с.73-76

ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 73 – 76
УДК 533.6.013.42
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ
ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В МОРЕ,
ПОКРЫТOМ СПЛОШНЫМ ЛЬДОМ
В. В. Я К О В Л Е В,
Т. Б. Г О Н Ч АР̇ Е Н К О
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 17.08.2008
Получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, моделирующее распространение длинных нелинейных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом. Уравнение получено с учетом геометрически
нелинейного прогиба тонкой пластины, которая моделирует сплошной лед, что не может не повлиять на область
существования решений уравнения.
Отримано узагальнене рiвняння типу Кадомцева-Петвиашвiлi, яке моделює розповсюдження довгих нелiнiйних
згинно-гравiтацiйних хвиль у морi, вкритому суцiльною кригою. Рiвняння отримано з урахуванням геометрично
нелiнiйного прогину тонкої пластини, яка моделює суцiльну кригу, що не може не вплинути на область iснування
розв’язкiв рiвняння.
The general Kadomtsev-Petviashvily-type equation describing propagation of long non-linear flexible-gravitational waves
in the sea, covered with ice, has been developed. The equation has been constructed with the taking into account the
geometrically-nonlinear flexion of the thin plate, wich simulates the ice cover. It must influence the intervals where the
equation solution exists.
добных моделей вплоть до последнего времени [3,
4]. С точки зрения авторов, данная форма метода
Для исследования трансформации длинных по- построения уравнения более соответствует физике
верхностных гравитационных волн в жидко- рассматриваемого явления.
сти используются нелинейные и нелинейнодисперсионные модели. Нелинейные изгибно- 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
гравитационные волны представляют собой комбинацию изгибной волны в ледяной пластине, пла- Задача о гидроупругих колебаниях системы “упрувающей на поверхности жидкости, и гравитацион- гая пластина–идеальная несжимаемая жидкость”
ной волны. Существование этих волн обусловле- сводится к уравнению Лапласа относительно поно уравновешиванием давления жидкости, с одной тенциала скоростей:
стороны, и сил инерции массы льда и упругости
пластины, с другой.
β∇2 ϕ + ϕzz = 0,
(1)
В работе [1] получено обобщенное уравнение
Кортевега-де-Вриза и построено его точное реше- с соответствующими граничными условиями на
ние, описывающее распространение длинных не- дне
→
линейных изгибно-гравитационных волн. Это ре→
ϕ
+
β
H
=0
(2)
ϕ
·
∇
∇
z
шение имеет структуру солитона с отрицательной амплитудой. Очевидно, что в общем слу- и на поверхности раздела лед–вода
чае солитоноподобные решения зависят не только от одной координаты. Известной моделью,
1
(3)
ζt + α [ζx ϕx + ζy ϕy ] − ϕz = 0,
в рамках которой описывается подобное двуβ
мерное решение, является уравнение Кадомцева–
Петвиашвили. В данной работе, основываясь
1
ζ + ϕt + α ϕ2x + ϕ2y +
на результатах [2], приводится вывод обобщен2
ного уравнения типа Кадомцева–Петвиашвили
(КП), описывающего распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, поτ
1α 2
ϕ + γζtt + δ∇4 ζ − 3 L (ζ, Φ) = 0,
+
(4)
крытом сплошным льдом. Для построения уравне2β z
2
H
ния используется метод, известный давно и применяемый в той или иной форме для получения по- где
ВВЕДЕНИЕ
c В. В. Яковлев, Т. Б. Гончаренко, 2009
73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 73 – 76
2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ
2
2
L (ζ, Φ) =
∂ ζ∂ Φ
+
∂x2 ∂y2
∂2ζ ∂2Φ
∂2ζ ∂2Φ
−
2
,
∂y2 ∂x2
∂x∂y ∂x∂y
компоненты тензора напряжений
+
Построим длинноволновое приближение системы
уравнений (1)-(6) с помощью разложения по малому параметру:
(5)
ϕ=
∞
X
n
β n (z + H) f n (x, y, t).
(8)
n=0
∂2Φ
∂2Φ
∂ 2Φ
=
σ
,
=
σ
,
= −τ.
x
y
∂y2
∂x2
∂x∂y
Подставляя этот ряд в граничное условие на дне
и приравнивая слагаемые при одинаковых степеКроме того, в постановку задачи входит также
нях параметра β, получим соотношение
соотношение
→
4
где
(6)
∇ Φ = L (η, η),
→
→
→
→
+β ∇ H · ∇ H ∇ f 0 · ∇ H .
