ФГБОУ ВПО «

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ»
«УТВЕРЖДЕНО»
Декан физико-матем.факультета
доцент Э.М. Джамбетов
______________________
«_____»__________201__г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
по дисциплине
« ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ»
Составитель:
ассистент Мурадова П. Р.
Грозный - 2012г.
УМК рекомендован на заседании кафедры информатики, « __ » ________
2012г.
Зав. кафедрой информатики, ________________________ /Хатаева Р.С./
Составитель: ________________________________ ассистент Мурадова П. Р.
СОДЕРЖАНИЕ
Программно-планирующий блок. Рабочая программа
1.1 Пояснительная записка.
Требования ГОС ВПО к обязательному минимуму содержания основной
образовательной программы подготовки специалиста………..…………………..………4
1.2. Цель и задачи…………………………………………………………………………..7
1.3. Место дисциплины в структуре ООП…………………………………………..…….8
1.4. Требования к уровню освоения содержания дисциплины ………….……………...8
2. Тематический план
2.1. Объём дисциплины и виды учебной работы……………………………….........…….9
2.2. Распределение учебного времени по разделам и темам …………………………..…9
3. Содержание дисциплины
3.1. Содержание лекций …………………………………………………………...……....10
3.2. Содержание практических занятий…………….. ………… ….…………………......12
3.3. Содержание самостоятельной работы студентов.…………………………………...15
3.4. Вопросы для промежуточного и итогового контроля …………………..…….…….16
3.5. Критерий оценки знаний……………………………………………………..………..20
3.6. Список основной и дополнительной литературы………………………..…………..21
Учебно-методический блок
4.1. Теоретическая часть……………………………………………………………………23
4.2. Практикум. Тематика заданий……………………………………………….………...60
Глоссарий………………………… ………………………………………………………..69
Блок наглядно-дидактического материала
Лекции-презентации………………………………………………………………..……….74
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ»
«УТВЕРЖДЕНО»
Декан физико-матем.
факультета
___________ Э.М. Джамбетов
«_____»__________201__г.
КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»
Форма обучения
Очная
Согласовано
Рекомендована на
заседании кафедры
Начальник
УМО
Протокол №
_______________( Идрисова Р.А.)
.
от «__» ________
2012г.
«
»
2012 г.
(
Грозный - 2012г.
)
Рабочая
программа
дисциплины
«Элементы
абстрактной
и
компьютерной алгебры» /сост. Мурадова П.Р.– Грозный: ЧГПИ, 2012г.
Рабочая
программа
предназначена
для
преподавания
дисциплины
профессионального цикла (Б студентам очной формы обучения для
специальности 050203.65-«Математика и информатика».
Рабочая программа составлена с учетом Государственного образовательного
стандарта
высшего
профессионального
образования
по
направлению
подготовки дипломированных 050203.65-«Математика и информатика»,
утвержденного 14.04.2000г. Министерством образования РФ.
Составитель
____________________ ( Мурадова П. Р..)
(подпись)
«____»______ _____2011
Дополнения и изменения в учебной программе на 2012 / 2013 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения: _________________ ______________
________________________________________________________________________________
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры информатики
«___»___________2012 г. протокол №
Заведующий кафедрой ____Хатаева Р.С.____________________
(Ф.И.О., подпись)
Дополнения и изменения в учебной программе на 20 / 20 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения: ________________________________
________________________________________________________________________________
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры информатики
«___»___________20 г. протокол №
Заведующий кафедрой ____Хатаева Р.С.____________________
(Ф.И.О., подпись)
Дополнения и изменения в учебной программе на 20 / 20 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения: ________________________________
________________________________________________________________________________
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры информатики
«___»___________20 г. протокол №
Заведующий кафедрой ____Хатаева Р.С.____________________
(Ф.И.О., подпись)
Дополнения и изменения в учебной программе на 20 / 20 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения: ________________________________
________________________________________________________________________________
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры информатики
«___»___________20 г. протокол №
Заведующий кафедрой ____Хатаева Р.С._________________
I.
1.1.
Программно-планирующий блок. Рабочая программа.
Пояснительная записка
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с основной
образовательной программой подготовки студентов, обучающихся по
специальности «Математика и Информатика», «Физика и информатика»,
«Английский язык и информатика»
В УМК включено содержание курса лекций, семинарских занятий.
УМК также содержит формулировки основных определений и список
вопросов для зачетов и экзаменов.
Разрешая повседневные практические задачи, люди постепенно и
весьма долго расширяли свои эмпирические представления о количестве и
величине. В результате этого сформировались понятия натуральных, целых,
рациональных
и
действительных
чисел.
Арифметические
действия
(операции) с разными видами чисел имеют сходные свойства. Вместе с тем,
всякое расширение того или иного класса чисел приводит к числам, действия
с которыми обладают рядом новых дополнительных свойств. Каждый класс
чисел может быть описан с помощью своего списка свойств операций.
Поэтому со временем в математике стали рассматривать произвольные
множества с операциями и отношениями, обладающими наперед заданными
свойствами. Элементы таких множеств в общем случае уже не являются
числами,
поэтому
действия
над
элементами
множеств
называют
алгебраическими операциями. Раздел математики, изучающий множества с
алгебраическими операциями и отношениями, называется общей или
абстрактной алгеброй. В курсе рассматриваются основные объекты
абстрактной алгебры (группа, кольцо, поле, булева алгебра и др.) и их
построение.
Объекты и методы абстрактной алгебры нашли широкое применение в
самых разных разделах фундаментальной и прикладной математики. В
частности, важными сферами приложений абстрактной алгебры стали:
создание и использование ЭВМ, разработка средств хранения, передачи и
переработки информации. В средине прошлого века на стыке математики и
информатики
возникло
компьютерная
или
и
бурно
символьная
развивается
математика,
новое
направление
представленная
–
такими
известными системами как «Maple», «Mathematica», «MathCad». Эти системы
позволяют проводить формульные (символьные) вычисления в различных
областях
математики
и
ее
приложениях.
Компьютер
освобождает
пользователя от сложных и громоздких формульных вычислений и требует
от него
более
глубоких
предметных
знаний
и навыков владения
символьными пакетами. В основе представления значительной части
символьных
данных
в
компьютере
лежат
реализации
алгоритмов
абстрактной алгебры на языках программирования. В курсе даются общие
сведения о представлении символьных данных в компьютере и краткое
введение в теорию кодирования.
Абстрактная алгебра – дисциплина, являющаяся фундаментальной
математической
основой
развития
стиля
мышления,
позволяющего
наименьшими средствами достигать наилучших результатов в любой области
исследования, связанной с применением компьютера. Изучение абстрактной
и компьютерной алгебры является обязательным элементом подготовки
специалистов по прикладной математике и информатике, инженеров,
занимающихся разработкой ЭВМ и т.д. Можно прогнозировать, что в
ближайшем будущем в школе будут использоваться различные символьные
пакеты, а отдельные элементы абстрактной алгебры войдут в программы
профильной школы (в математическом и технологическом профилях).
