Зельдович

Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧ и Ю. П. РАИЗЕР
ФИЗИКА УДАРНЫХ ВОЛН
И ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
ЯВЛЕНИЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ДОПОЛНЕННОЕ
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА
1966
530.1
3 50
УДК 541-12
BOOKS.PROEKTANT.ORG
БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ
КОПИЙ КНИГ
для проектировщиков
и технических специалистов
АННОТАЦИЯ
В книге систематически рассматривается обширный
круг вопросов из различных областей физики, физической
ХИМИИ, астрофизики, с которыми имеет дело современная
газо- и гидродинамика. В ней излагаются основы газовой
динамики и теория ударных волн, теория переноса излу­
чения. Изучаются термодинамические и оптические свойства
вещества при высоких температурах и давлениях, кине­
тика диссоциации, ионизации и других неравновесных
процессов, явления, связанные с излучением света и
лучистым теплообменом в ударных волнах и при взрывах,
вопросы распространения ударных волн в твердых телах
и т. д. Авторам монографии принадлежит большое число
оригинальных работ в рассматриваемой области науки,
которые нашли свое отражение в книге.
Книга послужит ценным практическим пособием для
широких кругов физиков, механиков и инженеров, зани­
мающихся прикладной физикой и новой техникой. Она
будет полезна студентам и аспирантам соответствующих
специальностей, а также всем физикам и механикам, же­
лающим познакомиться с современным состоянием науки
об ударных волнах.
2-3-2
129-66
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию
9
11
ГЛАВА
I
ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОДИНАМИКИ И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
УДАРНЫХ ВОЛН
1. Непрерывное течение невязкого и нетеплопроводного газа
' § 1. Уравнения газовой динамики (13). § 2. Лагранжевы координаты
(16). § 3. Звуковые волны (18). ^ 4 . Сферические звуковые волны (23).
§ 5. Характеристики (24). § 6. Плоское изэнтропическое течение. Инва­
рианты Римана (27). § 7. Плоское изэнтропическое течение газа в ограни­
ченном пространстве (31). § 8. Простые волны (33). § 9. Искажение
профилей в бегущей волне конечной амплитуды. Некоторые свойства про­
стых волн (35). § 10. Волна разрежения (37). § 11. Центрированная
волна разрежения как пример автомодельного движения газа (41). § 12.
О невозможности существования центрированной волны сжатия (45).
13
2. Ударные волны
§ 13. Введение в газодинамику понятия об ударной волне (46). § 14. Удар­
ная адиабата (50). § 15. Ударные волны в идеальном газе с постоянной
теплоемкостью (51). § 16. Геометрическая интерпретация закономерностей
ударного сжатия (54). § 17. Невозможность существования ударной волны
разрежения в веществе с нормальными свойствами (58). § 18. Ударные
волны слабой интенсивности (61). § 19. Ударные волны в веществе с ано­
мальными термодинамическими свойствами (64).
46
3. Вязкость и теплопроводность в газодинамике
§ 20. Уравнения одномерного движения газа (66). § 21. Замечания о второй
вязкости (69)..§ 22. Замечания о поглощении звука (70). § 23. Структура
и ширина фрфгга ударной волны слабой интенсивности (70).
•v i
4. Некоторые заД\чи; . . . < . . . . . . _. _.
§ 24. Распространение произвольного разрыва (77). § 25.'Сильный взрыв
в однородной атмосфере (84). § 26. Приближенное рассмотрение сильного
взрыва (87). §_27-. Замечания о точечном взрыве с учетом противодавле­
ния (89). § 28* Адиабатический разлет в пустоту газового шара (91).
§ 29. Автомодельные -рершмы разлета шара в пустоту (93).
66
ч
Г л А в А II
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН
' *.
В СРЕДЕ
§ 1. Введение и основные понятия (96). § 2. Механизмы испускания,
поглощения и рассеяния света в газах (99). § 3. Равновесное излучение
и абсолютно черное тело (103). § 4. Вынужденное испускание (105).
§ 4а. Вынужденное излучение в классической и квантовой теориях и ла­
зерный эффект (108). § 5. Уравнение переноса излучения (ИЗ). § 6. Интег­
ральное выражение для интенсивности излучения (115). § 7. Излучение
плоского слоя (117). § 8. Эффективная или яркостная температура по­
верхности неравномерно нагретого тела (121). § 9. Движение вещества с
учетом лучистого теплообмена (124). § 10. Диффузионное приближение (127).
§ 11. Приближение «вперед — назад» (131). § 12. Локальное равновесие
и приближение лучистой теплопроводности (132). § 13. Взаимоотношение
77
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
диффузионного приближения и приближения лучистой теплопроводно­
сти (134). § 14. Лучистое равновесие в звездных фотосферах (137).
§ 15. Решение задачи о плоской фотосфере (140). § 16. Потери энергии на­
гретого тела на излучение (143). § 17. Уравнения гидродинамики с учетом
энергии и давления излучения и лучистого теплообмена (146). § 18. Число
квантов как инвариант классического электромагнитного поля (149).
Ч
ГЛАВА
ill
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ ПРИ ВЫСОКИХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
1. Газ из невзаимодействующих частиц
§ 1. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью и неизменным числом частиц
(152). § 2. Расчеты термодинамических функций методом статистических
сумм (155). § 3. Диссоциация двухатомных молекул (158). § 4. Химические
реакции (163). § 5. Ионизация и электронное возбуждение (166). § 6. Элек­
тронная статистическая сумма и роль энергии возбуждения атомов (171).
§ 7. Приближенный метод расчета в области многократной ионизации
(174). § 8. Интерполяционные формулы и эффективный показатель адиабаты
(179). § 9. Ударная адиабата в условиях диссоциации и ионизации (181).
§ 10. Ударная адиабата с учетом равновесного излучения (184).
2. Газ из частиц с кулоновским взаимодействием
§ 11. Разреженный ионизованный газ (186). § 12. Плотный газ. Элементы
квантовой статистики Ферми — Дирака для электронного газа (189).
§ 13. Модель атома по Томасу — Ферми и сильное сжатие холодного веще­
ства (192). § 14. Вычисление термодинамических функций высоконагрето­
го плотного газа методом Томаса — Ферми (198).
ГЛАВА
152
186
IV
УДАРНЫЕ ТРУБЫ
§ 1. Использование ударной трубы для изучения физико-химической кине­
тики (201),. § 2. Принцип действия (202). § 3. Элементарная теория ударной
трубы (203). § 4. Электромагнитные ударные трубки (206). § 5. Методы
измерений различных величин (209).
ГЛАВА
тО
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
§ 1. Введение. Тины электронных переходов (212).
1. Непрерывный спектр
,
§ 2. Тормозное излучение электрона в кулоновском поле иона (214). § 2а.
Тормозное излучение электрона при рассеянии нейтральным атомом (219).
§ 3. Свободно-свободные переходы в нагретом ионизованном газе (222).
§ 4. Эффективное сечение захвата электрона ионом с испусканием кванта
(225). § 5. Эффективное сечение связанно-свободного поглощения света
атомами и ионами (227). § 6. Коэффициент непрерывного поглощения
в газе из водородоподобных атомов (231). § 7. Непрерывное поглощение
света в одноатомном газе в области первой ионизации (234). § 8. Средние
пробеги излучения при многократной ионизации атомов газа (238). § 8а.
Поглощение света в слабоионизованном газе (242).
214
2. Линейчатый спектр атомов
. . . .
§ 9. Классическая теория спектральных линий (244). § 10. Квантовая
теория спектральных линий. Силы осцилляторов (218). § 11. Спектр погло­
щения водородоподобных атомов. Замечания о влиянии линий на росселандов пробег (252). § 12. Силы осцилляторов для континуума. Теорема
сумм (256). § 13. Излучение спектральных линий (258).
3. Полосатый спектр молекул
§ 14. Энергетические уровни двухатомных молекул (260). § 15. Структура
молекулярных спектров (284). § 16. Принцип Франка — Кондона (268).
244
260
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 17. Вероятности молекулярных переходов с испусканием света (270).
§ 18. Коэффициент поглощения света в линиях (275). § 19. Молекулярное
поглощение при высоких температурах (276). § 20. Уточненный расчет коэф­
фициента молекулярного поглощения при высоких температурах (279).
4. Воздух
.
§ 21. Оптические свойства нагретого воздуха (281).
281
5. Пробой и нагревание газа под действием сфокусированного лазерного луча
§ 22. Пробой (289). § 23. Поглощение лазерного луча и нагревание газа
после первичного пробоя (293).
289
ГЛАВА
VI
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
1. Молекулярные газы
.
.
§ 1. Установление термодинамического равновесия (298). § 2. Возбуждение
вращений молекул (300). § 3. Уравнение кинетики для релаксации коле­
бательной энергии молекул (302). § 4. Вероятность возбуждения колеба­
ний и время релаксации (304). § 5. Уравнение кинетики диссоциации двух­
атомных молекул и время релаксации (309). § 6. Скорости рекомбинации
атомов и диссоциации двухатомных молекул (310). § 7. Химические реакции
и метод активированного комплекса (314). § 8. Реакция окисления
азота (319). §9. Скорость образования двуокиси азота при высоких темпе­
ратурах (322).
298
2. Ионизация и рекомбинация. Электронное возбуждение и дезактивация . .
325
§ 10. Основные механизмы (325). § 11. Ионизация нёвозбужденных атомов
электронным ударом (329). § 12. Возбуждение атомов из основного состоя­
ния электронным ударом. Дезактивация (332). § 13. Ионизация возбуж­
денных атомов электронным ударом (333). § 14. Ударные переходы между
возбужденными состояниями атомов (337). § 15. Ионизация и возбуждение '
ударами тяжелых частиц (339). § 16. Фотоионизация и фоторекомбинация
(341). § 17. Электрон-ионная рекомбинация при тройных столкновениях
(элементарная теория) (345). § 18. Более строгая теория рекомбинации при
тройных столкновениях (347). § 19. Ионизация и рекомбинация в воздухе
(351).
3. Плазма
§ 20. Релаксация в плазме (353).
г ЛАВА
353
VII -\
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
§ 1. Введение (359).
1. Скачок уплотнения
,.
§ 2. Вязкий скачок уплотнения (362). § 3. Роли вязкости и теплопровод­
ности в образовании скачка уплотнения (368). § 4. Диффузия в бинарной
смеси газов (371). § 5. Диффузия в ударной волне, распространяющейся
-- по бинарной смеси (374).
362
-•2. Релаксационный слой
. . .
.
_
§ 6. Ударные волны в газе с замедленным возбуждением некоторых степеней
свободы (377). § 7. Возбуждение молекулярных колебаний (381). § 8. Диссо­
циация двухатомных молекул (385). ;§ 9> Ударные волны в воздухе (388).
§ 10. Ионизация в одноатомном газе (390). § 11. Ионизация в воздухе (396).
§ 12. Ударные волны в плазме (398). § 13. Поляризация плазмы и возник­
новение электрического поля в ударной волне (404).
377
3. Лучистый теплообмен во фронте ударной волны
§ 14. Качественная картина (407). § 15. Приближенная формулировка
задачи о структуре фронта (410). § 16. Ударная волна докритической ампли­
туды (414). § 17. Ударная волна сверхкритической амплитуды (417). § 18.
Ударная волна при больших плотности энергии и давлении излуче­
ния (420).
407
v
ОГЛАВЛЕНИЕ
; ГЛАВА
VIII \
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА
В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
1. Динамика неравновесного газа .
§ 1. Уравнения газовой динамики при отсутствии термодинамического рав­
новесия (423). § 2. Возрастание энтропии (426). § 3. Аномальные дисперсия
и поглощение ультразвука (428). § 4. Закон дисперсии и коэффициент
поглощения ультразвука (432).
423
2. Химические реакции
§ 5. Окисление азота при сильном взрыве в воздухе (437).
437
3 . Нарушение термодинамического равновесия при разлете газа в пустоту . .
§ 6. Разлет газового облака (442). § 7. Эффект «закалки» (444). § 8. Нару­
шение ионизационного равновесия (446). §,9. Кинетика рекомбинации и
охлаждение газа после нарушения ионизационного равновесия (448).
442
4. Конденсация паров при адиабатическом расширении
§ 10. Насыщение паров и возникновение центров конденсации (454). § 11.
Термодинамика и кинетика процесса конденсации (456). § 12. Конденсация
в облаке испаренного вещества, разлетающегося в пустоту (458). § 13.
К вопросу о механизме образования космической пыли. Замечания о лабо­
раторном исследовании конденсации (462).
454
ГЛАВА
IX
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
И ПРИ СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ В ВОЗДУХЕ
1. Яркость фронта ударных волн большой амплитуды в газах
§ 1. Качественная зависимость яркостной температуры от истинной темпе­
ратуры за фронтом (464). § 2. Поглощение световых квантов в холодном
воздухе (468). § 3. Максимальная яркостная температура для воздуха (470).
§ 4. Предельная яркость очень сильной волны в воздухе (472).
2. Оптические явления, наблюдаемые при сильном взрыве, и охлаждение воз­
духа излучением
§ 5. Общее описание световых явлений (474). § 6. Отрыв фронта ударней вол­
ны от границы огненного шара (479). § 7. Эффект минимума яркости огнен­
ного шара (482). § 8. Охлаждение воздуха излучением (485). § 9. Возник­
новение температурного уступа — волны охлаждения (487). § 10. Энерге­
тический баланс и скорость распространения волны охлаждения (489).
§ 11. Стягивание волны охлаждения к центру (491). § 12. Искровой разряд
в воздухе (493).
3. Структура фронта волны охлаждения
§ 13. Постановка задачи (495). § 14. Поток излучения с поверхности фронта
волны (498). § 15. Распределение температуры во фронте сильной волны
(501). § 16. Учет адиабатического охлаждения (503).
Г Л А В А Х " ,
ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Теплопроводность вещества (506). § 2. Нелинейная (лучистан) теплопро­
водность (507). § 3. Особенности распространения тепла при линейной и не­
линейной теплопроводностях (510). § 4. Закон распространения тепловой
волны от мгновенного плоского источника (515). § 5. Автомодельная тепло­
вая волна от мгновенного плоского источника (516). § 6. Распространение
тепла от мгновенного точечного источника (519). § 7. Некоторые автомодель­
ные плоские задачи (523). § 8. Замечания о проникновении тепла в среду
при учете движения (526). § 9. Автомодельное решение как предельное
решение неавтомодельной задачи (528). § 10. О переносе тепла неравно­
весным излучением (530).
464
474
495
ОГЛАВЛЕНИЕ
(ГЛ ABA
XI^
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ
§ 1. Введение (533).
1. Термодинамические свойства твердых тел при высоких давлениях и темпе­
ратурах
§ 2. Сжатие холодного вещества (536). § 3. Тепловое движение атомов (540).
§ 4. Уравнение состояния тела, атомы которого совершают малые коле­
бания (542). § 5. Тепловое возбуждение электронов (546). § 6. Трехчленное
уравнение состояния (549).
536
2. Ударная адиабата
§ 7. Ударная адиабата конденсированного вещества (549). § 8. Аналитические
представления ударной адиабаты (552). § 9. Ударные волны слабой интен­
сивности (554). § 10. Ударное сжатие пористого вещества (555). § 11. Выход
не очень сильной ударной волны на свободную поверхность тела (558).
§ 12. Экспериментальные методы отыскания ударной адиабаты твердых тел
(562). § 13. Извлечение кривой холодного сжатия из результатов опытов
по ударному сжатию (568).
549
3. Акустические волны и расщепление волн
§ 14. Статическая деформация твердого тела (570). § 15. Переход твердого
тела в текучее состояние (574). § 16. Скорость распространения акусти­
ческих волн (577). § 17. Расщепление волн сжатия и разгрузки (579). § 18.
Измерение скорости звука в веществе, сжатом ударной волной (581).
§ 19. Фазовые превращения и расщепление ударных волн (584). § 20. Удар­
ная волна разрежения в среде, испытывающей фазовый переход (589).
570
4. Явления при выходе мощной ударной волны на свободную поверхность
тела
§ 21. Предельные случаи твердого и газообразного состояний разгруженно­
го вещества (592). § 22. Критерий полного испарения вещества при разгруз­
ке (595). § 23. Опытное определение температуры и энтропии в мощной
ударной волне при помощи исследования разгруженного вещества в газовой
фазе (599). § 24. Свечение паров металла при разгрузке (601). § 25. Заме­
чания о принципиальной возможности измерения энтропии в ударной
волне по свечению при разгрузке (605).
5. Некоторые другие явления
§ 26. Электропроводность неметаллических тел в ударных волнах (605).
§ 27. Измерение показателя преломления вещества, сжатого 'в ударной
волне (608).
ГЛАВА
592
605
XII
НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ
1. Введение
•
§ 1. Группы преобразований, допускаемые уравнениями газовой динамики
(610). § 2. Автомодельные движения (612). § 3. Условия автомодельности
движения (615). § 4. Два типа автомодельных решений (616).
2. Схождение к центру сферической ударной волны и захлопывание пузырьков
в жидкости .
§ 5. Постановка задачи о сходящейся ударной волне (618). § 6. Основные
уравнения (619). § 7. Исследование уравнений (621). § 8. Результаты реше­
ния (625). § 9. Захлопывание пузырьков. Задача Рэлея (628). § 10. Захло­
пывание пузырьков. Учет сжимаемости и вязкости (630).
3. Выход ударной волны на поверхность звезды
§ 11. Распространение ударной волны при степенном законе уменьшения
плотности (632). § 12. К вопросу о вспышках сверхновых звезд и проис­
хождении космических лучей (636).
610
618
632
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Движение газа под действием кратковременного удара
. -
§ 13. Постановка задачи и общий характер движения (639). § 14. Автомо­
дельное решение и закон сохранения энергии и импульса (641). § 1 5 . Ре­
шение уравнений (644). § 16. Ограничение показателя автомодельности за­
конами сохранения импульса и энергии (648). § 17. Выход неавтомодельно­
го движения на предельный режим и «бесконечность» энергии в автомо­
дельном решении (649). § 18. Сосредоточенный удар по поверхности газа
(взрыв на поверхности) (653). § 19. Результаты упрощенного рассмотрения
автомодельного движения при сосредоточенном и нитевом ударах (655).
§ 20. Удар при падении очень быстрого метеорита на поверхность планеты
(657). § 21. Сильный взрыв в неограниченной пористой среде (659).
5. Распространение ударных волн в неоднородной атмосфере с экспоненциаль­
ным распределением плотности
§ 22. Сильный точечный взрыв (661). § 23. Автомодельное движение ударной
волны в сторону возрастания плотности (663). § 24. Приложение автомо­
дельного решения к взрыву (667). § 25. Автомодельное движение ударной
волны в сторону уменьшения плотности. Приложение к взрыву (668).
Приложение
а
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Общая структура книги и большая часть текста во втором издании
оставлены без изменений. Вместе с тем некоторые разделы подверглись
существенной переработке и добавлено значительное количество нового
материала. В гл. V включен раздел, посвященный процессам пробоя
(бурной ионизации) и нагревания газов под действием сфокусированного
лазерного луча. Это — одно из интереснейших явлений в сфере взаимо­
действия интенсивного светового потока с веществом. Оно было обнару­
жено на опыте несколько лет назад, вскоре после создания лазеров,
дающих огромные импульсные мощности в десятки мегаватт и выше,
и сразу же привлекло к себе внимание многих физиков (в том числе и авто­
ров книги, которые опубликовали работы по теории явления).
В связи с вопросами ионизации газа под действием лазерного излу­
чения в гл. V добавлены параграфы, в которых рассматриваются излуче­
ние и поглощение света свободными электронами при столкновениях
с нейтральными атомами. Живейший интерес, который сейчас проявляется
к лазерам, побудил нас написать специальный параграф (в гл. II),
посвященный полуклассической трактовке индуцированного испускания
и лазерного эффекта.
Большим изменениям подвергся раздел 3 гл. VI, в котором рассма­
триваются вопросы ионизации, рекомбинации, электронного возбуждения.
Этот раздел по существу написан заново и сильно расширен с учетом
современных взглядов, согласно которым в этих процессах большую
роль играют ступенчатая ионизация атомов (сначала возбуждение, потом
ионизация) и захват электрона при тройных столкновениях на верхние
уровни атомов с последующей дезактивацией возбужденных атомов за счет
электронных ударов и радиационных переходов. Подробнее рассмотрена
ионизация воздуха. Изменилось и изложение близких вопросов иониза­
ции газа в ударной волне (в гл. VII).
Заново написаны параграфы гл. VIII, касающиеся кинетики изме­
нения степени ионизации и «закалки» при разлете ионизованного газа
в пустоту. Этот вопрос был недавно пересмотрен с учетом вышеиз­
ложенного.
В гл. XII на основе материала первого издания и новых результатов
выделен специальный раздел о распространении удар'ных волн в неод­
нородной атмосфере с экспоненциальным распределением плотности.
Добавлено Приложение, где собраны некоторые константы, соотношения
между атомными постоянными, соотношения между единицами и формулы,
часто встречающиеся при практической работе по тематике книги.
Библиография пополнена ссылками на работы последних лет.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Здесь упомянуты лишь основные, но далеко не все изменения и допол­
нения; разумеется, были также исправлены ошибки и опечатки, заме­
ченные в первом издании.
Разделы физики и механики, затронутые в книге, развиваются исклю­
чительно быстро, причем открываются все новые и новые объекты их
приложений (пример тому — явление пробоя и нагревания газов в фокусе
лазерного луча).
Одним из свидетельств интереса, который проявляется к этим обла­
стям науки, служит то, что сразу же после выхода книги (в первом изда­
нии) ее начало переводить на английский язык американское издатель­
ство. Мы надеемся, что второе, переработанное и дополненное издание
окажется полезным как специалистам, работающим в областях науки
и техники, близких к профилю книги, так и тем, кто вступает в эти
области. Мы благодарны нашим коллегам, указавшим на неточности
и опечатки в первом издании книги.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Проблемы современной техники потребовали от науки проникнове­
ния в область «высоких параметров» состояния вещества: больших кон­
центраций энергии, высоких температур и давлений, больших скоростей.
На практике такие условия осуществляются в сильных ударных волнах,
при взрывах, при очень быстрых сверхзвуковых движениях тел в атмо­
сфере, в мощных электрических разрядах и т. д.
При высоких температурах в газах протекают разнообразные физи­
ческие и физико-химические процессы: возбуждение молекулярных коле­
баний, диссоциация, химические реакции, ионизация, излучение света.
Эти процессы влияют на термодинамические свойства газов, а при доста­
точно быстрых движениях и достаточно быстрых изменениях состояния
вещества на движение оказывает влияние и кинетика указанных про­
цессов. Особенно важную роль при очень высоких температурах играют
процессы, связанные с испусканием и поглощением излучения, и лучистый
теплообмен. Перечисленные выше процессы часто представляют интерес
и не только с точки зрения их энергетического влияния на движение
газа: они вызывают изменения состава газа, его электрических свойств,
приводят к свечению газа и возникновению многих оптических эффектов
и т. д. Изучению всех этих вопросов, всему тому, что составляет содержа­
ние вновь возникшей ветви науки —«физической газодинамики», и посвя­
щена значительная часть книги.
Большой научный и практический интерес представляет изучение
сильных ударных волн в твердых телах. Недавние достижения, позволив­
шие при помощи ударных волн сжать твердые тела до миллионов атмосфер,
открыли новые пути исследования состояния твердого вещества при сверх­
высоких давлениях. Этим вопросам также уделено в книге большое
внимание.
В описываемой области тесно переплетаются многие разделы науки:
газовая динамика, теория ударных волн, термодинамика и статистиче­
ская физика, молекулярная физика, физическая и химическая кине­
тики, физическая химия, спектроскопия, теория излучения, элементы
астрофизики, физика твердого тела и др. Многие из рассматриваемых
здесь физических явлений и процессов имеют различный характер и никак
не связаны между собой. Следствием такой разнородности материала
явилось отсутствие цельности в содержании книги. Некоторые главы
имеют самостоятельный характер, относятся к совершенно различным
областям физики или механики, и не все главы связаны между собой.
Поэтому читателю, интересующемуся тем или иным вопросом, доста­
точно познакомиться только с соответствующими главами.
При рассмотрении самых различных вопросов, даже математиче­
ского характера, мы стремились прежде всего разъяснить физическую
сущность явлений при помощи простейших математических средств,
12
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ
ИЗДАНИЮ
широко пользуясь оценками и полукачественным анализом. Вместе
с тем мы стремились помочь тем физикам, механикам и инженерам, кото­
рые работают в соответствующих областях прикладной физики и техники,
и дать им практические средства для самостоятельного анализа сложных
и многообразных физических явлений.
С этой целью рассмотрение большинства явлений доведено до числен­
ных результатов, формулы для расчета и оценок различных величин запи­
саны в удобной для практической работы форме, приводится много полез­
ных экспериментальных данных и сведений справочного характера и т. д.
Книга имеет теоретический характер, и описание экспериментальных
установок и методов сведено к минимуму. Однако изложению результатов
эксперимента и сопоставлению их с результатами теоретических расчетов
и оценок уделяется должное внимание.
Периодическая литература по «физической газодинамике» огромна.
Однако, насколько нам известно, ни в нашей, ни в зарубежной лите­
ратуре еще не делалось попыток систематизировать, обобщить и изложить
с единой точки зрения в одной книге материал, относящийся к этой новой
области науки. По-видимому, книга представляет собой первый опыт
в этом направлении.
Книга была написана в течение 1960—1961 гг., чем определяется
основной уровень использованной литературы. Однако в разделы, касаю­
щиеся вопросов, представления по которым совершенствуются особенно
быстрыми темпами, позднее были внесены краткие дополнения и ссыл­
ки на новейшую литературу. Это относится в основном к главам V,
VI, VII.
Многообразие явлений и обширность материала заставили нас огра­
ничиться рассмотрением далеко не всех вопросов, которые имеют отноше­
ние к изучаемой области. Мы не рассматриваем математической стороны
гидродинамики, такой проблемы, как обтекание тел сверхзвуковым пото­
ком, почти не затрагиваем электромагнитных явлений, совершенно не
касаемся вопросов термоядерного синтеза, поведения плазмы в магнитном
поле, всего, что относится к магнитной гидро- и газодинамике, вопросов го­
рения и детонации и т. п. По всем этим разделам уже имеется немало книг.
Выбор материала книги в известной степени субъективен. Значитель­
ное место уделяется рассмотрению явлений, которые авторы исследовали
в своих собственных работах. Так, на оригинальных работах почти пол­
ностью основаны гл. VIII и IX, в большой степени — VII, X, XII, частич­
но — гл. XI. Гл. I представляет собой результат коренной переработки
ранней книги одного из авторов «Теория ударных волн и введение
в газодинамику», которая была издана в 1946 г. в Издательстве АН СССР.
Нам хотелось бы выразить особую признательность А. С. Компанейцу,
которому принадлежит разработка ряда вопросов, затрагиваемых в книге,
за многие полезные обсуждения и замечания, сделанные при чтении
рукописи. Мы благодарны Л. В. Альтшулеру и С. Б. Кормеру, на работах
которых в значительной степени основана гл. XI книги, за замечания,
сделанные при чтении рукописи этой главы. Мы благодарны также
М. А. Ельяшевичу, который внимательно прочел рукопись и сделал
ценные замечания.
ГЛАВА
I
ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОДИНАМИКИ И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
УДАРНЫХ ВОЛН
1. НЕПРЕРЫВНОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕВЯЗКОГО
И НЕТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА
§ 1. Уравнения газовой динамики
Для значительного сжатия жидкостей (и твердых тел) нужны давле­
ния в сотни тысяч атмосфер и выше. Поэтому в обычных условиях жидкость
можно рассматривать как несжимаемую среду. Скорости течения жидкости
при малых изменениях плотности гораздо меньше скорости звука, кото­
рая является масштабом скорости, характеризующим сплошную среду.
При небольших изменениях плотности и движениях, медленных по срав­
нению со скоростью звука, газ также можно считать несжимаемым и опи­
сывать его движение при помощи гидродинамики несжимаемой жидкости.
Однако заметные изменения плотности и скорости течения, сравни­
мые со скоростью звука, в газах, в отличие от жидкостей, достигаются
сравнительно легко: при перепадах давления порядка величины самого
давления, т. е. при Ар ~ 1 атм, если начальное давление газа атмос­
ферное. В таких условиях необходимо учитывать сжимаемость вещества.
Уравнения газовой динамики тем и отличаются от уравнений гидродина­
мики несжимаемой жидкости, что в них учтена возможность больших
изменений плотности веществ.
Состояние движущегося газа с известными термодинамическими свой­
ствами определяется заданием скорости, плотности и давления, как функ­
ций координат и времени. Для нахождения этих функций служит система
уравнений газодинамики, которая представляет собой выраженные в диф­
ференциальной форме общие законы сохранения массы, импульса и энергии
вещества.
Выпишем эти уравнения без вывода, который можно найти, напри­
мер, в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1]. Будем пренебрегать дей­
ствием массовых сил (силы тяжести), а также вязкостью и теплопроводно­
стью вещества *). Обозначим через dldt частную производную по времени,
относящуюся к данной точке пространства, локальную производную,
а через dldt — субстанциональную производную, характеризующую изме­
нение во времени какой-либо величины, связанной с данной движущейся
частицей вещества. Если и — вектор скорости частицы с компонентами
*) Уравнения газодинамики с учетом вязкости и теплопроводности будут рас­
смотрены ниже, в § 20.
14
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
и , и , u или щ, где i = 1, 2, 3, то
х
у
>
•
z
г
Первое уравнение •— уравнение непрерывности — свидетельствуе\
о сохранении массы вещества, т. е. о том, что изменение плотности Q.
в данном элементе объема происходит за счет втекания (или вытекания)
вещества в этот элемент:
-|^ + divQM=0.
(1.2)
С помощью определения (1.1) уравнение непрерывности можно запи­
сать в форме
- ^ + Qdivw=0.
(1.3)
В частном случае несжимаемой жидкости, когда Q = const, уравнение
непрерывности упрощается:
divw = 0.
(1.4)
Второе уравнение выражает закон Ньютона и не отличается от урав­
нения движения несжимаемой жидкости (р — давление):
Q^=-VP
.
(1.5)
или, в форме уравнения Эйлера,
^+(^V)M=-|V/7.
(1.6)
Как легко проверить путем непосредственного вычисления, уравне­
ние движения вместе с уравнением непрерывности эквивалентно закону
сохранения импульса, записанному в форме, аналогичной уравнению (1.2),
4 7
1Г^'=—to?'
<')
где II — тензор плотности потока импульса
n *=QUiU + p8 .
(1.8)
lk
ik
h
ih
Уравнение (1.7) выражает тот факт, что изменение i-й компоненты
импульса в данной точке пространства связано с вытеканием (втеканием)
импульса вместе с веществом (первое слагаемое в (1.8)) и работой сил
давления (второе слагаемое) *).
Третье уравнение является существенно новым по сравнению с гид­
родинамикой несжимаемой жидкости и эквивалентно первому закону
термодинамики —закону сохранения энергии. Его можно прочитать так:
изменение удельной внутренней энергии е данной частицы вещества
происходит за счет работы сжатия! которую производит над нею окру­
жающая среда, а также вследствие выделения энергии от посторонних
источников:
§ + * £ = <?•
9
<'->
*) В правой части формулы (1.7) производится суммирование по дважды встре­
чающемуся индексу к (&=1, 2, 3); б^д = 1 при £ = & и 6jft=0 при i Ф к.
§ 1J
УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ j
15
Здесь V = 1/Q — удельный объем, a Q — энерговыделение в 1 сек на 1 г
вещества от внешних источников (Q может быть и отрицательным, если
имеются немеханические потери энергии, например на излучение).
С помощью уравнений непрерывности и движения уравнение энер­
гии также можно привести к форме, подобной (1.2), (1.7):
- ! ( Q e + ^ ) = -div(Qw( + ±L)+p ]+ G.
e
M
' (1.10)
Q
Физический смысл этого уравнения состоит в том, что изменение
полной энергии единицы объема в данной точке пространства происходит
за счет вытекания (втекания) энергии при движении вещества, работы
сил давления и энерговыделения от внешних источников.
Уравнения непрерывности, движения и энергии образуют систему
пяти уравнений (уравнение движения векторное и эквивалентно трем
координатным) относительно пяти неизвестных функций координат и вре­
мени: Q, u , u , u , p. Внешние источники энергии Q считаются заданными,
а внутреннюю энергию 8 можно выразить через плотность и давление,
поскольку термодинамические свойства вещества предполагаются извест­
ными: е = е (р, Q).
Если энергия, как это часто бывает, известна не как функция давле­
ния и плотности, а как функция температуры Т и плотности или темпе­
ратуры и давления, то к системе следует присоединить уравнение состоя­
ния вещества р = / (Г, Q). Уравнение состояния идеального газа имеет вид
pV=AT,
p = AqT,
(1.11)
x
y
z
где А — газовая постоянная, рассчитанная на 1 г *).
Уравнение энергии (1.9) имеет общее значение и справедливо даже
тогда, когда вещество не находится в термодинамическом равновесии.
В том частном и практически важнейшем случае, когда вещество термоди­
намически равновесно, его можно записать в иной форме с помощью
второго закона термодинамики
TdS = dz + pdV,
(1.12)
где S — удельная энтропия. В отсутствие внешних источников тепла
третье уравнение газодинамики эквивалентно уравнению постоянства
энтропии частицы, т. е. условию адиабатичности движения
4г-°-
<
1 Л З
)
В идеальном газе с постоянной теплоемкостью энтропия особенно
просто выражается через давление и плотность (удельный объем)
S = c In рУУ + const,
(1.14)
где у — показатель адиабаты, равный отношению удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме, у = c /c = 1 +
+ A/c . В этом случае уравнение адиабатичности (1.13) (или энергии)
можно непосредственно записать в форме дифференциального уравнения,
связывающего давление и плотность (давление и объем),
v
p
v
v
1 dp .
1 dV
r,
,. . _.
1 Л 5
7Ж + УТ^Г = °< )
К системе дифференциальных уравнений газодинамики добавляются
соответствующие начальные и граничные условия.
*) А = Л/ц, где R — универсальная газовая постоянная, a ft — молекуляр­
ный вес.
16
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
§ 2. Лагранжевы координаты
Уравнения, в которых газодинамические величины рассматриваются
как функции пространственных координат и времени, называют уравне­
ниями в эйлеровой форме или уравнениями в эйлеровых координатах.
В случае одномерных движений, т. е. плоских, цилиндрически и сфе­
рически-симметричных, часто пользуются другими, лагранжевыми коор­
динатами. В отличие от эйлеровой, лагранжева координата связана
не с определенной точкой пространства, а с определенной частицей веще­
ства. Газодинамические величины, выраженные как функции лагранжевых
координат, характеризуют изменения плотности, давления, скорости каж­
дой частицы вещества с течением времени. Лагранжевы координаты осо­
бенно удобны при рассмотрении внутренних процессов, протекающих
в веществе (не выходящих за рамки данной частицы) скажем, химиче­
ской реакции, ход которой с течением времени зависит от изменения тем­
пературы и плотности частицы. Введение лагранжевых координат в ряде
случаев позволяет также более коротким и легким путем находить точные
решения уравнений газодинамики или делает более удобным численное
интегрирование последних.
Производная по времени в лагранжевых координатах эквивалентна
просто субстанциональной производной dldt. Частицу можно характеризо­
вать массой вещества, которое отделяет ее от какой-то другой, фиксиро­
ванной частицы, или ее координатой в начальный момент времени.
Особенно просто введение лагранжевых координат в плоском случае,
когда движение зависит только от одной декартовой координаты х. Обо­
значим текущую эйлерову координату рассматриваемой частицы через х,
а координату какой-то фиксированной частицы — через x (в качестве
фиксированной может быть, например, выбрана частица около твердой
стенки или около границы газа с пустотой, если таковые имеются в задаче).
Тогда масса столба единичного сечения между рассматриваемой частицей
и фиксированной равна
t
т = \ Qdx,
(1.16)
а приращение массы при переходе от частицы к соседней
dm = qdx.
(1.17)
Величину т можно выбрать в качестве лагранжевой координаты.
Если в начальный момент, как это часто бывает, газ покоится и плот­
ность его постоянна, Q (Х, 0) = Q , TO В качестве лагранжевой удобно
взять начальную координату частицы, отсчитываемую от точки х^\ обо­
значим ее через а. Тогда
0
X
a=\-^-dx,
da = -^-dx.
J Qo
(1.18)
Qo
'
Уравнения плоского движения газа в лагранжевых координатах
приобретают простую форму. Уравнение непрерывности, записанное
относительно удельного объема V = 1/Q И единственной, х-&, компоненты
скорости и, есть
8V
ди
=
ж ш
1 8V
и л и
ди
v^-w^w
,.
(
1 Л 9
.
п ч
>
§ 2]
ЛАГРАНЖЕВЫ
17
КООРДИНАТЫ
Здесь, как и в последующих уравнениях, производная по времени пред­
ставляет собой субстанциональную производную dldt, но ее лучше запи­
сать в виде частной производной dldt, чтобы подчеркнуть, что она берется
при т и а = const, т. е. для заданной частицы с определенной лагранжевой координатой т или а. Уравнение движения в лагранжевых коорди­
натах имеет вид
ди
др
ди
т
,
др
,, г,
АЧ
Что же касается уравнения энергии, записанного в форме (1.9) или в форме
условия адиабатичности (1.13) (при отсутствии внешних источников тепла
и диссипативных процессов — вязкости и теплопроводности), то они
сохраняют свою форму; следует лишь заменить обозначение dldt на dldt.
В идеальном газе с постоянной теплоемкостью условие адиабатичности
(1.13) дает
y
pV = f[S(m)],
(1.21)
где функция / зависит только от энтропии данной частицы т. В так назы­
ваемом изэнтропическом движении, когда энтропии всех частиц одинаковы
и не меняются со временем, / = const, причем уравнение pV = const спра­
ведливо как в лагранжевых, так и в эйлеровых координатах.
Существенно, что в плоском случае в уравнение не входит в явном
виде эйлерова координата х. После того как лагранжевы уравнения
решены и найдена функция V (т, t), к зависимости газодинамических
величин от эйлеровой координаты можно перейти с помощью квадратуры,
интегрируя уравнение (1.17),
y
m
dx = V(m, t)dm, x(m, t)=[V(m, tydm + x^t).
(1.22)
о
В цилиндрическом и сферическом случаях уравнения газодинамики
в лагранжевых координатах несколько более сложны, чем в плоском,
так как теперь в уравнения в явном виде входит эйлерова координата
и в систему уравнений включается дополнительное уравнение, связываю­
щее лагранжеву и эйлерову координаты. Например, в сферическом случае
лагранжеву координату можно определить как массу, заключенную
внутри сферического объема около центра симметрии:
г
2
т= \ 4яг е^г,
о
2
dm = Anr Qdr.
(1.23)
Если в начальный момент плотность газа была постоянной, можно
в качестве лагранжевой координаты взять начальный радиус г «частицы»,
рассматриваемой как элементарный сферический слой:
0
г
4 я г
§
Qo
= С
\ 4/ „я, 2г „V^,
r
2
г
о
^ _
dr
=^ Q
- f dr.
(1.24)
0
«)
УО
Уравнение непрерывности в сферических лагранжевых координатах есть
9V
д , „
1 dV 1 д
.. „_.
-^г = 1г-4яг ц или -jr- -зг = — -д— г u.
(1.25)
2
2
z
г
2
dt
dm
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
V
0
dt
v
Щ dr
0
'
18
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
Уравнение движения
ди
,
, др
-7гг = —Ыг\-~
dt
'dm
2
ди
1 г др
ИЛИ - д - = —
z-jr- •
dt
Q To " 0
,.
.
(1-26)
п п
r
0
Уравнения энергии или адиабатичности остаются такими же, как
и в плоском случае.
В качестве дополнительного уравнения в систему включается диффе­
ренциальное (или интегральное) соотношение (1.23) или (1.24), связываю­
щее т ж г или г и г.
Уравнения для цилиндрического случая составляются вполне анало­
гично сферическому.
Следует отметить, что в двумерных и трехмерных течениях переход
к лагранжевым координатам, как правило, невыгоден, так как уравнения
при этом сильно усложняются.
0
§ 3. Звуковые волны
Скорость звука входит в уравнения газовой динамики, как скорость
распространения малых возмущений. В предельном случае, когда изме­
нения плотности AQ И давления ар при движении вещества очень малы
по сравнению со средними значениями плотности и давления Q И р ,
а скорости движения малы по сравнению со скоростью звука с, уравнения
газовой динамики превращаются в уравнения акустики и описывают
распространение звуковых волн.
Запишем плотность и давление в виде Q = Qo + ^Q> Р Ро + Ар
и будем рассматривать величины AQ, Ар, а также скорость и как малые.
Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем эйле­
ровы уравнения непрерывности и движения для плоского случая. Урав­
нение непрерывности дает
0
0
=
(1
-вг=-в>ж-
2
- '>
Уравнение движения приобретает вид
ди
др _
(др
\
dAQ
., „„
При последнем преобразовании принято во внимание, что движение
в звуковой волне является адиабатическим. Поэтому малое изменение
давления связано с малым изменением плотности через адиабатическую
производную: Ар = (dp/dQ) AQ. Эта производная представляет собой,
как мы сейчас увидим, квадрат скорости звука
s
c2
1 29
= (f)s
(- )
и соответствует невозмущенному состоянию вещества.
Дифференцируя первое из написанных уравнений по времени, а вто­
рое по координате, исключим смешанную производную d uldt дх. Полу­
чим волновое уравнение для изменения плотности
2
Такому же уравнению удовлетворяет и пропорциональная AQ величина
изменения давления Ар = C AQ, а также скорость движения и и все
2
5 3]
19
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
другие параметры вешества, например, температура *). Волновое уравнение
типа (1.30) допускает две группы решений:
AQ = AQ(:T — ct),
Ap = Ap(x — ct),
u=u(x — ct)
(1.31)
AQ = AQ (x + ct),
Ap = Ap(x + ct),
u = u(x + ct)
(1.32)
и
(под с подразумеваем положительный корень с— -\-Y(dpldQ)s) •
Первая группа описывает возмущение, распространяющееся в сто­
рону положительной оси х, а вторая — в противоположную сторону.
Действительно, в первом случае, например, заданное значение плотности
соответствует определенному значению аргумента x — ct, т. е. с течением
времени бежит в сторону положительных х со скоростью с. Таким обра­
зом, с есть скорость распространения звуковых волн.
Замечая, что ди (х Я- с()1дх — zp (1/с) ди(xzp ct)ldt, и принимая во
внимание, что в невозмущенном газе перед волной и — О, AQ = 0 (CM.
сноску), найдем с помощью уравнения (1.27) связь между массовой ско­
ростью газа и и изменениями плотности или давления:
B
-=±-i-A
Q = a
±|E
f
Ар=
2
С
А =±
6
е о С
«.
(1.33)
Верхний знак относится к волне, бегущей в сторону положитель­
ных х, а нижний — в сторону отрицательных.
В обоих случаях массовая скорость направлена в сторону распро­
странения волны там, где вещество сжато, и в противоположную сторону
там, где оно разрежено.
Общее решение волновых уравнений для AQ и и складывается из
двух частных, соответствующих вЪлнам, бегущим в положительном
и отрицательном направлениях оси х. Согласно (1.31), (1.32), (1.33)
решения для плотности и скорости можно записать в следующем виде:
A<?=-?-/i(*--c*)+-T-M* + <*),
(1-34)
» = / i ( * —с*) —/ (а: + «),
(1.35)
2
где / и / — произвольные функции своих аргументов, которые опреде­
ляются вачальными распределениями плотности и скорости:
t
2
/ = i-[-^AQ(z, 0)-и(х, 0)].
2
Например, если в начальный момент имеется прямоугольное возму­
щение плотности, а газ везде неподвижен, то вправо и влево побегут
прямоугольные возмущения, как показано на рис. 1.1.
*) Чтобы получить волновое уравнение для скорости, продифференцируем
уравнение (1.30) по времени и воспользуемся уравнениями (1.27), (1.28):
ffl*A
dt* *
g
я
=С
2
i
i
2
2
эзд _
dx*dt ~~
8
е
J_j^—_
° дх д& ~
2
С
Q o
д
2
д"
дх дх* '
откуда d u/dt' =c d u/dx -]-f(t).
Замечая, что перед волной в невозмущенном веще­
стве и = 0, найдем, что / ( i ) = 0 .
2*
20
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Если в начальный момент распределения плотности и скорости имели
вид, изображенный на рис. 1.2, причем и = — До, так что / = 0, то
Оо
прямоугольные импульсы побегут только в одну сторону. (Такое воз­
мущение может быть создано поршнем, который в начальный момент
начал вдвигаться в покоящийся газ с постоянной скоростью и, а через
некоторое время «мгновенно» остановился. Если длина прямоугольного
импульса равна L, то, очевидно, время действия поршня t\ = Lie.)
Особую важность для акустики представляют монохроматические
звуковые волны, в которых все величины являются периодическими
функциями времени типа
2
/ = 4 cos Г— х —
at),
t=0 или, в комплексной форме,
/ = 4ехр [ — ш (^—7")] •
v = со/2л есть частота звука, а X =
= c/v — длина волны. Всякое воз­
мущение можно разложить в интег­
рал Фурье, т. е. представить в виде
совокупности
монохроматических
волн с различными частотами.
_г^_
X
и
F=l
Lr=
1
h
JB
1— 1 _
X
и
1—
h
1,
X
1 —1
Рис. 1.1. Распространение
прямоугольного импульса
плотности и скорости по од­
ной координате в линейной
акустике.
Рис. 1.2.
Воспринимаемые человеческим ухом звуки имеют частоты v от 20 до
20 000 гц (колебаний в 1 сек) и длины волн, соответствующие скорости
звука в атмосферном воздухе с = 330 м/сек *), от 15 м до 1,5 см.
Для характеристики численных значений различных величин в зву­
ковой волне укажем, что для сильнейшего звука, в 10 раз более интен­
сивного **), чем оркестр фортиссимо, амплитуда изменения плотности
5
*) Показатель адиабаты воздуха при нормальных условиях
Y= 1,4; c = (dp/dQ) ^ = (yp /Q ) ^ = (yAT ) ^
1
1
0
y
0
1
0
(так как при S = const p ~ Q ).
**) Как будет показано ниже, энергия или интенсивность звука пропорциональна
квадрату амплитуды изменений давления или плотности. Громкость звука измеряется
в децибеллах, в логарифмической шкале. За нуль принимается средний порог чувстви­
тельности человеческого уха. Увеличение громкости на п децибел означает увеличение
анергии звука в Ю / раз. Увеличение громкости от шелеста листьев или шепота
(~ 10 дб) до оркестра фортиссимо (~ 80 дб) соответствует увеличению энергии звука
в 10 раз.
п
7
10
21
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
§ 3]
воздуха в волне составляет 0,4% от нормальной плотности; амплитуда
изменения давления — 0,56% от атмосферного; амплитуда скорости —
0,4%, от скорости звука, т. е. 1,3 м/сек. Амплитуда смещения частиц
воздуха порядка Ах « u/2nv = (и/с) (К/2п) л*6-10~ Д, (Ах ?к 0,036 см
для v = 500 гц).
Найдем энергию, связанную с малым возмущением, которое распро­
страняется по покоящемуся газу. Приращение удельной внутренней
энергии возмущенного вещества с точно­
стью до членов второго порядка малости
относительно AQ (или Ар, или и) есть:
•MAA/VWWWVV—
4
"-*<Ю,**+К$Х<*г.
Ро
В силу адиабатичности движения про- Рис. 1.3. Распределение плотноизводные берутся при постоянной энтрости в волновом пакете.
пии. Их можно вычислить с помощью
термодинамического соотношения: йг = Т dS —p dV = (p/g ) dg. Получим
2
2
e - e = |fAQ + ^ ( A Q ) * - ^ - ( A Q ) .
0
а
Приращение внутренней энергии в 1 см с той же точностью равно
бе — Q e = (Q,, + AQ) (e — е ) + е Ад =
0
0
0
0
где w = e -\-p/Q — удельная энтальпия.
Плотность внутренней энергии, связанной с возмущением, в пер­
вом приближении пропорциональна AQ. Плотность кинетической энер­
гии QU /2 « Q U / 2 есть величина второго порядка малости. Из соотно­
шения (1.33), справедливого для бегущей плоской волны, видно, что член
второго порядка в плотности внутренней энергии и кинетическая энер­
гия в точности равны друг другу, так что полная плотность энергии возму­
щения есть
Е = W AQ + ~ (AQ) + Sf! = M;„AQ + Qou\
(1.36)
2
2
0
2
0
Член первого порядка малости в энергии связан с изменением объема
всего газа, которое произошло в результате возмущения. Если возмуще­
ние было создано таким образом,' что объем газа в целом не изменился,
то энергия возмущения всего газа есть величина второго порядка по AQ,
так как при интегрировании по объему член, пропорциональный AQ,
исчезает.
Таково, например, положение в волновом пакете, который распро­
страняется по газу, занимающему бесконечное пространство, причем
на бесконечности газ не возмущен (рис. 1.3). Изменения плотности в обла­
стях сжатия с точностью до членов второго порядка компенсируются
изменениями в областях разрежения.
Таким образом, энергия звука есть величина второго порядка малости,
пропорциональная квадрату амплитуды *):
.
Язв = Qou .
(1.37)
*) Выражение (1.37) следует усреднить по времени или по пространству:
E — Qo (u~ Д<?~ Ар = 0, тогда как i^ ~ (Д<>) ~ (Д/>)2 >0).
2
uZ
3B
2
22
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
Если возмущение было создано таким образом, что объем газа при этом
изменился, то в энергии возмущения остается член, пропорциональный
первой степени AQ. Однако эта, основная, доля энергии, пропорциональная
AQ, может быть «возвращена газом об­
ратно», если источник возмущения воз­
вращается в свое исходное положение.
и=0 •л
Энергия, оставшаяся при этом в возму­
щенном газе, составит только величину
о Ро Р
второго порядка малости. Поясним это
положение на простом примере.
'Ро
t-t,
и-О
ut,
ct,
Пусть в начальный момент в поко­
ящийся газ начал вдвигаться поршень
X
Ро йр
постоянной скоростью и (гораздо
1 -*• и 11 .» "-•р t>t, сменьшей
скорости звука и < с). В момент
а=0
и-0
'
t поршень «мгновенно» останавливает­
ся. По газу побежит импульс сжатия
о
к-^-«;?Н
длиной (с — и) ti та ct энергия которо­
Рис. 1.4. Распространение импульса го равна работе, затраченной внешней
сжатия от поршня, который вдви­ силой, вдвигающей поршень, put =
нулся в газ.
= (р -)- Ар) uti та p uti (этот случай
был рассмотрен выше и иллюстрируется
рис. 1.4). Энергия в первом приближении пропорциональна «амплитуде»
волны и, AQ, Ар и времени сжатия (т. е. длине возмущения). Предоставим
теперь газу возможность вернуть поршень
на место, причем таким образом, что в мо­
Р'
мент ti скорость поршня и «мгновенно» ме­
t=0
и-0
няется на противоположную, (—и), а в
момент t = 2ti [поршень, возвратившись
в исходное положение, «мгновенно» оста­
р,+Ар
Ро
навливается. Возмущение будет теперь
* -'/
1
t-t,
иметь вид, изображенный на рис. 1.5, где
показаны состояния в моменты t = О, t , t
и t > t . Легко проверить непосредствен­
Р° Р
ным вычислением, что за второй период
1 Ро
t-t,
от tt до t газ совершает над поршнем ра­ \ Ро-Др J ^u
и=0
боту, в первом приближении в точности
-и -*равную работе, которую совершил пор­
шень над газом за первый период от нуля
Ро &Р
до t^ Длины положительной и отрица­
1 Ро
Ро-&р
тельной областей импульса в первом при­
и=0
ближении также одинаковы и равны
t = 0
+Л
+
i
t
u
t
0
0
2
1
1
t
2
2
+А
2
•'
л
+
Cti=C
(t
2
—
t ).
t
Рис. 1.5.
Распространение
им­
и разрежения от
Таким образом, если просуммиро­ пульсов сжатия
который сначала вдви­
вать энергии в сжатой и разреженной об­ поршня,
нулся в газ, а затем вернулся на
ластях импульса, то члены первого по­
место.
рядка сократятся. Если производить все
вычисления с учетом членов следующего
порядка*), то в энергии останется член второго. порядка, причем
плотность энергии возмущения выразится общей формулой (1.37).
*) В частности, длины импульсов сжатия и разрежения будут отличаться на
величину 2uti (при t — t = t ).
z
t
t
23
СФЕРИЧЕСКИЕ ЗВУКОВЫЕ
5 4]
§ 4. Сферические звуковые волны
В отсутствие поглощения (т. е. без учета вязкости и теплопровод­
ности; см. § 22) амплитуда и плотность энергии плоских волн не уменьша­
ются с течением времени. Например, импульсы, изображенные на рис. 1.4
и 1.5, уходят на «бесконечность», не именяя своей формы и амплитуды.
В сферической волне это уже не так. Линеаризируя уравнение непре­
рывности в сферически-симметричном случае, получим
ИГ-
ги
г2
дг -
Линеаризованное уравнение движения не отличается от (1.28):
2
. ди
dt ~~
с d&Q
Q dr
0
Отсюда, как и в плоском случае, получим волновое уравнение для AQ,
решение которого, описывающее волну, расходящуюся от центра, есть
Ао =
/ ( г
~
с г )
.
(1.38)
Если рассматривать короткие импульсы, длиной гораздо меньше /•,
то можно сказать, что форма импульса, задаваемая функцией / (г — ct),
не меняется, а амплитуда волны падает пропорционально 1/г. Это вполне
естественно. Предположим, что из центра бежит импульс конечной ши­
рины Дг. По мере распространения импульса масса вещества, вовлечен­
ного в движение, равная примерно о 4лт Дг, растет пропорционально г .
Звуковая энергия единицы объема пропорциональна (AQ) . Поскольку
энергия не меняется, т. е. (AQ)V = const, то амплитуда должна убывать
как AQ ~ 1/г.
Сферическая волна отличается от плоской еще в одном отношении.
Подставим решение (1.38) в уравнение движения:
2
2
0
2
2
ди
dt~
с2_ Г / ' (r—ct) _ f{r — ct) 1
Q I
Г
7-2
J '
0
и проинтегрируем полученное выражение по времени. Получим решение
для скорости:
с
и = —•
f(r-ct)
f(r — ct)
I
f(l)dl
-£-[д _5^>],
е
(1
.
39)
которое отличается от формулы для плоского случая (1.33) наличием
дополнительного члена. В плоской волне в области возмущения вещество
может быть только сжато, как это имеет место в случае, изображенном
на рис. 1.4. В сферической волне это невозможно: за областью сжатия
обязательно следует область разрежения.
В самом деле, за областью возмущения AQ и и обращаются в нуль.
В плоском случае в силу пропорциональности и ~ AQ ЭТО условие выпол­
няется автоматически, независимо от формы импульса. В сферической же
волне для этого необходимо, чтобы за областью возмущения ф (г — ct) = О,
т. е. чтобы был равен нулю интеграл по всей области возмущения
<p(r — ct)= J /(E)«£= 5 r& dr = 0.
Q
Отсюда видно, что AQ В сферической волне меняет знак, т. е. за
областью сжатия следует область разрежения.
24
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
Дополнительное количество вещества, заключенного в волне, равно
\ Дд>4яг dr. Но AQ ~ 1/V, поэтому дополнительная масса в волне сжатия
возрастает при расхождении волны от центра. Растущее в процессе распро­
странения количество сжатого вещества и вызывает появление следую­
щей за волной повышенной плотности волны пониженной плотности.
Изменение давления в сферической волне пропорционально изменению
плотности, как и в плоской. Скорость же, как видно из формулы (1.39),
не пропорциональна AQ ИЛИ Ар. В частно­
сти, скорость и изменение плотности ме­
няют знак в разных точках, так что в
волне, бегущей от центра, профили плот­
ности и скорости имеют вид, изображен­
ный на рис. 1.6.
а
§ 5. Характеристики
В § 3 было показано, что если в на­
чальный момент t в какой-либо точке х
Рис. 1.6. Распределение плотно­ неподвижного газа, плотность и давление
сти и скорости в сферической которого везде одинаковы, создать произ­
звуковой волне.
вольные малые возмущения скорости и
давления (или плотности *)), то от этой
точки в обе стороны со скоростью звука побегут две волны, несущие
возмущения. В волне, распространяющейся в сторону положительных
х, направо, малые изменения всех величин связаны между собою
соотношениями:
0
0
В волне, распространяющейся налево:
А
^=-|?=--^=-/ <*+^).
2
Произвольные возмущения Аи и Ар, возникшие в начальный момент,
всегда можно разложить на две составляющие: Аи = Д и + А и, Ар =
— Aip -f- A p, подчиненные указанным соотношениям, так что в общем
случае начальное возмущение распространяется в разные стороны в виде
двух волн.
Если начальные возмущения Аы, Ар не произвольны, а уже связаны
между собой одним из соотношений, то возмущение бежит в одну из
сторон (это соответствует обращению в нуль одной из функций, / или / ) .
Если газ не покоится, а движется как целое с постоянной скоростью и,
то картина не меняется, за тем лишь исключением, что теперь волны
сносятся потоком, так что скорости их распространения относительно
неподвижного наблюдателя становятся равными и -f- с (направо) и и — с
(«налево» ***)). В этом легко убедиться, если перейти в уравнениях
газодинамики к новой системе координат, движущейся вместе с газом
со скоростью и.
4
2
2
4
2
*) В силу изэнтропичности течения изменения плотности и давления не незави­
симы, а всегда связаны между собой термодинамическим соотношением Др = C AQ.
**) Мы пишем здесь Ди вместо « в целях единства обозначений.
***) Мы заключаем слово «налево» в кавычки: если « > с, то волна также бежит
направо, но, разумеется, медленнее, чем первая.
2
25-
ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 5]
Предположим теперь, что в произвольном плоском изэнтропическом
течении газа, описываемом функциями и (х, t), p (x, t), (или Q(X, t), см.
первую сноску на стр. 24), в момент t в точке х возникли произвольные
малые возмущения скорости и давления. Рассматривая небольшую область
около точки х и малые промежутки времени (небольшую окрестность
точки х , t на плоскости х, t), можно в первом приближении пренебречь.
изменениями невозмущенных функций и (х, t),
р (х, t), а следовательно, Q (X, t) и с (х, t) в этой
окрестности, и считать их постоянными, рав­
ными значениям в точке х , t . Вся описанная
выше картина распространения возмущений
переносится и на этот случай. Если возмуще­
ния Au (x , t ), Ар (х , t ) произвольны, то они
также распадаются на две составляющие,
одна из которых начнет распространяться
вправо со скоростью и -\-с , а другая «налево»
со скоростью щ — с , причем под и и с здесь
следует понимать локальные значения этих Рис. 1.7. Сетка двух семейств*
величин в точке х , t .
характеристик в изэнтропическом случае.
Поскольку и ж с меняются от точки к
точке, то на протяжении длительного проме­
жутка времени пути распространения возмущений на плоскости х, t,.
описываемые уравнениями dx/dt = u -f- с и dx/dt = u — с, будут искрив­
ляться. Эти линии на плоскости х, t, вдоль которых распростра­
няются малые возмущения, называются характеристиками. При плоском
изэнтропическом течении газа, как видим, суще­
ствуют два семейства характеристик, которыеописываются уравнениями
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
а
0
0
0
dx
dt
,
>
dx
dt
'
и называются соответственно С+- и ^ - х а р а к ­
теристиками.
Через каждую точку на плоскости х, t мож­
но провести две характеристики, принадлежа­
щие С+- и С"--семействам. В общем случае
Рис. 1.8. Сетка трех се­ характеристики криволинейны, как показано на
мейств характеристик в не­ рис. 1.7. В области постоянного течения, где
изэнтропическом случае.
и, р, с, Q постоянны в пространстве и во времени,
характеристики обоих семейств —прямые линии.
Если течение не изэнтропично, а только адиабатично, т. е. энтропии
различных частиц газа не меняются во времени, но отличаются друг
от друга, возможны и возмущения энтропии. В силу адиабатичности движез а
ния -JT- = 0, т. е. всякое возмущение энтропии, не сопровождающееся
возмущениями других величин (р, Q, и), остается локализованным в
частице и перемещается вместе с частицей вдоль линии тока. Линии
тока, следовательно, в случае неизэнтропического течения также являются
характеристиками. Они описываются уравнением dx/dt = и и назы­
ваются Со-характеристиками.
В неизэнтропическом течении через каждую точку х, t проходят три
характеристики и плоскость х, t покрывается сеткой трех семейств харак­
теристик С+, С, С (рис. 1.8).
0
26
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
До сих пор мы говорили о характеристиках как о линиях на пло­
скости х, t, вдоль которых распространяются малые возмущения. Однако
этим не исчерпывается значение характеристик.
Уравнения газовой динамики можно преобразовать к такому виду,
чтобы они содержали производные от газодинамических величин только
вдоль характеристик. Как будет показано в следующем параграфе,
в изэнтропическом течении вдоль характеристик переносятся не только
малые возмущения, Но и определенные комбинации газодинамических
величин.
Как известно, функцию двух переменных / (х, t) можно дифферен­
цировать по времени вдоль определенной кривой х= ф(t) на плоскости
х, t. Производная по времени от функции / (х, t) вдоль произвольной
кривой х = ф (t) определяется наклоном касательной к кривой в данной
точке dx/dt = ф' и равна
(
•
dt у
dt ~*~ дх
ф
dt
dt "+" дх ^ '
•С двумя частными случаями дифференцирования вдоль кривой мы уже
д .
-знакомы: это — частная производная по времени -^~ (вдоль кривой х =
u
= const, ф' = 0) и субстанциональная производная ~л7 — ~я7 + ~я~
(вдоль пути движения частицы или вдоль линии тока: dx/dt = q>' — и).
Преобразуем уравнения плоского адиабатического движения к такому
виду, чтобы они содержали производные от газодинамических величин
только вдоль характеристик. Для этого исключим из уравнения непре­
рывности
do
,
ди
„
производную от плотности, заменив ее на производную от давления.
Поскольку плотность термодинамически связана с давлением и энтро­
пией Q = Q(P S), a dS/dt = 0, имеем
dQ__f^\
^P_,f^Q_\
dS _ I dp
dt ~ \~dp Js dt V, dS ) dt 7* dt •
1
+
—
v
Подставляя это выражение в уравнение непрерывности и умножая урав­
нение на C/Q, найдем
1 Эр . и др_ ' ди_ __ „
QC dt
Qc dx ~*~ дх ~
ди
.
ди
1 др
„
•Сложим это уравнение с уравнением
движения
dt ~*~
дх ~*~ Q дх
Получим
Вычитая одно уравнение из другого, найдем аналогично
Г ди
, .
. ди "1
1
Г др
. .
. dp "1
л
Первое из этих уравнений содержит производные только вдоль ^ - х а ­
рактеристик, а второе — только вдоль ^.-характеристик. Замечая, что
§ Cj
ПЛОСКОЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ. ИНВАРИАНТЫ РИМАНА
27
уравнение адиабатичности — = 0 можно рассматривать как уравнение
вдоль Co-характеристик, запишем уравнения газодинамики в виде
du А
1
dp — 0 вдоль
QC
du
C:
+
r
dp — 0 вдоль CL:
r
QC
dS = 0
вдоль
С:
0
dx
= B-f-C,
"dt '
dx
= u — c,
~dt
dx
= u.
~dt '
(1.40)
(1.41;
(1.'J2>
В лагранжевых координатах уравнения характеристик приобретают
вид (см. (1.18))
Г •
d
a
— - Q
dt
о
г
•
d
a
—
dt
0
/.?
Qo
d a
Г •
—П
dt
Уравнения вдоль характеристик не отличаются от уравнений (1.40) — (1.42).
В сферически-симметричном течении уравнения характеристик
в эйлеровых координатах таковы же, как и в плоском случае (только
координату х следует заменить на радиус г). Уравнения же вдоль
характеристик С содержат дополнительные члены, зависящие от самих
•функций, но не от их производных
±
du±—dp=T~dt
вдоль С : -£ = и±с.
±
В ряде случаев уравнения газодинамики, записанные в характеристиче­
ской форме, для численного интегрирования удобнее, чем обычные.
§ 6. Плоское изэнтропическое течение. Инварианты Римана
В изэнтропическом течении энтропия, будучи постоянной в про­
странстве и во времени, вообще выпадает из уравнений. Все течение
описывается двумя функциями: скоростью и (х, t) и какой-нибудь одной
из термодинамических переменных: Q (ж, t), p(x, t) или с(х, V). Послед­
ние однозначно связаны между собою в каждой точке чисто термоди­
намическими соотношениями: Q = Q(P), c = c(jy) или P = P{Q), C = C(Q);
•с = dp/dQ.
Дифференциальные выражения du-\-dp/QC и du — dp/Qc теперь пред­
ставляют собой полные дифференциалы величин
2
J
QC
i
Q
J
которые называются инвариантами Римана*). С помощью термодинами­
ческих соотношений интегральные величины \ dp/Qc = \ с do/o в прин­
ципе можно выразить через одну из термодинамических переменных,
скажем, скорость звука с. Например, в идеальном газе с постоянной
теплоемкостью
р = const QY, С = Y const QV- i
2
*) При мизантропическом течении о и с зависят от двух переменных: р и S,
и выражения du ± dp/Qc уже не являются полными дифференциалами. Комбина­
ции (1.43) в этом случае не имеют определенного смысла.
28
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
J = ^±~r c
±
[ГЛ. I
(1.44>
i
Инварианты Римана определяются с точностью до произвольной
постоянной, которую в тех случаях, когда это удобно, можно вообще
опустить, к а к это сделано в формуле (1.44).
Уравнения (1.40), (1.41) свидетельствуют о том, что в изэнтропическом течении инварианты Римана постоянны вдоль характеристик
J
dJ = 0,
/+ = const вдоль С+: ~^-=u c;
dJ- = 0,
/ _ = const вдоль С-.
+
"|
r
(1.45>
—г- = и — с. 1
Это положение можно рассматривать как обобщение соотношений,
ведливых для случая распространения акустических волн по
с постоянными скоростью, плотностью и давлением. Последние
чаются из общих уравнений в качестве первого приближения.
положить м = и + Аи, р = р -\-Ар, то в первом приближении
0
спра­
газу
полу­
Если
0
/ ± = и + А и ± ^ ^ = Д а ± ^ - +const.
J Qoo
6o o
0
c
( 1 4
б>
c
Уравнения характеристик в первом приближении записываются в виде~ == н ± с , х = (м ± с ) t + const.
Таким образом, вдоль пути х = (и -f- c ) t -\- const сохраняется вели­
чина Дм -f- Ap/Q c , откуда видно, что она может быть представлена
в виде функции от константы в уравнении х — (и + с ) < +const:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
AM + - ^ - = 2 / [ 2 - > O + C )«].
1
0
Вдоль пути х = (щ—с ) t -f- const сохраняется величина
0
A M — - £ £ - = — 2 / [х — (во — с ) t].
2
0
Изменения скорости и давления представляются в виде суперпози­
ции двух волн / и / , бегущих в противоположных направлениях: Au =
= /i — / , Ap = Q co(/i + / ) , причем в каждой из них величины связаны
между собой у ж е известными нам соотношениями:
4
2
0
2
2
с
6о о
с
6о о
Инварианты Римана / + и /_ можно рассматривать к а к новые функ­
ции, описывающие движение газа, взамен старых переменных: скорости
газа и и одной из термодинамических величин, например, скорости
звука с. Они однозначно связаны с переменными и и с уравнениями (1.43).
Разрешая эти уравнения относительно и и с, можно вернуться от функ­
ций / + , /_ к функциям и и с, например, д л я идеального газа с посто­
янной теплоемкостью по формулам (1.44)
J- ; с = 3 L i (/+—/_).
ц = J+
" +к-~
т
r§ 6]
ПЛОСКОЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ. ИНВАРИАНТЫ РИМАНА
29
Рассматривая инварианты как функции независимых переменных
л и t, уравнения характеристик можно записать в форме
dx
(1.47)
С : %=F {J ,J-y,
-F-(f , / - ) ,
dt
" ~dt
+
+
+
+
где F и /"_ — известные функции, вид которых определяется только
•термодинамическими свойствами вещества.
В идеальном газе с постоянной теплоемкостью
Y + l j . 3-Yr .
3-Yr , V + 1 г
F
+
+
Как видно из уравнений (1.45), характеристики обладают свойством
переносить постоянные значения одного из инвариантов. Поскольку
вдоль определенной С -характеристики
J+ = const, изменение наклона характе­
ристики определяется изменением только
одной величины — инварианта / _ . Точно
так же вдоль С_-характеристики посто­
янно / _ и изменение наклона при пере­
ходе от одной точки плоскости х, t к дру­
гой определяется изменением инвари­
анта / .
Уравнения, записанные в характери­
стической форме, делают весьма наглядной
Q A(x,,0) M Bfj> 0)
причинную связь явлений в газовой дина­
мике. Рассмотрим какое-нибудь плоское
изэнтропическое течение газа в бесконеч­ Рис. 1.9. х, г-диаграмма, иллю­
ном пространстве. Пусть в начальный мо­ стрирующая область зависимости.
мент t — 0 заданы распределения газоди­
намических величин по координате х: и (х, 0), с (х, 0), или же, что
эквивалентно, заданы распределения инвариантов / (х, 0), / _ (х, 0).
На плоскости х, t (рис. 1.9) существует сетка С+- и С_-характеристик,
выходящих из различных точек оси х *). Значения газодинамических
величин в какой-нибудь точке D (x, t) (в координатной точке х в момент
времени t) определяются только значениями величин в начальных точ­
ках A (x 0) и В (х , 0):
+
+
2>
+
iy
2
J (x,
+
t) = J+(x
lt
0); /_(ж, *) = /_(ж , 0).
2
Например, для идеального газа с постоянной теплоемкостью, разрешив
эти уравнения относительно и и с, можно записать физические переменные
в точке D в явном виде:
(1.48)
где щ, с — значения в точке A (xi, 0), а и , с — значения в точке В (х , 0).
Нельзя, конечно, утверждать, что состояние газа в точке D зависит
от задания начальных условий только в двух начальных точках А ж В,
так как само положение точки D, как места, где пересекаются
4
2
2
') • Построить эту сетку можно после того как найдено решение задачи.
2
30
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
С - и С_-характеристики, выходящие из точек А и В, зависит от пути
этих характеристик. Эти пути определяются заданием начальных условий
на всем отрезке АВ оси х. Например, наклон С+-характеристики AD
в промежуточной точке N (см. рис. 1.9) определяется не только инвариан­
том / + (А), но и значением инварианта
/ _ (М), перенесенного в N из промежуточной
точки М отрезка АВ.
Но состояние газа в D полностью опре­
деляется заданием начальных условий на
отрезке АВ оси х и совершенно не зависит от
начальных значений величин вне этого отрез­
ка. Если, скажем, немного изменить началь­
ные значения в точке Q, то это никак не ска­
жется на состоянии газа в D просто потому,
что возмущение от этого изменения не­
успеет добежать в координатную точку х
Рис. 1.10. х, г-диаграмма,
иллюстрирующая область
к моменту t. Оно придет в эту координат­
влияния.
ную точку позднее (в точку Р вдоль ^ - х а р а ­
ктеристики QP).
Аналогично, начальное состояние газа на отрезке АВ оси х влияет
на состояние газа в последующие моменты времени только в тех точках,,
которые расположены внутри области, ограниченной С_-характеристикой
АР и С+-характеристикой BQ (рис. 1.10). Оно не влияет на состояниев М, так как «сигналы» от начальных условий на отрезке АВ не успеют
добежать до координатной точки х к моменту t .
Подчеркнем, что изложенные соображения о причинной связи
явлений имеют силу лишь при условии, что характеристики одного семей­
ства не пересекаются друг с другом. Например, если бы ^-характеристи­
ка из Q (см. рис. 1.9) пошла по пунктирному
пути QE, то состояние газа в Q повлияло бы
на состояние в D. Но в области непрерыв­
ного течения характеристики, принадлежа­
щие одному семейству, действительно никог­
да не пересекаются. Пересечение привело бы
к неоднозначности газодинамических вели­
А(х,0)
чин. В самом деле, в точке х, t пересечения
двух С -характеристик инварианты/+ имели Рис. 1.11. Выпрямление ха­
бы два различных значения, соответствующих рактеристик на малых участ­
ках.
той и другой характеристике. Между тем
каждой точке плоскости х, t принадлежит
только по одному значению / и / _ , которые связаны с единственными
значениями скорости газа и скорости звука в этой точке. Как мы увидим
ниже, пересечение характеристик одного семейства приводит к нару­
шению непрерывности течения и возникновению разрывов газодинами­
ческих величин, т. е. ударных волн.
Провести линии характеристик на всей плоскости х, t можно, толькозная решение газодинамической задачи. Если решение неизвестно, то
нельзя указать точно положение точки D на рис. 1.9, в которой пере­
секаются характеристики, выходящие из А и В.
Однако приближенно найти место пересечения можно, заменяя истин­
ные криволинейные пути AD и BD прямыми линиями, наклоны которых
отвечают начальным значениям щ, с и и , с в точках А ж В (или / (А)
J- (В)) (рис. 1.11). Выбрав точки А я В достаточно близко друг от друга
+
м
M
+
+
4
2
2
+
т
§ 7]
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
31
так, чтобы ошибка от замены истинных путей характеристик прямыми
линиями была небольшой, находим положение точки пересечения из
уравнений
х—x = (u -\-c )t,
x—x = {u — c )t.
i
i
i
2
2
2
Значения и и с в месте пересечения определяются формулами (1.48).
Такая операция, в сущности, представляет собой простейшую схему
численного интегрирования уравнений (1.45). Покрывая плоскость х, t
сеткой треугольников, аналогичных ADB, можно последовательно, шаг
за шагом, продвигать решение уравнений вперед по времени, исходя
из начальных условий и (х, 0), с (х, 0) или / (х, 0), / _ (х, 0).
+
§ 7. Плоское изэнтропическое течение газа
в ограниченном пространстве
Рассмотрим какое-нибудь плоское изэнтропическое течение газа
в ограниченном пространстве. Пусть газ занимает пространство между
двумя плоскими поверхностями — поршнями, которые движутся по
заданным законам x = гр (t), x =
= г|} (t), причем в начальный момент
t = 0 координаты поршней равны х
и х . В начальный момент задаются
распределения скорости и и термоди­
намической переменной с по коорди­
нате х на отрезке x <Cx<ix : и (х, 0),
с (х, 0) или же, что эквивалентно, за­
даются распределения инвариантов
/ (х, 0), / _ (х, 0).
Проведем на плоскости х, t сетку
характеристик и линии поршней
(рис. 1.12). Точки типа^, через кото­ Рис. 1.12. Схема характеристик для
рые проходят С - и С_-характери- плоского изэнтроппческого течения газа
между двумя поршнями.
стики, выходящие из точек, лежащих
внутри отрезка 0£) оси х, ничем
не отличаются от точек при движении газа в неограниченном простран­
стве. Как и там, в эти точки переносятся начальные значения инвариан­
тов / и / _ .
Рассмотрим точку, лежащую на линии поршня, для определенности,,
точку D у левого поршня.
В точку D из «прошлого» переносится только один инвариант / _ ;
он переносится вдоль С_-характеристики, выходящей из точки А началь­
ного отрезка 0>£) так, что / _ (D) = / _ (А). Второй инвариант / не­
приносится в D, так как в D не приходит С -характеристика (из «прош­
лого»). С -характеристика только выходит из D (в «будущее»), унося
с собою «образовавшееся» в этой точке значение инварианта / . Состоя­
ние газа в точке/) определяется значением привнесенного инварианта / _
и второй величиной — скоростью и, которая в силу граничного условия
совпадает с известной скоростью поршня в точке D: u\ (D). Эта пара
величин / _ (D) = / _ (А) и и = и\ (D) и заменяет теперь пару величин
/ + , J-, приходящих в точки газа, не соприкасающиеся с поршнями.
Второй инвариант /
составляется в D из величин / _ (D) и u (D):
J+ (D) = 2ui (D) — / _ (D) и уносится 6*4.-характеристикой. Напри­
мер, в точку Е приходит С_-характеристика, выходящая из точки В
t
4
2
2
10
20
i0
20
+
+
2
+
2
+
+
+
+
+
t
32
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
начального отрезка оси х и несущая инвариант / _ (В): / _ (Е) = J_(B).
^-характеристика приходит с линии поршня, из D, и приносит инва­
риант / + , равный / (D): J (Е) = J (D). Состояние газа в Е зависит
от / _ (В), щ (D) и / _ (А), т. е. от условий в точках А, В, D. Положение
точки Е зависит от условий на отрезках OiD, O^B.
Таким образом, при течении в ограниченном пространстве состояние
газа в какой-то точке может зависеть не только от начальных, но и от
граничных условий.
Вообще состояние в произвольной точке плоскости х, t определяется
заданием значений и и с или / , / _ на отрезке произвольной кривой,
отсекаемом С и С_-характеристиками, проходящими через рассматри­
ваемую точку. Например, состояние в Q определяется состоянием на
отрезке MN кривой SS (см. рис. 1.12).
Аналогично предыдущему, на правый поршень из «прошлого» вдоль
С -характеристик переносятся инварианты / , а С_-характеристики
сами начинаются из точек линии поршня и уносят в «будущее» инварианты
/ _ , которые составляются из привнесенных инвариантов / и значений
•скорости поршня и , с которыми совпадают скорости прилегающего
к поршню слоя газа.
Давление на поршне однозначно определяется привнесенным одним
инвариантом и скоростью поршня. Рассмотрим для примера точку D на
левом поршне. Пусть газ — идеальный с постоянной теплоемкостью.
Обозначим через и , с начальные скорости газа и звука в точке А, а через
u — скорость поршня в точке D. Имеем для скоростей газа и звука в D
г
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
2
А
А
iD
U
D
= U,
J- = U — — — • j C = * l l —
iD
D
D
A
—-jC ,
A
откуда
CD =
c + (u — u )
A
iD
A
^~
или через инвариант
c =
[a -J-(A)]^.
D
lD
Давление на поршне p связано со скоростью звука c чисто термо­
динамически, p = const -C V/(Y-0.
Изложенные соображения позволяют придать наглядный физический
смысл инвариантам Римана.
Поставим такой эксперимент. Внесем в определенный момент t в точку
х параллельную поверхности поршня плоскую пластинку. Пусть на
одной, левой, стороне пластинки имеется индикатор давления, реагирую­
щий на давление газа слева от пластинки.
К моменту t в х слева на индикатор приносится инвариант /
=
= и + \ dp/qc = и + w (р), где и и р — скорость и давление невозму­
щенного пластинкой газа (ю (р) — функция давления, зависящая только
от термодинамических свойств газа и его энтропии). В момент t газ тор­
мозится около пластинки и останавливается, поскольку пластинка покоит­
ся. Новое давление слева от пластинки, соответствующее остановившемуся
газу (и = 0), обозначим через р . Тогда J = u-{-w (р) = w (p ). Инди­
катор зарегистрирует давление отражения —p . Поскольку функция w
известна, шкалу индикатора можно проградуировать так, чтобы пока­
зание индикатора давало непосредственно величину инварианта /
D
D
2,
D
D
+
4
+
{
t
+
ПРОСТЫЕ
5 8]
33
ВОЛНЫ
Аналогично, индикатор давления, помещенный на правой стороне пла­
стинки, измерит инвариант / _ , приходящий справа.
Если расположить очень тонкую пластинку перпендикулярно к по­
верхностям поршней, параллельно скорости течения так, чтобы газ сво­
бодно обтекал пластинку, не меняя своей скорости, индикатор зарегистри­
рует давление невозмущенного потока р. Будучи проградунрованным
так, чтобы давать непосредственно величину w (p), индикатор измерит
комбинацию инвариантов
§ 8. Простые волны
Из формулы (1.46) для инвариантов Римана, относящейся к случаю
распространения по газу малых возмущений — акустических волн, видно,
что если волна распространяется только в одну сторону, то один из
инвариантов постоянен в пространстве и во времени. Так, если волна
бежит направо и Аи (х, t) = Ар (х, t)/Q c = / [х — (и -f- с ) t], то
постоянен инвариант / _ :
0
0
4
0
0
/_ = Аи
— + const = const.
Qoo
Если же волна бежит налево, то постоянен инвариант / .
Покажем, что возможность существования волн, бегущих в одну
сторону, не ограничивается предположением о малости амплитуды,
причем и в общем случае бегущей волны остается постоянным один из
инвариантов Римана. Прежде всего укажем, как можно практически
осуществить постоянство одного из инвариантов, например / _ . Если газ
занимает безграничное пространство, то для этого достаточно задать
начальные распределения и (х, 0), с (х, 0) таким образом, чтобы в началь­
ный момент было / _ (х, 0) = const. Поскольку это постоянное значе­
ние / - переносится вдоль (^.-характеристик, выходящих из всех точек
оси х, то и в последующие моменты времени инвариант / _ останется
постоянным: / _ (х, t) = const.
Пусть газ занимает полупространство, ограниченное слева поршнем,
движущимся по закону Xi ~ tyi (t). Если в начальный момент / _ (х, 0) =
= const во всей области, занимаемой газом, х > x (x — начальная
координата поршня), то в последующие моменты / _ также останется
постоянным во всем пространстве, ограниченном поршнем х > х\ =
= гр1 (t). Действительно, левый поршень, как было показано в предыду­
щем параграфе, «возбуждает» только С -характеристики; ^-характери­
стики приходят к линии поршня из «прошлого» и на этом «заканчивают
свое существование», так что поршень посылает в «будущее» только / инварианты, но не / _ .
Значения /--инвариантов во всей той части плоскости х, t, которая
соответствует газу (эта часть ограничивается линией поршня Xi = г|з (£)),
определяются начальными значениями / _ на оси х, т. е. постоянны.
Наоборот, если газ занимает полупространство, ограниченное справа
движущимся поршнем (линия поршня х = ф (t), х = ^2 (0)). и в на­
чальный момент / (х, 0) = const при х < аго> то во всей физической
части плоскости х, t (x<Cx = if>2 (0) постоянен инвариант / .
Итак, вернемся к поставленной задаче и предположим для определен­
ности, что / _ (х, t) — const.
c
+
i0
i0
+
+
4
2
+
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
20
2
z
3
2
+
34
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Из уравнения характеристик, записанного в форме (1.47), следует,
что при этом С -характеристики представляют собой семейство прямых
линий (F = const, так как / = const вдоль характеристики, а / _ =
= const вообще). Интегрируя уоавнения для С -характеристик, можем
записать
x = F (J , /_)*-f-q>(/ ),
(1.49)
+
+
+
+
+
+
+
где ф (/+) — постоянная интегрирования, которую можно рассматри­
вать как функцию того значения / , которое переносится вдоль характе­
ристики. Она определяется начальными и граничными условиями задачи.
Например, если данная характеристика выходит из начального отрезка
оси х, то ф есть координата той точки оси х, из которой выходит характе­
ристика и на которой задано значение / , стоящее в качестве аргу­
мента в ф.
Формула (1.49) совместно с условием, наложенным на одну из иско­
мых функций,
/_(ar, t) = const,
(1.50)
+
+
представляет собой общее решение уравнений газодинамики для рассма­
триваемого случая. Она определяет в неявном виде другую искомую
функцию / (х, t). (Напоминаем, что функция F~ известна, поскольку
известны термодинамические свойства вещества.)
Решение (1.49), (1.50) можно записать в виде формул для обычных
газодинамических переменных: скорости газа и скорости звука. Из урав­
нения (1.50)
/_ = и — \ — = const
+
+
J
c
Q
следует, что скорость звука или какая-нибудь иная термодинамическая
переменная, скажем, давление, являются функциями скорости и, не
содержащими в явном виде независимых переменных х и t: с = с (и),
Р = Р (")•
Уравнение (1.49) эквивалентно уравнению
х = [и + с(и)] £ + ф (и),
(1.51)
где постоянная интегрирования ф выражена как функция и. Это уравне­
ние определяет в неявном виде и в зависимости от i и t.
Из формулы (1.51) видно, что данные значения и и с (и) переносятся
по газу вдоль оси х с постоянной скоростью и + с (и). Другими словами,
решение представляет собой волну, бегущую направо:
и = / {х - [и + с (и)] t},
с = g {x— [а + с (и)] t},
причем вид функций / и g определяется начальными и граничными усло­
виями задачи.
Однако, в отличие от бегущей волны малой амплитуды, различные
значения скорости газа и термодинамических переменных переносятся
с разными скоростями, так что начальные профили и (х, 0), с (х, 0) иска­
жаются с течением времени. Это является следствием нелинейности урав­
нений газодинамики.
Полученное решение в виде бегущей волны называется простой
волной.
Аналогичным путем можно получить простую волну, бегущую в дру­
гую сторону. В ней постоянен инвариант /
и прямыми являются
+
§ 9]
ИСКАЖЕНИЕ ПРОФИЛЕЙ В БЕГУЩЕЙ ВОЛНЕ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
35
С_-характеристики. Общее решение в этом случае имеет вид
/ = const, х = F _ ( / , /_) t-{- ф (/_)
или
+
+
/+ = и + \ ~|- = const,
(
х = [и —c(u)]£ + <Pi (и),
и = к {х + [с (и) — в] *},
с=
g l
{х + [с (и) — u]t}.
Заметим, что решение для простой волны является особым интегра­
лом уравнений одномерного изэнтропического течения. Можно найти
и общий интеграл этих уравнений для
и(х,0)
произвольного течения (см. 11}). Особое
решение не содержится непосредственно
в общем.
§ 9. Искажение профилей
в бегущей волне конечной амплитуды.
Некоторые свойства простых волн
Воспользуемся полученным решением
для простой волны и выясним, что проис­
ходит с волной типа акустической, если
не ограничиваться первым приближением,
как это было сделано в § 3, а исходить из
точных уравнений газодинамики. Мы не
будем приводить здесь аналитического
решения, а выясним качественный харак­
тер явлений при помощи графического
построения. Газ будем считать идеальным
с постоянной теплоемкостью.
Пусть начальные профили скорости
и (х-, 0) и скорости звука с (х, 0) имеют
вид, изображенный на рис. 1.13, причем
эти функции связаны между собою таким
образом, что / _ (х, 0) = const (рассматри­
ваем волну, бегущую направо). По форму­
ле (1.44) имеем с — ^ ~ и +с , где посто­
янное значение инварианта / _ выбрано
в соответствии с условием, что в невоз­
мущенном газе и — 0, с = с . Поскольку
0
А,Е,
0
2
р ~ C V/(Y-D, Q ~ Y / ( Y - i ) (при С =
С ,р=р ,
C
0
В,
F,D, х
0
Рис. 1.13. Распространение впра­
во бегущей волны.
Q — Ро)> профили давления и плотности
в качественном отношении вполне анало­
Построение, позволяющее определить
гичны профилю скорости звука.
искажение профилей в волне. На­
верху — профили скорости и скоро­
Будучи постоянным в начальный мо­ сти
звука в начальный момент.
мент, инвариант / _ (х, t) постоянен и во Внизу — искаженные профили в мо­
мент
(,.
В середине — схема (^-ха­
все последующие моменты времени, так
рактеристик.
что движение представляет собой простую
волну, бегущую направо. Характеристики С -семейства представляют
собой прямые линии dxldt = и -f с = (у _j_ 1) и/2 + с . Они изображены
на рис. 1.13. Из точек А , В и / ) , где и == 0, они выходят параллельно
ДРУГ другу: dxldt = с (и параллельно С+ -характеристикам, выходящим
+
0
0
0
0
0
3*
36
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
из точек оси х, соответствующих невозмущенной области газа). Для
того чтобы не усложнять рис. 1.13, проведем, кроме того, еще только
две С+ -характеристики, из точек Е и F соответствующих минимумам
и максимумам начальных распределений и (х, 0) и с (х, 0).
Построим профили и и с в момент tf. и (х, t ), с (х, ti). Поскольку
вдоль С -характеристик переносятся постоянные значения и и с, вели­
чины и и с в точках A Е^ и т. д. равны
соответствующим величинам в точках А ,
Е и т. д.
Выполняя построение, как показано
на рис. 1.13, найдем профили к и е в момент
t . Мы видим, что «голова» (D) и «хвост»
(А) волны, соприкасающиеся с областями
постоянного течения, где и = 0, а с = с ,
сместились вдоль оси а: на отрезки, равные
c ti (распространялись по характеристикам
D Du A Ax на плоскости х, t). Высоты
максимумов и минимумов и и с не изме­
нились, но относительные положения ма­
ксимумов и минимумов стали иными: про­
фили исказились.
В акустической теории, где уравнения
'J* Cn 0 J Jj~Cn U
газодинамики линеаризуются, такого иска­
жения не происходит: профили сдвигаются
в виде застывшей картины. Искажение про­
филей есть следствие нелинейности урав­
iT—Gftb
нений газовой динамики. Физическая при­
чина искажения состоит в том, что гребни
Рис. 1.14. Схема, иллюстрирую­ волны бегут относительно скорее как за
щая нарастание крутизны и «пере­
хлест» волны конечной амплитуды счет большей скорости распространения
их по веществу (большей скорости звука),
в нелинейной теории.
Показаны профили скорости в по­ так и за счет более быстрого сноса вперед
следовательные моменты времени.
Чтобы совместить волны в различные вместе с веществом (большей скорости
моменты времени, по оси абсцисс от­ газа). Наоборот, впадины бегут относи­
ложена комбинация х — c i. Профиль
г) отвечает физически нереальному тельно медленнее, так как обе скорости
состоянию. На самом деле в момент в них меньше.
t профиль имеет вид 9) с разрывами.
С течением времени профили иска­
жаются все сильнее и сильнее, как по­
казано на рис. 1.14. Если формально продолжить аналитическое реше­
ние на достаточно большие времена, то произойдет «перехлестывание»
волны, показанное на рис. 1.14, г. Эта, последняя, картина физически
бессмысленна, так как в ней решение неоднозначно. Например, в точке
х = х' в один и тот же момент времени имеются три значения скоро­
сти и: и = 0, Ui и и . Возникновение такой неоднозначности математиче­
ски связано с пересечением характеристик одного семейства (С ), тенден­
цию к которому можно усмотреть на рис. 1.13. На самом деле «перехлесты­
вания», конечно, не происходит, а когда передняя и задняя части
профилей становятся очень крутыми, образуются разрывы — ударные
волны, как показано на рис. 1.14, д (об этом речь пойдет ниже).
Таким образом, решение в виде простой волны в данном случае спра­
ведливо лишь в течение ограниченного времени, до момента образования
разрывов. Решение никогда не теряет силы только в том случае, когда
волна повсюду имеет характер волны разрежения, т. е. не содержит участ0
0l
t
+
it
0
0
IJC—CQV
t
0
0
0
0
0
3
2
+
§ 10]
37
ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ
ков, где скорость газа, давление и плотность уменьшаются в направлении
распространения волны. Такие участки (АЕ и FD) на рис. 1.13 представ­
ляют собой волны сжатия.
Простая волна разрежения будет рассмотрена в следующем параграфе.
Отметим одно важное свойство простой волны, которое иллюстри­
руется рассмотренным примером. Голова простой волны всегда распро­
страняется по характеристике (в нашем примере по характеристике D D ).
На переднем краю простои волны, в точке/),
сами величины иже непрерывны, но их про­
изводные по координате х терпят разрыв
(это видно из рис. 1.13, где профили и и с
испытывают излом). Такой разрыв, в кото­
ром величины непрерывны, но разрывны
их производные, называется слабым. Слабый
разрыв можно представить себе как малое
возмущение по отношению к непрерывному
ходу газодинамических величин. Это пока­ Рис. 1.15. К вопросу о слабом
разрыве.
зано на рис. 1.15, на котором изображены два
профиля, один сглаженный, а другой — с раз­
рывом производной. Заштрихованный участок можно рассматривать как
малое возмущение.
Но мы знаем, что малые возмущения распространяются по веществу
со скоростью звука. Поэтому слабые разрывы всегда распространяются
по характеристикам.
Если пзэнтропическое течение граничит с областью постоянного тече­
ния, то это течение обязательно является простой волной, и обратно,
с областью постоянного течения
может граничить только простая
волна. Действительно, в области
постоянного течения С+- и ^ - х а ­
рактеристики представляют собой
семейства параллельных прямых
и инварианты / + (х, t) и / _ (х, t)
постоянны. Границей соприкосно­
вения области какого-то изэнтроппческого течения / с областью
постоянного течения//(рис. 1.16)
служит одна из характеристик,
скажем, С -характернстика. Тогда
С_-характеристики, продолжаясь
из области 77 в область / , пере­
Рис. 1.16. Схема двух семейств характери­
стик для волны, изображенной на рис. 1.13. носят постоянное значение / _ , т а к
что и в области / / _ (х, if)=const.
Следовательно, эта область есть простая волна, бегущая направо.
На рис. 1.16 проведены характеристики для случая импульса протяжен­
ностью в одну «длину волны», рассмотренного выше в качестве примера.
0
t
+
§ 10. Волна разрежения
Рассмотрим движение газа под действием выдвигающегося поршня.
Пусть вначале покоящийся газ с постоянными плотностью, давлением
и скоростью звука Q , p с занимает полупространство х > 0, слева
ограниченное неподвижным поршнем, начальная координата которого
0
0l
0
38
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
есть х = 0. В момент t = 0 поршень начинает двигаться влево, посте­
пенно ускоряясь от нулевой скорости до некоторой постоянной, которую
обозначим через —U. Закон движения поршня есть х = X (t). Когда
скорость поршня становится постоянной, линия X (t) превращается
в прямую X (t) = — Ut -j- const.
Как было показано в предыдущем параграфе, движение газа при
t > 0 представляет собой простую волну, бегущую направо. Голова
волны, т. е. начальное возмущение от поршня, распространяется вправо
со скоростью звука вдоль С -характеристики О А; х = c t (рис. 1.17).
Проведем на этом рисунке ли­
нию движения поршня X (t) и
характеристики С+- и С_-семейств. В области I между
-— —
осью хж (^-характеристикой О А
газ невозмущен: характеристики
в этой области представляют
собой прямые линии с накло­
нами (dx/dt) = c ; (dxldt)- =
= — с - Пересекая прямую О А,
С_-характеристики продолжа­
ются до линии поршня и на
ней заканчивают свое сущест­
вование. Для наглядности рас­
Рис. 1.17. ж,г-диаграмма со схемой характери­
стик для волны разрежения, возникающей под суждений будем считать газ
идеальным с постоянной тепло­
действием поршня, который выдвигается из
газа, сначала ускоряясь, а потом с постоян
емкостью, однако подчеркнем,
ной скоростью.
что в качественном отношении
вся картина движения остается
в силе и для газа с другими термодинамическими свойствами, /..-инва­
риант постоянен во всей физической части плоскости х, t и равен
+
0
г
+
0
0
?
/_ = м-
1
Отсюда
и=
c
с =
-j( o — с),
с.
0
у— i
с = с0
На границе с поршнем скорость газа совпадает со скоростью поршня
w (t), которая отрицательна. Поэтому скорость звука, а также давление
и плотность газа у поршня меньше начальных, притом тем меньше, чем
скорее движется поршень. С -характеристики, которые являются пря­
мыми линиями, выходят с линии поршня, имея наклоны
w
c= c
Y+1
W
и = с+
+
(-f) = + ° +
0
Поскольку поршень только ускоряется, но не замедляется, С -характеристики, начинающиеся на линии поршня, только расходятся, но нигде
не сходятся, как показано на рис. 1.17. С -характеристики, выходящие
с того участка линии поршня, на котором скорость поршня уже постоянна,
+
+
V+ 1
v
имеют одинаковые наклоны (dx/dt) — с — ^ U и идут параллельно
ДРУ ДРУ У- Пусть, например, скорость поршня становится строго постоян­
ной и равной w = — U (U > 0), начиная с момента £ (точка В на линии
поршня). В области /77 на плоскости х, t, заключенной между линией
+
Г
0
Г
4
§ ю]
39
ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ
поршня и С -характеристикоы BD, все газодинамические величины
постоянны: и = — U, с = с — ^=— U = c *). В самом деле, в этой
области / _ = const в силу общего постоянства, а / = const, поскольку
скорость газа на линии поршня, с которой выходят все С -характери­
стики, одинакова:
+
0
t
+
+
7
и
с
с
+ = + ^1~[ = 7 = 1 о + 2wj = ^
с -
W.
0
В области II, заключенной между С -характеристиками О А и BD и уча­
стком ОВ линии поршня, газодинамические величины зависят от х и t
в соответствии с решением для простой
волны. С+-характеристики, выходящие с
участка ОВ линии поршня, во все более
поздние моменты времени несут все мень­
шие значения скоростей звука и газа (все
большие по абсолютной величине скоро­
сти газа). Поэтому распределение и и с
по газу в какой-то определенный момент
времени t' < t соответствующий гори­
зонтальной прямой t = const = t' на пло­
скости х, t, имеет вид, изображенный
на рис. 1.18, а.
Распределения плотности и давле­
ния в качественном отношении подоб­
ны распределению скорости звука.
1.18. Профили скорости зву­
Распределения газодинамических ве­ Рис.
ка и скорости в волне разреже­
личин в более поздний момент t" > 2
ния, возникающей под действием
поршня (см. рис. 1.17):
(прямая t = const = t" на плоскостих, t)
до момента, когда скорость пор­
показаны на рис. 1.18, б. В этом случае а)
шня стала постоянной,
V < t;
к поршню прилегает область постоянно­ б) после момента, когда скорость
го течения и~ — V', с = с . Координата поршня стала постоянной, V > t,.
точки разделяющей области постоянного
и переменного течений 77/ и 77, Х , соответствует точке Е характе­
ристики BD.
Задаваясь конкретным законом движения поршня, можно найти
решение задачи в аналитическом виде. Положим для примера, что скорость
поршня с течением времени меняется плавно по закону:
_ 1
+
it
4
t
4
Е
w=— U{\ — e *),
т>0
и стремится к постоянной величине — U асимптотически при t~*- oo.
Линия движения поршня описывается уравнением
Х(0= J wdt = — £/т[-^-(1-е~*)~| .
о
Она асимптотически переходит в прямую X = — U (t — т).
*) Для справедливости этих формул необходимо, чтобы с было положительной
величиной, что накладывает ограничение на конечную скорость поршня: U <
4
<
[2/(7 — 1)1 с . Случай, когда V > —•— с , будет рассмотрен в § 11.
0
0
40
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Для нахождения искомого решения подчиним общее решение (1.51)
граничному условию: и = w (t) при х = X (t). Это условие определяет
произвольную функцию ф (и):
q>(w) = X (t) — [w-\-c {w)\ t,
причем
с (w) = c -
Y-l
0
w
w- •w(t).
и
Подставляя сюда X (t) и выражая время через w с помощью закона
движения поршня t = — т In f 1 + т г ) ' найдем вид функции <р:
ф (W) = — WX J - Т ( С
0
+
Y +
-u> +
tf)ln(l
'+£)•
Распределения скорости по координате в разные моменты времени
даются неявной функцией:
х =
Y + 1и И- • T + T ^ c + | ^ w + ^ ) l n ( l
I :
M
:
0
+
справедливой в интервале X (t) <. х <С c t.
Предположим снова, что скорость поршня становится строго постоян­
ной в определенный момент t\. Зададимся постоянным значением конечной
скорости поршня — U и предполо­
жим, что начальные ускорения пор­
В
шня становятся все больше и больше
1
и постоянная скорость достигается
%J-^ / ^ /
л
все быстрее и быстрее (^ ->- 0).
Участок ОБ линии поршня, где
/ Уд
скорость поршня переменна, стано­
вится все меньше и меньше (см.
рис. 1.17). Точки В и О, откуда
выходят С -характеристики BD и
О А, между которыми заключена об­
ласть переменного течения 77, при
х
этом сближаются. В пределе t\ = 0,
Рис. 1.19. х, г-диаграмма со схемой ха­ когда точки В и О совпадают, что
рактеристик для центрированной волны соответствует мгновенному дости­
разрежения.
жению поршнем постоянной скоро­
сти w = — U, обе характеристики
BD и ОА выходят из одной точки: из начала координат х = 0, t = 0 на
плоскости х, t. Все С -характеристики, заполняющие область пере­
менного течения II, также выходят из начала О в виде веера. Таким
образом, в предельном случае, когда поршень в момент t = 0 начинает
двигаться с постоянной скоростью w = — U, картина на плоскости х, t
приобретает вид, изображенный на рис. 1.19.
Все характерные линии: линия «головы» волны разрежения О А, линия
«хвоста» волны OD, за которым параметры газа принимают постоянные
конечные значения, и линия поршня выходят из «центра» О. Из этого же
«центра» выходят и все С -характеристики, расположенные между
(^-характеристиками ОА и OD.
Такая волна называется центрированной простой волной. Поскольку
все С -характеристики
в центрированной простой волне, т. е. в области
переменного течения 77, выходят из точки х = 0, t = 0, функция ф (и)
0
11 /
<Х,
+
+
+
+
ЦЕНТРИРОВАННАЯ
§ И]
ВОЛНА
41
РАЗРЕЖЕНИЯ
в решении (1.51), представляющем собой в то же время и уравнение этих
характеристик, обращается в нуль. Решение для центрированной волны
имеет вид
x = [u + c(u)]t.
(1.52)
Формально это решение можно получить и путем предельного пере­
хода т -> 0 в примере, рассмотренном выше. Функция ф пропорциональ­
на т, так что при т -> 0 ср (и) -> 0.
Выпишем в явном виде решение для центрированной волны разреже­
ния в случае идеального газа с постоянной теплоемкостью. Связь термо­
динамических переменных со скоростью газа и дается уже известной
формулой, следующей из условия постоян­
ства инварианта / _ :
•р
^
с = с — —2^|и|,
и<0.
0
y
ПОСКОЛЬКУ
р = р
=c;( /Qo)v-',
0
2
(Q/Qo) ,
С =
^ S J o
(1.53)
yp/Q
=
e
Q = Qo
< = Ро['
2
Y-1
Y— 1 1 «* 1
2
«о
]
Y — 1 \и
1
2Y
7-1
(1.54)
(1.55)
Рис. 1.20. Профили плотности и
скорости в центрированной волне
разрешения.
со
Чтобы получить зависимость этих вели­
чин от х и t, надо подставить сюда | и I, найденное из решения (1.52) и (1.53):
(1.56)
т)
Скорость газа в центрированной волне разрежения зависит от коор­
динаты х по линейному закону. Голова волны, где и = 0, движется вдоль
линии х = c t, хвост волны, где и = w = — U, движется вдоль линии
0
х = (ci — U) t
Со
-Х+!гЛ*.
2 "У
Профили плотности и скорости показаны на рис. 1.20.
§ 11. Центрированная волна разрежения как пример
автомодельного движения газа
Рассмотренное в предыдущем параграфе одномерное плоское движе­
ние газа, возникающее при выдвижении поршня с постоянной скоростью,
обладает одной характерной особенностью. Все газодинамические вели­
чины, описывающие движение и (х, t), с (х, t), p (x, t), p (x, t), зависят
от координаты и времени не порознь, а только в комбинации xlt. Для
области II, где величины переменны, это видно непосредственно из фор­
мул (1.53) — (1.56). Что же касается областей постоянного течения /
и / / / , то они ограничены в плоскости х, t прямыми линиями xlt = с =
= const (область/) и xlt = w = const, xlt = w -f- c = const (область / / / ) ,
которые также описываются уравнениями, содержащими х и t только
в комбинации xlt. Иными словами, с течением времени распределения
всех величин по координате х, изображенные на рис. 1.20, лишь растяги­
ваются в пространстве, не меняя своей формы, т. е. оставаясь подобными
самим себе. Если нарисовать распределения и, с, Q, p, отложив по оси
0
4
-42
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
абсцисс не х, а отношение xlt (или одну из безразмерных величин x/c t,
x/wt), то мы получим застывшую картину, неизменную во времени. Такое
движение, в котором профили газодинамических величин с течением време­
ни остаются подобными самим себе, меняясь только за счет изменения мас­
штабов величин (в данном случае масштаба длины c t или wt), называется
самоподобным или автомодельным. В § 25 мы познакомимся с более слож­
ным примером автомодельного движения, в котором меняются не только
масштабы длины, но и масштабы самих газодинамических величин, причем
автомодельная переменная £ имеет более общий вид £ = xt , где а =
= const. Рассмотренная выше центрированная волна разрежения пред­
ставляет собой простейший случай автомодельного движения, в котором
•а = — 1, £ = xlt, и масштабы газодинамических величин остаются
неизменными: с течением времени профили их и (х, t), с (х, t) самоподобно
растягиваются только по оси абсцисс, но не изменяются по оси ординат
{масштабы и, с, Q, p остаются неизменными).
Физическую причину автомодельного характера центрированной
волны разрежения можно пояснить, воспользовавшись размерностными
соображениями.
Если отвлечься от диссипативных процессов вязкости и теплопровод­
ности, то уравнения газовой динамики, так же как и формулы, описываю­
щие термодинамические свойства вещества, не содержат никаких харак­
терных длин и времен. Единственные масштабы длины и времени у газа —
это длина и время свободного пробега молекул, с которыми связаны коэф­
фициенты вязкости и теплопроводности. Однако этими масштабами могут
характеризоваться лишь микропроцессы, протекающие на расстояниях
и за времена свободного пробега молекул, но не макроскопические дви­
жения. Вещество обладает размерным параметром — скоростью звука,
которая входит наряду со скоростью вещества в описание газодинамиче­
ских течений. Таким образом, если начальные и граничные условия
задачи не содержат характерных длин и времен, движение может зависеть
от координаты и времени, взятых только в комбинации xlt, имеющей раз­
мерность скорости. Именно такова рассматриваемая задача о волне разре­
жения, возникающей под действием поршня, выдвигающегося из газа
с постоянной скоростью w. Начальные и граничные условия вносят
только масштабы скорости: с и w (и, конечно, масштабы плотности Q
и давления р , но не масштабы длины или времени *)).
Автомодельные движения имеют большое значение для газовой
динамики. Поскольку в этом случае газодинамические величины не зависят
от координат и времени в отдельности, но зависят только от их определен­
ных комбинаций,— зто уменьшает на единицу число независимых пере­
менных в системе уравнений. В частности, при одномерных движениях
вместо двух переменных х и t (или г и t в случае сферической или
цилиндрической симметрии) появляется одна независимая переменная
(\ = xlt в нашей задаче). Течение описывается уравнениями не в частных
0
0
a
0
0
0
*) Если скорость поршня не постоянна, а зависит от времени, то сразу появ­
ляются масштабы времени или длины. При этом задача о волне разрешения перестает
быть автомодельной: математически это следует из формулы (1.51): если ф (и) Ф О,
то и зависит от х и t в отдельности. Однако если скорость поршня с течением времени
становится постоянной, как в примере, рассмотренном в предыдущем параграфе, то
истинное решение асимптотически стремится к автомодельному. При t > t (t/t —>• со)
•функцию ф (и) — т в решении можно опустить. Физически это соответствует тому,
что при t > т параметр т становится малым по сравнению с характерным временем
.задачи t и роль его становится все менее и менее существенной. Подробнее об асимпто­
тическом стремлении истинных решений к автомодельным см. в гл. X и XII.
§ 11]
ЦЕНТРИРОВАННАЯ
ВОЛНА
РАЗРЕЖЕНИЯ
43
производных, а обыкновенными дифференциальными уравнениями, что
в огромной степени упрощает задачу с математической точки зрения.
Ввиду принципиальной важности автомодельного течения, пред­
ставляющего собой центрированную простую волну, мы еще раз найдем
решение задачи о поршне, исходя из общих уравнений газодинамики
и воспользовавшись изложенными соображениями об уменьшении числа
независимых переменных. Преобразуем эйлеровы уравнения газодинамики
к новой независимой переменной \-xlt.
Если / (х, t) — некоторая функ­
ция х и t, зависящая только от комбинации этих величин % — xlt, то
путем непосредственного вычисления получим
8f _ 1 df
дх ~~ t d\ '
df
^41_—__1_41_
dt ~~
& d\~
41
=
dt
У in
dt "*"
t dl '
df
u
d
^- -l f
dx '
t
dl '
Преобразуем с помощью этих формул уравнения непрерывности,
движения и адиабатичности, записанные для плоского случая:
do
ди
,
*.. do
du
-f = 0-.(u-E)-f = 0.
Как и следовало ожидать, сами величины х и t исключались из
уравнений. Написанные уравнения допускают прежде всего тривиальное
решение и = const, p = const, Q = const, S — const, соответствующее движе­
нию однородного газа как целого. Для получения нетривиального решения
исключим из первой пары уравнений duldb,, и заметим, что третье урав­
нение дает S — const*), т. е. что автомодельное движение изэнтропично.
Заменяя во втором из уравнений (1.57) производную от давления
на производную от плотности, dp/db, = (dp/dq) (dq/dl) = с dq/dl, (поскольку
движение изэнтропично dp/dQ = (dp/dQ) — с ), получим
2
2
s
откуда
и-1=±с,
£ =! = иТс.
(1-58)
Подставляя это соотношение в уравнения (1.57), найдем
du±c^
= du±^
Q.
=0
c
Q
или
J = u± [ -^- = const.
±
(1.59)
Мы пришли, таким образом, к уже найденному в предыдущем пара­
графе решению задачи о центрированной волне разрежения. Для волны,
*) Предположение о том, что не dS/d% = 0, а и — 1 = 0, противоречит первому
из уравнений (1.57).
44
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I.
бегущей вправо, следует взять нижний знак в формулах (1.58), (1.59)
для волны, бегущей влево — верхний.
Как и раньше, всю картину течения можно сконструировать с по­
мощью решений (1.58), (1.59) и тривиальных решений и = const, с = const,
также удовлетворяющих автомодельным уравнениям. При этом комбини­
ровать эти решения следует так, чтобы удовлетворялось граничное условие
и = w у поршня.
Остановимся на некоторых особенностях волны разрежения. Характер
решения свидетельствует о том, что для его справедливости не обяза­
тельно, чтобы газ простирался от поршня до бесконечности. До тех пор,
пока голова волны разрежения, которая бежит по невозмущенному газу
вправо со скоростью звука с , не доходит
до правой границы газа, х = х >> 0, т. е.
до момента ti = Xi/c , наличие границы
никак не сказывается на движении *). По­
этому полученное решение всегда описы­
вает начальную стадию движения газа при
выдвижении поршня, даже если газ зани­
мает конечную область.
Проследим за судьбой определенной
частицы газа, начальная координата кото­
рой была х . До момента t = t — х /с ,
пока к ней не подойдет голова волны
Рис. 1.21. Пути частиц на ж, г-ди- разрежения, частица покоится. Затем она
аграмме для центрированной вол­ начинает двигаться влево, с ускорением,
ны разрежения; О А —голова вол­ и при этом расширяется. Когда плотность
ны, OD — хвост волны.
в ней упадет до конечного значения @д,
а скорость станет равной скорости поршня
ю, дальнейшее ускорение и расширение прекратятся, а частица начнет
двигаться с постоянной скоростью w. Пути нескольких частиц на
плоскости х, t изображены на рис. 1.21. Уравнения этих линий в области
разрежения / / легко получить, интегрируя уравнение для линии тока
dx
2 /"
х'
-U
! с„
с начальным условием х = х при t f
-= и
Посмотрим теперь, что происходит, если переходить к движениям
со все большими и большими абсолютными скоростями поршня | w \.
Из формул (1.53) — (.1.56) видно, что чем больше \w\, тем ниже скорость
звука, ллотность, давление и температура (Т ~ ]/ с) газа в конечном
состоянии (c = с (w), pj = Q (w) и т. д.). Наконец, при некоторой ско­
рости поршня \w\ = ——:с , конечные значения с Q p обращаются
в нуль. Если поршень выдвигается еще быстрее, то формально решения
(1.53) — (1.56) становятся бессмысленными, так как при
\u\>\w\
с отрицательно, а Од и p комплексны.
Фактически это означает, что при | w \ > | w \ между поршнем и левой
границей газа образуется область вакуума. Течение происходит таким
образом, как будто поршень в начальный момент t = 0 вообще «убирает­
ся», и газ вытекает в пустоту. При этом газ расширяется до нулевых
плотности, давления и температуры (скорости звука), и граница его дви­
жется влево со скоростью
г
0
4
0
0
Q
0
0
0
t
m
0
ь
lf
t
m
1(
t
m
V-1 с .
*) Вспомним рассуждения в § 6 об области влияния.
и=
Г °> I t£
с
тпят —
0
(1.60)
5 12] О НЕВОЗМОЖНОСТИ СУЩЕСТВОВ. ЦЕНТРИРОВАННОЙ ВОЛНЫ СЖАТИЯ
45
Профили скорости и плотности при нестационарном истечении
в вакуум изображены на рис. 1.22. Например, для воздуха при обычных
температурах у = 7/5 и | и |
= 5c . Эта величина более чем в два раза
превышает скорость стационарного истечения в вакуум из большого
резервуара, когда справедливо уравнение
Бернулли h -f и? 12 = h = c\l{y — 1) и
m a s
0
0
Wmax
= / :
2
2,2c при Y=1,4 (здесь
0
через h мы обозначили удельную энталь­
пию h = e -J- p/Q). При стационарном
истечении частица приобретает кинетиче­
скую энергию ц^ах /2 на грамм только за _
счет ее начального теплосодержания h .
При нестационарном истечении в пустоту
кинетическая энергия больше ее началь­ Рис. 1.22. Профили плотности и
ного теплосодержания h (в пять раз при скорости при плоском нестацио­
нарном истечении газа в вакуум.
У = 1,4).
Дополнительная кинетическая энер­
гия приобретается за счет отбора тепла от соседних частиц: полная
энергия, равная сумме кинетической и внутренней энергий в области,
охваченной волной разрежения, естественно, сохраняется и равна исход­
ной внутренней энергии этой области.
Аналогично плоскому случаю можно рассматривать сферически или
цилиндрически симметричные волны разрежения, которые образуются,
•если «сферический» или «цилиндрический» поршни в начальный момент
t = 0 начинают выдвигаться из газа, занимающего пространство г > г
или г •< г . При этом также образуется волна разрежения, голова которой
бежит по невозмущенному газу со скоростью звука с . Однако в этих
случаях не существует областей постоянного течения между поршнем
и хвостом волны разрежения. Заметим, что сферическая и цилинд­
рическая волны разрежения, в отличие от плоской, не автомодельны:
в задаче имеется характерный масштаб длины — начальный радиус
поршня г .
Jtf(
0
0
0
0
0
0
§ 12. О невозможности существования центрированной
волны сжатия
Казалось бы, решение задачи о поршне, движущемся с постоянной
скоростью, в равной степени применимо независимо от того, выдвигается
ли поршень из газа или вдвигается в газ, производит ли он разрежение или
сжатие. И то и другое движение автомодельно, т. е. решения для них
можно конструировать из тривиальных, соответствующих областям
постоянного течения, и нетривиального, соответствующего простой центри­
рованной волне. Попытаемся формально построить непрерывное решение
для автомодельной волны сжатия, образующейся, если в начальный
момент поршень начинает вдвигаться в газ с постоянной скоростью w > О
(газ находится справа от поршня). «Голова» волны бежит по газу со ско­
ростью звука с вдоль линии х = c t на плоскости х, t. К поршню примы­
кает область постоянного течения, где и = w, а с = с причем обе эти
области постоянного течения (/ и / / / , согласно терминологии, принятой
в предыдущих параграфах) разделены областью простой центрированной
^ ^ с = const = — — - с . Отсюда следует,
волны / / , где / _ = и
0
0
и
0
46
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
ЧТО
=
C
t
{ W + C i ) t
У/,
,и
X
[ГЛ. I
w, так что «хвост» волны бежит вдоль линии х
+
= (yp
U-VJ
jt. Распределение скорости по координаw + c0)t.
те х в области ТУ описывается решением,
аналогичным (1.56):
2
у—1
/
л/
D
— с
0
Получается, что «хвост» волны распростра­
няется быстрее, чем «голова»: Ч~- w-\-c >
Р'
Ро
> с , и профили скорости и плотности
А
D
имеют вид, изображенный на рис. 1.23.
!
<
Картина физически бессмысленна, ре­
шение неоднозначно в области II. Но полу­
Рис. 1.23. Профили скорости и
плотности, отвечающие непрерыв­ ченное решение есть единственное непре­
ному решению для автомодельной рывное решение, которое следует из урав­
(центрированной) волны сжатия. нений газодинамики. Следовательно, в.
А — голова волны, D — хвост волны. данном случае непрерывного решения не
Решение неоднозначно и физически существует. Эта трудность исторически
бессмысленно.
явилась одним из исходных пунктов для
построения разрывных решений уравнений газодинамики, т. е. для
построения теории ударных волн
Отметим, что если поршень начинает вдвигаться в газ не с постоянной
скоростью, а постепенно, ускоряясь от состояния покоя, то можно найга
непрерывное решение для простой (но уже не
центрированной) волны сжатия, которое опи­
сывает начальную стадию движения. Положение
в зтом случае вполне аналогично тому, которое
имеет место в звуковой волне не малой ампли­
туды (см. § 7). Характеристики С -семейства
(если поршень находится слева от газа) сбли­
в)
жаются и стремятся пересечься, крутизна про­
филя волны сжатия нарастает с течением вре­
г)
мени (как показано на рис. 1.24) и в некоторый
момент происходит «перехлестывание», возни­
кает неоднозначность решения, аналогичная
д)
описанным в § 7 и в этом параграфе. На самом
деле это означает, что образуется разрыв —
ударная волна.
Рис. 1.24. Постепенное З а ­
X
р
0
0
"к
+
О.
юз_:
1
2. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
§ 13. Введение в газодинамику понятия
об ударной волне
растание крутизны профиля
скорости в волне сжатия,
которая распространяется
под действием ускоряюще­
гося поршня.
г) Отвечает физически бессмыс­
ленному непрерывному реше­
нию с «перехлестом» волны;
9) показывает фактический про­
филь с разрывом после момента
«перехлеста».
Рассмотрим покоящийся газ с постоянными
плотностью и давлением Q , ро, слева ограничен­
ный плоским поршнем, и предположим, что в
начальный момент поршень начал сжимать
газ с постоянной скоростью, которую будем теперь обозначать через и.~
Как было показано в предыдущем параграфе, попытка найти непре­
рывное решение для этой задачи приводит к физически бессмысленному
0
§ 13]
ВВЕДЕНИЕ Б ГАЗОДИНАМИКУ ПОНЯТИЯ ОБ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
47
результату. Поскольку задача автомодельна (не содержит никаких харак­
терных масштабов длины и времени), единственные решения, удовлетво­
ряющие уравнениям газовой динамики,— это тривиальное решение, в кото­
ром все величины и, Q, p постоянны, и решение типа центрированной
простой волны. Таким образом, остается одна-единственная возможностьпостроить решение, удовлетворяющее граничным условиям задачи —
в невозмущенном газе и = 0, р = р , Q = Q ; в области газа, прилегающей
к поршню, скорость газа равна скорости поршня,— это выбросить физи­
чески бессмысленную область II и непосредственно сомкнуть области
постоянного течения I и / / / , предположив, что
в точке смыкания газодинамические величины
терпят разрыв, как показано на рис. 1.25.
t=0, u=0
Вообще говоря, законы сохранения массы,
импульса и энергии, которые положены в осно­
ву уравнений динамики невязкого и нетепло­
fit
проводного газа, не предусматривают обязатель­
ную непрерывность газодинамических величин.
t>0
-far
Эти законы были сформулированы ранее в
форме дифференциальных уравнений просто
Dt
потому, что с самого начала предполагалась
непрерывность течения. Но эти же законы мож­
t>ff
но применить и к областям, в которых газоди­
намические величины испытывают разрыв. С
u=0
математической точки зрения разрыв можно
рассматривать как предельный случай очень
Рис. 1.25. Профили плотно­
больших градиентов газодинамических величин, сти и скорости в ударной
когда толщина слоя, в котором происходит
волне.
конечное изменение этих величин, стремится Волна возникает под действием
который в начальный
к нулю. Поскольку в динамике невязкого и не­ поршня,
момент начал вдвигаться в
с постоянной скоростью.
теплопроводного газа, т. е. при условии, что газ
На верхнем рисунке — исходное
мы отвлекаемся от молекулярной структуры
состояние.
вещества, нет никаких характерных длин,
постольку не ограничены возможности существования сколь угодно тонких
переходных слоев, в пределе сводящихся к разрыву. Эти разрывы и пред­
ставляют собой ударные волны.
Найдем неизвестные величины: плотность и давление газа в сжатой
области Q pi, а также скорость распространения разрыва по невозму­
щенному веществу!), исходя из общих законов сохранения массы, импуль­
са и энергии, выполнение которых не подлежит сомнению. Параметры
невозмущенного газа Q , p и скорость поршня и, с которой совпадает
скорость газа, будем считать известными. К моменту t в столбе с сечением
в 1 см движение охватывает массу газа, равную QoDt. Эта масса занимает
объем (D — и) t, т. е. плотность сжатого газа @j удовлетворяет
условию:
0
0
1
1
U
0
0
2
Q (D — и) t = Q Dt.
t
0
Масса Q Dt приобретает количество движения Q Dt-u, которое по
закону Ньютона равно импульсу сил давления. Результирующая сила,
действующая на сжатый газ, равна разности давлений со стороны поршня
и со стороны невозмущенного вещества, т. е.
0
0
QoDut = (
Pi
— р ) t.
0
48
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ.. Г
Наконец, приращение суммы внутренней и кинетической энергий
сжатого газа равно работе внешней силы, толкающей поршень p^ut:
Qo Dt\^ e — е + - у ) = PiUt.
t
0
Сокращая в этих равенствах время t, получим систему трех алгебраиче­
ских уравнений для определения трех неизвестных величин p , Q D через
известные и, Q , р (термодинамическая связь s (p, д), конечно, пред­
полагается известной).
Преобразуем эти уравнения таким образом, чтобы с правой стороны
равенств стояли только величины, относящиеся к области перед разры­
вом, а с левой — параметры газа за разрывом. Для этого заметим, что
если D — скорость распространения разрыва по неподвижному газу,
то и = — D — скорость, с которой невозмущенный газ втекает в разрыв,
a D — и •— скорость распространения разрыва относительно движущегося
за ним газа, т. е. и^ = — (D — и) — это скорость, с которой газ вытекает
из разрыва. Вводя эти обозначения в уравнения, запишем закон сохра­
нения массы:
^Q U = Q U.
(1.61)
t
0
b
0
0
i
i
Q
0
Закон сохранения импульса при помощи (1.61) приобретает вид
J Pi + Qiul = p + Q ul.
0
(1.62)
0
Закон сохранения энергии при помощи уравнений (1.61) и (1.62)
преобразуется к виду
Вводя удельную энтальпию w — е -{-p/Q, можно переписать его иначе:
1
^ + 4=^0+4-
64
t- )
Полученные уравнения представляют собой записанные в наиболее
общей форме соотношения между газодинамическими величинами на
поверхности разрыва, в который газ втекает по направлению, нормально­
му к самой поверхности.
Замечательно, что они не содержат никаких предположений о свой­
ствах вещества и являются выражением лишь общих законов сохранения
массы импульса и энергии.
Уравнения (1.61) — (1.63) можно вывести и непосредственно, рас­
сматривая разрыв в системе координат, в которой он покоится. Посколь­
ку разрыв является бесконечно тонким, внутри него не происходит
накопления массы, импульса и энергии. Следовательно, потоки этих
величин со стороны невозмущенного газа равны потокам по другую сто­
рону разрыва. Если на разрыв нормально к поверхности набегает газ
с плотностью Q и скоростью и , то поток массы есть QpU > он равен массе,
вытекающей через 1 см в 1 сек с другой стороны разрыва, т. е. QiU^. Таким
образом, получаем уравнение (1.61). Втекающая через 1 см в 1 сек масса
Q U обладает количеством движения Q U -U . Приращение количества дви­
жения при переходе через разрыв q ul — Q ul равно импульсу сил давле­
ния за 1 сек р — р\ или, что то же самое, потоки импульса р -\- QU по обе
стороны разрыва равны друг другу (то, что величина р -f- QU представляет
собой плотность потока импульса при плоском движении, видно из фор­
мул (1.7), (1.8)). Так получается уравнение (1.62).
0
0
0
2
2
0
0
0
t
0
0
0
2
0
2
§ 13]
ВВЕДЕНИЕ В ГАЗОДИНАМИКУ ПОНЯТИЯ ОБ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
49
Приращение полной (внутренней и кинетической) энергии газа, про­
текающего в 1 сек через 1 см поверхности разрыва Q U
( i + y ) ~~
2
e
0
0
— ( е _|_ -^ j
равно работе сил давления, совершаемой в 1 сек из
расчета на 1 см поверхности. Эта работа равна р и — Piiii. Для того
чтобы пояснить происхождение этой величины, представим себе трубу,
по которой течет газ справа налево, про­
текая через разрыв, находящийся где-то
"оРо
",Р>
посередине (рис. 1.26). Справа и слева
в трубе помещены поршни, которые дви­
жутся со скоростями и и Ui таким обра­
зом, чтобы поверхность разрыва поко­
илась. Правый поршень, к которому при­ Рис. 1.26. Опыт, поясняющий
ложено давление р , гонит газ через вывод выражения для работы.
трубу, совершая работу р и
в 1 сек
на1 см . Над левым поршнем газ совершает работу р^и^ (поршень «совер­
шает» над газом отрицательную работу —p\Ui). Таким образом, полная
работа, совершенная над газом, равна р и — Р\Щ. Приравнивая ее при­
ращению энергии газа, получим уравнение (1.63). Его можно истолковать
и иначе: полные потоки энергии по обе стороны разрыва QU ( е + -пЧ— j ,
выражение для которых следует из уравнения энергии, записанного
в форме (1.10), равны друг другу.
Формально соотношения (1.61) — (1.63), свидетельствующие о равен­
стве потоков массы, импульса и энергии через поверхность разрыва, можно
получить и из дифференциальных уравнений (1.2), (1.7), (1.10), которые
являются выражением тех же законов. Запишем эти уравнения для
плоского случая:
0
t
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
д
д
(1.65)
д
дх [ в в ( в + - £ + -§-)]
Будем сначала формально рассматривать разрыв как некий тонкий
слой с большими градиентами всех величин и проинтегрируем уравнения
по этому слою от х до x . Например,
~dt
QU
QB
0
t
1
1
J -jT (Qu) dx = — J -^ (р + QU ) dx.
2
Теперь произведем предельный переход, устремив толщину слоя x — х
к нулю. Интегралы в левых частях, пропорциональные х — х -*• 0,
исчезают (что и соответствует отсутствию накопления массы, импульса
и энергии в разрыве). Интегралы же в правых частях дают разности
потоков соответствующих величин по обе стороны разрыва, т. е. мы при­
ходим к уравнениям (1.61) — (1.63).
Следует подчеркнуть формальный характер последнего вывода соот­
ношений на ударном разрыве (1.61) — (1.63). Он свидетельствует только
о том, что выражения для потоков массы, импульса и энергии, стоящие
i
±
4
я . Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
0
0
50
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
под знаками дивергенции в дифференциальных уравнениях, являются
совершенно общими, независимо от того, непрерывно течение или нет.
Если считать разрыв не математической поверхностью, а неким тонким
слоем конечной толщины, где газодинамические величины меняются
очень резко, но непрерывным образом, то применять к этому слою урав­
нения (1.65), в которых не учтены вязкость и теплопроводность, нельзя.
Ниже мы увидим, что энтропии газа по обе стороны разрыва различны,
тогда как в дифференциальных уравнениях (1.65) заложено условие
постоянства энтропии (адиабатичности движения). Отметим внешнее
сходство энергетического соотношения на ударном разрыве (1.64) с инте­
гралом Бернулли для стационарного потока
BOOKS.PROEKTANT.ORG
2
и
w-\--^- = const,
БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ
КОПИЙ КНИГ
справедливого вдоль линии тока.
для проектировщиков
и технических специалистов
§ 14. Ударная адиабата
Уравнения (1.61) — (1.63), связывающие между собой параметры газа
по обе стороны разрыва, представляют собой систему трех алгебраиче­
ских уравнений относительно шести величин: и , Q , p , и рд, p (термо­
динамические свойства вещества, т. е. функции г (/>, Q) или w (p, Q) пред­
полагаются известными). Зная термодинамические параметры газа перед
разрывом Qo, Po и задаваясь какой-нибудь из величин, характеризующих
амплитуду ударной волны, например, давлением за фронтом волны р
или скоростью «поршня», создающего волну \и\ = и — и , можно
вычислить все остальные неизвестные величины. Выпишем некоторые
общие соотношения, следующие из законов сохранения (1.61) г- (1.63).
Введем вместо плотностей удельные объемы V = 1/Q . VI — 1 /QiИз уравнения (1.61) получим
0
0
0
и
t
±
0
0
±
0
Исключая из первых двух уравнений (1.61) — (1.62) сначала одну, а потом
другую скорость, найдем
< = Vl£^,
(1.67)
(1.68)
Если ударная волна создается в покоящемся газе движением поршня,
для скорости движения сжатого газа относительно невозмущенного,
равной скорости «поршня», получим формулу
\u\ = u -u =:V(Pi-Po){Vo-V ).
0
l
(1.69)
i
Отметим полезную формулу для разности кинетических энергий
газа по обе стороны разрыва в системе координат, BJ которой разрыв
покоится:
•1 К - и\) = i - ( - р ) (V + V ).
P l
0
0
t
(1.70)
§ 15]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С ПОСТОЯННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ
51
Подставляя выражения для квадратов скоростей (1.67), (1.68) в уравнение
энергии (1.63), получим соотношение, связывающее давления с удель­
ными объемами по обе стороны разрыва:
ei (PiVi) - e (PoVo) = \ (Pi + Po) (Vo-V,).
(1.71)
0
Заменяя удельные внутренние энергии на удельные энтальпии по
формуле w = e-i pV, перепишем эту формулу в другом виде:
r
w -w
i
= ^-(Pi-Po)(Vo
0
+ V ).
(1.72)
1
По аналогии с соотношением, связывающим начальные и конечные дав­
ления и объемы при адиабатическом сжатии вещества, выражения (1.71)
или (1.72) носят название ударной адиабаты или адиабаты Гюгонио.
Ударная адиабата представляется функцией
Pi^HiV^po.Vo),
(1.73)
которая в ряде конкретных случаев, когда термодинамические связи
е = е (р, V) выражаются простыми формулами, может быть найдена
в явной форме.
Ударная адиабата имеет существенное отличие от обычной адиабаты
(адиабаты Пуассона в идеальном газе с постоянной теплоемкостью).
В то время как последняя представляет собой однопараметрическое семей­
ство кривых p = P(V, S), где параметром служит только значение
энтропии S, адиабата Гюгонио зависит от двух параметров: давления
и объема в начальном состоянии р , V . Чтобы исчерпать все кривые
p = P(V,S),
достаточно пройти одномерный ряд значений энтропии S.
Чтобы исчерпать все кривые р — Н (V, р , V ), надо построить «бесконеч­
ность в квадрате» кривых, отвечающих всем возможным р и V .
0
0
0
0
0
Q
§ 15. Ударные волны в идеальном газе с постоянной
теплоемкостью
Особенно простой вид преобретают формулы для ударной волны
в случае идеального газа с постоянной теплоемкостью. На этом примере
удобно выяснить все основные закономерности изменения величин
в ударной волне. Подставим в уравнения ударной адиабаты (1.71) или (1.72)
соотношения
s = c T = ^- pV;
v
w^CpT^^L-pV.
r
(1.74)
Это дает возможность найти в явном виде уравнение ударной адиабаты:
Pi „. (У + 1)Ур-(у-1)У1
Ро (Y + i)Vi-(Y-l)V '
Для отношения объемов получим формулу:
и *ч
7
0
7 _ (у —l)Pi + (y + l)Po
V
(y + i)Pi + (y-i)Po '
Отношение температур равно
t
0
T
? i _.
PiVi
Т
pV
0
0
,л
К
,
>
7fi
(1.77)
0
4*
52
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
С помощью (1.76) скорости по формулам (1.67) и (1.68) можно представить
через давления и начальный объем:
(1.78)
«S = - ^ [ ( Y - l ) P o + (Y + l)Pi],
„ 2 _ ^о [(Y+DPo + (Y-l)Pil
2 [(Y—l)Po+(Y + l)Pil
2
(1.79)
Выясним на примере идеального газа с постоянной теплоемкостью
некоторые закономерности для ударных волн. Ударная адиабата пред­
ставляет собой кривую на плоскости р, V, которая проходит через точку
начального состояния р , V .
Эта кривая изображена на рис. 1.27. В принципе формулу (1.75)
можно распространить и на давления, меньшие начального р < р .
Как мы увидим ниже, в § 17, эта часть кривой
соответствует физически неосуществимым со­
иР,
стояниям. Поэтому она проведена на рис. 1.27
пунктиром. Из формулы (1.76) видно, что в слу­
чае ударной волны очень высокой амплитуды,
когда давление за фронтом гораздо больше
начального, плотность газа при возрастании
амплитуды увеличивается не беспредельно,
а стремится к определенному значению. Это
предельное сжатие в ударной волне зависит
только от показателя адиабаты и равно
0
0
4
п -
М
^ч
!
"«
"0 ,_ Y-t-i
,л о т
-^~у —у=Г-
(1-80)
Qi _
>-^
7
V
*
0
TT
Ч/а
Для одноатомного газа с у = о/о предель­
Рис. 1.27. Ударная адиа­
ное сжатие равно 4. Для двухатомного газа
бата.
в предположении, что колебания не возбу­
ждены, Y 7/5, и предельное сжатие равно 6;
если считать,"'что колебания возбуждены, у = 9/7 и сжатие равно 8.
В действительности, при высоких давлениях и температурах теплоем­
кость и показатель адиабаты в газах уже не являются постоянными,
так как в газе происходят диссоциация молекул и ионизация атомов.
Ударная адиабата с учетом этих процессов будет рассмотрена в гл. I I I .
Однако и в этом случае величина сжатия всегда остается ограниченной
и чаще всего не превышает 11—13. Сжатие газа в ударной волне при
данном большом отношении давлений тем сильнее, чем выше теплоемкость
и меньше показатель адиабаты.
Поскольку при больших давлениях p плотность возрастает очень
медленно с ростом давления, температура сжатого газа растет пропор­
ционально давлению (см. формулу (1.77) при F я* const). В пределе
сильной волны, когда pilpo > 1 и VilV « (у — 1)1 (у + 1)»
=
t
4
0
Г
(1.81)
Y + l Po
0
Скорости в пределе при pi/p -*• °° растут пропорционально корню
из давления. Как видно из формул (1.67) и (1.68), при pi > р
0
0
§ 15]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С ПОСТОЯННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ
53
Очень важные следствия можно получить, сопоставляя скорости газа
по обе стороны разрыва с соответствующими скоростями звука. В идеаль­
ном газе с постоянной теплоемкостью
-(£).-Ti-wСоставим отношения скоростей газа относительно разрыва к скоростям
звука:
,
(Y—1) + (Y+1)-| "о
V
Ро_
Vс J
2
A
и
z
0
1
Y
( 1 - 8 3 )
Г и \2
(Y-1) + (Y + 1)-^( £ ) =
2V
К
^
В предельном случае ударной волны малой амплитуды, когда давле­
ния по обе стороны разрыва близки друг к другу, p тр , (Pi —Ро)1Ро С 1>
согласно формуле (1.76), также мало и сжатие газа: V та V ; близки
друг к другу и скорости звука c «* c . Из формул (1.83) и (1.84) видно,
что в этом случае и д? c » Ci ?» и\. Но и есть скорость распространения
разрыва по невозмущенному газу. Таким образом, слабая ударная волна
бежит по газу со скоростью, очень близкой к скорости звука, т. е. практи­
чески не отличается от акустической волны сжатия. Это не удивительно,
ибо при малом отличии pi от р мы имеем дело с малым возмущением.
Далее, из формул (1.83) и (1.84) видно, что в ударной волне, в которой
происходит сжатие газа (Vi < V , pi > р ), газ втекает в разрыв со сверх­
звуковой скоростью и > с , а вытекает из него с дозвуковой u < с
(то, что Vi < V , Q > Q при pi > p , следует и из общих формул (1.67),
(1.68)). Можно сказать иначе: ударная волна распространяется по невозму­
щенному газу со сверхзвуковой скоростью, а по сжатому газу, находя­
щемуся за нею, с дозвуковой. Чем выше амплитуда ударной волны, т. е.
чем больше отношение pilp , тем больше скорость фронта волны и по
сравнению со скоростью звука в невозмущенном газе с . Отношение же
Ui/Ci в пределе сильной волны pi > р стремится к постоянной величине
t
0
t
t
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
t
0
4
0
0
0
0
0
ui/ci^Y(y
- l)/2v"< l.
Рассмотрим, что происходит с энтропией газа при сжатии его удар­
ной волной. Энтропия идеального газа с постоянной теплоемкостью с точ­
ностью до константы равна S = c ln pV . Разность энтропии по обе
стороны фронта ударной волны с помощью формулы (1.76) можно пред­
ставить в виде
_1)-£L (Y + 1)
Ро
Si—S = c \n—i-^ = c l n | - ^ (1.85)
y
v
(Y
0
v
+
v
(Y + l)-£Ро + (Y-l)
В предельном случае слабой волны {pi та р ) выражение в фигурных
скобках близко к единице и S « S . При возрастании амплитуды волны,
т. е. при увеличении отношения Pi/p , начиная от единицы, выражение
в фигурных скобках, как легко проверить, монотонно растет, стремясь
к бесконечности прир±/ро->- °°- Таким образом, энтропия газа, испытываю­
щего ударное сжатие, возрастает, причем тем сильнее, чем выше амплитуда
ударной волны. Возрастание энтропии свидетельствует о том, что в удар­
ной волне происходят необратимые, диссипативные процессы, связанные с
существованием вязкости и теплопроводности вещества. Теория, в которой
0
t
Q
0
54
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
эти процессы не учитываются, естественно, не может описать сам
механизм ударного сжатия, не может описать структуру того тонкого,
но в действительности конечного слоя, в котором происходит переход
газа из начального состояния в конечное. Именно поэтому в теории, где
вязкость и теплопроводность не приняты во внимание, ударный разрыв
представляется математической поверхностью с нулевой толщиной. Как
было отмечено выше, в такой теории нет характерной длины, которая
могла бы послужить масштабом для толщины разрыва. При учете моле­
кулярной структуры газа, т. е. процессов вязкости и теплопроводности,
такой масштаб появляется. Это — длина свободного пробега молекул,
которой пропорциональны коэффициенты вязкости и теплопроводности
и которая, в действительности, служит мерой реальной ширины разрыва.
Существенно, однако, что сама величина возрастания энтропии при
ударном сжатии совершенно не зависит от механизма диссипации и опре­
деляется исключительно законами сохранения массы, импульса и энергии.
От механизма диссипации зависит только ширина разрыва, т. е. скорость,
с которой происходит необратимое нагревание газа, испытывающего удар­
ное сжатие. Так, стакан горячей воды непременно остывает до вполне
определенной, комнатной температуры, совершенно независимо от меха­
низма теплообмена с окружающей средой, которым определяется лишь
скорость остывания.
