачи (3.10), (3.6) есть:
при λ = 0, ϕ0 = a0 , при λ = n2 , Φn (ϕ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ,
n = 1, 2, . . .
Очевидно, что отрицательные значения n = −1, −2, . . . новых решений не дают. Теперь нужно найти решение уравнения (3.9) при этих
значениях λ. Пусть λ = 0. Уравнение (3.9) принимает вид
r2 R00 (r) + rR0 (r) = 0.
Разделив последнее уравнение на r2 R0 (r), получаем уравнение с разделенными переменными
R00 (r) 1
+ = 0.
R0 (r) r
Интегрируя, это уравнение, имеем
ln |R0 (r)| + ln r = ln |c1 |,
c1
R0 (r) = ,
r
R(r) = c1 ln r + c2 .
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(3.11)
39
Метод Фурье
40
Из условия ограниченности (3.7) следует, что c1 = 0, причем константа c2 — любая, отличная от нуля, поэтому положив c2 = 1, имеем
R0 (r) = 1,
тогда u0 (r, ϕ) = Φ0 (ϕ) · R0 (r) = a0 .
Пусть теперь λ = n2 , n = 1, 2, . . . , тогда уравнение (3.9) принимает
вид
r2 R00 (r) + rR0 (r) − n2 R(r) = 0.
(3.12)
Уравнение (3.12) является уравнением Эйлера, его можно решать или
заменой независимой переменной по формуле r = et , или решение отыскивают в виде R = rm . Выберем второй способ. Подберем m так, чтобы
R = rm было решением уравнения (3.12)
r2 · m(m − 1)rm−2 + rmrm−1 − n2 rm ≡ 0.
Откуда получаем m = ±n. Частные решения R1 = rn и R2 = r−n
линейного уравнения (3.12) линейно независимы и его общее решение
будет
R = c1 rn + c2 r−n .
Из условия ограниченности (3.7) |R(0)| < const, следует, что нужно положить c2 = 0. так как постоянная c1 осталась произвольной, то
возьмем ее равной 1, c1 = 1, тогда
Rn = rn .
Итак, периодические ограниченные решения уравнения Лапласа имеют вид
un = rn (an cos nϕ + bn sin nϕ),
n = 1, 2, . . . ,
u0 = a0 .
Сумма этих решений
u(r, ϕ) = a0 +
∞
X
rn (an cos nϕ + bn sin nϕ)
(3.13)
n=1
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
40
Метод Фурье
41
при достаточно хорошей сходимости также будет гармонической при
r < `.
Выберем an , bn так, чтобы функция (3.13) удовлетворяла условию
(3.2):
u(`, ϕ) = a0 +
∞
X
(`n an cos nϕ + `n bn sin nϕ) = f (ϕ).
(3.14)
k=1
Ряд (3.14) является рядом Фурье функции f (ϕ) по полной ортогональной системе {1, cos nϕ, sin nϕ, n = 1, 2, . . . }. Если функция f (ϕ)
представляется в виде ряда Фурье
f (ϕ) = α0 +
∞
X
(αn cos nϕ + βn sin nϕ),
(3.15)
n=1
где
1
α0 =
2π
Z2π
1
αn =
π
f (ψ) dψ,
0
Z2π
f (ψ) cos nψ dψ,
(3.16)
0
1
βn =
π
Z2π
f (ψ) sin nψ dψ
(3.17)
0
то, сравнивая (3.14) и (3.15), найдем
a0 = α 0 ,
an =
αn
,
`n
bn =
βn
.
`n
(3.18)
Заметим, что в теории рядов Фурье вместо a0 и α0 пишут соответственно a0 /2 и α0 /2. Подставляя (3.18) в (3.13), получаем формальное
решение внутренней задачи Дирихле в виде
u(r, ϕ) = α0 +
∞ X
r n
n=1
`
(αn cos nϕ + βn sin nϕ).
(3.19)
Формула (3.19) названа формальным решением задачи Дирихле, так
как нужно еще доказать, что ряд (3.19) сходится и определяет функцию,
являющуюся решением задачи Дирихле (3.1) и (3.2).
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
41
Метод Фурье
42
Аналогично решается внешняя задача Дирихле для круга:
∂ 2u ∂ 2u
∆u(M ) ≡ 2 + 2 = 0,
∂x
∂y
u(N ) = f (N ),
M ∈ V − = {x2 + y 2 > `2 }.
N ∈ Σ = {x2 + y 2 = `2 }.
(3.20)
(3.21)
Так как область V − бесконечная, то нужно еще потребовать ограниченности функции u(M ) при M → ∞. Из этого условия следует, что из
двух частных решений R1 = rn и R2 = r−n уравнения (3.12) нужно оставить теперь R2 = r−n и, следовательно, Rn = r−n . Поэтому решением
внешней задачи Дирихле для круга будет
u(r, ϕ) = a0 +
∞
X
r−n (an cos nϕ + bn sin nϕ)
(3.22)
n=1
с коэффициентами
a0 = α 0 ,
an = αn · `n ,
bn = βn · `n ,
где αn , n = 0, 1, 2, . . . , βn , n = 1, 2, . . . — коэффициенты ряда Фурье
функции f (ϕ) из (3.16), (3.17).
3.2. Обоснование решения внутренней задачи Дирихле
для круга
Напомним, что формальным решением внутренней задачи Дирихле
1 ∂ 2u
∂ 2 u 1 ∂u
+
+
= 0,
∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2
r ∈ [0, `),
u(`, ϕ) = f (ϕ),
ϕ ∈ [0, 2π],
ϕ ∈ [0, 2π],
(3.1)
(3.2)
является функция
u(r, ϕ) = α0 +
∞ X
r n
n=1
`
(αn cos nϕ + βn sin nϕ),
(3.19)
где αn , n = 0, 1, 2, . . . , βn , n = 1, 2, . . . , определяются формулами (3.16),
(3.17), (3.18) и являются коэффициентами ряда Фурье функции f (ϕ).
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
42
Метод Фурье
43
Обозначим через
un =
r n
`
(αn cos nϕ + βn sin nϕ).
Покажем, что ряды
X
un ,
X ∂un
∂r
,
X ∂ 2 un
∂r2
,
X ∂un
∂ϕ
,
X ∂ 2 un
∂ϕ2
(3.23)
равномерно сходятся в замкнутом круге r 6 r0 < `, где r0 — любое
фиксированное число. Если предположить, что функция f (ϕ) из краевого условия (3.2) непрерывная, то ее коэффициенты ряда Фурье будут
ограниченными, т. е. существует постоянная A такая, что
|αn | < A,
|βn | < A.
(3.24)
Учитывая оценку (3.24) и неравенства | cos nϕ| 6 1, | sin nϕ| 6 1,
убеждаемся, что ряды (3.23) мажорируются соответственно рядами:
r n−2
X r0 n
2A X r0 n−1
2A X
0
2A
;
n
;
n(n − 1)
;
2
`
`
`
`
`
X r0 n
X r0 n
2A
n
; 2A
n2
,
`
`
сходимость которых при r 6 r0 < ` следует из признака Коши. Тогда из
признака Вейерштрасса получаем, что ряды (3.23) равномерно сходятся, а это в свою очередь обеспечивает существование у функции (3.19)
непрерывных производных первого и второго порядков по r и ϕ. Значит
функция (3.19) удовлетворяет уравнению (3.1), т. е. является гармонической функцией при r < ` при условии, что f (ϕ) непрерывная.
Осталось установить равномерную сходимость, а следовательно, и непрерывность ряда (3.19) в замкнутой области r 6 `. В этомслучае
польP r n
зоваться ранее найденным мажорирующим рядом 2A
нельзя,
`
n
r n
∞
P
`
так как этот ряд в этой области расходится (
6
= 1,
1—
`
`
n=1
расходится).
