207. Определить количество вещества ν водорода

207. Определить количество вещества ν водорода, заполняющего сосуд объемом V=3 л,
если концентрация молекул газа в сосуде n = 2×1018 м-3.
V = 3л
Число атомов в ν количестве молей равно N=NA×ν, где NA = 6.023×1023моль-1
n = 2×1018 м-3
– число Авогадро. Тогда концентрация равна
ν=?
n=
N NA × ν
=
.
V
V
ν=
n × V 2 × 1018 м − 3 × 3 × 10 − 3 м 3
=
≅ 10 −8 моль .
−
23
1
NA
6,023 × 10 моль
Откуда
искомая
величина
217. Определить относительную молекулярную массу Mr газа, если при температуре
Т=154 К и давлении P=2,8МПа он имеет плотность ρ = 6,1 кг/м3.
Воспользуемся уравнением Клапейрона – Менделеева, применив его к газу
T = 154K
P = 2,8МПа
3
PV =
ρ = 6,1 кг/м
Mr= ?
m
RT , P –давление газа, V – объем сосуда, T – температура газа, R =
M
8.31Дж/(моль×К) – молярная газовая постоянная. Откуда
Нам известно, что плотность ρ =
Откуда искомая величина M =
m PM
.
=
V RT
m
m PM
, поэтому ρ = =
.
V
V RT
ρ × RT
P
Подставляем числа.
M=
6.1кг / м 3 × 8,31Дж /(моль × К ) × 154К
= 0,0028кг / моль = 2,8г / моль .
6
2.8 × 10 Па
Поэтому относительная молекулярная масса равна Mr=2.8.
227. Водород находится при температуре T=300К. Найти среднюю кинетическую
энергию <εвр> вращательного движения одной молекулы, а также суммарную
кинетическую энергию Eк всех молекул этого газа; количество водорода ν = 0,5 моль.
H2
ν = 0,5 моль
T=300К
ε вр = ?
Ek = ?
Средняя кинетическая энергия вращательного движения одной молекулы
равна ε вр =
i вр
2
kT , где k=1.38×10-23Дж/К – постоянная Больцмана, iвр –
поступательные степени свободы молекулы (iвр=2 в нашем случае т.к.
молекула двухатомная). Поэтому
ε вр =
i вр
2
kT =
2
kT = kT . Подставляем
2
числа. ε вр = 1.38 × 10 − 23 Дж / моль × 300К = 4,1 × 10 − 21 Дж .
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы
равна
ε кин =
i
kT , где k=1.38×10-23Дж/К – постоянная Больцмана, i –
2
поступательные степени свободы молекулы (i=3 в нашем случае т.к. три
поступательных движения возможны).
Общее количество молекул в ν молей вещества равно N=NA×ν, где
NA=6.023×1023моль-1 – число Авогадро. Поэтому суммарная кинетическая
энергия
равна
i
i
E k = N × ε кин = N A × ν × kT = ν × RT ,
2
2
R=8.31Дж/(К×моль) – газовая постоянная.
Поэтому
3
i
E k = ν × RT = 0.5моль × × 8,31Дж / Кмоль × 300К = 1870Дж = 1,87кДж .
2
2
где
237. Найти удельные ср и сv, а также молярные Ср и Сv теплоемкости азота и гелия.
N2
He
Удельная теплоемкость при постоянном объеме c v =
i×R
, где i – число
2µ
µ(N2)=28г/моль степеней свободы, R=8.31Дж/мольК – молярная газовая постоянная.
µ(He)=4г/моль
Удельная теплоемкость при постоянном давлении c p =
Сp = ?
(i + 2)R
.
2µ
cр =?
1) Рассмотрим сначала азот:
Сv = ?
Число степеней свободы для азота равно 5 (3-поступательные и 2 -
cv =?
вращательные, так как газ двухатомный). Поэтому
cv =
5 × 8.31
Дж /(кгК ) = 742Дж /(кгК) .
2 × 0.028
cp =
7 × 8.31
Дж /(кгК ) = 1038.8Дж /(кгК ) .
2 × 0.028
Молярная теплоемкость при постоянном объеме
Сv =
i × R 5 × 8.31
=
Дж /(мольК ) = 20.8Дж /(мольК ) .
2
2
Молярная теплоемкость при постоянном давлении
Сp =
(i + 2) R 7 × 8.31
=
Дж /(мольК ) = 29,1Дж /(мольК ) .
2
2
2) Рассмотрим теперь гелий:
Число степеней свободы для гелия равно 3 (3-поступательные и ни одной
вращательной, так как газ одноатомный). Поэтому
cv =
3 × 8.31
Дж /(кгК ) = 3120Дж /(кгК ) .
2 × 0.004
cp =
5 × 8.31
Дж /(кгК ) = 5194Дж /(кгК ) .
2 × 0.004
Молярная теплоемкость при постоянном объеме
Сv =
i × R 3 × 8.31
=
Дж /(мольК ) = 12.5Дж /(мольК ) .
