Дифференциальные уравнения - Пермский государственный

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Дифференциальные уравнения
Индивидуальные задания
Пособие разработано ст. преп. Пепеляевой Н. В.
Одобрено методической комиссией кафедры
«Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Задания:
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
3. Найти решение задачи Коши
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
5. Найти решение задачи Коши
6. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
7. Найти общее решение дифференциального уравнения
8. Найти решение задачи Коши
9. Найти частное решение дифференциального уравнения
10. Найти общее решение дифференциального уравнения
11. Решить систему дифференциальных уравнений
12. Найти решение задачи Коши
13. Задачи по геометрии
14. Задачи по физике
Вариант 1
1. 4 xdx  3 ydy  3x 2 ydy  2 xy 2 dx
2. ( y 2  3x 2 )dy  2 xydx  0
y
3. y    x 2 , y(1)  0
x
4.
5.
6.
7.
2
y
y dx  ( x  e )dy  0
y   xy  (1  x)e  x y 2 , y(0)  1
3x 2 e y dx  ( x 3 e y  1)dy  0
y x ln x  y
2
8. 4 y 3 y   y 4  1, y(0)  2 , y (0) 
1
2 2
9. y   2 y   y  12 cos 2 x  9 sin 2 x, y(0)  2, y (0)  0
10. y   3 y   2 y   1  x 2
 x  2 x  y
11. 
 y   3x  4 y
12. y    2 y 
2
, y(0)  3, y (0)  0
cos x
13. Найти кривую, каждая касательная к которой отсекает на осях координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков равна единице.
14. Найти уравнение движения парашютиста массой m, если сила сопротивления воздуха f пропорциональна скорости движения с коэффициентом k.
Вариант 2
1. x 1  y 2  yy  1  x 2  0
2. xy  
3 y 3  2 yx 2
2y2  x2

3. y   y ctg x  2 x sin x, y( )  0
2
2

4. y  2 y  y tg x
1
5. xy   y  2 y 2 ln x, y(1) 
2
2
2x
2x
2x
6. (3x 2  cos )dx  2 cos dy  0
y
y
y
y
7. xy   y   1
8. y   128 y 3 , y(0)  1, y (0)  8
9. y   6 y   9 y  9 x 2  39 x  65, y(0)  1, y (0)  1
10. y   y   6 x 2  3x
 x  y
11. 
 y  x
9e 3 x
, y(0)  ln 4, y (0)  3(1  ln 2)
12. y   3 y  
1  e3x
13. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0; 5), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой точке ее равен ординате этой точки, увеличенной в 7 раз.
14. За какое время вытечет вода из цилиндра радиуса R и высотой H, стоящего вертикально, через отверстие радиуса r в дне. Указания: истечение жидкости подчиняется закону Торричелли: V  0.6 2 gH .
Вариант 3
1.
2.
3.
4  y 2 dx  ydy  x 2 ydy
x y
y 
x y
1
y   y cos x  sin 2 x, y(0)  0
2
2
y dx  ( xy  1)dy  0
2( xy   y )  xy 2 , y(1)  2
4.
5.
6. (3x 2  4 y 2 )dx  (8xy  e y )dy  0
7. 2 xy   y 
8. y y 3  64, y(0)  4, y (0)  2
9. y   2 y   2 y  2 x 2  8 x  6, y(0)  1, y (0)  4
10. y   y   x 2  x
x  x  y
11. 
 y   4 x  y


12. y   4 y  8 ctg 2 x, y( )  5, y ( )  4
4
4
13. Найти линию, зная, что площадь, заключенная между осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней, равна кубу этой ординаты.
14. Согласно закону Гука эластичный шнур длины l под действием силы F получает
приращение длины, равное klF(k - константа). Шнур длиной 3 см подвешен за один
его конец. На сколько увеличится длина шнура, если его вес равен 2Н.
Вариант 4
1.
y  y   y 2
2. xy   x 2  y 2  y

