МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического моделирования
Мачулис В.В.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01«Математика»,
профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2014
Мачулис В.В. Дифференциальные уравнения. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», очная форма обучения. Тюмень,
2014 г., 24 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дифференциальные уравнения
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Татосов А.В., доктор физико-математических
наук, доцент, заведующий кафедрой
математического моделирования
© Тюменский государственный университет, 2014.
© В.В. Мачулис, 2014.
4
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины:
1) фундаментальная подготовка в области дифференциальных уравнений;
2) овладение методами решения основных типов дифференциальных уравнений и
их систем;
3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Дифференциальные уравнения» входит в цикл профессиональных
дисциплин в базовой части.
Для её успешного изучения необходимы знания и умения, приобретённые в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, линейная алгебра, абстрактная алгебра.
Освоение дисциплины «Дифференциальные уравнения» необходимо при последующем изучении дисциплин «Уравнения в частных производных» («Уравнения математической физики»), «Дифференциальная геометрия и топология», «Численные методы» и ряда
других.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1
Уравнения в
частных производных
+ + + + + +
2
Дифференциальная геометрия и
топология
+ + +
3
Численные методы
+
+ + +
+ + + + +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими общепрофессиональными компетенциями:
5
+
готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики
и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1);
способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) знать: основные понятия теории дифференциальных уравнений, определения и
свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы
их доказательства, возможные сферы их приложений;
2) уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
дифференциальных уравнений;
3) владеть: математическим аппаратом дифференциальных уравнений, методами
анализа и решения задач.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины.
Дисциплина «Дифференциальные уравнения» читается в третьем и четвёртом семестрах.
Формы промежуточной аттестации – зачёт, экзамен. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 7 зачётных единиц (252 часа).
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего часов
Семестры
3
4
154,25
74,6
79,65
Контактная работа
144
72
72
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
72
36
36
Практические занятия (ПЗ)
72
36
36
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
10,25
2,6
7,65
Иные виды работ:
97,75
33,4
64,35
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачёт, экзамен)
зачёт экзамен
Общая трудоёмкость
час
252
108
144
зач. ед.
7
3
4
6
3. Тематический план.
Таблица 3.
(семестр 3)
1
2
3
4
5
№
Тема
Из них
в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
5
6
7
8
9
10
1-6
12
12
-
11
35
9
0-30
12
12
-
11
35
9
0-30
4
4
-
5
13
3
0-14
6
6
-
6
18
3
0-16
10
10
-
11
31
6
0-30
6
6
-
7
19
3
0-20
8
8
-
7
23
3
0-20
14
36
0
14
36
32
-
14
36
42
108
32
6
21
21
0-40
0-100
-
-
-
-
-
-
-
Итого
часов
Из них
в
Самостоятельная работа*
4
ные занятия*
3
Семинарские
(практические) занятия*
Лаборатор-
2
Модуль 1
Введение в предмет.
Простейшие методы интегрирования уравнений
первого порядка.
Всего
Модуль 2
Теорема существования
и единственности решения начальной задачи.
Уравнения, не разрешённые относительно производной.
Всего
Модуль 3
Уравнения высших порядков.
Некоторые приложения
дифференциальных
уравнений высших порядков.
Всего
Итого (часов, баллов):
из них часов в интерактивной форме
Курсовая работа
Итого
часов
по
теме
Лекции*
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Недели семестра
Тема
(семестр 4)
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Недели
семестр
а
№
7
Самостоятельная работа*
ные занятия*
Итого
количество
баллов
6
7
8
9
10
-
24
48
7
0-30
-
24
48
7
0-30
-
24
48
7
0-30
-
24
48
7
0-30
-
24
48
7
0-40
-
24
72
48
144
32
7
21
21
0-40
0-100
-
-
-
-
-
Таблица 4.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
электронные практикум
Итого количество
баллов
1
Итого
контрольная работа
Устный опрос
ИнформаПисьменционные
ные работы системы и
технологии
ответ на практическом занятии
8
интерактивной
форме
коллоквиум
7
Семинарские
(практические) занятия*
Лаборатор-
Лекции*
6
2
3
4
5
Модуль 1
Общая теория линейных
12
12
систем обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Всего
12
12
Модуль 2
Основы теории устойчи12
12
вости.
Всего
12
12
Модуль 3
Фазовое пространство и
12
12
фазовые портреты.
Всего
12
12
Итого (часов, баллов):
36
36
из них часов в интерак0
32
тивной форме
Курсовая работа
*- если предусмотрены учебным планом ООП.
№ темы
1
по
теме
2
3
4
6
7
8
Модуль 1
1. Введение в предмет. Простейшие
методы интегрирования уравнений
первого порядка.
0-10
0-5
0-10
0-5
0-30
Всего
0-10
0-5
0-10
0-5
0-30
Модуль 2
2. Теорема существования и единственности решения начальной задачи.
0-5
0-2
0-5
0-2
0-14
3. Уравнения, не разрешённые относительно производной.
0-5
0-3
0-5
0-3
0-16
Всего
0-10
0-5
0-10
0-5
0-30
Модуль 3
4. Уравнения высших порядков.
0-6
0-4
0-6
0-4
0-20
5. Некоторые приложения дифференциальных уравнений высших порядков.
0-6
0-4
0-6
0-4
0-20
Всего
0-12
0-8
0-12
0-8
0-40
Итого
0-32
0-18
0-32
0-18
0-100
Письменные работы
