Дисциплина Топография и геодезия

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
Дисциплина
Топография и геодезия
Специальность
ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА (В ГЕОГРАФИИ)
Форма контроля
ЗАЧЕТ, ЭКЗАМЕН
Факультет
ФИЗИЧЕСКИЙ
кафедра
Астрономия и КГ
Составитель
доцент Ишшмухаметова М.Г.,
ассистент Менжевицкий В.С.
1
СОДЕРЖАНИЕ
1. РАБОЧИЕ ПРОГРАММЫ
2. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ЛЕКЦИОННОЙ И ПРАКТИЧЕСКОЙ
ЧАСТИ
2.1. ТЕМЫ СЕМЕСТРОВЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
2.2. ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
3. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
3.1. ТЕМЫ СЕМЕСТРОВЫХ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
3.1. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ, КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ И ЗАЧЕТА
5. РЕГЛАМЕНТ БАЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЫ
2
2.1. ТЕМЫ СЕМЕСТРОВЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Виды масштабов, измерение расстояний по карте.
2. Определение географических координат по карте.
3. Разграфка и номенклатура многолистных карт. Определение координат углов
рамки по номенклатуре для заданного масштаба.
4. Определение прямоугольных коордитнат по карте.
5. Ориентирование и ориентировочные углы. Ориентирование на местности и по
карте.
6. Решение прямой и обратной геодезической задачи. Зависимость между
горизонтальным и дирекционным углами.
7. Высоты и превышения точек. Горизонтали и их свойства. Способы изображения
рельефа на карте. Профиль линии. Уклон линии.
8. Способы определения площади участка местности на карте (геометрические,
аналитические).
9. Топографическое описание местности. Стандартная система условных знаков.
10. Начальные сведения из теории ошибок измерений. Равноточные измерения и их
обработка. Средние квадратические ошибки функций измеренных величин.
11. Теодолитные ходы и их обработка.
12. Измерение горизонтальных и вертикальных углов на местности.
13. Способы определения высот точек на местности геометрическим нивелированием
14. Способы определения высот точек тригонометрическим нивелированием.
15. Способы определения высот точек барометрическим нивелированием.
16. Глазомерная съемка.
17. Определение недоступного расстояния.
18. Работа с простейшими геодезическими инструментами.
3
2.2. ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ











ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
1. Форма и размеры Земли
Геодезия - это наука о методах определения фигуры и размеров Земли и изображения ее
поверхности на картах и планах, а также о способах проведения различных измерений на
поверхности Земли (на суше и акваториях), под землей, в околоземном пространстве и на
других планетах.
Среди многих задач геодезии можно выделить долговременные задачи и задачи на
ближайшие годы. (из Постановления коллегии Федеральной службы геодезии и
картографии России от 20 февраля 1995 года)
К первым относятся:
определение фигуры, размеров и гравитационного поля Земли,
распространение единой системы координат на территорию отдельного
государства, континента и всей земли в целом,
изображение участков поверхности земли на топографических картах и планах,
изучение глобальных смещений блоков земной коры.
Ко вторым в настоящее время относятся:
создание и внедрение ГИС - геоинформационных систем,
создание государственных и локальных кадастров: земельного, водного, лесного,
городского и т.д.,
топографо-геодезическое обеспечение делимитации (определения) и демаркации
(обозначения) государственной границы России,
разработка и внедрение стандартов в области цифрового картографирования,
создание цифровых и электронных карт и их банков данных,
разработка концепции и государственной программы повсеместного перехода на
спутниковые методы автономного определения координат,
создание комплексного национального атласа России и другие.
Геодезия имеет широкое применение в различных областях науки, производства и в
военном деле. Топографические карты используют при планировании и размещении
производительных сил государства, при разведке и эксплуатации природных ресурсов, в
архитектуре и градостроительстве, при мелиорации земель, землеустройстве,
лесоустройстве, земельном и городском кадастре. Геодезия используется при строительстве
зданий, мостов, тоннелей, метрополитенов, шахт, гидротехнических сооружений,
железных и автомобильных дорог, трубопроводов, аэродромов, линий электропередач, при
определении деформаций зданий и инженерных сооружений, при строительстве плотин,
при решении задач оборонного характера.
Усложнение и развитие геодезии привело к разделению ее на несколько научных
дисциплин.
Высшая геодезия изучает фигуру Земли, ее размеры и гравитационное поле,
обеспечивает распространение принятых систем координат в пределах государства,
континента или всей поверхности Земли, занимается исследованием древних и
современных движений земной коры, а также изучает фигуру, размеры и гравитационное
поле других планет Солнечной системы.
Топография (от греч. tópos – место и греч. gráphō – пишу, дословно - описание
местности) изучает методы топографической съемки местности с целью изображения ее
на планах и картах.
Картография изучает методы и процессы создания и использования карт, планов,
атласов и другой картографической продукции.
Фотограмметрия (фототопография и аэрофототопография) изучает методы
создания карт и планов по фото- и аэрофотоснимкам.
Инженерная геодезия изучает методы и средства проведения геодезических работ
4
D
B
A
b’
a’
a
b
Уров
е
нн а
я
точ повер
C
ки D хн о
Уро
ст
вен
ь
ная
п
H
т о о ве
ч к и рх
c“
C нос
Уро
ть
в ен
c’
на
я
Ур
ове точ пове
ки рх
нн
ая
B нос
т о по в
ть
c Ур
чк ер
ове
и
нн
A хно
ая
ст
ь
ок пове
еа рх
н а но
ст
ь
при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации различных инженерных
сооружений.
Маркшейдерия (подземная геодезия) изучает методы проведения геодезических
работ в подземных горных выработках.
Фигура Земли как планеты издавна интересовала ученых; для геодезистов же
установление ее фигуры и размеров является одной из основных задач.
На поверхности Земли встречаются равнины, котловины, возвышенности и горы
разной высоты; если же принять во внимание рельеф дна озер, морей и океанов, то можно
сказать, что форма физической поверхности Земли очень сложная.
В модели шарообразной Земли поверхность Земли имеет сферическую форму; здесь
важен лишь радиус сферы, а все остальное - морские впадины, горы, равнины, несущественно. В этой модели используется геометрия сферы, теория которой
сравнительно проста и очень хорошо разработана.
Модель эллипсоида вращения имеет две характеристики: размеры большой и малой
полуосей. В этой модели используется геометрия эллипсоида вращения, которая намного
сложнее геометрии сферы, хотя разработана также достаточно подробно.
Если участок поверхности Земли небольшой, то иногда оказывается возможным
применить для этого участка модель плоской поверхности; в этой модели применяется
геометрия плоскости, которая по сложности (а точнее, по простоте) несравнима с
геометрией сферы, а тем более с геометрией эллипсоида.
При решении научных и практических задач большое значение имеет определение
уровенных поверхностей и поверхности геоида. Уровенной
называют
поверхность, в каждой точке которой потенциал силы тяжести имеет
одинаковое значение.
Рис. Уровенные поверхности
Потенциал силы тяжести - физическая величина, характеризующая поле силы
тяжести в данной точке. Потенциал силы тяжести обозначается буквой W. Сам потенциал
силы тяжести измерен быть не может, но разность потенциалов в двух точках поля может
быть найдена из измерений путём, например, определений из нивелирного хода разности
высот этих двух точек и значений силы тяжести по ходу нивелирования.
Разность потенциалов соответствует работе по перемещению единичной массы в
поле действия силы тяжести. При движении материальной точки по уровенной
поверхности не совершается работа А, т.е.
А = FS cosα = 0,
(2)
где F - сила, S - путь, α - угол между направлением силы и движения. Согласно
5
второму закону Ньютона F = am. В рассматриваемом случае а = g - ускорению свободного
падения. При m = 1, S = h получаем:
FS cosα = gh cosα = 0
(3)
Так как g ≠ 0, то при h ≠ 0 α = 90°, т.е. уровенная поверхность всюду
перпендикулярна направлению силы тяжести. Иными словами поверхность, всюду
перпендикулярная направлениям силы тяжести, называется уровенной
поверхностью.
Известно, что при переходе единичной массы от одной уровенной поверхности к
другой совершается одинаковая работа, т.е.
А = gΔh = const
(4)
Следовательно, для двух точек, в которых ускорение свободного падения
неодинаково, можно записать
g1Δh1 = g2Δh2,
откуда
g
h 2= g 1
2
h1
(5)
При g1 ≠ g2 Δh1 ≠ Δh2, следовательно, расстояние между уровенными поверхностями
является неодинаковым. Так как на полюсах §п больше, чем §э на экваторе, то расстояние
между уровенными поверхностями на полюсах будет меньше, чем на экваторе, т.е.
ΔhЭ >ΔhП. Расстояние между уровенными поверхностями уменьшается с увеличением
широты.
Рис. 3Уровенные поверхности и силовые линии
Силовые линии (на рис. 3 - пунктирные линии), перпендикулярные к уровенным
поверхностям, являются кривыми, обращенными выпуклостью в сторону экватора - для
нормального поля силы тяжести. Касательная к точке силовой линии
называется отвесной линией (на рис. 3 - стрелки). Положение отвесной линии вдоль
касательной к силовой линии гравитационного поля Земли фиксируется. в данной точке
нитью отвеса. И именно это направление является в геодезии основным, так как оно
существует объективно и легко и просто обнаруживается. Направления силы тяжести в
разных точках Земли непараллельны, они радиальны, то есть почти совпадают с
направлениями радиусов Земли.
Геодезические измерения практически всегда связаны с установлением направления
отвесной линии в точках, в которых выполняются измерения. Если в каждой точке
результаты измерений относить к уровенной поверхности, проходящей через эту точку, то
они будут отнесены к различным уровенным поверхностям и в результате не получится
замкнутых фигур. Поэтому результаты измерений необходимо переносить на какуюнибудь одну, общую для всех измерений, уровенную поверхность, принятую за основную.
Из множества уровенных поверхностей за основную целесообразно принять ту, которая
лучше представляет фигуру Земли в целом.
Известно, что более 70% поверхности Земли покрыто морями и океанами и суша в
6
среднем возвышается над морем на 900 м, поэтому в качестве основной уровенной
поверхности обычно принимают поверхность морей и океанов при спокойном их состоянии и мысленно продолженную под материками.
В России за основную принята уровенная поверхность, проходящая через нуль
Кронштадского футштока, который на 10 мм выше среднего уровня Балтийского моря
(абсолютная Балтийская система высот 1977 г.). Тело, ограниченное основной уровенной
поверхностью, называют геоидом. Т.о. фигура Земли, образованная уровенной
поверхностью Мирового океана, в состоянии полного покоя и
равновесия и продолженной под материками, называется геоидом. Эта
поверхность из-за различий температуры и солености воды в различных точках Мирового
океана и других причин строго не совпадает со средней невозмущенной поверхностью
морей и океанов. Например, в районе Панамского канала разность уровней Тихого и Атлантического океанов равна 0,62 м; нуль Кронштадского футштока на 0,7 м выше уровней
Черного моря и морей Ледовитого и Тихого океанов. Отклонение среднего уровня океана
от геоида может достигать 1м, поэтому различают поверхность геоида и топографическую
поверхность морей и океанов. Уровенные поверхности можно проводить на разных
высотах; все они являются замкнутыми и почти параллельны одна другой.
Если бы Земля была идеальным шаром и состояла из концентрических слоев
различной плотности, имеющих постоянную плотность внутри каждого слоя, то все
уровенные поверхности имели бы строго сферическую форму, а направления силы
тяжести совпадали бы с радиусами сфер. В реальной Земле направления силы тяжести
зависят от распределения масс различной плотности внутри Земли, поэтому поверхность
геоида имеет сложную форму, не поддающуюся точному математическому описанию, и
не может быть определена только из наземных измерений.
Невозможность строгого определения фигуры геоида под сушей (неизвестно
распределение масс внутри Земли и, вследствие этого, неизвестна кривизна силовых линий
гравитационного поля между геоидом и поверхностью Земли) привела М.С. Молоденского
к задаче нахождения фигуры квазигеоида, однозначно определяемой по наземным
астрономо-геодезическим и гравиметрическим измерениям. Квазигеоид совпадает с
геоидом на морях и океанах, на суше отступление квазигеоида от геоида не превышает 2 м
в высокогорных районах, 1 м в горных, и несколько сантиметров - в равнинных.
Для научного и практического использования необходима простая математическая
аппроксимация фигуры Земли. Наиболее удобным представлением Земли оказался
земной эллипсоид - эллипсоид вращения (рис. 4), параметры которого подобраны и
ориентирование которого в теле Земли выполнено под условием наилучшего соответствия
фигуре квазигеоида (геоида) в пределах всей Земли - общеземной эллипсоид - или
отдельных ее областей - референц-эллипсоид
P
b
a
O
P“
Рис. 4. Земной эллипсоид, а - большая,
P в -малая полуоси эллипсоида
b
a
c
F1
F2
O
a
n
7
P1
Рис. 5. Основные элементы эллипса
Поверхность земного эллипсоида образуется путем вращения эллипса вокруг малой
оси. Для изучения земного эллипсоида достаточно рассмотреть образующий его эллипс.
Для эллипса (рис.5) сумма расстояний от любой его точки до фокусов F1, F2 равна 2а, т.е.
является постоянной. Эллипс характеризуется следующими величинами: а - большая
полуось, в - малая полуось эллипса; ОF = OF1 = ОF2= √ а2-b2 - расстояние, определяющее
на большой оси фокусов F1 и F2 относительно центра 0 эллипса; с - полярный радиус, для
определения которого из подобных треугольников PF 1 n и PF 1 O имеем c/a=a/b откуда
с =a 2 /b; е = ОF/а = √а2-b2/а - первый эксцентриситет; е'=ОF/b=√а2-b2/b - второй
эксцентриситет; α = (а - b)/а - сжатие эллипса.
Поверхности квазигеоида и земного эллипсоида не совпадают, величина
несовпадения этих поверхностей по высоте зависит в основном от принятых размеров,
способа ориентировки эллипсоида и от особенностей строения земной коры. Эти несовпадения подразделяют на общие волны квазигеоида, возникающие из-за общих
неправильностей строения земной коры, и на местные волны, вызванные региональными
особенностями строения земной коры, например, горными массивами. Местные волны
квазигеоида имеют небольшие размеры, но нередко вызывают сравнительно резкие
изменения кривизны поверхности квазигеоида. На территории морей и океанов
поверхность квазигеоида совпадает с поверхностью геоида, а на суше она отклоняется от
него в пределах от нескольких сантиметров в равнинных районах материков, до двух
метров в высокогорных районах.
Отвесная
линия
Нормаль к эллипсоиду
Физическая
поверхность Земли
90
Квазигеоид
90
Геоид
0
0
Эллипсоид
Рис. 6. Сечение физической поверхности Земли и поверхностей земного
эллипсоида, геоида и квазигеоида.
Поверхность квазигеоида и земного эллипсоида в общем случае не параллельны,
поэтому в одной и той же точке направление отвесной линии и нормали к поверхности
эллипсоида не совпадают (рис.6). Угол ε с вершиной в данной точке между направлением
отвесной линии и нормалью к поверхности эллипсоида называют уклонением отвесной
линии. Если нормаль проводят к поверхности общего земного эллипсоида, то уклонение
называют абсолютным, если к поверхности референц-эллипсоида, то относительным.
Определение уклонений отвесных линий необходимо для изучения фигуры квазигеоида,
установления референц-эллипсоида и для вычисления редукций в процессе обработки
результатов геодезических измерений. Уклонения отвесных линий можно определять
астрономо-геодезическим, гравиметрическим и астрономо-гравиметрическим методами.
За действительную поверхность Земли принимают на суше ее физическую
8