От механизма диссипации зависят величины градиентов газодинами­
ческих величин в переходном слое, но не скачки этих величин между
конечным и начальным состояниями, которые определяются только
законами сохранения. Например, если Ар = pi — р есть скачок давления
в ударной волне, а Ах — ширина переходного слоя, то при изменении
коэффициентов вязкости и теплопроводности меняются Ах и dp/dx -~
~ Ар/Ах, но произведение Ах -^- да Ар остается неизменным. В пределе,
когда коэффициенты вязкости и теплопроводности устремляются к нулю,
Ах -*• 0, а
, ~ -г—v оо, градиенты становятся бесконечными, что
и соответствует разрыву.
Дифференциальные уравнения газовой динамики без учета вязкости
и теплопроводности лишь допускают возможность существования раз­
рывов, но не могут описать непрерывным образом переход из начального
в конечное состояние, ибо в уравнениях автоматически заложено условие
адиабатичности процесса, dSIdt •= 0, эквивалентное уравнению энергии.
Дифференциальные уравнения содержат четыре закона сохранения:
массы, импульса, энергии и энтропии, тогда как в разрыве выполняются
только три из них, все, кроме закона сохранения энтропии.
К вопросу о толщине фронта ударной волны, который может быть
решен лишь при учете молекулярной структуры вещества, т. е. при
«микроскопическом» рассмотрении процесса ударного сжатия, мы вернем­
ся ниже, в § 23. Теперь же продолжим «макроскопическое» описание
явления ударного сжатия, исходя только из законов сохранения массы,
импульса и энергии.
0
р
§ 16. Геометрическая интерпретация закономерностей ударного сжатия
Для лучшего уяснения различных закономерностей в теории ударной
волны и свойств ударной адиабаты очень полезны графические построения
на диаграмме р, V. Проведем на плоскости р, V через точку А начального
состояния вещества р , V ударную адиабату НН (рис. 1.28). Будем
0
0
§ 16]
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ УДАРНОГО СЖАТИЯ
55
считать, что характер этой кривой аналогичен ударной адиабате идеаль­
ного газа с постоянной теплоемкостью, т. е. что кривая везде обращена
выпуклостью вниз: вторая производная d p/dV в каждой точке положи­
тельна. В целях наглядности мы будем иллюстрировать некоторые поло­
жения конкретными вычислениями на примере идеального газа с постоян­
ной теплоемкостью, однако можно показать, что закономерности являются
общими и справедливы для веществ
с другими термодинамическими свой­
ствами. Единственное условие, кото­
рое накладывается на эти свойства,—
это чтобы ударная адиабата во всех
точках была обращена выпуклостью
Pi
вниз. Пусть вещество после удар­
ного сжатия из состояния А (р , V )
переходит в состояние В (р Vi),
изображаемое точкой В, лежащей
на ударной адиабате.
[______j^»M^
По формуле (1.67) скорость рас­ Ро
р
пространения ударной волны по не­
Т и
возмущенному веществу дается вы­
i
»
ражением
2
2
"' Ч*
0
0
и
— •
2
2
Z) = и = F
^ -Ро
2
•—
> -
Рис. 1.28. р,7-диаграмма.
НН — адиабата Гюгонио, РР — адиабата
Пуассона, К К — касательная к обеим адиа­
батам в точке начального состояния А(У . Ро)-
Графически эта скорость определяет­
ся наклоном прямой АВ, проведенной
из начального состояния в конечное ((pi — Po)/(V — Vt) равно тангенсу
угла наклона прямой). Из рис. 1.28 видно, что чем выше конечное давле­
ние (чем мощнее ударная волна), тем больше наклон прямой и тем больше
скорость волны. (Для иллюстрации на рис. 1.28 проведены две прямые,
АВ и АС.)
Посмотрим, чем определяется начальный наклон ударной адиабаты
в точке А. Вычислим производную dpJdVi с помощью формулы (1.75)
для идеального газа с постоянной теплоемкостью:
0
0
(У—1)/>о
(Y+l)Pi-(Y-l)F
Ро1(У+1)Го-(У-1)Г11(У + 1)
[(Y + l)^i-(Y-l)V ]«
0
0
Взяв производную в точке А, т. е. положив V = V , получим
(dpi/dVt) = — YPo/Vo- Но эта величина есть не что иное, как наклон
адиабаты, Пуассона р ~ V~v, проходящей через точку A: (dp/dV) —
= — yp/V. Таким образом, в точке А ударная адиабата касается адиабаты
Пуассона, проходящей через эту точку. Обычная адиабата РР, соответ­
ствующая начальной энтропии газа S = S (Po,V ), также проведена на
рис. 1.28. Касание адиабат в начальной точке иллюстрируется и общей
формулой (1.67) для скорости ударной волны. В пределе слабой волны,
когда (pi —Ро)/Ро -*• 0, ударная волна не отличается от звуковой, изме­
нение энтропии стремится к нулю, и скорость волны D совпадает со ско­
ростью звука:
t
0
0
s
0
П2
=
Т/2 Pi — PO
0
V -V,
n
^
•VI
0
AV
Вообще же наклон прямой АВ всегда больше наклона
к адиабате в точке А, так что всегда D = и > с .
0
0
касательной
56
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Начальный наклон ударной адиабаты определяется скоростью звука
в исходном состоянии. Строго это будет доказано для общего случая про­
извольного вещества в § 18. Непосредственным вычислением по формулам
для идеального газа с постоянной теплоемкостью можно убедиться в том,
что в точке А совпадают не только первые, но и вторые производные от
адиабат Гюгонио и Пуассона, т. е. в точке А имеет место касание второго
порядка. Это положение также является
общим (см. § 18).
:Р
Адиабата Гюгонио везде проходит
0
Р
выше обычной адиабаты, проведенной
^
из начальной точки, как показано на
рис.
1.28. В
самом
деле,
при
ударном сжатии от объема V до объема
Vi<L V энтропия повышается, а при адиа­
\ \ \
батическом — остается неизменной. Но при
^
одинаковом объеме давление тем выше,
А
чем больше энтропия.
Приращение удельной внутренней
У
—-*энергии при ударном сжатии е — е
N
М
от состояния А до состояния В, как видно
из
выражения (1.71) для ударной адиа­
Рис. 1.29. К геометрической ин­
терпретации приращения энергии баты, численно равно площади трапеции
в ударной волне.
MABN, покрытой на рис. 1.29 горизон­
Н — ударная адиабата, Р — адиа­
тальной штриховкой.
бата Пуассона.
Если газ сжать адиабатически из
состояния А до того же самого объема
Vi (до состояния Q), то для этого нужно совершить работу, численно
равную площади фигуры MAQN, ограниченной сверху обычной адиа­
батой Р и заштрихованной вертикально. Эта площадь дает и прира­
щение внутренней энергии газа
Ь
0
0
0
4
0
е' — е = — \ pdV
v
0
0
(интегрирование ведется при S = S ). Для того чтобы привести газ
в конечное состояние В, необходимо его еще нагреть при постоянном
объеме Vi, сообщив ему количество тепла, численно равное разности
площадей, заштрихованных горизонтально и вертикально, т. е. равное
площади фигуры ABQ. Эта площадь и определяет возрастание энтропии
газа при ударном сжатии. Она равна
0
So
где Т — некоторая средняя температура на отрезке прямой QB (при
V = Vi — const).
В системе координат, в которой исходный газ покоится, он после
сжатия приобретает кинетическую энергию (на 1 г), равную, согласно
общей формуле (1.69),
("о—"i)
2
2
__ 1 / „
I ^ i " •Po)(Vo-Vd.
§ 16]
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ УДАРНОГО СЖАТИЯ
57
Эта энергия численно равна площадитреугольника^ШСна рис. 1.29, допол­
няющего трапецию MABN, площадь которой соответствует е* — е , до
прямоугольника MCBN.
Площадь этого прямоугольника p (V — Vi) представляет собой пол­
ную энергию, сообщенную «поршнем» 1 г первоначально покоящегося
газа. В сильной ударной волне, когда
Pi > J»o> она поровну делится между
приращениями внутренней и кине­
тической энергий: площ. MABN m
лшлощ. ABC:
0
t
0
-rPi(^i-^o).
-8 :
0
Разберем на диаграмме p,V со­
отношение между скоростями газа и
звука в конечном состоянии (рис. 1.30).
Проведем через точку В на адиабате
Н , соответствующей начальному со­
стоянию А, новую адиабату Н , для
которой точка В является начальной.
Из симметрии уравнения адиабаты отно­ Рис. 1.30. р,У-диаграмма, поясняю­
сительно перестановки индексов «О» и щая соотношение между скоростями
газа и звука в ударной волне.
«1» следует, что если pi = Н (Vi, p , V ),
то р = Н (V , pu Vi). Другими сло­
вами, адиабата Н , формально продолженная в сторону давлений,
меньших начального, пересекает адиабату Н в точке А. Взаимное рас­
положение адиабат Н и Н таково, как это показано на рис. 1.30, в чем
легко убедиться на примере идеального газа с постоянной теплоемко­
стью *). Скорость распространения волны относительно сжатого газа
определяется формулой (1.68)
А
в
0
0
0
0
в
А
А
в
u\ = V\ Pi—Ро
Vo—Vi
Квадрат скорости звука в сжатом газе в точке В равен
2
2
с = —V
(-?-
Первая величина пропорциональна тангенсу угла наклона пря­
мой ВА, а вторая — тангенсу угла наклона касательной к ударной адиа­
бате Н в точке В (ударная адиабата Н и адиабата Пуассона, проходящая
через В, касаются друг друга). Взаимное расположение прямой В А
и адиабаты Н соответствует тому, что u < c .
В конце § Щ было отмечено, что, в отличие от адиабаты Пуассона,
адиабата Гюгонио зависит от двух параметров. Благодаря этому нельзя
путем сжатия газа несколькими ударными волнами, исходя из данного
в
в
в
t
t
*) То, что адиабата Нв проходит левее Н при давлениях более высоких, чем рд,
можно пояснить следующим образом. Если точка В соответствует сжатию газа из
состояния А очень сильной ударной волной, то адиабата Н проходит при р > рв
почти вертикально, отвечая предельному сжатию до объема, равного [(у — l)/(v + 1)] VАВ то же время, пропуская вторую ударную волну по газу из состояния В, мы
можем его сжимать вплоть до объема
А
А
2
t(Y-l)/(Y + l ) ] ^ B = [ ( Y - l ) / ( Y + l ) l F .
A
58
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
начального состояния, прийти к тому же самому конечному состоянию,
что и путем сжатия одной волной.
Так, например, если пропустить по одноатомному газу сильную удар­
ную волну, газ сожмется в четыре раза, а если пропустить одну за другой
две сильные волны, оставляя неизмен­
ным конечное давление, получим сжа­
тие в 16 раз.
В то же время, разбивая адиабати­
ческий процесс на сколько угодно
этапов, придем к одной и той же плотно­
сти, если задано конечное давление.
Это положение
иллюстрируется
диаграммой р, V рис. 1.31, где изобра­
жены адиабата Пуассона и несколько
адиабат Гюгонио, отвечающих сжатию
газа
последовательными
ударными
волнами.
И
С
3
Р
б
Н
7
и м нои кДХ °у7арн о^ГТиа бТ
М ' Невозможность существования
тическом сжатиях газа до одинако- / у д а р н о й волны разрежения в веществе
вого давления p .
/
с нормальными свойствами
t
H ^ H J J , HQ— ударные адиабаты, для
которых точки А, В, С являются начала
ными; Р — адиабата Пуассона.
t
В § 15 были выписаны формулы
для вычисления различных величин,
связанных с ударной волной, для
случая идеального газа с постоянной теплоемкостью. Из этих формул
непосредственно следовало, что в ударной волне, в которой происходит
сжатие вещества, выполняются следующие
неравенства:
/>i>P>, t
s
Pi > Ро> Qi > Qo.
Щ> с,
0
О >
4
и <с ,
1
S(j.
1
(1.86)
«)
Со>С„
и,<с,
s
M°
Одновременно со сжатием вещества и по­
M' >
вышением его давления растет и энтропия;
волна распространяется по невозмущенному
и,>с,
Б)
газу со сверхзвуковой скоростью, а по
и <с
сжатому газу за нею — с дозвуковой. Этот
/°ФА
режим схематически изображен на рис. 1.32, а.
Распространим теперь выражения (1.75) для
ударной адиабаты на давления, меньшие на­ Рис. 1.32.Схематические изо­
чального, и допустим, что существуют такие бражения ударных волн сжа­
разрывы, в которых происходит не сжатие, тия (а) и разрежения (б).
Газ втекает в разрыв справа
а
разрежение
газа:
Vi > V , p •< р .
Законы сохранения массы, импульса и энер­
гии, с помощью которых были получены формулы, связывающие скорости,
плотности и давления по обе стороны разрыва, никак не ограничивают
возможности существования таких разрывов. Из формул (1.83) — (1-84)
видно, что в этом случае и < с , а г г > с . Формула (1.85) для скачка
энтропии в разрыве свидетельствует о том, что энтропия газа при
этом уменьшается (выражение в фигурных скобках меньше единицы при
Pi<Po)s
0
0
0
0
{
0
1
1
0
§ 17]
НЕВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ
59
Мы приходим, таким образом, к режиму ударной волны разрежения,
в котором одновременно выполняются следующие неравенства:
Pi<Po,
Qi<Qo.
^ i > ^ o . Щ<с ,
0
Щ>с
и
S <:S ,
t
(1.87)
0
и который схематически изображен на рис. 1.32, б.
Геометрическая интерпретация этих неравенств, подобная изложен­
ной в § 16, представлена на рис. 1.33. Наклон прямой АВ меньше наклона
касательной к ударной адиабате Н в точке начального состояния А
(и < Со) и больше наклона касательной ко второй ударной адиабате Н ,
проведенной через точку конечного со­
стояния В (lit > C ).
Адиабата Пуассона Р, проходящая
через точку А в области pi <Zpo, стелется
выше ударной адиабаты Н . Этим и объ­
ясняется уменьшение энтропии при ударном
разрежении. При адиабатическом разреже­
нии до того же объема Vi давление р'
выше конечного p . Для того чтобы прийти
из Q в В, надо охладить газ при постоян­
ном объеме, т. е. уменьшить его энтропию.
Но до второму закону термодинамики,
за счет одних только внутренних процессов,
без отбора тепла наружу, энтропия вещест­
ва не может уменьшаться. Отсюда следу­
ет невозможность распространения волны Рис. 1.33. К геометрической ин­
разрежения в виде разрыва, и из двух терпретации неравенств в «удар­
режимов, существование которых допуска­
ной волне разрежения».
Я — ударная адиабата; Р—адиабата
ется законами сохранения массы, импульса Пуассона,
проходящая через точку
и энергии, требование возрастания энтро­ А начального
состояния; Н — удар­
пии выбирает только один — ударную вол­ ная адиабата, проведенная из точки
конечного состояния В.
ну сжатия. Это положение'носит совершен­
но общий характер и известно под назва­
нием теоремы Цемплена. В следующем параграфе будет показано, что
в волнах слабой интенсивности при условии положительности второй про­
изводной (d p/dV ) > 0 совокупности неравенств (1.86) или (1.87) выпол­
няются одновременно, совершенно независимо от конкретных термодина­
мических свойств вещества. Это положение можно доказать и для волн
не малой амплитуды и произвольного вещества. Единственное условие,
которое накладывается на свойства вещества,— это чтобы ударная адиа­
бата во всех точках была обращена выпуклостью вниз: (d p/dV*) > О,
подобно тому как это имеет место для идеального газа с постоянной тепло­
емкостью. Подавляющее большинство реальных веществ обладает именно
такими свойствами, так что утверждение о невозможности существования
ударных волн разрежения имеет весьма общий характер (о некоторых
исключениях речь пойдет ниже).
Невозможность существования ударной волны разрежения можно
пояснить следующим образом. Такая волна распространялась бы по
невозмущенному газу с дозвуковой скоростью и < с . Значит, если
в какой-то момент времени и возникнет состояние, подобное изображенно­
му на рис. 1.32, б, то возмущение от скачка плотности и давления побежит
вправо со скоростью звука с , обгоняя «ударную волну»; через некоторое
время разрежение охватит газ перед «разрывом», и разрыв попросту
А
0
в
t
А
t
А
в
2
2
s
2
H
0
0
0
60
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
размоется. Иными словами, ударная волна разрежения механически не­
устойчива. Наоборот, ударная волна сжатия распространяется по невоз­
мущенному газу со сверхзвуковой скоростью а > с ; состояние за фронтом
этой волны никак не может повлиять на состояние газа перед волною
и разрыв остается устойчивым. Относительно сжатого газа ударная волна
сжатия распространяется с дозвуковой скоростью щ <c с поэтому газо­
динамический режим за фронтом ударной волны влияет на амплитуду
волны.
Если, скажем, подогревать или сжимать газ за фронтом, то ударная
волна будет усиливаться, и наоборот, если за фронтом ударной волны
происходит охлаждение газа или его разрежение, то возмущения, несущие
разрежение, догоняют ударную волну и ослабляют ее.
В ударной волне разрежения положение было бы обратное: поскольку
она распространялась бы по разреженному газу со сверхзвуковой ско­
ростью, она не была бы подвержена воздействию каких-либо процессов,
происходящих за нею — была бы «неуправляемой».
Весьма существенно, что условие механической устойчивости ударной
волны совпадает с термодинамическим условием возрастания энтропии.
Механическая устойчивость может иметь место только тогда, когда волна
распространяется по невозмущенному веществу со сверхзвуковой ско­
ростью, иначе возмущение, вызываемое ударной волной, проникло бы
в исходный газ со скоростью звука, опередило бы ударную волну, размы­
вая тем самым резкий фронт волны. В то же время с условием возрастания
энтропии совпадает и условие, позволяющее представить себе причинную
связь явлений. Именно при возрастании энтропии ударная волна сжатия
распространяется по испытавшему превращение газу с дозвуковой ско­
ростью, т. е. внешние факторы, такие, например, как поршень, вдвигающий­
ся в газ, могут вызывать появление ударной волны и в дальнейшем воз­
действовать на ее распространение.
Таким образом, в веществе с нормальными термодинамическими
свойствами, когда (d p/dV*) > 0, ударные волны сжатия, соответствую­
щие возрастанию энтропии, оказываются механически устойчивыми и под­
верженными воздействию внешних причин. Возникновение ударной
волны разрежения невозможно как с термодинамической точки зрения,
так и с точки зрения устойчивости: возникший однажды крутой фронт
разрежения размылся бы с течением времени.
Приведем в заключение этого параграфа таблицу, иллюстрирующую
возможности осуществления различных режимов:
0
0
1;
i
s
Волна сжатия
Разрыв
Волна разрежения
Возможна; энтропия Невозможна; энтрорастет; механичепия уменьшается;
механическая
екая устойчивость
устойчивость
Плавное
рас­ Невозможна; неогра­ Возможна; распреде­
ниченное нараста­
пределение
ления становятся с
ние крутизны фрон­
течением времени
та, переходящее в
все более плавными
« перехлестывание»
§ 18]
, УДАРНЫЕ ВОЛНЫ СЛАБОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
61
§ 18. Ударные волны слабой интенсивности
Рассмотрим ударную волну слабой интенсивности, в которой скачки
всех газодинамических параметров можно рассматривать как малые вели­
чины. При этом пока не будем делать никаких предположений о термоди­
намических свойствах вещества, исходя только из законов сохранения.
Рассматривая внутреннюю энергию как функцию энтропии и удель­
ного объема, запишем приращение энергии в ударной волне в виде разло­
жения по малым приращениям независимых переменных около точки
начального состояния:
Все производные в этом разложении берутся в точке начального
состояния V S . Как мы сейчас увидим, приращение энтропии в волне
5 — S есть величина третьего порядка малости, если рассматривать
приращение Vi — V как малую первого порядка. Поэтому, ограничиваясь
разложением внутренней энергии до величин третьего порядка, можно
опустить члены, пропорциональные (Л\ — S ) (V ^V ),
( £ — S ) и т. д.
Согласно термодинамическому тождеству de = T dS — р dV,
0
4
0
0
0
2
0
l
0
t
0
Поэтому
е, - е = Г {S - So) - Ро {V - Vo) 0
0
t
l
Подставим это выражение в уравнение адиабаты Гюгонио (1.71)
и разложим в правой части ее давление p . Поскольку левую часть равен­
ства можно разложить до величин третьего порядка, в разложении давле­
ния достаточно ограничиться членами второго порядка по разности V — V
и опустить член, содержащий приращение энтропии, так как он даст
в правой части слагаемое, пропорциональное ( 5 j — S ) (У — V ), которое
есть величина более высокого порядка малости, чем
(V —V ) :
t
t
0
±
0
0
s
t
0
Pi=Po+(^) (V -V )+±(^ (V -V y.
s
i
0
s
1
0
Производя сокращения в уравнении адиабаты Гюгонио с подставлен­
ными разложениями, получим связь приращения энтропии с приращением
объема:
r ( S -.S
0
l
1
1
3
0
)= L(-^-) (Fo-F ) .
1
s
1
(1.88)
Если исходить из уравнения адиабаты Гюгонио, записанного в форме
(1.72), где вместо внутренней энергии стоит энтальпия, получим анало­
гичным путем
То № - So) = -4 ( | J )
S
(Pi - Ро?-
(1.89)
62
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
В тождественности обеих формул легко убедиться, подставляя раз­
ложение (p —р ) = (dpldV) (¥ ~ V ) в формулу (1.89) и замечая, что
t
а2
ар ар
Р
0
s
±
5р v dp/dF J
0
—
av v ар/аг у dp/ay
2
V зк у
v av J '
Формулы (1.88) и (1.89) показывают, что приращение энтропии в удар­
ной волне слабой интенсивности есть величина третьего порядка малости
относительно приращений Pi — po или V — V , которыми характери­
зуется амплитуда волны.
Из формул (1.88) и (1.89) видно, что знак приращения энтропии в удар­
ной волне определяется знаками вторых производных (d p/dV )s или
(d V/dp ) .
Если адиабатическая сжимаемость вещества — (dV/dp)
умень­
шается с увеличением давления, т. е. (d V/dp )
> 0 и (d p/dV )
> О,
обычная адиабата на плоскости р, V изображается кривой, обращенной
выпуклостью вниз (как в идеальном газе с постоянной теплоемкостью).
В этом случае энтропия растет (S >- S ) в ударной волне сжатия, когда
Pi > Ро, Vi <C Vo, и уменьшается в ударной волне разрежения. Если же
(dW/dp )
< 0, (d p/dV )
<C 0, положение обратное: энтропия растет
в ударной волне разрежения, когда p <C p , V > V , и уменьшается
в ударной волне сжатия. Поскольку для подавляющего большинства
реальных веществ (d V/dp )
> 0, то из условия невозможности уменьше­
ния энтропии и следует невозможность существования ударных волн раз­
режения. Это положение уже было сформулировано выше и продемон­
стрировано на конкретном примере идеального газа с постоянной тепло­
емкостью.
Запишем разложение давления р = р (S, V) около начальной точки
S , V вплоть до членов третьего порядка по Vi — V и первого порядка
по Si — S '0
t
2
2
2
2
s
2
2
2
s
2
s
t
2
2
s
0
2
s
s
t
2
0
l
0
2
s
0
0
0
0
+т(ж) ^-^+(ж),№-^
в
Опишем этим разложением начальные участки ударной и обычной
адиабат, проведенных через точку So, Vo- Члены первого и второго
порядков малости относительно V — V у обеих адиабат совпадают, т. е.
ударная и обычная адиабаты имеют в начальной точке общие касатель­
ные и общие центры кривизны (имеет место касание второго порядка).
Члены третьего порядка малости у адиабат отличаются. Третий член
в правой части разложения у обеих адиабат общий. Последний же, четвер­
тый, у обычной адиабаты исчезает, так как S — SQ = 0 (S = const),
а У ударной адиабаты, согласно (1.88), равен
t
0
t
У всех нормальных веществ давление с ростом энтропии при постоян­
ном объеме (во время нагревания при постоянном объеме) увеличивается,
т. е. (dp/dS)
> 0; (d p/dV )
также положительна. Следовательно, при
Vi > У о последний член отрицателен, а при V <C V положителен: при
Vi > V ударная адиабата проходит ниже обычной, а при V < V —
выше обычной. Таким образом, в начальной точке для обеих адиабат имеет
место касание второго порядка с пересечением.
2
v
2
s
t
0
0
t
0
§ 18]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ СЛАБОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
63
Взаимное расположение ударной адиабаты Я и обычной Р показано
на рис. 1.34. Для ясности отметим, что отрезок CD — величина первого
порядка малости относительно V — V DE — второго, a EF — третьего.
Вернемся к геометрической интерпретации приращения энтропии
в ударной волне (рис. 1.35). Как было показано в § 16, величина Т AS
изображается площадью фигуры AFBCEA. Разобьем ее прямой АС на
две части: сегмент АСЕ А и треугольник ABC. Площадь треугольника ABC
0
u
Рис. 1.34. Взаимное расположение ударной Н и обычной Р адиабат.
Рис. 1.35. К геометрической интерпретации
DK — касательная к адиабатам в точке на­
чального состояния А. В ударной волне сла­
бой интенсивности отрезок CD — величина
первого порядка малости, DE — второго,
EF — третьего.
приращения
энтропии
ударной волне.
в
равна половине произведения основания ВС на высоту V — V . Отрезок
ВС при небольших изменениях всех величин, т. е. в волне слабой интен­
сивности, равен (-Л)
AS, - е.
0
t
T
г
TAS = F
+^(%') {V -V )AS,
eeru
где F
c
v
0
1
площадь сегмента АСЕ А. Отсюда
AS = -
г
»
е
а
=т(ж)-<Уо-Уд-
При малых изменениях объема а -*- О и Т AS -> ^
, т. е. поправка
на площадь треугольника мала. И действительно, она более высокого
порядка малости, чем площадь сегмента, которая имеет порядок Т AS.
Составляя выражение для площади сегмента
с е г м
Vo
TAS = -Щ^~(У - V,) - J (p dV)
0
s=Sl
Vi
и подставляя разложения для слабых волн, придем, как и следовало ожи­
дать, к формуле (1.88).
Таким образом, и из геометрического построения видно, что знак AS
зависит от знака площади сегмента, т. е. от того, проходит ли секущая АС
64
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
выше или нише обычной адиабаты или, что то же самое, обращена ли
адиабата выпуклостью вниз или вверх.
Сопоставим скорости и , и со скоростями звука с , с . Как мы знаем,
отношение UQ/C определяется соотношением наклонов прямой АВ (см.
рис. 1.28) и касательной к адиабате Пуассона в точке А. Отношение Ui/c
определяется соотношением наклонов прямой АВ и касательной к адиа­
бате Пуассона, проведенной через точку В. Запишем выражения для
наклонов всех трех прямых:
0
±
0
4
0
t
Pi —Ро
'i-Уо
/• dp Л
i ^<F I
v
d
v
s A
S
"W" ) s
TV-) + Т ("S*)s„
( F l
So
=
=
Г dp \
~'
r
F
- °) -
п р я м а я
Л 5
'
-
.
i —касательная к адиабате в точке А,
V дК у s
0
С af" ) s
+
0
V.^)s
0
^
~ ^
~
к а с
а
т е л ь н а я
к
адиабате в точке В.
Последняя формула следует из того факта, что адиабата S = const
вплоть до членов третьего порядка относительно V — V параллельна
адиабате S = const. Замечая, что
t
±
Q
0
v sv ) S o <
0
' (4k)* >°. ^-^о<0,
видим, что прямая АВ проходит более круто, чем касательная в точке Л ,
но менее круто, чем касательная в точке В, откуда и > с , u < c .
Это непосредственно видно и из рис. 1.30.
Существенна внутренняя связь условий возрастания энтропии и усло­
вия механической устойчивости разрыва и > с . Оба условия непосред­
ственно вытекают из того факта, что адиабаты при уменьшении объема,
начиная от А, идут все круче и круче.
Итак, из рассмотрения ударных волн слабой интенсивности в веще­
стве с произвольными термодинамическими свойствами мы получили все
те следствия из законов сохранения, которые были выше продемонстри­
рованы на частном примере идеального газа с постоянной теплоемко­
стью. Единственное условие, которое нам при этом потребовалось,—
это положительность второй производной
(d p/dV ) .
0
0
0
t
t
0
2
2
s
§ 19. Ударные волны в веществе с аномальными
термодинамическими свойствами
Представим себе теперь вещество с аномальными термодинамическими
свойствами, такими, что вторая производная (d p/dV )
хотя бы в некото­
рой части адиабаты отрицательна. Обычная адиабата для такого вещества
в соответствующей области давлений и объемов обращена выпуклостью
вверх, как показано на рис. 1.36.
Из рассмотрения предыдущего параграфа следует, что при небольших
изменениях давления адиабата Гюгонио почти совпадает с адиабатой
Пуассона (с точностью до малых третьего порядка по V — V или p — р ).
В этом случае площадь фигуры APBMNA,
ограниченной сверху
адиабатой Пуассона, больше площади трапеции AEBMNA,
ограниченной
сверху секущей АЕВ, т. е. энтропия в ударной волне сжатия убывает
(это видно и из формулы (1.88)). В то же время благодаря тому, что наклон
секущей меньше наклона касательной в точке А, скорость распростране­
ния ударной волны по невозмущенному газу меньше скорости звука,
а поскольку наклон секущей АЕВ больше наклона касательной в точке В,
скорость за разрывом сверхзвуковая.
2
2
s
t
0
t
0
§ 19]
ВЕЩЕСТВО С АНОМАЛЬНЫМИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
65
Наоборот, в ударной волне разрежения энтропия растет (см. форму­
лу (1.88)). Как видно из сопоставления наклонов секущей АС и касатель­
ных в точках А и С, скорость перед разры­
вом сверхзвуковая, а за разрывом — дозву­
ковая.
Таким образом, и в веществе с аномаль­
ными свойствами условие возрастания энтро­
пии совпадает с условием механической устой­
чивости и > с и условием, допускающим
причинную связь между внешними факторами
и распространением волны: щ<Х1- В аномаль­
ном веществе невозможны ударные волны
сжатия, но возможны ударные волны раз­
режения. Вызванное движением поршня сжа­
тие в таком веществе будет распространяться
в виде волны, постепенно расширяющейся
наподобие волн разрешения в обычном газе. Рис. 1.36. Адиабата Пуассона
Ударный разрыв вообще не возникнет и дви­ вещества с аномальными свой­
ствами и геометрическая ин­
жение будет адиабатическим. Волна ше раз­ терпретация
соотношений для
режения будет распространяться в виде ударных волн сжатия и раз­
режения.
крутого фронта, который не будет расши­
ряться с течением времени и толщина кото­
рого^ будет определяться значениями вязкости и теплопроводности.
В обычных условиях все вещества—газообразные, твердые и жидкие —
обладают нормальными свойствами: адиабатическая сжимаемость их
уменьшается с возрастанием давления. Ано­
мального поведения вещества мошно ожидать
1
£_
V
вблизи критической точки жидкость — газ.
Ркр \^
Действительно, еще задолго до критической
V"
VP
точки изотермы газа имеют перегиб (в крити­
1 / V\\
*
ческой точке перегиб становится горизонталь­
(&#>
<f/,
ным). Для вещества с достаточно большой
'', Щ
\ff
молекулярной теплоемкостью, у которого по­
V
казатель адиабаты близок к единице, адиаба­
0,9
Л
ты и изотермы отличаются мало, и можно
ожидать, что вне области двухфазных состо­
%
яний адиабаты также будут иметь перегиб,
Ц8 Дбе фазы
'
т. е. обладать областью с аномальным знаком
жидтапьипар
второй производной, как это показано на
\
рис. 1.37, взятом из книги Я. Б . Зельдо­
QS W V Ifi W № Z° "" вича [2].
Кривая I на этом рисунке ограничивает
Рис. 1.37. Адиабата с аномаль­ область двухфазной системы, а кривая ТУ есть
ной выпуклостью в ван-дер- геометрическое место точек перегиба адиабат
ваальсовом газе с теплоемко­
стью су = 40 кал /град -моль. (d p/dV ) = 0. Она отделяет область, в которой
(d p/dV ) <0.
Н а рис. 1.37 проведена также
Заштрихована область двухфазных
систем. Кривая II ограничивает
одна адиабата, обладающая аномальностью.
область состояний с аномальной
выпуклостью адиабат. Под кривой
Кривые рассчитаны с помощью модельного
II (d p/dV')S < 0.
уравнения состояния Ван-дер-Ваальса для
случая теплоемкости с = 4 0 кал /град -моль.
Связь знака приращения энтропии и неравенств, касающихся скоростей
газа и звука, отвечающая обязательному совпадению условия возрастания
энтропии с условием механической устойчивости, может нарушиться
0
0
1ш
4 кv
2
2
2
2
s
s
2
у
5
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
66
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
только в том случае, если в рассматриваемом интервале изменения
давления осуществляются оба знака d p/dV , так что адиабата Пуассона
имеет больше двух точек пересечения с секущей. При этом могут возни­
кать сложные режимы с одновременным существованием и разрывов и при­
мыкающих к ним размытых волн.
Еще один случай аномального поведения вещества будет рассмотрен
в гл. X I ; аномалии в этом случае связаны с полиморфными превращениями
(фазовыми переходами) твердых тел при тех высоких давлениях, которые
достигаются в ударных волнах. Там же будут рассмотрены и указанные
сложные режимы.
2
2
3. ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ГАЗОДИНАМИКЕ
§ 20. Уравнения одномерного движения газа
Диссипативные процессы — вязкость (внутреннее трение) и тепло­
проводность — связаны с существованием молекулярной структуры
вещества. Они создают дополнительный, негидродинамический перенос
импульса и энергии и приводят к неадиабагичности движения, к термоди­
намически необратимому превращению механической энергии в тепло.
Вязкость и теплопроводность проявляются толь­
ко при наличии больших градиентов гидроди­
намических величин, которые имеют место,
например, в пограничном слое при обтекании
тел или внутри фронта ударной волны. В этой
книге вязкость и теплопроводность нас будут
интересовать в основном с точки зрения их
влияния на внутреннюю структуру фронта удар­
ных волн в газах. При изучении этой структуры
течение можно считать зависящим от одной ко­
ординаты х (плоским), так как толщина фронта
Рис. 1.38. Схема, поясняю­ ударной волны всегда намного меньше радиуса
щая вывод формулы для мо­
лекулярного переноса им­ кривизны его поверхности. Поэтому мы не будем
останавливаться на выводе общего уравнения
пульса.
движения вязкой жидкости (газа), который
можно найти, например, в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1], и
поясним только, как можно получить уравнения для одномерного, пло­
ского случая.
Запишем уравнение сохранения импульса для невязкого газа (1.7)
в плоском случае, когда все величины зависят только от одной координа­
ты х и скорость имеет только одну х-вую компоненту и
дП
П„с = р + QU
иг (еи)
хх
dt
^ '
2
дх
Примем во внимание теперь, что газ состоит из сталкивающихся
друг с другом молекул. Представим себе площадку единичного сечения,
перпендикулярную к оси х. Эту площадку с обеих сторон пронизывают
молекулы, летящие в определенных направлениях после того, как они
испытали последнее столкновение. Молекулы выходят после последнего
столкновения из слоев толщиной порядка среднего свободного пробега
молекул I, граничащих с площадкой с обеих сторон (рис. 1.38). Если
п — число молекул в 1 см , a v — их средняя тепловая скорость, то
в 1 сек площадку пересекает слева направо порядка nv молекул. Каждая
3
§ 20]
УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
67
из них переносит через площадку гидродинамический импульс ти, где т —
масса молекулы, т. е. плотность потока гидродинамического импульса
слева направо по порядку величины равна nv-mu. Аналогично, поток
гидродинамического импульса справа налево равен примерно nvm X
X (и + Л^)) где Ди — приращение гидродинамической скорости при
переходе от левого слоя к правому: Дц « ^ I. Связанная с молекулярным
переносом плотность потока аг-й компоненты импульса в ^-направлении
равна разности потоков слева направо и справа налево, т. е.— nvml— .
Эта величина и соответствует дополнительному переносу импульса за счет
внутреннего трения; она должна быть добавлена к плотности потока
импульса П
= р + ow .
Более строгое рассмотрение, основанное на изучении трехмерного дви­
жения, показывает, что в написанное выражение следует ввести числен­
ный коэффициент порядка единицы. А именно, уравнение сохранения
импульса с учетом вязкости в плоском случае имеет вид
2
хх
-§?№) =
ЪГ '
s
n « = p+ QB -o
t
o =
i \ - ^ ,
T
(1.90)
где ц — коэффициент вязкости, который для газов (при отсутствии релак­
сационных процессов; см. ниже) по порядку величины равен
г\ — nvml
=QVI.
Величина о' представляет собой хя-компоненту тензора вязких
напряжений. Появление ее в формуле для потока импульса эквивалентно
возникновению добавочного «давления», обязанного силам внутреннего
трения. От уравнения (1.90) с помощью уравнения непрерывности легко
перейти к уравнению движения
е-£—7йГ<*-«0да'
(1-91)
,
о
3
— есть сила внутреннего трения, рассчитанная на 1 см газа.
При наличии диссипативных процессов дополнительные члены появ­
ляются и в уравнении энергии. С добавочным, «вязким» давлением связан
дополнительный поток энергии. К выражению плотности потока энергии,
которое стоит под знаком дивергенции в формуле (1.10), надо прибавить
величину — о'и, аналогичную ри. Кроме того, в это выражение следует
ввести еще и поток энергии, переносимой механизмом теплопроводности:
эт
= - * - ^ '
(1-92)
J
где х — коэффициент теплопроводности. Выражение (1.92) легко получить
таким же путем, каким был найден вязкий поток импульса. При этом ока­
зывается, что в газах коэффициент теплопроводности по порядку величины
равен х ~ QC VI.
С учетом обоих диссипативных членов уравнение энергии (1.10),
записанное для плоского случая, приобретает вид
P
е
=
a
e
J
93
"ё"(б +-^г) --^-[e ( + g-) + pa-a'«+/J • (!- )
Преобразуя это уравнение с помощью уравнений непрерывности,
движения и термодинамического тождества Т dS = de + p dV, получим
5*
68
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
уравнение для скорости изменения энтропии частицы вещества:
dS
, ди
8J
4 f ди \ 2
д Г дТ \
т
[ГЛ. I
..
п /
.
Первый член в правой части этого уравнения представляет собой
механическую энергию, диссипируемую в 1 см в 1 сек за счет вязкости.
Он всегда положителен, так как и > 0 и (ди/дх) > 0; следовательно,
силы внутреннего трения приводят к локальному повышению энтропии
вещества. Второй член соответствует нагреванию или охлаждению веще­
ства вследствие теплопроводности. Он может быть как положительным,
так и отрицательным, так как теплопроводность приводит к перекачиванию
тепла из более нагретых областей в менее нагретые. Однако энтропия
всего вещества в целом вследствие теплопроводности только возрастает.
В этом можно убедиться, если поделить уравнение (1.94) на Т п проинте­
грировать по всему объему. Изменение энтропии вещества, занимающего
объем, ограниченный поверхностями х, и х , вследствие теплопроводно­
сти равно
3
2
2
"2
) т дх V
x
а
дх )
х
~ т
к
дх
+ ] т*\дх
х
l
i
a x
J
-
*i
Если вещество теплоизолировано на границах x и х , то потоки тепла
на границах исчезают и остается только второй член в правой части, кото­
рый всегда положителен (х > 0).
Уравнения газодинамики, записанные с учетом вязкости и теплопро­
водности, позволяют судить о том, при каких условиях роль этих диссипативных процессов может оказаться существенной.
Сравним инерционные силы в уравнении движения с силами вязкост­
ными. Если U — масштаб скорости движения, a d — характерные раз­
меры области, охваченной движением, то масштаб времени порядка d/U
и инерционный член Q du/dt порядка QU Jd. Член вязкости в уравнении
t
2
2
2
з~ ( ~о~ Л т" * порядка \\U Id
1
_
и отношение его к инерционному порядка
Г|
_
V
T*tT ~ ~~QUI '""" 175
I
С
d~~TF '
Обратная величина этого отношения носит название числа Рейнольдса
(v = I\/Q~ lv ~ lc — кинематическая вязкость, с ~ v — скорость зву­
ка). Аналогичным путем, сравнивая перенос тепла путем теплопровод­
ности с механическим переносом энергии, найдем, что отношение их
порядка
1 _
х
%
J_ с
W ~ QCpUd
Ud
d H''
где Ре — число Пекле, близкое в газах к числу Рейнольдса, так как коэф­
фициент молекулярной температуропроводности % = х / о с близок к коэф­
фициенту кинематической вязкости v. (Например, в воздухе при нормаль­
ных условиях v да % да 0,15 см /сек).
ь*
Таким образом, вязкостью и теплопроводностью можно пренебречь
при Re да Ре > 1. Если рассматривать движение со скоростями, мень­
шими или сравнимыми со скоростью звука, размеры системы для этого
должны быть гораздо больше длины пробега молекул d/l > 1. Это уелор
2
ЗАМЕЧАНИЯ О ВТОРОЙ ВЯЗКОСТИ
§ 21]
69
вие, как мы увидим, не выполняется, в частности, в области фронта удар­
ной волны, толщина которой сравнима с длиной пробега молекул. Поэтому
внутри фронта ударной волны диссипативные процессы оказываются суще­
ственными. Именно они и приводят к возрастанию энтропии в удар­
ной волне.
§ 21. Замечания о второй вязкости
При написании уравнений газодинамики и использовании термодина­
мической связи между давлением и другими термодинамическими харак­
теристиками вещества молчаливо предполагалось, что давление р, опре­
деляющее силы в движущемся газе, не отличается от статического давле­
ния j3 , измеренного в покоящемся газе в тех же условиях (т. е. при
таких же составе газа, его плотности, внутренней энергии, температуре).
Давление есть величина скалярная, не зависящая от выбора системы
координат, от направлений скорости движения и градиента скорости.
Требование скалярности давления, инвариантности его по отношению
к преобразованиям координат, допускает предположение более общее,
чем предположение о зависимости только от термодинамического состоя­
ния вещества. Давление, вообще говоря, может зависеть от скаляра —
дивергенции скорости. При небольших градиентах, ограничиваясь первы­
ми членами разложения, как и при выводе вязких сил, можно записать
общее выражение
Р = Рст — £divM,
(1.95)
CT
где коэффициент | характеризует зависимость сил, действующих в веще­
стве, от скаляра div и. Коэффициент £ называется второй вязкостью.
В отличие от нее, коэффициент т), первая вязкость, характеризует силы,
зависящие от направлений скорости и ее градиента. Коэффициент пер­
вой вязкости в газе связан с поступательным тепловым движением моле­
кул. Если время установления статического давления порядка времени
свободного пробега молекул 1/с, то £ имеет такой же порядок, как и ц.
В плоском случае оба члена с первой и второй вязкостью при этом объеди­
няются вместе. В некоторых случаях, однако, £ имеет аномально большое
значение. Согласно уравнению непрерывности div и =
-~ , т. е. коэф­
фициент | характеризует зависимость давления от скорости изменения
плотности.
При наличии внутренних, медленно возбуждающихся степеней сво­
боды в веществе (например, колебаний в молекулах) и быстрых изменений
состояния вещества, давление не успевает «следить» за изменением плотно­
сти и отличается от термодинамически равновесной величины. Влияние
этого эффекта может быть описано с помощью коэффициента второй вяз­
кости (см. [1]), причем чем труднее возбуждаются в£?утренние степени сво­
боды, тем больше «несогласованность» изменений давления и изменений
плотности и внутреннего состояния вещества, тем больше вторая вязкость.
В очень быстрых процессах, когда эта «несогласованность» (отклонение
от термодинамического равновесия) особенно велика, линейная зависи­
мость (1.95) может оказаться недостаточной и в уравнения газодинамики
приходится вводить в явном виде описание релаксационных процессов —
кинетики возбуждения внутренних степеней свободы. Мы познакомимся
с этим явлением в главах VI, V I I , V I I I при рассмотрении релаксационных
процессов, их влияния на структуру фронта ударных волн и поглощение
ультразвука.
70
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
§ 22. Замечания о поглощении звука
В качестве примера влияния вязкости и теплопроводности на гидро­
динамическое движение рассмотрим процесс распространения звуковых
волн с учетом этих явлений.
Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипации энер­
гии звуковых волн, необратимому превращению ее в тепло, т. е. поглоще­
нию звука и уменьшению его интенсивности. Формально коэффициент
поглощения звука можно получить, если искать решение одномерных
линеаризованных уравнений газодинамики с учетом вязкости и теплопро­
водности в виде плоской гармонической волны типа exp [i (кх — att)],
где к — волновой вектор. При этом для к получается комплексное значе­
ние, действительная часть которого дает длину волны, а мнимая — коэф­
фициент поглощения: к — к^ + ik ", exp [i (кх — a>t)] =
е~ г е ^ ~ К
Коэффициент поглощения можно оценить и из физических соображений.
Согласно формуле (1.94), энергия, диссипируемая в 1 см в 1 сек, склады­
вается из двух частей, отвечающих вязкости и теплопроводности. В звуко­
вой волне с длиной волны X эти величины — порядка T ] W A И
ХАТ/№.
Здесь и — амплитуда скорости, a AT — амплитуда изменения темпера­
туры в волне (последняя пропорциональна и). Энергия звука в 1 см есть
Q U . Доля энергии, которая поглощается в 1 сек, состоит из двух слагаемых.
Член, связанный с вязкостью, порядка (г\и /Х )/д<,и* ~ T\IQ № ~ т]ш /с 0о.
Но в 1 сек звук проходит расстояние с, так что коэффициент поглощения
на единице длины порядка yi ~ г)(о /с о - Коэффициент поглощения на
к
х
1
х
ы
2
3
2
2
3
2
0
2
2
2
2
0
2
3
0
X
единице длины, связанный с теплопроводностью, порядка у ~
2
(О
2
§—
Ср С Qg
(в случае газов это легко понять, если учесть, что х / с « г ] В силу прибли­
женного равенства кинематической вязкости v = T^/Q и температуропро­
водности % = X / Q C ; В газах Yi *** Ys)- Эти выражения справедливы при
малом поглощении звука, когда мало убывание амплитуды на расстоя­
ниях порядка длины волны, т. е. уХ < 1 (у = yi + Уг)- В газах это усло­
вие означает, что
р
P
1
3
C Q
0
Л
2
С
КС
К
т. е. выражение для коэффициента поглощения справедливо для длин
волн, значительно больших пробега молекул, что фактически всегда имеет
место.
В веществе с замедленным возбуждением внутренних степеней свобо­
ды (при большой второй вязкости) возникают дополнительное, аномально
большое поглощение, а также дисперсия звука (зависимость скорости
звука от частоты). Этот вопрос будет рассмотрен в гл. V I I I .
§ 23. Структура и ширина фронта ударной волны
слабой интенсивности
Рассмотрим, каковы внутренняя структура и толщина того тонкого
слоя в ударной волне, в котором происходит переход газа из начального
состояния в конечное и который называется фронтом ударной волны.
В этом слое происходят резкое сжатие вещества, изменения его давления,
скорости и, как показали вычисления, основанные только на применении
законов сохранения массы, импульса и энергии,— возрастание энтро-
§ 23]
СТРУКТУРА И ШИРИНА ФРОНТА СЛАБОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
71
пии. Последнее свидетельствует о том, что в переходном слое имеет место
диссипация механической энергии, необратимое превращение ее в тепло.
Поэтому, чтобы понять, как происходит ударное сжатие, необходимо
привлечь к рассмотрению диссипативные процессы — вязкость и тепло­
проводность.
Рассмотрим плоское одномерное течение вязкого и теплопроводного
газа в системе координат, в которой фронт ударной волны покоится.
Ширина фронта очень мала по сравнению с характерными масштабами
длины для всего газодинамического про­
цесса в целом, например, по сравнению
с расстоянием от фронта ударной волны
до поршня, толкающего газ и создаю­
щего волну.
Даже если поршень движется с пе­
ременной скоростью и амплитуда удар­
ной волны меняется со временем, за то
х
малое время At, в течение которого
фронт проходит расстояние порядка сво­ Рис. 1.39. Схема, иллюстрирующая
ей ширины Ах, амплитуда волны остает­ постановку задачи о структуре фрон­
та ударной волны.
ся практически неизменной. Поэтому на
протяжении некоторого времени, малого
по сравнению с общим временным масштабом газодинамического процес­
са, но большого по сравнению с At, вся картина распределения газо­
динамических величин во фронте волны распространяется по газу в
«застывшем» виде как целое. Другими словами, в системе координат, в
которой фронт покоится, течение газа можно в каждый данный момент
считать стационарным.
Запишем уравнения непрерывности, импульса и энтропийное с учетом
вязкости и теплопроводности для плоского стационарного случая.
Поскольку процесс стационарен, частную производную по времени dldt
можно опустить, а частную производную по координате dldx заменить
полной dldx:
4dxг М = о,
~t(
rp dS
Р+^4
4
du
~3^~dx'
f du \ 2
d f
'О,
dT \
(1.96)
С помощью второго закона термодинамики Т dS = dw — V dp и урав­
нений непрерывности и импульса энтропийное уравнение можно записать
в форме уравнения энергии:
d [QB(U;+-|dx
4
du
dT
dx
bO-
ll. 97)
Подчиним решение этих^уравнений граничным условиям, согласно
которым градиенты всех величин перед фронтом, при х = — оо, и за
фронтом, при х = + оо, исчезают, а сами величины принимают свои
начальные и конечные значения, которым мы по-прежнему приписываем
индексы «О» и «1» (рис. 1.39).
72
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Первые интегралы системы уравнений массы, импульса и энергии
получаются сразу же:
QU = Q U ,
(1.98)
0
,
,
4
0
du
,
2
(1.99)
2
р + QU — -j f\ -J- = p + Q ul,
0
QU
2
f
, и \
4
w
\. +-2-)—3-W-te
du
— X
<?r
Q
QU
rfa;
0
0
(1.100)
(-0+4
Постоянные интегрирования здесь выражены через начальные зна­
чения величин, р, Q, Т, и рассматриваются как функции текущей коор­
динаты х *).
Из уравнения (1.99) видно, что благодаря наличию вязкости, т. е. чле­
на, содержащего duldx, распределение величин по х во фронте волны
должно быть непрерывным (в противном случае градиент duldx обращался
бы в бесконечность, что несовместимо с
конечностью самих величин).
В целях лучшего понимания ролей
каждого из процессов, вязкости и тепло­
проводности, мы рассмотрим прежде два
частных случая структуры фронта: 1) ког­
да нет вязкости и существует одна тепло­
проводность; 2) когда существует одна
лишь вязкость, но нет теплопроводности.
Мы не будем здесь искать точные решения
S»-S
уравнений (этот вопрос будет рассмот­
рен в гл. VII, специально посвященной
изучению структуры фронта ударных
волн). Ограничимся лишь выяснением
качественной картины явления и оцен­
Рис. 1.40. Диаграмма p,V приме­ ками ширины фронта.
нительно к задаче о структуре
1) Есть теплопроводность, а вязкости
фронта ударной волны без учета
нет: \\ = 0.
вязкости.
Этот случай замечателен тем, что урав­
Состояние в волне меняется вдоль
прямой АВ. Отрезки Д», Д , А, —
нение
импульса (1.99) приобретает форму
первого, второго и третьего порядков
w
2
малости
относительно
волны.
амплитуды
2
P + Qu = Po + QoK,
аналогичную той, которая связывает конечные и начальные значения вели­
чин. Однако теперь это уравнение описывает и все промежуточные состоя­
ния во фронте волны. С помощью уравнения непрерывности (1.98) получим
V
(1.101)
P = Po + QoK(l — V
0
Таким образом, точка, описывающая состояние газа внутри фронта
ударной волны, пробегает на плоскости р, V из начальной точки А в конеч­
ную точку В вдоль прямой АВ, о которой уже много говорилось при иссле­
довании ударной адиабаты.
Проведем через точки начального и конечного состояний на плоско­
сти р, V адиабаты Пуассона (рис. 1.40; адиабата Гюгонио на нем не пока*) При х = -f- оо du/dx — 0, dT/dx = 0, р = р Q = Q , и = и , и мы при­
ходим к законам сохранения массы, импульса и энергии на разрыве (1.61), (1.62),
(1.64).
ь
4
4
§ 23.1
СТРУКТУРА И ШИРИНА ФРОНТА СЛАБОЙ УДАРНОЙ В О Л Н Ы
73
зана). Если нанести на плоскость целый ряд адиабат Пуассона с разными
значениями энтропии, то мы увидим, что одна из них коснется прямой АВ
в некоторой точке М, как показано на рис. 1.40. В этой точке энтропия
вдоль прямой АВ максимальна (S < Si < S ). Из уравнений (1.98)
и (1.101) следует, что скорость газа и в точке касания М в точности равна
местной скорости звука (и = с в точке М; напоминаем, что в точке А
о > о>
точке В ui < с ).
Найдем величину максимума энтропии S
из условия касания
адиабаты Пуассона с S = S
и прямой АВ. Как мы сейчас увидим,
величина 5
— S пропорциональна ( F — V ) или (pi — р ) , поэтому
уравнения семейства адиабат р (V, S) и прямой запишем в виде разложе­
ния около точки А, опуская члены третьего порядка малости (в таком
приближении адиабаты S и Si совпадают; см. § 18). Уравнение адиабаты
имеет вид:
0
и
с
а
M
в
4
max
mSLX
2
т а х
0
t
2
0
0
0
v
v v
s
"-p'=(w)sj -^+K^) j - ^+(3Xj ~^e
Уравнение прямой:
P-Po=-f^-(V-V )
=
0
Условие касания выражается равенством (-ш)
~ \W •
'
которое дает уравнение для определения объема V в точке касания М.
Вычисление показывает, что точка М находится как раз посередине
между точками А и В: V — V = -~- (V — V ). Подставляя это выра­
жение в уравнение прямой, найдем давление в точке М, а подставляя
затем найденное значение давления р и объем V в уравнение адиабаты
и разрешая его относительно энтропии, получим энтропию в точке М:
M
M
0
t
0
м
1
S — S = Smax — 5 = -gM
0
0
M
2
2
(d p/dF )
{ d p / d s ) v A
SA
2
~ (V - V ) .
t
0
Таким образом, максимальное изменение энтропии внутри фронта
ударной волны при учете одной лишь теплопроводности есть величина
второго порядка малости относительно амплитуды V — V^ или р^ — р ,
в отличие от полного скачка энтропии Si — S , который третьего порядка
малости относительно амплитуды. Это ясно и из геометрических сообра­
жений: наибольшее удаление прямой АВ от адиабаты Пуассона S = S
на плоскости р, V пропорционально (F — V ) или (p — р ) . Так,
разность между давлениями в точке М и на адиабате S (или S ) при
том же самом объеме V равна
0
0
0
0
2
4
2
0
t
0
A
B
M
Рм(V )M
(V ) = - 1 ( W )
PSA
M
V
S
A
( M ~V ) (Vi-V )
0
=
M
F
T&)s
( i-^o)
2
(1-102)
(разность давлений между точками на адиабатах S и S при одинаковом
объеме V есть величина третьего порядка малости).
B
M
A
74
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Наличие максимума энтропии внутри фронта свидетельствует о том,
что профиль температуры Т (х) в точке, где энтропия максимальна, имеет
перегиб, так что распределения температуры и энтропии в слабой удар­
ной волне с одной лишь теплопроводностью изображаются кривыми,
показанными на рис. 1.41. Это следует из энтропийного уравнения (1.97),
которое в отсутствие вязкости принимает
вид
dS
d
Q ^UT dx
= dx
UT
d?T
dT
— X
dx*
dx
(1.103)
(в слабой волне температура меняется мало,
так что коэффициент теплопроводности
можно считать постоянным). Существова­
ние максимума энтропии связано с тем,
что теплопроводность перекачивает тепло
0
x из области с более высокой температурой
в область с более низкой. Поэтому газ, вте­
Рис. 1.41. Распределения тем­ кающий в волну, сначала нагревается за счет
пературы и энтропии во фронте
слабой ударной волны без теплопроводности (с возрастанием энтропии),
а затем охлаждается (с убыванием энтропии).
учета вязкости.
Ах—эффективная ширина фронта. В конечном счете по сравнению с начальным
значением энтропия, конечно, возрастает.
Это иллюстрируется рис. 1.41: продвижение вдоль оси х со скоростью
и (х) соответствует тому, что мы следим за изменением состояния заданной
частицы газа во времени.
Оценим теперь ширину фронта волны. Для этого разделим уравне­
ние (1.103) на Г и проинтегрируем его по х от начального состояния
А (х = — оо), где dT/dx = 0, до какой-либо точки х в волне (при этом
воспользуемся тем, что QU = Q U = const):
O
0
х
м
ео о
(5-5 )=х J
0
Т
1
Т
d*T
dx*
dx
f %i
Г dT
{^Чх-+)- dx
=
dT
I
Г
2
dT]
(1.104)
Применим это уравнение к точке конечного состояния В (х = -f- оо),
где dT/dx = 0.
При этом первый член в фигурных скобках исчезает и
Ti
dT
ео«о
То
Определим эффективную ширину фронта ударной волны Ах при
наличии одной лишь теплопроводности равенством
Т —Т
Ах
%
_ I dT I
| dx |max
0
геометрический смысл которого ясен из рис. 1.41.
Полагая для оценки интеграла dT/dx ~ (T — Т )/Ах, найдем
t
Q U (S
0
0
1
—
S )~'>i-
1
0
0
(Ti-T )z
Ах
0
Выражая скачок температуры через скачок давления, получим:
^-^("Sr)^'
-Ро)
(Pi — Po),
§ 23]
СТРУКТУРА И ШИРИНА ФРОНТА СЛАБОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
75
где Ср — теплоемкость при постоянном давлении; воспользовавшись фор­
мулой (1.89) для скачка энтропии и имея в виду приближенные равенства
для газов ( ^ J ~ ,
Qo pfc , а также то, что и « с , получим
из (1.104) оценку ширины фронта:
(1.105)
Ах — Ic
g
r
0
0
0
Р о
Pi—Po
Ширина фронта обратно пропорциональна амплитуде волны, причем мас­
штабом ее служит длина пробега молекул I.
Из уравнения (1.104) можно оценить и величину максимального
приращения энтропии. В точке максимума энтропии dS/dx = 0 градиент
dT/dx максимален. При этом основную
роль в фигурной скобке (1.104) играет
первый член, который пропорционален
AT/Ах ~ Ар /Ах ~ (Ар) , тогда как второй
член пропорционален (AT) /Ax ~ (Ар) .
Отсюда видно, что £ ах—S ^(Ap) , тогда
как Si — S ~ (Ap) .
Рассматривая внутреннюю структуру
фронта ударной волны с учетом одной
лишь теплопроводности, можно утверждать
только то, что температура в волне меня­
ется непрерывным образом. Что касается
других величин: плотности, скорости,
давления, то они, вообще говоря, могут
испытывать разрыв. И действительно,
рассмотрение структуры ударных волн Рис. 1.42. Диаграмма p,V приме­
без учета вязкости показывает, что при нительно к задаче о структуре
ударной волны без учета
достаточно большой амплитуде построить фронта теплопроводности.
непрерывное распределение для всех Состояние в волне меняется вдоль
величин в волне невозможно. Эта труд­
пунктирной кривой АВ.
ность была отмечена еще Рэлеем (подробно
об этом см. § 3, гл. VII). Она указывает на принципиальную роль вязко­
сти в осуществлении необратимого ударного сжатия вещества в волне.
Рассмотрим теперь второй частный случай.
2) Есть вязкость, а теплопроводности нет: % = 0.
При этом следует сохранить общее уравнение импульса (1.99). На пло­
скости р, V точка, описывающая состояние в волне, пробегает путь от точки
А до точки В уже не вдоль прямой АВ, а вдоль некоторой кривой линии,
изображенной на рис. 1.42 пунктиром.
Из энтропийного уравнения без члена теплопроводности
2
2
3
2
Ш
0
s
Q
гг AS
следует, что энтропия в волне монотонно возрастает от начального зна­
чения S = S до конечного S — S , так что пунктирная линия цели­
ком заключена между адиабатами Пуассона S и S (см. рис. 1.42).
Поскольку адиабаты обращены выпуклостью вниз ((д рldV ) > 0),
пунктирная линия лежит целиком ниже прямой АВ *).
0
A
t
B
0
t
2
2
s
*) В самом деле, вертикальное расстояние между адиабатами 5 и S пропор­
ционально Si — S ~ (pi — р ) , тогда как вертикальное расстояние между точка­
ми Л и В есть pi — р . Поэтому участок прямой AN, на котором пунктирная линия
в принципе могла бы пройти выше прямой, есть величина малая по сравнению с основ­
ной частью прямой NA.
4
3
0
0
0
0
76
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Уравнение кривой, вдоль которой происходит переход от точки А
в точку В, есть
Поскольку кривая целиком лежит ниже прямой, во всех точках
внутри волны du/dx < 0. Если ось х направлена в сторону движения газа,
то и > 0, т. е. газ в волне только тормозится, а следовательно, монотонно сжимается. Таким образом, и рассмо­
трение структуры фронта ударной волны
с учетом вязкости приводит к тому, что
Л
при (d p/dV ) > 0 возможно только сжатие
газа в ударной волне. Профили скорости
и плотности в волне имеют вид, изобра­
женный на рис. 1.43.
Определим эффективную ширину фрон­
та Ах равенством
Пм
2
2
s
du
dx
«О — " 1
Ах
*)
(1.108)
Рис. 1.43. Профили плотности
и скорости во фронте ударной
волны; Ах — эффективная ши­
рина волны.
аналогично предыдущему. Геометрический
смысл его ясен.
Максимальная абсолютная величина
градиента | du/dx J
определяется соглас­
но (1.107) максимальным вертикальным отклонением прямой АВ от пунк­
тирной линии, т. е. от адиабат Пуассона S или S\. Это отклонение, как
мы уже знаем, соответствует середине отрезка АВ и дается форму­
лой (1.102). Таким образом,
max
0
du
dx
4
1
d«p
8 V dV* )
2
(^i-^o) .
ч
B
Подставляя это выражение для \du/dx\ a.x
(1.108), ьамечая, что
QoV "~ Qolv ~ Qo^o ( — кинематическая вязкость), а также, что
m
c
v
2
- Щ = V(Pi -Ро) (Уо - F ) ~ \Z(
t
дУ
- Ро) д
Pi
Р
Pi—Ро
Ро
Ро
V dV* Ji
к
о
придем к формуле (1.105) для ширины фронта:
Ах — I
V„
v -v.
•l
n
Ро
Pi—Ро
Ширину фронта можно оценить и с помощью энтропийного уравне­
ния (1.106) аналогично тому, как это было сделано в первом случае:
н
6о о?'о
*?1— ^ 0
Ах
( и — M )2
0
ц
t
Ах*
Подставляя сюда выражение (1.89) для скачка энтропии и проделы­
вая простые преобразования, придем к прежней формуле для Ах. При
построении непрерывного решения с одной только вязкостью никаких
*) Ах называют иногда шириной фронта по Прандтлю.
S 24]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА
77
трудностей, подобных тем, которые появляются при учете одной лишь
теплопроводности, не возникает. Это обстоятельство, как уже отмечалось,
имеет глубокое физическое основание и свидетельствует о принципиаль­
ной роли вязкости в осуществлении ударного сжатия. Именно вязкость
является тем механизмом, благодаря которому происходит необратимое
превращение в тепло части кинетической энергии набегающего на раз­
рыв потока, т. е. трансформация энергии направленного движения моле­
кул газа в энергию хаотического движения за счет рассеяния их импульса.
Теплопроводность в этом отношении играет косвенную роль, так как
она приводит лишь к переносу энергии хаотического движения молекул
из одного места в другое, но не влияет непосредственно на направленное
движение.
Если рассматривать ударные волны не слишком большой амплитуды
в обычном газе, в котором транспортные коэффициенты — кинематическая
вязкость v и температуропроводность % — примерно одинаковы и опре­
деляются одной и той же длиной пробега молекул I (v « % ~ 1с), то мы
по-прежнему получим формулу (1.105) для ширины фронта. В этом легко
убедиться, рассматривая общее энтропийное уравнение (1.98) с учетом
как вязкости, так и теплопроводности.
Формула (1.105) показывает, что при скачке давления в волне поряд­
ка величины самого давления перед фронтом ширина фронта порядка
длины пробега молекул. При дальнейшем увеличении амплитуды волны,
если пользоваться той же формулой, ширина становится меньше пробега.
Этот результат, конечно, не имеет физического смысла. Если газодинами­
ческие величины сильно меняются на расстояниях порядка пробега моле­
кул, то теряет силу гидродинамическое рассмотрение вязкости и тепло­
проводности, в основе которого лежит предположение о малости градиен­
тов. Ширина сколь угодно сильной ударной волны, конечно, не может
стать меньше пробега молекул, о чем свидетельствует рассмотрение, осно­
ванное на использовании кинетического уравнения для газа (см. гл. VII).
В некоторых условиях возможно значительное уширение фронта
сильных ударных волн до расстояний, измеряемых многими пробегами,
и разделение его на области плавного и резкого изменения величин.
В частности, это происходит в газе с замедленным возбуждением некото­
рых степеней свободы молекул или при протекании обратимой химической
реакции в волне. Эти вопросы, так же как и целый ряд других, возникаю­
щих при более детальном изучении внутреннего строения фронта ударных
волн, будут рассмотрены подробно в гл. VII.
4. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
§ 24. Распространение произвольного разрыва
Газодинамические величины по обе стороны фронта ударной волны
не независимы. Они связаны определенными соотношениями, выражаю­
щими законы сохранения массы, импульса и энергии. При этом разрыв,
ударная волна сжатия в веществах с нормальными термодинамическими
свойствами, распространяется по веществу как некое устойчивое образо­
вание, не расплываясь.
Между тем возможна такая постановка задачи, когда в начальный
момент в газе имеется поверхность разрыва, по обе стороны которой газо­
динамические величины никак не связаны между собою, совершенно про­
извольны. Такие разрывы называют произвольными.
78
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Приведем несколько практических примеров, показывающих, как
возникают произвольные разрывы. Представим себе трубу, разделенную
тонкой перегородкой (заслонкой). Труба наполнена газом, причем плот­
ность и давление, а вообще говоря, и сорт газа по правую сторону заслон­
ки, — одни, а по левую — другие. Пусть в некоторый момент заслонка
быстро удаляется. В этот момент в месте, где была заслонка, соприка­
саются две области, два покоящихся газа с совершенно произвольно
задаваемыми плотностями и давлениями. Если давления в обоих газах
различны, то после удаления заслонки газы
под действием перепада давления придут
в движение. Второй пример. Предположим,
В
что по трубе, наполненной газом, с обоих
С'
концов запущены ударные волны с произ­
вольно задаваемыми амплитудами. В момент
столкновения обеих волн где-то посередине
трубы возникает поверхность, разделяющая
х газы с произвольными давлениями, скоро­
стями и температурами (возможные раз­
Р и с . 1.44. Профиль давления
личия
в плотностях в этом примере несколь­
в системе следующих друг за
ко ограничены; скажем, если обе волны очень
другом д в у х небольших скач­
ков сжатия.
сильные, то плотности в них одинаковы
Волна А бежит по газу, нахо­
и равны предельным). После столкновения
дящемуся перед ней, со скоростью,
волн движение газа как-то изменится. Третий
большей скорости звука с' в этом
газе. Волна В бежит по газу, нахо­
пример. К теории ударных волн мы подошли,
дящемуся аа нею, с дозвуковой ско­
ростью, меньшей с'. Поэтому ска­
рассматривая движение газа под действием
чок А в конце концов догоняет
поршня, начавшего вдвигаться в газ с посто­
скачок В.
янной скоростью. В этом случае ударная
волна образуется непосредственно у поршня, в начальный момент, и рас­
пространяется по газу с постоянной скоростью. В действительности,
конечно, поршень, обладая конечной массой, не может мгновенно при­
обрести конечную скорость и набирает ее, постепенно ускоряясь под дей­
ствием приложенной к нему силы. При этом ударная волна образуется
не сразу и вдали от поршня.
Можно заменить плавный закон изменения скорости поршня со вре­
менем U (t) некой ступенчатой кривой, разбивая время на мельчайшие
промежутки и полагая, что в каждом таком промежутке времени скорость
поршня постоянна, а по истечении его меняется скачком на небольшую
величину. При этом линия движения поршня на плоскости х, t изобра­
зится ломаной кривой, состоящей из маленьких прямолинейных отрезков.
В течение каждого небольшого отрезка времени, на протяжении кото­
рого скорость поршня постоянна, поршень посылает вперед возмущение —
волну сжатия, т. е. слабую ударную волну. Эта волна бежит по газу
со скоростью, чуть превышающей скорость звука, тогда как предыдущая
слабая ударная волна, возникшая от предыдущего скачка скорости
поршня, распространяется относительно движущегося за рею газа со ско­
ростью чуть меньше звуковой, как показано на рис. 1.44. Поэтому каждая
последующая ударная волна нагоняет предыдущую и несомые ими сжатия
накапливаются. Если провести на плоскости х, t характеристики, выхо­
дящие с линии движения поршня, то они будут пересекаться (рис. 1.45).
Можно задать такой закон ускорения поршня, чтобы все эти слабые удар­
ные волны нагоняли друг друга в один момент и в одной точке. При этом
все многочисленные маленькие импульсы сжатия кумулируются в один
большой скачок. (Все характеристики пересекаются в одной точке.)
§ 24]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА
79
Состояние газа в этом скачке-разрыве меняется от невозмущенного
до конечного почти адиабатически. В самом деле, если все сжатие исход­
ного газа до давления р мы разбили на п этапов — п слабых ударных волн
со скачком давления Ар = (р — р )/п, то в каждом из них прирост энтро­
пии AS пропорционален (Ар) ~ 1/п и полное приращение энтропии
при кумуляции л волн пропорционально
nAS ~ 1/и ->-0 при п-+оо. Таким образом,
состояния газа по обе стороны возникшего
в результате кумуляции разрыва связаны
адиабатой Пуассона. Между тем в ударной
волне состояния по обе стороны разрыва свя­
заны между собою не адиабатой Пуассона,
а адиабатой Гюгонио. Следовательно, вели­
чины по обе стороны разрыва не удовлетво­
ряют законам сохранения и разрыв является
пр оизв ольным.
Обобщая случаи, представленные приве­
денными примерами, поставим идеализиро­ Рис. 1.45. Пересечение харак­
ванную задачу об отыскании движения газа, теристик при сжатии газа
в котором возник произвольный разрыв. ускоряющимся поршнем. П —
линия поршня.
Пусть в начальный момент t = 0 в плоско­
сти х = 0 терпят разрыв все величины: дав­
ление, плотность, скорость, температура. По обе стороны разрыва все
эти величины постоянны. Сорта газов по обе стороны также могут раз­
личаться. Чем больше то расстояние от поверхности разрыва, на котором
параметры газа можно еще считать постоянными, тем дольше в времени
будет справедливо решение, к которому мы придем (эта задача была
впервые решена Н. Е. Кочиным [3]).
Поскольку в условиях задачи не содержится характерных длин и вре­
мен, следует искать движение, зависящее только от отношения xlt.
В § 11 было показано, что автомодельное плоское течение газа может опи­
сываться решениями только двух типов: возможны центрированные про­
стые волны разрежения и движения, в которых все газодинамические
величины постоянны. Кроме того, могут возникать разрывы — ударные
волны.
Таким образом, искомое движение следует конструировать из трех
элементов: волн разрежения, областей постоянного течения и ударных
разрывов. Совокупность возможных движений ограничивается тем, что
в одну сторону не может двигаться более одной волны (все равно какой —
разрежения или ударной).
В самом деле, ударная волна распространяется по невозмущенному
газу со сверхзвуковой скоростью, а по сжатому в ней — с дозвуковой.
Волна разрежения бежит по газу со скоростью звука. Если, например,
по газу вправо идет ударная волна, то следующая за нею в том же направ­
лении волна разрежения, а тем более ударная волна, непременно догонит
ее через некоторое время. Но в силу автомодельности обе волны выходят
из одной точки х = 0 в один и тот же момент t = 0. Поэтому одна волна
как бы уже догнала другую в самый начальный момент и обе они распро­
страняются в виде одной. Точно так же невозможно следование второй
волны за волной разрежения. Ударная волна догнала бы волну разреже­
ния, а вторая волна разрежения двигалась бы за первой на фиксирован­
ном расстоянии, которое в силу автомодельности равно нулю, так что
различие между обеими волнами исчезает.
0
3
2
3
80
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Итак, искомое решение может быть построено только в виде какойлибо комбинации из двух волн, ударных и разрежения, распространяю­
щихся в противоположные стороны от начального разрыва и разделенных
областями постоянного течения. Этих областей, вообще говоря, две. Они
разграничены плоскостью, разделяющей те газы, которые в начальный
момент располагались по обе стороны произвольного разрыва. Поскольку
в гидродинамике идеальной жидкости диффузия молекул не принимается
во внимание, взаимного проникновения газов друг в друга нет, и гра­
ница между ними будет сохраняться, как-то передвигаясь в пространстве
вместе с газами. Случай, когда газы одного сорта, очевидно, не представ­
ляет принципиального отличия (представим себе мысленно, что молекулы
газа по одну сторону начального разрыва
«окрашены»). Эта плоская граница между
двумя газами, которая может быть названа
контактной границей или контактным раз­
рывом, обладает особыми свойствами. Оче­
видно, давления и скорости газов по обе
стороны контактного разрыва совпадают
друг с другом. В противном случае около
него возникло бы движение и области
газа по обе стороны перестали бы быть
областями постоянного течения. Плотно­
сти же, температуры и энтропии газов по
обе стороны контактного разрыва могут
оставаться произвольными в соответствии
с произволом в начальных значениях. Раз­
Рис. 1.46. р,К-диаграмма, иллю­
стрирующая различные случаи
личие этих величин при равенстве давле­
распада произвольного разрыва.
ний и скоростей никак не может привести
Точки А и В описывают начальные
газы
в относительное движение (разу­
состояния газов А и В; Н А и Я В —
меется, в предположении об отсутствии
ударные адиабаты; АР^, ВР — адиа­
баты Пуассона газов А и В.
диффузии и теплопроводности, к влиянию
которых мы вернемся несколько ниже).
Контактный разрыв покоится относительно газов и не посылает воз­
мущений, которые могли бы повлиять на бегущие в обе стороны от него
волны (ударные и разрежения).
Перечислим возможные движения газа после возникновения произ­
вольного разрыва, как говорят, случаи распада разрыва, составляя раз­
личные комбинации из волн разрежения и ударных. Именно, может пред­
ставиться три типичных случая: 1) в обе стороны от разрыва распростра­
няются ударные волны, 2) в одну сторону бежит ударная волна, а в дру­
гую — волна разрежения, и 3) в обе стороны бегут волны разрежения.
Разберем эти случаи более подробно. Для этого удобно воспользо­
ваться диаграммой р, V (рис. 1.46). Прежде всего зафиксируем на диа­
грамме начальные состояния газов. Точка А представляет газ слева от
разрыва, точка В — справа. Пусть для определенности давление в точке
А (р ) меньше, чем р . Проведем из этих точек вверх адиабаты Гюгонио,
описывающие сжатие газов в ударных волнах, а вниз — адиабаты Пуас­
сона, вдоль которых происходит расширение газов в волнах разрежения.
После распада разрыва давления в обоих газах в областях, подвергшихся
воздействию волн, выравниваются.
1. Пусть это новое давление р больше начальных р и р .
В этом (первом) случае и вправо и влево от произвольного разрыва
(или от контактной поверхности) идут ударные волны сжатия (рис. 1.47, а).
А
В
д
а
ь
0
а
ь
§
2 4
3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА
81
Газы за ними находятся в состояниях а и Ь с одинаковыми давлениями
Ро и скоростями. Газ в состоянии а движется относительно исходного
газа в состоянии А влево, а газ Ь относительно газа В — вправо. Посколь­
ку газы а и Ь движутся с одинаковой скоростью, необходимо, чтобы
газы А и В в начальный момент двигались навстречу друг другу. Две удар­
ные волны образуются при столкновении двух газов, движущихся
навстречу друг другу с большой скоростью (вспомним второй пример). Чем
меньше скорость столкновения, тем ниже по­
лучается давление р в ударных волнах.
Ро
2. При некоторой малой скорости столк­
новения возникает новый режим, в котором
Ра
!
В
давление р еще больше давления р , но а) А —
меньше, чем р . В этом (втором) случае по
газу А после распада разрыва распростра­
уС Р"
няется ударная волна, а по газу В — волна
Pi
-.
разрежения (рис. 1.47, б). В частности,
Ра *
а,\ Ь,
—6
такой режим осуществляется, когда началь­ б)
— Л
ные скорости обоих газов, А и В, одина­
ковы и равны нулю, т. е. когда в началь­
ный момент в покоящихся газах имеется
Ръ
Ра
разрыв давления, как в примере с заслон­
кой. Вещество начинает двигаться в сторону
\
Pf /
А
а \Ъ
падения давления. Этот случай имеет важные
практические применения. На этом принципе
основано устройство ударной трубы, в кото­
Рь
рой получают в лаборатории сильные удар­
ные волны, нагревающие исследуемый газ А
г)
Ра
до высокой температуры. Ударная труба раз­
А
^ ^ ' / делена тонкой перегородкой (диафрагмой).
По одну сторону диафрагмы в трубе содер­
Профили давления
жится исследуемый газ А при низком давле­ вР ирса. з л1.47.
ичных случаях распада
нии, по другую — в так называемую камеру
разрыва.
высокого давления нагнетается рабочий газ Большими стрелками о буквами
А и В указаны начальные скоро­
В. После разрыва диафрагмы газ В расши­ сти
газов А и В до распада разрыва.
ряется в сторону камеры низкого давле­ Маленькие стрелки показывают на­
правления распространения |Волн
ния, посылая в газ А сильную ударную по массе газа (направление рас­
в пространстве мо­
волну. Возникающий режим, изображенный пространения
жет быть в некоторых случаях и
иным).
на рис. 1.47, б, будет более подробно рас­
смотрен в гл. IV при изучении работы удар­
ной трубы. Соответствующим выбором газов А ж В и перепада давлений до­
биваются получения возможно более сильной ударной волны и нагревания
исследуемого газа до весьма высоких температур. Одним из способов
получения еще более высоких температур служит осуществление первого
режима — столкновения двух ударных волн. Частным случаем первого
режима является отражение ударной волны от торца ударной трубы,
которое также используется для достижения в лаборатории высоких тем­
ператур. Отражение ударной волны от твердой стенки действительно
представляет собой частный случай столкновения двух газовых потоков.
Если друг на друга налетают два совершенно одинаковых потока, то после
столкновения контактный разрыв покоится, т. е. положение такое же,
как будто вместо контактного разрыва имеется неподвижная твердая
стенка. Вопросы столкновения ударных волн и отражения их от стенки
также будут рассмотрены в гл. IV.
0
0
0
0
0
0
0
4
а
ь
г
6
Я. Б. Зельдович, Ю. П, Райзер
г
82
РА30ДИНАМИКА1И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
3. Если после распада давление р меньше р и р , получим две волны
разрежения, разбегающиеся вправо и влево по обоим газам. Этот режим,
изображенный на рис. 1.47, в, осуществляется, если в начальный момент
газы А и В двигались в противоположные стороны от разрыва с доста­
точно большой скоростью.
Если относительная скорость, с которой в начальный момент двига­
лись друг от друга газы А ж В, очень велика, а именно, больше суммы
максимальных скоростей истечения газов А ж В
в вакуум, — -~: -\ ~ , где с и с&—начальные
2
а
ь
с
а
скорости звука, а у и уь— показатели адиабаты
газов А и В (см. § 11, формулу (1.60)), то между
газами образуется пустота, р = 0. Этот режим,
который можно рассматривать как предел треть­
его случая, изображен на рис. 1.47, г.
При конкретных расчетах, связанных с
распадами произвольных разрывов, наряду с
р, У-диаграммами очень удобны так называемые
р, и-диаграммы, на которых по осям отложены
давления р и скорости газов и в лабораторной
системе координат. Ударную адиабату газа p (V)
можно представить в виде зависимости давле­
ния за фронтом волны от скачка скорости газа,
т. е. от скорости движения сжатого га^за от­
носительно невозмущенного. Аналогичным об­
разом, в волне разрежения давление однозначно
связано со скоростью условием постоянства
инварианта Римана (см. § 10, 11). Удобство
р, и-диаграмм в задаче о распаде разрыва связа­
но с тем, что в конечном состоянии давление и
скорость обоих газов одинаковы, т. е. конечные
состояния изображаются одной и той же точ­
кой на р, и-диаграммах.
р, ц-диаграммы для случаев распада, изо­
браженных на рис. 1.47, а — г, показаны на
рис. 1.48, а — г соответственно.
Выяснив характер движений, возникающих
Рис. 1.48. р,и-диаграммы при распаде произвольного разрыва, можно
для различных случаев рас­ проверить исходное допущение о том, что дви­
пада разрыва, изображен­
жение зависит только от комбинации x/t. При
ных на рис. 1.47.
рассмотрении волны разрежения в § 11 это
Кривые Н—ударные адиабаты
в переменных р, и; кривые
допущение обосновывалось тем, что с течением
S — адиабаты Пуассона в пе­
ременных р, и; У. В. означает
времени ширина волны разрежения, которая
ударную волну; В.Р. — волиу
разрежения.
является масштабом длины в задаче без учета
диссипативных процессов, растет как х ~ ct.
Роль вязкости и теплопроводности, пропорциональная Их, с течением
времени уменьшается и в макроскопических течениях, когда х > I, нич­
тожно мала. Следовательно, исчезает и единственный постоянный масштаб
размерности длины в газе — длина пробега молекул.
При течениях с ударными волнами вязкость и теплопроводность,
вносящие в уравнение масштаб длины I, действуют фактически только
в тонком слое фронта волны, ширина которого порядка I. Мала также
и ширина контактного разрыва. Размытие его происходит вследствие
а
H
124]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА
,
83
процессов диффузии молекул и теплопроводности. Оба процесса приво­
дят к ширине разрыва порядка Ах ~ Ytf ~ V^t, где D — коэффициент
диффузии, который близок к коэффициенту температуропроводности
Расстояние, пробегаемое ударными волнами и волнами разрежения
за время t, порядка х «^ ct, так что Ах ~ \^1х. Таким образом, отноше­
ние размеров области, в которой действуют диссипативные силы,
к размерам всей области, охваченной движением для ударной волны,
порядка Их, а для контактного разрыва ~ Y^l/x. Обе величины малы
в макроскопическом течении с
х > I. Вернемся к третьему при­
/7,а/77Л/
меру, приведенному в начале этого 1500
1
параграфа, и посмотрим, какой ре­
л
жим возникает при распаде разры­
р
ва, который образуется в результа­ 1000
50
те кумуляции волн сжатия, посы­
В
лаемых ускоряющимся поршнем.
\
В момент соединения отдельных
500
25
J
волн с одной стороны разрыва
т
будем иметь невозмущенный газ
1
А
А, с другой — газ в состоянии В,
подвергшийся практически адиаба­
0 / 2 3 4 5 6 7
X/Cgt
тическому сжатию. Можно пока­
зать, что скорость движения, ко­ Рис. 1.49. Распространение разрыва, воз­
торую приобретает газ при последо­ никшего после столкновения совокупности
последовательных волн сжатия.
вательном сжатии большим числом
Температура в возникающей ударной волне"зна­
ударных волн, меньше скорости, чительно
выше максимальной температуры, до­
приобретаемой при однократном стигнутой при наложении мелких волн сжатия,
а
давления
так как навстречу волнам
ударном сжатии до того же давле­ сжатия идетниже,
волна разрежения. Профиль дав­
ления
показан
сплошной
линией, профиль
ния. Отсюда следует, что разрыв
температуры — пунктиром.
распадается как в случае 2). По
сжатому газу к поршню пойдет волна разрежения, а по невозмущен­
ному — ударная волна. Давление р окажется ниже, чем созданное на
поршне давление ръ- Однако вследствие роста энтропии в ударной волне
это более низкое давление отвечает более высокой температуре, так что
газ в ударной волне нагреется по сравнению с почти адиабатическим
нагреванием от кумуляции слабых волн. На рис. 1.49 представлены рас­
пределения р и Т после распада разрыва, образовавшегося в результате
кумуляции волн при сжатии воздуха поршнем, скорость которого посте­
пенно достигла 4,44 с — 1500 м/сек, так что давление на поршне достигло
Ръ = 50 р = 50 апгм. Координата и время на рисунке отсчитываются
от точки и момента кумуляции.
0
а
Рассмотренный случай представляет значительный интерес для тео­
рии возникновения детонации, ибо полученный результат объясняет, каким
образом пламя, действуя на газ подобно поршню, может постепенным
сжатием вызвать появление ударной волны на большом расстоянии от пла­
мени (поршня). Постепенно сжимая газ до невысокой температуры
(630° С на рисунке), можно осуществить резкое нагревание до 1450° С
на значительном расстоянии в момент кумуляции, осуществить «дистан­
ционное зажигание».
По-видимому, таков механизм возникновения детонации в газах в
ряде случаев.
6*
84
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
§ 25. Сильный взрыв в однородной атмосфере
Идеализированная задача о сильном взрыве в однородной атмосфере
представляет собой типичный пример класса движений газа, называемых
автомодельными, когда газодинамические величины меняются с течением
времени таким образом, что распределения их по координате остаются
всегда подобными самим себе.
Автомодельная задача о сильном взрыве была сформулирована
и решена Л. И. Седовым. Остроумным способом, путем использования
интеграла знергии, Л. И. Седову удалось найти точное аналитическое
решение уравнений автомодельного движения [4, 5]. Задачу рассматри­
вали также К. П. Станюкович (в диссертации; см. [15]) и Тэйлор [6],
которые сформулировали и исследовали уравнения, но не получили их
аналитического решения.
Мы остановимся на постановке и результатах решения этой задачи,
так как они понадобятся нам в дальнейшем, в гл. VIII и IX, при изуче­
нии некоторых физико-химических и оптических явлений, сопровождаю­
щих сильный взрыв в воздухе.
Пусть в газе плотности Q , который будем считать идеальным, с по­
стоянной теплоемкостью, в небольшом объеме в течение короткого про­
межутка времени выделяется большая энергия Е. От места энерговыде­
ления по газу распространяется ударная волна. Будем рассматривать ту
стадию процесса, когда ударная волна уходит на расстояния, очень боль­
шие по сравнению с размерами области, где произошло энерговыделение,
и движение охватывает массу газа, большую по сравнению с массой
продуктов взрыва. При этом энерговыделение с большой точностью можно
считать точечным и мгновенным.
В то же время будем считать, что стадия процесса и не слишком позд­
няя, так что ударная волна уходит от источника не слишком далеко и ее
амплитуда еще столь высока, что можно пренебречь начальным давлением
газа р по сравнению с давлением в ударной волне. Это эквивалентно
тому, что можно пренебречь начальной внутренней энергией газа, охва­
ченного движением, по сравнению с энергией взрыва Е, и пренебречь
начальной скоростью звука с по сравнению со скоростями газа и фронта
волны.
Движение газа определяется двумя размерными параметрами: энер­
гией взрыва Е и начальной плотностью Q . И З этих параметров нельзя
«оставить масштабов с размерностями длины или времени. Следовательно,
движение будет автомодельным, т. е. будет зависеть только от определен­
ной комбинации координаты г (расстояния от центра взрыва) и времени t.
В отличие от автомодельного движения, рассмотренного в § 11, в задаче
нет характерной скорости. Начальная скорость звука с не может харак­
теризовать процесс: в том же приближении, в котором начальное давле­
ние р полагается равным нулю, равна нулю и скорость звука с *). По­
этому автомодельная переменная не есть величина r/t, как в автомодель­
ной волне разрежения (см. § 11).
ч
0
0
0
0
0
0
0
*) Это условие фактически определяет границы применимости решения задачи.
Предъявляя определенные требования к точности решения, мы сравниваем полученные
давления во фронте волны р^ и скорость распространения волны D с реальными значе­
ниями р , с и находим момент, когда приближение р > р становится слишком грубым.
Следует отметить, что на самом деле условие справедливости пренебрежения началь­
ным давлением несколько более жесткое, а именно: pj > l(v + l)/(v — 1)]Ро- Это
видно из формулы (1.76): при этом условии сжатие в ударной волне равно предельной
величине (у +1)/(Y — 1).
0
0
4
0
85
СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В ОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЕ
§ 25]
Единственная размерная комбинация, содержащая длину и время,
в данном случае есть E/Q : [E/Q ] — см сек~ . Поэтому автомодельной
переменной служит безразмерная величина:
5
0
2
0
i
г
1Л()9
ъ= (-§кУ-
( )
Фронту ударной волны соответствует определенное значение неза­
висимой переменной £ ; закон движения фронта волны R (t) описывается
формулой
0
i^ (-|-)V.
(i.iio)
0
Скорость распространения ударной волны равна:
n
_ d R
_2
R _
%
2 / Е \5
~ 5 _ _ 2 JI ( Е \ 2
Параметры фронта выражаются через скорость фронта с помощью
предельных формул для сильной ударной волны:
Плотность на фронте остается неизменной и равной своему предель­
ному значению. Давление уменьшается с течением времени по закону
2
_ 6
Легко понять физический смысл закономерностей распространения
сильной взрывной волны. К' моменту t волна достигает радиуса R, охва­
тывает объем газа 4яЙ /3 и массу М = о -4яД /3. Давление пропор­
ционально средней энергии единицы объема, т. е. р ~ E/R . Скорости
фронта и газа пропорциональны D ~ и ~ Vp/Q ~ УЕ/QQR .
Интегри­
руя уравнение dR/dt = D, найдем зависимость радиуса фронта от вре1В
мени, R ~ (E/Q ) t (с точностью до численного коэффициента £ )Формула (1.112) демонстрирует закон подобия для перехода от одних
энергий взрыва к другим. Давление на фронте имеет заданную величину
3
3
0
3
3
5 5
0
0
1^
3
на расстояниях, пропорциональных Е , или же в моменты времени, проi
3
порциональные Е .
Распределения давления, плотности и скорости газа по радиусу опре­
деляются зависимостью от одной безразмерной переменной £, которую
можно представить в виде £ = £,orlR. Форма распределений в силу авто-*
модельности не меняется с течением времени, масштабы же величин
р, Q, и зависят от времени точно так же, как и значения этих величин
на фронте ударной волны. Другими словами, решение можно представить
в форме
(
где pi (t), Ui (t), Q — давление, скорость и плотность на фронте ударной
4
86
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
{ГЛ. I
волны, которые зависят от времени по законам, описываемым формулами
(1.111) и (1.112), а р (£), 'и (£), Q (£) — новые, безразмерные функции.
Подставляя эти выражения в уравнения газодинамики, записанные
для сферически-симметричного случая, и переходя от дифференцирова­
ния по г и it к дифференцированию по £ с помощью соотношения (1.109),
подобно тому как это было сделано в § И, получим систему трех обыкно­
венных дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех
неизвестных функций р, и, "д. Решение этой системы должно удовлетво­
рять условиям на фронте волны: при £ = £(ь/ — и = Q = I.
Мы не будем здесь излагать ход решения и выписывать окончатель­
ные формулы, это можно найти в книгах Л. И. Седова [5] и Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица [1]. Отметим только, что
единственный безразмерный параметр, во­
шедший в решение £, , определяется из усло­
вия сохранения энергии:
?
0
Щ
2
£ = 5 4nr Qdr(e-b • £ - ) ,
(1.113)
если в него подставить найденное решение.
Он зависит, так же, как и все решение, от
показателя адиабаты у.
В реальном воздухе показатель адиабаты
не является постоянной величиной, он зави­
сит от температуры и плотности вследствие
протекающих при высокой температуре про­
цессов диссоциации и ионизации (см. об
этом гл. III). Однако приближенно всегда
можно выбрать некоторое эффективное зна­
чение показателя, считая его постоянным,
с тем, чтобы описать решением идеализиро­
Рис. 1.50. Профили давления, ванной задачи о сильном взрыве реальный
плотности, скорости и темпера­ процесс. Для воздуха можно принять зна­
туры для сильного точечного чения у равными примерно 1,2—1,3. На
взрыва в газе с 7 = 1,23.
рис. 1.50 изображены распределения относи­
тельных величинp/Pi, Q/Qi, U/UI, T/T no отно­
сительной координате rlR для у = 1,23; (фактически на графике отложе­
но не Т1Т а 0,1 Т1Т^); параметр 1 при этом равен £ =0>930.
Характерно, что при сильном взрыве плотность газа чрезвычайно
резко падает от фронта ударной волны к центру. Практически вся масса
газа, ранее равномерно заполнявшая сферу радиуса R, теперь собрана
в тонкий слой около поверхности фронта. Давление вблизи фронта умень­
шается при удалении от фронта к центру в два-три раза, а затем почти
во всей сфере остается постоянным. Температура возрастает от фронта
к центру, сначала менее резко, пока давление уменьшается, а затем в обла­
сти постоянного давления — очень быстро. Возрастание температуры
к центру связано с тем, что вблизи центра находятся частицы, которые
были нагреты очень сильной ударной волной и обладают большой энтро­
пией. При адиабатическом расширении до одинакового давления темпе­
ратура тем выше, чем больше энтропия частиц, т. е. чем ближе к центру
они находятся. Резкое уменьшение плотности при приближении к центру
связано с возрастанием температуры (давление постоянно).
t
и
0
0
§ 26]
ПРИБЛИЖЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ СИЛЬНОГО ВЗРЫВА
87
Воспользовавшись условием постоянства давления по радиусу в обла­
сти, не слишком близкой к фронту, можно найти асимптотическое распре­
деление газодинамических величин при г -*. 0. Из уравнения движения
/ \
*
др
г,
ди .
ди
г
п
« Р (П = const, -£ = 0, следует, что -^- + и -^ = 0, т. е. и = — .
Чтобы найти асимптотический закон для плотности, перейдем к лагранжевой координате (см. § 2). Будем характеризовать данную частицу
газа ее начальным радиусом г (под «частицей» подразумеваем элементар­
ный сферический слой объемом 4лг„й!г ). В момент прохождения фронта
ударной волны давление в ней пропорционально р ~ R- = г~ . Начи­
ная с этого момента, частица г расширяется адиабатически, так что в мо­
мент t ее плотность равна:
0
0
3
3
4
0
1
««-ю-* [ д а .
Pi ('о)
Но в данный момент t давления во всех частицах, находящихся в «поло­
сти» вблизи центра, одинаковы и пропорциональны р (t) ~ t~ ^ . Поэтому
асимптотический закон для плотности в лагранжевых координатах есть
Q ~ o t~ - Перейдем к эйлеровой координате при помощи опреде­
ления (1.24) : р/ dr — Q rldr . Подставляя сюда функцию для плотности
и интегрируя, получим зависимость эйлерова радиуса данной частицы
от времени: r*~ r^v-D/v^/ey, Исключая из этого выражения г при
помощи функции Q (r ,t), получим искомый асимптотический закон:
6
b
с
r
/ v
6y,b
2
0
0
0
0
з
l
5
Q~ry~ t
6
<Y-1)
При Г - » 0 .
Асимцтотический закон для температуры:
3
Т~-E°-~r~
6 (2-у)
5
v-i г (V-D
при
г-^0.
Q
§ 26. Приближенное рассмотрение сильного взрыва
Основные закономерности процесса сильного взрыва можно уста­
новить с помощью простого приближенного метода, предложенного
Г. Г. Черным [7].
Предположим, что вся масса газа, охваченного взрывной волной,
собрана в тонкий слой у поверхности фронта, плотность в котором посто­
янна и равна плотности на фронте Q = ^ ^ Q . Толщина слоя Аг опре­
деляется из условия сохранения массы:
4
.
D
2
4пДЗ
A
0
д
4яй«Дг =-д- ;
в 1
в 0
е
R
у—1
Аг = -з- — = - з " ^ + Г '
Например, при у — 1,3 Ar/R = 0,0435.
Поскольку слой очень тонкий, скорость в нем почти не меняется
и совпадает со скоростью газа на фронте щ. Положим приближенно, что
плотность в слое бесконечно велика, а толщина соответственно бесконечно
мала; масса же конечна и равна массе М, первоначально находившейся
в сфере радиуса R: М = Q 4KR /3.
Обозначим давление на внутренней
стороне слоя через р . Пусть оно составляет долю а от давления на фронте
волны р = api.
3
0
с
с
88
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
Запишем второй закон Ньютона для массы М:
2
-jj- Mui = 4nR*pc = 4яй сф1.
3
Масса М = 4яЛ д /3 сама зависит от времени, так что по времени диф­
ференцируется не скорость, а количество движения Ми^. На массу изну­
три действует сила 4яЛ р , так как р есть сила, действующая на 1 см
поверхности; сила, действующая извне, равна нулю, так как начальным
давлением газа пренебрегаем. Выражая и и р через скорость фронта
D = dRIdt по формулам (1.111), получим
0
2
2
с
с
х
R3D
4
aD2R2
T4t = Замечая, что
dR
dt
=D-
dR
dt
dR
и интегрируя уравнение, найдем
где а — постоянная интегрирования. Для определения величин а и а
воспользуемся законом сохранения энергии. Кинетическая энергия газа
равна 2?кин = Ми\12. Внутренняя энергия сосредоточена в «полости», огра­
ниченной нашим бесконечно тонким слоем, давление в которой равно
давлению р (фактически это означает, что не строго вся масса заклю­
чена в слое, а в «полости» также имеется небольшое количество веще­
ства). Внутренняя энергия равна Е =
-. —q— p . Таким образом,
е
т
„
1
c
4яДЗ
*= -l
,
.,
и?
3 P' +
v
M-t-
Снова выразив р = ар и щ через D и подставляя D, получим
с
r-
4
f a
D
gl[
2 д
2
|
П дЗ-в(1-а)
Поскольку энергия взрыва Е есть константа, показатель степени у пере­
менной величины R должен обратиться в нуль. Это дает а = 1/2. Полу­
чающееся уравнение определяет постоянную а,
I
А
г з ( -i)(
l)« W Е у ,
~1
4л
(Зу-1)
J 4Qo J
Y
V +
а
Из формулы D ~ R-Ш-а) с а = 1/2 и формул (1.111) следуют уже
известные нам законы:
_з
_з
2
Р ~ Я , pt — й , щ~R
, Д~г .
2
- 3
2
5
С помощью выражения для а найдем коэффициент пропорциональ­
ности в законе R ~ t :
2lb
§ 27]
О ТОЧЕЧНОМ ВЗРЫВЕ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ
89»
Сопоставим полученное приближенное решение с точным. В при­
ближенном решении давление в центре равно половине давления на фрон­
те, независимо от показателя адиабаты. В точном — р = 0,35р при
Y = 1,4; р = 0,41р ! при Y = 1,2. Численные коэффициенты £о законе
распространения ударной волны (1.110) в приближенном решении равны:
£о = 1,014 при у = 1,4 и £ = 0,89 при у = 1,2. В точном решении при
тех же значениях у, £о = 1,033 и 0,89 соответственно.
Как видим, приближенное решение дает неплохие результаты.
Соображения, по духу близкие приведенным выше, были исполь­
зованы А. С. Компанейцем [13] для приближенного рассмотрения силь­
ного взрыва в неоднородной атмосфере. См. об этом раздел 5 гл. XII.
с
4
в
с
0
§ 27. Замечания о точечном взрыве с учетом противодавления
На поздней стадии распространения взрывной волны, когда давле­
ние во фронте ударной волны становится сравнимым с начальным давле­
нием газа (точнее, когда Pi становится порядка [(у + 1)/(у — 1)]р<ь
см. сноску на стр. 84), автомодельное решение задачи о сильном взрыве
теряет силу.
Процесс на этой стадии уже не автомоделей, так как в задаче имеются
характерные масштабы длины и времени, которые можно составить из
величины полной энергии взрыва Е и начальных параметров газа. Мас­
штабом длины служит радиус сферы, начальная энергия которой сравнима
с энергией взрыва г = (Е/р у/ . Масштабом времени — время, за кото­
рое звук пробегает это расстояние t = r /c , где с = (YPo/Qo) - Так,
например, при взрыве в воздухе нормальной плотности (Q = 1,25 X
X Ю г/см , р = 1 атм, с = 330 м/сек) для энергии Е = 10 эрг, соот­
ветствующей примерно энергии, выделяющейся при взрыве 20 000 тонн
тротила, масштабы равны г = 1 км, t = 3 сек.
Решение задачи о распространении ударной волны точечного взрыва
с учетом противодавления было получено в ряде работ [8—10] путем
численного интегрирования уравнений газодинамики в частных произ­
водных. Все результаты расчетов, подробные таблицы и графики распре­
делений газодинамических величин на разные моменты времени можнонайти в указанных работах, а также в четвертом издании книги Л. И. Се­
дова [5].
Мы ограничимся здесь лишь некоторыми замечаниями по поводу
качественного характера процесса.
С течением времени амплитуда ударной волны становится все меньше
и меньше, давление на фронте асимптотически приближается к началь­
ному давлению газа — атмосферному. Соответственно уменьшаются сжа­
тие газа во фронте волны и скорость ее распространения, которая асимп­
тотически приближается к скорости звука с . Закон распространения
R ~ г / постепенно переходит в закон R = c t. Когда давление в цен­
тральной области взрывной волны становится близким к атмосферному,
расширение газа в этой области прекращается и газ останавливается.
Область движения газа выносится вперед, ближе к фронту ударной волны,
которая постепенно превращается в сферическую волну типа акусти­
ческой. За областью сжатия в такой волне следует область разрежения,
после чего воздух приходит к своему конечному состоянию. Конечное
состояние слоев, далеких от центра, по которым ударная волна про­
шла, будучи слабой, мало отличается от начального. Распределения
давления, скорости и плотности по радиусу в какой-то поздний момент t
г
0
0
1/2
0
- 3
0
0
0
0
21
3
0
0
0
0
0
2
5
0
90
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
имеют вид, изображенный на рис. 1.51. Если проследить за изменением
во времени давления на определенном расстоянии от центра взрыва, то
получится картина, показанная на рис. 1.52. В момент t когда к дан­
ному месту подходит фронт ударной волны, давление скачком возрас­
тает, затем уменьшается, причем
• >Р
падает до величины ниже атмосфер­
•л,
ного (положительная и отрицатель­
ная фазы давления), а затем возвра­
щается к начальной величине.
Как уже было сказано, конечное
/
состояние газа на больших расстоя­
•л
ниях от центра взрыва почти не
u
-^Л
^И-
^Л-^
Рис. 1.52. Зависимость давления
от времени в определенной точке
на большом расстоянии от центра
взрыва.
Рис. 1.51. Профили давления,
плотности и скорости на поздней
стадии} взрыва, когда ударная
волна становится слабой.
отличается от начального. На малых же расстояниях газ в конечном состо­
янии оказывается сильно разреженным и высоконагретым. Это связано
с тем, что через частицы, находящиеся вблизи центра, ударная волна
прошла будучи очень сильной, и энтропия
этих частиц гораздо выше начальной.
Асимптотические распределения ко­
-р*
нечных плотности и температуры по ради­
усу вблизи центра можно найти из условия
адиабатического расширения до атмосфер­
ного давления частиц, нагретых во фронте
сильной ударной волны. Повторяя вычи­
сления, сделанные в конце § 25, но теперь
уже без зависимости р от t, а полагая
р = p = const, найдем те же самые рас­
пределения по радиусу при г -*• 0, что и
в задаче о сильном взрыве Q ~, r
\
с
с
Q
3 / ( v - 1
Рис. 1.53. Конечные распределе­
ния плотности и температуры
{t -»• со) при сильном взрыве (в
предположении адиабатичности
процесса).
Конечные распределения Q (Г) И Т (Г)
показаны на рис. 1.53. В нагретой области
сосредоточена довольно значительная доля
энергии взрыва,|Порядка нескольких десят­
ков процентов (она зависит от у). Это—та
энергия, которая пошла на необратимое нагревание газа, связанное
с необратимостью процесса ударного сжатия. Остальная энергия уно­
сится вперед вместе с ударной волной и рассеивается в пространстве.
О судьбе энергии, «застрявшей» в области центра, речь пойдет в гл. IX
(воздух в этой области остывает за счет светового излучения).
Поздняя стадия распространения взрывной волны изучалась тео­
ретически и экспериментально многими авторами. Предельные законы
5 28]
АДИАБАТИЧЕСКИЙ РАЗЛЕТ В ПУСТОТУ ГАЗОВОГО ШАРА
91
распространения волны на больших расстояниях были найдены Л. Д. Лан­
дау [11]. Большое практическое значение имеет эмпирическая формула
М. А. Садовского [12] для давления на фронте в зависимости от рас­
стояния от центра взрыва. Заметим, что закон подобия j? = / (£' / /i?)
справедлив и на поздней стадии распространения ударной волны, когда
Pi — Ро < РоI
3
t
§ 28. Адиабатический разлет в пустоту газового шара
Познакомимся еще с одной газодинамической задачей, с которой
нам придется иметь дело в дальнейшем (в гл. VIII), задачей о разлете
газа в пустоту.
Представим себе газовый шар, занимающий в начальный момент
сферический объем радиуса R . Пусть, для определенности, в начальный
момент газ покоится и заполняет объем равномерно с плотностью g
(полная масса газа М = Q 4nRl/3). Начальное давление газа также счи­
таем постоянным и равным р , так что полная энергия газа есть Е =
1
4яД8
= —гРо—о (газ предполагается идеальным с постоянной теплоемкостью). В момент t = О убирается заслонка, сдерживающая газ, и послед­
ний начинает беспрепятственно расширяться в пустоту.
После удаления заслонки происходит распад разрыва и по газу
к центру распространяется волна разрежения. Передние слои газа рас2
ширяются в пустоту с максимальной скоростью истечения и
= ——•- с .
Когда волна разрежения доходит до центра, движение — разлет —
охватывает все вещество. В процессе адиабатического разлета благо­
даря совершаемой газом работе расширения вещество разгоняется и его
начальная внутренняя энергия Е постепенно переходит в кинетическую
энергию радиального движения. Можно показать (см. [15]), что при
изэнтропическом разлете (а наша задача изэнтропична, так как в на­
чальный момент в силу постоянства давления и плотности по радиусу
энтропии всех частиц одинаковы), возмущения из внутренних областей
шара не достигают передней границы, так что она движется с постоянной
0
0
0
0
-2
т а х
2
0
Q
с
с 5 а к о н
скоростью Umax = ~^А °движения границы газового шара есть
R = —^jC t -f- R . Найти точное аналитическое решение поставленной
задачи не удается, так как задача не автомодельна и необходимо решать
систему дифференциальных уравнений в частных производных, что
удается сделать аналитически лишь в очень редких случаях. В том, что
задача не автомодельна, легко убедиться, замечая, что имеется харак­
терный масштаб длины — начальный радиус шара R .
Однако эта задача обладает той особенностью, что с течением вре­
мени движение асимптотически переходит в автомодельное. В самом
деле, в стадии большого расширения при R > R роль начального пара­
метра длины R становится все менее и менее существенной, так как
масштаб длины R становится очень малым по сравнению с характер­
ным масштабом течения —'фактическим радиусом шара R. Движение
газа с течением времени как бы «забывает» о начальном радиусе R . Все
же движение не полностью «забывает» о начальных условиях, и в этом
проявляется существенная неавтомодельность, заложенная в рассмат­
риваемом процессе.
0
0
0
0
0
0
0
92
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ БОЛН
[ГЛ. I
Рассмотрим асимптотическое поведение решения при t -> оо.
Сила, действующая на единицу массы газа, при этом стремится к ну­
лю. В самом деле, эта сила
-— по порядку величины равна —^ъ,
где ряд — некоторые средние по массе давление и плотность в момент t.
Но среднее давление р пропорционально отношению тепловой энергии
всего газа к его объему р ~ E /R
и во всяком случае меньше, чем
E/R . Средняя плотность g ~ 1/R , поэтому сила стремится к нулю
во всяком случае не медленнее, чем 1IR. На самом деле сила убывает
при R -*• оо быстрее, чем 1/R, так как тепловая часть энергии умень­
шается при адиабатическом расширении: Е
~ Мг ~ М — ~ р/v ~
~ Д-з(у-1>. Отсюда р ~ E /R
~ i?- v, и сила убывает как R-Zv+z =
д-I-3(Y—о. Уравнение движения в пределе 2-voo, R ->- оо приобре­
тает асимптотический вид:
3
Ten
s
3
-1
геп
3
3
Ten
=
dt - at +
м
дг -
Q дг
д
1+з<?-1) ^
U
'
(1-114/
т. е. скорости всех частиц стремятся к постоянным значениям, причем
и = r/t.
При t —>- оо разлет приобретает инерционный характер.
Это следует и непосредственно из условия сохранения полной энер­
гии газа Е. Полная энергия складывается из тепловой и кинетической,
но тепловая часть энергии при расширении асимптотически стремится
к нулю, следовательно, кинетическая энергия стремится к Е, и сред­
няя скорость газовой массы асимптотически стремится к постоянному
предельному значению и» = \ 2Е/М, которое находится в определен­
ном отношении со скоростью границы:
Г
У
=
7
=
«max = ~Т ^0 = Y=T У 1? У^^У" *)^
_i /
4у
Е _
/
2у
-У
Y - 1 МV Y-1
(например, в одноатомном газе у = 5/3 и и
= 2,9 их). Подставляя
асимптотическое решение для скорости и = r/t в уравнение непрерыв­
ности, мы убеждаемся в том, что ему удовлетворяет следующая функция
плотности:
тях
где / — совершенно произвольная функция r/t. Поскольку радиус гра­
ницы шара равен R = u t, эту формулу можно переписать в виде
max
g г-
Ф
(
г
/
Л
)
дз
Асимптотическое распределение плотности по радиусу не меняется
с течением времени; оно лишь растягивается в соответствие с возраста­
нием R, оставаясь подобным самому себе, автомодельным. Действи­
тельно, если в газе не действуют никакие силы и каждая частица летит
с постоянной скоростью по инерции, то никакого перераспределения
массы не происходит, и профиль плотности остается неизменным.
Однако внутренняя неавтомодельность задачи сказывается в том,
что это асимптотическое распределение плотности не может быть найдено
§ 29]
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ РАЗЛЕТА ШАРА В ПУСТОТУ
93
из уравнений асимптотического движения, которые допускают любое
распределение.
Распределение плотности складывается в ранней стадии, когда
в газе действуют силы давления. Ко времени, когда газ сильно расши­
ряется, оно как бы «застывает». Распределение плотности зависит от
начальных условий и может быть найдено лишь на основе полного реше­
ния задачи.
Как уже отмечалось, точное решение задачи с начальными усло­
виями Qo (г) — const, р (г) = const, и = О нельзя найти в аналитиче­
ском виде. Приближенное решение можно сконструировать, исходя
из рассмотрения аналогичной плоской задачи о разлете в пустоту газо­
вого слоя конечной массы с постоянными начальными распределениями,
которую можно решить. Это приближенное решение приведено в книге
К. П. Станюковича [15]; оно имеет вид:
_ A f.
г2 \
_ 3 —у
_
~ № \
№J '
~ 2(Y —1) '
- та г,
0
а
д
6
а
Л
И
Х
причем решение справедливо только для целочисленных значений а =
= 0, 1, 2, 3, . . ., которые соответствуют следующему ряду значений
показателя адиабаты у = 3, 5/3, 7/5, 9/7 ...
Константу А можно определить из условия сохранения массы, если
проинтегрировать функцию плотности по всему объему шара. Соответ­
ствующая формула приведена в [15].
§ 29. Автомодельные режимы разлета шара в пустоту
Существует класс решений задачи о разлете газового шара в пустоту,
в котором распределения всех газодинамических величин строго автомодельны, т. е. с самого начала зависят от радиуса г в виде отношения г
к радиусу границы шара Л и не содержат какой-либо иной зависимости
от г. К этим решениям приводят не любые начальные распределения
величин по радиусу, а только такие, которые удовлетворяют определен­
ному соотношению.
Указанный класс решений характеризуется линейным распределе­
нием скорости по радиусу (такие решения были исследованы Л. И. Седо­
вым [5]):
u = rF(t)=R~,
(1.116)
где функция времени F (t) выражена через скорость границы шара
R = dRIdt. Подставляя эту формулу в уравнение движения, получим
соотношение
f-=- r(F
Q
+ F%
(1.117)
которому должны удовлетворять распределения р И QUO радиусу в течение
всего процесса, в том числе и в начальный момент времени. Только при
этом условии решение будет принадлежать к рассматриваемому классу.
Рассмотрим два конкретных примера таких решений.
1. Пусть плотность g постоянна по всему объему и не зависит от
радиуса
94
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Легко проверить, что задание функций плотности и скорости в виде (1.118),
(1.116) автоматически удовлетворяет уравнению непрерывности при про­
извольной зависимости R{t). Подставляя (1.118) в (1.117) и интегрируя,
получим параболическое распределение давления по радиусу
( 1 Л 1 9
Р= М 0 ( 1 - ж ) '
>
которое должно быть задано с самого начала для того, чтобы выполнялось
условие (1.117). Как видим, задача не изэнтропична, так как плотности
у всех частиц одинаковые, а давления разные. Подстановка ряд в энтро­
пийное уравнение дает связь между неизвестными функциями: давлением
в центре p (t) и радиусом шара R(t):
0
P o { t )
= A ^A(^)\-^,
(1.120)
Q
где Л —константа, зависящая от начальной энтропии в центре шара.
Подставляя, наконец, (1.118), (1.119), (1.120) в уравнение движения
(1.117), получим дифференциальное уравнение' второго порядка для
закона движения границы шара R(t). Решая его с начальным условием
t = О, R = R , R = Ro, найдем и полное решение задачи. В частности,
можно считать, что в начальный момент газ покоится: R — 0.
Если интересоваться асимптотикой t—>co, можно сразу положить
й = const = щ, где и^ — предельная скорость границы шара (решение
дифференциального уравнения, естественно, дает Л—>const при t—> ею).
Величину щ можно с помощью радиальных распределений Q И и вычислить
из условия сохранения энергии, имея в виду, что при t—> со вся энер­
гия превращается в кинетическую. Получим таким образом:
0
0
где Ыоо по-прежнему определяется как корень из среднего по массе квад­
рата скорости и
-/и = V2EIM.
2. Пусть энтропии всех частиц одинаковы (изэнтропическое движе­
ние), т. е. S (r, t) — const, р/дУ = А = const (A — энтропийная кон­
станта). Подстановка р = AQV В соотношение (1.117) приводит к сле­
дующим профилям давления и плотности:
2
1
;o=o (i—5-)
v _ 1
c
,
(i.i22>
•у
y
У
p = A (l—^) ~\
(1.123)
Q c
которые, естественно, должны быть заданы с самого начала.
Плотность в центре g можно определить, интегрируя плотность пообъему и приравнивая интеграл массе: это дает, как обычно, g ~ M/R ,
с численным коэффициентом пропорциональности, зависящим от у. Соот­
ношение (1.117) приводит после подстановки (1.122), (1.123) к уравнению
второго порядка для R (t). Предельное значение скорости границы u
c
3
c
t
§ 29]
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ РАЗЛЕТА ШАРА В ПУСТОТУ
95
можно получить из условия сохранения энергии:
в
Е = \ ^ inr* dr,
о
если подставить в интеграл g по формуле (1.122) и и = u^r/R.
Это дает связь и^ с м» = У2Е/М, причем коэффициент пропорцио­
нальности также зависит от у. Оба коэффициента выражаются определен­
ными интегралами, которые вычисляются при помощи гамма-функций.
Приведем численные результаты. При у ~ / g = 3,4g, u = 1,64 u»;
при y = */ Qc = 6,6Q, UI = 1,92 u , где g = Л/7(4я.й /3) — плотность,
средняя по объему. В пределе при t ->• оо R « u^t *).
Отметим работу В. С. Имшенника [16], в которой рассматривается
задача об изотермическом разлете газа в пустоту, и работы И. В. Нем­
чинова [18], исследовавшего разлет в пустоту газа, в котором проис­
ходит постепенное выделение энергии. Отметим также работу И. В. Нем­
чинова [19], в которой рассматривается разлет в пустоту трехосного ра­
зового эллипсоида.
ъ
3
c
t
3
s
x
*) В работе [17] сообщаются некоторые результаты численного решения уравне­
ний газодинамики для задачи об изэнтропическом разлете шара в пустоту при однород­
ных начальных условиях и у = -=- (при t= О газ в сфере покоится, плотность и давле­
ние его постоянны по радиусу). К сожалению, в работе не приводится асимптотический
профиль плотности, но дается график Q (t). Видно, что с течением времени зависимость
стремится к Q ~ 1/i , причем коэффициент в этом предельном законе оказывается
всего в 1,22 раза больше, чем в описанном здесь автомодельном решении.
C
3
C
ГЛАВА
II
, ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
§ 1. Введение и основные понятия
До недавнего времени высокими температурами порядка десятков
и сотен тысяч или миллионов градусов интересовались главным образом
астрофизики. Теория переноса излучения и лучистого теплообмена созда­
валась и развивалась как необходимый элемент для понимания процессов,
протекающих в звездах, и объяснения наблюдаемого свечения звезд.
В значительной мере эта теория переносится и на другие высокотемпера­
турные объекты, с которыми имеет дело физика и техника сегодняшнего
дня. В этой главе мы познакомимся с основами теорий теплового излу­
чения, лучистого переноса энергии, теории свечения нагретых тел и сфор­
мулируем уравнения, описывающие гидродинамическое движение веще­
ства в условиях интенсивного излучения. В изложении этих вопросов
мы будем ориентироваться на «земные» приложения, останавливаясь
на некоторых моментах, не столь важных для астрофизики и даже не воз­
никающих в этой области *).
Напомним основные положения и определения теории теплового
излучения. Излучение характеризуется частотой колебаний электромаг­
нитного поля v или длиной волны %, связанной с частотой через ско­
рость света с: X = civ. В дальнейшем мы всегда будем иметь дело со
средами, в которых показатель преломления очень близок к единице, так
что под с будем подразумевать скорость света в вакууме, равную с =
= 3-Ю см/сек. С квантовой точки зрения излучение рассматривается
как совокупность неких частиц, фотонов или световых квантов, энер­
гия которых связана с частотой эквивалентного поля посредством постоян­
ной Планка h = 6,62- 1(Н эрг-сек. Обычно энергию кванта hv **) изме­
ряют в электрон-вольтах. Один электрон-вольт — это энергия, которую
приобретает электрон при прохождении разности потенциалов в 1 вольт;
1 электрон-вольт (1 эв) равен 1,6-Ю эрг. Часто в электрон-вольтах
измеряют и температуру. Температуре Г в 1 электрон-вольт соответ­
ствует энергия Л:?' == 1,6-10 эрг, где к = 1,38-10- эрг/град есть
10
7
-12
-12
16
*) Более подробно с вопросами теории переноса излучения и ее приложениями
к астрофизике можно познакомиться в книгах В. А. Амбарцумяна и др. [1], Унзольда [2], Э. Р. Мустеля [3].
**) В квантовой теории принято пользоваться вместо частоты v «круговой»
частотой to = 2nv и, соответственно, постоянной Планка ft — h/2n. В этой книге
мы будем употреблять величины v и h, как это принято в теории переноса излучения
и астрофизике.
BOOKS.PROEKTANT.ORG
БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ
КОПИЙ КНИГ
для проектировщиков
и технических специалистов
97
ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§1]
постоянная Больцмана:
_
т
э в
—
кТ°
1,6-10-"
Т°
11600 *
т. е. температура в 1 эв равна 11 600° К.
В электромагнитной, шкале частот (длин волн) или, как говорят,
в спектре излучения, обычно выделяют несколько весьма нечетко огра­
ниченных интервалов, которые носят определенные названия: радио­
волны, инфракрасное, видимое, ультрафиолетовое, рентгеновское излу­
чения, у-кванты. Это деление сложилось исторически и не имеет какого-то
строгого физического обоснования. Некоторые промежуточные между
интервалами частоты даже трудно отнести к той или иной рубрике. Исклю­
чение составляет только более или менее определенная, видимая часть
спектра: Х ~ 7500—4000 A, hv ~ 1,7—3,13 эв. В теории теплового излу­
чения доказывается, что в состоянии термодинамического равновесия
излучения с веществом максимум энергии спектра по частоте приходится
на частоту v, связанную с температурой формулой hv = 2,82 кТ. Можно
сказать, что частота у наиболее характерна для тела с температурой
Т = hv/2,82 к, поэтому сопоставление частотных и температурных диапа­
зонов сразу дает представление о том, каким температурам свойственна
данная область спектра. Видимое излучение характерно для тел с тем­
пературами порядка 7000—13 000° К.
Электромагнитное поле или световые кванты обладают не только
энергией, но и импульсом. Импульс кванта hv по абсолютной величине
равен hv/c. Направление движения кванта совпадает с вектором потока
энергии поля — вектором Пойнтинга.
Поле излучения, заполняющего пространство, описывается распре­
делением интенсивности излучения по частотам, в пространстве и по
направлениям переноса лучистой энергии. Если говорить об излучении
как о совокупности частиц — световых квантов, то поле можно охаракте­
ризовать функцией распределения квантов, которая вполне аналогична
функции распределения любых частиц. Пусть / (v, г, й, t) dvdr dQ
есть число световых квантов в спектральном интервале от v до v + dv,
находящихся в момент t в элементе объема dr *) около точки г и имею­
щих направление движения в элементе телесного угла dii около единич­
ного вектора й. Функция / называется функцией распределения.
Каждый квант обладает энергией hv и движется со скоростью с,
поэтому величина
1 (г, й, t)]dvdii = hvcf (v, г, й, t) dv dii
о
Ч
есть количество лучистой энергии в спектральном интервале dv, проте­
кающей в 1 сек через площадку в 1 см , помещенную в точке г перпенди­
кулярно к направлениям распространения энергии, которые лежат в эле­
менте телесного угла dii около вектора й. I называют спектральной
интенсивностью излучения. Задание функций I или / полностью опреде­
ляет поле излучения. Количество лучистой энергии частоты v, заклю­
ченной в единичном интервале частот и находящейся в 1 см простран­
ства в точке т в момент t, или спектральная плотность излучения, равно:
2
v
v
3
U (r,t) = hv \ /dfl = y
v
(4it)
[ I dQ.
v
(2.1)
(4я)
*) Линейные размеры элементарного объема dr предполагаются гораздо боль­
шими, чем длина волны X.
7
Я. Б. Зельдович, 10. П. Райзер
98
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРБДЕ
[ГЛ. II
Представим себе единичную площадку с направлением нормали п.
Кванты пересекают ее слева направо и справа налево. Количество лучи­
стой энергии в интервале dv, протекающей в 1 сек через площадку слева
направо, равно hvc \ / cos Ф dii, где Ф — угод между направлением дви(2я)
жения квантов Q и нормалью п; интеграл берется по правой полусфере,
основанием которой служит площадка (рис. 2.1). Интеграл по левой
полусфере равен количеству энергии, протекающей справа налево. Раз­
ность односторонних потоков слева направо и справа налево дает полный
спектральный поток энергии через указанную площадку. Поскольку
cos Ф имеет различные знаки в правой и левой по­
лусферах, спектральный поток энергии через пло­
щадку с нормалью п равен
S (r,t,n)=hvc
[ fcosftdQ^
v
\ I cosftdQ,
v
(4я)
(2.2)
(4я)
где интеграл берется по всему телесному углу.
Поток есть величина векторная. Выписанное
выражение (2.2) представляет собой проекцию век­
тора потока на направление п. Сам же вектор спект­
рального потока равен
I Q dQ,
-I
где Q — единичный вектор направления
8,
v
(2.3)
движения
квантов.
При изотропном распределении излучения,
когда функция распределения / и интенсивность
не зависят от направления й, плотность излучения равна
Рис. 2.1. К выводу
формулы для потока
энергии излучения.
I
V
U = Anhvf = — 7 ,
v
(2.4)
V
а потока нет: S = 0 ш проекции на все направления также равны нулю
(так как в каждом направлении энергии переносится ровно столько,
сколько и в противоположном).
Полные интенсивность, плотность и поток излучения получаются
из спектральных интегрированием их по всему спектру частот:
v
*-*J
LAJ
I=[l dv,
U=\u dv,
v
v
i-XJ
S=^S dv.
V
(2.5)
Введем теперь понятие об оптических характеристиках вещества *).
Количество энергии частоты v самопроизвольно (спонтанно) излу­
чаемой в 1 см вещества в 1 сек в единичном интервале частот называют
спектральной лучеиспускательной способностью или к о э ф ф и ц и е н ­
т о м и з л у ч е н и я J . Обычно газы излучают свет во всех направ­
лениях одинаково, изотропно, так как атомы, молекулы и т. д. ориен­
тированы и движутся в пространстве хаотическим образом. Поэтому
количество энергии, излучаемой в телесный угол dii в каком-либо на3
v
*) Здесь и в дальнейшем, употребляя термины «свет», «световые кванты», «опти­
ческие» свойства, мы не будем ограничиваться, как это принято в обиходе, только
видимой частью спектра, но будем относить эти термины к любым частотам.
§ 2]
М Е Х А Н И З М Ы ИСПУСКАНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ В ГАЗАХ
99
правлении, равно просто ; dQ = J dii/Ал (/ рассчитано на единицу
телесного угла).
Иногда лучеиспускательную способность относят не к единице объема,
а к единице массы. Чтобы получить соответствующие величины, сле­
дует, очевидно, поделить / или j на плотность вещества g.
Если через вещество проходит пучок света, он ослабляется на своем
пути. Ослабление происходит как вследствие поглощения квантов, так
и вследствие их рассеяния, т. е. отклонения от первоначального направ­
ления. Относительное ослабление параллельного пучка на элементе
пути dx пропорционально этому элементу, т. е.
dlv = — \i Iv dx.
(2.6)
Интенсивность пучка уменьшается после прохождения расстояния х
от точки х = 0 до точки х по экспоненциальному закону
v
v
v
v
v
v
х
I = I exp
— \ \i dx .
(2.7)
о
Коэффициент ослабления jx складывается из коэффициента погло­
щения x *) и коэффициента рассеяния x . Обратные величины есть
длины пробега света: полная l — l/jx , по отношению к поглощению
l = l / x и по отношению к рассеянию l = l / x
(l = (lyk + ^ Г ) Длины пробега характеризуют ослабление пучка света по отношению
к соответствующему процессу на единице пути. О коэффициентах, отне­
сенных не к единице пути, а к единице массы, говорят как о массовых
коэффициентах. Массовые коэффициенты равны соответственно |x /g,
v
v0
v
v
va
v s
v
v
1
va
v a
vs
v s
v
v
Длина пробега представляет собой среднее расстояние, которое
проходит квант прежде, чем он поглотится, рассеется и т. д. Но квант
летит со скоростью с, и поэтому среднее время «жизни» кванта по отно­
шению к данному акту равно длине пробега, поделенной на скорость
света lie. Например, если на элементе пути dx поглощается доля dx/l
квантов, то за время dt поглощается доля с dt/l .
Ослабление пучка света характеризуется произведением коэффи­
циента ослабления на длину пути. Безразмерная величина
va
va
X
T = \ ix dx, dr = \i dx
(2.8)
о
называется оптической толщиной слоя х по отношению к свету частоты v.
Пучок света ослабляется в е раз на оптической толщине, равной единице.
В случае, когда рассеянием можно пренебречь, оптическая толщина есть
V
v
v
v
X
Т у -— \ «vya CLX) cJ>T<y
=
=
ЛудйД).
(^ ,t7)
e
О
§ 2. Механизмы испускания, поглощения и рассеяния света в газах
Световые кванты излучаются и поглощаются при переходах эле­
ктронов в атомных системах: атомах, молекулах, ионах, электронно-ион­
ной плазме, из одного энергетического состояния в другое. При погло­
щении кванта происходит возбуждение атома, молекулы и т. д. Для того
*) Мы сейчас отвлекаемся от процессов вынужденного испускания, о которых
речь пойдет ниже, и подразумеваем под x
коэффициент истинного поглощения.
7*
v a
100
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
чтобы произошло испускание кванта, необходимо предварительно воз­
будить атом; атом теряет энергию возбуждения, передавая ее испускае­
мому кванту. Лучеиспускательная способность тем выше, чем больше
число возбужденных атомов, т. е. чем выше температура.
На рис. 2.2 изображена схема энергетических уровней простейшей
атомной системы, состоящей из протона и электрона, которые в свя­
занном состоянии образуют атом водорода.
За нуль энергии принята, как обычно,
граница между свободным и связанным
состояниями электрона, так что в связан­
ном состоянии энергия отрицательна.
В связанном состоянии электрон может
находиться только на определенных, дис­
кретных энергетических уровнях. Основ­
ное состояние системы протон — электрон
имеет энергию Е = —13,5 эв, равную
по абсолютной величине потенциалу иони­
зации атома водорода. В свободном со­
стоянии с положительной энергией (иони­
зованный атом водорода) электрон может
обладать любой энергией, так что энер­
гетический спектр непрерывен.
В качественном отношении энергети­
ческий спектр сложных атомных систем
не отличается от спектра простейшей.
Все электронные переходы можно,
как это принято в астрофизике, подра­
зделить на три группы по признаку не­
прерывности или дискретности энергети­
ческого спектра начального и конечного
Рис. 2.2. Схема энергетических состояний атомной системы: на связанноуровней системы протон-электрон. связанные, связанно-свободные и сво­
Ei = —13,5 »в — основное состояние
бодно-свободные (все возможные переходы
атома водорода; Е , Е, — уровни с
главными квантовыми чиоламип=2,3.
показаны на рис. 2.2 стрелками).
Е = 0 соответствует границе между
дискретным и непрерывным спектра­
К связанно-связанным относятся пере­
ми. Стрелками показаны возможные
типы переходов: I — связанно-связан­
ходы электронов в атомах, молекулах
ный, II — захват электрона протоном,
и ионах с одного дискретного уровня на
III,— ионизация атома, IV — сво­
бодно-свободный.
другой. В силу дискретности энергетиче­
ских уровней
связанного состояния
электронов при таких переходах испускаются и поглощаются линейча­
тые спектры. В молекулах, когда одновременно с электронным пере­
ходом происходит изменение состояния колебательного и вращатель­
ного движений, получаются полосатые спектры *).
'•'~ "При связанно-свободных переходах электрон в результате погло­
щения кванта приобретает энергию, превышающую энергию связи его
в атоме, молекуле, ионе и становится свободным — происходит фото­
ионизация. Избыточная по сравнению с энергией связи энергия кванта
превращается в кинетическую энергию свободного электрона. Обратные
х
г
*) В молекулах иногда происходят переходы, сопровождающиеся изменением
только колебательного и вращательного состояний без изменения электронного состоя­
ния. При этом испускаются или поглощаются кванты очень малой анергии, лежащие
в инфракрасной области спектра, которые при температурах порядка нескольких
тысяч градусов и выше играют незначительную роль.
§ 2]
МЕХАНИЗМЫ ИСПУСКАНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ В ГАЗАХ
101
переходы — захват свободных электронов ионами в ионизованном газе
(фоторекомбинация) — приводят к испусканию квантов. Поскольку сво­
бодный электрон может обладать произвольной (положительной) энер­
гией, связанно-свободные переходы дают непрерывный спектр поглоще­
ния и излучения.
Следует отметить, что не любой квант может вызвать фотоэффект
в атоме, находящемся в определенном состоянии. Энергия кванта должна
превышать энергию связи электрона в этом состоянии. Однако любой,
даже самый маленький квант может вырвать электрон иэ достаточно
сильно возбужденного атома, так как с возрастанием возбуждения злектрон становится связанным все слабее и слабее.
В ионизованном газе (плазме) свободный электрон, пролетая в эле­
ктрическом поле иона, может испустить квант, не потеряв при этом всей
своей кинетической энергии и оставаясь свободным, либо же поглотить
квант, приобретая дополнительную кинетическую энергию. Эти сво­
бодно-свободные переходы часто называют тормозными, так как при
испускании электрон как бы тормозится в поле иона, теряя часть своей
энергии на излучение. Тормозные процессы дают также непрерывный
спектр излучения и поглощения.
Тормозные процессы могут происходить и при пролете электрона
в поле нейтрального атома. В отличие от поля иона, поле нейтрального
атома очень быстро спадает с расстоянием, поэтому для процесса испус­
кания или поглощения света необходимо тесное сближение электрона
и атома. Вероятность тормозного процесса с участием нейтрального
атома гораздо меньше, чем с участием иона.
Коэффициенты связанно-связанного и связанно-свободного поглоще­
ния пропорциональны числу поглощающих атомов, находящихся в 1 см
газа N. Величина коэффициента, отнесенная к одному поглощающему
атому, зависит только от свойств атома, степени его возбуждения, час­
тоты кванта, т. е. является характеристикой самого атома. Эта величина
•x, /N = a имеет размерность см (размерность >c — l/см, размерность
N — 1 /см ) и носит название э ф ф е к т и в н о г о с е ч е н и я п о ­
г л о щ е н и я . Ее физический смысл легко понять путем следующего рас­
суждения. Пусть параллельный пучок света частоты v с сечением в 1 см
проходит через поглощающий газ. Поглощение можно представить себе
таким образом, будто каждый атом заменен неким маленьким непрозрач­
ным диском, перпендикулярным к направлению пучка, попадая в кото­
рый квант застревает (поглощается).
Если площадь каждого диска равна a , а число дисков — атомов
в см есть N, то полная площадь всех дисков, расположенных в слое газа
с площадью 1 см и толщиною dx, равна 1 см No dx. Выберем dx настоль­
ко малым, чтобы находящиеся в слое диски не перекрывались. Тогда,
очевидно, при прохождении света через такой слой «застрянет» доля
квантов, равная отношению непрозрачной площади^ Na dx см к пол­
ной —1 см , т. е.
dl = — I N o dx.
3
2
va
v
va
3
2
v
3
2
2
v
2
v
2
v
v
4
Вспоминая определение коэффициента поглощения (см. форму­
лу (2.6)), получаем, что x = Na , т. е. эффективное сечение a есть
как бы площадь «непрозрачного» (для частоты v) диска, соответствую­
щего одному поглощающему атому. Точно так же можно говорить и об
эффективном сечении атома или какой-либо другой частицы для рассея­
ния квантов.
v
v
v
102
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Связанно-связанные переходы вызываются квантами строго опре­
деленной энергии hv, лежащей в чрезвычайно узких пределах. Эта энер­
гия должна соответствовать разности энергий двух уровней в атоме.
Поэтому о таком поглощении говорят о как селективном. Эффективные
сечения поглощения «изолированных» атомов для этих «избранных»
квантов чрезвычайно велики. Для квантов видимого света они порядка
Ю см в центре линии (в середине узкого интервала селективного погло­
щения) *). Такие сечения отвечают очень малым длинам пробега квантов.
Например, при плотности N ~ 10 см~ (порядка плотности атмосфер­
ного воздуха) длина пробега была бы порядка I = 1/к = 1/No ~ Ю- см.
Эффективные сечения для связанно-свободного поглощения, т. е.
для фотоэффекта, гораздо меньше, порядка 10~ — Ю см (I ~ Ю —
10 см при N ~ 10 ел*- ). Эти величины относятся, конечно, только
к таким квантам, которые вообще в состоянии вырвать электрон из атома,
т. е. энергия которых больше энергии связи электрона.
Что касается свободно-свободных переходов, то для поглощения
кванта необходимо, чтобы электрон пролетел в момент поглощения очень
близко от иона —«столкнулся» с ионом (свободный электрон не в состоя­
нии поглотить квант, он может только рассеять его). Поэтому коэффи­
циент тормозного поглощения пропорционален как числу ионов, так
и числу свободных электронов в 1 см : >с ~ N+N . Говорить об эффек­
тивном сечении иона а
= JC /7V+ ~ N можно только в условном
смысле, так как это сечение пропорционально плотности свободных
электронов. Оказывается, однако, что в случае неполной ионизации
коэффициент тормозного поглощения пропорционален только первой сте­
пени плотности газа, так как плотности пропорционально само произ­
ведение N+N . Для квантов, наиболее распространенных при данной
температуре, коэффициент тормозного поглощения примерно на поря­
док меньше коэффициента связанно-свободного поглощения.
В случае же полной ионизации, когда в газе присутствуют только
ядра и электроны (и связанно-свободного поглощения вообще нет), коэф­
фициент тормозного поглощения пропорционален квадрату плотности
газа.
*• Рассеивают кванты главным образом свободные электроны **) (если
энергия кванта велика по сравнению с энергией связи электрона в атоме,
то такой электрон тоже может рассматриваться как «свободный»).
Кванты не слишком -больших энергий, гораздо меньших, чем соб­
ственная энергия электрона: то с = 500сэ<?, с которыми только и прихо­
дится иметь дело при обозримых температурах, рассеиваются без изме­
нения энергии. Эффективное сечение рассеяния определяется классиче­
ским радиусом электрона г и равно
- 9
2
19
3
10
17
19
- 2 0
2
-2
3
3
тор
т о р
TOP
e
e
e
2
е
0
ст =Ая/*
в
= 6,65-Ю-
25
2
см
(это — так называемое томсоновское сечение рассеяния).
*) Эффективное сечение поглощения в центре линии, обладающей естественной
шириной, порядка К , где К — длина волны кванта. В шкале длин волн естественная
ширина линий в видимой части спектра порядка 10~ А = 10~ см (1 ангстрем (А)
равен Ю см). Обычно в газах ширина линий больше естественной, а сечение в центре
линии соответственно меньше, чем АА Подробнее см. об этом в § 9 гл. V.
**) Отметим существование эффекта .резонансного рассеяния, в котором свя­
занный электрон поглощает квант с переходом в связанное же возбужденное состояние,
а затем испускает его в произвольном направлении. Эффективное сечение резонанс­
ного рассеяния в центре линии, как и сечение поглощения, порядка %?.
2
4
- 8
12
5 3]
РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И АБСОЛЮТНО ЧЕРНОЕ ТЕЛО
103
Это сечение очень маленькое, оно соответствует длине пробега для
рассеяния l ~ 10 см при плотности электронов N ~ 10 см- . При
оценке длины рассеяния больших квантов, для которых все электроны
атомов и молекул могут рассматриваться как свободные, под N следует
понимать полное число электронов, имеющихся в атомах. Например,
в воздухе нормальной плотности Л^ ек = 2,67-10 см- , а полное
число электронов в 14,4 раза больше. Длина пробега для рассеяния
равна 37 м. Следует отметить, что эффективное сечение очень больших,
мегаэлектрон-вольтных квантов отличается от томсоновского.
В неполностью ионизованном газе длина пробега для рассеяния
квантов в непрерывном спектре всегда гораздо больше длины пробега
для поглощения. Только в полностью ионизованном и очень сильно
разреженном газе, когда тормозное поглощение, пропорциональное N ,
становится малым, рассеяние существенно.
В «земных» условиях рассеянием света практически всегда можно
пренебречь по сравнению с поглощением *). Поэтому в дальнейшем мы
будем опускать индекс «а» у величин >c , Z , подразумевая под ними коэф­
фициент поглощения и длину пробега для поглощения.
На этом мы закончим общий обзор механизмов взаимодействия излу­
чения с веществом. Подробному изложению этих вопросов будет посвя­
щена гл. V. Здесь же нам нигде не понадобятся конкретные выражения
для коэффициентов поглощения.
5
19
s
3
e
e
19
3
М0Л
2
v
v
§ 3. Равновесное излучение и абсолютно черное тело
Представим себе неограниченную среду, находящуюся в состоянии
термодинамического равновесия при постоянной температуре Т. В ста­
ционарных условиях поле излучения также равновесно. Термодинамиче­
ское равновесие излучения характеризуется тем, что число квантов или
количество лучистой энергии, испускаемых веществом в 1 сек в 1 см
я данном интервале частот dv и в данном интервале направлений dQ,
в точности равно числу поглощаемых квантов или количеству погло­
щаемой веществом лучистой энергии в тех же интервалах dv, dQ. Поле
равновесного излучения изотропно, т. е. не зависит от направления
и не зависит от конкретных свойств среды, являясь универсальной функ­
цией частоты и температуры.