1
3. y   y tg x  cos 2 x, y( ) 
4
2
2
4. 2(4 y  4 y  x) y   1
5. y   4 x 3 y  4( x 3  1)e 4 x y 2 , y(0)  1
y
1
6. ( 2 x  1  2 )dx  ( 2 y  )dy  0
x
x
7. xy   y   x  1
8. y   2 sin y cos 3 y  0, y(0)  0, y (0)  1
9. y   6 y   25 y  9 sin 4 x  24 cos 4 x, y(0)  2, y (0)  2
10. y IV  3 y   3 y   y   2 x
 x   x  2 y
11. 
 y   3x  4 y
4
, y(0)  1  2 ln 2, y (0)  6 ln 2
12. y   6 y   8 y 
1  e3x
13. Площадь, ограниченная кривой, осями координат и ординатой какой – либо точки
кривой, равна длине соответствующей дуги кривой. Найти уравнение этой линии,
если известно, что она проходит через точку М(0; 1).
14. Определить удлинение свободно подвешенного стержня длиной а см под действием его собственного веса. Указание: удлинение стержня подчиняется закону Гука.
Вариант 5
1. 6 xdx  6 ydy  2 x 2 ydy  3 y 2 xdx
y2
y
6 3
2
x
x
y
3
 x 2  2 x, y( 1) 
3. y  
x2
2
2
4. (cos 2 y cos y  x) y   sin y cos y
5. xy   y   y 2 (ln x  2) ln x, y(1)  1
2. 2 y  
6. ( y 2  y sec2 x)dx  ( 2 xy  tg x)dy  0
7. x 2 y   xy   1

8. y   32 sin 3 y cos y , y(1)  , y (1)  4
2
x
9. y   6 y  e (cos 4 x  8 sin 4 x), y(0)  0, y (0)  5
10. y IV  y   5( x  2) 2
 x   x  8 y
11. 
 y  x  y
9e 3 x
, y(0)  0, y (0)  0
1  e 3 x
13. Найти уравнение линии, у которой отрезок, отсекаемый касательной в любой точке
кривой на оси Оу, равен квадрату абсциссы точки касания.
14. Луч от источника света поглощается окружающей средой. Считается, что поглощение света между шарами с радиусами r и r + Δr и с центрами в источнике света, с
точностью до малых высшего порядка, равно kf 4r 2 r . Определить зависимость
яркости f от расстояния r, если k – коэффициент пропорциональности.
12. y   9 y   18 y 
Вариант 6
1.
y   2 xy  x
2. xy   2 x 2  y 2  y
1
y  e x ( x  1), y(0)  1
3. y  
x 1
4. ( x cos 2 y  y 2 ) y   y cos 2 y
5. 2( y   xy)  (1  x)e  x y 2 , y(0)  2
6. (3x 2 y  2 y  3)dx  ( x 3  2 x  3 y 2 )dy  0
1
0
7. (tg x ) y   y  
sin x
8. y   98 y 3 , y(1)  1, y (1)  7
9. y   4 y   20 y  16 xe2 x , y(0)  1, y (0)  2
10. y IV  2 y   y   2 x(1  x)
 x   x  2 y
11. 
 y   3x  4 y
12. y    2 y 
2
1
1
2
, y( )  1, y ( ) 
sin x
2
2
2
13. Найти уравнение линии, зная, что отрезок, отсекаемый касательной от оси ординат
равен полусумме координат точки касания.
14. На материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно, действует в
направлении движения сила с коэффициентом пропорциональности k и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости и времени с коэффициентом пропорциональности k1. найти зависимость скорости от времени, если в начальный
момент времени скорость была равна V0.
Вариант 7
1. (e 2 x  5)dy  ye 2 x dx  0
x  2y
2. y  
2x  y
y

3. y    x sin x, y( )  1
x
2
y2
4. e (dx  2 xydy)  ydy
5. 3( xy   y )  y 2 ln x, y(1)  3
x
1 1
y
1 x
  )dx  (
  2 )dy  0
6. (
x2  y2 x y
x2  y2 y y
7. y  ctg 2 x  2 y   0
8. y y 3  49  0, y(3)  7, y (3)  1
9. y   12 y   36 y  32 cos 2 x  24 sin 2 x, y(0)  2, y (0)  4
10. y IV  2 y   y   x 2  x  1
 x   2 x  3 y
11. 
 y   x
1
1
12. y   2 y 
, y(0)  2, y (0)  0
x

2
 cos

13. Найти уравнение линии, для которой произведение абсциссы какой – либо точки на
величину отрезка, отсекаемого нормалью на оси ординат, равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.
14. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества.
Через сколько времени останется 1% первоначального количества, если известно,
что количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени,
пропорционально наличному количеству этого вещества в данный момент.
Вариант 8
1 x2
1  0
1 y2
1.
y y
2.
4.
5.
6.
7.
xy   2 x 2  y 2  y
y