поверхность, на территории морей и океанов - их невозмущенную поверхность.
В настоящее время в геодезии, геофизике, астрономии и других отраслях знания
используют Нормальную Землю. В геодезии наибольшее распространение получило
представление Нормальной Земли в виде уровенного эллипсоида вращения, ограниченного
эквипотенциальной поверхностью нормального поля силы тяжести. Ввиду важности для
геодезии и других отраслей знания многие параметры Нормальной Земли получили
название фундаментальных геодезических постоянных.
Что значит изучить действительную поверхность Земли? Это значит определить
положение любой ее точки в принятой системе координат. В геодезии системы координат
задают на поверхности эллипсоида вращения, потому что из простых математических
поверхностей она ближе всего подходит к поверхности Земли; поверхность этого
эллипсоида называется еще поверхностью относимости. Эллипсоид вращения принятых
размеров, определенным образом ориентированный в теле Земли, на поверхность
которого относятся геодезические сети при их вычислении, называется референцэллипсоидом.
Для территории нашей страны постановлением Совета Министров СССР N 760 от 7
апреля 1946 года принят эллипсоид Красовского для которого:
а = 6 378 245,0000 м, а = 1:298,3 = 0,0033523299;
Ь = 6 356 863,0188 м, с = 6 399 698,9018 м,
e2 = 0,0066934216, е'2 = 0,0067385254.
Кроме того, в России используются геодезические параметры Земли ПЗ-90, для
которой а = 6378136 м, а = 1:298,257839303.
В последнее время в России создана и внедряется система координат СК-95.
При решении многих практических задач фигуру Земли принимают за шар, объем
которого равен объему эллипсоида Красовского, радиус такого шара К = 6371110м. Для
приближенных вычислений принимают R = 6371,1 км.
2. Основные системы координат, используемые в геодезии
1. Система геодезических координат позволяет однозначно определять положение
точки в пространстве тремя величинами: геодезической широтой L, геодезической
долготой B и геодезической высотой Н (рис.6). Если точка расположена на поверхности
эллипсоида, то Н = 0 и ее положение определяют величины В и L.
Геодезической широтой В называют
угол
между
нормалью
к
поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью геодезического экватора, т.е. плоскостью, проходящей через центр эллипсоида перпендикулярно к его малой оси.
Геодезической долготой L, называют
двугранный
угол
между
плоскостью начального геодезического меридиана и плоскостью
геодезического меридиана, проходящего через данную точку. Плоскость
геодезического меридиана проходит через малую ось
эллипсоида.
Геодезической высотой Н называют расстояние от
данной точки до поверхности эллипсоида по нормали к ней. Геодезические координаты вычисляют по
результатам геодезических измерений.
Кроме геодезических имеются астрономические координаты
9
φ и λ, определяемые из астрономических наблюдений.
Астрономической широтой φ называют угол между отвесной линией, проходящей
через данную точку, и плоскостью небесного
экватора.
Рис. 6. Система геодезических координат
Астрономической долготой λ называют двугранный угол между
плоскостью начального меридиана и плоскостью астрономического
меридиана данной точки. Плоскость астрономического меридиана
проходит через отвесную линию данной точки параллельно оси
вращения Земли.
Широты В и φ отсчитываются от экватора к полюсам, изменяются от 0° до 90° и
считаются положительными для северного полушария (имеют обозначение с.ш.) и
отрицательными для южного полушария (ю.ш.) Долготы L и λ отсчитываются от начального меридиана к востоку и западу и измеряются от 0° до 180°. Восточные долготы
(в.д.) считаются положительными, западные (з.д.) - отрицательными.
Астрономические и геодезические координаты отличаются вследствие
несовпадения отвесных линий и нормалей к поверхности эллипсоида. Это отличие
зависит от величины уклонения отвесных линий, среднее квадратическое значение
которых для равнинных районов составляет около 5", в горных отдельные значения
превышают 40".
При мелкомасштабном картографировании различиями между геодезическими и
астрономическими координатами часто пренебрегают, и в этих случаях широты и
долготы можно считать координатами общей системы географических координат.
На поверхности эллипсоида координатными линиями служат меридианы и
параллели. В системе прямоугольных координат для эллипсоида вращения известно
уравнение:
(6)
x2 y 2 z 2
a2 + a 2 + b 2 =1
При Z = const вместо (6) получим уравнение окружности:
2 2
2
2
x2 + y2= a - z 2a = r = const
b
(7)
где r - радиус окружности, получаемый при пересечении поверхности эллипсоида
с плоскостью Z = const. Эта окружность называется параллелью. При Z = 0 параллель
имеет наибольший радиус г = а и называется экватором. С учетом (7) вместо (6)
получим формулу:
2
2
r
z
=1
2 +
a
b2
(8)
которая является уравнением эллипса, получаемого при пересечении поверхности
эллипсоида плоскостью, содержащей ось вращения. Осью вращения эллипсы делятся
пополам, каждая половина такого эллипса называется меридианом.
Система геодезических координат едина для всей поверхности эллипсоида, удобна
10
для составления карт и имеет широкое применение.
3. Система прямоугольных пространственных координат XYZ.
Z
В этой системе (рис.7) за начало координат принят
центр 0 эллипсоида, ось 0Z совпадает с малой осью эллипсоида, ось ОХ находится на пересечении плоскостей
геодезического экватора и начального меридиана, ось ОУ
дополняет систему до правой - в правой системе
координат вращение оси ОХ к ОУ происходит против
часовой стрелки, если смотреть по направлению Z0.
Положение точки А в этой системе определяется координатами х = ОА", у = А'А",
Z = А'А.
A
z
O
x
L
A
y
Y
r
A
X
Рис. 7
2.
Плоские прямоугольные координаты.
+X
Плоскими
прямоугольными
геодезическими
координатами
A
Yd
D
(прямоугольными координатами) называются
Xa
Xd
линейные величины — абсцисса и ордината,—
0
-Y
+Y
определяющие положение точки на плоскости
относительно исходных направлений. Исходными
Xb
Xc
направлениями
служат
две
взаимно
B
Yb
C
перпендикулярные линии (рис. 8) с началом отсчета в
III
II
Yc
-X
точке их пересечения О. Прямая XX является осью
абсцисс, а прямая YY, перпендикулярная к оси
Рис. 8
абсцисс, — осью ординат. В такой системе положение любой точки на плоскости определяется кратчайшим расстоянием до нее
от осей координат. Так, положение точки А определяется длиной пер
пендикуляров х а и у а . Отрезок х а называется абсциссой точки А, а уа —
ординатой. Выражаются абсциссы и ординаты в линейной мере (обычно в
метрах).
В геодезии и топографии принят а правая си стема прямоугольных координат: эт о отличает ее от левой системы координат, используемой в математике. Четверти системы координат (название которых определяется
принятыми обозначениями стран света), нумеруются по ходу часовой
стрелки (рис. 8). В такой системе упрощается измерение углов ориентирования.
Абсциссы точек, расположенных вверх от начала координат, считаются
положительными, а вниз от нее — отрицательными; ординаты точек,
расположенных вправо от начала координат, считаются положительными, а
влево от нее — отрицательными.
IV
Ya
I
4. Полярные координаты.
Координаты, началом отсчета которых является какая-либо точка местности,
11
называются топоцентрическими. Если на горизонтальной
плоскости через произвольно выбранную точку O (рис. 1.13),
называемую полюсом, пров ест и п р ям ую ОХ , н аз ы в а ем ую
полярно й осью , т о п о л о ж ен и е л ю бой точки, н апри мер
М , будет определяться радиусом-вектором r 1 и углом
направления α1 , а точки N -соответственно r 2 и α2 . Такие координаты называются полярными. Углы α1 и α2 измеряют
от полярной оси по ходу часовой стрел ки до радиуса-вектора.
Полярная ось на плоскости может располагаться произвольно
или совпадать с направлением какого-либо меридиана, проходящего
через полюс О.
X
M
r
1
N
1
2
r
2
O
Рис. 9
4. Высоты точек
Для определения положения точек физической поверхности Земли недостаточно
знать только две их координаты на какой-либо поверхности (широту и долготу, x и у и
др.). Необходима третья координата - высота точки H, т. е. расстояние по отвесному
направлению от данной точки (или проходящей через нее уровенной поверхности) до
уровенной поверхности, принятой за начало счета высот. Начальной (исходной для счета)
поверхностью может быть поверхность геоида (отсчитываемое от нее расстояние
называется ортометрической высотой) или поверхность земного эллипсоида (в
этом случае получают геодезическую высоту). Числовое значение высоты точки
называется отметкой (отметкой высоты). Высоты, отсчитываемые от основной
уровенной поверхности, называют абсолютными высотами (aA, bB, cC на рис. 2), а
определяемые относительно произвольно выбранной уровенной поверхности —
условными высотами (b'В, с'С, с"С на том же рисунке). Разность высот двух
точек (или расстояние по отвесному направлению между уровенными поверхностями,
проходящими через две любые точки Земли) называется относительной высотой
или превышением Н этих точек (с"С на рис. 2).
В СНГ принята Балтийская система высот. Счет высот в этой системе ведут от
уровенной поверхности, проходящей через нуль Кронштадтского футштока. Футшток— рейка, устанавливаемая на берегах океанов и морей для наблюдений за
уровнем моря.
Три величины, две из которых характеризуют положение точки на
поверхности, а третья является высотой точки над поверхностью земного
эллипсоида, называются геодезическими координатами.
5. Связь плоской прямоугольной и полярной систем координат
Простота полярной системы координат и возможность ее построения
относительно любой точки местности, принимаемой за полюс, обусловили ее
широкое применение в топографии. Чтобы связать воедино полярные системы
отдельных точек местности, необходимо перейти к определению положения
последних в прямоугольной системе координат, которая может быть распространена на значительно большую по площади территорию. Связь между двумя
системами устанавливается решением прямой и обратной геодезических задач.
12
Xab
Xb-Xa
Прямая геодезическая задача состоит в определении координат конечной точки
линии по длине ее горизонтального проложения, направлению и координатам начальной точки. Так, если принять точку А
X
(рис. 10) за полюс полярной системы
С Yb
B
координат, а прямую АС — за полярную
Yab
ось,
параллельную
оси
ОХ,
то
полярными координатами точки В будут
S
и
α.
Необходимо
вычислить
S
прямоугольные координаты этой точки
А
Ya
в системе ХОУ. На рис. 10 видно, что хв
Xb
отличается от ХА на величину ( х в — Х А )
Xa
=Δх, а у B отличается от у А на величину
(УВ—УА)=ΔУ.
Р аз н о ст и
Y к о о р ди н а т ко н е чн о й В и начальной
0
А точек линии АВ Δх и Δ У
Yb-Ya
называются приращениями координат.
Рис. 10
Из
данных
рисунка
ясно,
что
приращениями координат линии являются ортогональные проекции горизонтального
проложения этой линии на оси координат, а координаты хв и ув могут быть
вычислены по формулам:
XB = XA + ΔXAB
YB = YA + ΔYAB
(9)
Значения приращений оп ределяются из прямоугольного треугольника АСВ по
заданным S и α, так как приращения Δх и Δ У являются катетами этого прямоугольного
треугольника:
XAB = S cos α, YAB = S sin α
(10)
Приращения координат имеют знаки. Знак приращений зависит от знака
косинуса и синуса угла направления или от названия четверти прямоугольной
системы координат (табл. 1.2).
Таблица 3
Угол напрвления,
Четверть
Знаки приращений координат
град
Δх
ΔУ
0 – 90
I – СВ
+
+
90 – 180
II – ЮВ
+
180 – 270
III – ЮЗ
270 - 360
IV - СЗ
+
Подставив значение приращений ΔXAB и ΔYAB в равенство (9), получим формулы
для решения прямой геодезической задачи:
(11)
XB = XA + S cos α, YB = YA + S sin α
tg
=
YB - YА
=
XB - X А
yАB
xАB
Обратная
геодезическая
задача
заключается в определении длины горизонтального проложения S и направления α
линии АВ (рис. 10) по данным координ а т а м е е н а ч а л ь н о й т о ч к и А ( Х A , у А ) и
к о н е чн о й В (Х B , у B ). Угол направления вычисляется по катетам прямоугольного
треугольника:
Горизонтальное проложение S, согласно (11), можно определить по двум
(12)
13
формулам:
x
XB - X А
;
S = cos А B = cos
yАB
YB - YА
= sin
S = sin
Обратную задачу можно решить в такой последовательности: вначале
вычислить горизонтальное проложение S по теореме Пифагора:
S = √(ХВ-ХА)2 + (УВ-УА)2
а затем вычислить угол направления α по формулам, согласно (12):
sin
=
YB - YА
;
S
cos
=
XB - X А
S
6. Сближение меридианов и его определение
R
Осевой меридиа
н
Вследствие сферичности Земли меридианы параллельны между собой только на
экваторе. В направлении к земным полюсам расстояние между ними постепенно
сокращается, а сами меридианы сходятся в точках-полюсах, образуя углы, называемые
углами сближения меридианов (сокращенно сближением меридианов). Представим,
что Земля имеет форму шара. Проведем через данную
T
точку А меридиан, дуг у малого круга параллельно
осевому меридиану и дугу параллели АС (рис. 10). Через
D
точку С проведем касательную СТ к осевому меридиану, а
P
через точку А — касательную АТ к меридиану и
касательную АD к малому кругу. Так как при переходе с
O1
r
поверхности шара на плоскость в применяемой в
C
l
A
геодезии проекции Гаусса углы не искажаются, а угол
между кривыми - угол между касательными к этим
кривым, то ^DАТ изобразится в проекции Гаусса без
O
искажений и будет равен γ. Примем условие, что точка А
l
находится недалеко от осевого меридиана. Тогда прямая
E
Экватор
АD почти параллельна прямой СТ. В этом случае практически
^СТА = ^ТАD = γ .
P1
Дугу АС можно принять приближенно за дугу
Рис. 11
=
AC
AT
окружности радиуса ТА. Тогда
Но дуга АС есть дуга параллели с ради усом r и центральным углом l,
поэтому д у г а А С = r l .
На основании теоремы о равенстве углов со взаимно перпендикулярными
