Метод поверхностей равных расходв для расчета

УДК 517.9:66.01
МЕТОД ПОВЕРХНОСТЕЙ РАВНЫХ РАСХОДОВ ДЛЯ РАСЧЕТА
ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛОМАССООБМЕНА НА ПРОНИЦАЕМЫХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
Л.П. Холпанов1, Р.И. Ибятов2, Ф.Г. Ахмадиев2
1
2
Институт проблем химической физики РАН
Казанская государственная архитектурно-строительная академия
Изучается течение дисперсных сред неньютоновского поведения по проницаемым поверхностям. Уравнения сохранения механики гетерогенных сред записаны в
ортогональной системе координат с коэффициентами Ляме для поверхности произвольной формы. Задача решается методом поверхностей равных расходов.
Ключевые слова
Дисперсная среда, проницаемая поверхность, фильтрация.
Условные обозначения
,
-- компоненты вектора массовых сил в направлении координат
2
2
,x3 , м/с ; g -- ускорение
свободного падения, м/с ; h -- толщина
слоя смеси, м;
H i -- коэффициенты Ляме; k -- коэффициент проницаемости стенки, м; m1 и m -- коэффициенты консистенции сплошной фазы и дисперсной среды, (кг сn-2)/м; n -- коэффициент нелинейности; P и Pв -- давления в текущей среде и за проницаемой стенки,
н/м2; Q -- расход смеси, м3/с; r и R -- текущий радиус течения и радиус цилиндра, м;
U , V -- компоненты вектора скорости в направлении координ а т,x3 , м/с; V0 --- ортогональные
скорость фильтрации в направление координаты x2, м/с;,x3
координаты; y k -- линии тока, м; 2 -- объемная концентрация дисперсной фазы; -
k
1
- угол наклона;
ниями
,
i
и
yk
21
i
плотность
i
смеси
- дельта функция;
yk 1 ,
2
м /с;
k
-- величина изменения расхода между ли-
кинематическая
вязкость,
м2сn-2;
-- пл отность i-ой фазы, приведенная
сть и
плотно
3
соответственно, кг/м ;
-- скорость вращения, с-1;
/ m -- число Рейнольдса. Индексы: а -- атмосферное; в -- за проницаемой стенкой; н -- начальное значение; к -- конечное значение; k -- номер линии
тока; -- характерный размер; 0 -- фильтрация.
2
ReU
h
н
Введение
Течение дисперсных сред со сложным реологическим поведением по проницаемым поверхностям различной конфигурации, в том числе в поле центробежной силы, встречается во многих технологических процессах. Изучение и выявление закономерностей таких течений представляет как теоретический, так и большой практический интерес в силу различных технологических приложений – разделение (сгущение)
гетерогенных сред в фильтрующих аппаратах, реализация интенсивного тепломассообмена, управление пограничным слоем. Математическое моделирование нелинейной
гидродинамики и тепломассообмена базируется на решении нелинейных уравнений
переноса количества движения, вещества и энергии. Для решения этих нелинейных
уравнений перспективным является метода поверхностей равных расходов [1]. В докладе рассматривается особенности применения данного метода при наличии фильтрации через стенку
1. Постановка задачи
Пусть по проницаемой поверхности произвольной геометрической формы происходит течение дисперсной среды, реологическое состояние которой описывается
степенной моделью Оствальда де Виля. Течение рассматривается в ортогональной
системе координат, у которой координатная поверхность 2 cons совпадает с поверхностью течения, а координатные линии (поверхности) 1 cons составляют семейство нормалей к ней.
Предполагается, что из-за наличия фильтрации сплошной фазы происходит
сгущение дисперсной системы с изменением средней концентрации по длине рабочей
поверхности. Если принять модель мгновенного перемешивания по толщине слоя и
изменение концентрации рассмотреть как функцию от продольной координаты
x , то для ее определения можно построить дифференциальное уравнение [2]
x3к
d 2
dx1
2
Q
H 3 dx3 .
()
0
(1)
x3н
В принятой модели мгновенного перемешивания поведение дисперсной системы может быть моделировано с помощью некоторой эффективной средой, у которой
коэффициенты
) m( ) являются функциями относительно продольной координаты. Уравнения сохранения массы и движения среды в ортогональной системе координат запишутся в виде
32
U
(
V)
x2
x1
1
U
U
V
H
2
2x
H1
U2
x2 2
где
T
U
UV
2x
H1
1
H
x2
(2)
H1
xH
1
2
1
,0
1
x1
P
P
,F
T
1
F2 ,
2
1
3
m
(3)
(4)
H1
U
n
H
2 1
Системы уравнений (1)-(4) должна решаться при следующих граничных и начальных условиях
при
:
при
h( ) : P
при1
: α2
P,
k
(
m1
U
,
V
Pа ,
12
0;
α2 , U
);
(5)
U н x2 )
h h.