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
43
Метод Фурье
44
В этом случае мажорирующим рядом для ряда (3.19) будет
|α0 | +
∞
X
n=1
(|αn | + |βn |).
(3.25)
Потребуем теперь, чтобы функция f (ϕ) была дважды непрерывно
дифференцируемая и, следовательно, f 0 (ψ) и f 00 (ψ) — ограниченные. Тогда, интегрируя по частям коэффициент αn из (3.16) дважды, получим
оценку
u = f (ψ),
Z2π
0
du = f (ψ) dψ 1
=
αn =
f (ψ) cos nψ dψ = 1
π
dv = cos nψ dψ, v = sin nψ 0
n
2π 1 Z2π
1
1
= f (ψ) · sin nψ −
f 0 (ψ) sin nψ dψ =
0
π
n
πn
0
u = f 0 (ψ),
du = f 00 (ψ) dψ
1
0
= −
f (ψ) sin nψ dψ = 1
πn
dv = sin nψ dψ, v = − cos nψ
0
n


2π 1 Z2π
1  0
1
= −
−f (ψ) cos nψ +
f 00 (ψ) cos nψ dψ  .
0
πn
n
n
Z2π
=
0
Пользуясь ограниченностью f 0 (ψ), f 00 (ψ), получаем
A1
, A1 — const .
n2
Для коэффициента βn справедлива аналогичная оценка
αn 6
|βn | 6
A1
.
n2
Из этих оценок следует
|αn | + |βn | 6
2A
.
n2
(3.26)
2A
Ряд с общим членом 2 сходится, из (3.26) и из признака Вейершрасса
n
получаем равномерную сходимость ряда (3.19) в замкнутом круге r 6 `.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
44
Метод Фурье
45
Следовательно, ряд (3.19) определяет непрерывную в замкнутом круге
r 6 ` функцию u(r, ϕ), если f (ϕ) дважды непрерывно дифференцируемая. Это условие на f (ϕ) является также достаточным для ее разложимости в ряд Фурье (3.15), а значит и для выполнения граничного условия
(3.2).
Итак, если функция f (ϕ) дважды непрерывно дифференцируемая, то
функция u(r, ϕ) из (3.19) непрерывна в замкнутом круге, удовлетворяет граничному условию (3.2), и является функцией гармонической (т. е.
удовлетворяет уравнению (3.1)) в открытом круге. Кстати, последнее
утверждение справедливо, если f (ϕ) всего лишь непрерывна.
Обоснование решения внешней задачи Дирихле для круга ничем не
отличается от приведенного обоснования для внутренней задачи.
3.3. Интеграл Пуассона
Решением внутренней задачи Дирихле для круга (3.1), (3.2) является функция (3.19) с коэффициентами из (3.16), (3.17). Преобразуем ряд
(3.19) при r < `, подставив вместо коэффициентов αn и βn их выражения
по формулам (3.16), (3.17)
1 1
u(r, ϕ) =
·
2 π
f (ψ)[cos nψ cos nϕ + sin nψ sin nϕ] dϕ =
0
1
=
2π
Z2π
0
1
π
0
∞ X
r n1
f (ψ) dψ +
×
`
π
n=1
Z2π
×
=
Z2π
0
Z2π
"
f (ψ)
0
2π
Z
∞ X
r n1
f (ψ) dψ +
f (ψ) cos n(ψ − ϕ) dψ =
`
π
n=1
∞ X
r n
1
+
2 n=1 `
#
cos n(ψ − ϕ) dψ.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(3.27)
45
Метод Фурье
46
Обозначим выражение в квадратных скобках в (3.27) через J, преобeit + e−it
разуем его, используя формулу cos t =
,
2
"
#
∞ X
n
1
r
J =
+
cos n(ψ − ϕ) =
2 n=1 `
∞
1 X r n ein(ψ−ϕ) + e−in(ψ−ϕ)
+
=
=
2 n=1 `
2
∞
∞
1 1 X r i(ψ−ϕ) n 1 X r −i(ψ−ϕ) n
=
+
e
+
e
.
2 2 n=1 `
2 n=1 `
(3.28)
Ряды в (3.28) являются геометрическими прогрессиями со знаменателями, соответственно,
r
q1 = ei(ψ−ϕ) ,
`
r
q2 = e−i(ψ−ϕ) .
`
Так как
r
i(ψ−ϕ) r i(ψ−ϕ) r
|q1 | = e
6 e
= < 1,
`
`
`
r
−i(ψ−ϕ) r
|q2 | = e
= < 1,
`
`
то ряды сходятся.
Используя формулу суммы геометрической прогрессии
S=
b1
,
1−q
суммируем эти ряды и для выражения J из (3.28), обозначив
ψ − ϕ = ω,
имеем
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
46
Метод Фурье
47
r iω
r −iω
e
e
1 1
1
J= + · ` r
+ · ` r
=
2 2 1 − eiω 2 1 − e−iω
`
`
r iω
r −iω
r iω
r −iω
r −iω r iω 1− e
1− e
+ e 1− e
+ e
1− e
`
`
`
`
`
`
=
=
r iω r −iω 2 1− e
1− e
`
`
r 2
r 2
1−
1−
`
`
= r 2 = r 2 =
r iω
r
2 1 − (e + e−iω ) +
2 1 − 2 cos ω +
`
`
`
`
`2 − r 2
=
.
2(`2 − 2r` cos(ψ − ϕ) + r2 )
Подставляя результат в (3.27), получаем
1
u(r, ϕ) =
2π
Z2π
0
`2 − r2
f (ψ) 2
dψ.
` − 2`r cos(ϕ − ψ) + r2
(3.29)
Формула (3.29) называется формулой Пуассона, а интеграл в правой части — интегралом Пуассона.
M(r, ϕ)
ϕ
N (ℓ, ψ)
ψ
ℓ
Рис. 2.
Для расстояния rM N между точками M (r, ϕ) и N (`, ϕ) по теореме
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
47
Метод Фурье
48
косинусов (см. рис. 2) имеем
2
2
2
rM
N = ` + r − 2r` cos(ϕ − ψ).
Тогда формулу Пуассона (3.29) преобразуем, вводя дуговую абсциссу
s = `ψ,
1
u(r, ϕ) =
2π
Z2π
0
1
`2 − r2
dψ =
f (ψ) 2
rM N
2π`
Z
Σ
`2 − r 2
f (N ) 2
ds.
rM N
(3.30)
Так как в интеграл Пуассона (3.30) входит только функция f (N ), и
не входят ее первая и вторая производная можно предположить, что
непрерывность вторых производных излишняя. Действительно можно
доказать, что интеграл Пуассона (3.30) дает решение внутренней задачи
Дирихле для круга, если f (N ) непрерывная функция.
Исходя из ряда (3.22), являющегося решением внешней задачи Дирихле для круга (3.20) и (3.21), совершенно аналогичным образом убеждаемся, что при непрерывной функции f (N ) решение внешней задачи
Дирихле для круга дается следующей формулой Пуассона
Z 2
r − `2
1
f (N ) dSN .
(3.31)
u(M ) =
2
2π`
rM
N
C
Интеграл Пуассона является удобным аппаратом для исследования
свойств гармонических функций.