2
2
Молярная теплоемкость при постоянном давлении
Сp =
(i + 2) R 5 × 8.31
=
Дж /(мольК ) = 20,8Дж /(мольК ) .
2
2
247. При каком давлении P средняя длина свободного пробега <λ> молекул азота равна 1 м,
если температура газа T=10°С?
T = 10ºC
N2
-10
Средняя длина свободного пробега молекул вычисляется по формуле
λ =
d=3×10 м
M=0,028кг/моль
P=?
1
2πd 2 n
, где d – эффективный диаметр молекулы, n – число молекул
в единице объема, которое можно найти из уравнения n =
постоянная Больцмана. Поэтому λ =
Откуда P =
kT
2πd 2 P
.
kT
.
2πd 2 × λ
Подставляем числа
P=
1.38 × 10 − 23 Дж / К × (10 + 273)К
= 9,7 × 10 − 3 Па = 9,7мПа .
−
10
2
2 × 3,14 × (3 × 10
м) × 1м
P
, где k –
kT
257. Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества
ν=0,4моль при изотермическом расширении, если при этом газ получит теплоту Q =800 Дж?
Температура водорода Т =300 К.
Q = 800Дж
Применим первый закон термодинамики. Согласно которому, количество
ν = 0.4моль
теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней
T = const
энергии ∆U и на внешнюю механическую работу A: Q=∆U+A.
T = 300 К
Величина ∆U = m×cv×∆T = 0 при изотермическом процессе так как T = const
V2/V1=?
и ∆T=0. Поэтому изменение внутренней энергии газа равно нулю.
Тогда Q=∆U+A=A, откуда работа совершаемая газом A=Q=800Дж.
V2
С другой стороны работа равна A = ∫ P(V )dV . Воспользуемся уравнением
V1
Клапейрона – Менделеева PV =
m
RT = νRT где P давление, ν – количество
M
молей, V – объем сосуда, T – температура газа, R = 8.31Дж/(моль×К) –
молярная газовая постоянная. Поэтому P( V ) =
νRT
. Подставляем в интеграл
V
V 2 dV
V 2 νRT
V2
.
dV = νRT ∫
и получаем A = ∫
=νRT ln
V
1
V
V
V1
V1
Работа A нам известна, поэтому мы можем найти V2/V1:
V2


800Дж
 A 
 Q 
= exp
 = 2,23 .
 = exp
 = exp
V1
 νRT 
 νRT 
 0.4моля × 8,31Дж / мольК × 300К 
То есть объем увеличится в 2.23 раза.
267. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия η цикла Карно при
повышении температуры теплоотдатчика от T1 = 380 К до T1’ = 560 К? Температура
теплоприемника T2 = 280 К
T1 = 380 К
T − T2
T
КПД тепловой машины равен η = 1
= 1 − 2 , где T1 – температура
T1
T1
T1’ = 560 К
нагревателя, T2 – температура холодильника.
η'
=?
η
T − T2
T '−T
Тогда η = 1
, и η' = 1 2 .
T1
T1 '
T2=280 К
Искомое отношение равно
η' (T1 '−T2 ) × T1 (560К − 280К ) × 380К
= 1,9 .
=
=
η (T1 − T2 ) × T1 ' (380К − 280К ) × 560К
277. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром канала d=1мм.
Определить массу m воды, вошедшей в трубку.
d =1мм
α=0,04Н/м
m=?
Так как поверхность жидкости в капилляре принимает вогнутую
сферическую форму, то внутреннее давление p жидкости в капилляре будет
меньше, чем вне капилляра, на величину избыточного давления под
2α
сферической поверхностью: ∆p =
, где R – радиус кривизны мениска, α –
R
коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Поэтому жидкость в
капилляре поднимается на такую высоту h, при которой оказываемое ею
2α
2α
давление станет равным избыточному: h × ρ × g =
, откуда h =
,
R
R ×ρ×g
где ρ – плотность жидкости (ρ=1000кг/м3 для воды), g –ускорение силы
тяжести. Так как угол между радиусами r и R и краевой угол θ равны между
r
собой, то R =
. Подставляя это значение в формулу высоты, получим
cos θ
2α × cos θ
2α
h=
. При условии полного смачивания θ=0º получаем h =
.
r×ρ×g
r ×ρ× g
4α
Так как r=d/2, то h =
.
d×ρ×g
2
d
Объем цилиндра высотой h и диаметром d равен V = h × π ×   .
 2
2
d
Масса воды в объеме V равна m = ρ × V = ρ × h × π ×   . Подставляем сюда
2
2
4α
4α
α× π×d
d
и получаем m = ρ × V = ρ ×
.
× π×  =
h=
d×ρ×g
d ×ρ× g
g
 2
Подставляем числа. m =
0.04Н / м × 3,14 × 1 × 10 −3 м
9,81м / с
2
= 1,28 × 10 − 5 кг .