2. Численное моделирование
Уравнения (1)--(4) образуют систему нелинейных дифференциальных уравнений
в частных производных, решение которой вызывает большие трудности. Применим
для решения этой системы метод поверхностей равных расходов. В соответствии с
и представим
этим методом введем в поле течения суспензии линии токаxk 1
компоненты скорости для k-го слоя в в иде
x ,y x
,
x ,y x .
З десь
,1 , где N - количество введенных линий тока. Причем линия y1 совпадает с поверхностью течения, а линия y N со свободной поверхностью. Сведем задачу о развитии течения слоя суспензии к численному определению полей скоростей и
линии тока.
Обозначим величину изменения расхода первой фазы между линиями y k и
yk
1
через
d
d
x1 . По определению
k
yk 1
ZUH dx2
k
x1 )
(6)
yk
При отсутствии массообмена изменение этого расхода может происходит из-за фильтрации жидкости через проницаемую поверхность. Тогда интегральное условие сохранения количества сплошной фазы для произвольного сечения запишется в виде
x1
h
ZUH dx2
0
10 Z V0
H 1dx1
Q1н .
x1н
где
x
к
x3н .
Продифференцируем это соотношение по x1 и сравнивая результат дифференцирования с (6) получим
k
Z
k
1,
k 1, N 1.
(7)
Применяя правило Лейбница с учетом уравнения (2) вычислим интеграл (6)
Z 1U k
V
2d k
d
Z
V
U
k
d
1
d
k
.
Отсюда, с учетом кинематического условия на свободной поверхности и соотношений
(7), получим
2d k
U
1
k
d
k
1
1, .
,
(8)
Производные по независимой переменной x1 имеют вид
2d k
d
d
H 1 x1
H 2 yk
d
.
Заменив частную производную
(9)
/
1
согласно (9) и учитывая соотношения
(8) запишем уравнение (3) для k -го слоя
k
1 U kdU
H dx
H1
P V
UH k
x1
1
k
1
2
x2
k
k
1
Интегрирование уравнения (4) на интервале
yk 1
где
1
(10)
дает
k 1, N 1,
Mk,
1
,
, N.
J (x , x2 )dx2 ,
k
J ( x1 , x2 )
H 2 F2
yk
U 2 H1
.
.
H1 x2
Преобразуя полученное соотношение к удобному виду и дифференцируя по продольной координате, определяем
dPk
dx
N 1 dM
k
dx
Заменив
U dU
H dx
,
1,
k
/
1 N 1dM
H1 k dx1
1
1.
(11)
в уравнение (10) согласно (9) с учетом (11) получим
,(x 21
)
dy k
d
VH
U
k
21x2
1
k
1.
(12)
Уравнения для поверхностей равного расхода определим из (6). Для чего представим интеграл по одной из формул численного интегрирования, затем продифференцируем полученную разностную формулу по x1 . Если проинтегрировать (6) по
формуле трапеций, то уравнения для определения линии тока имеют вид
dy
dx
dy
dx
1
2
k
k
k
y d k
,
dx1
2, ;
dy1
;0
dx1
(13)
где
Z
21
(
1 H 2 ZU ) k 1 .
Для вычисления вязкого члена Tk сеточные решения представим в виде разложения в ряд по полной системе базисных функций, удовлетворяющих граничным
условиям (5)
N
x U k ( x ).
(14)
j 1
Коэффициенты
j
1
определяются из условия совпадения скоростей, определяе-
мые из (24), со скоростями k 1 на линиях k 1 .
В уравнениях движения (12), записанных для любой поверхности равных рас-
1 N 1dM
ходов y k , присутствует слагаемое
, которое содержит неопределенную
H k dx
величину dy N / dx1 . В то же время производные dy k / dx1 определяются с помощью рекуррентных соотношений (13) снизу вверх, начиная с dy / dx . Поэтому для
вычисления правых частей системы (12)-(13) необходимо использовать прогонку. Нахождения явных выражений прогоночных коэффициентов целесообразно выполнить
после конкретизации области течения и определения коэффициентов Ляме H i . Рассмотрим несколько примеров течения гетерогенной среды по конкретным поверхностям.
Течение по вертикальной цилиндрической поверхности. Пусть дисперсная среда стекает по наружной или внутренней поверхности вертикального цилиндра. Считаем, что
радиус цилиндра намного больше толщины пленки и поэтому капиллярными силами
можно пренебречь. Выберем цилиндрическую систему координ ат
x r
x3
r . С учетом того, что для
1,
1, H 3
, J ( z, r ) 0, M k ( z) 0, уравнения (12)--
с коэффициентами Л ям е
вертикальной стен ки
F
(13) запишем в цилиндрической системе координат. Далее, перенесем начало координат на стенку цилиндра, выполнив замену z x, r R y . При этом знак плюс
соответствует течению по наружной, знак минус по внутренней поверхностям цилиндра. Кроме того
/,r
/ y, и тогда получим
Uk
dU
dx
m
U
y
y
n
yR
k
m
y
Uk
n
g,
k
2 dy 1
dx
dy
dx
d 2
dx
2
k
V
yd
1
U,
) dx
(
02
Vm0
Q
k
P
m1
k
в ).