Поэтому знакомство с основами абстрактной и компьютерной алгебры
является
важной
информатики.
составляющей
в
подготовке
будущего
учителя
В результате изучения курса «Элементы абстрактной и компьютерной
алгебры» обучающиеся должны:
- знать основные структуры абстрактной алгебры: группы, кольца и поля;
построение алгебраической теории на примере теории многочленов над
коммутативными кольцам;
- уметь использовать методы решения основных типов задач компьютерной
алгебры;
- владеть представлением о связи алгебры со школьным курсом математики.
Требования к обязательному минимуму содержания дисциплины,
определенные ГОС ВПО
Свойства группового умножения. Образуют ли группы по умножению
множества: целых чисел, рациональных чисел, отрицательных рациональных
чисел, неотрицательных рациональных чисел, положительных рациональных
чисел.
Свойства группового умножения. Образуют ли группы по сложению
множества: целых чисел, рациональных чисел, отрицательных рациональных
чисел, неотрицательных рациональных чисел, положительных рациональных
чисел. Векторы на плоскости (операция – сложение векторов). Движения
на плоскости
(операция
-
последовательное выполнение
движений). Линейные функции (операция - линейная замена переменных).
Численные расчеты. Два примера из истории великих вычислений
XIX века. Особенности аналитических вычислений на компьютерах.
Позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичная система
счисления. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Перевод
чисел
из
десятичной
шестнадцатеричную.
системы
Перевод
в
чисел
двоичную,
из
в
двоичной,
шестнадцатеричной системы в десятичную систему.
восьмеричную
и
восьмеричной
и
Правила
выполнения
простейших
арифметических
действий.
Сложения, умножения, вычитания и деления в двоичной, восьмеричной и
шестнадцатеричной системах счисления.
1.2.
Цель дисциплины: формирование систематизированных знаний в
области абстрактной и компьютерной алгебры, познакомить студента с
достаточно
широким
кругом
понятий
и
методов
абстрактной
и
компьютерной алгебры.
1.3. Место дисциплины в структуре ООП:
Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла
(3.2.12).
Для освоения дисциплины студенты используют знания, умения и виды
деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплин «Основы
математической
обработки
информации»,
«Алгебра
и
геометрия»,
«Математический анализ и дифференциальные уравнения».
2. Тематический план
2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы.
Учебные занятия
Общи
Число
курсовых
в том числе
Номер
семестр
й
самост проектов
Аудиторные
объем
всег
из них
.
(работ)
Форма
итоговой
аттестации
(зачет, экзамен)
работа рассч.
о
заданий
лекци Практич лаборат
и
.
392
.
-
287
-
56
МИ
9
ФИ
100
39
13
26
ЭКЗАМЕН
8
192
26
13
13
164
ЗАЧЕТ
100
30
15
15
67
ЗАЧЕТ
АИ
8
2.2. Распределение часов курса по формам и видам работ для
специальностей МИ, ФИ, АИ.
№ Наименование разделов
и тем
Всего
В том числе
часов
аудиторных
Сам.раб
всег
лекц
пра
о
ии
к.
СРС
раб.
1
Введение. Понятие
группы. Операция
4/1/
14/27/14
5/4/4 1/1/3
14/27/14
5/2/4 2/2/2
14/27/14
5/4/4 2/2/2 4/2/
3
умножения.
2
Понятие группы.
Операция сложения.
3
2/2/
2
7/23/9
7/26/9
Понятие группы. Другие
примеры групп.
7/23/9
2
4
Аналитические
преобразования с
помощью
14/27/14
5/4/4 2/2/2
16/30/26
7/4/4 2/2/2
4/2/
2
7/23/9
компьютера.
5
6
Система счисления.
Перевод чисел из одной
системы счисления в
другую систему.
14/27/14
5/4/6 2/2/2
4/2/
2
7/23/9
4/2/
7/23/1
2
3
7
Сложения и умножения
в некоторых системах
счисления.
Форма
текущего
контроля: зачет
14/27/14
7/4/4 2/2/2
100/192/1
39/2 13/13
00
Итого:
6/30
/15
4/2/
2
26/
13/
7/23/9
56/164
15
/67
3. Содержание учебного курса.
3.1. Курс лекций
Понятие группы.
Свойства группового умножения. Образуют ли группы по умножению
множества: целых чисел, рациональных чисел, отрицательных рациональных
чисел, неотрицательных рациональных чисел, положительных рациональных
чисел.
Свойства группового умножения. Образуют ли группы по сложению
множества: целых чисел, рациональных чисел, отрицательных рациональных
чисел, неотрицательных рациональных чисел, положительных рациональных
чисел. Векторы на плоскости (операция – сложение векторов). Движения
на плоскости
(операция
-
последовательное выполнение
движений). Линейные функции (операция - линейная замена переменных).
Аналитические преобразования с помощью компьютера.
Численные расчеты. Два примера из истории великих вычислений
XIX века. Особенности аналитических вычислений на компьютерах.
Системы счисления.
Позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичная система
счисления. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Преобразование чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, в восьмеричную и
шестнадцатеричную.
Перевод
чисел
из
двоичной,
восьмеричной
и
шестнадцатеричной системы в десятичную систему.
Правила выполнения простейших арифметических действий.
Сложения, умножения, вычитания и деления в двоичной, восьмеричной и
шестнадцатеричной системах счисления.
3.2. Практические занятия
Практическое занятие №1
Введение. Понятие группы. Операция умножения (сложения). Другие
примеры групп.
Практическое занятие №2
Все вещественные числа. Вещественные числа, отличные от нуля.
Положительные вещественные числа.
Практическое занятие №3
Неотрицательные вещественные числа. Целые положительные степени
двойки (числа 2, 4, 8 и т.д.). Числа +1 и -1.
Практическое занятие №4
Система счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в
другую систему.
Практическое занятие №5
Правила выполнения простейших арифметических действий.
Практическое занятие №6
Аналитические преобразования с помощью компьютера.
3.3. Методические указания к самостоятельной работе студента.
Самостоятельная работа
Самостоятельная работа студентов состоит из следующих видов работы:

Проработка лекционного курса и рекомендуемой литературы.

Подготовка к практическим занятиям.

Выполнение домашних работ.

Подготовка к контрольным работам.

Дополнительная работа на компьютере.

Подготовка к итоговым зачетам и экзаменам.
Работа с учебной литературой. Студент обязан изучать литературу.
