МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по проведению Заключительного этапа Всероссийской олимпиады школьников по астрономии

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
по проведению Заключительного этапа
Всероссийской олимпиады школьников по астрономии
2012 год
Разработаны Методической комиссией по астрономии
Всероссийской олимпиады школьников
1. Документы, определяющие содержание заданий и ссылки на учебнометодическую литературу.
1.1. Вопросы по астрономии, рекомендуемые методической комиссией Всероссийской
Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников к решению
задач этапов Олимпиады
9 класс.
1.1. Звездное небо.
Созвездия и ярчайшие звезды неба: названия, условия видимости в различные сезоны года.
1.2. Небесная сфера.
Суточное движение небесных светил на различных широтах. Восход, заход, кульминация.
Горизонтальная и экваториальная система координат, основные круги и линии на небесной
сфере. Высота над горизонтом небесных светил в кульминации. Высота полюса Мира.
Изменение вида звездного неба в течение суток. Подвижная карта звездного неба.
Рефракция
(качественно).
Сумерки:
гражданские,
навигационные,
астрономические.
Понятия углового расстояния на небесной сфере и угловых размеров объектов.
1.3. Движение Земли по орбите.
Видимый путь Солнца по небесной сфере. Изменение вида звездного неба в течение года.
Эклиптика, понятие полюса эклиптики и эклиптической системы координат. Зодиакальные
созвездия. Прецессия, изменение экваториальных координат светил из-за прецессии.
1
1.4. Измерение времени.
Тропический год. Солнечные и звездные сутки, связь между ними. Солнечные часы.
Местное, поясное время. Истинное и среднее солнечное время, уравнение времени. Звездное
время. Часовые пояса и исчисление времени в нашей стране; декретное время, летнее время.
Летоисчисление. Календарь, солнечная и лунная система календаря. Новый и старый стиль.
1.5. Движение небесных тел под действием силы всемирного тяготения.
Форма орбит: эллипс, парабола, гипербола. Эллипс, его основные точки, большая и малая
полуоси, эксцентриситет. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера (включая
обобщенный третий закон Кеплера). Первая и вторая космические скорости. Круговая
скорость, скорость движения в точках перицентра и апоцентра. Определение масс небесных
тел на основе закона всемирного тяготения. Расчеты времени межпланетных перелетов по
касательной траектории.
1.6. Солнечная система.
Строение, состав, общие характеристики. Размеры, форма, масса тел Солнечной системы,
плотность их вещества. Отражающая способность (альбедо). Определение расстояний до тел
Солнечной системы (методы радиолокации и суточного параллакса). Астрономическая
единица. Угловые размеры планет. Сидерический, синодический периоды планет, связь
между ними. Видимые движения и конфигурации планет. Наклонение орбиты, линия узлов.
Прохождения планет по диску Солнца, условия наступления. Малые тела Солнечной
системы. Метеороиды, метеоры и метеорные потоки. Метеориты. Орбиты планет,
астероидов, комет и метеороидов. Возмущения в движении планет. Третья космическая
скорость для Земли и других тел Солнечной системы.
1.7. Система Солнце – Земля – Луна.
Движение Луны вокруг Земли, фазы Луны. Либрации Луны. Движение узлов орбиты Луны,
периоды «низкой» и «высокой» Луны. Синодический, сидерический, аномалистический и
драконический месяцы. Солнечные и лунные затмения, их типы, условия наступления.
Сарос. Покрытия звезд и планет Луной, условия их наступления. Понятие о приливах.
1.8. Оптические приборы.
Глаз как оптический прибор. Устройство простейших оптических приборов для
астрономических наблюдений (бинокль, фотоаппарат, линзовые, зеркальные и зеркальнолинзовые телескопы). Построение изображений протяженных объектов в фокальной
2
плоскости. Угловое увеличение, масштаб изображения. Крупнейшие телескопы нашей
страны и мира.
1.9. Шкала звездных величин.
Представление о видимых звездных величинах различных астрономических объектов.
Решение задач на звездные величины в целых числах. Зависимость яркости от расстояния до
объекта.
1.10. Электромагнитные волны.
Скорость света. Различные диапазоны электромагнитных волн. Видимый свет, длины волн и
частоты видимого света. Радиоволны.
1.11. Общие представления о структуре Вселенной.
Пространственно-временные масштабы Вселенной. Наша Галактика и другие галактики,
общее представление о размерах, составе и строении.
1.12. Измерения расстояний в астрономии.
Внесистемные единицы в астрономии (астрономическая единица, световой год, парсек,
килопарсек, мегапарсек). Методы радиолокации, суточного и годичного параллакса.
Аберрация света.
1.13. Дополнительные вопросы.
Дополнительные вопросы по математике: Запись больших чисел, математические операции
со степенями. Приближенные вычисления. Число значащих цифр. Пользование инженерным
калькулятором. Единицы измерения углов: градус и его части, радиан, часовая мера.
Понятие сферы, большие и малые круги. Формулы для синуса и тангенса малого угла.
Решение
треугольников,
теоремы
синусов
и
косинусов.
Элементарные
формулы
тригонометрии.
Дополнительные вопросы по физике: Законы сохранения механической энергии, импульса и
момента импульса. Понятие об инерциальных и неинерциальных системах отсчета.
Потенциальная энергия взаимодействия точечных масс. Геометрическая оптика, ход лучей
через линзу.
3
10 класс.
2.1. Шкала звездных величин.
Звездная величина, ее связь с освещенностью. Формула Погсона. Связь видимого блеска с
расстоянием. Абсолютная звездная величина. Изменение видимой яркости планет и комет
при их движении по орбите.
2.2. Звезды, общие понятия.
Основные характеристики звезд: температура, радиус, масса и светимость. Законы
излучения абсолютно черного тела: закон Стефана–Больцмана, закон смещения Вина.
Понятие эффективной температуры.
2.3. Классификация звезд.
Представление о фотометрической системе UBVR, показатели цвета. Диаграмма «цветсветимость»
(Герцшпрунга–Рассела).
Звезды
главной
последовательности,
гиганты,
сверхгиганты. Соотношение «масса-светимость» для звезд главной последовательности.
2.4. Движение звезд в пространстве.
Эффект Доплера. Лучевая скорость звезд и принципы ее измерения. Тангенциальная
скорость и собственное движение звезд. Апекс пекулярного движения Солнца.
2.5. Двойные и переменные звезды.
Затменные переменные звезды. Спектрально-двойные звезды. Определение масс и размеров
звезд в двойных системах. Внесолнечные планеты. Пульсирующие переменные звезды, их
типы, кривые блеска. Зависимость «период-светимость» для цефеид. Новые звезды.
2.6. Рассеянные и шаровые звездные скопления.
Возраст, физические свойства скоплений и особенности входящих в них звезд. Основные
различия между рассеянными и шаровыми скоплениями. Диаграммы «цвет-светимость» для
звезд скоплений. Движения звезд, входящих в скопление. Метод «группового параллакса»
определения расстояния до скопления.
2.7. Солнце.
Основные характеристики, общее представление о внутреннем строении и строении
атмосферы. Характеристики Солнца как звезды, солнечная постоянная. Солнечная
4
активность, циклы солнечной активности. Магнитные поля на Солнце. Солнечно-земные
связи.
2.8. Ионизованное состояние вещества.
Понятие об ионизованном газе. Процессы ионизации и рекомбинации. Общие представление
об ионах в атмосфере Земли и межпланетной среде. Магнитное поле Земли. Полярные
сияния.
2.9. Межзвездная среда.
Представление о распределении газа и пыли в пространстве. Плотность, температура и
химический состав межзвездной среды. Межзвездное поглощение света, его зависимость от
длины волны и влияние на звездные величины и цвет звезд. Газовые и диффузные
туманности. Звездообразование. Межзвездное магнитное поле.
2.10. Телескопы, разрешающая и проницающая способность.
Предельное угловое разрешение и проницающая способность. Размеры дифракционного
изображения, ограничения со стороны земной атмосферы на разрешающую способность.
Аберрации оптики. Оптические схемы современных телескопов.
2.11. Дополнительные вопросы.
Дополнительные вопросы по математике: площадь поверхности сферы, объем шара.
Дополнительные вопросы по физике: Газовые законы. Понятие температуры, тепловой
энергии газа, концентрации частиц и давления. Основы понятия спектра, дифракции света.
11 класс.
3.1. Основы теории приливов.
Приливное воздействие. Понятие о радиусе сферы Хилла, полости Роша. Точки либрации.
3.2. Оптические свойства атмосфер планет и межзвездной среды.
Рассеяние и поглощение света в атмосфере Земли, в межпланетной и межзвездной среде,
зависимость поглощения от длины волны. Атмосферная рефракция, зависимость от высоты
объекта, длины волны света.
5
3.3. Законы излучения.
Интенсивность излучения. Понятие спектра. Излучение абсолютно черного тела. Формула
Планка. Приближения Релея–Джинса и Вина, области их применения. Распределение
энергии в спектрах различных астрономических объектов.
3.4. Спектры звезд.
Основы спектрального анализа. Линии поглощения в спектрах звезд, спектральная
классификация. Атмосферы Солнца и звезд. Фотосфера и хромосфера Солнца.
3.5. Спектры излучения разреженного газа.
Представление о спектрах солнечной короны, планетарных и диффузных туманностей,
полярных сияний.
3.6. Представление о внутреннем строении и источниках энергии Солнца и звезд.
Ядерные источники энергии звезд, запасы ядерной энергии. Выделение энергии при
термоядерных реакциях. Образование химических элементов в недрах звезд различных
типов, в сверхновых звездах (качественно).
3.7. Эволюция Солнца и звезд.
Стадия гравитационного сжатия при образовании звезды. Время жизни звезд различной
массы. Сверхновые звезды. Поздние стадии эволюции звезд: белые карлики, нейтронные
звезды, черные дыры. Гравитационный радиус. Пульсары.
3.8. Строение и типы галактик.
Наша
Галактика.
Ближайшие
галактики.
Расстояние
до
ближайших
галактик.
Наблюдательные особенности галактик. Состав галактик и их физические характеристики.
Вращение галактических дисков. Морфологические типы галактик. Активные ядра галактик,
радиогалактики, квазары.
3.9. Основы космологии.
Определение расстояний до галактик. Сверхновые I типа. Красное смещение в спектрах
галактик. Закон Хаббла. Скопления галактик. Представление о гравитационных линзах
(качественно). Крупномасштабная структура Вселенной. Реликтовое излучение и его спектр.
6
3.10. Приемники излучения и методы наблюдений.
Элементарные
сведения
о
современных
методах
фотометрии
и
спектроскопии.
Фотоумножители, ПЗС-матрицы. Использование светофильтров. Прием радиоволн. Угловое
разрешение радиотелескопов и радиоинтерферометров.
3.11. Дополнительные вопросы.
Дополнительные вопросы по математике: основы метода приближенных вычислений и
разложений в ряд. Приближенные формулы для cos x, (1+x)n, ln (1+x), ex в случае малых х.
Дополнительные вопросы по физике: Элементы специальной теории относительности.
Релятивистская формула для эффекта Доплера. Гравитационное красное смещение. Связь
массы и энергии. Основные свойства элементарных частиц (электрон, протон, нейтрон,
фотон). Квантовые и волновые свойства света. Энергия квантов, связь с частотой и длиной
волны. Давление света. Спектр атома водорода. Космические лучи. Понятие об
интерференции и дифракции.
1.2. Список литературы, рекомендуемой при подготовке к олимпиаде по астрономии.
1. Э.В. Кононович, В.И. Мороз. Курс общей астрономии. Москва, 2002.
2. П.Г. Куликовский. Справочник любителя астрономии. Москва, УРСС, 2002.
3. Энциклопедия для детей. Том 8. Астрономия. Москва, «Аванта+», 2004.
4. В.Г. Сурдин. Астрономические олимпиады. Задачи с решениями. Москва, МГУ, 1995.
5. В.В. Иванов, А.В. Кривов, П.А. Денисенков. Парадоксальная Вселенная. 175 задач по
астрономии. Санкт-Петербург, СПбГУ, 1997.
6. М.Г. Гаврилов. Звездный мир. Сборник задач по астрономии и космической физике.
Черноголовка–Москва, 1998.
7. В.Г. Сурдин. Астрономические задачи с решениями. Москва, УРСС, 2002.
8. Московские астрономические олимпиады. 1997–2002. Под редакцией О.С. Угольникова и
В.В. Чичмаря. Москва, МИОО, 2002.
9. Московские астрономические олимпиады. 2003–2005. Под редакцией О.С. Угольникова и
В.В. Чичмаря. Москва, МИОО, 2005.
10. Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Авт-сост. А.В. Засов, А.С.
Расторгуев, В.Г. Сурдин, М.Г. Гаврилов, О.С. Угольников, Б.Б. Эскин. Москва, АПК и
ППРО, 2005.
7
11. Всероссийская олимпиада школьников по астрономии в 2006 году. Сост. О.С.
Угольников. Москва, АПК и ППРО, 2006.
1.3. Справочная информация, разрешенная к использованию участниками на
Заключительном этапе Российской олимпиады по астрономии и подлежащая к выдаче
вместе с условиями задач.
Формулы приближенных вычислений.
sin x
tg x
x;
sin(
x)
sin
cos(
x)
cos
tg (
(1 x) n
x)
tg
x cos ;
x sin ;
x
cos 2
;
1 nx;
(x << 1, углы выражаются в радианах).
Основные физические и астрономические постоянные
Гравитационная постоянная G = 6.672∙10–11 м3∙кг–1∙с–2
Скорость света в вакууме c = 2.998∙108 м/с
Постоянная Больцмана k = 1.38∙10–23 Дж/K.
Универсальная газовая постоянная
Постоянная Стефана-Больцмана
= 8.31 м2∙кг∙с–2∙K–1∙моль–1
= 5.67∙10–8 кг∙с–3∙K–4
Масса протона mp = 1.67∙10–27 кг
Масса электрона me = 9.11∙10–31 кг
Астрономическая единица 1 а.е. = 1.496∙1011 м
Парсек 1 пк = 206265 а.е. = 3.086∙1016 м
Постоянная Хаббла H = 72 (км/c)/Мпк
Данные о Солнце
Радиус 695 000 км
Масса 1.989∙1030 кг
Светимость 3.88∙1026 Вт
8
Спектральный класс G2
Видимая звездная величина –26.78m
Абсолютная болометрическая звездная величина +4.72m
Показатель цвета (B–V) +0.67m
Температура поверхности около 6000K
Средний горизонтальный параллакс 8.794
Данные о Земле
Эксцентриситет орбиты 0.017
Тропический год 365.24219 суток
Средняя орбитальная скорость 29.8 км/с
Период вращения 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000 года: 23 26 21.45
Экваториальный радиус 6378.14 км
Полярный радиус 6356.77 км
Масса 5.974∙1024 кг
Средняя плотность 5.52 г∙см–3
Данные о Луне
Среднее расстояние от Земли 384400 км
Минимальное расстояние от Земли 356410 км
Максимальное расстояние от Земли 406700 км
Эксцентриситет орбиты 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике 5 09
Наклон экватора к эклиптике 1.5
Сидерический (звездный) период обращения 27.321662 суток
Синодический период обращения 29.530589 суток
Радиус 1738 км
Масса 7.348∙1022 кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность 3.34 г∙см–3
Визуальное геометрическое альбедо 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние –12.7m
9
ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОЛНЦА И ПЛАНЕТ
Планета
Масса
Радиус
Плот-
Период
ность
вращения
вокруг оси
Наклон
Гео-
Види-
экватора метр.
к
мая
аль-
звезд-
плоскости бедо
ная
орбиты
величина**
кг
массы
км
радиусы г∙см–3
Земли
Земли
градусы
m
Солнце
1.989∙1030
332946 695000
108.97
1.41
25.380 сут
7.25
–
–26.8
Меркурий
3.302∙1023 0.05271 2439.7
0.3825
5.42
58.646 сут
0.00
0.10
–0.1
Венера
4.869∙1024 0.81476 6051.8
0.9488
5.20
243.019 сут*
177.36
0.65
–4.4
Земля
5.974∙1024 1.00000 6378.1
1.0000
5.52
23.934 час
23.45
0.37
–
0.5326
3.93
24.623 час
25.19
0.15
–2.9
23
Марс
6.419∙10
Юпитер
1.899∙1027
317.94
71492
11.209
1.33
9.924 час
3.13
0.52
–2.9
Сатурн
5.685∙1026
95.181
60268
9.4494
0.69
10.656 час
25.33
0.47
–0.5
Уран
8.683∙1025
14.535
25559
4.0073
1.32
17.24 час*
97.86
0.51
5.7
Нептун
1.024∙1026
17.135
24746
3.8799
1.64
16.11 час
28.31
0.41
7.8
0.10745 3397.2
* – обратное вращение.
** – для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и наиболее близкого противостояния
внешних планет.
10
ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ ПЛАНЕТ
Планета
Большая полуось
Эксцент- Наклон к
риситет
Период
Синодический
плоскости обращения
период
эклиптики
млн.км
а.е.
градусы
сут
Меркурий
57.9
0.3871
0.2056
7.004
87.97 сут
115.9
Венера
108.2
0.7233
0.0068
3.394
224.70 сут
583.9
Земля
149.6
1.0000
0.0167
0.000
365.26 сут
–
Марс
227.9
1.5237
0.0934
1.850
686.98 сут
780.0
Юпитер
778.3
5.2028
0.0483
1.308
11.862 лет
398.9
Сатурн
1429.4
9.5388
0.0560
2.488
29.458 лет
378.1
Уран
2871.0
19.1914
0.0461
0.774
84.01 лет
369.7
Нептун
4504.3
30.0611
0.0097
1.774
164.79 лет
367.5
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ СПУТНИКОВ ПЛАНЕТ
Спутник
Масса
Радиус Плотность
Радиус
Период
орбиты обращения
Геомет-
Видимая
рич.