Спектральная функция плотности равновесного излучения t / была
выведена Планком на заре развития квантовой теории. Наиболее естест­
венным путем ее можно получить с помощью квантовой статистики, кото­
рой подчиняется «фотонный газ» (см., например, [4]). Количество энер­
гии равновесного излучения частоты v в 1 см , приходящееся на еди­
ничный интервал частот, равно
3
v p
3
U^'^-j^
e
h
•
T
•
(2.10)
- l
В силу изотропии спектральная интенсивность равновесного излу­
чения равна
cU _ afcv»
l
**)
...
vv
( 9
f e T
"
-l
*) В астрофизических условиях рассеяние иногда даже больше поглощения.
**) В астрофизической литературе вместо /
обычно употребляют обозна­
чение B .
e
v p
v
104
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Распределение энергии равновесного излучения по частотам, давае­
мое функцией Планка (2.10), изображено на рис. 2.3. Максимум этого
распределения лежит при энергии квантов hv
= 2,822 кТ. При повы­
шении температуры максимум смещается в сторону больших частот.
В области малых частот hv < кТ формула Планка сводится к классиче­
ской формуле Рэлея — Джинса:
max
8 п к Т
U
vp
=-
сз
v-•
hv < кТ.
z
,
(2.12)
В области больших частот hv > кТ получаем формулу Вина:
hv
h T
,
hvykT.
7
(2.13)
Полная плотность равновесного излучения получается интегрирова­
нием по частотам от нуля до оо спектральной плотности (2.10). Вычисление
дает известное выражение:
X"
х
еЧ
1Л.
1,0
dv = АаП
и„
/"
(2.14)
о
/
6
4
3
2
где
а = 2 я А / 1 5 А с = 5,67 • 10-*
эрг /см • сек • град* — постоянная Стефана —
0,8
Больцмана (£/ = 7 , 5 7 - Ю - Г ° эрг/см*).
0,6 /'
Пропорциональность полной плотно­
0/f 1
сти равновесного излучения четвертой
степени температуры следует непосред­
0,2 /
ственно из второго начала термодинамики
/
0 1 2
и известного из классической электро­
3 4 5 6 7
динамики положения о том, что давление
Рис. 2.3.
Функция
Планка
изотропного поля излучения равно одной
(« — I ) , где х = hvlkT.
трети от плотности энергии: p = U /S.
Подставляя это выражение в общее термо­
динамическое соотношение Т dS = de + p dV *), где под удельной
энергией подразумевается произведение плотности излучения на объем
е = U V, и замечая, что dS есть полный дифференциал, получим U =
= const Г . Кстати сказать, соотношение p = U /3
свидетельствует
о том, что равновесное излучение можно рассматривать с термодинами­
ческой точки зрения как идеальный газ с показателем адиабаты у — 4 / 3 .
Поскольку поле равновесного излучения изотропно, поток излучения
в любой точке тела равен нулю. Это значит, что если мысленно провести
в теле плоскую поверхность, то односторонние потоки излучения через
поверхность справа налево и слева направо будут в точности равны друг
другу по абсолютной величине и противоположны по направлению. Саму
величину одностороннего потока, т. е. количество лучистой энергии, про­
текающей, скажем, слева направо в 1 сек через единичную площадку,,
получим, подставляя в формулу (2.2) выражение (2.11) для равновесной
интенсивности и интегрируя не по всему телесному углу, а только по
полусфере. Односторонний спектральный поток равен
/
2
15
4
р
с
- 1
v
V
p
v
4
v
o
v p
—
cUvp
a
2nhv
c2
1
(2,15>
ftv
—1
*) Здесь S — энтропия излучения.
p
105
ВЫНУЖДЕННОЕ ИСПУСКАНИЕ
§ 4]
Интегральный по спектру односторонний поток есть
i
S =[s dv=*^= aT .
(2.16)
о
Представим себе тело постоянной температуры Т, в котором имеется
полость, заполненная равновесным излучением. На 1 см поверхности
вещества в 1 сек из полости падает поток излучения S . Этот поток,
вообще говоря, частично отражается от стенки полости, а частично про­
ходит внутрь и поглощается веществом (предположим, что насквозь
через тело он не проходит — тело не ограничено). Обозначим коэффи­
циент отражения через R , а поглощательную способность вещества через
A ; A — 1— R . Количество излучения, проходящего из полости внутрь
тела и поглощающегося в веществе, равно S -A .
В силу равновесия
такое же количество излучения J' испускается в 1 сек с 1 см поверхности
тела в сторону полости, т. е. J' = S 'A .
Поглощательная способность,
коэффициент отражения, величина испускания с поверхности являются
характеристиками тела и состояния вещества, однако отношение:
v
4p
2
vv
v
v
v
v
vp
v
2
v
v
Jv _ г.
^ _ o
v
vp
v
3
p
_ 2ЯАУ
c 2
1
g f t v / f t T
/г, . ч
V-ii)
7
_
1
не зависит от конкретных свойств тела и является универсальной функ­
цией частоты и температуры. Это положение называется законом Кирхгофа.
Тело, которое полностью поглощает все падающее на него излучение,
называется абсолютно черным. Для абсолютно черного тела, по опреде­
лению, R = 0, A = 1. Из формулы (2.17) следует, что с поверхности
его выходит спектральный поток, равный S ; интегральный по спектру
поток равен S = аТ*.
Рассмотрим неограниченную сплошную среду с постоянной темпера­
турой Т, в которой излучение находится в равновесии с веществом, и сно­
ва разделим ее воображаемой плоской поверхностью. Односторонние
потоки через поверхность равны S . Кванты, пересекающие поверх­
ность слева направо, «рождаются» слева от поверхности, а идущие справа
налево — справа от поверхности. Уберем мысленно вещество с одной
стороны от поверхности, скажем, справа, предположив при этом, что
температура вещества слева не изменилась. Кроме того, предположим, что
среда обладает показателем преломления, равным единице, как и пустота,
которая образуется справа, т. е. граница раздела не отражает света.
Тогда, после «изъятия» вещества справа, со стороны пустоты кванты
не приходят вообще, поток же квантов слева направо со стороны веще­
ства, очевидно, не изменится и будет по-прежнему равным S . Таким
образом, плоское полупространство, заполненное веществом с показа­
телем преломления, равным единице, и постоянной температурой Т,
посылает с поверхности поток излучения S , т. е. излучает как абсо­
лютно черное тело температуры Т.
v
v
vv
p
vp
vp
vv
§ 4. Вынужденное испускание
Рассмотрим баланс поглощения и испускания света в веществе,
находящемся в поле излучения I . Количество лучистой энергии в интер­
вале частот dv и интервале направлений dQ, поглощаемой в 1 см в 1 сек,
равно
I dv dQ>c = поглощение в 1 сек в 1 см .
(2.18)
v
3
3
v
v
10(5
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Количество энергии, самопроизвольно (спонтанно) испускаемой веще­
ством в 1 см в 1 сек в том же интервале dv dQ, равно
/v dv dQ — самопроизвольное испускание в 1 сек в 1 см ,
3
3
Величина самопроизвольного испускания (коэффициент излучения ;\,)
определяется только свойствами вещества и его состоянием: родом
атомов, температурой, от которой зависит степень возбуждения атомов
и т. д., и совершенно не зависит от того, имеется ли в пространстве излу­
чение или нет. Этим, однако, не исчерпывается полное количество излу­
чения, испускаемого веществом.
Существует так называемое вынужденное, или индуцированное,
испускание. Вероятность вынужденного испускания кванта данной час­
тоты и данного направления пропорциональна имеющейся в данной
точке пространства интенсивности излучения той же частоты и того же
направления. Присутствующие кванты как бы способствуют переходам
возбужденных атомных систем, сопровождающимся испусканием таких же
самых квантов. В квантовой теории показывается, что полная вероят­
ность испускания данных квантов пропорциональна величине 1 + п,
где п — число фотонов с определенным направлением поляризации, нахо­
дящихся в той же фазовой ячейке, в которую попадает испущенный
квант. Это число равно п = c I /2hv
*). Таким образом, полное коли­
чество излучения, испускаемого в 1 сек в 1 см в интервале dv dQ, равно
2
s
v
3
/'
с
2
Л
3
jvdvdQ I 1 -f- -gr-g- Iv J — полное испускание в 1 сек в 1 см . (2.19)
Первое слагаемое в скобках соответствует спонтанному испусканию,
а второе — вынужденному.
В состоянии термодинамического равновесия испускание и поглоще­
ние квантов данных частоты и направления в точности компенсируют
друг друга, так что выражения (2.18) и (2.19) следует приравнять, причем
интенсивность излучения I заменить при этом равновесной величиной / .
Принимая во внимание формулу (2.11) для равновесной интенсивно­
сти, найдем, что отношение лучеиспускательной способности любого
вещества к его коэффициенту поглощения есть универсальная функция
частоты и температуры:
v
v p
/ у
А -
Р
__ 2ftvs
hv
-е-
ж
.
(2.20)
ж
Это соотношение представляет собой одну из форм закона Кирхгофа.
Формулу (2.20) удобно переписать в виде
hv
-
/ = / >c (l.~e "^).
v
v p
v
(
2.21)
Испускательная способность во всех направлениях равна
ftv
TT
/ = 4n/ = rf7 x (l — e " ).
v
v
vp
(2.22)
v
*) Фазовый объем, соответствующий элементу dv dQ dr, в котором находится
/ dv d& dr квантов, есть dp dr, где dp — элемент объема в пространстве импульсов.
Поскольку импульс кванта равен р = hvii/c, dp = р dp dQ = fe v dv dil/c . Число
фазовых ячеек в элементе фазового пространства dp dr равно dp dr/h? и, следователь­
но, число фотонов в одной ячейке равно / dv dQ drh /dp dr = c f/v =
c I /hv .
Число фотонов с определенным направлением поляризации равно половине этого
числа, т. е.
c I /2hv .
2
3
3
2
3
2
2
2
3
v
2
3
v
ВЫНУЖДЕННОЕ
•S 4 ]
107
ИСПУСКАНИЕ
Закон Кирхгофа представляет собой выражение общего принципа
детального равновесия применительно к процессам испускания и погло­
щения света. Он позволяет вычислять лучеиспускательную способность
вещества, если известен его коэффициент поглощения (и наоборот).
Существование процессов вынужденного испускания, т. е. таких
переходов возбужденного атома, вероятность которых зависит от числа
-«частиц»— фотонов, уже имеющихся в конечном состоянии системы
атом плюс фотон, характерно для процессов с участием фотонов —«час­
тиц», подчиняющихся квантовой статистике Бозе. Именно благодаря
существованию таких процессов функция распределения фотонного газа
отличается от функции распределения газа, подчиняющегося классиче­
ской статистике Больцмана, где число частиц с энергией е пропорцио­
нально e~ l , а не (e / — I ) - , как для фотонов (е = hv).
Чтобы пояснить это положение, рассмотрим простейший случай,
когда атом обладает двумя энергетическими уровнями, е и е (е > е ),
и переход из верхнего энергетического состояния в нижнее сопровож­
дается испусканием кванта hv = е — е , а переход из нижнего в верх­
нее — поглощением кванта hv. Вероятность поглощения, т. е. >c , про­
порциональна числу атомов в нижнем энергетическом состоянии, которое
по закону Больцмана пропорционально e- ^ .
Вероятность самопро­
извольного испускания j пропорциональна числу атомов в верхнем
энергетическом состоянии, т. е. e~ ^ .
Предположим, что вынужденного испускания не существует. Тогда
в равновесии число актов самопроизвольного испускания квантов hv
было бы равно числу актов поглощения, т. е. вместо формул (2.20) или
(2.21) имели бы место равенства
e hT
e
feT
1
4
2
2
2
4
й
v
s
hT
v
e
hT
(2.23)
1У-— Т
7 — Т V
'"V — •• vp> jv — •« v p ^ v »
_e
ftT
e
hT
e 2/ , x ~ e- ^ ,
HO / -
v
v
так что
E -El
2
•1У- = / = c o n s t -e
h T
vp
— const -e
hv
hT
Иначе говоря, для интенсивности равновесного излучения, или, что
то же самое, для функции распределения квантов мы получили бы закон
Больцмана, как и для «обычных» частиц. На самом деле, закон Больц­
мана справедлив только для больших квантов hv > кТ в виновской
области.
Только с учетом процессов вынужденного испускания рассмотрение
баланса испускания и поглощения квантов приводит к формуле Планка
для функции распределения фотонов. В нашем примере атома с двумя
энергетическими уровнями мы получим при этом
т
—=
^ — = const-e
_ 82—El
h T
_
=const-e
hV
h T
откуда и следует формула Планка для интенсивности /
,
v p
Г при const =
_ 2fty3~\
~
С
2
)
•
Из проведенного рассуждения следует, что роль вынужденного
испускания по сравнению с самопроизвольным в условиях равновесия
стремится к нулю при hv/kT -*• оо, т. е. в виновской области спектра.
108
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ.
II
Это видно и непосредственно из формулы (2.19), если учесть, что при
равновесии в пределе hv/kT -*• оо.
Наоборот, в рэлей-джинсовской области спектра, где hv < кТ,
относительная роль вынужденного испускания велика: в формуле (2.19)
14—^-/
так что отношение вероятностей вынужденного и спонтанного испуска­
ний равно kT/hv > 1.
Следует отметить, что в случае, когда поле излучения неравновесно,
изложенные соображения о сравнительной роли самопроизвольного
и вынужденного испусканий, вообще говоря, несправедливы, так как
вынужденное испускание пропорционально фактической интенсивности
излучения, которая в отсутствие равновесия может быть произвольной.
§ 4а. Вынужденное излучение в классической
и квантовой теориях и лазерный эффект
Явление вынужденного излучения в последние годы привлекает
большое внимание потому, что оно лежит в основе действия мазеров
и лазеров. Для того чтобы пояснить физический смысл этого явления,
остановимся кратко на его классической трактовке. Как известно, в клас­
сике излучающий атом представляется упруго связанным электроном —
гармоническим осциллятором. Пусть на осциллятор действует вынуж­
дающая сила — электрическое поле световой волны, причем частота
волны совпадает с собственной частотой осциллятора. Если в началь­
ный момент осциллятор покоился, то под действием поля осциллятор
начнет резонансно раскачиваться, амплитуда колебаний будет возра­
стать ~t, а энергия ~ t . Однако если в начальный момент осциллятор
обладал определенной энергией, то сила, действующая с резонансной
частотой, может раскачивать осциллятор еще сильнее, а может и, наобо­
рот, гасить его колебания, так что осциллятор будет терять энергию.
Это зависит от соотношения фаз колебания и переменной силы. Под­
черкнем при этом, что для отбора энергии от осциллятора резонансный
характер силы также необходим, как и для раскачки осциллятора.
В этом, классическом по существу явлении резонансного отбора
энергии от осциллятора и лежит основа для понимания индуцирован­
ного излучения.
Осциллятор, обладающий энергией и помещенный в поле световой
волны в соответствующей фазе, будет отдавать свою энергию, которая
пойдет именно на усиление проходящей световой волны; такой осцил­
лятор будет увеличивать энергию когерентной волны. На классическом
языке можно сказать, что электрическое поле осциллятора E скла­
дывается с полем волны Е . Поле осциллятора соответствующим обра­
зом распределено по углам. Но поток энергии пропорционален квад­
рату поля. Поэтому поток энергии осциллятора в направлении прохо­
дящей волны пропорционален E E и тем больше, чем больше Е : этот
результат соответствует тому, что интенсивность индуцированного излу­
чения растет с увеличением интенсивности вызывающей его волны.
%
s
д
s
0
0
§ 4а]
ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В КЛАССИЧ. И КВАНТОВОЙ ТЕОРИЯХ
109
Однако в этой классической картине есть изъян, который и приво­
дит к неправильному виду формул. В классической теории совокуп­
ность осцилляторов с произвольными фазами в среднем всегда больше
поглощает энергии, чем индуцировано испускает ее.
Правильные результаты дает только квантовомеханическое рас­
смотрение вопроса. Обратимся к квантовой трактовке воздействия на гар­
монический осциллятор. Чрезвычайно важен тот факт, что энергетиче­
ские уровни гармонического осциллятора находятся друг от друга на оди­
наковом расстоянии (равном hv, где v — собственная частота).
Осциллятор, находящийся на га-м уровне, под действием резонанс­
ной силы может перейти и на (п + 1)-й и на (л — 1)-й уровни.
При этом переход в верхнее (га + 1)-е состояние с поглощением
энергии более вероятен, чем переход в нижнее (п — 1)-е состояние с отда­
чей энергии. Как известно из квантовой механики, отношение вероятно­
стей этих переходов равно (п + 1)/га. Это и означает, что совокупность
гармонических осцилляторов в среднем поглощает свет.
Для лазерного действия, т. е. для преобладания индуцированного
излучения, решающую роль играет ангармоничность осциллятора, т. е.
нарушение эквидистантности уровней, когда энергетические расстояния
между соседними уровнями становятся неодинаковыми. Если расстоя­
ния между уровнями разные, то существует такая частота, которая
является резонансной для перехода п ->• п — 1, но не резонансна для
перехода ге-»-д + 1. Тогда ясно, что осциллятор в га-м состоянии под
действием света частоты v будет только отдавать энергию.
Это и есть та ситуация, когда при инверсной заселенности уровней
(заполнен га-й уровень, но не заполнен (п — 1)-й) возникает отдача энер­
гии, или отрицательное поглощение волны, т. е. возникают условия для
генерации лазера *).
Совокупность N атомов с двумя уровнями каждый (и не взаимо­
действующих между собой, например атомов хрома в решетке рубина)
тоже можно рассматривать как единую систему с эквидистантными уров­
нями: энергия Е = nhv, где п — число возбужденных атомов.
В отличие от осциллятора, у которого спектр энергетических состоя­
ний не ограничен сверху (и статистический вес всех состояний одинаков),
здесь спектр ограничен не только снизу (п = 0, Е = 0), но и сверху:
E
= Nhv.
Статистический вес различных п различен, максимум статистиче­
ского веса достигается посередине, при п = N12.
Этим и объясняется тот факт, что у такой системы поглощение пре­
обладает при n<C.N/2, а индуцированное излучение преобладает при
п
п
max
n>N/2**).
*) Любопытно, что с вопросом о роли ангармоничности мы встречаемся при рас­
смотрении излучения электронов в магнитном поле. В нерелятивистском приближении
электрон вращается с постоянной частотой. Этому соответствует тот факт, что кванто­
вые уровни энергии поперечного движения электрона в магнитном поле эквиди­
стантны.
Ни при каком распределении по энергии в магнитном поле в этом приближении
не могут возникнуть отрицательный коэффициент поглощения и генерация когерент­
ного света.
*«,
Учет релятивистских поправок создает отклонения от эквидистантности и одно­
временно появляется возможность таких энергетических распределений электронов,
которые дают генерацию.
**) Укажем работу [9], в которой лазерный эффект рассматривается на основе
иолуклассических представлений и [10], где сопоставляются квантовая и полукласси­
ческая точки зрения.
HO
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Как говорилось в начале этого параграфа, само понятие индуциро­
ванного излучения имеет вполне наглядный классический смысл. Как
и следовало ожидать, индуцированное излучение может быть полно­
стью описано уравнениями Ньютона и Максвелла: недаром формула
Рэлея — Джинса (2.12) для спектральной плотности в области низких
частот не содержит постоянной Планка, а ведь для квантового вывода
формулы Рэлея — Джинса учет индуцированного излучения необ­
ходим.
После открытия лазеров, приковавших внимание физиков к явле­
нию индуцированного излучения, оказалось, что в терминах поглощения
и индуцированного излучения удобно описывать ряд процессов.
Замечательный пример представляет собой рассеяние электронов
на стоячей световой волне. Это явление было предсказано П. Л. Капи­
цей и П. А. М. Дираком [11] более 30 лет назад. Монохроматическая
световая волна, отражаясь от зеркала, создает в пространстве периоди­
чески расположенные области, в которых электрическое поле мало (узлы)
и в которых оно велико (пучности). Электроны должны рассеиваться
под определенными «брэгговскими» углами так же, как электроны рас­
сеиваются периодическим полем кристаллической решетки. Этот эффект
удалось наблюдать [12] лишь в самое последнее время благодаря исполь­
зованию мощного монохроматического светового импульса от лазера.
Рассеяние электрона полем стоячей волны можно описать количественно
в новых терминах как «индуцированный комптон-эффект».
В самом деле, комптон-эффект есть процесс взаимодействия кванта у
с электроном е:
у + е = у' + е'.
При заданных значениях энергии и импульса кванта и электрона до рас­
сеяния законы сохранения допускают любое направление (в системе
центра инерции) кванта у' и электрона е' после рассеяния. Таким обра­
зом, в обычных условиях комптон-эффекта получается статистическое
распределение электронов по направлениям. Вернемся к рассеянию
электрона на стоячей волне. Стоячая волна представляет собой супер­
позицию падающей ^i и отраженной у волн. Значит, комптоновское
рассеяние может происходить:
Ух + е = е' + у ,
у + е = е" + уь.
2
3
2
Но при большой мощности светового потока в соответствии с законом
индуцированного излучения появляется вероятность излучить квант,
совпадающий с уже имеющимися квантами, т. е. возможны процессы
Y + e = e + Yi,
которые естественно назвать индуцированным
комптон-эффектом.
Поскольку заданы направление и частота обоих квантов, т. е. их энергия
и импульс (и до и после рассеяния), то полностью определено изменение
направления электрона. Энергия электрона, очевидно, не изменяется.
Более того, из законов сохранения следует, что процесс возможен лишь
при определенном импульсе падающего электрона. Таким образом, все
закономерности дифракционного рассеяния необычайно- наглядно полу­
чаются из представления об индуцированном комптон-эффекте.
2
21
§ 4а]
ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В КЛАССИЧ. И КВАНТОВОЙ ТЕОРИЯХ
111
В этом примере реализуется важный общий принцип: всякое воздей­
ствие на систему внешней периодической силы в терминах квантовой
механики обязательно нужно рассматривать как совокупность про­
цессов поглощения и индуцированного испускания системой соответствую­
щих квантов энергии. Это относится и к задачам, в которых внешнюю
силу можно рассматривать как классическую: мы можем в этом случае
игнорировать обратное воздействие системы на силу (в приведенном
выше примере — воздействие электрона на поле стоячей волны). Однако
и при классическом понимании силы ее действие на квантовую систему
надо — или можно — рассматривать как поглощение и испускание
квантов *). Классичность силы означает, что индуцированное излучение
квантов с частотой, заданной внешней силой, гораздо больше спонтан­
ного излучения любых других квантов, отличающихся по частоте, направ­
лению или поляризации.
При периодическом внешнем воздействии гамильтониан системы уже
нельзя считать не зависящим от времени, однако он обладает свойством
периодичности Н (t) = H (t + nT), а значит, должны существовать
и такие решения, которые по истечении каждого периода действующей
силы снова превращаются в такие же решения, умноженные на фазо­
вый множитель
Vk{t + T) = a y(t),
k
\a \ = l,
k
ia
a = eK
k
Введем понятие квазиэнергии е :
<х = 2ne T/h,
й
й
h
i2m
n r/h
^ {t + nT) =e h ' y
h
(t).
Это понятие находится в таком же соотношении с энергией, как квази­
импульс электрона в пространственно-периодической решетке и импульс
электрона в собственном смысле.
Таким образом, можно развить стройную теорию систем, находя­
щихся под воздействием периодических внешних сил. Согласно сказан­
ному выше это одновременно будет теорией явлений поглощения и инду­
цированного испускания.
Второй пример применения понятия об индуцированном излучении
представляет собой теория гармонического осциллятора.
Хорошо известно, что ширина спектральной линии, излучаемой при
переходе из состояния А в состояние В, есть сумма ширин Г и Г общих
этих состояний. Применительно к осциллятору, у которого матричный
элемент перехода из га-го в (п — 1)-е состояние пропорционален \^п,
найдем Г = кп, Г _! = к (п — 1). Отсюда следует вывод, что ширина
линии, испускаемой при переходе из га-го в (п — 1)-е состояние, про­
порциональна (2га — 1). Между тем в классической теории ширина линии,
испускаемой гармоническим осциллятором, не зависит от его ампли­
туды. Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды **),
следовательно, энергия осциллятора убывает экспоненциально: Е ~ е~ч*,
А
п
в
п
*) Отметим работу Л. В. Келдыша [13], в которой используются точные волновые
функции электрона в поле классической световой волны.
**) Следовательно, время, нужное для излучения одного кванта энергии, обратно
пропорционально энергии самого осциллятора; вывод из величины матричного эле­
мента, относящийся к вероятности излучения, не подвергается сомнению.
112
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
v
/2
амплитуда его колебаний также убывает экспоненциально: х = a £~ ' X
X cos 2nvt. Разложение этого выражения в интеграл Фурье дает лоренцовскую форму линии (см. гл. V)
0
b
V
2
l ( )| ~ _V )2-H /4n)2
(v
0
Yo
с шириной, не зависящей от амплитуды. Парадокс, заключающийся
в кажущемся несогласии выводов классической и квантовой теорий для
больших квантовых чисел, был замечен еще Вайсскопфом и Вигнером,
а также Паули на рубеже 30-х годов (см. [14]). В работе [14] показано,
что парадокс связан со специфическим свойством гармонического осцил­
лятора — с эквидистантностью его уровней, т. е. со строгим совпадением
частот, излучаемых при переходах между любой парой соседних уров­
ней. В [14] рассматриваются три состояния А, В, С, каскадно испускаю­
щие два кванта А ^ В ^ С. Если эквидистантности нет: Е — Е Ф
Ф Е — Ее, то Vj Ф v и для линии v получается обычный ответ: ее
ширина пропорциональна Г + Г .
Однако в случае эквидистантности (например, если С есть нижний
нулевой, В — первый и А — второй уровни гармонического осцилля­
тора) положение осложняется, испускание двух квантов, не отличаю­
щихся по частоте, может пойти и по второму каналу:
А
в
2
в
t
А
л
Для вычисления вероятности всего процесса испускания двух квантов
нужно сложить амплитуды по обоим каналам; при этом меняются ширина
иfформа линии. По современной терминологии можно сказать, не раз­
личая номера (1-й, 2-й) квантов, что квант, испущенный при переходе
A -v В, вызывает индуцированное излучение при переходе В -*- С *).
Гармонический осциллятор в состоянии с большими квантовыми числами
излучает каскад квантов; при этом роль индуцированного излучения
по сравнению со спонтанным тем больше, чем больше средний номер
состояния п. Здесь речь идет об излучении, индуцированном не внешним
излучением, а собственным излучением осциллятора.
Только такое рассмотрение всего каскада с учетом индуцированного
излучения приведет к результатам, согласующимся с классической тео­
рией.
В каждый данный момент состояние осциллятора представляется
суперпозицией многих возбужденных уровней. Существенно также, что
при индуцированных переходах получаются определенные фазовые соот­
ношения между последовательными уровнями, состояние системы нельзя
задать одними вероятностями разных уровней. Это и естественно: в клас­
сической картине электрон локализован. Очевидно, что для описания
локализованного электрона нужно взять суперпозицию некоторого числа
собственных функций (притом тем большего числа, чем точнее локализа­
ция) и обязательно в определенных фазовых соотношениях. Является ли
эта ситуация только логически-математическим курьезом, относящимся
к идеализированному случаю строго гармонического осциллятора? Каков
критерий применения привычных представлений о дискретных кванто­
вых скачках? Сами дискретные уровни можно рассматривать постольку,
поскольку ширина уровня Г„, связанная со спонтанным излучением,
*) Эту точку зрения подтверждает и тот факт, что согласно [14] спектр меняется,
когда оба кванта испущены в одном направлении.
§ 5]
ИЗ
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
меньше расстояния между уровнями, т. е. меньше частоты перехода
Гп <
v
-i ••
h
Критерий применимости обычных представлений' о ширине без учета
индуцированного излучения имеет иной вид — ширина должна быть
меньше разности частот:
Г ^-v
—v
_E —2E ^ + E ^2
r t i n
n
v
1 ц < - *п, n-i — n-l,
n
rt-2
l
n
д
•
Было бы весьма интересно экспериментально наблюдать эффекты
«внутреннего» индуцированного излучения на высоких колебательных
уровнях молекул.
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что понятие инду­
цированного излучения помогает по-новому интерпретировать многие
факты и парадоксы; это понятие является неотъемлемой частью интер­
претации квантовой механики.
§ 5. Уравнение переноса излучения
Составим кинетическое уравнение для функции распределения кван­
тов данной частоты. Поскольку эта функция с точностью до постоянного
множителя hvc совпадает с интенсивностью излучения, можно писать
уравнение прямо для интенсивности. В такой
форме кинетическое уравнение обычно назы­
вают уравнением переноса излучения.
Будем интересоваться излучением ча­
стоты v в единичном интервале частот, рас­
пространяющимся внутри единичного телес­
ного угла в определенном направлении Я.
Рассмотрим баланс излучения в элементарном
цилиндре с площадью основания da и высо­
той ds, расположенном в данной точке про­
странства таким образом, что направление Q Рис. 2.4. К выводу уравнения
переноса излучения.
совпадает с образующей цилиндра и перпен­
дикулярно к его основаниям (рис. 2.4). За
время dt в левое основание втекает количество излучения, равное
Д, (Я, г, t) da dt. Из правого основания за тот же промежуток времени
dt вытекает количество излучения (Д, + dl ) da dt.
Интенсивность I есть функция координат и времени. Приращение
интенсивности пучка света при переходе от левого основания к правому
складывается из локального приращения за время прохождения светом
пути ds и из приращения при переходе от координаты s к координате
s -(- ds в данный момент времени,
v
v
dt
с
'
ds
Изменение интенсивности пучка происходит вследствие испускания
и поглощения света с рассматриваемыми характеристиками в нашем
цилиндре. (В соответствии с замечанием, сделанным в конце § 2, рас­
сеянием света мы пренебрегаем.) Количество излучения, испущенного
в цилиндре за время dt, согласно формуле (2.19) равно
dads dt.
Я. В. Зельдович, Ю. П. Райзер
114
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Поглощается в нем за то же время количество излучения x I do ds dt.
Составляя баланс и поделив полученное выражение на произведение
дифференпиалов da ds dt, получим уравнение
v v
! ( ^
+
c
QV/ )=/ (l+-^/ )-x f .
v
v
v
v
(2.24)
v
Мы здесь заменили в левой части частную производную вдоль направ­
ления dl\Ids эквивалентным векторным выражением QV/ .
Комбинация в скобках в левой части представляет собой просто
«субстанциональную» производную от интенсивности по времени, т. е.
производную по времени от интенсивности данного пакета квантов (ср.
с уравнением движения в гидродинамике (1.6)).
Преобразуем правую часть уравнения (2.24), объединив вместе члены,
отвечающие поглощению и вынужденному испусканию, поскольку они
оба пропорциональны неизвестной функции координат и времени —
интенсивности излучения. Введем при этом в множитель перед I в члене
вынужденного испускания вместо коэффициента излучения ]\ его выра­
жение через коэффициент поглощения (2.21), в которое подставим фор­
мулу (2.11) для равновесной интенсивности. Правая часть уравнения
примет вид
V
v
hv
T¥
/ —x»(l—e" )l .
(2.25)
Отсюда видно, что вынужденное испускание можно трактовать как некое
уменьшение поглощения: часть квантов как бы поглощается и тут же
испускается снова с той же частотой и в том же направлении, причем
вероятность этого «переизлучения» равна . Физически такие акты
«переизлучения» никак себя не проявляют и их можно вообще исклю­
чить из рассмотрения, если считать, что коэффициент поглощения имеет
несколько меньшую величину:
v
v
h v / k T
e
hv
x; = x ( l - e ~ ^ ) .
(2.26)
Взаимодействие излучения с веществом можно представлять так, как
будто существуют только спонтанное испускание и эффективное погло­
щение, описываемое коэффициентом У. , исправленным на вынужденное
испускание.
В новой трактовке закон Кирхгофа (2.21) приобретает форму
v
Ч
hv
Jv ^^ %v* vp?
^v
===
^ v \ •*•
£
)•
\Zi.£i i)
Вводя это выражение в правую часть уравнения переноса (2.24),
запишем уравнение в следующей, окончательной форме:
- ^ + QV/ = x ; ( / v p - / v ) .
v
(2.28)
Проинтегрируем уравнение (2.28) по всем направлениям Я (по телес­
ному углу). Вспоминая определения плотности и потока излучения (2.1),
(2.2), получим
^ + div£ = cx;(£7 -t/ ).r
V ; , • . (2.29)
v
vp
v
Это уравнение можно рассматривать как уравнение непрерывности
для излучения данной частоты. Оно выражает закон сохранения энергии
§ 6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ
115
излучения и вполне аналогично уравнению энергии в гидродинамике,
записанному в «дивергентной» форме (1.10).
Уравнение переноса излучения (2.28) представляет собой дифферен­
циальное уравнение в частных производных относительно интенсивности,
как функции координат, времени и направления I (r, t, Й) и описывает
поле неравновесного излучения. Обычно термодинамическое равновесие
в самом веществе устанавливается весьма быстро, так что вещество можно
считать термодинамически равновесным в каждой точке пространства
и в каждый момент времени. Состояние вещества при этом характери­
зуется двумя параметрами, например температурой и плотностью. Урав­
нение переноса излучения включает в себя величины, зависящие от рода
и состояния вещества: коэффициент поглощения x , который зависит
от свойств вещества, его температуры и плотности, и равновесную интен­
сивность / , которая есть функция только температуры.
Уравнение (2.28) описывает, в частности, и процесс установления
равновесия излучения с веществом во времени.
Представим себе неограниченную среду с постоянной плотностью,
первоначально холодную, так что излучения нет. Пусть в начальный
момент t = 0 вещество «мгновенно» было нагрето до постоянной темпе­
ратуры Т, которая затем поддерживается неизменной во времени. Посмот­
рим, как меняется со временем интенсивность излучения. Очевидно,
пространственные градиенты в этом случае равны нулю, x = const,
/
= const. Решение уравнения (2.28) в этом случае имеет вид
v
v
v p
v
v p
/у(0 = ^ р ( 1 ~ е
_ с х ;
*),
(2.30)
т. е. интенсивность излучения асимптотически стремится к равновесной,
причем время релаксации для установления равновесия излучения с веще­
ством равно t — 1/cXv = lv/c=l /(l
— e- / ) с. Например, при l =
= 1 см в максимуме планковского спектра hv = 2,8 кТ, t = 3 - Ю сек.
hv kT
p
v
v
-11
p
§ 6. Интегральные выражения для интенсивности излучения
Найдем формальное решение уравнения переноса излучения, рас­
сматривая величины, зависящие только от состояния вещества I
(T),
x (T, Q), как известные функции координат и времени. Рассмотрим
сначала для простоты стационарный слу­
чай, когда распределения температуры
и плотности, а также поле излучения
не зависят от времени. Будем интере­
соваться излучением в точке г тела с на­
правлением распространения Й (рис. 2.5).
Проведем луч через данную точку в данном направлении и обозначим координату
.
вдоль луча через s. .Замечая, что диффеы интегрирования в формуле
ренциальное выражение в левой части
(2.32).
уравнения переноса (2.28) представляет
собой полную производную от интенсивности данного пакета кван­
тов вдоль луча их распространения, перепишем уравнение в виде
vp
v
р и с
2
5
с
п о я с н я ю щ а я
п р е
д е Л
- j — -|- X -( v
v
=
5* 7 vpv
(^-31)
8*
116
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
£ГЛ. II
Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное линейное урав­
нение относительно интенсивности вдоль луча. Решение его есть:
S
S
S
I (s) = I' « ; / e x p Г — [ K' ds"~] ds' + I exj> \ — \ x' ds"~\ .
v
vp
v
Vo
(2.32)
v
Здесь / (s) — интенсивность I (г, Й), которая рассматривается как
функция координаты s вдоль луча. Интегрирование по лучу ведется,
вообще говоря, от «—оо», а фактически от границы тела s (как пока­
зано на рис. 2.5). Через / обозначена константа интегрирования.
Выясним физический смысл полученного решения.
Излучение, протекающее в единицу времени через площадку еди­
ничного сечения в точке s луча (на единицу телесного угла), склады­
вается из всех квантов, рожденных в трубке единичного сечения вдоль
луча. В точке s' на отрезке луча ds' рождается количество излучения
j ds' — x' I ds', которое распространяется вдоль луча й в единице телесv
v
0
v 0
v
v vp
ного угла. От точки s' до точки s доходит только доля ехр
— \ K^ds"
в'
этого излучения; остальное поглощается по пути. Полная интенсивность
складывается из квантов, рожденных на всех элементарных отрезках
ds', т. е. равна интегралу по лучу. Если излучающее тело имеет ограни­
ченные размеры, то интегрировать следует фактически от границы тела
s до точки s. Таким образом, получается первое слагаемое в (2.32). Вто­
рое слагаемое представляет собой излучение, вошедшее в тело на гра­
нице s извне, от каких-то внешних, посторонних источников. Постоян­
ная интегрирования I есть интенсивность этого входящего в тело излу0
0
v0
s
чения. Множитель ехр
учитывает ослабление его по пути
«о
от s до s вследствие поглощения. Коэффициент поглощения %' и рав­
новесная интенсивность / зависят от точки вдоль луча благодаря зави­
симости от температуры и плотности вещества, которые каким-то образом
распределены вдоль луча. Если эти функции известны, то нахожде­
ние интенсивности в любой точке тела сводится, как видно из форму­
лы (2.32), просто к квадратуре — интегрированию вдоль луча.
Обобщим решение (2.32) на нестационарный случай, когда темпе­
ратура и плотность, а следовательно, / , «v и искомая интенсивность /
зависят от времени. Очевидно, к моменту t в точку s приходят из точки
s' кванты, рожденные в более ранний момент времени t
. Точно
так же на своем пути они поглощаются веществом в точке s" в соответ­
ствие со значением коэффициента поглощения в момент прохождения
«
этой точки t
. Поэтому нестационарное решение уравнения пере­
носа можно записать в виде
0
v
v p
v p
s
s
S
S
I (s, t) = \ (x' I ) ,
v
v vp s
so
v
_ s-v ехр £ — ^
t
c
>
6
_ s_£.ds" J ds' +
(K' )^
f
V
'
с
s
+ (/ )
V0
e
_ exp Г - \ ( y ,
So
c
X
so
- »ds"]
s s
c
,
(2.33)
117
ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛОСКОГО СЛОЯ
§ 7]
причем само значение граничной координаты s берется в момент t —
— - — - . Легко проверить непосредственной подстановкой, что выра­
жение (2.33) действительно удовлетворяет нестационарному уравнению
переноса. Из формул (2.32) или (2.33) видно, что вклад далеких источ­
ников в сильно поглощающей среде в интенсивность в данной точке
экспоненциально падает с возрастанием расстояния. До точки s доходят
кванты, рожденные только в ближайшей окрестности точки на расстоя­
ниях не более нескольких пробегов излучения или, точнее, на оптиче­
ских расстояниях не более нескольких единиц. Это утверждение делается
особенно наглядным, если коэффициент поглощения постоянен вдоль
луча. Тогда экспоненциальные множители приобретают вид
0
ехр
— \n' ds"
v
=ехр[—%' (s — s')] = expl
— ] ; Д, = —г- •
v
;
в'
Исключение, в принципе, может составить лишь случай чрезвычайно
резкого хода температуры, когда возрастание лучеиспускательной спо­
собности / = Xv/ p при удалении от точки сказывается сильнее, чем
поглощение по пути при увеличении пройденного расстояния. Однако
практически это почти никогда не случается, и основной вклад в инте­
гралы (2.32), (2.33) дает отрезок луча около рассматриваемой точки вели­
чиной порядка нескольких (двух-трех) пробегов излучения. Но свет про­
ходит такое расстояние за весьма малое время l' /c, которое, как пра­
вило, намного меньше характерных времен, в течение которых происхо­
дит заметное изменение состояния вещества (температуры и плотности);
например, при длине пробега l' = 3 см время l' /c = Ю
сек. Оно
гораздо меньше характерных времен, с которыми приходится иметь дело
в обычных гидродинамических течениях. Это связано с тем, что обычно
скорости вещества гораздо меньше, чем скорость света.
Отмеченное обстоятельство является весьма существенным. Оно озна­
чает, что практически во всех случаях поле излучения в каждый момент
времени можно рассматривать как квазистационарное, соответствующее
мгновенному распределению источников испускания и поглощения, т. е.
распределению температуры и плотности вещества.
В уравнении переноса излучения, следовательно, можно опустить
производную от интенсивности по времени и рассматривать время как
параметр, от которого зависят температура и плотность вещества, т. е.
/ и «v- В дальнейшем мы всегда будем исходить из такого упрощенного
уравнения переноса
QV/ = x ; ( / v p - / )
(2.34)
v
V
v
- 1 0
v
v
v p
v
v
или его решения в форме (2.32).
§ 7. Излучение плоского слоя
Вообще говоря, перенос излучения и лучистый теплообмен влияют
на состояние вещества, на его движение или на распределение темпера­
туры в стационарном состоянии. Это влияние связано с тем, что, испуская
и поглощая свет, вещество теряет или приобретает энергию, охлаждается
или нагревается. В общем случае состояние вещества описывается урав­
нениями гидродинамики, которые при наличии лучистого теплообмена
следует обобщить, учитывая взаимодействие излучения с веществом.
118
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Поскольку перенос излучения сам зависит от состояния вещества, его
температуры и плотности, то в общем случае система уравнений, описы­
вающих вещество и излучение, состоит из соответствующим образом
обобщенных уравнений гидродинамики и уравнения переноса излучения.
Во многих случаях, однако, «обратное» влияние излучения на состоя­
ние вещества невелико, либо же может быть учтено каким-нибудь при­
ближенным способом. Например, при достаточно низких температурах
лучистый теплообмен или потери энергии тела на излучение несущест­
венны. При этом состояние вещества практически не зависит от излуче­
ния, задачи нахождения поля излучения и описание состояния вещества
разделяются. Состояние вещества описываются, например, уравнениями
гидродинамики, а поле излучения можно найти в каждый момент на осно­
вании известных распределений температуры и плотности и известных
коэффициентов поглощения.
Как правило, практический интерес в этом случае представляет опре­
деление не всего поля излучения в среде (поскольку оно все равно не влияет
на состояние среды), а нахождение излучения, выходящего с поверхно­
сти тела, т. е. вопрос о свечении нагретого тела, о яркости его поверх­
ности, спектре излучения, распределении потока по углам и т. д.
Если известны оптические свойства вещества, т. е. коэффициент
поглощения к^ *) как функция частоты, температуры и плотности и рас­
пределения температуры и плотности в теле, то ответ на все эти вопросы
содержится в интегральной формуле для интенсивности (2.32).
Интересуясь излучением, выходящим с поверхности тела, можно;
не нарушая общности, отсчитывать координату вдоль луча s от поверх­
ности в глубь тела и распространить интегрирование по лучу до бес­
конечности:
s
0 0
— ii K ds'
v
/ ( 0 ) = J I [T(s)]e
о
Xv(s)ds
(2.35)
b
Если тело ограничено, то вне его пределов коэффициент поглощения
равен нулю и соответствующий отрезок интегрирования выпадает. Если
тело ограничено, но извне с «задней» стороны в него проникает поток
излучения, то, распространяя интегрирование по лучу до бесконечности,
мы тем самым включаем в интеграл эти «посторонние» источники света.
Рассмотрим несколько простых примеров, представляющих прак­
тический интерес. Пусть тело занимает бесконечное полупространство
г > О и ограничено плоской поверхностью. Температура тела постоянна,
коэффициент же поглощения может меняться произвольным образом
v
vp
со
от тоинь. к точке (но так, чтобы оптическая толщина тела \ к^скс была
о
бесконечной).
В этом случае интенсивность излучения у поверхности тела равна
просто / (Г), так как
v p
СО
S
:
/ (Й) = \ T e~ dz = / ;
v
vp
0
v p
dz = x' ds, z = \ x ds.
v
v
0
*) Напоминаем, что мы рассматриваем здесь только среды с показателем пре­
ломления, равным единице, каковыми являются газы.
119
ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛОСКОГО СЛОЯ
3 7]
Тело излучает как абсолютно черное температуры Т.
Интенсивность I есть количество лучистой энергии, проходящей
в 1 сек в единице телесного угла через единичную площадку, помещенную
перпендикулярно к направлению движения квантов *). Для черного
излучателя она не зависит от угла. Количе­
ство лучистой энергии, выходящей в 1 сек
через 1 см поверхности под углом Ф к нор­
мали, на единицу телесного угла (назовем
эту величину испускательной способностью
тела i **)) равно
i = I (ft) cos d.
(2.36)
v
2
v
v
v
Для черного излучателя
i =/
v
v p
cos •&.
(2.37)
2.6. Схема к задаче об
Рассмотрим излучение плоского слоя Рис.
излучении плоского слоя.
конечной толщины d с постоянными темпе­
ратурой Т и коэффициентом поглощения х^
Интенсивность излучения у поверхности в направлении, образую
щем угол Ф с нормалью (рис. 2.6), равна
-
d/cos8
»vc
x' d/cosft
v
COS в у '
"""
X v
= L• v p 1 - е
где T
V
= Jx;dx
cos 0
cos,j) /
=
v
p
у
_
(l_
T
vp
c
cos 0 '
0
(
?
^
COS l } _
(2.38)
COS 1}
оптическая толщина слоя в направлении нормали
к поверхности.
Из формулы (2.38) видно, что интенсивность излучения слоя конеч­
ной толщины всегда меньше равновесной. Спектр отличается от планковского / (Т) множителем 1 — v
' . Этот множитель зависит от час­
тоты благодаря частотной зависимости коэффициента поглощения. Он
стремится к 1 лишь при d -> оо. Наиболее резко выражено отличие интен­
сивности от планковской в направлении нормали к поверхности, в кото­
ром отрезок луча с источниками минимален (равен d). Спектр стремится
к планковскому при больших углах к нормали, когда •& -> я/2, cos •& -> 0.
В зависимости от толщины слоя d наибольшее отличие спектра от планковского должно наблюдаться в пределе оптически тонкого слоя, т. е.
под такими углами, что w.' d/cos Ь < 1.
Разлагая в этом случае экспоненту, найдем с точностью до членов
второго порядка малости:
-T
v p
/COSl3
e
v
'
v
_
i
v
P cos О « /
(2.39)
vp-
Интенсивность у поверхности пропорциональна 1/cos •&, а испускательная способность слоя при этом не зависит от угла
i = / cos'fl' = T %vd при c o s f t > T .
(2.40)
v
v
vv>
v
2
2
*) Размерность I есть энергия/см - сек- стерад-частота = эрг/см - стерад.
**) Не следует путать ее с испускательной способностью среды j или / .
v
v
v
120
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Следует отметить, что понятие «оптической тонкости» слоя зависит
от угла: всегда найдутся столь большие углы # да я/2, cos # < 1, что
слой для этих направлений будет «оптически толстым», так что слой
с t « 1 под большими углами •&дая/2 все равно излучает как черное
тело. Под небольшими углами, когда T /COS ^ << 1 И слой оптически тонок,
он испускает как объемный излучатель; кванты, рожденные в любой
точке, выходят из слоя практически без поглощения по пути. В слое нет
«самопоглощения» и каждый элемент объема вносит одинаковый вклад
в излучение, выходящее с поверхности. Это и служит основанием для
термина «объемный излучатель». Оптически толстое тело излучает «с по­
верхности», так как кванты, рожденные в глубине, не выходят из тела,
поглощаясь по пути.
Во многих случаях интерес представляет не интенсивность излуче­
ния под данным углом, а поток излучения с поверхности тела, т. е. коли­
чество энергии, выходящей в 1 сек с 1 см поверхности тела во всех направ­
лениях. Эту величину называют яркостью поверхности (спектральной
или интегральной).
Спектральная яркость поверхности, очевидно, равна
v
V
2
S =
[
v
cosfl/v^da,
(2.41)
по полусфере
где I (Я) дается формулой (2.35), •& — угол между направлением рас­
пространения излучения и нормалью к поверхности.
Найдем яркость поверхности плоского слоя; при этом будем считать
температуру и коэффициент поглощения переменными, но зависящими
только от координаты х (см. рис. 2.6). Заменим в формуле (2.35) ds на
dx/cos •& и введем оптическую толщину:
v
х
dx' = K' dx, Tv = \ x' dx.
о
v
v
(2.42)
v
Тогда
/v (О) = J /vpT ^
- ^ , f > в > 0.
(2.43)
0
Подставим это выражение в (2.41) и проинтегрируем по углам (ей2 =
= 2я sin ft d&):
Я/2
оо
T
v
,
от
-
S = 2n [ cosflsinfldft ^ p e e o 7 # _ ^ _
v
v
0
0
r = =
1
2 n [ I dt'
vp
v
v
T
v
{ d (cos Ъ) е~ ™Г*> .
0
Вводя переменную w = 1/cos ft и принимая во внимание опреде­
ление табулированных функций — интегральных экспонент,
оо
E {z)^\e~™^-,
п = 1, 2, . . . ,
n
(2.44)
i
а также заменяя равновесную интенсивность равновесной плотностью
излучения по формуле / = cC/ /4n, получим
v p
vp
оо
6
§ 8]
ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕТОГО ТЕЛА
121
d
или, для слоя конечной оптической толщины r — \ x' dx,
о
v
v
0
Воспользовавшись известным свойством интегральных экспонент
оо
^ E '(z) dz = Y>
о
получим для полубесконечного тела постоянной температуры
2
cU
S =^
=S .
v
(2.47)
vp
Как и следовало ожидать, спектральная яркость равна яркости абсо­
лютно черного тела.
Яркость слоя конечной толщины и постоянной температуры равна
cU
т
p
v
cU
S ^ - ^ ^ E , «,) dr = -Я [1 - 2E
v
3
(T )'] =
S
[1 - 2E
vv
V
3
(T )].
V
(2.48)
о
Она всегда меньше яркости абсолютно черного тела той же температуры
и стремится к последней при t —> оо.
Для оптически тонкого слоя
T « 1 , E (r' )ttE (0)
= l, 2E (T )ttl
— 2r
(2.49)
и
v
V
2
S
V
v
2
3
= ^ 2 T * v =— S" v -p2' T ,
V
V P
v
v
(2.50)
2T «1.
V
V
§ 8. Эффективная или яркостная температура поверхности
неравномерно нагретого тела
Спектральную яркость поверхности неравномерно нагретого тела
очень удобно характеризовать эффективной или яркостной температурой
T ф. Под последней понимается температура абсолютно черного тела,
посылающего с поверхности в данном участке спектра точно такой же
поток излучения, как и рассматриваемое реальное тело.
Сопоставляя формулы (2.46) и (2.47), получим выражение, опреде­
ляющее эффективную температуру в плоском случае:
v Э
U
vp
(T эф) = 2 5 U [T (r' )] E (т' ) dx' ,
о
v
vp
v
2
ч
v
(2.51)
или, подставляя функцию Планка для C/ ,
vp
1
в
hv
*^вф_!
v
2 J - ^ — E (*'v)dr' .
2
°
e
k
T
- l
v
(2.52)
122
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Эффективная температура зависит от частоты. Лишь в случае абсо­
лютно черного тела она одинакова для всех частот и равна темпера­
туре вещества.
Можно ввести и эффективную температуру интегрального по спектру
излучения тела, согласно определению
(2.53)
эф>
где S — интегральный поток, выходящий с поверхности тела. Очевидно,
эффективная температура интегрального излучения является некоторой
средней величиной по отношению к спек­
тральным эффективным температурам.
Посмотрим, какова связь спектра
излучения тела с частотной зависи­
мостью коэффициента поглощения.
Рассмотрим оптически толстое тело;
радиус кривизны поверхности пусть
будет большим по сравнению с длинами
пробега излучения, так что тело можно
рассматривать как плоское. Пусть тем­
пература спадает к поверхности, как
Рис. 2.7. К вопросу об излучении изображено на рис. 2.7.
Поток излучения частоты v, выхо­
тела с температурой, спадающей
к поверхности.
дящий с поверхности, определяется ин­
тегралом по источникам (2.45). Вслед­
ствие самопоглощения, учитываемого быстро спадающей с r' интеграль­
ной экспонентой, основной вклад в интеграл дает слой порядка пробега
i около поверхности (с оптической толщиной r' порядка единицы).
Иными словами, кванты, выходящие с поверхности тела, рождаются
в основном в слое около поверхности с оптической толщиной порядка
единицы (точнее, двух-трех единиц). Этот слой может быть назван излу­
чающим. Кванты, рожденные в более глубоких слоях, практически пол­
ностью поглощаются до выхода из тела. Эффективная температура, как
это следует из формулы (2.52), равна некоторой средней температуре
излучающего слоя.
Выходящие с поверхности кванты тех частот, для которых погло­
щение сильнее, а длина пробега меньше, излучаются в слоях, более близ­
ких к поверхности и менее нагретых. Наоборот, слабее поглощаемые
частоты выходят из более глубоких и более нагретых слоев. Таким обра­
зом, если температура вещества спадает к поверхности (как это обычно
и бывает), эффективная температура сильнее поглощаемых частот меньше,
чем у слабее поглощаемых. Это схематически изображено на рис. 2.7,
на котором стрелками указаны «места», из которых излучаются кванты
различных частот. «Места» ориентировочно отнесены от поверхности
на расстояния, равные пробегу квантов.
Спектр излучения неравномерно нагретого тела отличается от планковского и притом тем больше, чем сильнее частотная и температурная
зависимости коэффициента поглощения и чем круче ход температуры
около поверхности на расстояниях порядка пробегов квантов.
На рис. 2.8 схематически изображен спектр излучения тела со спа­
дающей к поверхности температурой и обратной зависимостью коэффи­
циента поглощения от частоты, при которой малые частоты поглощаются
сильнее, чем большие.
v
v
v
§ 8]
ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕТОГО ТЕЛА
123
На непрерывный спектр нанесены дискретные линии, соответствую­
щие связанно-связанным переходам в атомах или ионах. Коэффициенты
поглощения в линиях всегда очень велики, намного больше, чем в непре­
рывном спектре. Поэтому эффективная температура в линиях практиче­
ски точно совпадает с температурой у самой поверхности тела (линии
«вырезаны» в спектре излучения тела).
Для сопоставления на рис. 2.8 пунктиром показан планковский
спектр, соответствующий интегральной эффективной температуре, кото­
рая является средней по
отношению
к спектральным. В силу самого опреде­
/'
ления интегральной эффективной темпера­
/
туры площади, ограниченные сплошной
1 /
1 (
и пунктирной кривыми, в точности равны.
1 А
1 /
В главе V мы увидим, что коэффици­
>А
i /
енты непрерывного поглощения при высоких
1/
/'
температурах не являются гладкими функ­
циями частоты, а испытывают скачки.
Соответственно возникают скачки и в Р и с . 2 . 8 . Схематическое изобра­
спектре излучения тела. (Это не показано ж е н и е спектра и з л у ч е н и я тела
уменьшающейся
на рис. 2.8, который относится к гладкой с температурой,
к поверхности.
зависимости x' от v.)
Малые частоты поглощаются силь­
Часто при оптических измерениях све­ нее, чем большие. Пунктиром пока­
зан планковский спектр, отвечаю­
чения нагретых тел употребляют понятие щий средней эффективной темпера­
излучения. В спектре вырезаны
цветовой температуры. Цветовой темпера­ туре
линии селективного поглощения.
в центрах линий практиче­
турой называют температуру абсолютно Поток
ски равен планковскому потоку,
черного тела, которое дало бы отношение отвечающему температуре поверх­
ности тела.
яркостей в двух различных спектральных
участках (например, в красной и синей
областях спектра), равное измеренному на опыте. Пользуясь опреде­
лениями эффективных и цветовой температур, легко записать соот­
ношение между ними. Пусть яркостные температуры в частотах v
и v есть Ti и Г , а цветовая температура — T - Полагая для простоты,
что обе линии, v и v , лежат в виновской области спектра, т. е. hv^lkTi >
> 1, hv lkT
> 1, получим
пн>._
v
4
2
2
4
2
i2
2
2
£,,, ~ v
LJ
Vl
3
ft7
3
'i
e
r
1"
feT
iSv ~ v e ~ 2
'
v
^ \'2
2
'
откуда
2 54
V^ = ^-?-•'12
J
i
1
(- >
2
Если температура тела более или менее постоянна в излучающих
слоях для всего основного спектра вблизи поверхности, цветовая темпе­
ратура часто бывает ближе к истинной температуре тела, чем яркостные;
это обстоятельство и используется в пирометрии при оптических измере­
ниях температуры тел.
Заметим, что в случае неравномерно нагретого- «серого» тела, у кото­
рого коэффициент поглощения щ не зависит от частоты, x' = х',
v
124
ТЕПЛОВОЕ
ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
эффективная температура различных частот все равно зависит от часто­
ты. Лишь для очень маленьких квантов, лежащих в рзлей-джинсовской
области спектра hvlkT < 1, частота выпадает из формулы (2.52) и эффек­
тивная температура оказывается для всех этих частот одинаковой.
§ 9. Движение вещества с учетом лучистого теплообмена
Выше было показано, как можно найти поле излучения в теле или
излучение, выходящее с поверхности тела, если состояние вещества, т. е.
распределение температуры и плотности в среде, известны. Рассмотрим,
как формулируется задача совместного определения состояния и дви­
жения вещества и поля излучения в случае, когда перенос излучения
и взаимодействие излучения с веществом оказывают существенное влия­
ние на состояние и движение среды (газа). При этом движение вещества
всегда будем предполагать нерелятивистским, т. е. считать, что ско­
рости гораздо меньше скорости света.
Если температура не слишком высока, а плотность газа не слишком
низка, плотность энергии и давление излучения пренебрежимо малы
по сравнению с энергией и давлением вещества. Сравним для оценки
плотность равновесного излучения С/ =
тг
р
4аТ*
с тепловой энергией еди-
3
3
ницы объема одноатомного газа Е = -^- пкТ (п — число частиц в 1 см ).
Например, при и = 2,67-10 Нем , что соответствует числу молекул
в воздухе нормальной плотности, обе энергии совпадают при температуре
900 000° К . В действительности энергия излучения становится сравни­
мой с энергией вещества при еще более высоких температурах, так как
при нагревании атомы ионизуются, что, во-первых, приводит к возра­
станию числа частиц в 1 см и, во-вторых, добавляет к тепловой энергии
энергию, затраченную на ионизацию *). Так, в реальном воздухе нор­
мальной плотности энергия излучения сравнивается с внутренней энер­
гией вещества только при температуре около 2 700 000° К. В сильно
разреженном газе энергия равновесного излучения становится сравни­
мой с энергией вещества при более низких температурах (грубо говоря,
температура, при которой обе энергии равны, пропорциональна п ^).
Однако в этом случае при сопоставлении энергии следует проявлять
осторожность, так как в очень разреженном газе велика длина пробега
излучения и если размеры газового тела недостаточно велики, плотность
излучения может оказаться гораздо меньше равновесной (см. об
этом ниже).
Давления излучения и вещества находятся примерно в таком же
соотношении, что и энергии. В самом деле, давление излучения (при
изотропии поля излучения) p = U/3, а давление вещества;? = (у — 1) Е,
причем при высоких температурах показатель адиабаты у имеет обычно
значение в интервале от 5/3 до -—'1,15 в зависимости от элементного состава
газа, температуры и плотности.
Таким образом, при не слишком высоких температурах и не слишком
малых плотностях вещества плотность энергии и давление излучения
практически не сказываются на энергетическом балансе и газодинами­
ческом движении вещества. Влияние излучения на энергетический
баланс и движение газа проявляется в ином: существенными могут ока19
3
3
1
v
*) О термодинамических функциях газов при высоких температурах см. гл. III,
§ 9]
ДВИЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВА С УЧЕТОМ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА
125
заться потери энергии нагретым телом за счет излучения и вообще лучи­
стый теплообмен в среде. Эти эффекты часто играют роль при гораздо
более низких температурах, когда энергия и давление излучения заве­
домо очень малы.
Причина указанного явления состоит в резком различии скоростей
движения вещества и в обычных условиях и скорости света с; и < с.
Вследствие различия скоростей потоки энергии вещества и излучения
могут оказаться сравнимыми между собою, даже если плотность энергии
излучения много меньше плотности энергии вещества. Например, в край­
нем случае, когда все кванты движутся в одну сторону, поток энергии
излучения равен S = Uc; поток же энергии вещества порядка Ей, т. е.
Uc может быть порядка и больше Ей даже при U «С Е за счет того, что
с > и. Потоки энергии излучения и вещества часто бывают сравнимыми
и в более реальном случае, когда поле излучения относительно изотроп­
но и результирующий поток излучения S, равный разности односторон­
них потоков, значительно меньше своей предельной величины Uc, соот­
ветствующей резко выраженной анизотропии поля излучения.
Как будет сейчас показано, величина потерь энергии или, наоборот,
энерговыделение в веществе за счет взаимодействия с излучением опре­
деляются дивергенцией потока излучения, так что сопоставление пото­
ков энергии излучения и вещества может характеризовать и роль лучи­
стого теплообмена в среде.
Найдем количество энергии q, теряемой единицей объема вещества
в 1 сек на излучение. Оно представляет собой разность между энергией,
испускаемой веществом, и энергией излучения, поглощаемой веществом.
Разность между испусканием и поглощением излучения частоты v
(на единичный интервал частот) и направления ft (на единицу телес­
ного угла) в 1 сек в 1 еж стоит в правой части уравнения переноса излу­
чения (2.28). Чтобы получить полную результирующую потерю энергии
веществом в 1 см в 1 сек q, надо проинтегрировать эту величину по всему
телесному углу и по всему спектру, т. е.
3
2
оо
оэ
д = J dv J dftx; ( 7 — / ) = с \ dvx' {U — U).
о
о
vp
v
v
vp
(2.55)
Первый член в скобках соответствует спонтанному испусканию,
а второй — поглощению за вычетом «переизлучения».
С помощью уравнения непрерывности для излучения (2.29), в кото­
ром согласно ранее сделанному замечанию о квазистационарности пере­
носа излучения можно опустить производную по времени, найдем, что
результирующая потеря энергии равна дивергенции интегрального потока
излучения:
со
q = ^ div S dv = div S.
о
v
(2.56)
Если вещество испускает больше, чем поглощает, оно теряет энер­
гию на излучение (охлаждается излучением), и q > 0; если поглощается
энергии больше, чем испускается, вещество нагревается излучением
и «потеря энергии» отрицательна, q < 0 (т. е. энерговыделение, равное
— q, положительно).
Составим уравнения газодинамики с учетом лучистого теплообмена,
но пренебрегая энергией и давлением излучения.
126
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Первое уравнение — уравнение непрерывности — остается неизмен­
ным. Не меняется и уравнение движения, поскольку давлением излуче­
ния мы пренебрегаем. Лишь в уравнение энергии следует ввести член
потерь энергии на излучение (плотностью энергии излучения и работой
сил лучевого давления пренебрегаем). Уравнение энергии (1.10) запи­
шется в виде *)
e
^^ + -yj=-
d l v
e
L ^
или, заменяя q на дивергенцию потока
e
d i v
^ +x>-
e +
+
i -TJJ-<7'
(2..-W)
S,
e
+
[K +i T>*]-
2 58
<- >
Таким образом, к полному гидродинамическому потоку энергии добав­
ляется поток энергии излучения. Если преобразовать газодинамическое
уравнение энергии к энтропийному виду (см. § 1 гл. I), получим
T~=-- -q=
Q
- div S,
(2.59)
где 2 — удельная энтропия вещества.
Нахождение поля излучения и распределения температуры в среде
в условиях, когда лучистый теплообмен существенным образом сказы­
вается на энергетическом балансе вещества, связано с большими мате­
матическими трудностями. Дифференциальное по координатам уравне­
ние переноса (2.34), описывающее поле излучения, формулируется для
спектральной интенсивности излучения, распространяющегося в опре­
деленном направлении. В уравнение же энергетического баланса (2.57)
входят величины q или S, интегральные как по спектру, так и по направ­
лениям.
Таким образом, система уравнений переноса и энергии имеет интегродифференциальный характер, причем включает в себя двукратное
интегрирование: по спектру и по углам.
Математические упрощения интегродифференциальной системы идут
по пути приближенного описания спектрального и углового распреде­
лений, с тем чтобы избавиться от ее «интегральности». Влияние спек­
трального распределения на энергетический баланс возникает в связи
с зависимостью от частоты коэффициента поглощения. Исключить из рас­
смотрения спектральные характеристики удается, только если коэффи­
циент поглощения х' не зависит от частоты: x' = x ' . В этом случае «серой
материи» уравнение переноса (2.34) после интегрирования по частотам
записывается непосредственно для интегральной по спектру ИНТеНСИВности / = \ I dv:
ч
v
v
QV/ = x ' ( / - / ) ,
(2.60)
p
а в формуле (2.55) для потерь энергии веществом также можно произ­
вести интегрирование по спектру:
q = K'\{I
r>
— I)dQ = cx'(U
v
— U).
(2.61)
*) Предполагается, что, кроме лучистого теплообмена, никаких источников
энергии, а также никаких иных необратимых процессов нет.
§ Id]
ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
127
Вообще говоря, коэффициенты поглощения в газах при высоких
температурах весьма сильно зависят от частоты, и понятие «серой мате­
рии» представляет собой значительную идеализацию. Она очень полезна
в том отношении, что позволяет выяснить закономерности явлений,
не связанные со спектральным распределением излучения. Однако в неко­
торых важных предельных случаях, о которых речь пойдет ниже, введение
соответствующим образом усредненного по частотам коэффициента погло­
щения и', позволяющее исключить из рассмотрения спектральные харак­
теристики излучения и перейти к формулам (2.60), (2.61), отвечает и суще­
ству дела.
Вопросу о приближенном описании углового распределения поля
излучения будут посвящены два следующих параграфа.
§ 10. Диффузионное приближение
Потери энергии вещества на излучение q, как видно из формул
(2.55), (2.56), в явной форме не зависят от углового распределения излу­
чения и определяются только интегральными по направлениям величи­
нами: плотностью излучения или потоком. Если бы удалось вместо урав­
нения переноса для интенсивности излучения, зависящей от направле­
ния, составить какие-то другие уравнения, которым непосредственно
подчинялись бы интегральные по направлениям величины, плотность
и поток излучения, то вопрос об угловом распределении излучения при
рассмотрении влияния излучения на состояние и движение вещества
вообще бы не возникал. Одно такое уравнение уже есть: это — точное
уравнение непрерывности (2.29), которое в квазистационарном случае
гласит:
d i v 0 = cx;(*7vp — U ).
(2.62)
v
v
Второе соотношение, связывающее поток и плотность излучения
и замыкающее систему уравнений, можно получить только приближенно.
Уравнение (2.62) было найдено путем интегрирования уравнения пере­
носа по углам. Умножим теперь уравнение переноса (2.34) на единич­
ный вектор направления ft и снова проинтегрируем по углам. Замечая, что
интеграл от члена K' I ,
не зависящего от направления, обращается
в нуль, и принимая во внимание определение потока (2.3), получим
V VP
\
ft-ftV/ -dft=
—x' S .
v
v
(2.63)
v
В изотропном поле излучения поток # = \ ft/ dft обращается
в нуль. Интеграл в левой части равенства при не зависящей от угла интен­
сивности I легко вычислить *):
v
v
v
jQ-QV/vrfQ = | - J V/vtfft = yVt/ .
(2.64)
v
*) Найдем i-ю компоненту векторного интеграла, заменяя векторный оператор QV
координатным выражением Q d/dx и имея в виду суммирование по дважды встре­
чающимся индексам:
dl
4л .
4я dl
с dU
tix •-3-*.-ft = 3 dxj
3 dxi
k
k
v
v
k
так
как \ /
v
dil = 4nl
v
= cll ; отсюда и следует (2.64).
v
v
128
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Равенство нулю этого выражения свидетельствует о том, что изотро­
пия поля излучения связана с постоянством плотности в пространстве.
Если поле излучения анизотропно, поток и интеграл (2.63) отличны
от нуля. Однако в случае слабой анизотропии в первом приближении
интеграл можно, по-прежнему, представить в форме (2.64), полагая слабо
зависящую от углов интенсивность постоянной. Это дает приближенную
связь потока с плотностью излучения
0
v = =
_i5£vtf ,
(2.65)
v
где / = 1 /Xv — длина пробега для поглощения излучения (исправлен­
ная на вынужденное испускание).
Если разделить обе части равенства (2.65) на энергию кванта hv,
получим связь потока квантов J данной частоты с их плотностью N ,
обычную для процесса диффузии частиц,
v
v
v
Коэффициент «диффузии» квантов D аналогичен коэффициенту диф­
фузии атомов или молекул; с — скорость «движения» квантов, 1' — их
длина пробега.
Однако между диффузией атомов и «диффузией» квантов имеется
существенное различие. Атом при столкновении не исчезает, а лишь
меняет направление своего движения (произвольным образом, в случае
изотропного рассеяния); длина пробега, входящая в коэффициент диффу­
зии, есть длина пробега по отношению к столкновениям. Квант же, пройдя
в среднем расстояние Г , поглощается веществом, и в условиях термо­
динамического равновесия вещества его энергия вследствие столкновений
атомов, электронов и т. д. распределяется в веществе в соответствии
с законами статистического равновесия. В месте поглощения испускаются
новые кванты разных частот и в произвольных направлениях. Рассма­
тривая процесс «диффузии» квантов данной частоты, мы выделяем среди
вновь рожденных только кванты той же самой частоты. Процесс идет
так, как будто бы квант летел, поглотился, а затем снова «родился»,
причем после «рождения» с равной вероятностью может лететь в любом
направлении, что и соответствует процессу изотропного рассеяния ато­
мов при столкновениях *).
Так же как и при диффузии атомов, условием применимости диффу­
зионного приближения является малость градиента плотности излуче­
ния. Последняя должна мало меняться на расстоянии порядка пробега
излучения l' . При небольших градиентах поле излучения почти изо­
тропно, а это условие и было положено в основу вывода диффузионного
уравнения (2.65). В самом деле, в данную точку кванты приходят в основ­
ном из области с размерами порядка пробега. Если плотность излучения
в этой области почти постоянна, то кванты приходят в данную точку
v
ч
ч
v
*) Если рассматривать перенос излучения с учетом рассеяния квантов, то при
слабой анизотропии по-прежнему получается диффузионное соотношение типа (2.65),
в котором стоит длина пробега, соответствующая полному коэффициенту ослабления,
равному сумме коэффициентов поглощения и рассеяния. Если рассеяние анизотропно,
то так же, как и при диффузии атомов, вместо коэффициента рассеяния появляется
транспортный коэффициент x (1 — cos0), где cos 6—средний косинус угла рас­
сеяния.
s
ДИФФУЗИОННОЕ
§ 10]
ПРИБЛИЖЕНИЕ
129
со всех сторон одинаково, что и приводит к изотропии поля излуче­
ния в ней.
Вблизи же границы среды с пустотой плотность меняется сильно
на расстоянии порядка пробега и анизотропия углового распределения
квантов велика — кванты преимущественно летят из тела в сторону
пустоты, так как из пустоты они не поступают. Позтому вблизи границы
с пустотой диффузионное приближение может
приводить к заметным ошибкам.
Градиенты плотности малы и диффузионное
приближение справедливо в случае оптически тол­
стых тел. Если х — характерный масштаб, на ко­
тором заметно меняется плотность излучения (х —
порядка размеров тела), то диффузионный поток
по порядку величины равен
•0-
-е-
Чем больше оптическая толщина тела x/l' , тем
меньше меняется плотность излучения на длине
v
с
э
пробега (это изменение порядка l' \U ~ — U ),
Рис. 2.9. Полярные диа­
тем меньше поток S , по сравнению с величиной граммы
для распределе­
U c, и тем точнее диффузионное приближение.
ния интенсивности излу­
Если оптическая толщина тела порядка еди­ чения по углу при разных
степенях анизотропии.
ницы, ly/х ~ 1 и S ~ cll . В случае оптически
Величина
интенсивности
тонкого тела l' lx > 1, и поток, оцененный по под данным углом
# харак­
диффузионной формуле, должен был бы стать боль­ теризуется длиной радиусавектора, проведенного из
ше, чем cU . В действительности это невозможно центра. Длина стрелки ха­
рактеризует величину по­
и свидетельствует просто о неприменимости диф­ тока.
Равенство плотностей
во всех случаях
фузионной формулы к оптически тонким телам. излучения
схематически описывается
Поток S никогда не может быть больше, равенством площадей ,всех
фигур.
чем cU - Равенство S =cU соответствует случаю,
когда все кванты летят строго в одном на­
правлении, т. е. соответствует наиболее резко выраженной анизотро­
пии. Величину cU иногда называют кинетическим потоком. Отношение
потока к кинетическому S /cU , которое в рамках диффузионного при­
ближения порядка обратной оптической толщины тела l' lx, является
мерой анизотропии поля излучения: при полной изотропии S /cU = 0,
если все кванты летят в одном направлении S /cU = 1. Отношение
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
4
о
S /cU всегда заключено в пределах 0 < - ~ < 1 . Зависимость потока
от степени анизотропии углового распределения излучения при данной
плотности его схематически иллюстрируется полярной диаграммой для
интенсивности (рис. 2.9).
Площади всех фигур одинаковы и соответствуют плотности излуче­
ния, а длины стрелок соответствуют потокам. К одному и тому же потоку
могут приводить и поля излучения разной плотности. Чем больше плот­
ность при данном потоке, тем меньше S /cU , тем изотропнее должно быть
поле излучения.
Уравнения диффузионного приближения (2.62), (2.65) представляют
собой систему двух дифференциальных уравнений относительно двух
неизвестных функций координат: плотности и потока излучения. К ним
нужно присоединить граничные условия на границах сред с различными
v
v
v
9
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
v
\
130
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. И
оптическими свойствами (с различными «коэффициентами диффузии»).
Из условия непрерывности интенсивности излучения следует непрерыв­
ность плотности и потока на границах раздела. Разрыв в плотности в диф­
фузионном приближении (2.65) повлек бы за собой бесконечность потока,
а разрыв в потоке свидетельствовал бы о накоплении излучения, т. е.
о нестационарности (см. уравнение (2.29)).
Особого рассмотрения требует случай границы раздела среды с пусто­
той. Поскольку из пустоты кванты не поступают, поле излучения на границе
с пустотой сильно анизотропно (все кванты летят
только в сторону пустоты) и, строго говоря, диф­
фузионное приближение здесь неприменимо. При­
ближенное условие на границе можно написать,
исходя из следующего соображения. Предположим
(и это для оптически толстых тел не очень далеко
от истины), что излучение, выходящее с поверх­
ности тела в полусфере, направленной в сторону
пустоты, распределено по углам изотропно; в дру­
гой полусфере интенсивность равна нулю: из пусто­
Рис. 2.10. Полярная диа­ ты кванты не приходят (соответствующая полярная
грамма для распределе­ диаграмма показана на рис. 2.10). Получим тогда,
ния интенсивности на что на границе с пустотой
границе х = 0 тела с
пустотой.
„ __ cU
(2.66)
v
Пустота — справа, среда —
причем поток направлен по внешней нормали к
поверхности. Множитель 1/2 появляется как средний косинус угла на­
правлений движения квантов при их изотропном распределении в по­
лусфере *).
*) В самом деле,
я/2
>= 5
Q / e?Q;
v
S,
v
полусфера
-s
cos &I (&) 2я sin &d&=2nl <-y = nl ,
V
v
v
я/2
\
I dQ= V 2nsindcZd/ = 2n/ , .
полусфера
О
откуда и следует формула (2.66).
Формула (2.66) формально вытекает и из соотношений диффузионного приближе­
ния. Легко проверить, что к диффузионным уравнениям (2.62), (2.65) приводит сле­
дующее выражение для интенсивности:
eU
v
v
v
мо>=—
4п Li+^t7^J=^rL
1+3cosd
v
^rJ'
А
где — угол между направлением 12 и направлением потока S . Располагая ось х
в направлении потока, вычислим односторонние потоки в положительном и отрица­
тельном направлениях оси х. Получим
v
cU
^v
(2.67)
4 + 2
v+
4
2 ' •v=(видно, что S = S ± -f- 5 _ , как и должно быть). Применяя эти формулы к границе
тела с вакуумом (ось х направлена в сторону вакуума) и полагая, что односторонний
cU
поток из вакуума S _ = 0, получим S = S = —~ , т. е. формулу (2.66). Формуv
v
v
V
v
v
v+
§ 11]
ПРИБЛИЖЕНИЕ
131
«ВПЕРЕД — НАЗАД»
§ 11. Приближение «вперед — назад»
Рассмотрим еще один способ приближенного рассмотрения углового
распределения излучения, который иногда применяется в плоских зада­
чах переноса излучения. Этот способ известен как приближение Шварцшильда или приближение «вперед — назад». Объединим все кванты,
движущиеся в сторону положительного направления оси х, под углами
Ф от 0 до я / 2 («вперед») в одну группу, а движущиеся в противополож­
ную сторону («назад») под углами О от у до я — в другую (рис. 2.11).
Будем приближенно считать угловые распределения в каждой из двух
полусфер изотропными и обозначим интенсивности в направлениях «впе­
ред» и «назад» через I и / (индекс частоты v для краткости опустим).
Плотность и поток излучения при этом
п
равны
t
2
*= /г
л/2
U:
+ ^-
#=ж
J / sin #<№ = -?=-(Л+/.,), (2.68)
a
Я/2
S = [cos$IdQ
=
я/2
:2я \ I cos Ф sin Ф e№-j±
Рис. 2.11. Полярная диаграмма
для распределения интенсивности
излучения в приближении «вперед—назад». В данном случае
поток направлен влево.
"
л
+ 2я \ I cos ft sin® dft — nili — I ).
2
(2.69)
z
Я/2
Отсюда, кстати сказать, наглядно представляется степень анизотропии:
0
п
р
и
/
1
/
2
1^Г = 2 Т Й % ^
~
На границе среды с пустотой, если ось х направлена по внешней
S
\
нормали к поверхности, имеем / = О и -77 — у » т. е. условие (2.66).
Чтобы составить уравнение для средних «односторонних» интенсивностей I и / , усредним уравнение переноса для плоского случая:
2
t
2
cosft
dl
(2.70)
dx = х ' ( / р - / )
по одной и по другой полусферам. Получим при этом ( средний косинус
cos ft = ±
1
й1
±. — к*(Т —ГУ
2 dx
— l ^ h . — ы! IT .
2 dx
h).
(2.71)
лы (2.67) имеют большую силу, чем выражение для интенсивности. В этом легко убе­
диться, если распространить формулу для интенсивности на точку у границы.
cU
<0,
В направлении отрицательной оси х, например, cos n- • 1 и / „
8я
что физически бессмысленно. Все дело в том, что диффузионная формула для интен­
сивности годится только при слабой анизотропии, когда второй член в скобках много
меньше единицы.
v
9*
132
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Эта пара уравнений и служит для определения средних интенсивностей в обеих полусферах. Складывая и вычитая их, легко перейти к урав­
нениям для плотности и потока (I = с£/ /4я):
p
£
р
= x'c(ff -«7);
5= -•£-§-.
p
(2.72)
Первое из уравнений есть точное уравнение непрерывности (2.62),
а второе почти совпадает с приближенным уравнением диффузионного
приближения (2.65), с той лишь разницей, что здесь «коэффициент диф­
фузии» равен Г с/4 вместо /'с/3.
Рассматривая уравнения (2.71) как линейные дифференциальные
уравнения относительно функций / и 1 , можно записать их решение
в интегральной форме:
t
2
со
X
/ = J / е х р [ —2(т —T')]2dT';
о
t
р
1 = \ / е х р [ - 2 (т' — т)] 2dx'.
т
2
р
Здесь координата х заменена оптической толщиной по формулам:
х
dr = x'dx,
T=\x'dx.
о
Складывая и вычитая выражения для / i и 1 и подставляя / =
= cUp/4.n, получим приближенные интегральные формулы для плот­
ности и потокаJ_B приближении «вперед — назад»:
2
17 = -*- J J7pe-2(*'-t)2rfT4-y J ^ е t
2 ( ,
р
г )
- 2Л',
о
оэ
5 = - - 1 ^ Ujfi-<f-V2dx'
(2.73)
t
+ ^ { £Tpe-2(t-t')2d '.
T
Вообще говоря, диффузионное приближение в случае слабой анизо­
тропии является более обоснованным, чем мало отличающееся от него
приближение «вперед — назад».
§ 12. Локальное*равновесие и приближение лучистой теплопроводности
В бесконечной среде с постоянной температурой в установившемся
состоянии излучение термодинамически равновесно. Интенсивность его
не зависит от направления и определяется формулой Планка. В какуюнибудь точку пространства приходят кванты, рожденные в окрестности
этой точки на расстояниях не более нескольких пробегов; кванты, рожден­
ные вдали, не доходят, поглощаясь по пути. Следовательно, в создании
равновесной интенсивности в данной точке участвует только непосред­
ственная ее окрестность. Даже если температура вдали и отлична от тем­
пературы этой окрестности, это практически не сказывается на интен­
сивности излучения в рассматриваемой точке. Значит, если в достаточно
протяженной, оптически толстой среде температура не постоянна, но
меняется достаточно медленно с расстоянием так, что изменения ее малы
на расстояниях порядка пробега излучения, интенсивность в какой-либо
точке пространства будет очень близка к равновесной, соответствующей
температуре данной точки. При этом интенсивность будет тем ближе
§ 12]
РАВНОВЕСИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ
ЛУЧИСТОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 1 3 3
к равновесной, чем меньше меняется температура на расстояниях порядка
пробега. В частности, излучение будет ближе к равновесному в тех час­
тотах, которые поглощаются сильнее и для которых длина пробега /у
меньше. Если градиент температуры настолько мал, что изменения тем­
пературы малы на расстояниях порядка наибольшего из пробегов l' для
всех частот, играющих значительную роль в равновесном излучении
данной температуры, то излучение будет равновесным практически во
всем спектральном интервале, характерном для температуры данной
точки. Интенсивность излучения в зависимости от частоты будет описывать­
ся при этом функцией Планка с температурой этой точки.
О таком состоянии, когда излучение в каждой точке среды с пере­
менной температурой весьма близко к равновесному, соответствующему
температуре точки, говорят как о локальном термодинамическом равно­
весии излучения с веществом.
Условие существования локального равновесия — малость градиентов
в протяженной, оптически толстой среде — служит в то же время и оправ­
данием диффузионного приближения при рассмотрении переноса излуче­
ния. В диффузионном приближении поток излучения пропорционален
градиенту плотности излучения. Но если плотность излучения близка
к равновесной, то приближенно можно заменить истинную плотность
в формуле для потока равновесной плотностью в данной точке. Таким
образом, в условиях локального равновесия спектральный поток при­
ближенно равен
v
0„=—^f-Vffvp.
(2.74)
Полный поток есть
оо
со
8= J S*dv=.-j
о
J l' VU dv.
v
(2.75)
vp
о
Вынесем из-под знака интеграла некоторое среднее значение длины про­
со
бега, которое обозначим через I. Если учесть, что \ U dv = U = 4оТ /с,
о
то формула (2.75) дает
г»
4
vp
S=-^VU =~^W.
P
р
(2.76)
Поток энергии излучения в условиях локального равновесия пропорцио­
нален градиенту температуры, т. е. перенос излучения носит характер
теплопроводности или, как говорят, лучистой теплопроводности, причем
коэффициент теплопроводности равен —5— и зависит от температуры.
Потеря энергии вещества на излучение q по формуле (2.56) равна
дивергенции потока лучистой теплопроводности точно так же, как и в слу­
чае обычной молекулярной теплопроводности, и определяется только
температурой вещества в данной точке, средней длиной пробега, которая
для данного вещества есть функция температуры и плотности, и их про­
изводными по координатам.
**»•*#'"
Сопоставление формул (2.75) и (2.76) дает закон усреднения длины
пробега по спектру, приводящий к правильному значению потока лучис­
той энергии в условиях, когда лучистый теплообмен имеет характер
теплопроводности. Замечая, что U и £/ зависят от координат только
vp
р
134
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. I I
через зависимость от температуры, получим
so* so*
пп
СО
dV„
r» . dV„
n
l = -—377
- =-
dT
- •
(2-77)
J^dv
dT
Дифференцируя по температуре равновесную плотность излучения,
взятую по формуле Планка, и переходя в интеграле к безразмерной пере­
менной интегрирования и — -т=, найдем закон усреднения пробега:
оо
I = ^ l' G (и) du,
о
(2.78)
v
где весовой множитель G (и) равен
Величина I, полученная путем усреднения пробега l' с весовым
множителем G (и), называется росселандовым средним длины пробега
или просто росселандовым пробегом. Если выразить длину пробега /у,
исправленную на вынужденное испускание, через коэффициент истин­
ного поглощения l' = l/x' = 1/х (1 — е~ ), то формулы_(2.78), (2.79)
можно переписать в виде
v
и
v
v
оэ
/=$£с»Л|, CW^liS?.
(2-80)
о
Росселандов весовой множитель имеет максимум при hvда4кТ,
т. е. основную роль в переносе энергии играют большие кванты с энер­
гией, в несколько раз большей, чем кТ.
Согласно формуле (2.76), поток излучения тем больше, чем больше
коэффициент теплопроводности, т. е. чем длиннее пробег. Не следует
забывать, что эта зависимость справедлива только до тех пор, пока длина
пробега не слишком велика, чтобы не нарушалось условие локального
равновесия и формула (2.76) имела смысл. Как мы увидим в дальней­
шем, в противоположном предельном случае, когда длина пробега излу­
чения больше характерных размеро% тела, поток излучения, наоборот,
уменьшается с увеличением длины пробега.
§ 13. Взаимоотношение диффузионного прнближения н приближения
лучистой теплопроводности
Обычно в астрофизике принято отождествлять понятия диффузион­
ного приближения и лучистой теплопроводности. Это связано с тем, что
в оптически толстых телах с малыми градиентами, каковыми и являются
звезды и звездные фотосферы, всегда одновременно выполняются усло­
вия, приводящие к слабой анизотропии поля излучения, т. е. к диффу­
зионной связи потока с градиентом плотности излучения, и к существо­
ванию локального равновесия, т. е. возможности замены U на U .
v
vv
§ 13]
ВЗАИМООТНОШЕНИЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
135
Оценка показывает, что вообще при малых градиентах в оптически тол­
стых телах отклонение от локального равновесия даже меньше, чем
степень анизотропии, т. е. если справедливо диффузионное приближение,
то локальное равновесие тем более существует. В самом деле, пусть тело
имеет размеры порядка х, являющиеся характерным масштабом для
градиентов температуры, плотности и потока излучения. Из уравнений
диффузионного приближения (2.62), (2.65) следует, что по порядку вели­
чины
c(U
S
v
~
-U )
x
f
v
;—
Z
v
,
O
v
v
~ —
*
CU ,
V
откуда
u »v
£)'
Если степень анизотропии, которая характеризуется отношением
диффузионного потока к кинетическому, S /cU да l' /x, мала и Г^/х < 1,
то относительное отклонение плотности
излучения от равновесной есть величина
7,
второго порядка малости.
Однако имея в виду задачи с более
сложными условиями, чем в звездных фо­
тосферах, удобно все же провести четкую
^_
грань между приближениями диффузионным и лучистой теплопроводности, под- Рис. 2.12. Схематический профиль
разумевая под диффузионным приближетемпературы в ударной волне,
нием только способ приближенного опи­
сания углового распределения излучения, в котором поток излучения
предполагается пропорциональным градиенту истинной плотности, даже
если она сильно отличается от равновесной. Это можно рассматривать
как прием, позволяющий выяснять особенности явлений переноса сильно
неравновесного излучения, не связанные с характером углового распре­
деления квантов, так как строгий учет последнего связан с большими
математическими трудностями. Диффузионное приближение, приводя
в некоторых случаях к значительным ошибкам, как правило, все же
не искажает качественной картины явлений переноса излучения, даже
когда распределение по углам сильно анизотропно. Это и позволяет
пользоваться им для приближенного решения различных задач, в которых
излучение существенно неравновесно и использование приближения
лучистой теплопроводности, которое подчиняет соответствующим урав­
нениям температуру вещества, часто противоречит физическому смыслу.
Приведем пример. Предположим, что мы интересуемся полем излу­
чения в теле с резким скачком температуры на поверхности, разделяющей
высоконагретую и холодную области, как показано на рис. 2.12 (случай,
типичный для ударной волны). В области с высокой температурой плот­
ность излучения U^велика и порядка равновесной U = iaT'Jc. В обла­
сти низкой температуры кванты практически не испускаются и плотность
излучения в ней определяется потоком, выходящим с'поверхности нагре­
той области, т. е. плотность излучения также пропорциональна Ui и гораздо
больше равновесной U = 4сгГ*/с, так как Т± > T . Случай, как мы
видим, чрезвычайно далекий от локального равновесия и лучистой тепло­
проводности. Между тем диффузионное приближение для описания угло­
вого распределения приводит к качественно правильному результату,
v
v
v
х
pi
р0
0
136
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
который состоит в том, что если холодная среда поглощает свет, то плот­
ность и поток излучения падают по мере удаления от нагретой поверхности
в глубь холодной среды, причем масштабом расстояния для заметного
ослабления этих величин является длина пробега для поглощения квантов
в холодной среде. Так, в данном случае диффузионные уравнения в холод­
ной среде, не испускающей квантов, принимают вид
dS
dx
__
v
cU
l'
„
v
'
v
о
l'
3
c
dU
dx
v
vv
•
v
или, в терминах оптической толщины, отсчитываемой от скачка темпех
ратуры T = \ %'vdx,
о
V
dS
j-r
v
-j^--
<-, _
cu ,
v
с
dU
v
o _ — з ^ - .
v
Эти уравнения дают решения для плотности и потока:
c U v
т
S . г~^ "
качественно правильно отражающие спадание этих величин.
Точный учет углового распределения, возможный в данном простей­
шем случае, приводит к несколько иному закону спадания потока и плот­
ности излучения в холодной области, содержащему не обычные, а инте­
гральные экспоненты (см. работу [5]):
S ~ E (T ), U ~ E (T ).
На оптических расстояниях от скачка температуры порядка одной
или нескольких единиц точные формулы дают величины того же порядка,
что и диффузионные. Если бы мы в рассматриваемой задаче воспользова­
лись приближением лучистой теплопроводности, то у нас, в частности,
размазался бы скачок температуры вещества, так как при скачке темпе­
ратуры поток S ~ dT/dx оказывается бесконечным.
Вообще диффузионное приближение всегда дает качественно разум­
ные результаты. Например, в таком крайне «недиффузионном» случае,
когда имеется предельно выраженная анизотропия углового распределе­
ния квантов, и все кванты движутся в холодной среде в одном направле­
нии, поток равен <S = ell . Из точного уравнения непрерывности (2.62)
получается при этом, что поток, как и при диффузии, пропорционален
градиенту плотности S = — l' c -j^- (ось х направлена вдоль светового
луча) с коэффициентом пропорциональности, втрое большим обычного
коэффициента диффузии. Этот случай чистого поглощения параллельного
пучка света в неизлучающей среде имеет точное решение:
v
V
3
V
2
V
V
v
v
v
X
-T
S = ell ~ e v,
t = \ K dx,
о
отличающееся от решения в диффузионном приближении только числен­
ным коэффициентом ]/^3 в показателе экспоненты и коэффициентом 1/|/^3
в связи потока с плотностью.
Конечно, количественное различие при больших T > 1 огромно,
но качественно диффузионное приближение дает правильный физический
результат, а при x ~ 1 и численная ошибка не столь велика.
v
v
v
v
V
v
§ 14]
ЛУЧИСТОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЗВЕЗДНЫХ ФОТОСФЕРАХ
137
§ 14. Лучистое равновесие в звездных фотосферах
Изучение распределений температуры и поля излучения в перифе­
рийных слоях (фотосферах) стационарных звезд с целью вычисления
светимости звезд явилось классической задачей, на основе которой была
построена теория переноса излучения и разработаны методы решения
уравнения переноса *).
Для нас эта задача интересна не только как классический объект
применения теории переноса излучения, но и как модель, к которой,
как это будет показано в гл. IX, в какой-то мере сводится задача об охла­
ждении большого объема нагретого воздуха путем излучения. Стационар­
ные звезды представляют собой огромные газовые массы, нагретые до
высоких температур, изменяющихся от десятка тысяч градусов на поверх­
ности до миллионов и десятков миллионов градусов в центральных облас­
тях. Механическое равновесие газа достигается благодаря уравновеши­
ванию сил давления, стремящихся привести к разлету газового шара,
гравитационными силами, препятствующими разлету.
Нагретый газовый шар — звезда — излучает с поверхности. Потеря
энергии восполняется энерговыделением за счет ядерных реакций, кото­
рые протекают в центральных областях звезды. Вещество в стационарных
звездах неподвижно, никакого гидродинамического движения нет. Выде­
ляющаяся в центре энергия переносится к периферии звезды только
излучением и уходит в пространство в виде излучения. Поскольку в пери­
ферийных слоях ядерных реакций и энерговыделения нет, стационарность
в них достигается благодаря полной компенсации испускания и погло­
щения света в каждом элементе объема: потеря энергии вещества на излу­
чение q равна нулю и температура в каждой точке неизменна во вре­
мени **).
О равенстве испускания и поглощения света и отсутствии потерь
на излучение говорят как о лучистом равновесии звезды. Из условия
лучистого равновесия q = 0 следует, что дивергенция потока излучения
div S также равна нулю. Полный поток излучения через сферическую
поверхность любого радиуса г, 4nr S, постоянен и равен количеству
энергии, выделяющейся в центре в единицу времени (S ~ 1/г ). Распре­
деление температуры и плотности газа по радиусу звезды определяется
путем совместного рассмотрения механического равновесия и переноса
излучения. Однако при рассмотрении распределений в фотосфере задача
в какой-то степени разделяется на два этапа. Распределение темпера­
туры по оптической координате можно найти только из рассмотрения
переноса излучения, не зная распределения плотности по радиусу.
Затем в случае необходимости можно перейти к распределению темпера­
туры по радиусу, привлекая условия механического равновесия и коэф­
фициент поглощения света как функцию температуры и плотности.
z
2
*) Подробное изложение этих вопросов и ссылки на литературу см. в книгах
В. А. Амбарцумяна [1] и Унзольда [2].
**) Стационарность звезды и неизменность во времени распределений темпера­
туры и других величин по радиусу не означает, что звезды не эволюционируют. Когда
говорят о стационарности применительно к задаче о переносе излучения, то имеют
в виду неизменность состояния за время порядка времени теплопередачи от центра
звезды к поверхности.
Заметим, что условие лучистого равновесия q = О заменяет в данной конкретной
задаче энергетическое уравнение гидродинамики (2.57).
138
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Сформулируем задачу о распределении температуры и переносе
излучения в фотосфере звезды. Интересуясь поверхностными слоями,
толщина которых много меньше радиуса звезды, можно пренебречь их
кривизной и считать фотосферу плоской. Направим ось х по внешней
нормали к поверхности звезды (рис. 2.13) и запишем уравнение переноса
излучения для плоского случая:
dl
dx
(2.81)
v
COS1
• Х у (•* v p
•* v / i
где ф — угол между направлением распространения излучения и осью х.
К этому уравнению добавляется условие лучистого равновесия:
оо
оэ
q = jj dv J dQx' (I
v
vp
— / ) = с J dvx' (U — U ) = 0,
v
v
vp
(2.82)
v
а также граничное условие на поверхности, при х — 0, которое заклю­
чается в том, что из пустоты кванты не поступают:
/ (х = 0, fl) = 0 при
(2.83)
<Ф<я.
v
Если коэффициент поглощения разных частот x (T, Q) зависит
от плотности газа одинаковым образом, т. е. может быть представлен
в виде
K (T, Q) = ф (V, Т) f (Q),
v
v
1
1
что обычно и имеет место в действи­
тельности, то путем введения вместо
х новой координаты, дифференциал
а которой есть dy = dx f (Q) И которая
-с-*соответствует оптической координа­
те, можно исключить из задачи
вопрос о распределении плотности
газа по а; и искать распределения тем­
Рис. 2.13. К задаче о переносе излуче­ пературы и интенсивности излучения
ния в звездных фотосферах.
по этой, новой, оптической коорди­
нате у. Система (2.81) — (2.83) пол­
ностью описывает эти распределения. Задача обладает одним произ­
вольным параметром — потоком излучения S, который в плоском случае
постоянен ( q = div S — -г- = 0 J . Поток S равен потоку энергии, пода­
ваемому из бесконечности х = — оо, изнутри звезды, и фактически
определяется энерговыделением в центре звезды. В то же время поток S
представляет собой поток энергии излучения, выходящий с поверхности
звезды, т. е. интегральную яркость поверхности.
Сформулированная задача в общем случае представляет очень боль­
шие математические трудности. Основная из*них состоит в том, что урав­
нение переноса записывается для спектральной интенсивности I , тогда
как условие лучистого'равновесия имеет интегральный по спектру харак­
тер. Для упрощения задачи введем в рассмотрение некоторый средний
по спектру коэффициент поглощения х' (что эквивалентно предположе­
нию «о серости» среды) и проинтегрируем по спектру уравнение переноса
v
§ 14]
ЛУЧИСТОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЗВЕЗДНЫХ ФОТОСФЕРАХ
139
(2.81). Получим для интегральной интенсивности / = \ I dv уравнение
о
v
c o s * ^ = x'(/p-/),
^p=S^vprfv = - y - = - ^ .
(2.84)
о
Переходя к оптической координате, отсчитываемой от поверхности
в глубь фотосферы:
х
dx=—x'dx,
х= — \ x'dx,
о
получхш
с о 8 вdX£ = / - / ( Г ) .
(2.85)
р
Граничное условие (2.83) теперь принимает вид
я
7(т = 0, fl) = 0 при ^<®<п,
"2
а условие лучистого равновесия (2.82)
J/dQ=J/ dQ,
p
2
86
( - )
<7 = tf = ^ i
(2.87)
p
(постоянный поток S равен S = \ cos d / dfl).
Несмотря на анизотропию излучения, интеграл от интенсивности
по углам, т. е. плотность излучения в каждой точке, равен равновесной
величине U . Вернее, температура вещества в каждой точке, регулируе­
мая переносом излучения, устанавливается в соответствии с плотностью
излучения в данной точке U = U . Даже в упрощенной постановке задача
решения системы (2.85) — (2.87) (так называемая проблема Милна)
с математической точки зрения весьма сложна. Приближенное решение
ее будет изложено в следующем параграфе. Сейчас же мы выведем экви­
валентное этой системе интегральное уравнение, которое послужило
основой для нахождения точного решения.
Воспользуемся интегральным выражением для интенсивности типа
(2.32), которое в плоском случае можно записать в виде, непосредственно
следующем из уравнения (2.85), если рассматривать его как линейное
дифференциальное уравнение относительно / :
р
v
/(0,т)=$
х
I [T(r')]e
Х'—Х
COS & dX'
П
cos d
v
„
2 ->
V
n
^
U
'
(2.88)
X
/(0,т) = - $ / [ Г ( т ' ) ] е
р
I*
COS
\-£F
*>•>£.
(2.89)
Первая формула дает интенсивность излучения, распространяюще­
гося в сторону поверхности. Интегрирование ведется от т = оо, поскольку
фотосфера предполагается полубесконечной. Вторая формула соответ­
ствует излучению, идущему вглубь; при этом учтено, что из пустоты
кванты не приходят.
Вычислим плотность излучения U = — \ I <Ш, воспользовавшись
при интегрировании' по О от 0 до 1г первой формулой, а в
п
140
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
интервале -^ < ^ < я — в т о р о й :
Л/2
оэ
J
J
О
x
-f
.£
р
Л
cos §
^'
X
J
••
я/2
J
p
^
cos •&
О
Переставляя порядок интегрирования, вводя в первом интеграле
новую переменную tw = l/cos d, а во втором w=— l/cos'd, принимая
во внимание определение интегральных экспонент (2.44) и заменяя
/ = с£/ /4я, получим
,
р
р
см
U = i - J ад
V
X
(т' - т ) d t ' + у J ВД (т—т') d t ' .
о
(2.90)
4
Принимая во внимание условие лучистого равновесия U = U ~ Г ,
получаем окончательно интегральное уравнение для равновесной плот­
ности Z7 или, что то же самое, для Г :
V
4
P
со
U (т) = 4 5 U (г') Е, (| т ' - т |) dx'.
о
p
v
(2.91)
Выпишем для справочных целей интегральное выражение для
потока в плоском случае, который вычисляется аналогично плотности*):
со
5 = у J
т
X
ад(т'-т)<*т/—|
J U E (x-x')dx'.
о
p
z
(2.92)
Из уравнения (2.91) видно, что решение U (x) определяется с точ­
ностью до постоянного множителя. Этот множитель и соответствует
произвольной величине потока S.
v
§ 15. Решение задачи о плоской фотосфере
Найдем решение сформулированной в предыдущем параграфе задачи
в диффузионном приближении. Усредняя уравнение диффузионного
приближения по спектру и вводя средние коэффициент поглощения к'
и длину пробега /' = 1/х', запишем эти уравнения в виде
§ = c7t'(U -U),
(2.93)
p
или, заменяя координату х оптической толщиной т: dx — —x'dx,
g = ([7_[7 ),
dx
c
S=i%~~~ 3 dx
p
(2.95)
(2.96)
*) Для точки т = 0 эта формула уже была получена выше, в § 7 (2.45).
Любопытно сравнить точные формулы для плотности и потока в плоском случае
(2.90), (2.92) с полученными в приближении «вперед — назад» (2.73). Последние отли­
чаются от первых заменой интегральных экспонент на обычные и численными коэф­
фициентами.
141
Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч И О ПЛОСКОЙ ФОТОСФЕРЕ
§ 15]
Уравнение (2.95) демонстрирует эквивалентность условий лучистого
равновесия U = U и постоянства потока S = const. В данном случае
условие лучистого равновесия приводит и к строгой эквивалентности
диффузионного приближения и приближения лучистой теплопровод­
ности, так как благодаря равенству U = U :
p
v
с dU
4
p
4
dT
Решая это уравнение и воспользовавшись граничным условием (2.66)
для того, чтобы выразить поток S через температуру поверхности Т :
S = 2вТ* ,
(2.98)
0
0
получим распределение температуры и плотности излучения по оптиче­
ской толщине
СТ СТ №
W (
3 ^ _
=
рв
р
=
'
с
1
с
V
+
( 2 9 9 )
' ^
У
Эффективная температура поверхности по определению S = GT%$ равна
Г = У2Т « 1,27V
Эффективная температура несколько выше истинной температуры
поверхности Т . Это и понятно: кванты, выходящие с поверхности, рож­
даются в излучающем слое около поверх­
ности толщиной порядка пробега (оптичеT(x)=T (f+j?f''
ской толщиной порядка единицы). Температура излучающего слоя несколько выше,
чем температура поверхности (рис. 2.14),
поэтому и «температура» выходящего из­
лучения также несколько выше. Темпе­
ратура среды совпадает с эффективной
температурой излучения на оптической
б
^/3 О
глубине т = 2/3. Можно сказать, что эта „
„ .. „
э ф
0
0
0
J
-
'
Рис. 2.14. Распределение темпе-
глубина соответствует примерно середине
туры по оптической координате
излучающего слоя.
в плоской фотосфере в диффузиДля задачи о лучистом равновесии
онном приближении,
фотосферы, рассматриваемой как «серая
материя», которая сводится к интегральному уравнению (2.91),
было найдено точное аналитическое решение. Задача также решалась
различными приближенными методами, более точными, чем диффузион­
ное приближение. (Эта задача, одна из немногих задач теории переноса
излучения, которые удается решить точно, служит обычно эталоном для
проверки различных приближенных методов.)
В точном решении температура поверхности Т при том же самом
потоке S, т. е. при той же эффективной температуре Г ф, оказывается
несколько меньше, чем в диффузионном приближении. А именно, в точном
ра
0
Э
Уъ
решении Т\ = -~ Т* ф, Т = 0,811 Т ф, тогда как в диффузионном приближении Т\ = у Т^ф, *Г = 0,841 Т . Распределения температуры
по оптической толщине в точном и диффузионном решениях весьма близки
друг к другу (они изображены на рис. 2.15), что свидетельствует о хоро­
шей точности диффузионного приближения. Ошибка, даваемая диффу­
зионным приближением, тем меньше, чем больше оптическая толщина,
т. е. чем дальше от границы, что вполне естественно. При т -*- оо точное
Э
0
Э
0
эф
142
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
решение U (т) асимптотически переходит в диффузионное (2.99). В этом
можно убедиться и непосредственно на основе интегральных выражений
для плотности и потока (2.91), (2.92). Этот вывод полезен тем, что пока­
зывает, как диффузионное приближение и приближение лучистой тепло­
проводности асимптотически заложены в
точном уравнении.
Как следует из диффузионного ре­
К 000
•
ж
^
шения (2.99), относительное изменение
равновесной плотности U на длине про­
бега уменьшается при удалении от по­
г \
11000 > ^
верхности:
p
p
1
7
АРр
8000 •
I' dU
£7 dx
p
D
л
I dU
U dx
1
t
2
3
n
«
1
T
+ •1
при т -*• оо.
Интегральные экспоненты E и Е
быстро убывают с возрастанием аргумента,
так что практически в интегралах (2.91),
Рис. 2.15. Сопоставление распре­
делений температуры в плоской (2.92) играет роль лишь область 1т' — т | •—
фотосфере, вычисленных в диф­ ~ 1 около точки т.
фузионном приближений (/) и
Поэтому интегрирование по т' от
точно (//).
нуля
до т во вторых интегралах в фор­
Для определенности эффективная тем­
мулах (2.90), (2.92) при т > 1 можно рас­
пература выбрана равной Г ф =
=10 500° 1С (график взят из книги [I]). пространить до — оо или, что то же
самое, интегрирование по т — т' от нуля
до т > 1 распространить на интервал от 0 до оо. Ошибка от этого
будет тем меньше, чем больше т.
Разложим и (т') около точки т:
dU„
\ d U„
Up{x') = U (т) + - ^ ( т ' - - т ) + - ! ^ ( * ' — r ) + • • •
Поскольку Up (т) — медленная функция при т —>• оо, высшие про­
изводные ее становятся все меньше и меньше. Подставляя это разложение
в (2.90), (2.91) и вычисляя интегралы, получим из (2.92) с точностью
до членов, пропорциональных высшим производным от U до т: S =
с Up
.
dW„
= ^-т—, а из (2.91) : —j-^ = 0, т. е. уравнения диффузионного прибли­
жения и лучистой теплопроводности.
Тот факт, что интегральная плотность излучения в каждой точке
равна равновесной, соответствующей температуре вещества, вовсе не озна­
чает, что то же самое относится и к спектральным плотностям *). Однако
чем дальше от поверхности в глубь фотосферы, тем меньше относительные
изменения температуры на расстояниях порядка среднего пробега, а сле­
довательно, и пробегов разных частот. Поэтому вдали от поверхности
имеет место локальное равновесие и в каждой частоте и под средним
пробегом V = 1/х'следует понимать росселандово среднее. Практически
росселандов способ усреднения можно распространить на всю фотосферу
вплоть до самой поверхности. Зная распределение температуры по средconst, не следует, что S
*) Точно так же из того, что S
const;
dS\
кч(и р-и )ф0.
' dx
кппп
1
1
1
t
э
р
2
2
v
p
d
v
у
у
2
§ 16]
ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ НАГРЕТОГО ТЕЛА НА ИЗЛУЧЕНИЕ
143
ней оптической толщине и задаваясь зависящими от частоты коэффи­
циентами поглощения, точнее, их отношениями к среднему и^/х', можно
по формулам § 8 найти спектр излучения звезды (см. [1—3]). Спектр,
вообще говоря, не совпадает с планковским, соответствующим Т ф, но
в ряде случаев близок к нему.
9
§ 16. Потери энергии нагретого тела на излучение
Рассмотрим потери энергии на излучение всего тела в целом. При
этом мы будем иметь в виду обычные тела конечных размеров, нагретые
в общем случае неравномерным образом. Полная потеря энергии всем
телом в 1 сек, Q, равна, очевидно, интегралу по объему от потери энергии
1 см в 1 сек, q. Замечая, что q = div S, можно записать *):
3
Q= \qdV=
\ S d2,
(2.100)
0
где dV — элемент объема тела, a d2 — элемент поверхности; S — нор­
мальная составляющая потока излучения на поверхности тела. Ее можно
представить в виде S = оТ ф, где Тдф — эффективная температура
поверхности тела.
Совсем не обязательно, чтобы эффективная температура была близка
к средней температуре неравномерно нагретого тела Т. В случае опти­
чески толстого тела, размеры которого х гораздо больше средней длины
пробега I (скажем, соответствующей средней температуре), поток по
порядку величины равен:
0
0
Э
i
4
5 ~гс^~1аГЧ<аГ ;
0
Г э ф - ^ У ^
1
При {Их) '* < 1, Тщ < Т. Эффективная температура скорее близка к тем­
пературе на поверхности. Лишь в случае не слишком толстых (оптически)
тел эффективная температура может быть, близка к средней температуре
тела (температуры Г ф и Т могут быть близки и в том случае, когда в теле
каким-то специальным образом поддерживается постоянная темпе­
ратура).
Рассмотрим теперь оптически тонкое тело, размеры которого малы
по сравнению с некоторым средним пробегом квантов **).
Если оптическая толщина тела xll мала, кванты, рожденные в любой
точке тела, почти беспрепятственно выходят наружу. По пути погло­
щается только доля квантов порядка xll <C 1. Плотность излучения в теле
составляет долю порядка xll от равновесной, т. е. значительно меньше
равновесной (излучение существенно неравновесно). В самом деле, интен­
сивность излучения в какой-то точке равна согласно формуле (2.32) инте­
гралу по лучу в пределах тела от плотности источников. Поскольку тело
Э
S
оптически тонкое, \ x' ds ~ x"/l
v
v
< 1, и экспоненциальный множитель
*) q может менять знак на протяжении тела, т. е. отдельные объемы могут
охлаждаться, а другие — нагреваться излучением.
**) Мы обозначаем средний пробег в случае оптически тонкого тела через l для
того, чтобы не путать его с росселандовым средним пробегом I, характерным для опти­
чески толстого тела. Как мы увидим ниже, закон усреднения поглощения по спектру
в случае оптически тонкого тела отличается от росселандова.
t
144
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. I I
в формуле, учитывающий поглощение квантов, близок к единице. Тогда
интенсивность I ~ -r-I p, а плотность излучения после интегрирования
v
v
по углам U ~ у- U . Если проинтегрировать U по спектру, введя
некоторый средний пробег 1 , получим, что U ~ (x/li) Up < U . Коли­
чество энергии, поглощаемой в 1 см в 1 сек, также составляет долю поряд­
ка xHi от энергии, испускаемой в 1 см в 1 сек, так как обе величины
относятся как U/Up, что видно из формулы для q (2.61).
Таким образом, в случае оптически тонкого тела потеря энергии
веществом в 1 см в 1 сек сводится с точностью до малой величины порядка
x/li к испускаемой энергии, т. е. к интегральной лучеиспускательной
способности:
v
vv
v
±
v
3
3
3
со
со
/ = ^ J dv = с [ x' U dv.
(2.101)
о
о
Если вынести за знак интеграла среднее значение коэффициента погло­
щения, которое обозначим через х , равное по определению обратной
величине среднего пробега / , получим для интегрального испускания:
v
v
vp
4
4
/ = x Z7 c = ^
1
p
.
(2.102)
Сопоставление формул (2.102) и (2.101) дает закон усреднения длины
пробега для случая оптически тонкого тела:
1
Xl=y- =
о
\x&i(u)du.
(2.103)
[ U dv
о
vp
(
G I M - S S'—1
C T' . —kT
S
2 Л 0 4
>
или через коэффициент истинного поглощения:
: 1 = С x G; (и) du,
(2.105)
v
и
15
и
3
G; (и) = (1—е~ ) d (и) = ±£
е" и .
Я'
(2.106)
Этот способ усреднения, как видим, отличается от росселандова:
при росселандовом усреднении по формуле (2.77) усредняется пробег,
т. е. обратная величина коэффициента поглощения, причем весовая
функция пропорциональна производной от функции Планка по темпе­
ратуре. Интегральная лучеиспускательная способность характеризуется
пробегом, который получается путем усреднения самого коэффициента
поглощения с весом, пропорциональным функции Планка.
Полная потеря энергии нагретым оптически тонким телом опреде­
ляется интегралом от лучеиспускательной способности по объему тела:
Q= ? dV= \jdV.
q
(2.107)
В отличие от оптически толстого тела, которое охлаждается излуче­
нием «с поверхности», охлаждение оптически тонкого тела имеет суще-
§ 16]
ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ НАГРЕТОГО ТЕЛА НА ИЗЛУЧЕНИЕ
145
ственно объемный характер. Можно, конечно, и в этом случае ввести
понятие потока излучения с поверхности и записать уравнение (2.107)
в форме интеграла по поверхности, так как формула q = div 8 сохраняет
силу всегда. Однако в случае объемного охлаждения такая интерпретация
потерь имеет чисто формальный характер, тогда как в случае оптически
толстого тела вылетающие кванты на самом деле рождаются в поверх­
ностном слое. В соответствии с этим и спектр излучения оптически тол­
стого тела в какой-то степени близок к планковскому спектру, соответ­
ствующему эффективной температуре Т ф или температуре у поверх­
ности. Спектр излучения оптически тонкого тела может существенным
образом отличаться от планковского, соответствующего температуре
тела, если коэффициент поглощения вещества сильно зависит от частоты.
Спектр в этом случае характеризуется частотной функцией x' U .
Сопоставим лучистые потери энергии, отнесенные к единице объема
тела (скорость охлаждения единицы объема), и отнесенные к единице
поверхности (поток с поверхности) для случаев оптически толстого и опти­
чески тонкого тела. Если размеры тела порядка х, поверхность его порядка
а; , а объем — порядка х . Для оптически толстого тела скорость охла­
ждения, отнесенная к поверхности, порядка
Э
v
2
vv
3
^S~{aT*4iaT*,
| < 1,
(2.108)
а скорость охлаждения, отнесенная к объему,
В случае же оптически тонкого тела
S - S - f
а Г * « а Г * при - ^ - « 1 ,
y
S~ ~x
при
€1
i -
(2.110)
(2Л11)
Сравним относительные лучистые потери двух тел примерно одина­
ковой средней температуры, одно из которых имеет большие размеры
(оптически толстое), а другое — малые (оптически тонкое). Плотности
вещества, так же как и температуры, будем считать близкими, так что
средние пробеги I и 1 которые есть функции только температуры и плот­
ности вещества,— одного порядка (различие в способах усреднения по
спектру, как правило, не вносит очень больших численных различий
в величины пробегов; I и Z обычно различаются не более, чем в несколь­
ко раз).
Из соотношений (2.108) и (2.110) видно, что в обоих случаях потери,
отнесенные к поверхности, т. е. потоки с поверхности, меньше оТ . Лишь
тело, размеры которого порядка пробега (оптическая толщина порядка
единицы) х ~ I ~ li, испускает с поверхности поток излучения, соот­
ветствующий абсолютно черному телу с температурой порядка средней
температуры тела.
Что же касается потерь, отнесенных к объему, или, что то же самое,
к массе, то в случае оптически толстого тела массовая скорость охлажде­
ния гораздо меньше, чем в случае оптически тонкого, для которого она
и
4
4
10
я . Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
146
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
порядка средней по объему интегральной лучеиспускательной способ­
ности / ~ аТ*/1 и не зависит от размеров (в силу объемного характера
излучения).
Физическая причина этого ясна: кванты, испущенные внутри опти­
чески толстого тела, «заперты» в теле и не в состоянии выйти наружу,
поглощаясь по пути внутри тела.
±
§ 17. Уравнения гидродинамики с учетом энергии и давления
излучения и лучистого теплообмена
В § 9 было показано, как следует учитывать взаимодействие излуче­
ния с веществом, которое сводится к испусканию и поглощению света.
При этом предполагалось, что энергия и давление излучения малы по
сравнению с энергией и давлением вещества.
При очень высоких температурах или в сильно разреженном газе
(но при больших размерах газового тела, больших длины пробега излу­
чения) пренебрегать энергией и давлением излучения нельзя. Довольно
очевидно, что в случае локального равновесия излучения с веществом,
тт
4аГ4
тт
1/р
4 сТ*
когда и = t/p =
, а давление излучения p — -^-=-g
, в урав­
нениях гидродинамики следует везде к внутренней энергии и давле­
нию вещества добавить энергию и давление излучения, а также ввести
член лучистой теплопроводности. Покажем, как этот вывод следует из
общих уравнений, описывающих систему: вещество плюс излучение.
Для того чтобы записать в полной форме уравнения, выражающие
законы сохранения импульса и энергии системы, состоящей из вещества
и излучения (в общем случае неравновесного), удобно исходить из дивер­
гентной формы уравнений, эквивалентных уравнениям «непрерывности»
для соответствующих величин. Для движения идеального газа без учета
излучения эти уравнения были сформулированы в гл. I (см. формулы (1.7),
(1.10)). Уравнения для системы вещество полюс излучение легко записать
путем непосредственного обобщения уравнений (1.7), (1.10) (заметим, что
мы рассматриваем только нерелятивистские движения). Именно, к плот­
ности импульса вещества добавим плотность импульса излучения О,
а к тензору плотности потока импульса вещества П д — тензор плотности
потока импульса излучения T . Как известно, последняя величина
эквивалентна тензору максвелловских напряжений электромагнитного
поля. Точно так же к плотности энергии вещества добавим плотность
энергии излучения U, а к плотности потока энергии — поток энергии
излучения 8, представляющий собой вектор Пойнтинга (импульс
излучения связан с вектором Пойнтинга соотношением О = Sic*).
Получим таким образом уравнения импульса и энергии системы
v
г
ik
А(е
М г +
С) + А П
г
(
£(Qe ^ + u) JL{ (
+
+
QUk e
г й
+
+ Г ) = 0,.
(2.112)
гй
JL ^
+
}=0.
+ Sk
(2.113)
Уравнение непрерывности остается, очевидно, неизменным, так как
излучение «не обладает» массой *),
*) Е с л и
2
U ~ е < QC .
УЧЕТ ЭНЕРГИИ И ДАВЛЕНИЯ
§ 17]
147
ИЗЛУЧЕНИЯ
Уравнения (2.112) и (2.113), сформулированные выше путем простого
обобщения уравнений гидродинамики и имеющие ясный физический
смысл, можно получить и строгим формальным путем, исходя из урав­
нения сохранения, записанного для четырехмерного тензора энергии —
импульса системы вещество полюс излучение, если в слагаемом тензора,
относящемся к веществу, перейти к нерелятивистскому приближению
(мы не будем здесь проделывать этот весьма элементарный вывод).
Величины, характеризующие излучение и входящие в уравнения
(2.112), (2.113), можно расшифровать двояким образом. В электромаг­
нитной, полевой трактовке они выражаются через напряженности элек­
трического и магнитного полей JE и Н, а именно:
и
=
Е* + т
S = ^[EH]
= c*G,
(2.114)
Ttk= ~ {-E E -H H +±
i
k
i
b (E* + H*)\ ,
k
ik
Следует только иметь в виду, что излучение представляет собою
быстропеременное электромагнитное поле; период электромагнитных
колебаний ничтожно мал по сравнению с макроскопическими временами
процесса, поэтому подразумевается, что в приведенных выше формулах
произведено усреднение по времени за период, большой по сравнению
с периодом колебаний поля.
В квантовой трактовке макроскопические величины U, S, T выра­
жаются через функцию распределения квантов. Если / (v, Я, г, t) —
функция распределения в точке т в момент t в зависимости от частоты v
и направления движения квантов Я, то, как мы уже знаем (см. § 1 этой
главы),
ik
U=\
hvfdiidv,
S=\hvcQfdQdv,
)
(2.115)
I
i
T -= \ QiQ kvfdQdv*).
ik
1
k
J
Путем разложения быстропеременных электромагнитных полей в инте­
гралы Фурье поля можно представить в виде суперпозиции гармониче­
ских колебаний различных частот. При усреднении по времени членов,
квадратичных по составляющим полей, которые содержатся в формулах
для U, S , Tik, произведения величин, относящихся к различным часто­
там, исчезают, и остаются только квадратичные члены с произведениями
компонент Фурьё, отвечающих одной и той же частоте. Поэтому энергия,
импульс, потоки энергии и импульса излучения представляются в виде
линейной суперпозиции членов, соответствующих разным частотам. Это
позволяет ввести понятие интенсивности излучения данной частоты
I (Я, г, t) и выразить макроскопические величины через интегралы
t
v
*) Энергия кванта есть hv, импульс Qhv/c, поток г'-й составляющей импульса
hv
в к-м направлении QjQ — с, откуда и получается формула для тензора потока
импульса Гц.
10*
ft
148
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН Б СРЕДЕ
[ГЛ. II
от интенсивности по спектру и направления распространения излучения:
U=~ [
S=[QI
lk
v
(2.116)
dii dv,
V
T
I dQdv,
=~ \
QfQft/vdQdv,
а также перейти к квантовой трактовке интенсивности как произведения
энергии кванта на функцию распределения I = hvcf.
Известно, что электромагнитные поля, частоты и направления рас­
пространения электромагнитных волн, а следовательно, и интегральные
величины U, S, Т^ зависят от того, в какой системе координат они изме­
ряются.
Интегральные величины, фигурирующие в уравнениях (2.112)
и (2-ИЗ), относятся к покоящейся, «лабораторной» системе координат,
в которой данная частица вещества движется со скоростью и. Между тем
существу дела скорее отвечают параметры излучения, измеренные в «соб­
ственной» системе координат, в которой частица покоится. В самом деле,
в состоянии полного термодинамического равновесия именно плотность
энергии излучения в покоящемся веществе равна равновесной вели­
чине Up = 4оТ*/с; диффузионный характер имеет поток излучения отно­
сительно неподвижного вещества, так как излучение «сносится» вместе
с движущимся веществом и полный поток включает в себя этот «снос».
Перейдем в уравнениях (2.112) и (2.113) от величин U, S, T к штри­
хованным величинам V, S', Т\ь, связанным с движущимися частицами
среды. При движении среды с нерелятивистскими скоростями и/с < 1,
когда можно пренебречь членами, пропорциональными и /с, соответствую­
щее преобразование к движущейся системе координат дает (см. [6]):
v
ik
U = U',
"J
S^Si + utU' + UbTib,
Tin = Tik.
J
(2.117)
Введем преобразованные величины в уравнения (2.112) и (2.113). При
этом заметим, что импульс излучения G чрезвычайно мал по сравнению
с импульсом вещества Qu , и им можно пренебречь *). Записывая в явном
виде тензор потока импульса вещества П = Qu u -f рб , получим
t
t
; й
t
k
гй
й ^ ) + ^(в».«*) + ^ + ^ - 0 ,
di
(V + ^
+ Z 7 ' ) + ^ {QU (B + *+^)+Sk
h
(2.118)
+ u U' + T' }
k
Ui
ik
=0
(эти уравнения были получены С. 3. Беленьким [7]).
*) В самом деле, если энергия излучения сравнима с энергией вещества, т. е.
а
U ~ ем , то импульс излучения, который порядка G~ U/c, в — раз меньше импульса
вещества QU:
„
U
и
С ъ, — ^ — р«.
с
с*
§ 18]
ЧИСЛО КВАНТОВ КАК ИНВАРИАНТ КЛАССИЧЕСКОГО ПОЛЯ
149
Рассмотрим случай локального термодинамического равновесия
излучения с веществом. Плотность излучения равна при этом равно­
весной величине V" = 4оТ*/с. Поток энергии излучения относительно
вещества S'k приближенно пропорционален градиенту равновесной плот­
ности излучения. По формуле (2.76) для лучистой теплопроводности
к
~
З&Д
с J
3
dx "
k
Тензор потока импульса проще всего получить из формулы (2.116),
если заметить, что в условиях локального равновесия поле излучения
почти изотропно и интенсивность очень слабо зависит от угла. Найдем
T\k = -g~ Sjft = Pv&lk,
u
p
4 ъП
О
О
где p = — ^ = -^v
давление излучения.
С
Подставляя все эти величины в уравнения (2.118), найдем для
случая локального равновесия:
8
1( « + -?+^)+4Ь( »+С+¥+Р+ ,)-|5}-°.
е
в
Р
г.
., ,, г - -^ — (2.120)
где U = 3 p = 4 о Т / с
' ~ = - к ? Л'; , '— ' ' f ^ V : ( - ( . , _ ^
Уравнения импульса и энергии системы принимают замкнутую форму,
так как все величины, характеризующие излучение, выражаются через
температуру (и оптические свойства вещества).
Если излучение не находится в локальном термодинамическом
равновесии с веществом, то к уравнениям (2.118) нужно добавить урав­
нение переноса излучения. Об уравнении переноса излучения в движу­
щейся среде с учетом членов порядка и/с см. [8].
N
4
p
;
:
v
; Ч
§ 18. Число квантов как инвариант классического
электромагнитного поля
Поле излучения характеризуется плотностью и потоком энергии
(последней пропорциональна плотность импульса); эти величины опре­
деляются формулами (2.114).
Замечательно, что в классической теории можно ввести еще одну
характерную величину, которая (с точностью до произвольного множите­
ля) совпадает с числом квантов в поле [15]. На первый взгляд число кван­
тов по определению есть квантовое понятие и не играет роли, не может
быть определено в классической теории. Напомним, однако, что в клас­
сической механике номер квантового состояния осциллятора является
адиабатическим инвариантом. Подобно этому число квантов в заданном
электромагнитном поле должно быть адиабатическим инвариантом. Вдоба­
вок к этому оно должно быть величиной, сохраняющейся во времени,
и релятивистским инвариантом.
Величина, пропорциональная числу квантов, дается выражением
JV— J- J ' H ^ l + y J H
d r
dr',
(2.121)
150
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
где интегрирование производится по пространствам г и г' (dr, dr' обо­
значают элементы объемов). Структуру этого выражения легко понять,
если перейти к переменным интегрирования г и Q = г' — г. Фиксируем
точку г и выпишем интеграл по объему dq в полярных координатах с цен­
тром в точке г:
2
Е
Q dq dQ
(г) J.E(r+e)
p
Q
2
где dQ — элемент телесного угла около точки т.
Выписанное выражение по порядку величины равно Е (г) к, где Я —
то среднее расстояние, на котором сохраняется корреляция между полем
в данной точке Е (г) и полем в окрестности этой точки. Составляя анало­
гичное выражение с Н, получим, что по порядку величины
p
г
2
\ (E + H*)Xdr~
N.
[ U(r)Xdr.
Выведем теперь выражение (2.121) для числа квантов *). Рассмотрим
поле в отсутствие зарядов, как свободных, так и связанных. При этом
div Е = 0; div H = 0. Число квантов в данном интервале частот dv
равно энергии поля, которая заключена в этом интервале, поделенной
на hv. Чтобы определить спектральную энергию, разложим поле в инте­
грал Фурье по пространству
ihr
E(r)={
E e dk,
h
причем в силу уравнений поля при указанных условиях компоненты
Фурье Ей зависят от времени как е~ к , где <o == ck (ca = 2nv ). Введем
для каждого направления волнового вектора к направления поляризации
света » w , перпендикулярные к к. Компоненты Фурье поля с данной
поляризацией равны
ш
1
ft
l f
ft
h
2
ikr
Е hi = ^
(Eni)e- dr.
Аналогично определяются E , H
H.
Энергия волн (с данной поляризацией), распространяющихся в на­
правлении к, пропорциональна
h2
2
B ^\E
hi
hv
hl
+ H \,
h2
e
k2
f t 2
2
~ \E —
tf i| .
h2
A
Соответствующее число квантов данной частоты пропорционально
_
8
4 _ -f
J_ i
ftl+lA2 _
fk-tki
+ tkz-—^
e
e
f t l + ft2
1
•
Полное число квантов в поле пропорционально величине
N~[
Подставляя выражения для E
зования, найдем
hl
f dte.
h
и т. д. и производя несложные преобра­
ifc
ihr
N ~ [[(Е (г) щ) e *- dr] [(Е (г') n ) e- '
t
dr'] * + ••.;
*) Мы благодарны А. С. Компанейцу за обсуждение этого вопроса.
§ 18]
ЧИСЛО КВАНТОВ КАК ИНВАРИАНТ КЛАССИЧЕСКОГО ПОЛЯ
151
к этому интегралу добавляются аналогичные члены с (Еп ),
(Нщ). Это выражение можно записать как один интеграл:
(Вщ),
2
jv
~n$
l(JE7(r)№i)( B(r )Wi)+
- '
ih
+ (Е (Г) п )(Е
r
r
(г') п )] e ( - "> dr'dr
2
2
~ + член с Н.
(2.122)
Из условий divJ? = 0, div IT = 0 следует, что волны поперечные,
т. е. величины
ihr
E = { (Ещ) e~
k3
dr
и H
равны нулю (п — к/к—единичный вектор в направлении к).
Значит, формула (2.122) не изменится, если добавить к ней равную
нулю величину
h3
3
ш
(Е (г) п ) (Е (г') п ) е (•—•') dr dr' ~ .
3
3
Но после добавления такой величины выражение в квадратных скоб­
ках (2.122) примет вид скалярного произведения
(Е {г) щ) (Е (г') щ) + ...=Е(г)Е
(г'),
так как^!, п , п образуют три перпендикулярных направления. В резуль­
тате получим
2
3
ik
N ~ { {[ Е (г) Е (г') drdr'e
(>-*•") ~ + члев. с Н.
ik(r—r')
получим формулу (2.121), что и дока­
зывает сделанное выше утверждение о том, что выражение (2.121) про­
порционально числу квантов в поле.
Наиболее интересен тот факт, что N написано как двойной инте­
грал по объему при данном t = const. При лоренц-преобразовании Е
и И меняются; кроме того, нужно перейти к другому объему t' = const
(к другой гиперповерхности в четырехмерном пространстве Минковского). Непосредственное доказательство того, что выражение N является
инвариантом, весьма затруднительно. Поскольку t и f не совпадают,
нужно использовать уравнения Максвелла для того, чтобы перейти
от Е и Н в объеме t — const к Е' и Н' в объеме f =const. Однако реля­
тивистская инвариантность (2.121) в действительности следует именно
из того факта, что полное число квантов — число частиц во всем объеме,
очевидно, является релятивистским инвариантом. Существенно при этом,
что рассматривается свободное поле без зарядов, в котором кванты не
рождаются и не поглощаются.
e
ГЛАВА
III
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ ПРИ ВЫСОКИХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
1. ГАЗ ИЗ НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
§ 1. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью
и неизменным числом частиц
Во многих реальных процессах макроскопические параметры, харак­
теризующие состояние газа, скажем, плотность о, И удельная внутренняя
энергия в или температура Т меняются достаточно медленно по сравнению
со скоростями релаксационных процессов, приводящих к установлению
термодинамического равновесия. В таких условиях частица газа в каждый
момент времени пребывает в состоянии, очень близком к термодинами­
чески равновесному, соответствующему мгновенным значениям макро­
скопических параметров. Исключение составляют лишь очень быстрые
процессы, такие, например, как прохождение газа через фронт ударной
волны. В этой главе будут рассматриваться только термодинамически
равновесные состояния газа.
Для описания гидродинамического движения вещества в адиабати­
ческом случае необходимо задать энтропию или удельную внутреннюю
энергию как функции плотности и давления: S (Q, p), e (Q, p). В неадиа­
батическом случае обычно в уравнение энергии в явном виде входит еще
и температура (например, при учете теплопроводности или излучения),
которую необходимо связать с плотностью и давлением посредством
уравнения состояния р = р (Q, T).
Как известно, все термодинамические функции вещества могут быть
получены с помощью одного из обобщенных термодинамических потен­
циалов, заданных в виде функций соответствующих переменных, а именно:
г (S, Q); W (S, p); F (T, Q); Ф (Т, р), где F — свободная энергия, w —
энтальпия, а Ф — термодинамический потенциал (в узком смысле).
При конкретных расчетах термодинамических свойств газов обычно
непосредственно вычисляют внутреннюю энергию в зависимости от тем­
пературы и плотности или температуры и давления е (Т, о) или е (Т, р).
При этом приходится независимо вводить уравнение состояния, которое
можно вывести из функции г (S, о), НО нельзя найти из функций е (Т, о)
ИЛИ Е ( 7 \
р).
Везде, где это не будет оговорено особо, мы будем рассматривать
идеальные газы, в которых, по определению, можно пренебречь взаимо­
действием между частицами. Во многих практически важных случаях
приближение идеальности выполняется с большой точностью (неидеаль-
BOOKS.PROEKTANT.ORG
БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ
КОПИЙ КНИГ
для проектировщиков
и технических специалистов
§ i]
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ С ПОСТОЯННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ
153
ность проявляется лишь при достаточно больших плотностях; см. об этом
§ 11-14).
Уравнение состояния идеального газа можно записать в одной из
эквивалентных форм:
P
= nkT = N kT = ^f
Q
= -QT = AQT,
(3.1)
3
где п — число частиц в 1 см , N — число частиц в 1 г, R — универсаль­
ная газовая постоянная *), А — газовая постоянная, рассчитанная на
1 г, \л — средний молекулярный вес, V — удельный объем. При этом
число частиц в 1 г N или средний молекулярный вес \i могут сами зави­
сеть от температуры и плотности вследствие диссоциации, химических
реакций или ионизации.
Внутренняя энергия газа, а вместе с нею и теплоемкость при постоян­
ном объеме в общем случае складываются из ряда компонент, соответ­
ствующих различным степеням свободы газа: поступательному движению,
вращениям и колебаниям молекул, электронному возбуждению атомов
и молекул, а также из компонент, соответствующих диссоциации моле­
кул, протеканию химических реакций, ионизации. В дальнейшем для
краткости мы будем эти последние факторы также включать в общее поня­
тие «степеней свободы». Как и энергия, по степеням свободы суммируются
все остальные термодинамические потенциалы, а также энтропия. Раз­
личные степени свободы, за исключением поступательного движения
частиц, включаются в термодинамические функции лишь начиная с более
или менее определенных значений температур. Для степеней свободы,
связанных с изменением числа частиц (диссоциации, химических реакций,
ионизации) эти температуры зависят от плотности газа.
При очень низких температурах атомы и молекулы не ионизованы
и не возбуждены; химический состав соответствует энергетически наи­
выгоднейшему состоянию; тепловое движение ограничивается только
поступательными перемещениями частиц. Удельная внутренняя энергия,
3
отсчитываемая от нуля температуры, равна при этом Е
= -^-NkT;
ПОСТ
=
3
удельная теплоемкость при постоянном объеме — Су пост
В одноатомном газе область температур, в которой термодинамиче­
ские функции определяются чисто поступательным движением атомов,
простирается до весьма высоких значений порядка нескольких тысяч
или даже десятка тысяч градусов, пока не начинаются ионизация и воз­
буждение электронов в атомах.
В молекулярном газе при наиболее низких температурах возбуждают­
ся вращения молекул. Это происходит обычно при нескольких или десятке
градусов Кельвина. Энергии вращательных квантов, выраженные в гра­
дусах (т. е. поделенные на постоянную Больцмана к), весьма малы:
например, у кислорода 2,1° К, у азота 2,9° К, у окиси азота 2,4° К.
Исключение составляет лишь молекула водорода, для которой эта вели­
чина равна 85,4,° К. Даже при комнатной температуре 300° К (а тем
более при высоких) квантовые эффекты не играют никакой роли. Вра­
щательная часть теплоемкости равна своему классическому значению.
Теплоемкость с^вращ = Nk для двухатомных и линейных много3
атомных молекул и с^вращ = i>Nk для нелинейных многоатомных
7
*) R = 8,31-10 эрг/град-моль = 1,99 кал/град-моль,
= 8,31 дж/град- моль.
к = 1,38-КГ
16
эрг/град =
154
[ГЛ. I I I
Т Е Р М О Д И Н А М И Ч Е С К И Е СВОЙСТВА ГАЗОВ
молекул. Соответствующие составляющие внутренней энергии равны
е щ = NkT или ^NkT.
Колебания в молекулах возбуждаются при гораздо более высоких
температурах порядка нескольких сотен или тысячи градусов, поэтому
существует диапазон температур, в котором тепловое движение моле­
кулярного газа складывается только из поступательного и вращатель­
ного. Теплоемкость в этом диапазоне постоянна, и для двухатомного газа
(например, воздуха) равна c = Супост + Сувращ = у - ^ - Соответствуювра
v
щая внутренняя энергия е = -z-NkT.
Энергии колебательных квантов, выраженные в градусах, в двух­
атомных молекулах обычно порядка нескольких тысяч градусов. Напри­
мер, у 0 hvlk = 2230° К, у N — 3340° К, у N 0 — 2690° К; у трех­
атомных молекул самая низкая частота колебаний обычно меньше, напри­
мер, у N 0 ^ = 916°, 1960°, 2310° К. При температурах, меньших
и порядка hvlk, колебательная часть теплоемкости должна вычисляться
по квантовым формулам и сама зависит от температуры. Однако при
температурах, больших hvlk, колебательная теплоемкость постоянна
и равна своему классическому значению к на одну колебательную степень
свободы. Двухатомная молекула имеет одну колебательную степень сво­
боды, нелинейная /re-атомная молекула Ът — 6, а линейная Ът — 5
колебательных степеней свободы.
Таким образом, при температурах более высоких, чем наибольшее
из значений hvlk, полная классическая теплоемкость из расчета на
3
одну молекулу c = c
+c
+c
равна c = -^Nk + Nk +
2
2
2
v
V n o C T
VBVam
VK0]I
v
+ (3m — 5) Nk — ( Ът — -к- J Nk для линейных тп-атомных молекул
2
3
,3
3
afl~
и c = -j Nk + у Nk + (3m — 6) Nk — (3m —/2) Nk — для нелинейных
молекул. Для двухатомных молекул су = -ъ-Nk. Уравнение адиабаты для
идеального газа с постоянной теплоемкостью и неизменным числом частиц;
определяется из общего термодинамического соотношения:
v
TdS = d& + pdV = c dT +
NkT^=0.
v
Отсюда получается после интегрирования
T~V- - ~Q - ;
p~V- ~ v,
(3.2)
причем коэффициенты пропорциональности зависят только от энтропии.
Здесь у = Ср/су — показатель адиабаты; с = c + Nk — удельная теп­
лоемкость при постоянном давлении. Например, для одноатомного газа
Y = -о-, для двухатомного с невозбужденными колебаниями — у = -^-;
iy
i)
i
1
y
Q
р
v
с полностью возбужденными колебаниями — у — -=- .
Следует, однако, отметить, что не существует* широкого диапазона
температур, в котором колебания в молекулах были бы полностью воз­
буждены, а теплоемкость и показатель адиабаты были бы постоянными,
так как диссоциация молекул и химические реакции часто начинаются
еще при таких температурах, когда колебательная часть теплоемкости
только достигает своего предельного классического значения.
§ 2]
Р А С Ч Е Т Ы МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ
155
СУММ
§ 2. Расчеты термодинамических функций методом
статистических сумм
Наиболее строгим и последовательным образом все термодинамиче­
ские функции можно найти с помощью так называемого метода стати­
стических сумм. Изложим кратко основы этого метода *) с тем, чтобы
получить выражение для энтропии, квантовую формулу для колебатель­
ной энергии молекулы, а также чтобы применить его в последующих
параграфах к газу с переменным числом частиц.