2
L (η, η) = ηxxηyy − ηxy
.
Подстрочные индексы обозначают дифференцирование по соответствующим переменным. Безразмерные переменные введены следующим образом:
(x∗ , y∗ ) = (x, y) /λ,
(z ∗ , d∗, h∗1 ) = (z, d, h1) /H,
ζ ∗ = ζ/A,
D∗ = D/gHρ0 ,
p
ϕ∗ = ϕ gH /gλA,
H
λ
2
Подстановка ряда (8) в уравнение Лапласа (1)
приводит к соотношениям для f n , n = 1, 2, 3, 4, таким, что все f n можно выразить через f 0 . Используем эти соотношения в граничных условиях на
поверхности раздела лед-вода, предполагая, что α
и β – величины одного порядка малости. Подставляя их в граничное условие (3), с учетом только
слагаемых порядка α и β получим f 0 = f :
→ h
→ i
ζt + ∇ · (H + αζ) ∇ f −
→
→ →
→
−βH ∇ H · ∇ ∇ f · ∇ H −
ρ∗i = ρi /ρ2 , i = 1, 2;
→
→
β
− H 2 ∇ H · ∇ ∇2 f −
2
;
γ = βρ1 h1 /ρ2 H;
(7)
i
→ h
→
β
− H 2 ∇ · ∇2 f ∇ H −
2
→
−βH ∇ ·
δ = βD/ ρ2 gH 2 λ2 ;
E ∗ = βE/ 1 − ν
2
(9)
→
→ → →
−β ∇ f · ∇ H ∇ H ∇ H −
p
t∗ = t gH /λ,
A
α= ; β=
H
→
f 1 = − ∇ f 0 · ∇ H+
ρ2 gλ;
(10)
→ i
h→
→
∇f · ∇H ∇H −
→
β →
− H ∇ H · ∇ H ∇2 f−
2
где ρ1 , h1 , D, E – соответственно плотность, то→
β
→
β
− H 2 ∇2 ∇ f · ∇ H − H 3 ∇4 f = 0.
лщина, цилиндрическая жесткость и модуль упру2
6
гости пластины; ζ (x, y, t) – прогиб пластины; A, λ
Подставим те же соотношения в оставшееся гра– амплитуда и длина волны; H, ρ2 – характерная
ничное условие на свободной поверхности и, так
глубина жидкости и ее плотность.
74
В. В. Яковлев, Т. Б. Гончаренко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 73 – 76
же удерживая только слагаемые порядка α и β,
получим:
→
→
ζ + γζtt + δ∇4 ζ + ft − βH ∇ ft · ∇ H −
α → 2
β
(11)
− H 2 ∇2 ft +
∇ f = 0.
2
2
Перейдем в систему координат, связанную с
фронтом волны, распространяющейся в направлении оси X. При этом полагаем, что масштаб L
характерных изменений f и ξ в поперечном направлении Y много больше длины волны. Замена
переменных
r=
Zx
dp
− t,
c (p, y)
+
0
δ −5
Tωx
γ −1
H 2 hrrr −
H 2 hrrrrr =
3 hrrr +
2β
2β
2βH 2
=−
−
c=
√
H
β 3h 1 1 i
+
+ H 2 H 2 H 2 hx
6
x x
γ 1h 1 1 i
−
+ H 2 H 2 H 2 hx
2
x x
1
α
(ζfr )r − 2βH 2 frs −
H
H
1
β
− H − 2 Hs fr + β frrrr −
2
6
−
(13)
h
−ε2 J 2 Hfrr + fr (JH)ξ + 2JHfrξ +
3
(14)
где
2
1
2
Z
H (p, ξ)
− 23
A/λ,
(17)
Используя разложение дробных степеней H в
ряд и обозначая η = fx , окончательно получим:
β
3
γ
T ωx
ηt + 1 + αη ηx +
+ −
ηxxx+
2
6
2
2
dp.