1
y    sin x, y( ) 
x
2

2
(10 y  x) y   4 y
2 y   y cos x  y 1 cos x(1  sin x), y(0)  1
(sin 2 x  2 cos( x  y ))dx  2 cos( x  y )dy  0
x 3 y   x 2 y   1
8.
4 y 3 y   16 y 4  1, y(0) 
3.
2
1
, y (0) 
2
2
2
y   8 y   16 y  16 x  16 x  66, y(0)  3, y (0)  0
9.
10. y V  y IV  2 x  3
 x   2 x
11. 
 y  y
9e 3 x
, y(0)  4 ln 4, y (0)  3(3 ln 4  1)
3  e 3 x
13. Найти линию, для которой треугольник, образованный нормалью с осями координат,
был бы равновелик треугольнику, образованному осью OX, касательной и нормалью.
14. Тело массой m=2, брошено вертикально вверх со скоростью V0  20 , испытывает сопротивление воздуха, которое пропорционально скорости движения (K=0.04). Определить с точностью до   0.01 время Т, которое требуется для того, чтобы тело упало
на землю, и максимальную высоту, на которую поднимется тело.
12. y   3 y  
Вариант 9
1.
6 xdx  6 ydy  3x 2 ydy  2 xy 2 dx
2.
3 y 
4.
5.
y2
y
8  4
2
x
x
y
y 
 x 2 , y(1)  1
2x
dx  ( xy  y 3 )dy  0
y   4 x 3 y  4 y 2 e 4 x (1  x 3 ), y(0)  1
6.
( xy 2 
3.
7.
x
x2
2
)
dx

(
x
y

)dy  0
y2
y3
tg x  y   2 y 
y   8 sin y cos 3 y  0, y(0)  0, y (0)  2
8.
9. y   10 y   34 y  9e 5 x , y(0)  0, y (0)  6
10. y IV  2 y   y   4 x 2
 x  x  y
11. 
 y   4 x  4 y


12. y   y  4 ctg x, y( )  4, y ( )  4
2
2
13. Найти линию, проходящую через точку А(2;3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой её касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.
14. Тело нагрето до температуры u 0  60 0 и затем (в момент времени t 0  0 ) помещено в
среду с температурой b  20 0 . Каким должен быть коэффициент теплопроводности
тела К ( 0.3  K  2.0 ), чтобы было минимальным среднее квадратичное отклонение
температуры u(t) тела от заданной величины u1  30 за время Т=1,5ч, т.е.
t
 (u( )  u )
1
0
2
d  min ? Вычисления вести с точностью до 0,01
Вариант 10
1.
x 5  y 2 dx  y 4  x 2 dy  0
2.
xy  
3 y 3  6 yx 2
2 y  3x 2
4.
2 xy
2x 2
2

, y ( 0) 
2
2
3
1x
1 x
2
(3 y cos 2 y  2 y sin 2 y  2 x) y   y
5.
3 y  2 xy  2 xy2 e 2 x , y(0)  1
3.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
y 
2
 1 3y 2 
2y
 2  4 dx  3 dy  0
x 
x
x
y  ctg 2 x  2 y 
y   72 y 3 , y( 2)  1, y ( 2)  6
y   2 y   5 y  8e  x sin 2 x, y(0)  2, y (0)  6
3 y IV  y   6 x  1
 x  8x  3 y

 y  2x  y
4
y   6 y   8 y 
, y(0)  1  3 ln 3, y (0)  10 ln 3
2  e 2 x
Найти линию, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведённой в какой-нибудь точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения.
Найти: 1)с какой скоростью будет вращаться диск в момент Т=120с, если при Т=0 он
вращался со скоростью   12 рад с , а при Т=10 его скорость стала равна
  8 рад с , 2) в какой момент времени он будет вращаться со скоростью 1 рад с ?
Вариант 11
1.
y(4  e x )dy  e x dx  0
4.
x 2  xy  y 2
x 2  2 xy
2x  5
y 
y  5, y( 2)  4
x2
8( 4 y 3  xy  y ) y   1
5.
2 xy   3 y  (5 x 2  3) y 3 , y(1) 
2.
3.
y 
1
2
y
y
y
1