Информационные
системы и
технологии
Итого
ответ на практическом занятии
контрольная работа
электронные практикум
Итого количество
баллов
1
коллоквиум
№ темы
Устный опрос
2
3
4
6
7
Модуль 1
6. Общая теория линейных систем
обыкновенных дифференциальных
уравнений.
0-10
0-5
0-10
0-5
0-30
Всего
0-10
0-5
0-10
0-5
0-30
0-10
0-5
0-30
Модуль 2
7. Основы теории устойчивости.
0-10
9
0-5
Всего
0-10
0-5
0-10
0-5
0-30
Модуль 3
8. Фазовое пространство и фазовые
портреты.
0-12
0-8
0-12
0-8
0-20
Всего
0-12
0-8
0-12
0-8
0-40
Итого
0-32
0-18
0-32
0-18
0-100
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Введение в предмет. Простейшие методы интегрирования уравнений
первого порядка. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия. Геометрическое представление решений. Поле направлений, интегральные кривые, изоклины. Методы интегрирования уравнений первого порядка. Некоторые
численные методы решения начальной задачи для уравнений первого порядка.
Тема 2. Теорема существования и единственности решения начальной задачи.
Теорема существования и единственности решения начальной задачи для уравнения, разрешённого относительно производной. Непрерывная зависимость решений от начальных
данных и малых возмущений.
Тема 3. Уравнения, не разрешённые относительно производной. Уравнения, не
разрешённые относительно производной, методы их решения. Уравнение Лагранжа (и
Клеро), особые решения, огибающая.
Тема 4. Уравнения высших порядков. Задачи, приводящие к уравнениям высших
порядков. Линейные уравнения высших порядков. Определитель Вронского, формула
Остроградского-Лиувилля. Уравнения Коши-Эйлера.
Тема 5. Некоторые приложения дифференциальных уравнений высших порядков. Простые гармонические колебания, затухающие колебания, движение под действием
возмущающей силы. Понятие о краевой задаче. Функция Грина.
Тема 6. Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Метод неопределённых коэффициентов и метод вариации параметров. Матричная экспонента.
Тема 7. Основы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Орбитальная устойчивость, устойчивость по Лагранжу. Критерий
устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами. Устойчивость нелинейных систем. Функция Ляпунова.
Тема 8. Фазовое пространство и фазовые портреты. Фазовое пространство и фазовый портрет системы дифференциальных уравнений. Классификация линейных неподвижных точек. Сепаратрисы. Предельный цикл. Отображение Пуанкаре. Мультипликаторы, теорема Флоке.
6. Планы практических занятий
10
Тема 1. Введение в предмет. Простейшие методы интегрирования уравнений
первого порядка (12 часов):
1) Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка;
2) Уравнения с разделяющимися переменными;
3) Линейные уравнения и уравнения Бернулли;
4) Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Поле направлений. Особенность
интегральных кривых однородного уравнения;
5) Уравнения в полных дифференциалах и уравнения с интегрирующим множителем. Метод Эйлера для нахождения приближённого решения;
6) Контрольная работа №1.
Тема 2. Теорема существования и единственности решения начальной задачи
(4 часа):
1) Единственность решения начальной задачи. Особые решения;
2) Область единственности решений. Исследование уравнений, нахождение областей единственности.
Тема 3. Уравнения, не разрешённые относительно производной (6 часов):
1) Типы уравнений, не разрешённых относительно производной и способы их решения;
2) Уравнение Лагранжа и Клеро. Нахождение особых решений;
3) Огибающая и её нахождение.
Тема 4. Уравнения высших порядков (6 часов):
1) Уравнения высших порядков. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами;
2) Неоднородные линейные уравнения высших порядков. Метод неопределённых
коэффициентов и метод вариации параметров;
3) Уравнения Эйлера-Коши.
Тема 5. Некоторые приложения дифференциальных уравнений высших порядков (8 часов):
1) Приложения теории дифференциальных уравнений. Гармонические колебания.
Простейшие механические модели;
2) Затухающие колебания. Электрические цепи;
3) Колебания с внешним воздействием;
4) Контрольная работа №2.
Тема 6. Общая теория линейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений (12 часов):
1) Повторение пройденного материала;
2) Простейшие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их
решения;
3) Однородные системы с постоянными коэффициентами;
4) Неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Метод неопределённых
коэффициентов;
11
5) Неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Метод вариации параметров;
6) Контрольная работа №3.
Тема 7. Основы теории устойчивости (12 часов):
1) Основы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая
устойчивость;
2) Устойчивость по первому приближению;
3) Критерии устойчивости (Рауса-Гурвица и Михайлова);
4) Функция Ляпунова;
5) Орбитальная устойчивость и устойчивость по Лагранжу;
6) Исследование частных решений нелинейных систем на устойчивость. Повторение.
Тема 8. Фазовое пространство и фазовые портреты (12 часов):
1) Фазовые портреты линейных автономных систем. Классификация неподвижных
точек;
2) Нелинейные системы. Теорема о линеаризации. Исследование равновесных решений на устойчивость;
3) Предельные циклы. Модельные нелинейные системы. Доказательство существования (и отсутствия) предельного цикла;
4) Отображение Пуанкаре. Мультипликаторы. Теорема Флоке;
5) Повторение пройденного материала;
6) Контрольная работа №4.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом.
8. Примерная тематика курсовых работ
(а) Исследовать неподвижные точки системы с параметром