сторонами можно написать, что
^ATO1 = ^АОЕ (=В).
Из прямоугольного треугольника АО 1 Т
AT =
r
sin B
(10)
Подставив выражения ^АС и АТ в равенство (10), после сокращений получим
14
γ = l sin B.
Нетрудно видеть, что l = L –L0 ,
(11)
где L - долгота меридиана, проходящего через данную точку; L0 - долгота осевого
меридиана.
На основании этого формулу (10) можно записать в виде
(12)
γ = (L – L0) sinВ.
Отсюда следует, что сближение меридианов в восточной части зоны положительно, а в западной — отрицательно. Кроме того, для точек, находящихся на
одной параллели, получает ся, что чем дал ь ш е то чка от осевого меридиана, тем
больше абсолютная величина у. Во всех точках, находящихся внутри
шестиградусной зоны, абсолютная величина сближения меридианов меньше 3°, а на
осевом меридиане и на экваторе сближение меридианов равно 0°.
7. Методы проектирования и проекции земной поверхности на плоскость.
Чтобы получить топографическую карту, точки земной поверхности
предварительно должны быть перенесены (отнесены) на поверхность более простую,
чем земная. Ее называют поверхностью относимостц. Такой поверхностью может быть
поверхность референц-эллипсоида, а также плоскость.
Процесс перенесения точек с земной поверхности на поверхность относимости
осуществляется различными методами проектирования. Методы проектирования определяют свойства получаемой проекции.
В топографии и геодезии проектирование ведется отвесными линиями. Ввиду
малого отклонения направление нормалей можно считать совпадающим с направлением
отвесных линий. Поправки вводятся только для аномальных районов. Полученные
проекции называются горизонтальными, так как горизонтальной считается поверхность,
перпендикулярная в каждой точке направлению отвесной линии. На рис.12,А
пятиугольник abcef является горизонтальной проекцией на эллипсоиде Q уровенной
поверхности) пятиугольника ABCEF на местности.
При проектировании небольших участков
земной поверхности часть
Рис. 12
уровенной поверхности можно заменить плоскостью P. В этом случае отвесные
15
линии практически параллельны между собой (рис.12,Б) и горизонтальная
проекция земной поверхности преобразуется в ортогональную проекцию, т. е.
проекцию, полученную параллельными проектирующими линиями, перпендикулярными плоскости проектирования. Проекция линии местности S на
горизонтальную плоскость называется горизонтальным проложением s (отрезки аb,
bс и т. д. на рис. 12,Б).
Таким образом, положение точек и линий местности АВ, ВС, ..., РА в
ортогональной проекции определяется длинами горизонтальных приложений аb,
bс,..., fа и горизонтальными углами между ними β1,β2,..., β5 (см. рис.12,Б).
Горизонтальные проложения линий отличаются от их длин на
местности. Это различие можно вычислить по известным формулам
тригонометрии. Например, если АВ = S, аb=АВ'=s, ν - угол между АВ и АВ', то
(13)
s = S cos ν
В отличие от горизонтальных углов β угол ν, характеризующий
отклонения земной поверхности на конкретном участке от горизонтальной
плоскости, называется вертикальным углом (углом наклона), так как он
располагается в вертикальной плоскости (плоскости проектирующих линий).
F
Наряду с названными в геодезии довольно широко применяется центральная проекция. Проектирование производится линиями, исходящими из одной точки F (рис. 13),
D
A
называемой центром проекции. Плоский многоугольник
C
аbсе является центральной проекцией многоугольника
B
АВСЕ на местности.
d
a
Чтобы перейти от изображения значительной по площади
территории земной поверхности в горизонтальной проекции к
c
ее плоскому изображению на карте, применяют различные
b
картографические проекции. Вид и характер искажений,
неизбежно возникающих при переходе от сферической
поверхности
к
плоской,
зависят
от
характера
Рис. 13
картографической проекции. Правильный выбор проекции
при ограничении площади изображаемого на карте участка земной поверхности
позволяет свести искажения к минимуму.
8. Единицы мер, используемые в геодезии
При выполнении геодезических работ используют меры длины площади, веса,
температуры, времени и т.п. При измерении углов используют градус, получаемый путем
деления прямого угла на 90 равных частей, 1˚ = 60', 1' = 60". Углы выражают также в
радиальной мере, равной отношению дуги окружности к ее радиусу. Радиан - центральный
угол, опирающийся на дугу окружности, равную радиусу. Так как угол 360° соответствует
длине окружности 2π, то один радиан равен 360/2π = 57° 17' 44,81"= 3437,7468' =
206264,81"= 57,295780°. При переводе градусной меры в радианную и обратно используют
выражение
180
n
180=
n
=
где α - радианная, n˚ - градусная мера одного и того же угла, π=3,141592654.
Например, в угловой мере угол n°=135˚ 11' 17,25", для его определения в радианной мере
имеем
16
=
135 11 17,25 * 3,141592654
n
=
= 2,35947789
180
180
Кроме того, для измерения углов используют децимальную систему мер, в которой
прямой угол делят на 100 равных частей, получившаяся часть называется градом (1g).
Один град содержит 100 градовых минут (1g =100c), одна градовая минута имеет 100
градовых секунд (1c = 100cc).
Единицей измерения длины является метр, его длина равна одной десятимиллионной
части половины парижского меридиана (от полюса до экватора). В Международном бюро
мер и весов во Франции хранится "архивный метр", изготовленный из платины жезл,
соответствующей длины. В 1889 г. из сплава 90% платины и 10% иридия были
изготовлены 31 жезл, являющиеся копиями "архивного метра", 28 жезлов переданы
государствам, присоединившимся к метрической системе мер. В Россию переданы два
таких жезла (эталона): № 28 - хранится во Всесоюзном институте метрологии им. Д.И.
Менделеева (ВНИИМ) в С.-Петербурге и № 11 - в Российской Академии наук.
В 1960 г. Международная конференция по мерам и весам установила длину метра,
равную 1 650 763,73 длинам волн излучения в вакууме оранжевой линии спектра изотопа
криптона с атомным весом 86. В СССР эту длину метра приняли 1 января
1963 г. при переходе к международной системе единиц СИ. Интерференционная
установка, созданная во ВНИИМ, позволяет сравнивать жезл с эталонной длиной
световой волны в 100 раз точнее, чем с платино-иридиевым прототипом метра.
Единицей измерения площади является квадратный метр; 10000м2= 1 гектару (га);
100 га= 1 км2.
Единицей массы является международный килограмм, единицей измерения
температуры - градус по шкале Цельсия, единицей измерения времени - секунда,
единицей измерения давления - 1 атмосфера, равная 760 мм рт.ст. при температуре 0°С
или 1013,25 гектопаскалей (гПа), или 1013,25 миллибар (мбар). За единицу измерения
частоты периодических колебаний принят герц; 1 мегагерц =106 герцам.
До перехода на метрическую систему в нашей стране основной единицей длины
был сажень, 1 сажень = 84 дюймам, 1 дюйм -25,4мм.
9. Понятие о плане, карте, аэроснимке
Картографическое изображение, одним из видов которого (наряду с глобусами,
рельефными картами и др.) является карта, обладает рядом свойств. Среди них следует
прежде всего назвать такие, как наглядность и измеримость карты. Наглядность карты
обеспечивает зрительное восприятие образа земной поверхности или отдельных ее
участков, их характерных черт и особенностей. Измеримость следует понимать, как
возможность получать по карте количественные характеристики изображенных на ней
объектов на основе определенных измерительных действий.
Наглядность и измеримость карты обусловливаются: 1) наличием математически
определенной связи между многомерными объектами окружающего нас мира и их
плоским картографическим изображением; она осуществляется с помощью
картографических проекций; 2) известной степенью уменьшения линейных размеров изображенных объектов, которая зависит от масштаба; 3) выделением типических черт
местности, определяющих ее отличительные особенности, путем картографической
генерализации; 4)
применением для изображения земной поверхности особой
знаковой системы -картографических условных знаков.
Одно из основных требований, предъявляемых к карте, — сохранение
географического соответствия между картографическим изображением и реальной
17
действительностью, отображение ее главных, типических черт, пространственных
взаимосвязей объектов, географической специфики конкретной территории.
Чтобы обеспечить высокую степень измеримости, карта должна обладать
достаточной для конкретных целей геометрической точностью, под которой понимается
соответствие местоположения, очертаний и размеров объектов на карте и в
действительности. Чем меньше изображаемый участок земной поверхности при сохранении размеров карты, тем выше ее геометрическая точность.
Карта должна быть достоверной, т. е. сведения, составляющие ее содержание на
определенную дату, должны быть правильными, должна быть также современной,
соответствовать современному состоянию изображенных на ней объектов. Современность
наряду с достоверностью можно рассматривать и как свойство конкретной карты. Важная
характеристика карты - полнота содержания, которая включает объем содержащихся в
ней сведений, их разносторонность.
Карты классифицируют по содержанию, масштабу, назначению, территориальному
охвату. Среди их многообразия выделяют группу общегеографических карт,
отображающих совокупность основных элементов местности (участков земной
поверхности): природных (рельеф, гидрография, растительный покров и грунты) и социально-экономических (населенные пункты, промышленные, сельскохозяйственные,
социально-культурные и другие объекты, дорожная сеть и др.).
Элементами карты, ее составными частями, являются: математическая основа,
включающая масштаб, геодезическую основу и картографическую проекцию; содержание, под которым понимается совокупность показанных объектов и сообщаемых
сведений; вспомогательное оснащение (название, легенда — свод условных знаков и
пояснений, раскрывающих их содержание, различные графики, справочные данные и др
Уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции небольшого участка
местности называется планом. На плане местность изображается без заметных
искажений, так как небольшой участок поверхности относимости можно принять за
плоскость.
Если участок поверхности относимости, на который спроектирована местность,
имеет большие размеры, то при изображении его на плоскости неизбежны заметные
искажения длин линий, углов, площадей. Просто развернуть на плоскость участок сферы
или эллипсоида без разрывов и складок нельзя, поэтому приходится прибегать к помощи
математики.
Математически определенный способ изображения поверхности сферы или
эллипсоида на плоскости называется картографической проекцией; каждой точке Mo (φ, λ
или B, L) изображаемой поверхности соответствует одна точка M (x, y) плоскости.
Аналитически картографическая проекция задается двумя уравнениями x = f1(φ, λ), y =
f2(φ, λ), где f1 и f2 - функции независимые, непрерывные, однозначные и конечные.
Картографические проекции классифицируются по:
характеру искажений (равноугольные, равновеликие и произвольные),
виду сетки меридианов и параллелей (азимутальные, цилиндрические,
псевдоцилиндрические, конические, псевдоконические, поликонические),
положению полюса сферических координат (нормальные, поперечные, косые).
Картой называется уменьшенное изображение на бумаге горизонтальной проекции
участка земной поверхности в принятой картографической проекции, то-есть, с учетом
кривизны поверхности относимости. В нашей стране топографические карты
составляются в поперечно-цилиндрической равноугольной проекции Гаусса.
Масштабом карты (плана) называется отношение длины отрезка на карте (плане)
к горизонтальной проекции соответствующего отрезка на местности.
Чтобы создать топографическую карту, проекция земной поверхности на
поверхность относимости должна быть уменьшена до обозримых размеров.
Отношение, показывающее, во сколько раз уменьшены линейные размеры
18
земного эллипсоида или шара при его изображении на карте, называется
масштабом карты. Его можно записать как
М = l : S,
где М — масштаб, l - длина отрезка прямой на карте, S - длина соответствующей
ему линии (ее горизонтального проложения) на эллипсоиде или шаре; при этом
М = l : m,
где m - число, показывающее степень уменьшения. Например: l =10 см, S = 500 м,
М=10 см: 50 000 см =1:5000. Это означает, что линейные размеры земного эллипсоида
(шара) уменьшены в 5000 раз. Если те же 500 м на карте изобразятся отрезком l = 1 см, то
М = 1:50000. Следовательно, чем больше знаменатель дроби, тем меньше
изображение на карте и ее масштаб; чем меньше знаменатель, тем крупнее
масштаб карты.
По своему назначению все географические карты делятся на общегеографические и
тематические. На общегеографических картах показывают рельеф, гидрографию,
растительный покров, населенные пункты, пути сообщения, различные границы и другие
объекты природного, хозяйственного и культурного назначения.
На тематических картах изображают размещение, сочетание и связи различных
природных и общественных явлений; известны геологические, климатические,
ландшафтные, экологические карты, карты полезных ископаемых, карты размещения
производительных
сил,
карты
населения,
исторические, учебные, туристические и др.
Крупномасштабные (масштаба 1 : 1 000 000 и
крупнее) общегеографические карты называются
топографическими. Они издаются в виде отдельных
листов размером примерно 40 см x 40 см.
Аэроснимок
это
фотографическое
изображение
участка
земной
поверхности,
представляющее его центральную проекцию. При
отвесном положении оси фотоаппарата получается
плановый снимок, при наклонном - перспективный
снимок.
Рис.15
Масштабом
аэроснимка
называется
отношение длины отрезка на аэроснимке к длине соответствующего отрезка на
местности (рис.15). Масштаб аэроснимка определяют по формуле:
1
f