Согласно статистической механике вероятность re-го состояния
системы, состоящей из N частиц, энергия которого равна Е , пропор­
циональна величине ехр(—EJkT). Сумма этих вероятностей по всем
возможным состояниям системы, определенная с точностью до постоян­
ного множителя
п
_*»
<? = 2 е ",
'
(3.3)
п
и называется статистической суммой системы.
Для идеального больцмановского газа, состоящего из молекул
нескольких сортов, числа которых равны NA, N , . . . , статистическая
сумма распадается на произведение сомножителей, соответствующих
каждому сорту частиц:
S
A
п
ZA
o ,v
B
ZB
f
Здесь Z , Z - • • —статистические суммы одной молекулы каждого сорта,
которые выражаются формулами, по виду сходными с (3.3):
A
B
Z= 2e
h T
,
(3.5)
h
где Б?, —энергия молекулы в к-и состоянии, суммирование производится
по всем возможным состояниям одной молекулы.
Общая формула для свободной энергии системы имеет вид
F=—kTlnQ.
(3.6)
Если заменить факториалы в выражении (3.4) по формуле Стирлинга N\да(N/e) и подставить полученное выражение в (3.6), получим
N
F=-N kTln^-N kTln^-...
A
B
(3.7)
Поскольку свободная энергия является термодинамическим потен­
циалом по отношению к переменным: температура и плотность (объем),
все термодинамические функции можно вывести из формулы (3.7), если
известны статистические суммы молекул в зависимости от температуры Т
и объема V. По общим формулам термодинамики энтропия, внутренняя
*) Подробные выводы можно найти в курсах статистической физики, например,
в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1].
156
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. III
энергия и давление равны
e = f + 2VS«-r-^(f) *),
VfW
(3.9)
Если пренебрегать взаимодействием между электронными состояния­
ми, колебаниями и вращениями, рассматривать молекулу как жесткий
ротатор, а колебания считать гармоническими, энергию молекулы можно
представить в виде суммы энергий, соответствующих различным степе­
ням свободы. При этом, как видно из формулы (3.5), статистическая
сумма одной молекулы также распадается на произведение:
£* — ^пост'-^вращ'^кол '^эл-
(0.11)
Мы приведем здесь формулы для статистических сумм без вывода.
Поступательная статистическая сумма любой частицы равна:
Z
T
O
„ - ( ^ ) V ,
(3.12)
где М—масса
частицы, а V-—объем, занимаемый газом (если под N
понимать число частиц в 1 г, то V—удельный объем).
Вращательная* сумма при температурах, гораздо больших энергии
вращательного кванта, поделенной на к, равна
У
_ 8п*1кТ 1
, т
^вращ
р
—
(O.LO)
для двухатомной или линейной многоатомной молекулы **) и
з
Ч
1
6
2вра = — \—йГ-)
( -Щ
щ
для нелинейной многоатомной молекулы.
Здесь / в первой из формул—момент инерции линейной молекулы,
а во второй—среднее геометрическое из трех моментов инерции нелиней­
ной многоатомной молекулы / = (Л^2^з) ; °—
называемый фактор
симметрии, который равен увеличенному на единицу числу перестановок
одинаковых атомов в молекуле, эквивалентных вращению молекулы
как целого ***).
Квантовое выражение для статистической суммы гармонического
осциллятора частоты v есть:
hv
2 л = ( 1 - е «-)-!.
(3.15)
В этой формуле энергия колебаний отсчитывается от наиболее низ­
кого квантового колебательного уровня. Предполагается, что энергия
1/з
так
К 0
*) Как легко проверить путем непосредственной подстановки (3.6), (3.3) в (3.9)
8 = 2Е ехр (—- Е /кТ)/2 ехр (— Е /кТ), внутренняя энергия есть просто энергия
системы, усредненная по всем возможным состояниям.
**) Энергия вращательного кванта М >
= Ь?/8л 1, так что Z
=
=
kT/hv p -a.
***) Например, в двухатомной молекуле, состоящей из одинаковых атомов,
о = 2, а из разных — а = 1.
п
п
п
2
вращ
B
am
B p a l 4
157
Р А С Ч Е Т Ы МЕТОДОМ С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Х СУММ
§ 2]
нулевых колебаний Av/2 включена в энергию основного состояния моле­
кулы.
Если молекула обладает несколькими колебательными степенями
свободы, то ее полная колебательная сумма представляется в виделр^оизведения сомножителей, соответствующих всем нормальным колебаниям.
Наконец, электронная статистическая сумма сохраняет свой перво­
начальный вид:
hT
(зле)
z =2e ,
M
п
где е„ — энергия re-го электронного квантового состояния атома или моле­
кулы. Если уровни вырождены, то каждая компонента все равно входит
в сумму в виде самостоятельного слагаемого, так что числа одинаковых
слагаемых равны статистическим весам уровней.
Различные атомные и молекулярные константы, необходимые для
расчета термодинамических функций газов, известны обычно из спектро­
скопических данных. Энергии вращательных и колебательных квантов
для ряда молекул уже были приведены в предыдущем параграфе. Энер­
гии первых возбужденных электронных состояний атомов и молекул ei
обычно порядка нескольких эв, т. е. Si/A; порядка нескольких десятков
тысяч градусов; например, у атомов О Ш-терм е = 1,96 эв, е^/к =
= 22 800° К; у N £>°-терм,
= 2,37 эв, zjk = 27 500° К; у молекул:
N Л 2£-терм, 8j = 6,1 эв, г 1к = ПШ°'К;
у N0 Л 2 -терм, е =
= 5,29 эв, г 1к =Д1_400° К. Бывают и исключения. Так, у молекулы 0
первые возбужденные уровни лежат низко — А^-терм, е = 0,98 эв,
ei/ft = 11300° К; Ч^-терм, е = 1,62 эв, в /А =_ШЮ0!_К.
При не слишком высоких температурах, когда Т < ei/k, электронная
сумма сводится, по существу, к слагаемым, соответствующим основному
электронному состоянию. Если интервалы между уровнями тонкой струк­
туры основного состояния (когда таковая существует) меньше кТ *),
то соответствующие слагаемые в Z можно приближенно считать одина­
ковыми. Отсчитывая энергию е„ от основного состояния (е = 0), можно
положить Z
равным статистическому весу основного состояния g
(например, у атомов: О Р-терм g = 9; у N ( ^) g = 4; У молекул:
0 ( 2) go = 3; N (Ъ) g = 1; NO ( П) g = 4).
О вычислении Z при высоких температурах речь будет идти в § 6.
Поскольку статистическая сумма молекулы Z равна произведению
отдельных сомножителей, отвечающих различным степеням свободы,
свободная энергия газа, а вместе с нею и другие термодинамические функ­
ции представляются в виде суммы соответствующих слагаемых. Подстав­
ляя выражения для сомножителей Z в формулу (3.7), получим явное
выражение свободной энергии через температуру и плотность; последняя
входит благодаря тому, что поступательные суммы Z
содержат
объем V. Величины N /V, N /V, . . ., которые появляются под знаком
логарифма в формуле (3.7), представляют собой числа частиц в единице
объема п , п , . . ., выражаемые через плотность газа и процентные
содержания частиц разных сортов, которые в данном случае постоянны.
Статистическая сумма одноатомного газа состоит только из поступа­
тельного и электронного сомножителей; подставляя ее в (3.7), найдем
4
2
8 l
3
2
2
+
1
4
х
2
1
4
2
2
3J1
0
3J1
0
3
4
0
3
0
2
2
2
0
0
BJI
n 0 C T
A
А
B
в
*) Например, у атома О интервалы для компонент основного триплетного состоя­
ния Z) равны Аг/к = 230° и 320° К; у NO расщепление дуплета П равно Ае./к =
= 178° К. О спектроскопической символике и расшифровке обозначений термов
см. § 14 гл. V.
3
2
2
158
Т Е Р М О Д И Н А М И Ч Е С К И Е СВОЙСТВА ГАЗОВ
свободную энергию N одинаковых атомов (полагаем Z
ajl
[ГЛ. I I I
= g ):
0
F =-NkT In Q ^ J ^ .
(3.17)
Удельная энтропия одноатомного газа в отсутствие ионизации и воз­
буждения электронов по формуле (3.8) равна
ь
i
e
S = Nk\n ^(J^y.
(3.18)
Для энергии и давления получим уже известные выражения:
ъ = ^№Т,
р^пкТ.
Аналогичным путем легко получить вращательные и колебательные
составляющие термодинамических функций. Внутренняя энергия враще­
ний, естественно, совпадает с формулами, выписанными в § 1, а внутрен­
няя энергия колебаний выражается функцией Планка. Энергия N одина­
ковых осцилляторов (двухатомных молекул) равна:
вкол = ^ - ^ - .
e
h
T
- l
(3.19)
•
В пределе кТ > hv она стремится к своему классическому значению
£кол — NkT, а теплоемкость c
= —Шг -*~ Nk. Фактически энергия
и теплоемкость близки к своим предельным значениям уже при кТдаhv.
Например, при кТ/hv = 0,5 c /Nk = 0,724, при кТ/hv = 1 c INk =
= 0,928, при кТ/hv = 2 c /Nk = 0,979.
В давление вращения и колебания молекул никакого вклада не дают;
формально это связано с тем, что соответствующие статистические суммы,
а также внутренние энергии и теплоемкости не зависят от объема. Давле­
ние идеального газа связано исключительно с поступательным движе­
нием частиц.
При высоких температурах порядка нескольких тысяч градусов,
когда амплитуды колебаний молекул становятся заметными по сравнению
с межатомными расстояниями, проявляются ангармоничность коле­
баний и взаимодействие колебаний с вращениями. Ангармоничность
несколько уменьшает колебательную часть теплоемкости. Соответствую­
щие поправки в первом приближении пропорциональны температуре.
Обычно эти поправки невелики (диссоциация молекул начинается раньше,
чем поправки становятся существенными). О вычислении поправок см.,
например, [2].
VKon
v
v
v
v
§ 3. Диссоциация двухатомных молекул
При температурах порядка нескольких тысяч градусов двухатомные
молекулы обычно диссоциируют на атомы. Многоатомные молекулы,
в которых связь слабее, начинают распадаться и при более низких тем­
пературах. Разрыв молекулы требует весьма большой затраты энергии,
поэтому диссоциация существенным образом сказывается на термодина­
мических функциях газа.
Рассмотрим простейший и вместе с тем практически важный случай
двухатомного газа из молекул одного сорта А , состоящих из одинаковых
2
159
ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
§ 3]
атомов А. Пусть при температуре Т и плотности газа Q на атомы диссо­
циирована доля а исходных молекул (согласно схеме А ^ 2А). Если N —
число исходных молекул в 1 г, то при степени диссоциации а в 1 г содер­
жится N-2a атомов и N (1 — а) молекул; полное число частиц равно
N (1 + а ) , так что давление газа
2
р = N (1 + a) QkT.
>'с* { > 1 •*);
0
(3.20)
При полной диссоциации (а = 1) оно вдвое больше давления при тех же Т
и Q, но в отсутствие диссоциации.
При малой диссоциации а < 1 изменение давления невелико, но изме­
нение энергии и теплоемкости газа все равно может оказаться значи­
тельным. Пусть е — энергия одной молекулы при температуре Г, а е —
энергия одного атома. Обозначим энергию, необходимую для разрыва
невозбужденной молекулы (т. е. в отсутствие вращений и колебаний или
при Т = 0) через U. U представляет собой энергию связи или энергию
диссоциации молекулы: например, для Q : U = 5,11 эв —>- 118 ккал/моль *),
U/k = 59 400° К; N : U = = < 9 , 7 4 J a ^ ' 2 2 5 ккал/моль, U/k = 113 000° К;
NO: U = 6,5 эв ->- 150 ккалТмоль, U/k = 75 500° К.
Удельная внутренняя энергия газа, отсчитываемая от молекулярного
состояния при нуле температуры, равна
e = 7Ve (l — a) + N-e -2a + NUa.
(3.21)
А 2
д
2
r
2
A2
A
Обычно диссоциация начинается при температурах гораздо меньших,
чем U/k, тем меньших, чем разреженнее газ. При плотности атмосферного
воздуха (п = 2,67-10
молекула /см ) диссоциация заметна уже при
kT/U ~ 1/20. Это. связано с .большим статистическим весом состояния,
в котором молекула разбита на атомы. Фактически при кТ < U моле­
кулы разбиваются ударами очень энергичных частиц, относящихся к дале­
кому хвосту больцмановского распределения по энергиям. В отсутствие
19
3
ионизации и электронного возбуждения е = у кТ. Если кТ больше
энергии колебательных квантов hv, колебательная энергия молекулы, как
7
следует из формулы (3.19), равна примерно кТ и е ^ тт кТ. Энергия
диссоциированного газа (3.21) заметно превышает энергию в отсутствие
диссоциации е = NBA даже при малых степенях диссоциации (а ~ 0,1
и меньше) за счет последнего члена, отвечающего энергии, затраченной
на разрыв молекул. Точно так же заметным образом возрастает и теплоА
А 2
2
c
Гдг \
емкость v = ( w ) диссоциирующего газа.
Следует отметить, что формулы (3.20), (3.21) справедливы и в усло­
виях неравновесной диссоциации, когда степень диссоциации отличается
от своего термодинамически равновесного значения, соответствующего
«температуре» и плотности газа. Под «температурой» при этом подразу­
мевается температура поступательных и вращательных степеней свободы
частиц, которые всегда термодинамически равновесны **).
Термодинамически равновесная степень диссоциации однозначно
определяется температурой и плотностью (или давлением) газа. Зависи­
мость степени диссоциации от температуры и плотности можно вывести
*) 1 ав/молекула соответствует 23,05 ккал/моль.
**) Равновесие в колебательных степенях свободы устанавливается медленнее, чем
во вращательных и поступательных, но обычно быстрее, чем устанавливается равно­
весная диссоциация. Подробно см. об этом гл. VI.
\
1G0
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. I I I
из общего выражения для свободной энергии газа, представляющего
собой смесь частиц разных сортов (3.7), если учесть, что равновесному
составу смеси, претерпевающей химические превращения, частным слу­
чаем которых является диссоциация, должен соответствовать минимум
свободной энергии.
Рассмотрим свободную энергию F как функцию числа частиц NА
и N при заданных температуре, объеме и исходном числе молекул N% :
2
A
2
F = —N ±T
In ^L—N kT
iV
A
In ^
.
N
x
2
A
A2
A
Составил! вариацию 6F:
SF = — 6iV
A2
1
f i r i n g - И
) —бЛГА^АПп^ — и Л
'A,
Вариации 67VA
атомов
И
2
S-^A связаны между собой условием сохранения числа
^ A + ^ r = ^ А - const;
2
6iV = — 1 SiV .
2
A2
A
Приравнивая 6F нулю (минимум свободной энергии) при условии
сохранения числа атомов, получим
\гг
7
^
л
А
2
=| ^ Z
2
A
(3-22)
2
Поскольку статистические суммы Z и Z A пропорциональны объему V,
который входит в поступательные суммы, а в остальном зависят только
от температуры, вместо (3.22) можно записать
A
п1
п• ' А
2
=/(Г),
(3.23)
Л
2
или, для парциальных давлений р = щкТ:
г
P
A- = f(T).kT
"А
= K (T).
(3.24)
p
2
Выражения (3.22) или (3.23), (3.24) представляют собой частный
случай так называемого закона действующих масс для химического
равновесия, а величина К (Г) называется константой равновесия для
реакции диссоциации. Она зависит только от температуры и молекуляр­
ных (и атомных) постоянных. Подставляя в (3.22) выражения для ста­
тистических сумм молекул А и атомов А и полагая для простоты, что
колебания в молекулах возбуждены плотностью, т. е. Z
tzs kT/hv
(см. формулу (3.15)), а в электронных статистических суммах участвуют
только члены, соответствующие основным состояниям молекулы и атома,
р
2
K0JI
*) Величины в скобках представляют собой химические потенциалы молекул
и атомов, взятые с обратным знаком:
dF_
P^-dN
A
'
dF
^ -dN
A=
A
161
ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
§ 3]
получим
3
^L = K (T)=-^4
т
^ е
v
* .
(3.25)
^ А ,
Последние два множителя в (3.25) появились от частного электронных
статистических сумм:
^олА
2
£OA
ё'ОА 2
2
так как разность нулевых энергий 2 е — е А > ПО определению, равна
энергии диссоциации U.
Переходя в (3.25) от парциальных давлений к степени диссоциации,
0Д
„_Л°А,-*А
П
а
0
2
N
A
Мл, '
2
получим
1-а
1_ /fpJT)
4«
кТ
А2
Лф
l_
2
16.Ч /,
*5А. J__ " S T
__ g
n,
0A2
,„ „ .
fi
A
/ЛГ
3
где п° = Q/M
— число исходных молекул в 1 см газа.
При малых степенях диссоциации а <С 1 (когда U 1кТ > 1), как видно
из формулы (3.26), а ~ Q~ е~и/ыт, т. е. а резко возрастает с повыше­
нием температуры и медленно увеличивается при разрежении газа. Быстрое
увеличение степени диссоциации при повышении температуры влечет
за собой и резкое возрастание теплоемкости. При высоких температурах,
когда диссоциация почти полная, а да 1, концентрация молекул 1 — а ~
~ Qe
пропорциональна плотности и медленнее изменяется с темпе­
ратурой, так как U1кТ теперь не очень большое число.
Казалось бы, что при высоких температурах после окончания дис­
социации теплоемкость газа (который превратился в одноатомный) должна
з
уменьшиться и стать равной -^ к на один атом или 3 к на одну исходную
А2
A2
1/2
u/kT
молекулу, т. е. даже меньше, чем до диссоциации ( — к на молекулу J .
В действительности же этого обычно не происходит, так как вслед за
окончанием диссоциации при повышении температуры (а иногда даже
еще до окончания) начинается ионизация атомов (и молекул), которая
вносит свой, и притом значительный, вклад ,в теплоемкость.
Зависимость степени диссоциации от температуры и плотности газа,
а также влияние диссоциации на термодинамические функции иллюстри­
руются табл. 3.1 и 3.2, составленными по таблицам [3], в которых при­
ведены соответствующие величины для воздуха (79% N + 21% 0 )
в области диссоциации *). Реакция окисления азота N + 0 ^ 2NO,
протекающая в воздухе (см. следующий параграф), не сильно влияет на
2
2
2
2
*) В таблице 3.2 данные [3] относятся только к температурам ниже 20 000° К.
Более высокие температуры рассчитаны в работе [4].
11
я. в. Зельдович, Ю. П. Райзер
162
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. I l l
Т а б л и ц а 3.1
Равновесный состав воздуха в области диссоциации и начала ионизации
Нормальная плотность Q = 1 , 2 9 - 1 0
0
Т, °К
N
2 000
4 000
6 000
8000
10 000
12 000
15000
0,788
0,749
0,744
0,571
0,222
0,050
0,006
2
о
N
0,0004
0,044
0,416
1,124
1,458
2
0,205
0,100
0,006
0,007
о
NO
0,015
0,134
0,356
0,393
0,407
0,411
0,007
0,084
0,050
0,024
0,009
0,003
- 3
г/СМ?
N+
0+
0,0034
0,020
0,096
N0+
0,0034
0,015
0,0015
0,001
2
Плотность Q = 1 0 ~ Q O
т, °к
N
2
0,788
0,777
0,592
0,068
0,004
2 000
4 000
6000
8 000
10 000
12 000
15 000
о
N
0,248
0,008
0,004
0,394
1,440
1,528
1,380
0,858
О
NO
0,002
0,378
0,413
0,416
0,410
0,384
0,282
0,007
0,024
0,005
0,001
2
N+
о+
N0+
0,004
0,046
0,202
0,724
0,001
0,008
0,034
0,136
0,0001
0,0002
Концентрации всех частиц c здесь определены как отношение числа частиц
данного сорта к исходному числу молекул. При комнатной температуре c = 0 , 7 9 1 ,
с = 0 , 2 0 9 . Данные для аргона не приводим, так как его роль очень мала.
t
N
0
Т а б л и ц а 3.2
Термодинамические функции воздуха
Нормальная плотность Q = 1,29.10 г/см
Плотность Q = 1 0 ~ Q
—3
3
2
0
0
эв
' молекула
2 000
4 000
8 000
12 000
20 000
50 000
100 000
250 000
500 000
0,515
1,52
5,38
12,7
24
95
276
922
1450
7
- fcT
"-I,
эв/молекула
"
9
7,42
• 15,8
41,7
88
183
870
2690
10870
23150
1,335
1,240
1,180
1,160
1,175
1,215
1,225
1,275
1,370
0,604
1,21
2,42
3,92
6,04
15,1
30,2
75,4
151
молекула
1
I
2 000
4 000
8 000
12 000
20 000
50 000
100 000
250 000
500 000
0,520
2,09
10,6
16,6
45,3
158
499
1080
3310
0,074
0,177
0,575
0,994
2,8
11,6
37,3
125
412
1,330
1,195
1,125
1,140
1,145
1,170
1.175
1,270
1,290
Внутренние энергии даны в электронвольтах на исходпую молекулу; для воз­
духа 1 эв/молекула=-.0,8 ккал/г. Эффективный показатель адиабаты у определен как
р
1
эв
у = 1 + —-. В последнем столбце для сравнения приведена энергия е = т.кТ
,
которой обладал бы воздух в отсутствие процессов диссоциации и ионизации, но
при классических колебаниях молекул.
ХИМИЧЕСКИЕ
S 4]
163
РЕАКЦИИ
диссоциацию молекул N и 0 и термодинамические функции воздуха.
Последние в основном определяются диссоциацией N , 0 , так что эффекты
диссоциации и все зависимости видны из табл. 3.2. Для сравнения в таб­
лице указаны значепия энергии, соответствующие данным температу­
рам, в предположении, что диссоциации нет (от плотности удельная энер­
гия в этом случае не зависит). Поскольку ионизация начинается раньше,
чем заканчивается диссоциация азота, в таблице указаны и концентрации
ионов (об ионизации см. § 5). Следует заметить, что при точных расчетах
диссоциации и термодинамических функций пользуются не простыми
формулами типа (3.26), а более точными, с учетом возбуждения высших
электронных состояний, ангармоничности колебаний и т. д.
При этом исходят из точных выражений (3.22), вычисляя статисти­
ческие суммы на основе спектроскопических данных об атомах и
молекулах. Описание методики подобных расчетов можно найти в
работе [5].
2
2
2
2
§ 4. Химические реакции
Химический состав смеси газов в обычных условиях, т. е. при ком­
натной температуре, очень часто отличается от термодинамически равно­
весного. Это связано с тем, что для протекания химической реакции, если
даже при этом выделяется тепло и газ переходит в энергетически более
выгодное состояние, обычно требуется энергия активации Е. Скорость
химической реакции, пропорциональная больцмановскому фактору
e~ ,
при низких температурах и больших энергиях активации, когда Е/кТ > 1
очень мала и реакция практически не идет. Таким образом, система
смесь газов находится в равновесии, но это не есть термодинамическое
равновесие. Такое равновесие может быть названо условным. Типичным
E/hT
т
примером может служить смесь водорода и кислорода в составе Н + -^- 0 ,
которая в условиях термодинамического равновесия при низких темпе­
ратурах должна была бы полностью превратиться в воду Н 0 (тепловой
эффект реакций 57,1 ккал/моль).
Однако при обычных температурах
и без воздействия внешних факторов эта необратимая реакция не идет
и смесь находится в состоянии условного равновесия.
При высоких температурах порядка нескольких тысяч градусов
(для некоторых реакций и при более низких) скорости химических пре­
вращений велики и в смеси газов устанавливается химическое равновесие.
Протекание обратимых реакций (т. е. таких реакций, которые могут
идти и в ту и в другую сторону в соответствии с условием химического
равновесия при данных температуре и плотности) влияет на химический
состав и термодинамические функции газов. Примером является воздух,
в котором при высоких температурах порядка нескольких тысяч граду­
сов происходит окисление части азота по схеме:
2
2
2
f V l 4 0
2
+
21,4^-N0.
(3.27)
Реакция окисления азота требует большой энергии активации, так
что при температурах ниже ~ 1500° К она практически не идет (для
достижения равновесия необходимы очень большие времена), однако
при температурах ~ 3000° К и выше равновесие устанавливается очень
быстро (при нормальной плотности воздуха за Ю сек и меньше) и можно
- 4
И*
1G4
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. III
говорить о равновесном составе воздуха с учетом образования окиси
азота*).
Рассмотрим химическое равновесие и влияние его на термодинами­
ческие свойства смеси газов на примере реакции типа реакции окисления
азота, т. е. типа
Л + В ^2АВ.
(3.28)
2
2
Предположим для простоты, что диссоциация молекул мала. Это
предположение оправдывается при не слишком высоких температурах;
например, в воздухе при Т ~ 2000—3000° К диссоциация молекул N , 0
очень мала, а равновесная концентрация окиси азота заметна.
Пусть в одном грамме исходной смеси содержится N%
- ^ В моле­
кул А и В ; концентрации их — m° = N JN
и m ^ = NBJN,
где
N = № + Л в — полное число молекул в 1 г исходного газа. Пусть
при температуре Т и плотности газа Q равновесные числа молекул в 1 г
равны Л^дг, А'ва, А'АВ, а концентрации m = N-JN равны m , m _, m .
Числа молекул и концентрации связаны между собою условиями сохра­
нения числа атомов:
2
2
И
2
2
2
M
2
A
г
Аг
2
t
N , + ±-N
A
= N„
AB
N
A
е
T
+ ^N
Bt
1
mAj + yfflAB = < ,
M
=A ,
AB
1
пг + у / г а
В2
AB
(3.29)
Bt
А В
Bo
= тв .
2
(3.30)
8
Обозначим через е > в > А В энергии одной молекулы, а через 2Z7' —
тепловой эффект реакции, т. е. энергию, которая выделяется при пре­
вращении двух молекул, А и В , в две молекулы AB (если реакция идет
с поглощением тепла U' <С 0).
Тогда, если по-прежнему принять за нуль энергию исходной смеси
А + В при Т = 0, получим, что удельная внутренняя энергия газа
равна
е = Nm A e -f Л т е + Nm s
— Nm U'.
(3.31)
Аз
2
2
2
2
2
г
2
A2
В 2
В 2
AB
AB
Ab
Полное число частиц в газе при рассматриваемой реакции не меняется,
так что на давление при тех же Т и Q реакция не влияет **).
Числа частиц, участвующих в реакции, связаны между собой в усло­
виях равновесия законом действующих масс, который можно вывести
из общего выражения для свободной энергии вполне аналогично тому,
как это было сделано в случае диссоциации молекул. Для этого ищем
минимум свободной энергии при постоянных Г, Q и числах исходных
молекул N , N% , но переменных N , Л^в»,
N .
В результате получим
A2
%
Az
ЛГ-2
л
АВ
AB
7
_
2
^АВ
(3.32)
в полной аналогии с формулой (3.22) для диссоциации.
*) Подробно о скоростях реакции окисления азота см. в гл. VI, § 8, а о кине­
тике реакции в ударной волне — гл. VIII, § 5.
**) Так же, как и при диссоциации, формула (3.31) справедлива и в случае, если
химического равновесия нет и концентрации неравновесны.
ХИМИЧЕСКИЕ
§ 4]
165
РЕАКЦИИ
Выделяя объемы из поступательных статистических сумм, получим
для чисел частиц в 1 см или парциальных давлений:
3
«АВ
"А "В
2
РАВ
2
РА РВ
2
=
Л
"
(
Г
)
(3.33)
>
2
где К' (Т) — константа равновесия для реакции (3.28). Подставляя выра­
жения для статистических сумм, как и в случае диссоциации, получим
р
з_
Например, для реакции окисления азота, с хорошей точностью:
„2
^N PO
2
„.
43000
6
2
где R = 2
кал/моль-град.
Здесь приближенно считается, что массы, частоты и моменты инерции
всех трех молекул одинаковы; U' = — 21,4 ккал/моль, отношение ста­
тистических весов равно 16/3 (см. § 2).
Если газ.представляет собой смесь, в которой протекает целый ряд
реакций, то для каждой из реакций можно аналогичным путем вывести
закон действующих масс, связывающий подобно формуле (3.32) числа
частиц, участвующих в реакции, и их статистические суммы. Подстановка
выражений для статистических сумм дает константы равновесия. Числа
частиц, участвующих во многих реакциях, связаны между собою усло­
виями сохранения числа атомов каждого сорта, подобных (3.29).
Совокупность законов действующих масс для каждой из реакций
,и условий сохранения числа атомов образует систему нелинейных алге/ браических уравнений, определяющих химический состав, т. е. числа
I разных частиц TV, в зависимости от температуры и плотности газа (или
' давления) и исходного атомного состава смеси. Как было показано одним
I из авторов [6], эта система имеет единственное решение, т. е. равновес! ный химический состав смеси определяется однозначно. Составляя выра' жение типа (3.31) для энергии, можно вычислить внутреннюю энергию
| смеси. На основе общей формулы для свободной энергии F (Т, V, N )
\ и термодинамических формул (3.9), (3.10) также можно получить выражение для энергии и давления, а с помощью формулы (3.8) — выраже­
н и е для энтропии смеси.
.._, Примером таких расчетов может служить вычисление состава и термо­
динамических функций воздуха с учетом диссоциации молекул N , 0
и реакции окисления азота [3,5]. Другие реакции, приводящие к обра­
зованию N 0 , 0 и т. д., практически не влияют на расчеты, так как кон­
центрации этих компонент оказываются чрезвычайно малыми.
Химический состав и термодинамические функции воздуха иллю­
стрируются табл. 3.1 и 3.2.
;
t
1
;
2
2
3
*) Множитель 4 возник от отношения факторов симметрии а о /а\ ;
А
:
2
в
в
а
АВ
= 1,
о" =2; см. третью сноску на стр. 156. Как и при диссоциации, здесь положено
_кТ
^эл— go£о
166
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. I l l
§ 5. Ионизация и электронное возбуждение
Так же как и диссоциация молекул, ионизация атомов (и молекул)
начинается при значениях кТ намного меньших, чем потенциал иониза­
ции I. Причина этого та же, что и в случае диссоциации: статистический
вес свободного состояния электрона очень велик.
Потенциалы первой ионизации большинства атомов и молекул
меняются от 7 до 15 эв (Ilk ~ 80 000 — 170 000° К) *). Исключение сос­
тавляют главным образом атомы щелочных металлов с очень низкими
потенциалами ионизации. Ионизация начинается обычно при темпе­
ратурах порядка нескольких или десятка тысяч градусов тем раньше,
чем ниже потенциал ионизации и чем разреженнее газ.
По мере повышения температуры степень ионизации возрастает
и когда температура становится порядка нескольких десятков тысяч
градусов, практически все атомы оказываются однократно ионизован­
ными. В водороде процесс ионизации на этом и заканчивается, при даль­
нейшем нагревании газ остается полностью ионизованным и состоящим
из протонов и электронов; каждая частица совершает только поступательное движение, и теплоемкость равна у к на частицу.
В газе из более тяжелых атомов после первой ионизации начинается
вторая, затем третья и т. д. Обычно следующая ионизация начинается
еще до полного окончания предыдущей, так что при температурах выше
нескольких десятков тысяч градусов в газе присутствуют ионы несколь­
ких зарядов, а если газ состоит из смеси нескольких элементов, то при­
сутствуют ионы нескольких зарядов каждого элемента.
Как и при диссоциации молекул, внутренняя энергия ионизованного
газа складывается из энергии теплового движения частиц (атомов, ионов,
электронов) и потенциальной энергии, равной затратам на отрыв элек­
тронов от атомов и ионов. Кроме того, в области ионизации некоторую
роль может играть энергия электронного возбуждения атомов и ионов.
Рассмотрим для простоты газ, состоящий из атомов одного элемента,
и предположим, как это чаще всего бывает, что все молекулы, если газ
не одноатомный, в области заметной ионизации полностью диссоцииро­
ваны на атомы. Пусть 1г газа содержит N атомов. Обозначим через I
потенциалы последовательных ионизации: 7 — энергия, необходимая
для отрыва первого электрона от нейтрального атома, 7 — энергия отрыва
электрона от однократно ионизованного атома и т. д. Для того чтобы
оторвать от атома m электронов, необходимо затратить энергию:
m
4
2
<?m = / i + / + . . . + A n ( / o = 0).
(3.35)
a
Пусть при данных температуре Т и плотности Q или удельном объеме V
в 1г газа имеется N нейтральных атомов, Ni — однократно ионизован­
ных и т. д. Для краткости будем называть ион с зарядом, равным тп,
то-ионом; число /тг-ионов в 1г обозначаем через N
(нейтральные атомы
являются частным случаем гп-ионов). Число свободных электронов обо­
значим через N . Полагая, что газ достаточно разреженный и электроны
подчиняются статистике Больцмана **), мы должны приписать каждой
частице газа тепловую энергию поступательного движения 3/2 кТ. Кроме
того, то-ион обладает энергией электронного возбуждения
W.
0
m
e
m
*) Например, Z = 13,6 эв, I =li,6
эв, I = 12,1 эв, 1щ = 15,6 эв, /
= 9,3 эв.
**) Вырожденный электронный газ будет рассмотрен в § 12.
0
N
Q2
N 0
=
§ 5]
ИОНИЗАЦИЯ И ЭЛЕКТРОННОЕ
167
ВОЗБУЖДЕНИЕ
Если отсчитывать внутреннюю энергию от неионизованного состоя­
ния газа при нуле температуры, то удельную внутреннюю энергию, при­
ходящуюся на один грамм, можно записать в виде*)
е = А N (1 + а ) кТ + N 2 QmOm + N 2 W a ,
е
m
m
(3.36)
m
m
где а —степень ионизации газа, т. е. число свободных электронов, при­
ходящихся на один исходный атом (a = N /N);
a = 7V /iV — концент­
рации то-ионов. Концентрации a связаны между собой условиями сохра­
нения числа атомов
е
e
e
nt
ro
m
r
S^ =A ,^Sam=l
и сохранения числа зарядов
(3.37)
m
ma
2 mN
~ N , -v> S m
m
e
= «е-
(3.38)
Давление ионизованного газа **) р = NQ (1 + а ) кТ.
(3.39)
Равновесные концентрации ионов удовлетворяют уравнениям, ана­
логичным закону действующих масс для диссоциации. Это и понятно,
ибо процесс ионизации можно трактовать как химическую реакцию
«диссоциации» атома или иона; например, процесс отрыва m -(-1-го
электрона от то-иона можно записать в символической форме:
е
A -^lA
m
+ e,
m+i
тге = 0, 1, 2, . . .
(3.40)
«Закон действующих масс» для этой .реакции легко вывести из общего
выражения для свободной энергии так же, как это делается для реакции
диссоциации. Запишем свободную энергию 1 г ионизованного газа
F= - 2
N kTIn^L-N kTln^,
m
(3.41)
e
m
где Z и Z —статистические
суммы то-иона и электрона.
В термодинамическом равновесии при постоянных Т и V свободная
энергия минимальна по отношению к числам частиц. Составляя вариацию
8F по отношению к изменению числа m-ионов за счет их ионизации по
схеме (3.40), учитывая, что при этом 8N =—o7V
= — 6N , а числа
всех остальных частиц не меняются, и приравнивая вариацию 8F нулю,
получим
m
e
m
m+1
e
Поступательные суммы обоих ионов сокращаются, так как массы ионов
практически не отличаются друг от друга. В электронной же части ста­
тистической суммы иона (атома) выделим множитель, соответствующий
нулевой энергии (основному состоянию):
_JA.
_J°_
8
g
A- o
Ер
*) Если газ при низких температурах многоатомный, к 8 следует добавить
энергию диссоциации.
**) Заметим, что, как и при диссоциации, формулы (3.36) для энергии и (3.39)
для давления справедливы и в случае неравновесной ионизации, если под Т понимать
«поступательную» температуру частиц.
168
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. III
Обозначая разность энергий г —е ,
которая представляет собой
просто энергию возбуждения иона в fc-м состоянии, через г# , запишем
преобразованную электронную сумму и в виде
к
0
А
w
h
«=2е
щ.
ftT
=g
_J?i_
kT
+ gie
0
hT
+g e
~+...,
2
(3.43)
k
где g , g ...—статистические
веса 0, 1, ...—энергетических уровней
иона; если последние не вырождены, g = l .
Что касается статистической суммы свободного электрона, то она
состоит из произведения поступательной суммы на статистический вес
свободного электрона, равный двум, в соответствии с двумя возможными
ориентациями спина. Замечая, что разность нулевых энергий m + 1-ro
и т-то ионов равна потенциалу ионизации /и-иона 8
—е = 7
а также поделив выражение (3.42) на объем (щ = Ni/V), получим
0
x
0 т + 1
з
n
n
u
m+l e
о m+l
f2nmgkT\2
i
^f~
тг
0 т
p^
т + 1 г
("1 Л/л
fr
(m —масса электрона).
Эта формула известна под названием формулы Саха. Умножив ее на
кТ, можно получить соотношение для парциальных давлений p = щкТ..
Для численных расчетов формулу Саха удобно переписать в виде урав­
нения, связывающего концентрации частиц а =N IN = n VIN = «J/TVQ,
e
t
г
a
t
t
a
m+l e
a
K (T),
m = 0, 1, 2 . . .
m+i
QN
m
(3.45)
Уравнения (3.45), (3^57), (3.38) образуют замкнутую систему нелиней­
ных алгебраических уравнений для определения концентраций ионов
и электронов в зависимости от температуры и плотности газа.
Обычно существует некоторый диапазон температур в районе 8000 —
30 000° К, в котором существенна только первая ионизация, а вторая
еще не начинается (потенциал второй ионизации примерно вдвое больше
потенциала первой). В этом диапазоне уравнения упрощаются, так как
из всех уравнений (3.45) остается только одно с пг = 0. Замечая, что
в области первой ионизации a = a = l-—a и опуская индексы у a
и потенциала ионизации, получим формулу для степени ионизации
a = ai = a :
1
e
0
t
e
3
a
2
0
2
i* ,
t
1
f
2nm kT
e
T=^r = -uJW^~^~)
Л2
е
2_
кТ
/о /еч
( 3
'
'
4 6 >
которая весьма сходна с формулой для .степени диссоциации (3.26).
При 7 / W > l , а < 1 степень ионизации a ~ Q-V2 --f/2feT
нь
быстро возрастает с повышением температуры и медленно растет при
уменьшении плотности газа. Д л я газа из атомов водорода формула (3.46)
справедлива всегда.
Энергии возбужденных уровней атомов и ионов обычно довольно
велики и сравнимы с потенциалом ионизации. В ряде случаев имеются
низко лежащие уровни (и они, разумеется, должны быть учтены при рас­
чете), но число их весьма ограничено. Более подробно о вычислении пре­
образованных электронных сумм и будет сказано в следующем параграфе.
Здесь же отметим, что, как правило, достаточно учесть только первые
e
)
т
е
о ч е
ИОНИЗАЦИЯ И ЭЛЕКТРОННОЕ
§5]
169"
ВОЗБУЖДЕНИЕ
несколько членов в этих суммах, причем в большинстве случаев подавляю­
щую роль играет первый член и сумма сводится просто к статистическому
весу основного состояния и ~ g . Дело в том, что в не слишком плотном
газе электрон в атоме или ионе «предпочитает» оторваться, чем занять
Тзысокий энергетический уровень. В области однократной ионизации
f"~ 10 000 — 20 000° К величина IJkT
обычно порядка 5—10. Если
перейти к более высокой температуре, то I^lkT станет малой величиной,
но одновременно и однократно ионизованные атомы исчезают, так как
начинается вторая ионизация, и для наиболее распространенных ионоввеличина I /kT
все равно будет порядка 5—10. Поскольку энергии
возбужденных уровней в атомах имеют такой же порядок, что и потен­
циал ионизации, то даже второй член в сумме и будет, скажем, порядка
е , т. е. весьма мал. Благодаря этому и оказывается, что в электронных
суммах и для наиболее распространенных ионов основную роль играетпервый член g .
При точных расчетах обычно принимают во внимание первые 5—
10 уровней в ионах и атомах, причем энергии и статистические веса их
берут из соответствующих таблиц [7]. Имеются также таблицы потен­
циалов последовательных ионизации различных атомов [8].
Внутреннюю энергию газа можно вычислить по формуле (3.36),
которая следует и из общего выражения для свободной энергии (3.41)
в соответствии с термодинамической формулой (3.9). Энергия электрон­
ного возбуждения W при этом равна (индекс заряда иона тп опускаем):
0
m+l
-5
0
w
b
w
W
e
h
2 b
= ~
__
д In и
^ Г = - ^
Т ь г г г
2
(3-47).
hT
2* ~
Энтропия согласно (3.8) получается путем дифференцирования свободной
энергии по температуре:
5
S:
vi
2
w
n
3
V Г2лМкТ\Ъ
^2лМкТ \2
e*V
. , -, ,
v
ч
д г
r
W„
+ Ж е Н п - ^ ( - ^ ^ ) " 2 .
(3.48),
Если возбуждением можно пренебречь, второй член исчезает и u =
g .
Наиболее просты расчеты в области первой ионизации, где степень
ионизации можно вычислять просто по формуле (3.46). Начинающаяся
ионизация дает значительный вклад в теплоемкость и энергию газа и учет
ее совершенно необходим при вычислении термодинамических функций.
Широкий диапазон температур и плотностей, в котором атомы много­
кратно ионизованы, был охвачен в работе В. В. Селиванова и И. Я . Шляпинтоха [4]. Авторы рассчитали ионизационный состав *), термодина­
мические функции и ударную адиабату воздуха при температурах от
20 000 до 500 000° К и плотностях от 10 Q ДО 1 0 Q (Q — нормальная
m
0m
_ 3
0
0
0
*) Обобщение выписанных выше уравнений на случай, когда газ представляег
собой смесь элементов, не представляет труда.
170
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. III
плотность воздуха). Как меняется ионизационный состав и степень иони­
зации с изменением температуры, а также как влияет ионизация на термо­
динамические функции, можно видеть из таблиц 3.2 и 3.3 для воздуха,
основанных на расчетах В. В. Селиванова и И. Я . Шдяпинтоха *).
Только что вышли из печати подробнейшие таблицы термодинами­
ческих функций воздуха, составленные Н. М. Кузнецовым в диапазоне
температур до 3.10 ° и плотностей от 30 до 10" Q [35]. Там же приве­
дены таблицы ионизационного состава.
6
6
0
Т а б л и ц а 3.3
Состав ионизованного воздуха нормальной плотности
6о = 1>29-10-з г/см при высоких температурах*)
3
Т, "К
Атом
0
1+
20 000
N
О
0,589
0,172
0,201
0,033
50 000
N
О
0,018
0,0065
0,451
0,303
0,321
0,048
0,001
100 000
N
О
0,012
0,005
0,275
0,09
0,463
0,113
0,04
0,005
.250 000
N
О
0,005
0,005
0,183
0,020
0,603
0,114 0,074
5,0
500 000
N
О
0,017
0,75 0,025
0,010 0,200
5,2
^
2+
3+
4+
5+
6+
е
0,24
1,50
2,65
*) Концентрации определены как отношения чисел частиц данного сорта
к числу исходных атомов.
0—нейтральные атомы, 1+—однократно ионизованные и т. д.
е—электроны; N и 0—ионы азота и кислорода.
При очень высоких температурах **) (или очень низких плотностях)
энергия и давление теплового излучения могут оказаться сравнимыми
с энергией и давлением вещества. В условиях, когда излучение находится
в термодинамическом равновесии с веществом (выполняется ли это усло­
вие или нет, необходимо специально проверять в каждом конкретном
случае; см. гл. I I ) , энергию и давление излучения следует просто доба­
вить к энергии и давлению газа.
«Удельная» энергия равновесного излучения равна плотности энер­
гии излучения, поделенной на плотность вещества:
Ur>
4аТ*
(3.49)
CQ
е
*) В таблице 3.2 данные [4] относятся только к температурам 20 000 К и выше.
**) Для воздуха нормальной плотности — это температуры выше миллиона
градусов.
$ 6]
СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА И РОЛЬ ЭНЕРГИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ АТОМОВ
171
а давление излучения
Up
4oT*
(3.50)
Энтропию излучения можно найти с помощью общих термодинами­
ческих соотношений:
dF
дТ
v
v
~~
откуда
(3.51)
В работе [4] термодинамические функции воздуха рассчитывались
е учетом равновесного излучения.
§ 6. Электронная статистическая сумма и роль
энергии возбуждения атомов
Изолированный атом (ион, молекула), находящийся в бесконечном
пространстве, обладает бесконечным числом энергетических уровней,
которые сходятся к континууму, соответствующему состояниям с отор­
ванным электроном (ионизованным состояниям). Формально электронная
статистическая сумма и содержит бесконечное число слагаемых и рас­
ходится. Средняя энергия возбуждения атомов W, вычисленная по фор­
муле (3.47) с бесконечным числом членов, равна потенциалу ионизации,
так как энергии возбуждения высших состояний асимптотически прибли­
жаются к потенциалу ионизации.
Эта трудность, возникающая при чисто формальном вычислении и
и W, имеет лишь кажущийся характер. На самом деле атом никогда
не является изолированным, а находится в газе конечной плотности.
Размеры электронной орбиты быстро возрастают при переходе к все
более высоким возбужденным состояниям электрона в атоме и в конце
концов становятся сравнимыми со средним расстоянием между части­
цами газа, которое равно примерно г ?а N' ^
(здесь через N мы обо­
значили число частиц в 1 см ). Траектории электронов, движущихся
по таким большим орбитам, искажаются благодаря наличию соседних
частиц, и электрон, который удален от атомного остатка на расстояние,
сравнимое со средним расстоянием между частицами газа, по существу,
не отличается от свободного, а столь высоко возбужденный атом не отли­
чается от ионизованного. Таким образом, конечность плотности газа
налагает ограничение на число возможных возбужденных состояний
атома и число слагаемых в электронной статистической сумме, а также
ограничивает среднюю энергию возбуждения атома.
Рассмотрим газ, состоящий из атомов водорода. Результаты рассмо­
трения водородных атомов имеют большую общность, так как высоко­
возбужденные состояния любых сложных атомных систем весьма сходны
с возбужденными состояниями атома водорода. Если электрон в сложном
атоме (ионе, молекуле) движется по очень большой орбите, то поле, в кото­
ром он находится, весьма близко к кулоновскому полю точечного заряда
(атомного остатка) и потому структура высоковозбужденных состояний
любых атомов и ионов близка к водородной. Чтобы можно было распро­
странить результаты рассмотрения и на многозарядные ионы, будем
во все формулы вводить заряд «ядра», т. е. рассматривать не водород
1
3
172
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[гл. ш :
в буквальном смысле, а водородоподобные атомы, представляющие собой
систему из положительного «ядра» с зарядом Z и электрона.
Уровни энергии водородоподобного атома характеризуются г л а в ­
ным квантовым числом п (схему уровней см. на рис. 2.2 в § 2 гл. I I ) .
Энергия п-то уровня, отсчитанная от границы непрерывного спектра,
равна, как известно, е = — / ^ / и , где / н = 13,5 эв — потенциал
ионизации водорода. Абсолютная величина ее Е = | е„ | =
InZ /n '
представляет собой энергию связи электрона, находящегося на п-м уров­
не. Энергия связи основного состояния п = 1 *) равна потенциалу иони­
зации: Ei = I-aZ* = / . Энергия возбуждения п-то состояния равна w =
2
п
2
н
2
2
п
n
z
г — е = Ei — Е = IuZ
( 1
2 ) • Преобразованная
электронная
статистическая сумма водородоподобного атома имеет вид
п
4
п
_
г
Д
е
J
^
HZ
2
,
1 ,
2
Еп = 2?г — статистический вес п-то уровня.
Энергия связи электрона на п-м уровне равна его кулоновской энер­
гии в поле ядра на расстоянии порядка размеров орбиты, а именно,
Е = Ze l2a,
где а •— большая полуось эллиптической орбиты; а =
= Ze l2E = e n /2ZIf[ = a n*lZ (a = 0,53-10~ см — боровский радиус)..
Статистическую сумму и во всяком случае следует оборвать на том зна­
чении «*, при котором полуось орбиты становится сравнимой со сред­
ним расстоянием между частицами газа, т. е. при а = a n* /Z = г,
п* = (Zr/a )Va ~ 7V /6 ( * тем меньше, чем плотнее газ). В качестве
численного примера рассмотрим молекулярный водород, который при
комнатной температуре находился под атмосферным давлением и затем
был нагрет сильной ударной волной до температуры порядка десятка,
тысяч градусов. Сжатие в ударной волне равно примерно 10, так что
в условиях полной диссоциации молекул число атомов в 1 см будет
N « 5 - 1 0 / с и . Среднее расстояние между атомами г « 7У /з = 1,3 X
X Ю см и предельное значение п* = 5 (Z = 1). При температуре Т =
= 11 600° К == 1 эв статистическая сумма, содержащая пять членов,,
равна и = 2,00053, т. е. практически не отличается от статистического
веса основного состояния g = 2. Средняя энергия возбуждения атома,
вычисленная по формуле (3.47) с учетом пяти членов в сумме, равна
W = 0,003 эв. При указанных значениях N и Т степень ионизации водо­
рода составляет сс = 3 - 1 0 , т. е. энергия ионизации, приходящаяся
на атом, 1-ца = 0,04 эв. Энергия возбуждения W мала по сравнению с энер­
гией ионизации (W/1-цы = 0,075). При более высокой температуре Т —
= 23 200° К = 2 эв и той же плотности и = 2,212 (тоже не намного
больше gi = 2), W = 1,16 эв. Степень ионизации теперь а = 0,22; энергия
ионизации из расчета на один исходный атом равна / н ^ = 3 эв, а энергия
возбуждения, также приходящаяся на один исходный атом, W (1 — а) =
= 0,9 эв.
В этом случае энергия возбуждения играет заметную роль, но все
же она меньше энергии ионизации. Следует заметить, что срезание верх­
них возбужденных уровней в газе конечной плотности одновременно,
понижает и потенциал ионизации как раз на величину энергии связи
2
п
2
2
2
8
n
u
0
2
0
_1
0
w
3
20
3
_1
- 7
4
-3
*) В отличие от предыдущего, здесь мы приписываем основному состоянию
индекс «1», а не «О», в соответствии с равенством единице главного квантового числа п.
•5 6]
СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА И РОЛЬ ЭНЕРГИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ АТОМОВ
173
г
электрона на границе срезания, т. е. на величину А / = Е * = 2е 12г —
= ZI a /r
= Z T-IO-'N- ^ эв (N в Нем ).
В нашем примере это уменьшение равно А/ = 0,55 эв, так что вычи­
сленные степени ионизации несколько занижены.
При очень высоких температурах, ~ 5 0 000° К и выше, энергия воз­
буждения оставшихся атомов водорода становится большой, сравнимой
с потенциалом ионизации, но зато и степень ионизации при этом сильно
возрастает и само число нейтральных атомов становится малым, так что
вклад энергии возбуждения в энергию газа все равно меньше, чем вклад
энергии ионизации. Это и соответствует тому положению, что электрону
-«выгоднее» совсем оторваться от атома, чем занять высокий возбужденный уровень *).
Приведенная ранее оценка числа членов в электронной сумме скорее
всего завышает фактическое число уровней. На срезание высших возбу­
жденных уровней в атомах и ионах существенное влияние оказывает
и непосредственное воздействие электростатического поля ближайшей
соседней заряженной частицы — штарк-эффект.
Кроме того, в достаточно разреженном газе энергия связи электрона,
движущегося по предельной орбите с размером а ~ г, Е * — А / =
= 7-10" Л /з эв оказывается меньше, чем кТ (в нашем примере А / =
= 0,55 эв, а температуры были 1 и 2 эв). Кинетическая энергия электрона
в водородоподобном атоме равна его энергии связи на данном уровне.
Вряд ли имеет особый смысл считать связанным электрон, энергия связи
и кинетическая энергия которого меньше кТ. Практически каждое «соуда­
рение» со свободным эл'ектроном будет выбивать столь слабо связанный
электрон из атома. Некоторые авторы поэтому обрывают электронные
суммы еще сильнее, на том уровне, где энергия связи электрона равна кТ.
Вопросам, связанным со снижением потенциалов ионизации в иони­
зованном газе и задачей вычисления электронных статистических сумм,
посвящен целый ряд работ [9—13, 34]. Надо сказать, что здесь не суще­
ствует единого мнения и разные авторы предлагают различные рецепты
для обрывания электронных сумм. К счастью, расчеты показывают,
что вариация в числе членов, учитываемых в электронных суммах, как
правило, мало сказывается на термодинамических функциях газов.
Но снижение потенциалов ионизации вследствие срезания верхних уров­
ней иногда заметно влияет на ионизационный состав газа (см. работу [14]).
В заключение этого параграфа отметим, что явление срезания верх­
них возбужденных уровней в атомах, ионах, молекулах имеет экспери­
ментальное подтверждение. В спектрах дуговых разрядов низкого давлеп
1
H
3
0
п
7
г-1
*) Это положение можно пояснить путем следующего полукачественного рас­
суждения, особенно наглядного в предельном случае газа очень низкой плотности.
Отношение вероятности свободного и связанного состояний электрона пропорциональ­
но отношению поступательной и электронной статистических сумм ( Z
~ V ~ 1/g).
Электронную сумму в пределе малых плотностей, когда в ней участвует очень большое
'число членов, грубо можно представить так:
n0CT
__!».
2 = 2 trfi
Э Л
hT
7
н_
"*
ftr
= 2 2«V^ ~ J n« А. ~ « .
я
о
1/2
1
1
2
Но п* ~ г , так что Z ~ V^-Q-V*.
Отсюда Z /Z
~ V '* ~ о" / . Таким
образом, при уменьшении плотности в пределе малых плотностей, несмотря на возра­
стание числа возможных связанных состояний, вероятность отрыва электрона от атома
все равно растет быстрее.
3Ji
noCT
3JI
174
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. I l l
ния обычно не наблюдается больше 5—10 спектральных линий водородной
серии Бальмера, связанной с переходами электрона с верхнего возбу­
жденного уровня на уровень ге = 2. Даже в спектрах газовых туманностей,
плотность которых исключительно низка (порядка десятков частиц,
в 1 CM ), не наблюдается больше 50—60 бальмеровских линий.
Z
§ 7. Приближенный метод расчета в области
многократной ионизации
_Расчеты ионизационного равновесия, являющиеся основой для нахождения~~тёрмодинамических функций газа при высоких температурах,,
требуют весьма большой и трудоемкой вычислительной работы. Для
каждой пары значений^ температуры и плотности приходится решать
нелинейную систему алгебраических уравне­
ний д л я определения концентраций ионов разных"з"аряд6вГ которая еще более усложняется,
если газ содержит атомы нескольких элементовТ JTo существу, в широком диапазоне тем­
ператур и плотностей таблицы составлены толь­
ко^ для_ воздуха^ Конечно, при современном
уровне машинной техники проблема больших
численных расчетов в значительной степени
утрачивает свою остроту, но все же для прак­
тических целей полезно иметь простой прибли­
женный метод, который позволил бы быстро
и с минимальными затратами труда вычислятьстепени ионизации и термодинамические функРис. 3.1. Переход к непре- ции любог- газа в широкие диапазоне темперывиой кривой / (т).
ратур и плотностей в области высоких темпе­
ратур, когда атомы многократно ионизованы.
В этом параграфе будет описан такой способ, предложенный одним изавторов [15], который при своей крайней простоте обладает точностью,
вполне достаточной для решения большинства практических задач.
Рассмотрим газ, состоящий из атомов одного элемента.
В основу приближенного метода положены два основных допущения.
Будем, во-первых, рассматривать числа ионов в 1 см п и потенциалы
ионизации 1
как непрерывные функции заряда иона т, соединив дис­
кретные значения п и / i непрерывными кривыми. Функция / (т)
строится путем соединения точек I на диаграмме / , т (рис. 3.1) непре­
рывной кривой, скажем, путем соединения соседних точек прямыми
отрезками. Систему рекуррентных формул Саха (3.44) при этом можнопревратить в дифференциальное уравнение относительно функции п (т),
введя вместо конечных разностей дифференцирование:
г
т
т+1
т
m +
т
п(т + 1) = п(т) + -£^,
Атп = 1.
Отношение электронных статистических сумм ионов и
/ и обычновесьма нерегулярным образом меняется при переходах от одного заря­
да т к другому для данного элемента или при переходе к другим эле­
ментам; однако это отношение всегда порядка единицы. Положим егоприближенно равным единице. После этого систему формул Саха можнот + 1
т
§ 7]
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДЛЯ МНОГОКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ
175>
записать в виде дифференциального уравнения:
1
L
3
n
+^ ) e
1(т+1)
= AT^e
*т
,
(3.52)
dm
4 = 2 ('^e!L')
=
4,8-10
15
3
3
сж- -гра5- /2 = 6 - 1 0
21
3
см' -эв~^.
Одновременно условия сохранения числа частиц и числа зарядов
(3.37), (3.38) перепишем в интегральной форме:
\n(m)dm
= n,
\ mn(m)dm
(3.53)
= n.
(3.54)
e
Рассмотрение результатов точных расчетов, так же как и рассмо­
трение системы уравнений Саха, проведенное ниже, покавывает, чтов газе всегда присутствуют в значительном количестве ионы двух, макси- >
мум трех зарядов. Следовательно, функция распределения п (т) имеет,
вид весьма узкого и острого пика около некоторого значения т ,
кото­
рое, конечно, зависит от температуры и плотности газа.
Отсюда вытекает второе допущение. Л о л о ж и м приближенно, что*
среднее значение заряда ионов, которое совпадает со средним числом.,
свободных.электронов, приходящихся на один исходный атом
тах
—
I mn(m)dm
т= ~
n
= — ,
\ п (m) dm
(3.55)
n
в ТОЧНОСТИ равно т.ому.значелию 77гщ , при котором . функдия_£аспределения ионов п (лг) .проходит через максимум. Очевидно, что допущение
тем более справедливо, чем острее и уже пик распределения п (т).
Обозначая через / потенциал ионизации ионов со «средним» заря­
дом т и замечая, что в точке максимума пика производная dnldm = О,
получим из (3.52) с помощью (3.55) следующее выражение, связываю­
щее т и / :
ах
- _Л_
(3.56)
Для того чтобы превратить это выражение в уравнение для нахожде­
ния среднего заряда (или степени ионизации) в зависимости от темпе­
ратуры Т и плотности (числа п исходных атомов в 1 см ), необходимо
определить связь между / и тп. Здесь имеется некоторый произвол, свя­
занный с чисто символическим в точной теории вопросом о приписывании
индексов потенциалам ионизации.
Если обозначать потенциал ионизации пг-иона через / i (потен­
циал ионизации нейтрального атома /j), то формально следовало бы
положить / = / (тп + 1). Иногда потенциал ионизации m-иона обозна­
чают через I (потенциал ионизации нейтрального атома / ) - В этом слу­
чае в формуле Саха (3.44) вместо / i надо писать I и формально при­
шлось бы положить 1 = 1 (тп).
Конечно, если рассматривать тяжелые элементы и очень высокие
температуры, когда степень ионизации настолько высока, что тп имеет
3
m +
m
0
m +
m
176
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА
ГАЗОВ
[ГЛ. Ш
"порядок нескольких десятков, такой произвол численно не приводит
а существенной вариации в числе т (так как при этом /
— I < 1 ).
Однако в области небольшой ионизации, когда средний заряд ионов
порядка нескольких единиц, такой произвол заметным образом сказы­
вается на результатах вычислений т и термодинамических функций,
что связано с приближенным характером замены дискретных величин
непрерывными функциями.
Сопоставление результатов приближенных и точных расчетов пока­
зывает, что наилучшее согласие получается, если, как и раньше, обо­
значать потенциал ионизации /тг-иона через I +i = I (m -\- 1), полагая
/ = / (0) = 0, но относить «среднее» значение потенциала / к точке
т + -„• , т. е. считать / = / ( т е + - у ) . Это представляется довольно есте«твенным, если учесть, что в действительности ряд дискретных значе­
ний т разделен конечными интервалами Am = 1.
Логарифмируя (3.56), получим простое трансцендентное уравнение
д л я определения т (Т, п):
з
т
+
1
m
т
m
0
П
,
Л. .
VJ • ^ -LJfJ. i U. Л. U
J.
J.
I
lit/
|
c\
т + 4Л = АПп4^-.
(3.57)
Благодаря логарифмической зависимости правой части от m доста­
точно сделать два-три последовательных приближения, чтобы весьма
точно найти корень тп с помощью графика функции / (тп).
Убедимся в том, что распределение ионов по зарядам всегда имеет
характер узкого пика, и найдем закон спадания краев пика функции
распределения п (тп).
Комбинируя последовательно выписанные формулы Саха для разных
тп = 0, 1, 2, . . ., положив в них предварительно отношение электрон­
ных статистических сумм равным единице и воспользовавшись опреде­
лением «среднего» потенциала (3.56), получим:
г
n
m+l
_ „^„ Г
V ^п
=«р[-2^&-].
jfcL=„p[-2b£=.-|.
i=0
где 1=1, 2, 3. . .
Выберем тп равным тому значению, при котором п максимально.
/ примерно соответствует потенциалу ионизации таких ионов, так что
все слагаемые в суммах положительны и концентрации ионов спадают
по обе стороны от максимума. Чтобы оценить закон спадания и ширину
пика, перейдем в этих формулах к непрерывным функциям п (т), I (т).
Разлагая приближенно
т
/(m)«/ + (-^)(m-m),
получим гауссову кривую
и (те) = и
распределения
ш а х
ехр [ — ( ~ ^ - ) ]
(3.58)
§ 7] ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДЛЯ МНОГОКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ 1 7 7
с полушириной пика
А = Т / _JJ!?L .
(3.59)
Если учесть, что в среднем для разных элементов и разных иони­
зации потенциалы ионизации растут с зарядом иона быстрее, чем сам
заряд, т. е. что dl/dm^>I/m,
найдем, что
Д < V - i — = V - = - . *i =
6
р- °)
Й
Подставляя в эту формулу численные значения х, и пг, найденные,
например, с помощью табл. 3.3 для воздуха, увидим, что Д < 1 , т. е.
что пик, действительно, узкий*).
Приближенные формулы для термодинамических функций полу­
чаются из точных, если в соответствии со сделанными выше приближе­
ниями считать, что распределение ионов п (т) представляет собой очень
узкий пик — почти б-функцию около значения т, т. е. считать, что все
ионы в газе обладают одним нецелочисленным «средним» зарядом т.
Удельная внутренняя энергия (3.36) при этом принимает вид
в = I- N (1 + т ) кТ + NQ (m)
(3.61)
(энергией электронного возбуждения пренебрегаем). Здесь непрерывная
функция Q (т) аналогично / (т) строится графически путем соединения
непрерывной кривой дискретных значений Q , определенных фор­
мулой (3.35). Заметим, что наилучшее совпадение с точными расчетами
получается, если в формуле (3.61) положить Q = Q(m), в отличие
m
от 1= I ( m-j-Y)
• Давление равно
р = п{1+~т)кТ.
(3.62)
Удельная энтропия (3.48) (если пренебречь электронным возбуждением
и положить статистический вес всех ионов одинаковым и равным g)
получается равной
3
S^NkluQ^^y^
6
3 5
+ NkmluQ-^^-J^.
(3.63)
Полагая S — const и воспользовавшись формулой (3.57), получим урав­
нение адиабаты в параметрической форме:
з
ехр \тп
Л m + Yj
кТ
5
~> 2
•• const.
(3.64)
Параметром служит m; const в правой части определяется значениями
Т , п , через которые проходит адиабата.
Изложенный выше метод вычисления степени ионизации и термо­
динамических функций легко обобщается на случай смеси газов.
0
0
*) Тот факт, что пик распределения Пщ узкий, порядка самой «конечной» разно­
сти Am = 1, вообще говоря, лишает смысла переход к дифференцированию по т.
Однако фактически метод оказался лучше его обоснования.
12
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
178
[ГЛ. Ill
Т Е Р М О Д И Н А М И Ч Е С К И Е СВОЙСТВА ГАЗОВ
Например, в смеси двух элементов средние заряды ионов каждого из
элементов те т находятся из системы двух трансцендентных уравнений,
з
ь
2
2
/ i f « i + у ) = ^ 2 ( ^ 2 + у J =kT\n
—
AT
(3.65)
(c^i + с го )
2
2
где Ci, с —^атомные
концентрации . обоих элементов, /
/ — кривые
их потенциалов ионизации, а п —лолное число исходных атомов.в 1 см .
Удельная внутренняя энергия равна
2
1 ?
2
3
e^-Nil
+ c^+c^kT
+ NciQ^mJ + NczQzim)
(3.66)
и т. д. Во многих случаях, однако, не имеет большого смысла усложнять
таким образом расчеты. Если потенциалы последовательных ионизации
атомов разных элементов не сильно отличаются друг от друга, целесо­
образно ввести «среднюю» кривую потенциалов / (тп), рассматривая все
атомы как одинаковые и усреднив значения последовательных потен­
циалов по всем элементам в соответствии с их процентным содержанием
в смеси.
Т а б л и ц а 3.4
Сравнение приближенных расчетов степени ионизации и внутренней
энергии воздуха с точными *)
i -\- гп
1 4- m
т, °к
р = 10-2 р
Р о = 1,29-10-3 г/сжЗ
30 000
50 000
100 000
1,68
1,77
2,4
2,42
3,72
3,75
16,6
23
40,5
47,8
126
140
2,30
2,21
3,35
3,26
5,10
5,16
0
33
33
83
80
243
252
*) Верхние цифры в каждой клетке получены приближенным летодом [15], нижние взяты из работы В. В. Селиванова и И. Я. Шляпинтоха [4].
В табл. 3.4 сопоставлены результаты приближенных расчетов степени
ионизации и внутренней энергии воздуха с точными данными В. В. Сели­
ванова и И. Я. Шляпинтоха [4]. Видно, что даже при малых степенях
ионизации, где ошибка должна быть особенно велика, приближенный
метод дает неплохую точность. При высоких же степенях ионизации
ошибка не превышает нескольких процентов.
Метод верно передает нерегулярности изменения m и е с темпера­
турой и плотностью, соответствующие резким скачкам в потенциалах
ионизации, которые возникают при переходах от ионов с заполненными
электронными оболочками к ионам с незаполненными. Расчеты показали,
§ 8]
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ И ПОКАЗАТЕЛЬ АДИАБАТЫ
179
что метод дает хорошую точность и для ксенона. Поскольку кривые потен­
циалов ионизации у всех элементов похожи друг на друга, можно надеять­
ся на то, что приближенный метод обеспечит достаточную точность и в слу­
чае любого другого газа.
§ 8. Интерполяционные формулы и эффективный показатель адиабаты
Непосредственным результатом расчетов термодинамических функ­
ций являются таблицы, составленные в виде сетки по температуре и плот­
ности (или температуре и давлению). Использование таблиц при решении
газодинамических задач связано с большими неудобствами. Гораздо при­
ятнее иметь дело с простыми интерполяционными формулами, более или
менее точно аппроксимирующими табличные данные. Исключительный
интерес представляет такая аппроксимация действительных функций,
при которой показатель адиабаты, определяющий ход гидродинамиче­
ского процесса, приближенно оказывается постоянным. Введение пос­
тоянного эффективного показателя адиабаты позволяет воспользоваться
автомодельными и точными решениями уравнений газодинамики, кото­
рые, как правило, удается получить только для газа с постоянной тепло­
емкостью.
Адиабатические связи между двумя какими-либо термодинамиче­
скими параметрами, например, Г и д или р и Q при учете неполного воз­
буждения колебаний, диссоциации, ионизации уже не описываются урав­
нениями типа адиабаты Пуассона. Можно формально определить в каждой
точке показатель у таким образом, чтобы в окрестности этой точки истин­
ная адиабата приближенно совпадала с уравнением адиабаты Пуассона.
Для этого следует, очевидно, положить:
{ д In Т \
\ -щ
,
.
= у —1
или
Г дЫр
\
(
•) = V .
я 1
V sine Уs '
v. ding js
'
Однако при этом показатели, соответствующие различным парам
термодинамических параметров, отличаются друг от друга. Поэтому при
введении эффективного показателя адиабаты у в интересующем диапа­
зоне Т и Q или р и Q необходимо определить его так, чтобы он наилучшим
образом отвечал природе газодинамического процесса.
Третье уравнение газодинамики в общем случае представляет собой
уравнение сохранения энергии, и для того, чтобы замкнуть систему урав­
нений в гидродинамике идеальной жидкости *), достаточно ввести связь
удельной внутренней энергии с давлением и плотностью е (р, о). Обычно
эта связь описывается формулой
е =
1 г—
Р .
Y—1 Q
Поэтому для определения эффективного показателя адиабаты в инте­
ресующем диапазоне р и Q следует составить таблицу для комбинации
и выбрать некоторое постоянное значение у — 1, наилучшим образом
аппроксимирующее фактически не одинаковые значения указанной
*) В гидродинамике идеальной жидкости не учитываются вязкость й тепло­
проводность
12*
180
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. III
комбинации. В результате уравнение адиабаты de + p dV = 0 (V = 1/Q)
примет вид адиабаты Пуассона р ~ QV, e ~ QV— с эффективным постоян­
ным значением у.
Удельную внутреннюю энергию в зависимости от температуры и плот­
ности удобнее всего аппроксимировать формулой степенного типа
J
а
е = аГ К
р
(3.68)
с постоянными, а, а и р.
В области возбуждения колебаний теплоемкость не зависит от плот­
ности и Р = 0. В области диссоциации и ионизации теплоемкость всегда
растет при уменьшении плотности газа, так как при этом увеличивается
степень диссоциации или ионизации и возрастают соответствующие зат­
раты энергии. Поэтому показатель р всегда положителен. Показатель а
обычно больше 1, так как теплоемкость растет с повышением темпера­
туры как в области неполного возбуждения колебаний, так и в областях
диссоциации и ионизации.
При аппроксимации функции е (Г, V) формулой (3.68) с постоян­
ными показателями а и р и аппроксимации функции р (е, Q) или р (е, V)
уравнением (3.67) с постоянным показателем у три константы а, р и у
нельзя выбирать независимым образом.
Функции р (е, V) и е (Г, V) должны удовлетворять общему термо­
динамическому соотношению:
Легко проверить путем непосредственной подстановки, что три пока­
зателя а, р, у связаны между собой условием
Y-l= 4l.
(3-69)
a
справедливым, конечно, только в том случае, если они считаются постоян­
ными. При описанной интерполяции, что легко проверить с помощью
уравнения адиабаты de -f- p dV = 0, адиабатические связи Т и Q И е и Q
также характеризуются единым показателем адиабаты у, как и в случае
адиабаты Пуассона:
1
T~QV~ ,
e — QV-i,
p~QV,
Y = const.
Это получается несмотря на зависимость теплоемкости от температуры
и объема.
Для иллюстрации численных значений показателя адиабаты в табл. 3.2
представлена комбинация 1 + p/Qe = у в области многократной иони­
зации воздуха. Мы видим, что показатель у уменьшается с уменьшением
плотности.
В диапазонах температур 10 000—250 000° К и плотностей 1 0 Q —
— 10 Q (Q — нормальная плотность) внутреннюю энергию воздуха
в грубом приближении можно описать интерполяционной формулой (3.68)
со следующими значениями констант:
0
_3
0
0
е
=
8
3
' (-5-)
1
,
5
0
(~) '
1
2
эв1молекула.
(3.70)
По формуле (3.69) эффективный показатель адиабаты р а в е н [ _ ^ = 1,24. j
?<f Существенно, что показатель у, определяемый формулой (ЗТбТ)^
изменяется гораздо меньше, чем показатели а и р в формуле (3.68). Это
§ 9]
УДАРНАЯ АДИАБАТА ПРИ ДИССОЦИАЦИИ И ИОНИЗАЦИИ
181
положение крайне благоприятно, так как для расчета адиабатических
процессов связь е (Т, V) фактически не нужна, достаточно связи 8 (р, V)
или р (е, V), которая дается уравнением (3.67).
Следует отметить, что эффективный показатель адиабаты и пока­
затели степени а и fi в интерполяционной формуле (3.68) довольно слабо
меняются при переходе от одного газа к другому, если пытаться аппро­
ксимировать широкий диапазон температур и плотностей. Это и понятно,
так как кривые потенциалов ионизации в общем всегда похожи друг на
друга, различаясь в деталях, влияющих на ход энергии и давление
в небольших областях изменения температуры и плотности газа.
§ 9. Ударная адиабата в условиях диссоциации и ионизации
Параметры фронта ударной волны в газе с постоянной теплоемкостью
были вычислены в гл. I. В случае сильной волны, когда давление за фрон­
том много больше начального pi > p , сжатие во фронте стремится к пре­
дельному значению h = (у + 1)/(Y — 1)- Так, в одноатомном газе (инерт­
ные газы, пары металлов) c = -~Nk, у = -^ и h = А, в двухатомном
0
v
5
7
газе с невозбужденными колебаниями c = -—NkT, Y = -г- и Л = 6 *).
Уже из формулы для h в случае газа с постоянной теплоемкостью видно,
что сжатие во фронте тем больше, чем больше теплоемкость и чем ближе
к единице показатель адиабаты. Тенденция к увеличению сжатия при воз­
растании теплоемкости сохраняется и в общем случае, когда теплоемкость
зависит от температуры и плотности. Если двухатомный газ настолько
плотный, что колебания возбуждаются еще до начала диссоциации) то при
переходе к более сильным ударным волнам теплоемкость за фронтом воз7
растает, стремясь к значению c = -у NkT, показатель адиабаты стреv
v
9
мится к у = у и сжатие за фронтом увеличивается до h = 8.
Диссоциация и ионизация приводят к дальнейшему увеличению
сжатия. Важно отметить, что на величине сжатия сказывается только
та часть теплоемкости, которая связана с потенциальной и внутренней
энергией частиц: энергией диссоциации и ионизации, вращательной
и колебательной энергией молекул, энергией электронного возбуждения
атомов и ионов. Возрастание удельной теплоемкости за счет увеличения
числа частиц в газе не влияет на сжатие, так как одновременно с возра­
станием энергии поступательного движения частиц растет и давление
газа. Непосредственно изменение числа частиц не отражается на пока­
зателе адиабаты у, которым определяется сжатие. В этом легко убедиться»
если представить внутреннюю энергию в виде суммы е = 8 т + Q>
где в Q включена потенциальная энергия и энергия внутренних степеней
свободы частиц. Замечая, что давление р — -=- Q Е , подставим эти
выражения в формулу для ударной адиабаты (1.71). Пренебрегая началь­
ными энергией и давлением, т. е. считая ударную волну сильной, получим
ПОС
ПОСТ
*) Практически предельное сжатие, равное 6, достигается в двухатомном газе
с невозбужденными колебаниями только при очень низких начальных температу­
рах Т . В противном случае при тех температурах за фронтом, при которых колебания
еще не возбуждаются, отношение давлений pjp недостаточно велико для того, чтобы
ударная волна была «сильной».
'
0
0
182
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. XII
после элементарного вычисления, что величина предельного сжатия равна
/г = 4Н—Ш_*) .
(3.71)
Эта величина отличается от 4, величины, соответствующей одноатом­
ному газу, тем больше, чем больше относительная роль потенциальной
и внутренней энергии.
В области диссоциации и ионизации потенциальная энергия обычно
оказывается больше поступательной энергии частиц и сжатие во фронте
велико, порядка 10—12; особенно велико сжатие при малой начальной
плотности, когда степени диссоциации и ионизации очень высоки при
данной температуре **).
Сжатие в области ионизации у тяжелых газов не остается постоянным
при увеличении амплитуды волны. Относительный вклад потенциальной
энергии после прохождения максимума сжатия в период диссоциации или
первой ионизации постепенно падает, так как поступательная энергия
растет быстрее, чем потенциальная вследствие увеличения числа частиц.
Постепенно падает при зтом и сжатие. Так происходит до тех пор, пока
не оторвутся все электроны с какой-либо оболочки атомов. Между потен­
циалами ионизации последнего из электронов зтой оболочки и первого
из электронов следующей, замкнутой оболочки всегда имеется большой
разрыв. Особенно велик этот разрыв между L- и .ЙГ-оболочками. Так,
например, в азоте это 97 эв и 550 эв, в кислороде 137 эв и 735 эв. Поэтому
в воздухе существует довольно широкий интервал амплитуд волн, при­
мерно в диапазоне температур от 500 000 до 700 000° К, когда все элек­
троны в атомах кислорода и азота, заполнявшие L-оболочки, уже отор­
ваны, а ионизация с .ЙГ-оболочек еще не началась: в газе присутствуют
только гелиеподобные ионы. Когда при дальнейшем повышении ампли­
туды волны начинается отрыв .ЙГ-электронов, затраты энергии на иониза­
цию снова резко возрастают, относительный вклад потенциальной энер­
гии, так же как и в начале первой ионизации, повышается, и сжатие про­
ходит через второй, явно выраженный максимум.
Давление за фронтом сильной ударной волны, как следует из урав­
нений сохранения импульса и массы (1.61), (1-62), мало чувствительно
к величине сжатия, особенно при больших сжатиях, и приближенно
пропорционально квадрату скорости распространения волны D:
2
A
= o D (l-4)
(3.72)
0
(например, при h ~ 10 с точностью до ^ 1 0 % ) .
С еще большей точностью, порядка 1%, пропорциональна квадрату
скорости удельная энтальпия за фронтом:
(3 73)
""--т-О-^О
-
1это выражение следует из формул (1.61), (1.62), (1.64)].
*) В статье авторов [16] вместо формулы (3.71) было приведено ошибочное
соотношение h = 4/(1 — 3<?/е т) (формула (2.5)).
**) Так, например, когда по воздуху с начальным давлением р = 10~ атм
распространяются ударные волны со скоростями D ~ 6,5—12 км/сек (числа Маха
М ~ 20—35), сжатие за фронтом равно примерно 17.
ПОС
4
0
§ 9]
УДАРНАЯ АДИАБАТА ПРИ ДИССОЦИАЦИИ И ИОНИЗАЦИИ
183
Температура же, которая в газе с постоянной теплоемкостью также
пропорциональна квадрату скорости, в условиях диссоциации и иониза­
ции растет с увеличением амплитуды волны гораздо медленнее.
В области первой ионизации это происходит за счет относительного
возрастания затрат энергии на ионизацию, т. е. величины ( ? / е
~
~ Q/T, в дальнейшем же, когда доля потенциальной энергии во внут­
ренней уменьшается по сравнению с поступательной энергией, замед­
ленный рост температуры объясняется увеличением числа частиц, кото­
рому пропорциональны е
и р:
пост
п о с т
s cT = ^N(l
a0
+ m)kT,
p = n(l + m)kT.
Заметим, что после наступления полной ионизации, когда с повы­
шением амплитуды ударной волны и температуры за фронтом е т рас­
тет, a Q остается неизменным, сжатие при росте амплитуды стремится
к 4 (если не учитывать тепловое излучение). Это видно из формулы (3.71).
Например, в водороде, в области полных диссоциации и ионизации потен­
циальная энергия на атом равна 15,74 эв (энергия диссоциации Н 2,24 эв
на атом, энергия ионизации 13,5 эв), поступательная энергия на атом
(энергия протона и электрона) равна 3 кТ = ЗТ , т. е.
П0С
2
эе
h — 4 -f- -=r
> 4 при
Т —> со
•* эв
{полная ионизация в водороде при атмосферной плотности перед волной
наступает уже при Т ~ 100 000° К ~ 10 эв).
Для иллюстрации изложенных соображений о влиянии диссоциации
и ионизации на параметры за фронтом ударной волны мы приводим
табл. 3.5, содержащую результаты расчета этих параметров для воздуха
Параметры за фронтом волны в воздухе при нормальных
фронтом Ро = 1 атм, 2 = 2 9 3 ° К
Т а б л и ц а 3.5
условиях перед
,
0
Т. °К
293
482
705*
2 260
4000
6 000
8 000
10 000
D,
км/сек
0,33
0,70
0,98
2,15
3,35
4,54
5,64
6,97
Рх,
атм
1
5
10
50
127
236
366
561
Pl/PO
т, °к
1
2,84
3,88
6,04
8,58
9,75
10,30
11,00
14000
20 000
30 000
50 000
юо оое
250 000
500 000
D, км /сек
9,31
11,8
15,9
23,3
40,1
81,6
114,0
Pi,
атм
1000
1650
2 980
6 380
19 200
76 500
143 900
Pl/PO
11,10
10,10
9,75
8,97
8,62
7,80
6,27
ири нормальной начальной плотности. Данные для низких температур
в области возбуждения колебаний взяты из книги Я. Б. Зельдовича [17);
расчеты в области диссоциации и начала первой ионизации были про­
деланы Дзвисом [18]. В широком интервале температур от 20 000° до
500 000° К параметры фронта были рассчитаны В. В. Селивановым
и И. Я. Шляпинтохом в уже цитированной выше работе [4].
184
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. Ш
Расчеты параметров за фронтом ударной волны в воздухе в широком
интервале начальных давлений от нормального до р ~ 10~ атм были
сделаны И. Б . Рождественским [19] и Н. Ф. Горбанем [20] (для темпе­
ратур за фронтом, не превышающих 12 000° К ) . Параметры ударной вол­
ны в воздухе при температурах до 3-10 ° и плотностях до 10~ Q (ДО
высоты 100 км) приведены в новых таблицах Н. М. Кузнецова [35].
В ряде работ рассчитывались параметры фронта ударной волны
и в других газах: в аргоне и водороде (В. А. Прокофьев [21]), в аргоне
(Реслер и др. [22], в ксеноне (Сэйбол [23]), в водороде и ксеноне (С. Р. Холев [24]). Качественно явления во всех газах не отличаются друг от
друга и ударные адиабаты весьма сходны между собой.
Расчетные адиабаты в аргоне и ксеноне хорошо согласуются с экспе­
риментальными, полученными на основе изучения ударных волн в удар­
ных трубах. Что касается воздуха, то и здесь имеется удовлетворительное
совпадение расчетов с экспериментом. Следует отметить, что ход удар­
ной адиабаты в области диссоциации сильно зависит от того, какое из двух
ранее спорных значений^ приписать энергии диссоциации азота: 7,38 эв
или_9^74 эв. Опыты Христиана и др. 1251, изучавших ударные волны
в в о з д у х е ^ п о ж щ ь ю ударной трубы, подтвердили, что опытная ударная
адиабата ближе к расчетной, соответствующей энергии диссоциации
аз'бта~9,74 эв. В пользу этого значения свидетельствуют и опыты Моделя [26], измерявшего скорость фронта и (оптическим методом) темпера­
туру за фронтом.
5
0
6
6
0
§ 10. Ударная адиабата с учетом равновесного излучения
При очень высоких температурах (или очень низких плотностях
газа), когда энергия и давление равновесного излучения сравнимы с энер­
гией и давлением вещества, излучение следует учитывать при расчете
ударной адиабаты (разумеется, предварительно следует проверить, уста­
навливается ли равновесие излучения с веществом в конкретных условиях
задачи).
Рассмотрим очень сильную ударную волну, распространяющуюся
по холодному газу, и предположим, что потоки излучения по обе сто­
роны фронта равны нулю. Предположим также, что за фронтом ударной
волны излучение равновесно (не интересуясь здесь вопросом о процессе
установления равновесия). Таким образом, мы рассматриваем задачу
с чисто термодинамической точки зрения, как это обычно делается при
выводе ударной адиабаты *). Подчеркнем, что мы рассматриваем нере­
лятивистский случай, когда скорости ударной волны и вещества гораздо
меньше скорости света, и энергии вещества и излучения гораздо меньше
энергии покоя вещества. Введем в уравнения сохранения потоков импуль­
са и энергии на фронте ударной волны энергию и давление излучения
за фронтом e , /> (см. § 13 гл. I и § 17 гл. I I ) . Законы сохранения
на фронте запишутся в виде
v l
vl
M
6i i =
Q D,
0
(3.74)
Pi , Л>1_ _ j4_ _ №_
Qi ' 2 - 2
oT
L
•"VI
+
*) Эта задача рассматривалась Саксом [27].
§ 10]
УДАРНАЯ АДИАБАТА С УЧЕТОМ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
185
Чтобы упростить задачу с целью выяснения роли излучения, будем
считать, что газ обладает постоянными теплоемкостью и показателем
адиабаты у и подчиняется обычному уравнению состояния:
р = АдТ,
А = const;
1
е=
_
AT
Y— 1
Q
Подставляя в (3.74) e и p по формулам (3.49), (3.50), выражая
давление p и энергию e через температуру T и исключая иу с помощью
первого из уравнений (3.74), получим соотношения, соответствующие
формулам (3.72), (3.73), в которых излучение не учтено:
vl
t
vi
t
t
(3
- J L ^ . +JSgL..^* ( , _ £ ) , ]
-
75)
где h — QJ/QO — сжатие во фронте ударной волны. Исключим далее из
этих уравнений D и разрешим полученное выражение относительно 7\:
4аГ|
зл
с е о
_h(h-h )
.
" (1-щ "'
^-'°>
0
fi
где /г = (у + 1)/(у — 1) — предельное сжатие в сильной ударной волне
без учета излучения. Это соотношение можно рассматривать как уравне­
ние, определяющее сжатие h в зависимости от амплитуды ударной вол­
ны, которую можно характеризовать температурой за фронтом Ту.
Величина в левой части уравнения (3.76), пропорциональная Т\,
представляет собой помноженное на h отношение давления излучения
к давлению вещества за фронтом ударной волны hp lpy. Из (3.76) следу­
ет, что если давление излучения относительно мало, так что hp /py < 1, то
h ж h , т. е. сжатие равно обычной величине h = (у + 1)/(Y— !)• В пределе
очень сильной волны, когда hp /py ~ Т\->- оо, сжатие h стремится к hoc =
= 7. Этого результата следовало ожидать, так как равновесное излучение
с термодинамической точки зрения ведет себя как идеальный газ с пока­
зателем адиабаты у = 4/3 (см. § 3 гл. II), соответствующим предельному
сжатию в ударной волне, равному 7.
В интервале между двумя предельными случаями ~^—>-0 и -^—»- оо
0
vi
vi
0
0
vl
Pi
Pi
сжатие h по мере увеличения амплитуды волны монотонно меняется
от h = (у + 1)/(Y — 1) до h = 7, независимо от того, /г >> 7 или
ho < 7, т. е. независимо от того, меньше или больше 4/3 показатель адиа­
баты газа без учета излучения.
В предельном случае, когда энергия и давление излучения много
больше энергии и давления вещества, т. е. когда вторые члены в левых
частях уравнений (3.75) гораздо больше первых, температура за фрон­
том Ту ~ Z> , в отличие от обычного случая Ту ~ D , без учета излуче­
ния (в газе с постоянной теплоемкостью).
Напоминаем, что относительная роль энергии и давления равновес­
ного излучения тем больше, чем меньше плотность вещества: p /p ~ 1/Q
(в газе с неизменным числом частиц). Например, в полностью ионизо­
ванном водороде давление излучения равно давлению газа при Т =
== 10'°К, если число частиц (протонов и электронов) п = 10 1/см ;
если же п = 10 1/см , давления сравниваются при Т = 10 °К.
0
x
1/2
0
2
v
19
16
я
5
3
186
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. I I I
2. ГАЗ ИЗ ЧАСТИЦ С КУЛОНОВСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
§ 11. Разреженный ионизованный газ
Рассмотрим отклонения ионизованного газа от идеальности, обусло­
вленные кулоновским взаимодействием заряженных частиц. Мы огра­
ничимся в этом параграфе случаем слабой неидеальности, когда члены
кулоновского взаимодействия в термодинамических функциях можно
рассматривать как малые поправки к членам, соответствующим идеаль­
ному газу.
Для того чтобы ионизованный газ можно было считать идеальным,
необходимо чтобы энергия кулоновского взаимодействия соседних час­
тиц была мала по сравнению с их энергией теплового движения, т. е. чтобы
выполнялось условие (Ze) /r < кТ, где Z — средний заряд частиц
(ионов, электронов), а г « п' ^ — среднее расстояние между ними;
п — число частиц в 1 см газа. Это условие можно переписать в форме
2
0
1
0
я
п
2
2
«(w)"^ > -
1 0 8
смЪ
77
(-£-)' 1 ' -
(З- )
Например, при степени ионизации порядка единицы (Z ~ 1) и Т ~
~ 30 000° К для идеальности нужно, чтобы гс<6,2-10
1/см (для
сравнения напомним, что число молекул в воздухе нормальной плотности
равно 2,67-10 1/см ).
Кулоновские поправки к термодинамическим функциям при слабой
неидеальности можно вычислить, воспользовавшись методом Дебая —
Хюккеля так, как это сделано в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1 ]
(см. также работу Б. Л. Тимана [11]). Вокруг каждого из ионов или
электронов образуется неравномерно заряженное облако из соседних
частиц, причем распределение плотности заряда в этом облаке опреде­
ляется законом Больцмана в соответствии с электростатическим потен­
циалом, создаваемым совместным действием центрального заряда и обла­
ка. Решение уравнения Пуассона для распределения электростатического
потенциала по радиусу г около центрального иона с зарядом Z e в первом
приближении приводит к формуле
21
19
3
3
t
rj
{ — rid)
<Pi = Z e exp -=—y-i ,
t
где d — так называемый дебаевский радиус, характеризующий размеры
облака,
3
(щ — число ионов с зарядом Z e в 1 см , электроны также включаются
здесь в понятие «ионов»; для них Z = —1).
Статистическое рассмотрение методом Дебая — Хюккеля справед­
ливо, если в облаке содержится много частиц, т. е. если дебаевский
радиус d гораздо больше среднего расстояния между частицами г да п' з.
Условие d > r приводит к условию п < I
=- ] =1,1-10 i -=- ) —§,
t
г/
0
5
0
еще более жесткому, чем условие идеальности газа (3.77). Таким образом,
дебаевское рассмотрение предполагает очень слабую неидеальность газа.
187
РАЗРЕЖЕННЫЙ ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ
§ 11]
Ze Z e
Вблизи центра при г < d q> = —
~. Первый член есть потен­
циал, создаваемый самим центральным ионом, а второй (р[ = — Z eld
представляет собой потенциал, создаваемый окружающими зарядами
в месте, где находится данный ион. Кулоновская энергия газа в объеме V,
согласно общей электростатической формуле, равна
,
з
E = V-±Y eZ n <p' = -Ve j / J L . ^ » ^ ) ( - )
t
t
a
KY11
i
i
i
2
3
79
i
Поправку к свободной энергии можно найти путем интегрирования тер­
модинамического соотношения Е/Т* = — д/дТ {FIT):
/--кул = 4 Якул = - | «
3
N
2
3
l / w ( 2 i%) '
8
( - °)
где Nt = TiiV — полное число частиц г-го сорта в объеме V. Поправка
к давлению:
9
Г ^кул \
#кул
/
Tt
0
Q
,
81
Pw=-{—ffr-) „ =-3ir-
(З- )
t
В среднем между частицами действуют силы притяжения, так как
каждый ион окружает себя преимущественно зарядами противополож­
ного знака. Поэтому кулоновские энергия и давление отрицательны.
Кулоновское взаимодействие влияет на состояние газа двояким
•образом. Во-первых, оно уменьшает энергию и давление ( а также энтро­
пию: 5
=
^=^ — - ^ ) . Во-вторых, и этот эффект наиболее суще­
ствен, оно сдвигает ионизационное равновесие в сторону более высокой
-степени ионизации.
В самом деле, свободный электрон во взаимодействующем газе обла­
дает отрицательной потенциальной энергией, т. е. как бы тоже немного
связан с ионами, поэтому для отрыва электрона от атома или иона необхо­
димо теперь затратить несколько меньшую работу, что соответствует
эффективному уменьшению потенциалов ионизации. Уменьшение потен­
циала ионизации определяется изменением не полной, а только свобод­
ной кулоновскои энергии, так как вследствие зависимости кулоновскои
энергии от температуры «включение» кулоновских сил взаимодействия
меняет энтропию системы.
Чтобы вывести формулу для ионизационного равновесия с учетом
кулоновского взаимодействия, поступим так же, как и в § 5. Запишем
полную свободную энергию системы в виде
F = /^ид + ^иул.
гДО-^ид выражается формулой (3.41), a F -—формулой (3.80), и составим
вариацию bF по отношению к вариации числа яг-ионов в результате
их ионизации.
Воспользовавшись условием bN — — 6iV = — bN и прирав­
нивая вариацию bF нулю, получим вместо (3.42) исправленное выражение
для «закона действующих масс». Чтобы здесь не путать статистическую
сумму с зарядом, отметим статистические суммы «тильдой» (Z):
к у п
Ky31
m
_,
_ д г ,,
Nm+\N _ ^m+l^e - hT
N
e
m
m+1
e
(3.82)
188
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
где величину А /
потенциалов
т + 1
, равную изменению кулоновских частей химических
М
' —
Л-/
— fX , кул
т + 1
[ГЛ. III
m
Мто+1, кул
— С д^кул ^
И«, кул — ( gjy J
Ие, кул,
T
,
можно трактовать как уменьшение потенциала ионизации яг-ионов (напо­
минаем, что Z Z /Z
~ exp (—
I /kT)).
Вычисление дает для поправки к потенциалу ионизации величину
m+l
e
m
m+i
i_
А/
8
т + 1
= 2 (Z + 1 ) е j / j l - ( ^ ^ 2 ? ) ' ,
(3.83>
m
где Z — заряд т.-иона; по существу, Z = т.
Принимая во внимание определение дебаевского радиуса (3.78),
можно переписать (3.83) в виде
m
m
Д/
т + 1 =
.(Zm+*)«
g
=
Zrnue^
(
g
щ
Уменьшение потенциала ионизации m-иона в точности равно энергии
кулоновского взаимодействия т + 1-иона, получающегося в результате
ионизации m-иона, с оторванным электроном, если последний находится
на расстоянии, равном дебаевскому радиусу.
В соответствии с условиями справедливости метода Дебая — Хюккеля
и условием слабой неидеальности формула (3.84) справедлива, если
d » r , т. е. М < кТ.
В области первой ионизации формула (3.84) принимает вид (г = 0, 1, е;
Z = 0, Z = 1, Z = - 1):
0
0
l
e
• A/
1=
2
8
e
( ^ ) \
(3.85)
где а = п 1п = щ/п — степень ионизации.
В области многократной ионизации, заменяя, как это мы делали
в § 7, все ионы ионами с одним «средним» зарядом тп= — (п — число
е
3
исходных атомов в 1 см ) и полагая Z\ = га , получим для изменения
«среднего» потенциала ионизации:
7
1
М = 2(т + 1)е*[ Щ± ^]*.
(3.86)
В качестве примера рассмотрим воздух при температуре Т =
= 100 000° К и нормальной плотности и = 5,34-10 Нем . Без учета
кулоновского взаимодействия имеем при этих условиях степень иониза­
ции m = 2,72 и «средний» потенциал ионизации I — бОэв (1/кТ = 6,9).
Поправка к «среднему» потенциалу ионизации с этим значением m равна
А/ = 5,4 эв (AI/кТ = 0,63), т. е. кулоновское взаимодействие умень­
шает «средний» потенциал ионизации почти на 10%, что соответствует
в следующем приближении возрастанию степени ионизации примерно
на 14% *).
19
3
*) Формально при рассматриваемых условиях мы находимся на нределе при­
менимости метода, так как Л / = 5,4 эв лишь немногим меньше кГ — 8,6 эв.
•§ 12] КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА 1 8 9
Влияние кулоновских поправок на сдвиг ионизационного равновесия
в аргоне при Т = 45 000° K i ; ~ 10" — 10 атпм рассмотрено в рабо­
те [14]. Это влияние оказалось довольно заметным, в то время как поправ­
ки к термодинамическим функциям не превышали 1 %.
3
2
§ 12. Плотный газ. Элементы квантовой статистики Ферми — Дирака
для электронного газа
Выше при рассмотрении ионизованного газа всегда предполагалось,
что свободные электроны подчиняются классической статистике Больцмана. Строго говоря, электронный газ описывается квантовой статисти­
кой Ферми — Дирака, которая лишь в случае достаточно высоких тем­
ператур или достаточно малых плотностей переходит в статистику Больцмана. Это превращение происходит, если температура электронного газа
гораздо больше так называемой температуры вырождения Т , которая
определяется числом электронов в 1 см п:
0
3
1
4
3 5
1 0
1 1
3
^ - К ! ) ^ " — ' - " " ***.
(3.87)
При обычных газовых плотностях и температурах, при которых
вследствие ионизации появляются свободные электроны, условие Т > Т
выполняется с большим запасом. Например, при плотности атмосфер­
ного воздуха и примерно однократной ионизации атомов п = 5,34 X
X 10 1/сл4 , температура вырождения Т = 610° К, температура газа
при этом Т ~ 35 000° К, так что Т/Т ~ 60. Условие применимости ста­
тистики Больцмана может нарушаться либо при очень низких темпера­
турах, либо при высоких плотностях электронного газа. Первый случай
при рассмотрении газов обычно не возникает, так как при низких тем­
пературах газы не ионизуются.
Что же касается второго, то в ряде процессов образуется очень плот­
ный, высоконагретый газ, в котором присутствуют электроны. Обычно
такое положение возникает, когда первоначально твердое тело быстро
нагревается до очень высоких температур порядка десятков или сотен
тысяч градусов *) и, по существу, превращается в плотный газ, так как
при таких температурах энергия теплового движения часто превышает
энергию связи атомов в твердом или жидком веществе.
При плотности порядка плотности твердого тела и числе свободных
электронов на атом порядка единицы температура вырождения равна
нескольким десяткам тысяч градусов (например, при п = 5-Ю 1/см
Т = 59 000° К), т. е. даже при температуре в сто тысяч градусов никак
нельзя описывать электроны статистикой Больцмана.
Следует отметить, что при плотностях порядка плотности твердого
тела и температурах в десятки или сотни тысяч градусов энергия кулоHoiicKofo взаимодействия заряженных частиц, электронов и ионов, срав0
19
3
0
0
22
3
0
*) Например, при ударах метеоритов, летящих с большими скоростями порядка
нескольких десятков километров в секунду, о поверхность планет, при взрывах про­
волочек электрическим током, при нагревании анодных игл в импульсных рентгенов­
ских трубках электронным ударом (см. работу В. А. Цукермана и М. А. Манаковой [28]), при нагревании твердого тела мощной ударной волной и др. Мы не оста­
навливаемся здесь на таком классическом объекте применения квантовой статистики,
как свободные электроны в металлах при обычных условиях.
190
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
£ГЛ. Ill
нима _с_ их кинетической энергией и электронно-ионный газ является
'существенно"неидеальным *).
Задача определения термодинамических свойств газа при таких
условиях приближенно решается методом, который представляет собой
обобщение метода Томаса — Ферми для статистического описания атома
на случай отличной от нуля температуры. Для того чтобы изложить
существо этого метода, нам придется напомнить основные положения
квантовой статистики Ферми — Дирака (подробнее см., например, [1]).
Рассмотрим свободный **) электронный газ при нуле температуры
(так называемый полностью вырожденный газ). Число квантовых состоя­
ний в элементе объема dV и интервале абсолютных значений импульсов
электрона от р до р + dp (число клеток в фазовом пространстве коорди­
нат и импульсов) равно 4 я р ф dV/h . В каждой клетке может находиться
по два электрона с противоположно направленными спинами, так что
полное число квантовых состояний в данном интервале dpdV есть
8np dpdV/h . По принципу Паули в каждом квантовом состоянии с дан­
ным направлением спина может находиться не более одного электрона.
N электронов, находящихся в объеме V (п — NIV — число элек­
тронов в 1 см ), заполняют все самые низкие энергетические состояния
с импульсами от 0 до р , так что
2
2
s
a
3
0
Р0
N
_ у ? 8яр2 dp _ 8лрЗ у
Отсюда следует выражение для максимальной кинетической энергии
электронов е = р%12т — так называемой граничной энергии Ферми:
0
е
2
1 ( 3 ^з /> f N Лз
1 ( 3 \з Ь
2
и
з
,о OON
Температура вырождения (3.87) определяется как Т = е /к. Кине­
тическая энергия N электронов в объеме V равна:
0
р
0
5 _2
а
8
3
E „ = V \ £- -^fl= ^s N^N V^
(3.89).
о
(средняя кинетическая энергия одного электрона равна у е j .
Поскольку электроны предполагаются свободными, то кинетическая
энергия в то же время равна и полной энергии Е
= Е, и в силу термо­
динамического соотношения TdS — dE + PdV, отнесенного к нулю тем­
пературы, давление свободного вырожденного электронного газа равно
K
H
0
е
0
КИН
dE_2E _2
L / ^ A V ^ B »
—*у-Т-1Г-Т -2о{п)
т
•
Давление пропорционально плотности в степени 5/3.
Р=
mB
ВоП
/390\
^- '
п
У и )
е
22
- 8
2
2
/з
*) Например, при п = 5-Ю с м и Z = 1 кулоновская энергия е /г як е п сравнивается с кТ при Т = 60 000° К. Кинетическая энергия свободных электронов,
которая определяется не просто температурой, но и температурой, вырождения Т ,
также сравнима с кулоновской, поскольку Т при этом равна 59 000° К.
**) Свободный в том смысле, что на электроны не действуют силы. В то же врем»
предполагается, что электронный газ не растекается. Реально это можно себе пред­
ставить как электроиейтральную смесь ионов и электронов, в которой среднее само­
согласованное поле считается равным нулю (везде, кроме границ тела).
0
0
§ 12]
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА Д Л Я ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
191
Соотношение давления и кинетической энергией Р = 2/3-E IV
такое же, как и в одноатомном больцмановском газе. Это и понятно, так
как «кинетическое» давление определяется переносом импульса части­
цами, и связь бго с кинетической энергией частиц чисто механическая,
не зависящая от типа статистики, которой подчиняются частицы.
При повышении температуры электроны, ранее заполнявшие самые
низкие энергетические уровни, переходят в более высокие квантовые
состояния. В квантовой статистике Ферми — Дирака доказывается, что
функция распределения частиц по квантовым состояниям, т. е. среднее
число электронов в квантовом состоянии
с энергией 8, есть
vwn
/=
(3.91)
-H-1-e
+1
где \х — константа, зависящая от темпе­
ратуры и плотности электронов, пред­
ставляющая собою химический потенциал
электронного хаза. В свободном электрон­ Рис. 3.2. Функция распределения
ном газе энергия е равна кинетической для электронного газа по стати­
энергии е = р /2т . При нуле темпера­
стике Ферми—Дирака.
туры функция распределения равна 1, если
8<|л ( ~ 1 г ~ = — оо 1 , и равна 0, если 8 > \х '-•^=+~)
(т. е.
получаем уже найденное выше распределение, причем, как видно из этого
рассуждения, химический потенциал свободного газа совпадает с гра­
ничной энергией Ферми 8 . При отличной от нуля температуре распре­
деление «размывается», как показано на рис. 3.2.
Число электронов в 1 см с импульсами в интервале отр дор + dp есть
2
е
0
3
2
Q(p)dp
=
8лр dp
W "/ =
2
8я
р dp
„
hT
(3.92)
+1
а полное число электронов в единице объема равно
п= jQ(p)dp = -^ j j - ^ Hdp
е
к Т
(3.93)
+1
Эта формула определяет в неявном виде химический потенциал \х как
функцию температуры и плотности.
Кинетическая энергия электронов в единице объема равна
2т. Q
(Р)
d
P •
dp
8я
М-+ 8
3 2т„ -иkT
(3.94)
+1
Статистику можно применять и к электронному газу, находящемуся
в потенциальном поле. Разумеется, поле должно меняться в пространстве
достаточно медленно для того, чтобы в элементарном объеме dV, на про­
тяжении которого поле может считаться постоянным, находилось доста­
точно много частиц. В противном случае применение статистики к час-
192
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. III
тицам теряет смысл *). Если обозначить электростатический потенциал
поля в точке г через ф (г), то энергию электрона е можно записать в виде
В статистической механике доказывается, что если газ находится
в поле, то в состоянии равновесия его химический потенциал fi должен
быть одинаковым в разных точках. В противном случае частицы будут
перетекать из одного места в другое.
Если рассматривать электронный газ, находящийся в поле при нуле
температуры, то согласно формулам (3.91), (3.95) функция распределе­
ния / по-прежнему равна 1, если е = р /2т — еф (г) <; fi и равна О,
если 8 = р 12т — еф (r) > fi. Таким образом, максимальная кинетиче­
ская энергия электрона в данной точке г равна е (г) = \х + ец(г). Она
теперь зависит от координаты, но максимальная полная энергия элек­
трона р\1Ъп — еф (г) = eft — еф (г) = ц, равная химическому потен­
циалу, от точки не зависит (если бы она зависела от координаты, элек­
троны перетекали бы из места с более высокой в место с более низкой
максимальной энергией).
Формулы (3.92) — (3.94) справедливы и для газа, находящегося
в поле, если под 8 понимать величину (3.95)_._ Формула (3.93) теперь дает
неявную связь плотности газа в точке г, п (г) с величиной 8 (г) = \х +
+ еф (г), т. е. с потенциалом в данной точке и температурой Т. При Т = О
эта связь по-прежнему выражается формулой (3.88).
2
е
2
е
0
е
0
§ 13. Модель атома по Томасу — Ферми и сильное сжатие
холодного вещества
При описании плотного газа по методу Томаса — Ферми не делается
различия между «свободными» и «связанными» электронами, и газ счи­
тается состоящим не из ионов и электронов, как при малых плотностях,
а из ядер и электронов. J5npa подчиняются статистике Больцмаца и
вносят свой вклад в полные давление и удельную тепловую энергию.
При высоких температурах этот вклад соответствует обычному одноатом­
ному газу:
3
(п — число ядер в 1 см , Q — плотность вещества). Вся энергия взаимо­
действия частиц приписывается электронам. Для вычисления электрон­
ных частей энергии и давления газ разбивается на атомные ячейки, каждая
из которых содержит ядро с зарядом Ze и Z электронов. Для простоты
ячейка считается сферической. Объем ее V принимается равным среднему
объему в веществе, приходящемуся на одно ядро: V — 1/п , а радиус
г = (37/4я) /з = (3/4ЯВ») /».
Между атомными ячейками в модели Томаса — Ферми не действуют
силы сцепления, так что эта модель не описывает связи атомов в твердом
теле. Ячейки оказывают друг на друга положительное давление, сов­
падающее с давлением электронного газа, т. е. модель описывает только
силы отталкивания и «тепловое» давление. Поэтому модель дает разум­
ные результаты либо при больших плотностях, для сильно сжатого твера
а
х
1
0
*) Поле должно мало меняться и на расстоянии порядка длины волны электрона.
§ 13]
193
М О Д Е Л Ь АТОМА П О ТОМАСУ — Ф Е Р М И
дого тела, когда силы отталкивания резко преобладают над силами при­
тяжения атомов, либо при высоких температурах, когда силами сцепле­
ния можно пренебречь. Из сказанного следует, что в модели Томаса —
Ферми энергии «ионизации», «возбуждения» и «теплового движения»
электронов уже не вычисляются отдельно, как при рассмотрении разре­
женных газов. Они автоматически входят в полную электронную энергию
атомной ячейки. Для того чтобы выделить из нее «тепловую» часть энер­
гии, специально связанную с существованием температуры, из полной
энергии следует исключить энергию ячейки того же самого объема, но
соответствующую нулю температуры. То же относится и к давлению.
Рассмотрим сначала атомную ячейку при нуле температуры, т. е.
статистическую модель атома по Томасу — Ферми*). В основе этой
модели лежит предположение о том, что в сложных атомах с большим
числом электронов большинство электронов обладает высокими глав­
ными квантовыми числами и их движение квазиклассично.
Электроны в атоме рассматриваются как газ, находящийся в доста­
точно медленно меняющемся по радиусу самосогласованном электро­
статическом поле **) ф (г), обусловленном зарядами ядра и самих элек­
тронов. Тем самым учитывается неидеальность электронного газа. К этому
газу применяется статистика Ферми — Дирака.
Максимальная кинетическая энергия электрона на данном расстоя­
нии г от ядра 8 (г) = ^ + еф (г) связана с плотностью электронов в этой
точке формулой (3.88), так что плотность выражается через потенциал
формулой
0
2
n(r) = ?f2 '% [e >(r)
r
4
^ .
+
(3.96)
Электростатический потенциал ф (г) удовлетворяет уравнению Пуассона:
А
г
Ф = 7--Й-1 ФИ]
=
4 я в и
г
< ).
3
97
( - )
которое после подстановки (3.96) и введения нового «потенциала» г|) =
= ф + \1/е (потенциал определяется с точностью до аддитивной постоян­
ной) принимает вид:
у -ж И) = —з
р- * •
3
98
<- )
К уравнению (3.98) присоединяются граничные условия. В центре,
при г-*- 0, поле переходит в кулоновское поле ядра, т. е.
Ф(г) = - ^
при г - » 0 .
(3.99)
Поскольку ячейка электронейтральна, на границе ее поле равно
нулю (вне ячейки потенциал постоянен):
Д ^ = 0 при г = г .
0
(3.100)
*) Подробному изложению этого вопроса посвящена книга Гамбоша [29].
Короткое и ясное изложение можно найти в книге Л Д Ландау и Е М. Лифшица [30].
**) О возможностях статистического описания электронного газа в поле было
сказано в предыдущем параграфе.
13 я . Б . Зельдович, Ю. П. Райзер
194
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. I I I
Это условие эквивалентно очевидному соотношению
'и
(3.101>
2
= $ » ( г ) 4яг dr.
Введением безразмерных переменных
__ г
Ж
_
а
~Т'
_
1
1 ( 9я2 Л з а
-
_
0
г
4 V. 2"У
А~
0,885а,
z'3
2
2
2
где а = /г /4я та е = 0,529-10
0
8
е
о
А
Z
(3.102>
3
еж — боровский радиус, и
(3.103)
=
x=i(<p+v) -^'
уравнение (3.98) приводится к универсальному виду
1-2
л —
v
2
(3.104)
rfl2 — X •
Граничные условия (3.99), (3.100) принимают форму:
(0) = 1; х(*.) = * ь ( £ ) „
Х
Безразмерная форма уравнений демонстрирует характер подобия по
отношению к числу электронов Z. А именно, распределение плотности
по радиусу согласно (3.96), (3.102), (3.103) можно
записать в виде
i
n(r) = Z*i(j^-y
6 = 0,885a ,
(3.105)
0
3/2
где функция / пропорциональна (х/я) .
Решение уравнения (3.104) с соответствую­
щими граничными условиями (это делается путем
численного интегрирования) дает распределение
потенциала и плотности электронов по радиусу,
после чего можно вычислить все интересующие
Рис. 3.3. Схематическое
распределение электрон­ нас величины.
Электронная плотность в свободном нейтраль­
ной плотности в свобод­
ном атоме.
ном атоме, не сжатом внешними силами, как
показывает решение, простирается до бесконеч­
ности: % -*- 0, п -*- 0 при х -> оо *) (рис. 3.3). Если за нуль потенциаль­
ной энергии принять состояние, в котором все заряды разведены на бес­
конечность, следует положить потенциал <р равным нулю на бесконеч­
ности. Химический потенциал при этом обращается в нуль. Давление
на границе свободного атома, не сжатого внешними силами, а следова­
тельно, и давление **) во всем пространстве равны нулю. По теореме
*) Поскольку поле электронейтрального атома должно убывать на бесконечности
быстрее, чем г" , «потенциал» гр убывает быстрее, чем т ; граничное условие в этом
случае принимает вид гф ~ % —>- 0 при г —v оо.
**) Давление в системе из взаимодействующих частиц складывается из двух
частей: «кинетического», связанного с движением частиц и их кинетической энергией
обычным соотношением .Ркин 2 ^иин /3» где п — число частиц в 1 см ^, а в
—
их средняя кинетическая энергия, и «потенциального», эквивалентного силам, дей2
--1
==
п
к и н
195
М О Д Е Л Ь АТОМА П О ТОМАСУ — Ф Е Р М И
§ 13]
вириала для неограниченного кулоновского поля полные кинетическая
и потенциальная энергии частиц связаны соотношением 2Е^т = — ^потПолная энергия атома Я = £ ~ + Е^, = — Е% = -j ^ . Теорема
вириала в данном случае, в сущности, выражает тот факт, что кине­
тическое расталкивание электронов в точности уравновешивается кулоновским стягиванием их к ядру, благодаря чему полное давление, равное
сумме «кинетического» и «потенциального», в каждой точке равно нулю.
Хотя электронная плотность, в принципе,
простирается до бесконечности, основной
заряд сосредоточен в конечном объеме У ф.
Согласно (3.105), линейным масштабом этой
области служит боровский радиус а , причем
Т^ф ~ Z~ (см. рис. 3.3). Это следует и из
теоремы вириала. Потенциальная энергия
атома по порядку величины равна 2?^ т ~
~ — e Z l\ J* Кинетическая энергия, соглас­
но (3.88), (3.89), порядка
00
н
т
O T
Э
0
x
Э
0
2
2
n
El
Z
h*
'S Z>
\з
n
Из условия механического равновесия или р
з.4. Схематическое растеоремы вириала найдем V & ~ С"^~У X
пределение электронной плот"
V h у
ности в «сжатом» атоме — в
X Z' ~ alZ' . Полная энергия атома порядка
атомной ячейке радиуса г .
И С -
r
y
1
< aр
rt
2
1
0
2
Я°° = Я ~ / 2 ~ — e Z'/3/a
I^ZPh. Точ-'
ное значение Ef° = — 20,8 Z !* эв; это есть, по абсолютной величине,
энергия, которую надо затратить, чтобы развести все заряды атома на
бесконечность (энергия полной ионизации атома).
Рассмотрим теперь «сжатый» атом, т. е. атомную ячейку конечного
объема V. Теперь давление (равное «внешней» силе, действующей на
1 см поверхности ячейки) отлично от нуля и положительно. Следова­
тельно, и электронная плотность на границе ячейки конечна (рис. 3.4),
В самом деле, поля на границе ячейки нет. Электроны у границы ведут
себя как свободные и все давление у границы «кинетического» происхо­
ждения. «Кинетическое» давление, по определению, равно передаче
нормальной составляющей импульса 1 см поверхности ячейки в 1 сек.
Поскольку электроны распределены по направлениям движения изо­
тропно,
т
0
1
2
2
Р= ] QiPf
(3.106)
r )Pjdp,
Q
где Q (р, г о) - функция распределения по импульсам у границы ячейки
r , a v — plm — скорость электронов. Давление, как и следует ожидать,
равно
0
e
Р=
т
п (г ) е
0
п
к и н
(3.107)
г
(го) = -г- ( о) е (г ),
0
0
ствующим на частицы (в данном случае кулоновским). Формально это разделение сле­
дует из соотношения (при нуле температуры) Р = — dEjdV = — (dE /dV) —
— (dE /dV) = Р ин+ -Рпот- Кинетическое давление всегда положительно, потенци­
альное Р от > 0, если частицы отталкиваются, и Р т < 0, если они притягиваются.
13*
Kvm
noT
К
п
ПО
196
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ГАЗОВ
[ГЛ. III
3
е
г
где 8 ц (г<>) — у о ( о) — средняя кинетическая энергия электрона
у границы ячейки. Давления во всех точках одинаковы: Р
+
+ Рпот = const, хотя «кинетическая» и «потенциальная» составляющие
меняются от точки к точке. «Кинетическое» давление Р
в любой точке
выражается через кинетическую энергию формулой типа (3.107).
Выражая полные кинетическую и потенциальную энергии всей ячейки
2? и ^пот через интегралы по объему ячейки от плотностей энергий,
которые пропорциональны электронной плотности, можно путем непо­
средственного вычисления убедиться в том, что *)
КИ
К 1 Ш
кии
кин
Р7 = | - £
к и н
+ у£
П 0 Т
.
(8.108)
Уравнение (3.108) может быть выведено из теоремы вириала приме­
нительно к системе частиц, находящихся в кулоновском поле и зани­
мающих конечный объем **). В частности, для свободного атома Р = 0
и 2££° = — Е^аг как уже говорилось выше.
При сжатии атома давление и плотность на границе растут. Растет
и энергия ячейки в силу соотношения dE = — Р dV (P > 0). Физически
это очевидно, если учесть, что не сдерживаемое внешними силами элек­
тронное облако, стремясь свести к минимуму энергию системы, расте­
кается до бесконечности. Если интересоваться энергией сжатия ячейки,
ии
*) При вычислении потенциальной энергии следует разбить потенциал на два
слагаемых, соответствующих потенциалу ядра и потенциалу электронов <р = <р + <р ,
где ф = Ze/r,
• го
гp
п
е
а
1
0
t
2
Е от = Япоте + Япота = — -j Ые \ г dm (г) ф (г) — 4rte ^ r* dm (г) ф (г) =
П
е
а
О
О
2
"2" 4яе Ь * п ( г ) [ ф ( г ) + у ]
.
(3.109)
О
Множитель 1/2 в Е
введен потому, что энергия взаимодействия каждого электрона
с каждым другим в интеграле учтена дважды. Чтобы потенциальная энергия отсчитывалась от значения, соответствующего разведению всех электронов на бесконечность,.
следует положить потенциал на границе нейтральной ячейки ф (г ) равным нулю.
Поскольку плотность на границе сжатого атома отлична от нуля (ей пропорционально
давление), химический потенциал в силу определения ф (г ) = 0 согласно (3.96) не
равен нулю и положителен.
**) Теорема вириала для движения системы частиц в кулоновском поле гласит:
2Е
— I = — 2 i i> Д i — РадиУ вектор s-ro электрона, a F — действующая
поте
0
0
r p
г
е
r
0
кав
t
i
на него сила. Усреднение производится по всем положениям электронов (или по вре­
мени). Разбивая вириал / на три составляющие, соответствующие силам, действующим
на электрон со стороны других электронов 1 , ядра 1 и границы / , и производя
несложные преобразования (см. [31]), получим:
ее
еа
/0 = ^0 S I Fграница I = 4 Я г § Р = З Р У ,
i - У ^ =
i
j
i
j
Подставляя все эти слагаемые в теорему вириала, получим (3.108).
0
197
МОДЕЛЬ АТОМА ПО ТОМАСУ — ФЕРМИ
§ 13]
то ее следует отсчитывать от энергии свободного атома, т. е. из полной
энергии ячейки Е (V) следует вычесть энергию атома Е°°. Поскольку давле­
ние в свободном атоме равно нулю, то из давления ничего вычитать не надо.
Здесь следует подчеркнуть, что модель Томаса — Ферми по своему
существу описывает только силы отталкивания, действующие между
атомами (атомными ячейками), эквивалентные положительному давле­
нию, и не описывает сил притяжения, которые появляются только при
учете обменной энергии. Поэтому
А. П
модель не может обеспечить связыва­
ние атомов в твердое тело. Чтобы
сжать атомную ячейку до размеров
ее в твердом теле в модели Томаса —
Ферми, необходимо затратить работу
против сил давления, и энергия та­
кой ячейки больше, чем энергия сво­
бодного атома, в то время как в
действительности давление в твердом
теле при нуле температуры равно
нулю, и энергия связанного состоя­
ния атома меньше энергии свобод­
ного атома.
При небольших сжатиях свобод­ Рис. 3.5. Перераспределение электрон­
ного атома в рассматриваемой модели,
ной плотности при сжатии атома.
когда объем V > У ф, электронная п', п", п"', п"" — схематические распреде­
плотность перераспределяется только ления в ячейках радиусов г^, r[J, г'"', т' "';
в свободном атоме
вблизи границы (рис. 3.5), давление Псо — распределение
(г = оэ).
и энергия АЕ = Е — Е°° невелики.
Приближенную зависимость давления от объема ячейки можно получить,
полагая, что плотность на границе г в первом приближении такая же,
как и плотность в точке г = г в свободном атоме. Как легко проверить,
асимптотическое решение уравнения (3.104) для свободного атома при
х -*• оо имеет вид % = 144 аг .
Согласно (3.105) и (3.102) плотность на границе
з
% \2
• v-»,
Z% Z-* •
г*х~
п (г )
/з ~ у / и не зависит от Z.
а давление по формуле (3.107) Р ~ пв
Существенное возрастание давления и энергии начинается при боль­
ших сжатиях, когда объем атомной ячейки становится порядка и меньше
эффективного объема У ф, занимаемого основной частью электронов
в атоме. Электроны теперь занимают весь объем ячейки (см. рис. 3.5)
и среднее расстояние между частицами г порядка V ^, а средняя плот­
ность п ~ ZIV. При этом Е
~ Z« /3 ~ г ^у-Уз
Е
~ — 2?lr ~
Э
а
0
0
0
3
S
й
0
5
10
3
0
Э
1
2
ь
къп
2
1
а
пот
l
Z 1/- /3.
Как видно из этих соотношений, при сжатии кинетическая энергия
растет скорее, чем потенциальная, и в пределе малых объемов, т. е. боль­
ших плотностей вещества ^кин Э> Е , Е ~ Е ,
Р ~ ^кин IV. Все
давление становится «кинетическим» и предельный закон имеет вид
пот
3
шш
Р~ZW
~/г~Ч
(3.110)
Давление сильно сжатого холодного вещества пропорционально
плотности вещества Q (которой пропорциональна средняя плотность
198
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. Ш
электронов л) в степени 5/3, как для свободного вырожденного электрон­
ного газа. Удельная энергия соответственно пропорциональна е ~ о, .
Надо сказать, что фактически эти предельные законы становятся
справедливыми лишь при очень больших плотностях^ раз в десять пре­
вышающих плотности обычных твердых тел. О реальных зависимостях
давления и энергия холодного сжатия твердых тел от плотности речь
будет идти в гл. XI.
2/з
§ 14. Вычисление термодинамических функций высоконагретого
плотного газа методом Томаса — Ферми
Общая схема термодинамического описания плотного газа при высо­
ких температурах в рамках модели Томаса — Ферми была изложена
в начале предыдущего параграфа. Обобщение уравнений модели холод­
ной атомной ячейки на случай отличной от нуля температуры произво­
дится элементарно. В основе лежит уравнение Пуассона (3.97) для элек­
тростатического потенциала в ячейке ф (г) *), который по-прежнему
удовлетворяет граничным условиям (3.99) и (3.100), а также полагается
равным нулю на границе ячейки для целесообразного отсчета потен­
циальной энергии. Однако вместо простого соотношения (3.96), связы­
вающего электронную плотность п (г) с потенциалом, теперь появляется
интегральное соотношение (3.93) с функцией распределения / (р), зави­
сящей от температуры по формуле (3.91), где энергия электрона выра­
жается, как и раньше, формулой (3.95).
По-прежнему справедливо нормировочное условие (3.101). Полная
кинетическая энергия ячейки вычисляется путем интегрирования плот­
ности кинетической энергии (3.94) по объему ячейки, а потенциальная
энергия выражается через электронную плотность и потенциал форму­
лой (3.109).
Для давления справедлива формула (3.106), если под Q (р, г ) пони­
мать теперь функцию распределения по импульсам, зависящую от тем­
пературы по формуле (3.92). По-прежнему справедлива и теорема вириала,
приводящая к соотношению (3.108), которое следует и непосредственно
из выражений для Р, Е
и Е .
Известные затруднения представляет вычисление энтропии ячейки S.
Непосредственное вычисление ее с помощью термодинамических соотно­
шений и'выражений для энергии Е и давления Р ячейки было проделано
Брахманом [32]. Менее строго, путем приближенного вычисления ста­
тистической суммы энтропию нашел Латтер [31]. Энтропия ячейки равна
0
кшн
S ~~f-
пот
I у £'кин + 2£поте + ^ п о т о
—
Z\l J ,
(3.111)
где 2?пот е и -Ё'пот а — потенциальные энергии взаимодействия электронов
друг с другом и с ядром (см. формулу (3.109)). Для определения химиче­
ского потенциала \i как функции Т и V служит нормировочное усло­
вие (3.101).
*) Заметим, что уравнение Пуассона лежит и в основе вычисления кулоновского
взаимодействия данного иона с образующимся вокруг него электронно-ионным обла­
ком в методе Дебая — Хюккеля. Однако, в отличие от этого метода, здесь кулоновская
энергия не предполагается малой по сравнению с кинетической и для плотности зарядов
выписывается точное выражение, а кроме того, для описания электронов используются
функции распределения не Больцмана, а Ферми — Дирака.
$ 14]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОКОНАГРЕТОГО ПЛОТНОГО ГАЗА
199
Можно показать, что при Т ->• 0 выражение в скобке стремится
к нулю быстрее, чем Т, так что S ->• 0 в соответствии с теоремой Нернста.
Систему уравнений для определения функций ф (г) и л (г), а также
выражения для энергии, давления и энтропии можно преобразовать
к безразмерным переменным (в качестве масштаба длины вводится радиус
ячейки г ), причем, как и при нуле температуры, модель допускает пре­
образование подобия относительно Z. При нуле температуры распреде­
ление плотности выражалось формулой (3.105), откуда следует, что плот­
ность на границе ячейки можно представить в виде л (r ) = Z F (V-Z)
(roZVa-^V-Z),
давление согласно (3.107) — в виде Р = Z / /^ (V-Z),
а энергию согласно (3.108) — в виде Е = Z ^F (V-Z).
При отличной от нуля температуре эти соотношения подобия обоб­
щаются таким образом, что температура всегда входит в виде комбина­
ции TZ~*/*, так что
0
2
0
10
3
7
2
_ib
PZ
3
_4
=f{VZ,
_7
TZ *), EZ
3
_4
= t (VZ,
t
3
TZ ) .
Энтропия и химический потенциал всегда фигурируют в виде комбина­
ций SZ~\ nZ-V*.
Уравнения модели Томаса — Ферми были решены численно с помо­
щью электронной машины, и результаты вычисления термодинамических
функций в широком диапазоне переменных VZ и TZ~*/* (плотностей и тем­
ператур) приведены в виде графиков в статье Латтера [31] *).
Из энергии Е вычиталась энергия холодного свободного атома Е°°
{соответственно из Е
и 2? вычитались Е^ и Е^ ).
Рассмотрение результатов расчетов показывает, что при повышении
температуры в ячейке заданного объема кинетическая и полная энергии
и давление монотонно возрастают.
Потенциальная энергия меняется мало, только за счет перераспре­
деления электронной плотности, которая при повышении температуры
выравнивается по объему ячейки. В пределе очень высоких температур,
л
когда снимается вырождение электронного газа (при кТ > — (Z/V) ^;
см. формулу (3.87)), энергия и давление стремятся к естественным значе­
ниям:
кшп
пот
ии
от
2
2
EttE ^~ZkT;
Kan
Рж~кТ
= пкТ.
Если изотермически сжимать атомную ячейку, давление в ней монотонно
возрастает, правда, медленнее, чем в случае нуля температуры, что видно
хотя бы из того, что в пределе высоких температур Р ~ 1/V,. тогда как
при f = 0 и F - + 0 ? ~ 1/Р/з. Энергия при не слишком высоких тем­
пературах имеет пологий минимум в зависимости от объема: увеличение
энергии при разрежении связано с тем, что при больших размерах ячейки
электроны из-за наличия температуры и «теплового» давления стремятся
занять несколько больший объем, чем в случае холодной ячейки, что при­
водит к некоторому возрастанию потенциальной энергии.
*) Еще до работы Латтера ряд авторов [33] пытались рассмотреть методе теории
возмущений температурную поправку к решениям для нуля температуры. Однако
такая процедура сопряжена с численными расчетами, не на много менее сложны­
ми, чем решение точных уравнений, а охватывает температурный диапазон гораздо
<более узкий.
200
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА
ГАЗОВ
[ГЛ. И Г
В качестве примера температурной зависимости энергии укажем, что
энергию ячейки, приходящуюся на один атом железа при нормальной
плотности твердого железа, можно аппроксимировать в интервале тем­
ператур от 20 000 до 30 000° К интерполяционной формулой
8
£ = 0,86571; эв/атом
т
(из энергии ячейки исключена энергия Е ; температура измеряется в эв).
При плотностях, меньших плотности, соответствующей твердому
состоянию, энергия слабо зависит от объема, грубо говоря, как Е ~ V ' .
Чтобы получить полные энергию и давление вещества, к электронным
составляющим, соответствующим атомной ячейке Е и Р, следует при­
бавить ядерные составляющие (см. начало § 13), т. е. положить
0 15
Риопп = Р + Р = П кТ + Р {V, Т), Р ==
а
E
noISH
а
= E -\-E=-^kT
a
е
в
+ E (V,T)
e
Р,
на атом; Е = Е.
е
При плотности, равной плотности твердого тела, можно несколько
улучшить эти результаты, исключив из давления и энергии величины,,
соответствующие холодной ячейке того же объема (так как в действи­
тельности давление в реальном твердом теле при нуле температуры равно
нулю), и добавив к энергии энергию связи атомов твердого тела (теплоту
испарения U)
Рполн = nJtT + Р (V,
Т)-Р <У,%
е
E
nollH
в
= ^kT + E {V,T)—E {V,0)
e
e
+ U на атом.
При этом энергия отсчитывается от нормального состояния твердого тела.
ГЛАВА
IV
УДАРНЫЕ ТРУБЫ
§ 1. Использование ударной трубы для изучения
физико-химической кинетики
В предыдущей главе говорилось о различных физико-химических
процессах, которые протекают в газах при температурах порядка тысячи
или нескольких тысяч градусов и выше, таких, как возбуждение моле­
кулярных колебаний, диссоциация молекул, химические реакции, иони­
зация, испускание света. При этом мы рассматривали влияние этих про­
цессов на термодинамические свойства газов, совершенно не интересуясь
их кинетикой, скоростями реакций, временами установления термодина­
мического равновесия.
Между тем вопросы кинетики имеют большое, часто решающее зна­
чение, если общий газодинамический процесс протекает настолько
быстро, что термодинамическое равновесие не успевает устанавли­
ваться, и состояние газовых частиц является существенно неравно­
весным.
Особенно большую актуальность приобрели эти вопросы в связи
с проблемами входа ракет и искусственных спутников в атмосферу, сверх­
звуковых течений в мощных реактивных двигателях, сильных взрывов,
мощных электрических разрядов и т. д.
В отличие от термодинамических свойств газов, которые сравни­
тельно легко рассчитываются теоретическими методами, наши сведения
об эффективных сечениях элементарных процессов и скоростях разно­
образных физико-химических превращений черпаются главным образом
из эксперимента. Наиболее удобным и широко применяемым в настоящее
время инструментом для получения в лаборатории высоких температур
и исследования физико-химических процессов в газах является ударная
труба. Ударная труба служит для создания в газе ударной волны, кото­
рая и нагревает газ до нужной температуры *).
Как мы знаем, в скачке уплотнения первоначально холодный газ
практически мгновенно нагревается до высокой температуры **), кото­
рую можно регулировать, меняя интенсивность ударной волны. Затем
в нагретой газовой частице начинаются различные процессы: возбужде*) Существуют и другие способы получения ударных волн: при помощи взры­
вов, мощных электрических разрядов и т. д.
**) Под «температурой» здесь понимается температура поступательных степеней
свободы атомов и молекул.
BOOKS.PROEKTANT.ORG
БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ
КОПИЙ КНИГ
для проектировщиков
и технических специалистов
202
УДАРНЫЕ ТРУБЫ
[ГЛ. IV
ние молекулярных колебаний, диссоциация, ионизация и т. д., роль
и скорость которых зависят от температуры (и плотности). Постепенно
эти релаксационные процессы приводят к установлению термодинами­
ческого равновесия, соответствующего амплитуде ударной волны. Таким
образом, за скачком уплотнения существует неравновесный слой (который
можно включить в понятие фронта ударной волны), где разыгрываются
релаксационные процессы; этот слой и подвергается исследованию на
опыте. Теория позволяет связать распределения плотности и темпера­
туры в релаксационном слое со скоростями реакций, поэтому измерение
распределений на опыте дает возможность определять скорости релак­
сационных процессов. (В некоторых случаях возможна и непосредствен­
ная регистрация кинетики реакции.)
Подробно о структуре релаксационного слоя во фронте ударной волны
речь пойдет в гл. VII. В гл. VI будут рассмотрены различные фи­
зико-химические процессы, протекающие в нагретых газах, и оце­
нены их скорости. Поскольку многие фактические данные о скоростях
получены при помощи ударной трубы, представляется целесообразным
предварительно познакомиться с тем, как работает это важное уст­
ройство.
Подчеркнем, что наше изложение преследующее чисто вспомога­
тельную цель, будет чрезвычайно кратким. Оно ни в какой мере не отра­
жает действительного объема экспериментальных работ, который поистине
огромен. Для более подробного ознакомления с вопросами конструкции
и работы ударных труб, а также с экспериментальными методами иссле­
дований и измерений различных величин можно рекомендовать обзорные
статьи [1, 2] и книги [3, 4, 18, 19]. Там же читатель найдет и ссылки
на оригинальные работы. Здесь эти ссылки немногочисленны и имеют
более или менее случайный характер.
Мы не будем останавливаться на других методах получения высоких
температур (см. [16]). Отметим только очень интересные работы Ю. Н. Рябинина [17 ] по адиабатическому сжатию газов. Газ в трубе сжимался летя­
щим поршнем в сотни раз, до давлений в 10 000 атм, и адиабатически
нагревался вплоть до температур ~9000° К. С помощью созданной им
установки Рябинин изучал термодинамические и оптические свойства
и электропроводность высоконагретых газов.
§ 2. Принцип действия
Ударная труба представляет собой длинную трубу, обычно круглого
или прямоугольного сечения, которая разделяется тонкой диафрагмой
на две части. Одна из них, камера низкого давления, наполняется иссле­
дуемым газом. Во вторую часть, камеру высокого давления, нагнетается
рабочий газ. Габариты трубы бывают различными. Обычно длина ее
составляет несколько метров, а внутренний диаметр — порядка несколь­
ких сантиметров. Длина камеры низкого давления в несколько раз больше
длины камеры высокого давления. Давление исследуемого газа, как
правило, не превышает атмосферного, а чаще всего ниже, порядка несколь­
ких сантиметров ртутного столба. В камере высокого давления стараются
создать возможно большее давление, порядка нескольких десятков или
•сотни атмосфер.
В нужный момент диафрагма с помощью специального устройства
^быстро разрывается и сильно сжатый рабочий газ устремляется в камеру
§ 3]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ
203
низкого давления. По исследуемому газу распространяется ударная
волна, а по рабочему газу бежит волна разрежения. Профили давления
до и после разрыва диафрагмы, а
Диа/ррагма
также профиль температуры после
а) Рабочий газ | Исследуемый газ
разрыва диафрагмы, схематически
изображены на рис. 4.1.
На рисунке не показаны детали
Рз
Исходное
распределения
величин во фронте
состояние
I)
Рп
ударной волны, который представ­
лен в виде «классического» скачка.
После того как ударная волна дости­
гает конца трубы, обычно закрытого
неподвижной крышкой, она отра­
жается и бежит навстречу рабочему
i
газу. Давление и температура в от4
т
раженной ударной волне резко подT
0
Л)
л
Р
~7Г~~~~-
i
•
*
-
1
Р и с . 4 . 1 . Действие ударной трубы.
а) Схема трубы перед работой; б) про­
филь давления перед разрывом диафраг­
мы; в) г) профили давления и температуры
в некоторый момент ii после разрыва ди­
афрагмы; д) е) профили давления и тем­
пературы в момент i, после отражения
ударной волны от закрытого конца тру­
бы. Все профили даны схематически.
Стрелки у скачков показывают направ­
ления распространения ударной волны.
Другие стрелки показывают направления
движения газа.
Р и с . 4.2. х, г-диаграмма д л я движе­
н и я в ударной трубе, показанного
на р и с . 4.1
ОА — ударная волна, ОС — контактный
разрыв, веер между ОЕ и OD — волна
разрежения в рабочем газе, АВ — отра­
женная ударная волна.
«какивают по сравнению со значениями в падающей волне. Газ в отра­
женной ударной волне неподвижен относительно стенок трубы, ж, i-диаграмма процесса изображена на рис. 4.2.
§ 3. Элементарная теория ударной трубы
Параметры падающей ударной волны легко оценить, рассматривая
распад произвольного начального разрыва (см. § 24, гл. I). Будем счи­
тать для простоты, что исследуемый и рабочий газы обладают постоян­
ными показателями адиабаты у и у' соответственно, и будем рассматри­
вать только сильные ударные волны *). Припишем величинам в невозму­
щенном исследуемом газе индекс «0», величинам за фронтом ударной
волны — индекс «1», величинам в рабочем газе, прошедшем через волну
*) Предполагается также, что массой диафрагмы можно пренебречь, т. е. рас­
сматриваются времена, когда ударная волна охватывает достаточно большую массу
исследуемого газа.
204
[ГЛ. IV
УДАРНЫЕ ТРУБЫ
разрежения, индекс «2» и величинам в невозмущенном волной разреже­
ния рабочем газе — индекс «3».
По формулам (1.111) для сильной ударной волны имеем
((д. — молекулярный вес исследуемого газа).
На контактной границе между двумя газами давление и скорость
непрерывны, так что р
Pi = Р> г
i — (плотность и темпера­
тура на контакте испытывают разрыв). Контактная граница, которая
движется со скоростью и, служит «поршнем», толкающим ударную волну.
По известной формуле (см. § 10 гл. I) скорость рабочего газа, прошед­
шего через волну разрежения, равна
=
и
=
u
и
2
с
»=7=г< »-'» = ^ г
С з
1
( 4
( -^)'
2
- >
причем скорости звука с и с связаны между собой условием адиабатичаости расширения:
2
3
_£2___ (
(Y'-l)
Р Л 2V
Выражая р = р через и = и^ по формулам (4.1), получим уравнение,,
из которого можно найти скорость «поршня» при известных начальных
значениях параметров:
4
JL
2 J!
=
с
у —1 I
3
rY4^J^-]Vj _
L
2
г
Q
е
х
4 J
3
( 4 - 3 )
ч
J
'
—
Скорость звука с = i у' ~~г ^з ) > Д I ' молекулярный вес рабочего^
газа. Интенсивность ударной волны полностью определяется скоростью
«поршня» и. В частности, температура за фронтом равна Г = Цт— (д. -= .
Наиболее мощная ударная волна при прочих равных условиях обра­
зуется, если отношение начальных плотностей Q / Q исчезающе мало,
так что рабочий гад после разрыва диафрагмы вытекает практически
в вакуум, с максимальной скоростью истечения
3
4
0
С з
и
п
г
3
2
= 7 ^ г = y ^ i (V -£- з ) •
(4.4>
Соответствующий верхний предел температуры за фронтом ударной
волны равен
Т
- Y'(Y-D JL
5\
2
r
М шах -
/„<
j\2
м/
г 4
1
3-
\^-"-7
Из последней формулы видно, что для создания высоких температур
нужно применять легкий рабочий газ, причем наиболее высокие темпе­
ратуры возникают в тяжелых одноатомных газах (чем меньше тепло­
емкость, тем больше величина у — 1 = R/\ic , которая стоит в числителе
формулы (4.5)).