3.4. Решение задачи Неймана для круга
Так как ряд (3.13) является функцией гармонической внутри круга
V + = {x2 + y 2 < `2 },
то, чтобы окончательно найти решение внутренней задачи Неймана
∆u(M ) = 0,
M ∈ V + = {x2 + y 2 < `2 },
u(M ) ∈ C 1 (V + ),
∂u(N )
= f (N ),
∂ni
N ∈ Σ = {x2 + y 2 = `2 },
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(3.32)
48
Метод Фурье
49
найдем коэффициенты ряда (3.13) из условия (3.32). Так как направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса и f (N ) = f (ϕ),
то имеем
∞
X
∂u(N )
∂u n−1
n−1
=
n`
a
cos
nϕ
+
n`
b
sin
nϕ
= f (ϕ). (3.33)
=
n
n
∂ni
∂r r=` n=1
Если функция f (ϕ) представляется в виде ряда Фурье
f (ϕ) = α0 +
∞
X
(αn cos nϕ + βn sin nϕ),
(3.34)
n=1
где
1
α0 =
2π
Z2π
f (ψ) dψ,
1
αn =
π
0
Z2π
f (ψ) cos nψ dψ,
0
1
βn =
π
Z2π
f (ψ) sin nψ dψ,
0
то, сравнивая (3.33) и (3.34), найдем коэффициенты ряда (3.13)
an =
αn
,
n`n−1
bn =
βn
.
n`n−1
Коэффициент a0 произвольный, а условие α0 = 0 дает условие разрешимости задачи Неймана
Z2π
f (ψ) dψ = 0.
0
Аналогично решается внешняя задача Неймана для круга.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
49
Метод Фурье
50
3.5. Проектное задание
1. Для каких областей можно решить задачи для уравнений эллипти-
ческого типа методом Фурье.
2. Запишите внутреннюю задачу Дирихле для круга в полярных ко-
ординатах.
3. Найдите решение внутренней задачи Дирихле для круга методом
Фурье.
4. Получите решение внешней задачи Дирихле для круга методом Фу-
рье.
5. Что нужно доказать, чтобы обосновать решение внутренней задачи
Дирихле для круга и почему это обоснование нужно.
6. Каким условиям должна удовлетворять граничная функция f (ϕ),
чтобы ряд (3.19) был решением внутренней задачи Дирихле.
7. Проведите обоснование решения внутренней задачи Дирихле для
круга.
8. Проведите обоснование решения внешней задачи Дирихле для кру-
га.
9. Получите решение внутренней задачи Дирихле для круга в виде
интеграла Пуассона.
10. Получите решение внешней задачи Дирихле для круга в виде инте-
грала.
11. Как ведут себя гармоническая функция и ее производные на беско-
нечности в двухмерном и трехмерном пространствах.
12. Решите внутреннюю задачу Неймана для круга. Всякая ли задача
Неймана имеет решение, а если имеет решения, то сколько их.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
50
Метод Фурье
51
13. Решите внешнюю задачу Неймана для круга.
14. Решите задачу Дирихле для кольца:
∆u(M ) ≡
∂ 2 u 1 ∂u
1 ∂ 2u
+
+
= 0,
∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2
u(`1 , ϕ) = f1 (ϕ),
f1 (ϕ + 2π) = f1 (ϕ),
u(`2 , ϕ) = f2 (ϕ),
f2 (ϕ + 2π) = f2 (ϕ),
0 < `1 < `2 < ∞.
15. Решите смешанную задачу для прямоугольника
V + = {(x, y) : 0 < x < a, 0 < y < b}
∆u(M ) ≡
∂ 2u ∂ 2u
+
= 0,
∂x2 ∂y 2
u(0, y) = 0,
∂u
(x, 0) = 0,
∂y
M ∈ V +,
πy
,
b
∂u
3πx
(x, b) = sin
.
∂y
a
u(a, y) = cos
16. Решите смешанную задачу для полуполосы
V + = {(x, y) : 0 < x < a, 0 < y < +∞}
∂ 2u ∂ 2u
∆u(M ) ≡ 2 + 2 = 0,
∂x
∂y
M ∈ V +,
∂u(0, y)
∂u(a, y)
= 0,
= 0,
∂x
∂x
u(x, 0) = ϕ(x), ϕ(0) = ϕ(a) = 0, u(x, y) — ограничена.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
51
Модуль 4
4.1. Решение задачи Дирихле методом функции Грина
4.2. Свойства функции Грина
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
Нахождение функции Грина методом электростатических изображений
Решение задачи Дирихле для полупространства
Решение задачи Дирихле для шара
Построение функции Грина с помощью конформных отображений
4.7. Проектное задание
4.8. Тест рубежного контроля к модулям 2, 3, 4
Перейти в
раздел 1
раздел 2
раздел 3
4. Метод функции Грина
Комплексная цель модуля — научить решать задачи Дирихле и Неймана при помощи функции Грина, отыскивать функцию Грина физическим методом электростатических изображений и математическим методом при помощи конформных отображений.
4.1. Решение задачи Дирихле методом функции Грина
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле: найти функцию u(M ),
M (x, y, z), гармоническую в конечной области V + , непрерывную в замкнутой области
V + = V + ∪ Σ,
где Σ — граница области V + , и на границе Σ области V + принимающую
значения известной непрерывной функции f (N ), N ∈ Σ, т. е.
Метод функции Грина
53
∆u(M ) = 0,
M ∈ V +,
(4.1)
u(M ) ∈ C(V + ),
u(N ) = f (N ),
N ∈ Σ.
(4.2)
Предположим для простоты выкладок, что функция u(M ) непрерывно-дифференцируемая в V + . Тогда имеет место интегральное представление гармонической функции (свойство 2 в пункте 1.4)


1
∂
1
1 x
∂u(N
)
rM0 N 

 ds.
u(M0 ) =
−
u(N
)

4π
rM0 N ∂ni
∂ni 
(4.3)
Σ
Используя граничное условие (4.2), из (4.3) получаем решение задачи
Дирихле (4.1), (4.2) в виде


1
∂
1 x
1
∂u(N
)
rM 0 N 


u(M0 ) =
(4.4)
 rM N ∂ni − f (N ) ∂ni  ds.
4π
0
Σ
Но формула (4.4) содержит неизвестное выражение
рого постараемся избавиться. Введем функцию
G(M, M0 ) =
1 1
+ g(M, M0 ),
4π rM M0
∂u(N )
, от кото∂ni
(4.5)
где g(M, M0 ) пока произвольная гармоническая функция по переменной
M и непрерывно-дифференцируемая в замкнутой области V + . Применяя
вторую формулу Грина (1.10) к гармоническим функциям ϕ = u(M ) и
ψ = g(M, M0 ), имеем:
x
∂g(N, M0 )
∂u(N )
0=
u(N )
− g(N, M0 )
ds.
(4.6)
∂ni
∂ni
Σ
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
53
Метод функции Грина
54
Выразив из (4.5)
1
1
·
= G(M, M0 ) − g(M, M0 )
4π rM M0
и подставив это значение в (4.4), получаем
x
∂G(N, M0 )
∂u(N )
ds −
f (N )
ds +
u(M0 ) =
G(N, M0 )
∂ni
∂ni
Σ
Σ
x
∂u(N )
∂g(N, M0 )
+
−g(N, M0 )
+ f (N )
ds.
(4.7)
∂ni
∂ni
x
Σ
Последнее слагаемое в (4.7) в силу (4.2) и (4.6) равно нулю. Чтобы
∂u(N )
, выберем
выражение (4.7) не содержало неизвестной функции
∂ni
функцию g(M, M0 ) так, чтобы
G(N, M0 ) = 0,
N ∈ Σ.
(4.8)
Тогда из (4.7) имеем решение задачи Дирихле в виде
u(M0 ) = −
x
∂G(N, M0 )
ds,
∂ni
(4.9)
1 1
+ g(M, M0 ),
4π rM M0
(4.10)
f (N )
Σ
где
G(M, M0 ) =
∆g(M, M0 ) = 0,
G(N, M0 ) = 0,
M ∈ V +,
(4.11)
N ∈ Σ,
(4.12)
т. е. функция G(N, M0 ) определяется через гармоническую функцию
g(M, M0 ), которая является решением следующей задачи Дирихле
∆g(M, M0 ) = 0,
g(N, M0 ) = −
M ∈ V +,
1 1
,
4π rN M0
N ∈ Σ.