 x  y 16  2 x 2  2 y 2  x   1


2
2
 y  x   2 x  2 y  x   px  4 
.
Определить тип неподвижных точек. Исследовать систему на наличие бифуркаций и
нарисовать бифуркационную диаграмму.
(б) Рассмотреть систему с параметром


 x  y 16  2 x 2  2 y 2  x   1


2
2
 y   x   2 x  2 y  x  16 x  4 
.
Исследовать поведение системы при изменении параметра в промежутке
12
 2;2 .
(в) Исследовать уравнение
1


x   x2  x 2  x 4    x  x  x 3  0
2


1
2 . Найти равновесные точки и определить их тип. Исследовать уравнение на налипри
чие бифуркаций и нарисовать бифуркационную диаграмму.
 
(г) Провести полное исследование системы
2

 x  a  x
, aR

2

 y   y  ( x  a)(1  2 x)
.
Найти неподвижные точки, их тип, особые траектории. Имеются ли в системе бифуркации?
(д) Исследовать уравнение
x    x  1 x  x  0
.
Доказать существование предельного цикла и найти приближенно его амплитуду и
период.
(е) Исследовать уравнение
x  x   x3  0,   0
на наличие периодических решений. Методом гармонического баланса определить зависимость между частотой и амплитудой периодических решений. Найти нижнюю границу амплитуды.
(ж) С помощью метода Линдштедта получить приближенные аналитические решения
уравнений
x   xx  x  0 и (1   x) x  x  0

с начальными условиями x(0)  a, x (0)  0 .
(з) Исследовать равновесные точки уравнения
x    x 4    x  x  x 3  0,     0, 0    1
.
Применить прямой метод разложения по малому параметру и найти приближенное

отношение  на гомоклинической траектории.
(и) Показать, что система
 x  x  y  x ( x 2  y 2 )