звездная
альбедо величина*
кг
км
г/см3
км
сут
m
Земля
Луна
7.348∙1022
1738
3.34
384400
27.32166
0.12
–12.7
Марс
Фобос
Деймос
1.08∙1016
15
1.8∙10
~10
2.0
9380
0.31910
0.06
11.3
~6
1.7
23460
1.26244
0.07
12.4
Юпитер
Ио
8.94∙1022
1815
3.55
421800
1.769138
0.61
5.0
Европа
4.8∙1022
1569
3.01
671100
3.551181
0.64
5.3
Ганимед
1.48∙1023
2631
1.94
1070400
7.154553
0.42
4.6
Каллисто 1.08∙1023
2400
1.86
1882800
16.68902
0.20
5.7
Сатурн
11
Тефия
7.55∙1020
530
1.21
294660
1.887802
0.9
10.2
Диона
21
1.05∙10
560
1.43
377400
2.736915
0.7
10.4
Рея
2.49∙1021
765
1.33
527040
4.517500
0.7
9.7
Титан
1.35∙1023
2575
1.88
1221850
15.94542
0.21
8.2
Япет
1.88∙1021
730
1.21
3560800
79.33018
0.2
~11.0
Уран
Миранда
19
235.8
1.15
129900
1.413479
0.27
16.3
578.9
1.56
190900
2.520379
0.34
14.2
Умбриэль 1.27∙1021
584.7
1.52
266000
4.144177
0.18
14.8
Титания
3.49∙1021
788.9
1.70
436300
8.705872
0.27
13.7
Оберон
3.03∙1021
761.4
1.64
583500
13.46324
0.24
13.9
Тритон
22
5.87685**
0.7
13.5
Ариэль
6.33∙10
21
1.7∙10
Нептун
2.14∙10
1350
2.07
354800
* – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет.
** – обратное направление вращения.
2. Общая характеристика содержания предложенных заданий.
Комплект заданий этапов Всероссийской олимпиады школьников по астрономии
составляется по процедуре, описанной в книге «Всероссийская олимпиада школьников по
астрономии в 2006 году» (составитель О.С. Угольников, 2006, см. пункт 1.3). В соответствии
с этой процедурой, каждому заданию-кандидату ставится в соответствии номер пункта
Списка вопросов (см. пункт 1.2), до которого должно быть доведено обучение школьника,
чтобы он мог решить это задание. Если основная часть решения связана с более ранним
пунктом Списка вопросов, заданию могут быть присвоены два номера.
Наряду с категорией задания (см. часть 3), номера пунктов Списка вопросов являются
основой для формирования комплекта заданий для каждой из возрастных параллелей
(классов). Основные принципы формирования комплекта следующие: задания не должны
выходить за рамки Списка вопросов для соответствующего класса; в параллелях 10 и 11
классов 30-50% заданий должны соответствовать вопросам текущего класса, остальные
задания связаны с вопросами, пройденными ранее, эти задания должны иметь повышенную
категорию сложности (см. часть 3). Все задания обоих туров олимпиады для каждой
возрастной параллели должны соответствовать разным вопросам, в отдельных случаях
допускается повторение одного-двух вопросов.
12
Задания
теоретического
и
практического
туров
Заключительного
этапа
Всероссийской олимпиады школьников по астрономии 2012 года соответствуют следующим
вопросам из Списка, приведенного в пункте 1.1 настоящих материалов:
Задание
9 класс
10 класс
11 класс
Теоретический тур
1
1.4
1.2
1.2, 1.3
2
1.5, 1.6
1.5
2.7, 2.10
3
1.2, 1.3
1.3, 1.4
2.5
4
1.5, 1.8
2.1, 2.10
3.3
5
1.6
1.6
1.6, 1.7
6
1.11
2.6
1.5, 2.9, 3.7
Практический тур
1
1.1, 1.2
1.2, 1.3
1.1, 1.2, 3.2
2
1.6, 1.7
1.1, 1.3
1.7, 3.10
3
1.7
2.5, 2.9
2.4, 2.6
Данное распределение в полной мере соответствует перечисленным выше требованиям.
3. Общая характеристика структуры заданий.
Помимо тематического наполнения и связи с тем или иным вопросом из методического
списка, задания Всероссийской олимпиады школьников различаются по сложности
структуры решения. В книге «Всероссийская олимпиада школьников по астрономии в 2006
году» олимпиадные задания теоретического тура классифицируются по четырем категориям.
К категории 1 относятся более или менее стандартные задания, нацеленные на проверку у
школьника определенного уровня знаний и умения применить эти знания в простой
ситуации. Категория 2 представляет задания, решения которых требуют умения
последовательного применения известных школьнику законов астрономии и физики с
использованием математического аппарата. Задания категории 3 существенно отличаются от
вышеперечисленных – их решения могут не содержать физических или математических
выкладок, основной акцент делается на качественный анализ, приближенные оценки. При
проверке подобных заданий жюри обращает первоочередное внимание не на ответ, а на
обоснованность логических рассуждений, полноту и связанность изложения решения,
13
степень учета всех влияющих на картину факторов. Наконец, категория 4 представляет
собой
наиболее
сложные
задания,
требующие
одновременно
глубоких
знаний,
многократного применения известных законов и логического мышления.
В соответствии с рекомендациями, изложенными в книге «Всероссийская олимпиада
школьников по астрономии в 2006 году», из 6 заданий теоретического тура Заключительного
этапа олимпиады по астрономии три задания должны относиться к категории 2, два задания
– к категории 3 и одно задание – к категории 4. Допускается изменение категории одного
задания в сторону уменьшения для младших возрастных групп и увеличения – для старшей
группы – школьников выпускного класса. Задания категории 1 на Заключительном этапе
Всероссийской олимпиады школьников нецелесообразны.
Данное
правило
также
учитывался
при
составлении
комплекта
заданий
теоретического тура Всероссийской олимпиады школьников по астрономии 2012 года.
Категории заданий этого тура следующие:
Задание
9 класс
10 класс
11 класс
1
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
3
4
2
2
2
5
3
4
4
6
3
3
2
Задания практического тура представляют из себя отдельную категорию. Эти задания
направлены на выявление у школьников умения анализировать большие объемы числового и
графического материала, производить измерения на бумаге и оценивать их точность. Кроме
этого, они выявляют общее знакомство со звездным небом, его основными объектами и их
свойствами, элементарными навыками проведения наблюдений и обработки результатов.
14
4. Методические рекомендации по проведению Заключительного этапа
олимпиады по астрономии. Процедура проведения Заключительного
этапа.
Заключительный этап Всероссийской олимпиады школьников по астрономии проводится в
течение 6 дней. Расписание проведения Заключительного этапа следующее:
1 день – заезд участников, церемония открытия олимпиады.
2 день – теоретический тур олимпиады.
3 день – экскурсии, спортивно-развлекательные мероприятия, научно-популярные лекции
для школьников.
4 день – практический тур олимпиады.
5 день – экскурсии, научно-популярные лекции, работа апелляционной комиссии.
6 день – церемония закрытия олимпиады, отъезд участников.
Олимпиада проводится в трех возрастных параллелях – 9, 10 и 11 классы. В параллели 9
класса допускается участие и более молодых школьников. Теоретический и практический
тур олимпиады проводятся на ее 2-й и 4-й день соответственно, их продолжительность
составляет 5 часов. Туры должны начинаться после завтрака и завершаться перед обедом.
Организацией Заключительного этапа занимается оргкомитет, назначаемый органом
управления образования субъекта РФ, в котором проводится Заключительный этап.
Проверку работ школьников производит жюри, состоящее из научных и педагогических
работников, специализирующихся в области астрономии. Жюри назначается Министерством
образования и науки Российской Федерации на основе консультаций с Методической
комиссией по астрономии Всероссийской олимпиады школьников.
Для проведения теоретического и практического туров олимпиады организационный
комитет обязан предоставить помещения (аудитории) в количестве не менее трех, по одной
на каждую возрастную категорию. При необходимости число аудиторий может быть
увеличено, при этом в каждой аудитории могут находиться школьники только одной
возрастной группы. В каждой аудитории в течение всего периода работы должен находиться
наблюдатель, назначаемый оргкомитетом олимпиады. Аудитории должны быть хорошо
проветриваемы и освещены, каждый участник должен выполнять работу за отдельным
столом (партой).
15
В начале каждого из туров олимпиады школьникам выдаются пустые тетради со
штампом оргкомитета. Всю работу по решению заданий, включая черновые выкладки,
школьники должны выполнять только в этих тетрадях, пользоваться какой-либо иной
бумагой для записей запрещается. Участники олимпиады пишут свои личные данные на
обложку тетради, оставляют пустой первую страницу тетради, начиная работу со второй
страницы. При нехватке места участник обращается к наблюдателю для выдачи ему
дополнительной тетради.
После заполнения обложек тетрадей участники получают листы с условиями заданий
и со справочной информацией, разрешенной к использованию на олимпиаде (пункт 1.4). С
этого момента ведется отсчет 5 часов для их решения. Школьники могут задавать вопросы
по условиям заданий наблюдателям или представителям жюри, делающим обход аудиторий.
Во время туров олимпиады участник имеет право:
1. Пользоваться любыми имеющимися канцелярскими средствами.
2. Пользоваться собственным непрограммируемым калькулятором, либо проводить
расчеты с помощью калькулятора, предоставляемого оргкомитетом.
3. Принимать продукты питания.
4. С разрешения наблюдателя временно покинуть аудиторию, оставив на столе
наблюдателя свою тетрадь.
Во время туров олимпиады участнику запрещается:
1. Пользоваться мобильным телефоном (в любой его функции) в аудитории и выходить
с ним из аудитории.
2. Пользоваться программируемыми калькуляторами и переносными компьютерами.
3. Пользоваться какими-либо источниками информации, за исключением листов со
справочной информацией, раздаваемых перед туром (см. пункт 1.3).
4. Производить записи на собственную бумагу, не выданную оргкомитетом.
5. Запрещается одновременный выход из аудитории двух и более участников.
Возникающие во время тура спорные ситуации решает наблюдатель в аудитории, который
может в случае надобности пригласить представителя оргкомитета или Предметной
комиссии. На время выполнения заданий тура каждому участнику должны быть
предоставлены:
1. Ручка.
2. Карандаш.
3. Линейка.
4. Резинка для стирания.
16
5. Тетрадь со штампом оргкомитета для выполнения работ (по требованию участника
ему должна быть выдана вторая тетрадь).
6. Продукты питания (сок, печенья).
Кроме этого, в рабочие аудитории должны быть выделены калькуляторы в количестве 3-4
шт. на аудиторию.
По окончании тура представители Оргкомитета производят шифровку работ
участников. На обложку и первую страницу работы ставится идентичный шифр, после чего
обложка с указанием фамилии участника отделяется от тетради. При наличии второй
тетради с работой участника она вкладывается в первую, и на нее проставляется тот же
шифр.
Шифрованные работы передаются в комнату жюри. Решение каждой из задач тура
независимо проверяется двумя членами жюри, выставляющими оценки в таблицу,
помещаемую на первой (чистой) стороне тетради. По окончании работы жюри эта таблица
должна содержать 12 оценок для теоретического тура и 6 оценок для практического тура.
Жюри не проводит усреднение и суммирование оценок.
Проверенные работы передаются в оргкомитет для оформления протокола. После
дешифровки работ (соединений тетрадей с обложками в соответствии с шифром) оргкомитет
заносит в протокол итоговую оценку участника за каждую из задач. Эта оценка получается
суммированием (не усреднением!) двух оценок за данную задачу, выставленных двумя
членами жюри. Общая оценка за тур (сумма оценок за каждую из задач) также выставляется
в протокол. Во избежание ошибок рекомендуется, чтобы вычисление общей оценки
проводилось в протоколе автоматически (например, используя средства Microsoft Excel).
После окончания каждого из туров олимпиады (желательно, вечером того же дня)
проводится разбор всех заданий в присутствии участников и руководителей команд. Разбор
каждого задания рекомендуется проводить его автору или члену жюри, проверявшему
решения данного задания. При разборе заданий необходимо описать общие критерии
оценивания решения каждого задания.
5. Блоки содержания и основные умения, подлежащие проверке.
Содержание и структура заданий, предлагаемых на теоретическом и практическом турах
Заключительного этапа Всероссийской олимпиады школьников по астрономии 2012 года,
подробно описаны в частях 2 и 3 настоящих методических материалов. Основным
принципом формирования комплекта заданий является максимально возможный охват тем
по астрономии и широкий набор знаний, навыков и умений, подлежащих проверке. Помимо
17
непосредственных знаний по астрономии (см. часть 1 и 2 настоящих материалов), можно
выделить следующие составляющие:
1. Подготовка по планиметрии, умение ориентироваться на плоскости или проекции
небесной сферы (обозначение «П»).
2. Подготовка по стереометрии, пространственное мышление, умение изобразить картину
задачи в нужной проекции (обозначение «С», для 10-11 классов).
3. Подготовка по физике, умение найти и описать физическую основу картины,
приводимой в задании (обозначение «Ф»).
4. Подготовка по алгебре, правильность и обоснованность математических вычислений
(обозначение «М»).
5. Владение методом оценок и приближенных вычислений (обозначение «О»).
6. Аналитические способности, информационный анализ условия задания (обозначение
«А»).
7. Умение провести точные и качественные измерения на бумаге (обозначение «И»).
Эти компоненты представлены в предлагаемых заданиях следующим образом:
Задание
9 класс
10 класс
11 класс
Теоретический тур
1
М
ПМ
СМ
2
ФМ
ФМ
ФО
3
ПМ
А
ФМ
4
ПФ
ФПМ
ФМ
5
ПМ
ФПМ
СФМОА
6
А
ФМ
ФПМ
Практический тур
1
ПИ
СФ
ПМИ
2
ПМИ
СИ
ПФМАОИ
3
ПМОИ
ФМАИ
СМАОИ
18
6. Комплекты заданий.
6.1. Задания теоретического тура
9 класс.
№ 1. Полночный закат. В некотором пункте с долготой +30° Солнце зашло 22 июня в
полночь по московскому времени. Какова долгота светового дня в этом пункте в этот день?
Уравнением времени пренебречь.
№ 2. Быстрый облет. Вокруг какого из известных Вам больших тел Солнечной системы
(размером более 1000 км) можно быстрее всего сделать один полный оборот без
включенных двигателей? Осевое вращение больших тел не учитывать.
№ 3. Кратер Кабеус. Объект исследования и место падения космического аппарата LCROSS
– лунный кратер Кабеус диаметром 98 км имеет селенографические координаты 85 ю.ш.,
35 з.д. Его глубина составляет 4 км. Может ли Солнце хотя бы иногда частично освещать
центр этого кратера?
№ 4. Взор вдоль линии апсид. На спутнике Земли установлены два одинаковых телескопа,
направленные в противоположные стороны вдоль линии апсид орбиты спутника. Диск
Земли проходит через центр поля зрения одного телескопа в 3 раза быстрее, чем через центр
поля зрения другого телескопа. Размеры орбиты спутника значительно больше размеров
Земли, спутник не вращается вокруг собственной оси. Найдите эксцентриситет орбиты
спутника.
№ 5. Прохождение Венеры – XVII век. В декабре 1639 года английский астроном Джереми
Хоррокс впервые в истории наблюдал прохождение Венеры по диску Солнца. Ему были
известны размеры Земли и величина радиуса орбиты Венеры в астрономических единицах
(0.723 а.е.). Сделав предположение, что горизонтальный параллакс Солнца при наблюдении
с Венеры и Земли одинаков, он определил значение самой астрономической единицы –
расстояния от Земли до Солнца, тогда еще неизвестное. Какое значение он мог получить в
результате при условии точности проведенных наблюдений и расчетов?
19
№6. Очерки о Вселенной. Вам предложены некоторые высказывания из книги
Б. А. Воронцова-Вельяминова «Очерки о Вселенной», изданной в 1959 году. Укажите, какие
данные устарели и не соответствуют современной картине мира. Объясните, почему в то
время общепринятой была именно такая точка зрения. Как это должно быть описано с
современной научной точки зрения?
1. Планета
Меркурий, как кролик, зачарованный змеиным взглядом, не может повернуться
по отношению к Солнцу и обращена к нему всегда одной и той же стороной. Так
Меркурий (в прошлом – символ греческого бога торговли и путешествий) и обращается
вокруг Солнца, как бы не смея отвести от него своего лица.
2. У
нашей прекрасной соседки Венеры существование атмосферы, почти такой же
плотной, как у Земли, было впервые установлено из наблюдений гениальным русским
ученым М. В. Ломоносовым в 1761г.
3. Большое
пятно красноватого цвета, наблюдающееся по крайней мере 80 лет неизменно в
одном и том же месте на Юпитере, когда-то считалось озером раскаленной лавы на его
твердой поверхности. Предполагалось, что идущие от него воздушные течения
разгоняют над ним облака и делают его видимым. Теперь можно думать, что оно
состоит из какого-то крайне легкого вещества, но твердого, а не жидкого, и
поддерживаемого достаточно плотной атмосферой Юпитера на большой высоте над
его поверхностью. Его размер 10×45 тысяч км. На его твердость указывает то, что оно
как нечто целое перемещается на планете по долготе.
