о движении газа за расходящейся детонационной волной от

О ДВИЖЕНИИ ГАЗА ЗА РАСХОДЯЩЕЙСЯ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНОЙ ОТ ТОЧКИ НА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В.А. СУЧКОВ, А.С. ШНИТКО, Л.Р. ИСЛАМОВА
РФЯЦ — ВНИИ технической физики им. акад. Е.И. Забабахина, Снежинск, Россия
1. Введениe
В докладе рассматриваются вопросы, связанные с моделированием движения детонационных волн. Авторы используют для счёта конкретных задач детонации методику и комплекс программ ГРАД /1,2/. Основной
вопрос – верификация численной методики на тестовых задачах, имеющих известные решения. Решения тестовых задач задаются в виде формул или численных результатов, которые могут быть получены с гарантированной степенью точности. Для упрощения решения тестовых задач ограничимся уравнением состояния идеального газа для ПВ, p = ( γ − 1) ρε . Для реального ВВ обычно задаются параметры [3] :γ, ρ0 = ρ ВВ , D = DВВ .
Параметры ПВ — ρ, u отнесем к параметрам Жуге ρ J и u J , так что p = γργ , ρ0 = γ / ( γ + 1) . Рассматриваем
нормальную детонацию для стандартного ВВ: параметры Жуге
(
)
u J = ρ J = 1 , скорость детонации
D = cJ + u J = γ + 1 , калорийность q = 0.5D 2 / γ 2 − 1 .
В работе построено решение задач об инициировании детонации взрывчатого вещества в точке на свободной поверхности полупространства. Задачи автомодельные , искомые функции u,v,c зависят от двух переменных ξ =x/t, η=y/t. Здесь u,v – компоненты вектора скорости, c — скорость звука, x, y — пространственные
координаты, t – время. Подобные задачи о движении детонационной волны вдоль свободной поверхности рассматривались в работах [4—6]. Там получены основные асимптотики в окрестности особых точек.
Структура решения задачи состоит из головной детонационной волны , граничной характеристики, отделяющей одномерное решение за волной от двумерного течения разрежения типа Прандтля — Майера, заканчивающейся свободной границей P = 0. Решение строится из простой волны в области одномерного движения,
примыкающего к двойной волне разрежения. Задача изучалась в двух постановках : плоской и осесимметричной. В первом случае детонационная волна постоянной интенсивности цилиндрическая, во втором — сферическая. В качестве примера рассматривается задача о детонации шара ВВ при инициировании в одной точке на
поверхности. Задача не автомодельная, но имеет структуру решения, как и первые две задачи при распространении детонационной волны от точки на свободной поверхности сферы.
Проведены численные расчеты соответствующих задач по программе ГРАД [7], приводятся графические
результаты, обсуждаются аналитические и численные решения. Задачи имеют самостоятельный интерес и могут быть использованы для уточнения счета детонационных волн в окрестности свободной границы.
2. Методика ГРАД
Методика и комплекс программ ГРАД предназначены для решения нестационарных задач о движении неоднородной сплошной среды на ЭВМ. В методике ГРАД для описания движения среды используются гидродинамическая и упруго–пластическая модели, имеется широкий набор уравнений состояния, производится
расчет "размазанных" ударных и детонационных волн. В настоящее время для расчета детонационных волн
применяется модельная кинетика перехода ВВ в ПВ, двухстадийная модель макрокинетики детонации ПБС
и полупроводниковая модель инициирования детонации /8,9/. При расчете упруго–пластических течений возможен учет разрушения материала по предельным главным напряжениям с образованием трещин (одна, две,
три — полное разрушение). Для моделирования больших деформаций неоднородной среды применяется метод
концентраций.
Методика ГРАД неоднородная, адаптируемая к решению задачи. В каждой области независимо строится
разностная сетка. В ячейках и узлах сетки задаются исходные величины. При этом создается топологическая и
физическая структура сеточных областей (разрез задачи), для областей решаются соответствующие принятой
модели разностные уравнения МСС.
2
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
Комплекс программ ГРАД в своем составе имеет программы для расчета одномерных, двумерных и трехмерных нестационарных течений. При нелагранжевом законе движения точек сетки считаются потоки массы,
количества движения и энергии по схемам для соответствующих уравнений переноса.