Однако на основе всего изученного материала студенты должны выработать
и свое собственное видение изучаемой проблемы. Общая учебная литература
указана отдельным списком, дополнительная литература дается к каждому
занятию, кроме того, студент может использовать любую другую доступную
ему литературу.
Контрольные работы. Это письменные формы работ, оформляются
согласно требованиям, предъявляемым к письменной работе. Темы и
примерные задания указываются в рабочей программе.
Тематика самостоятельных работ
Тема 1. Понятие группы.
Форма отчетности: Подготовка к семинарским занятиям. Подготовка к
зачету.
Тема 2. Аналитические преобразования с помощью компьютера.
Форма отчетности: Подготовка докладов к семинарским занятиям по
выбранным темам.
Тема 3. Системы счисления.
Форма отчетности: Подготовка к семинарских занятий.
Тема 4. Преобразование чисел из одной системы счисления в
другую.
Форма отчетности: Подготовка к семинарскому занятию.
Тема
5.
Правила
выполнения
простейших
арифметических
действий.
Форма отчетности: Подготовка к семинарскому занятию. Подготовка к
сдаче зачета и экзамена.
Контрольные вопросы, выносимые на зачет
Зачет (8 семестр. АИ и ФИ):
1. Множество называется группой, если….
2. Свойства группового умножения, сложения.
3. Определить, образует ли
множество целых
чисел группу по
умножению, сложению.
4. Определить, образует ли множество рациональных чисел группу по
умножению, сложению.
5. Определить, образует ли множество рациональных чисел отличных от
нуля группу по умножению, сложению.
6. Определить, образует ли множество положительных рациональных
чисел группу по умножению, сложению.
7. Определить, образует ли множество отрицательных рациональных
чисел группу по умножению, сложению.
8. Определить, образует ли множество ±1 группу по умножению,
сложению.
9. Определить, образует ли множество целых положительных степеней
числа 2 чисел группу по умножению, сложению.
10.Определить, образует ли множество всех степеней числа 2 с целым
положительным, с целым отрицательным и нулевым показателем
группу по умножению, сложению.
11.Определить, образует ли множество вещественных чисел группу по
умножению, сложению.
12.Определить, образует ли множество вещественных отличных от нуля
чисел группу по умножению, сложению.
13.Определить, образует ли множество положительных вещественных
чисел группу по умножению, сложению.
14.Определить, образует ли множество неотрицательных вещественных
чисел группу по умножению, сложению.
15.Определить, образует ли множество отрицательных вещественных
чисел группу по умножению, сложению.
16.Векторы на плоскости образуют группу по сложению?
17.Образуют ли движения на плоскости группу по умножению?
18.Система
счисления,
позиционные
и
непозиционные
системы
счисления.
19.Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная система счисления.
20.Перевод чисел из одной системы счисления
в другую системы
счисления.
21.Сложение и умножение в двоичной системе счисления.
Экзаменационные билеты по элементам абстрактной и
компьютерной алгебре (9 семестр, МИ)
Билет № 1
1. Целые и рациональные числа. Группа по сложению.
2. Группа, аксиомы группы. Являются ли целые числа группой по
умножению.
3. Сложить числа в двоичной системе счисления 11110+10101; 111+101.
Билет № 2
1. Проверить являются ли рациональные числа, отличные от нуля и
положительные рациональные числа группой по умножению.
2. Образуют ли группу по умножению числа +1 и -1.
3. Перемножить числа в двоичной системе счисления 1111001*100001;
111*1111.
Билет № 3
1. Особенности аналитических вычислений на компьютерах.
2. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению число 0.
3. Перемножить числа в двоичной системе счисления 11101*1011;
1011*1011.
Билет № 4
1. Понятие группы.
2. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению числа ±1.
3. Сложить числа в двоичной системе счисления 1001+11111;
111+100001.
Билет № 5
1. Образуют ли группу по умножению а) отрицательные рациональные
числа; б) один лишь нуль.
2. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению все
вещественные числа.
3. Перемножить числа в двоичной системе счисления 1101*101;
10011*10001.
Билет № 6
1. Аксиомы группы по сложению.
2. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению
вещественные числа , отличные от нуля.
3. Сложить числа в двоичной системе счисления 11001+100011;
10011+10001.
Билет № 7
1. Проверить являются ли группой по сложению: а) рациональные числа,
отличные от нуля; б) положительные рациональные числа.
2. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению
положительные вещественные числа.
3. Сложить числа в двоичной системе счисления 110001+10011;
11001+1111.
Билет № 8
1. Проверить, являются ли группой по сложению: а) неотрицательные
рациональные числа; б) Числа +1 и -1.
2. Определить образуют ли группу по сложению и умножению
неотрицательные вещественные числа.
3. Перевести числа 333; 234 в двоичную систему счисления.
Билет № 9
1. Проверить, являются ли группой по сложению: а) отрицательные
рациональные числа; б) один лишь нуль.
2. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?
3. Сложить числа в двоичной системе счисления 1111001+100001;
111+1111.
Билет № 10
1. Выяснить, образуют ли векторы на плоскости группу.
2. Двоичная система счисления.
3. Знаки непозиционной системы счисления.
Билет № 11
1. Выяснить, образуют ли группу движения на плоскости (операция –
последовательное выполнение движений).
2. Восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления.
3. Перевести числа 467; 2587 в двоичную систему счисления.
Билет № 12
1. Выяснить, образуют ли группу линейные функции (операция –
линейная замена переменных).
2. Позиционные системы счисления.
3. Перевести числа 1005; 23040 в двоичную систему счисления.
Билет № 13
1. Особенности аналитических вычислений на компьютерах.
2. Таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления.
3. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению целые
положительные числа 2 (2,4,8, …).
Билет № 14
1. Компьютерная алгебра.
2. Соответствие чисел в различных системах счисления.
3. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению все
степени числа 2 (положительный, отрицательный и нулевой
показатель).
Билет № 15
1. Понятие группы.
2. Определить, образуют ли по сложению и умножению множество
чисел: 0,5; -0,5.
3. Таблица сложения в восьмеричной системе.
Билет № 16
1. Свойства группы (по умножению).
2. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению числа ±1.
3. Перемножить числа в двоичной системе счисления 1111*1010.
Билет № 17
1. Свойства группы (по сложению).
2. Каковы способы перевода чисел из одной системы счисления в
другую?
3. Перевести: 456; 2357 в двоичную, в восьмеричную систему счисления.
Билет № 18
1. Аналитические преобразования с помощью компьютера.
2. Определить, образуют ли группу по сложению и умножению множества
чисел: -1; 0; 1.
3. Таблица умножения в восьмеричной системе.
