СТРУКТУРА СТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН ФИЛЬТРАЦИОННОГО

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2014, том 57, №2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 536.46
М.М.Кабилов
СТРУКТУРА СТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН ФИЛЬТРАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ
ГАЗОВ В ИНЕРТНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Российско-Таджикский (Славянский) университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 24.10.2013 г.)
Рассматривается структура стационарных волн фильтрационного горения газов (ФГГ) в
инертной пористой среде. Профили температур пористой среды, газа и концентрации недостающего компонента аппроксимируется экспоненциальными и полиномиальными функциями в зонах
подогрева, горения и внутренней релаксации. Получены формулы для максимальной температуры
газа, температуры воспламенения и их координат, а также для координат максимальной скорости
химической реакции и точки перегиба в профиле температуры пористой среды. Для определения
скорости волны получено соотношение параметров.
Ключевые слова: смесь – газ – температура – концентрация – волна – структура – скорость – зона
подогрева – зона горения – релаксация.
Работа посвящена изучению структуры стационарных волн фильтрационного горения газов
(ФГГ) и определению скорости волны. Обычно под стационарными волнами ФГГ понимается совокупность тепловых, концентрационных и барической волн, поддерживаемых химическим превращением и сохраняющих свои пространственные профили. Эти волны в математическом понимании
представляют собой распределения температур, концентрации участвующих в химической реакции
веществ и давления газа в пористой среде. В данной работе рассматривается только распределение
температур пористой среды, газа и концентрации недостающего компонента при постоянном давлении газа.
Изучение структуры волны горения является первостепенной задачей теории горения, поскольку информация о структуре волны горения и её особенностях имеет важное практическое значение [1-6]. Метод бесконечно узкой зоны горения, развитый в [1], не даёт полной картины структуры волны. Во многих работах, например в [5,6], отмечалось, что изучение структуры волны горения
асимптотической теорией или приближением моментальной реакции нельзя признать удовлетворительным, так как задача сводится только к определению зависимостей максимальной температуры и
скорости распространения фронта горения от параметров системы. В ряде экспериментальных работ
по исследованию структуры волны фильтрационного горения, например в [7,8], дополнительно определяются толщины зон в структуре волны. Для более детального анализа структуры волны фильтрационного горения, эффектов неодномерности и нестационарности используется численный метод
решения системы дифференциальных уравнений [9-17].
Исследуемая математическая модель ФГГ имеет вид [3,11,17]
Адрес для корреспонденции: Кабилов Маруф Махмудович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул. М. Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (славянский) университет. E-mail: maruf1960@mail.ru
109
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
1с p 1  U 
2014, том 57, №2
dT1
  Sc T1  T2   1Q0nk0 exp   E / RT1  ,
dx
  2с2U
dT2
d 2T
 22 22   Sc T1  T2  ,
dx
dx
1 1  U 
(1)
dn
  1nk0 exp   E / RT1  ,
dx
1 1  U   10 10  U  , 1T1  10T0 .
Здесь T1 , T2 – температуры газа и пористой среды; n – относительная массовая концентрация
недостающего компонента; 1 – скорость газа в порах; 1 , c p – приведенная плотность и теплоёмкость смеси газов;  2 , c2 – те же величины для пористой среды; λ 1 – коэффициент теплопроводности смеси газов; 2 – эффективный коэффициент теплопроводности пористой среды;  2 – объемное
содержание пористой среды;  – поверхностный коэффициент межфазного теплообмена; S c –
удельная поверхность пористой среды; Q – тепловой эффект реакции; k0 – предэкспонент; E –
энергия активации; R – универсальная газовая постоянная.
Граничными условиями задачи являются условия на бесконечности
x   : T1  T0 , T2  T0 , n  1,
x   :
dT1
 0,
dx
dT2
 0,
dx
n  0.
(2)
Заметим, что в зонах, где химическая реакция отсутствует или её скорость протекания пренебрежимо мала, задача (1), (2) имеет точные решения. Эти зоны в теории горения называются зонами подогрева и внутренней релаксации. Между этими зонами находится зона горения, где скорость
химической реакции существенная. Началом этой зоны в работе [3] считается координата xeq равенства температур Teq пористой среды и газа, а концом - координата xm , максимальной температуры
T1m газа. Протяженность зоны подогрева определяется в [3] как расстояние от точки, где температура