0
1
После ряда преобразований, обозначая ζH 4 =
= h, приходим к следующему соотношению:
В. В. Яковлев, Т. Б. Гончаренко
3
1
β 5
fxt + H 2 fxx + αfx fxx + H 2 fxxxx +
2
6
γ
3
T ωx
+
H 2 fxxxx +
−
2
2H
δ 1
ε2 1
+ H 2 fxxxxxx = − H 2 fξξ .
2
2
s
β
J (s, ξ) = −
x x
1
α 2 βH
f +
frrr + γζrr −
2H r
2
T = αh1 E ∗ 1 − ν
x x
Подстановка в последнее соотношение h = H 4 fx
3
с последующим сокращением на H 4 дает
T ωx
ζrr + δζrrrr H −2 = O (εβ) ,
H
ωx = Φyy ,
3
δ
+ H−2
2
Tωx − 1 h 1 1 i
+
(16)
H 2 H 2 H 2 hx
2
x x
1 1 1
1
=
H 2 H 2 H 2 H 2 hx
= −ε2 H 4 (Hfξ )ξ ,
i
+ (Hfξ )ξ = O β 2 ,
−
(15)
3
1
3
ht + H 2 hx + αH − 4 hhx+
2
преобразует последние два уравнения к виду:
ζ − fr +
ε2 − 1
H 4 (Hfξ )ξ −
2β
i
ε2 − 1 h 2
H 2 J Hhr + h (JH)ξ + 2HJhξ .
2β
γ = O (β) , δ = O (β) ,
ζr − frr −
3 α −7
1 1
H 4 hhr + H 2 hrrr +
2β
6
Переходя к системе переменных (x, ξ, t) и умножая
полученное в результате этого соотношение
(12)
1
на H 2 β, получaeм:
s = βx,
1
λ
ξ = εy, ε = = O β 2 ,
L
в предположении, что
hs +
ε2
δ
+ ηxxxxx = − fξξ .
2
2
(18)
75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 77 – 78
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, мы получили уравнение, описывающее распространение двумерных изгибногравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом. Как и в модифицированном уравнении КдВ [1], в этом уравнении появляется дополнительное слагаемое, включающее третью производную ηxxx, что приводит к существованию решений различного типа в зависимости от соотношения параметров в скобке при этой производной [1, 5]. При выводе уравнения КП авторы [4]
не учитывают геометрически нелинейный прогиб
упругой пластины, что не влияет на вид уравнения, однако не может не влиять на область существования его решения. Геометрически нелинейный прогиб пластины дает вклад именно в коэффициент при третьей производной, определяющий область существования решения. Например,
искусственно вводя предварительное натяжение
пластины в работе [6], автор предопределил наличие дискретного спектра решений, при котором
малое изменение одного из параметров приводит
к исчезновению изгибно-гравитационного солитона, что абсолютно не соответствует физике рассматриваемого явления. Учет нелинейного прогиба, как нам представляется, позволит получить непрерывную область существования решения, когда малое изменение параметров задачи приводит только к изменению характеристик изгибногравитационного солитона, но не к его исчезновению.
76
1. Ткаченко В. А., Яковлев В. В. Нелинейнодисперсионная модель трансформации поверхностных волн в прибрежной зоне моря, покрытой
льдом // Прикладна гiдромеханiка.– 1999.– 1(73),
N3.– С. 55-64.
2. Демченко Р. И., Железняк М. И. Нелинейнодисперсионные эффекты распространения поверхностных волн вдоль неоднородностей рельефа
дна // Гидромеханика.– 1983.– Вып.48.– С. 17-22.
3. Prabir Daripa Higher-order Boussinesq equations for
two-way propagation of shallow water waves // Eur.
J. of Mech. B/Fluids.– 2006.– 25, N6.– P. 1008-1021.
4. Haragus-Courcelle M., Il’ichev A. Three-dimensional
solitary waves in the presence of additional surface
effects // Eur. J. Mech.B/Fluids.– 1998.– 17, N5.–
P. 739-768.
5. Гончаренко Т. Б., Яковлев В. В. Дослiдження
сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в
морi, вкритому суцiльною кригою // Прикладна
гiдромеханiка.– 2005.– 7(79), N2.– С. 3-7.
6. Марченко А. В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом // ПММ.– 1988.– 52,
Вып.2.– С. 230-235.
Институт гидромеханики НАН Украины