2
2
 y   x  y  y ( x  y )
 z   z

.
Имеет предельный цикл. Найти его уравнение и исследовать устойчивость.
13
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов
Таблица 5.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
Неделя
обязатель- дополнительсеные
ные
местра
Семестр 5
Модуль 1
1. Введение в предмет. Про- работа с ли- подготовка к
1-6
стейшие методы интегри- тературой,
коллоквиуму
рования уравнений пер- решение дового порядка.
машнего задания
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2. Теорема существования работа с ли- подготовка к
7-8
и единственности реше- тературой,
коллоквиуму
ния начальной задачи.
решение домашнего задания
3. Уравнения, не разрешён- работа с ли- подготовка к
9-11
ные относительно произ- тературой,
коллоквиуму
водной.
решение домашнего задания
Всего по модулю 2:
Модуль 3
4.
Уравнения высших по- работа с ли- подготовка к 12-14
рядков.
тературой,
коллоквиуму
решение до- и контрольмашнего за- ной работе
дания
5.
Некоторые приложения работа с ли15-18
дифференциальных урав- тературой,
нений высших порядков. решение домашнего задания
Всего по модулю 3:
Итого за семестр*:
№
Модули и темы
Виды СРС
Неделя
обязатель- дополнительсеные
ные
местра
14
Объе
м часов
Кол-во
баллов
11
0-30
11
0-30
5
0-14
6
0-16
11
0-30
7
0-20
7
0-20
14
36
Объе
м часов
0-40
0-100
Кол-во
баллов
Семестр 6
Модуль 1
6. Общая теория линейных
систем
обыкновенных
дифференциальных уравнений.
работа с литературой,
решение домашнего задания
подготовка к
коллоквиуму
1-6
24
Всего по модулю 1:
0-30
0-30
18_24
Модуль 2
7. Основы теории устойчи- работа с ливости.
тературой,
решение домашнего задания
Всего по модулю 2:
Модуль 3
8.
Фазовое пространство и работа с лифазовые портреты.
тературой,
решение домашнего задания
Всего по модулю 3:
Итого за семестр*:
ИТОГО*:
подготовка к
коллоквиуму
7-12
24
24
подготовка к
коллоквиуму
и контрольной работе
13-18
0-30
0-30
24
0-40
24
72
108
0-40
0-100
*_ с учетом иных видов работ
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
В процессе изучения дисциплины формируются следующие компетенции:
готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики
и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1);
способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата (ПК-3).
15
ПК-3
Аналитическая геометрия*
Математический анализ*
Алгебра*
Аналитическая геометрия*
Математический анализ*
Теория вероятностей*
Алгебра*
Математический анализ*
Дискретная математика*
Математический анализ*
Математическая логика*
Дифференциальная геометрия*
Дифференциальная геометрия*
Комплексный анализ*
Теория вероятностей*
Функциональный анализ*
ОПК-1
Алгебра*
Б.1 Дисциплины (модули)
1 семестр
2 семестр
+
6 семестр
3 семестр
7 семестр
16
4 семестр
+
Б.1 Дисциплины (модули)
8 семестр
5 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Численные методы*
Комплексный анализ*
Функциональный анализ*
Теоретическая механика*
Численные методы*
Теория случайных процессов
+
+
+
+
+
+
+
ПК-3
+
+
-* – предметы базовой части
17
Производственная практика
Теоретическая механика*
ОПК-1
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Код компетенций
Карта критериев оценивания компетенций
ОПК-1
Критерий в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: базовые типы обыкновенных дифференциальных уравнений
Знает: основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
Знает: теорию обыкновенных
дифференциальных уравнений в объеме, достаточном
для применения этих знаний в
практической деятельности
Умеет: применять простей- Умеет: применять простейшие приемы интегрирова- шие приемы интегрирования
ния базовых типов обыкно- основных типов обыкновенвенных дифференциальных
ных дифференциальных
уравнений
уравнений и систем
Умеет: применять теорию и
методы ОДУ для решения задач профессиональной сферы
Владеет: минимальной техникой решения базовых типов обыкновенных дифференциальных уравнений
Владеет: приемами интегрирования большинства типов
обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
уравнений
Владеет: приемами интегрирования основных типов
обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
уравнений
18
Виды занятий
Оценочные
(лекции, семи- средства (тесты,
нарские,
творческие рапрактические, боты, проекты и
лаборатордр.)
ные)
практические
занятия
контрольные работы, самостоятельные работы,
коллоквиумы
ПК-3
Знает: основные теоремы
курса обыкновенных дифференциальных уравнений
Знает: основные теоремы и
следствия курса обыкновенных дифференциальных
уравнений
Умеет: с помощью имеющихся знаний доказывать
основные теоремы и следствия курса ОДУ
Умеет: с помощью имеюУмеет: использовать полученщихся знаний проводить до- ные знания для расчета модеказательства и получать релей стандартных классичешения основных типов урав- ских и прикладных задач теонений
рии ОДУ
Владеет: простейшими
приемами, позволяющими
доказать основные положения курса ОДУ
Владеет: основными приемами, позволяющими решать большинство из задач
курса
19
Знает: основные постановки
классических задач теории
ОДУ и методы их решения,
доказательства главных теорем и следствий
Владеет: знаниями и умениями, позволяющими конструировать типовые модели прикладных задач и получать результаты расчетов с помощью
компьютера, делать выводы
из полученных результатов
практические
занятия
контрольные работы, самостоятельные работы,
коллоквиумы
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей
этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Примерные задания для контрольных работ
1. Решить уравнение x 2 y  1  x 2  y 2  x 2 y 2 .
2. Решить задачу Коши 2 xy  3 y  9 x3 , y(1)  3 .
3. Решить уравнение ( x  2 y ) y  x  y .
4. Найти интегрирующий множитель и решить уравнение x 2 y  xy  2 x 2 y 2 .
5. Решить задачу Коши xy  y  xy 2 , y(0)  0 .
6. Решить уравнение методом вариации
y  2 y  2  4 x 2 sin x 2 .
7. Решить граничную задачу
 