равна Tн  Teq  T0 / e до точки с температурой Teq ( e - основание натурального логарифма). Зона
внутренней релаксации начинается от координаты максимальной температуры газа до координаты
равновесной температуры Te . В соответствии с этими обозначениями, координаты точки с температурой Tн разместим в начало координатной оси абсцисс. Поскольку скорость волны находится из
соотношения, получаемого интегрированием по x первого уравнения системы (1) в пределах от 
до  при условиях (2) и в предположении моментальной реакции и линейной зависимости температуры от координаты, модель структуры волны горения представим в следующем виде
110
Математическая физика
М.М.Кабилов
x  0:
T1  T0  D1exp  k2 x  , n  1,
T2  T0  D1 1  k2  exp  k2 x  .
0  x  xeq :
n  1,
T1  Tн  D1k2 x  Teq  Tн  D1k2 x  x / xeq  ,
2
Tн  T0  D1 ,
T2  T0  D1 (1  k2 )(1  k2 x )  Teq  T0  D1 (1  k2 )(1  k2 x )  x / xeq 
xeq  x  xm :
x  xeq
T1  Teq 
xm  xeq
T
1m
 Teq  , n  1 
x  xeq
xm  xeq
2
,
T2  Teq  a  x  xeq   b  x  xeq   c  x  xeq  .
2
3
T1  Te  D2exp  k1 x  , n  0,
T2  Te  D2 1  k1  exp  k1 x  .
x  xm :
2


 1  2c2U 
  2c2U
1  1  2c2U
 
k1  

  

  4
 ,
2    22
   22 
  22  22  


2


 1  2c2U 
  2c2U
1  1  2c2U
 
k2  

  

  4
 ,
2    22
   22 
  22  22  



10c p 10  U 
.

Здесь k1 , k2 – корни характеристического уравнения системы (1), D1 , D2 , a, b, c – коэффициенты,
подлежащие определению. Равные температуры пористой среды и смеси газов перед зоной горения
определяются по формуле Teq  T0  e T0  D1  . Неопределённый коэффициент D1 находим из условия равенства вторых производных температуры газа по разные стороны точки x  0
D1 
k x 
2 eq
2eT0
2
 2 1  k2 xeq 
.
Координаты равенства температур пористой среды и смеси газов xeq находим из условия равенства
вторых производных температуры пористой среды по разные стороны точки x  0
xeq 
 e

1
 1  1  2 
 1  .
k2 
 k 2
 

111
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №2
Неопределенные коэффициенты a, b определяются из условия равенства первых и вторых производных функции температуры пористой среды по разные стороны точки x  xeq соответственно
a  D1 1  k2  k2 
b
2
Teq  T0  D1(1  k2 )(1  k2 xeq )  ,
xeq
1
Teq  T0  D1 (1  k2 )(1  k2 xeq )  .
xeq2
Из условия непрерывности температуры пористой среды в окрестности точки x  xm находим неопределённый коэффициент
с
1

3
T  D exp  k x   T
e
2
1 m
eq
 a  b 2  ,   xm  xeq .
Здесь выражение


2
D2exp  k1 xm   Teq  Te    D1k2 
Teq  Tн  D1k2 xeq   .



xeq


найдено из условия равенства первых производных функции температуры газа по разные стороны
точки x  xeq и формулы T1m  Te  D2exp  k1 xm  . Для определения толщины зоны горения  используется условие равенства первых производных функции температуры пористой среды по разные
стороны точки x  xm , которое сводится к квадратному уравнению
a1 2  b1  c1  0,
где


a1  b  1  k1  k1 f , b1  2a  1  k1  3 f  k1 Te  Teq  ,
c1  3k1 Te  Teq  ,
f  D1k2 
2
Teq  Tн  D1k2 xeq 
xeq
Полагая равным нулю вторую производную функции температуры пористой среды в зоне горения (
xeq  x  xm ), находим координаты точки перегиба
x p  xeq 
b
.
3c
Используя преобразование Франк-Каменецкого, а также функции концентрации недостающего компонента и температуры газа в зоне горения функции скорости химической реакции, представим в
виде
112
Математическая физика
М.М.Кабилов
J  nk0exp()  1  ( x  xeq ) /   k0exp  a0  b0 ( x  xeq ) /  
Приравнивая нулю производную этой функции, находим координаты максимальной скорости химической реакции
xr   1  1/ b0   xeq .
Здесь b0 
E (T1m  Teq )
RTe2
, a0  
E (2Te  Teq )
RTe2
.
Скорость распространения волны горения определяем из условия согласования функции тепловыделения и температурных профилей в высокотемпературной зоне в предположении, согласно
которому вся тепловая энергия выделяется в узкой температурной и пространственной зоне. Для этого интегрируем первое уравнение системы (1) в зоне горения
 T1m  Teq  
x1m

T1  T2  dx 
xeq
1

x1m
  Q Jdx  0
1
0
xeq
и, в результате подстановки функций T1, T2 , 1 , J и интегрирования, получаем следующее соотношение
 T1m  Teq  

T
2
1m  Teq  
a 2 b 3 c 4



2
3
4
Ωea0 


 T1m  Teq 

b02
b03
 1
 b0 
2
2
  1    e  ln  1    b0 
(  1)    
(  1)3   3  



2  2!
3  3!
  