(4.13)
(4.14)
Функция G(M, M0 ) называется функцией Грина задачи Дирихле.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
54
Метод функции Грина
55
Для получения решения (4.9) задачи Дирихле (4.1), (4.2) при помощи
функции Грина мы предполагали непрерывную дифференцируемость
u(M ) вплоть до границы Σ области V + . А. М. Ляпуновым доказано, что
для поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова, формула
(4.9) дает решение задачи Дирихле и при непрерывной функции f (N ),
входящей в граничное условие. Заметим также, что формула (4.9) имеет место и для бесконечных областей. Методом функции Грина можно
пользоваться при решении задач Неймана и смешанных.
В случае плоскости функция Грина имеет вид
G(M, M0 ) =
1
1
ln
+ g(M, M0 ),
2π rM M0
где g(M, M0 ) такая, что
∆g(M, M0 ) = 0,
G(N, M0 ) = 0,
или
g(N, M0 ) = −
M ∈ V +,
N ∈ Σ,
1
1
,
ln
2π rN M0
N ∈ Σ.
4.2. Свойства функции Грина
Отметим три простых свойства функции Грина, вытекающих из ее
представления
Свойство 1. Функция Грина G(M, M0 ) гармоническая всюду в V + ,
кроме точки M0 .
Свойство 2. Функция Грина G(M, M0 ) в точке M0 обращается в бесконечность.
Свойство 3. Функция Грина G(M, M0 ) не зависит от граничного
условия задачи Дирихле, а зависит от вида поверхности Σ.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
55
Метод функции Грина
56
Свойство 4. Функция Грина G(M, M0 ) задачи Дирихле для каждой
области единственна.
Доказательство следует из единственности функции g(M, M0 ), как
решения задачи Дирихле.
Свойство 5. Функция Грина G(M, M0 ) всюду положительна внутри
области V + и удовлетворяет неравенству
0 < G(M, M0 ) <
1
,
4πrM M0
M ∈ V +.
Доказательство. Так как
G(M, M0 ) =
1
+ g(M, M0 ),
4πrM M0
где функция g(M, M0 ) всюду в области V + гармоническая и на границе
g(N, M0 ) = −
1
< 0,
4πrN M0
N ∈ Σ,
то из следствия 2 к свойству 5 о принципе max–min для гармонических
функций следует, что
g(M, M0 ) < 0
всюду в области V + . Но тогда
G(M, M0 ) <
1
,
4πrM M0
M ∈ V +.
Осталось показать, что G(M, M0 ) > 0, ∀ M ∈ V + . Построим сфе-
ру Σε (M0 ) радиуса ε с центром в точке M0 и рассмотрим область V1 с
границами Σ и Σε (M0 ). Функция Грина G(M, M0 ) в области V1 уже гармоническая, причем на границах этой области имеют место неравенства
G(N, M0 )N ∈Σ = 0,
1
G(N, M0 )N ∈Σε (M0 ) =
+ g(N, M0 )N ∈Σε (M0 ) .
4πε
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
56
Метод функции Грина
57
Так как g(M, M0 ) гармоническая в окрестности точки M0 , то она ограничена. Поэтому при ε достаточно малом (или 1/ε достаточно большом)
G(N, M0 )Σε (M0 ) > 0.
Итак,
G(N, M0 )Σ = 0,
G(N, M0 )Σε (M0 ) > 0.
(4.15)
Из (4.15) и свойства 5 о принципе max–min для гармонических функций получаем
G(M, M0 ) > 0,
M ∈ V1 .
(4.16)
Так как ε — любое, то можно считать, что неравенство (4.16) имеет место для всех точек M из области V + , кроме M = M0 . Свойство
доказано.
Свойство 6. Нормальная производная функции Грина удовлетворяет условию
∂G(N, M0 ) (4.17)
60
∂ni
Σ
и кроме того
x ∂G(N, M )
0
dsN = −1.
(4.18)
∂ni
Σ
Доказательство. Так как G(N, M0 ) = 0, N ∈ Σ, и в силу свойства 5
функция Грина убывает, если точка M стремится к границе Σ изнутри
области V + . Отсюда вытекает справедливость неравенства (4.17).
Для доказательства неравенства (4.18) рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле
∆u(M ) = 0,
u(N ) = 1,
M ∈ V +,
N ∈ Σ.
Очевидно, что функция u(M ) = 1 удовлетворяет этой задаче. В силу
единственности это же решение можно выразить через функцию Грина
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
57
Метод функции Грина
58
(4.9), т. е.
1=−
x
Σ
1·
∂G(N, M0 )
ds.
∂ni
Что и требовалось доказать.
Приведем без доказательства еще одно свойство.
Свойство 7. Функция Грина задачи Дирихле симметрична, т. е.
G(M, M0 ) = G(M0 , M ).
4.3. Нахождение функции Грина
методом электростатических изображений
Функция Грина находится явно лишь для областей частного вида.
Далее мы рассмотрим несколько примеров таких областей. Начнем со
случая трехмерного пространства, функция Грина для которого имеет
вид
1
G(M, M0 ) =
+ g(M, M0 ),
(4.19)
4πrM M0
где g(M, M0 ) — гармоническая в V + и G(N, M0 ) = 0, N ∈ Σ. При постро-
ении функции Грина полезно пользоваться следующей ее физической
интерпретацией.
Из курса физики известно, что электрический заряд величины q, помещенный в точку M0 , создает в свободном неограниченном пространстве электростатическое поле, потенциал которого при определенном выборе системы координат равен
q
.
4πrM M0
(4.20)
Заметим, что потенциал (4.20) является функцией гармонической всюду,
кроме точки помещения заряда M0 .
Таким образом, первое слагаемое в выражении (4.19) для функции
Грина G(M, M0 ) является потенциалом точечного единичного заряда,
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
58
Метод функции Грина
59
помещенного в точке M0 области V + . Второе слагаемое g(M, M0 ) можно также интерпретировать, как потенциал электростатического поля,
созданного одним или несколькими зарядами, но помещенными обязательно вне области V + . Тогда функция g(M, M0 ) будет не гармонической
только в точках помещения зарядов вне области V + . Заряды вне V + надо выбрать так, чтобы они уничтожали на поверхности Σ действие заряда в точке M0 , т. е., чтобы выполнялось соотношение G(N, M0 ) = 0,
N ∈ Σ. Эти внешние заряды называются электростатическими изображениями единичного заряда в точке M0 , а сам метод нахождения
функции Грина — методом электростатических изображений.
4.4. Решение задачи Дирихле для полупространства
Решение задачи Дирихле
∀ M ∈ V + = {(x, y, z) : z > 0},
∆u(M ) = 0,
∀ N ∈ Σ = {(x, y, 0)}.
u(N ) = f (N ),
через функцию Грина выражается следующим образом
u(M ) = −
Z∞
−∞
Z∞
dx
−∞
f (x, y)
∂G(N, M0 )
dx dy,
∂ni
(4.21)
где
1
+ g(M, M0 ),
4πrM M0
g(M, M0 ) — гармоническая при z > 0 и Gz=0 = 0.
G(M, M0 ) =
Найдем функцию g(M, M0 ) методом электростатических изображений. Если в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ V + поместить единичный положительный заряд, то его действие на плоскость Σ уничтожится, очевидно, единичным отрицательным зарядом, помещенным в точке M∗ (x0 , y0 , −z0 ).
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
59
Метод функции Грина
60
z
q=1
M0 (x0, y0, z0)
y0
N (x, y, 0)
y
x0
q = −1
M∗ (x0, y0, −z0)
x
Рис. 3.