Методика ГРАД прошла проверку на различных тестовых задачах. Основное внимание при отработке
разностных схем методики ГРАД уделено усовершенствованию счета детонационных волн и их воздействия
на элементы конструкций.
3. Постановки задач
В пространстве, занятом ВВ х>0, y>0, заданы параметры : u0=v0=0, ρ0=0.75, c0=0, p0=0. Инициирование
ВВ производится в точке на границе х=0, y=0 при t=0. Рассматривается движение детонационной волны при
t>0. Задача автомодельная , все параметры u, v, c зависят от пространственных переменных ξ=x/t, η=y/t. Здесь
u, v – компоненты вектора скорости , с – скорость звука, удовлетворяют дифференциальным уравнениям в конических переменных:
∂u
∂u ∂ϕ
+ ( v − η) +
=0
∂ξ
∂η ∂ξ
∂v
∂v ∂ϕ
( u − ξ ) + ( v − η) + = 0
∂ξ
∂η ∂η
(u − ξ)
(u − ξ)
(1)
∂ϕ
∂ϕ 2 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ν ⋅ c 2 ⋅ v
+ ( v − η)
+c ⎜ +
=0
⎟+
∂ξ
∂η
η
⎝ ∂ξ ∂η ⎠
φ=c2/(γ–1)
Задачу можно изучать в двух постановках: плоской ν=0 и осесимметричной ν=1.
Задача 1. Движение цилиндрической детонационной волны
Задача рассматривается в плоской постановке. В этом случае детонационная волна постоянной интенсивности — цилиндрическая.
Задача 2. Движение сферической детонационной волны
Задача рассматривается в осесимметричной постановке. В этом случае детонационная волна постоянной
интенсивности – сферическая.
Задачи рассматривались для различных граничных условий на левой границе ВВ х=0: u=0 — одномерная
задача и p=0 – двумерная задача.
Для изучения симметричного движения уравнения (1) записаны в полярных координатах :
x = rcosθ, y = rsinθ, u = ur⋅cosθ–uθ⋅sinθ, v = ur⋅sinθ+ uθ⋅cosθ
(2)
ur = u⋅cosθ+v⋅sinθ, uθ =–u⋅sinθ+vcosθ, 0 ≤ θ < π / 2
Одномерная задача
Для одномерного симметричного движения
uθ = 0, ur = U, u = ξ ⋅U / ζ , v = η ⋅U/ ζ , ζ = ξ2 + η2
Система основных уравнений, описывающих одномерную сферическую и цилиндрическую волну , имеет вид:
dU
ν Uc 2
=
dζ a 2 ζ
dc ν ( γ − 1) Uc
=
(ζ −U )
dζ
2
ζa 2
(3)
VIII Забабахинские научные чтения
3
ν=1,2 — условие симметрии: ν=1 — цилиндрическая задача, ν=2 — сферическая задача. С начальными условиями: ζ=D= γ+1, U=1, c=γ
В уравнении (3):
0≤ζ≤D
a2=(ζ–U)2–c2,
U=U( ζ ) — симметричная скорость, с — скорость звука, ζ — симметричная координата.
В результате интегрирования системы дифференциальных уравнений (3) получим решение одномерных
задач U=U(ζ), c=c(ζ) . Они представлены на графиках (рис.1).
Для цилиндрической детонационной волны в области 0 ≤ ζ ≤ ζ 0 , U = 0, c= ζ 0 = 1.8876.
Для сферической детонационной волны в области 0 ≤ ζ ≤ ζ 0 , U = 0, c= ζ =1.8202 [10].
0
C=3
3
2.5
2
1.5
U=1
1
0.5
0
0
ζ =1.8202
2
ζ0=1.8876
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
ζ
Рис.1. ––––––––– Одномерное цилиндрическое решение
––––––––– Одномерное сферическое решение
Двумерная задача
Граничная характеристика АС описывается дифференциальным уравнением:
dζ ζa ( D sin δ − y )
=
(4)
dδ
cy − ax
с начальным условием ζ = D при δ = 0, где γ =3, c=ρ, D = γ+1.