Выгоднее всего применять в качестве рабочего газа водород (|д/ = 2,
у' = 7/5, T
= 8,75 (Y — 1) (Д.Г3); работают также и с гелием (|д/ = 4,
Y' = 5/3, 7\
= 1,87 (Y - 1) цГз).
v
t
ш а х
ш а х
J 3]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ
205
Достижение максимально возможной скорости (4.4) требует исклю­
чительно малого отношения начальных плотностей газов Q0/Q3 (чрезвы­
чайно большого перепада давлений р 1ро)- При реальных значениях
перепада давлений исследуемый газ оказывает существенное «сопротив­
ление» истечению рабочего газа и скорость и, вычисленная по уравне­
нию (4.3), оказывается в несколько раз меньше скорости истечения в пус­
тоту. Еще резче снижается температура в ударной волне.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть рабочим газом служит водо­
род, а исследуется аргон (|х = 40, у = / ) . Начальные температуры
обоих газов одинаковы и равны комнатной: Т = Т = 300° К. Отно­
шение начальных давлений р /р = 7600, скажем, р = 5 мм рт. ст.,
р = 50 атпм. Получим: и = 2,78 км/сек, D = 3,7 км/сек, число Маха
М = — = 11,5, Ti = 41Г = 12 300° К, р ! = 164р = 2,1 атпм. Верхо
ний предел скорости u
= 6,65 км/сек *).
На самом деле температура в ударной волне будет немного ниже
12 300° К, так как при такой температуре уже играют некоторую роль
затраты энергии на ионизацию аргона, что несколько снижает эффектив­
ный показатель адиабаты аргона у. Для более точных расчетов нужно
пользоваться фактической ударной адиабатой гаэа с учетом ионизации.
Значения скорости газа и, вычисленные по уравнению (4.3), а также зна­
чения скорости фронта, давления, внутренней энергии в ударной волне
мало чувствительны к предположениям относительно термодинамиче­
ских свойств исследуемого газа. Вычисление же температуры без учета
затрат энергии на ионизацию, диссоциацию и т. д. может дать сильно
завышенные цифры.
При исследовании воздуха в ударной трубе с водородом в качестве
рабочего газа получают скорости фронта до 4 км/сек (числа Маха поряд­
ка 12) и температуры за фронтом ударной волны порядка 4000° К. Суще­
ствуют различные способы увеличения эффективности ударной трубы,
позволяющие несколько повысить параметры ударной волны. В част­
ности, выгодно увеличивать начальную температуру рабочего газа Т
(см. формулу (4.5)). Для этого в качестве рабочего газа часто используют
взрывчатую смесь водорода с кислородом (смесь обычно разбавляют
легким нейтральным газом — гелием). В нужный момент смесь поджи­
гается и в результате реакции рабочий газ оказывается нагретым. Таким
путем получают в воздухе скорости D порядка 5 км/сек (числа Маха
порядка 15) и температуры порядка 6000° К. Разработаны конструкции
ударных труб с переменным сечением и др. (см. [4]).
Вычислим теперь параметры отраженной ударной волны, по-преж­
нему считая, что теплоемкость и показатель адиабаты постоянны. Пара­
метрам отраженной волны припишем индекс «4», параметрам падающей —
ч<1», как и раньше. Воспользуемся формулой (1.69), связывающей раз­
ности давлений, удельных объемов и скоростей по обе стороны фронта
ударной волны. Разность скоростей, которая представляет собой скорость
движения газа за фронтом относительно газа перед фронтом, в падающей
л отраженной волнах одинакова. Полагая, что падающая волна сильная,
получим отсюда уравнение
3
5
3
0
3
3
а
0
2
3
с
0
m a x
3
и" = (А ~ Pi) Wi - Vj =
P l
(V - V,).
0
*) Вычисление Tj
по формуле (4.5), которая для показателя адиабаты у =
= 5/3 дает 70 000° К, не имеет смысла, так как при столь высоких температурах суще­
ственную роль играет ионизация и фактическая температура гораздо ниже.
m a x
206
УДАРНЫЕ ТРУБЫ
[ГЛ. I V
Уравнение ударной адиабаты (1.76) для отраженной волны (которая
не является сильной) имеет вид
Vj _r(Y + l)Pi + (Y-DP4
Vi ' ( Y - l ) P i + (Y + l ) P "
4
Замечая, что У 1У = (у + 1)/(у — 1) и исключая из этих двух
уравнений VJYi, найдем отношение давлений на фронте отраженной
волны pjpi., после чего вычислим отношения плотностей и температур.
Получим
0
Х
_р _ Зу—1
РГ
Y-i
4
^4_ _
У
J\_ _ З у - 1
., „
' Qi Y - 1 ' Т
у •
1*-°>
При численной оценке нужно проявлять известную осторожность.
Дело в том, что в отраженной волне температуры обычно столь высоки,
что теплоемкость газа вследствие диссоциации, ионизации и т. д. не
постоянна. Строго говоря, параметры отраженной волны следовало бы
рассчитывать, пользуясь реальными термодинамическими функциями
газа. Однако для грубой оценки можно воспользоваться формулами (4.6),
выбрав для показателя адиабаты некоторое эффективное значение. В раз­
реженном газе в области диссоциации или ионизации можно принять,
для оценки, например, у = 1,20. Это дает: p /Pi ~ 13, Q /QI ~ 6, TJT та
« 2,17. В тяжелых одноатомных газах можно получить в отраженной
ударной волне десятки тысяч градусов. В воздухе при начальном давле­
нии ро = Ю мм рт. ст. и скорости падающей волны D « 5 км/сек, когда
Ti да 5800° К, ОД/QO да 10, в отраженной волне Г да 8600° К, Q /QJ да 7
(эти данные получены с учетом реальных термодинамических свойств).
Реальный процесс в ударной трубе протекает гораздо сложнее, чем это
рисуется идеализированной схемой, изложенной выше. Ударная волна
становится стационарной не сразу после разрыва диафрагмы, а лишь.
спустя некоторое время. Играют роль трение о стенки, взаимодействие
с пограничным слоем, особенно в отраженной ударной волне, неравно­
мерность нагрева по сечению трубы, потери энергии через стенки и на
излучение (при очень высоких температурах), перемешивание газов,
у контактного разрыва и многие другие эффекты (см. об этом [2, 4, 5, 19];
там же имеются ссылки на многие оригинальные работы).
у
4
X
4
4
4
§ 4. Электромагнитные ударные трубки
Ударные трубы, в которых ударная волна в исследуемом газе полу­
чается при внезапном расширении первоначально сжатого рабочего газа,
широко применяются для исследования различных высокотемператур­
ных процессов. Однако максимальные скорости ударной волны (числа
Маха), а следовательно, и температуры, которые достигаются даже в усо­
вершенствованных конструкциях, основанных на указанном принципе,
весьма ограничены.
В последнее время были предложены новые типы ударных труб,
в основе которых лежат иные принципы. В этих устройствах, которыечасто называют электромагнитными или магнитными ударными труб­
ками, для создания интенсивных ударных волн используются эффекты
нагревания газа при электрическом разряде и ускорения его под дей­
ствием магнитных сил. Ранняя конструкция, предложенная Фаулером
с сотрудниками 16], представляет собой Т-образную трубку, изображен­
ную на рис. 4.3. Трубка наполняется исследуемым газом под низким
§ 4]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УДАРНЫЕ ТРУБЫ
207
давлением, порядка миллиметра ртутного столба. В перекладину «бук­
вы Т» введены электроды и через газ разряжается конденсаторная бата­
рея. Газ в разряде быстро нагревается до высокой температуры и под,
действием высокого давления с большой скоростью выплескивается
в «вертикальную» трубку, толкая перед собой ударную волну.
В отличие от трубки Фаулера, где электрический разряд исполь­
зуется как средство быстрого нагревания газа, в Т-образной трубке,
построенной Колбом [7] для ускорения газа —
плазмы, используется явление электромагнит­
-SJного взаимодействия токов. Шина, по которой
течет возвратный ток в электрической цепи
ч
разряда, максимально приближена к разрядной
-/ ь
части трубки, как показано на рис. 4.4. Как
известно, параллельные проводники с противо­
положно направленными токами отталкиваются
друг от друга. Это можно рассматривать как
результат воздействия магнитного поля одного
тока на проводник с другим током. Сила,
действующая на единицу объема проводника с Рис. 4.3. Схема Т-образной
трубки Фаулера.
током, определяется векторным произведением
плотности тока j и напряженности магнитного
поля Н: f = — [j H] (магнитная проницаемость плазмы очень близка
к единице). Эта сила перпендикулярна к направлениям тока и магнитногополя. В данном случае магнитное поле возвратного тока, текущего по
шине, отталкивает плазму с текущим по ней разрядным током в сторону
вертикальной трубки, дополнительно уско­
ряя ее. Как говорят, на плазму действует
Н
«магнитный поршень». Плазма выплескивает/-*а Е—|
1 j
Щ&Ш
| " ся в вертикальную трубку с еще большей
I
I
скоростью, создавая в последней еще более
мощную ударную волну, чем в отсутствие
магнитного поля. Размеры магнитной удар­
ной трубки невелики: радиус примерно 1,5см,
f.u
длина вертикальной части — 12 см. В одном
из типичных опытов Колба трубка наполня­
лась дейтерием с начальным давлением
0,7 мм рт. ст. Емкость конденсаторной ба­
Рис. 4.4. Схема электромаг­ тареи составляла С = 0,52 мкф; она заряжа­
нитной трубки Колба.
лась до V = 50 кв. Как показала осцилло­
грамма разрядного тока, частота разряда
равнялась v = 700 кгц. При этих параметрах была достигнута макси­
мальная скорость ударной волны, D = 90 км/сек (на расстоянии
3,5 см от разрядной части трубки). Волна ослабляется по мере распро­
странения, например, на расстоянии 9 см скорость ее падает до 75 км/сек.
Температура за фронтом ударной волны при D — 90 км/сек равна при­
мерно 120 000° К *).
Убедимся при помощи простой оценки в том, что магнитная сила
при указанных параметрах действительно может разогнать плазму до
t
*) Эта температура вычислена по скорости фронта при помощи ударной адиабаты
с учетом эффектов диссоциации и ионизации, но без учета потока излучения с фронта,,
так как он мал вследствие прозрачности газа.
208
УДАРНЫЕ
[ГЛ. IV
ТРУБЫ
такой высокой скорости. Без учета затухания (которое невелико) раз­
рядный ток с момента пробоя изменяется по синусоидальному закону
I = Лпах i «>f, где со — 2nv, a /
= V (C7L) = VCw (L — само­
индукция контура, в данном случае равная 0,1 мкгн). Максимальный ток
равен /
= 115 000 а = 1,15-Ю с/10 единиц СГСЭ. Ток / , текущий
по шине, создает на расстоянии г от нее магнитное поле Н = 21 /сг. В каче­
стве среднего расстояния между шиной и плазмой можно принять радиус
трубки. Магнитное поле действует на плазму как поршень с давлением
Н /8я. Скорость и, которую приобретает плазма под действием такого
давления, определяется очевидным соотношением / Р / 8 я « QU , где Q —
плотность; отсюда и = H/\^8nQ = I/cr )А2яд. В каче­
стве / возьмем средний ток / = (Р) ^ = I /V~2.
Подставляя в формулу для скорости г = 1,5 см,
Q = 0,74- Ю г/см (это — плотность дейтерия при дав­
лении р = 0,7 мм рт. ст. и комнатной температуре)
и величину тока, получим и= 80 км/сек. Таким образом,
магнитный поршень разгоняет плазму до скорости
порядка наблюдаемой ( Z ) « 9 0 км/сек). Заметим, что
время действия магнитного поршня, которое порядка
t ?» г/и ?» 1,9-Ю сек, меньше четверти периода раз­
ряда Г/4 « l/4v = 3,6-10-' сек. Весь процесс уско­
рения плазмы происходит в первую четверть периода
разряда, пока ток не вырастает до максимального значе­
ния. В сделанном расчете мы пренебрегали ускорением
за счет чисто теплового расширения плазмы, нагретой
Рис. 4.5. Схема
трубки Холева и разрядным током. Оценки показывают, что действитель­
Полтавченко. Эле­ но основную роль в ускорении играет магнитное
ктроды заштрихо­ давление, а не тепловое. Для увеличения магнитного
ваны.
давления, действующего на плазму, в некоторых опы­
тах к магнитному полю возвратного тока (которое
при I =-SjP = 80 000 а и г = 1,5 см равно примерно 11 000 э) добавV&
лялось еще и внешнее магнитное поле того же направления (~ 15 000 э).
В Т-образной трубке Колба очень важно получить большую скорость
нарастания тока и большую амплитуду тока (высокую частоту разряда),
т. е. нужно принимать специальные меры для максимального уменьшения
самоиндукции контура *).
По принципу «магнитного поршня» действует и другая трубка,
построенная С. Р. Холевым и Д. С. Полтавченко [9], схема которой пока­
зана на рис. 4.5. Разрядный ток течет в радиальном направлении между
электродами, одним из которых служит стержень, расположенный на оси
трубки, а другим — цилиндр вблизи поверхности трубки. Радиальный
ток разряда взаимодействует с концентрическим магнитным полем тока,
текущего по центральному электроду. Пондеромоторная сила направлена
вдоль оси трубки и ускоряет плазму в этом направлении. Вдоль трубки
распространяется ударная волна. Характерным является выбрасывание
плазмы из межэлектродной области, отрыв ее от «дна» трубки под влия­
нием магнитного поля, которое действует подобно поршню.
s
n
1/a
m a x
5
ш а х
2
2
1
mSLX
-7
3
а
m a x
-7
*) Укажем на работу [81, авторы которой получали интенсивные ударные волны
в Т-образной трубке, наполняемой водородом и гелием, и исследовали свечение нагре­
того газа в спектральных линиях.
§ 5]
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ
ВЕЛИЧИН
209
Эксперименты ставились с воздухом. Наиболее интенсивная ударная
волна с числом Маха М « 250, О ж 80 км/сек, T = 130 000° К была
получена при следующих параметрах: С = 2400 мкф, V = 5 кв, I ~
» 560 000 а (трубки делались из плексигласа и имели
диаметр от 2 до 5 см и длину от 50 до 90 см). Волна до­
вольно быстро затухает при распространении по трубе.
Слабо затухающие ударные волны, но зато меньшей ам­
плитуды (D < 1 0 км/сек), получены на установке С. Р. Холева и Л. И. Крестниковой [10].
Принцип действия описанной выше трубки С. Р. Холева и Д. С. Полтавченко имеет много общего с принци­
пом действия кольцевой трубки, построенной Патри­
ком [11].
Иозефсоном [12] описана трубка с коническим насад­
ком. К цилиндрической трубе присоединяется конический
насадок (рис. 4.6). На конце его расположен центральный
электрод. Вторым электродом служит кольцо на стыке
цилиндрической и конической частей трубки. По обра­
зующим конуса идут шины возвратного тока. При разряде
происходит магнитное сжатие плазмы к оси — «пинч- Рис. 4.6. Схема
с кони­
эффект», причем радиальное сжатие начинается у цент­ трубки
ческим насад­
рального электрода и постепенно охватывает слои, более ком. Электроды
близкие к центральному. Затем нагретая сжатая плазма заштрихованы.
выбрасывается в цилиндрическую трубку, образуя в ней
ударную волну. В работе [13] такая трубка применялась для разгона
сильно разреженного воздуха до скоростей порядка 12 км/сек (М да 40,
7\ « 12 000° К) и исследования обтекания моделей, имитирующих го­
ловки ракет.
Более подробно с вопросами конструкции электромагнитных удар­
ных трубок и работы с ними можно познакомиться в сборнике перево­
дов [14].
t
§ 5. Методы измерений различных величин
К настоящему времени разработаны и широко применяются разно­
образные методы наблюдения быстропротекающих процессов в ударных
трубках и измерения различных величин: скорости фронта ударной волны,
плотности, температуры и др. Описанию этих методов и изложению полу­
ченных с их помощью результатов посвящена обширная литература. Со
многими вопросами можно познакомиться в книгах [3, 4, 18, 19] и обзо­
рах [1, 2]; там же имеются многочисленные ссылки на журнальные статьи.
Мы здесь не будем останавливаться на детальном рассмотрении
методов эксперимента и только коротко перечислим основные из них.
При этом мы придерживаемся в основном классификации методов, при­
нятой в обзоре [2].
1. Высокоскоростная фотографическая съемка. Газодинамический
процесс можно фотографировать либо благодаря собственному свечению
газа, нагретого до высокой температуры, либо в свете постороннего источ­
ника. Разработаны и применяются камеры, которые позволяют произ­
водить киносъемку быстропротекающих процессов с частотой вплоть до
миллионов кадров в секунду *). Широко применяется также метод
*) Ссылки на работы советских ученых и конструкторов
ных высокоскоростных камер в гл. XI.
14 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер.
создателей уникаль-
210
УДАРНЫЕ Т Р У Б Ы
[ГЛ. IV
фоторазвертки, при котором пучок света, отражаясь от вращающегося
зеркала, непрерывно бежит по пленке, так что движущийся светящийся
объект (скажем, фронт ударной волны) описывает на пленке непрерывную
наклонную линию. По наклону линии можно определить скорость дви­
жения объекта.
2. Измерение плотности. Измерение распределения плотности газа
в неравновесном слое за скачком уплотнения имеет особо важное значе­
ние, так как распределение плотности связано со скоростями релакса­
ционных процессов (см. гл. VII). Именно таким способом были в основ­
ном определены скорости возбуждения колебаний и диссоциации моле­
кул при высоких температурах.
Для измерения распределения плотности применяется главным обра­
зом интерференционный метод, в основе которого лежит тот факт, что
коэффициент преломления газа изменяется при изменении его плотности.
На изменении коэффициентов преломления при движении сжимаемого
газа основаны и другие важные оптические методы наблюдения поля
течения: шлирен-метод и теневой. Однако наиболее точные количествен­
ные данные по распределеншо плотности дает интерференционный
метод *).
В работах Хорнига и др. [3] распределение плотности во фронте
слабых ударных волн определялось по отражению света от поверхности
фронта. Начальная плотность газа подбиралась так, чтобы толщина
фронта ударной волны была сравнима с длиной волны света. При этом
условии коэффициент отражения зависит от толщины переходного слоя
и распределения плотности (т. е. коэффициента преломления) в нем.
Таким образом были измерены толщины фронта и скорости возбуждения
вращений молекул в слабых ударных волнах.
Распределение плотности газа измерялось также по рассеянию элек­
тронного пучка, по поглощению рентгеновских лучей.
3. Измерение концентрации компонент газа. В ряде случаев, когда
в неравновесном слое за скачком уплотнения протекает диссоциация
молекул или химическая реакция, можно непосредственно следить за
изменением концентрации определенных частиц. Это обычно возможно,
если какие-нибудь частицы обладают резко выраженным по сравнению
с другими частицами поглощением света. Так, например, изучалась дис­
социация молекул брома и йода в ударной волне, диссоциация молекул
кислорода и т. д. Молекулы брома и йода сильно поглощают видимый
свет, тогда как их атомы не поглощают его; молекулы кислорода обладают
характерной системой полос поглощения в ультрафиолетовой области
(см. гл. V).
4. Измерение испускания и поглощения света. Во многих работах
производились спектральные измерения интенсивности испускания света
газом, нагретым ударной волной. Зная плотность газа и температуру,
можно таким образом определить лучеиспускательную способность при .
разных температурах и в разных участках спектра. Свет обычно реги­
стрируют фотографическими методами или при помощи фотоумножите­
лей. По лучеиспускательной способности с помощью закона Кирхгофа
(см. гл. V) можно найти и коэффициент поглощения света в нагретом
газе. Коэффициенты поглощения иногда измеряют и непосредственно,
*) Указанные оптические методы, в которых используется свет от постороннего
источника, обычно применяются при не слишком высоких температурах, когда соб­
ственное свечение нагретого газа мало.
§ 5]
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
,
211
по ослаблению пучка света от постороннего источника при прохождении
через газ.
5. Измерение температуры. Для измерения высоких температур
чаще всего применяют оптические методы. Литература по методам опти­
ческой пирометрии огромна. Рекомендуем, в частности, сборник пере­
водов [15]; см. также обзор [16].
6. Измерение концентрации электронов и электропроводности. Для
измерения степени ионизации газа и концентрации электронов в удар­
ной волне часто пользуются методом зондов Лэнгмюра, который обычно
применяется при изучении газовых разрядов. Применяется также метод
поглощения и отражения микрорадиоволн. Измеряется концентрация
электронов и по свечению газа (например, интенсивность рекомбинационного свечения пропорциональна квадрату концентрации электронов).
Применяются магнитные методы, в частности, основанные на эффекте
вытеснения движущейся плазмой внешнего магнитного поля; вытеснение
зависит от электропроводности. Определив электропроводность, можно
вычислить концентрацию электронов.
7. Измерение давления. Давление чаще всего измеряют при помощи
пьезоэлектрических датчиков с чувствительным элементом из титаната
бария.
8. Измерение скорости фронта ударной волны. Проще всего измерять
скорость, регистрируя тем или иным методом моменты прохождения
ударной волной определенных сечений в трубе, отстоящих друг от друга
на известных расстояниях. Для регистрации пользуются пьезодатчиками
давления, ионизационными датчиками, различными электроконтактными
датчиками и др.
Очень большие скорости, которые получаются в электромагнитных
ударных трубках, обычно измеряют при помощи фоторазвертки (см. п. 1).
14*
ГЛАВА
V
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
§ 1. Введение. Типы электронных переходов
В главе II было показано, что основной оптической характеристикой
газа, которая определяет степень черноты нагретого тела, интенсивность
и спектр свечения, энергетический баланс вещества в условиях лучистого
теплообмена, является коэффициент поглощения света *). Зная коэффи­
циент поглощения, с помощью закона Кирхгофа, который служит выра­
жением общего принципа детального равновесия, можно найти и луче­
испускательную способность вещества.
В § 2 гл. II были даны краткий обзор и классификация различных
механизмов поглощения и излучения.
В соответствии с общей схемой возможных энергетических состояний
атомной системы, простейшей из которых является система из одного
протона и одного электрона, в связанном состоянии образующая атом
водорода, все возможные электронные переходы, сопровождающие про­
цессы поглощения и излучения света, подразделялись на три типа. Это:
1) свободно-свободные переходы (тормозное излучение и поглоще­
ние света);
2) связанно-свободные переходы (фотоэлектрическое поглощение);
3) связанно-связанные (дискретные) переходы.
Свободно-свободные и связанно-свободные переходы приводят к
образованию непрерывного (сплошного) спектра поглощения и излу­
чения света.
Связанно-связанные переходы в атомах дают линейчатые спектры.
В результате связанно-связанных переходов в молекулах образуются
полосатые спектры. Полосатые спектры состоят из множества близко
расположенных друг к другу по частоте спектральных линий. В некото­
рых условиях отдельные линии настолько тесно соприкасаются, что
даже частично перекрываются и спектр получается почти непрерывным
(квазинепрерывным).
С точки зрения энергетической основной интерес представляют непре­
рывные (квазинепрерывные) спектры.
Представим себе, например, тело, нагретое до постоянной темпера­
туры Т. Если тело абсолютно черное, то с его поверхности выходит поток
излучения с планковским распределением по спектру. Спектральный
*) Напоминаем, что говоря о «свете», «световых квантах», «оптических» свой­
ствах, мы имеем в виду излучение любых частот, а не только принадлежащих видимой
части спектра.
§ 1]
ВВЕДЕНИЕ. ТИПЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ПЕРЕХОДОВ
213
поток S как функция частоты v изображен на рис. 5.1 пунктирной кри­
вой. Площадь, ограниченная этой кривой, дает полное количество лучи­
стой энергии, испускаемой с 1 см поверхности тела в 1 сек и равное оТ*.
Предположим теперь, что вещество, совершенно прозрачное в непрерывном
спектре, поглощает и излучает только линейчатый спектр, причем в час­
тотных линиях излучение находится в термодинамическом равновесии
с веществом. Спектральный поток излучения с поверхности тела изо­
бражается теперь системой отдельных узких линий, высота которых
соответствует функции Планка, как показано на рис. 5.1 сплошными
кривыми. Полное количество лучистой энергии, выходящей с 1 см?
поверхности тела в 1 сек, численно равно
заштрихованной площади этих линий, ко­ ll?y
торая вследствие малой ширины линий
^ТГ^-ч
гораздо меньше полного планковского по­
/ } \
'
тока оТ . Потери энергии тела на излуче­
/ i
N
ние, а также яркость свечения поверхности
;
N
в рассматриваемом случае гораздо меньше,
Vй \
чем если бы спектр был непрерывным.
/
й
| 1 1\ v
Точно так же во многих случаях ли­
//
нейчатые спектры играют небольшую роль • /
У^
г/ ^
по сравнению с непрерывными и в пере­ с 1 J i
V
носе лучистой энергии внутри тела. По­
Рис.
5.1.
Спектр
испускания
на­
этому основное внимание в этой главе гретого тела, совершенно прозрач­
будет уделяться не линейчатым, а неп­ ного в непрерывном спектре, но
рерывным и квазинепрерывным молеку­
непрозрачного в линиях.
Пунктирная кривая
соответствует
лярным спектрам.
спектру при данной
При высоких температурах, когда планковскомутемпературе.
молекулы диссоциированы и газ состоит
из атомов, а при еще более высоких — из ионов и электронов,
сплошной спектр поглощения и испускания возникает в результате свя­
занно-свободных и свободно-свободных переходов. Вычисление вероят­
ностей электронных переходов, с помощью которых можно найти коэф­
фициенты поглощения (и испускания) света в случае многоэлектронных
атомов (сложных атомных систем), представляет собой весьма трудную
квантовомеханическую задачу. Она требует специального рассмотрения
в каждом конкретном случае, для каждого атома или иона и даже для
каждого квантового состояния системы. Такие расчеты проделаны лишь
для немногих частных случаев.
Сравнительно просто и до конца вычисление удается провести лишь
для простейшей, водородоподобной системы, т. е. для переходов един­
ственного электрона в кулоновском поле положительного заряда Ze.
Практически, даже при рассмотрении поглощения и испускания света
в газах, состоящих из сложных атомов или ионов, часто приходится
пользоваться формулами, выведенными для водородоподобных систем.
Атом или ион при этом представляется в виде некоего «атомного
остатка» с положительным точечным зарядом Ze, в поле которого дви­
жется «оптический» электрон, переходящий при поглощении или испуска­
нии светового кванта из одного энергетического состояния в другое.
Как будет показано ниже, в ряде практически важных случаев такое
приближение оказывается до некоторой степени оправданным.
При вычислении коэффициентов молекулярного поглощения обычно
удается определить коэффициент как функцию частоты и температуры
с точностью до некоторого множителя — силы осциллятора для данного
v
2
х
4
•
•
'
\
N.
214
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
электронного перехода, которую, как правило, находят из эксперимента.
В последующих параграфах этой главы будут подробно рассмотрены
различные механизмы поглощения и испускания света в газах при высо­
ких температурах и вычислены соответствующие коэффициенты погло­
щения. При этом мы будем интересоваться в основном физической сто­
роной дела, не останавливаясь подробно на различных приближенных
способах усовершенствования расчетных формул для коэффициентов
поглощения.
Очень часто в поглощении и испускании света в газе при каждых
данных условиях участвует целый ряд механизмов. Все они действуют
независимо друг от друга. Полные коэффициенты поглощения и луче­
испускательные способности в каждом спектральном участке склады­
ваются из величин, отвечающих различным механизмам. Поэтому после­
довательное и независимое рассмотрение отдельных механизмов пред­
ставляется вполне естественным. В конце главы, в качестве наиболее
важного с практической точки зрения примера такого совокупного дей­
ствия многих механизмов, будут рассмотрены оптические свойства нагре­
того воздуха.
1. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР
§ 2. Тормозное излучение электрона в кулоновском поле иона
Как известно из классической электродинамики, свободный элек­
трон, двигаясь во внешнем электрическом поле, скажем, в кулоновском
поле иона с положительным зарядом Ze, излучает свет. При этом он теряет
часть своей кинетической энергии, «тормозится», почему такое излучение
и называется тормозным.
Количество лучистой энергии S, испускаемой электроном в 1 сек,
определяется его ускорением w.
a
S=|£w .
(5.1)
Полное излучение за все время пролета электрона мимо иона равно
интегралу по времени от этого выражения:
со
АЕ=
со
\ Sd* = - | - - j - \ w*dt.
— GO
(5.2)
—CO
Спектральный состав излучения можно найти, разлагая вектор уско­
рения w в интеграл Фурье и подставляя разложение в формулу (5.2).
Получим при этом
АЕ = ^ -
^wldv=\s dv
4
о
(5.3)
t
о
где
Wv==
^n
\
w
e
i2nvi
(*) ~
d t
— компонента Фурье вектора ускорения и> (t).
Величина
5,-^«i
5
4
< - )
§г
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ в КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ИОНА
215
представляет собой количество лучистой энергии частоты v, испускаемой
при пролете электрона мимо иона и приходящейся на единичный интер­
вал частот *).
По классической механике, в отсутствие потерь энергии на излуче­
ние свободный электрон (сумма кинетической и потенциальной энергий
которого положительна) пролетает мимо иона по оп­
ределенной гиперболической орбите, характеризуемой
прицельным расстоянием Q, смысл которого ясен
из рис. 5.2.
Полное количество излученной энергии и спект­
ральный состав излучения можно приближенно вы­
числить по формулам (5.2) — (5.4), взяв в качестве
ускорения w (t) величину, соответствующую движению
электрона без излучения **).
Пусть на ион из бесконечности падает параллель­
ный пучок электронов, начальная скорость которых
на бесконечности равна v и плотность N постоянна
(поток [электронов равен N v). Через элементарное
кольцо площадью 2яр dg около иона в 1 сек проходит
N v-2nQdQ электронов. Каждый из них излучает энер­
Рис. 5.2. Траекто­
гию АЕ эрг. Излучение этих электронов в 1 сек равно рия
электрона при
AEN v-2nQ dq эрг/сек. Излучение в 1 сек электро­ пролете
мимо голо­
нов, проходящих мимо иона по всевозможным орби- жительного иона,
там, получится, если проинтегрировать это выражение
по Q от 0 до оо. Полное количество энергии излучения, рассчитанное на
один ион и единичный поток электронов N v = 1 см~ сек- , есть
e
e
e
e
г
1
e
(5.5)
2
д а \ AE-2jtQd.Q эрг-см .
Можно говорить и о количестве энергии, излученной в интервале
частот, от v до v + dv, о так называемом эффективном излучении
v=co
dq
v
f \ dq = q \
v
v
В соответствии с определением (5.3) эффективное
v=0
излучение, т. е. количество энергии, излученной в интервале частот dv
из расчета на один ион и единичный поток электронов, равно
2
dq = dv \ 6\2я(5Й{) эрг-см .
(5.6)
v
Эффективным излучением определяется спектральная лучеиспуска­
тельная способность вещества, обязанная тормозному излучению.
Если в 1 см имеется N+ ионов определенного сорта и dN электро­
нов со скоростями от v до v + dv, то количество энергии в интервале
частот от v до v + dv, испускаемой в 1 сек в 1 см в результате тормо­
жения этих электронов в поле ионов, равно N+dN v- dq эрг/см сек.
Оценим эффективное излучение электронов в кулоновском поле
иона. Если электрон находится на расстоянии г от иона (радиус-век3
e
3
3
e
v
*) В соответствии с астрофизическими традициями мы будем всегда пользо­
ваться не круговой частотой w = 2JTV, а обычной, v.
**) Это соответствует предположению о том, что излучение мало.
216
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
2
[ГЛ. V
3
тор г), то на него со стороны иона действует сила — Ze r/r . Вызываемое
этой силой ускорение равно го = — Ze r/r m, где т — масса электрона.
Пусть электрон обладает начальной скоростью v и пролетает мимо иона
на прицельном расстоянии д. Время действия силы t ~ Q/V, а ускорение
в течение этого времени w ~ Ze /Q m. В разложении вектора ускорения
в интеграл Фурье основную роль играют частоты v порядка l/2nt ~
~ v/2nq *). Можно сказать, что частота v в основном излучается теми
электронами, которые пролетают мимо иона на прицельном расстоянии
Q ~ v/2nv, а частоты в интервале от v до v + dv испускаются главным
образом электронами с прицельными параметрами, заключенными в интер­
вале dp ~ -— dv ~ 2я — dv.
Энергия, испускаемая каждым из таких электронов,
2
2
3
2
ъ
2
дя~-14»'*3 с
Z2e6
3
3
3
3 m^c Q v *
Эффективное излучение частоты v соответствует излучению электро­
нов с прицельными параметрами от Q до Q + dg, связанными с частотами
указанным выше образом, так что
Последовательное вычисление эффективного излучения по форму­
лам (5.6), (5.4) с вектором ускорения, найденным из решения механи­
ческой задачи о движении электрона по гиперболической орбите около
иона, проведено в книге JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1]. Оно дает:
,
32л Z e ,
mv
/г о\
^^Jyl^M^dv
при v » ^ * - ,
(5.8)
2
2
6
3
чч
2
s
,
32я Z e
^ -[3~"^^"
=
,
1 П
3
mv
1,78^
е
3
^
2
d v
П
Р
И
V
„ mv
« 2 ^ -
/ r
5
п ч
9
(-)
Как видим, при больших частотах точный результат отличается
от простой оценки (5.7) только численным множителем 4 / | / 3 = 2,3. При
малых частотах точная формула отличается от простой, помимо числен­
ного, еще и логарифмическим множителем, зависящим от частоты. Дело
в том, что малые частоты излучаются при далеких столкновениях с боль­
шими прицельными параметрами Q, причем при v -»- 0, Q —*- оо столкно­
вения с параметрами Q > =— дают относительно все больший и больший
вклад в излучение частоты v по сравнению со столкновениями с пара­
метрами Q ~ ; j — , которые только и учитываются при выводе простой
формулы (5.7).
Расходимость эффективного излучения со стороны малых частот
характерна для медленно спадающего с расстоянием кулоновского поля,
благодаря чему и приобретают столь существенную роль далекие столк­
новения. Эта расходимость устраняется при учете экранировки, всегда
существующей в реальном ионизованном газе. Фактически по Q в фор­
муле (5.6) следует интегрировать не до бесконечности, а, скажем, до
*) Для большей точности мы сохраним численный коэффициент 2л. (Основную
роль в разложении играют «круговые» частоты, такие, что ш* ~ 1.)
§ 2]
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ИОНА
217
дебаевского радиуса d, что ограничит излучение со стороны малых частот
на частоте v
~ v/2nd.
Следует, однако, заметить, что интегральное по спектру излучение
q = \ dq сходится со стороны малых частот, так как расходимость
dq только логарифмическая и вклад пика dq при v —v 0 в интеграл
по v невелик. Поэтому если интересоваться интегральным излучением,
вопрос об обрезании прицельных параметров Q сверху, а частот — снизу
не является столь существенным.
Излучение больших частот в классической теории не зависит от час­
тоты и эффективное излучение на единичный интервал частот dq /dv
остается конечным даже при v ->• оо *). Формально, полное излучение
q = \ dq расходится со стороны больших частот.
Это противоречие теории связано с несовершенством классических
представлений о движении электрона и устраняется в квантовой теории.
Большие частоты, как мы видели, излучаются при пролете электрона
мимо иона на малых прицельных расстояниях. Но согласно квантомеханическим представлениям электрон, обладающий начальным импульсом
р = mv, не может быть локализован точнее, чем это диктуется принципом
неопределенности ДгДр ~ h/2n. Поскольку неопределенность в импуль­
се не может превышать самого импульса, нет смысла говорить о при­
цельных расстояниях меньших, чем Q ~ h/2nmv. Максимальная
частота, излучаемая при таких минимальных прицельных параметрах
по порядку величины, равна v
~ v/2nQ
~ mv /h. Это ограниче­
ние излучаемой частоты сверху имеет весьма наглядный физический
смысл. В квантовой теории тормозное излучение представляется следую­
щим образом. Свободный электрон, обладающий начальной энергией
Е = mv /2, пролетая мимо иона, может испустить световой квант hv.
Если после испускания кванта он остается свободным, т. е. удалившись
от иона, обладает положительной энергией Е'', то, очевидно, электрон
не может испустить квант, превышающий начальную энергию Е. Таким
m i n
v
v
v
v
v
mln
2
m i n
mlri
2
-
Е
mv*
образом, v
= -J- — -yjr , что с точностью до несущественного мно­
жителя 1/2 совпадает с ограничением частоты, диктуемым принципом
неопределенности.
В квантовой механике свободный электрон представляется плоской
волной и понятие прицельного расстояния не имеет строго определен­
ного смысла. Можно говорить о вероятности испускания кванта той или
иной частоты, вернее, об эффективном сечении испускания квантов с энер­
гиями от hv до hv + d (hv). Количество энергии, излученной в интер­
вале частот dv единичным потоком электронов, взаимодействующих
с одним ионом, равно произведению энергии кванта hv на эффективное
сечение испускания da . Эта величина и соответствует эффективному
излучению классической теории:
dq = hv-do эрг-см .
(5.10)
m a x
v
2
v
v
В свете принципа соответствия эффективное излучение частоты v
связано с переходом электрона с одной «стационарной гиперболической
орбиты», отвечающей энергии электрона Е, на другую, отвечающую
*) Это справедливо только при условии, что сталкивающиеся частицы обладают
разноименными зарядами (электрон — положительный ион). При взаимодействии
частиц с зарядами одного знака dg /dv —*- 0 при v —v оо.
v
218
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
энергии Е' = Е — hv. Эффективное сечение da , а следовательно, и эффек­
тивное излучение dq вычисляются в квантовой механике обычными
методами, через матричные элементы энергии взаимодействия электрона
с ионом.
Однако прежде чем приводить результат квантовомеханического
расчета тормозного излучения, посмотрим, каковы пределы примени­
мости классических формул (5.8), (5.9) и когда, собственно, их нужно
заменять квантовомеханическими.
Согласно классическому выводу, формула (5.8) для больших частот
справедлива при условии v > mv /2nZe . При этом, конечно, нет смысла
распространять ее на частоты, превышающие верхний предел, диктуемый
квантовыми энергетическими представлениями, v ^ x = E/h = mv /2h.
Перепишем эти ограничения, накладываемые на частоту в формуле (5.8),
в виде
v
v
3
i
2
л _ frVmax ^
Е
-^
hx
Е *
h туЗ
Е 2nZe*
hv
nZe* '
,. . .
\ - )
и
1 1
2
Но неравенство hv/nZe « 1 с точностью до двойки представляет собой
не что иное, как условие квазиклассичности движения электрона в кулоновском поле (см., например, [2])
hv
2nZe*
«1.
(5.12)
Поэтому классической формулой (5.8) для эффективного излучения
частоты v, ограниченной сверху и снизу неравенствами (5.11), прибли­
женно можно пользоваться при всех тех скоростях электронов, которые
удовлетворяют неравенству (5.12). Если выполнено условие квазиклас­
сичности (5.12), то область применимости формулы (5.8) простирается
вплоть до очень малых частот, таких, что hv/E ~ hvlnZe < 1. Поскольку
обычно интерес представляют кванты, не очень малые по сравнению
с кТ, т. е. с энергиями электронов, и вклад пика при v -*• 0 в интеграль­
ное излучение невелик, формулу (5.8) с успехом можно распространить
вплоть до v = 0, заменив ею формулу (5.9) и тем самым устранив фор­
мально расходимость dq при v -*- 0.
Преобразуем условие квазиклассичности (5.12), которое является
условием применимости формулы (5.8), так, чтобы получить условие,
накладываемое на энергию электрона,
2
v
2
,-,
mv
E
m /• 2itZe
2
Л
2
2
2
Z e
= - 2 ^
„„
т
л
=
1
о
3
c v
„
5
Z
,r
Э в
i ,
5
5 Л З
= -T~<~2{—h—)
'
'
( )
где а = к /4:Я те — боровский радиус, а / н = 13,5 эв — потенциал
ионизации атома водорода *).
Например, в случае водородной плазмы формула (5.8) справедлива
вплоть до температур порядка 10 эв ~ 100 000° К; в газе из более тяже­
лых элементов она справедлива до еще более высоких температур, так
как вследствие многократной ионизации возрастают заряды ионов Z.
Так, в воздухе нормальной плотности при Т = 10 ° K Z « 6 и средняя
энергия электронов еще в четыре раза меньше «квазиклассического»
предела.
При очень высоких температурах, когда выполняются неравенства,
противоположные условиям квазиклассичности (5.12), (5.13), справед2
2
=
:
/
H
Z
2
0
6
*) Условие квазиклассичности для движения электрона в кулоновском поле
эквивалентно условию малости энергии электрона по сравнению с его энергией на
первой боровской орбите.
§ 2а]
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ РАССЕЯНИИ НЕЙТРАЛЬНЫМ АТОМОМ
219
ливо борновское приближение в квантовой механике *). Для нерелятивистких энергий (Е <g тс = 500 кэв) вычисление эффективного излу­
чения в борновском приближении дает выражение (см. [3]):
2
dq = hv • da = - - - ^ 3 ^ - In ^
v
v
^
3
'- dv,
dq автоматически обращается в нуль при hv = Е и слабо, логарифми­
чески, зависит от частоты во всем интервале частот от 0 до v .
Замечательно, что квантовая формула приводит к значениям эффек­
тивного излучения, весьма близким к тем, которые дает классическая
формула (5.8) (за исключением, конечно, частот очень малых и очень
близких к максимальной). Это видно из табл. 5.1, в которой представлены
значения отношения
v
m a x
0
1
V «
v
/квант/
Ч «V / к л а с с
hv
Я
__/3
я
ftv
v
в зависимости от безразмерной величины а; =
Е
v
'
l n
(1 + ^ 1 —а:)
а
m a x
Т а б л и ц а 5.1
X
ё!
0
со
0,1
2,01
0,2
1,61
0,3
1,34
0,4
1,13
0,5
0,97
0,7
0,68
0,6
0,81
0,8
0,53
0,9
0,36
1
0
Величину g которая отличает квантовое выражение для тормоз­
ного излучения от классического, иногда называют множителем Гаунта.
Интегральное излучение, вычисленное по квантовой формуле, запи­
сывается в следующем виде:
lt
v
9квант=
max
1
\
С-4гг')
J
0
4 «
v
У квант
dv
=(^7)
v
4"V/класс
m a x
\
g dx=l,05q
1
.
№SLCC
J
0
Таким образом, классической формулой (5.8) с хорошим приближе­
нием можно пользоваться практически при любых нерелятивистских
температурах.
§ 2а. Тормозное излучение электрона при рассеянии
нейтральным атомом
Найдем эффективное тормозное излучение электрона при столкнове­
нии с рассеивающим центром, не конкретизируя пока закона взаимодей­
ствия электрона с рассеивателем. Последним может служить нейтраль­
ный атом, молекула, ион. Допустим, что длительность взаимодействия т
в
*) Для борновского приближения надо, чтобы не только при начальной, но я при
конечной скорости электрона выполнялись условия (5.12), (5.13); в противном случае
следует пользоваться точными волновыми функциями электрона в кулоновском поле,
что вносит известный кулоновский множитель в результирующие формулы [2, 3].
220
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
мала по сравнению с периодом излучаемых электромагнитных колеба­
ний, точнее, что выполняется неравенство сот < 1, где со = 2nv. Для
частот видимого света, энергий электрона порядка нескольких электронвольт и рассеяния нейтральным атомом такое предположение можно
считать оправданным *).
При условии сот С 1 рассеяние происходит «мгновенно» и, есте­
ственно, положить вектор ускорения равным w (t) = Диб (t), где Av —
изменение вектора скорости электрона при рассеянии.
Компонента Фурье вектора ускорения тогда равна w = Av/2n.
Подставляя это выражение в формулу (5.4), получим, что при данном
акте рассеяния электрона в интервале частот от v до v + dv излучается
энергия
в
в
v
S dv =
±^(Av)*dv.
v
Это выражение следует усреднить по углам рассеяния Ф. Полагая
приближенно, что абсолютная величина скорости электрона v при рас­
сеянии изменяется мало, что соответствует излучению квантов hv, не­
больших по сравнению с энергией электрона mv /2, получим (Av) =
=2v (1 — cos •&), где cos •&• — средний косинус угла рассеяния.
Для того чтобы найти эффективное излучение, нужно умножить
усредненную по углам рассеяния величину S d\ на эффективное сечение
рассеяния о (ср. с формулой (5.6)). Это дает
2
2
2
v
2
r
dq = S dva=^r-^ p- -dv,
v
(5.13')
v
где a = а (1 — cos #) — так называемое транспортное сечение рас­
сеяния. Эта формула описывает, в частности, тормозное излучение элек­
тронов при столкновениях с нейтральными атомами; сечения упругих
столкновений электрона с атомом о обычно порядка или несколько меньше
газокинетических сечений **). С помощью формул (5.10) и (5.13') найдем
связь между дифференциальным сечением испускания кванта hv и сече­
нием упругого рассеяния электрона:
tr
2
da
8
dv
3 c hv
v
е у2
3
a.
(5.13")
tr
Проделанный вывод еще раз наглядно демонстрирует физическую
природу процесса излучения света в классической электродинамике.
Электрон испытывает ускорение при столкновении с рассеивающим цен­
тром, а на рассеяние как бы «накладывается» излучение, причем вероят­
ность (сечение) излучения определяется чисто механической вероятно­
стью (сечением) рассеяния. Эта связь фотопроцеосов с процессами соот­
ветствующих электронных соударений существует и в квантовой меха­
нике ***).
Применим формулу (5.13') к рассеянию электрона кулоновским
центром, т. е. ионом. Кулоновские силы — дальнодействующие. Рассея­
ние при столкновении заряженных частиц, т. е. заметное изменение век15
1
*) Например, для красного света К = 7000 A , hv = 1,8 эв, со = 2,7-10
сек' .
Если радиус атома Ю см и скорость электрона 10 см/сек (энергия 3 эв), то т =&
яв Ю
сек и шт = 0,27.
**) Много экспериментальных данных по сечениям а собрано в книге [60].
***) В частности, существует связь между сечениями ионизации атома электронным
ударом и фотоионизации [53].
- 8
8
в
- 1 6
в
§ 2а]
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ РАССЕЯНИИ НЕЙТРАЛЬНЫМ АТОМОМ
221
тора импульса электрона, происходит, если частицы сближаются на рас­
стояние r = 2Ze lmv , при котором кинетическая энергия электрона
mv /2 оказывается сравнимой с потенциальной Ze /r .
Эффективное
сечение при кулоновских «столкновениях» порядка яг, = 4nZ e /(mz; )
(подробнее см. об этом в разделе 3 гл. VI). Если подставить это сечение
в формулу (5.13а), получим величину dq , которая лишь в jt/j/"3 раз
меньше точной величины (5.8). Таким образом, эффективные сечения
тормозного излучения при рассеянии электрона ионом и нейтральным
атомом относятся друг к другу как соответствующие сечения упругого
рассеяния:
2
i
0
2
2
0
z
4
2
2
y
(^у)ион
я/Ц
=
=
jtZM
=
Jtag /- 2 /
н
у
у
а
Обычно Q lna\ ~ 1 -т- 10 и при энергии Е порядка нескольких электронвольт эффективность нейтральных атомов в отношении тормозного
излучения (и поглощения) на один-два порядка меньше, чем эффектив­
ность ионов. Таким образом, столкновения электронов с нейтральными
атомами играют роль только при очень слабой ионизации газа.
Выше было вычислено тормозное излучение электрона при рассея­
нии его изолированным атомом. Если столкновения электрона с атомами
происходят достаточно редко (по сравнению с частотой излучаемой элек­
тромагнитной волны), то последовательные столкновения можно считать
независимыми и энергия, излучаемая при многих столкновениях, является
просто суммой энергий, излучаемых при отдельных столкновениях.
В этом случае согласно (5.13а) электрон в 1 сек в интервал частот
dv излучает энергию
ir
dQ = S dv Nva = -«• -^-g- v $ dv эрг/сек,
v
v
3
где v = Nva — эффективная частота столкновений (N — число ато­
мов в 1 см ). Если же частота столкновений сравнима с частотой излучаемо­
го света, то столкновения уже нельзя считать независимыми. Между изме­
нениями вектора скорости электрона при последовательных столкновени­
ях существует корреляция, результатом которой является интерференция
парциальных волн, излученных при отдельных столкновениях. Амплиту­
ды двух последовательных электромагнитных волн в среднем оказываются
направленными в противоположные стороны, что приводит к уменьшению
суммарной излученной энергии.
Для того чтобы рассчитать тормозное излучение электрона, испыты­
вающего большое число столкновений п (п -*- оо), можно представить
ускорение его w (t) в виде
3 $
tr
3
п
где tk •— момент /с-го столкновения; Av^ — соответствующее изменение
вектора скорости. Квадрат модуля компоненты Фурье ускорения равен
A
A
is
,
)
i"vi»=iii< »' ^ ^'- * Это выражение следует усреднить по направлениям скоростей электро­
на и по временам столкновений. Подставив полученное выражение в (5.4)
222
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
и разделив на время, в течение которого электрон испытывает п столкно­
вений, n/Nvo, найдем величину dQ , исправленную на эффект корреля­
ции. Вычисление, проделанное в работе одного из авторов [61 ], дает
v
8
d<
2
e t>
2
v
?v = ^ - — r V j ,
3 (
2
*'
7^7Т-\Т
V
-+(*Ю*
= №)бе
2
~-+(-£)
8
В предельном случае у ф/2п < v дополнительный множитель обращается
в единицу в соответствии с исчезновением эффекта корреляции.
Практически эффект корреляции сказывается только при излучении
очень низких частот (в радиодиапазоне). Например, при N = 10 Нем ,
v = 10 см/сек, a = Ю
см v ^ = 10 1/сек, тогда как для красного
света со = 2jtv = 2,7-10 1/сек.
Э
19
8
- 1 5
2
3
12
tr
15
§ 3. Свободно-свободные переходы в нагретом ионизованном газе
Найдем лучеиспускательную способность ионизованного газа, свя­
занную с тормозным излучением.
Пусть в 1 см газа имеется N положительных ионов с зарядом Ze
и N электронов с максвелловским распределением по скоростям
3
+
e
оо
( \ f (v) dv = 1) . Температуру электронного газа обозначим через Т.
о
Энергия, которая излучается электронами, обладающими скоростями
от г/ до v' + dv', в 1 см в 1 сек в интервале частот от v до v + dv равна
3
N N f(v')dv'v'dq (v')*).
+
e
(5.14)
v
Количество энергии, спонтанно излучаемой в результате свободносвободных переходов в интервале dv в 1 см в 1 сек, получится, если про­
интегрировать выражение (5.14) по скоростям электронов от v
до со,
причем Pmm—это минимальная скорость электронов, способных излу3
min
mv
,2
чить квант hv:
2 ^ - = Av: Воспользовавшись формулой (5.8) для
эффективного излучения и интегрируя, найдем спектральную луче­
испускательную способность, связанную с тормозным механизмом:
1
^ v = ^ r ^ - V ^N N e'^dv.
3 V ЗкТт
+
e
(5.15)
Испускание квантов hv > kT экспоненциально мало. Это связано
с тем, что большие кванты излучаются электронами с большими энер­
гиями, сосредоточенными в хвосте максвелловского распределения по ско­
ростям.
*) Предполагается, что скорости ионов очень малы по сравнению со скоростями
электронов.
§ 3]
СВОБОДНО-СВОБОДНЫЕ
ПЕРЕХОДЫ В НАГРЕТОМ ИОНИЗОВ. ГАЗЕ
223
Интегральная лучеиспускательная способность для тормозного излу­
чения равна
о
2
2
2
= 1,42- 1 0 " ' Z r N N
+
3
эрг/см сек
e
(5.16)
(Т° — температура в градусах Кельвина).
Интегральное тормозное испускание довольно слабо зависит от тем­
пературы (оно пропорционально У^Т).
Если в газе имеются ионы разных зарядов Z, то формулы (5.15),
(5.16) следует просуммировать по всем сортам ионов.
Теперь найдем коэффициент тормозного поглощения света. Для
этого воспользуемся принципом детального равновесия. Если U —
равновесная спектральная плотность излучения, определяемая формулой
Планка (2.10),
vv
^р = ^ Р Ц ^ — ,
(5-17)
kT
e ~l
a a — спектральный коэффициент истинного тормозного поглощения,
рассчитанный на один ион и один электрон, движущийся со скоростью
и, то количество излучения в интервале частот от v до v + c?v, погло­
щаемое при термодинамическом равновесии в 1 сек в 1 см электронами
со скоростями от v до v-\-dv, равно
v
3
Ttv
N N U dv-cf
+
e
(v)dv-a (l—e
vv
**").
v
(5.18)
/IV
hT
Множитель ( 1 - е )
учитывает эффективное уменьшение погло­
щения за счет вынужденного испускания (переизлучения; см. § 4 гл. II).
В условиях термодинамического равновесия поглощение и испускание
в точности компенсируют друг друга, т. е. выражения (5.18) и (5.14)
равны. При этом скорости электронов, испускающих кванты hv и погло­
щающих эти кванты, связаны между собой законом сохранения энергии
Замечая, что vdv = v'dv', a dq = hvda , найдем общую связь единич­
ного коэффициента поглощения a с сечением излучения da :
W d j ^
v
v
v
v
i g
Пользуясь формулой (5.8) для dq , получим
y
Z
м
a = % , 7 , =1,80-10 -^-см».
3^3" hcm w
v
n
2
(5.20)
s
Эта формула была выведена Крамерсом в 1923 г. Умножая a на N N
и с помощью функции максвелловского распределения усредняя по ско­
ростям электронов, получим спектральный коэффициент истинного
v
+
e
224
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
тормозного поглощения в газе при температуре электронов Т:
4f
2л у
ZW
, _ о
т
6 9
Z2
Q 8
у
2 3
2
0 2
v
3
1
= 4 , 1 . 1 0 - Z - ^ ^ см" , « = - ^ - .
(5.21)
В более строгой теории в формулах для коэффициента поглощения
(5.20) и (5.21) (и соответственно всех других) фигурирует множитель Гаунта g, учитывающий отклонения от теории Крамерса: x = (х )крамсрс ?Для небольших по сравнению с кТ квантов
-
v
г
J !
y = ? - l n - ^ = 1.27(3,38 + l g r - 4 l g ^ ) .
Вспоминая определение среднего коэффициента поглощения, харак­
теризующего лучеиспускательную способность (2.102), вычислим эту
величину для тормозного механизма:
=
6
*i=-^ ^= '
5
2
-
1
0
"
2
4
Z
2
Z
±
^r
СМ К
( 5
'
-
2 2 )
jio 2
Соответствующая средняя длина пробега равна
j_
'1 = ^ = 1 . 5 3 . 1 0 - ^ - 0 . .
(5.23)
Вычислим еще и средний росселандов пробег (2.80) для случая, когда
газ полностью ионизован и тормозной механизм поглощения является
единственным (а все ионы обладают одинаковым зарядом Z)
Z = = 4
8
' '
1 ( ) 2 4
^jvr
CM
( 5
-
-
2 4 )
Росселандов пробег / для тормозного механизма равен спектраль­
ному пробегу при энергии квантов hv = 5,8 кТ. Как видно, в переносе
лучистой энергии путем теплопроводности при тормозном механизме
поглощения основную роль играют весьма большие кванты, находящиеся
в виновской области спектра. Наоборот, при объемном излучении основ­
ную роль играют маленькие кванты. Средний коэффициент х равен
исправленному на вынужденное испускание спектральному коэффициенту
x (1 — e- ' ),
соответствующему hv — 1,73 кТ.
Для того чтобы представить себе порядки величин оптических харак­
теристик плазмы, соответствующих тормозному механизму, приведем
конкретный пример.
Рассмотрим водород при плотности Q = 1,17-Ю г/см (такая плот­
ность соответствует давлению 10 мм рт. ст. при комнатной температуре)
и температуре Т = 100 000° К. В этих условиях водород полностью
диссоциирован и полностью ионизован, так что N = N = 7-Ю ' см' .
Коэффициент поглощения красного света X = 6500 А при этом равен
x = 5,7-10" см' , а длина пробега / = l / x = 175 см.
4
hv hT
v
-6
3
1
+
3
v
1
v
v
e
3
§ 4]
СЕЧЕНИЕ ЗАХВАТА ЭЛЕКТРОНА ИОНОМ С ИСПУСКАНИЕМ КВАНТА
225
6
Росселандов пробег I = 3,1 -10 см. Средний пробег, характеризую­
щий лучеиспускательную способность, / = 0,98 -10 см.
Если размеры тела гораздо меньше, чем длина 1 то тело испускает
как объемный излучатель (см. § 16 гл. II) и скорость потерь энергии на
излучение равна
d(Qt)
= -/,
dt
5
4
и
где е — удельная внутренняя энергия. В нашем примере J = 2,2 х
X10 эрг /см сек. С учетом энергии диссоциации и ионизации е =
= 41,6 эв/атом, QE = 4 , 6 6 - 1 0 эрг/см . Начальный масштаб времени
лучистого охлаждения т = QE/J = 2,12-10~ сек.
11
3
3
7
4
§ 4. Эффективное сечение захвата электрона ионом
с испусканием кванта
Рассмотрим захват свободного электрона водородоподобным «ионом»
с излучением кванта и образованием водородоподобного «атома». Будем,
как и в § 2, исходить из полуклассических представлений. В классиче­
ской механике без учета излучения переход от свободных состояний
электрона к связанным явля­
ется непрерывным. Состояние
или орбита электрона харак­
теризуются величиной пол­
ной энергии Е системы элек­
трон — ион и (в общем слу­
чае) вместо «прицельного
расстояния»
Q — моментом
количества движения, также
определяющим геометриче­
ские параметры траектории.
Рис. 5.3. Гиперболическая, параболическая
При уменьшении энергии
и эллиптическая орбиты электрона.
и неизменном моменте гипер­
болические орбиты, соответствующие положительной энергии Е > 0,
непрерывным образом переходят в параболическую (Е = 0) и далее,
в связанном состоянии системы, характеризуемом отрицательной энер­
гией, £ < 0 , в эллиптические (рис. 5.3). В свете принципа соответствия
захват свободного электрона и излучение кванта, энергия которого пре­
вышает начальную кинетическую энергию электрона Е, связаны с пере­
ходом электрона с гиперболической траектории на эллиптическую.
В классической механике энергия системы электрон — ион может
быть произвольной. В квантовой механике энергетический спектр систе­
мы непрерывен только, если электрон свободен и Е > 0. В связанном
состоянии, при Е <С 0, энергия может принимать только дискретные зна­
чения. Энергетические уровни водородоподобного атома Е характери­
зуются главным квантовым числом п, пробегающим значения от 1 до оо,
п
2
1-вр
Е =
п% '
п
2
/н =
_е^ _ 2 я т е *
ft*
2 Йо
Г
(5.25)
/ = / н £ = | Ei | — абсолютная величина энергии основного состояния,
т. е. потенциал ионизации. Энергия связи электрона в /г-м квантовом
состоянии равна — Е = \Е \ = 1 In . Схема уровней атома водорода изо­
бражена на рис. 2.2 в § 2 гл. П. Как известно, при движении связанного
2
п
15
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
п
226
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
электрона в кулоновском поле иона его кинетическая энергия в сред­
нем по времени равна половине потенциальной, взятой с обратным знаком,
и равна полной, также взятой с обратным знаком: Е
= —Е 12 =
= — Е (Е = Е -j- .Ёпот)• Следовательно, в среднем по времени
_ тИ* _ I _ I Z2
Якин —
.
Из этой формулы с учетом неравенства (5.13) видно, что движение элек­
трона в сильно возбужденных квантовых состояниях с большим кванто­
вым числом п квазиклассично.
При рассмотрении тормозного излучения в § 2 мы применяли клас­
сическую формулу (5.8) для эффективного излучения, описывая ею «пе­
реходы» электрона с одной гиперболической орбиты на другую, отвечаю­
щую меньшей энергии, причем распространяли формулу вплоть до пере­
ходов на орбиту с бесконечно малой положительной энергией, почти пара­
болическую, что соответствовало излучению почти максимальной частоты
max = Elh. При этом начальная энергия Е предполагалась достаточ­
но малой, Е < 1-a.Z , v < 2nZe lh, чтобы движение в начальном состоя­
нии было квазиклассичным. Движение в конечном состоянии тем более
квазиклассично, так как электрон при переходе теряет кинетическую
энергию и тормозится. Поскольку малые отрицательные энергии, как мы
только что видели, также соответствуют малым скоростям и отвечающие
им эллиптические орбиты также близки к параболической (но только со
стороны отрицательных энергий), естественно распространить формулу
(5.8) и на случай излучения частот, несколько превышающих v x> т. е.
на случай захвата электрона на высокие уровни. При этом следует учесть,
что конечное состояние электрона попадает в дискретный спектр. Эффек­
тивное излучение в некотором малом, но конечном интервале частот Av,
A g = (dq /dv) Av, равно согласно квантовой трактовке hvAa ,
где
A o — эффективное сечение для процессов испускания квантов в малом
интервале Av. Но теперь испускание квантов от Av до hv + A (hv) соот­
ветствует захвату на определенное конечное число уровней А/г и эффек­
тивное сечение захвата на них A a можно представить в виде произведе­
ния а Ап, где а — среднее сечение захвата на какой-нибудь из уров­
ней в этом интервале. Это сечение зависит от среднего номера п в малом
интервале Are. Таким образом,
К1Ш
иот
кшн
n
2
п а
2
v
2
z
ma
v
v
v
v
v
сп
сп
Acr _ 1 A<?
5 26
An
hv
Воспользовавшись формулой (5.25) для определения энергетического
dE I hAv r. ,„ ; •>
6 олыних п: -~ = -г— = 11-s.L ln
и формулой (5.8) для эффективного излучения, получим эффективное
сечение захвата на уровень п свободного электрона, обладающего началь­
ной энергией Е = mv /2:
__ 128n* Z**M 1 _ 2,1-10-^ / Z2 I Z*
.
,е >
3 / 3 mcWv*v з „з
Е
hv
'
\p.ti)
£-£(•£) &•
v
(Уen. =
<- >
v
•
n
T
r
z
A
2
H
H
97
П
Энергия кванта, испускаемого при захвате электрона на уровень п,
равна
„v = £ + |^l = - ^ + 4 f
•
(5-28)
Как показывают квантовомеханические расчеты (см. следующий па­
раграф), полуклассическая формула (5.27) дает хорошие результаты
§ 5]
СЕЧЕНИЕ СВЯЗАННО-СВОБОДНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ ИОНАМИ
227
и применительно к захвату на глубокие уровни, в том числе и на основ­
ной (п = 1), несмотря на то, что движение электрона в основном состоя­
нии уже не квазиклассично (^кин = ~к~ = 1ш% ) *)•
Вычислим с помощью формулы (5.27) полное эффективное сечение
фотозахвата электрона с данной энергией Е = mv*l2 на все уровни водородоподобного иона. Для этого следует просуммировать сечение а по
формуле (5.27) по всем п от 1 до оо с учетом того, что испускаются кванты
различных энергий, которые даются форму­
Торможение Захват
лой (5.28):
2
сп
2,1-Ю"
2 2
2
^ -У
''/VX/Zy'////, У/ У/ У/ У//
7/Л
4
Е
n=i
2,8H.0-2iZ2
(
>'
Ф( - ^ - )
.
(5.29)
Здесь через ф обозначена сумма по п.
В грубом приближении при малых энергиях
п*
2
электронов Е < I Z ,
H
ф ^ ( 2 4") + 1 '
>i
г д е
п=1
1
п* « (I-gTPIE) /*. Для небольших (но и не Рис. 5.4. Схема, поясняющая
очень малых) энергий электронов, когда Е соотношение между энергетиче­
меньше / н ^ , но сравнимо с этой величиной, скими интервалами конечных
электрона при тор­
сумма ф порядка 1 и сечение захвата состояний
можении и захвате ионом.
равно примерно а та Ю
-^- см .
Интересно сравнить интегральное эффективное излучение свободного
электрона с данной энергией Е при торможении в поле водородоподобного
иона с интегральным излучением при фотозахвате, т. е. величины q
=
2
- 2 1
с
= J^ =J
V
2
в
Tom
hvda
vo
торм
<7зах = 2 i ^ *«i- Первая величина согласно (5.8)
равна <7торм = (dq /dv) Elh, а вторая, в силу самого вывода сечения а
dqy
(см. формулу (5.26)), (7зах —
где постоянная dq /dv,
опреде­
h
dv
ляется формулой (5.8). Обе величины, д
и q ,
пропорциональны
энергетическим интервалам возможных конечных состояний электрона
(рис. 5.4) и относятся друг к другу как эти интервалы:
v
с
v
т о р м
3ax
/HZ»
Е
<7зах
9торм
§ 5. Эффективное сечение связанно-свободного
поглощения света атомами и ионами
Рассмотрим процесс, обратный фотозахвату,— фотоионизацию водо­
родоподобного атома, т. е. поглощение кванта с переходом электрона
в непрерывный спектр.
Как и при вычислении тормозного поглощения, воспользуемся
принципом детального равновесия.
*) Начальное же движение свободного электрона предполагается квазикласси­
ческим, т. е. начальная энергия Е < J^ %
15*
228
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
3
В 1 см в 1 сек происходит
N+lV f(v)dv-vOcn
(5.30)
e
актов фотозахвата электронов со скоростями от г; до v -f- dv на п-й уро­
вень ионов. При этом испускаются кванты с частотами от v до v-\-dv,
которые связаны со скоростью электрона соотношением (5.28).
Число обратных процессов: актов фотоионизации «атомов», пребы­
вающих в п-ж квантовом состоянии, квантами с частотами от v до v-j-\~dv, равно
hv
U.
kT
N -^dvca {\-e
n
),
m
(5.31)
a
где vn—эффективное
сечение поглощения кванта hv атомом в ге-м
состоянии, N — число таких атомов в 1 см ; множитель (1 — e~ / ),
как
и раньше, учитывает процессы вынужденного испускания. В условиях
полного термодинамического равновесия /(f)—функция
максвелловского распределения электронов, Z7 —функция Планка; число воз­
бужденных атомов N выражается формулой Больцмаиа:
3
hv hT
n
vp
n
(En-El)
T
N =N ^ e
*
n
J_/.
= N i ^ e
h
T
i_\
3
\
" >,
(5.32)
2
где g = 2n — статистический вес re-го уровня водородоподобного атома,
a Ni — число атомов в 1 см , пребывающих в основном состоянии; g^ = 2;
n
3
2
Е ~Е
= 1н% ( 1
2" ) — I М
2 j —энергия возбуждения п-то со­
стояния.
Числа свободных электронов, ионов и «нейтральных» атомов (если
Z > 1 , то «нейтральный» водородоподобный атом представляет собой
ион с зарядом Z — 1) связаны между собой уравнением Саха (см. фор­
мулу (3.44) в § 5 гл. III):
з
i
NN
г. (( 2лпгкТ
и —.
™2 )N-y- ~
(5-33)
N
п
1
2Л
+
Т
2
е
+
e
А Г
причем в данном случае электронная статистическая сумма иона и = 1.
Число «нейтральных» атомов в 1 см N = uNJgi,
где
и—электронная
статистическая сумма атома.
Приравнивая друг другу числа прямых и обратных процессов (5.30),
(5.31) с учетом всех сделанных замечаний о входящих в формулы вели­
чинах, найдем связь сечений фотоионизации и фотозахвата
+
3
и
+
( mvc
.2
о,сп-
Подставляя сюда а по формуле (5.27), получим эффективное сече­
ние поглощения кванта hv водородоподобным атомом, заряд «атомного»
остатка которого равен Z и который находится в п-м квантовом состоя­
нии:
сп
7 9 10
5 34
«- - 57Г - S S - " ' ' ~" ^ ( ^ )' ""•
<- »
Здесь через v„ обозначена минимальная частота кванта, который спо­
собен вырвать электрон с га-го уровня: hv = / Z / r a
(см. форму­
лу (5.28)).
2
n
H
2
§ 5]
СЕЧЕНИЕ СВЯЗАННО-СВОБОДНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ ИОНАМИ
229
Характерной особенностью сечения является обратная кубическая
зависимость от частоты a — (v„/v) . Сечение максимально у порога
поглощения при v = v . Формула (5.34) известна в литературе под назва­
нием формулы Крамерса.
Несколько более строгое, квантовомеханическое, рассмотрение фото­
ионизации водородоподобных атомов с высоких уровней приводит к фор­
муле, отличающейся от (5.34) поправочным множителем [4]:
3
vn
n
1
T
^-'-«KIP) [>(*)
В большинстве практически интересных случаев этот множитель весьма
близок к единице, так что его, как правило, можно не учитывать.
Полуклассическая формула (5.34), по самому своему выводу спра­
ведливая лишь для высоковозбужденных состояний п > 1, тем не менее
дает хорошие результаты даже при применении ее к фотоионизации с основ­
ного уровня п = 1.
Квантовомеханические расчеты эффективного сечения фотоэффекта
с isT-оболочки атомов, т. е. для основного состояния водородоподобного ато­
ма, выполненные с точными волновыми функциями свободного электрона,
в кулоновском поле дают [5] (из расчета на один электрон, как и (5.33)):
8,32-10-is С vi V
<T »
p
V1
1
V _ V l
СvJ '
5,42-10-1? /• vi V , 5
ffvi»- —p
{j~J
.
~
V l
'
v»v .
t
5 , 3 6
)
(5.30
4
Первая из формул соответствует области вблизи границы поглощения,
последняя — когда энергия освобождающегося электрона значительно
больше энергии связи hv = / H Z , что соответствует переходу к борновскому
приближению.
Сопоставление формулы (5.34), в которой положим п = 1, с формулами
(5.35),,(5.36) показывает, что на границе поглощения, при v = v «полу­
классическое сечение» (5.34) равно 7,9-10~ /Z см и всего на 25% больше
квантового (5.35). При v — v ~ v т. е. когда энергия освобождающегося
электрона порядка энергии связи его в основном состоянии атома, формулы
(5.34), (5.35) совпадают с точностью 5% и даже дают одинаковую зависи­
мость от частоты. Сильное расхождение наступает только при hv > 1-g.Z ,
когда энергия освобождающегося электрона Е > / n Z , т. е. в борновской
области, где положение противоположно квазиклассическому.
Как будет видно из дальнейшего, столь большие кванты всегда нахо­
дятся в далекой виновской области спектра и в условиях, близких к тепло­
вому равновесию, практически не играют роли. Таким образом, полу­
классическую формулу (5.34) приближенно можно распространить на
фотоионизацию со всех уровней водородоподобных атомов. Точно так
же формула для фотозахвата (5.27) применима для захвата электрона на
все уровни, вплоть до основного, что и было использовано в предыдущем
параграфе при вычислении полного сечения захвата.
Рассмотрим коротко, чего можно ожидать от применения к сложным
атомным системам формул, выведенных для водородоподобных атомов.
2
t
b
18
t
2
2
b
2
2
230
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Маленькие кванты, значительно меньшие потенциала ионизации атома
или иона I, поглощаются (с выбиванием электрона) только высоковоз­
бужденными атомами (ионами), энергия возбуждения которых не меньше
чем I — hv. Но в сильно возбужденных состояниях оптический электрон
движется по большой орбите, в области которой поле «атомного остатка»
весьма близко к кулоновскому, создаваемому зарядом, равным заряду
«остатка». Поэтому можно надеяться, что в этом случае приближение
«водородоподобности» является оправданным. К сожалению, нет точных
квантовомеханических расчетов поглощения высоковозбужденными ато­
мами и ионами, которые могли бы подтвердить это довольно вероятное
предположение.
Имеющиеся немногочисленные расчеты относятся главным образом
к фотоэффекту из основного состояния атомов (для ионов данные еще более
скудны).
В этом случае поле, в котором движется поглощающий электрон, соз­
дается сложной системой зарядов ядра и остальных электронов, размеры
которой таковы же, что и «орбита» электрона, и, конечно, поле сильно
отличается'от кулоновского. Точно так же волновая функция электрона
сильно отличается от волновой функции ^-состояния водородоподобного
атома. Для ряда атомов эффективные сечения фотоионизации с основного
состояния очень сильно отличаются от соответствующего сечения для
атома водорода, равного согласно (5.34) a = 7 , 9 - Ю ( v / v ) см (на гра­
нице поглощения а* = 7 , 9 - Ю
см ), для других же они весьма близки
на границе поглощения, но имеют другую зависимость от частоты. Так,
например, у кислорода и фтора на границе поглощения сечения равны
примерно 2 , 5 - 1 0 " см , а затем почти не зависят от частоты вплоть до
v «* 2v . У азота на границе а* = 7,5-10" см , а углерода а* = 10 х
X Ю см , но сечения спадают с увеличением v медленнее, чем пропорци­
онально v , как у водородоподобных атомов*); у лития а* = 3,7-10~ ,
у кальция а* = 2 5 - Ю см . Особенно велико отличие от «водородоподоб­
ности» у щелочных металлов. У натрия а* = 0,31 -10~ см .
Экспериментальные значения для рубидия а* = 0,1-10~ см , для
цезия а* = 0 , 6 - Ю
см . Более подробный обзор имеющихся данных
можно найти в статье Бейтса [7]. К счастью, как мы увидим ниже, в до­
статочно разреженных газах в состояниях, близких к термодинамическому
равновесию, роль больших квантов, превышающих потенциалы иониза­
ции атомов и ионов, сравнительно мала, так что сильные расхождения
в этом случае не делают бессмысленным использование приближения
«водородоподобности».
Недавно А. В. Ивановой (84, 85) были проведены строгие квантовомеханические расчеты эффективных сечений фотоионизации с основных
и многих возбужденных уровней литиеподобных атомных систем: атомов
лития, четырехкратных ионов азота, пятикратных ионов кислорода.
Волновые функции вычислялись методом Хартри — Фока. На основе
найденных сечений рассчитаны коэффициенты поглощения ионов N ,
0
с 20 уровней для широкого интервала частот и температур.
В некоторых случаях имеют большое значение фотозахват электронов
нейтральными атомами с образованием отрицательных ионов и, соответ­
ственно, фотоэлектрическое поглощение квантов отрицательными ионами.
Это относится к отрицательны м ионам водорода, играющим важнейшую
-18
3
V l
- 1 8
18
2
t
2
2
18
2
t
- 1 8
2
- 3
18
- 1 8
2
18
2
18
- 1 8
2
2
+ 4
+ 5
*) Графики для сечений фотоионизации из основных состояний О, N, F, С при­
ведены в книге [6].
§ 6]
НЕПРЕРЫВНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫМИ АТОМАМИ
231
роль в поглощении света в звездных атмосферах, и отрицательным ионам
кислорода, существенным для поглощения света в воздухе в некоторых
условиях. Энергии связи или потенциалы ионизации отрицательных ионов,
определяющие нижнюю границу поглощения hv i , равны 0,75 эв для
m n
1 •
910 '"
™т
1
i
••
i
8
-
^^1^ji
7 -
-
6 N
N
^ 4.
-
\
*4
\
3
г
\
1
п
1 .
Ъ2
03
1
'
'
0/t
0,S
0,6
i
i
0,7
0,8
1
0.9
Х,мк
Рис. 5.5. Эффективное сечение поглощения света отрицатель­
ными ионами кислорода О .
-
водорода, 1,45 эв для атомарных ионов кислорода О" порядка нескольких
десятых электронвольт для молекулярных ионов 0~. Зависимость сечения
от частоты не имеет ничего общего с законом v~ . На рис. 5.5 представлены
результаты квантовомеханических расчетов эффективного сечения фото­
ионизации О". График взят из работы [8]. Около теоретически рассчитан­
ной кривой указаны экспериментальные точки по измерениям [9].. Данвые по поглощению ионами Н~ можно найти в книге [6].
3
§ 6. Коэффициент непрерывного поглощения в газе
иэ водородоподобных атомов
Вычислим коэффициент связанно-свободного поглощения квантов hv
водородоподобными атомами, заряд «ядра» которых равен Z. При данной
температуре в газе присутствуют атомы, возбужденные до всевоэможных
энергий. Если N — число атомов в 1 см , находящихся в п-м квантовом
состоянии, а а — эффективное сечение поглощения кванта hv этими
атомами, то коэффициент поглощения равен *)
3
n
уп
(5.38)
•=2# с
п
Нижний предел в этой сумме определяется из условия, что энергия
кванта больше энергии связи электрона в атоме, hv > | Е | . В про­
тивном случае квант не сможет вырвать электрон и, следовательно, атомы,
возбужденные до состояний с п <, п*, для которых I Е I >> hv, не
п
п
*) Отметим здесь коэффициент связанно-свободного поглощения штрихом, чтобы
отличать его от коэффициента свободно-свободного поглощения, который будем отме­
чать двумя штрихами.
232
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
участвуют в поглощении квантов hv. В частности, если энергия кванта
превышает энергию связи электрона в основном состоянии атома, т. е. по­
тенциал ионизации / = 1ц% , то в поглощении участвуют все атомы
(тг* = 1). В поглощении очень маленьких квантов hv < 1-H.Z участвуют
только высоковозбужденные атомы (тг* > 1).
Кривая поглощения в зависимости от частоты имеет характер «часто­
кола», как это изображено на рис. 5.6. Как только энергия hv, возрастая,
достигает энергии связи электрона в каком-нибудь состоянии \ Е \ ,
амтомы, возбужденные до этого уровня, включаются в поглощение и коэф­
фициент поглощения вырастает скачком. Затем, вплоть до включения сле­
дующего уровня, Xv уменьшается ~ v ~ ,
в соответствии с законом CT „~V~ . Каждый
уровень вносит свой «зубец» в частокол N o
(пунктирные линии на рис. 5.6), а полный
коэффициент поглощения х' получается
путем суммирования всех «зубцов» (сплош­
ная линия на рис. 5.6).
Если газ находится в состоянии тер­
модинамического равновесия, число атомов
в га-м состоянии N определяется формулой
«Частокол» поглоРис.
Больцмана(5.32). При большихга,когда пока­
щения.
Пунктирные кривые соответству­ затель в экспоненте практически не зависит
ют поглощению атомами в данном
от га, число атомов N просто пропорцио­
квантовом состоянии. Сплошная
кривая — суммарный коэффициент нально га (g = 2га ).
поглощения. Рисунок схематиче­
Поскольку эффективное сечение o ~
ский.
~ п' , слагаемые в сумме (5.38) прига-*- <х>
уменьшаются пропорционально 1/га , так что вклад в поглощение света
данной частоты все более высоких уровней весьма быстро уменьшается,
а сама бесконечная сумма сходится *).
Будем интересоваться температурами, при которых степень иониза­
ции невелика. Как было показано в § 5 гл. I I I , заметная ионизация в не
слишком плотном газе начинается, когда кТ еще гораздо меньше потенци­
ала ионизации / . Число возбужденных атомов при этом весьма мало, так
как для возбуждения даже самого низкого состояния га = 2 необходима
энергия, близкая к потенциалу ионизации и равная -г1.
Таким образом, при кТ «С / число атомов в основном состоянии N
весьма близко к полному числу атомов N = %N и в формуле Больцмана
(5.32) можно положить приближенно N ~ N. Подставляя при этом усло­
вии N и a по формулам (5.32), (5.34) в выражение (5.38) и вводя обозна­
чения:
2
2
п
3
3
V
n
vn
у
n
n
2
2
n
vn
ъ
3
t
n
i
n
vn
\Е
п
кТ
Xi
\Ei\
кТ
l*il
/ Z
кТ
кТ
H
2
1
rfi '
I
кТ
x
t
(5.39)
hv
~W '
*) В реальном ионизованном газе из-за взаимодействия атомов и ионов верхние
возбужденные уровни срезают (см. § 6 гл. I I I ) , так что на самом деле число членов
в сумме (5.38) конечно. В данном случае в обрезании суммы по п нет необходимости,
так как сумма быстро сходится.
6]
НЕПРЕРЫВНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫМИ АТОМАМИ
233
получим коэффициент связанно-свободного поглощения в виде
оо
31/3
n*
Чтобы получить полный коэффициент непрерывного поглощения, к щ
следует присоединить коэффициент тормозного поглощения свободными
электронами в поле ионизованных атомов —«водородоподобных ионов»,
который дается формулой (5.21). Выражая в этой формуле произведениеN N через число «нейтральных» атомов по формуле Саха (5.33) и имея
в виду, что и «* gi = 2, N « N , перепишем коэффициент тормозногопоглощения в виде
+
e
t
2
„_
16л Z*e<>kTN -^jr
3 1 / 3 " /i cv
v
4
64я* Z*e™mN е"**
SJ^W
h c\
2a?! '
3
e
C5 41V
\ • r
3
Суммарный коэффициент x = Xv + Xv равен
v
oo
n*
Эта формула значительно упрощается, если энергия кванта мала
по сравнению с потенциалом ионизации, так что квант поглощается тольковысоковозбужденными атомами (п* велико). Поскольку уровни с возра­
станием п быстро сгущаются, суммирование при больших п можно заменить
интегрированием («дифференциал» соответствует Ага = 1). Интегрирование
по п эквивалентно интегрированию по спектру энергетических состояний
с заменой дискретного спектра непрерывным в соответствии с равенством
dn __
п
3
1 dx
2 а?!
n
В качестве нижнего предела интеграла по х следует, очевидно, взять
безразмерную энергию кванта х = hvlkT. Таким образом,
п
оо
О
П*
X
Если формально распространить суммирование или интегрированиена «отрицательные энергии связи» или, что то же самое, на энергии «воз­
буждения» Xi — х , превышающие потенциал ионизации, то интеграл
по х от 0 до —оо дает величину e~ /2x
в точности соответствующую сво­
бодно-свободным переходам. Этого и следовало ожидать, так как состояния
атома с «возбуждением», превышающим потенциал ионизации, представ­
ляют собой состояния с оторванным электроном, а непрерывный переход
от связанных состояний электрона к свободным был с самого начала поло­
жен в основу вывода эффективного сечения связанно-свободного погло­
щения.
Подставляя выражение (5.43) в формулу (5.42), выделяя в коэффи­
циенте, стоящем перед фигурными скобками, множитель I IkT = 1^2? IkT
и сокращая его с величиной х содержащейся в знаменателе (5.43), полу­
чим окончательную формулу для коэффициента поглощения малых кван­
тов hv «С / *):
п
Xl
п
i7
и
16я2 e*Z4TN
з/з~
Ij
- =~
, _ NZ* «-<*!-*>
- ft4cv3
ы = 0 , 9 6 - 1 0 т-=i 2
=5
п
п
а
л
7
7
°
*) Ее часто называют формулой Крамерса — Унзольда.
с
м
•
5
4 4
( - >
234
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
4
Коэффициент поглощения x пропорционален не Z , как это может
показаться при взгляде на формулу (5.40), а только Z . Чтобы пояснить
это, вспомним, каково происхождение множителя Z в формуле (5.40).
Один множитель Z входит в коэффициент в связи с пропорциональностью
эффективного сечения поглощения квадрату «ускорения» электрона
в кулоновском поле (по классической трактовке) или квадрату матрич­
ного элемента энергии взаимодействия с «ядром» (по квантовой). Другой
же множитель Z появился вследствие пропорциональности сечения погло­
щения a расстоянию'между уровнями, которое в свою очередь пропор­
ционально полному энергетическому интервалу связанных состояний,
/ = / Z .
Сечение o , действительно, пропорционально энергетическому рас­
стоянию между уровнями, так как этому расстоянию пропорционально
сечение фотозахвата (см. формулу (5.21)), которое связано с сечением
поглощения принципом детального равновесия. При суммировании пар­
циального коэффициента K = N o
по уровням или, что то же самое,
при интегрировании по энергетическому интервалу связанных состояний,
участвующих в поглощении данного кванта, последняя зависимость от Z
исчезает. Сделанное замечание о зависимости x от Z существенно для пере­
хода к многозарядным ионам (см. ниже).
Как видно из формул (5.42), (5.43), связанно-свободные переходы
я свободно-свободные переходы вносят в суммарный коэффициент непре­
рывного поглощения x доли, которые относятся друг к другу как
v
2
4
2
2
vn
2
H
vn
vn
n
vn
2
v
v
hv
х
т
{е —1): 1 = ( е ^ — 1 ) : 1 .
Отсюда следует, что в поглощении больших квантов hv > кТ основ­
ную роль играют связанно-свободные переходы, а в поглощении малень­
ких квантов hv < кТ — свободно-свободные.
§ 7. Непрерывное поглощение света в одноатомном газе
в области первой ионизации
Рассмотрим непрерывное поглощение света в одноатомных газах,
таких, как инертные (аргон, ксенон и др.) или пары металлов, в области
первой ионизации. Газ будем предполагать одноатомным для того, чтобы
исключить из рассмотрения квазинепрерывные молекулярные спектры
{если диссоциация молекул почти полная, то, очевидно, любой газ являет­
ся одноатомным).
Область первой ионизации лежит в диапазоне температур порядка
6000—30 000° К (в зависимости от потенциала ионизации атомов и плот­
ности газа) и представляет большой интерес в связи с многочисленными
лабораторными исследованиями и практическими приложениями. При
•более высоких температурах начинаются вторая и последующие иониза­
ции, которые необходимо учитывать при рассмотрении поглощения, что
будет сделано в следующем параграфе.
Рассмотрим сильно возбужденный атом как водородоподобную систе­
му: «оптический» электрон (которым является один из внешних валент­
ных электронов) движется по большой орбите в поле ядра и остальных
электронов. Если размеры этой системы зарядов, образующих «атомный
остаток», невелики по сравнению с размерами орбиты «оптического»
электрона, что как раз и имеет место в случае больших возбуждений
« 7]
НЕПРЕРЫВНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ОБЛАСТИ ПЕРВОЙ ИОНИЗАЦИИ
235
атома, то ее можно представить как точечный заряд Z = 1, создающий
кулоновское поле (если имеем дело не с нейтральным атомом, а с ионом,
то Z на единицу больше заряда иона; см. следующий параграф).
Распространяя результаты, полученные для водородоподобных ато­
мов, на сложные атомы, естественно под потенциалом ионизации в форму­
лах понимать истинный потенциал данного атома.
В самом деле, основным фактором, определяющим температурную
зависимость коэффициента поглощения квантов, значительно меньших
потенциала ионизации, является больцмановский множитель
ехр [ — (/ — hv)lkT],
которому, пропорционально число атомов, возбужденных настолько,
чтобы квант был в состоянии вырвать из них электрон. Этот множи­
тель, безусловно, присутствует совершенно независимо от того, водородоподобный атом или сложный. Один из сомножителей больцмановского
•фактора, ехр (— I/кТ), описывает степень ионизации, точнее, произведе­
ние N+N , которому пропорционален коэффициент тормозного поглощения,
опять-таки независимо от типа атома.
В сложных атомах каждый из «водородоподобных» уровней с данным
главным квантовым числом п расщепляется на несколько уровней в соот­
ветствии со своим статистическим весом. Это связано с тем, что в сложных
атомах вследствие отклонений поля от кулоновского отсутствует /-вырожде­
ние, и энергии уровней с данным главным квантовым числом п, но раз­
личными орбитальными числами I не совпадают (в отличие от водородо­
подобных атомов).
Если принять во внимание такое «размножение» уровней в сложных
атомах, которое приводит к появлению большего числа более тесно рас­
положенных «зубцов» в «частоколе» кривой х (v), то замена суммирования
по уровням интегрированием или замена «частокола», усредненной гладкой
кривой представляется даже более естественной, чем в случае водородо­
подобных атомов (Унзольд [10]).
Поглощение квантов, значительно меньших потенциала ионизации,
по-видимому, должно неплохо описываться формулой (5.44), выведенной
для водородоподобных атомов, причем для нейтральных атомов следует
считать Z равным единице. В самом деле, высокие уровни, с которых только
и вырываются электроны маленькими квантами, в сложных атомах весьма
близки к «водородоподобным», так как поле на больших расстояниях от
атомного остатка весьма близко к кулоновскому.
Что касается больших квантов, которые поглощаются атомами, нахо­
дящимися в основном или низких возбужденных состояниях, то здесь
использованием формулы (5.44) может, конечно, привести к значительным
ошибкам *).
Формула (5.44) становится вообще бессмысленной при энергиях кван­
тов, превышающих потенциал ионизации hv > / , х > х±. В этом случае
в сумме по п участвуют все уровни от п = 1 до оо и формула (5.43) с пере­
менным нижним пределом интегрирования теряет смысл. Сумма по уровням
в этом случае просто постоянна и не зависит от v (от х). Подавляющую роль
в поглощении квантов hv > / играют атомы, находящиеся в основном
состоянии, и приближенно сумму можно считать равной первому члену,
e
*) См. § 5, стр. 230, где приведены результаты вычисления сечения поглощения
квантов некоторыми атомами, находящимися в основном состоянии.
236
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
т. е. единице. Это дает приближенную формулу
32я2
и. "з/з
eWN
3
h*cv
1
7 = 0,96-10-' 4у о5 - ^ f с*
2
при х > x
(5.45)
hv > 7,
lt
которой следует заменить формулу (5.44) при hv > / .
Найдем средний росселандов пробег одноатомного газа в области
первой ионизации. Росселандов пробег определяется обратной величиной
коэффициента поглощения, т. е. пропусканием.
Спектральная длина пробега Z = l / x , характеризующая пропуска­
ние, схематически изображена на рис. 5.7. Частотные области пропуска­
ния противоположны областям поглощения и находятся вблизи скачков
со стороны меньших частот. В области энергий квантов hv, превышающих
потенциал ионизации, практически никакого пропускания нет, так как
эти кванты очень сильно поглощаются
*'
атомами, пребывающими в основном состо­
янии.
Основной вклад в перенос лучистой
энергии дают кванты, соответствующие
максимуму весовой функции в росселандовом интеграле (2.80) x = hv/kT « 4 . Если
температура значительно меньше потен­
циала ионизации, как это обычно и бывает
в области первой ионизации не слишком
Рис. 5.7. «Частокол»пропускания. плотного газа, поглощение таких кван­
Сплошная кривая — длина пробега
как функция частоты. Пунктирная
тов можно приближенно описывать
кривая — пробег, сглаженный по зуб­
формулой (5.44), которая тем точнее,
цам. Рисунок схематический.
чем меньше hv, и которую можно исполь­
зовать для вычисления среднего пробега («частокол» пропускания па
этой формуле заменяется гладкой кривой х е~ ,
изображенной на
рис. 5.7 пунктиром).
Поскольку большие частоты х > x не вносят практически никакого
вклада в росселандов интеграл (2.80), вычислять этот интеграл можно,,
распространяя формулу (5.44), имеющую смысл только при х < x
и на х > #i- Действительно, формула (5.44) формально обеспечивает
очень быстрое затухание пропускания при х > х х-^-оо. Подставляя
выражение (5.44) в росселандов интеграл (2.80), получим росселандов
пробег *)
v
v
а
х
i
it
и
9
'= °' -
т°2
1 0 7
w
I
e kT
см.
(5.46)
Следует отметить, что если вычислять росселандов пробег с коэф­
фициентом поглощения, взятым не по формуле (5.44), а по «точной» фор­
муле для водородоподобных атомов (5.42), т. е. без замены «частокола»
пропускания гладкой кривой, получаются значения пробега раз в пять
большие, чем это дает формула (5.46) ( при x =
10
кТ
i
s
x
*) Появляющийся при этом интеграл \ x e~ G' (х) dx = 0,87.
§ 7]
НЕПРЕРЫВНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ОБЛАСТИ ПЕРВОЙ ИОНИЗАЦИИ
237
Приведем пример вычисления росселандова пробега по формуле (5.46).
Для водорода при Т = И 600° К = 1 эв, N = 10 см~ получим I =
= 100 см (степень ионизации при этих условиях равна 0,02).
Если формально вычислить по формуле (2.105) с помощью формул
(5.44), (5.45) средний коэффициент поглощения, характеризующий интег­
ральную лучеиспускательную способность газа х то для соответствующей
длины пробега получим
19
3
ь
^ = -^ = 2 , 3 - 1 0 ' ^ ^ ^ - ^ .
(5.47)
Следует, однако, заметить, что эта формула может содержать боль­
шую ошибку, так как в интеграле (2.105) основную роль играет область
больших частот х > ar для которой приближение водородоподобности
выполняется хуже всего (испускаются в основном большие кванты при
захвате электронов на основные уровни атомов).
Коэффициент непрерывного поглощения небольших квантов, гораздо
меньших потенциала ионизации кТ < / , в области первой ионизации при
кТ <С I зависит от температуры в основном по закону x ~ ехр ( — 1/кТ),
т. е. очень резко. Соответственно средний пробег I пропорционален
ехр (I/кТ). Больцмановская температурная зависимость поглощения
характерна как для связанно-свободных переходов, так и для тормоз­
ного поглощения в поле ионов, т. е. для обоих слагаемых x' и v." в x
{так как x'v ~ N+N ~
e / ).
В ряде работ предлагаются способы усовершенствования формул
Крамерса и Крамерса — Унзольда, выведенных для водородоподобных
атомов, при применении их к сложным атомам. Унзольд [11 ] вводит вместо
заряда «атомного остатка» Z эффективный заряд Z*, который опреде­
ляется таким образом, чтобы величина E
= — IyZ* In? отвечала фак­
тической энергии уровня сложного атома с данными главным и орбиталь­
ным квантовыми числами п и I. Кроме того, формула Крамерса умно­
жается на у/^(ь где Y равно отношению числа подуровней сложного
атома при данных п и I к аналогичной величине у водорода, а 2 — ста­
тистическая сумма атома. Унзольд [11] и др. [12] рекомендуют брать
для всех уровней Z* « 4—7, отвечающее энергии основного состоя­
ния атома.
Берджесс и Ситон [13], используя одноэлектронные полуэмпириче­
ские волновые функции, найденные с помощью метода квантового дефек­
та *), получили общее выражение для сечения фотоионизации произволь­
ного атома или иона.
Л. М. Биберман и Г. Э. Норман [14], взяв за основу формулу Берджесса и Ситона, развили приближенный метод вычисления коэффициента
непрерывного поглощения для неводородоподобных атомов. Коэффициент
поглощения представляется ими в виде формулы типа Крамерса — Ун­
зольда, в которой множитель Z заменяется некой функцией частоты
и, вообще говоря, температуры £ (v, T). Эта функция была вычислена
ими для атомов О, N, С (приближенно она не зависит от температуры).
lt
v
v
v
v
l hT
e
2
nii
0
2
*) Квантовым дефектом называют величину Дге (Е , i) = п — nf, где п— глав­
ное квантовое число для уроввя Е , i атома, & nf — эффективное число, такое, что
Е , i = — /я2 /ге^ . Квантовый дефект характеризует отклонение энергии уровня
сложного атома или иона от энергии соответствующего уровня водородоподобиого
атома.
п
п
а
п
2
238
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Очень высокие уровни атомов всегда «водородоподобны», поэтому очень
маленькие кванты поглощаются так же, как и в водороде: при hv —v О
I -»- 1 (при Z = 1).
При увеличении энергии кванта от нуля до hv ~ 4 эв коэффициент g,
монотонно уменьшается для этих атомов до величины ~ V . В работе [15].
функции вычислены для ряда других атомов (Li, Al, Hg, Kr, Xe, Аг).
Например, для аргона в видимой области спектра hv « 2—Зэв, £ « 1,5—2.
Величина | меняется нерегулярным образом от атома к атому.
Результаты, полученные методом квантового дефекта, неплохо согла­
суются с экспериментом. Обзор этих результатов дан в работе [55].
Имеются экспериментальные данные о том, что теория Крамерса —
Унзольда дает неплохие результаты в применении к инертным газам.
Так, в работе А. П. Дронова, А. Г. Свиридова и Н. Н. Соболева [421
изучался сплошной спектр свечения криптона и ксенона в ударной трубе.
Измеренные интенсивности удовлетворительно согласуются с рассчитан­
ными по теории Крамерса — Унзольда.
S
§ 8. Средние пробеги излучения при многократной ионизации
атомов газа
При высоких температурах, порядка нескольких десятков тысяч
градусов и выше, атомы газа многократно ионизованы. Молекулы при
таких температурах полностью диссоциированы, так что все газы являют­
ся «одноатомными» и ведут себя в отношении поглощения света одина­
ковым образом. Найдем средние пробеги излучения в многократно иони­
зованном газе. (Излагаемые ниже результаты были получены в работе
одного из авторов [18].) Для простоты рассмотрим газ, состоящий из ато­
мов одного элемента.
Расчеты ионизационного равновесия показывают, что при каждой
паре значений температуры и плотности в газе присутствуют в значитель­
ном количестве ионы только двух-трех зарядов (см. § 7 гл. III). Каж­
дый из этих ионов вносит свой вклад в непрерывное поглощение, участ­
вуя как в связанно-свободных, так и в свободно-свободных переходах.
Те же расчеты свидетельствуют о том, что в газе не слишком большой
плотности потенциалы ионизации ионов, присутствующих в большом
количестве, всегда гораздо больше, чем кТ. Например, в воздухе с плот­
ностью в 100 раз меньшей, чем нормальная, «средний» потенциал иониза­
ции ионов / (соответствующий ионам со «средним» при данных температуре
и плотности зарядом) примерно в 11 раз больше, чем кТ. Следовательно,
кванты с энергиями hv, в 3—5 раз превышающими кТ, которые играют
главную роль в переносе лучистой энергии, поглощаются не с основного,
а с возбужденных уровней ионов. Как и в случае нейтральных атомов,
это может служить основанием для перенесения на многозарядные ионы
формул, выведенных для водородоподобных атомов. Более того, для
многозарядных ионов приближение водородоподобности является даже
более оправданным, чем для нейтральных атомов, так как поле «атомного
остатка» многозарядного иона тем ближе к кулоновскому, чем больше
заряд «остатка».
Будем рассматривать непрерывное поглощение многозарядными
ионами как поглощение водородоподобными атомами с соответствующим
зарядом.
Пусть в газе, содержащем N ядер в 1 см при температуре Т,
в 1 см имеется N атомов ионизованных тп раз (будем их называть для
3
3
m
§ 8]
СРЕДНИЕ ПРОБЕГИ ПРИ МНОГОКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ
239"
краткости /n-ионами). Суммарный коэффициент связанно-свободного пог­
лощения /n-ионами и свободно-свободного поглощения в поле т + 1-ионов
будем описывать формулами (5.44), (5.45), в которых положим заряд Z
равным заряду «атомного остатка» /n-ионов, Z = т + 1, и в качестве
потенциала ионизации возьмем истинный потенциал /n-иона / + i - Объ­
единение связанно-свободного и свободно-свободного коэффициентов для
многозарядных ионов вполне соответствует такому же объединению
в области первой ионизации. В самом деле, коэффициент свободно-свобод­
ного поглощения в поле т + 1-ионов пропорционален произведению
N N,
которое, как и раньше, по формуле Саха (3.44) выражается
через число m-ионов N . Запишем суммарный коэффициент поглощения
в виде
m
m+i
e
т
aNm
+i)2
x
K, = % e- ^F (x),
m
(5.48)
m
где
_l^L
x
im
&вР
т
е^.
=
0
9
6
.
1
= I JkT,
0
-
7
2
СМ
г р а д
2
x = hvlkT,
m+
(х) заключена частотная зависимость
F
x
m ( ) = -^г при x<x .
(5.49)
im
Для квантов, превышающих потенциал ионизации, положим в соот­
ветствии с (5.45)
F (х) = 2х
m
т
при х>х .
г 3
(5.50)
т
Чтобы получить полный коэффициент поглощения частоты v, сле­
дует просуммировать парциальный коэффициент x
по всем сортам
ионов, т. е. по заряду т:
v m
X
= =
Z-i 'X'xm*
т
v
(Э.01)
Найдем прежде средний коэффициент поглощения х характеризую­
щий интегральную лучеиспускательную способность.
Подставляя спектральный коэффициент x в формулу (2.105) и вычи­
сляя интеграл по спектру, получим
ь
v
1
45а
x
к, = -U^ = п*Т* ^N {m
+ ifx e- ^.
m
im
(5.52)
Теперь найдем средний росселандов пробег, для чего подставим х
в формулу (2.80):
G
^N (m+l)*e
m
'
{ x ) d x
-
г
(5.53)
Xim
F (x)
m
Здесь G' (x) — росселандов весовой множитель. В этом выражении уже
нельзя как при вычислении х без привлечения дополнительных сообраь
240
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
жений избавиться от интегрирования по спектру, так как здесь усредняет­
ся не коэффициент поглощения, который аддитивен, а его обратная вели­
чина. Однако приближенно интегрирование все же можно провести.
Согласно формуле (5.49) все ионы в своей полосе пропускания, т. е. при
х < \т {hv <C I +i)>
изменением частоты поглощают свет одинаково.
Фактически верхней границей интеграла (5.53) является наименьшая
из границ пропускания, которой обладают ионы, присутствующие
в газе в столь значительном количестве, что дают заметный вклад в по­
глощение.
Как отмечалось выше, при каждой паре значений температуры
и плотности газа в значительном количестве присутствуют ионы только
двух-трех зарядов. Поскольку средний потенциал ионизации / намного
больше кТ, границы пропускания этих ионов x
лежат за пределами
той области спектра, которая дает существенный вклад в интеграл (5.53).
Поэтому приближенно можно пренебречь зависимостью функции F (х)
от /пи вынести ее за знак суммы по тп, а кроме того, распространить выра­
жение (5.49) для F (я) и на значения х > x , подобно тому как это было
сделано в предыдущем параграфе. При этих упрощениях интеграл пре­
вращается в точно такой же, как и в случае нейтральных атомов (см. сно­
ску на стр. 236). Получим
х
с
m
lm
m
m
lm
1
/. = - ° ^ 1 _ _
-
(5.54)
=
m
Для приближенного вычисления сумм по зарядам ионов в формулах
(5.52), (5.54) воспользуемся способом, примененным в § 7 гл. I I I при
вычислении термодинамических функций газов в области многократной
ионизации. Будем рассматпивать распределение ионов N как 6-функцию
около некоего «среднего» заряда тп, определяемого уравнением (3.57).
Как было показано в § 7 гл. I I I , функция распределения ионов N
имеет характер острого пика, описываемого гауссовой кривой N ~
~ ехр [ — (тп — /п) /А ] (см. формулу (3.58)).
Если произвести разложение множителя е * ™, входящего в сумму
(5.52), (5.54), около среднего значения x , получим, что этот множитель
зависит от тп — тп по закону е in» я* е
, т. е. слабее,
чем N . Поэтому применение указанного приближенного способа вычи­
сления суммы по тп в данном случае, так же как и в § 7 гл. I I I , возможно.
Вынося средние значения коэффициентов при N
в слагаемых сумм
за знак суммирования и принимая во внимание, что ~SN — N, получим
m
m
m
2
2
-
1
lm
i m
m
m
m
* = —;;
а
„ , - . ..„ >
N(m + i) '
2
l
i —
4
5
a
N(m+1)^X1
'
где ж, == x
— 1/кТ.
Воспользовавшись формулой (3.56) для замены экспоненты и под­
ставляя численное значение а, получим окончательно:
im
4,4-1022Г°
I=
2
/г г г ,
- _
см,
# m(m + D
2
2
(5.55)
S 8]
СРЕДНИЕ ПРОБЕГИ ПРИ МНОГОКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ
241
И
2_
1,М02зг°2
L——=^^
— см.
(5.56)
N*m (m-rlfxi
'
Средний заряд т и средний относительный потенциал ионизации
x = I/kT,
в зависимости от температуры и плотности, определяются
путем решения уравнения (3.57) *).
Как показывает проверка, ошибка, связанная с приближенным
вычислением сумм по т, весьма мала, во всяком случае заведомо меньше
возможных ошибок, связанных с использованием приближения водородоподобности при рассмотрении сложных ионов. Можно, однако, надеяться,
что полученные формулы (5.55), (5.56) дают правильный порядок вели­
чины средних пробегов и верно описывают зависимость их от темпера­
туры и плотности газа.
Для иллюстрации численных значений средних пробегов в табл. 5.2
приведены результаты расчета для воздуха **). К сожалению, зависи­
мости I (T, N) и l (T, N) в широком диапазоне изменения переменных
не удается более или менее точно описать интерполяционной формулой
степенного типа, очень удобной для практических целей. В грубом при­
ближении показатели степени в законе Z ~ T N~$ таковы: а <~~> 1,5 -н 3;
р ~ 1,6-f-1,9.
Если проследить за зависимостью среднего пробега от температуры,
начиная с низких температур, то окажется, что функция I (T) имеет
минимум.
Т а б л и ц а 5.2
Средние пробеги излучения в воздухе в области многократной
ионизации
i
i
{
a
Л
'/л' рм;
ПО
N
н о р м
= 5,34-1019 см-з
т,°к
1
50 000
m
1, см
1^, см
100 000
m
1, см
Zj, см
250 000
m
1, см
/^, см
500 000
m
1, см
Zj, см
1
10-1
10-2
1,4
0,053
0,02
1,85
2,8
0,8
2,35
170
39
2,72
0,13
0,05
3,47
4,1
470
110
4,85
0,72
0,24
5,2
6,8
2,0
/
2
5,15
61,5 .
15,6
5,4
610
140
5,2
6000
1200
5,85
50 000
9 500
*) Заметим, что формулу (5.55) нельзя применять к случаю полной ионизации
газа, когда связанно-свободного поглощения нет (ср. с формулой (5.24)).
**) В таблице, приведенной в работе [18], была допущена ошибка. Все значения
пробегов I и 1 были занижены ровно в 10 раз.
16 Я. Б. Зельдович, Ю. п. Райзер
1
242
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
•1ь
В области однократной ионизации, при кТ < I I ~ e (см. фор­
мулу (5.46)), т. е. очень быстро уменьшается с увеличением темпера­
туры. Пробег становится минимальным в области, где начинается вторая
ионизация (в воздухе при Т ~ 20 000—40 000° К). После этого он возра­
стает при росте температуры, сначала медленнее, чем Т ^, а потом, при
полной ионизации, когда остается только тормозной механизм, пропор­
ционально T (см. формулы (5.24)). Следует отметить, что возрастание
росселандова пробега не беспредельно: при очень малых поглощениях
становится существенным рассеяние света (см. § 2 гл. II), которое не учи­
тывалось в расчетах. Длина пробега для комптоновского рассеяния кван­
тов hv < mc = 500 кэв в воздухе нормальной плотности равна 37 м. Это
и есть верхний предел росселандова пробега при нормальной плотности
воздуха. Подчеркнем, что характер зависимостей I (T, N), l^ (T, N) и по­
рядок величины пробегов в области многократной ионизации для всех
газов примерно одинаковы, так как потенциалы последовательных иониза­
ции у всех элементов более или менее похожи друг на друга.
Оценим для примера лучеиспускательную способность и скорость
лучистого охлаждения прозрачной частицы воздуха с размерами R < Z .
При Т = 50 000° К и N = Ю-^норм h = 39 см, J = iaT4h = 3,6 X
X 10 эрг/см сек. Внутренняя энергия воздуха в этих условиях е =
= 83 эв/атом. Начальный масштаб времени охлаждения т = Nb/J
есть т = 1,9-Ю- сек ( в > = — / V
Изложенный в этом параграфе метод вычисления средних пробегов
излучения был несколько усовершенствован в работе [50].
В недавно опубликованных таблицах Н. М. Кузнецова [87] пробе­
ги I и 1 вычислены для воздуха по формулам (5.52), (5.53) на основе
рассчитанного ионизационного состава.
hT
u
7
7/i
2
t
13
3
6
±
§ 8а. Поглощение света в слабоионизованном газе
При небольших степенях ионизации коэффициент поглощения, соот­
ветствующий свободно-свободным переходам в поле ионов и связанносвободным переходам, пропорционален квадрату электронной плот_ ~
ности x = Xv -f- x'v ~ Ne
~ N\. Поэтому при невысоких темпе­
ратурах и очень малых степенях ионизации на первый план выступают
свободно-свободные переходы в поле нейтральных атомов, коэффициент
поглощения для которых пропорционален первой степени электронной
плотности x ~ NN ~ e
. Найдем приближенно этот коэффи­
циент. Для этого воспользуемся формулой (5.13") для сечения излучения
и принципом детального равновесия (5.19). Получающийся в результате
такого вычисления коэффициент истинного поглощения, рассчитанный
на один электрон и один атом, можно представить в следующей форме:
I
hv
hT
v
I !
VH
h T
e
a
п
VH
iv\
(А) = „
a
vk
2
E
hv
Г
|_ J +
—ё
а^ =
E
hv
+ ^
е
^Щ1
jimev
2
см\
at г (Д+МОПJ .
a t A E )
(5.57)
'
где Е — mv^ll — энергия электрона перед поглощением кванта. Эта
формула была выведена в работе авторов [62] с целью изучения пробоя
газов под действием лазерного луча Сем. § 22 и 23]. Выделенный в формуле
§ 8а]
ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В СЛАВОИОНИЗОВАННОМ ГАЗЕ
243
множитель a k представляет собою эффективный коэффициент поглощения
электромагнитных волн в слабоионизованном газе, который следует из
чисто классической теории [63]. В этой теории в уравнения Максвелла
для поля подставляется решение в виде бегущей волны с комплексным
значением волнового вектора. Мнимая часть вектора, которая описывает
поглощение волны, выражается при этом через электропроводность среды.
Затем с помощью кинетического уравнения Больцмана для электронов
в поле определяется электропроводность слабоионизованного газа и таким
образом появляется коэффициент поглощения энергии волны а ,^.
Очевидно, в пределе hv/E -*- О квантовая теория должна приводить
к классическим результатам. При таком переходе, однако, следует принять
во внимание, что в классике не существует понятия «истинного» поглоще­
ния, которое является квантовым. В классической теории существует
«эффективное» поглощение, которое определяется усредненной по столкно­
вениям разностью между набором и отдачей энергии электрона под дейст­
вием электромагнитной волны *).
Эффективному поглощению в квантовой теории соответствует раз­
ность между истинным поглощением и вынужденным испусканием и именно
этой величиной и следует оперировать при переходе к классическому
пределу.
Согласно соотношению Эйнштейна для непрерывного спектра коэф­
фициент переизлучения (вынужденного испускания) электрона с энергией
£" = Е + hv равен
V
%
b (£') = •£- a
VH
Эффективный
есть **)
а' (Е) — a
хв
VH
коэффициент
(Е) — b
VH
VB
(E) = ] / — ^ - a
поглощения
(Е) = a
VH
V H
(E).
(5.57')
малых квантов hv < Е
(Е) — | /
g
~
v
a™ (E—hv).
Подставляя сюда a „ по формуле (5.57) и переходя л пределу hv/E -*• О,
получим
v
Кн)
=^
h v
[1 + 2d (In a E)ld In E].
vk
Отсюда видно, что предельная величина с точностью до численного мно­
жителя порядка единицы совпадает с классическим значением a , а при
tfvA (E) const (va (E) = const) совпадение полное.
Расчеты показывают, что величина a' (E) довольно близка к клас­
сической величине a и тогда, когда hv не очень мало по сравнению с Е.
Таким образом, при приближенных расчетах в качестве исправленного
на вынужденное испускание коэффициента поглощения в газе можно
принять классическую величину
vh
=
tr
VH
vh
«vH = ^ 7V a
a
e
vft
= ^3v
8 $
,
(5.57")
*) Происходит ли при каждом данном столкновении набор или отдача энергии,
зависит от соотношения направлений скоростей электрона до и после рассеяния и век­
тора электрического поля волны в момент рассеяния.
**) Если усреднить эту величину по максвелловскому распределению электронов,
получим обычный коэффициент поглощения, исправленный на вынужденное испуска­
ние avn = a (I e- ' ).
hv kT
VH
16*
244
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
где Vgd, = N va
— эффективная частота столкновений электрона с ато­
мами *).
До недавнего времени формулой (5.57") для коэффициента поглоще­
ния электромагнитных волн в слабоионизованном газе пользовались,
в основном, применительно к радиодиапазону и микроволнам (сантимет­
ровым волнам) [63]. Фактически же область применимости ее, и в особен­
ности формул (5.57) и (5.57') для коэффициентов истинного поглощения
и вынужденного испускания, шире. При энергиях электронов порядка
нескольких электронвольт формулами можно пользоваться для оценки
поглощения оптических частот, т. е. квантов с энергией порядка элект­
ронвольт. В частности, с помощью этих формул можно рассматривать
поглощение в газах лазерного излучения в стадии развития пробоя
(см. § 22 и 23). Значения коэффициента поглощения, которые дает полу­
классическая формула (5.57), неплохо согласуются с результатами
квантовомеханических расчетов для водорода, выполненных Чандрасекаром и Брином [16], а также Омура и Омура [88]**).
Сопоставим коэффициенты поглощения света при рассеянии электро­
на ионом и нейтральным атомом. По формулам (5.20) и (5.57)
a
tr
<К> нейтр (#)
a
V3
tr(E')
\ К' J
Например, для водорода при Е = 1 эв, h\ = 2 эв o
tr
a
И ttvaoH' vHe&Tp ^ 1 "
«* 15 ла^ [53]
)
2. ЛИНЕЙЧАТЫЙ СПЕКТР АТОМОВ
§ 9. Классическая теория спектральных линий
Линейчатые спектры испускаются и поглощаются в результате свя­
занно-связанных переходов в атомах (ионах), т. е. при переходах атома
из одного энергетического состояния в другое.
В классической теории моделью излучающего атома является упруго
связанный электрон, который совершает колебания около некоторого
положения равновесия. В нулевом приближении, без учета потерь энер­
гии на излучение, такая система представляет собой гармонический осцил­
лятор. Поскольку колеблющийся электрон движется ускоренно, он излу­
чает свет. Если потеря энергии за период одного колебания очень мала
по сравнению с самой энергией колебаний W, то скорость излучения можно
вычислить по общей формуле (5.1), подставив в нее ускорение гармони­
ческого осциллятора. Обозначим через Vo собственную частоту осцилля­
тора. Если г — координата электрона, отсчитываемая от положения рав­
новесия, то ускорение есть w = 4n v^r. Средняя по времени скорость
потери энергии электрона на излучение согласно (5.1) равна
2
dW
о
32я4 е*
32я« v^ . ...
4
._
.
KQ
*) Заметим, что если частота столкновений не мала по сравнению с круговой
частотой света в коэффициентах a , x
появляется дополнительный множитель
v /[v + (у ф/2л) ]. Об этом уже шла речь в § 2а.
**) Квантовомеханический подход имеется также в работе [17].
***) Заметим, что по [16] для тех же примерно условий к = 5965 A, hv — 2,08 as,
Т = 7200° К, o = 2,5- 1(Г см и o „ / o = 12; e „ = З - Ю " см>.
2
2
vh
2
V H
Э
39
V H
5
38
v
OH
VH
v
0 H
§ 9]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
245
где d = ет — дипольный момент. Символ < ) означает усреднение по вре­
мени. Выражая средний квадрат отклонения электрона (г ) через энергию
осциллятора W, получим энергию, излучаемую в 1 сек:
2
S
V
3mc2
dt
°
K K
l
r v
(5.59)
•
Комбинация
8jt2 2 g
3mc3
e
Y =
(5.60)
2
2,47-lO" ^-
v
представляет собой обратную величину времени, в течение которого энер­
гия осциллятора уменьшается в е раз (если начальная энергия осцил­
лятора равна W ,
то W = \¥ е~У ).
<Vtf ,
Величина у называется постоянной
затухания.
. Условие слабого затухания у < v ,
лежащее в основе вывода формулы (5.58),
всегда выполняется с большой точно­
стью *). Так, например, для фиолето­
вого света А.=4000А, v = 7 , 5 - 1 0 сек(hv = 3,1 эв),
а у = 1,410
сек- ;
х = Цу = 0,7-Ю- сек.
Если учесть потери энергии на из­
лучение, то в следующем приближении
осциллятор совершает уже не гармони­
ческие, а затухающие колебания, ам­
плитуда
которых
пропорциональна
Рис. 5.8. Форма линии поглощения.
{
0
0
v
0
14
8
1
1
8
_ V?
2
yW=Y^W e
. Следовательно, и из­
лучается теперь не собственная частота v , а целый спектр частот. Чтобы
найти спектральный состав излучения, нужно разложить в интеграл
Фурье ускорение осциллятора (предполагается, что при t < 0 движения
нет и г = 0, w = 0). Энергия, излученная за все время в спектральном
интервале dv, S dv, определится через Фурье-компоненту ускорения по
формуле (5.4). Вычисление, которое можно найти в книге [19], дает при
v —v < v:
2^ vg
W
S d\ ••
dv.
(5.61)
Згос
0
0
v
0
0
2
0
v
3
2
—о) +(^)
2
Легко проверить, интегрируя это выражение по всему спектру от
v = 0 до v = оо, что полная излученная энергия равна начальной энер­
гии осциллятора:
\ S dv = ? S dt = \ yW e-y4t
v
= W.
0
0
Можно говорить об энергии, излучаемой осциллятором в частотном
интервале dv в 1 сек. Эта величина равна yS dv, причем в выражении
(5.61) вместо W следует в этом случае писать W — энергию осциллятора
в данный момент времени.
v
Q
*) Привлекая квантовые понятия, это условие можно переписать в виде
3 1шсЗ _ 3 he
„
3
<С v ;
hv С
«137» тс = 163
Згос
8я
е
~4п 2пе те* 4я
2
3
0
0
2
2
2
Мэв.
246
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Спектральное распределение излучения затухающего осциллятора,
которое выражается формулой (5.61), изображено на рис. 5.8. Полуширина
пика, так называемая естественная ширина, смысл которой ясен из
рис. 5.8, равна Av = у12я.
В шкале длин волн естественная ширина не зависит от длины волны
и равна ДХ = ^vg = 43^ тс*
4 = 4?
( 4 = тс
4 = 2,8.10-"
см3 ro= 1,2-Ю-* А V
«радиус электрона» J .
Выше было рассмотрено самопроизвольное испускание света однажды
возбужденным осциллятором. Пусть теперь на осциллятор извне падает
монохроматическая световая волна частоты v с неизменной во времени
амплитудой. Под действием электрического поля волны упруго связан­
ный электрон совершает вынужденные колебания. Если бы затухания
не было, световая волна в течение непродолжительного времени после
момента ее «включения» возбудила бы осциллятор, сообщив ему опреде­
ленную энергию, и после этого (в среднем по времени) больше не произ­
водила бы работы. Если же имеется затухание, вынужденные колебания
сопровождаются непрерывным излучением энергии осциллятором. Эта
энергия черпается за счет работы, производимой внешним полем.
Найдем работу, совершаемую периодическим полем световой волны
над осциллятором. Решим для этого уравнение движения осциллятора:
2
r
2
i2nvt
mr -f т (2ял> ) г + туг =
eE e .
0
u
Здесь 22 — амплитуда напряженности электрического поля. Член туг
учитывает «силу трения», связанную с затуханием. Решение этого урав­
нения имеет вид
«я*
_J__£_
1
.
5.б2)
0
г
=
Г о в
п
=
Е
о
(
Работа, совершаемая внешней силой в 1 сек, равна произведению
силы на скорость»*. Умножая уравнение движения н а г и производя усред•••
•
нение по времени, в результате чего члены (г г) и (гг) исчезают, получим,
что работа в 1 сек равна
(eJE e r) = 2n royv ] *•* |.
(5.63)
Она определяется модулем комплексной величины г .
Работа равна энергии, которая отбирается осциллятором от световой
волны в 1 сек, т. е. поглощается осциллятором.
Оставляя пока в стороне вопрос о дальнейшей судьбе поглощенной
энергии, вычислим эффективное сечение поглощения. Оно, по определению,
равно энергии, поглощаемой в 1 сек, деленной на средний по времени поток
энергии световой волны. Средний поток равен к— Е%. Таким образом,
получим эффективное сечение поглощения света частоты v. При частотах
v, не слишком далеких от резонансной | v — v | < v , оно равно
i2mt
2
2
0
2
0
°^~^-—ZWYY-
0
(5I64)
Если затухание колебаний осциллятора связано исключительно с из­
лучением, то вся поглошенная энергия тратится на испускание света.
$ 9]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
247
В этом случае мы имеем дело, по существу, не с поглощением света, а с его
рассеянием (в классической теории). Постоянная затухания при этом выра­
жается формулой (5.60) *).
Для эффективного сечения ослабления падающей световой волны
осциллятором получим в этом случае по формуле (5.64):
2
_ 4,23-10 о
1
^ v§
1 + i»
_ 7,2-10-9j
1
~ (йг )2 ' 1 + 6«
( —v )
(Y/43X) '
2
CM
S
(5.65)
эв
v
0
2
В центре линии эффективное сечение равно a
= -^— А, или o r
=
= 7,2-№~ /(hv ) cM
(X = c/v — длина волны света). Это сечение очень
велико. Для видимого света hv ~ 2—3 эв a
~ Ю~ см , что соответ­
ствует длине пробега света I ~ 10~ см при плотности атомов N ~
~ 10"
1/см .
Возбужденный осциллятор может терять свою энергию и за счет
столкновений атомов друг с другом. В этом случае поглощенная энергия
световой волны частично переходит в тепло. Можно показать (см. [19]),
что и в этом случае колебания осциллятора описываются формулой (5.62),
но только под у следует теперь понимать не естественную ширину линии
(5.60), а сумму естественной ширины и величины 2 / т , где т — среднее
время между столкновениями, приводящими к «дезактивации» осциллято­
ра. Точно так же сохраняет свой вид и формула (5.64) для эффективного
сечения поглощения, если под у понимать полную ширину линии, уши­
ренной за счет столкновений.
Судьба поглощенной энергии света определяется соотношением между
•естественной шириной у и обратным временем между столкновениями 2 / т .
Если у ^ 2 / т , что имеет место в очень разреженном газе, то поглощае­
мая энергия высвечивается (свет рассеивается); если же у € 2 / т —
энергия переходит в основном в тепло (поглощение в буквальном смысле
слова). Существуют и другие механизмы уширения спектральных линий
в газе (см. об этом [10, 53, 54]).
Пусть в «атоме» имеется f осцилляторов с частотой v , а число ато­
мов в 1 CM равно N. Полный коэффициент поглощения света частоты v
тогда равен
v m a x
9
2
v m a x
2
!)e
9
2
v m a x
10
3
ст
о т
ст
от
с т
h
oh
S
*v = #2/ 0-vfc(5-66)
к
Обычно отдельные линии v fc находятся друг от друга на расстоянии
гораздо большем, чем ширина линии. Подавляющую роль в поглощении
света данной частоты играют осцилляторы с собственной частотой v ,
самой близкой к поглощаемой, и в сумме (5.66) остается фактически
только один член. Поскольку линии чрезвычайно узкие, поглощаются,
по существу, только частоты, очень близкие к собственным частотам осцил­
ляторов: поглощение имеет селективный характер. Предположим, что
на атомы падает сплошной спектр излучения с плотностью энергии U ,
которая, как это обычно бывает, мало меняется в интервале частот порядка
ширины линии. Полное количество энергии, поглощаемой в 1 сек в 1 см
A
0
0
v
3
*) Подставляя
в (5.58) решение (5.62), получим S = ^ A ( 2 n v ) * L ^ .
r
и
С**
При-
Z
равнивая это выражение (5.63), получим формулу (5.60) для постоянной затухания.
248
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. \
со
осцилляторами
с
частотой
v,
со
\ U dv cNo f — U cNf \ a dv
о
о
(индекс к опущен). Поглощение на один атом характеризуется величиной,,
получаемой путем интегрирования сечения (5.64). Для одной линии интег­
рал от сечения по частоте, т. е. площадь линии, равен
0
равно
v
v
v
v
со
2
2
1
/ \ M v = ^ / = 2 , 6 4 . 1 ( r / см -сек- .
о
(5.67>
Это есть константа, зависящая только от числа осцилляторов / и не зави­
сящая от ширины линии. Поэтому, если линия уширена, например, за счет
столкновений, то эффективное сечение теперь будет меньше, чем у линии
с естественной шириной.
Поглощение света осциллятором зависит от частоты точно так же,
как и излучение (ср. формулы (5.61) и (5.64)). Это находится в соответствии
с принципом детального равновесия, выполнение которого легко проверить
путем непосредственного вычисления *).
§ 10. Квантовая теория спектральных линий. Силы осцилляторов
Рассмотрим излучение и поглощение света с квантовомеханической
точки зрения.
Между результатами квантовой и классической теорий имеется глу­
бокий параллелизм. В нулевом приближении квантовой теории атома,
соответствующем стационарным состояниям, возможны только строгоопределенные уровни энергии атома (аналогично постоянству энергии
незатухающих колебаний классического осциллятора). В следующем приб­
лижении появляется возможность переходов между энергетическими
состояниями атома. В силу нестационарности состояний, по принципу
неопределенности уровни энергии (кроме основного) оказываются раз­
мытыми на величину АЕ ~ h/At, где At —«время жизни» атома в рас­
сматриваемом состоянии, равное обратной величине вероятности спон­
танных переходов на более низкие уровни. Но размытие уровней приводит
и к размытию линий на величину порядка Av ~ AEIh ~ 1/At, т. е.
порядка постоянной «затухания» 1/At, как и в классической теории.
Ширина тг-го энергетического уровня равна, в соответствии со сказанным,,
сумме вероятностей переходов на все более низкие уровни,
r„ = 5U„ ,,
(5.68),
n
п'
1
где А '
сек- — вероятность спонтанного перехода п-*• п , так назы­
ваемый коэффициент Эйнштейна для испускания.
Квантовая механика дает для скорости излучения величину
пп
а
S = hv 'A„ > = —^—^-'-1 «* | »
nn
n
(5.69>
где \ d \ — матричный элемент дипрльного момента. Выражение (5.69)
очень похоже на классическое выражение (5.58); разница состоит л и т ь
*) yS dv = U c dva \ это соотношение удовлетворяется, если подставить в каче­
стве W и U термодинамически равновесные значения энергии осциллятора (трех­
мерного) и плотности излучения, либо по классической теории: W = 3kT, U ~
= 8nv kT/c , либо по квантовой.
v
v
v
4
2
3
v
§ 10] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ. СИЛЫ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
249
в замене среднего квадрата дипольного момента удвоенным квадратом
матричного элемента того же момента. Численные значения вероятности
излучения А ' имеют такой же порядок, что и классическая «вероятность»,
т. е. постоянная затухания у.
Матричный элемент | d | вычисляется для перехода между двумя
вполне определенными квантовыми состояниями. В случае вырождения
энергетических уровней можно интересоваться
средней вероятностью перехода с одного уровня на
другой. Д л я этого [ d \ следует просуммировать п=4 - 3s Зр 3d
по конечным и усреднить по начальным состояни­ п*3 2s 2р
ям. Если а, а' — квантовые числа (или наборы п=2чисел), соответствующих уровням п, п', то в об­
щем случае вероятность перехода между уровня­
ми есть
пп
2
.
V
64jl
nn'
Г 1
VI
/
'
Mil
\->~\
а, а'
(5.69')
Is
где g — статистический вес к-го уровня. Можно
интересоваться переходами между определенными
группами состояний, принадлежащих данным Рис. 5.9. Схема уровней
атома водорода.
уровням; например, в случае атома водорода —
вероятностями переходов п, I —> й', V (I — орби­
тальное квантовое число). В этом случае суммировать в (5.69') следует
только по магнитным числам т, т! (соответственно и g заменяется на g ).
n
n
ni
Т а б л и ц а 5.3
Вероятности переходов в атоме водорода в единицах 108 сен~
1
Исходное
состояние
Конечное
состояние
2s
2р
2
3s
Зр
3d
3
пр
ns
Среднее
пр
0,063
0,22
0,64
0,43
—
1,64
пр
Среднее
0,55
- 8
0
6,25
4,69
0,063
1,86
0,64
0,98
6,25
4,69
ns
Время жиз­
ни, Ю сек
Сумма
«—1
—
0,16
0,21
16
0,54
1,56
1,02
В таблице 5.3 приведены вероятности некоторых переходов в атоме
водорода *) (схему уровней см. на рис. 2.2 и 5.9). Зная коэффициенты
вероятности А >,
легко подсчитать интенсивности соответствующих
линий испускания. Именно, если N — число атомов в 1 см , пребываю­
щих в /г-м возбужденном состоянии, которое можно вычислять по формуле
Больцмана, то энергия, излучаемая в линии \ ' в 1 см в 1 сек, равна
NA .
hv -.
Принцип детального равновесия устанавливает связь между вероят­
ностями поглощения и испускания света для данного перехода п ^ п .
Энергия, поглощаемая в 1 сек в 1 см атомами, находящимися в состоянии
пп
3
n
3
п п
n
nn
nn
3
*) Эти данные взяты из книги Бете и Солпитера [5].
250
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
п' с переходом их в п-е состояние, равна
\ U c dva „' N„'
v
v
n
=N 'U c
n
\ o - dv =
v
Nn'U ch'v B ' ,
vn n
v
nn
n n
где a ' — эффективное сечение поглощения частоты v в пределах дан­
ного перехода п' -*• п, а В - — коэффициент, характеризующий полное
поглощение в данной линии (так называемый коэффициент Эйнштейна
для поглощения). Он пропорционален «площади» линии
vn n
п п
Bn n==
' JZ—
CT
\
v
vn'ndv.
(5.70)
nn' J
Умножая скорость поглощения на (1 — -hv/vr^
чтобы учесть
вынужденное испускание (см. § 4 гл. II), приравнивая полученное выра­
жение скорости испускания и подставляя плотность излучения U по фор­
муле Планка, а число атомов N — по формуле Больцмана, получим
связь коэффициентов Эйнштейна:
e
д л я
Т 0 Г 0 ;
v
n
В'=
П П
o„ 3
onnv ,
~
fcv
-»пп'-
(5-71)
g.
nn
n
Обычно принято характеризовать поглощательную способность атома
в данной линии v ', определяемую площадью линии \ a - dv, числом
классических осцилляторов с собственной частотой v >, которые дали
бы такой же эффект, что и рассматриваемый атом. Это число /поглп'п
называется силой осциллятора для поглощения и теперь уже не является
целым. Сравнивая площади линии по формулам (5.70) и (5.67) и имея
в виду (5.60), найдем связь между силой осциллятора и коэффициен­
том Эйнштейна, которая, в сущности, является определением понятия
силы осциллятора:
nn
vn n
nn
=
/погл n'n - ^ 2 " "'Vnn'i'n'n •
(О. /Z/
Наряду с /поглп'п вводится отрицательная сила осциллятора для
излучения (переход п -*- п') по формуле
Уизлпп—
„
/поглп'п—
ш
о»,
671
\" ' °/
°\
{последнее равенство получено из (5.72) с помощью (5.71)). Силы осцил­
лятора можно выразить непосредственно через матричные элементы дипольного момента. При помощи (5.73), (5.69') и (5.60) найдем
#п'/погл п'п
=
• • ёпТизл пп'
=
о 2з
с
2j '
а,а'
К
'
а
П
'
''
°' '
'
'
Как видим, величины g f ', где первый индекс у / соответствует на­
чальному уровню, для излучения и поглощения одинаковы и, следователь­
но, симметричны относительно перестановки чисел, характеризующих
начальный и конечный уровни.
n nn
*) Заметим, что число / представляет собой среднюю силу осциллятора, рассчи­
танную на одну степень свободы электрона. Полная сила осциллятора втрое больше
в соответствии с тем, что электрон в атоме обладает тремя степенями свободы. Полная
сила осциллятора для излучения | 3 /
[ = А ,/у
представляет собою отношение
квантовой «постоянной затухания» (т. е. вероятности перехода А ').
к классической у.
и з л
пп
пп
<§ 10] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ. СИЛЫ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
251
В дальнейшем мы всегда будем пользоваться положительными силами
осциллятора для поглощения, опуская при этом знак «погл» и обозначая
первым индексом начальное состояние.
Что касается распределения поглощения по частоте в пределах линии,
то квантовая теория приводит к такой же зависимости вероятности погло­
щения кванта от частоты, что и классическая формула для сечения a .
Нормируя соответствующим образом эту вероятность, можно записать
квантовую формулу для сечения поглощения в виде, аналогичном клас­
сической формуле (5.64) (переставим индексы п и п', т. е. будем обозначать
нижнее состояние, из которого совершается переход с поглощением кванта,
•через п : f -, п -^ п', Е . > Е ):
v
nn
п
_
°
v n n
е
п
2
Г-пп' I
'-T^
1
7 п п
4я
'
/Г
П П
, 2
Л
•
(5.74)
<v-v„„.)»+(-4S-J
Если подставить сюда значение /„„• по формуле (5.73), воспользовав­
шись выражением для у, и учесть, что civ = "к, сечение можно записать
щ виде
п
u
, —
V7in'
г
V
8я2
Q„2
§ Ал , • « « '
g„ . "" П ' П 4 я
Ь
1
пп
n
п
,
Т,
пп
4я
—o*
v n n
'
т
а
х
(Г ./4д)«
п п
-
(v-Vo)2 + ( r , / 4 n ) 2 '
nn
•где сечение в центре линии:
_
_
vnn' max •
^
2
A
gn
n'n
J
2
"
in'
V
r,
Ширина линии (естественная) в квантовой теории складывается из
суммарных вероятностей переходов (5.68): Г„„' = r + IV *). В соот­
ветствии с определениями силы осциллятора и коэффициента Эйнштейна
В ' (5.72), (5.70), площадь линии равна
n
ПП
2
o „'dv —
2
/nn'= 2,65-10 / < см -сек
vn
nn
'Она совершенно не зависит от ширины линии Т >, в которую при наличии
столкновений включается и член 2/т . Это представляется весьма естест­
венным, так как площадь линии принципом детального равновесия одно­
значно связывается с вероятностью спонтанного испускания, которая,
разумеется, не может зависеть от таких внешних причин, как столкновения
атомов, и определяется только строением самого атома.
Обычно в реальном газе существует ряд причин, по которым спек­
тральные линии расширяются: столкновения частиц, доплеровский
эффект, штарк-эффект. Так, уширение за счет столкновений добавляет
к естественной ширине линии у величину, равную удвоенной вероятности
столкновений у = 2/т . Доплеровское уширение равно примерно
Av = vv/c, где v — скорость теплового движения. Мы здесь на этом вопро­
се останавливаться не будем; см. [10, 53, 54].
пп
ст
ст
ст
*) В ширины уровней Г„, Т , включаются также вероятности, соответствующие
вынужденному испусканию. Эти члены пропорциональны плотности излучения и суще­
ственны только при достаточно больших плотностях.
п
252
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. \~
§ И . Спектр поглощения водородоподобных атомов.
Замечания о влиянии линий на росселандов пробег
Пусть на газ из водородоподобных атомов (в частности, на атомарный
водород) падает извне свет с непрерывным спектром, в котором представле­
ны все частоты. Рассмотрим, какие из этих частот будут поглощаться ато­
мами, пребывающими в определенном, ге-м, состоянии, и какова интенсив­
ность поглощения.
Атомы селективно поглощают частоты v -, соответствующие перехо­
дам электрона с re-го уровня на более высокие возбужденные уровни
п' > п. Имея в виду формулу (5.25) для энергии уровня, найдем связьэтих частот с квантовыми чисУ//////////лп-*
лами п и п , так называемую
= п=3
п=4
сериальную формулу Бальмера^
nn
п=2
Vnn' =
I
1ж"*
£
h
\ «а
)
n'2
= ^ r i - i V (5-75>
2
2
где vj = I Z /h = v Z . Частота
v = hilh = 3,29-10 сек- со­
-П=1
ответствует потенциалу иониза­
v/v,«
IS
ции атома водорода. Ее часто,
применяют в качестве единицы
Р и с . 5.10. Спектр поглощения света атомом
частоты, называя «ридбергом».
водорода, н а х о д я щ и м с я в основном состоянии.
Слева — схема переходов.
При возрастании п' уровни и
соответственно линии v ' быст­
ро сгущаются и в пределе п' ->• оо переходят в континуум (непрерывный
спектр), так как при поглощении частот, превышающих верхнюю границу
серии v = v „ = vi/n , происходит ионизация, и конечное состояние
электрона попадает в непрерывный спектр энергий. Спектр поглощения
с данного уровня атома п изображен на рис. 5.10 (там же для сопостав­
ления приведена схема уровней). Для определенности положено п = 1,
т. е. рисунок изображает спектр поглощения холодного газа из водоро­
доподобных атомов, в котором все атомы находятся в основном состоянии.
В нагретом газе имеются возбужденные уровни и спектр поглощения
представляет собой совокупность серий, соответствующих поглощению,
атомами, находящимися в различных состояниях.
Вблизи верхней границы серии, где линии сильно сгущаются, начи­
нается перекрывание отдельных линий. Это происходит, когда частотное
расстояние между линиями, которое быстро уменьшается при п' ->• оо,
становится сравнимым с шириной линий. Перекрыванию линий способ­
ствует их уширение за счет столкновений, доплеровского эффекта и т. д.
Обычно перекрывание атомных линий начинается при столь больших
квантовых числах п' и настолько близко от верхней границы серии v„ -—
= v„,oo, что вся эта частотная область перекрывающихся уровней очень
узка и практически не играет никакой роли. В реальном атомарном газе
ее и не существует из-за срезания верхних уровней за счет взаимодействия
атомов и эффективного снижения потенциала ионизации.
Фактически перекрывание отдельных линий может возникать толькопри поглощении света молекулами, где число линий гораздо больше, чем
в атомах, и они расположены гораздо ближе друг к другу (см. об этом
ниже).
~9
H
R
15
1
H
nn
2
n
i0o
5 11]
СПЕКТР ПОГЛОЩЕНИЯ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ
253
Рассмотрим переходы п —*-ге'с поглощением света между высокими
уровнями с большими квантовыми числами. Движение электрона на
таких уровнях квазиклассично, и поглощение света, сопровождающееся
переходами п -*- п' с п, п' > 1, можно изучать, пользуясь полукласси­
ческими представлениями.
В спектральной области, соответствующей переходам с ге, ге' > 1,
где линии расположены очень часто и почти перекрываются, представляет­
ся естественным сгладить зависимость эффективного сечения поглощения
от частоты путем введения усредненного сечения. Усреднение должно
производиться таким образом, чтобы суммарная площадь линий, которая
характеризует ослабление потока внешнего излучения с непрерывным
«пектром, оставалась неизменной.
Рассмотрим небольшой спектральный интервал от v до v + Av такой,
что в нем содержится много линий, но эти линии мало отличаются друг
от друга. Кроме того, предположим, что интервал Av гораздо больше
ширины отдельной линии. Эффективное сечение поглощения частоты v
атомами, находящимися в ге-м состоянии, равно a =
zjG -.
vn
vnn
п'
Произведем усреднение сечения в интервале Av:
V+Av
\
o dv = o Av = 2 \ tfvnn-dv = 2 ^r
v
n'
vn
vn
Усредним также и силы
интервала Av значение f
v до v + Av содержатся
от п' до ге' + A/i', число
записать в виде
nn
f '-
n'
nn
осцилляторов, определив среднее для данного
, — f ^- = f (v). Если в интервале частот от
линии, соответствующие конечным состояниям
которых равно Are', то среднее сечение можно
n
n
° ™ = ~ M v ) ~ .
(5.76)
Число линий, приходящихся на единичный спектральный интервал,
можно вычислить путем дифференцирования формулы Бальмера (5.75):
~- = С-^У'-(ЧТ.
(5.77)
В § 4 мы нашли эффективное сечение для связанно-свободных пере­
ходов, распространяя классическое выражение для эффективного излу­
чения при свободно-свободных переходах на случай, когда одно из состо­
яний попадает в дискретный спектр. Оправданием для такой операции
послужили те соображения, что в состояниях с большими квантовыми
числами ге движение электрона квазиклассично и что движение по «эллип­
тической» орбите, соответствующей большому ге и малой отрицательной
энергии, весьма близко к движению по «гиперболической» орбите с малой
положительной энергией. Сделаем еще один шаг и рассмотрим в том же
приближении случай, когда оба состояния находятся в дискретном спек­
тре с большими квантовыми числами.