4. Если
случайно в той области, где образовалась планета, метеориты с орбитами мало
вытянутыми и мало наклоненными к средней плоскости солнечной системы, не были в
достаточной мере преобладающими, могло возникнуть вращение планеты в обратном
направлении, что и объясняет единственный известный случай такого рода – вращение
Урана.
5. Одиночество
среди звезд не столь распространено, как думали после первых открытий
двойных звезд. Далеко не все звезды живут бобылями, как наше Солнце (если, конечно, не
иметь в виду планеты).
6. Самыми
рядовыми жильцами в нашей кубатуре (окрестности Солнца) являются красные
карлики, более холодные и маленькие, чем Солнце, с гораздо более низкой светимостью.
7. Вероятнее
всего, подавляющее большинство комет родилось внутри Солнечной системы
неизвестно когда и до сих пор продолжают оставаться ее членами, но большинство из
них имеет периоды обращения тысячи лет и более.
20
8. В
телескоп мы видим даже их диски [планет], и, например, Юпитер при увеличении всего
около 50 раз виден таким, какой Луна кажется невооруженному глазу.
9. Юпитер
10.
и Сатурн также вращаются зонами подобно Солнцу и быстрее на экваторе.
Столкновение [Земли] с головой или хвостом кометы может происходить. Но не
можем ли мы отравиться ядовитыми газами – цианом или окисью углерода? Зная
ничтожно малую, почти неосуществимую искусственно в лаборатории плотность
комет, мы убеждены, что примесь кометных газов к нашему воздуху будет неощутима.
11.
Открытие кратеров метеоритного происхождения на Земле во многих умах возродило
идею о том, что лунные кольцевые горы – эти оспины на лике Луны – образованы
падением метеоритов. Наличие метеоритных кратеров на Земле и сходство их профиля с
профилем лунных кратеров придают этой версии добавочную правдоподобность, но, хотя
поклонников такого взгляда и сейчас немало, мы не можем к ним присоединиться.
12.
Блеск кометы (исправленный с учетом влияния расстояния от Земли) в зависимости от
ее расстояния до Солнца меняется по-разному, но обычно гораздо быстрее, чем обратно
пропорционально квадрату расстояния…
10 класс.
№ 1. Сквозь купол. Астроном наблюдает на обсерватории в городе Орел из центра купола с
маленьким телескопом (диаметр объектива много меньше размеров щели купола). Оцените,
какое максимальное время он может наблюдать околоэкваториальные объекты, не вращая
купол? В какой стороне горизонта это достижимо? Диаметр купола 10 м, ширина щели
купола 1 м, широта Орла равна +53°.
№ 2. Звездный квадрат. Звездная система состоит из 4 звезд одинаковой массы M,
расположенных в вершинах квадрата со стороной a и движущихся по общей окружности
относительно общего центра масс. Найдите скорости звезд относительно центра масс и
период обращения этой системы.
№ 3. Растущий день. В некотором пункте Земли долгота светового дня увеличилась на 7
минут 52 секунды по сравнению с предыдущими сутками. Найти широту этого пункта.
Рефракцией, уравнением времени и угловыми размерами Солнца пренебречь.
21
№ 4. Фара дальнего света. Фара дальнего света представляет собой матовую лампу
мощностью 40 Вт и диаметром 2 см, установленную в фокусе отражателя диаметром 20 см.
С какого максимального расстояния свет одной фары можно увидеть невооруженным
глазом? Аберрации оптики, рассеяние света в воздухе и помехи для распространения света
(в том числе горизонт) не учитывать. Считать, что спектральный состав света лампы
аналогичен солнечному.
№ 5. Прохождение Венеры – XVIII век. Шел XVIII век. Две экспедиции направились к
противоположным точкам экватора, чтобы зафиксировать момент вступления Венеры на
диск Солнца на его восходе и заходе соответственно и определить из этого величину
астрономической единицы. Радиус орбиты Венеры в астрономических единицах (0.723 а.е.)
был к тому времени хорошо известен. И если хронометр, взятый с собой первой
экспедицией, работал точно, то у второй экспедиции (наблюдавшей вход Венеры на заходе
Солнца) он спешил на одну минуту. Какое значение астрономической единицы будет
получено в результате работы экспедиций? Наклон орбиты Венеры и экватора Земли к
эклиптике не учитывать, орбиты обеих планет считать круговыми.
№ 6. Шаровое скопление. Шаровое звездное скопление имеет угловой диаметр 30 и блеск
6m. Измерение лучевых скоростей звезд скопления показали, что они варьируют в пределах
10 км/c относительно лучевой скорости центра скопления. Оцените расстояние до
скопления, считая, что оно состоит только из звезд, подобных Солнцу. Межзвездным
поглощением пренебречь.
11 класс.
№ 1. Верхняя кульминация Веги. На каких широтах на Земле можно (хотя бы раз в год)
увидеть звезду Вега в верхней кульминации на темном небе, при погружении центра Солнца
под горизонт более 6 градусов? Координаты Веги считать равными
= 18ч,
= +39°,
рефракцией пренебречь.
№ 2. Телескоп и Солнце. Телескоп с объективом диаметром 20 см навели на Солнце.
Безопасно ли в него смотреть, если в фокальную плоскость телескопа ввели диафрагму,
которая закрывает все Солнце, кроме одного солнечного пятна поперечником 20000 км?
Диаметр выходного зрачка окуляра равен диаметру зрачка наблюдателя, который решился
22
посмотреть в этот телескоп. Сравните освещенность, создаваемую солнечным пятном через
этот телескоп, с освещенностью от других небесных объектов.
№ 3. Минимумы затменной переменной. Главный минимум затменной переменной
двойной звезды имеет глубину 1m. Какой может быть величина вторичного минимума этой
звезды? Звезды считать сферическими, эффектами отражения света от поверхности звезд и
потемнением их дисков к краю пренебречь.
№ 4. Алюминиевый парус. Идеально отражающий плоский алюминиевый солнечный парус
обращается вокруг Солнца по круговой орбите с радиусом 1 а.е. и периодом 1.5 года. Парус
всегда расположен перпендикулярно направлению на Солнце. Найдите толщину паруса.
Плотность алюминия составляет 2.7 г/см3. Взаимодействие паруса и планет не учитывать.
№ 5. Прохождение Венеры – сквозь века. 4 июня 1769 года в Санкт-Петербурге на
специально построенной обсерватории российская императрица Екатерина II сначала
наблюдала прохождение Венеры по диску Солнца, а затем (в тот же день!) частное
солнечное затмение. Оцените, через сколько лет на нашей планете вновь можно будет
наблюдать прохождение Венеры по диску Солнца и солнечное затмение с интервалом менее
одних суток.
№ 6. Аккреция на нейтронную звезду. Нейтронная звезда движется со скоростью 100 км/с
через облако молекулярного водорода с температурой 10 K и плотностью 103 см–3. Оцените
скорость, с которой нейтронная звезда будет набирать массу вследствие аккреции.
Столкновения между частицами облака не учитывать.
6.2. Задания практического тура
9 класс.
№ 1. Горы и звезды. Выданный вам снимок (автор – А.Б. Горшков) получен где-то в
северном полушарии. Оцените широту места наблюдения, азимут середины кадра. При
решении Вы можете воспользоваться прилагаемой звездной картой той же области неба.
23
№ 2. Встреча Луны и Юпитера. Перед Вами две фотографии Луны и Юпитера, сделанные
в одном масштабе из одного и того же пункта с интервалом в одни сутки. На первом фото
24
Юпитер располагается точно под Луной, на втором – справа от нее. Могло ли где-нибудь на
Земле в эти дни наблюдаться покрытие Юпитера Луной?
№ 3. Микрозатмение. 25 ноября 2011 года Питер Сейерс (Австралия) получил фотографию
солнечного затмения с малой фазой на острове Тасмания. Используя наиболее точный, по
Вашему мнению, метод, определите по этой фотографии величину фазы частного затмения
Солнца.
25
10 класс.
№ 1. Лик Луны и лик Венеры. Вам предложены четыре фотографии Луны и Венеры в
фазе, большей 0.5, ориентированные горизонтально (направление на зенит соответствует
стрелке вверх). Какие из этих четырех конфигураций могут иметь место на темном небе
(Солнце под горизонтом), а какие – нет?
№ 2. Полярные звезды. Перед Вами звездная карта околополярной области неба со
звездами до 4m. Определите, какие из этих звезд и в какое время в пределах ближайших 10
тысяч лет в прошлом и будущем можно назвать «Полярными»? «Полярной» считается
звезда, ближайшая из всех звезд карты к текущему положению Северного полюса мира.
Считать величину прецессии и наклона экватора к эклиптике постоянными. Собственными
движениями звезд пренебречь.
26
0 1 2 3 4
4h
Возничий
Рысь
Б.Медведица
Жираф
Цефей
Кассиопея
2h
0h
М.Медведица
+80d
Цефей
22h
+70d
Волопас
Дракон
+60d
Лебедь
Геркулес
+50d
Лира
+40d
20h
+30d
18h
№ 3. Пылевой диск. Затменная переменная звезда
Возничего состоит из звезды 3m и
невидимого компонента, окруженного тонким пылевым диском цилиндрической формы
(высота цилиндра существенно меньше его радиуса). Звезда удалена от Солнца на 600 пк. C
27
17 августа 2009 года до 13 мая 2011 года продолжалось затмение оптической звезды диском.
На фотографиях показаны изображения звезды в 2008 году (до затмения), 3 ноября и 3
декабря 2009 года. Изображения получены на основе интерферометрических наблюдений на
оптической сети телескопов CHARA (США). На картину наложены положения краев
пылевого диска. Угловые единицы по координатным осям – миллисекунды дуги (10–3 ).
Исходя из этой картины, оцените минимальную массу пылевого диска. Считать, что диск
состоит из черных пылинок радиусом 1 мкм и плотностью 1 г/см3, пылинки задерживают
свет по законам геометрической оптики.
11 класс.
№ 1. Горы и звезды. Выданный вам снимок (автор – А.Б. Горшков) получен где-то в
северном полушарии. Оцените широту места наблюдения, азимут середины кадра,
поглощение у горизонта. При решении Вы можете воспользоваться прилагаемой звездной
картой той же области неба.
28
№ 2. Темная Луна. Вам предложены фотография и «фотометрический срез» диска Луны по
диаметру (вдоль линии, показанной на фотографии), одновременно полученные С.А.
29
Коротким в САО РАН незадолго до начала полной фазы лунного затмения 15 июня 2011
года. Для удобства срез представлен в двух масштабах по относительной яркости. Считая,
что яркость диска Луны в полутени линейно возрастает от внутренней до внешней границы,
оцените звездную величину Луны в тот момент, когда она полностью войдет в тень Земли.
30
№ 3. Летящие Гиады. Перед Вами карта части созвездия Тельца со звездным скоплением
Гиады. Наиболее яркие звезды подписаны номерами по каталогу Флемстида. В таблице для
некоторых звезд приведены координаты, величины собственных движений и лучевых
скоростей. Обозначьте звезды, не принадлежащие скоплению, а также определите
расстояние до Гиад.
Номер по
Флемстиду
48
54
57
58
60
61
63
64
68
70
71
73
75
76
77
78
80
81
83
85
86
87
89
91
92
(2000.0)
ч
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
04
м
15
19
19
20
22
22
23
24
25
25
26
26
28
28
28
28
30
30
30
31
33
35
38
39
39
с
46.3
47.6
57.7
36.3
03.5
56.1
25.0
05.8
29.4
37.3
20.8
36.4
26.4
23.4
34.5
39.7
08.6
38.9
37.3
51.8
50.9
55.2
09.4
09.2
16.5
(2000.0)
°
+15
+15
+14
+15
+14
+17
+16
+17
+17
+15
+15
+14
+16
+14
+15
+15
+15
+15
+13
+15
+14
+16
+16
+15
+15
'
24
37
02
05
04
32
46
26
55
56
37
42
21
44
57
52
38
41
43
51
50
30
02
47
55
31
"
02
39
07
43
38
33
38
38
41
27
06
49
35
27
44
15
17
31
28
06
40
33
00
59
05
vR
cos
"/год
+0.116
+0.115
+0.116
+0.108
+0.113
+0.107
+0.104
+0.110
+0.108
+0.107
+0.112
–0.002
+0.006
+0.108
+0.103
+0.103
+0.102
+0.103
+0.106
+0.101
+0.103
+0.063
+0.093
+0.039
+0.083
"/год
–0.029
–0.025
–0.021
–0.024
–0.026
–0.030
–0.028
–0.038
–0.028
–0.028
–0.023
–0.033
+0.028
–0.024
–0.027
–0.025
–0.024
–0.023
–0.023
–0.027
–0.027
–0.190
–0.023
–0.072
–0.018
км/c
+36
+39
+42
+36
+41
+39
+35
+39
+35
+38
+38
+32
+18
+44
+40
+40
+30
+39
+39
+36
+40
+54
+38
+19
+36
N
4h 48m
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
92
91
4h 40m
89
87
86
85
4h 32m
8180
83
75
77
78
76
71
73
68
70
64
61
63
4h 24m
60
58
54
57
48
4h 16m
+18d
+17d
+16d
+15d
+14d
4h 08m
32
7. Решения, система оценивания отдельных заданий и работы в целом.
7.1. Система оценивания заданий – общая часть.
При оценивании решений участников члены жюри могут воспользоваться брошюрой с
условиями и решениями задач, подготовленной Предметной методической комиссией. По
окончании обоих туров олимпиады и разбора задач эта же брошюра выдается всем
участникам олимпиады и руководителям команд.
Каждый член жюри проверяет все решения какого-либо из заданий внутри
возрастной
(8
баллов
группы
за
и
выставляет
полностью
решенную
оценку
задачу)
по
на
8-балльной
теоретическом
туре
системе
и
по
10-балльной системе на практическом туре. При частичном решении задачи оценка зависит
от степени выполнения решения и выставляется на основе приводимых ниже рекомендаций.
В отдельных случаях, при полном решении задачи и высказывании разумных оригинальных
идей, раскрывающих суть картины и демонстрирующих глубокие знания участника в
данном вопросе, оценка может быть увеличена до 9-10 баллов на теоретическом туре и 11-12
баллов на практическом туре.
При проверке решений членам жюри следует обращать первостепенное внимание на
правильное понимание физической или геометрической картины, описанной в условии,
верный выбор факторов, необходимых для учета в решении. В задачах, требующих
геометрического построения, следует обращать особенное внимание на его правильность.
Решение задачи, не содержащее этого элемента, даже при разумных выкладках и ответе,
близком к правильному, не может быть оценено выше, чем в 30-40% от максимального
балла.
С другой стороны, арифметические ошибки, допущенные при вычислениях, не
должны служить основанием для снижения оценки более чем на 1-2 балла, если они не
приводят к заведомо неправдоподобному ответу. В противном случае оценка снижается
сильнее, вплоть до 0 в случае очевидной абсурдности ответа (к примеру, скорость больше
скорости света или масса звезды в 10–15 масс Солнца), не замеченной участником.
Следует
обращать
внимание
на
грамотное
и
правильное
использование
астрономических терминов и понятий, логическую связанность и обоснование всех
утверждений, делаемых в процессе решения задания.
33
7.2. Решения задач теоретического тура и рекомендации для жюри.
9 класс.
№ 1. Полночный закат.
Условие. В некотором пункте с долготой +30° Солнце зашло 22 июня в полночь по
московскому времени. Какова долгота светового дня в этом пункте в этот день? Уравнением
времени пренебречь.
Решение. Московское время TM, выраженное в часах, связано со Всемирным временем UT
простым соотношением:
TM = UT + 4.
Среднее солнечное (местное) время на долготе
составляет:
TS = UT + .
Из данных формул получим местное время захода Солнца в данном пункте:
TS = TM +
или 22 часа. Верхняя кульминация Солнца происходит в 12 часов по местному времени
(уравнением времени мы пренебрегаем), за 10 часов до захода. Следовательно, долгота
светового дня составляет 20 часов.
Рекомендации для жюри. Основная часть задачи состоит в переводе московского времени
в среднее солнечное для данной долготы. Участники могут переводить как время захода, так
и время верхней кульминации Солнца. Они вправе использовать последнюю формулу как
известную, без вывода. Данная часть решения оценивается в 5 баллов. Вычисление
окончательного результата оценивается в 3 балла.
№ 2. Быстрый облет.
34
Условие. Вокруг какого из известных Вам больших тел Солнечной системы (размером
более 1000 км) можно быстрее всего сделать один полный оборот без включенных
двигателей? Осевое вращение больших тел не учитывать.
Решение. Из обобщенного III закона Кеплера получаем выражение для орбитального
периода:
4 2a3
.
GM
T
Здесь M – масса объекта, вокруг которого обращается спутник, a – большая полуось его
орбиты. Если сферическое центральное тело (Солнце, планета, спутник планеты или
астероид) лишен атмосферы, то минимальный период будет достигнут, если орбита
круговая, а величина a близка к радиусу тела:
T
Здесь
4 2 R3
GM
3
.
G
– средняя плотность центрального тела. Отсюда мы сразу видим, что быстрее всего
оборот можно сделать вокруг наиболее плотного тела. Однако, если это тело обладает
атмосферой, то движение вблизи поверхности без включения двигателей невозможно –
атмосфера затормозит движение, и аппарат сгорит в ней или упадет на поверхность.
Минимальный радиус орбиты составит R+h, где h – характерная высота плотных слоев
атмосферы. Тогда минимальный период будет равен
T
4
2
( R h )3
GM
3
G
( R h )3
.