(15)
M H
где:
f
фокусное
расстояние
фотоаппарата,
f
=
OC',
H - высота фотографирования, H = OC.
10. Картографическая проекция Гаусса
В проекции Гаусса вся поверхность Земли условно разделена на 60 зон
меридианами, проведенными через 6o; форма зоны - сферический двуугольник (рис.16);
счет зон ведется от Гринвичского меридиана на восток. Средний меридиан зоны
называется осевым; долгота осевого меридиана L0 любой зоны в восточном полушарии
подсчитывается по формуле:
L0=6o n - 3o
(1.7)
o
o
o
а в западном - по формуле: L0=360 - (6 n - 3 ), где n - номер зоны.
19
6-тиградусная зона
P
Эк
ват
ор
0
6
0
0
P
Осевой
меридиан
Рис.16
Представим себе, что земной эллипсоид вписан в эллиптический цилиндр. Ось
цилиндра расположена в плоскости экватора и проходит через центр эллипсоида (рис.16).
Цилиндр касается эллипсоида по осевому меридиану данной зоны. Вся поверхность зоны
проектируется на поверхность цилиндра нормалями к эллипсоиду так, что изображение
малого участка на цилиндре подобно соответствующему участку на эллипсоиде. Такая
проекция называется конформной или равноугольной; в ней углы не искажаются, а длины
линий искажаются по закону:
(1.8)
где: ΔS - величина искажения линии,
S - длина линии на эллипсоиде,
Y - удаление линии от осевого меридиана,
6
2
Rсредний по линии радиус кривизны эллипсоида.
4
Y +Y +Y
M= 1+
2
Масштаб вдоль среднего (осевого)
6
2R 24R4 720R
меридиана
постоянный и принят равным единице. Масштаб
в других точках одинаков по всем направлениям и определяется по формуле:
Максимальное значение последнего слагаемого для шестиградусной зоны равно
2,9-10 -11, поэтому во многих случаях его можно не учитывать.
6
0
P
2-я зона
P
1-я зона
60-я зона
P
Э к в а т о р
0
0
6
0
P
P
0
12
Поверхность цилиндра разрезается и развертывается
на плоскости; при этом осевой меридиан и экватор
изображаются в виде двух взаимно перпендикулярных
прямых линий. В точку их пересечения помещают начало
прямоугольных координат зоны. За ось OX принимают
изображение осевого меридиана зоны (положительное
направление оси OX - на север), за ось OY принимают
изображение экватора (положительное направление оси OY
- на восток).
В каждой зоне образуется самостоятельная система
координат. Западной границей первой зоны является
гринвичский меридиан, счет зон ведется к востоку от
Гринвича. Долгота L0,N осевого меридиана шестиградусной
зоны
P
L0,N =6 °N - 3 °,
где N - номер координатной зоны.
20
На территории России широты В > 35°, поэтому для шестиградусной зоны
максимальное удаление от осевого меридиана будет
у < уmах соs В = 334 соз 35° = 274 км. Этому значению соответствует значение масштаба
Mmах ≈ 1 + у2/2R2 = 1.00092 и относительное искажение длины:
D = Dm-D = m - 1 = 92/100000
D
D
При топографических съемках в
1/1100 масштабе 1:5000 и крупнее требования к
точности
изображения
предметов
местности повышаются, относительная
погрешность в измеренном на карте
расстоянии не должна превышать 1:2000.
Поэтому
при
выполнении
крупномасштабных съемок применяются
трехградусные
зоны,
осевыми
меридианами которых служат осевые и
граничные меридианы шестиградусных зон
(рис.8).
Осевые
меридианы
первой
трехградусной и первой шестиградусной
зон совпадают. Долгота осевого меридиана
и номер п трехградусной зоны связаны
формулой Zо,n = 3°n.
Рис. 8. Взаимное положение шести- и трехградусных зон
Максимальное искажение длин в пределах
трехградусной зоны в 4 раза меньше максимального
искажения в шестиградусной зоне. Для удобства
практического использования проекции ГауссаКрюгера немецкий ученый Баумгарт в 1919 году
Y2
Y2 2
2
Y1
1 Y1
1
предложил ко всем ординатам трехградусных зон
X2
X2
X1
X1
прибавлять 500000 м, а перед ординатой ставить
0
+Y
+Y 0
-Y
номер зоны. Эти предложения были приняты и для
шестиградусных зон. С учетом этого условно
принимают
ỹ = (1000000 N + 500000 + у) м
например, если точка находится в 8
-X
-X
координатной зоне и имеет ординату
у = -55451,54 м, то у = 8 444 548,46.
Рис. 9 Зональная система координат
Затруднения при использовании зональной системы координат возникают в тех
случаях, когда топографо-геодезические работы проводятся на приграничных
участках, расположенных в двух соседних (смежных) зонах. Координатные линии
таких зон располагаются под углом друг к
другу.
Для
ликвидации
возникающих
осложнений введена полоса перекрытия зон, в
Зона
которой координаты точек могут быть
5- я
6- я
Зо на
вычислены в двух смежных системах.
Предусмотрены
перекрытия
координатных зон на 1° - до широты 28°, на 2° для широт 28-76° и 3° - для широт более 76°.
Рис. 10 Взаимное расположение километровых
линий на стыке зон
а)
б)
+X
24
Осевой
Осевой
мерид
иан
меридиан
+X
0
27
0
300
33
0
36 0
21
Принятая система координат обеспечивает применение на практике относительно
небольшого числа зон и единообразие связи между ними. Впервые эта система в СССР
была применена в 1928 г., а в 1932 г. утверждена как общегосударственная. С принятием
для геодезической основы эллипсоида Красовского она названа системой координат
1942г.
В пределах зоны проходящие через одну и ту же точку линия координатной сетки,
параллельная осевому меридиану (вертикальная линия сетки), и направление
географического меридиана не совпадают. Они образуют некоторый угол γг, который
называется гауссовым сближением меридианов. Его значение можно выразить, преобразовав формулу (12): γг = (L0-LТ) sin B
где L0 и LТ — долгота осевого меридиана и меридиана, проходящего через
некоторую точку.
Наибольшее значение L0-LТ = 3° имеет на границе
зоны, а значение sin B меняется в пределах от 0 на эква-Г
+ Г
торе, где B = 0°, до 1 на полюсе, где B = 90°. Поэтому у
экватора γг близко к 0° в пределах всей зоны, а у полюса
на краю зоны приближается к 3°.
Гауссово сближение, как и сближение меридианов,
рассмотренное
выше,
считается
восточным
(и
положительным) при отклонении линии сетки к востоку
от географического меридиана, проходящего через ту же
точку, что и линия сетки. При противоположном
отклонении линии сетки сближение западное и
сопровождается знаком минус (рис. ).
Рис. гауссово сближение меридианов
11. Разграфка и номенклатура
Разграфкой называется разделение многолистной карты на отдельные листы.
Обозначение отдельных листов такой карты по определенной системе называется
номенклатурой.
К основным принципам составления номенклатуры топографических карт
относятся: 1) связь с географическим положением изображенной на листе территории,
которая обеспечивает быстрый подбор листов карты на любой участок земной
поверхности; 2) зависимость от масштаба изображения, позволяющая легко переходить от
карт одного масштаба к другому. Разграфка и номенклатура листов советских
топографических карт и планов всего масштабного ряда основаны на разграфке и
номенклатуре Международной карты масштаба 1 : 1000000 (рис. 111.8).
границами координатной зоны в проекции Гаусса. Для изображения всей зоны
требуется несколько десятков листов миллионной карты. Совокупность этих листов
называется колонной карт (просто-колонной). Колонны обозначаются арабскими
цифрами (аналогично зонам), их счет ведется так же, как и зон, но от меридиана с
долготой 180°, поэтому номер колонны отличается от номера зоны на 30. Например, 1-я
зона— 31-я колонна, 30-я зона — 60-я колонна.
В горизонтальном направлении листы карты масштаба 1:1 000 000 образуют
широтные ряды (пояса), ограниченные параллелями через 4°. Ряды обозначаются
прописными буквами латинского алфавита к северу и югу от экватора. Номенклатура
листа карты масштаба 1:1 000 000, определяющая его положение в общей системе листов,
состоит из буквенного обозначения широтного ряда и номера колонны (на рис. 111.9
22
отмечен лист с номенклатурой Е-33). На листах карты для южного полушария справа от
номенклатуры помещается обозначение ЮП.
Границы листа миллионной карты, образуемые меридианами, совпадают с
Листы карты с размерами 4x6°
издаются на территорию, ограниченную
28
G
параллелями с широтой от О до 60°. Для
24
территории между параллелями 60 и 76°
F
20
листы сдваиваются по долготе, т. е. имеют
E
Ряд
16
Е-32
размеры соответственно 4 и 12°; между
D
12
параллелями 76 и 88° в один объединяются
C
четыре листа, площадь которых в
8
B
широтном направлении равна предыдущим
27
34
4
28
33
29
32
30
31
A
листам, но ограничивается меридианами с
0
интервалом
по
долготе
в
24°.
24
24
18
18
12
12
Номенклатура
объединенных
листов
6
6
0
слагается из буквенного обозначения ряда
и соответственно двух или четырех чисел, обозначающих номера колонн, например - Р-39,
40; Т-37, 38, 39, 40.
Разграфка листов карты масштаба 1:500 000 и крупнее производится путем деления
миллионного листа меридианами и параллелями с установленными интервалами между
ними для каждого масштаба. При этом выполняется условие: полученные листы карт
всего масштабного ряда должны быть примерно равных размеров, а ограничивающие их
меридианы и параллели иметь долготу или широту, выраженную целым числом минут и
секунд (табл. ).
Листы 1:500 000 карты получаются в результате деления миллионного листа
средним меридианом и средней параллелью на четыре части (нетрудно подсчитать, что
изображение территории в масштабе 1:500 000 по площади в 4 раза больше листа
миллионной карты, так как длины линейных отрезков увеличиваются вдвое при переходе
от миллионного масштаба к пятисоттысячному; для получения листов, равных по
площади листам исходного масштаба, увеличенный лист следует разрезать на четыре
0
32
H
Колонна
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
23
части). Границами листов пятисоттысячной карты будут меридианы, проведенные через
3°, и параллели с интервалом 2°.
Размер листа, град
6°
4°
Количество листов
в листе
в листе
карты
миллионисходного
ной карты
масштаба
1
1
3°
1°
0°30'
0°15'
0°07'30"
0°03'45"
0°01'52 5"
0°00'37,5"
2°
0°40'
0°20'
0°10'
0°05'
0°02' 30"
0°01'15"
0000'25"
4
36
144
4
4
4
256
9
Масштаб
по долготе
1:1 000 000
1:500000
1:200000
1:100000
1:50000
1:25000
1:10 000
1:5000
1:2 000
по широте
4
36
144
576
2304
9216
36864
331 776
Примерная
площадь
листа на
широте 54°,
км2
44 000
5000
1200
300
75
19
4*
1*
175000
* В прямоугольной разграфке.
Листы 1 : 300 000 карты получают делением листа миллионного масштаба на девять
частей. Эти части обозначаются римскими цифрами I,II,III … IX. Границами листов
трёхсоттысячной карты будут меридианы, проведенные через 2°, и параллели с
интервалом в 1° 20'.
Одному листу миллионной карты соответствуют также 36 листов карты масштаба
1:200 000 и 144 листа карты в масштабе 1:100 000 (рис. ), размеры которых указаны в
табл.
Разграфка листов масштабов 1 : 50 000, 1 : 25 000 и 1 : 10 000 производится путем
деления на четыре части листа карты предыдущего масштаба, т. е. сначала делится
стотысячный лист на четыре пятидесятитысячных, затем пятидесятитысячный лист на
четыре двадцатипятитысячных,
наконец, двадцатипятитысячный лист на четыре
десятитысячных листа (рис. ). Чтобы определить границы листов масштаба 1:5000,
площадь листа в масштабе 1 : 100000 делят на 256 частей (рис. ); разделив каждую часть
еще на 9 частей, получают листы масштаба 1:2000 (рис. ).
N-36-12
Листы каждого масштаба обозначаются
1:10000
установленным
образом в пределах исходного
1 2 1 2
N-36-12-Б-б-2
б
а
а
б
для разграфки листа. Пятисоттысячные листы
3 4 3 4
Б
обозначаются прописными буквами русского
А
1 2 1 2 1:25000
алфавита (А, Б, В, Г), двухсоттысячные г
г
в
в
3 4 3 4 N-36-12-Б-г
римскими цифрами (/, II, III ... XXXVI), стотысячные - арабскими цифрами (1, 2,3 ... 144),
пятидесятитысячные - вновь прописными
Г
В
буквами русского алфавита (А, Б, В, Г),
1:50000
двадцатипятитысячные -- строчными буквами
N-36-12-г
русского алфавита (а, б, в, г), десяти- и
пятитысячные - арабскими цифрами, которые
1:100000
для второго масштаба заключаются в скобки
[соответственно /, 2, 3, 4 и (1), (2) ... (256)], двухтысячные - строчными буквами русского
алфавита, заключенными в скобки [(а), (б) ... (и)]. Примеры номенклатур даны на рис. .
Составление номенклатуры листов проводится двумя путями.
1. Исходный лист - основа для разграфки листов нескольких масштабов: к
24
номенклатуре исходного листа (масштаба 1:1000000 или 1:100000) прибавляется
1:300 000
I-N-36
1
2
N-36
3
I
4
5
14
15
16
17
VII
39
50
А
40
51
XIII
61
29
30
VIII
38
49
28
27
52
63
86
87
97
98
99
43
44
45
53
54
55
56
57
XVI
65
66
76
77
78
XXVI
110
111
VII
121
122
XXXI
133
В
134
123
112
124
XXXII
135
136
XII
Б
48
47
46
60
59
58
XVIII
XVII
68
69
70
79
80
81
82
71
72
83
84
VI
XXII
XXIV
XXIII
96
89
90
91
92
93
94
95
101
102
103
104
105
Г106
107
119
XXVII
113
114
XXVIII
115
116
117
118
126
XXXIII
137
138
127
128
129
130
XXXIV
139
140
108
120
IX
XXXV
141
1:500 000
N-36-Г
XXX
XXIX
VIII
125
1:200 000
N-36-XII
36
35
67
XXI
88
100
XXV
XI
42
64
XX
85
33
41
XV
24
III
34
V
75
XIX
109
22
23
VI
21
X
IV
74
32
IX
XIV
62
73
11
V
20
31
12
10
II
26
37
19
18
I
25
9
IV
III
II
13
8
7
6
1:100 000
N-36-12
142
131
132
XXXVI
143
144
1:1 000 000
обозначение листа конкретного масштаба. Таким образом составляются номенклатуры
листов карт масштаба 1 : 500 000, 1 : 200 000 и 1 : 100000 на основе листа масштаба
1:1000000, листы карт масштаба 1:50000 и 1:5000 на основе листа карты
масштаба 1:100000.
25
N-36-12
1 2
17
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
32
33
48
49
64
65
80
81
96
97
112
113
128
129
144
145
160
161
176
177
192
193
208
1:5000
N-36-12-(16)
N-36-12-(16)
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
1:2000
N-36-12-(16-в)
1:5000
2. Исходный лист - основа для
разграфки
листов одного масштаба:
обозначение
листа конкретного
1:100000
масштаба прибавляется к номенклатуре
предыдущего (исходного) масштаба. Этот путь используется при составлении
номенклатур листов масштаба 1 : 25000, 1 : 10000 и 1 :2000. Общим для обоих способов
является то, что номенклатура листа какого5
1:2000
либо масштаба слагается из номенклатуры
5-А
исходного для разграфки листа и обозначения
листа данного масштаба. При создании планов
II
I
на участки площадью менее 20 км2 применяется
1:1000
А
Б
5-Б-IV прямоугольная или квадратная разграфка на
IV
III
основе листа пятитысячного масштаба. Исходный лист делится на четыре листа масштаба
3
4
1
2
1:2000, двухтысячный — на четыре листа
масштаба 1:1000 или 16 листов масштаба 1:500
8
5
6
7
(рис.
). Обозначения листов каждого из
Г
В
11 12
9
10
названных масштабов, а также их размеры
1:500
указаны в табл. 111.2, а примеры номенклатур
13
14
15 16
5-Г-16
даны на рис. .
1:5000
209
224
225
240
245
249
243
247
241
251
253
255
242
250
254
256
244
246
248
252
Размер рамок
Площадь листа
Масштаб
Обозначение
листов
листа, см
га
км2
1:5000
/, 2, 3...
40X40
400
4
1:2000
А, Б, В, Г
50X50
100
1
1:1000
I, II, ///, IV
50X50
25
0,25
1:500
1, 2, 3...
50X50
6,25
0,0625
Нетрудно заметить, что номенклатура листов конкретного масштаба имеет
определенные количество, последовательность и вид составляющих ее компонентов
(сравните номенклатуры, приведенные на рис. ). Поэтому по номенклатуре можно
26
установить масштаб листа карты или плана. В общем виде блок-схему разграфки и
номенклатуры топографических карт
V-N-36
N-36
в географической системе координат
(A-V)-(1-60)
I-IX
можно
представить
следующим
1020’x20
40x60
образом.
1 : 1 000 000
1 : 300 000
N-36-121
N-36-XXII
1-144
20’x30’
I-XXXVI
40’x10
1 : 100 000
1 : 200 000
N-36-В
А,Б,В,Г
20х30
1 : 500 000
N-36-121-В
N-36-121-(183)
А,Б,В,Г
10’x15’
(1-256)
1’15”x1’52,5”
1 : 5 000
1 : 50 000
N-36-121-В-а
N-36-121-(183-и)
а,б,в,г
5’x7’30”
а,б,в,г,д,е,ж,з,и
25”x37,5”
1 : 2 000
1 : 25 000
N-36-121-В-а-2
1,2,3,4
2’30”x3’45”
1 : 10 000
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ИНСТРУМЕНТЫ
1. Измерение расстояний
Измерением длины линии называют процесс сравнения ее с некоторой эталонной
величиной. Измерить длину линии на местности можно разными способами, выбор
которых зависит от применяемых приборов, требуемой точности измерения, условий
местности. Измерение линий с помощью землемерной ленты, рулетки, длиномера,
инварной проволоки осуществляется путем непосредственного укладывания прибора
вдоль линии, длина которой определяется. Специальные приборы — дальномеры —
позволяют решить задачу измерения, не изменяя точки стояния (местоположения)
прибора. Дальномеры делят на оптические и физические. Длина линии, непосредственное
измерение которой невозможно, может быть получена вычислением при наличии необходимых для этого данных.
Мерные приборы. Различают непосредственное измерение расстояний и измерение
расстояний с помощью специальных приборов, называемых дальномерами.
Непосредственное измерение выполняют инварными проволоками, мерными лентами и
рулетками.
Инварные проволоки позволяют измерять расстояние с наибольшей точностью;
относительная ошибка измерения может достигать одной миллионной; это означает, что
расстояние в 1 км измерено с ошибкой всего 1 мм. Инвар - это сплав, содержащий 64%
железа и 36% никеля; он отличается малым коэффицентом линейного расширения α = 0.5
* 10-6 (для сравнения: сталь имеет α = 12 * 10-6).
27
Мерные ленты обеспечивают точность измерений около 1 / 2 000, т.е. для расстояния
в 1 км ошибка может достигать 50 см. Мерная лента - это стальная лента шириной от 10
до 20 мм и толщиной 0.4 - 0.5 мм (рис.4.22). Мерные ленты имеют длину 20, 24 и 50 м.
Целые метры отмечены пластинами с выбитыми на них номерами метров, полуметры
отмечены круглыми заклепками, дециметры - круглыми отверстиями диаметром 2 мм.
Фактическая длина ленты или проволоки обычно отличается от ее номинальной длины на
величину Δl. Фактическую длину ленты определяют, сравнивая ее с эталонной мерой.
Процесс сравнения длины мерного прибора с эталоном называется компарированием, а
установка, на которой производится компарирование, - компаратором.
Согласно ГОСТ 7502 - 80 допускается отклонение фактической длины новой ленты 2
мм для 20- и 30-метровых лент и 3 мм для 50-метровых. Вследствие износа фактическая
длина ленты изменяется, поэтому компарирование производится каждый раз перед
началом полевых работ.
Длина стальных рулеток бывает 20, 30, 50, 75 и 100 м. Точность измерения
расстояния стальными рулетками зависит от методики измерений и колеблется от 1/2 000
до 1/10 000.
Измерение линий мерной лентой. Измеряют линии, последовательно укладывая
мерную ленту в створе линии. Прежде чем измерять линию, ее нужно подготовить, а
именно: закрепить на местности ее концевые точки и обозначить створ. Створом линии
называют отвесную плоскость, проходящую через концевые точки. Для обозначения
створа линию провешивают, т.е. устанавливают вехи через 50-150 м в зависимости от
рельефа.
Измерение линии выполняют два человека. Они укладывают ленту в створ и считают
число уложений. В комплект кроме самой ленты входят 6 или 11 шпилек и 2 проволочных
кольца (рис.4.1), на которые надевают шпильки. Передний мерщик в процессе измерения
линии втыкает шпильки в землю, а задний собирает их. В конце линии измеряют остаток с
точностью до 1 см.
Длину линии определяют по формулам:
D'= k * ( l0 + Δl) + r + (Δl/l0) * r,
(4.27)
D = D'+ D'* α * (t - tk) = D' * [1 + α * (t - tk)];
здесь l0- номинальная длина ленты;
Δl - поправка из компарирования;
k - число уложений ленты;
r - остаток;
tk - температура компарирования;
t - температура ленты во время работы.
Длину линии обычно измеряют два раза - в прямом и обратном направлениях.
Допускается расхождение между результатами двух измерений на величину:
1
Dпр  Dобр  2 D
T
где 1/T - относительная ошибка измерения расстояния.
Например, при 1/T = 1/2000 и длине линии 500 м расхождение между прямым и
обратным измерениями не должно превышать 0.5 м.
Приведение длины линии к горизонту. Измеренная линия имеет угол наклона ν ;
проекция ее на горизонтальную плоскость, называемая горизонтальным проложением
линии, вычисляется по формуле:
S = D - ΔD,
где ΔD- поправка за приведение к горизонту. Формула для вычисления поправки ΔD
выводится следующим образом.
28
Из ΔABB' (рис.4.23) видно, что:
S = D * Cos ν;
далее пишем:
ΔD = D - D * Cos ν = D * (1 - Cosν),
ΔD = 2 * D * Sin2 ν/2.
(4.29)
Угол наклона линии измеряют либо теодолитом, либо специальным прибором эклиметром. В исправном эклиметре нулевой диаметр всегда занимает горизонтальное
положение. При наклоне эклиметра в прорезь виден отсчет, равный углу наклона линии.
Ошибка измерения угла наклона эклиметром равна 15'- 30'.
Если линия имеет переменный угол наклона, то ее нужно разделить на части, каждая
из которых имеет постоянный угол наклона, и измерить каждую часть отдельно.
Если ν<10, то поправку за приведение к горизонту учитывать не нужно. Покажем это:
ΔD/D =2 * Sin2(ν/2); Sin(ν/2) = Sin30'= 1/115;
ΔD/D = 1/6500.
При ν=10 поправка за наклон не превышает 1/6500, а точность измерений мерной
лентой - около 1/2000, следовательно, поправкой за наклон можно пренебречь.
Поправку ΔD за наклон линии можно вычислять и через превышение h точки B над
точкой A. Запишем теорему Пифагора для треугольника ABB':
D2 = S2 + h2,
и выразим S
S = D * (1 - h2/D2)1/2.
Для выражения в скобках выполним разложение в ряд, ограничившись двумя
членами разложения,
1 h2 1 h4
2
2 1/ 2
(1  h / D )  1  * 2  * 4 ...
2 D
8 D
Тогда
h2
h4
S  D