Рассмотрим переходы с re-го уровня при поглощении кванта в рам­
ках тех же полуклассических представлений. При увеличении частоты
электрон в конечном состоянии попадает на «эллиптические» орбиты, все
более приближающиеся к параболической, при v = v„ попадает на пара­
болическую, а при частоте v, лишь немного превышающей v„,— на «гипер­
болические», близкие к параболической. Поскольку движение электрона
254
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
в конечном состоянии меняется непрерывным образом, следует ожидать,
что и среднее эффективное сечение поглощения света атомами в п-ш состо­
янии, о\„, также будет непрерывно при переходе от дискретного спектра
к континууму (рис. 5.11).
Распространим выражение (5.34) для сечения фотоионизации с га-го
уровня на поглощение частот, несколько меньших границы фотоиониза­
ции — v„ *), и приравняем сечение (5.34) выражению для среднего сечения
в случае связанно-связанных переходов (5.76).
Вспоминая определение потенциала ионизации атома водорода / н
по формуле (5.25) и выражение для частотной границы серии v„ = v\/n
(см. (5.75)), найдем среднюю силу осциллятора /„ (v) для перехода с «-го
уровня на один из п'-уровней, заключенных
tf
в узком интервале Ага', Av. Обозначая ее через
i ', а частоту v через \ ' , получим
z
a
v
nn
п п
Подставляя сюда среднее расстояние между
уровнями Av/An', вычисленное по формуле
(5.77), и заменяя частоту перехода v - по фор­
муле Бальмера (5.75), получим окончательно
силу осциллятора / < для перехода и-> п':
nn
пп
3
'/V
ж ДЙ<
1 1
1
(5.78>
< ' (±
LY
V rfl л'2 J
Для переходов на уровни п' > п найдем асимп­
тотическую формулу:
Inn' —
Рис. 5.11. Эффективное се­
чение поглощения света
атомом водорода из основ­
ного состояния. Переход
дискретного спектра в кон­
тинуум.
Пунктиром показано усреднен­
ное по линиям сечение в обла­
сти дискретного спектра. Ри­
сунок схематический.
32
и
пЬ
Зя/3
32
г 3
1,96л
га' » п.
Зл/3
(5.79>
По самому своему выводу величина /„„•
представляет собою среднюю силу осцилля­
тора для перехода с какого-нибудь состояния /, т при данном п
в любое из состояний /', т' уровня п'.
При этом правила отбора для дипольных переходов здесь автомати­
чески учтены (разумеется, приближенно) благодаря тому, что мы исходим
из классической формулы для дипольного излучения. Как видим, величиgninn' — 2n inn' симметрична относительно перестановки п и п' в со­
ответствии со сказанным в § 10.
В табл. 5.4 представлены силы осцилляторов для некоторых переходов
в атоме водорода, рассчитанные квантовомеханическим путем [5].
Замечательно, что полуклассические формулы (5.78), (5.79), выведен­
ные для случая п, п' > 1, дают неплохую оценку даже для переходов
между уровнями с небольшими квантовыми числами, в том числе и для
переходов с основного уровня. Например, полуклассические значения
/ = 0,585, / = 0,104, асимптотическое / < = 1,96 га' , а по таблице
н а
2
-3
12
13
1п
*) Подобно тому как мы распространили в § 4 выражение для эффективного
тормозного излучения на частоты, несколько превышающие максимально возможную
при свободно-свободном переходе и, таким образом, описали фотозахват.
§ И]
СПЕКТР ПОГЛОЩЕНИЯ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ
255
3
/ i = 0,416, / = 0,079, асимптотическое /,„> = 1,6-п'~ . Мы здесь
сталкиваемся с таким же положением, как и при сопоставлении полуклас­
сического и квантового сечений фотоиони­
зации с основного уровня водородоподобного атома.
При некоторых условиях линии по­
глощения атомов могут оказывать замет­
ное влияние на средний росселандов
пробег. Основной вклад в пробег вносят
спектральные участки с малым коэффи­
циентом непрерывного поглощения, нахо­
дящиеся в области максимума весовой
функции (см. §7, рис. 5.7). Это — участки,
предшествующие границам серий, т. е. на­
чалам соответствующих континуумов. На Рис. 5.12. К вопросу о влиянии
линий на величину пробега.
них накладываются спектральные линии.
Поскольку поглощение в центрах линий
обычно очень велико, из интеграла по спектру практически вырезаются
соответствующие частотные участки, как показано на рис. 5.12. Если
линии узкие, ширина вырезаемых участков очень мала. Однако в газе до­
статочно большой плотности, где линии сильно уширены, вырезаемые
участки и снижение росселандова пробега могут оказаться весьма зна­
чительными.
Таблица 5.4
Силы осцилляторов для атома водорода *)
2
13
Исходное состояние
Is
2s
Конечное состояние
пр
пр
2
Р
ns
nd
я= 1
2
3
4
5
6
7
8
Сумма от гс=9 до со
0,4162
0,0791
0,0290
0,0139
0,0078
0,0048
0,0032
0,0101
—0,139
0,425
0,102
0,042
0,022
0,013
0,008
0,026
0,014
0,0031
0,0012
0,0006
0,0003
0,0002
0,0007
0,694
0,122
0,044
0,022
0,012
0,008
0,053
Асимптотическая формула
1,6-ге-з
3,7-л-з
0,1-л-з
3,3-и-
Линейчатый спектр
0,5641
0,638
-0,119
0,923
Непрерывный спектр
0,4359
0,362
0,008
0,188
Сумма
1,000
1,000
—0,111
1,111
3
Отрицательные силы осцилляторов соответствуют переходам с испусканием
кванта.
256
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
СГЛ. V
Согласно вычислениям Л. М. Бибермана и А. Н. Лагарькова
[51] в водороде при плотностях 10 —10 атом/см и температурах
12 000—20 000° поглощение в линиях может снижать росселандов про­
бег в два — четыре раза по сравнению с пробегом, рассчитанным без
учета линий.
17
19
3
§ 12. Силы осцилляторов для континуума. Теорема сумм
В предыдущих параграфах мы видели, что вероятности переходов
между дискретными уровнями атома с поглощением световых квантов
характеризуются силами осцилляторов. Силой осциллятора определяется
площадь линии поглощения, т. е. интеграл по частотам от эффективного
сечения поглощения света частоты v в данной линии.
По аналогии можно ввести понятие силы осциллятора и для связанносвободных переходов, характеризуя величиной f интеграл по частотам
от эффективного сечения поглощения света с переходом электрона с ге-го
уровня атома в непрерывный спектр. Если o — эффективное сечение
связанно-свободного поглощения частоты v при таком переходе, то
n
vn
a dv = ^-f ,
vn
..(5.80)
n
V.
п
причем интегрирование по частотам ведется от наинизшеи частоты v„,
при которой возможен переход в непрерывный спектр.
Вычислим силу осциллятора f для связанно-свободного поглощения
водородоподобными атомами.
Воспользовавшись полуклассической формулой (5.34) для a и за­
мечая, что v = I^Z^IIm*, получим после интегрирования
n
vn
n
h = -^±
=^ .
(5.81)
Результаты квантовомеханического расчета для атома водорода пред­
ставлены в табл. 5.4. Например, для п = 1 точное значение / = 0,436,
а по формуле (5.81) /i — 0,49.
В классической теории каждый электрон, участвующий в излучении
и поглощении света, заменяется осциллятором. Сумма чисел осциллято­
ров, следовательно, равна просто числу электронов в атоме. Квантовым
аналогом этого положения является теорема о сумме сил осцилляторов,
согласно которой сумма 2 Inn' по всем возможным переходам в атоме
4
71'
из данного состояния п равна числу электронов. Если ограничиваться
только переходами с участием внешних, оптических электронов, то сумма
равна числу последних. В частности, в случае водородоподобного атома
сумма равна единице. В сумму по конечным состояниям включаются и пере­
ходы в непрерывный спектр, т. е. член f , который, как мы увидим ниже,
можно представить в виде интеграла по конечным состояниям непрерывно­
го спектра. Кроме того, в сумму включаются и отрицательные члены,
соответствующие переходам на более низкие уровни га' •< п, т. е. переходам
с испусканием света (см. об этом [5]). Данные табл. 5.4, разумеется, удов­
летворяют правилу сумм, что можно проверить путем непосредственного
вычисления.
При описании связанно-свободных переходов (континуума), а также
связанно-связанных переходов между густо расположенными уровнями
n
§ 12]
СИЛЫ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ДЛЯ КОНТИНУУМА. ТЕОРЕМА СУММ
257
в полосатых спектрах молекул (квазиконтинуума) часто пользуются
понятием дифференциальной силы осциллятора или силы осциллятора,
рассчитанной на единичный интервал частот. Формально дифференциаль­
ная сила осциллятора -J- определяется следующим образом. Если o —
сечение поглощения частоты v при переходе сга-гоуровня, то
v
(V/VR — это частота, измеренная в ридбергах). Отсюда полная
осциллятора для всего континуума определяется как
S**-£?K1
dv
сила
(5.83)
fn
в соответствии с формулой (5.80).
Вычислим дифференциальную силу осциллятора для связанно-сво­
бодного поглощения с га-го уровня водородоподобного атома. Сравнивая
формулу (5.34) с определением (5.82), найдем
2
16
Vn
з -
0,98
/ Z»
^==^гт-.
(5.84)
Зл Y 3
"
Интегрируя это выражение по v от v до оо, придем к формуле (5.81).
Если спектр поглощения представляет собой совокупность многих
линий, то под сечением о следует понимать среднее сечение a (см. фор­
мулу (5.76)), и дифференциальная сила осциллятора равна средней силе
осциллятора одного перехода, помноженной на число линий в единичном
интервале частот:
dv
п
v
п
»<
H
v
п
n
т
vn
dv
:
,
>'
пп
dn'
~dV •
(5.85)
В таблице 5.5, взятой из книги Унзольда [10], приведены силы осцил­
ляторов атомов водорода и щелочных металлов для непрерывного спектра,
соответствующего поглощению с основного уровня. Там же стоят и значе­
ния дифференциальной силы осцилляторов у границы поглощения
(dfldv) при v = v„ (v измеряется в ридбергах).
n
Т а б л и ц а 5.5
Силы осцилляторов для непрерывного спектра / и
дифференциальная сила — у границ главной серии
dv
Атом
Н
Li
Na
К
* т р а н > •"•
912
2281
2442
2857
/
0,436
0,24
0,0021
df
dv
I (98)
0,78
0,46
0,038
0,0024
13,5
5,4
5,05
4,32
Эти данные получены путем квантовомеханических расчетов. Они
показывают степень «неводородоподобности» атомов щелочных металлов.
17
я . Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
258
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
§ 13. Излучение спектральных линий
Рассмотрим спонтанные радиационные переходы в атоме водорода
и вычислим приближенно средние вероятности переходов с уровня га
на лежащий ниже уровеньга'.Будем исходить из общего выражения (5.73)
вероятности через силу осциллятора для поглощенияга'-*• га:
ёп
л
а
—-з. "4
_ 8л е
Ann' — " Y " T
Tn'n —
т
с
2
3
„ ге'2 ,
V n ' -^2~ Тп'П'
n
Подставим сюда f - по формуле (5.78), предварительно поменяв в ней
номера га ига'в соответствии с тем, что теперь числом га обозначается
верхний уровень.
n
n
Подставляя также частоту перехода v„„' = Vi ( —^
-„ ) , где v =
4
п
\п'
= Iji/h, получим
. _ 8n e vf
2
А
п
п
'~
2
32
1
mcs Зяг/3"
/3"
5
Г
,.(
п
1
_
у
1,6-lQio
_
x
11 Л ~ пЧ'(п*-п'*)
С
в
К
•
Эта формула с хорошей точностью описывает переходы не только при
большихга,га',но и между сравнительно низкими уровнями и даже переход
в основное состояние. В этом можно убедиться, если сравнить результаты
вычислений с точными квантовомеханическими значениями [5], приведен­
ными частично в таблице 5.3 (А ' надо сравнивать с представленными
в таблице средними вероятностями). Например, -41приб = 5,3-10 сек' ,
а -451ТОЧН = 4-10 сек- , Л
= 6,7-10 сек' , ^41точн = 4,7-10 сек' .
Рассмотрим зависимость вероятности перехода с данного высокого
уровняга> 1 от числа га' конечного уровня. Для переходов на нижние
уровни п' <гаприближенно
.
^ 1,6-ЮЮ _
An, n'«;n Ж i^i сев .
В частности, вероятность прямого перехода в основное состояние
.
1,6-ЮЮ
пп
6
1
8
1
5
6
1
8
1
2 1 п р и б
2
х
ф
*) Этот результат весьма близок к тому, что дают точные квантовомеханические расчеты. В основное состояние Is могут переходить атомы, находящиеся только
в р-состояниях. Для больших п вероятность перехода A
равна [5]
npi
2
8 • 109-2% (re — 1 ) " "•пр,
Is —
l s
2
с
>»-.«
9^~'
( +I .1)2п+2
е
к
г а
Легко видеть, что в пределе п ^> 1 эта величина приближенно равна А i =
8-109-28 _
= —„
— . Средняя вероятность перехода п —>• 1 равна произведению вероятности
пр
s
перехода пр—»-Is на вероятность того, что, обладая энергией Е , атом находится
именно в р-состоянии (2 = 1), т. е.
_ 2Z + 1
__ 3
п
!nl —
^2
А
п
Это дает
A
l s
пр> Is — "^2" Р' '
nl =
1,29-lOK)
TS '
что весьма близко к квазиклассичвскому значению.
259
ИЗЛУЧЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
§ 13]
Для переходов на близкие уровни с п' = п—An, ДгеС»
.
А
п>
_, 0,8-lQio
п— Дп ~
_
С
5Дя
е
К
x
'
ге
В зависимости от п' А ' проходит через минимум при «' = «/|ЛЗ,
равный
ПП
л
Ат
т
—л
—A
4,15-10Ю
n
n
/
V
J
—
п Ъ
п
_
Сек .
г
Итак, для атома, находящегося на п-ш уровне (п > 1), в среднем
наиболее вероятен переход прямо в основное состояние п' — 1 с полной
дезактивацией. Вероятны также переходы в первое возбужденное (п' = 2)
и ближайшее (п' = п — 1) состояния:
An, 2
=
An, п-1
=
=
~2
n
i ''
Переходы в промежуточные между нижними и соседним состояния менее
вероятны. Разумеется, близкие по вероятности переходы в нижние и сосед­
нее состояния совершенно не равноценны по своему эффекту. При переходе
на соседний уровень излучается очень малый квант и энергия атома
изменяется совсем мало, тогда как при переходе в основное состояние
излучается большой квант и энергия атома изменяется сильно.
Казалось бы, превращение энергии атома в излучение при очень
высокой степени возбуждения, когда движение оптического электрона
квазиклассично, можно описывать на основе классической электродинами­
ки. Если вычислить по формуле (5.1) скорость излучения электрона,
вращающегося по круговой орбите вокруг иона, получим
o__fdE_\
dt у класс
32 Е*
3 те сЗе '
2
2
где Е — энергия связи электрона в атоме (изменение энергии связи равно
изменению полной энергии электрона).
r->
dE
лЛ^З
1 or
/-
Эта величина -г- оказывается в —~— == 1,5Ъ раза больше квантовой
скорости изменения энергии электрона, соответствующей радиационному
переходу только на соседний уровень; ( -,- )
—hv , -iA ,п-и
где
n
_____
п = \^1ц/Е.
n
n
\ « 1 у п , п-1
Между тем основной вклад в действительную скорость изd
dE
f E\
.
,,
лучения
-г- дает переход в основное состояние ( зг j n, i = « v „ i 4 ,
который
электродинамика
описать
может оценку
*).
*) Темклассическая
не менее, классическая
электродинамика
дает не
разумную
для^вреn)1
мени жизни атома по отношению к полной радиационной дезактивации, под которой
в рамках классической теории следует понимать «радиационное падение электрона
на центр», а именно:
*
-класс- j
=1,6-10-"
E/dt)
{d
•—
сек,
KJiacc
где Е — энергия связи в «начальном» состоянии. Квантовое время жизни по отно­
шению к дезактивации (без учета каскадных переходов)
0
^~
Обычно Е не меньше кТ, а 1ц/кТ—не
времени оказываются одного порядка.
0
2
=6,2-10-iiǤ=6,2.10-" ( - ^ ) '
5
чрезмерно большая величина, так что оба
17*
260
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. Л
Зная вероятности переходов (и распределение атомов по состояниям
возбуждения), можно вычислить лучеиспускательную способность газа,
связанную с излучением в линиях:
п*
J= 2 N
n
n=l
2
hvnn'Ann',
n'<n
3
где N — число атомов в 1 см в ге-м состоянии; п* — квантовое число
наивысшего из реализующихся состояний, которое определяется среза­
нием верхних уровней атомов в газе.
Излучение в линиях играет важную роль в потерях энергии оптически
тонкого тела. Об этом свидетельствует хотя бы тот факт, что площадь линий
поглощения сравнима с площадью поглощения в непрерывном спектре.
Например, для поглощения с основного уровня атома водорода примерно
половина сил осцилляторов принадлежит непрерывному спектру, а поло­
вина — дискретному (см. табл. 5.4).
Если тело в линиях непрозрачно, относительная роль потерь энергии
на излучение в дискретном спектре уменьшается из-за самопоглощения.
Однако в газе достаточно большой плотности, где линии сильно уширены,
потери энергии за счет дискретного спектра все равно могут быть значи­
тельными и даже превышать потери в непрерывном спектре (если излучение
в непрерывном спектре не планковское). В разреженном, но оптически
толстом для линий, газе энергетическая роль линий, определяемая их
малой суммарной шириной, обычно невелика и основную роль играет
непрерывный спектр.
Расчеты, показывающие сравнительную роль излучения в линиях
и в непрерывном спектре при разных плотностях, температурах и опти­
ческих толщинах, проделаны в работах [49] (для водорода) и [52]
(для азота).
n
3. ПОЛОСАТЫЙ СПЕКТР МОЛЕКУЛ
§ 14. Энергетические уровни двухатомных молекул
Поглощение света молекулами имеет смысл рассматривать при тем­
пературах ниже 12 000—8000° К, так как при более высоких температу­
рах молекулы полностью диссоциируют на атомы.
Энергия атома определяется только его электронным состоянием.
Энергия молекулы, помимо электронного состояния, зависит еще и от
интенсивности колебательного и вращательного движений. Поэтому число
энергетических уровней и число возможных переходов между ними у мо­
лекул гораздо больше, чем у атомов; молекулярные спектры значительно
сложнее, чем атомные. Иногда отдельные линии в спектре расположены
настолько близко друг к другу и число их столь велико, что в некоторых
участках они образуют почти непрерывный спектр. При высоких темпе­
ратурах или плотностях газа линии из-за сильного уширения могут
даже перекрываться. Поэтому полосатые молекулярные спектры излуче­
ния и поглощения в некоторых условиях оказывают существенное энерге­
тическое влияние, аналогично непрерывным спектрам. Большое значение
имеют молекулярные спектры для поглощения и испускания света в возду­
хе при температурах порядка нескольких тысяч и десятка тысяч градусов.
Мы рассмотрим простейший и вместе с тем практически важный
случай двухатомных молекул. В первом приближении электронное, коле-
§ 14]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
261
бательное и вращательное движения в молекуле происходят независимо
друг от друга и полную энергию молекулы можно представить в виде
суммы соответствующих слагаемых. При не слишком интенсивных коле­
баниях последние близки к гармоническим и энергия их равна
Якол = 1гш QJ+YJ,
(5.86)
е
1
где со = v /c — волновое число, измеряемое в см' (обычно в спектро­
скопии принято пользоваться вместо частот v сек" волновыми числами т- = v/c см~ *)); v = 0, 1, 2, . . . — колебательное квантовое число.
Энергия вращательного движения характеризуется вращательным кван­
товым числом / = 0, 1, 2, . . . и моментом инерции молекулы / :
е
K0JI
1
х
E p = —^+^B
= hcB,J(J + l),
(5.87)
2
1
где В = hlSn cI — константа вращения, измеряемая в см' .
Таким образом, если U — электронная энергия в данном состоянии,
то в первом приближении полная энергия молекулы равна **)
е
е
E = U + hca (v + ~')+ hcBJ (/ + 1 ) .
e
(5.88)
e
В следующих приближениях к выражению (5.88) добавляются члены,
учитывающие ангармоничность колебаний, взаимодействие колебаний
с вращением и т. д. (см. [20, 41 ]); на этом мы останавливаться не будем.
Волновые числа испускаемого или поглощаемого излучения 1/Я. =
= v/c (в спектроскопии о них иногда говорят как о «частоте», измеряя
«частоту» в см' ) определяются разностью энергий начального и конечного
состояний. В дальнейшем верхнее состояние всегда будет обозначаться
одним штрихом, а нижнее — двумя:
1
+ [В' Г (/' +1)~B"J" (/" + 1 ) ] .
(5.89)
е
Между разностями электронных, колебательных и вращательных энер­
гий (масштабом последних двух являются величины hcw и 1гсВ ) всегда
существует соотношение
e
Д£
э л
е
> Д£„ол » Д £ ; - у - » « о » Я ,
вр
в
л
(5.90)
в
00
=
где 1А,оо (U'e + соё/2 — U" — а>112)1 lie — волновое число, соответст­
вующее электронному переходу в отсутствие колебаний и вращений.
В справедливости неравенств (5.90) можно убедиться, рассматривая
e
1
8
*) Волновому числу 1 см' соответствуют: длина волны %= 1 0 А , частота
V = 3-Ю » сек' , энергия кванта hv — 1/8067 э«, hv/k = 1,44° К.
**) Вращательная энергия в формулах (5.87), (5.88) определена с точностью
до постоянной, зависящей от типа связи между вращательным и электронным состоя­
ниями; от типа связи зависит и точный смысл вращательного квантового числа. Постоян­
ная имеет порядок hcB и ее можно включить в U , записав энергию в форме (5.88);
см. об этом в книгах [20].
1
1
e
e
262
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
табл. 5.6, в которой представлены спектроскопические константы важ­
нейших состояний и переходов в молекулах 0 , N , Щ, N0 *).
2
2
Т а б л и ц а 5.6
Спектроскопические константы важнейших молекул
Моле­
кула
о
N
Состоя­ Электронная
эвергия U ,
ние
эе
6,11
2
2
ft с
8в
6,11
1
0) ,
СМ-1
В , cjn-l
см—1
49 363
700,4
0,819
Переход и на­
звание системы
полос
в-*х
Шуман — Рунге
Х32-
0
ст
11,1
и
вт
ё
0
1580
1,446
3,69
29670
2035
1,826
7,4
1,18
9 557
1734
1,638
6,17
6,17
49 757
1460
1,440
0
2360
2,010
хщ
N0
Переход
вт
5,63
5,63
45 440
1038
1,127
А*2+
5,48
5,47
44138
2371
1,995
0
1904
1,705
25 566
2420
2,083
2207
1,932
ХШ
3,16
NJ
хщ
С ~* В
2-я
положи­
тельная
В-+ А
1-я
положи­
тельная
Л---Х
Запрещенная
полоса
Вергарда —
Каплана
В-^Х
Р-полосы
А -+ X
у-полосы
В-+ X
1-я
отрица­
тельная
Схема уровней молекулы имеет вид, изображенный на рис. 5.13.
Пунктиром указаны электронные энергии уровней А и В. Первые факти­
ческие уровни молекулы, соответствующие отсутствию колебаний (v = 0),
лежат несколько выше из-за нулевой энергии колебаний. Каждому элек­
тронному состоянию соответствует множество колебательных уровней,
а каждому из колебательных в свою очередь множество вращательных.
Колебательные уровни при росте возбуждения несколько сгущаются
вследствие ангармоничности и в пределе v —>- оо переходят в континуум,
соответствующий диссоциации. Вращательные уровни, наоборот, раздви*) Различные электронные состояния молекулы отличаются формами потен­
циальных кривых, описывающих взаимодействие атомов в зависимости от между­
ядерного расстояния, а также средними междуядерными расстояниями (т. е. при
переходе от одного электронного состояния к другому меняются частота колебаний,
момент инерции и константа вращения). Таблица взята из работы [8].
§ 14]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
263
гаются при росте / (при не слишком больших числах / , когда справедливо
приближение (5.87) *)).
Схема уровней молекулы азота с указанием термов и их энергий,
а также колебательных состояний, представлена на рис. 5.14. Для молекул
0 и N0 мы приводим схемы потенциальных кривых, на которых также
указаны термы и энергии. В дальнейшем нам часто придется пользовать­
ся обозначениями различных электронных состояний молекул, поэтому
мы напомним коротко основные положения спектроскопической символики.
Электронное состояние характеризуется проекцией орбитального
момента электронов на ось молекулы или квантовым числом Л, суммарным
спином электронов S и свойствами симметрии. Состояния с Л = О, 1, 2, . . .
обозначаются греческими буквами 2 , П,
V'
А, . . . Проекция спина на ось может при­
нимать 25 + 1 значений, в соответствии
с чем расщепляется каждый терм. Мультиплетность терма 25 + 1 указывается / '
слева вверху, например, 2 , П ( £ = 1,
"/
S = V соответственно).
-и
При отражении в плоскости, проходя­
— В
щей через ось молекулы, проекция элект­
ронного орбитального момента меняет
1 1
еа
знак; соответственно этому термы с отлич­
1 <\1
«5>
ным от нуля орбитальным моментом дву­
кратно вырождены, точнее, расщепляются
на два вследствие существования взаи­
модействия между вращением молекулы и
J"
движением электронов. Это явление назы­
вается Л-удвоением («лямбда»-удвоением).
=
Если же Л = 0, отражение вообще
не меняет электронной энергии; волновая
функция умножается на + 1 или — 1 . Это Рис. 5.13. Схема энергетических
свойство симметрии 2 термов указывается уровней и переходов в двухатом­
ной молекуле.
справа сверху: 2 , 2~.
Вертикальными линиями показаны
Если молекула состоит из одинако­
различные полосы.
вых атомов, появляется еще одно свойство
симметрии, а именно, энергия инвариантна относительно одновремен­
ного изменения знака координат всех злектронов и ядер. Волновая
функция умножается при этом на + 1 или — 1 , что обозначается индексами
g и и справа внизу, например 2 , П„.
Как правило, основное состояние двухатомных молекул обладает пол­
ной симметрией и основной терм есть 2J. Исключение составляют моле­
кула 0 — основной терм 2 g , и молекула N0 — основной терм П.
Последовательные электронные состояния обозначают буквами: X
(основное состояние), А, В, С, . . . ИЛИ а, Ь, с, . . . В случае ионизован­
ных молекул к буквам добавляют штрих: А', Ь', . . . Так, например,
первое возбужденное (метастабильное) состояние N есть Л 2 £ .
Допустимые переходы между различными электронными состояниями
(дипольные переходы с испусканием или поглощением света) подчинены
2
3
2
2
•
+
g
г
3
2
2
3
2
*) При очень сильных вращениях (чрезвычайно больших / ) становится суще­
ственным изменение потенциальной кривой молекулы за счет центробежных сил.
В пределе / —>• оо вращательные уровни, так же как и колебательные, начинают сгу­
щаться и переходят в континуум.
264
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
некоторым правилам отбора. Эти правила зависят от типа связи между
орбитальным движением электронов, их спином и вращением молекулы.
ем
120000 -
Ю0000 -
80000 -
еовоо -
нОООО
BOOKS.PROEKTANT.ORG
20000
БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ
к о п и й книг
для проектировщиков
и технических специалистов
о—
Р и с . 5.14. Схема уровней молекулы азота.
Во многих важных случаях правила отбора следующие: Г АЛ = 0 ± 1;
мультиплетность 2S + 1 не меняется; запрещены переходы 2 ^ 2~
и переходы g —>- g,u —>- и (последние два правила не зависят от типа связи).
+
§ 15. Структура молекулярных спектров
Совокупность переходов между двумя электронными состояниями
В — А образует ряд полос, соответствующих переходам между двумя
данными колебательными состояниями v — v".
Частоты квантов, излучаемых или поглощаемых при электронных
переходах молекул, лежат обычно в ультрафиолетовой или видимой частях
§ 15]
СТРУКТУРА МОЛЕКУЛЯРНЫХ СПЕКТРОВ
265
спектра. Переходы без изменения электронного состояния соответствуют
частотам, относящимся к инфракрасной области спектра; ими мы инте­
ресоваться не будем. Каждая из полос состоит из многих близко распо­
ложенных друг к другу линий, отвечающих переходам между разными
вращательными состояниями. Вращательные переходы подчиняются пра­
вилам отбора, которые в значительной степени упрощают спектр. А именно,
возможны переходы со следующими изменениями вращательного кванто­
вого числа: А / = / ' — / " = 0, ± 1 , причем запрещен переход 0 — 0;
в случае 2 ->- 2-переходов отсутствуют так­
же переходы А / = 0. На рис. 5.13 верти­
кальными линиями показаны переходы между
различными колебательными состояниями
двух электронных уровней (полосы v' —
— v" : 0 — 0, 1 — 0 и т. д.). На рис. 5.15
специально выделена одна полоса v' — v"
в
о
и указана ее вращательная структура. При
этом предположено, что по крайней мере в
одном из состояний В или 4 Л ^ = 0 , так что
переходы А / = 0 существуют. Серии линий
с А / = 0, + 1 , —1 называются Q-, R-, Р-ветвями соответственно.
Если бы колебательные уровни в различ­
ных электронных состояниях располагались
в точности одинаково, т. е. совпадали бы
частоты сое и со;;, и идентичным образом про­
исходило бы сгущение вследствие ангармо­
2
ничности, то полосы с одинаковым значением
•1
разности Av = v' — v", как видно из рис. 5.13,
Р
R
0
а AJ=-f
строго накладывались бы друг на друга. На
самом же деле расположения уровней в раз­ &J=0
Рис. 5.15. Вращательная
ных электронных состояниях несколько отли­
структура полос
чаются друг от друга, причем разность частот Схема переходов,
отвечающих Q-,
колебаний а' — а>'ё обычно значительно мень­
Р- и Д-ветвям.
ше самих частот. Поэтому полосы с одинако­
вой разностью A v располагаются близко друг от друга, образуя так назы­
ваемую последовательность полос, тогда как полосы с различными А г;
отстоят на больших частотных расстояниях. Это положение иллюстрируется
фотографией спектра испускания так называемой второй положительной
системы азота *) (переход С П ->- B H ; см. схему уровней, рис. 5.14);
на этой фотографии (рис. 5.16) отложена шкала длин волн и указаны номе­
ра колебательных переходов (первая цифра соответствует верхнему элек­
тронному состоянию). Как видно из фотографии, расстояния между
соседними полосами последовательности А г; = — 2, например, равны
примерно 50 А; расстояние между ближайшими полосами соседних после­
довательностей больше, для А г; = —2 и А г; = —1 оно равно примерно
230 А. При увеличении частоты полосы сгущаются в соответствии со сгу­
щением колебательных уровней при г > - + о о ц в конце концов переходят
в континуум, связанный с диссоциацией молекулы.
Расположение линий во вращательной структуре полосы легко уста­
новить, пользуясь (5.89) и правилами отбора: / ' — / " = 0 , + 1 , — 1 .
е
3
3
и
g
*) Системы полос, соответствующие различным электронным переходам, носят
обычно какое-нибудь название. Наиболее важные системы указаны на схемах уровней.
266
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Получим для трех ветвей следующие закономерности:
Р:
У ==/"-!, 4 = ^
\-(B' -B" )J"*%
%,„
e
e
v v
-(B', + Bl)J", / " > 1 ; (5.90')
Q:
J' = J",
± = ^
+ (В' -В:)Г*
+
е
к ~ К
+ (B' —Bl)J",
R:
л
e
/">1;
(5.91)
+ (3B' -B'^J"
+ 2B- , / " > 0 .
(5.92)
л,,-,,»
e
e
Здесь l/hv'v» — константа, представляющая собой волновое число,
которое соответствует электронно-колебательному переходу в отсут­
ствие вращательной структуры (без третьего члена в формуле (5.89)).
'.*. • pa
ш
tv
OS
(^
*ft
*»:
«3 .
«*>
S Uo*Mv*-mv~&Av*-2iAv-&, Шм*6 ••i&vf fuv™2
Ф
»5
SJ-
^
Сз
-»-
^b
"О
«*>
•
s^
tO
«5
<3}
£--:'---•• ^ИШ^ЭД№-.^--^-:-.-'-:?ЯН|ИК-Г^:-.:.
. /тмаяе _ | J , J,:,t„|„iJJJfJLUbJZuX4XUb^yj
группа Щ ъ
«j
^
^
&
г
4
--'. ЯИЯЯ^-- •-
t
4
ci
о
cs
tts
Рис. 5.16. Спектр испускания второй положительной системы азота.
Фотография взята из [20а].
Вращательная структура зависит от того, какая из двух вращательных
постоянных больше: В' или В" . Зависимости волновых чисел 1/А. от
е
с
Рис. 5.17. Зависимость волнового числа в Р-, Q-a
Л-ветвях полосы от вращательного квантового числа
/ " для случая В' > В" (красный кант).
е
е
квантового числа / " и спектр схематически изображены для обоих случаев
на рис. 5.17 и 5.18 (так называемые диаграммы Фортра). Из рис. 5.17
видно, что при В' > В" спектр имеет низкочастотную границу, где линии
е
е
267
СТРУКТУРА МОЛЕКУЛЯРНЫХ СПЕКТРОВ
§ 15]
сгущаются («красный» кант); линии простираются в сторону высоких
частот и расстояния между ними возрастают. При В' <С В" , наоборот,
кант «фиолетовый» и линии простираются в сторону низких частот. В об­
ласти канта «частотные» расстояния между линиями порядка В' — В"
(«0,2 см' для 2-й положительной системы N , что. соответствует
в шкале длин волн ДА, ~ 0,2 А).
В области разрежения линий при
J " > 1 все ветви ведут себя пример­
*/<£'
но по закону
е
е
е
1
2
1
(В' —В" )Г*
е
(5.93)
е
^v'v"
и расстояния между линиями А (1 А)
растут пропорционально J".
Для иллюстрации вращательной
структуры приводим фотографию
(рис. 5.19), на которой разрешена по­
лоса 0—2 второй положительной си­
стемы N . Для перехода С П ->-/? П
азота В' ~>В" (см. табл. 5.6) и полоса
оттенена в «красную» сторону («крас­ Рис. 5.18. Зависимость волнового числа
в Р-, Q- и Л-ветвях полосы от враща­
ный» кант).
тельного квантового числа J" для слу­
Каждая из линий вращательной
чая В' < В'е (фиолетовый кант).
структуры на этой фотографии со­
стоит из трех, в соответствии с мультиплетным расщеплением уровней. Л-удвоение на фотографии не разре­
шено (оно обычно меньше 1 см- , что соответствует в шкале длин волн
при К « 3800 1 А Л < 1 А).
Как уже было отмечено выше, электронные переходы в молекулах,
как и в атомах, соответствуют ультрафиолетовой или видимой областям
3
2
е
3
ц
5
е
е
1
it ' 1
I ' ' '< I t ! ' I ' f P
XXJUXIXkXI XkXk X'i kx л,x Xx x к X
I
3755ЛА
3606,0 A
Рис. 5.19. Спектр в полосе 0 — 2 второй положительной системы азота.
Фотография взята из [20а].
спектра. Если ближайший незапрещенный переход из основного состоя­
ния в возбужденное сооответствует ультрафиолетовым квантам, газ про­
зрачен и бесцветен, как, например, N , 0 , NO. В некоторых молекулах,
таких, как Br , J , ближайший электронный уровень с разрешенным пере­
ходом из основного состояния расположен довольно низко, и молекула
поглощает видимый свет. Такие газы сильно окрашены. В сторону больших
частот полосы поглощевия молекул простираются обычно в далекую уль­
трафиолетовую область спектра и переходят затем в континуум.
2
2
2
2
е
268
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
§ 16. Принцип Франка — Кондона
Электронные переходы в молекуле связаны с одновременным изме­
нением сразу трех характеристик ее состояния. Огромное множество все­
возможных комбинаций начальных и конечных состояний ограничивается
правилами отбора. Однако правила отбора распространяются только на
изменение электронных и вращательных параметров молекулы и ничего
не говорят о возможном изменении состояния колебаний. Чтобы уста­
новить, какие из комбинаций колебательных квантовых чисел при пере­
ходах наиболее вероятны, обратимся к диаграмме кривых потенциальной
энергии молекулы, пренебрегая вращением.
Е,ыГ'
Вольты
60000-
40000 •
20000 -
О
2
в
3
г/0' ,см
Рис. 5.20. Потенциальные кривые молекулы 0 .
2
Потенциальная энергия молекулы зависит от междуядерного расстоя­
ния. При сближении ядер преобладают силы отталкивания, при удале­
нии — силы притяжения. На некотором расстоянии г силы отталкивания
и притяжения уравновешивают друг друга и потенциальная энергия
в этой точке минимальна. Абсолютная величина минимума потенциальной
энергии соответствует энергии электронного состояния U . Разность
между энергией при бесконечном удалении ядер и этой величиной дает
энергию диссоциации (с точностью до энергии нулевых колебаний). Форма
и положение потенциальной кривой зависят от электронного состояния,
так что каждой молекуле принадлежит несколько кривых. На рис. 5.20
и 5.21 изображены потенциальные кривые молекул 0 и N0, построенные
на основе спектроскопических данных *). На рисунках проведены гори­
зонтальные линии, соответствующие уровням колебательной энергии
в каждом из электронных состояний.
С классической точки зрения междуядерное расстояние при данной
энергии колебаний периодически изменяется около положения равное
e
2
*) Рисунки взяты из работ [20, 21].
269
ПРИНЦИП ФРАНКА — КОНДОНА
§ 16]
весия г . Изменение происходит в интервале между точками, в которых
горизонтальная прямая, отвечающая энергии колебаний, пересекает
потенциальную кривую. В точках пересечения скорость относительного
движения ядер обращается в нуль, так как меняется направление движе­
ния и в этих положениях (точках возврата) молекула пребывает дольше
всего. Наоборот, положение равновесия она проскакивает очень быстро,
так как скорость здесь максимальна.
е
эб
80000- 10
Диссоциационныо
пределы
N+0
г
3
Р +р
tS + 'i?
-8
+
,rt
\
60000-
~4£__Ж
*S+'P
40000 •
--4
20000-:
—г
г
ХЛ
0—0
1
1
1
1
1
—
•
'
'
С
1—J
I
I
L—I
I
l _
1,0
2,0
Межъядерное расстояние
Рис. 5.21. Потенциальные кривые молекулы N 0 .
Поэтому спонтанный переход из верхнего электронного состояния
в нижнее чаще всего происходит в то время, когда ядра занимают край­
ние положения. Перестройка электронной оболочки при переходе с испу­
сканием кванта происходит настолько быстро, что за это время ни поло­
жения ядер, ни их кинетические энергии не успевают измениться. В самом
деле, длительность перестройки измеряется временем, в течение которого
электрон пробегает расстояние порядка размеров молекулы, т. е. ~ 1 0 - сек
(при скорости электрона ~ 1 0 см/сек и размерах молекулы ~1СН см).
Расстояние же между ядрами заметно меняется за время порядка периода
колебаний, т. е. за время ~1/со с ~ Ю
сек (при (о ~ 1000 см- , что
16
8
- 1 4
е
1
е
270
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
относится к легким молекулам; в тяжелых а> еще меньше, а период ко­
лебаний больше) *).
Электронный переход в нижнее состояние совершается при неизмен­
ном междуядерном расстоянии, т. е. главным образом по вертикалям,
проведенным из точек возврата на
диаграмме потенциальных кривых
(рис. 5.22).
В конечное состояние молекула
приходит с нулевой скоростью, т. е.
начинает колебательное движение с но­
вой колебательной энергией также из
точек возврата.
Таким образом, легче всего совер­
шаются переходы в такие нижние
колебательные состояния, для кото­
рых одна из точек возврата располо­
жена на таком же междуядерном рас­
стоянии, что и одна из точек возврата
в верхнем состоянии. Это положение,
известное под названием принципа
Франка — Кондона, иллюстрируется
рис. 5.22, на котором проведены вер­
тикали наиболее вероятных переходов
Рис. 5.22. Схема потенциальных кри­ из верхнего состояния v' = 4 в ниж­
вых и переходов, иллюстрирующая ние v" = 0 и у" = 6.
принцип Франка — Кондона.
• Наоборот, переходы, для кото­
рых вертикали из верхних точек воз­
врата попадают в середину отрезка нижнего уровня или вообще выходят
за пределы отрезка, ограниченного потенциальной кривой (как, напри,
мер, переход 2—6, показанный на рис. 5.22 пунктиром), маловероятные
§ 17. Вероятности молекулярных переходов с испусканием света
Рассмотрим переход молекулы из верхнего состояния в нижнее
с квантовомеханической точки зрения.
Вероятность спонтанного дипольного перехода с испусканием све­
тового кванта пропорциональна квадрату матричного элемента диполь­
ного момента системы d и описывается общей формулой (5.69). Рассмотрим
переход из верхнего состояния Вv'J'M' в нижнее состояние Av"J"M".
Буквы В и А обозначают электронные состояния молекулы; г/, v" —
колебательные, а / ' , / " — вращательные квантовые числа. М есть «маг­
нитное» квантовое число, определяющее величину проекции вращатель­
ного момента на ось молекулы. Оно может принимать 2 / + 1 значений:
М = J, J — 1, . . . , — / . Вращательная энергия от него не зависит,
а волновая функция системы W — зависит. Матричный элемент равен
-JjBv'J-M
l~'Av"J"M
н*
d¥
Bv'J'M
Av"J"M'
(5.94)
dx.
*) Вероятности незапрещенных электронных переходов из верхнего состояния
в нижнее в атомах и молекулах порядка 10 сек . Таким образом, возбужденная моле­
кула в течение времени порядка 10" сек (за которое атомы совершают много,—10 коле­
баний) находится в верхнем состоянии, а затем за время ~ Ю сек переходит в нижнее,
испуская световой квант.
8
-1
8
6
- 1 6
§ 17]
ВЕРОЯТНОСТИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПЕРЕХОДОВ С ИСПУСКАНИЕМ СВЕТА
271
где интегрирование производится по всем координатам, от которых зави­
сит волновая функция системы.
Будем по-прежнему исходить из упрощенной модели молекулы,
в которой движение электронов, колебания и вращения предполагаются
не зависящими друг от друга. Полную волновую функцию при этом можно
представить в виде произведения трех волновых функций яр , яр ол. 'Фвр*
описывающих электроны, колебательное движение и вращательное. Они
зависят от соответствующих координат: о)) — от координат электронов,
•фкол — междуядерного расстояния, 1|з — от углов поворота молекулы,
а также от соответствующих квантовых чисел. Например, для верхнего
состояния:
эл
К
эл
о т
вр
^BVJ'M'
= 'Фал В^кол
v', вЧ>вр J', M'-
(5.95)
•фкол зависит от электронного состояния, так как от последнего зависят
частоты колебаний.
Представим дипольный момент системы d = 2е Гг (сумма распростра­
няется на все частицы) в виде суммы электронного и ядерного моментов
d = d + d - Электронные волновые функции, по определению, ортого­
нальны в различных электронных состояниях (ядерные координаты вхо­
дят в них только в качестве параметров). При подстановке d и W в интеграл
(5.94) в члене с ядерным моментом выделяется множитель \ г|)*лв^эл А^т >
который обращается в нуль при В Ф- А, так что матричный элемент от
ядерного момента исчезает. Поскольку 1|5 и ij) не зависят от координат
электронов, оставшийся матричный элемент от электронного момента
можно представить в виде произведения:
;
e
a
е
К0Л
D
=
е
°
=
л
d e
ал
ол
кол
}^ ' ' ^' I ^^ '
Bp
\ ФвдЯфвр = D
a J I
-D
K O j r
D ,
B P
(5.96)
где во вращательный матричный элемент вошло только направление
усредненного электронного дипольного момента — единичный вектор п,
который затем усредняется по «поворотам» молекулы. (Мы здесь опустили
для краткости индексы — квантовые числа у волновых функций и диф­
ференциалы.) Условие того, чтобы D было отлично от нуля, и дает
правила отбора для изменения вращательных квантовых чисел при
переходе.
Энергия молекулы в нашем, приближении не зависит от направления
вращательного момента, поэтому, чтобы получить вероятность перехода
из одного энергетического состояния, Bv'J', в другое, A v"J", вероятность
следует усреднить по всем возможным направлениям вращательного мо­
мента в начальном состоянии и просуммировать по направлениям — в ко­
нечном. Таким образом, вероятность перехода в единицах сек' согласно
(5.69) равна *):
BV
1
ABV'J'
Av"J"
A
4
64Я
з
= g 3 VBVJ', Аъ"]" ъл
п
и
fee
г
,r r7
(Э.У /J
Q
BA4V'V"PJ'J"I
4
*) Строго говоря, электронный матричный элемент В
зависит от междуядер­
ного расстояния г (он вычисляется в определенный момент времени, при фиксирован­
ном междуядерном расстоянии, которое входит в электронные волновые функции).
Под величиной £>эл, которая входит в формулу для вероятности перехода (5.97), сле­
дует подразумевать некоторое среднее по г значение Лэл, скажем, соответствующее
положению равновесия т в верхнем электронном состоянии.
эл
е
272
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
где
2
с
q . . = Dl > .=
v v
i0nv
v
\ г)>кол v (г) г|) ол v (г) dr ,
Pj'j"—
(5.98)
К
1
27'4-1
ZJ -^вр j ' M ' , J"M"М'М"
(5.99)
3
Интенсивность соответствующей линии в спектре в эрг/см -сек рав­
на произведению вероятности перехода А (1/сек), энергии кванта hv (эрг)
и числа молекул N (l/см ), пребывающих в верхнем квантовом состоянии:
/ = hvNA (индексы для краткости опущены).
Безразмерная вероятность pj>j» определяет распределение интен­
сивности в линиях вращательной структуры внутри данной полосы
Bv' ->- Av". В квантовой механике молекулы доказывается, что pj'jподчиняется правилу сумм:
3
2^'J"=2 2
(5.100)
В
-£Г+Т *РГМ;Г'М»=1,
J" М'М"
J"
смысл которого заключается в том, что при совершившемся переходе из
верхнего электронно-колебательного состояния в нижнее молекула обя­
зательно попадет на один из возможных вращательных уровней / " (со­
ответствующая вероятность равна единице).
Вероятность перехода Bv'-^-Av"
на какой-нибудь из вращатель­
ных уровней получается путем суммирования выражения (5.97) по / " .
В соответствии с условием (5.100), она равна
r
A f$v>
Av
"
C4Jt*
=
3ftc3
з
VBv
'>
jrj2
/с л г\л \
А О ' ^ Э Л BA4V'V",
(0.1U1)
где \BV, AV"—некоторая средняя частота для данной полосы (в силу малости
вращательных энергий по сравнению с колебательными разброс частот
внутри полосы невелик и введение средней частоты для полосы оправдано).
Относительная вероятность колебательного превращения v' -v v"
при электронном переходе В -v А характеризуется безразмерным мно­
жителем g ' «, определяемым формулой (5.98).
Рассмотрим интеграл (5.98). Волновые функции принадлежат раз­
личным электронным состояниям, т. е. отличаются частотой колебаний
и положением равновесия г . Благодаря этому интеграл отличен от нуля
для различных комбинаций v'v", и для колебаний не существует правил
отбора (если бы электронное состояние не менялось и колебания были бы
строго гармоническими, интеграл (5.98) в силу условия ортогональности
был бы равен нулю при всех v' Ф v").
Волновые функции различных колебательных состояний схематически
изображены на рис. 5.23. Для того чтобы интеграл (5.98) от произведения
осциллирующих множителей (не осциллирует только г|) ол, »=о) имел
значительную величину, необходимо, чтобы, во-первых, множители не
находились в «противофазе» и, во-вторых, чтобы высокие максимумы обоих
множителей перекрывались. Но самые большие максимумы колебатель­
ных волновых функций лежат вблизи «точек возврата», что и свиде­
тельствует о наибольшей вероятности этих положений. Поэтому наиболее
вероятны те переходы, у которых хотя бы одна точка возврата в верхнем
состоянии находится на том же междуядерном расстоянии, что и точка
возврата в нижнем. Приведенное рассуждение обосновывает принцип
Франка — Кондона с квантовомеханической точки зрения. Величина q - »,
V V
е
К
v v
I 17]
ВЕРОЯТНОСТИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПЕРЕХОДОВ С ИСПУСКАНИЕМ СВЕТА
273
называемая часто фактором Франка — Кондона, есть вероятность данного
колебательного перехода г/ -*• v" при совершившемся электронном пере­
ходе, так как по правилу сумм для матричных элементов суммарная веро­
ятность перехода из данного г/ в лю­
бое v" равна единице:
D
2 я»-»- = 2 l
= 1.
(5.102)
Д л я иллюстрации изложенной
квантовомеханической
интерпрета­
ции принципа Франка — Кондона
приводим рассчитанную в работе
\ ч>м>;«
dr
[2i: таблицу интегралов
квадрат которых равен q - - для |3-системы N 0 ( 5 П - > Х П ) . Табл. 5.7 по­
лезно рассматривать вместе со схемой 5000
потенциальных кривых рис. 5.21,
проверяя, таким образом, выполне­
ние
принципа
Франка — Кон­
дона.
Знание факторов Франка — Кон­
дона необходимо для вычисления от­
носительных вероятностей различных
переходов г/ -> v", т. е. относитель­
ных интенсивностей различных полос
в рамках данного электронного пере­
О хода. Они рассчитаны для ряда си­
стем важнейших молекул: N 0 , 0 ,
о
г
4
А
N , Щ (см. работы [8, 2 1 - 2 4 ] ) .
Рис. 5.23. Потенциальные кривые и вол­
Чтобы найти абсолютные значе­ новые функции ряда колебательных
состояний для молекулы RbH.
ния вероятностей переходов и интен­
взят из [206].) Число нулей (узлов)
сивностей линий или полос, нужно (График
у каждой волновой функции равно колеба­
знать значение электронного матрич­
тельному квантовому числу о.
ного элемента D .
Теоретическое
вычисление электронного матричного элемента Б
представляет большие
трудности. Обычно его находят из эксперимента (см. § 18 и 21).
По аналогии с теорией атомных переходов, вместо электронного мат­
ричного элемента пользуются обычно понятием силы осциллятора.
Просуммируем вероятность перехода A V'-*AV
ПО формуле (5.101)
по конечным колебательным состояниям v" и усредним по начальным г/.
Получим вероятность электронного перехода В -»- А при произвольных
колебательных и вращательных превращениях:
v v
2
2
2
2
3JI
ал
B
(5.103)
АВА = ^-У%Л01 ,
ЛВА
г
е
V
Д BA — некоторая средняя частота для электронного перехода (так
же как и раньше, оправданием для введения средней частоты служит то,
что разности колебательных энергий малы по сравнению с разностью
электронных). Воспользовавшись формулами (5.69), (5.73), (5.60), опре­
делим силу осциллятора для электронного перехода В -*• А:
,
8л т
(5.104)
]ВА = ~3Aj2 BA*s i
BA2
п 2
-
V
a!
18
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
274
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Т а б л и ц а 5.7
Корень квадратный из фактора Франка—Кондова Y 4 w
Д
Р-системы полос
молекулы NO (v' относится к верхнему состоянию, v" —к нижнему)*)
л я
v
Колебательное квантовое число верхнего состояния и'
О 0,0000
1 0,0003
2 0,0021
3 0,0086
4 0,0250
5 0,0554
6
7
8
9
0,0972
0,0002
0,0010
0,0032
0,0079
0,0161
0,0280
0,0429
0,0587
0,0024
0,0087
0,0219
0,0414
0,0625
0,0788
0,0811
0,0707
0,0119
0,0336
0,0619
0,0819
0,0803
0,0569
0,0257
0,0040
0,0364
0,0735
0,0896 j 0,0680
0,0273
0,0016
0,0065
0,0286
0,0750
0,0967
0,0607
0,0115
0,0025
0,0286
0,0471
0,0362
0,1069 | 0,0693
0,0077
0,0100
0,0447
0,0448
0,0146
0,0001
0,1020 ! 0,0153
0,0121
0,0530
0,0371
0,0027
0,0097
0,0341
0,0001
0,0231
0,0401
0,0170
0,0055
0,0066
0,1380
0,0556
0,0041
0,0573
0,0363
0,1603
0,0075
0,0497
0,0489
0,0000
0,0317
0,0389
0,1522
0,0101
0,0756
0,0046
0,0629
0,0004
0,0567
0,0452
10 0,1276
11 0,0964
12 0,0657
13 0,0405
14 | 0,0226
0,0956
15 I
0,0113
0,0698
16
0,0051
17
0,0391
0,0395
0,0286
0,0301
0,0299
0,0849 1 0,0059
0,0686
0,0006
0,0572
0,0003
0,1100
0,0033
0,0599
0,0158
0,0382
0,0198
0,1123
0,0318
0,0252
0,0515
0,0047
0,0506
0,0704
0,0010
0,0619
0,0070
0,0399
0,0962
0,0102
0,0363
0,0404
0,0070
0,0442 1 0,0985
0,0449
0,0057
0,0587
0,0046
0,0793
0,0036
0,0394
0,0361
0,0080
0,0557
0,0021
0,0246
18
0,0007
0,0120
0,0565
0,0932
0,0329
19
0,0002
0,0051
0,0334
0,0838
0,0693
0,0022
0,0374
20
0,0001
0,0610
0,0881
0,0297
0,0068
0,0031
0,0816
0,0019
0,0169
21
0,0006
0,0074
0,0369
0,0821
0,0663
22
0,0002
0,0028
0,0188
0,0603
0,0852 I 0,0326
0,0009
0,0801
0,0361
0,0784
0,0685
0,0030
0,0179
0,0559
0,0865
0,0074
0,0026
0,0007
0,0331
0,0150
0,0057
0,0018
0,0727
0,0486
0,0258
0,0110
0,0038
23
24
25
26
27
28
29
0,0009
у'=9
10
И
у " = 0 ; 0,0731 0,0837 0,0892
12
0,0866
13
0,0841
14
0,0744
15
0,0601
16
0,0445
17
0,0303
у' = 18
19
v" = 0 ; 0,0190 0,0110
21
0,0029
22
0,0013
23
0,0006
24~~
0,0002
215
0,0001
26
0,0000
20
0,0059
*) Прямоугольники — наиболее
состояния.
вероятные
переходы
из каждого
верхнего
§ 18]
КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА В ЛИНИЯХ
275
Отношение статистических весов верхнего и нижнего электронных
состояний здесь принято равным единице в предположении, что мультиплетности обоих термов одинаковы. Следует ожидать, что силы осцилля­
торов для молекулярных переходов имеют такой же порядок, как и для
атомных. Численные значения сил осцилляторов для важнейших систем
будут приведены ниже.
§ 18. Коэффициент поглощения света в линиях
Для вычисления коэффициента поглощения в линии, соответствующей
переходу A v"J" -> Bv'J', который является обратным по отношению
к переходу с испусканием света, рассмотренному в предыдущем параграфе,
воспользуемся принципом детального равновесия. Последний устанавли­
вает связь между коэффициентами Эйнштейна для прямых и обратных
переходов (5.71) *). Подставляя в это соотношение вероятность испускания
по формуле (5.97), принимая во внимание определение (5.70) и заменяя
в выражении (5.97) Dl на силу осциллятора по формуле (5.104), получим
коэффициент поглощения в виде
a
XAv»r; BVJ' = -~~ fB qv»v'Pj"j'NA*'j»F (v),
(5.105)
A
3
где NAV'J- — число молекул в 1 см , находящихся в нижнем состоянии
Av"J", a F (v) — функция, описывающая распределение поглощения
внутри линии; она нормирована на единицу \ F (v) dv — 1.
Проинтегрируем коэффициент поглощения, связанный с электрон­
ным переходом А -*• В, по всему спектру. Очевидно, тот же результат
получится, если мы проинтегрируем по частоте коэффициент поглощения
каждой линии (5.105) и просуммируем по всем линиям спектра **). Сум­
мирование по линиям эквивалентно суммированию по всем начальным
и конечным состояниям v"J", v'J'. Суммирование по конечным состояниям
осуществляется с помощью правил сумм (5.100), (5.102); суммирование
по начальным состояниям сводится к суммированию по числам молекул:
N = 2 NAV"J", гдеЛ" — число молекул в 1 см , находящихся в электрон3
A
А
v"J"
ном состоянии А. Если А есть основное состояние, то N практически
равно полному числу молекул в 1 см N.
Для интеграла по спектру от эффективного сечения поглощения моле­
кулы в состоянии А при переходе ее в состояние В a = x /N , получим
A
3
v
v
A
со
ff
S ^v = ^ /
B
A
.
(5.106)
о
Это соотношение находится в полном соответствии с таким же соотноше­
нием для атомных переходов. Таким образом, как и в случае атомов, «пло­
щадь» поглощения, соответствующего данному электронному переходу,
определяется только силой осциллятора. Различие состоит в том, что в^молекулах эта «площадь» распределена по очень многим линиям, благо­
даря чему на каждую из линий приходится лишь небольшая ее часть.
*) Отношение статистических весов в этой формуле, как и раньше, считаем
равным единице. См. (5.104).
**) Сюда следует включить и континуум, который начинается с той частоты,
при которой полосы сходятся к пределу диссоциации.
18*
276
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Соответственно этому «высота» молекулярных линий гораздо меньше
«высоты» атомных линий. Мультиплетное расщепление линий и Л-удвоение еще снижают «высоту» линий в несколько раз, не изменяя пол­
ной «площади».
Путем экспериментального исследования спектра поглощения моле­
кул можно определить силу осциллятора для данной системы полос. С этой
целью измеряется ослабление света оптически тонким слоем газа, проз­
рачным в вершинах линий. Это позволяет найти «площадь» спектра погло­
щения и по формуле (5.106) вычислить силу осциллятора. Если известен
из расчета фактор Франка — Кондона, то для оценки силы осциллятора
можно непосредственно пользоваться кривой поглощения в отдельной ли­
нии или полосе (для вероятностей вращательных переходов pj»j> сущест­
вуют несложные формулы).
Таким путем, например, в работе [25] были измерены силы осцилля­
торов для у- и Р-полос молекулы N 0 (у: X R ->- Л 2 ; р": Х П ->- ВЩ).
Оказалось, что / ж 0,0025, /р « 0,008. В работе [26] была найдена
сила осцилляторов для системы полос Шумана — Рунге молекулы кисло­
рода (переход X 2 g -»- 5 2 й ) : / = 0,259, причем из полной «площади»
поглощения долю А/ = 0,044 занимают полосы, а долю А/ = 0,215 —
континуум, соответствующий диссоциации молекул 0 на атомы О ( Р) +
+ 0 ^D). Континуум начинается при X = 1760 А (нижняя граница полос
X = 2030 А). Эффективное сечение в континууме имеет максимум при X =
= 1450 А, равный a = 1,81 - Ю см , и падает наполовину к X = 1567 А
и X = 1370 А. Следует отметить, что значение силы осцилляторов для
полос Шумана — Рунге, извлеченное из данных по излучению света при
высоких температурах, оказывается гораздо меньше (см. § 20; в работе
[26] измерялось поглощение света холодным кислородом). По поводу
возможных причин такого различия см. [27].
Вообще следует отметить, что, в отличие от атомных переходов, сила
осциллятора для молекулярного перехода не есть строго постоянная
величина (в частности, она зависит от степени колебательного возбужде­
ния и способа усреднения по междуядерному расстоянию). Литературные
данные о силах осцилляторов для одних и тех же переходов часто сильно
расходятся. Сводку известных результатов по силам осцилляторов для
молекулярных переходов и ссылки на литературу можно найти в обзоре
В. Н. Сошникова [27а].
2
2
+
2
т
3
3
3
2
- 1 7
2
v
§ 19. Молекулярное поглощение при высоких температурах
При комнатной температуре практически все молекулы находятся
в основном электронном и колебательном состояниях. Так, например,
в доле ~ 1 0 ~ молекул азота возбужден только один колебательный квант.
Длинноволновая граница поглощения двухатомных молекул лежит всегда
в ультрафиолетовой или видимой областях спектра: например, у молекул
0 , NO, N — в далекой ультрафиолетовой области *), у молекул Вг ,
J , CN — в видимой. При повышении температуры в газе появляются
возбужденные молекулы, находящиеся в верхних колебательных состо­
яниях, из которых переход в то же самое верхнее электронное состояние
требует меньшей энергии. Таким образом, при повышении температуры
5
2
2
2
2
x
*) Переходы на низколежащие уровни A и ' J j в молекуле 0 запрещены.
Также запрещен и переход на уровень 2 u . Соответствующие последнему полосы Герцберга чрезвычайно слабы. Запрещен и переход Х 2 —>• - 4 2 в N (полосы Вергарда —
Каплаыа очень слабые).
g
2
s
2
S
U
2
§ 19]
МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
277
длинноволновая граница поглощения сдвигается в «красную» сторону.
При температурах порядка 10 000° появляются и молекулы в верхних
электронных состояниях, из которых возможны новые переходы в еще
более высокие электронные состояния; так возникает поглощение в первой
и второй положительных системах азота (переходы A H -*- B U. и
B U -> С и ; см. табл. 5.6 и рис. 5.14.
Рассмотрим молекулярное поглощение света при высоких температу­
рах на примере молекул N0. Окись азота образуется в воздухе при тем­
пературах порядка 2000—10 000° К в довольно значительной концентра­
ции порядка нескольких процентов (см. § 4 гл. III). Поглощение света
молекулами NO, как будет видно из дальнейшего, в некоторых условиях
играет существенную роль для оптических свойств нагретого воздуха.
Расчеты поглощения молекулами NO были сделаны в работе [21], которой
мы в основном и будем следовать.
Имеются три важные системы полос поглощения NO из основного
электронного состояния: у (переход — Х П ->- А И ),
р (Х П ->- В И)
и б (Х П-*-С 2). Длинноволновые границы первых двух систем соответст­
вуют ~ 4 5 000 см' , третьей ~ 5 2 000 см- (см. табл. 5.6). В поглощении
света при температурах Т ~ 3000—10 000° К основную роль играет 6-система, так как по принципу Франка — Кондона вероятные переходы
в у
б-системах происходят без большого изменения колебательного
числа, т. е. в основном поглощаются высокие частоты порядка 45 000—
52 000 см , которые лежат в далекой ультрафиолетовой области и не столь
существенны при таких температурах. Наоборот, в р-системе вероятны
переходы из высоких нижних колебательных состояний с v" •— 12 в основ­
ное верхнее г/ ~ 0, которые дают поглощение в близкой ультрафиолетовой
и видимой областях спектра ~ 2 5 000 см,- .
При больших плотностях газа и высоких температурах молекуляр­
ные линии сильно расширяются и даже могут перекрываться. Спектр
при этом становится почти непрерывным.
Сравним ширину линий и среднее расстояние между ними для Р-системы NO. Для оценки примем, что температура Т = 8000° К и плотность
газа равна нормальной плотности воздуха.
При температуре 8000° К доплеровская ширина линий с частотами
~ 2 5 000 см- имеет порядок 0,3 см- . Если предположить, что каждое
газокинетическое соударение меняет состояние колебательного или
вращательного движений, то уширение вследствие столкновений оказы­
вается больше, порядка
3
s
U
3
g
з
g
а
2
2
2
+
2
2
3
1
1
и
-1
1
1
1
Av _ M w
с ~
2ле
_3-lQiS-5-10-is.l,5-10« _
~
2л-3-'10Ю
~
, „
'
г
'
Оценим среднее расстояние между линиями р системы NO в частотном
интервале от 15 000 см- до 45 000 см- . Для поглощения наименьшего
кванта 15 000 см- молекула должна быть возбуждена до энергии 45 000—
15 000 = 30 000 см- , т. е. до колебательного уровня v" •х 20. Рассматри­
вая схему потенциальных кривых и имея в виду принцип Франка — Кон­
дона, можно заключить, что из каждого нижнего колебательного уровня
вероятны переходы примерно в пять верхних состояний, т. е. рассматрива­
емый интервал содержит в себе примерно 20-5 = 100 полос. При темпе­
ратуре Т = 8000° К существенно вращательное возбуждение до 2—3 кТ,
что соответствует 7500 см' , т. е. в переходах участвует примерно / " л ;
« У~2,Ъ kTlhcB л; 80 вращательных уровней нижнего состояния. Каж­
дый из них дает две линии: / ' = / " + 1 и / ' = J" — 1 ((^-ветвь / ' = / "
1
1
1
1
1
e
278
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
обычно очень слаба при / " > 10), т. е. имеется всего 160 вращательных
линий в полосе. Каждая из них удваивается вследствие мультиплетного
расщепления и еще раз расщепляется на две из-за Л-удвоения. Таким обра­
зом, в рассматриваемом частотном интервале 30 000 см- имеется примерно
100-160- 2- 2 — 64 000 линий. Среднее расстояние между ними порядка
0,5 см- ; поскольку ширина линий ~ 1 см- , линии сильно перекрываются
и спектр действительно почти непрерывный.
Оценим коэффициент поглощения в грубом приближении. При сред­
нем колебательном возбуждении молекулы порядка кТ, т. е. порядка
5000 см- при Т — 8000° К, наиболее вероятны переходы на низкие коле­
бательные уровни верхнего состояния. Положим для оценки, что свет
поглощается в основном при переходах на уровень г/ = 0 верхнего элек­
тронного состояния. Тогда кванты hv поглощаются только молекулами,
возбужденными до энергии Е — hv, где Е — энергия верхнего элек­
тронного состояния. Число таких молекул по закону Больцмана пропорци­
онально ехр (
~=— J . Представим коэффициент поглощения в форме
1
1
1
1
0
0
(5.82), выражая сечение поглощения через дифференциальную силу осцил­
лятора
v
me
dv '
3
где N — число молекул NO в 1 см . Принимая во внимание, что по прин­
ципу Франка — Кондона вероятность поглощения квантов, превышающих
со
Е , очень мала, можно считать, что вся «площадь» поглощения \ (df/dv)dv
о
сосредоточена в основном в интервале частот от 0 до E /h и вклад в интеграл
области v от -£ до оо очень мал. Зная, что x ~ —- ~ ехр (
°~ ) ,
найдем коэффициент пропорциональности из условия (5.106) или, что то
0
0
v
v
E /h
0
же самое, из условия равенства интеграла \ (df/dx)dx силе осциллятора /.
о
Получим, таким образом, что
J
dv~
кТ
е х р
V
кТ
и
в
* =£ ' * 1 Г ~ ^ -
<
5 Л 0 7
)
3
Введем вместо N — числа молекул NO в 1 см — концентрацию их
в воздухе CNO = NQ /NOQ, где iV — число молекул в 1 см воздуха при
нормальных условиях, a Q/Q — отношение плотности воздуха к нормаль­
ной (Q = 1,27-10~ г /см ). Перейдем от частот света к волновым числам
11% = v/c. Получим:
3
0
0
0
3
3
0
*4=^^/-CNo-^
_
1
_
^i ~^
см-К
(5.108)
1
Здесь 1 Доо = E /hc (для р-системы NO зта величина равна 45 440 см- ).
В формуле (5.108) 1 /Х и 1А выражены в 1 см- . Зная силу осциллятора,
можно, следовательно, оценить коэффициент поглощения. Полагая
для Р-системы NO /р «& 0,006 (см. § 20), найдем для красного света
0
1
00
§ 20]
УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ МОЛЕКУЛЯРНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
279
3
1
X = 6500 А при Q/Q = 1 , 7 ' = 8000° К ( c = 0,036), x « 4,1 • Ю- см(эффективное сечение на молекулу ст^о = ^NO/^VNO 4 , 3 - Ю см ).
В отношении расположения потенциальных кривых и выполнения
принципа Франка — Кондона переходы в основной системе поглощения
кислорода О (системе Шумана — Рунге) вполне аналогичны Р-системе
NO, так что для оценки коэффициента поглощения О при высоких тем­
пературах также можно пользоваться формулами (5.107), (5.108), в кото­
рые следует, конечно, подставлять константы для 0 .
0
N0
N 0
=
-21
2
2
2
2
§ 20. Уточненный расчет коэффициента молекулярного поглощения
при высоких температурах
Для более точных расчетов (см. работы [8, 21, 28]) нужно исходить
из строгой формулы для коэффициента поглощения в линии и учесть фак­
тические вероятности колебательных переходов. Будем по-прежнему счи­
тать, что линии расширены настолько, что почти (или заметно) перекры­
ваются.
Введем в рассмотрение средний коэффициент поглощения частоты v
для данного электронного перехода А-*- В, усреднив истинный коэффи­
циент в небольшом спектральном интервале от v до v + Av, как это дела­
лось в § 12. Для этого надо проинтегрировать коэффициент поглощения
для отдельной линии (5.105) по частоте (при этом получим «площадь»
одной линии) и просуммировать интеграл по всем линиям, содержащимся
в интервале частот от v до v + Av. Полученный результат будет равен
x Av. Проделывая зту операцию так же, как и при выводе формулы
(5.106), найдем усредненный коэффициент поглощения частоты v для дан­
ного электронного перехода,
v
^
=^
2 ?-I]*W
полосы
(5-Ю9)
J"
Суммы по J" и по полосам распространяются на те начальные вра­
щательные уровни и те полосы, которые дают линии, попадающие в рас­
сматриваемый спектральный участок Av. Число молекул в состоянии
A »J" при температуре Т можно вычислить по формуле Больцмана,
подставляя в нее энергию молекулы в данных колебательном и враща­
тельном состояниях (см. [29]):
V
hcca^o"
NAVJ-
=N
6
- ^ -
A
hcB J"(J"+l)
A
{ 2 r +
i ) £
•
Z r A
(5.И0)
Здесь NA — число молекул в электронном состоянии А;
hcu>.
Z ={l-e
*T)-I«
vA
кТ
«
H
hca>
Z
г,
r
тA л
A
=
кТ
hcB
A
— колебательная и вращательная статистические суммы в нижнем элек­
тронном состоянии.
В основном полосу заполняют линии с большими вращательными
числами / " > 1, для которых, согласно формулам (5.90), (5.91), можно
приближенно положить волновые числа равными
\ =^
+ {В -В )Г\
в
А
(5.111)
"о
Интервал частот Av заполняют линии полосы v"v', соответствую­
щие вращательным числам от / " до / " + А/", где А/" определяется
280
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
дифференцированием (5.111):
(5.112)
- ^ = А ( ! ) = (Я -£А)2/"А/".
В
Полагая, что / " > 1, А/" <С J" (интервал Av достаточно мал), можно
считать все А/" членов в сумме по / " в формуле (5.109) одинаковыми.
Пренебрегая единицей по сравнению с /", подставим в показатель экспо­
ненты формулы (5.110) / " по формуле (5.111) и заменим Av в формуле
2
2600
Р и с . 5.24. Коэффициент спектрального поглоще­
н и я в у-системе N 0 в относительных единицах.
Т — 8000° К. Скачок поглощения при X = 2480 А соот­
ветствует включению колебательного перехода О — 2.
(5.109) выражением (5.112). Выделяя в формуле (5.109) экспоненциаль­
ный множитель, чтобы привести окончательное выражение в соответствие
с приближенной формулой (5.107), получим
_
V
AB
яе2 ,
N ^e
тс ' ВА A
—
kT
(5.113)
ф.
где безразмерный множитель ср равен
™
кт
he | ВВ—ВА
_ hc_(_i
hT \ X
I Z
X
v A
Z
1_\
Я.оо' х
r A
2 «p{-[»^+*iEfe(T-w)]b
(5Л14)
Здесь Y~ — T- (Е — Е ) — по-прежнему волновое число, соответствую­
щее электронному переходу в отсутствие колебаний и вращений (Е жЕ —энергии электронных состояний с учетом нулевой энергии колебаний
Е = U + hca>/2), 1/Xv-v' — волновое число, соответствующее переходу
A " _>. Bv' в отсутствие вращений. Если В > В , полосы имеют кант
с «красной» стороны и простираются в «фиолетовую»; если же В < В ,
то наоборот (см. формулу (5.111)). Поэтому сумма по полосам в (5.114)
распространяется на полосы с Я,о»»'>А, при В >В
(как в случае
v-системы NO) и на полосы с K
< X при В < В (как в случае р-системы NO или в системе Шумана — Рунге 0 ) . Это положение прекрасно
в
А
в
А
e
v
в
А
в
В
vV
в
2
А
А
А
§ 21]
281
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАГРЕТОГО ВОЗДУХА
иллюстрируется рис. 5.24 и 5.25, на которых приведены рассчитанные
в работе [21 ] значения сумм в множителе ф в зависимости от длины волны
света для у- и р-систем N0. Кривые имеют характер «частоколов», причем
каждый новый зубец появляется при включении в поглощение новой
полосы. В случае у ~
поглощение скачкообразно возрастает при
уменьшении X, а в случае р-системы — при увеличении А. •
Более точная формула (5.114) превращается в приближенную (5.107),
если положить множитель ф, учитывающий вероятности различных
колебательных переходов, равным
единице
(поскольку
формула
(5.107) относится к переходу из
основного состояния, то при этом
Е = 0, N = N). Расчеты пока­
зывают, что коэффициент ф не
очень сильно отличается от 1, так
что формулой (5.107) можно поль­
зоваться для грубой оценки.
2800
Мы видим, что коэффициенты
молекулярного поглощения,можно
теоретически рассчитать при помо­ Рис. 5.25. Коэффициент спектрального
в ^-системе N0 в относитель­
щи спектроскопических данных о поглощения
ных единицах. Т = 8000° К.
молекулах, схемах уровней, коле­
бательных и вращательных кон­
стант, потенциальных кривых, с точностью до постоянного множителя —
силы осциллятора /, которая должна определяться из эксперимента. На
рисунках 5.26—5.28 приведены результаты расчетов множителей фа,
при нескольких температурах для важнейших систем поглощения *),
определяющих поглощательные свойства нагретого воздуха: у- и р-си­
стем N0, системы Шумана — Рунге 0 , 1 -, 2+-систем N и ^'-системы
NJ (ионизованной молекулы азота); значения 1/Я о Для этих систем
представлены в табл. 5.6. Таблица сил осцилляторов для этих си­
стем приводится в следующем параграфе. Рисунки 5.26—5.28 взяты
из работы [8].
с и с т е м ы
А
A
+
2
2
0
4. ВОЗДУХ
§ 21. Оптические свойства нагретого воздуха
Вопрос о поглощении и излучении света нагретым воздухом имеет
первостепенное значение для таких практически важных задач, как изуче­
ние явлений, происходящих в огненном шаре сильного взрыва (см.
гл. IX), расчет радиационного нагревания баллистических ракет и искус­
ственных спутников при входе в атмосферу и др. Для первой задачи
существен широкий диапазон температур от обычных и до сотен .тысяч
и даже миллиона градусов. Для второй задачи наибольший интерес
представляют температуры ~ 5000—20 000° К, которые развиваются
в ударной волне перед телами, движущимися в атмосфере со ско­
ростями порядка нескольких или 10 км/сек. Широк и диапазон плот­
ностей, с которыми приходится иметь дело, от ~ 10Q (В ударной волне,
0
*) щ сглажены путем усреднения в небольших интервалах АХ, что необходимо
для сравнения с экспериментальными данными, где ДА, определяется аппаратурой
(монохроматором).
1,0 г—
OJS -flfi -
б)
i
i
i
mi/i)
*;<*
^- luuuu
8000
ч
01 -
к
6000
5000
v *• 4000
$ <
v'-o-б г
Ц20
Ц22
0,24
0/6
0,28
от.
V -0
а
"~
29
1 1
11
OJO 0,2
ЦЗ
Длина волны, мк
0,4
0,6
0J5
Р и с . 5.26. Множитель ф д л я у- и Р-систем N 0 .
1,0
Ofi
*)
—1 -1- г
0 All-
ч-
0,6
-~,
0.4
0,2
v
^
>v
•^
•ч IOOOO°K
V •8000
6000
чппп
•
•S
s
\>ч
S
Vs <
s
V
4
,
\ *ч
\г
к
0 10
\
*-
S
0,1
0,08
0,06
0,04
02
^ 0,2
V-0-JO
v"=0-30
M0,3M
V
0,4
0,5
U,
0,6 "%26
0$0
Длина волны, мк
0,34
Р и с . 5.27. Множитель о? д л я системы Шумана — Р у н г е 0
а)
^
,
2
0,38
0,42
0,46
и 2+-Системы N .
2
б
>
п
8
0,06
0,32
0/36
0,40
0,44
0,48
0JS2 '
0,6
Длина волны, мк
0,8
1,0
1,2
1,4
Р и с . 5.28. М н о ж и т е л ь ф д л я 1"-системы Щ и 1+-системы N .
2
1,6
§ 21]
283
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАГРЕТОГО ВОЗДУХА
распространяющейся по воздуху нормальной плотности о ) и до очень
малых ~ Ю —10~ Q и даже меньше, имеющихся в центральных об­
ластях огненного шара и на больших высотах.
Холодный воздух, как известно, прозрачен для видимого света.
Поглощение начинается в ультрафиолетовой области спектра и связано
с системой полос Шумана — Рунге молекул кислорода. Фактически
заметной величины поглощение достигает при X « 1860 А. Эксперимен­
тальная кривая коэффициента поглощения холодного воздуха нормальной
плотности в зависимости от длины волны показана на рис. 9.3 в § 2
гл. IX.
При температурах выше 15 000—20 000° К, когда молекулы почти
полностью диссоциированы на атомы и последние заметно ионизованы,
поглощение света в непрерывном спектре складывается из фотоэлектри­
ческого поглощения атомами и ионами и тормозного поглощения в поле
ионов. Эти механизмы были подробно рассмотрены в разделе 1 настоящей
главы, где были даны оценочные формулы для вычисления коэффициентов
поглощения и средних пробегов излучения, основанные на приближении
водородоподобности. В табл. 5.2 § 8 были приведены результаты расче­
тов средних пробегов в воздухе в области многократной ионизации, т. е.
при температурах выше примерно 50 000° К. При температурах ниже
~ 15 000° К в поглощении участвуют все рассматривавшиеся выше меха­
низмы, причем сравнительная роль различных составляющих очень
сильно зависит от частоты света и от термодинамических условий: темпе­
ратуры и плотности. К составляющим непрерывного и квазинепрерывного
поглощения относятся: молекулярные переходы в молекулах, присут­
ствующих в нагретом воздухе, N , 0 , N+, NO, N 0 , фотоэлектрическое
поглощение частицами 0 , N , NO, О, N, 0~, свободно-свободные переходы
в поле ионов 0 , N , NO+, 0£, N+, а также, возможно, в поле нейтральных
атомов и молекул.
Для конкретных расчетов коэффициентов поглощения необходимо,
конечно, знание концентраций всех указанных компонент воздуха, а также
концентрации свободных электронов (см. гл. III).
Оптические свойства нагретого воздуха экспериментально исследо­
вались при помощи ударной трубы в лаборатории AVGO в США. Экспери­
ментальные и расчетные данные изложены в работах [8, 31, 32, 32а,
43—46] и обзорах [28, 30, 47] (см. также работы [33, 48]).
Расчетам коэффициентов поглощения и излучательной способности
нагретого воздуха посвящен цикл работ Л. М. Бибермана и его сотруд­
ников. Обзор этих работ имеется в статье [56], в которой рассматриваются
вопросы радиационного нагрева тела, движущегося в атмосфере с гипер­
звуковой скоростью. В статье дана обширная библиография. Вопросам
поглощения света в воздухе посвящен также номер журнала [64].
Основным результатом экспериментального изучения оптических
свойств воздуха в ударной трубе является определение сил осцилляторов
для важнейших молекулярных переходов.
На опыте измеряется спектральная интенсивность излучения столба
нагретого газа при различных температурах и плотностях. В прямой удар­
ной волне изучаются температуры порядка 3000—5000° К, в отражен­
ной — порядка 8000° К. Пересчет измеренных интенсивностей на коэф­
фициент поглощения можно сделать с помощью известной формулы для
потока излучения от нагретого слоя данной толщины d (см. § 7, гл. II,
формула (2.38)). Именно, количество лучистой энергии в интервале длин
волн dX, выходящей в 1 сек с 1 см поверхности слоя в единицу телесного
0
-3
4
0
2
2
+
2
+
2
2
2
284
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
угла нормально к поверхности, равно
d
I dK = I dK(l-e-**- ),
(5.115)
Д Ар — соответствующая величина для абсолютно черного тела
x
г
Xp
е
т —
Х
р
2 h c i
—
1
ь
Х
e
J}£_
hn_
'
l
hc/hTX
а %'% = Хя (1 — e- )
— коэффициент поглощения, исправленный на
вынужденное испускание. Если слой оптически тонкий, самопоглощением
в нем можно пренебречь (даже в центрах линий): к'% d < 1. Интенсивность
излучения в этом случае определяется лучеиспускательной способностью:
'X = ^
= /XP*W.
Отношение измеренной интенсивности излучения из расчета на слой
единичной толщины к интенсивности абсолютно черного тела дает непо­
средственно исправленный коэффициент поглощения к'%. Сила осцил­
ляторов для системы полос Шумана — Рунге была определена путем
исследования интенсивности излучения в чистом кислороде при срав­
нительно низких температурах ~ 3000—4000° К, получающихся в пря­
мой волне.
При таких температурах степень ионизации очень мала, отрицатель­
ных ионов кислорода мало и практически все поглощение связано с моле­
кулярными переходами. Из этих данных по формулам (5.113), (5.114)
с использованием расчетных коэффициентов фа, была выведена сила осцил­
лятора /ш-р = 0,028 ± 0,008. В интервале длин волн от 3300 до 4700 А
она оказалась не зависящей от Я, Т, Q.
Данные по силам осцилляторов NO и N были получены путем обра­
ботки спектров излучения в воздухе при разных температурах и плот­
ностях.
Эти величины извлекались последовательно при изучении тех участков
спектра, температур и плотностей, при которых еще неизвестные меха­
низмы играют небольшую роль, за исключением одного; поглощение за
счет уже известных механизмов из измеренных величин исключалось.
Таким образом, были найдены силы осцилляторов для всех важных
систем *); они собраны в табл. 5.8.
2
Таблица
Силы осцилляторов для важнейших систем полос
Система
Погреш­
ность
Интервал X,
А
°2(1Н - Р)
NO
0,028
±0,008
0,006
±0,002
0,001
±0,0005
3300—4700
3500—5000
2500—2700
p
NO
+
Y
N (2 )
2
0,09
±0,03
2900—3300
N+(1-)
5.8
+
N (l )
2
0,18
±0,07
3300—4500
0,025
±0,008
10 460
На рис. 5.29 изображены экспериментальные и теоретически рассчи­
танные интенсивности излучения при Т = 8000° К Q = 0 , 8 3 Q .
0
*) Для N2 (1+)-системы / сильно зависит от X вследствие резкого изменения
междуядерного расстояния с изменением X.
2000 \
1
1
1
1
1
г—i—-г—i—i—i—i
i i i
15000 -
10000
5000
0,4 0,5
0,6 0,7
Длина волны, м/t
3
Рис. 5.29. Спектральная интенсивность излучения 1% вт/см -стерад-мк
слоя воздуха толщиной d як 1 см.
Т = 8000° К, о = 0,83Q (Q — нормальная плотность). Показаны эксперимен­
тальные точки и рассчитанные кривые, отвечающие различным механизмам
испускания. Пунктиром дана величина 0,1 /^р(1/10 интенсивности излучения
черного тела). Отношение I. Д^р дает непосредственно к' см- , поскольку
d =ь 1 см. Рисунок взят из работы [8].
O
0
0,8
Рис. 5.30. Интенсивность испускания воздуха при Т =
— 12 000° К, Q = Qo (нормальная плотность).
Показаны вклады различных механизмов. цр —свободно-свя­
занные переходы; А — суммарное излучение; В — 1/10 интен­
сивности излучения черного тела.
е
1
to
оо
286
П О Г Л О Щ Е Н И Е И ИСПУСКАНИЕ И З Л У Ч Е Н И Я В Г А З А Х
[ГЛ. V
Для удобства вычисления коэффициентов поглощения воздуха при­
водим численные формулы для расчета отдельных составляющих в обла­
стях молекулярного поглощения и первой ионизации, т. е. при
Т < 20 000° К.
71 000
Ш
система Шумана — Рунге 0
т
9,5ф _ е
Р
65 300
т
2,04 е
р-система NO,
Фр
_ 63 500
105
т
0,34ф е
С;
Y-система NO,
у
^е^~Х
127 500
2+-система N ,
т
30,6ф е
2+
2
_ 84 900
1+-система N ,
т
8,5ф е
1+
2
36 800
1~-система N+,
T
61,2 _e
?1
' (То-.
19
ХО- = 2 , 6 7 - 1 0 С -
Оо
0
140 000
о,
2
181 000
2,56-1012с -?- _hv
<?£. кт
N,
2
г
^НКрамерс)
о
:
е
hv
кТ
Х-
р.
-
1.44Л
XT )
158 000
О,
169 000
N,
108 000
NO,
*NO
19
2
= 2,67 • l 0 c
NO2
-JL g
(T в °К, X в см, x в
N 0 2
-1
см ).
Концентрации c всех частиц определены в этих формулах как отно­
шения чисел частиц к числу исходных молекул в холодном воздухе.
В формулы для коэффициентов молекулярного поглощения подставлены
силы осцилляторов из табл. 5.8. Эффективный заряд в формулах для
крамерсовского поглощения принят равным 1 *).
Концентрации отрицательных ионов кислорода можно вычислить
по формуле Саха, зная концентрации атомов кислорода и свободных
электронов. Эффективные сечения поглощения отрицательными ионами 0~
даются на рис. 5.5 в § 5.
Имеются экспериментальные данные, свидетельствующие о существо­
вании отрицательного иона азота N~ [57]. Поглощение света этими ионами
рассматривалось в работе [58]. Зная все составляющие коэффициентов
поглощения, можно вычислить суммарные коэффициенты и испускательные способности для любых температур и плотностей. На рисунках 5.30
t
*) Поправочный множитель Вибермана и Нормана (см. § 7) не учитывается.
2
§ 21]
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАГРЕТОГО ВОЗДУХА
287
и 5.31 показана полученная таким образом реконструкция радиации при
нескольких значениях температуры и плотности (эти данные заимство­
ваны из работы [28]). На графиках указаны вклады отдельных состав­
ляющих поглощения.
В работе [32] исследовался вопрос о свободно-свободном поглоще­
нии электронами в поле нейтральных атомов. Для этого измерялась
лучеиспускательная способность при Т = 8000° К Q/Q = 0,85 в инфра­
красной области спектра с Я ~ 20 000—40 000 А, где по расчетам все
0
0,1
0,2
0,3
0,4 Ц5 0,6
Длина волны, мк
0,7
0,8
0,9
Рис. 5.31. Интенсивность испускания воздуха при
Т = 8000° К, Q = 1(Г Q .
3
0
5
А — 10~ интенсивности излучения черного тела, В — сум­
марное излучение, р.у — свободно-связанные переходы.
другие механизмы должны играть малую роль. Оказалось, что прибли­
женно коэффициент поглощения можно описать обычной формулой для
тормозного поглощения с квадратом эффективного заряда Z = 0,04
для атомов О и Z = 0,02 для N. В видимой и ультрафиолетовой областях
спектра, судя по этим данным, свободно-свободное поглощение в поле
нейтральных атомов не должно играть существенной роли.
Коэффициенты поглощения красного света А, = 6500 А а воздухе в
ударной волне для двух значений температур были измерены И. III. Мо­
делей [34]. В опытах Моделя детонационная волна выходила из взрыв­
чатого вещества на границу с воздухом. Фотографическим путем измеря­
лось изменение во времени интенсивности свечения поверхности фронта
ударной волны в направлении, нормальном к поверхности. Если d —
толщина слоя воздуха, охваченного ударной волной к моменту t, то
интенсивность свечения поверхности фронта определяется форму­
лой (5.115). Когда слой нагретого воздуха становится оптически толстым
2
2
288
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Kxd > 1, фронт светится как черное тело и / » / . Снимая кривую
нарастания свечения I (d), можно было измерить коэффициент поглоще­
ния. Независимо определялась температура за фронтом по яркости фронта
в стадии, когда %'%d > 1 и фронт светится как черное тело. И. Ш. Моделей
были получены значения коэффициента поглощения для двух температур,
Т = 10 900° К, х* = 3,7 см' ; Т = 7480° К, % = 1,66 см' (X = 6500 А,
Q/QO «a 10). Первое значение удовлет­
ворительно согласуется со значени­
ем, рассчитанным по приведенным фор­
мулам.
Основную роль играет поглощение
в 1+-системе N и крамерсовский меха­
низм. Что же касается второй точки, то
экспериментальное значение гораздо
выше, чем то, которое дает теория *).
Характерной особенностью всех
ftO' ,gpad. рассмотренных выше составляющих
поглощения
(см. сводку
формул,
7000 6500Ш 5500 5000 Ш0
4000 к,А стр. 286) является резкая, больцмаРис. 5.32. Усредненное эффектив­ новская зависимость от температуры с
ное сечение поглощения света не­ весьма значительными энергиями акти­
возбужденными молекулами N 0 .
вации. При не очень высоких темпера­
турах порядка 3000—4000° К все коэф­
фициенты в видимой области спектра становятся очень малыми, на­
пример, при Т = 4000° К и Q/Q = 1 % ~ 1 0
см' .
При столь низких температурах основную роль в поглощении играет
молекулярное поглощение двуокисью азота, которая присутствует в воз­
духе в незначительных количествах (см. табл. 5.9) **), но сильно погло­
щает свет в видимой и ультрафиолетовой областях спектра. Молекулярные
v
v P
v
1
1
%
2
3
2
_е
1
0
Таблица
Равновесные концентрации двуокиси азота в нагретом
воздухе, c - 1 0 *
5.9
N 0 2
N.
N^
Р/РО
N.
т,°к
5
10
1
Т,°К
\
2000
2Ю0
3000
Р/РО
^\
0,79
1,42
1,58
1,11
2,02
2,24
П римечание.
0,35
0,63
0,69
CNO =
2
10
5
1
2,91
2,86
2,11
1,92
1,90
1,29
0,79
0,67
0,25
N^^
3500
4000
5000
число молекул N 0
число исходных молекул в воздухе
2
полосы N 0 образуют очень сложную систему с практически перекрываю­
щимися линиями. На рис. 5.32 приведена зависимость эффективного
сечения поглощения холодных молекул N 0 по данным работы [35].
Сечение монотонно падает от а = 6,5-10 см до а
10~ см в интерва2
2
19
2
20
2
*) О причинах этого расхождения нельзя высказать определенного суждения.
**) Концентрации N 0 были рассчитаны в работе [39].
2
289
ПРОБОЙ
§ 22]
ле длин волн от А. = 4000 А до % = 7000 А. Согласно измерениям [36] се­
чение поглощения в инфракрасной области очень мало: при Я, = 10 000—
20 000 А а < 4 , 5 - Ю см .
В близкой ультрафиолетовой области при X = 3020 А сечение прохо­
дит через минимум [37]; это вместе с кривой рис. 5.32 свидетельствует
о том, что максимум поглощения лежит в синей части спектра X ~ 4000 А .
Следует ожидать, что при температурах порядка 2000—4000° К спектр
поглощения сильно смещается в красную сторону и эффективное сечение
N O во всей видимой области спектра становится порядка нескольких
единиц на 1 0 " см (подробнее см. об этом в статье [38]; см. также § 7
гл. IX).
Например, при концентрации молекул N 0 в воздухе порядка 10"
это дает коэффициент поглощения при нормальной плотности порядка
Юсм- .
В работе [59] изучалась интенсивность излучения двуокиси азота
при температурах 1400—2100° К (двуокись в смеси с аргоном нагревалась
в ударной трубе). Получены абсолютные значения интенсивности в види­
мой части спектра.
В заключение отметим, что вопрос об оптических свойствах нагре­
того воздуха еще не является решенным и исследования в этой области
продолжаются.
23
2
2
19
2
4
2
3
1
5. ПРОБОЙ И НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СФОКУСИРОВАННОГО ЛАЗЕРНОГО ЛУЧА
§ 22. Пробой
Изобретение лазеров и совершенствование лазерной техники открыли
широкие возможности для изучения различных явлений, происходящих
при взаимодействии мощных потоков излучения с веществом. В частности,
несколько лет назад было открыто явление пробоя газов и образования
«искры» под действием лазерного луча.
Опыты [65—72] показывают, что под действием светового потока
достаточно большой интенсивности в газах, обычно прозрачных для соот­
ветствующего излучения, происходит пробой, т. е. образуются свободные
электроны *). Для пробоя нужны очень большие потоки лучистой энергии,
и при мощностях современных оптических генераторов (с модулированной
добротностью) такие потоки удается получить только путем фокусировки
лазерного луча линзой (рис. 5.33). Порог для пробоя, обычно исключи­
тельно резкий, принято характеризовать напряженностью электрического
поля световой волны. На рис. 5.34 в качестве примера показаны измерен­
ные в работе [65] пороговые поля для пробоя в аргоне и гелии при разных
давлениях.
В этих опытах рубиновый лазер с модулированной добротностью
давал импульсы с длительностью 3 - Ю " сек и максимальной (пиковой)
мощностью до ~ 30 Мет (энергия в импульсе до 1 дж). Луч фокусировался
линзой в кружок с радиусом примерно г = Ю см. Радиус фокусировки
оценивался, во-первых, по угловой расходимости несфокусированного
лазерного луча и, во-вторых, по размеру отверстия в золотой фольге,
помещенной в фокусе, которое прожигал луч. Зная мощность лазера
8
- 2
0
*) Хорошо известно и изучено явление высокочастотного пробоя под действием
излучения в микроволновом диапазоне частот [60].
19
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
290
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
и площадь кружка в фокусе, можно вычислить средние по площадке
поток лучистой энергии и электрическое поле в световой волне *). Гак,
были получены значения поля, фигурирующие на рис. 5.34.
Рис. 5.33. Схема опыта по пробою. 1 — рубин, 2 — ксеноновые лампы накачки, 3 — поляризатор, 4 — ячейка Керра, 5 — зеркало, в — линза, 7 —• сосуд с газом, 8 — выход­
ное отверстие; 9 — фокус, 10 — собирающие электроды.
О возникновении пробоя обычно свидетельствует световая вспышка,
подобная вспышке в искре. Иногда факт пробоя устанавливается путем
вытягивания зарядов из области пробоя при помощи пары электродов,
к которым прикладывается небольшое напряжение. Помимо аргона
е
больт
7
Ю
8
6
6
"Ч,<\
4
'Wle
4
Ч
Х (
Ц
>
'•"JvAr
г
(>
_л5
'"
3
Ю
г
4
в в ГО*
г
«
5
в £Ю
р,ммрт.от
Рис. 5.34. Пробивающие поля в аргоне и гелии
в зависимости от давления.
и гелия исследовался и пробой в воздухе при нормальных условиях.
Пороговые поля также имеют порядок 10 в/см.
Надо полагать, что при достаточно больших интенсивностях потока
лучистой энергии или электрических полях в световой волне возможно
прямое вырывание электронов из атомов под действием излучения. Соответ­
ствующая квантовомеханическая задача была решена Л. В. Келдышем
7
*) Например, при мощности 30 Мет и радиусе кружка Ю
составляет примерно 10 эрг/см - сек и поле 0,6-10 в/см.
18
2
7
- 2
см поток энергии
291
ПРОБОЙ
22]
173], который нашел общее выражение для вероятности вырывания.
В пределе низких частот оно переходит в известную формулу для вероят­
ности туннельного эффекта под действием статического поля, а в случае
достаточно высоких (и, в частности, оптических) частот описывает много­
квантовый фотоэффект, когда ионизация происходит в результате одно­
временного поглощения п квантов, энергия которых nhv превышает
потенциал ионизации / . Вероятность многоквантового фотоэффекта про­
порциональна п-ш степени потока лучистой энергии или g , где Щ —
напряженность электрического поля. Для атомов и молекул с высокими
потенциалами ионизации, таких, как Ar, He, N , 0 , требуется большое
число квантов: у рубинового лазера hv — 1,8 эв и, например, для аргона
/ = 15,8 эв, п = 9, а для гелия / = 24,6 эв и п = 14. Поэтому вероятность
вырывания исключительно резко зависит от поля. Оценки показывают, что
для прямого вырывания электронов из атомов за время лазерного импульса
нужны очень большие поля ( ~ 10 в 1см). Эти электрические поля почти
на порядок больше тех средних полей, которые в настоящее время дости­
гаются на опыте, поэтому при сравнительно малых полях (~ 10 —
10 в/см) пробой происходит не за счет прямого вырывания электронов
из атомов, а в результате развития электронной лавины.
Для начала развития лавины необходимо, чтобы в начале лазерного
импульса в газе появились начальные «затравочные» электроны. По-види­
мому, многоквантовое поглощение света, скорее всего на примесных
атомах с низкими потенциалами ионизации, и является источником обра­
зования затравочных электронов. Надо сказать, что распределение поля
по площади кружка фокусировки не является равномерным. Существуют
очень малые области с локальными полями, которые значительно превы­
шают поле, среднее по площадке. В этих областях и зарождаются первые
электроны, которые кладут начало лавине.
(Неравномерность распределения поля в фокусе связана с неодно­
родностью и расходимостью несфокусированного лазерного луча, а также
является результатом аберрации линзы. Последний эффект детально
исследован в работе Б. Я. Зельдовича и Н. Ф. Пилипецкого [83].)
Рассмотрим, как развивается электронная лавина.
Электроны поглощают световые кванты при столкновениях с ней­
тральными атомами (см. § 8а) и таким путем набирают энергию, доста­
точную для ионизации. В результате акта ионизации вместо одного
«быстрого» электрона появляется два «медленных», которые снова наби­
рают энергию под действием излучения, ионизуют атомы и т. д.
Наряду с поглощением под действием интенсивного светового потока
происходит и вынужденное испускание квантов таких же величины
и направления, однако результирующий эффект является положитель­
ным — электрон в среднем приобретает энергию от излучения и уско­
ряется.
Скорость нарастания энергии электрона можно оценить с помощью
формулы (5.57") для эффективного поглощения, которая как раз и описы­
вает результирующий эффект истинного поглощения и вынужденного
испускания квантов. Обозначим поток лучистой энергии
2n
2
2
8
е
7
2
где § — средний квадрат электрического поля в световой волне.
В единицу времени в единице объема поглощается энергия излу­
чения Gx > а на один электрон Gx /N . Эта величина и представляет
VH
m
e
19*
292
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
собою среднюю скорость нарастания энергии электрона:
dE
еЮ
еЧ*
v
V 3
5 Л 1 6
^ = S ^ * * = 7 ^ f * )'
<
)
Чтобы приобрести энергию, равную одному кванту hv, электрон должен
испытать в среднем hvnmcv 1'e G столкновений с атомами. Например,
2,
18
2
2
2
7
при потоке G = 10 эрг/см -сек, поле V Ш = 0,6-10 в/см и hx = 1,8 эв
это число равно 200. Чтобы набрать энергию, равную энергии иониза­
ции / при отсутствии потерь энергии, нужно в I/hv раз больше столкно­
вений, например в гелии —2700. При атмосферном давлении частота столк­
новений электрона с энергией Е za 10 эв в гелии составляет х ф л*
» 2-Ю l/сек, так что необходимое время равно примерно 2700/^ ф •=
= 1,3-10"' сек. За время действия лазерного импульса 3-10" сек народи­
лось бы 3-10" /1,3-10~ = 23 поколения электронов, т. е. на каждый
«затравочный» электрон пришлось бы в среднем 2 » 10 электронов **).
Развитие лавины чрезвычайно чувствительно к интенсивности светового
потока и плотности газа. Например, при увеличении потока или давления
в два раза (поля — в 1,4 раза) скорость набора энергии и число поколений
в лавине возросли бы вдвое, т. е. к концу импульса той же длительности
на каждый «затравочный» электрон родилось бы не 10 , а 10 новых
электронов. Этой исключительной чувствительностью и объясняется
обнаруженное на опыте существование резкого порога для пробоя газа
как по мощности лазерного импульса, так и по давлению.
Изложенные простые соображения о наборе энергии электрона под
действием световой волны намечают лишь схему основного процесса.
На самом деле развитие электронной лавины протекает значительно
сложнее. Существенную роль играет возбуждение атомов электронами,
энергия которых еще недостаточна для ионизации, но достаточна для
возбуждения. При не очень больших полях возбуждение тормозит развитие
лавины, так как в акте возбуждения электрон сбрасывает накопленную
энергию и должен начать набор энергии сначала. При больших полях
(больших 10 или нескольких единиц 10 в/см) возбуждение атомов,
напротив, способствует развитию лавины, так как возбужденные атомы
быстро ионизуются под действием излучения (в результате либо одновре­
менного, либо последовательного поглощения небольшого числа квантов).
В легких газах, таких, как гелий, значительную роль играют и потери
энергии электронов за счет упругих соударений с атомами***). В некотоЭ
12
Э
8
8
9
23
7
7
7
14
7
*) Ее можно интерпретировать следующим образом. Под действием перемен­
ного электрического поля световой волны на прямолинейное движение электрона
накладываются осцилляции. Импульс осцилляции р = е'6/ю, средняя энергия
р /2т = е й /2тсо . При столкновении с атомом направление скорости электрона
резко меняется и величина, равная по порядку энергии осцилляции, присоединяется к
энергии хаотического движения. За 1 сек электрон испытывает \ ф столкновений,
следовательно, и прирост энергии хаотического движения оказывается равным (5.116).
**) Число электронов в лавине нарастает с течением времени по закону N =
= TVeo exp (t/6), где 6 In 2 — время удвоения числа электронов.
***) При каждом соударении электрон в среднем теряет долю 2т/М своей энергии
(где М — масса атома). Поэтому с учетом упругих потерь формула (5.116) приобре­
тя
Г е*Ш
2тЕ 1
тает вид .
= v * —
^rdt
L "io)2
М ]
_
М е £Ъ
Электрон в среднем не может приобрести энергию, превышающую Е = -»
^.
Например, для гелия при поле 6- 10 в/см Е = 3 3 эв. В действительности в правой части
выражения для упругих потерь вместо Е должна стоять разность средних энергий
электронов и атомов (ионов), однако в данном случае атомный газ— холодный.
2
2
2
2
д
e
2
rt
a
э ф
2<
т
s
т
§ 23] ПОГЛОЩЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ЛУЧА И НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ ПРОБОЯ
293
рых случаях (при малом объеме фокусировки или при низкой плотности
газа) возможен диффузионный уход электронов из объема фокуса.
В условиях, когда развитие лавины тормозится за счет потерь энер­
гии электронов на возбуждение атомов, простая формула для набора
энергии электрона типа (5.116), даже с учетом отрицательного члена
потерь энергии, не в состоянии описать сложный процесс и приходится
рассматривать кинетическое уравнение для функции распределения
электронов по энергии. Это было сделано в работе авторов [62], где при
некоторых допущениях вычислялись пороговые для пробоя поля и было
получено удовлетворительное согласие с результатами опытов [65] с арго­
ном и гелием. Вопросам пробоя газа в фокусе лазерного луча посвящены
также теоретические работы [73—76] и обзор [86].
§ 23. Поглощение лазерного луча и нагревание газа после
первичного пробоя
Если поток лучистой энергии в фокусе заметно превышает пороговую
для пробоя величину, газ ионизуется очень сильно и образующаяся
плазма практически полностью поглощает луч, теперь уже за счет сво­
бодно-свободных переходов электронов в поле ионов; при этом газ нагре­
вается до высоких температур. Так, например, измерения интенсивности
рентгеновского излучения из обла­
сти фокуса, проделанные в опытах
ц -—•—"*"~"
[71], показали, что яркостная и
i
\
G
цветовая температуры излучения,
I°
»
которые характеризуют темпераО
*
туру электронов, составляют при—
мерно 600 000°. В этих опытах
' "
изучался пробой в атмосферном Рис. 5.35. Схема светового канала в облавоздухе при энергии импульса руФ° Уса.
бинового лазера 2,5 дж, длитель­
ности 4-Ю" сек и радиусе кружка фокусировки 7- = 10" см (порогупро­
боя при тех же длительности и радиусе соответствует энергия около 1 дж).
Рассмотрим, как протекает процесс поглощения луча, и оценим
температуру, до которой нагревается газ (это было сделано в работе
одного из авторов [77]). Предположим, что в фокусе, в самом узком месте
светового канала (рис. 5.35), где поток лучистой энергии максимален,
произошел пробой и уже достигнуты высокие степень ионизации и темпе­
ратура. Свет поглощается в слое порядка длины пробега квантов / и на­
гревает газ. Длину поглощения квантов можно оценить с помощью форму­
лы (5.21), предварительно умножив коэффициент x на величину
1 — -hv/kT ~ ji jkT (hv = 1,8 эв < кТ), учитывающую вынужденное
испускание. В воздухе нормальной плотности при температурах 10 -т- 10*°
длины пробега оказываются равными (2 -=- 7)-10~ см (степень ионизации
или заряд ионов Z = 2,7 ч- 6,6).
Одна из наиболее примечательных особенностей процесса, довольно
очевидная физический обнаруженная экспериментально [69, 71], состоит
в перемещении зоны поглощения луча навстречу световому потоку.
Измеренные в этих опытах скорости были равны примерно
100 км/сек *). Легко понять причину перемещения зоны поглощения.
—
г
х
с т и
к
8
2
0
v
v
e
V
6
3
*) Скорость измерялась при помощи фоторазвертки процесса, а также по доплеровскому смещению спектральных линий.
294
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Световые кванты сильно поглощаются в высокоионизованной среде.
Как только степень ионизации перед поглощающим в данный момент
слоем газа по той или иной причине достигает достаточно большой вели­
чины, новый слой становится непрозрачным и начинает интенсивно погло­
щать луч. Таким образом, по световому каналу навстречу лучу распро­
страняется «волна поглощения и нагревания». Этот эффект препятствует
выделению всей энергии импульса в очень малом объеме фокуса, где
раньше всего происходит пробой, и ограничивает нагревание газа.
Можно указать три различных и независимых механизма, которые
приводят к возникновению волны поглощения.
1) Если поток лучистой энергии в фокусе заметно превышает порог
для пробоя, то он является надпороговым и на некотором протяжении
расширяющегося по направлению к линзе светового канала. Пробой
происходит и в этих частях канала, но с запаздыванием по отношению
к самому узкому месту, тем большим, чем больше сечение канала, т. е. мень­
ше поток. Таким образом, навстречу лучу движется «волна пробоя».
2) Нагретый газ в поглощающем слое расширяется и посылает во всех
направлениях ударную волну, в том числе и вдоль светового канала
навстречу лучу. В ударной волне газ нагревается и ионизуется, так что
зона поглощения света и энерговыделения в газе перемещается вслед
за фронтом ударной волны. Этот гидродинамический механизм во многом
сходен с детонацией взрывчатых веществ.
Детонационный механизм был отмечен в статье Ремсдена и Савича
[78], однако в этой работе содержатся в корне неверные суждения о
температуре нагревания. Критику этой работы см. в [77].
3) Газ перед поглощающим слоем ионизуется и приобретает способ­
ность поглощать свет за счет поглощения теплового излучения, выходя­
щего из высоконагретой области газа (из-за фронта волны поглощения).
Этот механизм назовем «радиационным».
Эффективность каждого из этих механизмов характеризуется той ско­
ростью перемещения волны поглощения, которую он дает, причем реаль­
ная волна движется с самой большей из возможных скоростей *).
Волну поглощения в некотором смысле можно рассматривать как
гидродинамический разрыв (см. гл. I). В системе координат, связанной
с волной, процесс является квазистационарным. Действительно, за вре­
мя At, в течение которого волна проходит расстояние порядка своей шири­
ны Ах, поток света и скорость волны D = Ах /At не успевают сильно
измениться. (Да; « I С Ю~ см; D я* 100 км/сек; At ^ 10~ сек.)
Составим баланс энергии, отвлекаясь пока от того обстоятельства,
что при нагревании газ приходит в движение. На 1 см поверхность волны
за время dt падает энергия G dt, где G — поток лучистой энергии. Она
расходуется на нагревание массы QQD dt, которая захватывается волной
за это время (Q — начальная плотность газа). Следовательно, удельная
внутренняя энергия е (Т), которую приобретает газ после полного погло­
щения светового потока определяется уравнением
2
9
v
2
0
Q DS(T)=:G.
0
(5.117)
Это соотношение выражает просто закон сохранения энергии и не зависит
от конкретного механизма распространения волны.
*) Оценки показывают, что нагрев и ионизация перед поглощающим слоем,
связанные с электронной теплопроводностью и диффузией электронов, играют
малую роль.
5 23]
ПОГЛОЩЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ЛУЧА И НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ ПРОБОЯ
295
При более детальном рассмотрении следует исходить из общих зако­
нов сохранения массы, импульса и энергии]при переходе газа через волну,
точно так же, как это делается при выводе соотношений на фронте ударной
волны (см. гл. I). В результате получается уравнение «ударной адиабаты»
волны поглощения, которая связывает давление и плотность газа за
фронтом волны с начальной плотностью и падающим на волну потоком
энергии G *). Ударная адиабата
волны поглощения схематически
изображена на рис. 5.36.
Уравнение баланса энергии
типа (5.117) при учете работы
сжатия и изменения кинетиче­
ской энергии газа изменяется не­
много. Изменение сводится к то­
му, что в уравнении вместо G
появляется несколько отличная
величина Gp\ причем значения ко­
эффициента р заключены в весьма
узком интервале 1 < $ <
—j^-r,
где у — показатель адиабаты газа.
LJS»
Д л я воздуха при температурах
Ю - 1 0 ° у « 1,33и 1 < р < 1,14,
т. е. элементарное уравнение
энергии (5.117) оказывается всег­ Рис. 5.36. Ударная адиабата волны погло­
щения.
да справедливым с достаточной
точностью. Это уравнение связы­
вает скорость волны поглощения и температуру нагревания и позволяет
по измеренной на опыте скорости оценить температуру, даже если не
известен механизм распространения волны поглощения.
Как и для ударной волны, скорость волны D определяется наклоном
прямой, проведенной на диаграмме р, V ( V=— J рис. 5.36 из точки
6
6
начального состояния О в точку конечного состояния газа за волной.
И з рис. 5.36 видно, что при данном потоке лучистой энергии G существует
минимально возможная скорость распространения волны, соответствую­
щая точке конечного состояния Ж. Это — так называемая точка Жуге,
в которой скорость волны относительно нагретого вещества за нею в точ­
ности совпадает с местной скоростью звука. Физический смысл точки
Жуге и причины, по которым соответствующий режим осуществляется при
детонации взрывчатого вещества, были разъяснены одним из авторов [81],
а также независимо фон Нейманом и Дерингом. С вопросами теории дето­
нации подробно можно ознакомиться в книге [82].
При меньшей эффективности других механизмов ионизации (поджи­
гания) по сравнению с ионизацией ударной волной осуществляется именно
этот гидродинамический (детонационный) режим. Газ при этом сжимается
и нагревается ударной волной до состояния А, а затем, получая допол­
нительно энергию за счет поглощения света, расширяется вдоль пря­
мой АЖ, достигая точки Жуге к моменту окончания энерговыделения.
*) Несмотря на общие черты, оно отличается от ударной адиабаты взрывчатого
вещества, в котором также происходит энерговыделение, так как в ВВ энерговыделение
на грамм есть величина постоянная, а при поглощении света энерговыделение на грамм
G/QQD зависит от скорости волны.
296
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Минимальная скорость волны поглощения равна
Z)=[2(
2
Y
-1)-|-]
1 / 3
.
(5.118)
Энергия нагревания при этом режиме имеет максимально возможную
величину, равную
е = (Y -D(Y + 1)
2
{
"
'
Если какой-нибудь из механизмов ионизации, например механизм
пробоя при данном потоке G, дает скорость распространения волны,
которая превышает скорость «нормальной детонации» (5.118), то ударная
волна в световом канале не образуется. Газ, поглощая световой поток,
переходит из начального состояния О в конечное С путем непрерывного
нагревания и сжатия вдоль прямой ОС, причем повышение давления
и плотности в данном случае являются не причинами, а следствиями воз­
никновения волны. Волна при этом распространяется по остающемуся
за ней газу со сверхзвуковой скоростью *). Приведем численный пример.
При значениях G — 2-10 эрг/см -сек, Q = 1,310~ г/см , у — 1,33,
соответствующих опыту [71], по формулам (5.118) и (5.119) получается
D = 133 км/сек, е = 1,35-10 эрг/г, чему в равновесии соответствует
температура Т = 910 000° К (опытные значения D = 110 км/сек, Т =
= 600 000° К). Если учесть потери энергии на боковое расширение
газа, вследствие которых «действующий» поток G уменьшается примерно
вдвое, то получаются значения D = 105 км/сек, е = 8,5-10 эрг/г, Т =
= 720 000° К, которые совсем близки к опытным.
Как показано в [77], скорость волны «пробоя» можно оценить по
формуле
1
~( *-1) /.
Y
18
( Y +
IAQ<J
2
3
3
0
14
13
D=
го
t tg a '
h
где 7- — минимальный радиус светового канала в фокусе, а — угол
раствора светового канала (см. рис. 5.35), a t^ — момент первичного
пробоя в фокусе, отсчитываемый от некоторого эффективного начала
лазерного импульса. Например, для опытов [77] г — 10" см, tg a = 0,1,
t «* 10" сек, скорость волны «пробоя» D ж 100 км/сек близка к скорости
детонации.
В опытах [69] использовалась короткофокусная линза, которая
давала г = 4-10" см, tg а = 1; f было равно 7 - Ю сек, при этом ско­
рость пробоя составляла 6 км/сек, тогда как скорость детонации более
100 км/сек, т. е. в этих опытах механизм пробоя заведомо не играл роли.
Механизм пробоя является ведущим и определяет движение волны погло­
щения при очень мощных, коротких лазерных импульсах и длинно­
фокусных линзах (малых углах а). Этот механизм играл главную роль
в опытах [72].
Значительные трудности представляет сколько-нибудь точное рас­
смотрение радиационного режима. Приближенное вычисление скорости
этого режима [77] приводит к довольно громоздким формулам, которые
мы здесь не будем выписывать. Укажем лишь, что скорость радиационного*
0
2
0
8
h
3
0
-9
ft
*) Гидродинамические режимы с ионизацией ударной волной, но скоростью,,
превышающей детонационную (О -^-А' —*• Б), не осуществляются. Движение за вол­
ной при этом было бы дозвуковым, и расширение нагретого газа за волной тотчас осла­
било бы волну, переведя ее в режим «нормальной детонации».
§ 23] ПОГЛОЩЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ЛУЧА И НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ ПРОБОЯ
297
режима оказывается весьма близкой к скорости детонации, причем обе
скорости примерно одинаково зависят от мощности лазера, так что в рам­
ках точности теории не представляется возможным отдать предпочтение
одному из этих двух механизмов. Практически это означает, что в тех
случаях, когда эффективность механизма пробоя мала, реальная волна
движется со скоростью, примерно совпадающей со скоростями, соответ­
ствующими остальным двум режимам.
После окончания лазерного импульса в газе остается высоко нагретый
канал (при скорости волны 100 км/сек и длительности импульса 3-Ю" сек
длина его составляет 3 мм). Газ расширяется, и последующий процесс
подобен процессу сильного взрыва.
Отметим работы Н. Г. Басова и О. Н. Крохина [79], а также [80],
в которых даны предварительные оценки мощностей лазеров, необходи­
мых для нагревания водорода до термоядерных температур.
Более подробно вопросы пробоя и нагревания газов под действием
лазерного луча рассмотрены в обзорной статье одного из авторов [86];.
там же приводится полный список литературы.
8
ГЛАВА
VI
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
1. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ГАЗЫ
§ 1. Установление термодинамического равновесия
Состояние газа зависит от концентраций различных компонент:
атомов, молекул, ионов, электронов и распределения внутренней энергии
по степеням свободы. В общем случае внутренняя энергия газа склады­
вается из энергии поступательного движения частиц, вращательной
и колебательной энергии молекул, химической энергии, энергии иониза­
ции и электронного возбуждения атомов, молекул, ионов. В условиях
полного термодинамического равновесия состояние полностью опреде­
ляется элементным составом газовой смеси и значениями двух какихнибудь макроскопических параметров, например, плотности и удельной
внутренней энергии.
Возбуждение каждой из степеней свободы *) и установление термоди­
намического равновесия требуют некоторого времени, масштабом кото­
рого служит так называемое время релаксации. Времена релаксации для
возбуждения различных степеней свободы часто очень сильно различают­
ся, поэтому возможны такие условия, когда термодинамическое равно­
весие устанавливается не во всех, а только в части степеней свободы.
Скорее всего равновесие устанавливается в поступательных степенях сво­
боды частиц. Если в начальный момент существовало какое-то произ­
вольное распределение атомов или молекул по скоростям, то уже после
немногих упругих соударений частиц с близкими массами распределение
по скоростям в этих частицах становится максвелловским. Установление
максвелловского распределения происходит в результате обмена импуль­
сом и кинетической энергией частиц, причем при столкновениях частиц
с не сильно различающимися массами они обмениваются импульсом
и энергией, которые в среднем такого же порядка, что и сами импульсы
и энергии соударяющихся частиц. Поэтому время релаксации для уста­
новления максвелловского распределения в частицах данного сорта или
в частицах разных сортов, но с близкими массами, имеет порядок среднего
времени между газокинетическими столкновениями:
ч
/
Т'ПОСТ '" - ^СТ
=
~
—
v
=
-
»
(U.1)
nv<J
CT
где / — средняя газокинетическая длина пробега, v — средняя скорость
частиц, п — число частиц в 1 см , а а — газокинетическое эффективное
*) Для краткости мы будем говорить о диссоциации, химических превращениях,
ионизации как о «степенях свободы».
3
ст
BOOKS.PROEKTANT.ORG
БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ
КОПИЙ КНИГ
для проектировщиков
и технических специалистов
$ i]
УСТАНОВЛЕНИЕ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО
РАВНОВЕСИЯ
299
-6
•сечение. Например, в воздухе при нормальных условиях I « 6 - Ю см,
т^пост ~ Ю сек.
Обычно газокинетические времена очень малы по сравнению с вре­
менами, в течение которых заметным образом меняются макроскопические
параметры газа, скажем, плотность и энергия. Поэтому, как правило,
можно в каждый момент приписывать газу «поступательную» температу­
ру — величину, характеризующую среднюю кинетическую энергию
поступательного движения частиц *). В состоянии неполного термодинами­
ческого равновесия, когда говорят о термодинамически равновесных сте­
пенях свободы, имеют в виду, что распределение энергии (и концентраций
соответствующих компонент газовой смеси) в этих степенях свободы нахо­
дится в равновесии с «поступательной» температурой газа.
Величины же, соответствующие неравновесным степеням свободы,
могут быть произвольными; они зависят от многих факторов, в том числе
и от предыдущей «истории» процесса, в котором участвует газ.
Такие условия встречаются в быстропротекающих газодинамических
процессах или в областях резкого изменения макроскопических парамет­
ров, например, в ультразвуковой волне или во фронте ударной волны,
когда временнйе масштабы явления **) оказываются сравнимыми или
даже гораздо меньшими соответствующих времен релаксации. В этом
случае распределения энергии и концентраций соответствующих частиц
определяются не просто температурой, плотностью и элементным соста­
вом газа, как при термодинамическом равновесии, но еще и кинетикой
физико-химических процессов, приводящих к установлению равновесия
в данных степенях свободы.
В некоторых случаях времена релаксации для установления термо­
динамического равновесия в определенной степени свободы бывают
настолько большими, что неравновесное состояние системы оказывается
весьма устойчивым, стационарным. Обычно такое положение возникает
в смеси газов, способной к химическому превращению, которое фактически
не происходит из-за большой энергии активации, необходимой для про­
текания реакции. Типичным примером может служить гремучая смесь
2Н + 0 , которая в состоянии строгого термодинамического равновесия
при низких температурах должна была полностью превратиться в воду.
О таких случаях говорят как о «ложных» равновесиях.
Как уже было отмечено выше, времена релаксации для установления
равновесия в различных степенях свободы часто очень сильно разли­
чаются. Если при данных температуре и плотности переходить от быстрых
к более медленным релаксационным процессам, то обычно можно уста­
новить такую последовательность: поступательные степени свободы, вра­
щения молекул, колебания молекул, диссоциация и химические реакции,
ионизация и электронное возбуждение.
Благодаря весьма резкому различию во временах релаксации каждый
из релаксационных процессов можно изучать в отдельности, выделяя его
из остальных и предполагая, что в легко возбуждаемых степенях свободы
равновесие существует в каждый момент, а более медленные релаксацион­
ные процессы вообще не идут на протяжении рассматриваемых времен.
-10
2
2
*) Следует отметить, что при изотропном распределении частиц по направле­
ниям скоростей поступательного движения давление газа определяется энергией
поступательного движения частиц, находящихся в 1 см : р = 2Е /3,
совершенно
независимо от того, каково распределение частиц по абсолютным значениям скоростей,
т. е. существуют ли максвелловское распределение и «температура» или нет.
**) В ударной волне это — время резкого сжатия газа.
3
КИН
300
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
Все релаксационные процессы обладают некоторыми общими чертами,
независимо от их природы. А именно, приближение к состоянию термо­
динамического равновесия в данной степени свободы происходит асимпто­
тически, по экспоненциальному закону. Если характеризовать «состоя­
ние» данной степени свободы каким-либо параметром, скажем, числом
частиц N (например, числом молекул, колебания которых возбуждены,
или числом молекул данного сорта в случае химических превращений),
то при данных температуре и плотности (и элементном составе) газа можнозаписать
»
-
^
.
,6.2>
где iV — равновесное число частиц, а х — некоторая величина размер­
ности времени, которая характеризует скорость приближения к равно­
весию. Из решения уравнения (6.2)
_L
—L
N=N e
t
_
г)
.3)
видно, что х является временем релаксации для данного процесса. Вообщеговоря, кинетика физико-химических процессов далеко не всегда описы­
вается линейным уравнением типа (6.2). Однако в стадии приближения
к равновесию, когда |7V — iV| < 7V , уравнение (6.2) справедливо как
первое приближение, если в общем уравнении кинетики типа
p
Ha4
+
P
i
V
p
(
1
e
(6
P
— = t(N, T,Q, . . . )
(6.4)-
представить функцию в правой части в виде разложения по малому откло­
нению от равновесия (iV — N)/N .
Надо сказать, что время т, определенное уравнением (6.2), как пра­
вило, характеризует масштаб времени установления равновесия и в слу­
чае общего уравнения кинетики (6.4) (в этом мы убедимся на ряде кон­
кретных примеров в последующих параграфах).
Рассмотрение кинетики физико-химических релаксационных процес­
сов имеет два аспекта. Это, во-первых, вопрос о скоростях элементарных
процессов, приводящих к возбуждению той или иной степени свободы,
т. е. вопрос об эффективных сечениях соответствующих неупругих соуда­
рений частиц, в результате которых происходит процесс возбуждения..
Обычно этими сечениями определяется и характерное время релаксации т.
Во-вторых, это — вопрос о самой кинетике релаксационного процесса
в данных конкретных условиях с учетом меняющихся во времени макро­
скопических параметров системы и обратного влияния процесса на изме­
нение макроскопических параметров. В этой главе мы остановимся только
на первом из указанных аспектов. (Второй будет рассмотрен в гл. VII,
VIII.) При этом будем всегда предполагать, что в газе поддерживаются
постоянные температура, плотность и концентрации тех частиц, которые
не имеют отношения к рассматриваемому процессу.
p
v
§ 2. Возбуждение вращений молекул
Энергии вращательных квантов молекул обычно очень малы. Будучи
разделенными на постоянную Больцмана, они имеют порядок нескольких
градусов, например, у кислорода 2,1° К, у азота — 2,9° К. Поэтому даже
при комнатной температуре Т та 300° К, а тем более при высоких темпе-
301
ВОЗБУЖДЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ МОЛЕКУЛ
$ 2]
ратурах, квантовые эффекты вращений молекул не проявляются. Некото­
рое исключение составляют лишь молекулы водорода и дейтерия, обла­
дающие очень маленькими моментами инерции и сравнительно большими
вращательными квантами,— 85,4 и 43° К.
Вследствие «классичности» вращений молекулы при столкновениях
весьма интенсивно обмениваются поступательной и вращательной энер­
гиями. В самом деле, время соударения, т. е. время, в течение которого
взаимодействуют сталкивающиеся молекулы, порядка alv, где а — размер
молекулы, a v — средняя тепловая скорость. Если энергия вращений
порядка кТ, то время соударения сравнимо с периодом вращательного
движения *). Следовательно, столкновение молекул можно представить
как столкновение двух медленно поворачивающихся «гантелей» и доста­
точно небольшой асимметрии при сближении частиц, чтобы они получили
заметный вращательный момент.
Экспериментальные данные подтверждают тот факт, что вращения
возбуждаются легко. За исключением Н и D , вращательная энергия
молекул достигает своего равновесного классического значения кТ
(у двухатомных молекул) после десятка газокинетических соударений.
Времена вращательной релаксации на опыте измерялись главным образом
путем изучения дисперсии и поглощения ультразвука (об этом методе
см. § 3, 4 гл. VIII). Они находятся в качественном согласии с измерениями
Хорнига и Грина [1—3] толщины фронта слабых ударных волн по отраже­
нию света (об этом методе см. § 5 гл. IV). Некоторые данные о временах
вращательной релаксации и числе столкновений, необходимых для уста­
новления термодинамического равновесия во вращательных степенях
свободы молекул, приведены в табл. 6.1. Более подробные данные с много­
численными ссылками на оригинальные работы можно найти в обзорах
2
2
Таблица
6.1
Вращательная релаксация молекул
Молекула
Температура,
°К
н
н
300
300
288
300
300
314
300
293
305
2
D
N
2
2
2
N
Оо
2
о
NH
3
со
2
2
Время релак­
сации при
атмосферном
давлении,
сек
Число
столкнове­
ний
2,1-10-8
2,1-10-8
1,5-101,2-10-9
300
300
160
9
20
12
20
10
16
8
2,2-10-9
8,1-10-ю
2,3-10-9
2
2
*) Энергия вращений кТ ~ Мы а ,
•масса молекулы. Период вращений
Метод
Ультразвук
У д а р н а я волна
Ультразвук
»
У д а р н а я волна
Ультразвук
У д а р н а я волна
Ультразвук
»
Литература
[6]
[1]
[7]
[8]
[2, 3]
m
[3]
[10]
[И]
где со — круговая частота вращений, М —
302
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. "VI
Л. В. Лескова и Ф. А. Савина [4], С. А. Лосева и А. И. Осипова [5}
и в книге Е. В. Ступоченко, С. А. Лосева и А. И. Осипова [77].
За исключением водорода при не слишком высоких температурах,
практически всегда можно считать, что равновесие во вращательных сте­
пенях свободы устанавливается столь же быстро, как и в поступательных
т. е. что вращения всегда имеют «поступательную» температуру.
>
§ 3. Уравнение кинетики для релаксации колебательной
энергии молекул
Энергии колебательных квантов важнейших двухатомных молекул,
деленные на постоянную Больцмана, имеют порядок тысячи или
нескольких тысяч градусов, например, у кислорода hvlk = 2230° К
у азота — 3340° К. По формуле (3.19) для колебательной энергии газа
колебательные степени свободы дают заметный вклад в теплоемкость
газа, начиная с температур, при которых кТ в несколько раз меньше hv.
Так, при hv/kT = 4 энергия на одно колебание составляет 7,25% от
своего классического значения кТ, при hv/kT = 3 — 1 5 % ; для воздуха
это температуры около 1000° К. Таким образом, в отличие от враще­
ний молекул вопрос о колебательной релаксации практически возникает
тогда, когда колебания имеют существенно квантовый характер. Наобо­
рот, в «далекой» классической области кТ > hv, скажем, при темпера­
турах порядка 10 000—20 000° К, вопрос в значительной степени теряет
свою актуальность, так как при этом молекулы в основном диссоцииро­
ваны на атомы. В «далекой» классической области при кТ > hv для
возбуждения колебаний, как и вращений молекул, не требуется многостолкновений. Однако при тех температурах порядка тысячи или несколь­
ких тысяч градусов, когда вопрос о колебательной релаксации представ­
ляет практический интерес, времена релаксации весьма велики: для воз­
буждения колебаний, как показывают теория и опыт, нужны тысячи
и сотни тысяч столкновений.
Сформулируем уравнение кинетики для возбуждения колебаний.
Рассмотрим для простоты газ из двухатомных молекул одного сорта.
Пусть Т <С hvlk, так что существенно возбуждение только первого коле­
бательного уровня молекул *) (для воздуха — это температуры 1000—
2000° К ) . Если п , щ, п = щ -\- щ — числа невозбужденных, возбужден­
ных и всех молекул в 1 см , т — среднее время между газокинетически­
ми столкновениями, определенное формулой (6.1), a p и p — вероятно­
сти возбуждения колебаний и дезактивации возбужденной молекулы при.
столкновении, то уравнение кинетики можно записать в виде
г
0
3
с т
0i
=
-JT =^
n
n
(P°i o — Pio d-
i0
6
5
(«>
По принципу детального равновесия, в соответствии с законом
Больцмана,
hv
PiO
ге
0р
(индексом р всегда отмечаем равновесные значения).
*) Если молекулы многоатомные, то ограничиваемся случаем возбуждения
только самых низкочастотных колебаний.
§ 3]
УРАВНЕНИЕ РЕЛАКСАЦИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ МОЛЕКУЛ
Поскольку
при
кТ < hv
n
< n
iv
та п,
0v
dt ~
получим
305
приближенног
т
^•'''
где время релаксации
т = -^-
(6.8>
PiO
пропорционально числу столкновений, необходимых для дезактивации
молекулы 1/рю- Умножая уравнение (6.7) на hv, получим уравнение
для релаксации колебательной энергии единицы объема Е = hvn (E (T) —
= Aviiip (T)):
i
p
Как видим, для процесса возбуждения колебаний уравнения кинетики
(6.7), (6.9) имеют форму (6.2) при любых отклонениях от равновесия.
Рассмотрим теперь не малые температуры кТ > hv, когда в газе при­
сутствуют молекулы, находящиеся в' самых различных колебательных
состояниях. В этом общем случае следует писать систему уравнений кине­
тики для чисел молекул ni, обладающих I колебательными квантами
(Z = 0, 1, 2 . . .). Однако уравнение типа (6.9) для релаксации полной
колебательной энергии все равно остается в силе, причем время релакса­
ции определяется формулой, лишь несколько видоизмененной по срав­
нению с (6.8).
Из квантовой механики известно*), что если колебания гармонические,
то осциллятор может менять свою энергию только на величину одного
колебательного кванта, причем вероятности перехода из состояния
с / — 1 квантами в состояние с I квантами Рг-1,г и перехода с /-уровня
на(/ —1)-й уровень/? i,i~i пропорциональны /. Таким образом, если рассмат­
ривать молекулу как гармонический осциллятор, что справедливо для
не слишком высоких колебательных состояний, т. е. при температурах,,
не слишком больших по сравнению с hv/k, то можно записать
Pi-i,i = lpoi\ Pi,i-i = lPio\
1 = 1, 2, 3, . . .
(6.10>
Уравнение кинетики для числа молекул, обладающих I квантами
с учетом переходов в 1-е состояние как из (/ — 1)-го, так и из (I + 1)-го,
имеет вид
-^7~ = —
(Pi-i,im-i
+ Pi+i, ini
— pi,i-ini
+i
— pi, i+iTii).
(6.11)
По принципу детального равновесия, аналогично (6.6),
£b!Li
=
_^iI_
=
e
-Mi.
(
6.12>
Умножим уравнение (6.11) на hvl. Подставляя (6.10) в (6.11), сумми­
руя по / и замечая, что Е = Zhvlrii — полная энергия колебаний в 1 см ,
получим
dE
1
-jf = -^lPoihvn — (p — p )E],
(6.13)
где п = 2 и — полное число молекул в 1 см . Имея в виду (6.6) и то,
что величина E = hvn (e l
— I ) " представляет собой энергию колеба3
i0
0i
3
г
hv hT
1
v
*) См., например, книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [12].
304
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
3
ний в 1 см в условиях термодинамического равновесия (см. формулу (3.19)),
придем к уравнению кинетики (6.9) со временем релаксации
(6.14)
ftv
Г
fto(l—«~ * )
Среднее число столкновений, необходимых для установления равно­
весия в колебательных степенях свободы, равно
1
=
Zi
hy
ЬТ
PlO ( 1 - е
ftv
l - e ~
)
(6.15)
W
где Z = 1/рю — число столкновений, необходимых для дезактивации
молекулы, обладающей одним колебательным квантом. При hv > kT
Z = Z и формула (6.14) превращается в (6.8). При высоких температу­
рах, когда среднее число колебательных квантов в молекулах велико,
t
t
1 = kTlhv > 1,
т I
т 7
2
4
'
Рю "" Р ,7-1 *
В кинетическом уравнении (6.11) для изменения числа молекул
в /-м квантовом состоянии приняты во внимание только переходы, сопро­
вождающиеся обменом энергией между поступательными и колебательны­
ми степенями свободы молекул. На самом деле при столкновениях моле­
кул может происходить и обмен колебательными квантами, причем оказы­
вается, что вероятность такого обмена гораздо больше, чем вероятность
обмена между поступательной и колебательной энергиями [13]. Поэтому
больцмановское распределение молекул по колебательным уровням в соот­
ветствии с общим запасом колебательной энергии газа устанавливается
быстро. Можно сказать, что в неравновесной системе сначала устанавли­
вается «колебательная» температура, а затем уже происходит выравни­
вание «колебательной» и «поступательной» температур [14].
7
§ 4. Вероятность возбуждения колебаний и время релаксации
Рассмотрим простейший случай, когда на двухатомную молекулу ВС
налетает атом А вдоль направления оси молекулы, как показано на
рис. 6.1. Если между сталкивающимися частицами А и ВС нет химического
сродства, то при сближении между ними
В С
А
возникают силы отталкивания, сначала
(^
£»)
&\
тормозящие атом А, а затем отталкивающие
его от молекулы ВС.
Рис. 6.1. К вопросу о возбуждеНа атом С действует вынуждающая
нии колебаний в молекуле при сила, которая сначала стремится вывести
ударе атома.
положения равновесия и сместить
в сторону атома В. Если сближение про­
исходит очень медленно, атом С медленно сдвинется с места и затем,
когда атом А и молекула ВС оттолкнутся и начнут удаляться друг
от друга, также медленно вернется в исходное положение: удар, как
говорят, будет «адиабатическим», и колебание не возникнет. Условие
адиабатичности состоит, очевидно, в том, чтобы время взаимодействия
атома с молекулой, которое имеет порядок afv, где а — радиус действия
сил, & v — относительная скорость частиц при бесконечном удалении,
е г 0
и з
§ 4]
ВЕРОЯТНОСТЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
305
было велико по сравнению с периодом колебаний: av I v У 1. Иначе это
условие можно себе представить так: для интенсивной «раскачки» моле­
кулы необходимо, чтобы при разложении вынуждающей силы в интеграл
Фурье были велики резонансные компоненты с частотами, близкими
к собственной частоте v, но для этого нужно, чтобы время соударения
alv было порядка 1/v, вернее, чтобы выполнялось условие а с о / г ; ~ 1 ,
где со = 2nv.
Л. Д. Ландау и Е. Теллер [15] оценили зависимость вероятности
возбуждения колебаний от скорости столкновения и, в конечном счете,
от температуры, воспользовавшись принципом соответствия. Для спра­
ведливости квазиклассического приближения необходимо, чтобы длина
волны частиц была мала по сравнению с масштабом поля: aMvlh > 1,
где М — приведенная масса сталкивающихся частиц. Легко проверить,
что это условие заведомо выполняется, если, наряду с условием адиабатичности avlv > 1, кинетическая энергия относительного движения
гораздо больше энергии кванта Mv > hv. Таким образом, квазикласси­
ческий случай соответствует адиабатическим столкновениям, т. е. очень
малым вероятностям возбуждения колебаний.
Вероятность возбуждения колебания при столкновении пропорцио­
нальна квадрату матричного элемента энергии взаимодействия частиц А
и ВС как функции расстояния между ними U (х). В квазиклассическом
приближении матричный элемент превращается в Фурье-компоненту
энергии взаимодействия:
2
со
iat
\ U[x(t)]e dt.
(С.16)
— со
x a
Примем закон отталкивания в виде U = const e~ l и доложим для
простоты, что const == % == Mv /2, т. е. что атом может «вплотную» при­
близиться к мблекуле. Интегрируя уравнение движения
2
~dt
/A _
( g
Z 7 )
, , J
=
найдем функции t (х), x (t) и отсюда зависимость U (t):
%
tf(*)=4gа
С П
(е +1)2
2а
(t = 0 соответствует моменту наибольшего сближения частиц, х = 0).
Интеграл (6.16) можно вычислить, если перейти к интегрированию
в комплексной плоскости t по замкнутому контуру. Контур включает
действительную ось и прямую Im t = 2яа/и, отстоящую от нее на удвоен­
ном расстоянии ближайшего к действительной оси полюса функции
U (t): t — inalv. По теореме вычетов интеграл оказывается равным
x
2
Ve^dt=,
a v
.4in" ' fMay
, .
sh ( 2 я av/v)
2
о •>! л- •>
~ 8я
Мa v exp V(f
2
2
z
2n ay
r
причем экспоненциальный закон справедлив при выполнении условия адиабатичности. Физический смысл вывода Ландау и Теллера становится особен­
но наглядным, если решить задачу о возбуждении осциллятора ударом
20
Я. Б. ЗСЛЬДОРИЧ, Ю. П. Райзер
306
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
частицы на основе классической механики. Такой вывод проделан в книге
Е. В. Ступоченко, С. А. Лосева и А. И. Осипова [77]. Мы здесь рассмотрим
один частный случай, который оказывается особенно простым. Предполо­
жим, что атом В гораздо тяжелее атома С (тв > т ) и что налетающий
атом А взаимодействует только с атомом С, так что в системе центра масс
частиц ВС и А раскачивается только легкий атом С.
Обозначим через у смещение атома С около положения равновесия
(вдоль линии столкновения х) и запишем уравнение движения осцил­
лятора
с
2
m (y + a y) = F(t),
co = 2nv.
c
Сила в данном случае равна просто F = — dU/дх, т. е. при U =
= Ще- ' F = U 1а.
Вычислим энергию осциллятора е (t) = —~- (у + co t/ ). Для этого
умножим уравнение движения на е и проинтегрируем по t от — оо
до t. Производя в левой части интегрирование по частям и принимая во
внимание начальное условие у (— оо) = 0, у (— оо) = 0, получим
Х а
2
2
2
ш
ш
т (у — шу)е =
iat
[
с
F(t)e dt.
Квадрат модуля этой величины, деленный на 2та, и дает энергию е (t).
Имея в виду, что F =* U 1а, найдем энергию, которую осциллятор при­
обретает в результате удара:
е
е
= (°°)=ет| \
U[x(t)]e^dt\
Если теперь перейти к квантовым представлениям, то следует положить
е = Avp ,! (v), где p i — вероятность возбуждения осциллятора при
столкновении. Подставляя указанное выше значение интеграла, получим
вероятность
0
0
fr'frH
mh
в
V
•
c
Она экспоненциально убывает при увеличении фактора адиабатичности av/v.
При произвольном отношении масс атомов в молекуле задача несколь­
ко усложняется, однако в результате всех вычислений в формуле для
Poi (v) появляется только множитель т / ( и г + тс) (см. [77]).
Вероятность, как функцию относительной скорости частиц v, следует
усреднить с помощью максвелловского распределения по относительным
скоростям, т. е. с помощью функции, пропорциональной ехр(— Mv /2kT).