3.4. Критерий оценки знаний
Проводятся три аттестации студентов на 8-й, 16-й неделях и в сессионный
период.
1. Максимальное количество баллов
1-я аттестация - 30 баллов
2-я аттестация - 30 баллов
3-я аттестация
премиальные баллы – 10 баллов
(экзамен/зачет) - 30 баллов
_______________________
Итого
- 100 баллов
3.6.
Литература
Основная литература:
1. Панкратьев Е.В. Элементы компьютерной алгебры / учебное пособие –
М.: Интернет – университет ИТ, БИНОМ, Лаборатория знаний, 2007 –
247 с.
2. Пуркина В. Ф. Алгебра. Горно – Алтайск, 2006 – 240 с.
3. Беликова М. Ю. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры.
http://fmf.gasu.ru/
4. 1.Могилёв А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учеб. пособие
для студ. пед. ву-зов / Под ред. Е.К. Хеннера. — М., Academia, 2004.
Дополнительная
1. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1970.
Учебно-методический блок
4.1. Блок лекций
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»
Лекция 1. Понятие группы. Понятие группы (операция умножения).
Определение.
Множество называется группой, если оно обладает
следующими свойствами:
1. Операция ассоциативна, т.е. для любых трех подстановок A, B и
C выполняется соотношение: (AB)C=A(BC).
2. Существует единичный элемент, т.е. такая подстановка I, что при
подстановке A выполняется соотношение: IA=AI=A.
3. Существует обратный элемент, т.е. для любой подстановки A
можно найти такой однозначно определенный элемент A-1, что: A A-1= A-1
A=1 (единичный элемент).
На других множествах так же, как и на множестве подстановок,
можно задать операции, обладающие всеми тремя «хорошими» свойствами.
В таких случаях принято говорить, что выбранное множество с
заданной на нем операцией образует группу. Сама операция называется
групповым умножением.
Примеры.
1. Целые числа. Во множестве целых чисел умножение всегда
выполнимо, то есть произведение любых двух целых чисел также
является целым числом. Остается лишь проверить, обладает ли оно
тремя свойствами группового умножения.
1. Умножение ассоциативно. Действительно, хорошо известно, что
умножение
чисел
обладает
ассоциативностью
(именно
поэтому
в
дальнейшем мы не будем проверять умножение чисел на ассоциативность).
2. Существует такое целое число е, что при любом целом числе а выполняется соотношение еа= ае = а. Это целое число е = 1.
(В дальнейшем полезно иметь в виду следующее замечание. Если е такое число, что при любом отличном от нуля числе а выполняется
соотношение еа = а, то это возможно лишь в одном случае: при е = 1. С
другой стороны, если рассматриваемое множество чисел содержит единицу,
то все входящие в него числа удовлетворяют соотношениям 1а=а1=а.
Следовательно, для множества чисел с обычным умножением в качестве
предполагаемого группового умножения проверка свойства 2 сводится к
ответу на вопрос, принадлежит ли единица к интересующему нас множеству.
Единственное исключение составляет множество, содержащее только один
элемент - нуль.)
3. Обратный
элемент
не
существует.
Например,
для
числа 2
невозможно
указать такое целое число x, которое удовлетворяло бы соотношению 2х=1,
так как в левой части стояло бы четное, а в правой - нечетное число.
Следовательно, целые числа не образуют группу по умножению.
Нетрудно видеть, что послужило препятствием к образованию группы:
во множестве целых чисел деление выполнимо не во всех случаях. Именно
поэтому в дальнейшем разумно рассматривать лишь такие множества чисел,
в которых деление всегда выполнимо.
2. Рациональные
числа. Поскольку произведение двух
рациональных чисел - число рациональное, то обычное умножение не
выводит за пределы множества рациональных чисел.
Проверим, всеми ли свойствами группового умножения оно обладает.
Ассоциативность в проверке не нуждается, единица — рациональное
число. Нам остается лишь убедиться, в том, что на множестве рациональных
чисел умножение обладает свойством 3.
Если рациональное число (дробь) УМНОЖИТЬ на обратное число, то
получится единица. Возникает вопрос: для всякого ли рационального числа
имеется обратное? Известно, что обратные числа существуют почти для всех
рациональных чисел. Единственное исключение составляет нуль. Причина
«ущербности» нуля состоит в том, что при умножении его на любое
рациональное (и вообще любое число) всегда получается нуль. Это означает,
что произведение двух сомножителей, один из которых равен нулю, никак не
может быть равно единице. Поэтому во множестве рациональных чисел с
заданным на нем умножением обратный элемент существует не для всех
элементов.
Следует твердо помнить: для выполнения условий I—III необходимо
(если речь идет об умножении чисел), чтобы 0 не принадлежал
рассматриваемому множеству (и, в частности, оно не должно состоять из
одного лишь нуля). Итак, рациональные числа не образуют группу по
умножению.
3.
Рациональные
числа,
отличные
от
нуля.
Поскольку произведение двух рациональных чисел, отличных от нуля, не
равно нулю (и, как упоминалось
в предыдущем примере, рационально),
то умножение не выводит за пределы рассматриваемого множества чисел. А
раз единица - рациональное число, отличное от нуля, то нам остается лишь
проверить, выполнено ли третье условие. Но в предыдущем примере уже
упоминалось о том, что для чисел, отличных от нуля, всегда существуют
обратные числа: числа, которые при умножении на
данные числа дают
единицу. Эти обратные числа также рациональны и отличны от нуля.
Отличные от нуля рациональные числа образуют группу по
умножению.
4. Положительные
рациональные
числа. Из предыдущего
примера ясно, что проверке подлежит только третье условие. Поскольку
число, обратное положительному рациональному числу, также положительно
и рационально, то это условие выполнено.
Положительные рациональные числа образуют группу по умножению.
5. Ч и с л а
+1
и
1 . При умножении на + 1 результат совпадает
со
вторым множителем, а (-1)
(-1) = +1. Следовательно, умножение не
выводит
за пределы рассматриваемого множества чисел. Остается проверить,
выполняется ли третье условие (выполнение остальных условий очевидно).
Умножение, рассматриваемое на множестве чисел +1 и -1, обладает
свойством III группового умножения, так как каждое из этих двух чисел
совпадает с обратным.
Числа +1 и -1 образуют группу по умножению.
6. Отрицательные
рациональные числа. Так как произведение двух
отрицательных рациональных чисел является положительным рациональным
числом, то во множестве отрицательных рациональных чисел обычное
умножение не может служить групповым умножением (можно сказать, что
умножение выводит за пределы множества отрицательных рациональных
чисел).
Следовательно, отрицательные рациональные числа не образуют
группу по умножению.