2 D 8D 3
и
h2
h4
D  D  S 

2 D 8D 3
При измерении расстояний мерными лентами и рулетками второе слагаемое иногда
не учитывают и применяют формулу:
h2
D 
2D
Оптические дальномеры
В дальномерах измеряется не сама длина линии, а некоторая другая величина,
относительно которой длина линии является функцией.
В геодезии применяют 3 вида дальномеров:
 оптические (дальномеры геометрического типа),
 электрооптические (светодальномеры),
29
 радиотехнические (радиодальномеры).
Геометрическая схема оптических дальномеров. Пусть требуется найти расстояние
АВ. Поместим в точку А оптический дальномер, а в точку В перпендикулярно линии АВ рейку.
C
C
l
A
B
s
D
D
Обозначим: l - отрезок рейки CD, φ - угол, под которым этот отрезок виден из точки А.
Из треугольника АCD имеем:
l
β
D  Ctg ( )
(4.31)
2
2
или
D  l *Ctg (β)
(4.32)
Обычно угол φ небольшой (до 1o) , и, применяя разложение функции Ctgφ в ряд,
можно привести формулу (4.31) к виду (4.32). В правой части этих формул два аргумента,
относительно которых расстояние D является функцией. Если один из аргументов имеет
постоянное значение, то для нахождения расстояния D достаточно измерить только одну
величину. В зависимости от того, какая величина - φ или l, - принята постоянной,
различают дальномеры с постоянным углом и дальномеры с постоянным базисом.
В дальномере с постоянным углом измеряют отрезок l, а угол φ - постоянный; он
называется диастимометрическим углом.
В дальномерах с постоянным базисом измеряют угол φ, который называется
параллактическим углом; отрезок l имеет постоянную известную длину и называется
базисом.
Нитяной дальномер с постоянным углом. В сетке нитей зрительных труб, как
правило, имеются две дополнительные горизонтальные нити, расположенные по обе
стороны от центра сетки нитей на равных расстояниях от него; это - дальномерные нити
(рис.4.25).
б)
а)
x
x
M
D
Z
c
c1
p
y
y
F
O
l
d1
d
g
f
e
D
Z
A
C
N
B
Нарисуем ход лучей, проходящих через дальномерные нити в трубе Кеплера с
внешней фокусировкой. Прибор установлен над точкой А; в точке В находится рейка,
30
установленная перпендикулярно визирной линии трубы. Требуется найти расстояние
между точками А и В.
Построим ход лучей из точек c и d дальномерных нитей. Лучи из точек c и d, идущие
параллельно оптической оси, после преломления на линзе объектива пересекут эту ось в
точке переднего фокуса F и попадут в точки C и D рейки. Расстояние от точки A до точки
B будет равно:
D = l/2 * Ctg(φ/2) + fоб + g,
(4.33)
где g - расстояние от центра объектива до оси вращения теодолита;
fоб-фокусное расстояние объектива;
l - длина отрезка MG на рейке.
Обозначим (fоб + g) через s, а величину 1/2*Ctg φ/2 - через S, тогда
D = S * l + s.
(4.34)
Постоянная S называется коэффицентом дальномера. Из Δ c1OF имеем:
Ctg φ/2 = ОF/ c1O; c1O= p/2; c1O= p/2,
где p - расстояние между дальномерными нитями. Далее пишем:
С = fоб/p.
(4.35)
Коэффициент дальномера равен отношению фокусного расстояния объектива к
расстоянию между дальномерными нитями. Обычно коэффицент С принимают равным
100, тогда Ctg φ/2 = 200 и φ = 34.38'. При С = 100 и fоб = 200 мм расстояние между нитями
равно 2 мм .
При длине линий до 300 м относительная ошибка измерений нитяным дальномером
составляет 1/100 – 1/300.
Измерение нитяным дальномером наклонного расстояния. Пусть визирная линия
трубы JK при измерении расстояния АВ имеет угол наклона ν, и по рейке измерен отрезок
l (рис.4.26). Если бы рейка была установлена перпендикулярно визирной линии трубы, то
наклонное расстояние было бы равно:
D = l0 * C + c.
Но l0 = l*Cos ν, поэтому
D = C*l*Cosν + c.
(4.36)
Горизонтальное проложение линии S определим из Δ JKE :
S = D*Cosν
или
S= C*l*Cos2ν + c*Cosν.
(4.37)
Ввиду малости c, получаем S= C l Cos2ν.
Горизонтальное проложение можно получить и вычитанием поправки Δd за наклон
линии из результата дальномерного расстояния
S = D- Δd
Поправку определяют по формуле
Δd = C l – C l Cos2ν = C l (1- Cos2ν) = C l Sin2ν
31
Понятие о светодальномерах
Измерение расстояний с помощью светодальномера основано на измерении
промежутка времени t, в течение которого свет дважды проходит расстояние D, в прямом
и обратном направлении (рис.4.27).
Обозначив через V скорость света в атмосфере, напишем формулу для расстояния:
t
DV
(4.40)
2
Скорость света в вакууме V0 считается известной V0 = 299 792 458 м/сек, а для
получения скорости света в атмосфере V нужно еще знать показатель преломления
воздуха n:
V = V0/n .
(4.41)
Светодальномеры бывают импульсные и фазовые. В импульсных светодальномерах
промежуток времени t измеряется непосредственно, а в фазовых - через разность фаз.
В фазовых светодальномерах используют модулированный свет; частота модуляции
бывает от 7 мгц до 75 мгц (что соответствует длине волны от 4 до 40 метров); это так
называемая измерительная или масштабная частота; несущие волны располагаются в
субмиллиметровом диапазоне.
Приведем рабочие формулы для вычисления расстояний, измеренных фазовым
светодальномером:
V
D  (N  N)
2f
λ
или
D  (N  N)
(4.42)
2
V
где: f – частота модуляции f  ,
λ
λ - длина волны, соответствующая частоте модуляции,
N - число, показывающее сколько раз половина длины волны укладывается в измеряемом
расстоянии; оно определяется при "грубом" измерении расстояния на нескольких
масштабных частотах, ΔN - домер фазового цикла; именно он и подлежит точному
измерению.
На практике для вычисления горизонтального проложения линии, измеренной
светодальномером, используют формулу:
Sизм = Dст. + ΔD t + ΔDP + ΔDe + C - ΔDH ,
(4.43)
где: Dст.- длина линии, соответствующая некоторому стандартному значению
скорости света Vст. при значениях температуры t0 и давления P0; обычно принимают:
32
t0 = + 12oC, P0 = 984 ГПА ,
ΔDt, ΔDP, ΔDe - поправки за отклонение фактических значений метеоэлементов от их
стандартных значений,
ΔDt = kt * Dст./100, ΔD P = kP * Dст./100, ΔDe = ke * Dст./100.
Коэффициенты kt (температурный), kP (давления) и ke (влажности воздуха) выбирают
из заранее составленной таблицы,
C- постоянная поправка светодальномера, определяемая по специальной методике,
ΔDH - поправка за наклон линии:
h2
h4
D 