cos dx   cos  2 y dy  0
2
x
x
x
x

4
3
7. x y   x y   1
8. y y 3  36  0, y(0)  3, y(0)  2
9. y   5 y   6 y  52 sin 2 x, y(0)  2, y (0)  2
10. y   y   5x 2  1
 x   2 x  y
11. 
 y   3x  2 y
6.
4e 2 x
, y(0)  0, y (0)  0
2  e2x
13. Найти линию, проходящую через точку М(2;0) и обладающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет постоянную длину,
равную 2.
14. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака ч диаметром 4м и высотой
Н=6м через круглое отверстие в дне диаметром 6см? Считать, что ось цилиндра вертикальна.
12. y   6 y   8 y 
Вариант 12
1.
2.
3.
4.
5.
4  x 2 y   xy 2  x  0
xy   2 x 2  y 2  y
y x 1 x
y  
e , y(1)  e
x
x
( 2 ln y  ln 2 y )dy  ydx  xdy
3xy   5 y  ( 4 x  5) y 4 , y(1)  1
7.



x

 y dx   x 
 x2  y2





xy   2 y   0
8.
y   18 sin 3 y cos y , y(1) 
6.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

dy  0
2
2 
x y 
y

, y (1)  3
2
y   16 y  32e 4 x , y(0)  2, y (0)  0
y IV  4 y   4 y   x  x 2
 x  3x  y

 y  x  3 y
9
 
   3
y   9 y 
, y   4, y   
sin 3x  6 
6 2
Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
Поезд движется прямолинейно со скоростью V0  180 км ч . Внезапно на пути возникает препятствие, и машинист включает тормозной механизм. С этого момента скорость поезда изменяется по закону V  V0  At 2 , где A  1м с 3 . Каков тормозной путь
поезда? Через какое время после торможения он остановится?
Вариант 13
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2 xdx  2 ydy  x 2 ydy  2 xy 2 dx
y2
y
6 6
2
x
x
y
ln x
y    2
, y(1)  1
x
x
2( x  y 4 ) y   y
2 y   3 y cos x  e 2 x (2 x  3 cos x) y 1 , y(0)  1
1  xy
1  xy
dx 
dy  0
2
x y
y2
(1  x 2 ) y   2 xy   x 3
1
4 y 3 y   y 4  16, y(0)  2 2 , y (0) 
2
2
y   12 y   6 x  2 x  1, y(0)  y (0)  2
7 y   y   12 x
 x  6 x  y

 y   3x  2 y
y
y   9 y 
, y(0)  1, y (0)  0
cos 3x
Найти линию, у которой квадрат длины отрезка отсекаемого любой касательной от
оси ординат, равен произведению координат точки касания.
Найти закон движения материальной точки массы m по прямой ОА под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния Х=ОМ от
неподвижного центра О.
y 
Вариант 14
1.
x 4  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0
2.
xy  
3.
4.
5.
3 y 3  8 yx 2
2 y 2  4x 2
y
8
y     2 , y(1)  4
x
x
 
y 3 ( y  1)dx  3xy 2 ( y  1)dy  ( y  2)dy , y   2
4
2
3( xy   y )  xy , y(1)  3
dx x  y 2
6.

dy  0
y
y2
1
xy   y    0
7.
x
3
8. y   50 y , y(3)  1, y (3)  5
9. y   3 y   2 y   sin x  7 cos x, y(0)  2, y (0)  7
10. y   3 y   2 y   3x 2  2 x
 x  2 x  3 y
11. 
 y  5x  4 y
ex
, y(0)  ln 27, y (0)  ln 9  1
2  e x
13. Найти линии, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси ОХ прямо пропорционален ординате точки касания.
14. В воде плавает льдина в виде параллелепипеда, площадь основания которого S  1м 2
и высота H  0.5м . Льдину погружают в воду на глубину x0  5см и отпускают. Вывести закон движения льдины. Льдине в начальный момент времени сообщили скорость V 0 . Определить её скорость в произвольный момент времени, если сила сопротивления воды пропорциональна скорости льдины F2  V (  const ) .
12. y   y  
Вариант 15
1. (e x  8)dy  ye x dx  0
y
2. xdy  y(ln  1)dx  0
x
2
5
3. y   y  x 3 , y(1)  
x
6
1
y
4. 2 y dx  ( x  e )dy  0
1
5. y   y  2 xy 2 , y (0) 
2
y
xy  1
dx 
dy  0
6.
2
x
x
7. x 5 y   x 4 y   1
8. y y 3  25  9, y(2)  5, y (2)  1
9. y   9 y   18 y  26 cos x  8 sin x, y(0)  0, y (0)  2
10. y   y   3x 2  2 x  1
 x  2 x  y
11. 
 y   6 x  3 y