7. Один
лишь
нуль. Рассматривая пример 1, .мы убедились, что
проверка некоторых свойств группового умножения упрощается, если
множество чисел состоит не только из нуля. Именно поэтому интересно
выяснить, что происходит в том случае, когда множество чисел содержит
один-единственный элемент - нуль. Так как 0*0=0, то умножение не выводит
из этого множества. Замечание об ассоциативности умножения остается в
силе и для множества чисел, содержащего только нуль, поскольку нуль все
же остается числом, даже если ему «немного одиноко». Наконец,
соотношение 0*0 = 0 показывает, что на множестве чисел, содержащем
только нуль, умножение обладает свойствами II и III «хорошей» операции.
Число 0 образует группу по умножению,
В примере 7 мы видели, что в роли единичного элемента выступил нуль.
Поскольку
это
единственны
случай
такого
соответствующий единичному, при умножении
рода,
то
элемент,
чисел принято называть
единицей.
Лекция 2. Понятие группы (операция сложения).
Но умножение - не единственная известная нам операция, производимая
над числами. Вместе с умножением (и даже несколько раньше, чем с ним)
мы все знакомились со сложением. Рассмотрим теперь слежение чисел
некоторых типов. Но прежде чем мы приступим к рассмотрению частных
случаев, выясним, нельзя ли некоторые свойства сложения установить в
общем виде, или свести к проверке более простых условий.
I. Об ассоциативности
можно не заботиться, так как на множестве
чисел
сложение всегда ассоциативно.
II.Единицей относительно сложения может быть такой элемент е,
который
при любом элементе а, принадлежащем
рассматриваемому
множеству
чисел,
удовлетворяет соотношение е + а = а. Но это условие выполняется лишь для
нуля; действительно, при любом а нуль удовлетворяет условию 0 + а = а.
Следовательно, необходимо лишь каждый раз проверять, принадлежит ли
нуль
рассматриваемому множеству чисел.
III. Числом, «обратным» числу а, при сложении служит число b,
удовлетворяющее соотношению a+b=0. Таким числом может быть лишь b =
-а.
Действительно, для него условие (- а) + а = а + (- а) = 0 выполнено. Поэтому
достаточно каждый раз проверять.содержит ли рассматриваемое множество
чисел вместе с каждым принадлежащим числом то же число, взятое со
знаком
минус.
Рассмотрим уже знакомые множества чисел, на которых в качестве
операции задано сложение.
1а. Целые числа (операция - сложение). Так как сумма двух целых
чисел также является целым числом, то сложение не выходит за пределы
рассматриваемого множества. Поскольку нуль - целое число и любое целое
число, взятое со знаком минус, - также целое число, то сложение, заданное на
множестве целых чисел, обладает всеми свойствами группового умножения.
Целые числа образуют группу по сложению.
2а. Рациональные числа (операция — сложение). Сумма двух
рациональных чисел - число рациональное, поэтому сложение не выводит за
пределы множества рациональных чисел. Нуль - рациональное число. Кроме
того, любое рациональное число, взятое со знаком минус, также является
рациональным, следовательно, сложение на множестве рациональных чисел
обладает всеми свойствами группового умножения.
Рациональные числа образуют группу по сложению.
За.
-
Рациональныe
числа,
отличные
от
нуля (операция
сложение). Это множество чисел по определению не содержит нуля, в
силу чего сложение не обладает свойством II.
Рациональные числа, отличные от нуля, не образуют группу по
сложению.
4а. Положительные
рациональные
числа
(операция
-
сложение). Как показывают соображения, приведенные в предыдущем
примере, положительные рациональные числа не образуют группу по
сложению.
4б. Неотрицательные
рациональные
числа
(операция
-
сложение). Если к множеству чисел из предыдущего примера присоединить
нуль, то тем самым будет устранено препятствие, мешающее сложению
«обзавестись» свойством 2.
Действительно, сложение не выводит за пределы множества неотрицательных рациональных чисел сложения, так как сумма таких чисел не может
быть отрицательной, но в то же время она рациональна. Необходимо
выяснить лишь, обладает ли сложение свойством III. Как показывает
проверка, это условие оказывается невыполненным, так как любое
положительное рациональное число, если его взять со знаком минус,
становится отрицательным (и, следовательно, не принадлежит множеству
неотрицательных рациональных чисел).
Итак, неотрицательные рациональные числа не образуют группу по сложению.
5а. Ч и с л а +1 и -1 (операция - сложение).
6а. Отрицательные
рациональные
числа (операция
-
сложение). В обоих случаях рассматриваемые множества чисел не содержат
нуля, и это служит основным препятствием к образованию группы.
7а. Один лишь нуль (операция — сложение). Так как 0 + 0 = 0, то
сложение не выводит за пределы рассматриваемого множества. Остальные
условия, очевидно, выполнены.
Число 0 образует группу по сложению.
Лекция 3. Другие примеры групп.
Начнем с геометрических примеров.
1. Векторы на плоскости (операция - сложение векторов).
Сложение векторов можно выполнить по правилу треугольника или
параллелограмма.
Сложив любые два вектора, мы снова получим вектор. Следовательно,
в этом случае операция не выводит за пределы рассматриваемого множества.
Что касается ассоциативности, то, известно, сложение векторов обладает
этим свойством.
1. Ассоциативность выполняется.
̅̅̅ + 𝑐̅)
(𝑎̅ + 𝑏̅) + 𝑐̅ = 𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅ = 𝑎̅ + (𝑏
2. Существует единичный элемент.
Единичным элементом служит нулевой вектор,
А элементом, обратным данному вектору, - противоположный вектор
(то есть вектор, занимающий то же положение и имеющий ту же длину, что и
данный вектор, но направленный в противоположную сторону).
3. Обратный элемент существует.
Следовательно, вектор на плоскости образует группу по сложению.
2. Движения
на плоскости
(операция
-
последовательное
выполнение движений).
Преобразование плоскости называется движением, если:
1) между точками плоскости до преобразования и теми точками, в
которые
они переходят под действием преобразования, существует взаимнооднозначною соответствие;
2) расстояние между любыми двумя точками плоскости сохраняется.
Примерами движения является параллельный перенос, поворот, сдвиг,
поворот на 180° и т.д.
Разнообразие движения затрудняет решение задачи в каждом
конкретном случае.
Достаточно представить себе, сколько случаев
потребовалось бы рассмотреть, если бы мы
захотели выяснить, какое
движение возникла бы при последовательном выполнении хотя бы двух
движений из перечисленных выше.
Определение. Движение Т переводит каждую точку А плоскости в
однозначно определенную точку А' так, что различные точки переходят в
различные. Кроме того, если движение Т переводит точку B в B', то
расстояние между точками А и B совпадает с расстоянием между точками А'
и B'. (При помощи геометрических методов можно показать, что
преобразование всех перечисленных выше типов обладает требуемыми
свойствами).