Функция
g(M, M0 ) =
1
−1
·
4π rM M∗
гармоническая в верхней полуплоскости (не гармоническая в точке помещения заряда M∗ ). Следовательно, функция Грина есть
G(M, M0 ) =
1
1
−
.
4πrM M0 4πrM M∗
Направление нормали n̄i совпадает с отрицательным направлением
оси z, поэтому
∂G(M, M0 ) ∂G =
= − ∂z ∂ni
Σ
z=0
=−
1 ∂
4π ∂z
1
p
−
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
!
1
−p
=
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + z0 )2 z=0
z0
.
2π((x − x0 )2 + (y − y0 )2 + z0 )3/2
∂G(M, M0 ) Подставляя полученную производную
в (4.21), получа∂ni
Σ
=−
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
60
Метод функции Грина
61
ем решение задачи Дирихле для полупространства
Z∞
Z∞
z0
f (x, y) dy
u(M0 ) =
dx
.
2π
((x − x0 )2 + (y − y0 )2 + z0 )3/2
−∞
(4.22)
−∞
Интеграл в (4.22) называется интегралом Пуассона для полупространства.
Чтобы построить решение задачи Дирихле для полуплоскости
∆u(M ) = 0,
M ∈ V + = {(x, y) : y > 0},
u(M ) ∈ C(V + ),
u(N ) = f (N ),
N ∈ Σ = {(x, 0)},
рассуждают аналогично, заменив фундаментальное решение уравнения
1
на фундаментальное решение
Лапласа в трехмерном пространстве
rM M0
1
в двухмерном ln
. Предлагается читателю проделать самостоятельrM M 0
но выкладки и получить решение в виде:
Z∞
y0
f (x) dx
u(M0 ) =
.
π
(x − x0 )2 + y02
−∞
4.5. Решение задачи Дирихле для шара
Пусть требуется найти функцию u(M ), гармонического внутри шара
V + = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 < R2 ),
непрерывную в замкнутом шаре и принимающую на поверхности
Σ = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 = R2 }
этого шара наперед заданные значения f (N ), т. е. найдем решение задачи
∆u(M ) = 0,
M ∈ V + = {x2 + y 2 + z 2 = R2 },
(4.23)
u(M ) ∈ C(V + ),
u(N ) = f (N ),
N ∈ Σ = {x2 + y 2 + z 2 = R2 }.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
(4.24)
61
Метод функции Грина
62
Построим сначала функцию Грина для шара методом электростатических изображений. Поместим единичный положительный заряд в точке M0 ∈ V + . Покажем, что действие этого заряда на сферу Σ может быть
уничтожено некоторым зарядом, помещенным в точке M∗ , являющейся
инверсией точки M0 относительно сферы Σ; точка M∗ лежит на прямой
OM0 вне шара, причем
rOM0 · rOM∗ = R2 .
M∗
N
γ
O
(4.25)
M0
Рис. 4.
Пусть N — произвольная зафиксированная точка сферы Σ, rON = R.
Рассмотрим два треугольника OM0 N и OM∗ N . Эти треугольники подобные, так как у них общий угол при вершине O, а стороны, образующие
этот угол, пропорциональны в силу (4.25). Действительно, поделив (4.25)
на rOM0 · R, имеем
R
rOM∗
=
.
R
rOM0
Из подобия следует пропорциональность и третьих сторон:
rOM∗
R
rN M∗
=
=
.
R
rOM0
rN M0
(4.26)
Пусть функция Грина
G(M, M0 ) =
1 1
+ g(M, M0 ),
4π rM M0
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
62
Метод функции Грина
63
где g(M, M0 ) — потенциал заряда q, помещенного в точке M∗
q
1
g(M, M0 ) =
.
4π rM M∗
Величину заряда q выберем так, чтобы действие зарядов в точках M0
и M∗ на сфере Σ уничтожалось:
1 q
1 1
+
= 0, N ∈ Σ.
G(N, M0 ) =
4π rN M0 4π rN M∗
Откуда имеем
rN M∗
q=−
.
rN M 0
В силу (4.26) получаем
R
.
q=−
rOM0
Следовательно, функция Грина — потенциал поля, созданного этими
двумя зарядами — есть
1 1
1 R
1
G(M, M0 ) =
−
.
(4.27)
4π rM M0 4π rOM0 rM M∗
Решение задачи Дирихле (4.23), (4.24) при помощи функции Грина
находим по формуле (4.9), для которой нам остается произвести дифференцирование функции Грина по внешней нормали n̄i , т. е.
∂G(M, M0 ) .
∂ni
M =N ∈Σ
Пусть M — переменная точка, расположенная внутри шара V + .
M
γ
O
M∗
M0
Рис. 5.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
63
Метод функции Грина
64
Обозначим через ρ = rOM , ρ0 = rOM0 , ρ∗ = rOM∗ , γ угол при вершине O. Из треугольников OM M0 и OM M∗ по теореме косинусов получим
rM M0 = (ρ2 + ρ20 − 2ρρ0 cos γ)1/2 ,
(4.28)
rM M∗ = (ρ2 + ρ2∗ − 2ρρ∗ cos γ)1/2 .
(4.29)
R2
, выражение (4.29) преобразуем к виду
В силу (4.25), т. е. ρ∗ =
ρ0
!1/2
2 2
2
R
R
cos γ
.
(4.30)
rM M∗ = ρ2 +
− 2ρ
ρ0
ρ0
Учитывая (4.27), (4.28) и (4.30) и то, что направление внешней нормали к сфере совпадает с направлением радиуса (т. е. с направлением
роста ρ), получим
∂G(M, M0 ) ∂G(M, M0 ) 1 ∂
=
=
(ρ2 + ρ20 − 2ρρ0 cos γ)−1/2 −
∂ni
∂ρ
4π ∂ρ
Σ
ρ=R
!−1/2 !
2 2
2
R
R
R
2
−
cos γ
ρ +
− 2ρ
=
ρ0
ρ0
ρ0
ρ=R

1 
R − ρ0 cos γ

+
=
− 2
4π  (R + ρ20 − 2Rρ0 cos γ)3/2

+
R−
R
·
ρ0
R2
=−
+
R2
ρ0
2
R2
cos γ
ρ0
R2
− 2R
cos γ
ρ0



=
!3/2 


1
R2 − ρ20
.
4πR (R2 + ρ20 − 2ρ0 R cos γ)3/2
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
64
Метод функции Грина
65
Из предыдущего чертежа замечаем, что
2
R2 + ρ20 − 2ρ0 R cos γ = rN
M,
Откуда для производной функции Грина окончательно имеем
2
1 R2 − rOM
∂G(M, M0 ) 0
=−
.
3
∂ni
4πR rN M0
Σ
(4.31)
Итак, подставляя полученное выражение производной (4.31) в (4.9),
имеем решение задачи Дирихле (4.23), (4.24) в виде
2
R2 − rOM
1 x
0
u(M0 ) =
f (N )
dsN .
3
4πR
rN M0
(4.32)
Σ
Формула (4.32) называется формулой Пуассона, а интеграл, стоящий справа, — интегралом Пуассона.
Теперь нетрудно убедиться, что решением внешней задачи Дирихле
для шара
∆u(M ) = 0,
M ∈ V − = {x2 + y 2 + z 2 > R2 },
u(M ) ∈ C(V − ),
N ∈ Σ = {x2 + y 2 + z 2 = R2 }
u(N ) = f (N ),
является функция
2
rOM
− R2
1 x
0
u(M0 ) =
f (N )
dsN .