12. y   4 y  4 ctg 2 x, y( )  3, y ( )  2
4
4
13. Найти линию, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной и радиус – вектором точки касания, является равнобедренным.
14. Тело с температурой U0 = 0 помещено в момент t = 0 в среду, температура которой
8mat
меняется по закону U ср 
. Найти закон распределения температуры тела за
2t  1
промежуток [0; 16], если коэффициент теплопроводности тела k = 2t + 1. Вычисления вести с точностью до 0,003.
2
Вариант 16
1.
5  y 2  yy  1  x 2  0
2. ( y 2  2 xy)dx  x 2 dy  0
y
3. y    3 x, y(1)  1
x
4. ( xy  y )dx  y 2 dy  0
5. 2 xy   3 y  ( 20 x 2  12) y 3 , y(1) 
1
2 2
y
1
)dx  dy  0
2
x
x





7. xy  y  x  0
8. y   18 sin y cos 3 x  0, y(0)  0, y (0)  3
9. y   3 y   ( 40 x  58)e 2 x , y(0)  0, y (0)  2
6. ( xe x 
10. y   y   4 x 2  3x  2
 x  x  2 y
11. 
 y   3x  6 y
1
, y(0)  1  8 ln 2, y (0)  14 ln 2
12. y   3 y   2 y 
3  e x
13. Найти линию, у которой отношение отрезка касательной, отсекаемого от оси ординат, к отрезку, отсекаемому нормалью от оси абсцисс, есть величина постоянная,
равная k.
14. Материальная точка массой в 1 г. движется прямолинейно под действием силы
прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента t = 0 и обратно
пропорционально скорости движения точки. В момент t = 10 с. скорость равнялась
50 см/с, а сила 4 динам. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?
Вариант 17
1. 6 xdx  ydy  yx 2 dy  3xy 2 dx
2. 2 x 3 dy  y( 2 x 2  y 2 )dx
2 xy
 1  x 2 , y(1)  3
3. y  
1 x2
4. sin 2 ydx  (sin 2 2 y  2 sin 2 y  2 x)dy
5. y   2 xy  2 x 3 y 3 , y(0)  2
1
6. (10 xy 
)dx  (5 x 2  x cos y )dy  0
sin y
7. th x  y IV  y 

8. y   8 sin 3 y cos y , y(1)  , y (1)  2
2
x
9. y   2 y   37 y  36e cos 6 x, y(0)  0, y (0)  6
10. y IV  3 y   3 y   y   x  3
 x  5x  4 y
11. 
 y  4x  5 y
4e 2 x
, y(0)  0, y (0)  0
1  e 2 x
13. Найти линию, любая касательная к которой отсекает на оси ординат отрезок,
меньший абсциссы точки касания на 3 единицы.
14. Пуля входит в доску толщиной h = 10 см со скоростью V0 = 200 м/с, а вылетает из
доски, пробив ее, со скоростью V1 = 80 м/с. Считая, что сила сопротивления доски
движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти время движения пули через доску.
12. y   6 y   8 y 
Вариант 18
1. y ln y  xy   0
2. x 2 dy  y( x  y )dx
1  2x
y  1, y(1)  1
3. y  
x2
4. ( y 2  2 y  x) y   1
5. xy   y  y 2 ln x, y(1)  1


y
xdy
6.  2
 e x dx  2
0
2
x  y2
x y

7. xy   y   x
8. y   32 y 3 , y( 4)  1, y ( 4)  1
9. y   2 y   5 y  5x 2  6 x  12, y(0)  0, y (0)  2
10. y IV  2 y   y   12 x 2  6 x
 x  7 x  3 y
11. 
 y  x  5 y
16