При этом возникает интеграл по скоростям, содержащий в подынтеграль­
ной функции экспоненциальный множитель ехр (— in avfv •— Mv*l2kT).
Основную роль в интеграле играют скорости v* = (An avkT/M) ^,
при
которых показатель экспоненты имеет наименьшую абсолютную величину.
Столкновения с такими скоростями главным образом и вызывают возбуж­
дение и дезактивацию колебаний. Интеграл и вероятности переходов p
в
в
2
2
2
1
oi
§ 4]
ВЕРОЯТНОСТЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
и p
пропорциональны максимальному
множителя *):
i0
Рхо ~ Poi ~ ехр (^
~
к
w
значению
307
экспоненциального
r
i
(6.17)
Подстановка численных значений констант в показатель экспоненты
(6.17) и опыт показывают, что при не слишком высоких температурах
показатель гораздо больше единицы **). Это означает, что для столкнове­
ний, вносящих основной вклад в возбуждение и дезактивацию колебаний,
выполняется условие адиабатичности и кинетическая энергия сталки­
вающихся частиц гораздо больше кТ.
Последовательные квантовомеханические расчеты вероятности дезак­
тивации р , определяющей время релаксации (Ценер [17], Шварц и Герцфельд [18]), также приводят в адиабатическом пределе к формуле, содержа­
щей экспоненциальный фактор (6.17). В работе [18] рассмотрен весьма
общий случай столкновений и для числа столкновений перед дезактива­
цией получена формула:
1 0
* - £ - * ^(£К-£)*'"*".*«'
4
2
(Й)№
8
-
<«>
2
где е = i6n a v M.
Последний экспоненциальный множитель в точ­
ности соответствует экспоненте в (6.17) и при не слишком высоких темпе­
ратурах благодаря большой величине показателя описывает основную
температурную зависимость числа столкновений. Множитель ехр (— E lkT)
учитывает некоторое облегчение переходов из-за ускорения частиц при
их сближении за счет дальнодействующих сил притяжения, которые опи­
сываются «потенциальной ямой» с энергией е ; e обычно порядка несколь­
ких десятых долей электрон-вольта. Формула (6.18) несколько уточнена
в более поздней работе Герцфельда [18а].
Как следует из изложенной выше теории, время колебательной
релаксации зависит от температуры по закону
0
t
4
t
_i
х = Z T = т А ехр (ЬТ
CT
ст
3
),
(6.19)
где Ъ = const, a A —- медленно меняющаяся функция температуры.
Таким образом, график In т в зависимости от Т' ^ должен давать почти
прямую линию.
На опыте времена колебательной релаксации измеряются при ком­
натной температуре и небольших нагреваниях методом поглощения и дис­
персии ультразвука, а в широком диапазоне температур с помощью удар­
ных труб, путем исследования установления равновесия во фронте удар­
ной волны. Тщательное исследование релаксации в кислороде и азоте
1
1/з
*) Любопытно отметить, что аналогичным образом, по закону ехр (— const
T~ ),
зависит от температуры скорость термоядерных реакций. Это происходит по той при­
чине, что вероятность сближения ядер, отталкивающихся кулоновскими силами, тоже
зависит от относительной скорости сближения по закону ехр (— const- V ), который
затем усредняется с помощью максвелловского распределения по скоростям ядер.
**) Например, в кислороде при Т = 1000° К показатель равен примерно 10
{по данным [16]; см. ниже).
1
20*
308
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
с помощью ударной трубы было проведено Блэкманом [16]. Его резуль­
таты представлены в табл. 6.2. Там же приведены теоретические значения
для кислорода, вычисленные в работе Шварца и Герцфельда [18]. Как
видно, согласие между теорией и экспериментом неплохое.
Т а б л и ц а 6.2
Колебательная релаксация в кислороде и азоте по измерениям Блэкмана [16].
Теоретические значения Шварца и Герцфельда [18]
Рю (экспери­
мент) *)
т, °к
т в сек приведено
к плотности
п= 2,67- 101» J—
Число .столкнове­
ний Z (экспери­
мент)
РЮ (теория)
К и ел о р од
288
900
1200
1800
2400
3000
МО"»
з-ю-6
-8
4 - Ю **)
1,1-10-6
2,4-109,8-10-5
' 3,7-10-*
1,2-Ю5
2,5-10'
1-Ю
5-10*
1,4-10*
4,5-103
1,6-103
5
1,3-10-5
8,6-10-5
5,5-10-4
1,5-10-з
3
96-Ю-'
41-10-'
9,5-10-'
2,7-10-'
0,83-10-'
Азот
3-10-8 ,
3,1-10-5
9,7-10-5
2,5-10-
600
3000
4000
5000
3,3-10'***)
4,6-10*
1,8-КН
0,8-10*
4
2,1-10-6
0,67-10-6
0,27-10-6
*) При вычислении р из экспериментальных времен т использованы газо­
кинетические сечения а о = 3 , 6 - 1 0 - см?, <JN = 4 , 1 - - 1 0 M.
**) Эта точка получена ультразвуковым методом [19].
***) Эта точка получена Кантровицем [20] путем исследования истечения из
сопла.
1 0
1 5
16
2
C
2
2
Экспериментальные значения, измеренные для самых различных
газов, более или менее удовлетворительно ложатся на теоретические
прямые In т или In Z от T~ *. Это видно из рис. 6.2, заимствованного
из работы [5]. Отклонения от прямых частично объясняются темпера­
турной зависимостью предэкспоненциального множителя А в фор­
муле (6.19).
Время колебательной релаксации в кислороде при той же темпера­
туре меньше, чем в азоте, так как собственная частота в азоте в полтора
раза больше, чем в кислороде, что затрудняет возбуждение колебаний
в азоте. Поэтому колебательная релаксация в воздухе имеет два периода:
сначала приходит в равновесие кислород, а затем азот. Следует отметить,
что столкновения молекул N с 0 в 2,5 раза менее эффективны в отноше­
нии возбуждения колебаний в 0 , чем столкновения 0 — 0 . Вообще,
некоторые молекулы очень активно возбуждают колебания; например,
молекулы Н 0 в 50—100 раз быстрее возбуждают колебания в 0 , чем
сами молекулы 0 . Поэтому при измерениях колебательной релаксации
существенна высокая степень очистки газа от примесей.
; Подробные сводки литературных данных по временам колебательной
релаксации в различных газах, так же как и ссылки на многочисленные
экспериментальные и теоретические работы, можно найти в обзорах [4, 5].
lf
2
2
2
2
2
2
2
2
§ 5]
ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
309
Укажем несколько работ по изучению возбуждения колебаний в 0 [58,
59], N0 [60], СО [61], СОа [62, 63]. Отметим также обзор [64] и рабо­
ты [65, 66] по колебательной релаксации в смесях.
2
to-'x
Ptfi
г
ю~
о-0
к
• -н
2
о
х -СО
А - N0
3
10~
г
•
о
4
/О'
о
0
.
s
10~
•
6
ю~
•
•
о
о
•
7
10~
8
10~
п
0,06
0,08
0,10
ty*
0,12
а/6
-г'*
Рис. 6.2. Экспериментальные данные по вероятностям
дезактивации молекул, в которых возбуждены колебания.
Теория колебательной релаксации детально изложена в книге [77];
там же имеется подробнейшая библиография, включая ссылки на теорети­
ческие и экспериментальные работы последних лет.
§ 5. Уравнение кинетики диссоциации двухатомных молекул
и время релаксации
Диссоциация двухатомных молекул происходит обычно при соуда­
рениях достаточно энергичных частиц по схеме:
А + М=^А + А + М,
(6.20)
2
где М — какая-либо частица *). В однородном двухатомном газе части­
цей М могут служить либо молекула А , либо атом А. Обратный процесс
ведет к рекомбинации атомов в тройных соударениях, причем третья
частица М берет на себя часть выделяющейся при этом энергии связи.
Уравнение кинетики для процесса (6.20) с учетом того, что частицей
М может быть как молекула, так и атом, имеет вид
2
?£=
-~^-=
-k Al
d
+ k A* .A -k' A -A+
r
2
d
2
3
KA .
(6.21)
*) Непосредственный распад достаточно сильно возбужденной молекулы на
атомы А 5 ^ А + А имеет чрезвычайно малую вероятность, так же как и обратный
процесс объединения атомов в молекулу без участия третьей частицы, которой могла
бы быть передана часть выделяющейся при объединении энергии. Также малы вероят­
ности фотодиссоциации и рекомбинации с испусканием светового кванта.
2
310
;
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. Л 1
3
Здесь для краткости числа частиц в 1 см обозначены их символами.
Константы скоростей реакций зависят только от температуры и связаны
между собой принципом детального равновесия:
г
6 22
£-тЬ-Шг*< >'
<- >
где в скобки заключены равновесные при данных температуре и плотности
газа значения чисел частиц; К (Т) — константа равновесия, отличающая­
ся от константы равновесия для давлений К (Т) множителем (кТ)' :
К (Т) = К (Т)1кТ. Константа равновесия определяет равновесную при
данных температуре и плотности степень диссоциации а. По формуле (3.26)
1
р
р
аз _К(Т)
1_ —
Ш
а
_ 1 M v
~AN 4 /
A
A 2
- . / M l 8% -•—
V пкГ g
'
fi
Ai
V
„„.
>
3
где N — число исходных молекул в 1 см , М& — масса атома (остальные
обозначения см. в § 3 гл. III).
В отличие от колебательной релаксации, уравнение кинетики для
диссоциации молекул в общем случае нелинейно. Однако при небольшом
отклонении от равновесия его можно в соответствии с общим указанием
в § 1 привести к линеаризованной форме (6.2) для чисел частиц А или А ,
причем время релаксации т определяется выражением
2
2
i = 4a(2-a)iV (/
r
C r
+ / ; -^).
C
i
(6.24)
Как показывают расчеты, временем т характеризуется не только
конечная стадия асимптотического приближения к равновесию, но и вооб­
ще вся кинетика диссоциации, даже в той стадии, когда она описывается
нелинейным уравнением (6.21), так что т по порядку величины равно вре­
мени установления равновесной диссоциации и в общем случае произ­
вольных начальных условий. В предельных случаях малой и сильной
равновесной диссоциации формула (6.24) упрощается. При a < 1 атомов
мало, основную роль играет диссоциация молекул ударами молекул
и с учетом (6.22), (6.23)
i- = 8aN'k = ^Nk .
T
(6.25)
d
" При 1 — а < 1, если даже в начальный момент атомов нет, основ­
ное время занимает поздняя стадия, когда молекул мало и оставшиеся
молекулы разбиваются ударами атомов. В этом случае
\ = ~N4'
r
= 2Nk- .
d
(6.26)
Таким образом, вопрос о времени установления равновесия сводится
к вопросу о скоростях реакций диссоциации или рекомбинации. Посколь­
ку обе скорости связаны между собой принципом детального равнове­
сия (6.22), достаточно знать из теории или эксперимента одну из них.
§ 6. Скорости рекомбинации атомов и диссоциации
двухатомных молекул
Грубую оценку скорости рекомбинации атомов в двухатомную моле­
кулу можно получить из самых элементарных соображений, полагая, что
каждое газокинетическое столкновение атомов в присутствии третьей
частицы ведет к рекомбинации. Число столкновений атомов А друг с дру-
§ 6] РЕКОМБИНАЦИЯ АТОМОВ И ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
S
311
г
гом в 1 CM в 1 сек равно A-v-a-A,
где v — (8kT /М п) ^—
средняя
тепловая скорость, а а — газокинетическое сечение. Вероятность того,
что в момент столкновения «по соседству», т. е. на расстоянии порядка
молекулярных размеров г, окажется третья частица, приближенно равна
среднему числу частиц в объеме, равном объему одной молекулы: (4яг /3)Л ,
где N — число частиц в 1 см . Таким образом, число тройных столкнове­
ний в 1 см в 1 сек равно А- г;-о-А (4ят- /3) N. Вводя для общности еще
численный коэффициент р, равный вероятности рекомбинации при условии,
что произошло тройное столкновение, получим для константы скорости
рекомбинации выражение:
А
3
г
3
3
3
k =
fta~.
r
г
(6.27)
- 1 5
2
Д л я атомов азота v = 3,9 А0Р\ Т°
см/сек, а « Ю
см . Полагая
г = 3 , 4 - 1 0 - с ж и р = 1, получим k = 2 , 2 - Ю ] / ! ^ см* I моль* • сек
(в одном моле содержится 6 - Ю
атомов). При Т = 300° К к =
= 3,8-10
см*/моль -сек.
Рекомбинацию атомов азота на опыте обычно изучают, измеряя изме­
нение во времени числа молекул азота по послесвечению *). Таким образом
была найдена константа скорости рекомбинации с молекулами азота
в качестве третьей частицы. В интервале температур от 297 до 442° К
она оказалась почти не зависящей от температуры и равной k = 5,8 X
X 1 0 см 1моль • сек [21], в хорошем согласии с приведенной оценкой.
Близкие результаты получали и другие авторы [22, 23].
В работе [70] путем измерения неравновесного излучения изучалась
диссоциация и рекомбинация азота в ударной трубе. Было найдено, что
при Т = 6400° К константа скорости рекомбинации равна А ц- = 6,5 X
X 1 0 см 1моль -сек, если третьей частицей служит атом азота, и в 13 раз
меньше, если роль третьей частицы играет молекула азота.
Вообще при не слишком высоких температурах (Т ~ 300—1000° К)
константы скорости рекомбинации обычно имеют порядок 1 0 — 1 0
см /моль -сек,
что свидетельствует о довольно больших вероятно­
стях рекомбинации р при тройном соударении. Скорость рекомбинации
сравнительно слабо зависит от температуры, обычно проявляя некоторую
тенденцию к уменьшению с возрастанием температуры. Это можно понять,
если учесть, что вероятность рекомбинации при тройном столкновении
тем больше, чем больше время взаимодействия сталкивающихся частиц,
т. е. чем меньше их скорости или чем меньше температура, так что вероят­
ность р обратным образом зависит от температуры. Например, если
Р ~ 1/Г, то k ~ v§ ~ l/Т ^ в соответствии с теоретическими расчетами
Вигнера [24].
Скорость рекомбинации атомов зависит от сорта третьей частицы;
например, при рекомбинации атомов азота атомы азота в качестве треть­
их частиц в 13 раз эффективнее, чем молекулы (при Т = 6400° К ) .
В работе [25] изучение кинетики диссоциации йода в ударной трубе
8
1 4
r
23
г
15
2
r
13
6
2
г
15
6
2
14
6
16
2
1
r
*) Явление послесвечения азота состоит в следующем. При рекомбинации атомов
азота молекулы N оказываются в возбужденном состоянии 2 g . Последующие
столкновения с другими молекулами или атомами частично дезактивируют
молекулы так, что они переходят в более низкое состояние B TJg, после чего испуска­
ются кванты первой положительной системы N (B Tl —>- A Su),
которые и реги­
стрируются на опыте. По изменению интенсивности свечения судят о кинетике реком­
бинации.
5
2
3
3
2
3
g
312
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
(концентрацию молекул J измеряли по поглощению света) показало,
что при Т = 1300° К молекулы йода в 35 раз эффективнее в качестве
третьих частиц при рекомбинации атомов йода, чем атомы аргона.
Скорость рекомбинации йода в тройных соударениях с аргоном при
Т = 1300° К
/с, = 4,5-10
см /молъ*-сек [25]; при Т = 298° К
k = 2,9-10 см /моль • сек [26].
Диссоциация молекулы при столкновении с другой частицей может
произойти только в том случае, если энергия сталкивающихся частиц
превышает энергию диссоциации. Полное число столкновений в 1 сек
данной молекулы с другими частицами, число которых в 1 см равно N,
есть v = Nv'a, где v = (вйГ/яи.) ^ — средняя скорость относительного
движения частиц; ц — приведенная масса *). При максвелловском рас­
пределении по скоростям число столкновений молекул с кинетической
энергией относительного движения, превышающей энергию диссоциации U,
составляет долю (j-=-\-l \e- l
от полного числа соударений (обыч­
но UlkT > 1, так что (UlkT) + 1 « UlkT). Полагают, что в отношении
диссоциации эффективна только та составляющая кинетической энергии
частиц, которая соответствует компоненте относительной скорости, направ­
ленной вдоль линии центров сталкивающихся частиц (если последние
рассматривать как твердые шарики). В этом предположении доля «доста­
точно энергичных» столкновений вместо (UlkT) ехр (— U/kT) равна
просто ехр (— UIkT).
Естественно думать, что на разрыв связи в молекуле может затрачи­
ваться не только кинетическая энергия поступательного движения стал­
кивающихся частиц, но и энергия их внутренних степеней свободы: коле­
бательная, вращательная. Можно показать (см. [27]), что доля столкно­
вений, в которых суммарная энергия сталкивающихся частиц с учетом
энергии внутренних степеней свободы превышает энергию диссоциации,,
равна **)
2
14
15
в
в
2
r
3
1
v hT
где каждая колебательная степень свободы вносит единицу в показатель s
а каждая вращательная степень свободы вносит 1/2 (в случае полуцелого s
факториал s! заменяется на гамма-функцию: Г (s + 1)).
В настоящее время теория диссоциации молекул ударами частиц
весьма далека от своего завершения, поэтому при сравнении с экспери­
ментом для константы скорости диссоциации часто пользуются формулой
указанного типа:
f
k = Pv'e±(^y -^.
d
e
(6.28)
Число s, характеризующее степень участия в диссоциации внутрен­
них степеней свободы, и фактор Р, который представляет собой вероят­
ность того, что при столкновении частиц с достаточным для диссоциации
запасом энергии действительно произойдет диссоциация, рассматривают
как параметры, которые следует определять из опыта.
*) При оценке скорости рекомбинации для простоты г/ заменялось v, т. е..
р,—массой атома М .
**) При выводе этой формулы считается, что распределение молекул по энергети­
ческим состояниям во всех внутренних степенях свободы — больцмановское, соответ­
ствующее поступательной температуре Т.
А
§ 6]
РЕКОМБИНАЦИЯ АТОМОВ И ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
313
Согласно современным представлениям основную роль в процессе
диссоциации играет колебательная энергия молекулы. Е. В. Ступоченко
и А. И. Осипов [28] показали, что вероятность диссоциации невозбужден­
ной молекулы чрезвычайно мала, даже если поступательная энергия
соударяющихся частиц превышает энергию связи U. Диссоциируют
главным образом молекулы, находящиеся на очень высоких колебательных
уровнях, энергия которых близка к энергии диссоциации. При этом
энергия поступательного движения частиц может и не сильно отличаться
от средней тепловой энергии.
Если предполагать, что распределение молекул по колебательным
состояниям больцмановское, то для скорости диссоциации остается в силе
формула типа (6.28) с соответствующим значением показателя s.
Е. В. Ступоченко и А. И. Осипов [29] показали, что это предположе­
ние не всегда оправдывается. «Отвод» молекул с высших колебательных
уровней вследствие диссоциации может иногда сильно нарушать больцма­
новское распределение молекул по высшим колебательным состояниям.
В этом случае кинетика диссоциации должна рассматриваться совместно
с кинетикой возбуждения высших колебательных уровней. Процесс идет
таким образом, что благодаря столкновениям молекулы «подаются»
на верхние уровни, откуда переходят в диссоциированное состояние. При
рекомбинации атомов в присутствии третьей частицы энергия диссоциа­
ции превращается главным образом в колебательную энергию обра­
зующейся молекулы. Теория этих процессов изложена в обзоре [76]
и книге [77].
На опыте изучалась в основном диссоциация кислорода за фронтом
ударной волны в ударной трубе (работы Мэттьюза [30], Байрона [31],
Н. А. Генералова и С. А. Лосева [32], Камака [67], Ринка и др. [68];
обзор литературных данных и ссылки на другие работы см. в [4, 5, 77]).
Тщательное исследование было проведено Мэттьюзом. Интерферометрическим методом определялся ход плотности в неравновесной зоне
за скачком уплотнения, который сопоставлялся с теоретическими рас­
четами, выполненными на основе формулы для скорости диссоциации
типа (6.28) (см. гл. IV, VII). Равновесие в колебательных степенях сво­
боды устанавливается по крайней мере на порядок скорее, чем проис­
ходит диссоциация *), так что эффект релаксации колебаний не мешал
изучению скорости диссоциации. Изучалась область температур 2000—
4000° К. Степень диссоциации в опытах Мэттьюза была невелика, а ~
~ 0,05—0,1, так что основную роль в диссоциации играли столкнове­
ния 0 — 0 **). В расчетах принималось s = 3, при этом эффективность
столкновений оказалась равной PO„-Q — 0,073, а константа скорости
диссоциации:
2
2
2
1
59 380
1
3
ftdо,-о, = 5 , 4 - K W ( ^ ^ ~ У ''е~~^~~ см /молъ-сек.
(6.29)
*) Имеются в виду не слишком высокие колебательные состояния, в которых
находится подавляющее большинство молекул.
**) С реакцией 0 + 0 = 2 0 + 0 конкурирует двухступенчатая реакция
диссоциации 0 с промежуточным образованием озона 0 + 0 = О + 0 ; 0 + М =
= О + 0 + М (соответственно может идти и обратный процесс рекомбинации).
При высоких температурах этот процесс играет небольшую роль (в частности, в опытах
Мэттьюза). Однако рекомбинация кислорода при низких температурах и малой степени
диссоциации идет главным образом через образование озона, так как столкновения
О + О + М происходят гораздо реже, чем столкновения 0 + 0 + М — > - 0 + М.
Константы скоростей реакций с участием озона см. в [33].
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
314
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
Расчеты, проведенные с s = О, дали неправдоподобно большое зна­
чение Р (большее единицы). Это свидетельствует о том, что в диссоциа­
ции существенную роль играет энергия внутренних степеней свободы
молекул. Зная константу равновесия для диссоциации 0 :
2
1
Г
59 380
г
3
К{Т) = 1,85-1(РГ *е~~т ~
моль/см ,
можно найти скорость рекомбинации с молекулами 0
частиц:
21
/с = 6 , 1 . 1 0 Г ^
г
2
2
см*/молъ
2
(6.30)
в качестве третьих
сек*).
(6.31)
Время релаксации при Т = 3500° К и нормальной плотности т =
= 0,95-Ю сек (а = 0,084). Этот результат весьма близок к данным
Глика и Варстера [34], измерявшим время релаксации для диссоциации
кислорода в ударной трубе. Их времена, приведенные к нормальной
плотности, равны
-6
Т, °К
т-10» сек
3100 3300 3400 3850
2
0,8 0,5
0,06
В работах [35, 36, 25] изучалась скорость диссоциации брома и йода
(также в ударной трубе; концентрация молекул Вг , J измерялась по
поглощению света от постороннего источника). В работе [35] в интервале
температур до 2000° К получено для скорости диссоциации молекул
брома ударами атомов аргона: s = 2, Р ВГ -АГ = 0,12. Удовлетвори­
тельное согласие с этим результатом получено в теоретической работе
Е. Е. Никитина [37]. Обзор работ по диссоциации молекул см. в [5].
Отметим работу [69], в которой изучалась диссоциация водорода в удар­
ной трубе. О скоростях диссоциации 0 и N и других релаксационных
процессов в воздухе см. также [53]. Более подробно теория диссоциации
молекул и вопросы кинетики этого процесса изложены в неоднократно
цитированной выше книге [77]. Там же приводятся экспериментальные
данные и ссылки на новейшие работы.
2
2
2
2
2
§ 7. Химические реакции и метод активированного комплекса
С точки зрения энергетического эффекта химические превращения
подразделяются на два типа: эндотермические, требующие определенного
количества энергии, и экзотермические, сопровождающиеся выделением
тепла. Примерами реакций обоих типов являются диссоциация молекул
и рекомбинация атомов в молекулу, рассмотренные выше. Ясно, что для
протекания эндотермической реакции необходимо, чтобы сталкивающиеся
молекулы обладали некоторым минимальным запасом энергии, так назы­
ваемой энергией активации Е, поэтому скорость такой реакции пропор­
циональна больцмановскому фактору e~
и быстро возрастает с повы­
шением температуры. В процессе диссоциации энергией активации служит
энергия связи молекулы U. Опыт, однако, показывает, что и для боль­
шинства экзотермических превращений также требуется энергия акти­
вации и скорости соответствующих реакций возрастают с температурой
E/kT
*) Эта формула справедлива только в исследованном интервале температур
Т яъ 2000—4000° К. Экстраполяция ее к комнатным температурам дает завышенное
значение скорости рекомбинации.
§ 7]
ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ И МЕТОД АКТИВИРОВАННОГО КОМПЛЕКСА
315
E hT
ло экспоненциальному закону e- / ,
называемому законом Аррениуса.
Рекомбинация атомов в молекулу является в этом отношении нетипичной,
так как она происходит без активации и потому с легкостью протекает
при низких температурах, как и многие другие реакции с участием сво­
бодных атомов.
Для того чтобы произошел элементарный акт химического превра­
щения, скажем, обмен атомами при столкновении молекулы XY с моле­
кулой WZ:
XY + W Z - » X W + YZ,
(6.32)
необходимо, чтобы произошло тесное сближение молекул реагентов. Неза­
висимо от того, является ли этот процесс энергетически выгодным или
нет, т. е. выделяется или поглощается
XYW2
энергия в результате обмена, при тесном
сближении частиц между ними, как пра­
'
вило, возникают силы отталкивания, для К
/
\
'
преодоления которых требуется определен­
ная энергия. Можно сказать, что для пре­ IF XY+WZ _
вращения должен быть преодолен потен­ 3
циальный барьер. Это положение поясняет­
ся схематическим рис. 6.3, на котором
1
V \т
отложена потенциальная энергия системы •S
четырех атомов XYWZ в зависимости от
Координата разложения
«координаты разложения», характеризую­
щей взаимную пространственную кон­ Рис. 6.3. К вопросу о потенциаль­
фигурацию атомов. Для определенности ном барьере при химических
реакциях.
предполагается, что прямой процесс (6.32)
экзотермичен. Разность энергий между
начальным и конечным состояниями системы равна энергетическому
выходу реакции Q. Из рис. 6.3 видно, что энергия активации обрат­
ного процесса Е превышает энергию активации прямого процесса E
на величину энергии реакции Q. Соответственно скорость обратной, эндо­
термической, реакции гораздо резче зависит от температуры, чем ско­
рость прямой, экзотермической реакции.
Уравнение кинетики для процесса (6.32) с учетом как прямой, так
и обратной реакций может быть записано в виде
щальн
1
2
ATI
J\AJ;
£
t
dXY
= ft XY.WZ —A XW-YZ*).
(6.33)
dt
Константы скоростей реакций, зависящие только от температуры,
связаны, как обычно, принципом детального равновесия:
к
(XY) (WZ)
(6.34)
.К(Т).
&! (XW) (YZ)
Пользуясь представлениями теории столкновений, для констант
скорости реакций можно написать выражения, сходные с выражением
для скорости диссоциации. Так, если считать для простоты, что при
преодолении потенциального барьера Е эффективна только составляющая
поступательной энергии сталкивающихся частиц вдоль линии их центров,
t
2
г
*) Реакции, в элементарном акте которых участвуют две молекулы (атома),
называются бимолекулярными, в отличие от мономолекулярных реакций, в которых
происходит разложение одной сложной молекулы на более простые или на атомы,
например, XY —>• X + Y.
316
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
а другие составляющие, так же как и внутренние степени свободы моле­
кул, в этом отношении неэффективны, получим
£_
k^Pav'e
к Т
,
(6.35).
где Р, как и раньше, вероятность того, что в результате достаточно энер­
гичного соударения действительно произойдет химическое превращение
(Р иногда называют стерическим фактором).
Опыт показывает, что многие реакции, особенно те, в которых участ­
вуют сложные молекулы, протекают гораздо медленнее, чем этого можнобыло бы ожидать, исходя из числа достаточно энергичных столкновений:
вероятность Р часто оказывается очень малой, даже порядка Ю .
Более определенную оценку скорости реакции в ряде случаев удается
получить с помощью так называемого метода активированного или пере­
ходного комплекса *), который состоит в следующем. Потенциальная энер­
гия системы атомов, участвующих в элементарном акте реакции, зависит
от их взаимной конфигурации. Если изменение координат атомов проис­
ходит достаточно медленно (а это практически всегда так), электронноесостояние системы меняется непрерывным образом, и потенциальная
энергия зависит только от ядерных координат (это соответствует адиаба­
тическому приближению в теории молекул). Потенциальная энергия
представляет собой непрерывную поверхность в конфигурационном про­
странстве ядерных координат. При начальной и конечной конфигура­
циях атомов потенциальная энергия минимальна. Например, для реакции
(6.32) энергия минимальна, когда атомы объединены в молекулы XY +
+ WZ и XW + YZ, причем молекулы разведены на большие расстояния
друг от друга.
Для того чтобы произошла реакция, точка, описывающая движение
системы в конфигурационном пространстве, должна пройти через макси­
мум, разделяющий минимумы на поверхности, преодолеть потенциальный
барьер. Существуют, вообще говоря, различные пути из начального состоя­
ния в конечное. Фактически осуществляется наиболее выгодный путь
реакции, соответствующий наименьшему значению максимума энергии;
поверхность энергии около этого пути имеет характер «ложбины». Рис. 6.3
схематически изображает сечение поверхности энергии вдоль «дна ложби­
ны», причем путь реакции и соответствует координате разложения.
Вершина потенциального барьера отвечает весьма тесному сближе­
нию реагирующих частиц. В окрестности ее, в области с линейными разме­
рами б порядка молекулярных, атомы образуют нечто вроде молекулы.
Такое состояние называется активированным комплексом. Однако принци­
пиальное отличие активированного комплекса от молекулы состоит в том
что молекула находится в устойчивом состоянии с минимумом потенциаль­
ной энергии; комплекс же находится в состоянии неустойчивого равно­
весия с максимумом потенциальной энергии как функции координаты раз­
ложения. Точка, описывающая состояние системы, движется вдоль пути
реакции со скоростью порядка скоростей относительного движения ато­
мов, т. е. со средней скоростью v порядка тепловой. Время пребывания ее
в окрестности вершины, т. е. время жизни активированного комплекса
порядка т = b/v. При б « 10" см и v « 10 см/сек х да 1СГ сек. Время
жизни комплекса очень мало по сравнению с характерным временем реак-8
т
8
4
12
*) Подробное изложение этого метода и его применений к вычислению скоростей
ряда реакций можно найти в книге [38]; см. также [27].
S 7]
ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ И МЕТОД АКТИВИРОВАННОГО КОМПЛЕКСА
317
ции (временем достижения химического равновесия в смеси газов). Это
служит основанием для основного допущения теории, которая предпола­
гает, что комплексы, рассматриваемые как некие молекулы, которые обла­
дают в основном обычными термодинамическими свойствами, находятся
в химическом равновесии с реагентами, и концентрация комплексов
ч<следит» за изменением концентраций реагентов *).
Если считать, что каждый образующийся комплекс распадается
в сторону продуктов реакции, то число актов реакции в 1 см в 1 сек
равно числу распадов комплексов, т. е. числу комплексов в 1 см , поде­
ленному на время их жизни. Обозначая химическими символами А, В, М
числа реагентов А и В и комплексов М в 1 см (например, для реакции
(6.32) А и В есть XY и WZ, а М = XYWZ), получим, что число актов
прямой реакции в 1 см в 1 сек равно ki-A-B = М/т, откуда константа
скорости прямой реакции есть к± = (М/АВ) (1/т).
По закону действующих масс (см. § 3 гл. III) отношение чисел час­
тиц, участвующих в реакции А + В ->- М, в состоянии равновесия равно
отношению статистических сумм частиц. (Поскольку под А, В, М подра­
зумеваются числа частиц в 1 см , объемы V, входящие в поступательные
суммы, следует положить равными 1 см ). Выделяя из статистических
сумм множители типа ехр (—г/кТ), соответствующие нулевой энергии
частиц, и замечая, что 8м — (е + в) = Е равно энергии активации,
получим
3
3
3
3
3
3
Е
А
Статистические суммы Z&, Z рассчитываются обычными методами,
что же касается статистической суммы комплекса, то здесь необходимо
отметить следующее. Комплекс устойчив, как и обычная молекула, по
отношению ко всем изменениям конфигурации атомов, за исключением
направления вдоль пути реакции. Поэтому если рассматривать нормаль­
ные колебания комплекса, частота нормального колебания, соответствую­
щая координате разложения, имеет мнимое значение. Если предполагать,
что вершина потенциального барьера достаточно плоская, то движение
вдоль координаты разложения можно рассматривать как поступательное
со средней скоростью v = (кТ/2ппг*у/*, где га* — эффективная масса
комплекса. Статистическая сумма одномерного поступательного движе­
ния частицы с массой гп* на отрезке б, эквивалентном «объему», занимае­
мому комплексами вдоль координаты разложения, равна Z . . =
= (2лт*кТ/к У^8. (Ср. с формулой (3.12).) При вычислении статистиче­
ской суммы комплекса Z следует заменить статистическую сумму одного
из нормальных колебаний этой поступательной суммой. Таким образом,
константа скорости реакции равна
B
x
noCT
о д н
2
M
М
1
2 м
Е р
•
1
Е
1
к =
/.~ьт «- ^
-ктГ2пт*кТ\2
. / кТ у 1
"' ABx~Z Zs
6 ~ ZAZB
V. ft
J
y'2nm*J 6 '
где через Zti обозначена статистическая сумма комплекса, из которой
исключен множитель, соответствующий одному нормальному колеба­
нию**). Из этой формулы видно, что неопределенные величины б и т *
г
I
2
A
*) В самом деле, время релаксации для установления подобного равновесия —
порядка времени жизни комплексов, т. е. очень мало.
**) Ее можно рассчитывать обычными методами, если задаться «молекулярными»
константами комплекса.
318
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
сокращаются. Вводя еще так называемый трансмиссионный коэффи­
циент к, характеризующий вероятность распада комплекса в сторону
продуктов реакции (а не в сторону исходных частиц; к обычно порядка
единицы), получим окончательно константу скорости реакции
Происхождение универсального для всех реакций множителя раз­
мерности частоты kT/h в (6.36) можно себе представить еще и так. Будем
рассматривать степень свободы комплекса вдоль пути реакции как нор­
мальное колебание с частотой v. Статистическая сумма для него равна
kT/hv (при hv <z kT), так что ZM = ZfakT/hv. Но каждое колебание фак­
тически ведет к распаду комплекса, так что время жизни т равно периоду
колебаний т = 1/v, откуда и получается (kT/hv) (1/т) = kT/h, т. е. фор­
мула (6.36).
Подставив в (6.36) конкретные выражения для статистических сумм
и сравнивая полученную формулу с формулой (6.35), можно получить
в явном виде значение стерического фактора Р.
Рассмотрим прежде всего чисто формально воображаемую реакцию
объединения двух атомов в молекулу без участия третьей частицы. Тогда
Z& и ZB — чисто поступательные суммы, a ZM состоит из поступательной
и вращательной (колебание двухатомного комплекса исключено). Под­
ставляя в (6.36) Z , B = (
^
) , Z = [2я (m + m ) JcT/h*]*/* X
2 n m
B k T
3/2
A
2
M
A
B
2
1г
т
в
X (8n IkT/h ), и замечая, что момент инерции комплекса / = "\
,
где d — средний диаметр атомов d — (d& + d^/2, получим в точ­
ности формулу (6.35) теории столкновений, если отождествить стерический
фактор Р с трансмиссионным коэффициентом У. (эффективное сечение
столкновений а = я ^ ) .
В общем случае для оценки удобно записать статистические суммы
реагентов и комплекса в виде произведений сумм, каждая из которых
соответствует одной степени свободы, и не различать суммы, относящиеся
к одинаковым степеням свободы, но разным частицам. Например, в случае,
если А и В — двухатомные молекулы, Z ~ ZB ~ Z cT Z ! Z .
Полагая, что комплекс нелинейный, запишем Z ~ Z^
Z|
Z^
(в комплексе 4 атома, 6 колебательных степеней свободы, причем одна
исключена). Таким образом, по порядку величины
12
l2
2
A
no
M
k — %кТ
i
0QT
pani
K(WI
p a i 4
0Jl
2пост 2вращ 2кол ~~ьт
е
^пост 2вращ 2кол
Аналогично реакции объединения двух атомов в молекулу, множитель
кТ Z пост 2вращ ^
~Г
"
=6
~
кТ 2вращ
^
„з
~
h
лпост
-р ~'
л о
12
-
v
^пост
дает примерно число столкновений, входящее в (6.35), так что стерический
фактор по порядку величины равен
2вращ
При комнатных температурах Z
имеет порядок единицы. Z pam
порядка 10—100, тем меньше, чем легче молекула. Отсюда видно, что
стерический фактор может быть очень малой величиной, "&-*—№-*.
Kon
B
319
РЕАКЦИЯ ОКИСЛЕНИЯ АЗОТА
§ 8]
В § 10 мы воспользуемся методом активированного комплекса для
оценки скорости образования двуокиси азота в нагретом воздухе, что
важно для выяснения некоторых оптических явлений, наблюдаемых при
сильном взрыве.
§ 8. Реакция окисления азота
При нагревании воздуха до температуры в несколько тысяч градусов
в нем протекает химическая реакция:
y N + - | - 0 + 21,4 ккал/моль = N 0 ,
2
(6.37)
2
в результате которой образуется довольно значительное количество окиси
азота N 0 . Равновесные концентрации окиси при температурах 3000—
10 000° К и плотностях воздуха порядка нормальной достигают несколь­
ких процентов (см. табл. 3.1 в гл. III). Некоторое количество окиси
окисляется до двуокиси N 0 , равновесные концентрации которой в ука­
занных условиях имеют порядок 10" = 10" %. Окислы азота играют
важную роль в излучении и поглощении света нагретым воздухом. Осо­
бенно велика в этом отношении роль двуокиси азота в области температур
порядка 2000—4000° К, когда оптические свойства воздуха в видимой
части спектра практически целиком определяются молекулами N 0 . При
нагревании воздуха в сильных ударных волнах, например при взрыве,
температура и плотность воздуха претерпевают очень быстрые изменения,
поэтому при оценке концентраций окислов азота существенное значение
приобретает вопрос о кинетике их образования и разложения.
Как будет показано в гл. V I I I , IX, особенностями кинетики опреде­
ляются некоторые характерные оптические эффекты, наблюдаемые при
сильном взрыве. В этом параграфе будет рассмотрена кинетика окисления
азота, а в следующем — кинетика окисления окиси до двуокиси.
Реакция окисления азота имеет большую энергию активации, поэтому
практически она протекает только при достаточно высоких температурах
порядка 2000° К и выше. Реакция была детально изучена как эксперимен­
тально, так и теоретически в работе Я . Б . Зельдовича, П. Я . Садовникова
и Д. А. Франк-Каменецкого [39].
На опыте реакции образования и разложения окиси азота изучались
с помощью взрывных бомб, в которых сжигалась смесь водорода и кисло­
рода. Таким путем получались высокие температуры порядка 2000° К.
К смеси Н и 0 добавлялись азот и в различных концентрациях окись
азота. При малых добавках окись образовывалась в результате соедине­
ния кислорода и азота, при больших добавках — первоначально введен­
ная окись разлагалась. После взрыва определялись остаточные количества
окиси и путем сопоставления теории с опытом находились скорости реак­
ций образования и разложения. Сам процесс соединения кислорода
с водородом почти не влиял на образование и распад окиси и служил
только средством получения высокой температуры.
Если предположить, что реакция протекает по бимолекулярному
механизму, т. е. при столкновении двух молекул N и 0 образуются две
молекулы NO, то для константы скорости реакции можно написать простое
выражение, следующее из теории столкновений (см. формулу (6.35)): к' =
= Pvae~~ / .
На опыте было найдено значение предэкспоненциального
фактора, равное 1,1 -lO'Of /», где через 0 обозначено число молекул
кислорода в 1 см . Если подставить, например, 0 == Ю молекула 1см ,
2
4
2
2
2
2
2
2
E hT
1
2
3
18
2
3
320
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
6
[ГЛ. VI
3
получим предэкспоненциальный фактор равным 1,1 -К)- см /сек. При
Т = 2500° К, v « 2-Ю см/сек, о « Ю- сж , для вероятности превра­
щения Р получается неправдоподобно большое значение Р « 5000.
Таким образом, предположение о бимолекулярном механизме реакции
приводит к физически бессмысленному результату; опыт показывает, что
на самом деле реакция протекает гораздо скорее. Н. Н. Семеновым было
высказано предположение о том, что реакция окисления азота идет по цеп­
ному механизму, в котором активную роль играют свободные атомы О и N:
5
15
а
hi
0 + N ^Г N O + N—75,5 ккал/молъ,
(6.38)
2
H
N + 0 ^± N0 + 0 + 32,5 ккал/молъ.
(6.39)
2
Теплоты реакций здесь соответствуют энергиям диссоциации молекул
N и NO, равным 9,74 эв = 225 ккал/молъ и 6,5 эв = 150 ккал/молъ *).
Скорость всего процесса в целом определяется первой, эндотерми­
ческой реакцией, требующей энергии активации не менее 75,5 ккал/молъ.
Как только в результате обмена О + N -»- NO + N освободится атом N,
он сразу же реагирует с кислородом 0 , восстанавливая исчезнувший
атом О. Поэтому концентрация атомов О в процессе реакции остается ста­
ционарной и соответствует равновесию с молекулами 0 , которое уста­
навливается быстрее, чем протекает реакция окисления азота **).
Обозначая константы скоростей так, как это сделано в формулах
(6.38), (6.39), запишем общие уравнения кинетики:
2
2
2
2
^
~=
C )
= A; .O.N + A; .N.0 —A -N-NO—
1
-ft
2
2
2
ft -0-NO,
3
(6.40)
t
= -ftfO-Na + ^-N-Oz + Ag-N-NO—/c -0-NO.
(6.41)
4
В силу стационарности концентрации О приравняем правую часть
(6.41) нулю, выразим концентрацию N через О и подставим найденное
выражение в (6.40). Получим
Произведем некоторые преобразования. Константы & и к опреде­
ляют скорости экзотермических реакций атома с молекулой и, вероятно,
одного порядка. Поскольку концентрация NO С 0 , членом /c -NO
в знаменателе (6.42) можно пренебречь. Концентрацию атомов О выра­
зим с помощью константы равновесия 0 ~£_ 20, которую обозначим С :
3
г
2
3
2
0
_ 6+000
12
О = С | / О = 6,6-Ю е
0
2
_
Т " ' У"0 .
(6.43)
2
Здесь, как и в дальнейшем, все численные значения констант равновесия
и констант скоростей реакций соответствуют измерению концентраций
в единицах молекула/см . Энергии выражены в кал/моль. Газовая постоян3
*) В работе [39] были приняты старые значения энергий диссоциации N и NO:
7,38 эв и 5,3 эв, однако, как показывают приводимые ниже расчеты (а также новейшие
опыты [40]), новые значения энергий диссоциации не противоречат предположению
о цепном механизме. Все численные значения констант в последующем изложении
соответствуют новым энергиям диссоциации.
**) Поскольку атомы кислорода находятся в равновесии с молекулами 0 , меха­
низм диссоциации 0 не влияет на ход реакции окисления азота.
2
2
2
§ 8]
321
РЕАКЦИЯ ОКИСЛЕНИЯ АЗОТА
ная R = 2 кал/моль-град. Константы скоростей связаны между собою
принципом детального равновесия, а именно *):
__ (NO) (N) _ fc _ 32 -Щ^ .
_(КОИО)_^_„
(Na)(0) fc ^ 9
'
^ (0 )(^-й -°"
Г
t
1
_
¥$±-
г
_
е
2 _
3
2
е
4
Отсюда следует тождество:
_ М _ (NO) _ _ 64 —д^.„ ...
- * Л - ( N O T ~ ~^~
•
Вынося из скобок (6.42) Л:А:4, и пользуясь (6.44), получим окончательно
уравнение кинетики окисления азота:
rfNO
•• &'-N -0 -&.N0 = k {(NO) -N0 },
(6.45)
dt
2
г
г
2
Г 2
6 1 6 2
C
(
4 4 )
3
2
2
2
2
2
где константы скоростей равны
к'=Щ<^,
к = %:=
2<7
°,*1 .
(6.46)
2
Vo
с* с / о
z
v
'
2
Здесь (N0) соответствует равновесию N0 с данными концентрациями N и 0 .
Уравнение (6.45) отличается от обычного уравнения бимолекулярной
реакции зависимостью констант скорости от концентрации одного из реа­
гентов — кислорода.
Физический смысл выражения для скорости образования окиси
/c'-N -0 = 2C ftiN -"J/ O очень простой: С У^О есть концентрация
атомного кислорода, /c C |/^O -N — скорость первой реакции цепи; но
в силу экзотермичности вторая реакция следует «мгновенно» за первой,
так что каждый акт первой реакции, которая «ведет» процесс, приводит
к образованию двух молекул N 0 .
Выделяя в константе скорости k множитель е ^/^ и замечая, что
согласно (6.43) С ~ е~бюоо/вт можно видеть, что энергия активации
для реакции образования окиси азота Е' (к' ~ e~ ' )
складывается
из энергии, необходимой на образование одного атома кислорода —
61 ккал/моль **), и энергии активации для реакции атома кислорода
с молекулой азота — Z? .
В опытах, описанных в работе [39], окись азота получалась в резуль­
тате взрывов горючей смеси, содержащей в своем составе кислород и азот.
Количество образующейся окиси измерялось после охлаждения продук­
тов взрыва. На основе теоретического рассмотрения кинетики реакции
в процессе охлаждения были выведены энергия активации образования
окиси Е' = 125 ± 10 ккал/молъ и абсолютное значение константы скоро­
сти в исследуемом интервале температур 2000—3000° К, причем отмечено,
что более вероятным является верхнее значение энергии активации
Е' = 125 + 10 = 135 ккал/молъ. Отсюда для энергии активации первой
реакции цепи О + N -*- NO + N получается значение Е = 135 — 61 =
= 74 ккал/молъ, совпадающее с теплотой эндотермической реакции. Это
2
2
r
2
2
0
2
2
1
0
0
2
2
2
К
т
t
0
)
E /RT
4
2
}
*) Предъэкспоненциальные множители в константах равновесия С , С , С
вычислены в приближении равенства масс N и О, моментов инерции и частот N , 0 ,
NO при учете различной симметрии и мультиплетности термов. Это приближение
достаточно точное.
**) Эта величина — эффективная для температур порядка 2000—5000°; она
несколько отличается от энергии образования при абсолютном нуле — 58,5 ккал/моль.
4
2
?
21 я . Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
2
322
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
означает, что обратная реакция N + N0 -*• О + N идет практически без
активации (или с очень малой энергией активации), что является типич­
ным для экзотермической реакции свободного атома с молекулой. Абсо­
лютные значения констант скорости, которые следуют из опытных дан­
ных, равны
.
з °
53
- ^ ^
к'= '*_
е
, &= - ^ = е
см /сек (0 в 1/см ). (6.47)
2
ш о о
И 0
1
R T
у о
в т
у о
2
3
3
2
2
1 1
- 7 4 0 0 0 / л т
Константа скорости для первой реакции цепи k = 8 , 3 - 1 0 - е
.
Сопоставление этой величины с формулой (6.35) теории столкновений дает
стерический фактор Р = 0,086 (если принять эффективный диаметр
d = 3,75-Ю- см равным диаметру молекулы N , определенному из дан­
ных по вязкости). Такое значение Р представляется вполне разумным.
Позднее исследование кинетики образования окиси азота было пред­
принято Гликом и др. [40] с помощью ударной трубы, в которой газовая
смесь, содержащая азот и кислород, нагревалась ударной волной до
температур 2000—3000° К. Эти авторы нашли энергию активации Е' =
= 135 ^ 5 ккал/молъ {Е^ = 74 ±- 5 ккал/моль), что хорошо согласуется
с данными работы [39] и подтверждает совпадение энергии активации
первой реакции цепи Е^ с теплотой реакции. Абсолютные значения кон­
станты скорости также оказались близкими к данным первой работы.
Из формулы (6.47) видно, что энергия активации для разложения
окиси азота также весьма велика, Е = Е' — 43 = 92 ккал/молъ, поэтому
при низких температурах окись разлагается очень медленно. Благодаря
этому при быстром охлаждении первоначально нагретого воздуха обра­
зовавшаяся в нем при высоких температурах окись азота сохраняется
после охлаждения в течение долгого времени, так что концентрация ее
значительно превышает равновесные значения, которые очень малы при
низких температурах (этот эффект носит название эффекта закалки; мы
еще вернемся к нему в § 5 гл. VIII). Как видно из уравнения кинетики
(6.45) и формул (6.44), (6.47), время релаксации для установления равно­
весной концентрации окиси равно *):
t
8
12
2
t
X
_
1
_ 0 , 9 5 . 1 0 - 2 ^ / ^ . . 2,06-Ю-з
~2X(NO)~
(NO)
— УЩ
i»™>
e
(
'
Оно быстро уменьшается с увеличением температуры. Приведем несколько
значений для воздуха нормальной плотности (N = 2,1 • 10 молекула /см ):
19
Т, °К
X, сек
1000
1700 2000
2300
2,2-1012 140
1 5,3- Ю "
3
2600
1,4-10"
3
3
3000
4000
7,8-10~ 7,2-Ю"»
5
§ 9. Скорость образования двуокиси азота при высоких
температурах
Реакция образования двуокиси азота из окиси
2NO-f-0 = 2N0 + 25,6 ккал/молъ
2
2
(6.49)
экзотермическая, поэтому чем ниже температура, тем более сдвинуто рав­
новесие в сторону окисления окиси. Реакция эта широко используется
*) Согласно определению времени релаксации (6.2), при небольшом отличии]]МО
от (NO), {(NO) — NO } я« 2(NO)-{(NO) — NO}, откуда и получается (6.48). Время|,т
характеризует не только приближение к равновесию, но и вообще процесс установле­
ния равновесия, даже если в начальный момент окиси не было.
2
2
323
СКОРОСТЬ ОБРАЗОВАНИЯ ДВУОКИСИ АЗОТА
§ 9]
в промышленности и хорошо изучена экспериментально при температурах
ниже 1000° К. Она имеет очень малую, практически незаметную, энергию
активации и поэтому легко протекает при обычных температурах. Урав­
нение кинетики реакции имеет вид
2
~
2
2
= 2 {ft;N0 • 0 - к' №1} = 2k' {(N0 ) - Щ } .
2
2
2
(6.50)
2
Константы скоростей реакций описывают число актов реакций; мно­
житель 2 учитывает тот факт, что в каждом акте образуются или исче­
зают две молекулы N 0 . Время релаксации для установления химического
равновесия двуокиси азота с окисью и кислородом равно
2
Т
2
2
=
'
Щ (N0 )
=
6
4A£ (N0 ) '
2
51
( - >
2
2
где С = ( N 0 ) / N 0 - 0 — константа равновесия двуокиси с фактиче­
скими количествами окиси и кислорода, которые могут быть и неравно­
весными *). Константу равновесия можно рассчитать статистическим
методом. После подстановки значений всех параметров она оказывается
равной **)
2
2
2740
г _ (NO2) _ 1,25-10-и
_
1
J?
-I
N0.02
Г
(1 + в ')(1-е
( 1
_
2
7 4
4
Г
е
г
2270 1^ 6460
~)(1916
)(1~е
т
е
)2 ~^~
1960
)(l-e
е
Т
2310 '
T)
Т
\Р.Э&)
где температура везде выражена в градусах, а размерность С соответ­
ствует измерению концентраций в числах частиц в 1 см .
Константа скорости к[ рассчитывалась в работе [38] методом активи­
рованного комплекса, причем было получено хорошее согласие с экспери­
ментальными данными Боденштейна [44], исследовавшего скорость реак­
ции в интервале температур от 353 до 845° К . Сопоставление свидетель­
ствует об отсутствии энергии активации для реакции. Формулой для
константы скорости к[, выведенной в [38], можно воспользоваться для
оценки скорости и времени релаксации и при высоких температурах, кото­
рые на опыте не изучались. Результаты расчета времени релаксации
образования двуокиси азота в нагретом воздухе при нескольких значе­
ниях температуры и плотности представлены в табл. 6.3 (при этом равно­
весные концентрации ( N 0 ) рассчитывались на основе равновесных зна­
чений концентраций окиси (NO) и кислорода ( 0 ) ) .
При высоких температурах и особенно при малых плотностях газа
с тримолекулярной реакцией (6.49) конкурирует другой механизм образо­
вания двуокиси
3
2
2
NO + 0 + 45 ккал/молъ = N 0 + 0 .
2
2
(6.53)
Несмотря на то, что эта реакция эндотермическая, она обладает по
сравнению с реакцией (6.49) тем преимуществом, что осуществляется
путем не тройных, а парных столкновений молекул. Это преимущество
*) Заметим, что время т' характеризует релаксацию только при условии, что
(N0 ) -С NO, т. е. при достаточно высоких температурах. В противном случае необхо­
димо одновременно рассматривать и изменение концентрации NO.
**) Как было отмечено одним из авторов [41], константа равновесия, приведен­
ная в широко распространенном справочнике [42], взята из ошибочной работы [43]
и завышена в 2,42 раза.
21*
2
324
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[гл. vr
Т а б л и ц а 6.3
Времена релаксации для установления равновесной концентрации двуокиси азота
в воздухе, в сек
(т' — тримолекулярная реакция, т" — бимолекулярная)
Р/Р норм =
Г, °К
1600
1800
2000
2300
2600
3000
4000
Р/Р норм =
1
т"
т'
Т")
X'
т"
3,1-Ю-з
2,7-10-*
4,4-106,6-10-6
2,8-10-7
8-10-3
3,5-Ю-з
1,95-Ю-з
4-10-*
1,35-10-4
4,75-10-5
7,5-10-8
0,35
3,9-10-2
4,5-10-з
4,0-10-*
6,3-10-5
9,4-10-6
4,0-10-7
0,09
0-04
2,2-10-2
4,5-10-з
1,5-10-з
5,5-10-*
1,05-10-6
0,69
0,09
0,01
0,9-Ю-з
1,4-10-4
2,1-10-5
1,0-10-6
т'
6,75-10-4
1,42-10-4
4,75-10-5
1,75-10-5
2,5-10-8
Р/Р норм — ^
( 0
5
должно проявляться при высоких температурах, когда условия для
активации благоприятны. Реакция (6.53) не изучалась на опыте; теоре­
тическая оценка ее скорости была дана в работе одного из авторов [41].
Уравнение кинетики для реакции (6.53) можно записать в виде
^
dt
= к'[ - NO - 0 - AJN0 - О = к\ • О {(N0 ) - N0 }.
2
2
2
2
(6.54)
Время релаксации:
(6.55)
к'уО •
Оценим константу скорости методом активированного комплекса,
сущность которого была изложена в § 7. В частности, эта оценка может
послужить иллюстрацией конкретного применения метода. Для удобства
будем рассматривать обратную реакцию N 0 + О -»- NO* ->- NO + 0 ,
где звездочкой отмечен комплекс. По общей формуле (6.36) константа
скорости Ад равна:
2
^ -
х
кТ
ZNO
и zN 0
2
3
Z
2
' 0
Вычисление статистических сумм атомов О и молекул N 0 не пред­
ставляет трудностей, так как спектроскопические константы молекулы
N 0 известны. Что же касается комплекса, то здесь имеется целый ряд
неизвестных величин, которые для оценки придется выбрать разумным
образом.
Масса комплекса NO* в 1,39 раза больше массы молекулы N 0 .
Полагая, что размеры его несколько превышают размеры молекулы N 0 ,
будем считать, что средний момент инерции комплекса в 1,5 раза больше
среднего момента инерции молекулы N 0 . Собственные частоты молекулы
N 0 , по которым можно было бы судить о частотах комплекса, неизвестны.
Можно надеяться, что три высшие частоты меньше частот молекулы N 0 :
hv^o /k = 960, 1960, 2310° К, так как связь в комплексе слабее. Легко
проверить, что при температурах 2000—4000° константа скорости не очень
чувствительна к выбору частот комплекса в пределах разумного интер­
вала. Зададимся для расчета следующими пятью частотами hv*/k =
2
2
2
2
2
3
2
2
ОСНОВНЫЕ
§ 10]
325
МЕХАНИЗМЫ
= 600, 800, 900, 1500, 2000° К (шестая исключена из Z*). Комплекс
несимметричен, так что фактор симметрии а = 1. Статистический вес
электронного состояния g* > 2, так как комплекс содержит один неспаренный электрон. Положим g* = 2. Энергия активации экзотермической
реакции N 0 + О -*- NO + 0 , по-видимому, весьма мала, как это
обычно бывает, когда одним из реагентов является свободный атом.
Положим для оценки Е = 10 ккал/молъ; это в худшем случае может
занизить скорость реакции в 2—3 раза при температурах 2000—4000°.
Подставляя эти, а также другие известные константы в выражения
статистических сумм и принимая трансмиссионный коэффициент х равным
единице, получим константу скорости
2
2
5
,„
1,16-10-12
& = —Ут°
-7=
2
I I 2кол г
i l
чпяп
-Ц?
5
е
3
з/
/а КРЧ
3
см 1 сек,
(6.56)
Z
Ц
K(MiN0 i
г=1
2
hv hT
где колебательные статистические суммы равны Z
= (1 — e ! ).
Чтобы получить с помощью теории столкновений (см. формулу (6.35))
константу скорости такого же порядка, что и по формуле (6.56), следо­
вало бы считать стерический фактор Р величиной порядка 2- Ю . Выбрать
столь малое значение без каких-либо видимых к тому оснований было бы
довольно трудно, так что теория столкновений в данном случае оказы­
вается практически бесполезной и оценить скорость реакции можно
только, воспользовавшись методом активированного комплекса.
Времена релаксации, вычисленные для воздуха по формулам (6.55),
(6.56), также представлены в табл. 6.3.
Сравнение этих времен показывает, что при плотностях воздуха
порядка и меньше нормальной и температурах ~ 2000—3000° К вторая
реакция идет скорее и является основной.
K0JI
-4
2. ИОНИЗАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ. ЭЛЕКТРОННОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
И ДЕЗАКТИВАЦИЯ
§ 10. Основные механизмы
Возбуждение высших электронных состояний атомов (молекул, ионов)
и ионизация имеют между собой много общего. В сущности, ионизация
представляет собой предельный случай электронного возбуждения, когда
электрон, связанный в атоме, приобретает энергию, достаточную для
отрыва от атома и перехода в непрерывный спектр. Каждый из элемен­
тарных процессов, в результате которых происходит возбуждение элект­
ронов в атомах, может привести и к ионизации, если для этого хватает
энергии.
Все элементарные процессы возбуждения и ионизации можно подраз­
делить на две категории: возбуждение и ионизацию атомов (молекул,
ионов) ударами частиц и фотопроцессы, в которых роль одной из «частиц»
играет световой квант. В первом круге процессов следует различать иони­
зацию и возбуждение электронным ударом и неупругие столкновения
тяжелых частиц, так как вероятности тех и других неупругих столкнове­
ний резко отличаются друг от друга. Согласно такой классификации основ­
ные реакции ионизации можно записать в следующей символической
326
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
форме (А, В — тяжелые частицы, е — электроны, hv — световые кванты):
А + е = А+ + е + е,
(6.57)
А + В = А+ + В + е,
(6.58)
A + /*v = A + e.
(6.59)
Обратные процессы, идущие справа налево, приводят к рекомбина­
ции электронов с ионами: первые два представляют собой рекомбинации
в тройных столкновениях с участием электрона или тяжелой частицы
в качестве третьей, последняя реакция — фоторекомбинация или фото­
захват электронов.
Каждому из процессов (6.57) — (6.59) соответствует процесс возбуж­
дения (возбужденный атом отмечается звездочкой):
А + е = А* + е,
(6.60)
А + В = А* + В,
(6.61)
A + /iv = A*.
(6.62)
+
Первые два обратных процесса представляют собой дезактивацию
возбужденных атомов так называемыми ударами второго рода, третий —
высвечивание возбужденного атома.
Ионизоваться могут не только атомы, пребывающие в основном
состоянии, но и возбужденные, так что к списку реакций (6.57) — (6.59)
следует добавить и реакции типа
А* + е = А + е + е,
(6.63)
А* + В = А + В + е,
(6.64)
A* + Av = A+ + e.
(6.65)
+
+
То же относится и к процессам возбуждения; к списку реакций (6.60) —
(6.62) следует добавить реакции повышения степени возбуждения
А* + е = А** + е,
(6.66)
А* + В = А** + В,
(6.67)
A* + hv=A**.
(6.68)
Несмотря на то, что число возбужденных атомов обычно значительно
меньше числа атомов, пребывающих в основном состоянии, роль иони­
зации возбужденных атомов в освобождении электронов не мала, так
как соответственно в их ионизации участвуют частицы с меньшими энер­
гиями. В самом деле, число частиц, способных ионизовать невозбужденный
атом, пропорционально ехр (—I/кТ), где / — потенциал ионизации. Ио
число актов ионизации атомов, возбужденных до уровня Е*, также про­
порционально e~ */ e' - ~ *^
= e <" , так как первому множителю
пропорционально число возбужденных атомов, а второму — число час­
тиц, способных ионизовать возбужденный атом. (Обычно в не слишком
плотном газе ионизация происходит при кТ < / , так что I/кТ > 1
и больцмановский фактор e' !
весьма существен). Сравнительная
роль ионизации возбужденных и невозбужденных атомов в условиях рав­
новесного возбуждения определяется, главным образом, эффективными
сечениями ионизации тех и других при ударах частицами с надпороговой
энергией.
Вообще говоря, процессы всех трех типов протекают в газе одновре­
менно. Однако часто один из процессов оказывается преобладающим. При
£
ftT
< I
E
kT
-/
T hT
tT
§ 10]
ОСНОВНЫЕ
МЕХАНИЗМЫ
327
энергиях порядка потенциалов возбуждения или ионизации атомов, т. е.
порядка нескольких или десятка электронвольт, эффективные сечения
неупругих соударений тяжелых частиц на несколько порядков меньше
эффективных сечений неупругих электронных ударов. Кроме того, ско­
рости тяжелых частиц при сравнимых энергиях примерно в сотню раз
меньше скоростей электронов (в отношении корня квадратного из масс).
Поэтому процессы типа (6.58), (6.61) в нагретом газе имеют значение
только тогда, когда свободных электронов практически нет. При степенях
ионизации порядка Ю — Ю и выше скорости процессов первого типа
(6.57), (6.60) больше скоростей процессов с участием тяжелых частиц
и роль последних пренебрежимо мала. По существу, ионизация ударами
атомов или молекул важна только для образования небольшого началь­
ного количества «затравочных» электронов, когда газ «мгновенно» нагре­
вается, как это иногда имеет место, например, при прохождении сильной
ударной волны. В некоторых случаях начальная ионизация в «мгновенно»
нагретом газе создается достаточно интенсивным потоком излучения или же
быстрыми электронами, приходящими извне, из ранее нагретых обла­
стей, и тем самым низводится к нулю даже эта «затравочная» роль второго
процесса.
Сравнительная роль первого и третьего процессов более сложным
образом зависит от макроскопических условий. Число актов ионизации
электронным ударом в 1 сек в 1 см пропорционально плотности электро­
нов, тогда как число актов фотоионизации пропорционально плотности
излучения.
Если размеры области, занимаемой нагретым газом, достаточно
велики по сравнению с пробегами квантов, так что плотность излучения
значительна и порядка равновесной, она не зависит от плотности газа
и определяется только температурой. Поэтому в достаточно разреженном
газе скорость ионизации электронным ударом оказывается малой и основ­
ную роль играет фотоионизация. То же относится и к процессам возбуж­
дения, а также и к обратным процессам рекомбинации и дезактивации:
фоторекомбинация преобладает над рекомбинацией в тройных соударе­
ниях, и высвечивание возбужденных атомов преобладает над снятием
возбуждения ударами второго рода. Именно такое положение наблюдается,
например, в звездных фотосферах.
Если область, занимаемая нагретым газом, ограничена и прозрачна
(«оптически тонка»), излучаемые в газе кванты, не задерживаясь, поки­
дают нагретый объем, и плотность излучения в газе меньше равновесной.
В этих условиях даже при малой плотности электронов скорость иони­
зации электронным ударом может оказаться выше скорости фотоиониза­
ции, тогда как соотношение скоростей обратных процессов рекомбинации
может остаться прежним, т. е. фоторекомбинация может преобладать.
В достаточно плотном ионизованном газе фотоионизация и фоторе­
комбинация играют второстепенную роль по сравнению с процессами
(6.57) и (6.63).
В реальных условиях процессы ионизации и рекомбинации чаще
всего протекают более сложными путями, чем это рисуется простыми
схемами (6.57) — (6.59). Происходит так называемая ступеньчатая иони­
зация, при которой атом сначала возбуждается, скажем, электронным
ударом, а затем либо сразу ионизуется при последующих электронных
ударах, либо предварительно проходит через несколько ступеней повы­
шения степени возбуждения. Сложным образом часто протекает и обратный
процесс рекомбинации в тройных столкновениях: электрон захватывается
-5
-4
3
328
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
ионом на возбужденный уровень атома, а затем происходит ступеньчатая дезактивация атома, причем здесь действуют конкурирующие ме­
ханизмы дезактивации: электронные удары второго рода и спонтанные
радиационные переходы между уровнями.
В молекулярном газе, молекулы и атомы которого обладают потен­
циалами ионизации, не намного превышающими энергии диссоциации,
ионизация начинается задолго до конца диссоциации, так что существует
область температур, в которой одновременно значительны и концентрация
электронов, и концентрация молекул. Примером может служить воздух
при температурах порядка 7000—15 000° К, очень важных с точки зре­
ния практических приложений. В этом случае, наряду с указанными
процессами ионизации выше существуют и более сложные, главный
из которых — рекомбинация атомов в молекулу с одновременной иони­
зацией (ассоциативная ионизация).
Этот процесс с энергетической точки зрения выгодно отличается
от остальных тем, что требует затраты энергии, меньшей потенциала иони­
зации на величину выделяющейся энергии диссоциации. При сравнительно
низких температурах и малой степени ионизации важнейшую роль для
ионизации воздуха играет реакция:
N + O + 2,8 9* = NO + ,
(6.69)
+
e
которая протекает на несколько порядков быстрее, чем простая иониза­
ция NO ударами атомов и молекул *). В процессе рекомбинации электро­
нов с ионами в молекулярных газах важную роль играет так называемая
диссоциативная рекомбинация. В частности, в воздухе протекают про­
цессы
0 | - > 0 * + 0* + 6,9 эв,
e + N£->N* + N* + 5,8 эв,
(6.70)
e + N O - > N * + 0* + 2,8 эв.
е +
+
В результате диссоциативной рекомбинации образуются возбужденные
атомы. Выделяющаяся энергия связи электрона тратится на диссоциацию
молекулы, а избыток ее идет на возбуждение атомов и частично переходит
в кинетическую энергию.
Если в газе имеются атомы или молекулы, обладающие электронным
сродством (например, Н, О, 0 , CI, Br, J и др.), при сравнительно низ­
ких температурах образуются отрицательные ионы, что оказывает суще­
ственное влияние на кинетику образования и исчезновения свободных
электронов. Помимо реакций типа (6.57) — (6.59), в которых А и А
заменяются соответственно на А~ и А, могут протекать и более сложные
энергетически выгодные реакции типа (6.69); например в воздухе — это
экзотермические реакции:
N + 0" = NO + e + 4 эв,
0 + 0- = 0 + е + 3,6 эв.
2
+
2
Список реакций, протекающих в нагретом воздухе и приводящих
к образованию и исчезновению свободных электронов, а также к обмену
зарядом, с указанием их энергетического выхода, имеется в работе [73].
*) При сравнительно низких температурах основным поставщиком свободных
электронов в воздухе являются молекулы NO, потенциал ионизации которых / N O =
= 9,25 эв ниже, чем у всех других компонент воздуха ( / о , = 12,15 эв, / J J = 15,56 эв,
/ о = 13,57 эв, / = 14,6 эв, /
= 15,8 эв).
N
А г
329
ИОНИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ
§ 11]
§ 11. Ионизация невозбужденных атомов электронным ударом
Рассмотрим процесс первой ионизации газа из одинаковых атомов
в предположении, что все атомы ионизуются из основного состояния,
а при рекомбинации электрон захватывается на основной уровень (реак­
ция (6.57)). Эффективное сечение ионизации при столкновениях зависит
от относительной скорости сталкивающихся частиц. Поскольку скорость
атомов при сравнимых температурах атомов и электронов всегда значитель­
но меньше скорости электронов, относительная скорость совпадает с пос­
ледней; приведенная масса, характеризующая кинетическую энергию
относительного движения, совпадает с массой электрона.
Если N и N — числа атомов и электронов в 1 см , / (г;) dv — функ­
ция максвелловского распределения электронов по скоростям, соответ3
a
e
е
оо
ствующая электронной температуре Т *),( \f (v) dv = lj и а (v) —
о
эффективное сечение ионизации электронным ударом, то число актов
ионизации в 1 см в 1 сек равно
е
e
е
3
со
Z* H
0
- NN
a
^ a (v) vf (v) dv = N N a ,
e
e
e
a
e
(6.71)
e
где интегрирование распространяется по скоростям электронов, энер­
гия которых превышает потенциал ионизации: m v%/2 = I.
Обозначая константу скорости рекомбинации через р , запишем урав­
нение кинетики реакции (6.57):
e
е
^f = a N N -^ N Nl,
e
a
e
e
(6.72)
+
причем число ионов N+ равно числу электронов N . Константы скоростей
а и р связаны между собою принципом детального равновесия:
e
е
е
Ь = Г^у
(6-73)
где константа равновесия определяется формулой Саха (3.44):
з
з
К (Т ) = }(*
ё 2(2пт кт )
= 4,85 • 10 *± Г* е~*т Нем . (6.73')
{Ne
+}
2
е
==
J
( 'o)
±
е
ёа
15
е
g
3
W e
"•
ga
3
Число рекомбинаций в 1 см в 1 сек иногда записывают в форме
2
= bJV+N . Величина Ь = ^JV называется коэффициентом реком­
бинации. Ь имеет размерность см /сек, такую же, что и константа ско­
рости ионизации а .
Если концентрация электронов (и ионов) гораздо меньше равновес­
ной, рекомбинация не играет роли и развитие ионизации электронным
ударом носит характер электронной лавины: если считать, что электрон­
ная температура не зависит от времени, концентрация электронов экспо­
ненциально растет со временем N = Nl exp (tlx ); здесь Л^ —«начальр е к
e
е
e
3
е
е
e
e
*) Вследствие большого различия масс электронов и атомов обмен энергиями
между электронами и тяжелыми частицами при упругих столкновениях происходит
довольно медленно. Поэтому электронная температура, вообще говоря, может отли­
чаться от поступательной температуры тяжелых частиц (см. раздел 3 этой главы).
330
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
ное» число электронов, а масштаб времени нарастания лавины прибли­
женно (при N я* const) равен:
a
т = ^ * ) .
(6.74)
е
Легко убедиться в том, что величина т характеризует и время релак­
сации для приближения к ионизационному равновесию путем первого
механизма (6.57). Точнее, при | (N ) — N | < {N ), время релаксации,
согласно общему определению (6.2), вдвое
ip (v)
меньше т .
Типичная кривая зависимости эффектив­
ного сечения ионизации а от скорости или
энергии электронов изображена на рис. 6.4.
Сечение возрастает за порогом иониза­
ции е = / , достигает максимума при энергии
электронов, в несколько раз превышающей
порог, и затем медленно падает. В макси­
муме сечение, как правило, порядка Ю см .
Рис. 6.4. Зависимость эффек­ В не слишком плотном газе ионизация на­
тивного сечения ионизации ступает обычно при температурах, гораздо
электронным ударом от энер­ меньших потенциала ионизации: ПкТ > 1.
гии электрона.
Так, например, в атомарном водороде при
N = 10 * 1/см (что соответствует давлению
недиссоциированного молекулярного водорода при комнатной темпера­
туре, равному 135 мм рт. ст.) и Т = 10 000° К равновесная степень
ионизации равна. 6,25-Ю- ; при этом 1/кТ = 15,7.
Достаточной для ионизации энергией обладают лишь электроны, со­
ответствующие хвосту максвелловского распределения по скоростям, чис­
ло которых экспоненциально мало (пропорционально exp (—m v /2kT )
<
С 1). Поэтому в интеграле (6.71) основную роль играют электроны, энер­
гия которых лишь немного, на величину порядка кТ (кТ < / ) , пре­
вышает потенциал ионизации. Теория и опыт показывают, что вблизи
порога эффективное сечение линейно зависит от энергии электронов е :
o (v)ttC(e
— I), С = const.
(6.75)
Подставляя эту величину в выражение (6.69) и интегрируя, найдем
константу скорости ионизации с основного уровня атомов:
е
e
e
e
e
е
е
е
-16
2
е
1
3
a
3
2
e
е
e
е
е
e
а
e
е = \ °е (V) Vf (v) d,V — d -V
e
e
e
e
CjjT + ^J
*
T e
.
(6.76)
где
5
7
= 6,21 - 1 0 l / r = 6,7-10 ^Т
e
эв
см/сек
*) Следует подчеркнуть, что простой экспоненциальный закон нарастания
электронной лавины с масштабом времени т справедлив только при условии, что
Т = const. В реальных условиях электронная температура может сама зависеть
от времени. Дело в том, что при кТ -С / на ионизацию затрачивается очень большая
доля тепловой энергии электронов: грубо говоря, на рождение одного нового электрона
тратится тепловая энергия 1/кТ электронов. Если нет источника, за счет которого
восполнялись бы потери энергии электронного газа на ионизацию, электронная темпе­
ратура падает с течением времени, а ~ ехр (— 1/кТ ) резко уменьшается, развитие
лавины затухает. Во фронте ударной волны потери энергии электронов восполняются
за счет притока энергии от атомов (ионов) к электронам. Подробнее см. об этом § 10
гл. VII.
е
е
е
е
е
е
ИОНИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ
§ 11]
331
^
— средняя тепловая скорость электронов, а о — некоторое среднее
значение эффективного сечения а (v), которое в точности соответствует
энергии электронов е = / + кТ ; а = СкТ .
Константа скорости рекомбинации с захватом электрона на основ­
ной уровень атома, согласно (6.73), (6.76) равна
е
е
е
R = ls.(Je
+
е
hSa e
2)
,
е
е
=l,l-10-"Cig-f—.
2) смУсек.
+
(6.77)
1
В не слишком плотном газе, когда 1/кТ > 1, (З ~ Те , характерное
время х в области малых степеней ионизации зависит от температуры
по закону х ~ ехр (11кТ ).
е
е
е
е
е
Т а б л и ц а 6.4
Ионизация электронным ударом
Атом,
молекула
I, эв
С - I d " СМ^/эв
Область
примени­
мости, 98
н
15,4
24,5
14,6
15,6
13,6
12,1
9,3
15,8
0,59
0,13
0,59
0,85
0,6
0,68
0,82
2,0
1,7
0,167,9
2,7
16—25
24,5—35
15—30
16—30
14—25
13—40
10—20
15—25
15—18
21,5—40
10,5—13
10,5—28
2
Не
N
N
О
2
о
2
N0
Аг
21,5
10,4
Ne
Hg
Hg
е
тах,
° тах-
9 в
1 0 1 9
е
-
Литература
с м а
70
100
-100
110
-80
110
-100
100
1,1
0,34
-2,1
3,1
-1,5
3,25
3,7
[46]
[46]
[47]
[46]
[48]
[46]
[49]
[46]
-160
42
0,85
5,4
[46]
[46]
В таблице 6.4 собраны экспериментальные данные по сечениям иони­
зации некоторых атомов и молекул электронным ударом (обозначения
см. на рис. 6.4) *). Численное значение константы С совпадает с эффек­
тивным сечением (в см ) при энергии электронов, превышающей потен­
циал ионизации на 1 эв, т. е. со средним сечением а при температуре
Т = 1 эв — 11 600° К, как раз характерной для области первой иони­
зации. Как видно из таблицы, сечение о имеет порядок Ю см .
Для того чтобы получить представление о порядках величин, рас­
смотрим конкретный пример: аргон при Т = 13 000° К и N = 1,7 X
X 10 см~ (такая плотность соответствует давлению 50 мм рт. ст. при
нормальной температуре). Равновесная степень ионизации в таких усло­
виях равна 0,14; а = 2,24-Ю см ; v — 7,1-10 см/сек; константы
скоростей: а = 2-10~ см /сек; р = 5,9-10
см?/сек, характерное
время х = 2,9-Ю сек. При температуре Т = 16 000° К и той же плот­
ности время х примерно в 15 раз меньше: х = 2-Ю" сек.
2
е
е
-17
2
е
е
18
a
3
-17
2
е
е
7
e
14
3
-31
е
-8
е
е
6
е
е
*) Подробный обзор и анализ литературных данных имеется в книге Месси
и Бархопа [45]. Рекомендуем также книгу В. Л. Грановского [46] и С. Брауна [78].
332
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
§ 12. Возбуждение атомов из основного состояния
электронным ударом. Дезактивация
Аналогично предыдущему будем для простоты считать, что атом
обладает только одним возбужденным уровнем Е*, так что атом возбуж­
дается только в результате перехода из основного состояния. Запишем
уравнение кинетики возбуждения:
\
^
= a* N N - %N*N ;
e
a
e
(6.78)
e
а* — константа скорости возбуждения, а р* — константа скорости деза­
ктивации, равная р* = v -a ,
где о —усредненное по максвелловскому распределению эффективное сечение для электронных ударов
второго рода. Константа скорости возбуждения выражается через эффек­
тивное сечение возбуждения о* (v) точно таким же интегралом, что и а
(см. (6.76)), с той лишь разницей, что нижним пределом служит теперь
скорость v*, соответствующая порогу возбуждения m v* /2 = Е*. Зави­
симость сечения о* (v) от скорости или от энергии (так называемая функ­
ция возбуждения) имеет такой же характер, что и кривая ионизации,
изображенная на рис. 6.4. Точно так же вблизи порога ее можно при­
ближенно аппроксимировать прямой: о* (v) = С* (е — Е*) *). Поэтому
e
e2
е2
е
2
e
оо
К*
hT
а* = J at (v) vf (v)dv = atv ^+2^
e
e~~ e,
e
(6.79)
V*
где а* соответствует энергии электронов Е* + кТ .
По принципу детального равновесия, принимая во внимание, что
е
(g* и g — статистические веса возбужденного и основного состояний),
можно связать константы скоростей а*, р* или эффективные сечения
возбуждения и дезактивации:
a
°е2 = О? f
(*£- + 2) J
P? = *.««•
(6-81)
Характерное время, соответствующее возбуждению электронным уда­
ром, которое совпадает со временем релаксации для установления больцмановского распределения (6.80) при условии, что Т = const (см.
сноску на стр. 330), есть
е
t? = - ^ — = = — ^ — .
(6.82)
Литературные данные по сечениям возбуждения собраны в книгах
[45, 46, 78]. Некоторые результаты представлены в табл. 6.5. Средние
сечения возбуждения а* имеют порядок 10~ см . Таков же и порядок
сечений ударов второго рода а (множитель в скобках в формуле (6.81)
порядка 10, но отношение статистических весов g /g* обычно ~1—Ю ).
17
2
е2
-1
a
*) Это возможно для многих, но не всех атомов; в любом случае аппроксимация
дает небольшую ошибку. Заметим, что сечение возбуждения положительных ионов
вблизи порога, прие -*- £*, отлично от нуля [83].
§ 13]
ИОНИЗАЦИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ АТОМОВ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ
333
Таблица
6.5
Возбуждение электронным ударом
Атом
Потенциал
Е *, эв
Уровни
н
гр
Не
2р*Р
2siS
Ne
№Р
Аг
4«зр
6рзр
10,1
19,7
20,6
Hg
2
4
CJ«2
Источник *)
2 5 - 1 0 - 1 8 ( е — 1 0 ) см*
16,6
18,5
11,5
4,87
г
Интерполяция суммарного сечения о*,
[83]
|
4 , 6 - 1 0 - 1 8 ( е _ 2 0 ) сл*2
|
1,5-10-
[46]
э в
1 8
( е — 1 6 ) см*
[46]
эв
1 8
7-Ю( е — 1 1 , 5 ) см*
Максим, сечение п р и 8 = 6,5 эв
[50]
[46]
8в
« С = 1,7-Ю-» см*
х
8,7
н
7 , 6 - Ю - " ( _ 8 , 7 ) см*
[78]
8
2
*) Данные со ссылкой [46] взяты из таблиц, приведенных в книге В. Л. Гра­
новского. Ссылки на оригинальные работы можно найти в этой же книге.
Для примера оценим время релаксации в аргоне при Т = 13 000° К,
N = 1,71-10» см~ . Сечения at = Ю~ см\ а ~ 10~ см . Если
взять равновесную концентрацию электронов (N ) — 2,4-10 см~ , полу­
чим т* ж 6-10 сек. Это время значительно меньше времени ионизации
х . Интересно сравнить характерные времена для ионизации и возбуж­
дения электронным ударом. По формулам (6.74), (6.82)
е
3
17
17
a
2
е2
17
3
e
_а
е
j_
i0N
P
* » o (-L 2yr °
e
e
kT
+
В условиях, близких к равновесию и при небольших степенях ионизации
N lN ж (6-10 /ЛЬ) /» Т%* ехр (—7/2*2%); при обычных плотностях
газа больцмановское распределение по возбуждениям устанавливается
всегда быстрее, чем ионизационное равновесие. В рассмотренном примере
с аргоном при Л" = 1,7-10" см'*, Т = 13 000° К, % /т* ж 5000. Вре­
мена могут оказаться сравнимыми только в начале процесса ионизации,
когда число электронов гораздо меньше равновесного.
й
e
1
a
а
е
е
е
§ 13. Ионизация возбужденных атомов электронным ударом
Рассмотрим ионизацию атома на основе классической механики,
предполагая, что столкновение свободного электрона с атомом, вернее,
«столкновение» с оптическим электроном атома, происходит быстро по срав­
нению со скоростью вращения связанного электрона по орбите, так что
последний воспринимает энергию удара как свободный. Это было впервые
сделано Томсоном в 1912 г. (Классические формулы для сечения иониза­
ции применялись для рассмотрения элементарных процессов ионизации
и рекомбинации в водородной плазме в работах [79, 80]; в работе [81]
использовалось борновское приближение.)
Как известно из курса механики [82], если электрон с кинетической
энергией е пролетает мимо другого электрона, то дифференциальное
334
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
сечение передачи энергии
,
ле
4
[ГЛ. VI
электрону — «мишени» от Ае до ДБ + dAe
dAe
равно da = —
-щ,.
Сечение передачи энергии, превышающей Е (Е <
ne*S 1
ДБ<Б),
равно
• 1 \
Положим, что ионизация происходит всякий раз, когда связанному
электрону при ударе сообщается энергия, превышающая энергию связи.
Тогда, если Е — энергия связи электрона в атоме, то о представляет
собою сечение ионизации. Замечая, что е = 2/н«о> где 1ц — потенциал
ионизации атома водорода, а а — боровский радиус, запишем сечение
ионизации в виде
2
0
= 4яа*^-|=^-.
0
'
(6
.83)
Эта формула в качественном отношении правильно описывает зави­
симость сечения ионизации невозбужденного атома от энергии а (в),
изображенную на рис. 6.4, и дает верные по порядку величины значе­
ния сечений (в данном случае Е = / ) . Вблизи порога, при Б Ж Е~1,
формула (6.83) приводит к линейной зависимости (6.75) а ж С (в — / ) ,
причем постоянная наклона оказывается равной
С = ^ ( ^ ) = 2,6.10-"(^н)
^
3
3
с м у э в
Для большинства атомов и молекул вычисленные по классическим фор­
мулам постоянные С и сечения вблизи порога в несколько раз превышают
опытные значения (см. табл. 6.4; для аргона получаются правильные
величины).
Формула (6.83) приводит к соотношению подобия по п для ионизации
с п-то уровня атома водорода. Для атома водорода Е = 1ц 1п и
г
п
(
а (в) = 4ла11 п* - ~ = ^ = "% (пЧ).
п
н
t
Любопытно, что квантовомеханические формулы, основанные на борновском приближении, в случае ионизации возбужденных атомов водорода
приводят к похожему, но несколько отличающемуся соотношению подо­
бия а (е) = n Oi (п г) [81]. (Впрочем, ионизацию возбужденных атомов
представляется более оправданным рассматривать на основе классиче­
ской теории.)
Вычислим скорость ионизации возбужденных атомов. Если iV —
число атомов в 1 см , пребывающих в п-и квантовом состоянии, а / (е) de —
нормированная на единицу функция максвелловского распределения элек­
тронов, то число актов ионизации таких атомов в 1 см за 1 сек равно
s
2
п
n
3
3
со
Z„ „ = N N
0H
n
e
J о (Б) v f (в) de =* a N N .
e
n
n
e
(6.84)
Подставляя сечение (6.83), найдем константу скорости ионизации
a„ = 4 K ^ ( ( f ) 4 v
оо
(6.85)
§ 13]
ИОНИЗАЦИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ АТОМОВ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ
335
(Заметим, что число п в этой формуле является пока что лишь индек­
сом, так что формулу (6.85) можно применять к любому атому в любом
состоянии.)
При условии х > 1 имеем приближенно
п
0-т)-
ЕЛ*)
^ ":
п
Хп
т. е. при Е > кТ
п
Еп
Еп
^nalv Q£fe
** : 2 2 - 1 0 Г У г ^ У е
1 0
e
г
, 0
h T
1
(6.86)
3
см /сек
(если £„ = / , приходим к формуле (6.76), в которой опущена двойка
по сравнению с I/kT > 1).
Для того чтобы сравнить скорости ионизации возбужденных и невоз­
бужденных атомов, нужно сделать какие-то предположения относительно
числа возбужденных атомов. Предположим, что состояние газа близко
к термодинамически равновесному и распределение по возбужденным
состояниям—больцмановское. Кроме того, будем рассматривать атомы
водорода. Тогда
2
a
ионя _
2ион1
nNn __ 2 -( -х )
«1-^1
п
е
Х1
^
%
п
Величину x всегда можно считать большой: ж > 1. Если х
велико (низкие уровни, низкие температуры), то
t
4
^ион п
П'
6
ГС >
*п)
Для верхних уровней с энергиями связи Е л
МОЖНО ПОЛОЖИТЬ 1р„ :
7
„.^4я^ |-(Й)' '
а*п
е
2
2е
п
также
1.
кТ, ж„ -~ 1 приближенно
Хп
е~
:
~^
[80]. При этом
1,4-10-*л
у т°
Еп
2
е
hT
3
см /сек (Е ~кТ).
п
(6.86')
Отношение скоростей ионизации
1
Z
n
Ш*=КЮ-» -
Таким образом, при больцмановском распределении по уровням
атомы ионизуются электронным ударом преимущественно с верхних
уровней, причем роль возбужденных состояний тем больше, чем выше
степень возбуждения. Делая заключения о сравнительной роли ионизации
невозбужденных и возбужденных атомов при сильно неравновесных
условиях, нужно проявлять известную осторожность, так как верхние
уровни могут оказаться сильно обедненными по сравнению с равновес­
ной заселенностью. (К вопросу об ионизации электронным ударом мы
еще вернемся в гл. VII при рассмотрении ионизации газа в ударпой
волне.)
Найдем скорость захвата электронов ионами на возбужденные уровни
атома при тройных столкновениях с участием электрона в качестве
третьей частицы.
336
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
3
Число актов захвата на тг-й уровень в 1 см за 1 сек есть Z
—
= $ N'iN . По принципу детального равновесия при термодинамическом
равновесии Z „ = Z „, так что
pevn
n
+
peK
H0H
Un
Р" (N )(N ) •
Формула Саха вместе с законом Больцмана дает
e
(N )(N )
e
+
=
+
Еп
\ ->/2
f h -^
_
2 ^ . f ZnmkT
(
6
g
?
Воспользовавшись формулой (6.85) для а„, получим константу скорости
захвата. Для водоподобного атома (g = l, g = 2re )
2
+
=
а
n
2
2
Р» 4 о^Йг ( И ) ' " Ч ^ " = 0,91 -10- « £. ( g ) ^«-с ,
сл
6/сек
.
(6
.
88)
Если ж„ > 1 (захват на низкие уровни, низкие температуры),
и
25
6
Р„ « 0,91-10" -£- ои /сек.
Для захватов на высокие уровни с Е ~
кТ
п
^„е^^ужй
1
(6.88')
и
„
Р„ «
0,36.10-25/14/
21
5,65-10- ге
^ = -
у 0
н
^
4
.,
см*/сек.
Из этих формул видно, что захваты на верхние уровни происходят
гораздо чаще, чем на нижние: вероятность захвата очень быстро возрас­
тает при увеличении квантового числа п. Физически это связано просто
с увеличением радиуса и площади орбиты связанного электрона при
возрастании п (площадь орбиты пропорциональна и ). Мы здесь наме­
ренно употребляем термин «захват», а не «рекомбинация», так как захват
на высокий уровень, вообще говоря, не всегда эквивалентен рекомби­
нации: с верхних уровней электрон легко оторвать. К вопросу о реком­
бинации в тройных столкновениях мы еще вернемся ниже, в § 17.
Остановимся кратко на вопросе об ионизации ионов. Применительно
к ионизации водородоподобных ионов с основного уровня формула для
сечения (6.83) приводит к соотношению подобия по Z (Е == I = / Z )
4
2
z
°z W—gi
( Z
-2 2
e )
--Zi°i
н
^Z2
Борновское приближение в этом случае приводит к некоторому откло­
нению от подобия [83]. Оценим зависимость скорости ионизации ионов
от их заряда (Z = 1 соответствует нейтральному атому). Очевидно, про­
изводить такое сравнение при одинаковых температурах не имеет смысла,
так как вторая ионизация протекает при более высоких температурах, чем
первая, третья — при еще более высоких температурах, и т. д. Как было
выяснено в гл. III, атомы и ионы обычно ионизуются при температурах,
удовлетворяющих условию I lkT ~ 5—10.
Поэтому скорости ионизации имеют смысл сравнивать при постоян­
ном отношении I lkT = const. Имея в виду, что при этом v ~
\ff~Z,
z
z
e
§ 14] УДАРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ВОЗБУЖДЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ АТОМА
337
получим по формуле (6.86) (Е -*• 1 = 1^7?) константу скорости Z-й
ионизации с основного уровня: a = aJZ . Таким образом, ионизация
ионов протекает относительно медленнее, чем ионизация нейтральных
атомов. Физически это связано в первую очередь с малостью геометри­
ческих размеров ионов.
п
7
z
z
§ 14. Ударные переходы между возбужденными
состояниями атома
Экспериментальные данные по сечениям возбуждения электронным
ударом относятся к переходам из основного состояния (см. § 12). При
изучении нагретой плазмы иногда возникает необходимость в оценках
вероятностей ударных переходов между более высокими уровнями. Для
оценки сечений переходов можно использовать результаты, которые дает
квантовомеханический метод искаженных волн [83]. Упрощенная фор­
мула для сечения возбуждения атома электронным ударом при разре­
шенных переходах приводится в [86]. Ее удобно представить в форме,
сходной с классическим выражением для сечения ионизации:
ТЯ{
Е
<W = 4ш1 *~ Л~
3
6
/»»'-
89
(- )
Здесь Е > — энергия перехода п-*• п' (п' > п); / < — соответствующая
сила осциллятора для поглощения. Квантовомеханическая формула для
сечения перехода содержит произведение матричных элементов, один
из которых описывает тормозное излучение кванта hv = Е > при рас­
сеянии электрона в поле атома, а другой — поглощение этого кванта
атомом. Этот последний матричный элемент и выражается через силу
осциллятора. Таким образом, возбуждение атома электронным ударом
можно интерпретировать так, будто электрон сначала испускает тор­
мозной квант, а поглощение этого кванта уже приводит к возбуждению.
Если применить формулу (6.89) для описания возбуждения атомов
из основного состояния ударами электронов с небольшими надпороговыми энергиями, то оказывается, что формула дает некоторое завышение
по сравнению с экспериментальными сечениями. Для водорода она завы­
шает сечение примерно в 3—3,5 раза, для некоторых других атомов
(гелия, натрия) завышение меньше. Надо сказать, что в работе [84] пере­
ходы связанного электрона в атоме под действием электронных ударов
рассматривались на основе классической механики (было учтено орби­
тальное движение связанного электрона), причем получились результаты
по порядку величины, совпадающие с тем, что дают квантовомеханические расчеты *).
Оценим с помощью формулы (6.89) вероятности переходов в водо­
родной плазме (это было сделано в работе [79]).
Число актов возбуждения электронным ударом ге ->• п' в 1 см за
1 сек равно
пп
пп
пп
3
2возб nn' = N N
n
e
\ a ,(E)v f(B)ds
nn
e
= a 'N N .
n7l
n
e
(6.90)
*) Столкновения свободных электронов со связанными по классической теории
рассматривались также в работе [85].
22 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
338
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
i
Для константы скорости получается выражение, вполне аналогичное (6.85):
= 4яа^ (-р) i|w3/ ',
bflW
е
(6.91)
n n
\kTJ
х
~ пп'
~
nn'
Vpnn' —
E^(X -),
2-:
nn
kT
3
Число обратных процессов дезактивации п' -*• п в 1 см в 1 сек
Znean'n — Pn';JVrc'-/V<!- По принципу детального равновесия
= =
Рп'п
а
е
пп'"^Тг
=
4Яа ^
0
е
( is J
ifnn'
~~~72 Х п'
Тип'-
П
(0.92)
Если подставить в эти формулы силу осциллятора по формуле (5.78),
энергию перехода Е - = / (1/и — 1/тг' ), а также значения констант,
получим формулы
2
пп
a n n
'
=
*г™
71
О, 4Л—4
Р„. = - ^ =
п
2
н
Г\~4 [
е_Жпт1
ж
3
' — пп' J57± (aw)! см /сек,
(6.91')
1
3
/
7
\.л
, . , [1 - a w е*»»' Я, (x„„.)J см /сек.
2
(6.92')
2
л у
Легко видеть, что вероятности дезактивационных переходов из состоя­
ния п' в п' — I, п' — 2 и т. д. убывают скорее, чем последовательность
1, 2~ , 3~ . Отношение суммарной вероятности переходов на все нижние
уровни к вероятности перехода на ближайший заключено между еди­
ницей и 1 + 2~ + 3~ + . . . = я /90 = 1,08. То же относится и к вероят­
ностям возбуждения ?г-> и + 1, п-*- п + 2, . . . Таким образом, при
дискретных переходах в атомах под действием электронных ударов наи­
более вероятными являются переходы между соседними уровнями, при­
чем «перескоки» через уровни имеют очень малую вероятность.
Рассмотрим переходы между соседними уровнями в области верхних
состояний с п > 1. Если расстояния между уровнями АЕ меньше кТ
(АЕ « —~ — —-, так что это имеет место при условии Е <С пкТ/2),
то выражения в квадратных скобках в формулах (6.91'), (6.92') не сильно
отличаются от единицы. В пределе х - -*• О они строго обращаются
в единицу.
Отсюда следует, что в этой области состояний вероятности переходов
между соседними уровнями как с возбуждением, так и с дезактивацией
атома («вверх» и «вниз») весьма близки друг к другу и приближенно равны
4
4
4
4
4
п
пп
Na
e
n>n+i
« N.^.n-1 » J = N v atn* [ f =
e
e
и 2 5
я
^' *
N септ*
e
(6.93)
(среднее сечение перехода примерно в I^/kT > 1 раз больше площади
круговой орбиты, соответствующей тг-му уровню, па\п ).
Сопоставим вероятности возбуждения и ионизации атома при элек­
тронных ударах. Если атом находится в основном состоянии и темпера­
тура не очень велика, так что IlkT > 1, то ясно, что акты ионизации
происходят реже, чем акты возбуждения просто потому, что необходи­
мой для ионизации энергией обладает меньшее число электронов.
Однако даже в тех случаях, когда большинство электронов обладает
энергией, достаточной для ионизации, а именно, при столкновениях с ато­
мами, энергия связи в которых Е ~ кТ, ионизация происходит реже,
А
п
§ 15]
ИОНИЗАЦИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЕ УДАРАМИ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ
339
чем дискретные переходы, причем вероятность дискретных переходов
в соседние состояния относительно тем больше, чем меньше энергия
связи (больше п). Это видно из сравнения выражений (6.86) и (6.93).
Разумеется, абсолютная величина вероятности ионизации возрастает
с ростом п (но медленнее, чем вероятность дискретных переходов).
§ 15. Ионизация и возбуждение ударами тяжелых частиц
Формальное описание этих процессов вполне аналогично рассмот­
ренному в предыдущих параграфах случаю ионизации и возбуждения
электронным ударом. Так, уравнение кинетики ионизации невозбужден­
ных атомов имеет вид
d
^f =
a Nl-%N N N *),
a
+
e
a
причем по принципу детального равновесия В = а 1К (Т). Характер­
ное время
We) _
1
*« = a N* 2p iV (ЛГ) '
Константа скорости ионизации a выражается такой же формулой,
что и а . Следует только иметь в виду, что эффективное сечение иони­
зации а (v') зависит от относительной скорости сталкивающихся атомов
и в функцию максвелловского распределения по относительным скоростям
входит приведенная масса \i, равная в случае одинаковых атомов ц, = ^р.
Если по-прежнему аппроксимировать сечение вблизи порога линейной
зависимостью от кинетической энергии относительного движения е' =
= ц.г/ /2, получим для a формулу, аналогичную (6.75). Если же просто
вынести за знак интеграла некоторое среднее значение сечения а , вместо
множителя j-=+2 появится близкая к нему величина^-)- 1. Таким
образом, в случае линейной аппроксимации
а
2
a
a
a
a
а
в
a
е
а
2
a
а
причем а соответствует энергии е' « / + кТ. Подобным же образом
можно описать и кинетику возбуждения.
К сожалению, в отличие от случая электронного удара, сделать
какие-либо количественные оценки скоростей процессов весьма трудно.
Сравнение констант скоростей ионизации электронами и атомами пока­
зывает, что a / a = (v /v' ) (a /o ). При сравнимых температурах v lv яз
« У~пг /п1 ~ 100. Что касается сечений о , то они на несколько поряд­
ков меньше, чем а . Экспериментальных данных о сечениях ионизации
или возбуждения атомами с энергиями порядка десятка электронвольт
нет; по-видимому, они порядка Ю — Ю
см .
Для того чтобы столкновение было неупругим, необходимо, чтобы
удар был достаточно резким, иными словами, скорость сближения частиц
а
e
а
a
e
a
e
a
e
е
а
е
- 2 0
- 2 2
2
*) Коэффициент рекомбинации равен, по определению, Ъ = $ N .
а
a
a
22*
340
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
должна быть порядка скоростей движения внешних электронов в атоме.
В случае электронного удара с энергией порядка потенциала ионизации
или энергии возбуждения, т. е. порядка нескольких или десятка эв, это
условие выполняется и неупругое сечение велико. При соударениях
тяжелых частиц скорости сравнимы лишь при энергиях примерно
в \^т /т ~ 100 раз больших указанных величин, т. е. при энергиях
порядка кэв. И действительно, при этом эффективное сечение ионизации
или возбуждения сравнимо с аналогичными сечениями для электрон­
ного удара. При энергиях же порядка 10 эв скорость сближения частиц
очень мала и удар «адиабатичен». Положение вполне аналогично случаю
возбуждения колебаний в молекулах, рассмотренному в § 4. Точно так
же, чтобы при столкновении неупругая передача энергии произошла
со значительной вероятностью, нужно, чтобы фактор адиабатичности
av/v был не слишком велик, порядка единицы. Здесь под v следует пони­
мать теперь не частоту колебаний молекул, а частоту обращения элек­
трона по своей орбите (av порядка скорости электрона в атоме, так как а
порядка размеров атома). Наиболее низкие энергии относительного дви­
жения *) Б', при которых на опыте еще измерялась ионизация, были
порядка 30—40 эв. Было найдено, что сечение ионизации аргона ато­
мами и ионами аргона при е' = 35 эв о ~ 3-Ю" см [51]; гелия ато­
мами гелия — при е' = 35 эв а ~ 2-Ю" см [52]; аргона ионами
калия — при Б' ~ 45 эв а ~ 2-10" см **).
Квантовомеханическим аналогом условия адиабатичности av/v > 1
а
е
18
2
а
19
2
а
19
2
а
av
ahv
аАЕ ^
.
А
„
служит условие
>-г- = -г— > 1, где АЕ — неупругое превра­
щение энергии при столкновении. Происхождение этого условия таково.
Вероятность процесса определяется матричным элементом взаимодей­
ствия, в который входит произведение волновых функций начального
и конечного состояний частиц. Волновые функции поступательного дви­
жения описываются плоскими волнами e " ***); произведение плоских
волн начального и конечного состояний дает в подынтегральном выра­
жении матричного элемента осциллирующий множитель e ' ' , где
Ар — изменение импульса налетающей частицы при столкновении. Инте­
грал имеет заметную величину, если этот множитель не осциллирует
в области, где велика энергия взаимодействия, т. е. на расстоянии г поряд­
ка атомных размеров а. Таким образом, условие большой вероятности
процесса состоит в том, чтобы Ар-а/к =С 1. Изменение импульса Ар
порядка AEIv, где АЕ — изменение кинетической энергии частиц, т. е.
неупругая передача энергии. Отсюда и получается условие значительной
вероятности aAEIhv *£ 1; условие малой вероятности — aAE/hv > 1.
Из этого условия, в частности, следует, что должны быть велики сече­
ния процессов, в которых неупругое превращение энергии АЕ очень
мало (так называемый случай резонанса). И действительно, велики сече­
ния ионизации атомов возбужденными атомами или молекулами, когда
l
r/h
iA
r/n
*) На опыте обычно пучок быстрых частиц пронизывает газ из «неподвиж­
ных» атомов. Порог ионизации по энергии налетающих частиц при этом вдвое выше
потенциала ионизации. Это соответствует тому, что приведенная масса вдвое меньше
массы атома и при данной относительной скорости е' = е/2; е = 2е г = 11'.
**) В работах [54] теоретически вычисляются эффективные сечения неупругих
столкновений Аг — Аг и Не — Не и проводится сопоставление с экспериментальными
данными [51, 52]. Данные по сечениям ионизации при соударениях ионов и атомов
с энергиями порядка нескольких сотен эв и выше имеются в обзоре [75].
***) Ь = ' А / 2 я .
п г
П
§ 16]
341
ФОТОИОНИЗАЦИЯ И ФОТОРЕКОМБИНАЦИЯ
на отрыв электрона затрачивается не кинетическая энергия поступа­
тельного движения, а энергия внутренних степеней свободы. Так, сече­
ние процессов типа
где энергия возбуждения Е* частицы В близка к потенциалу ионизации
частицы А, по порядку величины близки к газокинетическим. Поэтому
процесс ионизации тяжелыми частицами, особенно молекулами, скорее
всего двух- или многоступенчатый: сначала происходит возбуждение
одной из частиц, а затем ионизация ударом возбужденной частицы (так
называемая ионизация ударом второго рода) или, наоборот, отрыв элек­
трона от возбужденной частицы. Некоторые данные об этих процессах
можно найти в книгах [45, 46].
Вопрос об оценке скоростей процессов ионизации и возбуждения
тяжелыми частицами может возникнуть только при рассмотрении самой
ранней стадии ионизации «мгновенно» нагретого газа, пока концентра­
ция электронов очень мала, меньше 10~ — Ю , т. е. пока не образуется
электронная лавина.
Чтобы оценить нижний предел времени, необходимого для образо­
вания «затравочных» электронов и возникновения электронной лавины,
рассмотрим следующий воображаемый процесс. Пусть газ «мгновенно»
нагревается до высокой температуры Т и освобождающиеся электроны
мгновенно приобретают ту же температуру Т, что и атомы. В начале
процесса, пока ионизация значительно меньше равновесной, рекомби­
нацией можно пренебречь. Сначала dN ldt = a N'a и N = a N t. Число
электронов растет линейно со временем до тех пор, пока скорость иони­
зации электронным ударом не сравняется со скоростью ионизации ударами
атомов и не возникнет лавина. Этот момент t определяется из условия
a N N = a N\. Подставляя сюда N = a Nat\ и замечая, что по фор­
муле (6.74) <x N = х , получим t = x . Иными словами, минимальное
необходимое время t равно характерному времени развития лавины.
Реальное время «индукции» для развития лавины может быть значи­
тельно большим. Оно определяется не условием возникновения доста­
точного количества свободных электронов, а условием нагревания элек­
тронного газа до температуры, достаточно высокой, чтобы производить
заметную ионизацию. Это время лимитируется замедленностью обмена
энергией между атомами (ионами) и электронами, которые много энер­
гии теряют на неупругие столкновения: ионизацию и возбуждение. Об
обмене энергией между ионами и электронами см. § 20.
Условия, при которых атомы «мгновенно» нагреваются до высокой
температуры, после чего начинается ионизация, осуществляются в удар­
ной волне. Кинетике ионизации во фронте ударной волны и установлениюионизационного равновесия за фронтом будут посвящены § 10, 11 гл. VII.
4
-5
2
e
a
e
a
a
t
e
a
e
a
e
e
a
е
t
a
e
t
§ 16. Фотоионизация и фоторекомбинация
Процессы фотоионизации и фоторекомбинации уже рассматривались
в гл. V при вычислении коэффициентов поглощения и излучения света,
поэтому нам неизбежно придется повторять здесь некоторые рассужде­
ния и выводы этой главы.
Предположим для простоты, что все атомы пребывают в основном
состоянии и при рекомбинации электроны захватываются на основной
уровень. Если N — число атомов в 1 см , U dv — количество энергии
излучения в спектральном интервале от v до v + dv в 1 см , a a (v) —
3
a
v
3
vi
342
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
эффективное сечение фотоионизации с основного уровня атомов, то число
актов фотоионизации в 1 см в 1 сек равно
3
со
Zlon = N 5 ^ d v • с• o (v) = a N ,
a
vl
v
(6.94)
a
VI
причем в поглощении участвуют только кванты hv > hv = I; a —
константа скорости фотоионизации.
Обозначим через а (v) — эффективное сечение фотозахвата элек­
тронов, обладающих скоростью г;, на основной уровень атома. Тогда
число актов фоторекомбинации в 1 см в 1 сек есть
t
v
с1
2
Zle = b N N = N N
J U (v) dvv- a (v)[l+ ^
] .
(6.95)
о
Слагаемое c U l8nhv в множителе под знаком интеграла учитывает
процессы вынужденной рекомбинации, соответствующие вынужденному
испусканию квантов. Энергия испускаемого кванта связана со скоростью
электрона уравнением фотоэффекта:
K
v
+
e
3
+
e
ci
2
v
&V = - * - + / .
Интеграл в (6.95) представляет собою коэффициент фоторекомбинации b По принципу детального равновесия в условиях полного термо­
динамического равновесия дифференциалы в интегральных выражениях
для Zp и ZKOH равны друг другу.
Подставляя в качестве f (v) функцию максвелловского распределе­
ния электронов, а в качестве U — функцию Планка, воспользовавшись
уравнением Саха (6.73') и уравнением фотоэффекта получим связь
эффективных сечений фотоионизации и фоторекомбинации:
v
eK
e
v
<*« (w) = ^ - - Г Ц °vi (v).
i
s+
i
m vc
e
Аналогичным образом связаны между собою и сечения фотоионизации
с re-го возбужденного уровня атома и фотозахвата на п-й уровень:
=
a
( v
(6 95,)
^ tS ™ >-
'
Здесь g —статистический вес гс-го состояния атома. Частота v
и скорость электрона v также связаны между собою уравнением фото­
эффекта:
n
,
2
m v% ,
mv
e
,
e
т
/ л
Av = - | - + е„ = - ^ - -\-I-w ,
пгп\
(6.95")
n
где е„ — энергия связи электрона в п-и состоянии, а w — энергия воз­
буждения п-то уровня атома.
Уравнение кинетики для фотопроцессов имеет вид
n
d
-§ =
ZSOH -
v
Z
peK
= aN v
bN N.
a
v
Время релаксации для фотопроцессов:
T
v
1
= 6 (N )
V
+
{N,)
aN
v
a
+
e
343
ФОТОИОНИЗАЦИЯ И ФОТОРЕКОМБИНАЦИЯ
« 16]
Оценим константу скорости фотоионизации, предполагая, что плот­
ность излучения близка к равновесной. В отличие от сечений ударной
ионизации, которые равны нулю у порога ионизации, сечение фото­
ионизации отлично от нуля у порога и во многих случаях, наоборот,
максимально при hv = I = hv . Так, у водородоподобных атомов o"vi —•
= a° (v /v) , где o^ = 7,9-10~ см , если заряд «ядра» равен единице
(см. формулу (5.34)). Если, как это обычно бывает, ЦкТ > 1, ионизую­
щие кванты находятся в виновской части спектра, где U — ехр (—hv/kT).
Вынося из-под знака интеграла (6.94) среднее значение сечения, которое
с большой точностью можно положить равным сечению у порога иони­
зации, получим после интегрирования
l
3
1
18
1
2
t
v
i
2
_ 8л Т кТ_ „
Ц-о*еi
~~ 72" Р h
i
Й Т
23
,
= 3,95.Ю 2 Л<е
(6.96)
Коэффициент рекомбинации b можно найти либо по принципу деталь­
ного равновесия: b = a (N )/(N ) (N ), либо непосредственно, вычисляя
интеграл (6.95). Следует отметить, что при / > кТ роль вынужденных
рекомбинаций очень мала: множитель в скобках в интеграле (6.95) при­
ближенно равен 1 + e~ '
ж 1, так как Av > / > кТ. Для коэффи­
циента рекомбинации получим (при ЦкТ > 1):
b = v a (v) = v a ,
(6.97)
/2
gi
Si 196
10
^ =
W+^4f^=trZ^- см*
где a — среднее сечение фотозахвата на основной уровень (v — сред­
няя тепловая скорость электронов).
Среднее сечение фотозахвата обратно пропорционально электронной
температуре. Эффективные сечения фотоионизации и фотозахвата при
температуре, соответствующей 1 эе (сг^ь <?« = Oci/Тэв), для некоторых
атомов представлены в табл. 6.6. Что касается сечений ионов, то если
a
v
CTv e
э
v
v
v
a
+
v
e
e
h4 hT
ci
e
cl
ci
e
Таблица
Эффективные сечеиия фотоионизации с основных уровней атомов
и фотозахвата электронов на основной уровень
a^-lOis м*
Атом
I, эе
gi
g+
н
Li
С
13,54
5,37
11,24
2
2
9
1
1
6
7,9
3,7
10
N
О
14,6
13,57
4
9
9
4
7,5
3
F
17,46
6
9
2
Na
5,09
2
1
0,31
С
Ход сечения a
за порогом
6.6
v
Падает — V
- 3
Падает вдвое при
Av = / + 1 0 эв
Медленно падает
Почти
постоянно
до Av — / + 15 эв
Почти
постоянно
до hv — 7 + 1 5 эв
Падает
быстрее,
чем v
Падает — V
1021см2
ali-
9 в
2,9
0,21
1,9
0,7
1,24
0,41
0,016
- 3
Са
6,25
1
2
25
- 3
0,51
Эффективные сечения a° и данные о ходе сечения за порогом взяты из книги
[55]. Величины а° вычислены по формуле (6.97).
vl
344
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
- 2
рассматривать их как водородоподобные системы, то a°i ~ Z , a сг°! ~
~ I\Z~ . Обычно потенциалы ионизации ионов растут с зарядом, как
1 ~ Z ~ Z\ откуда a° ~ Z° ~ Z .
Выясним роль рекомбинаций с захватом электрона на возбужден­
ные уровни. Коэффициент рекомбинации в общем случае равен (ср. с фор­
мулой (6.97))
%
2
г
ci
by = %vo (v),
(6.98)
cn
п
где суммирование производится по всем уровням п, а усреднение —
по максвелловскому распределению электронов. а (v) выражается фор­
мулой (6.95'). Для водородоподобных атомов o ~ 1/n , g = 2п , так
что Осп ~ 1/ге , причем v и v связаны формулой (6.95"), в которой е„ =
= Иг?. Вообще говоря, при суммировании по п возникает вопрос о числе
фактических уровней в атоме, которое следует учитывать (см. § 6 гл. III),
однако в данном случае сумма по п быстро сходится и суммирование
можно приближенно распространить до п — оо.
Вычисление коэффициента рекомбинации по формуле (6.98) пока­
зывает, что для водородоподобного атома его можно представить в виде
сп
5
vn
2
n
3
11
2
1/2
ls
b = 2,07-l0- Z T°-
2
lh
= 2-lQ- Z T-
vl
3
см /сек,
(6.99)
где b — коэффициент, соответствующий захвату на основной уровень
при ИкТ > 1 (он определяется формулой (6.97)); ф {ИкТ) — очень мед­
ленно меняющаяся функция, которая получается в результате суммиро­
вания по п. Эта функция табулирована в книге Спитцера [56]. Например,
при ИкТ = 5 ф = 1,69, при ИкТ = 10 q> = 2,02, при ИкТ = 100
ф = 3,2. Приближенно [86]
vi
13
и
b *, 2,7-10- г*Т7*
v
смЧсеп.
(6.100).
Таким образом, при обычных условиях, встречающихся в области первой
ионизации, когда ИкТ ~ 10, захват на все возбужденные уровни дает
примерно такой же вклад в рекомбинацию, как и захват на основной
уровень.
В силу принципа детального равновесия, при условии, что распре­
деление атомов по возбужденным состояниям — больцмановское и излу­
чение равновесно, то же относится и к фотоионизации. Таким образом,
при фотоионизации роль ионизации возбужденных атомов сравнима
с ролью ионизации невозбужденных, так что наши оценки скоростей
фотоионизации и фоторекомбинации занижены примерно раза в два.
Сравним скорость ионизации невозбужденных атомов электронным
ударом и квантами (в предположении, что плотность излучения равно­
весна). По формулам (6.94), (6.96), (6.71), (6.76) найдем
2
ион
Zl
m
w
aN
e
e
«v
l,l-10~ N
e
1 Ут
эв
ов
Ссмг-эв-i
Ki
Очевидно, в таком же отношении находятся и скорости обратных
процессов. Численные значения С и a°i одного порядка ( ~ 5-Ю , см.
табл. 6.4, 6.6), потенциалы ионизации / « 10 эв, типичная для первой
-18
§ 17]
ЭЛЕКТРОН-ИОННАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ ПРИ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ
345
ионизации температура Т « 1 эв = 11 600° К . Это дает
ион
17
рек
3
т. е. при N > 1 0 cw~ преобладают электронные процессы, а при 7V <
< 10
сл*~ — фотопроцессы (подчеркнем, что это относится только
к ионизации атомов из основного состояния и захвату электрона на основ­
ной уровень атома).
Несколько слов по поводу возбуждения и дезактивации первых
возбужденных состояний излучением. Времена жизни атомов, пребы­
вающих в первых возбужденных состояниях, по отношению к спонтан­
ному высвечиванию имеют порядок т* ~ 10~ сек. Время жизни атома
на этих уровнях по отношению к дезактивации электронными ударами,
согласно сказанному в § 12, при электронной температуре Т ~ 1 эв
порядка х% ~ 10 /N сек, т. е. «тушение» излучения электронными уда­
рами происходит при электронных плотностях N > 1 0 см~ и, наоборот,
при N < Ю см~ преобладают фотопроцессы (так же, как и для иони­
зации атомов с основного уровня и захвата электрона на основной
уровень).
В условиях, близких к термодинамическому равновесию, таково же
соотношение скоростей возбуждения ближайших к основному уровней
атомов электронами и квантами. Заметим, что сечения поглощения резо­
нансного излучения, способного возбуждать атомы, очень велики и резо­
нансное излучение чаще всего равновесно (среда непрозрачна для резо­
нансного излучения). Поэтому время т* ~ 10" сек характеризует время
релаксации для установления больцмановской заселенности первых воз­
бужденных уровней атомов за счет фотопроцессов. О вероятности спон­
танных радиационных переходов с верхних возбужденных состояний
см. § 13 гл. V.
e
17
e
3
8
е
9
e
17
2
e
17
3
e
8
§ 17. Электрон-ионная рекомбинация при тройных столкновениях
(элементарная теория)
В сильно разреженной плазме рекомбинация электронов и ионов
происходит главным образом при парных столкновениях с излучением
светового кванта. В плотной плазме преобладает рекомбинация при
тройных столкновениях с участием электрона в качестве третьей частицы
(третьей частицей может служить и нейтральный атом, но этот процесс
играет роль только при чрезвычайно малых степенях ионизации, меньше
Ю — 10~ ). Простейшую оценку скорости рекомбинации с участием
электрона в качестве третьей частицы можно сделать, если обобщить
на этот случай старую теорию Томсона [45], которая относится к реком­
бинации с участием нейтрального атома. Рассуждения здесь вполне
аналогичны тем, с помощью которых в § 6 этой главы была оценена ско­
рость рекомбинации атомов в молекулу при тройных столкновениях.
Цредположим, что электрон может захватиться ионом (с заря­
дом Z) на замкнутую орбиту и рекомбинировать, если он пролетает
мимо иона на таком прицельном расстоянии г, что потенциальная энергия
кулоновского притяжения к иону Ze lr больше средней кинетической
- 7
10
2
энергии электрона — кТ.
Прицельное
расстояние,
следовательно,
не
346
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
о
2
должно превышать Zr , где г = е /-^кТ— эффективный радиус кулоновского взаимодействия частиц с зарядами Z = 1.
Число таких столкновений в 1 см в 1 сек равно N v nr\Z N .
Но для
того чтобы произошел захват, необходимо, чтобы, пролетая мимо иона,
т. е. на пути порядка Zr , электрон провзаимодействовал с другим элек­
троном, которому могла бы быть передана выделяющаяся при захвате
потенциальная энергия. Вероятность такого события равна примерно
Zr nr N . Таким образом, число актов рекомбинации в 1 см в 1 сек есть
Z = N^ nrlZ*N Zr nrlN
= $NIN = bN N .
(6.101)
0
а
2
2
e
e
+
0
2
0
2
u
e
peK
e
+
0
e
+
e
+
Отсюда для коэффициента рекомбинации получаем
2
a
2Pn
2n
l
b = d n rlZ N = ^
e
Z
J ° \,
e
N.
(6.102)
e
Радиус кулоновского взаимодействия электрона и протона
r = j-jpjr
г
(будем рассматривать водород) весьма близок к радиусу круговой орбиты
электрона с энергией связи Е * «* кТ: г * = а п* = а 1 /кТ = е*/2кТ.
Поэтому ясно, что тот же коэффициент рекомбинации должен получиться,
если просуммировать коэффициенты захвата электрона $ N , выведенные
в § 14, по всем га от 1 и до п* = \^1 /Е * — \^1 /кТ (при 1 /кТ > 1,
га* > 1 суммирование можно заменить интегрированием). И действительно,
при этом получается формула, которая практически точно совпадает
с выражением (6.102). Такое вычисление коэффициента рекомбинации
через вероятности захвата на дискретные уровни было проделано в работе
Хиннова и Хиршберга [80]. Оно также обладает большой наглядностью,
хотя и не отличается строгостью.
Замечательно, что строгая в рамках известных предположений
теория, развитая в работах Л. П. Питаевского [88] и А. В. Гуревича
и Л. П. Питаевского [89] (о ней речь пойдет в следующем параграфе),
приводит к формуле
п
п
0
0
н
n
Н
0=
»
,
п
К
e
н
sj-NelnAi,
Г
0
(0.103)
которая отличается от элементарной (6.102) только численным коэффи27
циентом 77г In Aj порядка единицы. Здесь In A — некий особого вида
кулоновский логарифм, который приближенно можно положить равным
единице. Численно по формуле (6.103) с In A = 1 коэффициент реком­
бинации равен
t
t
ъ
=
ж
эв
N
e
=
~l*h
N e
C M / c e K
-
(6.104)
тыс. град
Область применимости этой формулы (для водорода, Z = 1) ограничи­
вается довольно низкими температурами кТ < /н> при которых захват
происходит на очень высокие уровни га* = | / ~ > 1. По-видимому,
это температуры ниже 3000° (га* > 7).
Сопоставим коэффициенты рекомбинации в тройных столкнове­
ниях Ъ по формуле (6.104) и фоторекомбинации с захватом на все уров-
$ 18]
СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РЕКОМБИНАЦИИ ПРИ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ
347
яи b по формуле (6.100). Последняя преобладает при условии
v
;V <
e
3
'
3
У "
= '"
^ с . град
сж
__
3
( 6 Л 0 5 )
Как видим, при низких температурах и не чрезмерно малых плотностях
всегда главную роль играет рекомбинация в тройных столкновениях.
В работе [80] построены приближенные формулы для оценки коэф­
фициентов рекомбинации в тройных столкновениях при более высоких
температурах (от 3000 до 10 000°), когда захват происходит на низкие
уровни. (Надо сказать, что формула (6.104) в этой области дает завы­
шенные значения коэффициента рекомбинации, но это завышение не пре­
вышает 5—10 раз даже при Т = 10 000°.)
Приводится также удобный для пользования график суммарного
коэффициента рекомбинации Ъ + b в зависимости от N и Т. Там же
описаны результаты экспериментального изучения рекомбинации в гелии,
причем получается удовлетворительное согласие теории и эксперимента.
v
e
§ 18. Более строгая теория рекомбинации при тройных
столкновениях
Рассмотрим детальнее, как протекает процесс рекомбинации при
тройных столкновениях в низкотемпературной водородной плазме. Пред­
положим, что условия в газе существенно неравновесны: степень иони­
зации выше равновесной или, что то же самое, температура ниже той,
которая соответствует данной степени ионизации, так что в цлазме про­
текает преимущественная рекомбинация. Выше отмечалось, что вероят­
ность захвата электрона при тройном столкновении быстро возрастает
при увеличении радиуса орбиты и уменьшении энергии связи уровня,
так что электроны захватываются в основном на верхние уровни. Как
было показано в § 13 гл. V, вероятности спонтанных радиационных пе­
реходов с верхних уровней резко уменьшаются при увеличении кванто­
вого числа п и уменьшении энергии связи Е (как 1/ге ~ Е"%ъ).
Предположим, что плотность электронов достаточно велика для того,
•чтобы вероятности радиационных переходов с верхних уровней были
гораздо меньше вероятностей ударных переходов. Обратное положение
при низких температурах практически не реализуется: если плотности
столь малы, что радиационные переходы с верхних уровней происходят
быстрее, чем ударные, то вообще преобладает фоторекомбинация и элек­
троны преимущественно захватываются не на верхние, а на нижние
уровни.
Итак, состояние образовавшегося в результате захвата высоковоз­
бужденного атома изменяется под действием электронных ударов. При
этом наиболее вероятны переходы в ближайшие соседние состояния, при­
чем в области, где расстояния между уровнями АЕ меньше кТ, переходы
с возбуждением и дезактивацией («вверх» и «вниз») по принципу деталь­
ного равновесия почти равновероятны (АЕ < кТ в области Энергий
связи Е < Y кТ
Е < In {кТ 121-цУ , это следует из соотношений
АЕ » | dEJdn | = 21 /п = 2Е 1п = 2 / (Е /1 р*).
Таким образом,
в этой области уровней энергия атома при каждом ударе меняется малыми
порциями, причем «шаги» в ту и другую сторону примерно равновероятны.
Это — типичная картина «диффузии». Можно сказать, что происходит
•«диффузия связанного электрона в атоме вдоль энергетической оси».
5
п
п
п
п
и л и
13
п
п
3
п
п
п
н
п
н
348
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
Соотношение вероятностей переходов «вверх» и «вниз» изменяется
в области низких уровней Е > кТ, АЕ > кТ, где вероятность дезакти­
вации больше, чем вероятность возбуждения. Кроме того, в области
низких уровней весьма вероятны и радиационные переходы, которые
также способствуют дезактивации. В рамках «диффузионной» модели это
означает, что в области низких уровней имеется «сток» и, следовательно,
«диффузионный» поток направлен «вниз» — образовавшийся высоковоз­
бужденный атом стремится прийти к основному состоянию, в чем, соб­
ственно, и заключается рекомбинация. Подчеркнем, что направлениедиффузионного потока определяется состоянием газа. Если бы условия
были таковы, что ионизация была бы ниже равновесной, то преобладали
бы акты возбуждения и поток был бы направлен «вверх». Существенно,
что вероятность ионизации атома при ударе на не слишком высоких
уровнях невелика и меньше вероятности дискретных переходов, так что
ионизацией в этой области можно пренебречь.
Вероятность ионизации, возрастающая с номером уровня п, велика
в области очень больших п, где одновременно велика и вероятностьзахватов. Это приводит к тому, что в области очень малых энергий связи
(порядка и меньше кТ) устанавливается равновесие Саха — Больцмана
(6.87) между заселенностью уровней и плотностью свободных электронов.
В рамках «диффузионной» модели это означает, что «источник» частиц.
в области малых энергий связи таков, что в этой области «автомати­
чески» поддерживается данная плотность частиц. Поток вдоль энерге­
тической оси, который при этом возникает из-за наличия «стока» в об­
ласти больших энергий, очевидно, и определяет скорость отвода возбуж­
денных атомов «вниз» и скорость образования атомов в основном со­
стоянии, т. е., по существу, скорость рекомбинации.
Описанная картина процесса рекомбинации была облечена в мате­
матическую форму в работе Л. П. Питаевского [88], где диффузия вдоль
энергетической оси рассматривалась на основе чисто классического урав­
нения Фоккера — Планка в предположении, что основную роль играют
верхние состояния, где дискретность энергетических уровней проявляется
слабо.
Для большей наглядности и для того, чтобы яснее продемонстри­
ровать физический смысл совершаемых приближений и «коэффициента
диффузии», мы здесь перейдем к классике, исходя из системы квантовых
кинетических уравнений. Пусть N — числа атомов в 1 см , находящихся
на п-х уровнях (числа заполнения или заселенности уровней). Составим
для них кинетические уравнения с учетом только дискретных переходовмежду ближайшими соседними уровнями, причем для удобства сгруппи­
руем попарно прямые и обратные процессы:
п
2
n
^2Г = Х {[Р„ , N
е
+1 n
n+l
- <z , N ]
n n+i
n
- (P„, - N —a„_,,
n t
n
N - ]}.
n
(6.106).
n x
Рассмотрим область больших квантовых чисел п > 1 (предполагается,
что 1 /кТ > 1). В этой области с дискретными числами п и N можно
обращаться как с непрерывными и дифференцировать функции номера п
(имея в виду, что «дифференциал» dre = l). Производя в (6.106) разложе­
ние с учетом членов второго порядка малости, получим
п
n
Чг--ъ / - - w ^ + c t e - o * - ] • <•»«>
Преобразуем отношение вероятностей с помощью принципа детального,
равновесия и ограничимся рассмотрением области уровней, где расстоя-
§ 18]
СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РЕКОМБИНАЦИИ ПРИ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ
349
ние между уровнями меньше кТ:
2
2
Pi.,*-! __ (iV -l) _ ( » - l ) Jg-.Л
I
n
А
Д
Теперь
Это уравнение имеет типичную форму уравнения диффузии при наличии
•объемной силы. Величина D — (a„_i, iV ) играет роль коэффициента
диффузии, ее размерность рек (поскольку «координата» п безразмерна).
От функции распределения возбужденных атомов по п, N , легко перейти
к функции распределения по энергии связи ц>(Е). Очевидно, N =
n
-1
n
e
n
n
dE
-dn
£
д
_dn =
•ЗТГ = — АЕ 57=Г
= (Я)
= (Я)Д£и
Преобразуя уравнение (6.108) и опуская члены высших порядков,
получим
Ф
Ф
Z) = aN (АЕ)\
e
а = а ^ , „.
Коэффициент диффузии по энергетической оси D имеет размерность
эрг /сек (АЕ соответствует «длине пробега», / aiV — среднее время
между столкновениями, которые сопровождаются переходами «вверх»
и «вниз»). Если сделать еще один шаг и перейти в уравнении (6.109) от
функции распределения атомов по энергиям связи <р (Е) к функции рас­
пределения связанных электронов в фазовом пространстве координат
и импульсов, получим уравнение Фоккера — Планка в той форме, кото­
рая послужила отправным пунктом в работах [88, 89].
Коэффициент диффузии D в работе [89] вычислен на основе чисто
классической теории как средний квадрат изменения энергии связан­
ного электрона в единицу времени при столкновениях со свободными
электронами:
2
1
2
"класс-у —
х
W
~ /--з
e
JrififT--
(
Ь Л 1 и
>
Примечательно, что коэффициент диффузии, выраженный через квантовомеханическую вероятность перехода а N , D = aN (АЕ) , где
осп-!, „ дается формулами § 14, при условий АЕ < кТ приводит к точно
такому же буквенному выражению, что и классическая теория, и превы­
шает D
в 8 ^ 3 / я In A я^ 4,4 раза (при In A — 1). Надо полагать,
что классическое значение в области тесно расположенных уровней более
правильно, чем приближенное квантовомеханическое *).
Допустим, что высоковозбужденный атом, образующийся в резуль­
тате захвата электрона ионом, дезактивируется и приходит к основному
состоянию быстро по сравнению со скоростью изменения плотности элек­
тронов и температуры, т. е. по существу, по сравнению со скоростью
рекомбинации. Тогда среди возбужденных атомов устанавливается квази­
стационарное распределение по энергиям, которое «следит» за медленным
изменением плотности электронов и температуры. Иначе говоря, рас­
сматривая рекомбинацию при данных N и Т, мы можем искать стацио2
п
класс
t
Ъ
п
e
e
t
e
*) Здесь уместно напомнить, что квантовомеханические вероятности переходов
д л я нижних уровней давали завышение по сравнению с опытом.^
350
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
нарное решение уравнений (6.108) или (6.109), когда поток постоянен.
В этом случае даже нет необходимости в отыскании явного вида функции
распределения. Достаточно определить поток, ибо величина /'„ 1/см -сек
представляет собою скорость образования атомов в основном состоянии,
т. е. число актов рекомбинации в 1 см в 1 сек Z
= bNeN .
Полагая в (6.108) /„ = const и интегрируя получающееся линейное
уравнение для функции N (п) = N с учетом того, что АЕ = 2/н/и "
и Е = / In , получим
3
3
peK
+
9
n
2
п
н
Е п
"о
здесь п — постоянная интегрирования. Как отмечалось выше, в области
низких уровней имеется «сток», так что заселенности уровней там малы
и N та 0. Следовательно, в качестве п можно выбрать небольшое число —
порядка единицы. Как показывают расчеты, интеграл в области неболь­
ших п быстро сходится и практически не зависит от конкретного выбора п .
Теперь воспользуемся вторым граничным условием в области боль­
ших п, которое заключается в том, что в этой области устанавливаете»
равновесие Саха — Больцмана (6.87). Следовательно,
0
n
0
0
припас»
Л^->п^(^^)
3
/
Хлг .
(6.111)
+
Отсюда получаем выражение для потока
_Еп
и коэффициента рекомбинации Ь.
Если перейти от a„_i, к коэффициенту диффузии D по формуле
On-i, „ = DI(AE) , подставить АЕ = 21 /п и вычислить интеграл (6.112)
с классическим значением D (6.110), получим для коэффициента ре­
комбинации формулу (6.103) *).
В работе Бейтса, Кингстона и Мак-Уиртера [90], опубликованной
почти одновременно с первой статьей Л. П. Питаевского [88], реком­
бинация рассматривалась в весьма общих предположениях. В работе [90]
заложены фактически те же идеи о ходе процесса рекомбинации, что
и в работе [88], но авторы исходили из системы кинетических уравнений
для чисел заполнения дискретных состояний (типа (6.106)) с учетом всех
процессов: захвата электронов и ионизации электронным ударом, дис­
кретных переходов на удаленные уровни, а также фотозахвата и спон­
танных радиационных переходов. Для ограничения числа уравнений
использовалось условие равновесности заселенности верхних состояний.
Система уравнений, также для стационарного случая (dN ldt = 0 при
п Ф 1), решалась численно, в широком диапазоне плотностей и темпе­
ратур, в том числе и при высоких температурах, когда захват происходит
n
2
3
н
n
*) Именно это и было сделано в работах [88, 89], но только там с самого начала
авторы оперировали энергией атома Е = — Е , а не квантовыми числами п. Отме­
тим, что в работе [88] описанным способом был вычислен коэффициент рекомбинации
с участием нейтрального атома в качестве третьей частицы. При этом получилась
величина, примерно в 6 раз превышающая результат теории Томсона [45]. _
п
§ 19]
351
ИОНИЗАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ В ВОЗДУХЕ
на низкие уровни. Скорость рекомбинации определялась как—dN ldt =
= dNildt. Результаты расчетов коэффициентов рекомбинации представ­
лены в таблицах *).
Авторы предлагают называть общий сложный процесс «ударно-радиа­
ционной рекомбинацией». В пределе малых плотностей он превращается
в фоторекомбинацию, при больших плотностях — в то, что мы назы­
вали выше рекомбинацией при тройных столкновениях. Результаты
численных расчетов для этого предельного случая неплохо согласуются
с тем, что дает формула (6.104).
В работе [90] и книге [83] выясняются условия, при которых допустимо
использование приближения квазистационарности распределения воз­
бужденных атомов по энергии. Фактически для этого нужно, чтобы числа
возбужденных атомов были гораздо меньше чисел невозбужденных атомов
и свободных электронов. О коэффициенте рекомбинации см. также [94].
В некоторых случаях необходимо знание не только скорости реком­
бинации, но и дальнейшей судьбы выделяющейся при рекомбинации
потенциальной энергии. Как следует из сказанного выше, часть этой
энергии передается электронному газу при ударной дезактивации воз­
бужденных атомов, образующихся при рекомбинации, и, следовательно,
превращается в тепло. Другая часть высвечивается в результате спон­
танных радиационных переходов и в случае, если газ прозрачен для излу­
чения, по существу, теряется газом. Если же газ не вполне прозрачен, эта
часть энергии участвует в дальнейших, весьма сложных превращениях,
связанных с поглощением и излучением света (в частности, с диффузией
резонансного излучения), и, в конечном счете, вследствие ударной дезак­
тивации атомов частично также переходит в тепло, а частично уходит
за пределы газового объема в виде излучения. Вопрос о скорости дезак­
тивации высоковозбужденных атомов, образующихся при рекомбинации,
и о превращениях потенциальной энергии рассматривался в работе
Н. М. Кузнецова и одного из авторов [91 ] в связи с изучением кинетики
рекомбинации в газе, расширяющемся в пустоту. О кинетике рекомби­
нации при разлете в пустоту речь пойдет в § 9 гл. VIII. Там же будут
приведены некоторые результаты указанного рассмотрения.
+
§ 19. Ионизация и рекомбинация в воздухе
При очень высоких температурах, когда молекулярные газы диссо­
циированы, ионизация и рекомбинация в них протекают примерно так же,
как и в атомарных газах. При более низких температурах, когда значи­
тельна концентрация молекул, положение существенным образом меняется
и на первый план выступают процессы, связанные с участием молекул.
Так, в воздухе при температурах ниже примерно 10 000° основным меха­
низмом ионизации служит реакция (6.69) N + О + 2,8 эв = NO+ + е,
требующая минимальной энергии активации. В реакциях такого типа
на отрыв электрона затрачивается энергия связи, которая выделяется
при объединении атомов в молекулу, поэтому для них и нужна небольшая
дополнительная энергия из запаса тепловой. Реакция типа A -f~ В ~~^~
~~^~ АВ+ + е может протекать, если пересекаются потенциальные кривые
систем, обозначенных в правой и левой частях уравнения, как схематически
показано на рис. 6.5. Пусть атомы обладают запасом энергии (скажем,
кинетической энергии относительного движения), равным АЕ = Е — E ,
2
*) Они приведены также в книге [83].
t
352
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
т. е. их полная энергия соответствует горизонтальной линии Е . В соот­
ветствии с принципом Франка — Кондона (см. § 16 гл. V) в момент сбли­
жения на расстояние r на котором происходит пересечение потенциаль­
ных кривых, система А + В может без изменения полной энергии перейти
в другое состояние, отвечающее второй потенциальной кривой: А В + е.
Эффективное сечение такого процесса (при наличии необходимой энергии,
превышающей энергию активации),
можно представить в весьма нагляд­
ной форме [83]:
г
it
+
0 = у-лгЦ!
+
АВ +е
с т
—е
),
где т — время жизни молекулярного
комплекса, образующегося в момент
сближения атомов на расстояние г^, по
отношению к переходу в состояние с
оторванным электроном; v — ско­
рость сближения атомов, т. е. rjv —
характерное время взаимодействия
атомов или существования комплекса,
и отношение rjvx характеризует ве­
роятность перехода за это время;
Y — вероятность того, что система
атомов А + В находится именно в
Рис. 6.5. Схема потенциальных кривых,
том
состоянии, которое соответству­
поясняющая реакции ассоциативной
ионизации и диссоциативной реком­ ет пересекающейся потенциальной
бинации.
кривой; она определяется как отно­
шение статистического веса этого со­
стояния к сумме статистических весов всех возможных состояний.
улг\; если, наоборот, вероятность преЕсли rjvx > 1, то сечение а
Эти соображения были
вращения мала rjvx < 1, то а
У*П (
использованы Лином и Тиром [73] для того, чтобы оценить сечение и ско­
рость реакции (6.69), при этом они привлекли экспериментальные дан­
ные [72], полученные на основе измерений скорости ионизации воздуха
в ударной трубе для того, чтобы определить неизвестную величину т.
Как следует из схемы потенциальных кривых молекулы NO, r та Ю см;
величина у оценивается как 0,1. Время т оказалось равным х ж 6- Ю
сек.
Этому соответствует сечение процесса а «? 1,5- 1 0
см (при скорости
y = 3-10 см/сек, Т = 5000°). В результате для константы скорости
реакции (6.69) получилась величина
- 8
i
- 1 3
_ 1 в
2
5
5-1Q-H
32500
т
3
°
см /сек.
(6.113)
У Т°
С помощью константы равновесия реакции, которая в широком диапа­
зоне температур аппроксимируется формулой
hион N, О
е
32500
8
,
12
,2
16
,3
т
Х = (1,4-10- 7 + 1,2-10- 7 -(-1,4-10- 7 )е
,
можно оценить константу скорости обратной реакции — диссоциативной
рекомбинации *). Для низких температур
"дне. рек NO+
"•ион N , О
К
*) О теории этого процесса см. [83].
3
3/
3
3-10- Т°- *см /сек.
(6.114)
353
РЕЛАКСАЦИЯ В ПЛАЗМЕ
§ 20]
Эта величина согласуется с экспериментальными данными по дис­
социативной рекомбинации NO при комнатной температуре и при 2000°.
При высоких температурах, наряду с реакцией (6.69), протекают
аналогичные реакции:
N + N + 5,8 ee->NJ + e, 0 + 0 + 6,5 эв->0+ + е.
Для них в работе [73] также выводятся константы скоростей, но
не прямым путем, как для реакции (6.69), а с помощью констант равно­
весия через скорости соответствующих реакций диссоциативной реком­
бинации. Последние определяются выражениями, близкими к b^ +.
Работа Лина и Тира [73] представляет собою фундаментальное
исследование и в ней можно найти много сведений о скоростях иониза­
ционных процессов в воздухе, а также обзор эксперимента и библио­
графию. Подробный перечень реакций в воздухе с участием заряженных
частиц и константы их скоростей, подобранные по разным литературным
данным, имеются в работе [93].
Процессы диссоциативной рекомбинации играют важнейшую, роль
в Е- и ^-слоях ионосферы (на высотах больше 100 км над уровнем моря).