В окрестности особой точки δ=0, ζ = D применяется разложение: ζ=D – 64/81γδ4. В уравнении (4):
γ +1
2
ζ = ξ2 + η2 , δ = hδ , h =
, черта убрана a = ( ζ − U ) − C 2 , x = D cos δ ,
γ −1
4
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
⎧ ζ2 − x2 , 0 ≤ δ ≤ δ ;
0
⎪
,
y=⎨
⎪
2
2
⎩ − ζ − x , δ > δ0 .
Функции U и c зависят от переменной ζ: U =U (ζ), c = c (ζ) — решения симметричных задач.
При интегрировании уравнения (4) получим граничную характеристику AC.
На рис. 2 представлены структура решения задачи и изолинии плотности на момент времени t = 1.0.
5
4.5
A
4
3.5
ρ=1
3
ρ=0
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-3
-2
B
-1
0
O
1
2
3
CC
4
D
5
Рис. 2. Изолинии плотности на момент времени t=1.0
Задача 3. Задача о детонации шара ВВ при инициировании в одной точке на свободной поверхности
В шаре радиусом r0 = 4 см с центром в начале координат x=y=z=0 построена сферическая сетка и заданы
параметры ВВ: u0=v0=0, ρ0=0.75, c0=0, p0=0.
На оси симметрии y=0 задана нулевая нормальная скорость v=0. На внешней границе шара задано давление Pg=0. Детонация начинается в момент времени t=0 в точке x=4, y=0, z=0. Рассматривается движение детонационной волны в шаре при t>0. Во всех ячейках можно вычислить время прихода нормальной детонационной волны. На pис.3 показаны начальное положение поверхности ВВ и положение детонационной волны на
последовательные моменты времени /7/.
VIII Забабахинские научные чтения
5
Рис.3. Начальное положение поверхности ВВ.
Линии (2—8) — положение детонационной волны на последовательные моменты времени
На момент времени t=0 волна находится в точке x= 4, y=0, z=0, на момент t=2.0 – в точке x= – 4, y=0,
z=0.
4. Расчеты задач по программе ГРАД
Все расчеты, описанные в этом разделе, проведены на одинаковой сетке c шагом ∆h = 0.1 и с одинаковыми параметрами расчетов.
4.1. Расчет цилиндрической детонационной волны
4.1.1. Одномерная задача
На рисунках 4—5 представлены профили скорости и плотности в сравнении с точным решением на момент времени t = 1.0.
6
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
1
0.9
0.8
U
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
R
3
2.5
R
3
3.5
4
4.5
5
Риc. 4. Профиль скорости в сравнении с точным решением на момент времени t = 1.0
1
0.95
0.9
0.85
RO
0.8
0.75
0.7
0.65
0
0.5
1
1.5
2
3.5
4
4.5
5
Риc. 5. Профиль плотности в сравнении с точным решением на момент времени t = 1.0
4.1.2 Двумерная задача
На рисунках 6—8 представлены распределение и изолинии U, V и плотности ρ на момент времени t = 1.0.
VIII Забабахинские научные чтения
7
A
B
C
Рис.6.Изолинии плотности на момент времени t = 1.0.
Изолинии плотности выданы через 0.042 кг/cм3.
A
A
B
D
Рис.7. Изолинии скорости U на момент времени t = 1.0.
Изолинии скорости U выданы через 0.15 км/cек
D
8
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
A
B
D
Рис. 8. Изолинии скорости V на момент времени t = 1.0.
Изолинии скорости V выданы через 0.041 км/cек.
4.2. Расчет сферической детонационной волны
4.2.1 Одномерная задача
На рис. 4—5 показаны профили скорости и плотности в сравнении с точным решением на момент времени t = 1.0.
VIII Забабахинские научные чтения
9
1
0.9
0.8
0.7
U
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
R
3
3.5
4
4.5
5
Рис. 9. Профиль скорости в сравнении с точным решением на момент времени t = 1.0
1
0.95
0.9
0.85
RO
0.8
0.75
0.7
0.65
0
0.5
1
1.5
2
2.5
R
3
3.5
4
4.5
5
Рис. 10. Профиль плотности в сравнении с точным решением на момент времени t = 1.0
4.2.2. Двумерная задача
На рис. 11—13 представлены распределение и изолинии U, V и плотности ρ на момент времени t = 1.0.