R3
Из справочных таблиц мы можем видеть, что два самых плотных больших тела Солнечной
системы – это планеты Земля и Меркурий, за ними следует планета Венера. Плотность
других тел, особенно на окраинах Солнечной системы, существенно ниже. Если бы у Земли
не было атмосферы, то минимальный период ее облета был бы самым маленьким. Но
атмосфера у Земли есть. Найдем высоту hE, на которой период оборота вокруг Земли
сравнится с периодом оборота вокруг Меркурия, у которого атмосферы нет:
35
1/ 3
R E hE
RE
E
.
M
Здесь индекс “E” относится к Земле, “М” – к Меркурию. В результате мы получаем значение
hE, равное 40 км. Очевидно, что орбитальные полеты на такой высоте над Землей
невозможны. Итак, быстрее всего по орбите можно облететь Меркурий.
Рекомендации для жюри. Основа решения задачи состоит в выводе связи между
минимальным периодом обращения и плотностью центрального тела (формально участники
могут и не устанавливать эту связь, но в этом случае им придется производить вычисления
для всех больших тел Солнечной системы). Данный этап решения оценивается в 5 баллов.
Учет ограничений, вносимых атмосферами тел, оценивается в 2 балла. Формулировка
окончательного ответа оценивается в 1 балл.
№ 3. Кратер Кабеус.
Условие. Объект исследования и место падения космического аппарата LCROSS – лунный
кратер Кабеус диаметром 98 км имеет селенографические координаты 85 ю.ш., 35 з.д. Его
глубина составляет 4 км. Может ли Солнце хотя бы иногда частично освещать центр этого
кратера?
Решение. Определим, на какой высоте над математическим горизонтом виден гребень стен
кратера из его центра:
h
arcsin
2H
D
4. 7  .
Если Солнце располагается на небесном экваторе Луны, то его центр будет проходить точку
верхней кульминации на высоте около 5 , и Солнце в течение короткого времени все же
будет слабо освещать центр кратера. В реальности, благодаря небольшому наклону
плоскости экватора Луны к плоскости эклиптики (около 1.5 ) Солнце в «летний период»
изредка поднимается почти на 2 над гребнем, но по этой же причине «зимой» (в течение
36
половины земного года) вообще не освещает центр кратера. Именно поэтому данная область
Луны была выбрана для поиска водяного льда вблизи поверхности Луны.
Рекомендации для жюри. Для решения задачи участники олимпиады должны определить
наибольшую высоту Солнца над горизонтом в центре кратера. Этот этап оценивается в 4
балла, из которых выставляется 3 балла, если участник ограничивается случаями
равноденствий, когда Солнце располагается на небесном экваторе Луны. Вычисление
высоты стенок кратера при наблюдении из центра оценивается еще в 3 балла, формулировка
окончательного ответа – в 1 балл.
№ 4. Взор вдоль линии апсид.
Условие. На спутнике Земли установлены два одинаковых телескопа, направленные в
противоположные стороны вдоль линии апсид орбиты спутника. Диск Земли проходит через
центр поля зрения одного телескопа в 3 раза быстрее, чем через центр поля зрения другого
телескопа. Размеры орбиты спутника значительно больше размеров Земли, спутник не
вращается вокруг собственной оси. Найдите эксцентриситет орбиты спутника.
Решение. Изобразим Землю и орбиту спутника. Начертим линию апсид этой орбиты.
Спутник не вращается вокруг собственной оси, и телескопы всегда направлены параллельно
этой линии. В один из них Земля будет видна в перигее, в другой – в апогее орбиты. Земля
будет занимать центр поля зрения одного из телескопов до момента, пока ось телескопов не
станет касательной к Земле. Эти положения также показаны на рисунке.
L1
L2
D
Земля
37
По условию задачи, размеры орбиты существенно больше диаметра Земли. Поэтому участки
орбиты, с которых Земля будет видна в центре поля зрения телескопов, можно считать
отрезками прямой линии. Соединим концы этих отрезков с центром Земли и рассчитаем
соотношение площадей полученных двух треугольников:
S1
S2
DL1 / 2
DL 2 / 2
L1
.
L2
Здесь L1 и L2 – расстояния спутника от центра Земли в перигее и апогее соответственно, D –
диаметр Земли. По второму закону Кеплера, соотношение времен, за которое спутник
проходит указанные отрезки, T1/T2, будет таким же и составит 1/3. Отсюда мы получаем L2 =
3L1. Эксцентриситет орбиты спутника равен
e
L2
L2
L1
L1
0.5.
Рекомендации для жюри. Для решения задачи участники олимпиады должны применить II
закон Кеплера или соотношение между линейными и угловыми скоростями спутника в
перигее и апогее. Данный этап решения оценивается в 3 балла. Вычисление соотношений
расстояний в перигее и апогее оценивается еще в 3 балла, окончательное вычисление
эксцентриситета – в 2 балла.
№ 5. Прохождение Венеры – XVII век.
Условие. В декабре 1639 года английский астроном Джереми Хоррокс впервые в истории
наблюдал прохождение Венеры по диску Солнца. Ему были известны размеры Земли и
величина радиуса орбиты Венеры в астрономических единицах (0.723 а.е.). Сделав
предположение, что горизонтальный параллакс Солнца при наблюдении с Венеры и Земли
одинаков, он определил значение самой астрономической единицы – расстояния от Земли до
Солнца, тогда еще неизвестное. Какое значение он мог получить в результате при условии
точности проведенных наблюдений и расчетов?
Решение. Во время наблюдений прохождения Венеры по диску Солнца Джереми Хоррокс
мог измерить видимый диаметр Венеры d, сравнив его с видимыми размерами Солнца.
Выражая его в радианной мере, получаем
38
d
D
,
L0 ( 1 q )
где D – пространственный диаметр Венеры, L0 – значение астрономической единицы, q –
радиус орбиты Венеры в астрономических единицах (или отношение радиусов орбит
Венеры и Земли). Величина горизонтального параллакса Солнца
есть отношение радиуса
планеты к расстоянию от нее до Солнца. Равенство параллаксов Солнца на Земле и Венере
можно записать как
D
2 L0 q
D0
.
2 L0
Здесь D и D0 – диаметры Венеры и Земли. Из последней формулы мы получаем D = D0q. В
итоге, астрономическая единица равна
L0
D0 q
.
d(1 q )
Учитывая, что видимый диаметр Венеры во время прохождения по диску Солнца составляет
60 или 0.00029 радиан, получаем значение L0: 115 млн км. Как видим, несмотря на
ошибочность предположения, полученное значение астрономической единицы отличается
от истинного всего на 25%. В реальности, Хоррокс во время наблюдений переоценил
видимые размеры Венеры, что привело к еще меньшему значению астрономической
единицы: 95 млн км.
Рекомендации для жюри. Наблюдательной основой метода Хоррокса измерения
астрономической единицы является измерения видимого поперечника Венеры при ее
прохождении по диску Солнца. Данный вывод оценивается в 2 балла. Вычисление
соотношения диаметров Венеры и Земли, исходя из равенства параллаксов Солнца,
оценивается еще в 3 балла. Вычисление значения астрономической единицы также
оценивается в 3 балла.
№ 6. Очерки о Вселенной.
39
Условие. Вам предложены некоторые высказывания из книги Б. А. Воронцова-Вельяминова
«Очерки о Вселенной», изданной в 1959 году. Укажите, какие данные устарели и не
соответствуют современной картине мира. Объясните, почему в то время общепринятой
была именно такая точка зрения. Как это должно быть описано с современной научной
точки зрения?
1. Планета
Меркурий, как кролик, зачарованный змеиным взглядом, не может повернуться
по отношению к Солнцу и обращена к нему всегда одной и той же стороной. Так
Меркурий (в прошлом – символ греческого бога торговли и путешествий) и обращается
вокруг Солнца, как бы не смея отвести от него своего лица.
2. У
нашей прекрасной соседки Венеры существование атмосферы, почти такой же
плотной, как у Земли, было впервые установлено из наблюдений гениальным русским
ученым М. В. Ломоносовым в 1761г.
3. Большое
пятно красноватого цвета, наблюдающееся по крайней мере 80 лет неизменно в
одном и том же месте на Юпитере, когда-то считалось озером раскаленной лавы на его
твердой поверхности. Предполагалось, что идущие от него воздушные течения
разгоняют над ним облака и делают его видимым. Теперь можно думать, что оно
состоит из какого-то крайне легкого вещества, но твердого, а не жидкого, и
поддерживаемого достаточно плотной атмосферой Юпитера на большой высоте над
его поверхностью. Его размер 10×45 тысяч км. На его твердость указывает то, что оно
как нечто целое перемещается на планете по долготе.
4. Если
случайно в той области, где образовалась планета, метеориты с орбитами мало
вытянутыми и мало наклоненными к средней плоскости солнечной системы, не были в
достаточной мере преобладающими, могло возникнуть вращение планеты в обратном
направлении, что и объясняет единственный известный случай такого рода – вращение
Урана.
5. Одиночество
среди звезд не столь распространено, как думали после первых открытий
двойных звезд. Далеко не все звезды живут бобылями, как наше Солнце (если, конечно, не
иметь в виду планеты).
6. Самыми
рядовыми жильцами в нашей кубатуре (окрестности Солнца) являются красные
карлики, более холодные и маленькие, чем Солнце, с гораздо более низкой светимостью.
7. Вероятнее
всего, подавляющее большинство комет родилось внутри Солнечной системы
неизвестно когда и до сих пор продолжают оставаться ее членами, но большинство из
них имеет периоды обращения тысячи лет и более.
8. В
телескоп мы видим даже их диски [планет], и, например, Юпитер при увеличении всего
около 50 раз виден таким, какой Луна кажется невооруженному глазу.
40
9. Юпитер
10.
и Сатурн также вращаются зонами подобно Солнцу и быстрее на экваторе.
Столкновение [Земли] с головой или хвостом кометы может происходить. Но не
можем ли мы отравиться ядовитыми газами – цианом или окисью углерода? Зная
ничтожно малую, почти неосуществимую искусственно в лаборатории плотность
комет, мы убеждены, что примесь кометных газов к нашему воздуху будет неощутима.
11.
Открытие кратеров метеоритного происхождения на Земле во многих умах возродило
идею о том, что лунные кольцевые горы – эти оспины на лике Луны – образованы
падением метеоритов. Наличие метеоритных кратеров на Земле и сходство их профиля с
профилем лунных кратеров придают этой версии добавочную правдоподобность, но, хотя
поклонников такого взгляда и сейчас немало, мы не можем к ним присоединиться.
12.
Блеск кометы (исправленный с учетом влияния расстояния от Земли) в зависимости от
ее расстояния до Солнца меняется по-разному, но обычно гораздо быстрее, чем обратно
пропорционально квадрату расстояния…
Решение.
1. Меркурий успевает совершить 3 оборота вокруг своей оси за два сидерических периода
обращения вокруг Солнца. В то время период обращения Меркурия вокруг своей оси
был неизвестен, но теория приливов указывала на то, что Меркурий должен быть
синхронизован с Солнцем, как Луна с Землей. Тем не менее, утверждение все равно не
вполне верное. Поскольку орбита Луны немного вытянута, мы наблюдаем ее либрацию
(покачивание), благодаря чему можем видеть больше половины поверхности.
Эксцентриситет орбиты Меркурия больше лунного, так что, даже если бы осевое
вращение Меркурия было синхронизовано с Солнцем, он бы все равно несколько
покачивался относительно среднего направления на Солнце.
2. Ломоносов действительно наблюдал прохождение Венеры по диску Солнца, в
результате чего сделал вывод, что атмосфера на Венере есть. Однако она не «почти
такая же плотная», а гораздо плотнее, чем земная атмосфера. О реальных свойствах
атмосферы Венеры ученые узнали только после первых полетов к Венере (хотя
Ломоносов допускал, что атмосфера Венеры по плотности может превосходить
земную). До этого предполагалось, что раз Венера лишь чуть-чуть уступает в размере
Земле, то и атмосфера ее должна быть немного менее плотная.
3. На самом деле Большое Красное Пятно – это вихрь в атмосфере планеты (антициклон).
Окончательно это удалось установить только после полета космических аппаратов
«Вояджер-1,2». До этого разрешающей способности телескопов не хватало для
41
детального анализа этого феномена. В то же время, трудно было предположить, что
атмосферное образование может существовать несколько столетий.
4. Обратное направление вращения вокруг своей оси имеет также и Венера. Однако,
обнаружить это удалось только в начале 60-х годов по данным радиолокации,
поскольку в видимом диапазоне поверхность планеты скрыта под толстой
непрозрачной атмосферой.
5. По различным оценкам от 50% до 70% звезд входят в двойные и кратные системы.
6. Утверждение верное, если не принимать во внимание гипотезу, что бурых карликов
может быть еще больше, чем красных. Современное развитие наблюдательной техники
пока не позволяет проверить эту гипотезу.
7. Согласно современным представлениям о формировании Солнечной системы, кометы
– это «строительный мусор», оставшийся после формирования «больших» тел.
Основной резервуар комет, как принято считать, находится на дальних окраинах
Солнечной системы и называется облаком Оорта.
8. Радиус Юпитера, как указано в справочных таблицах, равен примерно 7∙104 км.
Расстояние до Юпитера в противостоянии 4.2 а.е. ≈ 6∙108 км. Поделив радиус на
расстояние, получаем угловой размер радиуса Юпитера в радианах. Домножив на 50
(увеличение), получаем 5.6∙103 рад ≈ 0.32°. Эта величина несколько больше углового
радиуса Луны (0.25°). Если мы сделаем такие же расчеты для соединения, то получим
значение видимого радиуса Юпитера 0.23°. Так что, данная цитата из книги абсолютно
верна.
9. Совершенно верно.
10. Совершенно верно. Около 100 лет назад Земля прошла через хвост кометы Галлея, что
никак не отразилось на нашей атмосфере. Космический аппарат Stardust, специально
сконструированный для ловли частиц кометных хвостов, смог поймать всего несколько
десятков таких частиц во время сближения с кометой.
11. Во-первых, в то время было известно не очень много ударных кратеров на Земле. В
настоящее время геологическими методами удается выделить много мест падения
крупных метеоритов даже тогда, когда сами кратеры уничтожены эрозией. Кроме того,
со времени написания книги кратеры были найдены на всех планетах, имеющих
достаточно
старую
твердую
поверхность,
спутниках
планет
и
астероидах.
Общепринято, что кратеры в большинстве своем имеют ударное происхождение. По
плотности кратеров на поверхности небесных тел определяют возраст этой
поверхности.
42
12. Совершенно верно. По мере подлета кометы к Солнцу у нее появляется кома (голова
кометы) и хвост, которые хорошо рассеивают свет Солнца, увеличивая видимую
яркость кометы.
Рекомендации для жюри. В задаче ставится 3 вопроса. Первый из них связан с
определением, какие тезисы верны, а какие устарели. За правильный вывод по каждому из
тезисов участник получает 1/3 балла. Если участник олимпиады указывает на верный тезис
как на ошибочный и наоборот, он получает штрафные 1/3 балла. Максимальное число
баллов за выполнение этой части задачи составляет 4. Если сумма баллов по этому вопросу
получается меньше нуля, она принимается равной нулю, если итоговая оценка дробная – она
округляется до целых баллов.
Далее, для пяти неверных тезисов участник должен указать, как должны быть
описаны указанные в тезисах явления с позиций современного научного знания, а также
указать, почему на момент написания книги такого знания еще не было. За ответ на каждый
из этих двух вопросов для каждого тезиса выставляется 2/5 балла, суммарная оценка также
округляется до целых баллов. Штрафные баллы за эту часть задания не выставляются.
Итого, за последние два вопроса участник может получить 4 балла.
10 класс.
№ 1. Сквозь купол.
Условие. Астроном наблюдает на обсерватории в городе Орел из центра купола с
маленьким телескопом (диаметр объектива много меньше размеров щели купола). Оцените,
какое максимальное время он может наблюдать околоэкваториальные объекты, не вращая
купол? В какой стороне горизонта это достижимо? Диаметр купола 10 м, ширина щели
купола 1 м, широта Орла равна +53°.
Решение. Определим угловую ширину купола при наблюдении из его центра:
43
L
1
R
2
2 arcsin
L
2R
L
R
0 .2
или 11.4°. Здесь R – радиус купола, L – ширина его щели. Если астроном наблюдает светило
на небесном экваторе вблизи его верхней кульминации, то длина видимого участка
суточного пути светила (линия 1 на рисунке) будет примерно равна углу . Но этот участок
может быть длиннее, если светило движется не перпендикулярно створкам купола.
Максимальный угол наклона для небесного экватора будет на восходе или заходе светила.
Поэтому продолжительность наблюдений с неподвижным куполом будет максимальна, если
светило наблюдается сразу после восхода или перед заходом (линия 2 на рисунке) на
востоке или западе соответственно. Длина видимого пути составит:
L
R sin
sin
0.25
или 14.3°. Время, за которая звезда пройдет этот путь, составляет:
T
S
2
LS
2 R sin
57 мин.
Здесь S – продолжительность звездных суток.
Рекомендации для жюри. Первым этапом решения задачи является вычисление угловой
ширины щели купола при наблюдении из его центра. Этот этап оценивается в 2 балла.
Вычисление максимальной угловой длины пути звезды за щелью с учетом его наклона
44
оценивается еще в 2 балла. Вывод о сторонах горизонта, где будет достигаться максимум
длины, оценивается в 1 балл, и 3 балла выставляются за вычисление времени наблюдения
объекта без вращения купола.
№ 2. Звездный квадрат.