Точку, в которую преобразование T переводит точку A, обозначим
T(A). Выражение T(A) напоминает нахождение значений функций, роль
«функции» выполняет T, аA – ее «аргумент».
Рассмотрим теперь на плоскости 2 движения:
А`
А
Два
движения,
выполненные
последовательно
снова
является
движением, при этом не нарушается целостность картины: точки переходят в
точки и расстояние между ними сохраняется.
Нетрудно видеть, что преобразование ST – это движение (переводящее
т. A плоскости в точку A`), также переводит каждую точку плоскости в
некоторую однозначно определенную точку плоскости (B→B`, B`→)
B
S
ST
Ясно, что различные точки под действием преобразования ST переходят в
различные точки.
Действительно, если A и B различные точки плоскости, то T(A), T(B)
будут разными, т.е. они не могут совпадать (т.е. движения T переводят
различные точки плоскости в различные, но тогда движение S, подействовав
на точки T(A), T(B) также переводят их в какие-то несовпадающие точки
плоскости).
Пусть X произвольная точка плоскости, поскольку S и T движения, то
существует точка P, которую движение S переводит в точку X и точку Y,
которую движение T переводит в точку P, но тогда ST будет переводить X в
Y, т.е. ST обладает требуемыми свойствами.
Наконец, необходимо убедиться в том, что преобразование ST
сохраняет расстояние между точками.
Это видно из того, что точка A переходит в точку T(A). Наконец,
необходимо выяснить, сохраняет преобразование S расстояние, т.к.
расстояние между точками T(A), T(B) совпадает с расстоянием между
точками A, B, то справедливо и обратное утверждение: расстояние между
точками A, B такое же, как между точками T(A), T(B), это и означает, что
преобразование S сохраняет расстояние.
Вывод, итак преобразование S с полным основанием можно назвать
движением. Необходимо лишь проверить, что S – движение обратное
движению T.
Предположим, что T переводит точку A в точку B, тогда S переводит
точку B в точку A, поскольку движение S каждую точку плоскости переводит
в некоторую точку плоскости
и при том только одну, то произвольно
заданную точку плоскости можно считать (по выбору) либо точкой A либо
точкой B, но TS(B)= T(A)=B, и поэтому и движение TS и движение ST
переводит произвольно выбранную точку плоскости в себя, и следовательно,
совпадает с тождественным преобразованием.
S
ST
A
B
TS
T
Тем самым показано, что движение на плоскости образуют группу, если в
качестве «умножения» взять движения выполненные последовательно.
3. Линейные функции (операция - линейная замена переменных).
Определение. Линейной называется функция, вида y=ax+b, где a≠0, а
в остальном числа a и b могут быть любыми.
Пусть в функции y=ax+b вместо независимой переменной x в правую
часть подставим функцию y=cx+b,
ax+b=cx+d из тождества y=a(cx+d)+b
имеем
a(cx+d)+b=(ac)x+(ad+b) следует, что «произведением» функции вида y=ax+b
и y=cx+b будет функция y=(ac)x+(ad+b).
Так как на множестве функций и сложение, и умножение имеют смысл
и обе эти операции используются в линейных функциях, то вновь введенную
операцию – линейную замену независимых переменных мы обозначим
маленьким кружочком ○.
(y=ax+b)○ (y=cx+b)=((ac)x+(ad+b)).
Чтобы лишние знаки равенства нам не мешали, опустим во всех
скобках «у» и получим: (ax+b)○ (cx+b)=((ac)x+(ad+b)).
Так как по предположению ни a, ни c≠0, то ac≠0, таким образом
(ac)x+(ad+b) – линейная функция.
Вывод:
Таким образом, линейная замена независимой переменной в линейной
функции не выходит за пределы линейной функции. Теперь имеем право
проверить выполнимость 3 «хороших» свойств.
1. Прежде всего, проверим, ассоциативна ли наша операция, запишем
еще одну линейную функцию.
y=ex+f,
т.
к.
(ac)(ex+f)+(ad+b)=(ace)x+(acf+ad+fb),
то
[(ax+b)○(ex+d)]○(ex+f)=(ace)x+(ad+b+acf).
2. Проверим, существует ли единичный элемент. Им может быть
линейная функция y=ux+v, для которой
при любой линейной
функции ax+b выполняется равенство: (ax+b)○(ux+b)=(au)x++(b+v).
Но из условия равенства линейных функций следует, что
au=a, а
b=av+b, из последнего равенства находим, что av=0. В частности, если a=1,
то u=1, v=1, следовательно, единичным элементом может быть только
линейная функция y=x.
Поскольку a(1*x+0)+b=1(ax+b)+0=ax+b при любых
вещественных
чисел a, b, то х действительно служит единичным элементом.
3. Необходимо определить обратный элемент. Если линейная функция
y=ux+v обратно линейной функции y=ax+b, то должно выполняться
условие ub+v=0, ua=1. По предположению a≠0, поэтому число
обратное числу a существует и поэтому u=a-1, v=a-1b.
Для того, чтобы найденная линейная функция действительно
была обратной линейной функции ax+b не только произведение
(ax+b)○( ux+v) и (ax+b)○( ax+v) должно равняться единице.
Проверяем это условие:
1) (ax+b)( ux+v)=(au)x+(b+av).
Линейная
замена
переменной
является
операцией
по
«умножению» и определяет группу.
Лекция 4. Аналитические преобразования с помощью компьютера.
С момента появления компьютера его главное применение заключалось в численных расчетах. Со временем достаточно много машинного времени стало уходить на решение всевозможных задач по
обработке нечисловых данных. Но наиболее мощные компьютеры
обычно предназначаются для проведения научных исследований.
Необходимо сразу обратить внимание на существенное отличие
численных методов от аналитических вычислений.
Численные методы, как правило, приводят к очень большому
количеству
арифметических
действий.
Обычно
эти
вычисления
проводятся в системе с плавающей запятой, это влечет за собой
погрешности на каждом шаге, которые называют ошибками округления.
Происходит накопление ошибок, что, в свою очередь, становится
причиной неустойчивого счета вплоть до остановки самого процесса
вычисления из-за выхода за пределы разрядной сетки компьютера.
Более того, накопление ошибок приводит даже к ситуации, когда потеря
точности настолько велика, что результат вычисления вообще не
применим.
При таких расчетах мы получаем результаты только в некоторых
точках. Поэтому широко разрабатываются методы, позволяющие
получать
результат
в
виде
некоторой
формулы,
которая
дает
возможность в дальнейшем достаточно просто вычислять искомое
значение практически в любой необходимой точке.