3
4πR
rN
M
Σ
Как и в задаче для полупространства предлагается самостоятельно
получить решение задачи Дирихле для круга
M ∈ V + = {x2 + y 2 < R2 },
∆u(M ) = 0,
u(M ) ∈ C(V + ),
u(N ) = f (N ),
N ∈ Σ = {x2 + y 2 = R2 }
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
65
Метод функции Грина
66
в виде
1
u(M0 ) =
2πR
Z
Σ
2
R2 − rOM
0
f (N )
dsN .
2
rN M 0
Используя опыт построения функции Грина для полупространства,
шара, полуплоскости и круга, нетрудно построить функцию Грина для
половины и четверти шара и круга, и, следовательно, решить задачи
Дирихле для этих областей.
Другие примеры на построение функции Грина методом электростатических изображений как в пространственном, так и в плоском случае,
можно найти в [8, гл. IV, § 3].
4.6. Построение функции Грина с помощью
конформных отображений
Напомним, что функция Грина в плоском случае имеет вид
G(M, M0 ) =
1
1
ln
+ g(M, M0 ),
2π
rM M0
(4.33)
где g(M, M0 ) — гармоническая в области V + и
G(N, M0 ) = 0,
N ∈ Σ.
(4.34)
При построении функции Грина очень эффективно может быть использован метод теории функций комплексной переменной.
Он основан на двух следующих основных фактах:
1) вещественная u(x, y) и мнимая v(x, y) части любой аналитической
функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y) являются гармоническими функциями;
2) всякую односвязную область с невырожденной границей Σ (граница — более, чем одна точка) можно взаимооднозначно и конформно отобразить на единичный круг, причем это отображение единственно, если заданная точка z0 с выбранным в ней углом переходит
в центр круга с заданным углом.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
66
Метод функции Грина
67
Точке M (x, y) ставим в соответствие комплексное число
z = x + iy,
а точке M0 (x0 , y0 ) — число
z0 = x0 + iy0 .
Пусть V — односвязная область с невырожденной границей Σ. Пусть
также w = ϕ(z) — функция комплексного переменного z, отображающая конформно область V на единичный круг |w| < 1, причем так, что
ϕ(z0 ) = 0. Покажем, что функция
G(M, M0 ) = G(z, z0 ) =
1
1
ln
2π |ϕ(z)|
(4.35)
является функцией Грина задачи Дирихле для области V . Проверим
вначале выполнения условия (4.34). Так как при конформном отображении точки границы Σ исходной области V переходят в точки единичной
окружности |w| = 1, т. е. |ϕ(z)|Σ = 1, то имеем
1
1
= 1 ln 1 = 0.
ln
G(N, M0 )N ∈Σ = G(z, z0 )z∈Σ =
2π
|ϕ(z)| Σ 2π
Итак, условию (4.34) функция G(M, M0 ) из (4.35) удовлетворяет. Покажем, что функция (4.35) имеет структуру (4.33). Так как ϕ(z0 ) = 0, то
аналитическая функция w = ϕ(z) может быть представлена в виде
w = ϕ(z) = (z − z0 )ψ(z),
(4.36)
где ψ(z) — аналитическая функция. Из конформности и взаимооднозначности отображения w = ϕ(z) следует, что ϕ0 (z) 6= 0 для всех z, поэтому
z0 — простой нуль, т. е. ψ(z0 ) 6= 0, и других нулей, кроме z0 , у функции
w = ϕ(z) нет, поэтому ψ(z) 6= 0 для всех z. Подставляя (4.36) в (4.35),
получим
1
1
1
1
ln
+
ln
.
(4.37)
G(M, M0 ) =
2π
|z − z0 | 2π
|ψ(z)|
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
67
Метод функции Грина
68
1
1
ln
в (4.37)
2π
|ψ(z)|
является функцией g(M, M0 ), т. е. является функцией гармонической.
Действительно, так как аналитическая функция ψ(z) отлична от нуля
1
для всех z, то
— аналитическая, а значит аналитической является
ψ(z)
1
1
функция
ln
. Так как
2π
ψ(z)
Но |z − z0 | = rM M0 . Покажем, что второе слагаемое
1
1
1
1
1
ln
=
ln
+ i arg
,
2π
ψ(z) 2π
|ψ(z)|
ψ(z)
1
1
ln
является функцией гармонической как веще2π
|ψ(z)|
ственная часть аналитической функции. Таким образом, в плоском случае функция Грина может быть построена для всякой области, для которой известно конформное отображение w = ϕ(z) на единичный круг,
то функция
при этом функция Грина может быть записана в виде
G(M, M0 ) =
1
1
ln
.
2π
|ϕ(z)|
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
68
Метод функции Грина
69
4.7. Проектное задание
1. Постройте решение задачи Дирихле при помощи функции Грина.
2. Какая функция называется функцией Грина, перечислите и дока-
жите ее свойства.
3. Какая физическая интерпретация и каким математическим свой-
ством обладает функция
1
rM M0
.
4. Как отыскивать функцию Грина методом электростатических изоб-
ражений.
5. Решите задачу Дирихле для полупространства, отыскивая функцию
Грина методом электростатических изображений.
6. Решите задачу Дирихле для шара, отыскивая функцию Грина ме-
тодом электростатических изображений.
7. Какие основные факты из теории функций комплексного перемен-
ного используются при построении функции Грина.
8. Постройте функцию Грина с помощью конформных отображений.
9. Решите задачу Дирихле для верхней полуплоскости, отыскивая функ-
цию Грина методом электростатических изображений и методом
конформных отображений.
10. Решите задачу Дирихле для круга методом конформных отображе-
ний.
11. Постройте функцию Грина внутренней задачи Неймана.
12. Постройте функцию Грина внутренней смешанной задачи.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
69
Метод функции Грина
70
4.8. Тест рубежного контроля к модулям 2, 3, 4
1. Решение внутренней задачи Дирихле
а) единственно;
б) единственно с точностью до постоянного множителя;
в) единственно с точностью до постоянного слагаемого;
г) не единственно.
2. Решение внутренней задачи Неймана в трехмерном пространстве
а) единственно;
б) единственно с точностью до постоянного множителя;
в) единственно с точностью до постоянного слагаемого;
г) не единственно.
3. Решение внешней задачи Неймана в трехмерном пространстве
а) единственно;
б) единственно с точностью до постоянного множителя;
в) единственно с точностью до постоянного слагаемого;
г) не единственно.
4. На бесконечности гармоническая функция и ее производная по x в
двухмерном пространстве оценивается
∂u(M ) < A ;
а) |u(M )| < const, 2
∂x rOM
A ∂u(M ) A
б) |u(M )| <
,
;
<
2
rOM
∂x rOM
∂u(M ) < A ;
в) |u(M )| < const, ∂x rOM
A ∂u(M ) A
г) |u(M )| <
,
< 3 .
rOM
∂x
rOM
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
70
Метод функции Грина
71
5. На бесконечности гармоническая функция и ее производная по x в
трехмерном пространстве оценивается
∂u(M ) < A ;
а) |u(M )| < const, 2
∂x rOM
A ∂u(M ) A
б) |u(M )| <
<
,
;
2
rOM
∂x rOM
∂u(M ) < A ;
в) |u(M )| < const, ∂x rOM
A ∂u(M ) A
г) |u(M )| <
<
,
.
3
rOM
∂x rOM
x ∂u(N )
6. Условие
ds = 0 является
∂ni
Σ
а) необходимым для разрешимости внешней задачи Дирихле;
б) достаточным для разрешимости внутренней задачи Дирихле;
в) необходимым и достаточным для разрешимости и внутренней, и
внешней задачи Дирихле;
г) необходимым и достаточным для разрешимости и внутренней, и
внешней задачи Неймана.