Условие. Звездная система состоит из 4 звезд одинаковой массы M, расположенных в
вершинах квадрата со стороной a и движущихся по общей окружности относительно общего
центра масс. Найдите скорости звезд относительно центра масс и период обращения этой
системы.
Решение. Изобразим конфигурацию из четырех звезд в вершинах квадрата со стороной a:
FS
F
f
a
На каждую из звезд действуют взаимно-перпендикулярные и равные по модулю силы
притяжения от двух соседних звезд:
F
GM 2
.
a2
На звезду действует также сила притяжения со стороны противоположной звезды.
Расстояние до нее равно a√2, а сила равна:
45
GM 2
.
2a 2
f
Равнодействующая всех трех сил будет направлена к центру масс и составит:
FS
2F
2
GM 2
a2
f
2
1
.
2
По условию задачи, звезды движутся по окружности. Центр этой окружности находится в
центре квадрата, а радиус равен a/√2. Из соотношения углового ускорения и радиуса
траектории получаем значение скорости:
v
FS
M
a
2
GM
1
1
.
a
2 2
Период обращения составляет:
T
2 a 2
v
2 a3 2
GM 2
1
2
2 a3 2 4
7GM
2
.
Рекомендации для жюри. Для решения задачи участники олимпиады должны вывести
выражения для равнодействующей силы, этот этап решения оценивается в 3 балла. С учетом
величины радиуса траектории (оценивается еще в 1 балл) выводится период обращения (4
балла).
№ 3. Растущий день.
Условие. В некотором пункте Земли долгота светового дня увеличилась на 7 минут 52
секунды по сравнению с предыдущими сутками. Найти широту этого пункта. Рефракцией,
уравнением времени и угловыми размерами Солнца пренебречь.
Решение. Если пренебречь уравнением времени, то момент верхней кульминации Солнца
каждый день приходится на один и тот же момент по местному времени – 12ч00м. Если в
результате суточного изменения склонения Солнца
46
долгота светового дня увеличилась за
сутки на величину
T, это означает, что местное время восхода Солнца уменьшилось на
T/2, а местное время захода Солнца – увеличилось на ту же величину. Величина
T/2
составляет 3 минуты 56 секунд, а интервал времени между двумя последующими восходами
Солнца – 23 часа 56 минут 04 секунды, то есть ровно звездные сутки.
По условию задачи, мы пренебрегаем рефракцией и угловыми размерами Солнца. В
этом случае в момент восхода центр Солнца располагается на горизонте. В момент обоих
восходов звездное время одинаково, расположение всех звезд, а также эклиптики
относительно
горизонта
совпадает.
Два
последовательных
положения
Солнца,
расположенных в разных и не противоположных точках эклиптики, оказываются на
горизонте. Следовательно, в эти моменты эклиптика совпадает с горизонтом, а один из двух
полюсов эклиптики – с зенитом. Это может быть только на северном или южном полярном
круге, с широтой 66.6o, равной склонению того или иного полюса эклиптики.
Рекомендации для жюри. Первым этапом решения задачи является вычисление изменения
местного времени восхода и захода Солнца. Этот этап оценивается в 2 балла. Последующий
вывод о неизменности звездного времени восхода Солнца оценивается в 4 балла. За указание
каждого из двух возможных значений широты места выставляется еще по 1 баллу.
№ 4. Фара дальнего света.
Условие. Фара дальнего света представляет собой матовую лампу мощностью 40 Вт и
диаметром 2 см, установленную в фокусе отражателя диаметром 20 см. С какого
максимального расстояния свет одной фары можно увидеть невооруженным глазом?
Аберрации оптики, рассеяние света в воздухе и помехи для распространения света (в том
числе горизонт) не учитывать. Считать, что спектральный состав света лампы аналогичен
солнечному.
Решение. Изобразим оптическую схему фары.
47
Зеркало
R
r
Лампа
F
Обозначим мощность лампы через J0, радиус ее матовой колбы – через r. Световая энергия,
попадающая от лампы на отражатель в единицу времени, с достаточной для оценки
точностью составляет
J
J0
R2
4 F2
J0
R2
.
4F 2
Здесь F – расстояние от лампы до отражателя, оно же – фокусное расстояние отражателя.
Лампа располагается в фокусе отражателя, и каждая часть лампы создает на выходе
параллельный пучок света. За счет того, что лампа имеет конечные размеры, весь
выходящий поток света будет иметь вид расходящегося конуса, стороны которого будут
образовывать угол с осью, равный угловому радиусу лампы, видимой от отражателя:
= r / F.
На расстоянии D от фары (существенно большем размеров самой фары) радиус светового
пятна составит
L=D
= D r / F.
Поток энергии на единицу площади будет равен
j
J
L2
J0
48
R2
.
4 D2r 2
Обратим внимание, что эта величина не зависит от фокусного расстояния. Для того, чтобы
фара была заметна невооруженным глазом, поток энергии j должен соответствовать звезде
6m (или быть большим). Определим это значение, сравнив фару с Солнцем (спектральный
состав излучения по условию задачи одинаков). Поток энергии от Солнца на Земле равен
jS
JS
4 L2E
1.37 10 3 Вт / м 2 .
Здесь JS – светимость Солнца, LE – расстояние от Солнца до Земли. С учетом блеска Солнца
(–26.8m) по формуле Погсона получаем значение минимального потока энергии, заметного
глазом:
j
j S 10 0.4 (
26.8 6 )
10
10
Вт / м 2 .
Максимальное расстояние, с которого можно будет увидеть фару, составит
D
R J0
r 4 j
1800 км .
Столь большое значение не должно вводить в заблуждение – на Земле включенные фары
автомобилей легко видны с больших расстояний, ограниченных, прежде всего, потерями
света в фаре и условиями видимости (горизонт, земные объекты и т.д.) и поглощением света
в атмосферном воздухе.
Рекомендации для жюри. Решение задачи может производиться несколькими способами.
При использовании метода, указанного выше, первые 2 балла выставляются за вывод
выражения для энергии, высвечиваемого фарой за единицу времени. Выражение для размера
светового пятна в зависимости от расстояния оценивается еще в 2 балла. Следующие 2 балла
выставляются за вычисление минимального потока энергии, который можно зафиксировать
невооруженным глазом. Вычисление максимального расстояния, с которого можно увидеть
свет фары, также оценивается в 2 балла.
Задачу можно также решать, учитывая, что поверхностная яркость зеркала будет
равна поверхностной яркости матовой лампы, и вся фара, превосходящая лампу по радиусу
49
в 10 раз, даст 100-кратный выигрыш в яркости и 10-кратный выигрыш в расстоянии по
сравнению со светом одной лампы, что и отражается в последней формуле. Подобный ход
решения также считается правильным.
№ 5. Прохождение Венеры – XVIII век.
Условие. Шел XVIII век. Две экспедиции направились к противоположным точкам
экватора, чтобы зафиксировать момент вступления Венеры на диск Солнца на его восходе и
заходе соответственно и определить из этого величину астрономической единицы. Радиус
орбиты Венеры в астрономических единицах (0.723 а.е.) был к тому времени хорошо
известен. И если хронометр, взятый с собой первой экспедицией, работал точно, то у второй
экспедиции (наблюдавшей вход Венеры на заходе Солнца) он спешил на одну минуту. Какое
значение астрономической единицы будет получено в результате работы экспедиций?
Наклон орбиты Венеры и экватора Земли к эклиптике не учитывать, орбиты обеих планет
считать круговыми.
Решение. При наблюдении из разных точек Земли Венера вступает на диск Солнца в разное
время, и этот эффект может служить основой для определения параллакса Солнца или
расстояния от Солнца до Земли. Предположим для простоты, что Венера и Земля
обращаются вокруг Солнца в одной плоскости, содержащей также экватор Земли.
Рассмотрим картину со стороны северного полюса эклиптики.
Солнце
Венера
v
l
T1 T2
Земля
v0
l0
50
Пусть в некоторый момент T1 прохождение Венеры по диску Солнца стало видно из одной
точки Земли. Венера движется по орбите быстрее Земли, и прохождение будет в начале
видно из восточной точки Земли, задней по отношению к ее орбитальному движению. При
наблюдении из этой точки Солнце и Венера будут заходить за горизонт. В эту точку
прибыла вторая экспедиция, описанная в условии задачи. Через некоторое время, в момент
T2, прохождение станет видимым со всей дневной части поверхности Земли. Последними
вступление Венеры на диск Солнца увидят наблюдатели с передней, западной окраины
Земли, где Солнце и Венера будут восходить над горизонтом.
Пусть a0 – искомое расстояние между Солнцем и Землей, а q – радиус орбиты Венеры
в астрономических единицах. Расстояние между Солнцем и Венерой составляет qa0. Из III
закона Кеплера можно получить соотношение орбитальных скоростей Венеры (v) и Земли
(v0):
v 2q = v02.
Обозначим перемещение Земли за интервал времени (T2 – T1) как l0. Как видно из рисунка,
Венера за это время переместится на расстояние
l = (l0 + 2R) q.
Здесь R – радиус Земли. Учитывая соотношение скоростей, получаем:
l0
v0
l
v
3
q 2 ( l0 2R )
.
v0
Отсюда
l0
2R q
(1 q
3
3
2
.
2
)
Зная моменты времени T1 и T2, можно определить величину орбитальной скорости Земли и
далее – радиуса ее орбиты:
v0
l0
T2
51
T1
;
v0TE
2
a0
3
R q 2 TE
l 0TE
2 ( T2 T1 )
(1 q
3
2
)( T2
.
T1 )
Здесь TE – период обращения Земли вокруг Солнца. Из последней формулы можно
вычислить, что истинный промежуток времени (T2 – T1) составляет 11.4 минуты. Однако, изза ошибки хода часов экспедиции, работавшей на заходе Солнца, вместо момента времени T1
был зафиксирован момент T1 +
T1. В результате, ошибочное значение величины
астрономической единицы получится равным:
3
R q 2 TE
a'
(1 q
3
2
)( T2
a0
T1
T1 )
T2 T1
T2 T1
T1
164 млн км .
Рекомендации для жюри. Для решения задачи необходимо представление, почему Венера
будет вступать на диск Солнца в разные моменты времени, и какая из экспедиций
зафиксирует контакт раньше. Этот вывод оценивается в 2 балла. Еще 4 балла выставляется
за вывод связи между разницей моментов времени и величиной астрономической единицы.
Последние 2 балла ставятся за учет неверного хода часов одной экспедиции и вычисление
искаженной величины астрономической единицы.
№ 6. Шаровое скопление.
Условие. Шаровое звездное скопление имеет угловой диаметр 30 и блеск 6m. Измерение
лучевых скоростей звезд скопления показали, что они варьируют в пределах
10 км/c
относительно лучевой скорости центра скопления. Оцените расстояние до скопления,
считая, что оно состоит только из звезд, подобных Солнцу. Межзвездным поглощением
пренебречь.
Решение. Шаровое звездное скопление – гравитационно-связанная система. Характерные
лучевые скорости звезд скопления относительно его центра близки к значению первой
космической скорости на краю скопления:
v
GM N
.
R
52
Здесь M – характерная масса звезды в скоплении (масса Солнца), N – количество звезд в
скоплении, R – радиус скопления. Далее, все скопление имеет блеск 6m. Найдем расстояние,
с которого такой блеск имело бы одно Солнце с абсолютной величиной 4.7m:
lg D0
6 4 .7
1 1.26.
5
Это расстояние составляет примерно 18 пк или 5.4 1017 м. Для скопления, состоящего из N
таких же звезд, блеск 6m соответствует расстоянию:
D
Наконец, видимый радиус скопления
D0 N .
составляет 15 или 0.0044 радиан. Для него
справедливо соотношение:
R
.
D
Мы получили систему из трех уравнений относительно неизвестных величин N, R и D.
Выразим первые две величины через третью:
R
D ; N
v2R
GM
v2D
.
GM
Подставляя это в выражение для расстояния D, получаем:
D
2
2
0
D N
v 2 D02 D
; D
GM
v 2 D02
.
GM
Расстояние составляет 1021 м или 30 кпк.
Рекомендации для жюри. Для решения задачи участники олимпиады должны выразить
угловой радиус скопления через его пространственный радиус и расстояние (1 балл),
относительную лучевую скорость звезд скопления через его массу и размеры (2 балла), а
также звездную величину скопления через количество звезд и расстояние (3 балла, это
53
можно сделать как через расстояние, с которого Солнце выглядит как звезда 6m, так и через
светимость Солнца). Окончательные вычисления оцениваются еще в 2 балла.
11 класс.
№ 1. Верхняя кульминация Веги.
Условие. На каких широтах на Земле можно (хотя бы раз в год) увидеть звезду Вега в
верхней кульминации на темном небе, при погружении центра Солнца под горизонт более 6
градусов? Координаты Веги считать равными
= 18ч, = +39°, рефракцией пренебречь.
Решение. Заданное в условии задачи прямое восхождение Веги (18 часов) совпадает с
прямым восхождением точки зимнего солнцестояния (точки 1). Следовательно, верхняя
кульминация Веги и данной точки происходят одновременно. Рассмотрим положение Веги и
эклиптики на небесной сфере в этот момент:
Зенит P
E
N
Вега
1
Не
б
экв есны
ато й
р
Горизонт
Эклиптика
2
Обозначим цифрой 2 точку летнего солнцестояния с прямым восхождением 6 часов. Эта
точка в настоящий момент находится в нижней кульминации. Точки весеннего и осеннего
54
равноденствия, имеющие прямые восхождения 0 и 12 часов, совпадают с точками востока и
запада соответственно и находятся на горизонте. Следовательно, одна из двух точек (1 или
2) является наивысшей точкой эклиптики, а другая – ее самой низкой точкой.
Вне зависимости от сезона года Солнце находится на эклиптике. Чтобы хоть раз в
году увидеть Вегу в верхней кульминации на темном небе, у эклиптики должна
существовать зона, погруженная под горизонт глубже, чем на 6 . Иными словами, одна из
точек – 1 или 2 – должна располагаться на зенитном расстоянии, большем 96 (обозначим
эту величину zT).
Склонение точки 1 равно – , склонение точки 2 составляет + , где
– величина
наклона экватора к эклиптике (около 23.4 ). Запишем выражения для зенитных расстояний
точки 1 в верхней кульминации и точки 2 в нижней кульминации:
z1 = |
z2 = 180 – |
–
|=|
+ | > zT,
+ | = 180 – |
+ | > zT.
Для выполнения условия задачи должно выполняться любое одно из этих неравенств. Решая
их, получаем:
> 72.6 или
< 60.6 .
Здесь мы учли, что значение широты по модулю не может превышать 90 . К данному
выводу можно было прийти другим, более простым способом. Обозначим на рисунке
северный полюс эклиптики как PE. Его прямое восхождение совпадает с прямым
восхождением Веги, а склонение составляет 90 –
или 66.6 . Если в момент верхней
кульминации полюс эклиптики будет отстоять от зенита не более, чем на 6 (угол
на
рисунке), то все точки самой эклиптики будут располагаться не дальше, чем 6 от горизонта,
и Вега не будет видна в верхней кульминации на темном небе. Считая, что зенитное
расстояние полюса эклиптики более 6 , получаем те же интервалы значения широты.
Для получения окончательного ответа мы должны учесть, что Вега сама должна быть
видна на небе в верхней кульминации, то есть не быть невосходящей звездой. Обозначив
склонение Веги как
V,
запишем условие для ее зенитного расстояния в верхней
кульминации:
zV = |
–
V|
55
< 90 .
Отсюда получаем, что широта должна быть севернее –51 . Итак, условие задачи
выполняется на интервалах широты (–51 , 60.6 ), (72.6 , 90 ].
Рекомендации для жюри. Первый этап решения задачи состоит в выводе о том, как
расположена эклиптика (или полюс эклиптики) в момент верхней кульминации Веги.
Правильное выполнение этой части решения оценивается в 3 балла. Формулировка условия,
при котором верхняя кульминация Веги будет хотя бы иногда наблюдаться на темном небе,
и получение неравенств для широты, оценивается еще в 3 балла. Последние 2 балла
выставляются за указание ограничения, связанного с видимостью самой Веги в верхней
кульминации.
Включение или выключение граничных точек интервалов в конечный ответ не
влияет на его корректность и не может быть основанием для изменения итоговой оценки.
№ 2. Телескоп и Солнце.
Условие. Телескоп с объективом диаметром 20 см навели на Солнце. Безопасно ли в него
смотреть, если в фокальную плоскость телескопа ввели диафрагму, которая закрывает все
Солнце, кроме одного солнечного пятна поперечником 20000 км? Диаметр выходного зрачка
окуляра равен диаметру зрачка наблюдателя, который решился посмотреть в этот телескоп.
Сравните освещенность, создаваемую солнечным пятном через этот телескоп, с
освещенностью от других небесных объектов.
Решение. Наблюдение Солнца без защитных средств опасно для зрения сразу по ряду
причин. Даже при наблюдении без телескопа это, в конце концов, плачевно отразится на
зрении. Самым быстрым поражающим фактором будет ультрафиолетовое излучение
Солнца, которое негативно влияет на сетчатку глаза. Через оптическую схему обычного
телескопа ультрафиолетовое излучение не проходит, но телескоп собирает значительно
больше света, чем невооруженный глаз, что усиливает негативное влияние других факторов.
На те части глаза, которые находятся до хрусталика, падает пучок света, толщина
которого равна диаметру зрачка. Если в этом пучке будет заключена большая энергия, то
может пострадать роговица или хрусталик. Сам же хрусталик действует как собирающая
линза, и собираемый им свет станет «выжигать» сетчатку.