10
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
A
B
C
D
Рис.11. Изолинии плотности на момент времени t = 1.0.
Изолинии плотности выданы через 0.042 кг/cм3.
A
В
D
Рис.12. Изолинии скорости U на момент времени t=1.0.
Изолинии скорости U выданы через 0.15 км/cек
VIII Забабахинские научные чтения
11
A
B
D
Рис. 13. Изолинии скорости V на момент времени t = 1.0.
Изолинии скорости V выданы через 0.041 км/cек
4.3. Расчет детонации шара ВВ при инициировании в одной точке на свободной
поверхности.
На рис. 14—16 представлены изолинии плотности на последовательные моменты времени t = 1.0, 1.3, 2.0.
A
D
Рис. 14. Изолинии плотности на момент времени t = 1.0
B
Снежинск, 5⎯9 сентября 2005 г.
12
Изолинии выданы через 0.05 кг/cм3.
A
D
В
Рис. 15. Изолинии плотности на момент времени t = 1.3
Изолинии выданы через 0.05 кг/cм3.
Рис. 16. Изолинии плотности на момент времени t = 2.0
Изолинии выданы через 0.0425 кг/cм3.
На рис. 17 показана расчетная зависимость энерговыделения от времени на момент полного сгорания
ВВ t = 2.0.
VIII Забабахинские научные чтения
13
70
*
60
50
40
Eq
30
20
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time
Рис. 17. Зависимость энерговыделения от времени
* — Точное решение, Q = MВВq = 67 кДж при t = 2.0.
Заключение
В докладе представлен ряд тестовых задач о движении детонационных волн от точки на свободной
поверхности. Точные решения задач могут служить для верификации численных методик по программам счета
задач детонации. Изложены постановки и результаты счета тестовых задач по комплексу программ ГРАД,
проведено обсуждение задач и сравнение результатов счета с точными решениями. Получено удовлетворительное согласие результатов численных решений с точными. Тестовые задачи могут быть рекомендованы для
отработки численных методик счета детонации, особенно в части графического представления результатов
расчетов.
Ccылки
1. Брагин А.А., Сучков В. А., Шнитко А.С. Методика и комплекс программ ГРАД–3 для расчета трехмерных газодинамических течений в лагранжево–эйлеровых переменных. В кн.: Забабахинские научные чтения. Тезисы докладов. Челябинск–70, ВНИИТФ, 1992 г., с.40, 41.
2. Suchkov V.A., Shnitko A.S. Technique and Set of Program GRAD for Solution of Nonstationary Problems of Continuum Mechanics. Third Joint Conference on Computational Mathematics. Los Alamos, NM, USA, 1995.
3. Забабахин Е.И. Некоторые вопросы газодинамики взрыва. Снежинск. 1997, стр. 163–166.
4. Каждан Я.М. О движении газа за расходящейся детонационной волной в пространстве с вырезанным конусом. ПММ. т.
31, в. 5, 1967.
5. Каждан Я.М. Исследование окрестности свободной границы при движении газа за расходящейся детонационной волной в пространстве с вырезанным конусом. ПММ. т. 32, в. 2, 1968
6. Cучков В.А. О движении газа за плоской детонационной волной ортогональной свободной поверхности. ПММ. т. 39, в.
6, 1971.
7. Cучков В.А., Шнитко А.С., Жилина Р.А., Исламова Л.Р. Газодинамическое моделирование движения детонационных
волн. Препринт N 210. Изд. РФЯЦ – ВНИИТФ. Снежинск. 2004.
8. Ю.А. Аминов, А.В. Вершинин, Н.С.Еськов и др. Исследование ударно–волновой чувствительности пластифицированного ВВ на основе ТАТБ. ФГВ, 1995, № 1, с. 103–108.
9. Гребенкин К.Ф. Полупроводниковая модель инициирования детонации ТАТБ. Труды международной конференции V
ЗНЧ. 21–25 сентября 1998 г. С 189–194. Из. РФЯЦ–ВНИИТФ, Снежинск,1999.
10. Зельдович Я.Б. О распределении давления и скорости в продуктах детонационного взрыва, в частности, при сферическом распространении детонационной волны. ЖЭТФ, 1942 г., т. 12, N 9, стр. 389.