7. Решением задачи Дирихле для прямоугольника
V = {(x, y) : 0 < x < a, 0 < y < b},
если заданы краевые условия
πy
,
b
πx
u(x, 0) = sin ,
a
u(0, y) = sin
u(a, y) = 0,
u(x, b) = 0
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
71
Метод функции Грина
72
является функция
sin πx
a +
u(x, y) =
πb
sh
a
πy
πx
sin
πa
πx
πa
b ;
· sh
− sh
· ch
+ ch
πb
b
b
b
b
sh
a
а)
πy
πb
πy
πb
ch
· sh
− sh
· ch
a
a
a
a
sin πx
πy
πb
πy
πb
a +
u(x, y) = ch
· ch
− sh
· sh
πb
a
a
a
a
ch
a
πy
πx
πa
πx
πa sin b
+ ch
· ch
− sh
· sh
;
πb
b
b
b
b
ch
a
б)
sin πx
πb
πy
πb
πy
a +
· sh
− sh
· ch
u(x, y) = ch
πb
a
a
a
a
ch
a
πy
πx
sin
πa
πx
πa
b ;
+ ch
· sh
− sh
· ch
πb
b
b
b
b
ch
a
в)
г)
sin πx
πy
πb
πy
πb
a +
u(x, y) = ch
· ch
− sh
· sh
πb
a
a
a
a
sh
a
πy
πx
sin
πa
πx
πa
b .
+ ch
· ch
− sh
· sh
πb
b
b
b
b
sh
a
8. Решением задачи Дирихле для полуполосы
V = {(x, y) : 0 < x < a, 0 < y < +∞},
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
72
Метод функции Грина
73
если заданы граничные условия
u(0, y) = 0,
u(a, y) = 0,
u(x, 0) = ϕ(x),
ϕ(a) = ϕ(0) = 0,
u(x, y) — ограничена,
является функция
а) u(x, y) =
∞
X
k=1
б) u(x, y) =
∞
X
k=1
в) u(x, y) =
∞
X
k=1
г) u(x, y) =
∞
X
k=1
kπy
kπx
ak e a sin
,
a
2
ak =
a
Za
ϕ(x) sin
kπx
dx;
a
0
kπy
kπx
ak e b sin
,
b
−
2
ak =
a
Zb
ϕ(x) sin
kπx
dx;
a
ϕ(y) sin
kπy
dy;
b
0
kπx
kπy
,
ak e b sin
b
−
2
ak =
b
Zb
0
kπy
kπx
ak ch
cos
,
a
a
2
ak =
a
Za
ϕ(x) cos
kπx
dx.
a
0
9. Решением задачи Неймана для полуполосы
V = {(x, y) : 0 < x < a, 0 < y < b},
если заданы граничные условия
∂u(0, y)
= 0,
∂x
∂u(a, y)
= 0,
∂x
∂u(x, 0)
= ϕ(x),
∂y
ϕ(0) = ϕ(a) = 0,
u(x, y) — ограничена,
является функция
а) u(x, y) = c +
∞
X
k=1
ak = −
2
kπ
kπy
kπx
ak e a cos
, c — любое,
a
−
Za
ϕ(x) cos
kπx
dx, k = 1, 2, . . . ,
a
0
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
73
Метод функции Грина
74
Za
ϕ(x) dx = 0;
при условии
0
kπy
∞
−
kπx
a0 X
ak e a cos
+
,
б) u(x, y) =
2
a
k=1
Za
kπx
2
ϕ(x) cos
dx, k = 0, 1, 2, . . . ;
ak = −
kπ
a
0
в) u(x, y) =
∞
X
k=1
ak =
2
kπ
kπy
kπx
ak e a cos
,
a
Za
ϕ(x) cos
kπx
dx, k = 1, 2, . . . ,
a
0
Za
ϕ(x) dx = 0;
при условии
0
kπy
∞
a0 X
kπx
г) u(x, y) =
+
ak e a cos
,
2
a
k=1
Za
kπx
2
ϕ(x) cos
a0 — любое, ak =
dx, k = 1, 2, . . . .
kπ
a
0
10. При выводе функции Грина задачи Дирихле требовали непрерыв-
ную дифференцируемость функции u(M ) в замкнутой области, чтобы воспользоваться
а) теоремой Вейерштрасса;
б) оценками производной гармонической функции;
в) принципом max–min гармонической функции;
г) интегральным представлением гармонической функции.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
74
Метод функции Грина
75
11. Функция Грина задачи Дирихле в трехмерном пространстве имеет
вид
а) G(M, M0 ) =
1 1
+ g(M, M0 );
2π rM M0
б) G(M, M0 ) =
1
1
ln
+ g(M, M0 );
4π rM M0
в) G(M, M0 ) =
1
1
ln
;
2π |ϕ(z)|
г) G(M, M0 ) =
1 1
+ g(M, M0 ).
4π rM M0
12. Функция Грина задачи Дирихле находится
а) единственным образом;
б) с точностью до постоянного множителя;
в) с точностью до постоянного слагаемого;
г) не единственным образом.
13. Нормальная производная функции Грина удовлетворяет условию
x ∂G(N, M )
0
а)
dsN = 0;
∂ni
x ∂G(N, M )
0
б)
dsN > 0;
∂ni
x ∂G(N, M )
0
в)
dsN = −1;
∂ni
x ∂G(N, M )
1
0
г)
dsn 6
.
∂ni
4πrN M0
Σ
Σ
Σ
Σ
14. При нахождении функции Грина методом электростатических изоб-
ражений заряды выбирают
а) только внутри области;
б) только вне области;
в) только на границе области;
г) на луче, проходящем через точку M0 , причем rOM0 · rOM∗ = R2 .
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
75
Метод функции Грина
76
Таблица правильных ответов
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
а в а а б г а б а
г
г
а
в
б
Если Вы правильно ответили на 13–14 вопросов, то получаете оценку «отлично»; если же правильно ответили на 10–12 вопросов, то
оценка «хорошо»; если правильных ответов всего 7–9, то получаете
оценку «удовлетворительно»; в остальных случаях — оценка «неудовлетворительно».
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
76
Великие математики
Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм
Гельмгольц, Герман Людвиг Фердинанд
Грин, Джордж
Дирихле, Петер Густав Лежён
Коши, Огюстен Луи
Лаплас, Пьер-Симон
Лиувилль, Жозеф
Ляпунов, Александр Михайлович
Нейман, Карл Готфрид
Пуассон, Симеон Дени
Фурье, Жан Батист Жозеф
Штурм, Жак Шарль Франсуа
Эйлер, Леонард
Перейти в
раздел 1
раздел 2
раздел 3
раздел 4
78
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß
Дата рождения
31 октября 1815 (Остенфельд, Северный Рейн–
Вестфалия, Германия)
Дата смерти
Научная сфера
Известные ученики
19 февраля 1897 (Берлин, Германия)
математика
Георг Кантор, Фробениус, Софья Ковалевская
Объекты, связанные с именем Вейерштрасса:
Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте; Теорема Вейерштрасса о целых функциях; Аппроксимационная теорема Вейерштрасса;
Теорема Больцано–Вейерштрасса; Теорема Сохоцкого–Вейерштрасса и др.