Течение по поверхности горизонтально расположенного цилиндра. Предположим, что
по наружной или внутренней поверхности горизонтально расположенного проницаемого цилиндра происходит тонкослойное течение дисперсной системы. Наружное течение рассматривается для верхней половины, а внутреннее течение для нижней половины цилиндра. Выберем цилиндрическую систему координат
r x3 z
с коэффициентами Ляме
отсчитывается вниз
H
, H 3 1 , где угол
от вертикальной линии. Если уравнения движения среды в радиальном направлении
записать без инерционных членов, тогда им еем
Sin
F
g Cos
()
( y 1 y k ) Cos . Уравнения (12)--(13) запишем в координатах ( , r, z) и с помощью замены переменных
x / r,
r R y перенесем начало координат на стенку цилиндра. Знаки плюс и минус озJ ( , r)
g Sin ,
начают течения по наружной и внутренней поверхностям соответственно. Тогда, с
учетом зависим остей
/,r
/ y, /
r / x , получим
Uk
m
k
dU k
dx
d 2
dx
1
k
2 dy 1
dx
d 2
dx
Cos
y
R
ky
k
dy
dx
2
2V 0
2H
Sin
yg Nk
yR
k
2
yR
2
V
k
yd
k
m1
m
(R
y
1
(
V0
gCos
dx
Uk
y )
dy N
m
n
gSin ,
k
U,
) dx
k
gy Cos ).
Течение по внутренней поверхности вращающегося конического ротора. Применим
построенную систему дифференциальных уравнений (12)-- (13) для расчета процесса
сгущения гетерогенной среды в фильтрующей центрифуге. Выберем коническую систему координ
с коэффициентами Л яме
,1
1,
x
y x3
ат
2
2
.
С
учетом
того,
что
для
это
го
случ
ая
rSi
F
rCos
3
1
2
xSi
J x, y)
F,
( )
F (y
1
y k ), Z
2 r, уравнения (12)--(13)
принимают вид
k
2 dy 1
dx
Uk
1
dy
dx
dU k
dx
V
yd
Sin
yx U k
xm
y
d 2
dx
k
2 xCoskN
(
U
x
U
) dx
) y
y )
Sin
,k
dx
xSin Cos
dy N
n
xSin
2
2 0
2
1
Q2
V0
,
k20
m1
1
xy N Sin Cos
Численные расчеты были проведены после перехода к безразмерным переменным с помощью следующей подстановки
xRe x,
H
y
Hy, U
U U , V kV
U
Re
Hk
P
PB
1U
P.
3. Обсуждение результатов
Характерный вид зависимости толщины поверхностей равных расходов от продольной координаты показаны на рис.1. Из-за наличия фильтрации линии равных расходов поочередно исчезают. При этом с увеличением x растет концентрация дисперсной фазы. На рис.2 показано изменение концентрации на проницаемом роторе при
различных значениях скорости вращения. Расчеты показали, что наиболее существенное влияние на характер течения оказывает отношение чисел Рейнольдса и Фруда при
Re/ Fr 1 . С увеличением этого отношения различия нивелируются. На картину течения сильно влияют реологические параметры среды. При увеличении коэффициентов m и n толщина пленки растет. Полученные результаты численных расчетов качественно согласуются реальной картиной течения.
Выводы
Математическая модель процесса сгущения дисперсных сред на проницаемых
поверхностях основывается на нелинейных дифференциальных уравнениях в частных
производных. Применение метода поверхностей равных расходов позволяет их свести
к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, численное решение которой
не представляет особого труда. Данный подход также может быть успешно применен
для решения уравнений тепломассообмена [1] при наличии проницаемой границы.
yi
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рис. 1 Зависимость толщины поверхностей равных расходов от безразмерной коорди0.001 кг с n / м;
10 c 1 ;
45 o .
наты x при Re/Fr
;
3 10 ;
a2
0.35
0.3
0.25
0.2
2
3
1
0.15
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1
1.2
1.4
1.6
Рис. 2 Зависимость концентрации от безразмерной координаты x для проницаемого
m .0035 кг с n 2 / м,
ротора: 1
Re/ Fr 148; 2 .006,
50; 3 .0085,
25 ;
1
).
(
10 ,
30 ,
100
Литература
1. Холпанов Л. П., Шкадов В. Я. Гидродинамика и теплообмен с поверхностью раздела. М.: Наука, 1990. 271 с.
2. Холпанов Л. П., Ибятов Р. И., Ахмадиев Ф, Г., Фазылзянов Р. Р. Математическое
моделирование гидродинамики на проницаемых поверхностях // ТОХТ. 2003. Т.
37. № 3. С. 227-237.