y  y  2sin x , y (0)  0, y    0 .
2
8. Найти два независимых интеграла для системы
dx dy dz

 .
x
y
0
9. Решить систему любым разумным способом
x  6x  y
.

 y  16 x  2 y
10. По заданной фундаментальной матрице ( x) найти A( x ) линейной системы
y( x)  A( x) y ( x)
x
Ф( x )   2
x
1
 , x  0.
2x 
11. Решить уравнение x3 y  2 x2 y  5xy  3 y  x  8ln x  60  .
12. Решить системы:
 x  x  2 y  z
 y  2 y  z
 y  3 y  z  x

(а) 
; (б) 
; (в)  y  2 x  3 y .
 z  5 y  2 z
 z  13 y  3z  sin x
 z  y  2 z

 x  x  2 y
 x(0)  3
13. Решить задачу Коши 
, если 
.
 y  x  5cos t
 y (0)  1
14. Построить однородное уравнение, имеющее следующую фундаментальную систему решений y1  1 , y2  x , y3  x 2 .
15. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчиво ли решение задачи Коши:
20
dy
dt
 y  e  t , y (0)  1
16. Исследовать устойчивость тривиального решения и нарисовать фазовый портрет
канонической системы
 x  5x  2 y

 y  17 x  5 y
17. Найти все неподвижные точки нелинейной системы и определить тип устойчивости каждой, если это возможно
 x  2 x  xy

2
 y  2x  y
18. Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения
y  y  y  2 y  0 .
19. При каких значениях параметров тривиальное решение уравнения
y  ay  by  2 y  0
асимптотически устойчиво?
20. С помощью функции Ляпунова вида V ( x, y)  ax 2  by 2 исследовать нулевое решение системы
2
 x   x  y