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
78
79
Герман Людвиг Фердинанд фон Гельмгольц
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz
Дата рождения
31 августа 1821 (Потсдам, Германский союз)
Дата смерти
Научная сфера
Научный руководитель
8 сентября 1894 (Шарлоттенбург, Германская
империя)
физика, медицина, физиология, психология
Иоганн Петер Мюллер
Известные ученики
Н. Н. Шиллер, Зигмунд Экснер
Объекты, связанные с именем Гельмгольца:
Гельмгольца теория цветоощущения; Принцип наименьшего действия
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
79
80
Джордж Грин
George Green
Дата рождения
Дата смерти
Страна
14 июля 1793
31 мая 1841
Великобритания
Научная сфера
математика
Объекты, связанные с именем Грина:
Дискретная теорема Грина; Теорема Грина
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
80
81
Иоганн Петер Густав Лежён–Дирихле
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Дата рождения
13 февраля 1805 (Дюрен, Французская империя, сейчас Германия)
Дата смерти
5 мая 1859 (Гёттинген, Ганновер, сейчас Германия)
математика
Леопольд Кронекер, Рудольф Липшиц, Фердинанд Эйзенштейн
Научная сфера
Известные ученики
Объекты, связанные с именем Дирихле:
Функция Дирихле; Теорема Дирихле о рядах; Теорема Дирихле о диофантовых приближениях; Распределение Дирихле и др.
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
81
82
Огюстен Луи Коши
Augustin Louis Cauchy
Дата рождения
21 августа 1789 (Париж, Франция)
Дата смерти
Род деятельности
23 мая 1857 (Париж, Франция)
математик
Вклад О.-Л. Коши в развитие науки: разработал фундамент математического анализа и внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики.
Объекты, связанные с именем Коши: Вычет; Задача Коши; Неравенство Коши–Буняковского; Теорема Больцано–Коши; Теорема Коши; Теорема Коши в теории групп; Теорема Коши о среднем значении; Интегральная
формула Коши; Интегральная теорема Коши; Распределение Коши; Условия Коши–Римана и др.
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
82
83
Пьер-Симон, маркиз де Лаплас
Pierre-Simon de Laplace
Дата рождения
Дата смерти
Научная сфера
23 марта 1749 (Бомон-ан-Ож, Кальвадос)
5 марта 1827 (Париж, Франция)
математика, механика, физика, астрономия
Объекты, связанные с именем Лапласа:
«отец небесной механики»; барометрическая формула; Вектор Лапласа–
Рунге–Ленца; Закон Био–Савара–Лапласа; Космогоническая гипотеза Лапласа; Локальная теорема Муавра–Лапласа; Метод Лапласа; Оператор Лапласа; Плоскость Лапласа; Преобразование Лапласа; Распределение Лапласа; Алгебраическая теорема Лапласа; Уравнение Лапласа; Число Лапласа
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
83
84
Жозеф Лиувилль
Joseph Liouville
Дата рождения
Дата смерти
Научная сфера
24 марта 1809 (Сент-Омер, Франция)
8 сентября 1882 (Франция)
математический анализ
Объекты, связанные с именем Лиувилля:
Задача Штурма–Лиувилля; Поверхность Лиувилля; Сеть Лиувилля; Дробный интеграл Лиувилля; Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях; Теорема Лиувилля о конформных отображениях; Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел; Теорема Лиувилля о
сохранении фазового объёма; Теорема Лиувилля об интегрировании в элементарных функциях; Формула Лиувилля
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
84
85
Александр Михайлович Ляпунов
Александр Михайлович Ляпунов
Дата рождения
25 мая (6 июня) 1857 (Ярославль, Ярослав-
Дата смерти
Научная сфера
Научный руководитель
ская губерния, Российская империя)
3 ноября 1918 (Одесса, УНР)
математик, механик
П. Л. Чебышёв
Известные ученики
Н. Н. Салтыков, В. А. Стеклов
Объекты, связанные с именем Ляпунова:
Основоположник теории устойчивости; Центральная предельная теорема
Ляпунова; Экспонента Ляпунова; Фрактал Ляпунова; Функция Ляпунова;
Устойчивость по Ляпунову; Время Ляпунова; Поверхность Ляпунова; Теорема Ляпунова
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
85
86
Карл Готфрид Нейман
Carl Gottfried Neumann
Дата рождения
7 мая 1832 (Кёнигсберг)
Дата смерти
Научная сфера
27 марта 1925 (Лейпциг)
математика, физика
Объекты, связанные с именем Неймана:
Задача Неймана (вторая краевая задача)
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
86
87
Симеон Дени Пуассон
Siméon Denis Poisson
Дата рождения
Дата смерти
Научная сфера
Научный руководитель
21 июня 1781 (Питивье, Франция)
25 апреля 1840 (Со (О-де-Сен), Франция)
математика, механика, физика
Жозеф Луи Лагранж
Известные ученики
Мишель Шаль, Петер Густав ЛежёнДирихле, Жозеф Лиувилль, Сади Карно
Объекты, связанные с именем Пуассона:
Распределение Пуассона; Скобка Пуассона; Интеграл Пуассона; Коэффициент Пуассона; Уравнение Пуассона
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
87
88
Жан Батист Жозеф Фурье
Jean Baptiste Joseph Fourier
Дата рождения
21 марта 1768 (Осер, Франция)
Дата смерти
Научная сфера
Научный руководитель
Известные ученики
16 мая 1830 (Париж, Франция)
математика, физика
Жозеф Луи Лагранж
Дирихле
Объекты, связанные с именем Фурье:
Преобразование Фурье; Ряд Фурье
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
88
89
Жак Шарль Франсуа Штурм
Charles-François Sturm
Дата рождения
Дата смерти
Научная сфера
29 сентября 1803 (Женева, Швейцария)
15 декабря 1855 (Париж, Франция)
математика
Объекты, связанные с именем Штурма:
Задача Штурма–Лиувилля
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
89
90
Леонард Эйлер
Leonhard Euler
Дата рождения
Дата смерти
15 апреля 1707 (Базель, Швейцария)
7 (18) сентября 1783 (Санкт-Петербург, Российская империя)
Научная сфера
Научный руководитель
Известные ученики
математика, механика, физика, астрономия
Иоганн Бернулли
М. Е. Головин, П. Б. Иноходцев, С. К. Котельников, А. И. Лексель, С. Я. Румовский,
Н. И. Фусс
Объекты, связанные с именем Эйлера: Теоремы Эйлера; Уравнения Эйлера–Лагранжа, Эйлера–Пуассона, Эйлера (гидродинамика и механика твёрдого тела), Эйлера–Бернулли; Функция Эйлера; Тождества Эйлера в теории чисел и комплексном анализе; Формулы Эйлера (комплексный
анализ, кинематика твёрдого тела, теория графов); Эйлерова характеристика (алгебраическая топология); эйлеровы интегралы; Интеграл Эйлера–
Пуассона; Постоянная Эйлера–Маскерони; E (число Эйлера). . .
Вернуться к списку «Великие математики»
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
90
Список литературы
91
Список литературы
1. Тихонов Н. А., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 724 с.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1988. 512 с.
3. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения
в частных производных математической физики. М.: Высшая школа,
1970. 767 с.
4. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука, 1964. 205 с.
5. Юдович В. И. Лекции об уравнениях математической физики (часть
первая). Ростов-на-Дону: Экспертное бюро, 1998. 240 с.
6. Юдович В. И. Лекции об уравнениях математической физики (часть
вторая). Ростов-на-Дону: Экспертное бюро, 1999. 225 с.
7. Николенко В. Н. Уравнения математической физики: Учебно-методическое пособие. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. 392 с.
8. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по
математической физике. М.: Наука, 1980. 686 с.
Костецкая Г. С., Радченко Т. Н. Уравнения эллиптического типа
91
Об авторах
Костецкая Галина Сергеевна — кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры «Дифференциальные и интегральные уравнения» факультета
математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.
Костецкая Г. С. — автор более 80 научных и методических работ.
Основные читаемые курсы: математический анализ; теория функций
комплексного переменного; дифференциальные уравнения.
Радченко Тамара Николаевна — кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры «Дифференциальные и интегральные уравнения» факультета
математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.
Радченко Т. Н. — автор более 80 научных и методических работ.
Основные читаемые курсы: уравнения с частными производными; методы математической физики; дифференциальные уравнения