, y( )  3, y ( )  2
12. y   16 y 
sin 4 x
6
6
13. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1; 0) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy, равен полярному радиусу
точки касания.
14. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которое пропорционально скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/с, скорость его через 5с станет равной 8 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 м/с?
Вариант 19
1. (1  e x ) y   ye x
2. y 2  x 2 y   xyy 
3y 2
 , y(1)  1
3. y  
x
x
4. 2 y y dx  (6 x y  7)dy  0
5.
6.
7.
8.
9.
2 y   3 y cos x  (8  12 cos x)e 2 x y 1 , y(0)  2
e y dx  (cos y  xe y )dy  0
tg x  y   y   1
y y 3  16  0, y(1)  2, y (1)  2
y   y   12 y  (16 x  22)e 4 x , y(0)  3, y (0)  5
10. y   4 y   32  384 x 2
 x  x  2 y
11. 
 y  4x  5 y
16
, y(0)  3, y (0)  0
12. y   16 y 
cos 4 x
13. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания.
14. Скорость охлаждения, какого – либо тела в воздухе пропорциональна разности
между температурой тела Т и температурой Т0. Если температура воздуха равна 200
С и тело в течение 20 минут охлаждается от 1000 С до 600 С, то через сколько времени его температура понизится до 300 С?
Вариант 20
1.
1  x 2 y   xy 2  x  0
2. xy   3 2 x 2  y 2  y
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
y   2 xy  2 x 3 , y(1)  e 1
dx  (sin y  3 cos y  3x )dy
4 y   x 3 y  ( x 3  8)e 2 x y 2 , y(0)  1
( y 3  cos x)dx  (3xy 2  e y )dy  0
tg 5 x  y   5 y 
y   32 sin y cos 3 y  0, y(0)  0, y (0)  4
y   10 y   25 y  e 5 x , y(0)  1, y (0)  0
y IV  2 y   y   2  3x 2
x  4 x  y
11. 
 y   x  4 y
4e 2 x
, y(0)  ln 4, y (0)  ln 4  2
1  e 2 x
13. Найти линии, для которых площадь треугольника образованного осью Ох, касательной и радиус – вектором точки касания, постоянна и равна а.
14. Определить путь S, пройденный телом за время t, если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100 м за 10 сек. и 20 м за 15 сек..
12. y   2 y  
Вариант 21
1. 6 xdx  2 ydy  2 yx 2 dy  3xy 2 dx
y2
y
 8  12
2
x
x

3. y  xy   x 3 , y(0)  3
4. 2(cos 2 y cos 2 y  x) y   sin 2 y
2. y  
5. 8 xy   12 y  (5 x 2  3) y 3 , y(1)  2
6. xe y dx  ( x 2 ye y  tg 2 y )dy  0
7. th 7 x  y   7 y 

8. y   50 sin 3 y cos y , y(1)  , y (1)  5
2
2x
9. y   4 y  8e , y(0)  0, y (0)  8
10. y   y   49  24 x 2
 x  x  4 y
11. 
 y  x  y
y 1
x
1
12. y    ctg , y( )  2, y ( ) 
4 4
2
2
13. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник постоянной площади S  2a 2 .
14. Согласно закону Гука эластичный шнур длины l под действием растягивающей силы F получает приращение длины, равное klF(k - константа). Шнур длиной 2 м
подвешен за один его конец. На сколько увеличится длина шнура, если его вес равен 2Н?
2
2
Вариант 22
1. y(1  ln y )  xy   0
3 y 3  12 yx 2
2 y 2  6x 2
2y
 e x ( x  1) 2 , y(0)  1
3. y  
x 1
4. ch ydx  (1  x sh y )dy
5. 2( y   y )  xy2 , y(0)  2
2. xy  
6. (5xy 2  x 3 )dx  (5x 2 y  y )dy  0
7. xy   x 2 y   x
8. y   18 y 3 , y(1)  1, y (1)  3
9. y   2 y   y  4e x , y(0)  0, y (0)  2
10. y   2 y   3x 2  x  4
 x  2 x  8 y
11. 
 y  x  4 y
1
, y(0)  1  3 ln 2, y (0)  5 ln 3
12. y   3 y   2 y 
2  ex
13. Найти линию, у которой длина нормали пропорциональна квадрату ординаты. Коэффициент пропорциональности k.
14. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диметром 2R = 2 м и
высотой H = 4 м через круглое отверстие в дне диаметром 4 см? Считать, что ось
цилиндра вертикальна.
Вариант 23
1. dy  2 xydx  xdx
y
2. xy   y(ln  1)  0
x
2
3. y   2 xy  xe x sin x, y(1)  1
4. (13 y 3  x) y   4 y
5. y   xy  ( x  1)e x y 2 , y(0)  1
6. (cos( x  y 2 )  sin x)dx  2 y cos( x  y 2 )dy  0
1
0
7. (cth x ) y   y  
ch x
8. y y 3  9  0, y(1)  1, y (1)  3
9. y   2 y   ( 4 x  4)e 2 x , y(0)  0, y (0)  1
10. y   13 y   12 y   x  1
 x   3x  2 y
11. 
 y  2x  8 y
ex
, y(0)  0, y (0)  0
2  ex
13. Найти линию, у которой площадь трапеции, образованной осями координат, ординатой произвольной точки и касательной в этой точке, равна половине квадрата
абсциссы.
14. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения.
Установлено, что трение пропорционально угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент Т = 180 сек., если при Т = 0 он вращался со
скоростью  = 20 рад/сек, а при Т = 20 сек. его скорость стала равной 10 рад/сек..
12. y   3 y   2 y 
Вариант 24
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0
( x 2  2 xy) y   xy  y 2
y   xy   x 3 , y(0)  3
y 2 ( y 2  4)dx  2 xy( y 2  4)dy  2dy
2 y  3 y cos x  e 2 x ( 2  3 cos x) y 1 , y(0)  1
( x 2  4 xy  2 y 2 )dx  ( y 2  4 xy  2 x 2 )dy  0
( x  1) y   y   x  1
y   50 sin y cos 3 y  0, y(0)  0, y (0)  5
y   2 y   6  12 x  24 x 2 , y(0)  1, y (0)  1
y IV  y   x
 x  5x  8 y
11. 
 y   3x  3 y
4