Отметим, что численные расчеты не исключают алгебраических
вычислений, так как написание программ сводится к переписыванию
формул, на которых основан алгоритм. Вот этот процесс переписывания
и вывода формул можно выполнить на компьютере. - Увеличение
мощности компьютеров само по себе также не решает всех проблем:
расчет развития атмосферных процессов с точностью, необходимой для
48-часового прогноза, на наиболее мощных компьютерах требует
значительно больше 48 часов. Увеличение производительности в 10 раз
мало
поможет,
поскольку
одновременно
с
уточнением
теории
потребуется в 2 раза уменьшить шаг сетки, что потребует 8-кратного
увеличения объема вычислений.
Приведем два примера из истории великих вычислений XIX века.
Во-первых, это расчет Леверье орбиты Нептуна, который был основан
на возмущениях орбиты Урана и привел к открытию Нептуна. Вовторых, это вывод 40 000 аналитических формул, которые были
выполнены
Делоне
для
вычисления
орбиты
Луны
и
которые
потребовали 10 лет для их проверки. Результат не являлся численным, а
представлял собой формулу, занимающую 128 страниц его книги.
Отметим, что в 70-х годах XX века этот результат был проверен на
компьютерах с ошеломляющим итогом: всего лишь одна (!!) ошибка
(подготовка программы заняла около года).
Развитие программного обеспечения для использования в алгебраических вычислениях за последние '50 лет показало, что оно
должно представлять собой полную систему, выполняющую методы
представления нечисловых данных весьма специфической структуры,
язык, с помощью которого можно манипулировать с ними, и библиотеку
эффективных
функций
для
выполнения
необходимых
базисных
алгебраических операций.
Программы этого класса находят выражения для производных и
первообразных различных функций, решают в аналитическом (и
численном)
виде
сложные
алгебраические
и
дифференциальные
уравнения, производят всевозможные символьные преобразования
математических
выражений.
Эти
системы
уже
представляют
в
компьютере знания (а не данные) и поэтому относятся к интеллектуальным программным средствам.
Разработка, развитие и даже использование этих систем постепенно
выделились
в
автономную
научную
дисциплину,
относящуюся,
очевидно, к информатике. Если в первых системах применялись
достаточно элементарные математические средства, то в современных
системах — сложные алгоритмы (некоторые из них будут, приведены в
этой книге). Таким образом, дисциплина «Компьютерная алгебра»
требует наличия знаний в различных областях, что делает ее достаточно
трудной в исследовательском и учебном планах. Но, с другой стороны,
это сильно обогащает эту дисциплину.
Анализируя
различные
системы,
можно
выделить
следующие
особенности аналитических вычислений на компьютерах [6, 8, 12, 25]:
1. имеется возможность проводить аналитические (и численные)
преобразования без погрешностей;
2. в результате не теряется исходная информация о характере
исследуемого процесса;
3. на
этом
этапе
аналитических
вычислений
неустойчивость
процесса не проявляется;
4. в ряде случаев наблюдается быстрое разрастание результатов
промежуточных вычислений (т. е. объем промежуточных данных в
процессе вычислений очень большой);
5. ввиду упомянутого разрастания результатов резко повышаются
требования к объему памяти и к быстродействию компьютера;
6. резко повышаются требования к предварительному изучению
алгоритма: к оценке его быстродействия, необходимой памяти и к
эффективному представлению результата;
7. имеется
возможность
производить
генерацию
программ,
использующих найденные формулы.
Само понятие «компьютерная алгебра» появилось именно в связи с
разработкой
и
применением
систем
аналитических
вычислений.
Основная цель компьютерной алгебры — изучение алгоритмов аналитических преобразований с точки зрения их эффективной реализации
на компьютере. В связи с разрастанием промежуточных результатов
главная
задача
аналитических
компьютерной
выражений
и
алгебры
—
длительности
оценка
сложности
аналитических
пре-
образований.
Так как размер символов обычно не трудно оценить, то указанная
оценка сложности сводится к оценке числа арифметических действий с
входящими в аналитическое выражение символами.
Особенность работы систем компьютерной алгебры состоит в том,
что в отличие от численного счета здесь пользователь передоверяет
компьютеру много таких функций, которые раньше он выполнял
самостоятельно. Таким образом, в еще большей степени, чем при
численном
счете,
утрачивается
контроль
за
проводимыми
преобразованиями. Поэтому пользователю необходимо более детально,
чем в процессе численного счета, представлять себе работу не только
самого программного продукта, но и знать хотя бы основные свойства
применяемых
результатов.
алгоритмов:
сложность,
длина
промежуточных
Лекция 5. Представление о системах счисления.
Система счисления (далее СС) - совокупность приемов и правил для записи
чисел
цифровыми
знаками.
Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются
цифры 0,1,:,9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует
бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического
применения СС должна обеспечивать:

возможность
представления
любого
числа
в
рассматриваемом
диапазоне величин;

единственность представления (каждой комбинации символов должна
соответствовать одна и только одна величина);

простоту оперирования числами;
В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления
делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой
называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не
зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система
счисления). Позиционной системой счисления называется такая, в которой
количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе
(арабская
система
счисления).
Количество
знаков
или
символов,
используемых для изображения числа, называется основанием системы
счисления.
Позиционные
системы
счисления
имеют
ряд
преимуществ
перед
непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических
операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой
технике
применяются
позиционные
Запись чисел может быть представлена в виде
системы
счисления.
,
где A(D) - запись числа A в СС D;
Di - символ системы, образующие базу.
По этому принципу построены непозиционные СС.
В общем же случае системы счисления: A(B)=a1B1+a2B2 +...+anBn. Если
положить, что Bi=q*Bi-1, а B1=1, то получим позиционную СС. При q=10 мы
имеем дело с привычной нам десятичной СС.
На практике также используют другие СС:
q
Название
Цифры
2
двоичная
0,1
3
троичная
0,1,2
8
восьмеричная
0,...,7
16 шестнадцатиричная 0,...,9,A, ...,F
Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения).
Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в
которой они представлены.
Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи
обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10
соответствуею знак 'A', цифре 11 - знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся
десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:
q=10 q=2 q=16
0
0
0
1
1
1
2
10
2
3
11
3
4
100
4
5
101
5
6
110
6
7
111
7
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F
В позиционной СС число можно представить через его цифры с помощью
следующего многочлена относительно q:
A=a1*q0+a2*q1+...+an*qn (1)
Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в
q-ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются т.н.
схемой Горнера. Она получается поочередным выносом q за скобки:
A=(...((an*q+an-1)*q+an-2)*q+...)*q+a1
результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе
счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам
которой будут выполнены операции.
Лекция 6. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую.
Правила перевода целых чисел
Результатом является целое число.