3
 y   xy  y
на устойчивость.
Примерные вопросы к экзамену
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Начальные понятия.
2. Построение ФС однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
3. Уравнения первого порядка. Основные понятия.
4. Простейшие методы интегрирования систем.
5. Уравнения с разделяющимися переменными.
6. Неоднородные линейные уравнения.
7. Однородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.
8. Матричный метод решения систем. Характеристические числа.
9. Линейные уравнения первого порядка (метод вариации).
10. Системы дифференциальных уравнений. Общие определения.
11. Линейные уравнения первого порядка (метод Бернулли).
12. Матричный метод решения систем. Элементарные делители.
13. Уравнения в полных дифференциалах.
14. Системы линейных дифференциальных уравнений (теорема 1 и теорема 2).
15. Интегрирующий множитель и особые решения.
16. Системы линейных дифференциальных уравнений (теоремы 3, 4, 5).
17. Уравнения с интегрирующим множителем.
18. Системы линейных дифференциальных уравнений (теорема 6 и теорема 7).
21
19. Принцип сжимающих отображений.
20. Нахождение решения систем матричным методом (первый способ).
21. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
22. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
23. Особые точки и особые решения.
24. Нахождение решения систем матричным методом (второй способ).
25. Уравнения, не разрешённые относительно производной (все случаи).
26. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
27. Уравнение Лагранжа и уравнение Клеро.
28. Нахождение решения системы матричным методом (первый способ).
29. Однородные уравнения первого порядка.
30. Понятие устойчивости по Пуанкаре.
31. Общий метод введения параметра.
32. Понятие устойчивости по Лагранжу.
33. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения
первого порядка.
34. Устойчивость по первому приближению.
35. Уравнения высших порядков. Начальные понятия.
36. Функция Ляпунова.
37. Некоторые способы понижения порядка дифференциальных уравнений.
38. Приложения дифференциальных уравнений к расчёту электрических цепей.
39. Общие свойства линейных уравнений n – го порядка.
40. Гармонические колебания.
41. Однородные уравнения n – го порядка.
42. Колебания с диссипацией.
43. Линейная независимость системы функций (теорема 1).
44. Колебания с внешним воздействием.
45. Линейная независимость системы функций (теорема 2).
46. Основные понятия теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость.
47. Формула Остроградского–Лиувилля.
48. Устойчивость тривиальных решений автономных систем.
49. Фундаментальная система и общее решение.
50. Фундаментальная система (основная теорема).
51. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена
11. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» предусматривается
использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

практические занятия в диалоговом режиме;

компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
22

научные дискуссии;

работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
12.1. Основная литература
1. Казанцева Т.Е., Мачулис В.В. Краткий курс обыкновенных дифференциальных
уравнений. Часть 1. Тюмень, Изд-во Тюменского государственного университета,
2014 г.
2. Шолохович, Ф. А..
Лекции по дифференциальным уравнениям (университетский курс): учеб. пособие для студ. вузов, обуч.по спец. с углуб. мат. подготовкой (математика, механика,
физика и др.)/ Ф. А. Шолохович; Урал. гос. ун-т им. А. М. Горького. - Екатеринбург: Уральское изд-во, 2005. - 231 с. (150 экз)
12.2. Дополнительная литература
1. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск: Выш.
школа, 1979.
2. Андронов, А. А. Теория колебаний/ А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин.
- Москва: Наука, 1981. - 568 с
3. Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений : учеб. для
студ. вузов по группе физ.-мат. напр. и спец. / А. Ф. Филиппов. - 2-е изд., испр. Москва : УРСС, 2007. - 240 с.
4. Филиппов, А. Ф.. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А. Ф. Филиппов. - 5-е изд. - Москва : Либроком, 2013. - 240 с
5. Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи:
моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и Matlab. Издательский дом «Вильямс», /пер. с англ./, 2008.
12.3 Интернет-ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического
факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2.
eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Для работы на занятиях используются лицензионные программы Maple 16 и Matlab
R2012a.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Аудитория с мультимедийным оборудованием для практических занятий.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
23
Для надежного усвоения учебного материала рекомендуется:



регулярно посещать занятия;
систематически готовиться к практически занятиям, что предусматривает повторение теоретического материала, выполнение домашних практических
упражнений и, при необходимости, использование дополнительной литературы;
подготовку к контрольным работам и другим контрольным мероприятиям (по
заданию преподавателя).
В ходе работы над теоретическим материалом достигается:




овладение понятийным аппаратом рассматриваемого раздела курса;
воспроизведение материала;
уяснение структуры материала и его внутренних связей;
обобщение и систематизация знаний по курсу.
В ходе работы над практическим материалом достигается:




формирование навыка действий с основными объектами изучаемой теории;
умение применять теоретические положения для решения практических задач;
возможность применения компьютера для облегчения технических выкладок,
визуализации результатов вычислений и проверки предположений;
техника вычислений.
При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на
лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе, используя
основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.
24