, y( )  2, y ( )  
12. y   4 y 
sin 2 x
4
4
13. Найти линию, для которой площадь, заключенная между осью абсцисс, линией и
двумя ординатами, одна из которых постоянная, а другая – переменная, равна отношению куба переменной ординаты к переменной абсциссе.
14. Найти время нужное телу для того, чтобы упасть на землю с высоты 400 000 км,
если эта высота исчисляется от центра Земли и если радиус Земли равен приблизительно 6400 км.
Вариант 25
1. ( xy  x) 2 dy  y(1  x)dx  0
2. xy  y 2  (2 x 2  xy) y 
2y
1
 ( x  1) 3 , y(1) 
3. y  
x 1
2
y
4. ( x  ln 2 y  ln y ) y  
2
2
5. y  y  xy , y(0)  1
1
1
6. (sin y  y sin x  )dx  ( x cos y  cos x  )dy  0
x
y
7. (1  sin x ) y   (cos x ) y 
y y 3  4( y 4  1), y(0)  2 , y (0)  2
9. y   7 y   12 y  3e 4 x , y(0)  1, y (0)  2
10. y   y   6 x  5
 x  x  4 y
11. 
 y  2x  3 y
4
, y(0)  2, y (0)  0
12. y   4 y 
cos 2 x
13. Найти линию, у которой нормаль (отрезок ее от точки линии до оси абсцисс) есть
постоянная величина а.
14. Найти закон движения материальной точки массы m по прямой ОА под действием
отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния
х = ОМ от неподвижного центра.
8.
Вариант 26
1.
5  y 2 dx  4( x 2 y  y )dy  0
3 y 3  14 x 2 y
2 y 2  7x2
3. y   y cos x   sin 2 x, y(0)  3
2. xy  
4. (2 xy  y )dy  2 y 2 dx  0
5. 2( xy   y )  y 2 ln x, y(1)  2
x
6.
7.
8.
9.
10.
11.
x
1
x
(1  e y )dx  (1  e y )dy  0
y
y
1
xy   y  
x
3
y   8 y , y(0)  1, y (0)  2
y   3 y   2 y  ( 2 x  1)e x , y(0)  1, y (0)  1
y   5 y   6 y   ( x  1) 2
 x  x  8 y

 y  x  3 y
ex
, y(0)  ln 27, y (0)  1  ln 2
12. y   y  
2  ex
13. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью
абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
14. Количество света, абсорбируемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего на его поверхность.
Если при прохождении через слой толщиной 3м абсорбируется половина первоначального света, то какая часть этого количества дойдет до глубины 30м?
Вариант 27
1. (1  e x ) yy   e x
2. y  
x 2  xy  5 y 2
x 2  6 xy
1
2
2
4. ydx  (2 x  2 sin y  y sin 2 y )dy  0
5. y   y  xy 2 , y(0)  1
( x  y )dx  ( x  y )dy
0
6.
x2  y2
2
7.  xy   2 y   2
x
3
8. y y  4  0, y(0)  1, y (0)  2
9. y   4 y   5 y  3x sin 2 x, y(0)  1, y (0)  2
10. y   5 y   6 y   ( x  1) 3
 x  2 x  8 y
11. 
 y  x  4 y
 