Известно, что диаметр зрачка меняется в зависимости от освещенности. При
ночных наблюдениях почти в полной темноте диаметр зрачка становится около 6-8 мм, а на
ярком свету – уменьшается до 1-2 мм. Если принять диаметр зрачка и выходного зрачка
56
телескопа за 1 мм, то увеличение телескопа составляет 200 крат. Если бы этот телескоп
собирал свет со всего диска Солнца, то освещенность зрачка возросла бы в 40000 раз.
Вставим в схему диафрагму, пропускающую свет только одного участка
поверхности Солнца, по радиусу в 70 раз меньшего всего диска. Тогда до глаза наблюдателя
будет проходить только (1/70)2 света полного Солнца. Если бы в данной части Солнца не
находилось пятно, в глаз наблюдателя попало бы в 8 раз больше света, чем от полного
Солнца без использования телескопа.
Но нам необходимо учесть, что температура солнечных пятен на 1500 градусов
меньше температуры солнечной фотосферы. По закону Стефана-Больцмана отношение
величин интенсивности (яркости единицы угловой площади) равно отношению температур в
четвертой степени. То есть, светимость пятна примерно в 4 раза меньше.
Следовательно, в глаз наблюдателя, который захочет посмотреть на солнечное
пятно в наш телескоп, попадет примерно в 2 раз больше света, чем если бы он смотрел на
Солнце без телескопа. Угловой диаметр пятна при наблюдении в телескоп составит
примерно 1.5°, т.е. пятно будет выглядеть по радиусу втрое больше, чем Солнце
невооруженным глазом, но при этом его поверхностная яркость будет в 4 раза слабее.
Из всего сказанного делаем вывод, что при взгляде в окуляр наблюдатель увидит
солнечное пятно, по общей (но не поверхностной) яркости превосходящее Солнце при
наблюдении глазом. Это не приведет к мгновенному поражению зрения, но смотреть на
такой объект все же нельзя.
Рекомендации для жюри. Для решения этой задачи участник должен понимать устройство
человеческого глаза. При правильном описании глаза и вариантов его повреждения в данных
обстоятельствах выставляется 1 балл. Решая задачу, участник должен рассмотреть два
возможных варианта повреждения глаза. За сравнение потока излучения через зрачок от
Солнца и от солнечного пятна участник получает 4 балла, из них: 1 балл за правильное
определение величины выходного зрачка телескопа, 1 балл за определение увеличения
телескопа, 2 балла за правильное сравнение яркости Солнца и пятна с применением закона
Стефана-Больцмана. Вычисление изменения освещенности сетчатки глаза оценивается в 3
балла.
№ 3. Минимумы затменной переменной.
Условие. Главный минимум затменной переменной двойной звезды имеет глубину 1m.
Какой может быть величина вторичного минимума этой звезды? Звезды считать
57
сферическими, эффектами отражения света от поверхности звезд и потемнением их дисков к
краю пренебречь.
Решение. Как известно, затменная переменная звезда – двойная система, в которой звезды в
ходе орбитального движения периодически затмевают друг друга. Если звезды сферические
и удалены от Солнца на расстояние, значительно превышающее размеры системы, а орбиты
звезд круговые, то звезды по очереди будут закрывать одну и ту же угловую площадь
поверхности друг друга. Однако в случае эллиптических орбит эта площадь может
различаться.
2
1
F
F
2
1
Главный
минимум
Вторичный
минимум
Во время главного минимума общая яркость системы уменьшается в K раз:
K
10
0.4 m1
0.4.
Обозначим величины яркости двух звезд как J1 и J2. Пусть во время главного минимума
закрылась часть первой звезды. Обозначим эту часть («площадную фазу» затмения) как F1.
Тогда
K
( 1 F1 ) J 1 J 2
J1 J 2
1
F1 J 1
.
J1 J 2
Отсюда запишем выражение для яркости второй звезды
J2
( F1 ( 1 K ))
J1
1 K
K
J1
1 K
58
2
J1
3
2
( J1
5
J 2 ).
В неравенстве было учтено, что величина F1 не превышает единицу. Данный верхний предел
достигается при равных размерах звезд и поверхностных яркостях, относящихся как 3:2.
Тогда в случае центрального затмения более яркой звезды падение блеска составит 1m. Во
время вторичного минимума затмевается уже вторая звезда. Обозначим площадную фазу
затмения как F2. Яркость пары будет относиться к аналогичной величине вне затмения как
k
J 1 ( 1 F2 ) J 2
J1 J 2
1
F2 J 2
J1 J 2
1
2
5
3
.
5
Максимально возможное падение блеска во время вторичного минимума составит
m2
2.5 lg k
2.5 lg
3
5
0.55.
Итак, глубина вторичного минимума может составлять от 0m (если вторая звезда темная или
второе затмение не происходит из-за эллиптичности орбит) до 0.55m (при полных затмениях
звезд с одинаковыми размерами и яркостями в отношении 3:2).
Рекомендации для жюри. Решение задачи состоит не только в вычислении граничных
значений величин падения блеска во время вторичного минимума (0m и 0.55m), но и
обосновании, что падение блеска не может выходить за указанные рамки. За вычисление
каждой из граничных величин ставится по 2 балла, еще по 1 баллу выставляется за указание,
в каком случае достигаются данные границы. Строгое обоснование через математические
неравенства оценивается еще в 2 балла.
№ 4. Алюминиевый парус.
Условие. Идеально отражающий плоский алюминиевый солнечный парус обращается
вокруг Солнца по круговой орбите с радиусом 1 а.е. и периодом 1.5 года. Парус всегда
расположен перпендикулярно направлению на Солнце. Найдите толщину паруса. Плотность
алюминия составляет 2.7 г/см3. Взаимодействие паруса и планет не учитывать.
Решение. Обозначим плотность паруса , его толщину – d, а его площадь – S. На парус
будут действовать две силы – притяжение Солнца и световое давление. Они направлены
59
вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сила притяжения, направленная к
Солнцу, составляет
GMSd
.
R2
FG
Здесь M – масса Солнца, R – расстояние от Солнца до паруса. Сила светового давления в
случае идеального отражения равна удвоенному импульсу солнечных фотонов, попадающих
в парус в единицу времени. Импульс каждого фотона p равен E/c, где E – его энергия, а c –
скорость света. Отсюда получаем величину силы светового давления:
LS
.
2 cR 2
FE
Здесь L – светимость Солнца. Под действием этих двух сил парус движется со скоростью v
по окружности радиуса R:
Sd
v2
R
GMSd
R2
LS
.
2 cR 2
Отсюда получаем выражение для скорости:
v2
GM
R
L
2 cd R
v02
L
.
2 cd R
Здесь v0 – круговая скорость движения под действием только силы тяготения (орбитальная
скорость Земли). Толщина паруса равна
d
L
2 c R( v02
v2 )
Lv02
2 GMc ( v02
v2 )
.
Выражая скорости через орбитальные периоды, получаем:
d
LT 2T02
8 3 c R 3 ( T 2 T02 )
60
LT 2
2 GMc ( T 2
T02 )
.
Здесь T – период обращения паруса, T0 – период обращения Земли вокруг Солнца. Толщина
паруса составляет 1 микрону.
Рекомендации для жюри. Решение задачи состоит из трех основных этапов – записи
уравнений для гравитационной силы и силы светового давления, действующей на парус
(оценивается по 2 балла), а также вычисления толщины паруса (4 балла). Само вычисление
можно производить непосредственно через уравнение движения паруса (как сделано выше),
можно использовать модель с уменьшенной массой Солнца, оба метода считаются
правильными при условии корректного выполнения расчетов.
№ 5. Прохождение Венеры – сквозь века.
Условие. 4 июня 1769 года в Санкт-Петербурге на специально построенной обсерватории
российская императрица Екатерина II сначала наблюдала прохождение Венеры по диску
Солнца, а затем (в тот же день!) частное солнечное затмение. Оцените, через сколько лет на
нашей планете вновь можно будет наблюдать прохождение Венеры по диску Солнца и
солнечное затмение с интервалом менее одних суток.
Решение. Определим вначале условие, при котором наступает прохождение Венеры по
диску Солнца. Задача имеет оценочный характер и связана с анализом больших интервалов
времени. Поэтому орбиты Венеры, Земли и Луны могут считаться круговыми. Учтем также,
что размеры Солнца значительно больше размеров Венеры и Земли. Угловые размеры
Солнца при наблюдении с Земли также значительно больше угловых размеров Венеры, даже
когда она находится в нижнем соединении.
R0
Венера
Q
h
L
Солнце
61
Земля
На рисунке изображен предельный случай, при котором Венера видна на краю диска
Солнца. Обозначим расстояние от Земли до Солнца через L, а расстояние от Венеры до
Солнца – через Q. С учетом небольших угловых размеров Солнца можно записать
выражение для максимального удаления Венеры от линии «Солнце-Земля», при котором
происходит прохождение:
h = R0 (L – Q)/L.
Здесь R0 – радиус Солнца. Движение Венеры происходит под небольшими углом к
плоскости эклиптики, и величина h есть максимальное расстояние Венеры от плоскости
эклиптики в момент нижнего соединения, при котором может произойти прохождение
Венеры по диску Солнца. Значение этой величины составляет примерно 200000 км.
Определим, какая доля нижних соединений Венеры удовлетворяет данному условию.
Для этого изобразим орбиту Венеры и плоскость эклиптики:
Орбита
Плоскость
эклиптики
Q
x
h
ai
Обозначим угол наклона плоскости орбиты к эклиптике через i. Величина h существенно
меньше максимального удаления точки орбиты от плоскости эклиптики Qi (равного 6.5 млн
км). Для того, чтобы точка орбиты находилась не далее расстояния h от плоскости
эклиптики, она должна быть удалена от узла орбиты не далее, чем на расстояние:
x
h
.
i
Здесь мы учли, что наклонение орбиты Венеры не очень велико. Данная точка орбиты может
находиться с двух сторон от каждого из двух узлов этой орбиты. В итоге, доля всей длины
орбиты, расположенная не далее расстояния h от плоскости эклиптики, составляет:
PV
2 2x
2 Q
2h
Qi
2 R0 ( L Q )
LQi
62
0.0191
1
.
52
Данное значение показывает, что в среднем только одно из 52 нижних соединений Венеры
сопровождается ее прохождением по диску Солнца. Нам нужно получить аналогичную
величину PL для солнечных затмений. Учитывая оценочный характер задачи, мы можем
считать, что затмения происходят каждые 6 лунных месяцев, и данная величина просто
равна 1/6 (в реальности она составляет примерно 1/5.5).
Обозначим синодические периоды Луны и Венеры как SL и SV. Средний промежуток
времени между солнечными затмениями равен
SL
PL
TL
177 сут.
Средний промежуток времени между двумя прохождениями Венеры по диску Солнца
составляет
SV
PV
TV
83 года .
Вероятность того, что за время t (одни сутки) до прохождения Венеры или за то же время
после него произойдет солнечное затмение, составляет
qt
2t
TL
2t PL
SL
1
.
88.5
Поэтому, в среднем лишь каждое 88-е или 89-е прохождение Венеры по диску Солнца может
сопровождаться солнечным затмением в интервале 1 суток. Среднее время между такими
событиями составляет
T
TV
qt
SV S L
2tPV PL
7400 лет.
Мы получили лишь характерное значение между подобными явлениями. В реальности,
после 1769 года солнечные затмения и прохождения Венеры по диску Солнца не совпадут
ни разу в течение 8000 ближайших лет. Трижды за этот период солнечное затмение и
прохождение Венеры будут разделены промежутком в два дня (затмение 20 июня и
прохождение Венеры 22 июня 3462 года, затмение 22 июня и прохождение Венеры 24 июня
63
3956 года, затмение 26 июля и прохождение Венеры 28 июля 7844 года). Еще в одну дату, 8
июля 5657 года, состоится прохождение Венеры по диску Солнца и новолуние, при котором
солнечное затмение будет наблюдаться в ближайших окрестностях Земли.
Рекомендации для жюри. Выше приведен приближенный метод решения, достаточный для
выставления высшей оценки (8 баллов) при условии правильного выполнения. Для решения
задачи участники олимпиады должны получить оценку частоты солнечных затмений на
Земле, причем вполне можно считать, что они происходят раз в 6 лунных месяцев (точное
значение – 1 раз за 5.5 лунных месяцев). Эта часть решения оценивается в 2 балла.
Вычисление частоты прохождений Венеры оценивается в 3 балла. Участники олимпиады
могут использовать широко известные закономерности наступления прохождений Венеры в
настоящее время (две пары через 8 лет, разделенные промежутками в 105.5 и 121.5 лет),
дающие завышенную оценку средней частоты явлений. В этом случае оценка снижается на 1
балл, из данных 3 баллов выставляется 2.
Окончательные вычисления периода повторения совпадающих явлений оценивается в
3 балла.
№ 6. Аккреция на нейтронную звезду.
Условие. Нейтронная звезда движется со скоростью 100 км/с через облако молекулярного
водорода с температурой 10 K и плотностью 103 см–3. Оцените скорость, с которой
нейтронная звезда будет набирать массу вследствие аккреции. Столкновения между
частицами облака не учитывать.
Решение.
Движущаяся
через
облако
звезда
будет
захватывать
вещество,
как
непосредственно оказавшееся перед ней, так и притянутое со стороны. Зная температуру
облака, можно оценить среднюю скорость молекул водорода:
v
3kT
m
350 м / с.
Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура облака, m – масса молекулы водорода.
Средняя скорость молекул оказалась почти на три порядка меньше скорости нейтронной
звезды. Мы пренебрегаем столкновениями между частицами и будем считать, что
изначально они неподвижны относительно звезды.
64
Будем также считать, что нейтронная звезда аккрецирует на себя все частицы облака,
которые окажутся ближе некоторого расстояния b к ее траектории. За время t на звезду
упадет масса цилиндра радиусом b и длиной стороны vt. Тогда за это время нейтронная
звезда, движущаяся со скоростью v, притянет массу
Mt = mnvt b2.
Здесь n – концентрация молекул водорода. Скорость поступления массы на нейтронную
звезду составляет
M
mnv
b2 .
Если предположить, что нейтронная звезда поглотит только те частицы, которые
располагаются непосредственно на ее траектории, и расстояние b равно ее собственному
радиусу (10 км), то мы получаем весьма небольшое значение темпа аккреции в 10–4 кг/c.
Рассмотрим более правдоподобный вариант. Совместим начало координат с центром
нейтронной звезды. В этой системе координат молекулы водорода будут налетать на
нейтронную звезду с одного направления, двигаясь по гиперболическим орбитам. При этом
на звезду будут падать только частицы, у которых перицентр орбиты находится ниже
поверхности нейтронной звезды.
v
b
vP
rP
Нейтронная
звезда
Нас интересует граничный случай, при котором частица в перицентре коснется поверхности
нейтронной звезды. Скорость частицы на удалении от нейтронной звезды (в этой системе
координат) равна v, прицельный параметр равен b. Пусть перицентрическое расстояние (или
радиус нейронной звезды) равно rP, а перицентрическая скорость – vP. Тогда из II закона
Кеплера (равенства площадей закрашенных треугольников на рисунке) можно получить
простое соотношение:
65
v b = vP rP.
Из закона сохранения энергии имеем:
v P2
2
v2
2
GM
.
rP
Здесь M – масса нейтронной звезды (будем считать ее равной массе Солнца). Подставляя
первую формулу во вторую, получаем:
v 2b 2
2rP2
v2
2
GM
.
rP
Отсюда получаем выражение для прицельного параметра:
2GMrP
v2
b2
rP2
M
2 GMmnrP
v
2GMrP
.
v2
Темп аккреции составит:
280 кг / c.
Рекомендации для жюри. Для определения темпа аккреции участнику олимпиады
необходимо вывести общую формулу, связывающую этот темп с сечением (максимальным
прицельным параметром). Этот этап решения оценивается 2 балла. Сечение может быть
посчитано разными способами. За самый простой вариант, при котором сечение
определяется размерами звезды, вставляется 2 балла. За решение, в котором рассматривается
движение частицы по гиперболической траектории, дается 6 баллов. За иные варианты
поиска сечения выставляется промежуточный балл, в зависимости от того, насколько
верную модель составил участник.
66
7.3. Решения задач практического тура и рекомендации для жюри.
9 класс.
№ 1. Горы и звезды.
Условие. Выданный вам снимок (автор – А.Б. Горшков) получен где-то в северном
полушарии. Оцените широту места наблюдения, азимут середины кадра. При решении Вы
можете воспользоваться прилагаемой звездной картой той же области неба.
67
Решение. Центральную часть фотографии занимает восходящее созвездие Ориона,
расположенное на небесном экваторе. Для ответа на вопрос задачи нужно найти на
фотографии линию небесного экватора, пользуясь звездной картой и примечательными
объектами, расположенными вблизи экватора (например, звездами Пояса Ориона). Можно
также заметить, что в левом верхнем углу снимка, на границе созвездий Тельца и Близнецов,
расположена точка летнего солнцестояния S – самая северная точка эклиптики. Участок
эклиптики, проходящей через эту точку, параллелен небесному экватору, располагаясь на
угловом расстоянии 23.4 от него. Это расстояние обозначим как .
Проведем вертикальную линию, проходящую через центр фотографии. Эта линия
образует с небесным экватором угол
, равный 26 . Очевидно, это и есть широта места
наблюдения. Будем считать, что математический горизонт совпадает с нижним краем
снимка. Отложим отрезок горизонта между точками пересечения с вертикальной линией и
небесным экватором. Обозначим его как a. Соответствующее угловое расстояние можно
определить, сравнив отрезок a с каким-либо другим известным отрезком, например,
отрезком
между экватором и эклиптикой. Угловое расстояние a составляет 16 . Точка
пересечения горизонта и небесного экватора – точка востока с азимутом –90 .