где Ω  10T0Q0k0 ,  
Teq
T1m  Teq

   0
b
 e 0 1

b0



.
Поступило 24.10.2013 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. – Математическая теория горения и взрыва. – М., 1980, 478 с.
2. Алдушин А.Г., Мержанов А.Г. – Распространение тепловых волн в гетерогенных средах/ Под ред.
Ю.Ш.Матроса. – Новосибирск, 1988, с. 9-52.
3. Лаевский Ю.М., Бабкин В.С. – Распространение тепловых волн в гетерогенных средах/ Под ред.
Ю.Ш.Матроса. – Новосибирск, 1988, с. 108-145.
4. Киселёв О.В., Матрос Ю.Ш., Чумакова Н.А. – Распространение тепловых волн в гетерогенных
средах/ Под ред. Ю.Ш.Матроса. – Новосибирск, 1988, с. 145-203.
5. Худяев С.И. – Химическая физика, 1991, т.10, №6, с.838-847.
113
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №2
6. Добрего К.В., Жданок С.А. Физика фильтрационного горения газов. – Минск: Ин-т тепло- и массообмена им. А.В.Лыкова НАНБ, 2002, 203 с.
7. Потытняков С.И., Бабкин В.С., Лаевский Ю.М., Дробышевич В.И. – Физика горения и взрыва,
1985, т.21, №.2, с.19-25.
8. Потытняков С.И., Лаевский Ю.М., Бабкин В.С. – Физика горения и взрыва, 1984, т.20, №1,
с.19-26.
9. Шкадинский К.Г., Ивлева Т.П., Степанов Б.В. – Распространение тепловых волн в гетерогенных
средах/ Под ред. Ю.Ш.Матроса. – Новосибирск, 1988, с.263-275.
10. Дробышевич В. И. – Распространение тепловых волн в гетерогенных средах/ Под ред.
Ю.Ш.Матроса. – Новосибирск, 1988, с.275-285.
11. Вайнштейн П.Б., Кабилов М.М. – Изв. АН ТаджССР. Отд.физ.-мат., хим. и геол.н., 1991, №4,
с.47-51.
12. Рычков А.Д., Шокина Н.Ю. – Вычислительные технологии, 2003, т.8, Спецвыпуск, ч.2, с.124-144.
13. Лаевский Ю.М., Яушева Л.В. – Вычислительные технологии, 2007, т.12, №2, с.90-102.
14. Какуткина Н.А., Коржавин А.А., Намятов И.Г., Рычков А.Д. – Физика горения и взрыва, 2007,
т.43, №4, с.23-38.
15. Какуткина Н.А., Коржавин А.А., Рычков А.Д., Сеначин П.К. – Ползуновский вестник, 2007, №4,
с.33-38.
16. Какуткина Н.А., Рычков А.Д. – Физика горения и взрыва, 2010, т.46, №3, с.44-51.
17. Кабилов М.М., Халимов И.Х. – ДАН РТ, 2013, т.56, №4, с.297-303.
М.М.Ќобилов
СОХТИ МАВЉЊОИ УСТУВОРИ СЎЗИШИ ФИЛТРАЦИОНИИ ГАЗЊО ДАР
МУЊИТИ КОВОКИ ИНЕРТЇ
Донишгоњи (Славянии) Русияю Тољикистон
Дар маќола сохти мављњои устувори сўзиши филтроационии газњо дар муњити ковоки
инертї дида баромада шудааст. Ин мављњо профилњои хароратњои газу муњити ковок ва консентратсияи таркибаи камтарин буда бо функсияњои экспоненсиалї ва полиномиалии наздикшаванда дар њолати гармшавї, сўзиш ва релаксатсияи дохилї иваз карда шудаанд. Нисбати
њарорати баландтарини газ, њарорати даргирї ва координатњои онњо, инчунин барои
координатањои суръати калонтарини реаксияи химиявї ва нуќтаи хамшавї дар профили
њарорати муњити ковок формулањо хосил карда шудаанд. Барои суръати мављ вобастагии
параметрњо ёфта шудааст.
Калимањои калидї: омехта – газ – њарорат – консетратсия – мављ – сохт - суръат – соњаи
гармшавї – соњаи сўзиш – релаксатсия.
114
Математическая физика
М.М.Кабилов
M.M.Kabilov
STRUCTURE OF STATIONARY WAVES FILTRATION COMBUSTION OF GASES
IN AN INERT POROUS MEDIUM
Russian-Tajik (Slavic) University
We consider the structure of stationary waves of filtration combustion of gases in an inert porous
medium. Temperature profiles of the porous medium, the concentration of gas and missing component is
approximated by exponential and polynomial functions in the areas of heating, combustion and internal relaxation. The formulas for the maximum gas temperature, the ignition temperature and their origin, as well as
the coordinates of the maximum reaction rate, and the inflection point in the temperature profile of the porous medium. To determine the velocity of the wave received ratio parameters.
Key words: mixture – gas – temperature – concentration – a wave – structure – speed – zone – heat – burning – relaxation.
115