(4.44)
2D 8D 3
Согласно ГОСТу 19223-90 светодальномеры в нашей стране выпускаются четырех
типов (групп):
Г - для государственных геодезических сетей;
П - для прикладной геодезии и маркшейдерии;
Т - для сетей сгущения и топографических съемок;
СТД - для топографических съемок (диффузное отражение).
Средняя квадратическая ошибка расстояния, измеренного светодальномером,
вычисляется по формуле:
mD = a + b * D * 10-6.
Для каждой группы светдальномеров значения коэффициентов a и b имеют значения:
СГ (0.1 км < D < 30 км) a = 1мм; 2 мм; b = 1; 2;
СП (0.001 км < D < 5 км) a = 0.1мм; 0.5 мм; 1мм; 2 мм;
СТ (0.002 км < D < 15 км) a = 5 мм; 10мм; b = 3; 5;
СТД (0.002 км < D < 500 м) a = 20 мм.
В радиодальномерах в качестве несущей частоты используют обычно 3сантиметровые электромагнитные волны, а вместо используемого в светодальномерах
пассивного отражателя - активный ответчик. На концах измеряемой линии устанавливают
ведущую и ведомую станции, которые часто делают взаимозаменяемыми. При измерении
обе станции работают как активные радиоэлектронные устройства, результат измерения
получают на ведущей станции. На этой станции работают два генератора
электромагнитных колебаний - несущей частоты ГНЧ1 и ГМЧ1 модулирующей частоты.
На ведомой станции работают три генератора - несущей частоты ГНЧ2, модулирующей
частоты ГМЧ2 и поднесущей частоты ГПЧ2. Излучаемые ведущей станцией колебания
несущей частоты ωН1 модулированы колебаниями модулирующей частоты ωМ1. Ведомой
станцией излучаются колебания несущей частоты ωН2, модулированные колебаниями
модулирующей частоты ωМ2 и колебаниями частоты ωПg , в свою очередь модулированные
низкочастотными колебаниями частоты Ω = ωМ1 - ωМ2
Сигналы низкой частоты получаются в смесителях ведущей и ведомой станций.
Разность фаз этих двух низкочастотных сигналов, измеряемая фазометром, дает
информацию об измеряемом расстоянии. Для разрешения неоднозначности используют
несколько различных модулирующих частот.
Основные преимущества радиодальномера - возможность измерять большие
расстояния и независимость от метеорологических условий. Недостатками являются :
необходимость работы одновременно двух станций; возможные ошибки из-за отражения
волн от подстилающей поверхности и от зданий и сооружений; большая (2-3 см)
постоянная часть погрешности измерения.
Светодальномеры с пассивным отражением измеряют расстояния до предметов без
отражателя, т.е. используют отражательные свойства самих предметов
В настоящее время известны дальномеры с пассивным отражением и погрешностью
измерения расстояний до 1-3 мм и дальностью измерений до 150-250 м.
33
Довольно часто в силу местных условий (река, овраг и т.д.) измерить линию мерным
прибором не представляется возможным. Тогда используют косвенный метод
Пусть требуется определить расстояние D = АВ (рис. 6.13) через некоторое
препятствие.
Для этого на местности измеряют базисы b1 = АВ, b1=АС и углы α1 β1 α2 β2
Решая треугольники АВD и АВС по теореме синусов, определяют расстояние
D  b1sinβ1cosec1  b 2sinβ 2cosec2
где 1  180  (1  1 ); 2  180  ( 2  2 )
Разность между двумя значениями стороны АВ не должна превышать 1/1000 ее длины.
Базисы выбирают так, чтобы углы α и β были в пределах от 300 до 1500
2. Принцип измерения горизонтального угла
Плоский угол образуется двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой
вершиной угла. Угол обычно измеряют в градусной мере (градусы, минуты, секунды),
реже - в радианной. За рубежом широко применяется градовая мера измерения углов.
В геодезии имеют дело с углами, лежащими в горизонтальной или вертикальной
плоскостях, причем горизонтальный угол обычно обозначают буквой β.
Угол
на
чертеже
или
карте
измеряют
транспортиром
(рис.4.1);
N1 и N2 - отсчеты по шкале транспортира в точках пересечения ее сторонами угла
β = N2 - N1.
(4.1)
Если N1=0, то β = N2 (рис.4.2).
На местности угол фиксируется тремя точками: одна из них - точка A - является
вершиной угла, две другие - B и C - фиксируют направления первой и второй сторон угла
соответственно (рис.4.3).
34
Z
A
a
b
A
O
90
270
В геодезии обработка измерений выполняется на горизонтальной плоскости, поэтому
угол BAC нужно спроектировать на горизонтальную плоскость H. Горизонтальная
проекция точки находится в точке пересечения отвесной линии, проходящей через эту
точку, с плоскостью H. Для проектирования линии нужна отвесная проектирующая
плоскость, проходящая через данную линию.
Проведем через линии местности AB и AC отвесные проектирующие плоскости Q и
T. Линии пересечения этих плоскостей с горизонтальной плоскостью H будут
горизонтальными проекциями линий AB и AC.
Искомый угол β - это мера двугранного угла, образованного проектирующими
плоскостями Q и T, то-есть, плоский угол, лежащий в плоскости H, перпендикулярной
граням угла. Ребром этого двугранного угла является отвесная линия, проходящая через
вершину угла местности.
Двугранный угол, ребро которого образовано отвесной линией, проходящей через
данную точку, называется горизонтальным.
Вспомним одно из свойств двугранного угла:
при пересечении его граней параллельными
0
B
плоскостями
углы,
образованные
линиями
пересечения граней с этими плоскостями, равны
между собой. Как измерить угол β, используя это
свойство? Для этого достаточно установить лв
пр
угломерный круг так, чтобы его центр находился на
ребре двугранного угла, а его плоскость была
горизонтальна (параллельна плоскости H).
180
Угол β равен углу b'a'c'; он вычисляется по
разности отсчетов c' и b' на угломерном круге:
A
β = c' - b' .
Отсчет b' получается в точке пересечения шкалы угломерного круга плоскостью Q,
отсчет c' - в точке пересечения шкалы плоскостью T.
Таким образом, прибор для
измерения горизонтальных углов на
местности должен иметь угломерный
круг, приспособление для наведения на
точки местности и устройство для
отсчитывании по шкале угломерного
круга; такой прибор называется
теодолитом.
E
B
2. 1. Устройство теодолита
Прибор
для
измерения
на
местности
горизонтальных
и
вертикальных
углов
называется
Z
теодолитом.
У первых теодолитов в центре угломерного круга на острие иголки помещалась
линейка, которая могла свободно вращаться на этом острие (как стрелка у компаса); в
линейке были сделаны вырезы и в них натянуты нити, играющие роль отсчетных
индексов. Центр угломерного круга помещали в вершину измеряемого угла и надежно его
закрепляли. Поворачивая линейку, совмещали ее с первой стороной угла и брали отсчет
N1 по шкале угломерного круга. Затем совмещали линейку со второй стороной угла и
брали отсчет N2. Разность отсчетов N2 и N1 равна значению угла. Подвижная линейка
B
F
35
называлась алидадой, а сам угломерный круг назывался лимбом. Для совмещения
линейки-алидады со сторонами угла применялись примитивные визиры.
Современные теодолиты, сохранив идею измерения угла, конструктивно
значительно отличаются от старинных теодолитов. Во-первых, для совмещения алидады
со сторонами угла используется зрительная труба, которую можно вращать по высоте и по
азимуту; во-вторых, для отсчета по шкале лимба имеется отсчетное приспособление, в
третьих, вся конструкция теодолита закрыта прочным металлическим кожухом и т.д. Для
плавного вращения алидады и лимба имеется система осей, а сами вращения
регулируются зажимными и наводящими винтами. Для установки теодолита на земле
применяется специальный штатив, а совмещение центра лимба с отвесной линией,
проходящей через вершину измеряемого угла, осуществляется с помощью оптического
центрира или нитяного отвеса.
Стороны измеряемого угла проектируются на плоскость лимба подвижной
вертикальной плоскостью, которая называется коллимационной плоскостью.
Коллимационная плоскость образуется визирной осью зрительной трубы при вращении
трубы вокруг своей оси.
Визирная ось трубы (или визирная линия) - это воображаемая линия, проходящая
через центр сетки нитей и оптический центр объектива трубы.
Перечислим основные части теодолита (рис.4.4):
Лимб - угломерный круг с делениями от 0o до 360o; при измерении углов лимб
является рабочей мерой (на рис.4.4 не показан).
Алидада - подвижная часть теодолита, несущая систему отсчитывания по лимбу и
визирное устройство - зрительную трубу. Обычно всю вращающуюся часть теодолита
называют алидадной частью или просто алидадой (2 на рис.4.4).
Зрительная труба крепится на подставках на алидадной части (3).
Система осей - обеспечивает вращение алидадной части и лимба вокруг
вертикальной оси.
Вертикальный круг служит для измерения вертикальных углов (4).
Подставка с тремя подъемными винтами (5).
36
Зажимные и наводящие винты вращающихся частей теодолита: лимба (8,9), алидады
(6,7), трубы (10,11); зажимные винты называют также закрепительными и стопорными, а
наводящие - микрометренными.
Штатив с крючком для отвеса, площадкой для установки подставки теодолита и
становым винтом.
12 - винт перестановки лимба;
13 - уровень при алидаде горизонтального круга;
14 - уровень вертикального круга;
15 - винт фокусировки трубы;
16 - окуляр микроскопа отсчетного устройства.
Z
5
6
4
3
H
H
2
2
7
8
10
1
9
1
Z
В теодолитах различают три разных вращения: вращение зрительной трубы, вращение
алидады и вращение лимба; при этом вращение трубы и вращение алидады снабжаются
двумя винтами каждое - зажимным и наводящим. Что касается вращения лимба, то оно
оформляется по-разному. В повторительных теодолитах лимб может вращаться только
вместе с алидадой; в теодолите Т30 (2Т30 и т.п.) для вращения лимба имеются два
винта: зажимной и наводящий, причем они работают только при зажатом винте
алидады. В теодолите Т15 первых выпусков лимб скреплялся с алидадой с помощью
специальной защелки и в таком положении совместное вращение алидады и лимба
регулировалось винтами алидады. В точных и высокоточных теодолитах вращение
(перестановка) лимба выполняется специальным бесконечным винтом
37
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
Задачей предмета теории ошибок измерений является: изучение причин
возникновения, видов и свойств ошибок измерений, законов распределения ошибок
наблюдений; определение наиболее надежного значения величины и её точности; оценка
точности непосредственно выполненных результатов наблюдений и их функций;
установление допусков, ограничивающих использование результатов наблюдений в
заданных пределах точности.
Измерить величину — это значит сравнить ее с другой величиной, принятой за единицу
меры. Опыт показывает, что при самых тщательных многократных измерениях одной и
той же величины отдельные результаты несколько разнятся между собой, отличаясь в ту
или другую сторону от действительного размера. Это происходит от того, что процесс
измерения неизбежно сопровождается ошибками.
1. Измерения и их классификация
Все физические величины, используемые в топографо-геодезической практике,
можно разделить на измеренные и вычисленные, т. е. полученные как функции
измеренных величин.
Для измерения необходимы объект измерения (измеряемая величина),
измерительный прибор и исполнитель. Кроме того, все измерения производят в той или
иной среде и определенным методом. Названные факторы образуют условия измерений.
Принято объект измерения в процессе работы считать неизменным.
Измерительные приборы, используемые в топографо-геодезическом производстве,
можно разделить на три основных класса: 1) высокоточные (прецизионные), 2) точные и
3) технические. Класс применяемых для измерений приборов в основном определяет
точность результатов измерений. Она зависит и от количества выполненных приемов в
процессе измерений. По точности результаты измерений делят на равноточные и
неравноточные.
Равноточными называют однородные результаты, полученные при измерениях
одним и тем же прибором (или разными приборами, но одного и того же класса точности),
одним и тем же (или равноценными) методом и в одинаковых условиях. При нарушении
перечисленных условий результаты измерений называют неравноточными. В более
сложных случаях о равноточности или неравноточности результатов измерений судят по
полученным из опыта числовым критериям точности.
При математической обработке результатов топографо-геодезических измерений
важное значение имеют понятия о необходимом и избыточном числе измерений. Так, для
определения всех шести элементов плоского треугольника достаточно измерить не менее
трех его элементов, в числе которых должна быть хотя бы одна сторона. В общем случае
для решения любой топографо-геодезической задачи необходимо измерить некоторое
минимальное число величин, обеспечивающее решение поставленной задачи. Их
называют числом необходимых величин или измерений. Разность k, получаемую при
вычитании числа t необходимых величин из числа п всех измеренных величин, называют
числом избыточных величин, т. е. k = п- t.
В топографо-геодезической практике избыточные измеренные величины обязательны.
Они позволяют обнаруживать ошибки (погрешности) в измерениях и вычислениях и
повышают точность определяемых величин.
При измерении одной величины необходимо одно измерение, остальные измерения избыточные.
38
2. Погрешности измерений
Существование действительного, или истинного, значения X измеряемой величины
считается неотъемлемым условием любого измерения. Результаты измерений, как
правило, отличаются от истинного значения измеряемой величины. Разность между
результатом измерения l и истинным значением X измеряемой величины называется
истинной погрешностью Δ, т. е.
Δ=l-X
По происхождению погрешности измерений делят на инструментальные, личные,
внешние и методические.
Инструментальные
погрешности
обусловлены
влиянием
конструкции
измерительных мер и приборов, погрешностями градуировки их шкал, износом и т. д.
Личные погрешности (их часто называют субъективными) вызываются
особенностями наблюдателя, несовершенством органов чувств, особенностями организма
и т. д.
Внешние погрешности связаны с непостоянством свойств среды, в которой
осуществляется процесс измерений (изменения температуры, влажности, давления
воздуха и т. д.).
Методические погрешности возникают из-за недоучета условий измерений и
закономерностей их изменений, приближенности некоторых формул и др.
Измерения считаются пригодными или выполненными правильно, если погрешности
их результатов не превышают некоторой допустимой величины. В противном случае
измерения относятся к неправильным. Результаты таких измерений сопровождаются
грубыми ошибками или промахами. Для исключения ошибок и повышения точности
измерений производят контрольные измерения. Грубые ошибки могут быть и в
вычислениях
При отсутствии в результатах измерений грубых ошибок истинная погрешность Δ
состоит из двух частей: систематической (или функциональной) погрешности Δ' и
случайной (или стохастической) погрешности Δ", т. е. Δ = Δ'+ Δ".
Систематические погрешности входят в каждый результат измерений по строго
определенному закону и делятся на постоянные (неизменные по знаку и величине) и
переменные (изменяющие свою величину от одного измерения к другому по
определенному закону). Такие погрешности должны быть обнаружены, изучены и
исключены из результатов измерений путем введения соответствующих поправок или
использования соответствующей методики измерений.
Случайные погрешности носят случайный характер и их возникновение не
подчиняется определенным математическим законам. Такие погрешности связаны статистической закономерностью (закономерностью массовых явлений).
В дальнейшем будем считать, что результаты измерений свободны от грубых и
систематических погрешностей и содержат только случайные погрешности.
3. Свойства случайных погрешностей измерений
Случайной погрешностью Δ называют разность между измеренным значением l
величины и ее истинным значением X, т.е.
Δ=l-X
Приняв это условие, основные
сформулировать следующим образом:
свойства случайных
погрешностей
можно
39
при определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной
величине не могут превышать известного предела;
малые по абсолютной величине погрешности в данном ряду измерений появляются
чаще больших;
одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности
в данном ряду измерений равновозможны;
среднее арифметическое из всех случайных погрешностей данного ряда
равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа
измерений п стремится к нулю, т.е.
1 n
 i  0 (i= 1,2, …,∞)

n n
i 1
lim
При этом условие (4.2) следует понимать в статистическом смысле, т.е. среднее
арифметическое из случайных погрешностей при увеличении числа измерений п будет то
уменьшаться, то возрастать, однако при неограниченном увеличении п оно в общем будет
стремиться к нулю.
4. Принцип арифметической средины
Рассмотрим только равноточные измерения. Пусть некоторая величина, истинное
значение которой равно X, измерена п раз. При этом получены значения l1, l2, … , ln. На
основании определения ( ___ ) имеем
Δ1 = l1 – X1 ;
Δ2 = l2 – X2 ;
………….
Δn = ln – Xn .
Суммируя левые и правые части, найдём
n
n
  i   li  nX ,
i 1
i 1
откуда
X 
1 n
1 n
li    i .