Соответственно, азимут центра фотографии равен
A = –90 + a = –74 .
68
Рекомендации для жюри. Первым этапом решения является отождествление наиболее
примечательных объектов на снимке по звездной карте. Участник олимпиады может
ограничиться указанием лишь нескольких объектов, необходимых для дальнейшего решения
задачи. Этот этап решения оценивается в 3 балла. Определение широты места оценивается в
4 балла, определение азимута центра кадра – в 3 балла.
№ 2. Встреча Луны и Юпитера.
Условие. Перед Вами две фотографии Луны и Юпитера, сделанные в одном масштабе из
одного и того же пункта с интервалом в одни сутки. На первом фото Юпитер располагается
точно под Луной, на втором – справа от нее. Могло ли где-нибудь на Земле в эти дни
наблюдаться покрытие Юпитера Луной?
69
Решение. Планета Юпитер – достаточно далекая, и ее положение среди звезд за одни сутки
меняется мало. Суточное параллактическое смещение Луны на обоих снимках примерно
одинаково, так как снимки сделаны с интервалом в целые сутки. Изменение взаимного
расположения Луны и Юпитера определяется только движением Луны. Изобразим
положения Луны в оба дня и положение Юпитера на рисунке:
1
l
h
d2
2
d1
Юпитер
По фотографиям (с учетом их одинакового масштаба) мы можем измерить отрезки d1 и d2 и
определить угол наклона видимой траектории Луны:
arctg
d1
d2
21 .
С учетом близости параллактического смещения Луны на двух снимках, ее угловое
перемещение за одни сутки составляет
l
360 
13.2  .
T ( сут )
70
Отсюда мы можем определить минимальное угловое расстояние между Юпитером и
точками траектории движения Луны:
h
d 2 cos
l sin cos
4.4  .
Примерно такое угловое расстояние разделяло Луну и Юпитер во время соединения. Оно
значительно больше удвоенного суточного параллакса Луны (около 2 ), поэтому вне
зависимости от пункта наблюдения покрытие Юпитера Луной в эти дни на Земле не
наблюдалось.
Рекомендации для жюри. Для решения задачи участники олимпиады должны определить
масштаб снимка, что можно сделать по величине перемещения Луны за одни сутки.
Максимальная оценка за этот этап решения составляет 5 баллов и уменьшается на 1 балл,
если участник не указывает, что параллактическое смещение Луны практически не играет
роли, так как интервал между фотографиями составляет целые сутки.
Следующим этапом решения является вычисление минимального углового
расстояния между Луной и Юпитером (3 балла). Вывод о том, что покрытие Юпитера Луной
на Земле не наблюдалось, при условии его обоснования, оценивается в 2 балла. Обоснование
через величину удвоенного параллакса является самым простым, но не единственно
возможным, участники могут предлагать иные методы.
№ 3. Микрозатмение.
Условие. 25 ноября 2011 года Питер Сейерс (Австралия) получил фотографию солнечного
затмения с малой фазой на острове Тасмания. Используя наиболее точный, по Вашему
мнению, метод, определите по этой фотографии величину фазы частного затмения Солнца.
71
Решение. По определению, величина фазы частного затмения Солнца равна
F
x
,
D
где D – видимый диаметр Солнца, а x – закрытый Луной отрезок диаметра Солнца, лежащий
на прямой, проходящей через центры дисков Солнца и Луны.
В ситуации, изображенной на фотографии, отрезок x крайне мал, он сопоставим с
размером неровностей изображения Солнца, вызванных, прежде всего, атмосферным
искажением. Кроме этого, на фотографии он меньше 1 мм – цены деления линейки. Его
можно попытаться измерить напрямую, но точность таких измерений, а значит и оценки
фазы затмения, будет низкой.
Тем не менее, фазу затмения можно измерить достаточно точно. На фотографии четко
видны «зубцы» – места пересечения краев дисков Солнца и Луны. Можно измерить
расстояние между ними d, оно получается равным 0.10 от видимого диаметра Солнца.
72
Рассмотрим также увеличенную схему области контактов дисков Солнца и Луны и учтем,
что их видимые размеры практически одинаковы. В этом случае для половины отрезка x
справедливо равенство
x/2
x/2
x
2
D
2
x
D
d/2
D
2
2
d
2
2
.
Отсюда
D2
Фаза частного солнечного затмения равна
73
d2
d2
.
2D
F
x
D
d2
2D 2
0.005.
Рекомендации для жюри. В начале решения участники должны указать, что метод хорды в
данном конкретном случае является более точным, нежели прямое измерение фазы
затмения. Данный вывод оценивается в 3 балла. Еще 3 балла выставляются за правильные
измерения длины хорды по отношению к диаметру (или радиусу) Солнца, при этом
допускаются (порядка 20%) небольшие (порядка 20-25%) отклонения от приведенного выше
результата. Окончательные вычисления фазы затмения оцениваются в 4 балла.
Если участник олимпиады измеряет величину фазы напрямую, пытаясь указать
длину затмившейся части диаметра Солнца, то общая оценка не может превышать 4 баллов.
10 класс.
№ 1. Лик Луны и лик Венеры.
Условие. Вам предложены четыре фотографии Луны и Венеры в фазе, большей 0.5,
ориентированные горизонтально (направление на зенит соответствует стрелке вверх). Какие
из этих четырех конфигураций могут иметь место на темном небе (Солнце под горизонтом),
а какие – нет?
74
Решение. На рисунке показаны Луна и Венера в практически одинаковых фазах, больших
0.5, яркая выпуклость дисков которых наклонена вверх или вниз. Луна – естественный
спутник Земли, находящийся значительно ближе к нам, чем Солнце. Луна имеет фазу 0.5,
располагаясь практически точно в 90° на небе от Солнца. Если же фаза больше 0.5 – угловое
расстояние от Солнца до Луны превышает 90°, но меньше 180°, если только фаза не равна
единице. Венера – внутренняя планета, находящаяся существенно дальше от Земли. На
нашем небе она не уходит от Солнца дальше, чем на 47°.
1
A
A
2
Луна
Венера
Горизонт
Горизонт
Солнце
1
Солнце
2
Рассмотрим взаимное расположение Солнца, Венеры и Луны на небе Земли. Проведем
большой круг через Солнце и Луну, которые не находятся на горизонте. Этот круг (близкий
к эклиптике) будет пересекать горизонт в некоторых двух точках. Посередине между ними, в
самой высокой точке этого круга (точке A) он будет перпендикулярен вертикали –
направлению на зенит. Угловое расстояние между Солнцем и Луной больше 90°, поэтому
она может находиться на небе как левее точки А (ранним вечером, положение 1), так и
правее нее (положение 2). А вот Венера находится на небе недалеко от Солнца, и в темное
время суток будет находиться правее точки A. Поэтому ночью возможно увидеть
конфигурации, показанные на фото цифрами 1, 2 и 4, но нельзя увидеть Венеру в
конфигурации 3.
Рекомендации для жюри. Первая часть решения состоит в указании, при каких условиях
небесное тело, освещенное Солнцем, будет располагаться освещенной выпуклостью вверх
или вниз. За эту часть решения выставляется 2 балла при наличии обоснования. Если
участник называет точку A на рисунке точкой верхней кульминации Луны или Венеры, что
75
не является верным, данные 2 балла не выставляются, и суммарная оценка, даже при
правильном ответе, не может превышать 8 баллов.
Еще по 2 балла выставляется за правильный ответ по каждой из четырех
конфигураций на рисунке. Если данный ответ не является достаточно обоснованным, то из 2
баллов выставляется только 1.
10 класс, № 2. Полярные звезды.
Условие. Перед Вами звездная карта околополярной области неба со звездами до 4m.
Определите, какие из этих звезд и в какое время в пределах ближайших 10 тысяч лет в
прошлом и будущем можно назвать «Полярными»? «Полярной» считается звезда,
ближайшая из всех звезд карты к текущему положению Северного полюса мира. Считать
величину прецессии и наклона экватора к эклиптике постоянными. Собственными
движениями звезд пренебречь.
76
0 1 2 3 4
4h
Возничий
Рысь
Б.Медведица
Жираф
Цефей
Кассиопея
2h
0h
М.Медведица
+80d
Цефей
22h
+70d
Волопас
Дракон
+60d
Лебедь
Геркулес
+50d
Лира
+40d
20h
+30d
18h
Решение. Изменение текущего положения полюса мира обусловлено прецессией –
вращением оси Земли вокруг оси орбиты Земли. Если считать прецессию и наклон экватора
к эклиптике постоянными величинами, то полюс мира будет описывать окружность вокруг
77
полюса эклиптики. Зная координаты полюса эклиптики (прямое восхождение 18ч, склонение
+66.6°), изобразим эту окружность:
Возничий
0 1 2 3 4
4h
Рысь
2h
Кассиопея
Б.Медведица
Жираф
Цефей
0
-2000
-4000
+70d
Волопас
-6000
Дракон
+60d
Лебедь
10000
Полюс
эклиптики
8000
22h
М.Медведица
+80d
Цефей
6000
4000
2000
0h
-8000
Геркулес
+50d
Лира
12000
+40d
20h
+30d
18h
78
Полюс мира движется против часовой стрелки с периодом в 26000 лет. Исходя из этого, мы
можем отметить его положения в интересующий интервал времени (10 тысяч лет в прошлое
и будущее, т.е. от –8000 до 12000 года).
В задаче нам нужно узнать, какая из приведенных на карте ярких звезд будет
ближайшей к полюсу мира в тот или иной момент времени. Это достаточно просто сделать
графически. Для этого нужно определить те звезды, которые являются ближайшими к
разным частям выделенной окружности. Далее эти звезды последовательно соединяются
отрезками, к которым проводятся серединные перпендикуляры. Пересечение этих
перпендикуляров с окружностью, показывающей движение полюса мира, указывает
моменты, когда роль «Полярной» будет переходить от одной звезды к другой. Сделав
измерения на карте, мы получаем временные интервалы, во время которых различные
звезды являются «Полярными»:
С
До
Звезда
–8000 г.
–6300 г.
Геркулеса
–6300 г.
–6000 г.
Дракона
–6000 г.
–3800 г.
Дракона
–3800 г.
–1600 г.
Дракона
–1600 г.
–500 г.
Дракона
–500 г.
400 г.
Малой Медведицы
400 г.
3100 г.
Малой Медведицы
3100 г.
5000 г.
Цефея
5000 г.
6500 г.
Цефея
6500 г.
8200 г.
Цефея
8200 г.
9600 г.
Цефея
9600 г.
10700 г.
Лебедя
10700 г.
12000 г.
Лебедя
Рекомендации для жюри. Первым этапом решения задачи является нахождение на карте
Северного полюса эклиптики и построение круга, который описывает Северный полюс мира
в результате явления прецессии. Данный этап решения оценивается в 2 балла. Правильное
указание направления, в котором движется Северный полюс мира, оценивается в 1 балл.
Если направление движения указано ошибочно, данный балл не выставляется, но
дальнейшие выкладки, при условии отсутствия иных ошибок, засчитываются полностью.
79
Далее участники олимпиады должны поставить отсечки, соответствующие
положениям Северного полюса мира в разные эпохи. Этот этап решения оценивается в 2
балла. После этого составляется список «Полярных звезд» (3 балла) и определяются
временные интервалы для каждой из этих звезд (2 балла). Пропуск 1-2 звезд, а также
неточность указания интервалов (до 200-300 лет) не должны быть основанием для снижения
оценки.
№ 3. Пылевой диск.
Условие. Затменная переменная звезда
Возничего состоит из звезды 3m и невидимого
компонента, окруженного тонким пылевым диском цилиндрической формы (высота
цилиндра существенно меньше его радиуса). Звезда удалена от Солнца на 600 пк. C 17
августа 2009 года до 13 мая 2011 года продолжалось затмение оптической звезды диском. На
фотографиях показаны изображения звезды в 2008 году (до затмения), 3 ноября и 3 декабря
2009 года. Изображения получены на основе интерферометрических наблюдений на
оптической сети телескопов CHARA (США). На картину наложены положения краев
пылевого диска. Угловые единицы по координатным осям – миллисекунды дуги (10–3 ).
Исходя из этой картины, оцените минимальную массу пылевого диска. Считать, что диск
состоит из черных пылинок радиусом 1 мкм и плотностью 1 г/см3, пылинки задерживают
свет по законам геометрической оптики.
Решение. По интерферометрическим изображениям мы можем определить видимый
диаметр оптического компонента системы звезды , он составляет 2.2 10–3 . Умножая его на
80
расстояние до звезды (600 пк), получаем ее диаметр d, выраженный в астрономических
единицах – 1.3 а.е.
По изображениям 3 ноября и 3 декабря 2009 года мы видим, что диск виден с Земли
как эллипс и движется практически вдоль своей большой оси. В реальности диск круглый, и
его видимая эллиптическая форма объясняется эффектом проекции на небесную сферу.
Сравнивая положения диска на двух фотографиях, получаем величину его перемещения
относительно звезды за 1 месяц. Оно составляет примерно 1/3 от видимого диаметра звезды.
3 ноября правый край диска практически совпадает с лимбом звезды. В конце затмения (13
мая 2011 года), эта же точка лимба совпадет с левым краем диска. Следовательно, вся
видимая большая ось диска пройдет через данную точку лимба за 18 месяцев, и его длина
составляет 6 угловых диаметров звезды. Из этого следует, что пространственный диаметр
диска L в 6 раз больше диаметра звезды и составляет около 8 а.е.
Области звезды, закрытые пылевым диском, выглядят существенно потемневшими
(или даже совсем черными). Из этого мы можем сделать вывод, что лучи звезды, идущие к
нам сквозь пыль, встречаются как минимум с одной пылинкой. Рассмотрим взаимное
расположение звезды, пылевого диска и наблюдателя.
81
h
x
К наблюдателю
Звезда
Диск
Зная, что диск имеет круглую форму и измерив малую ось его изображения на небе l (0.6d
или 0.1L, соответствующая пространственная длина составляет 0.8 а.е.), получаем величину
угла наклона плоскости диска к лучу зрения:
arcsin
l
L
6o.
Обозначим толщину диска через h. Тогда длина пути лучей сквозь диск составит
h
sin
x
hL
.
l
Если радиус пылинки равен r, то число пылинок на луче зрения будет равно их числу в
цилиндрической трубке длиной x и радиусом основания r. Если концентрация пылинок
равна n, то данное число составит
T
nx
r2
nhLr 2
.
l
Как было сказано выше, число T не меньше единицы. Тогда для концентрации справедливо
неравенство:
n
l
.
hLr 2
Диск имеет радиус (L/2) и толщину h. Общее число пылинок в нем:
N
L2 h
n
4
lL
.
4r 2
Интересно, что число в правой части неравенства не зависит от толщины диска и составляет
лишь отношение его видимой площади к видимой площади пылинки. Данное неравенство
82
можно было также получить, считая, что видимых площадей всех пылинок должно быть
достаточно, чтобы покрыть весь диск по отношению к лучу зрения. Наконец, масса диска не
меньше, чем
M
4
3
r3N
lLr
.
3
Минимальная масса равна всего 1.5 1020 кг или 2.5 10–5 масс Земли. Реальная масса диска на
несколько порядков больше, так как он еще менее прозрачен, и на луче зрения оказывается
большое число пылинок.
Рекомендации для жюри. Первым этапом решения является оценка пространственных
размеров диска (ему может предшествовать оценка размеров звезды, что является более
удобным, но необязательным шагом). Этот этап решения оценивается в 3 балла, при
условии, что размеры диска оцениваются исходя из длительности затмения. Прямое
дополнение части контура диска на фотографии до эллипса могут привести к широкому
диапазону величин большой полуоси, и в этом случае данные 3 балла не выставляются.
Вычисление видимой малой полуоси изображения диска (или напрямую угла его
наклона к линии визирования) оцениваются в 2 балла, причем здесь допускаются
значительные (до 30-40%) отклонения от правильного ответа.
Следующие 2 балла выставляются за формулировку условия непрозрачности диска.
Это можно сделать несколькими способами: можно предположить, что луч света, идущий
сквозь диск, должен встретить хотя бы одну пылинку, можно сразу приравнять суммарную
площадь всех пылинок к видимой площади диска. Возможна формулировка более жесткого
условия (несколько пылинок на луче зрения), исходя из значительного потемнения звезды за
диском. Наконец, вычисление минимальной массы оценивается в 3 балла.
11 класс
№ 1. Горы и звезды.
Условие. Выданный вам снимок (автор – А.Б. Горшков) получен где-то в северном
полушарии. Оцените широту места наблюдения, азимут середины кадра, поглощение у
83
горизонта. При решении Вы можете воспользоваться прилагаемой звездной картой той же
области неба.
84
Решение. Центральную часть фотографии занимает восходящее созвездие Ориона,
расположенное на небесном экваторе. Для ответа на вопрос задачи нужно найти на
фотографии линию небесного экватора, пользуясь звездной картой и примечательными
объектами, расположенными вблизи экватора (например, звездами Пояса Ориона). Можно
также заметить, что в левом верхнем углу снимка, на границе созвездий Тельца и Близнецов,
расположена точка летнего солнцестояния S – самая северная точка эклиптики. Участок
эклиптики, проходящей через эту точку, параллелен небесному экватору, располагаясь на
угловом расстоянии 23.4 от него. Это расстояние обозначим как .