 
12. y   y  2 ctg x, y   1, y    2
2
2
13. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы
меньше абсциссы точки касания.
14. Определить путь, пройденный телом за время t, если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100м за 10с и 20м – за 15с.
3.
y   4 xy  4 x 3 , y(0)  
Вариант 28
1. ( x  4) ydy  xy2 dx  0
2. xy   4 x 2  y 2  y
y
ln x
, y(1)  1
3. y    
x
x
4. 2( y 3  y  xy)dy  dx
1
sh1
2
3
2
2
6. 2(3xy  2 x )dx  3( 2 x y  y )dy  0
7. ch x  y   y   ch x
5. y   2 y cth x  y 2 ch x, y(1) 
y   2 sin 3 y  cos y , y(1) 

, y (1)  1
2
9. y   6 y   9 y  x 2 e x , y(0)  1, y (0)  1
10. y   13 y   12 y   18x 2  39
 x  7 x  5 y
11. 
 y  x  3 y
1
, y(0)  1  2 ln 2, y (0)  3 ln 2
12. y   3 y   2 y 
1  e x
13. Найти линию, у которой длина полярного радиуса любой её точки М равняется
расстоянию между точкой пересечения касательной в точке М с осью ординат и
началом координат.
14. Определить удлинение эластичного шнура, свободно подвешенного за один его
конец. Длина шнура   3,5 м , вес ее равен 3Н. Удлинение шнура подчиняется
закону Гука.
8.
Вариант 29
1. 2 xdx  ydy  yx 2 dy  xy 2 dx
y2
y
 10  10
2
x
x
2
x (1  x 3 )
3. y   3x 2 y 
, y ( 0)  0
3
4. ( 2 y  x tg y  y 2 tg y )dy  dx
5. 2( y   xy)  ( x  1)e x y 2 , y(0)  2
2. 3 y  
6. (3x 3  6 x 2 y  3xy 2 )dx  ( 2 x 3  3x 2 y )dy  0
7. x 4 y   x 3 y   4
8. y y 3  y 4  16, y(0)  2 2 , y (0)  2
9. y   7 y   10 y  (3x  1) cos x, y(0)  0, y (0)  1
10. y   3 y   2 y   x 2  2 x  3
 x  4 x
11. 
 y   3x  2
ex
, y(0)  0, y (0)  0
12. y   3 y   2 y 
1  ex
13. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;5), если угловой коэффициент касательной в любой её точке равен ординате этой точке.
14. Пользуясь прямоугольными координатами, найти форму зеркала, отражающего
параллельно данному направлению все лучи, выходящие из данной точки.
Вариант 30
1. ( y 2 x  y 2 )dy  xdx  0
2. xy   4 2 x 2  y 2  y
3. y   y cos x  sin 2 x, y(0)  1
4. 4 y 2 dx  (e1 2 y  x)dy  0
2
5. y   y tg x   y 4 sin x
3
2
2
6. xy dx  y( x  y 2 )dy  0
2x
y  2x
7. y   2
x 1
8. y   2 y 3 , y( 1)  1, y ( 1)  1
9. y   3 y   2 y  cos x  sin x, y(0)  1, y (0)  0
10. y IV  y   12 x  6
 x  5x  y
11. 
 y  8x  3 y
1
 
  
, y   1, y   
12. y   y 
sin x  2 
2 2
13. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(3;-1), если угловой коэффициент касательной в любой ее точке в 1,5 раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.
14. Найти закон изменения скорости парашютиста до раскрытия парашюта, если
начальная скорость V0  0 , масса вместе со снаряжением равна 90кг, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения парашютиста
Fc  kV , где k  20 кг с . Вычислить максимальную скорость парашютиста.