1. Из десятичной системы счисления - в двоичную и
шестнадцатеричную:
a. исходное целое число делится на основание системы счисления, в
которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;
b. если полученное частное не делится на основание системы счисления
так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс
умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным
выполняют действия, описанные в шаге а);
c. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в
соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую
выполняется перевод;
d. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное
последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется
из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая
первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый
остаток от деления, а старший - последнее частное.
Пример 3.1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:
Пример 3.2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему
счисления:
Пример 3.3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему
счисления:
2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную.
В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.
Пример 3.4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления.
Имеем:
1316 = 1*161 + 3*160 = 16 + 3 = 19.
Таким образом, 1316 = 19.
Пример 3.5. Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему
счисления. Имеем:
100112 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16+0+0+2+1 = 19.
Таким образом, 100112 = 19.
3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
a. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с
младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа
не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до
достижения кратности 4;
b. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной
цифрой в соответствии с таблицей
Пример 3.6. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную
систему счисления.
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4,
дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4
числа цифр. Имеем:
В соответствии с таблицей 00112 = 112 = 316 и 00012 = 12 = 116.
Тогда 100112 = 1316.
4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:
a. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в
соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4
цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;
b. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.
Пример 3.7. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления.
По таблице имеем: 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями 12 =
00012; 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями 112 = 00112. Тогда
1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.
Лекция 7. Правила выполнения простейших арифметических действий.
Правила сложения
Пример 3.16. Сложить двоичные числа 11012 и 110112.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему
разряду номер 1:
номера разрядов:
54321
+ 1101
11011
Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
a. разряд 1 формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; 0 остается в
разряде 1, 1 переносится во второй разряд;
b. разряд 2 формируется следующим образом: 0 + 1 + 1 = 10, где вторая 1
- единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий
разряд;
c. третий разряд формируется следующим образом: 1 + 0 + 1 = 10, где
вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в
разряд 4;
d. четвертый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 + 1 = 11, где
третья 1 - единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в
пятый разряд;
e. пятый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; где вторая
1 - единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой
разряд.
Таким образом:
1101
+11011
101000
Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и
результата:
11012 = 1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 1 = 13;
110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;
1010002 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*21 = 32 + 8 = 40.
Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.
Пример 3.17. Сложить шестнадцатеричные числа 1С16 и 7В16.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему
разряду номер 1:
номера разрядов:
21
+1С
7В
Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает
преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в
десятичное число и обратные действия):
a. разряд 1 формируется следующим образом: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 =
1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;
b. разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116 = 916, где
вторая 116 - единица переноса.
Таким образом:
1С
+7В
97
Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и
результата:
1С16 = 1*161 + 12*160 = 16 + 12 = 28;
7В16 = 7*161 + 11*160 = 112 + 11 = 123;
9716 = 9*161 + 7*160 = 144 + 7 = 151.
Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.
Правила вычитания
Пример 3.18. Вычесть из двоичного числа 1012 двоичное число 112.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:
321
-101
11
Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
a. разряд 1 формируется следующим образом: 1 - 1 = 0;
b. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 меньше 1 и
непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого
единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 10 - 1
= 1;
c. третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица
была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.
Таким образом:
101
- 11
10
Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и
результата. По таблице имеем::
1012 = 5;
112 = 3;
102 = 2.
Поскольку 5 - 3 = 2, вычитание выполнено верно.
Пример 3.19. Вычесть из шестнадцатеричного числа 9716 шестнадцатеричное
число 7В16.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:
21
-97
7В
Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
a. разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7 меньше В и
непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого
единицу в старшем разряде 2. Тогда 1716 - В16 = 23 - 11 = 12 = С16;
b. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была
занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816.
Тогда разряд 2 рассчитывается как 8166 - 716 = 116.
Таким образом:
97
-7В
1С
Для проверки результата используем данные из примера 3.17.
Таким образом, вычитание выполнено верно.
Правила умножения
Пример 3.20. Умножить двоичное число 1012 на двоичное число 112.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему
разряду номер 1:
номера разрядов:
321
*101
11
Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый
разряд множителя с последующим сложением показан ниже:
a. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 * 12
= 1012;
b. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 *
102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по
принципам формирования значения числа в позиционных системах
счисления;
c. для получения окончательного результата складываем результаты
предыдущих шагов: 1012 + 10102 = 11112.
Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и
произведения (см. таблицу):
1012 = 5;
112 = 3;
11112 = 15.
Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 1012 * 112 = 11112.
Пример 3.21. Умножить шестнадцатеричное число 1С16 на
шестнадцатеричное число 7В16.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему
разряду номер 1:
номера разрядов:
21
*1С
7В
Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый
разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе
умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и
обратно):
a. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С16 *
В16 = 28 * 11 = 308 = 13416;
b. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С16 *
716 = 28 * 112 = 3136 = С4016. Здесь значение разряда 2 множителя
сформировано по принципам формирования значения числа в
позиционных системах счисления;
c. для получения окончательного результата складываем результаты
предыдущих шагов: 13416 + С4016 = D7416.
Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и
произведения, воспользовавшись результатами примера 3.17 и правилами
формирования полного значения числа:
1С16 = 28;
7В16 = 123;
D7416 = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.
Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.
Правила деления
Рассмотрим правила деления только для двоичных чисел, поскольку деление
шестнадцатеричных чисел проще выполнять, переведя их предварительно в
десятичную систему счисления.
Пример 3.22. Разделить двоичное число 11112 на двоичное число 112.
Решение задачи представим схемой:
Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера
3.20. Они показывают, что деление выполнено верно: 11112 / 112 = 1012.
4.2.
Содержание практических занятий.
Практическое занятие №1.
Введение. Понятие группы. Операция умножения (сложения). Другие
примеры групп.
Практическое занятие №2.
Все вещественные числа. Вещественные числа, отличные от нуля.
Положительные вещественные числа.
Практическое занятие №3.
Неотрицательные вещественные числа. Целые положительные степени
двойки (числа 2, 4, 8 и т.д.). Числа +1 и -1.
Практическое занятие №4.
Система счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
систему.
Практическое занятие №5.
Правила выполнения простейших арифметических действий.
Практическое занятие №6.
Аналитические преобразования с помощью компьютера.
4.3. Глоссарий
Группа — моноид, в котором каждый элемент имеет себесимметричный.
Группоид — непустое множество, замкнутое относительно одной бинарной
операции.
Кольцо — алгебра с двумя заданными на ней бинарными операциями,
являющаяся абелевой группой по сложению, в которой операция сложения
связана с операцией умножения левым и правым дистрибутивными
законами.
Многочлен — формальное выражение вида: anxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0.
Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
Поле — кольцо, в котором каждый отличный от нуля элемент обратим.
Полугруппа — ассоциативный группоид.