Проведем вертикальную линию, проходящую через центр фотографии. Эта линия
образует с небесным экватором угол
, равный 26 . Очевидно, это и есть широта места
наблюдения. Будем считать, что математический горизонт совпадает с нижним краем
снимка. Отложим отрезок горизонта между точками пересечения с вертикальной линией и
небесным экватором. Обозначим его как a. Соответствующее угловое расстояние можно
определить, сравнив отрезок a с каким-либо другим известным отрезком, например,
отрезком
между экватором и эклиптикой. Угловое расстояние a составляет 16 . Точка
пересечения горизонта и небесного экватора – точка востока с азимутом –90 .
Соответственно, азимут центра фотографии равен
A = –90 + a = –74 .
85
Поглощение у горизонта можно также определять разными способами. Основой для этого
можно взять звезду Сириус, восходящую между горами. Сириус – самая яркая звезда
ночного неба, с блеском около –1.5m. Тем не менее, она выглядит на фотографии слабее
Ригеля ( Ориона, около 0m), и примерно так же, как Бетельгейзе (
Ориона, около 0.5m).
Поэтому можно оценить поглощение у горизонта рядом с Сириусом в 2m.
Если значения блеска звезд неизвестны, то можно использовать и другие методы.
Возьмем квадратный участок небесной сферы рядом с Сириусом (квадрат 1) и такой же по
размеру квадрат на большой высоте над горизонтом (квадрат 2). Важно, что данные
квадраты располагаются на одинаковом угловом расстоянии от Млечного Пути,
проходящего через созвездие Ориона. Поэтому можно считать, что при отсутствии
поглощения число звезд, видимых в этих квадратах, будет одинаковым. Их примерный
подсчет на реальном снимке дает N1=40 для первого квадрата и N2=100 для второго
квадрата. Считая, что число звезд с яркостью, большей некоторой величины j
пропорционально 1/j (что весьма близко к действительности), получаем, что звезды в
квадрате 1 ослаблены в 2.5 раза, то есть на 1m.
Разница результатов двух методов вычисления поглощения не должна вызывать
удивления. Первый метод относится к Сириусу, только появившемуся у горизонта, а второй
86
– усредняет данные по квадрату, центр которого находится на 4-5
выше Сириуса.
Очевидно, значение поглощения вблизи горизонта существенно зависит от высоты.
Рекомендации для жюри. Первым этапом решения является отождествление наиболее
примечательных объектов на снимке по звездной карте. Участник олимпиады может
ограничиться указанием лишь нескольких объектов, необходимых для дальнейшего решения
задачи. Этот этап решения оценивается в 2 балла. Определение широты места оценивается в
3 балла, определение азимута центра кадра – в 2 балла. Последняя часть решения – оценка
поглощения у горизонта – может выполняться любым из предложенных выше способов,
участники могут предложить и свои методы. Максимальная оценка за этот этап решения
составляет 3 балла.
№ 2. Темная Луна.
Условие. Вам предложены фотография и «фотометрический срез» диска Луны по диаметру
(вдоль линии, показанной на фотографии), одновременно полученные С.А. Коротким в САО
РАН незадолго до начала полной фазы лунного затмения 15 июня 2011 года. Для удобства
срез представлен в двух масштабах по относительной яркости. Считая, что яркость диска
Луны в полутени линейно возрастает от внутренней до внешней границы, оцените звездную
величину Луны в тот момент, когда она полностью войдет в тень Земли.
87
Решение. Рассмотрим схему лунного затмения:
88
Солнце
Земля
Луна
Земля отбрасывает конус тени в сторону, противоположную Солнцу. Этот конус окружен
полутенью,
в
которой
солнечный
свет
ослаблен
частично,
его
количество
(по
предположению в условии задачи) линейно возрастает от края тени к внешнему краю
полутени. Как видно из рисунка, кольцо полутени при наблюдении с Земли имеет угловую
толщину , равную видимому диаметру Солнца. Видимый диаметр Луны, видимый с Земли,
примерно такой же, поэтому начало теневой фазы лунного затмения практически совпадает
с полным вступлением Луны в полутень Земли.
В ситуации, описанной в условии задачи, Луна в значительной степени погрузилась в
тень Земли, и только ее западная часть остается во внутренних областях полутени.
Определим фазу теневого затмения. Это можно сделать по самой фотографии, но подобные
измерения затруднены сильной засветкой полутеневой части Луны. Более точно это можно
сделать по графикам.
Отмечая края диска Луны и тени, получаем, что фаза теневого затмения F составляет
0.87. Яркий край Луны отстоит от тени на (1–F), т.е. на 0.13 часть диаметра Луны и такую же
часть толщины полутени. В соответствии с предположением в условии задачи,
поверхностная яркость этого края равна
JP
J 0 ( 1 F ),
где J0 – поверхностная яркость Луны вне затмения. Отсюда мы можем оценить эту величину
в единицах, указанных в графиках:
J0
JP
1 F
89
140000.
Здесь мы пренебрегли фоном JB, поскольку он значительно слабее свечения Луны в
полутени. Для поверхности Луны, погрузившейся в тень, влияние фона уже велико.
90
Поверхностная яркость Луны в тени существенно меняется, но для оценки мы можем взять
характерную среднюю величину JU, указанную на рисунке. После вычитания фона получаем
JU 0
JU
JB
230.
Зная блеск полной Луны, вычисляем ее звездную величину в полной фазе затмения по
формуле Погсона:
mU
12.7 2.5 lg
JU 0
J0
6.
К ответу необходимо добавить, что реальные измерения проводились в красной области
спектра, где блеск Луны ослабляется не так сильно, как для более коротких длин волн, и
даже в полной фазе затмения Луна остается достаточно яркой.
Рекомендации для жюри. На первом этапе решения участники олимпиады должны указать,
что видимый диаметр Луны и видимая толщина полутени практически одинаковы, данный
вывод оценивается в 2 балла. Опираясь на этот вывод, участники могут оценить фазу
теневого затмения и далее – яркость Луны вне полутени в единицах, указанных на графиках.
Данная часть решения оценивается в 3 балла. Еще 3 балла выставляются за оценку яркости
Луны в тени. Результаты этой оценки могут несколько отличаться от приведенных выше,
что не считается за ошибку. Но если при этом не вычитается яркость фона неба, то вместо 3
баллов выставляется 1. Наконец, применение формулы Погсона и оценка звездной величины
Луны в полном затмении оценивается еще в 2 балла.
№ 3. Летящие Гиады.
Условие. Перед Вами карта части созвездия Тельца со звездным скоплением Гиады.
Наиболее яркие звезды подписаны номерами по каталогу Флемстида. В таблице для
некоторых звезд приведены координаты, величины собственных движений и лучевых
скоростей. Обозначьте звезды, не принадлежащие скоплению, а также определите
расстояние до Гиад.
Номер по
(2000.0)
(2000.0)
Флемстиду
91
cos
vR
ч
м
с
°
'
"
"/год
"/год
км/c
48
04 15 46.3 +15 24 02
+0.116
–0.029
+36
54
04 19 47.6 +15 37 39
+0.115
–0.025
+39
57
04 19 57.7 +14 02 07
+0.116
–0.021
+42
58
04 20 36.3 +15 05 43
+0.108
–0.024
+36
60
04 22 03.5 +14 04 38
+0.113
–0.026
+41
61
04 22 56.1 +17 32 33
+0.107
–0.030
+39
63
04 23 25.0 +16 46 38
+0.104
–0.028
+35
64
04 24 05.8 +17 26 38
+0.110
–0.038
+39
68
04 25 29.4 +17 55 41
+0.108
–0.028
+35
70
04 25 37.3 +15 56 27
+0.107
–0.028
+38
71
04 26 20.8 +15 37 06
+0.112
–0.023
+38
73
04 26 36.4 +14 42 49
–0.002
–0.033
+32
75
04 28 26.4 +16 21 35
+0.006
+0.028
+18
76
04 28 23.4 +14 44 27
+0.108
–0.024
+44
77
04 28 34.5 +15 57 44
+0.103
–0.027
+40
78
04 28 39.7 +15 52 15
+0.103
–0.025
+40
80
04 30 08.6 +15 38 17
+0.102
–0.024
+30
81
04 30 38.9 +15 41 31
+0.103
–0.023
+39
83
04 30 37.3 +13 43 28
+0.106
–0.023
+39
85
04 31 51.8 +15 51 06
+0.101
–0.027
+36
86
04 33 50.9 +14 50 40
+0.103
–0.027
+40
87
04 35 55.2 +16 30 33
+0.063
–0.190
+54
89
04 38 09.4 +16 02 00
+0.093
–0.023
+38
91
04 39 09.2 +15 47 59
+0.039
–0.072
+19
92
04 39 16.5 +15 55 05
+0.083
–0.018
+36
92
N
4h 48m
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
92
91
4h 40m
89
87
86
85
4h 32m
8180
83
75
77
78
76
71
73
68
70
64
61
63
4h 24m
60
58
54
57
48
4h 16m
+18d
+17d
+16d
+15d
+14d
4h 08m
93
Решение. Изобразим стрелками на звездной карте направления собственных движений
звезд, сделав длины стрелок пропорциональными модулям собственных движений. По этому
рисунку видно, что собственные движения большинства звезд близки друг к другу, лишь у
четырех звезд они заметно отличаются. Это звезды 73 Тельца, 75 Тельца, 87 Тельца (она же
Альдебаран или
Тельца) и 91 Тельца. По таблице мы можем видеть, что и лучевые
скорости данных звезд заметно отличаются от лучевых скоростей остальных звезд. Эти
четыре звезды не являются членами звездного скопления Гиады, и проецируются на их фон
лишь случайно.
У остальных звезд собственное движение похоже как по направлению, так и по
величине. Близкие значения имеют и лучевые скорости звезд. Из этого мы можем сделать
вывод, что они принадлежат звездному скоплению Гиады. Лучевые скорости звезд
положительны, то есть Гиады от нас удаляются.
При более внимательном рассмотрении можно увидеть, что собственные движения
не совсем параллельны, они сходятся под небольшим углом. Это есть следствие эффекта
перспективы, аналогичного метеорному потоку, только в данном случае объекты удаляются,
и их видимые движения сходятся в точке антиапекса, показывающего направление
движения звезд относительно наблюдателя в пространстве.
Положение антиапекса на небе можно определить графически, продолжая линии
собственного движения звезд на карте. В данном случае это не совсем удобно, так как
антиапекс будет располагаться далеко за пределами карты. Более того, все собственные
движения звезд, строго говоря, не сходятся в одной точке, так как кроме движения со всем
скоплением в пространстве, звезды имеют собственные («пекулярные») скорости внутри
скопления. Они могут быть особенно заметными для нескольких звезд, возможно
испытавших тесные сближения с соседними звездами в ходе своей эволюции. Поэтому мы
можем определить лишь характерное положение антиапекса на основе данных о движении
указанных звезд.
Эту задачу можно решить более строго, без графических построений за пределами
карты. Нанесем на диаграмму значения прямых восхождений звезд и их собственных
движений по прямому восхождению. Аналогичная диаграмма строится и для склонений. Мы
видим, что большинство звезд располагаются вблизи прямой линии, однако две из них
заметно отклоняются (64 и 92 Тельца, собственное движение первой из них характеризуется
заметным отличием по обеим координатам). Данные, соответствующие этим звездам,
обозначены звездочками. Через остальные точки (ромбики) проводятся прямые линии,
94
соответствующие линейным зависимостям, также записанным на диаграммах. Из них мы
получаем координаты
0
и
0,
соответствующие нулевым собственным движениям:
0
= 5.9ч;
0
= +9 .
Это есть координаты антиапекса, который можно найти и графическим путем. Данная точка
находится вблизи продолжений линий собственных движений звезд. Она располагается на
небе недалеко от самих Гиад, что позволяет нам рассматривать картину как плоскую и
пользоваться подобными линейными соотношениями. Приняв в качестве видимого центра
Гиад точку с координатами
= +16 , определим расстояние между центром Гиад и
= 4.5ч;
антиапексом:
(
0
) 2 cos 2 ( (
0
) 2) (
0
)2
22  .
Антиапекс
vT
v
L
Наблюдатель
Изобразим
схему
движения
Гиады
Гиад
относительно
наблюдателя.
vR
Обозначим
полное
собственное движение центра Гиад как . Для него справедливо соотношение:
(
cos )2
2
vT
,
L
где vT – тангенциальная скорость центра Гиад, а L – расстояние до него. С другой стороны,
vT
v R tg .
95
N
4h 48m
W 0 1 2 3 4 5 6 7 8
92
91
4h 40m
89
87
86
85
4h 32m
8180
83
75
77
78
76
71
73
68
70
64
61
63
4h 24m
60
58
54
57
48
4h 16m
+18d
+17d
+16d
+15d
+14d
4h 08m
96
6
0
,ч
=
0
+A
cos
5
4
3
0.00
0.05
cos , "/год
0.10
0.15
20
,°
15
=
0
+D
10
0
-0.05
-0.04
-0.03
, "/год
Отсюда получаем:
L
v R tg
97
.
-0.02
-0.01
5
0.00
Нам удобно выразить величину L в парсеках (206265
секунду, а
1.5 108 км), vR – в километрах в
– в угловых секундах (206265–1 радиан) в год (3.156 107 секунд). Тогда
получаем:
L( пк ) 206265 1.5 10
L( пк )
8
v R ( км / с ) tg
v R ( км / с ) tg 3.156 10 7
(' ' / год ) 1.5 10 8
206265 3.156 10 7
;
(' ' / год )
v R ( км / с ) tg
;
4.74 (' ' / год )
Лучевая скорость центра скопления составляет +39 км/с, собственное движение – 0.106"/год.
Расстояние до Гиад получается равным 30 пк. Это в полтора раза меньше истинного
значения, что связано с большой ошибкой определения координат антиапекса по малому
количеству звезд.
Рекомендации для жюри. На первом этапе решения участники олимпиады отделяют
звезды, не относящиеся к Гиадам. Этот этап оценивается в 1 балл. Далее необходимо сделать
вывод, что собственные движения Гиад сходятся к некоторой точке (или области) неба, что
также оценивается в 1 балл. Следующие 4 балла выставляются за определение координат
антиапекса Гиад. Это может делаться с помощью диаграмм (см. выше) или продолжением
линий собственных движений. При этом допускается существенное отклонение (в несколько
градусов) координат антиапекса от приведенных выше значений. Последние 4 балла
выставляются за вычисление расстояния до Гиад. Допускается существенное отличие
результата от 30 пк, если оно вызвано иными значениями координат антиапекса.
7.4. Общая оценка и процедура присвоения дипломов.
По окончании работы жюри по каждому из туров оргкомитет заполняет итоговый протокол.
Оценка участника за решение каждой из задач получается суммированием двух оценок
независимых членов жюри. Таким образом, итоговая оценка за одну задачу выставляется на
теоретическом туре по 16-балльной системе, на практическом туре – по 20-балльной
системе, при этом возможны премиальные баллы. Общая оценка участника получается
суммированием его оценок по всем задачам обоих туров. Максимальная оценка (без учета
премиальных баллов) по теоретическому туру составляет 96 баллов, по практическому туру
– 60 баллов, по всей олимпиаде – 156 баллов.
98
Заполнив итоговый протокол Олимпиады, представители оргкомитета передают в
жюри копию его последнего столбца с общей суммой баллов каждого школьника без
указаний имен и промежуточных результатов. На основе этих данных жюри распределяет
дипломы I и II степени в каждой возрастной группе. При распределении дипломов члены
жюри руководствуются нормативами, предусмотренными Положением о Всероссийской
олимпиаде школьников, с учетом фактического распределения участников по количеству
набранных баллов. В соответствии с Положением, дипломы победителя олимпиады
получают участники, набравшие наибольшее количество баллов в своей возрастной
параллели. Общее количество победителей не должно превышать 8% от числа участников
олимпиады. Дипломы призеров олимпиады получают участники, следующие в итоговом
протоколе за победителями. Общее количество победителей и призеров в каждой возрастной
параллели не должно превышать 45% от числа участников олимпиады.
Жюри утверждает схему распределения дипломов открытым голосованием и
передает ее в оргкомитет, публикующий полный итоговый протокол олимпиады. Протокол
подписывается всеми членами жюри.
99
Содержание
1. Документы, определяющие содержание заданий и ссылки на учебно- 1
методическую литературу.
1.1. Вопросы по астрономии, рекомендуемые методической комиссией 1
Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки
школьников к решению задач этапов Олимпиады.
1.2. Список литературы, рекомендуемой при подготовке к олимпиаде по 7
астрономии.
1.3. Справочная информация, разрешенная к использованию участниками на 8
Региональном этапе Российской олимпиады по астрономии и подлежащая к
выдаче вместе с условиями задач.
2. Общая характеристика содержания предложенных заданий.
12
3. Общая характеристика структуры предложенных заданий.
13
4. Методические рекомендации по проведению Заключительного этапа 15
олимпиады по астрономии. Процедура проведения Заключительного этапа.
5. Блоки содержания и основные умения, подлежащие проверке.
17
6. Комплекты заданий.
19
6.1. Задания теоретического тура.
19
6.2. Задания практического тура.
23
7. Решения, система оценивания отдельных заданий и работы в целом.
33
7.1. Система оценивания заданий – общая часть.
33
7.2. Решения задач теоретического тура и рекомендации для жюри.
34
7.3. Решения задач практического тура и рекомендации для жюри.
67
7.4. Общая оценка и процедура присвоения дипломов.
98
100