Подробная сводка экспериментальных данных по коэффициентам диссо­
циативной рекомбинации 5 . . имеется в обзоре Г. С. Иванова-Холод­
ного [71]. ^дис. рек. уменьшается с повышением температуры примерно
как 1/Т ~1/Т
(по разным данным). Для ионов N+ при Т = 300° К
^дис. рек.NJ ^ Ю см 1сек, что соответствует очень большому эффектив­
ному сечению о ж 10~ см . Для ионов О* и NO & . . несколько
меньше.
При рекомбинации в холодном воздухе (в ионосфере) существенную
роль играют реакции перезарядки типа
0 + 0 - ^ 0 + 0 + 1,6 эв.
Атомарные ионы 0 , которые образуются в верхних слоях атмосферы
под действием ультрафиолетового излучения Солнца, рекомбинируют
медленно, перезарядка же с последующей диссоциативной рекомбина­
цией О^ является гораздо более быстрым процессом. Константы скоростей
реакций перезарядки, идущих с выделением энергии, оцениваются [93] как
+
Q
ДИС
У2
р е к
3/2
- 6
3
13
3
+
дис
+
р е к
+
2
2
+
1 2
^перез * 1 , 3 - 1 0 - Г °
1 / 2
3
СМ /Сек.
Рекомбинация в холодном воздухе при сравнительно больших плот­
ностях (в D-слов ионосферы ниже ~ 8 0 км) идет в основном через обра­
зование отрицательных ионов кислорода. Электроны прилипают к моле­
кулам кислорода преимущественно в тройных столкновениях 0 + е +
+ М -> О" + М, а затем ионы О" нейтрализуются с ионами N+ или 0+
в парных или тройных столкновениях. Новейшие данные по рекомбина­
ции в холодном воздухе, а также по многим другим неупругим процес­
сам, протекающим в ионосфере, имеются в обзорах Дальгарно [74] и
А. Д. Данилова и Г. С. Иванова-Холодного [92].
2
3. ПЛАЗМА
§ 20. Релаксация в плазме
В атомарном или молекулярном газе время релаксации для уста­
новления максвелловского распределения по скоростям характеризуется
временем между столкновениями частиц, т. е. газокинетическими сече­
ниями, которые имеют порядок 10 ,слг . Газокинетические сечения равны
_1в
23
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
2
354
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
2
примерно а « па , где радиус а порядка радиуса действия междуатом­
ных и междумолекулярных сил взаимодействия, т. е. порядка размеров
частиц. Иной характер имеют силы, действующие между заряженными
частицами плазмы: электронами, ионами. Кулоновские силы спадают
с расстоянием очень медленно, как 1/г , и не имеют характерного мас­
штаба длины. Поэтому вопрос о «столкновениях» между заряженными
частицами и вопрос о соответствующих временах релаксации должен быть
рассмотрен особо.
Плазму можно представить себе как смесь двух газов, электронного
и ионного, с резко различными массами частиц т и т. Благодаря
резкому различию масс между электро­
нами и ионами затруднен обмен энер­
гией, так как при «столкновениях» эле­
ктрон и ион обмениваются энергией,
которая составляет только долю порядка
т 1т < 1 от их кинетической энергии.
Г~Г
Таким образом, средние кинетические
энергии электронов и ионов, т. е. эле­
ктронная и ионная температуры, могут
в течение сравнительно продолжитель­
ного времени сильно отличаться друг
от друга. Отмеченные два фактора:
дальнодействующий характер кулонов^ис. 6.6. Траектория иона при про­ ских сил и резкое различие масс элек­
лете мимо иона такого же знака:
тронов и ионов, и определяют специ/Г>>%Г-™Хев а ^ оде£^ё
Ф^еские особенности плазмы.
Рассмотрим сначала взаимодейст­
вие заряженных частиц с массами
одного порядка. При столкновениях они могут обмениваться энергией,
сравнимой с начальными энергиями частиц, поэтому установление максвелловского распределения по скоростям, т. е. температуры, требует
всего лишь нескольких столкновений. Если под «столкновением» пони­
мать такое взаимодействие частиц, при котором происходит значитель­
ное изменение скорости и энергии, т. е. отклонение на значительный
угол (порядка 90°), то в случае заряженных частиц «столкновения» про­
исходят при сближении их на такое расстояние, при котором кинетиче­
ская и потенциальная (кулоновская) энергии оказываются сравнимыми.
с»то характерное расстояние г определяется, очевидно, из условия
=»
3
°
« у кТ, где ,Z — заряд' частиц. Таким образом, мерой эффективного
сечения «столкновений» может служить величина
2
е
е
Л
а)
В
б
И
ие;
3
0
Г
2
4
Z*e*
(6.115)
В действительности дело обстоит несколько сложнее, так как в изме­
нении скоростей частиц при кулоновском законе взаимодействия боль­
шую роль играют «далекие» столкновения, соответствующие большим
прицельным расстояниям (рис. 6.6).
«Далекие» столкновения происходят чаще, чем «близкие». При мед­
ленном, кулоновском законе спадания сил суммарный эффект «далеких»
столкновений велик, несмотря на то, что изменение скорости в каждом
таком столкновении мало.
355
РЕЛАКСАЦИЯ В ПЛАЗМЕ
§ 20]
Оценим этот эффект. При пролете одной частицы мимо-другой на при­
цельном расстоянии г, сила, действующая на нее, по порядку величины
Ze
равна F ~ —^-. Время действия силы t ~ r/v, где v — скорость час­
тицы. Изменение скорости при пролете порядка Av ~ Ft/m ~ Z e /mvr.
Поскольку изменение скорости А г; может быть как положительным, так
и отрицательным, естественно характеризовать взаимодействие квадратом
изменения скорости (А г;) ~
Z e /m v r .
Вероятность такого изменения пропорциональна площади кольца
2nrdr. Таким образом, скорость изменения величины (А г;) для потока
частиц Nv порядка
2
2
2
2
i
i
2
2
2
2
2
2
d (A;;)
dt
2
-Nv ^ (Av) -2nrdr
^
J— ,
3
где N — число частиц в 1 см . Нижним пределом интеграла служит
минимальное расстояние, на которое могут приблизиться частицы г к»
=» 2Z e /mv ш ^-—-= . На верхнем ' пределе, при r - v o o , интеграл
логарифмически расходится. Однако очень далекие взаимодействия
в электронейтральном газе экранируются совместным действием поло­
жительных и отрицательных зарядов. Радиусом экранировки, который
можно принять в качестве верхнего предела, является, очевидно, дебаевский радиус d (см. § 11 гл. III). Принимая во внимание формулу (3.78)
для этой величины, найдем:
0
2
2
2
dr
J ^ = liiA i A , Л = — Щ О - — .
=
r
n
4
2
°
(6.116)
2
2(4jt) Z3<W
Если определить время релаксации т как время, в течение которого
(А г;) меняется на величину порядка v , и заменить приближенно v на
v, a mv на ЪкТ, получим
1
1 rf(Ay) - 2 2*е* . .
2
2
2
2
лт
Nv
n
]nA
T^^—dT-^ ^ wW Более строгое рассмотрение [56] приводит к появлению в этой формуле
дополнительного численного множителя, а именно, если v — (8кТ/лтп) *—
средняя тепловая скорость, то
1 =^ - 1 , 1 я | ^ 1 п Л =^ ^
2 4
1
1пЛсек- ,
(6.117)
где А — атомный вес частиц. В частности, для столкновений электронов
друг с другом
^ - ^ ^ - к -
1
-
(6.И8)
С помощью обычной связи между частотой столкновений и газокинети1 —
ческим сечением — = Nva можно ввести условное понятие эффективного
23*
356
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
сечения и для «кулоновских столкновений» частиц
~
ПЙП-
Z
4
e
l
1
Л
6
6.10- Z4 ,
.
1
4,4-10" 4Z4 .
о = 0,69я -щу In Л = — ^ — In Л = —-'
.
„
,п
2
-
г
In Л см .
ллы
(6.119)
Как видим, оно отличается от элементарной формулы (6.115), в которой
не учтены «далекие столкновения» множителем, примерно равным In Л.
Как следует из табл. 6.7*), In Л имеет порядок 10.
Т а б л и ц а 6.7
In Л при 2 = 1
^ \ ^
JV,
см-3
^ \
Г, "К
1012
1015
1018
1021
5,97
9,43
12,8
15,9
5,97
9,43
12,4
5,97
8,96
5,97
\ .
103
104
10&
106
Эффективное сечение очень слабо, логарифмически зависит от плот­
ности и обратно пропорционально квадрату температуры. Оно сравни­
вается с обычными газокинетическими сечениями о ~ Ю см? при тем­
пературе Т ~ 250 000° К **).
Эффективное сечение а и длина свободного пробега I = l/No заря­
женных частиц не зависят от массы, т. е. для электронов и ионов с рав­
ными температурами одинаковы (при Z = 1). Время релаксации, благо­
даря зависимости от скорости, пропорционально корню из массы т ~
-~ 1/v ~ тп ^, т. е. для электронов раз в 100 меньше, чем для ионов (при
равных температурах).
Например, в электронном газе при Т = 20 000° К, N = 10 1/см ,
о « 6 - 1 0 - см и т = 2-10- сек. В газе из ядер водорода (протонов)
при тех же температуре и плотности время в 43 раза больше, т ж 8,6 X
X Ю сек. Из этих оценок видно, что температура в каждом из га­
зов устанавливается очень быстро, так что практически вопрос о релак­
сации установления поступательной температуры почти никогда не воз­
никает.
Другое дело установление термодинамического равновесия между
электронным и ионными газами, т. е. выравнивание электронной и ионной
температур. В ряде физических процессов возникает различие в темпе­
ратурах ионного и электронного газов, которое при стремлении системы
к термодинамическому равновесию должно с течением времени исчезать.
Так, например, в ударной волне, распространяющейся по плазме, в скачке
уплотнения нагреваются только ионы, электроны же остаются холодными
и постепенная передача энергии от ионов электронам и выравнивание
их температур происходят за скачком уплотнения в течение сравнитель- 1 5
1
18
e
1 4
2
13
- 1 2
*) Данные таблицы взяты из книги [56]. Они несколько уточнены по сравнению
с формулой (6.116).
**) Необходимо отметить, что при столь больших температурах и энергиях,
при которых радиус г меньше радиуса ионов (сложных) и сечение (6.119) меньше
«газокинетического», частота столкновений и длина пробега «ионов» определяются
этим последним, а не «кулоновским». При этом следует иметь в виду, что радиусы
ионов тем меньше, чем больше их заряд.
0
3
357
РЕЛАКСАЦИЯ В ПЛАЗМЕ
§ 20]
но большого времени (см. § 12 гл. V I I ) . Оценим время релаксации для
обмена энергией между ионами и электронами и выравнивания их тем­
ператур.
«Эффективное сечение» не зависит от массы заряженных частиц
и характеризует фактически вероятность сильного отклонения частиц
от первоначального направления их движения при взаимодействии.
Эффект обмена энергией является, так сказать, следствием отклонения.
При сравнимых массах частиц сильное отклонение одновременно связано
и с большой передачей энергии, вследствие чего сечение о и определяло
скорость обмена энергией при столкновении одинаковых частиц. При
взаимодействии же частиц с резко различающимися массами (электронов
и ионов) обмен энергией при столкновении, согласно законам сохране­
ния импульса и энергии, не может превышать доли порядка т /т. По­
этому чтобы произошла значительная передача энергии, необходимо,
чтобы частицы испытали примерно т/т ,
т. е. очень много «соуда­
рений».
Повторяя вывод «эффективного сечения» для «столкновения» элек­
тронов и ионов, заметим, что под кинетической энергией сталкиваю­
щихся частиц следует понимать кинетическую энергию их относительного
движения. Если электронная температура не намного меньше ионной,
то относительная скорость всегда совпадает со скоростью электрона.
Приведенная масса также совпадает с массой электрона, так что средняя
энергия относительного движения характеризуется электронной тем­
пературой. Кроме того, в выражении для эффективного сечения один
из множителей Z относился к одной из частиц, а второй — к другой.
Поскольку у электрона Z = 1, то теперь вместо Z* в сечение войдет мно­
житель Z . Таким образом, «эффективное сечение» «столкновений» элек­
тронов с ионами порядка а' ~ nZ e4r\A/(kT ) ,
время между «соударе­
ниями» т' ~ 1/Nv a',
а характерное время обмена:
е
е
2
2
2
2
e
e
т
e i
,
~Щ.
т
1
*).
"*7Nv a
7
e
Более строгое рассмотрение [56] приводит к появлению в этой фор­
муле численного коэффициента порядка единицы. После подстановки
значений констант выражение для времени обмена приобретает вид
з
2
2
_ 250А-Т°е _ г,\ЪЛ^Ат1'
~ NZ*\n\~
NZ*lnA
,
в
X
e
l
С б К
'
. „
[0.14V)
R
m
3
где А — атомный вес ионов, а N — их число в 1 см . Например, при
N = 1 0 " см- ,
7^ = 20 000° К, Z = 1, А = 16 (атомы кислорода),
x х- 2,8-10~ сек. При небольшой разности температур электронов
и ионов 'скорость изменения температуры одного из газов естественно
представить в форме обычного уравнения релаксации типа (6.2):
3
9
ei
dT^
=
T-Te
.
(6.121)
Оказывается, однако, что уравнение кинетики для выравнивания
температур (6.121) справедливо и при большой разности температур.
*) В случае взаимодействия электронов и многократных ионов при достаточно
больших энергиях сохраняет силу замечание, сделанное во второй сноске на стр. 356.
358
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
Уравнение (6.121) со временем обмена (6.120) (отличающимся только
несущественным численным коэффициентом порядка единицы) было впер­
вые выведено Л. Д. Ландау в 1936 г. [57] путем строгого рассмотрения
кинетического уравнения для газа из заряженных частиц, взаимодей­
ствующих по кулоновскому закону.
Заметим, что в случае слабо ионизованного газа уравнение обмена
(6.121) остается в силе, если учесть обмен с нейтральными атомами, поло­
жив 1/т = 1 / т
+ 1/т
. т
выражается прежней формулой
(6.120). Что касается т йтр. то из элементарных соображений можно
написать
ег
еион
енейтр
е и о н
еНе
—
т
«* N V -O
lie&Tp
e
e
упр-2-^f ,
е нейтр
(6.122)
"'
где о "
— среднее сечение упругих столкновений электрона с атомами.
Строгое вычисление [50] приводит к близким результатам. Обычно при
Т ~ 1 эв обмен с нейтральными атомами играет главную роль только
при степенях ионизации меньше, чем ~ 1 0 .
еупр
е
_ 3
ГЛАВА
VII
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
§ 1. Введение
Основные представления об ударных волнах были даны в гл. I.
Показано, что уравнения гидродинамики идеальной жидкости допускают
существование разрывных решений, которые описывают ударные волны.
Гидродинамические величины: плотность, давление, скорость по обе
стороны поверхности разрыва связаны между собою разностными урав­
нениями, соответствующими дифференциальным уравнениям, которыми
описываются области непрерывного течения. И те и другие уравнения
являются выражением общих законов сохранения массы, импульса
и энергии. Из законов сохранения следует, что на поверхности разрыва
испытывает скачок (возрастает) и энтропия вещества. Величина возра­
стания энтропии в ударной волне определяется только условиями сохра­
нения массы, импульса и энергии и термодинамическими свойствами
вещества и совершенно не зависит от механизма диссипации, приводя­
щего к росту энтропии.
В некотором смысле парадоксален тот факт, что уравнения адиаба­
тического движения вещества допускают существование таких поверхно­
стей, на которых энтропия испытывает скачок. Необратимость ударного
сжатия свидетельствует о том, что в нем участвуют диссипативные про­
цессы: вязкость и теплопроводность, которые и приводят к росту энтропии.
Именно благодаря вязкости осуществляется необратимое превраще­
ние в тепло значительной части кинетической энергии газодинамического
потока, набегающего на разрыв в системе координат, где разрыв покоится.
Таким образом, если интересоваться механизмом ударного сжатия,
внутренней структурой и толщиной того переходного слоя, в котором
происходит превращение вещества из начального состояния в конечное
и который в рамках гидродинамики идеальной жидкости заменяется
математической поверхностью, необходимо обратиться к теории, вклю­
чающей в себя описание диссипативных процессов. В гл. I этот вопрос
был рассмотрен применительно к ударным волнам слабой интенсивности.
В этой главе не будет накладываться ограничений на амплитуду удар­
ной волны.
Обычно в гидродинамических процессах изменения макроскопических
параметров в областях непрерывного течения происходят весьма мед­
ленно по сравнению со скоростями релаксационных процессов, приводя­
щих к установлению термодинамического равновесия. Каждая частица
газа в каждый момент времени находится в состоянии термодинамиче­
ского равновесия, соответствующего медленно изменяющимся макро-
BOOKS.PROEKTANT.ORG
БИБЛИОТЕКА ЭЛЕКТРОННЫХ
КОПИЙ КНИГ
для проектировщиков
и технических специалистов
360
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
скопическим параметрам, как бы «следит» за изменением этих параметров.
Поэтому при рассмотрении ударных разрывов в рамках гидродинамики
идеальной жидкости состояния газа по обе стороны разрыва с полным
основанием предполагаются термодинамически равновесными.
В тонком переходном слое, где происходит превращение газа из
начального, термодинамически равновесного состояния в конечное, также
термодинамически равновесное, плотность, давление и т. д. меняются
очень быстро. Термодинамическое равновесие в этой области, называе­
мой фронтом ударной волны, может существенно нарушаться. Поэтому
при изучении внутренней структуры фронта ударной волны необходимо
принимать во внимание и кинетику релаксационных процессов, детально
рассматривать механизм установления конечного, термодинамически
равновесного состояния вещества, которое достигается за фронтом волны.
Изучение внутренней структуры фронта ударных волн представляет
интерес со многих точек зрения. Поначалу вопрос о структуре привле­
кал к себе внимание как чисто теоретическая задача, решение которой
помогает понять физический механизм ударного сжатия, одного из заме­
чательнейших явлений в газодинамике. Позднее ударные волны стали
применять в лаборатории с целью получения высоких температур и иссле­
дования разнообразных процессов, которые протекают в газах при высо­
ких температурах: возбуждения колебаний в молекулах, диссоциации
молекул, химических реакций, ионизации, излучения света (см. гл. IV).
С помощью теоретического рассмотрения структуры фронта ударной
волны удается извлечь из опыта ряд ценных сведений о скоростях этих
процессов.
Наконец, изучение структуры фронта очень сильных ударных волн,
в которых существенную роль играет излучение, проливает свет на вопрос
о такой важной характеристике, как яркость поверхности фронта волны
и позволяет объяснить некоторые интересные оптические эффекты, наблю­
даемые на опыте и при сильных взрывах в воздухе (см. гл. IX).
В основе математической теории структуры фронта ударной волны
лежит предположение о стационарности структуры. Время превращения
вещества в ударной волне из начального состояния в конечное очень мало,
гораздо меньше характерных времен, в течение которых заметно меняются
параметры газа в области непрерывного течения за фронтом волны. Точно
так же ширина фронта гораздо меньше характерных масштабов длины,
на которых заметно меняется состояние газа за фронтом, скажем, рас­
стояния от фронта ударной волны до поршня, «толкающего» волну (пор­
шень двигается с переменной скоростью).
За то малое время, в течение которого ударная волна проходит рас­
стояние порядка ширины фронта, скорость ее распространения, давле­
ние и другие параметры газа за фронтом практически не меняются. Но
кинетика внутренних процессов, протекающих во фронте ударной волны,
распространяющейся по газу с заданными начальными параметрами,
зависит только от амплитуды волны.
Поэтому на протяжении некоторого сравнительно большого про­
межутка времени каждая из частиц газа, втекающих в ударный разрыв,
проходит через ту же последовательность состояний, что и предыдущие.
Иначе говоря, распределение различных параметров во фронте ударной
волны образует как бы застывшую картину, которая в течение этого
времени как целое передвигается вместе с фронтом (рис. 7.1).
Если скорость фронта обозначить через D (D = | D\ > 0), а коор­
динату, нормальную к поверхности фронта в данном месте поверхности,
§ 1]
361
ВВЕДЕНИЕ
через х, то можно сказать, что все параметры состояния газа внутри
волны зависят от координаты и времени только в комбинации х -\- Dt.
В системе координат, связанной с фронтом, процесс стационарен и не
зависит от времени. Это обстоятельство (которое, кстати сказать, уже
было использовано при выводе соотношений на разрыве) чрезвычайно
облегчает задачу с математической точки зрения, так как в системе коор­
динат, движущейся вместе с волной, все параметры состояния газа являют­
ся функциями не двух переменных х и t, а только одной координаты,
и процессы описываются обыкновенны­
ми дифференциальными уравнениями.
t
'
'
?'
В § 23 гл. I при рассмотрении ши- .
« -О
рины фронта ударных волн слабой ин­
*,
тенсивности было показано, что ширина
скачка уплотнения имеет своим маештабом длину пробега молекул. При
Pi
"i
увеличении амплитуды волны ширина ,
уменьшается, и когда превышение да- '
вления за фронтом над начальным
становится сравнимым с самим началь*J
ным давлением, ширина фронта стано­
вится порядка пробега.
Р°филь давления в ударrh
° и волне:
и
Р и с
7 Л >
п
н
Физически
У д а р н ы х ВОЛНаХ
„ _ , „ „ „
н е н и я , В КОТОрОМ
ЯСНО, ЧТО В СИЛЬНЫХ
Ш и р и н а СКаЧКа УПЛОТ„
«
ПОД д е й с т в и е м СИЛ «ВЯЗ-
р
р е„
ударной волны в
лабораторной системе координат; б) скачок в системе координат, связанной с
фронтом.
в )
р а с П
0 С Т
а н
и е
кости» происходит ударное сжатие, все­
гда порядка пробега молекул *). Проще всего это уяснить, если
рассмотреть ударную волну в системе координат, в которой газ за фрон­
том покоится (в системе координат, связанной с поршнем) или, что то же
самое, рассмотреть торможение высокоскоростного газового потока,
набегающего на неподвижную стенку. Кинетическая энергия направлен­
ного движения молекул (кинетическая энергия гидродинамического дви­
жения) при торможении превращается в кинетическую энергию хаоти­
ческого движения, т. е. в тепло. Для «торможения» быстрых молекул,
направленные скорости которых гораздо больше начальных тепловых
(что и соответствует высокой амплитуде волны: высокой сверхзвуковой
скорости волны), достаточно нескольких газокинетических соударений,
так как в каждом ударе молекула в среднем меняет направление своего
движения на большой угол. Поэтому после нескольких соударений направ­
ленный импульс молекул почти полностью рассеивается и скорости ста­
новятся хаотическими.
Для распределения энергии по различным внутренним степеням
свободы — возбуждения колебаний в молекулах, диссоциации, иониза­
ции — требуется обычно много соударений. Ширина релаксационного
слоя, в котором происходит установление конечного, термодинамически
*) Следует подчеркнуть условность понятия «вязкости» в данном случае. Когда
говорят о вязкости, подразумевают, что градиенты скорости малы и скорости заметно
меняются на расстояниях, гораздо больших длины пробега молекул. Иными словами,
вязкость, которая внодится в гидродинамику, есть понятие «макроскопическое». Если
резкое изменение скорости и плотности газа происходит на расстоянии длины пробега
молекул, то это явление «микроскопического» масштаба следует рассматривать не
гидродинамически, а на основе молекулярно-кинетической теории газов. Примени­
тельно к случаю очень больших градиентов, во фронте ударной волны под «вязкостью»
следует понимать механизм превращения направленной скорости молекул в хаотиче­
скую, обусловленный молекулярными столкновениями.
362
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
равновесного состояния, гораздо больше ширины первоначального скачка
! уплотнения. Весь переходный слой фронта ударной волны можно, следо­
вательно, разделить на две зоны, существенно различающиеся по своей
ширине: очень тонкий, «вязкий» скачок уплотнения и протяженный релак­
сационный слой.
В достаточно сильной ударной волне, в которой газ нагревается
до высоких температур, существенную роль играют излучение и лучи­
стый теплообмен. Строение фронта при зтом еще более усложняется.
Ширина фронта определяется наиболее крупным масштабом, характе­
ризующим переходный процесс, связанный с лучистым теплообменом:
длиной пробега излучения, которая обычно во много раз больше газо­
кинетических пробегов частиц.
В последующих параграфах будут подробно рассмотрены особен­
ности строения фронта ударных волн. При зтом мы начнем с рассмотре­
ния ударных волн сравнительно небольшой интенсивности и будем пере­
ходить ко все более и более мощным волнам.
1. СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
§ 2. Вязкий скачок уплотнения
Поскольку процесс ударного сжатия в скачке уплотнения разыгры­
вается на расстояниях, соизмеримых с газокинетическим пробегом моле­
кул, при изучении структуры скачка следовало бы, строго говоря, исхо­
дить из представлений молекулярно-кинетической теории газов. Однако
в качестве первого шага в этом направлении естественно рассмотреть
задачу в рамках гидродинамики реальной жидкости, принимающей во
внимание диссипативные процессы: вязкость и теплопроводность. При
этом, в отличие от вычислений § 23 гл. I, не будем накладывать ограни­
чений на амплитуду ударной волны. В целях связности изложения мы
повторим здесь некоторые выводы и выкладки § 23 гл. I. Чтобы не услож­
нять рассмотрение несущественными в данном случае деталями, связан­
ными с замедленным возбуждением непоступательных степеней свободы
газа, будем считать газ одноатомным и пренебрегать ионизацией.
Запишем уравнения одномерного течения вязкого и теплопровод­
ного газа, стационарного в системе координат, связанной с фронтом
волны:
Q U T
d^_±
^^_У_
dx - 3 V К dx J
dS
dx
Здесь 2 — удельная энтропия, \i — коэффициент вязкости *), S — негид­
родинамический поток энергии, равный, в случае обычной теплопровод­
ности,
*--*£.
где и — коэффициент теплопроводности.
*) В данном случае понятия первой и второй вязкости неразличимы.
7 2
<->
363
ВЯЗКИЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
§ 2]
К системе уравнений (7.1) следует присоединить граничные условия,
выражающие отсутствие градиентов «перед» и «за» фронтом волны, и стрем­
ление гидродинамических величин к начальным (при х = — оо) и конеч­
ным (при х = + оо) значениям. Преобразуя третье уравнение (7.1) с помо­
щью второго закона термодинамики:
TdZ = de + p dV = dw - -i dp
и интегрируя все уравнения (7.1), получим первые интегралы системы:
QU =
Q D,
0
2
Р + Q«" — т И -пг = Ро + QoD ,
(7.3)
Константы интегрирования здесь выражены через параметры началь­
ного состояния газа, которым приписан индекс «О» и скорость фронта
D = и.
Если отнести уравнения (7.3) к конечному состоянию (параметрам
его припишем индекс «1»), получим уже известные соотношения на раз­
рыве, которые для удобства выпишем еще раз:
0
QU =
1
i
Q D,
0
2
Pi + Qiul = Po + QoD ,
(7.4)
Из этих соотношений следует, что скачок энтропии в ударной волне
2 j — 2 = 2 (р Qi) — 2 (р , Q ) совершенно не зависит ни от меха­
низма диссипации, ни от величины коэффициентов вязкости и тепло­
проводности ц и х. Последние определяют лишь внутреннюю структуру
фронта волны и его толщину 6. Толщина вязкого скачка уплотнения б
пропорциональна коэффициентам ц и х, которые в свою очередь пропор­
циональны длине пробега молекул I. В пределе I -»- 0 гидродинамика
реальной жидкости превращается в областях непрерывного течения
в гидродинамику идеальной жидкости. Что же касается фронта ударной
волны, то в пределе I —v 0 он превращается в математическую поверх­
ность, так как б ~ I -v 0. При этом градиенты всех гидродинамических
величин во фронте стремятся к бесконечности как 1/1, а скачки величин
остаются конечными.
Задаваясь коэффициентами вязкости и теплопроводности, а также
термодинамической связью w (p, Q) ( В одноатомном газе w — с Т =
0
и
0
0
р
= -,- — )) можно численно интегрировать уравнения (7.3), (7.2) с указанными граничными условиями. Гораздо удобнее, однако, иметь дело с ана­
литическим решением, так как оно нагляднее демонстрирует все законо­
мерности явления. К сожалению, в общем случае найти аналитическое
решение системы не удается. Проинтегрировать уравнения аналитически
можно, если ограничиться волнами слабой интенсивности и разложить
решение в ряд по малым изменениям одной из газодинамических величин.
Этот метод был использован в § 23 гл. I для оценки ширины фронта
(полное решение имеется в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1]).
364
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Точное аналитическое решение для волны произвольной амплитуды
можно найти в одном специальном случае. Это решение, полученное
впервые Беккером [2], а впоследствии исследованное Мордуховым и Либби [3], описывает все физические закономерности структуры скачка уплот­
нения, обладая простотой и наглядностью. Остановимся на нем подробнее.
Обычно в газах транспортные коэффициенты — кинематическая
вязкость v = \I/Q и температуропроводность % = к/с о — близки друг
к другу и к коэффициенту диффузии lv/3.
Положим комбинацию Рг = цс /х = \/%, называемую числом Прандтля,
равной 3/4. В зтом случае выражение в скобках в третьем из уравне­
ний (7.3) превращается в полный дифференциал величины w-\--^и уравнение принимает вид
р
р
Написав интеграл этого линейного уравнения, мы увидим, что условию
конечности величины w-\—^- при х = + со можно удовлетворить только,
считая ее не зависящей от х:
v, JL- = w +^ -)(7.5)
+
0
2
Таким образом, при числе Прандтля Рг = 3/4 соотношение (7.5) выпол­
няется не только за фронтом волны (см. (7.4)), но и в любой промежу­
точной точке х.
Уравнение (7.5) даёт кривую на плоскости р, V, вдоль которой про­
исходит превращение газа из начального состояния в конечное. Замечая,
что в одноатомном газе, который мы будем рассматривать здесь, w =
5
— Y Р^'
и
п е
Р
е х 0
Д
я
к
безразмерным скорости или удельному объему
_
и _
V
Q
0
найдем уравнение этой кривой:
2
М
1 + — (1 — Т1 )
.£_ =
3
Ро
Ч
2
U
Г ] >
2
4Т)1—Я
(4гц — l ) i ] '
=
п
(
д.
' '
Здесь т]! относится к конечному состоянию за фронтом ударной волны:
и -ij-1-^в—i.-4-lJL
Mi —
-1-
4
4
Q
Q
D
2 —
4
^
4
М2
т\
•
\'-'>
M=Z)/c — число Маха, с — скорость звука в начальном состоянии
(со "=гPoVo)• При выводе формул (7.6), (7.7) были использованы соот­
ношения, связывающие величины по обе стороны фронта волны. Удар­
ная адиабата в переменных Pi/po, Tii имеет вид
Pi
4—та
Ро 4тц—1
На рис. 7.2 изображены ударная адиабата и кривая, вдоль которой
меняется состояние частицы в волне (а также характерная прямая, свя­
зывающая начальное и конечное состояния).
0
0
2=
=
*) Это уравнение аналогично интегралу Бернулли в теории стационарного
течения.
365
ВЯЗКИЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
§ 2]
С помощью формулы (7.6) и первых двух уравнений (7.3) запишем
дифференциальное уравнение, определяющее профили скорости и объема
во фронте волны т] (х):
dr\
М-
(7.8)
Y-£D4-^=-(1-I\)(4-4 ).
1
Будем для простоты считать коэффициент вязкости не зависящим
от температуры и равным ц = Qo^o^o/З (от плотности коэффициент вяз­
кости не зависит, так как ц. ~ QI, a I ~ 1/Q). Интеграл уравнения (7.8)
содержит аддитивную постоянную в соответствии с произволом в выборе
начала координат. Помещая начало координат в точку перегиба профиля
скорости (в «центр» волны) и принимая во вни­
мание формулу (7.7), найдем для ц (х) выра­
жение:
М2-1Ж
1—V^Tit
1 —Ц
27 , / 5 я
а = =
М /о
(7.9)
. . \
1
1
4оКт= ' ;
Зная профиль скорости и = Dt\, уже легко
определить профили и всех остальных величин.
Так, для температуры по формуле (7.5) имеем
=г = 1 + -о- (1 — т) );
J 0
давление
выражается
^
через т] формулой (7.6); знтропия равна:
Рис. 7.2. Ударный переход
А -> В на p,V-диаграмме.
Я— ударная адиабата. Точ­
ка, описывающая состояние
внутри фронта волны, про­
бегает из А в В по пунк­
тирной кривой.
Г
- 2 = Ср1п г- •А\ъQT J
о
Ро К'
Из формулы (7.9) видно, что при х
ц-*-1,
а при
х —v + о о Ti —v %, причем
приближение к начальному и конечному значениям происходит асимпто­
тически, по экспоненциальному закону. Все гидродинамические величины
в волне: скорость, плотность, давление, а также температура, монотонно
изменяются от своих начальных до конечных значений и асимптотически
приближаются к ним при х-*- Т
*)•
Энтропия же меняется немонотонно и внутри волны достигает мак­
симума (что уже было показано в § 23 гл. 1). В этом легко убедиться,
если преобразовать третье, энтропийное, уравнение (7.1) с помощью вто­
рого закона термодинамики, «интеграла Бернулли» (7.5) и второго из
уравнений (7.1)
0
1:
1
П
0 0
rp du,
с dw
т /
dp \
du
„ d 4
\
•U-j
dx
du
du
+ VQU
dx 13 ^ dx
dx
du
4
d 4
— dx
—
3
О"
d4
dx
2
Отсюда видно, что энтропия экстремальна в точке перегиба скорости,
т. е. в «центре» волны. Возникновение максимума энтропии в волне свя­
зано с существованием теплопроводности. Один из диссипативных про­
цессов, вязкость, приводит только к возрастанию энтропии, пропорцио­
нальному (du/dx) .
Благодаря же теплопроводности тепло необратимым
2
*) Точки, где различные величины во фронте волны испытывают перегиб, не
совпадают.
366
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
образом перекачивается из более нагретых слоев газа в менее нагретые.
При этом приращение энтропии частиц за счет теплопроводности в менее
2
^ „
dT
dS
,
нагретых слоях, где -j— ~ —-^г < 0, положительно, а в более нагретых
dS
z
dT ^
„
слоях, где j - ~ — Т Г Т ^ и,— отрицательно.
Убывание энтропии в более нагретых слоях газа ни в коей мере не
противоречит второму закону термодинамики. Энтропия всего газа в целом
или же отдельной частицы в результате всего процесса ударного сжатия
повышается при переходе через ударный разрыв. Отдельный же слой
газа, проходящего через волну, уже не представляет собой изолированной
системы. Энтропия его вначале растет, когда к нему поступает тепло
благодаря теплопроводности и работе сил вязкости, а затем уменьшается,
когда уход тепла за счет теплопроводности в сторону слоев газа, сле­
дующих за рассматриваемым, превышает приток за счет работы сил
вязкости.
Определим ширину фронта, как и в § 23 гл. I, условием
du\
dx J max
Из формулы (7.9) видно, что ширина фронта по порядку величины равна
м
д~1
0
2
М —1
В ударной волне малой амплитуды, когда М — 1 < 1, б ~ 1 /(М — 1)
в соответствии с результатами § 23 гл. I. Ширина волны при этом может
равняться многим пробегам молекул. В случае М = 2, изображенном на
рис. 7.3, ширина фронта равна примерно трем пробегам 1 . При М->оо
б ~ 1 /М —> 0, однако, если учесть переменность коэффициента вязкости
во фронте волны (\i -~ I v ~ V/Q; при М —> со за фронтом ц ~ v ~ D —> со),
то в пределе М —> со ширина фронта оказывается конечной и порядка
пробега. Когда ширина фронта становится порядка пробега, гидродина­
мическая теория теряет смысл, так как в основе ее лежит предположение
о малости длины пробега по сравнению с расстояниями, на которых
происходят значительные изменения гидродинамических параметров. По­
этому к достаточно сильным волнам теория не применима. Физически
ясно, что толщина скачка уплотнения в волне любой амплитуды не может
стать меньше пробега, так как молекулам газа, набегающего на разрыв,
необходимо сделать по крайней мере несколько соударений, чтобы рас­
сеялся направленный импульс и кинетическая энергия направленного
движения превратилась в кинетическую энергию хаотического движения
(в тепло). В то же время толщина скачка уплотнения в случае сильной
волны не может составлять много пробегов, так как в каждом соударении
молекулы набегающего потока теряют в среднем значительную долю
своего импульса.
Задача о строении сильных скачков уплотнения должна рассматри­
ваться на основе молекулярно-кинетической теории газов, поэтому много­
численные исследования, направленные на уточнение изложенной выше
простой теории, учет зависимости транспортных коэффициентов от тем­
пературы, выяснение влияния на структуру фронта числа Прандтля
и т. д. [4—13] не вносят ничего принципиально нового по сравнению
0
0
0
367
ВЯЗКИЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
§ 2]
с рассмотренным частным случаем, и в лучшем случае представляют
интерес для волн слабой интенсивности *).
И. Е. Тамм [100] и, независимо, Мотт-Смит [16] применили кинетиче­
ское уравнение Больцмана к задаче о структуре скачка уплотнения. При­
ближенное решение уравнения Больцмана в области скачка строится в
виде суперпозиции двух максвелловских распределений, соответствующих
температурам и макроскопическим скоростям в начальном и конечном
Е_
и
"в
1
\
24
а)
б)
г
с, •10'
1
18
0.5
\
\
12
О
.т.
-61 -А
С1 4
1? hг
h
- 4 - 2 0 2 4
t
6)
l
1
6
/
*- ^
-4-2
X
0
2
Рис. 7.3. Распределения: а) скорости; б) давления; в) энтропии в вязком скачке уплот­
нения с числом Маха М = 2 в газе с показателем адиабаты 7 = 7/5 и коэффициеитом
вязкости, не зависящим от температуры.
По оси абсцисс отложена координата, измеренная в длинах пробега молекул в невозмущенном
газе (графики взяты из [3]).
состояниях. Относительный вес обеих функций меняется на протяжении
волны от 0 до 1. Толщина фронта при неограниченном возрастании ампли­
туды ударной волны стремится к конечному пределу. По расчетам Сакураи
[17], который несколько усовершенствовал методику Мотт-Смита, в модели
твердых шаров для взаимодействия молекул ширины скачков уплотне­
ния**), измеренные в длинах свободного пробега при начальных условиях,
*) Попытка уточнения гидродинамического приближения путем учета вторых
производных в выражениях для членов переноса (так называемое приближение Барнетта), предпринятая Цоллером [14], несколько уточняет результаты для слабых волн
и, по существу, лишь указывает пределы применимости гидродинамической теории.
При амплитуде волны pi/p = 1,5 толщина волны, по Цоллеру, равна 17 пробегам,
а при PI/PQ = 4 — 6 пробегам. Ширины фронта слабых ударных волн в одноатомных
газах измерялись методом отражения света в работах Хорнига и др. [15] (см. § 5
гл. IV). Ширина оказалась равной 30, 19, 13 пробегам для чисел Маха М = 1,1; 1,5;
2,5 соответственно. Расчеты Цоллера дают неплохое согласие с этими результатами.
См. также [56].
**) Ширина фронта б определяется следующим образом. Если f и /р — функции
распределения молекул в начальном и конечном состояниях, то для функции рас­
пределения в промежуточной точке волны х теория дает f = v (— х) f + v (x) /g,
причем
2x
V(^) = y 1 + th
0
a
a
368
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. ЛИ
равны: б / / = 2,11; 1,68; 1,46; 1,42 при числах Маха, равных М = 2,5;
4; 10; со соответственно.
Отметим еще несколько работ, в которых развивается метод Мотт- .
Смита и скачок уплотнения рассматривается на основе уравнения Больцмана [52—55].
0
§ 3 . Роли вязкости и теплопроводности в образовании
скачка уплотнения
Несмотря на то, что транспортные коэффициенты — кинематическая
вязкость и температуропроводность, так же как и соответствующие диссипативные члены в уравнении энергии, сравнимы между собой, роли обоих
диссипативных процессов в образовании скач,Р
\
ка уплотнения далеко не равноценны. Физи\д
чески ясно, что принципиальную роль в ме^v
ханизме ударного сжатия играет вязкость, а не
\Лч
теплопроводность, так как именно механизм
\ \ v
вязкости приводит к рассеянию направленного
^•^^4
импульса набегающего газового потока и пре,
i
i
вращению кинетической энергии направлен7'
у У/Уе ного движения молекул в кинетическую энер­
гию хаотического движения, т. е. превращению
Рис. 7.4. Прямая ударного механической энергии в тепло. Теплопроводперехода для невязкого газа. ность же лишь перекачивает тепловую энер­
гию из одних слоев газа в другие и воз­
действует на превращения механической энергии косвенным образом
благодаря перераспределению давления.
Чтобы убедиться в этом, полезно рассмотреть задачу об одномерном
стационарном движении газа с граничными условиями, соответствую­
щими ударному сжатию невозмущенного потока в предположении, что
вязкости вообще нет, и диссипация обязана исключительно теплопровод­
ности. Исследование этого вопроса, впервые проведенное Рэлеем [18],
имеет принципиальное значение, так как выявляет особенности струк­
туры фронта ударной волны в присутствии иных механизмов теплообмена:
лучистого переноса энергии или электронной теплопроводности (в плазме).
Если не учитывать вязкости, то первые интегралы уравнений гидро­
динамики одномерного стационарного течения (7.3) принимают вид:
f
д
=
QU — Q D,
0
2
2
P + QU = p + Q D ,
0
0
(7.10)
Из первых двух уравнений (7.10) следует, что в процессе ударного
сжатия в отсутствие Вязкости состояние частицы газа должно непрерыв­
ным образом меняться вдоль прямой на диаграмме давление — удельный
объем
p = p + D*(l-4),
0
Qo
Ч=~.
(7.11)
Это важное свойство течения невязкого газа иллюстрируется рис. 7.4,
на котором изображена ударная адиабата и прямая, связывающая началь­
ное и конечное состояния газа. Попытаемся решить систему уравнений
3 3]
ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ОБРАЗОВАНИИ СКАЧКА
369
{7.10), для чего, как и раньше, исключим все переменные, кроме без­
размерной скорости или относительного удельного объема ц. Для общности,
не будем ограничиваться случаем одноатомного газа и сохраним произ­
вольную величину показателя адиабаты у, который считаем постоянным.
Имея в виду уравнение состояния
г
v
Ho
-AQT,
A = R
(7.12)
Но
У Р
- 1 е ' выразим из третьего уравнения (7.10) и уравнения (7.11) негидродинамиче­
ский поток энергии и температуру через ц:
. T/T„,S
ЯзАо
Т : 1 _|_ уМ (1 — П) ( Г]
(7.13)
уМ ) '
(цо — молекулярный вес) и термодинамическую связь w =
7
2
i
2
с _Л
3
Qo-D
—S-(l-T,)(4-1i).
(7.14)
7'
Здесь, как и раньше, величина
Y—1 .
2
1
ЛГ _(_i т
M2
Y
Y +
XJ
1
есть безразмерная скорость в конечном со­
стоянии, а М = D 1с — число Маха.
Функция Т (ц) проходит через макси­
мум, находящийся в точке
1 , 1
2уМ
11 = Лшах = 2
0
2
Рис. 7.5. Т, т)- и S, ^-диаграм­
мы для случая, когда возмо­
жен непрерывный ударный
переход с одной теплопровод­
ностью без учета вязкости.
При рассмотрении ударных волн различной амплитуды могут предста­
виться два случая. Если амплитуда достаточно мала, то ц > T i .
В самом деле, при числе Маха, близком к единице (М — 1 < 1),
ж
T
« 1
-J-J- (М — 1), т. е. также близко к еди­
нице, тогда как T i « (Y+ 1)/2у < 1- В этом
случае при монотонном сжатии газа от на­
чального объема до конечного (от ц = 1 до
—*5 т] = %) температура монотонно возрастает
от начального значения Т до конечного T ,
равного (при всех условиях)
1
max
Ч 1
t
max
0
t
•It
: l - f 2Y(Y-1) (М
(Y + 1)
То
Графики Т (ц) я S (т\) в этом случае имеют
Рис. 7.6. Профили температу­ вид, изображенный на рис. 7.5.
ры и энтропии в ударной волне
Если исключить т] из уравнений (7.13),
с одной теплопроводностью без
учета вязкости в случае, когда (7.14) и подставить выражение (7.2) для по­
возможен непрерывный пере­ тока S, получим дифференциальное уравне­
ход.
ние типа dT/dx = / (Т), которое имеет не­
прерывное решение. Профили температуры
и энтропии в такой волне схематически изображены на рис. 7.6; они
сходны с профилями, найденными в предыдущем параграфе.
Как видно из энтропийного уравнения (7.1) с ц = 0, энтропия мак­
симальна в точке, где -т- и - j - = 0, или, в случае х = const, в точке,
где температура в волне Т (х) имеет перегиб: d^T/dx* = 0.
Л.
X,
24
Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
2
2
"Ч'+уйО
370
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Таким образом, возможно существование слабой ударной вол­
ны с непрерывным распределением гидродинамических величин во
фронте и в отсутствие вязкости, когда имеется одна лишь теплопровод­
ность.
Рассмотрим теперь достаточно сильную ударную волну.
В этом случае объем, при котором температура максимальна, заклю­
чен между начальным и конечным значениями: т^ < Ti < 1. Дей­
ствительно, при М > 1 т) ах « 1 / 2 ,
IT/T ,S
a ru = (у —• 1)/(Y + 1) < 1/4, так как
показатель, адиабаты газа не может пре­
вышать 5/3.
Таким образом, при монотонном не­
прерывном сжатии газа от начального
объема до конечного температура во
фронте волны неминуемо должна была
бы пройти через максимум. Графики
функций Т (ц) ж S (ц) для этого случая
изображены на рис. 7.7. Посмотрим,
возможно ли существование непрерыв­
ного решения уравнений (7.13), (7.14) в
этом случае. Из формулы (7.14) и рис. 7.7
видно, что поток тепла S, обусловлен­
ный теплопроводностью, во всем интер­
Рис. 7.7. Т, г)- и S, т)-диаграммы для вале изменения относительного объема
случая изотермического скачка при
учете одной теплопроводности, но без от т] = 1 до т) = i\i не меняет знака и на­
правлен навстречу потоку газа: S < 0.
. учета вязкости.
В соответствии с определением потока
S = —xdT/dx, температура при изменении объема от начального до ко­
нечного может только возрастать: dT/dx > 0.
Следовательно, область за максимумом температуры, где dTldt\ > 0,
не реализуется. В этой области объем еще не достиг конечного значения
и должен уменьшаться dt]/dx < 0, темпе­
ратура же падает с уменьшением объема,
/
Т,
т. e.j
dT/dx = (dT/dr\) (df|/da)]< 0,
max
Ш
0
и поток был бы направлен в другую сторону
(S > 0), что противоречит формуле (7.14).
Таким образом, в случае сильной волны
при учете лишь теплопроводности непрерыв­
ное распределение температуры и плотности
по координате невозможно. Прийти из началь­
0
х
ного состояния в конечное, минуя область
падения температуры при увеличении сжа­ Рис. 7.8. Профили темпе­
тия, можно только, включив в решение ратуры и плотности в удар­
с изотермическим
разрыв: именно, состояние меняется непре­ ной волне скачком.
рывным образом от начального (точка А на
рис. 7.7) до точки В, а затем скачком по­
падает в конечную точку С Возникновение скачка плотности и свиде­
тельствует о том, что в нем должны проявляться силы вязкости, т. е.
сильный разрыв может быть размазан только благодаря вязкости, но не
теплопроводности. Температура в скачке остается постоянной, меняется
лишь ее производная, т. е. поток. Профили температуры и плотности
ДИФФУЗИЯ В БИНАРНОЙ СМЕСИ ГАЗОВ
§ 4]
371
в такой волне, называемой «изотермическим» скачком, изображены на
рис. 7.8 *).
Легко найти наибольшую амплитуду, при которой еще возможно
непрерывное решение в отсутствие вязкости Она соответствует случаю,
когда максимум функции Т (т)) совпадает
с конечным состоянием, т. е. т ) = %•
Число Маха и отношение давлений по
обе стороны фронта при этом равны:
т а х
M'-l/JEET
m
~ V Y(3-Y)'
JBL-Y+1-
Po~3-Y'
например, при у = 5/3 М' = 1,35, р[/ро = 2;
при v = 7/5 М' = 1,2, p'Jpj = 1,5.
Если рассмотреть другой крайний слу­
чай, когда есть одна лишь вязкость и нет
теплопроводности, получим непрерывное ре­
шение для гидродинамических величин в
скачке уплотнения, в принципе не отличаю­ Р и с . 7.9. р,У-диаграмма д л я
щееся от решения предыдущего параграфа, у д а р н о й волны с учетом в я з ­
кости.
с тем лишь исключением, что энтропия в
Н — ударная адиабата;
Si»
этом случае возрастает также монотонно (см. S ' — адиабаты Пуассона; So,вдоль
кривой происходит пе­
третье уравнение (7.1) без члена dSldx). пунктирной
реход из начального состояния в
конечное.
Ход энтропии в обоих крайних случаях
можно уяснить путем рассмотрения диаграм­
мы р, V или р, т] (рис. 7.9). В отсутствие вязкости состояние в волне
меняется вдоль прямой АВ и энтропия, как видно из сопоставления
ударной адиабаты и адиабат Пуассона, вначале растет, достигает макси­
мума в точке касания прямой с адиабатой Пуассона 2 ' , а затем умень­
шается. В отсутствие теплопроводности состояние меняется вдоль пунк­
тирной кривой, проходящей ниже прямой АВ (уравнение этой кривой есть
2
п
и ч е м
Р = Ро + ео# (1 — Л) + Y^J^ ' Р
-£, < 0 ) , и она нигде не
касается адиабат Пуассона. Положение здесь вполне аналогично тому,
которое имеет место в волнах слабой интенсивности, рассмотренных
в § 23 гл. I.
§ 4. Диффузия в бинарной смеси газов
Если в смеси газов имеются градиенты термодинамических величин,
то возникает диффузионный поток компонентов смеси, благодаря чему
происходит перераспределение их концентраций. Вообще говоря, диф­
фузия стремится выравнять концентрации компонентов в пространстве.
Однако при существовании градиентов давления, температуры или в поле
внешних сил: силы тяжести, центробежной силы во вращающейся смеси,
и вообще при наличии ускорений, происходит разделение первоначально
равномерной смеси.
В частности, такое положение возникает в ударной волне, распро­
страняющейся по смеси газов. Перед и за фронтом волны концентрации
*) Заметим, что «изотермичность» скачка, т. е. непрерывность температуры
в скачке уплотнения, обусловлена тем, что тепловой поток предполагается пропор­
циональным градиенту температуры. В третьем разделе этой главы при рассмотрении
лучистого теплообмена во фронте ударной волны мы увидим, что если не делать такого
предположения, то значения температуры также будут иметь разрыв.
24*
372
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
компонентов одинаковы и постоянны в пространстве. В области фронта,
где имеются градиенты, концентрации изменяются. Подобно вязкости
и теплопроводности, диффузия представляет собой необратимый молеку­
лярный перенос массы определенного компонента (вязкость переносит
импульс, а теплопроводность — внутреннюю энергию) и является одним
из источников диссипации механической энергии.
Диффузионный поток определяется следующим образом.
Пусть
в бинарной смеси газов массовая концентрация одного из компонентов,
скажем, легкого, с массой молекул т^, равна а. Концентрация второго,
тяжелого, компонента с массой молекул т (т > ту) есть 1 — а *).
Благодаря диффузии одного газа относительно другого газы обладают
различными макроскопическими скоростями. Обозначим их через Wj и и .
Если Q — плотность смеси, то полный поток первой компоненты есть
дащ, а поток второй Q (1 — а) и . Макроскопическая или гидродинами­
ческая скорость смеси и определяется так, чтобы полный поток массы
газа был равен QU (и — импульс единицы массы). Таким образом, QU =
= qaui + Q (1 — а) и или и = au + (1 — а) и . В рамках гидродина­
мики идеальной жидкости скорости обоих компонентов смеси совпадают
и равны и. Потоки компонентов равны Qau и Q (1 — а) г*.
В следующем приближении в гидродинамической теории появляются
вязкость, теплопроводность и диффузия (в смеси). Диффузионным пото­
ком г называется разность между полным и гидродинамическим пото­
ками одного, скажем, первого компонента, г — дащ — дай = qa (щ — и).
Полный поток первого компонента равен сумме гидродинамического
и диффузионного осда + г. Полный поток второго компонента, очевидно,
равен Q (1 — а) и ~ Q (1 — а) и-{- Q (1 — а) (и — и) = Q (1 — а) и — г.
Диффузионные потоки обоих компонентов в бинарной смеси равны
по величине и противоположны по направлению.
Как уже отмечалось выше, диффузия возникает, когда в газе имеются
градиенты концентрации, давления и температуры **).
В одномерном случае градиенты величин равны производным по х,
а вектор г имеет одну, х-ю компоненту, которую будем обозначать просто
через i. Диффузионный поток равен (см. [1])
2
2
2
2
2
t
2
2
2
Здесь D — коэффициент диффузии, k D — коэффициент бародиффузии,
Ipj-D — коэффициент термодиффузии. Безразмерная величина к опреде­
ляется чисто термодинамическими свойствами смеси и равна [1]***)
p
р
A: = ( m - m ) a ( l - a ) ( ^ - + ^ ) * * * * ) p
2
1
(7.16)
7
*) Массовая концентрация а равна массе первого, легкого компонента в одном
грамме смеси. Если числа молекул в одном грамме смеси есть Л^ и N (N -\-N = N),
то a = Niirii, 1 — a = N m . Молярные концентрации равны
JV _ a _ N _ 1—a
2
2
r
2
2
t
2
**) Состояние бинарной смеси характеризуется тремя термодинамическими
величинами: концентрацией и какими-либо двумя из трех величин: температурой,
давлением и плотностью. При изучении диффузии в качестве независимых переменных
удобно выбрать давление и температуру.
***) В отсутствие вязкого переноса импульса (см. ниже).
****) Величину к проще всего вывести, рассматривая равновесие бинарной смеси
в поле силы тяжести при постоянной температуре. В равновесном состоянии числа
р
373
Д И Ф Ф У З И Я В Б И Н А Р Н О Й СМЕСИ ГАЗОВ
§ 4]
При т > rrii kp > 0 и бародиффузионный поток легкого компонента
направлен в сторону понижения давления. Поток, связанный с градиентом
концентрации также направлен в сторону понижения концентрации.
Термодиффузионный поток легкого компонента для большинства смесей
направлен в сторону повышения температуры (при т > т^ к < 0).
В отличие от величины к , величина к , называемая термодиффу­
зионным отношением, зависит не только от концентраций компонентов
(при а = 0 или 1 к = 0) и масс молекул, но и от закона взаимодействия
молекул. Величина к определяется чисто термодинамическими свой­
ствами газа, так как в поле внешних сил термодинамическое равновесие
возможно и при наличии градиента давления. Если существует градиент
температуры, то состояние уже является неравновесным.
Если между молекулами действуют только силы отталкивания,
меняющиеся по закону 1/г , то при п > 5, что обычно и имеет место,
к < 0: легкий газ стремится в сторону повышения температуры. При
п <С 5, что встречается редко, легкий газ стремится в сторону понижения
температуры (к случаю п < 5 относится кулоновский закон взаимодей­
ствия заряженных частиц, п = 2). При п = 5 термодиффузии нет: к = 0.
Обычно при сравнимых относительных градиентах Vp/p, VT/T роль
термодиффузии невелика по сравнению с ролью бародиффузии. Подробнее
о термодиффузии см. [19 J.
С диффузионным потоком связан дополнительный необратимый поток
энергии д, который пропорционален диффузионному потоку г (см. [1]).
Работа В. Жданова, Ю. Кагана и А. Сазыкина [19а], вносит суще­
ственные коррективы в изложенные выше классические представления
о диффузии.
В этой работе выражение для диффузионного потока выводится из
кинетического уравнения при помощи так называемого приближения
«13 моментов» Грэда. Это приближение обладает рядом преимуществ по
сравнению с методом Чэпмена — Энскога, на основе которого получается
выражение (7.15), всякий раз, когда приходится принимать во внимание
высшие приближения в разложении функции распределения. Оказы­
вается, что выражение (7.15) для диффузионного потока справедливо
только в отсутствие вязкого переноса импульса в газе. В условиях, когда
существует вязкий перенос импульса (т. е. градиент скорости), выражение
(7.15) следует дополнить членами, пропорциональными силам вязкости.
Несмотря на то, что эти силы определяются производными второго порядка
от макроскопических величин (от скорости), они могут иметь тот же
порядок малости, что и члены, пропорциональные первым производным,
скажем, член с градиентом давления. Например, в случае чисто вязкого
установившегося течения, когда ускорений нет, градиент давления просто
уравновешивается силами вязкости. При неустановившемся течении
учет сил вязкости в выражении для диффузионного потока фактически
вносит в это выражение члены, пропорциональные ускорениям газа.
В случае чисто вязкого течения замена силы вязкости уравновеши­
вающим ее градиентом давления приводит к изменению постоянной баро­
диффузии к по сравнению с чисто термодинамическим значением (7.16).
Постоянная бародиффузии в вязком потоке уже не является величиной
2
2
р
т
т
т
р
п
т
т
р
3
молекул в 1 см щ и п по формуле'Больцманапропорциональнып^ — ехр (— m gx/kT),
п ~ ехр (— m gx/kT),
где g — ускорение силы тяжести, х — высота. Поскольку
диффузионный поток в равновесии равен нулю, da/dx + (k /p) {dp/dx) = 0. Восполь­
зовавшись связью между концентрацией а и числами частиц n п и замечая, что
р = (щ + п ) кТ, найдем отсюда приведенную формулу для к .
г
2
i
2
p
it
2
р
2
374
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
термодинамической; она зависит от характера взаимодействия молекул
между собою. Постоянная бародиффузии даже может стать при некоторых
условиях отрицательной (в случае, если молекулярные веса компонентов
отличаются друг от друга очень мало, а эффективные сечения молекул
различаются сильно). При учете вязкого переноса импульса меняется
и термодиффузионное отношение к?.
§ 5. Диффузия в ударной волне, распространяющейся
по бинарной смеси
Посмотрим, что происходит, когда по бинарной смеси газов распро­
страняется ударная волна. Во фронте ударной волны имеются большие
градиенты термодинамических величин и, следовательно, возникают
благоприятные условия д л я диффузии. Физически ясно, что во фронте
p
ударной волны происходит концентрироваГ
ние легкого компонента. В самом деле,
р
J
Р
нагретом газе з а фронтом у д а р н о й в о л н ы
м о л е к у л ы л е г к о г о компонента обладают
""jg б о л ь ш е й т е п л о в о й с к о р о с т ь ю , чем м о л е к у pao
f д
тяжелого (v ~
УТТт).
—'
Поэтому молекулы легкого газа «вы*5 рываются вперед» и несколько опережают
молекулы тяжелого (в лабораторной си/>i
'"
стеме к о о р д и н а т , где и с х о д н а я смесь п о ^
коится).
^^_
*
Пусть в тяжелом газе имеется неболь^s^
\
шая примесь легкого газа. Тогда распре*f
*
J ^ ° деление плотностей основного, тяжелого
*Э и легкого газов ( Q И рд) в сильной ударной
Рис. 7.10. Профили давления, *
вид, показанный на рис. 7.10.
плотностей тяжелого (р^) и легизображен профиль концентрации
кого (Qj) компонентов и концент- легкого компонента: а = Q I / ( Q + бд).
рации легкого компонента (а) в
Ширина зоны, в которой имеется поЖ пог н\%о Гсм е°си га зГ;
концентрация легкого компонента, по порядку величины равна Ах ~ D /и ,
где/) — коэффициент диффузии, а через и
обозначена здесь_скорость ударной волны*). Коэффициент диффузии D
порядка Ivi, где ^ — тепловая скорость нагретого в ударной волне лег­
кого газа, а I — длина пробега молекул. Скорость фронта и порядка
тепловой скорости нагретого тяжелого газа и ~ v . Но щ/Ъ да Ут^Щ^,
так что Ах « у т 1т^ I. Ширина вязкого скачка уплотнения порядка I.
Следовательно, ширина зоны концентрирования легкой компоненты в
ym /mi
раз больше ширины скачка уплотнения. Наиболее резко разде­
ляются компоненты при сильном различии масс частиц (mjrrii > 1).
Этот эффект должен бы быть особенно ярко выраженным в случае
плазмы ввиду огромного различия масс электронов и ионов. Однако
в плазме существенную роль играет электростатическое взаимодействие
t
в
й
л
ы
т
2
о л н е и м е е т
1
а
м
ж
е
2
ОИ
Л
Р
Р
Р
Н
В
Ы
Ш
е
Н
Н
а
Я
0
0
0
0
2
2
2
2
*) Это следует из условия стационарности полного потока легкого компонента
в системе координат связанной с фронтом. Приближенно u = Dd ldx, откуда
Ci — Qn exp (— и | x | Щ). Здесь использовано приближенное граничное условие
согласно которому можно считать, что в точке х = о, где имеется вязкий скачок уплот^
нения, плотность легкого компонента равна своему конечному значению Q .
Ql
0
Ql
0
U
375
ДИФФУЗИЯ В УДАРНОЙ ВОЛНЕ
« 5]
электронов и ионов, которое чрезвычайно сильно ограничивает диффу­
зионный процесс (см. об этом в § 13).
Наряду с вязкостью и теплопроводностью диффузия влияет на струк­
туру фронта ударной волны. Чтобы описать эту структуру, следует соста­
вить уравнения плоского стационарного режима, подобно тому как это
было сделано в § 2, при рассмотрении вязкого скачка уплотнения. Урав­
нения сохранения массы и импульса, первое и второе из уравнений (7.3),
остаются, очевидно, без изменений (под ц теперь следует понимать коэф­
фициент вязкости смеси). В уравнение сохранения энергии (третье из
уравнений (7.3)) нужно добавить молекулярный поток тепла, связан­
ный с диффузией, и вместо молекулярного потока, обусловленного тепло­
проводностью S, писать сумму S + q. В систему уравнений теперь войдет
диффузионный поток i, которому пропорционален поток тепла q, т. е.
войдет новая неизвестная функция, концентрация а. Поэтому к системе
должно быть добавлено еще одно уравнение. Это — уравнение непрерыв­
ности (сохранения массы) одного из компонентов (при наличии уравне­
ния непрерывности для всей массы газа сохранение второго компонента
обеспечивается автоматически).
Условие постоянства потока массы легкого компонента в плоском
стационарном случае имеет вид *)
осш + i = const = Qo«o"o
(перед волной диффузионный поток исчезает). Отсюда, кстати сказать,
видно, что за волной, где диффузионный поток также исчезает, концен­
трация равна исходной a = a (так как Q u = Qo"o)Систему уравнений одномерного стационарного течения в бинарной
смеси в принципе можно решать так же, как и для однокомпонентного
газа (см. § 2). Решение даст распределение всех величин во фронте волны.
Такая задача рассматривалась С. П. Дьяковым [20] для случая ударной
волны слабой интенсивности, когда можно произвести разложение всех
величин (см. § 23 гл. I) **).
Как было показано в § 18, 23 гл. I, если рассматривать изменение
давления в слабой ударной волне Ар = р^ — р как величину первого
порядка малости, то изменения объема и температуры также представляют
собой малые первого порядка. Полное изменение энтропии при переходе
газа из начального состояния в конечное 2 — 2 есть величина третьего
порядка малости, а изменение энтропии внутри фронта волны, скажем,
2щах — 2 — величина второго порядка малости. Ширина фронта удар­
ной волны по порядку величины равна Ах » 1р /Ар, где I — длина
пробега молекул. Из уравнения сохранения потока одного компонента,
которое можно переписать в форме
t
0
l
i
0
4
0
0
0
и выражения для диффузионного потока видно, что изменение концентра­
ции в волне Да и поток i есть величины второго порядка малости (дей­
ствительно,
a — a ~ i ~ dpldx ~ Ар/Да; ~ (Ар) ).
2
0
*) Общее уравнение непрерывности для одного из компонентов имеет вид [1]
-~
+ div(oaw-H)=0.
**) См. также работу Шермана [21].
376
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Следовательно, членом, содержащим градиент концентрации в выра­
жении для диффузионного потока, можно пренебречь (da/dx ~ Да/Да; ~
~ (Ар) , тогда как dp/dx ~ (Ар) ).
В работе С. П. Дьякова [20] получено аналитическое решение для
распределения концентрации во фронте ударной волны слабой интенсив­
ности. Мы не будем здесь приводить его (рас­
пределение имеет вид, показанный на рис.
7.11), а оценим изменение концентрации
по порядку величины. Если пренебречь
термодиффузией, которая обычно играет мень­
шую роль, чем бародиффузия (так как вели­
чина к обычно меньше, чем к ), то можно
записать
3
2
т
~
„ .,
р
u
„
и
Qo o
о
Р
х
&
Рис. 7.11. Профили плотности
и концентрации в ударной волКоэффициент диффузии D ~ fv, прине слабой интенсивности, рас^
*^
— '
пространяющейся по бинарной чем тепловая скорость молекул v порядка
смеси газов.
скорости звука, т. е. порядка и . Замечая, чтоАх~ (р/Ар)1, найдем Да ~ к (Ар/р) .
Избыточное количество легкого компонента, собранного ударной
волной (на 1 см поверхности фронта), порядка
М = Q \ (a — a ) dx — QAU-AX — Qk —?-l.
жж
м
J
у
0
2
р
г
<)
0
p
P
В достаточно сильной ударной волне, где Ар ~ р, Да ~ к , М ~
~ Qk l. Если разность масс молекул сравнительно велика (к ~
~ (пг — nil)),
изменение концентрации в сильной волне порядка самой
концентрации и избыточная масса компонента порядка самой массы
компонента в слое толщиной в длину пробега молекул.
Выше отмечалось, что диффузия подобно вязкости и теплопровод­
ности приводит к диссипации механической энергии и повышению энтро­
пии газа (см. об этом в [1 ]) *). Мы знаем, что если исключить из рассмотре­
ния диссипативные процессы, то в рамках гидродинамики идеальной,
жидкости ударная волна представляет собой математический разрыв. Раз­
рыв размывается и превращается в слой конечной толщины с непрерыв­
ным распределением величин только при учете диссипативных процессов.
При этом одна теплопроводность может обеспечить непрерывный переход
в ударной волне только в том случае, если амплитуда волны не слишком
велика (см. § 3).
Интересно посмотреть, может ли диссипация диффузионного проис­
хождения без учета вязкости и теплопроводности обеспечить непрерывный
переход в ударной волне, распространяющейся по бинарной смеси. Этот
вопрос исследовался Каулингом [22] (Каулинг пренебрегал термодиффу­
зией). Оказывается, что, как и в случае действия одной лишь теплопро­
водности, непрерывное решение возможно только при амплитудах ударр
p
р
T 0
2
*) Подобно теплопроводности диффузия может приводить и к локальному умень­
шению энтропии (см. § 2). Благодаря диффузии повышается энтропия всей системы
в целом, либо же энтропия частицы за все время процесса, скажем, при переходе из
начального состояния в конечное в ударной волне. В отличие от теплопроводности
и диффузии, вязкость приводит к локальному повышению энтропии, т. е. за счетвязкости энтропия частицы может только возрастать.
§ 6]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С ЗАМЕДЛЕННЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
377
ной волны, не превышающих определенного предела, который зависит
от разности масс молекул и концентрации компонентов. В предельных
случаях, когда концентрация одного из компонентов стремится к нулю
(а —*• 0 или а —*- 1), т. е. когда газ превращается в однокомпонентный,
или же когда относительная разность масс стремится к нулю, верхнее
значение возможной амплитуды ударной волны также стремится к нулю.
При большом различии масс молекул и сравнимых числах молекул обо­
их сортов диффузия обеспечивает непрерывность перехода вплоть до
довольно больших амплитуд ударных волн, будучи в этом отношении
более эффективной, чем теплопроводность. Так, например, в смеси водо­
рода и кислорода (т /т = 1/8) при молярной концентрации кислорода,
(N IN), равной 10%, возможно непрерывное сжатие смеси в ударной
волне до 4,78 раза (предельное сжатие при значении у = 7/5, которое
было принято в расчете, равно 6). Одна теплопроводность может обеспе1
2
2
-
3v—1
чить непрерывное сжатие не более, чем в
4
', . = -^ раза.
2. РЕЛАКСАЦИОННЫЙ СЛОЙ
§ 6. Ударные волны в газе с замедленным возбуждением
некоторых степеней свободы
Для возбуждения некоторых степеней свободы газа *) часто требуется
много соударений молекул, причем необходимые числа соударений,
т. е. времена релаксации, для разных степеней свободы могут сильно
различаться.
Время установления полного термодинамического равновесия во
фронте ударной волны, а следовательно, и ширина фронта определяются
наиболее медленным из релаксационных процессов. При этом, конечно,
следует принимать во внимание только те процессы, которые приводят
к возбуждению степеней свободы, дающих заметный вклад в теплоемкость
при конечных параметрах газа. Если т
— наибольшее время релакса­
ции, a u — скорость движения газа за фронтом относительно самого
фронта, то ширина фронта порядка Ах ~ ^ltmat = D (Qo/Qi) ^max **)•
Быстрее всего в газе «возбуждаются» поступательные степени свободы
частиц. Поэтому механическая энергия потока газа, набегающего на
разрыв, прежде всего превращается в энергию поступательного тепло­
вого движения атомов и молекул газа. Как было показано в § 2, ширина
вязкого скачка уплотнения в сильных ударных волнах порядка одного
или нескольких газокинетических пробегов.
При комнатных температурах вращения в молекулах возбуждаются
также быстро, в результате небольшого числа соударений; колебания же
при этих температурах обычно не играют роли. Следовательно, ширина
фронта слабых ударных волн, распространяющихся по молекулярному
газу, нагретому до комнатной температуры, порядка нескольких газо­
кинетических пробегов ***).
ш а х
t
*) Напоминаем, что для краткости терминологии к «степеням свободы» мы
относим также и потенциальную энергию диссоциации, химических превращений,
ионизации.
**) В дальнейшем мы снова будем обозначать скорость фронта ударной волны
через D.
***) Исключение составляют молекулярные водород и дейтерий, в которых для
возбуждения вращений требуется порядка сотни газокинетических соударений
см. § 2 гл. VI).
378
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
При температурах порядка 1000° К, когда величина кТ сравнима
с энергией колебательных квантов молекул /п>„ возбуждение колебаний
требует многих тысяч, а иногда десятков и сотен тысяч соударений.
Ширина фронта ударной волны соответствующей амплитуды опреде­
ляется временем релаксации для колебательных степеней свободы.
Скорости релаксационных процессов всегда быстро возрастают
с повышением температуры; так, например, при температурах порядка
8000° К, когда кТ > hv , для возбуждения колебаний достаточно
уже нескольких соударений. Те процессы, которые при какой-то ам­
плитуде волны были медленными и определяли ширину фронта, в волне
большей интенсивности становятся быстрыми и им на смену приходят
другие.
Например, при температуре порядка 4000—8000° К в двухатомном
газе достижение термодинамического равновесия в основном затягивается
из-за медленной диссоциации молекул (колебания возбуждаются сравни­
тельно быстро, а ионизация еще незначительна).
При температуре порядка 20 000° К для диссоциации молекул доста­
точно небольшого числа соударений, и ширина определяется скоростью
первой ионизации (вторая ионизация несущественна). При Т ~ 50 000° К
на смену первой ионизации приходит вторая и т. д.
Конечно, граница температурной области, в которой тот или иной
релаксационный процесс является медленным, не четкая. Точно так же
при данной температуре не всегда только один из процессов определяет
толщину фронта. Но в каком-то приближении всегда можно для ударной
волны данной амплитуды подразделить процессы возбуждения различных
степеней свободы, вносящих заметный вклад в теплоемкость, на быстрые
и медленные. При этом под быстрыми следует понимать такие процессы,
для которых времена, релаксации т
сравнимы с газокинетическими
и для которых характерные масштабы Ах = UiX порядка немногих
газокинетических пробегов, т. е. сравнимы с толщиной вязкого скачка
уплотнения. К медленным же следует отнести процессы, требующие очень
большого числа газокинетических столкновений.
Вопрос о структуре фронта ударной волны в газе с замедленным
возбуждением части теплоемкости был впервые проанализирован одним
из авторов в 1946 г. [23, 24] на примерах обратимой химической реакции
и возбуждения колебаний в молекулах.
Рассмотрим качественно процесс ударного сжатия в газе с замедлен­
ным возбуждением некоторых степеней свободы. При этом не будем пока
конкретизировать виды степеней свободы и лишь разделим их на две
категории: те, которые возбуждаются быстро, и те, которые требуют
многих газокинетических столкновений.
Диссипативные процессы — вязкость и теплопроводность — играют
роль только в области больших градиентов гидродинамических величин,
т. е. в зоне, где возбуждаются быстро релаксирующие степени свободы.
Эта зона в какой-то мере совпадает с областью вязкого скачка уплотне­
ния. В зоне медленной релаксации, растянутой на расстояния многих
газокинетических пробегов, градиенты малы и диссипацией можно пре­
небречь.
Не будем интересоваться структурой узкой зоны быстрых процессов.
Она в принципе не отличается от структуры вязкого скачка уплотнения,
рассмотренного в § 2. Увеличение теплоемкости за счет быстрого возбу­
ждения непоступательных степеней свободы вносит лишь некоторые коли­
чественные изменения в структуру вязкого скачка, не меняя основных
0Л1
K011
р е л
peil
$ 6]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С ЗАМЕДЛЕННЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
379
качественных закономерностей. Поскольку толщина этой зоны невелика,
порядка нескольких пробегов, можно приближенно рассматривать ее как
бесконечно тонкую и величины по обе стороны ее связать уравнениями
«охранения, вполне аналогичными уравнениям (7.4). В дальнейшем для
определенности терминологии мы будем называть зону быстрой релакса­
ции «скачком уплотнения», в отличие от понятия «фронта ударной волны»,
который включает в себя всю переходную область от начального до конеч­
ного термодинамически равновесного состояния. Отмечая гидродинами­
ческие величины непосредственно за скачком уплотнения штрихом,
запишем уравнения для определения этих
величин
Q'U' = Q D; p' + Q'u'* = p + Q D*;
0
0
0
Энтальпия w' = w' (р', р/) = ги' (Т', р/)
включает в себя только быстро возбуждае­
мые степени свободы газа.
Растянутая зона медленной релакса­
ции описывается интегралами уравнений
•одномерного стационарного течения типа
(7.3), в которых можно пренебречь диссипативными членами.
Рассматривая Q, p, e, w, и как функ­
ции текущей координаты х, запишем ин­
тегралы уравнений в этой зоне:
QU = Q D = Q'U',
0
2
2
2
Р + QW = Ро + Qo# = Р' + QV ,
U2
П2
w- - - = J ~—=w
T
Wo
r
и'2
+-5-
(7.17)
Рис. 7.12. р,У-диаграмма для
ударной волны, распространяю­
щейся по газу с замедленным
возбуждением части степеней
свободы.
Начало координат х = 0 удобно поместить в точку, соответствующую
скачку уплотнения, который считается «бесконечно тонким». Точно так
же, если следить за изменением во времени состояния конкретной частицы
газа, проходящей через фронт ударной волны, то за начальный момент
t = 0 удобно принять момент резкого сжатия в скачке уплотнения.
Начальные или граничные условия для газодинамических параметров
Q (х), и (х) и т. д. имеют вид Q (0) = р/, и (0) = и и т. д.
При ж->- + оо, как и раньше,
Q (оо) = Q , и (оо) = Ui и т. д.
t
Изобразим на диаграмме р, V две адиабаты Гюгонио, выходящих
из точки А начального состояния газа (рис. 7.12). Одна из них (//) соответ­
ствует достижению полного термодинамического равновесия, т. е. соответ­
ствует конечным состояниям газа за фронтом ударной волны. Другая (/)
соответствует возбуждению только быстро релаксирующих степеней
свободы и «замороженности» медленно релаксирующих (при расчете адиа­
баты / считается, что удельная внутренняя энергия в медленно возбу­
ждаемых степенях свободы такая же, как и в начальном состоянии,
несмотря на то, что плотность и давление газа меняются).
Адиабата / проходит круче, чем / / , как показано на рис. 7.12. Дей­
ствительно, при одинаковой плотности температура и давление газа при
условии замороженности некоторых степеней свободы выше, так как,
380
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VIB
грубо говоря, одинаковая энергия сжатия распределяется по меньшему
числу степеней свободы *).
Проведем прямую АС, связывающую начальное и конечное состоя­
ния газа. Как известно, наклон этой прямой определяется скоростью
распространения ударной волны по невоз­
мущенному газу D.
Из первых двух уравнений (7.17)
следует, что состояние частицы газа в ре­
лаксационной зоне меняется вдоль этой
прямой:
2
P = Po + Q o 0 ( l - ^ ) =
!
= p' + ( » V ( l - ^ - )
-
(7.18>
Таким образом, точка, описывающая пос­
ледовательные состояния частицы газа при
Рис. 7.13. р,7-диаграмма для данной скорости фронта, скачком перехо­
слабой ударной волны, распрост­ дит из начального состояния А (р , V )
раняющейся по газу с замедлен­
V)
ным возбуждением части степеней в промежуточное состояние В (р\
свободы. А К — касательная к за скачком уплотнения, а затем движется
ударной адиабате / в точке А.
до конечного состояния С (p V ) вдоль
прямой (7.18). При этом давление и сжа­
тие возрастают по мере приближения к конечному состоянию, а ско­
рость газа относительно фронта уменьшается.
В случае, если волна настолько слаба, что скорость ее меньше ско­
рости звука, соответствующей замороженности части степеней свободы,
прямая АС проходит ниже касательной к адиабате / в точке А (рис. 7.13).
При этом состояние непрерывным образом^ меняется вдоль прямой АС
от точки А до точки С, и в газе с самого начала происходит постепенное
возбуждение замедленной части теплоемкости.
Из формулы (7.18) видно, что давление в релаксационной зоне в силь­
ной ударной волне возрастает немного. В самом деле, даже если в зоне
быстрого сжатия возбуждаются только поступательные степени свободы,
V'/V = 1/4, то давление в релаксационном слое может возрасти не более,
чем на 25%, так как величина 1 — V/V , которой пропорционально
изменение давления р — р , заключена в интервале 1 > 1 — V /V >
> 1 — F ' / F > 3 / 4 . Если же быстро возбуждаются и другие степени
свободы, V'/V < 1/4, изменение давления в релаксационной зоне ещеменьше. Совсем незначительно увеличение энтальпии в релаксационной
области.
Из третьего и первого уравнений (7.17) следует, что
0
iy
0
t
0
0
0
t
0
0
0
w=w +^ ( l - ^ y
0
(7.19)
2
Величина (V/V )
< 1/16, так что увеличение энтальпии в релак­
сационной зоне в любом случае не превышает 5—6%.
0
*) При этом, как показывают расчеты, увеличение числа частиц при диссоциации
или ионизации не в состоянии скомпенсировать уменьшение температуры за счетзатрат энергии на диссоциацию и ионизацию при неизменном объеме, так что давлениев случае / / все равно меньше, чем в случае / .
ВОЗБУЖДЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ
3 7]
381
КОЛЕБАНИЙ
Поскольку в релаксационной зоне удельная энтальпия почти неиз­
менна, а теплоемкость по мере возбуждения ранее замороженных сте­
пеней свободы возрастает, температура в ней уменьшается. Уменьшение
температуры может быть довольно значительным, если запаздывающая
часть теплоемкости велика и вносит большой вклад в конечную тепло­
емкость газа. Конечная температура T может быть в два-три раза меньше
температуры Т' за скачком уплотнения. Точно так же значительно может
возрастать и плотность газа (грубо говоря, р -~ QT; p меняется мало,
а Т сильно). Профили р, Q, и, Т во фронте ударной волны, распростра­
няющейся по газу с замедленным воз­
буждением части теплоемкости, изобра­
Pi
жены схематически на рис. 7.14.
Для конкретных расчетов профилей
•следует воспользоваться уравнениями ки­ Р»
нетики для соответствующих релаксацион­
Ах
а;
ных процессов, что будет сделано для не­
скольких случаев в следующих параграфах.
А
Заметим, что если ударная волна со­
А
здается поршнем, движущимся с постоян­
ной скоростью и, то скорость движения
Ах
х
газа за скачком уплотнения относительно
невозмущенного газа D — и' не совпадает
П=и„
\и'
-со скоростью поршня (она меньше послед­
ней); со скоростью поршня совпадает
только относительная скорость газа в ко­
Ах
х
нечном состоянии за фронтом волны:
t
D — Ui.
§ 7. Возбуждение молекулярных
колебаний
О
Ах
При температурах за фронтом ударной
волны порядка 1000—3000° К (в зависимо­ Рис. 7.14. Профили давления,
сти от типа молекул) диссоциация молекул плотности, скорости и] температу­
очень мала, и вкладом химической энергии ры во фронте ударной волны,
во внутреннюю энергию газа можно пре­ распространяющейся по газу с
замедленным возбуждением части
небречь. Уширение фронта при этом про­ степеней
свободы; Дж=5г « релак —
исходит в основном за счет замедленного
ширина фронта.
возбуждения молекулярных колебаний.
Вращения молекул при таких температурах возбуждаются очень быстро,
в результате нескольких столкновений, так что вращательная энергия в
каждой точке фронта волны равновесна и соответствует «поступатель­
ной» температуре газа в этой точке.
Будем рассматривать двухатомный газ из молекул одного сорта,
в начальном состоянии нагретый до нормальной температуры порядка
Т ж 300° К. При такой температуре энергия колебаний чрезвычайно
мала и показатель адиабаты равен 7/5. Параметры газа за скачком уплот­
нения можно вычислить с помощью обычных формул для идеального
газа с постоянной теплоемкостью, соответствующей участию только посту­
пательных и вращательных степеней свободы молекул и показателем
адиабаты у' = 7/5. Выпишем эти формулы, характеризуя амплитуду
т
0
ударной волны числом Маха (М = ~ ; с\ =^- V ),
Po
0
как это принято
382
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VI»
при проведении лабораторных исследований:
о'
6
ео
1 + 5М- '
2
ма
Ро
2"
То
Ч -4'
2
= Г б ( - ' ) ) (М + 5).
Параметры конечного состояния за фронтом ударной волны можно вычис­
лить с помощью общих соотношений на фронте, задаваясь функциями
w (Ti) или е (Ti) с учетом колебательной энергии.
В общем случае конечные параметры газа не выражаются простыми
формулами, так как колебательная энергия в квантовой области сложным'
образом зависит от температуры (см. формулу (3.19)). Если рассматри­
вать достаточно сильные ударные волны, в которых температура за фрон­
том больше энергии колебательных квантов, поделенной на постоянную
Больцмана, Т > hv/k, то колебательная энергия равна своему классиv где показатель адиаческому значению кТ на молекулу и е = - —1- —,
t
7
м
2
4
±
7
баты у = 9/7. В' этом предельном случае е = -к- PiV , ударная адиа­
бата имеет простой вид *):
iL^^pIilXo
^
|i/Pj>±6
4
и
л
и
t
=
( 7 2 0 >
С помощью общего соотношения (1.67), из которого следует, что
можно легко выразить р /ро, так же как V /V и Т /Т = PiV /p V ,
через число Маха М.
Надо сказать, что область применимости указанной простой фор­
мулы для ударной адиабаты двухатомного газа весьма ограничена. Если
Ti < hv/k, то колебательная энергия не равна кТ; при температурах
же, заметно превышающих hv/k, становится существенной диссоциация
молекул. Рассмотрим для примера ударную волну в кислороде с числом
М = 7. Пусть начальная температура равна Т — 300° К. Если начальноедавление — атмосферное, скорость звука равна с = 350 м/сек, а ско­
рость ударной волны D = 2,45 км/сек. Параметры газа за скачком уплот­
нения равны Q'/QO = 5,45, р'/р = 57, Т'/Т = 10,5, Г = 3150° К.
Параметры в конечном состоянии за фронтом волны: QI/QO = 7,3,
pjpo = 60, Ti/To = 8,2, T = 2460° К. У кислорода hv/k = 2230° К;
T немного больше этой величины, так что простой формулой для вычис­
ления Ti пользоваться можно (диссоциация кислорода при такой тем­
пературе и не слишком малой плотности столь мала, что ее можно неучитывать).
Найдем распределение параметров газа в релаксационной зоне и оце­
ним ее ширину. Удельная внутренняя энергия газа в какой-нибудь точ­
ке х складывается из энергии поступательных и вращательных степеней
свободы, равной -^ AT, где Т — «поступательная» температура в точке х,
±
±
Q
±
0
i
0
0
0
0
0
t
t
*) Подчеркнем, что эти формулы не совпадают с формулами для газа с постоян­
ным показателем у = 9/7, так как в начальном состоянии у = 7/5 и е = 5/2p V .
0
0
0
383
ВОЗБУЖДЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
§ 7]
а Л — газовая постоянная, рассчитанная на грамм, и неравновесной
5
энергии колебаний, которую обозначим через е : е = -^ AT + e . Как
уже отмечалось выше, удельная энтальпия практически не меняется
в релаксационной зоне (в приведенном численном примере изменение
ее составляет всего 1%), поэтому
к
K
7
w = -~- AT -\-ъ я» const ^ w =» w'.
к
i
Эта формула связывает неравновесную энергию колебаний с темпе­
ратурой в точке х. Непосредственно за скачком уплотнения колебания
еще не возбуждены (в начальном состоянии при Т = Т да 300° К коле­
бательная энергия очень мала), так что в точке х = 0 за скачком уплот­
нения е = 0. Затем начинается постепенное возбуждение колебаний,
е растет, а температура падает от Т' до конечной величины T , при кото­
рой колебательная энергия достигает равновесного значения, соответ­
ствующего этой температуре. Чтобы найти распределение температуры
по х, воспользуемся уравнением кинетики возбуждения колебаний (6.9):
<fe _ е (Г)—ек
0
к
к
t
1
K
к
dt
T
K
Здесь е (Т) — равновесная энергия колебаний, соответствующая посту­
пательной температуре Т, а т — время релаксации.
Будем для простоты рассматривать только достаточно сильные удар­
ные волны, в которых температура высока и равновесная колебательная
энергия выражается классической формулой: е (Т) = AT. При зтом
к
к
к
7
9
7
е = w —- AT = -j AT
j AT. Подставляя эти выражения в урав­
нение кинетики и переходя от субстанциональной производной по вре­
мени к дифференцированию по координате с учетом стационарности про­
цесса: — = -г--\-и~=и—
, получим уравнение:
к
±
±
dT
dx
9 Т, — Т
I
ux
K
Время релаксации т зависит от температуры и плотности (или давле­
ния) газа. Приближенно зту зависимость можно описать формулой (6.17),
выведенной в § 4, гл. VI:
к
const pconst
„„„ i/
st/r
s
С целью выяснения физической стороны дела будем приближенно счи­
тать величину их в релаксационной зоне постоянной и соответствующей
некоторым средним между Г и f j , Q' И ОД значениям температуры и плот­
ности (и = DQ /Q). Такое приближение имеет смысл, так как темпера­
тура и плотность меняются не сильно. Так, в нашем численном примере
температура меняется в 1,28 раза, Г — в 1,08 раза, а плотность и ско­
рость меняются в 1,34 раза.
Интегрируя уравнение для температуры с начальным условием
Т — Т' при х = 0 и принимая во внимание, что в силу условия w' = w ,
Т' = -=- Т получим профиль температуры:
к
0
1/з
t
и
384
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Имея в виду, что давление почти постоянно (р ~ QT Ш const), а темпера­
тура меняется также не сильно, найдем приближенно распределение
плотности:
Q = Qi-(Qi-Q')e
luX
"
lux
= Q' + (Qi-Q')(l-e
«).
(7.22)
Таким образом, температура и плотность при х -v сю асимптотически
приближаются к своим конечным значениям Т q , причем эффективная
ширина релаксационной зоны и фронта ударной волны равна примерно
и
f
7
Ах = -у-мт .
(7.23)
к
Формулы (7.22), (7.23) могут служить для экспериментального опре­
деления времени колебательной релаксации. Для этой цели обычно интерферометрическим методом измеряют распределение плотности за скачком
уплотнения и ширину фронта ударной волны (см. гл. IV). Для извлечения
из опыта более точных данных изложенную простую теорию можно уточ­
нить, учитывая квантовую зависимость колебательной энергии от темпе­
ратуры, переменность скорости и = и (х) и т. д. Качественной картины
распределений и порядка ширины фронта все эти уточнения, конечно,
не изменяют.
Изложенная теория распространяется и на колебательную релакса­
цию в многоатомных молекулах, если амплитуда ударной волны такова,
что возбуждаются только самые низкочастотные колебания *). Расчеты
и измерения для газов С 0 и N 0 имеются в работе [25]. В табл. 7.1
2
2
Таблица
км
D, сек
м
То
1
т-106,
сек
Р1
Ро
7.1
Ах, см
Кислород
5,95
8,0
I
|
2,08
2,8
I
|
2000
3300
j
|
6,3
7,1
I
|
5
0,8
6,55
7,14
| 30
| 5 •
I 0,165
| 0,031
Лзот
7,42
9,97
2,43
3,26
|
3000
5000
1
j
1,11
0,23
дается несколько значений ширин фронта ударных волн в кислороде
и азоте, определяемых колебательной релаксацией (по данным измере­
ний Блэкмана [26]).
Они приведены к давлению за фронтом pi = 1 атм (Ах ~ т ~ 1/pi),
начальная температура Т = 296°.
Подробнейший обзор всех теоретических работ, посвященных расчету
структуры зоны колебательной релаксации во фронте ударной волны
содержится в статье Блайта [57]. Там рассматриваются самые разно­
образные приближенные решения, а также приводятся результаты точных
0
*) В случае нелинейных многоатомных молекул численный коэффициент 9/7
в формулах (7.21), (7.22) нужно заменить на 11/9 в соответствии с иной вращательной
теплоемкостью (3/2fc на молекулу вместо ik).
§ 8]
ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
385
решений уравнений, полученных при помощи вычислительных машин
(см. также [58]).
Отметим несколько экспериментальных работ, в которых изучается
колебательная релаксация во фронте ударной волны и определяются
соответствующие времена релаксации и скорости возбуждения колеба­
ний. Кислород изучался в работах [59, 60], окись азота [61], окись угле­
рода [62], двуокись углерода [63, 64].
Подробный обзор экспериментальных данных с многочисленными
ссылками имеется в книге Е. В. Ступоченко, С. А. Лосева и А. И. Осипова [90].
§ 8. Диссоциация двухатомных молекул
При температурах за фронтом ударной волны в двухатомном газе
порядка 3000—7000° К ионизации еще нет, колебания молекул возбуж­
даются сравнительно быстро и уширение фронта волны связано с наиболее
медленным релаксационным процессом — диссоциацией молекул. Оценки
показывают, что время колебательной релаксации при указанных темпе­
ратурах примерно на порядок меньше времени установления равновесной
диссоциации. Поэтому приближенно можно считать колебательную энер­
гию в каждой точке релаксационной зоны, так же как и вращательную,
равновесной. Параметры газа эа скачком уплотнения соответствуют про­
межуточному значению показателя адиабаты у' = 9/7 (колебания при
столь высоких температурах вполне «классичньт»). Их можно вычислить
по формулам (7.20), (7.21).
Заметная диссоциация появляется только в достаточно сильных
ударных волнах, так что сжатие за скачком уплотнения близко к пре­
дельному соответствующему показателю у = 9/7 и равному 8 (предпола­
гаем, что ударная волна распространяется по газу, нагретому до нор­
мальной температуры Т ^ 300° К). При этом формулы (7.20), (7.21) упро­
щаются и дают приближенно
6о
'
Po~40
i V 1
'
T
0
320
'
где М — число Маха.
Параметры газа за фронтом ударной волны с учетом диссоциации
не выражаются простыми формулами (см. § 9 гл. III); они вычисляются
на основе общих соотношений на фронте.
Найдем распределение параметров газа в релаксационной зоне.
Удельная внутренняя энергия газа с учетом диссоциации молекул равна
(см. формулу (3.21)):
в = ^(1-a)
AT+ 2a^AT+
aU = (^-^-')
AT+ aU,
где U — энергия диссоциации 1 г газа, а а — степень диссоциации (кото­
рая может быть и неравновесной).
Поскольку уже непосредственно за скачком уплотнения сжатие газа
весьма велико (близко к восьмикратному), изменение давления в релак­
сационной зоне мало, а изменение знтальпии — ничтожно мало. Отсюда
следует, что
р = А (1 + a) QT Ъ const = р' = AQ'T',
(7.24)
w = (-| + | Л AT + aU^ const = 10' = ^ AT'.
25
Я Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
(7.25)
386
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ.УИ
Эти формулы позволяют выразить степень диссоциации и плотность
в точке х волны через температуру, либо же температуру и плотность
через степень диссоциации. Так, например, пренебрегая а (а < 1) по
сравнению с 9, найдем из формулы (7.25):
где Гдис = U/A (например, для кислорода Т
= 59 400° К).
За скачком уплотнения в точке х = 0 диссоциации еще нет: а = О
и Г = Г .
Затем начинается диссоциация; степень диссоциации растет, а тем­
пература вследствие затрат энергии на диссоциацию падает. Так проис­
ходит до тех пор, пока диссоциация не достигает равновесного значения,
соответствующего температуре газа.
Для нахождения распределений параметров по х воспользуемся
уравнением кинетики диссоциации (см. § 5 гл. VI).
Рассмотрим здесь ударные волны не очень большой амплитуды, в ко­
торых степень диссоциации, достигаемая за фронтом, невелика: а < 1.
В этом случае можно пренебречь диссоциацией молекул ударами атомов
и оставить в уравнении кинетики (6.21) только члены, соответствующие
диссоциации ударами молекул и рекомбинации атомов, в тройных столк­
новениях с участием молекул в качестве третьих частиц. При переходе
в уравнении кинетики (6.21) от чисел атомов в ел* к степени диссоциации
по формуле N = 2aN (N — число исходных молекул в см ) следует
дифференцировать по времени только степень диссоциации, но не плот­
ность газа (т. е. N ), так как в уравнении (6.21) нет члена, описывающего
изменение плотности. (Если к уравнению (6.21) добавить такой член, то
он сократится со слагаемым 2а -~ , получающимся при дифференциро­
вании N в выражении
N = 2N a.)
тс
4
3
8
A
0
0
0
0
A
0
Пренебрегая во всех членах величиной а по сравнению с единицей,
имея в виду определение времени релаксации т (6.25) и переходя от суб­
станциональной производной по времени к производной по координате,
запишем уравнение кинетики в виде
da _ М
(а) Г,
а_"1
dx 2ит1_
(а)2 J '
где (а) — равновесная степень диссоциации, соответствующая темпера­
туре и плотности газа в точке х (см. формулу (6.23)).
Как и в предыдущем параграфе, будем считать время релаксации
т (Т, Q) и скорость газа относительно скачка уплотнения и = DQ /Q
постоянными и соответствующими некоторым средним значениям темпера­
туры и плотности в релаксационной зоне. Если конечная степень диссо­
циации очень мала, изменение температуры и плотности не очень велико,
и с целью грубой оценки такое приближение сделать можно. Равновесную
степень диссоциации (а), которая зависит от Т и Q, также будем считать
постоянной и равной степени диссоциации в конечном состоянии а .
Интегрируя с этими допущениями уравнение кинетики и подчиняя реше­
ние начальному условию а = 0 при х = 0, получим
_
0
4
С
'±=2-=<Г«.
(7.27)
§ в]
387
ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
Если подставить степень диссоциации а, вычисленную по этой фор­
муле, в выражение (7.26), найдем профиль температуры Т (х) (при а = а
Т = ^1), a затем по формуле (7.24) найдем профиль плотности о (х).
Не будем выписывать формул для распределений Т (х) и Q (X). Ясно,
что они, так же как и формула (7.27), свидетельствуют об асимптотиче­
ском стремлении этих величин к конечным значениям за фронтом волны
Т и Qi- Эффективная ширина релаксационной зоны и фронта, как и сле­
довало ожидать, равна примерно
Ах ъ* ыт,
ь
х
где т — некоторое среднее время релаксации в неравновесной зоне.
Неравновесная диссоциация во фронте ударной волны на опыте
изучалась многими авторами. Целый ряд работ посвящен кислороду.
Г,=3050°К»гО,ОН
8,37
8,27
Абсолютная
ошибка
Теория
М,-8,5
V
Рис. 7.15. Распределение плотности за скачком уплотнения в кислороде по
данным [27].
Начальное давление р = 19,6 мм рт. ст., начальная температура Т„ = 300° К.
в
Мэттьюз [27] интерференционным методом измерял распределение плот­
ности в неравновесной зоне за скачком уплотнения в ударной трубе.
Опытные данные сопоставлялись с теоретическими расчетами, выполнен­
ными на основе решения уравнения кинетики диссоциации. Вычислялся
ряд профилей с различными значениями констант, входящих в выраже­
ние для скорости реакции, и константы выбирались так, чтобы получи­
лось наилучшее согласие с опытом. (Расчеты профилей делались более
точно, чем это было изложено выше.)
""""' "<
Полученная из опыта скорость диссоциации кислорода была приве­
дена в § 6 гл. VI. На рис. 7.15 изображен профиль плотности в неравно­
весной зоне ударной волны в кислороде по данным' Мзттьюза. Из рис. 7.15
видно, что ширина фронта ударной волны в условиях опыта порядка
Да; л; 1 см. С. А. Лосев [281 и Н. А. Генералов и С. А. Лосев [291 изме­
ряли распределение температуры за скачком уплотнения в зоне неравно­
весной диссоциации кислорода по поглощению ультрафиолетового излу­
чения в полосах Шумана — Рунге молекул 0 , которое зависит от
2
25*
388
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
температуры. По поглощению света изучалась скорость диссоциации
брома и йода в ударной волне [30]. В работах Камака [65], Ринка и др.
[66], Врая и Фримена [91] изучалась диссоциация кислорода в ударной
волне; в работе [67] — диссоциация водорода; в работе [68] —дис­
социация и рекомбинация азота. Обзор работ и подробная библиография
даны в книге [90].
§ 9. Ударные волны в воздухе
Воздух представляет собой смесь двух двухатомных газов: азота
и кислорода (79 и 21% по числу молекул). В ударных волнах, амплитуды
которых соответствуют конечным температурам 7\ ~ 3000—8000° К,
наблюдается значительное расширение фронта ударной волны вследствие
диссоциации молекул азота и кислорода. Помимо реакций диссоциации,
в нагретом воздухе протекает реакция окисления азота. Определение
профилей газодинамических величин во фронте волны и ширины фронта
требует совместного решения уравнений кинетики всех этих реакций.
Такие расчеты были проделаны Даффом и Дэвидсоном [32], а также
рядом других авторов. Ряд работ посвящен экспериментальному изуче­
нию неравновесной зоны в воздухе с помощью ударных труб. Ссылки
на эти работы можно найти в обзоре [31] и в книге [90].
Приведем для иллюстрации результаты расчетов [32] (расчеты были
выполнены с помощью электронной машины). В расчетах принимались
во внимание следующие основные химические реакции:
о +м^*о+о+м,
2
N + M=f*N + N + M, •
NO + M ^ N + O + M,
0 + N ^ N O + N,
N + 0 ±NO + 0.
Во всех этих реакциях М соответствует любому атому или молекуле.
Для трех реакций диссоциации были приняты следующие постоянные
значения скоростей рекомбинации: 3-Ю , 3-Ю и 6-Ю моль- • см • сек- .
Скорости прямых четвертой и пятой реакций были взяты в форме
2
2
2=P
14
13
/с = 5-10 ехр (
4
п
2
k = l- 10 Т
5
ехр С
~RT~J
14
моль
14
г см3 с
2
в
1
1
~ - - ек~ ,
1
3
1
^ г - ) моль' • см • сек*
(ср. с данными § 8 гл. VI).
Расчеты проводились в двух предположениях: 1) колебательные сте­
пени свободы в каждой точке неравновесной зоны равновесны, 2) кинетика
возбуждения колебаний рассчитывалась одновременно с кинетикой хими­
ческих реакций. Распределения температуры и плотности за скачком
уплотнения в ударной волне с числом Маха М = 14,2, распространяю­
щейся по воздуху с ро = 1 мм рт. ст., Т = 300° К, показаны на рис. 7.16.
Температура за скачком уплотнения Т' равняется 9772° К, если считать,
что в скачке возбуждаются равновесные колебания, и 12 000° К — без
учета колебаний.
Кривые первого расчета проведены сплошными линиями, второго —
пунктирными. Расхождение кривых не очень велико, но все же заметно,
так как скорости химических реакций не очень сильно превышают ско0
389
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЗДУХЕ
§ 9]
рости возбуждения колебаний. Ширина фронта волны в указанных усло­
виях, как видно из рис. 7.16, порядка 5 мм.
Ширину релаксационного слоя в воздухе в области диссоциации
измеряли Н. А. Генералов и С. А. Лосев [33]. Изменение температуры
в релаксационном слое регистрировалось по изменению поглощения света
от постороннего источника в полосах Шумана — Рунге молекул кисло­
рода. Давление за фронтом ударной волны было близко к атмосферному.
12
Температура
0
/
Z 3 4 5 6 7 8 9 W
Расстояние от сначка уплотнениями
Рис. 7.16. Профили температуры и плотности во фрон­
те ударной волны в воздухе счислом Маха М=14,2.
По оси ординат отложены температура и отношение плот­
ностей о/о«. Начальное давление Р„ = i мм рт. ст., темпера­
тура То = 300° К. Сплошные кривые соответствуют мгно­
венному возбуждению, а пунктирные — конечной скорости
возбуждения колебаний.
При D = 3,7 км/сек Ах ж 0,5 см (средняя температура в слое Т ж
« 4500° К); при D = 2,8 км/сек Ах = 1,3 см (Т » 3200° К). Сопоставле­
ние с расчетами Даффа и Дэвидсона [32] свидетельствует о правильности
выбора основных констант скоростей реакций в этих расчетах.
В одной из последних работ (Рэй, Тир, Хаммерлинг, Кивель [69]) при­
водится перечень констант скоростей химических реакций, протекающих
в нагретом воздухе. Константы выбраны авторами на основе анализа
имеющегося экспериментального материала и рекомендуются ими для
расчетов неравновесных процессов в ударных волнах. Расчеты струк­
туры фронта для воздуха, выполненные авторами, согласуются с изме­
рениями Лина [70] в ударной трубе.
Приводим этот перечень. В последних двух строчках приведены кон­
станты скорости реакций ионизации и рекомбинации электронов, которые
играют важнейшую роль в установлении равновесной ионизации в воз­
духе при сравнительно низких температурах.
Реакция
О + О+ М-*-0 + М
2
Константа скорости
рекомбинации, смв/моль^-сек
8
2,2-1020г- /а
9
3 / 2
1 Б
1 / 2
8,0-101 Г-
N + N + M->N + M
Третья частица
о
N , N, NO, A
N
N
О , О, NO, A
2
2,5-10 Г5,5.1020Г- /2
3
2
2,0-1020Г-
О
3/2
2
2
г
390
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
Реакция
Константа скорости
рекомбинации, смЯ/молЫ- сек
21
3/г
20
3/г
2,0-Ю Г1,0-10 Г~
N + 0+M-^NO + M
[ГЛ. VII
Третья частипа
N0, О, N
0 , N,A
2
2
Константа скорости,
см?/моль • сек.
3
NO + N-*-0-fN
N0 + 0->-N + 0
N + O->-NO+ + e
N0+ + e ->N + 0
2
l,3-10i
1,О.1О1 Г в-10 Г- е1,8-10 Г2
2
1 3
3
1 / 2
1/2
3120/т
3 2 5 0 0 / т
21
3/г
Константы скоростей обратных процессов для химических реакций
можно выразить через константы скоростей прямых процессов и соответ­
ствующие константы равновесия.
Подробнейший перечень скоростей различных реакций, протекаю­
щих в воздухе, в том числе и с участием заряженных частиц, дан в гл. 11
сборника [92].
Отметим работы [71—75], в которых изучаются релаксационный слой
ударной волне в воздухе и смежные вопросы.
Более подробный обзор работ по ударным волнам в воздухе имеется
в книге [90].
§ 10. Ионизация в одноатомном газе
При температурах за фронтом ударной волны порядка 15 000—
20 000° К газ заметно ионизован. Установление ионизационного равно­
весия при таких температурах является наиболее медленным из релак­
сационных процессов, и именно оно определяет ширину фронта волны *).
С точки зрения экспериментального изучения ионизации в ударной
трубе особенно привлекательны одноатомные газы. Благодаря отсут­
ствию ряда степеней свободы, которыми обладают молекулярные газы,
в одноатомных газах легче достигаются высокие температуры: ~ 1 5 000—
20 000° К. Одноатомные газы благоприятны и для проверки теории явле­
ния, так как ионизация (первая) является единственным релаксацион­
ным процессом, расширяющим фронт ударной волны.
Первое подробное исследование такого рода было проведено Петшеком и Байроном [35] для аргона.
Рассмотрим ударную волну в одноатомном газе. Заметная ионизация
получается только при весьма большой амплитуде волны, поэтому в скач­
ке уплотнения достигается предельное сжатие, равное четырем, в соот­
ветствии с показателем адиабаты у' = 5/3. Параметры за скачком уплот­
нения выражаются через число Маха простыми формулами:
Qo
Ро
4
*\>
1 6
Например, при числе Маха М = 18 и начальной температуре Т —
= 300° К, что соответствует скорости ударной волны в аргоне D =
= 5,75 км/сек, температура за скачком уплотнения Т' = 30 000° К.
В равновесии, за фронтом ударной волны в аргоне, при начальном
0
*) Диссоциация молекул при таких температурах происходит очень быстро,
в результате небольшого числа соударений.
ИОНИЗАЦИЯ
S 10]
В ОДНОАТОМНОМ
ГАЗЕ
391
давлении р = 10 мм рт. ст. газ оказывается ионизованным примерно
на 25%, а температура Т = 14 000° К.
Толщина скачка уплотнения равна примерно двум-трем газокинети­
ческим пробегам атомов. Перед фронтом ударной волны, а следовательно,
и непосредственно за скачком уплотнения газ если и ионизован, то очень
слабо. После ударного сжатия в высоконагретой частице газа начинается
ионизация. Основным механизмом является ионизация электронным уда­
ром (см. гл. VI). Однако для того чтобы ионизация развивалась путем
электронных ударов с образованием электронной лавины, необходимо,
чтобы в газе имелось некоторое начальное «затравочное», количество
электронов. Одним из механизмов, которые могут привести к этой началь­
ной ионизации, является ионизация при соударениях атомов друг с дру­
гом. Как отмечалось в гл. VI, эффективное сечение такого процесса чрез­
вычайно мало. Поэтому для образования «затравочных» электронов
за счет атом-атомных столкновений требуется довольно значительное
время. Соответственно зона за скачком уплотнения, где параметры газа
отвечают ничтожно малой степени ионизации, т. е. равны Q' , р', 7", рас­
тягивается на весьма большое расстояние.
Лавинообразная ионизация начинается, когда скорость ионизации
электронным ударом становится больше скорости ионизации ударами
атомов *). Поскольку последняя чрезвычайно мала, лавинообразная
ионизация начинается уже при очень малой «затравке», при степени иони­
зации а ~ Ю —10~ . Оставим пока в стороне вопрос об образовании
-«затравочных» электронов и рассмотрим основной процесс ионизации
электронным ударом, в результате которого степень ионизации выра­
стает от очень малых до равновесных значений (а = 0,25 в приведен­
ном выше примере).
При постоянной электронной температуре Т лавина нарастает по
экспоненциальному закону типа п ~ а ~ е' (см. § 11 гл. VI) до тех
пор, пока рекомбинация не начинает заметно компенсировать иониза­
цию. После этого степень ионизации постепенно приближается к равно­
весной, при которой рекомбинация в точности компенсирует ионизацию.
В действительности развитие лавины происходит более сложным
образом. Дело в том, что в каждом акте ионизации электронный газ
теряет энергию, равную потенциалу ионизации / (который в аргоне
равен 15,8 эв). Температура же электронного газа порядка 10 000° К, т. е.
тепловая энергия одного электрона порядка 1,5 эв. Таким образом, на об­
разование одного нового электрона затрачивается энергия, равная тепло­
вой энергии примерно десятка электронов. Если бы тепловая энергия
электронов не восполнялась, электронная температура быстро упала бы.
Вместе с нею упала бы и скорость ионизации, которая чрезвычайно резко,
но больцмановскому закону типа e-^ «, зависит от электронной темпе­
ратуры (см. § 11 гл. VI).
Потери энергии электронов на ионизацию восполняются благодаря
передаче электронам энергии от нагретого в скачке уплотнения атомного
таза. Однако обмен энергией между тяжелыми частицами и электронами
вследствие большого различия их масс протекает крайне медленно,
ж именно этот процесс обмена ограничивает скорость развития элек­
тронной лавины и определяет время достижения равновесной ионизации.
При очень малой степени ионизации ионов мало, и электроны приоб­
ретают энергию при соударениях с нейтральными атомами. Но эффектив*) Либо ионизации за счет других процессов. О возможных механизмах образо­
вания затравочных электронов речь пойдет ниже.
0
±
-5
3
±
е
/т
е
ftr
392
[ГЛ. VIJ
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
ность таких соударений при электронной температуре Т ~ 1 - эв я?
?» 10 ° К примерно в 10 раз меньше эффективности соударений элек­
тронов с ионами. Поэтому передача энергии от атомов электронам суще­
ственна только в самом начале процесса и уже при небольшой иониза­
ции а ~ Ю основную роль приобретает обмен энергией между ионами
и электронами. Ионы имеют температуру, совпадающую с температурой
атомов, так как вследствие одинаковости масс обмен энергией между
атомами и ионами осуществляется очень быстро. Таким образом, неболь­
шое количество ионов в данном случае служит как бы посредником при
передаче энергии от атомов к электронам, В самом электронном газе энер­
гия распределяется быстро, так что можно говорить об электронной тем­
пературе Т , которая, естественно, отличается от температуры тяжелых
частиц — атомов и ионов Т.
Электроны не только ионизуют, но и возбуждают атомы. Энергия
первого возбужденного уровня атома аргона равна Е* = 11,5 эв.
При значительных электронных концентрациях возбужденные атомы
дезактивируются электронными ударами второго рода. Энергия возбуж­
дения при этом вновь возвращается к электронному газу. Однако при
электронных температурах порядка и, в особенности, больше 1 эв иони­
зация возбужденного атома при электронных ударах становится более
вероятной, чем дезактивация (для ионизации требуется не слишком боль­
шая энергия: / — Е* = 4,3 эв). Ионизация при этом протекает в две сту­
пени: сначала атом возбуждается, потом ионизуется. Затрата энергии
на ионизацию при таком двухступенчатом процессе все равно остается
равной потенциалу ионизации: Е* + (/ — Е*) = I. Возможны и много­
ступенчатые процессы, когда при столкновениях электронов с возбуж­
денным атомом он ионизуется не сразу, а претерпевает один или несколько
актов повышения степени возбуждения (см. гл. VI).
Если ионизация возбужденных атомов происходит быстро по срав­
нению с дезактивацией и возбуждением невозбужденных атомов, то ско­
рость ионизации по существу определяется только скоростью возбуж­
дения (по формуле (6.79)). Именно такое предположение делали Петшек
и Байрон [35], считая, что каждый атом «мгновенно» ионизуется вслед
за актом возбуждения. Возбужденные атомы частично высвечивают свою
энергию. Возникающий в результате высвечивания квант поглощается
по соседству другим, невозбужденным, атомом (эффективное сечение
поглощения резонансных квантов очень велико), который в свою очередь
высвечивается и т. д. *).
Составим систему уравнений, которая приближенно описывает про­
цесс ионизации и распределения газодинамических величин в ударной
волне. Для простоты ограничимся случаем малой ионизации: а < 1.
Будем для удобства относить энергию и другие термодинамические вели­
чины не к 1 г, а к одному исходному атому газа.
*
е
4
3
- 3
е
*) Резонансные кванты, рожденные в нагретой зоне за фронтом ударной волны,
диффундируя по газу и проникая через поверхность фронта, выходят и за пределы
нагретой области. После этого они диффундируют в невозмущенном газе, опережая
распространение ударной волны. Благодаря диффузии резонансного излучения перед
фронтом на больших расстояниях возникает заметная концентрация возбужденных
атомов. Этот процесс был рассмотрен Л. М. Биберманом и Б. А. Векленко [34]. Они
показали, что на расстоянии 1 м от фронта волны в аргоне ср = 10л(жрт. ст., М = 18,
Т = 14 000° К концентрация возбужденных атомов достигает 5-10 см' , что соответ­
ствует «температуре» возбуждения ~ 13 500° К, лишь немного меньшей температуры
резонансного излучения, выходящего с поверхности фронта и равной T .
0
13
3
%
t
§ 10]
393
ИОНИЗАЦИЯ В ОДНОАТОМНОМ ГАЗЕ
Энтальпия на исходный атом равна
w = Y кТ + у акТ + а/.
е
Из приближенного условия постоянства энтальпии в релаксационной
зоне и условия а < 1 следует связь степени ионизации с атомной темпе­
ратурой, аналогичная (7.26):
а = | ^ ,
(7.28)
*• ион
где Г
= Ик (в аргоне Т
= 1,83-10 °К).
Давление газа равно р = пкТ + пакТ ?» пкТ, где и = п + гс =
= п ~\- п — суммарное число атомов и ионов в 1 с и . Его можно выра­
зить через температуру атомов и степень ионизации из уравнения прямой
(7.18). С меньшей точностью его можно определить из приближенного
условия постоянства давления в релаксационной зоне р ж пкТ х, п'кТ'.
Это дает
1
5
и о н
иоа
е
а
г
3
а
е
п = Ы ^\-~^у\
(7.28')
0
3
где п — число атомов в 1 см перед фронтом.
Уравнение кинетики для степени ионизации а = п /п есть
da
da
q
(7.29)
dt
dx
n
Здесь q представляет собою алгебраическую сумму всех членов,
описывающих возникновение и исчезновение свободных электронов
в 1 см в 1 сек. В основной области q определяется ионизацией атомов
электронным ударом. В рамках предположения Петшека и Байрона,
например, q представляет собою в этой области скорость возбуждения
атомов q = a%n n , где константа скорости а* дается формулой (6.79).
В самом начале процесса, сразу за скачком уплотнения, q определяется
процессами, приводящими к образованию «затравочных» электронов
(атом-атомными столкновениями и т. д.; см. ниже). На последней стадии,
в области приближения к равновесию, в q следует учитывать реком­
бинацию.
Скорость ионизации электронным ударом зависит от температуры
электронного газа, которая подчиняется уравнению баланса электрон0
е
3
e
a
5
ной энергии. Обозначим 2 , w = — akT энтропию и энтальпию элек­
тронов, приходящиеся на один исходный атом; р = пакТ — элек­
тронное давление. Имея в виду, что dldt = ud/dx, запишем уравнение
баланса
е
e
e
е
е
dx
\ dx
n dx J
n
где w — приток тепла в 1 см в 1 сек за счет передачи энергии от ионов
и атомов электронам, а со — потери энергии электронов на ионизацию
(в 1 см в 1 сек)*). Согласно (6.121)
3
ea
г
3
*) Уравнение (7.30) можно вывести и из уравнений типа (1.10), (1.6), записанных
для электронного газа. При этом, однако, следует учесть, что при наличии градиентов
макроскопических величин в ионизованном газе обязательно происходит небольшая
поляризация, в результате которой возникают электрические поля, препятствующие
394
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
т
[ГЛ. VII
x
где 1/т бм = 1/ ег + 1/т<?; ei — характерное время для обмена энергией
между ионами и электронами (формула (6.120)), х — между нейтраль­
ными атомами и электронами (формула (6.122)). Потери энергии на иони­
зацию равны
0
а
еа
щ=1
9
= 1пи-^.
(7.32)
Система дифференциальных уравнений (7.29) и (7.30) относительно
а (х), Т (х) и алгебраических уравнений (7.28) и (7.28'), которые дают
Г (а), п (а) с соответствующим образом определенной скоростью иониза­
ции д, дает возможность найти распределения всех величин в зоне релак­
сации. Фактически скорости обмена и неупругих потерь со и <в в зна­
чительной степени компенсируют друг друга: со — со < <в , <в , так
что в подавляющей части зоны релаксации уравнение баланса (7.30)
сводится к алгебраическому соотношению со « со которое позволяет
выразить а в виде функции Т . Именно так поступали Петшек и Байрон
при расчете ширины зоны релаксации.
Основную трудность при рассмотрении ионизации в релаксационной
воне представляет вопрос об образовании затравочных электронов.
Эффективные сечения ионизации ударами атомов фактически неизвестны
(см. § 15 гл. VI). Имеющиеся в литературе экспериментальные данные
для аргона [37, 38] относятся к энергиям в несколько десятков электронвольт. Поэтому при расчетах приходится задаваться какими-то более
или менее разумными значениями сечений. Расчеты структуры зоны
релаксации в аргоне были сделаны Бондом [36], Л. М. Биберманом
и И. Т. Якубовым [93] *). Для иллюстрации приведем рассчитанные
в последней работе распределения атомной и электронной температуры
и степени ионизации для числа Маха М = 16, D = 5,1 км/сек и началь­
ного давления р = 10 мм рт. ст. (рис. 7.17). Эти кривые рассчитаны
в предположении, что атомы ионизуются электронным ударом прямо
с основного уровня, а сечение ионизации ударами атомов вблизи порога
е
еа
еа
еа
г
г
еа
г
ь
е
0
заметному разделению зарядов (подробнее см. § 13). Поле поляризации Е обеспечи­
вает «жесткую» связь электронного и атомно-ионного газов. При учете действия поля
в уравнениях движения и энергии электронов появляются дополнительные члены
m
n
ee
-jf = —Vp — en E,
e
e
A [n, ( | * Г + ^ ) ] +div [n u (|*r
е
e
e
e +
i^l) ]=
а -щ-еп Еи .
еа
в
е
Вследствие крайней малости массы электронов инерционный член в уравнении движе­
ния электронного газа очень мал и градиент электронного явления уравновешивается
действием электрического поля поляризации: — еп Е = Vp . Подставим эту величину
в уравнение энергии, пренебрежем малой кинетической энергией электронного газа
и перейдем к одномерному стационарному случаю. Замечая еще, что скорость электрон­
ного г а з а « практически не отличается от скорости атомно-ионного газа и, имея в виду
интеграл уравнения непрерывности пи = const и определение п = are, получим
уравнение (7.30). Выпишем также уравнения движения и энергии для атомно-ионно­
го газа:
dti
е
e
е
е
m n—=—Vp
a
A[
+ eniE, p = p + Pi, п = п + щ,
a
а
2
W
(|^ ^f )]+div[reu(|-^ +^ ) ] = +
f
f
l
e
a
+ re^ .
e
') В работе [35] приводятся только значения полной ширины зоны.
M
« 10]
ИОНИЗАЦИЯ В ОДНОАТОМНОМ ГАЗЕ
395
в зависимости от энергии столкновения е аппроксимируется прямой линией
с наклоном С = 1,2-Ю- см /эв, так что при е = / + 1 эв сечение а =
= 1,2-Ю- см (см. гл. VI). Из рис. 7.17 видно, что вначале ионизация
чрезвычайно мала и развивается очень медленно. Электронная темпе­
ратура довольно быстро поднимается до некоторого значения Т да 1,3 эв
в затем остается почти постоянной.
В этой области поступление энергии
от ионов компенсируется потерями на
ионизацию. Надо сказать, что время на­
копления затравочных электронов за счет
атом-атомных столкновений должно слабо
зависеть от выбора сечения. В случае Т =
— const оно вообще не зависит от сечения
атом-атомной ионизации и определяется
временем последующего развития элек­
тронной лавины (это было показано в кон­
це § 13 гл. VI). Как показывают расчеты
[93], учет ступенчатого характера иони­
зации электронным ударом с предвари­
тельным возбуждением атомов значи­
тельно сокращает время ионизации и
ширину зоны релаксации только при Л,ш 4
числах Маха ударной волны меньше 13—
12; при М > 13 это уменьшение незначи­
тельно.
Опыты по изучению ионизационной
•OJ0
релаксации в аргоне были проведены
Петшеком и Байроном [35] на ударной
трубе. Чтобы расширить неравновесную
•0,05
область и увеличить времена релакса­
ции, сделав их доступными для измере­
ний, работа велась при весьма низких на­ х,см 4
3
2
1
чальных давлениях аргона. Наиболее
надежные измерения были сделаны при Рис. 7.17. Распределение элек­
и атомной температур Т ,
р = 2 мм рт. ст. Распределение электрон­ тронной
Т и степени ионизации а в|ударной плотности в ударной волне определя­ ной волне в аргоне в предположе­
лось путем регистрации сплошного спек­ нии, что начальные электроны об­
тра свечения, которое возникает при элек­ разуются за счет атом-атомных
столкновений. Число Маха 16,
трон-ионной рекомбинации и интенсив­ давление
перед фронтом 10 мм
ность которого в данном сечении х ударной рт. ст., начальная температура
293° К.
волны пропорциональна квадрату плот­
ности электронов (газ прозрачен для из­
лучения). Кроме того, проводились зондовыеизмерения градиентов элек­
тронной плотности, которые согласовывались с измерениями свечения.
Опыты показали, что ширина зоны релаксации, которая в значительной
мере определяется скоростью начальной ионизации, сильно зависит от
степени очистки аргона, т. е. в образовании затравочных электронов
существенную роль играют примеси (с низкими потенциалами иони­
зации).
Приведем некоторые результаты измерения времени ионизационной
релаксации в аргоне.
Времена релаксации и примерные ширины фронта пересчитаны
к начальному давлению р = 10 мм рт. ст. (они обратно пропорцио20
20
2
2
е
е
е
0
0
396
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII.
нальны плотности газа). Значения относятся к весьма чистому газу, с со­
держанием примесей ~ 5 - 1 0 ~ .
5
м
Т'°, К
D, км/сек
10,3
11,5
13,4
16,4
20,3
10 000
12 500
16 700
25 000
40000
3,3
3,7
4,3
5,25
6,5
Х- 108 сек
Ах, см
100
17
3
0,5
0,1
-6,5
- 1
-0,2
~ 0,032
- 0,006
Опыт показывает, что In т, грубо говоря, линейно зависит от 1/7",.
т. е. что т ~ exp (const/7"). Константа в этом законе соответствует
энергии активации примерно 11,5 эв.
Сопоставление опытных данных о распределении электронной плот­
ности с расчетами лавинной ионизации показало, что лавина развивается
только после того, как начальная ионизация достигает величины порядка
0,1 от равновесной, или абсолютной величины а ~ 10~ . Вопрос о при­
роде начальной ионизации в работе [35] так и остался невыясненным.
Оценки показали, что ионизация в результате атом-атомных соударений
или фотоионизация квантами, рождающимися в равновесной зоне, не мо­
жет обеспечить быстрое образование большого количества начальных элек­
тронов, которое нужно для объяснения опытных данных. Свидетельством
недостаточности механизма атом-атомных соударений может служить.
тот факт, что расчеты с учетом только этого механизма приводят к време­
нам релаксации, которые в десятки раз больше экспериментальных [93].
В ряде работ высказывались различные предположения о механизме
начальной ионизации, в частности предположение о том, что играет роль
диффузия электронов, проникновение их из области с большой сте­
пенью ионизации в зону, где ионизация мала, и даже в газ перед фронтом
ударной волны. (Изучению диффузии электронов в ударной волне посвя­
щены работы [39, 76, 77].)
Отмечалась роль возбуждения атомов перед фронтом резонансным
излучением, выходящим из равновесной области [94].
Анализ различных механизмов ионизации в ударной волне в аргоне
(и вообще одноатомных газов) содержится в уже цитированной выше
работе Л. М. Бибермана и И. Т. Якубова [93]. Авторы исследовали влия­
ние вариаций в выборе эффективных сечений ионизации ударами элек­
тронов и атомов, роль ступенчатых и радиационных процессов. Они
пришли к выводу о том, что в ускорении образования начальных элек­
тронов решающую роль должно играть возбуждение атомов резонансным
излучением, выходящим из равновесной зоны. Благодаря этому эффекту
сильно повышается концентрация возбужденных атомов, которые легкоионизуются электронным ударом. Учет этого позволил авторам значи­
тельно сократить расхождения между расчетными и экспериментальными
значениями времени релаксации и добиться удовлетворительного согла­
сия тех и других. Надо сказать, что в вопросе об ионизационной релак­
сации, в особенности о механизме начальной ионизации, полной ясности
еще нет. Отметим работу [95], в которой изучалась релаксация в ксеноне,
и работу [96] о влиянии излучения.
2
§ 11. Ионизация в воздухе
Ионизация в ударных волнах в воздухе изучалась в ранних работах
[40, 41, 70, 78, 79, 80] и особенно тщательно в опытах [87]. В последних
опытах в ударной трубе исследовались волны со скоростями 4,5—7 км/сек
(числа Маха 14—20) при начальных давлениях 0,02—0,2 мм рт. ст. Изме-
i 11]
397
ИОНИЗАЦИЯ В ВОЗДУХЕ
рения показали, что ионизация развивается очень быстро и достигает
величины порядка равновесной на расстояниях от скачка уплотнения,
равных 40 -е- 10 газокинетическим пробегам в невозмущенном воздухе.
Степени ионизации при этом имеют порядок 1 0 ~ — Ю , причем в зоне
релаксации степень ионизации проходит через максимум, который может
в несколько раз превышать равновесное значение.
В разделе 2 гл. VI уже отмечалось, что механизм ионизации в таком
молекулярном газе, как воздух, при не слишком больших амплитудах
ударной волны существенным образом отличается от механизма иони­
зации в одноатомных газах. Свободные электроны в воздухе образуются
преимущественно в результате ассоциативной ионизации, при которой
два атома объединяются в молекулу с одновременным отрывом электрона
и образованием молекулярного иона. Основным процессом, требующим
наименьшей энергии активации, является реакция
4
+
-3
N + О + 2,8 a e - * - N O + е.
Поскольку потенциалы ионизации всех компонент воздуха гораздо
больше затраты энергии при такой реакции, последняя (при не слиш­
ком высоких температурах) протекает гораздо скорее, чем непосредст­
венная ионизация атомов и молекул ударами частиц. Константа скорости
указанной главной реакции ионизации приведена в таблице §9. Поскольку
в ионизации воздуха существенную роль играют атомы, расчеты кине­
тики ионизации в воздухе основаны на расчетах диссоциации моле­
кул (вообще химических превращений). Такие расчеты выполнены
в работе Лина и Тира [86], причем они хорошо согласуются с измерени­
ями [87].
Расчеты (для скоростей ударных волн не выше 9 км/сек) показали,
что ионизация происходит быстро, даже быстрее, чем химические пре­
вращения, так что в зоне релаксации степень ионизации в какой-то мере
приходит в равновесие с химическим составом газа и «следит» за изме­
нением степени диссоциации молекул.
Ионизация в воздухе при скоростях ударной волны несколько больше
10 км/сек (9—15 км/сек) рассматривалась в работе Л . М. Бибермана
и И. Т. Якубова [97]. При этом были учтены химический состав воздуха
в зоне релаксации и возбуждение атомов и молекул. В отличие от слу­
чая малых скоростей диссоциация происходит быстро по сравнению
с ионизацией и ионизация в основном развивается в атомарном газе.
Реакции ассоциативной ионизации играют определяющую роль в созда­
нии начальных электронов; по мере возрастания электронной плотности
все большее значение приобретает ступенчатая ионизация электронными
ударами, причем энергия электронов, как и в одноатомном газе, воспол­
няется за счет передачи энергии от ионов.
При вычислении скорости ионизации атомов и молекул электронным
ударом в работе [97] использован метод объединения возбужденных
и ионизованного состояний в одну группу. Этот метод, предложенный
в работе Л. М. Бибермана и К. Н. Ульянова [99], может оказаться полез­
ным и при рассмотрении других вопросов, связанных с нарушением
ионизационного равновесия. Он состоит в следующем.
Предположим, что ударное возбуждение и ионизация атомов, пре­
бывающих в основном состоянии, а также обратные процессы: дезакти­
вация с переходом атома на основной уровень и рекомбинация в тройном
столкновении с захватом электрона на основной уровень происходят
сравнительно медленно. В то же время допустим, что повышение степени
398
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. "VIJ
возбуждения электронным ударом и ионизация возбужденных атомов,
так же как и соответствующие обратные процессы, происходят относи­
тельно быстро.
Скорости реальных процессов в какой-то мере находятся имени»
в таком соотношении, так что указанное допущение имеет смысл. Но при
таком положении можно приближенно считать, что среди различных воз­
бужденных состояний устанавливается больцмановское распределение^
а между возбужденными и ионизованным состояниями атома устанавли­
вается равновесие Саха. Другими словами, все возбужденные и иони­
зованное состояния можно объединить в одну группу, приписав этой
группе состояний определенную температуру, равную температуре элек­
тронного газа. Плотность же электронов, так же как и соотношение
между плотностями электронов (или возбужденных атомов) и атомов
в основном состоянии, уже не описываются формулой Саха, т. е. не явля­
ются равновесными. Они определяются из уравнения кинетики, кото­
рое описывает переходы атомов между основным состоянием и состоя­
ниями, принадлежащими к группе возбужденных и ионизованного состоя­
ний. При желании этот метод можно уточнять, выделяя самые низшие
возбужденные уровни из группы и записывая для концентрации атомов
в этих состояниях отдельные уравнения кинетики. В работе [99] опи­
санным способом рассмотрено влияние выхода излучения из ограничен­
ного газового объема на отклонение состояния газа от термодинамическо­
го равновесия.
Ионизацию в воздухе при больших скоростях ударной волны, в де­
сятки; километров в секунду (применительно к проблеме движения
в атмосфере метеоритных тел), рассматривал В. А. Бронштэн [98].
12. Ударные волны в плазме
Интересными особенностями обладает структура фронта ударных
волн, распространяющихся по ионизованному газу. Эти особенности былв
отмечены одним из авторов [42]; количественные расчеты структуры
фронта были сделаны В. Д. Шафрановым [43]; см. также работы
В. С. Имшенника [51], Джакса [44], Тайдмена [44а], С. Б. Пикельнера [85]. Основные черты структуры связаны с замедленным характером
обмена энергией между ионами и электронами и большой подвижностьюэлектронов, благодаря которой электронная теплопроводность во много
раз превышает теплопроводность ионов.
Максвелловские распределения в электронном и ионном газах уста­
навливаются весьма быстро, за время порядка времени между «соударе­
ниями» частиц *). Выравнивание же температур обоих газов вследствие
огромного различия масс электронов и ионов происходит гораздо медлен­
нее. Этот релаксационный процесс и определяет ширину фронта ударной
волны в плазме.
Выясним качественно, к чему приводит малая скорость обмена энер­
гиями электронов и ионов, для чего предположим сначала, что электрон­
ная теплопроводность не отличается от ионной. Кроме того, будем счи­
тать, что ионизация происходит не в самой ударной волне, а волна рас­
пространяется по уже ионизованному газу.
В системе координат, связанной с волной, значительная часть кине­
тической энергии газа, набегающего на скачок уплотнения под дейст*) О понятии «соударения» заряженных частиц, взаимодействующих по кулоновскому закону, см. в § 20 гл. VI.
УДАРНЫЕ
§ 12]
ВОЛНЫ
В
399
ПЛАЗМЕ
вием сил ионной вязкости, необратимо переходит в тепло. Повышение
ионной температуры в скачке уплотнения по порядку величины равно
ДГ,- ~ т 0 /к, где щ — масса иона, aD — скорость набегающего потока,
равная скорости фронта ударной волны. Толщина вязкого скачка опре­
деляется временем между ионными столкновениями x ; она — порядка
длины пробега ионов l ~ vx , где v ~ D — тепловая скорость ионов
в скачке уплотнения (определение т дано в § 20 гл. VI). За время уплот­
нения Tj ионный газ не успевает передать электронному газу скольконибудь заметную тепловую энергию, так как характерное время обмена
T i ~V mi/m -%i, очень велико. Для ионов со средними массами т
в сотни раз больше времени т ; для протонов — в 43 раза больше, чем tj.
Приращение температуры электронов в скачке уплотнения за счет
превращения кинетической энергии набегающего потока электронного
газа в тепло под действием сил электронной вязкости ничтожно мало.
Оно порядка АТ ~ m D /k, т. е. в mi/m раз меньше ATi. Нагревание
электронного газа в скачке уплотнения происходит по другой причине.
Электроны и ионы связаны между собой электрическими силами вза­
имодействия, причем связь эта очень сильна. Малейшее разделение элект­
ронного и ионного газов приводит к возникновению мощных электриче­
ских полей, которые препятствуют дальнейшему разделению. Поэтому
каждая частица плазмы остается электрически нейтральной. Плотность
электронов п всегда совпадает с плотностью положительных зарядов Zre
(Z — заряд ионов, п жщ — числа электронов и ионов в 1 см ). В скачке
уплотнения электронный газ ведет себя не независимо, а сжимается
точно так же, как ионный. Можно сказать, что электроны «жестко при­
вязаны» к ионам электрическими силами. Эти силы являются «внешними»
по отношению к электронному газу и не производят диссипации. Посколь­
ку диссипация энергии за счет действия сил электронной вязкости
ничтожно мала, в скачке уплотнения происходит адиабатическое сжатие
и нагревание электронного газа.
Так, например, при сжатии водородной плазмы сильной ударной
волной плотность ее повышается в скачке уплотнения в четыре раза,
в соответствии с показателем адиабаты у = 5/3. Температура ионов
может возрастать очень сильно, если амплитуда волны высока, темпера­
тура же электронов в скачке уплотнения возрастает только в 4V- =
= 4 /з = 2,5 раза.
Поэтому в сильной ударной волне, распространяющейся по плазме
с одинаковыми температурами электронов и ионов, за скачком уплотне­
ния возникает резкое различие температур обоих газов; затем в частице,
испытавшей ударное сжатие, начинается процесс передачи тепловой
энергии от ионов к электронам, который приводит к выравниванию темпе­
ратур через время порядка времени обмена x (см. § 20 гл. VI).
Ширина релаксационной зоны за скачком уплотнения, где происхо­
дит приближение к равновесному состоянию плазмы с равными темпера­
турами* Т = T = Ti, имеет порядок Ах ~ u x (u —-D).
Конечная
2
г
t
t
t
г
e
e
е(
г
2
е
e
e
е
(
3
е
1
2
ei
е
t
x
ei
t
VI
температура Ti определяется общими уравнениями сохранения для
фронта ударной волны. Таким образом, в отсутствие эффектов, связанных
с существованием повышенной электронной теплопроводности, распреде­
ление температур во фронте волны должно иметь вид, изображенный
на рис. 7.18.
Если возбуждения каких-либо иных степеней свободы, кроме ранее
«замороженных» поступательных степеней свободы электронов, нет (как
400
L:
'
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
это имеет место в полностью ионизованном газе), то плотность газа и дав­
ление в релаксационной зоне остаются строго неизменными. Действи­
тельно, показатели адиабаты газа с «замороженными» и равновесными
степенями свободы совпадают и равны у = 5/3, так что сжатие в скачке
уплотнения происходит по ударной адиабате, совпадающей с ударной
адиабатой конечного состояния. Физическая причина, очевидно, состоит
в том, что давление определяется только средней поступательной энер­
гией частиц, которая при обмене остается неизменной и не зависит от рас­
пределения ее между частицами.
Рассмотрим теперь, какое влияние оказывает на структуру фронта
электронная теплопроводность. До сих пор всегда считалось (и для этого
имелись все основания), что диссипативные процессы, вязкость и тепло­
проводность, играют роль только в
области больших градиентов, в скачке
уплотнения, где макроскопические ве­
личины сильно меняются на расстоя­
ниях порядка газокинетического про­
бега. В релаксационной же зоне,
простирающейся на расстояния, исчис­
ляемые многими пробегами, градиенты
Рис. 7.18. Профили ионной и элект­ малы и диссипативными процессами
ронной (пунктир) температур во фрон­ можно пренебречь. В самом деле, ха­
те ударной волны в плазме без учета рактерным масштабом, служащим кри­
электронной теплопроводности.
терием малости градиентов, является
масштаб длины, составленный из
транспортных коэффициентов и скорости фронта. Транспортные коэффи­
циенты, например, температуропроводность атомов, порядка % ~ lv/З и
масштаб длины Х~ %/D ~ lv/D ~ I порядка газокинетического пробега,
так как тепловая скорость атомов во фронте v порядка скорости фронта/).
Коэффициент электронной температуропроводности % равен примерно
е
%е —
где 1 — длина пробега электронов, v — их тепловая скорость, а х —
время между «столкновениями» электронов друг с другом.
Как было показано в §20гл. V I , длина пробега заряженных частиц не
зависит от их массы, а зависит только от заряда и температуры I ~ T^IZ*.
При сравнимых температурах и в легких газах, например в водо­
роде (Z = 1), длины пробега электронов и ионов одного порядка. Ско­
рость же электронов в Y il e
Р з больше скорости ионов. Поэтому
коэффициент электронной теплопроводности в \^m /m
раз больше коэф­
фициента ионной теплопроводности, и характерный масштаб, на котором
разыгрывается процесс электронной теплопроводности,
е
e
m
m
е
а
t
Хе
D
l f
m
i
Xi
j /
m
e
ii
Этот масштаб такого же порядка, что и ширина релаксационной зоны
выравнивания температур электронного и ионного газов:
;
401
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
§ 12]
Поэтому по отношению к электронной теплопроводности градиенты
в релаксационной зоне не малы и теплопроводностный теплообмен в этой
зоне сравним с теплообменом между ионами и электронами. Электронная
теплопроводность способствует скорейшему выравниванию температур
за вязким скачком, так как она перекачивает тепло из более удаленных
от скачка уплотнения слоев газа в передние, где электронная темпера­
тура меньше. Кроме того, и этот эффект чрезвычайно существен, элек­
тронная теплопроводность приводит к прогреванию гаэа перед вязким
скачком уплотнения. Если «горячие» ионы не могут далеко вырваться
из-эа скачка уплотнения в область
перед скачком (их тепловая ско­
рость сравнима со скоростью рас­
пространения скачка по невозму­
щенному газу), то «горячие» элект­
роны с успехом проникают вперед
и опережают скачок уплотнения,
так как их скорость примерно в
]frriilm раз больше скорости фрон­
та. Перед скачком уплотнения об­
разуется прогревныи слой. В этом Рис. 7.19. Профили ионной и электронной
(пунктир) температур во фронте ударной
слое электронная температура вы­ волны,
распространяющейся по холодной
ше, чем ионная, ибо прежде всего
плазме.
нагревается электронный газ и
только потом тепло частично передается ионам. В скачке уплотнения
происходит резкое возрастание ионной температуры. Электронная темпе­
ратура не меняется, так как ее скачкообразному повышению препят­
ствует сглаживание за счет большой теплопроводности. Скачок уплотнения
имеет «изоэлектронно-термический» характер. Распределение температур
во фронтев олны с учетом электронной теплопроводности показано на
рис. 7.19.
Оценим ширину прогревного слоя перед скачком уплотнения. Будем
считать для простоты, что передачи энергии от прогревающегося элек­
тронного газа к ионному нет, а также, что газ перед скачком уплотнения
не сжимается и не тормозится (в системе координат, где фронт покоится).
Точные расчеты оправдывают эти упрощающие предположения. Поток
электронной теплопроводност