n i 1
n i 1
Учитывая условие ( ----), окончательно получаем
x
1 n
 li ,
n i 1
где x - среднее арифметическое.
Из этого выражения следует, что при бесконечно большом числе измерений средняя
арифметическая величина будет равна истинному значению, а при конечном числе
измерений она является вероятнейшим значением искомой величины.
Таким образом, за вероятнейшее значение измеряемой величины при равноточных
наблюдениях следует принимать среднюю арифметическую величину из ряда результатов
измерений; ее называют арифметической срединой.
40
5. Средняя квадратическая погрешность
При выборе критерия для оценки наблюдений необходимо пояснить, что на практике
результат считается одинаково ошибочным, будет ли он больше истинного значения или
меньше. Поэтому стараются установить такой критерий оценки точности наблюдений,
который не зависел бы от знаков отдельных погрешностей и заметно отображал
наибольшие из них. Таким требованиям удовлетворяет средняя квадратическая
погрешность:
m
1 n 2
 i (i = 1,2, …,n).
n i 1
По этой формуле, которую называют формулой Гаусса, определяют среднюю
квадратическую погрешность отдельного результата измерений, когда известно истинное
значение X измеряемой величины. В противном случае среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений определяют через отклонения от
арифметрической средины δ по следующей формуле:
m
1 n 2
 δi ,
n  1 i 1
где δi=li-x.
Формулу ( ) часто называют формулой Бесселя.
Для определения средней квадратической погрешности арифметической средины
представим формулу ( ) в следующем виде:
1
1
1
x  l1  l2  ...  ln
n
n
n
Так как величина погрешности i-го измерения характеризуется средней
квадратической погрешностью mi то квадрат средней квадратической погрешности
арифметической средины
M2 
1 2 1 2
1
m1  2 m2  ...  2 mn2
2
n
n
n
Принимая во внимание, что наблюдения равноточны, можно положить, что
m1=m2=…=mn=m
Тогда М2 = т2/п, откуда
m
n
Следовательно, средняя квадратическая погрешность арифметической средины в n
раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения.
Очень важно помнить, что m и M не безошибочны; их точность зависит от числа n
измернеий. Установлено, что средние квадратические ошибки самих средних
квадратических ошибок имеют такие значения:
M 
mm 
m
,
2(n  1)
41
mm
MM 
Измеренное
значение
линии, м
56,25
56,23
56,24
56,26
56,23
56,23
x =56,24
mm 
1,26
2(6  1)
n
δ, см
δ2, см2
+1
1
-1
0
+2
-1
-1
1
0
4
1
1
Σ=0
Σ=0
 0,39

m
2n(n  1)
.
Пример.
В
результате
шести
измерений длины линии на местности
получены данные, приведенные в табл. …..
По формуле (4.3) имеем x = 56,24 м.
Затем составляем разности δ между каждым
из измерений и арифметической срединой,
возводим их в квадрат и суммируем. По
формулам ( ) и ( ) получаем
m
MM 
0,39
6
8
1,26
 0,52 см
 1,26 см; M 
6 1
6
 0,16
6. Предельная, абсолютная и относительная погрешности
Применительно к конкретным условиям измерений указывают критерий отбраковки
результатов наблюдений. В качестве такого критерия принимают предельную
погрешность Δпр. При более ответственных измерениях
Δпр = 2m
Для менее ответственных измерений такая погрешность будет составлять
Δпр = 3m
Погрешность, определяемая по формуле ( ), является абсолютной.
В практике геодезических измерений точность наблюдений принято характеризовать
не только абсолютным значением погрешности (истинной, средней квадратической), но и
ее относительной величиной. В качестве относительной погрешности принимают
отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:
Δотн =
m
1

l l/m
где l – значение измеряемой величины.
Пример. Дано т = 0,11 м; l = 212,43 м.
По формулам ( ) и ( ) имеем
Δпр = 0,22 м; Δотн = 0,11/212,43 ≈ 1/2000.
42
7. Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин
Пусть дана функция
z = x + y,
где х и у - независимые слагаемые. Через Δz, Δх и Δу обозначим соответствующие
случайные погрешности величин х, у, z при однократном их измерении. При этих
условиях z + Δz = (х + Δх) + (у + Δу), откуда
Δz= Δх + Δу
Если каждое слагаемое измерить п раз, то можно написать п равенств вида ( ). Если
каждое из них возвести в квадрат, cложить левые и правые части и разделить затем обе
эти части равенства на n, то получим
1 n
1 n
1 n
2 n
2
2
2

z


x


y

x i y i
 i n
 i n
i
n i 1
n i 1
i 1
i 1
n
Здесь
 x y
i
i
представляет собой сумму произведений случайных независимых
i 1
погрешностей, поэтому при достаточно большом числе n последний член этого равенства
мал и им можно пренебречь. Приняв во внимание формулу ( ), получим
mz2 = m x2 + my2
Эта формула справедлива и для функции z = x + y.
При m x = my = m формула ( ) принимает следующий вид:
mz  m 2
Если дана функция z = x1 ± x2 ± … ± xn, то обозначив через mz, m1 , m2, …, mn средние
квадратические погрешности этой функции и аргументов, получим
mz2 = m 12 + m22 + … + mn2.
При m1 = m2 = … = mn = m будем иметь
mz = m n
Рассмотрим теперь функцию общего вида
z = f (x1, x2, …, xn).
В теории погрешностей измерений доказывается, что если x1, x2, …, xn –
независимые величины, то
2
mz
2
 f 
 f
 m12  
 
 x1 
 x 2
2
 f

 m 2 2  ...  

 x n
2

 mn 2

43
где
f f
f
;
;...,
x1 x 2
x n
представляют собой частные производные данной функции, вычисленные для
соответствующих значений аргументов.
Пример. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения по формуле
h = d tg ν
где горизонтальное проложение d = 143,5 м; угол наклона визирования к горизонту
ν = 2030΄. Определены они со средними квадратическими погрешностями md = 0,5 м и
mν = 1΄.
Вычисляем частные производные
h
h
d
 tgν ,

.
d
ν cos 2 ν
По формуле ( ) получаем
2
2
mh  tg vmd
2
d 2 mv
143,5 2 12
2
2

 0,044 * 0,5 
 4,8 см
cos 4 v ρ 2
0,999 2 3438 2
Пример. В результате измерения отрезка AB на местности двумя 20-метровыми лентами
получены данные, приведённые в таблице
Хi, м
124,46
Уi, м
124,49
di, см
-3
di2, см2
9
124,52
124,50
2
4
124,48
124,51
-3
9
124,50
124,47
3
9
124,49
124,47
2
4
Σ = 35
Вычислив разности di = xi – yi возведем их в квадрат и сложим. Пользуясь формулой
( ), получим
m
35
 2,1см
2(5  1)
9. Понятие о весе измерения. Общая арифметическая средина
Понятие о весе измерения вводят для обработки результатов неравноточных
измерений. Вес определяет степень надежности результатов измерений. Чем надежнее
результат, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью измерений.
44
За вес результата измерения pi, принимают величину, обратно пропорциональную
квадрату средней квадратической погрешности, т.е.
pi 
c
2
mi
где с - - некоторая постоянная величина. Обозначив через р вес одного результата
измерения, а через Р — вес арифметического среднего из п таких измерений, получим
Р/р = т2/М2 = т2/(т2/п)=n,
т.е. вес арифметической средины в п раз больше веса одного результата измерения.
Условимся, что результат, полученный из одного приема, имеет вес, равный единице, а
результат, найденный из п таких приемов, имеет вес, равный п.
Пусть величина X измерена п раз в различных условиях. При этом получены
значения x1, x2, …, xn с весами p1, p2, …, pn.
Тогда без доказательств формула весового среднего или общей арифметической
средины, учитывающая вес измерений, будет
x0 
x1 p1  x 2 p 2  ...  x n p n
.
p1  p 2  ...  p n
Средняя квадратическая погрешность μ, соответствующая результату измерения, вес
которого принят равным единице, или так называемая средняя квадратическая
погрешность единицы веса определяется по формуле
1 n
2
p1vi

n - 1 i 1
μ
где vi = xi – x0.
Средняя квадратическая погрешность М 0 весового среднего или общей арифметической
средины
M0 
μ
P
Пример. Требуется определить весовое среднее, среднюю квадратическую
погрешность единицы веса и среднюю квадратическую погрешность весового среднего по
данным табл. .
Значение
измеренного
угла
73°08'10"
73°08'06"
73°08'08"
73°08'00"
73°08'04"
73°08'04"
Число
измерений
п
3
9
6
15
12
Р = n/3
v
v2
pv2
1
3
2
5
4
+6
+2
+4
-4
0
36
4
16
16
0
36
12
32
80
0
Σ=15
Σ= 160
45
Подставляя данные таблицы в формулу ( ), получим
x0  73 08'
10"1  6"3  8"2  0"5  4"4
 73 08'04"
1 3  2  5  4
Здесь для упрощения общая часть 73 08' вынесена за знак операций, а веса получали
делением на 3.
По формулам ( ) ( ) имеем
μ
160
5 -1
 6" ,3; M 0  
6",3
 1" ,6
15
10. Понятие о правилах и технике геодезических вычислений
При выполнении геодезических вычислений очень важно придерживаться правил,
выработанных практикой, соблюдение которых экономит труд вычислителя и позволяет
рационально использовать имеющуюся вычислительную технику и вспомогательные
средства. Прежде всего, необходимо разработать подробную схему, точно указывающую
порядок действий и дающую возможность получить искомый результат наиболее простым
и быстрым путем.
Второе, на что нужно обратить серьезное внимание, — это контроль вычислений. Без
проверки вычисление не может считаться законченным.
Третий важный момент — аккуратность и четкость записи чисел в вычислительных
бланках.
Практика показывает, что нечеткая и небрежная запись чисел часто приводит к
погрешностям.
В настоящее время при массовых геодезических вычислениях используют
совершенную вычислительную технику. Широкое применение получили электронные
вычислительные машины (ЭВМ), а также микрокалькуляторы, отличающиеся малыми
размерами и сравнительно большим числом производимых математических операций.
Наряду с такой современной вычислительной техникой для геодезических
вычислений используют различного рода таблицы и вычислительные номограммы.
46
2.2. ТЕМЫ СЕМЕСТРОВЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
1. Определение географических и прямоугольных координат по карте.
2. Определение ориентировочных углов заданных направлений по карте.
3. Решение прямой и обратной геодезической задачи. Зависимость
горизонтальным и дирекционным углами.
4. Определение высоты точки. Составление профиля линии.
5. Обработка измерений одной величины
6. Определение недоступного расстояния до предмета.
между
3.1. ТЕМЫ СЕМЕСТРОВЫХ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
1. Определение координат углов рамки по номенклатуре для заданного масштаба.
2. Способы определения площади участка местности на карте (геометрические,
аналитические).
3. Топографическое описание местности. Изучение стандартной системы условных
знаков.
4. Обработка теодолитного хода
5. Обработка нивелирных измерений.
6. Обработка барометрического нивелирования
4. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ, КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ И ЗАЧЕТА
1. Форма и размеры Земли. Референц-эллипсоид
2. Карта, план, профиль
3. Географическая система координат.
4. Прямоугольная система координат в проекции Гаусса.
5. Ориентирующие углы и соотношение между ними.
6. Прямая и обратная геодезические задачи.
7. Передача дирекционного угла направлений.
8. Условные обозначения топографических карт.
9. Номенклатура топографических карт.
10. Абсолютная и относительная высоты точек и их превышения.
11.Способы изображения рельефа на карте..
12.Способы измерений расстояний по карте.
13.Способы определения высот точек и уклонов по карте.
14. Способы определения площадей участков по карте.
47
5. РЕГЛАМЕНТ БАЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЫ
1 семестр
1. Определение географических и прямоугольных координат по карте. (5 баллов)
2. Определение ориентировочных углов заданных направлений по карте. (5 баллов)
3. Решение прямой и обратной геодезической задачи. Зависимость между
горизонтальным и дирекционным углами. (10 баллов)
4. Определение высоты точки. Составление профиля линии (10 баллов)
5. Определение координат углов рамки по номенклатуре для заданного масштаба.
(10 баллов)
6. Топографическое описание местности и определение площади участка местности
по карте (10 баллов)
2 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
Обработка измерений одной величины (10 баллов)
Обработка теодолитного хода (10 баллов)
Обработка нивелирных измерений (10 баллов)
Обработка барометрического нивелирования (10 баллов)
Выполнение измерений горизонтальных и вертикальных углов (10 баллов)
48