ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ
Выполнение лабораторных работ связано с измерением различных физических величин
и последующей обработкой полученных результатов. Поскольку не существует
абсолютно точных приборов и других средств измерения, следовательно, не бывает
и абсолютно точных результатов измерения. Погрешности возникают при любых
измерениях, и только правильная оценка погрешностей проведенных измерений и
расчетов позволяет выяснить степень достоверности полученных результатов.
Абсолютная погрешность измерения
Предположим, что диаметр стержня, измеренный штангенциркулем, оказался равным
14 мм. Можно ли быть уверенным, что он пройдет в “идеальное” отверстие того же
диаметра? Если бы этот вопрос был поставлен чисто ”теоретически“, то ответ был бы
утвердительным, но на практике может получиться иначе. Диаметр стержня был
определен с помощью реального измерительного прибора, следовательно, с некоторой
погрешностью. Значит 14 мм - это приближенное значение диаметра – Xпр. Определить
его истинное значение невозможно, можно только указать некоторые границы
достоверности полученного приближенного результата, внутри которых находится
истинное значение диаметра нашего стержня. Эта граница называется границей
абсолютной погрешности и обозначается ΔX (её часто называют просто абсолютной
погрешностью). Поэтому наш стержень может пройти в отверстие, а так же может и не
пройти в него: все зависит от того, в каком месте интервала [Xпр - ΔX, Xпр + ΔX]
находится истинное значение диаметра нашего стержня. На рисунке 1 показан случай,
когда стержень в отверстие не пройдет.
Рисунок 1
Итак, абсолютная погрешность показывает, насколько неизвестное экспериментатору
истинное значение измеряемой величины может отличаться от измеренного значения.
Результат измерения с учетом абсолютной погрешности записывают так:
x  x пр   x
Относительная погрешность измерения
Значение абсолютной
погрешности все же не позволяет в полной мере оценить
качество наших измерений. Если, например, в результате измерений установлено,
что длина стола с учетом абсолютной погрешности равна (100± 1) см, а толщина его
крышки равна (2 ± 1) см, то качество измерений в первом случае выше (хотя граница
абсолютной погрешности измерений в обоих случаях одинакова). Качество измерений
характеризуется относительной погрешностью ε, равной отношению абсолютной
погрешности ΔX к значению величины Xпр, получаемой в результате измерения:


x
x пр
.
При выполнении лабораторных работ выделяют следующие виды погрешностей:
погрешности прямых измерений; погрешности косвенных измерений; случайные
погрешности и систематические погрешности.
ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Прямое измерение - это такое измерение, при котором его результат определяется
непосредственно в процессе считывания со шкалы прибора. В нашем первом примере
с определением диаметра стержня речь шла как раз о таком измерении. Погрешность
прямого измерения обозначается значком Δ. Если вы умеете правильно пользоваться
измерительным прибором, то погрешность прямого измерения зависит только от его
качества и равна сумме инструментальной погрешности прибора (Δ и) и погрешности
отсчета (Δ 9). Таким образом: Δ = Δ и + Δ о
Инструментальная погрешность измерительного прибора (Δи) определяется на
заводе-изготовителе. Абсолютные
инструментальные
погрешности измерительных
приборов, чаще всего используемых для проведения лабораторных работ, приведены
в таблице 1.
Таблица 1
Средства измерения
Линейка ученическая
Линейка чертежная
Линейка
инструментальная
(стальная)
Линейка
демонстрационная
Лента измерительная
Измерительный цилиндр
Штангенциркуль
Микрометр
Динамометр учебный
Секундомер
электронный
Барометр-анероид
Термометр спиртовой
Термометр ртутный
Амперметр школьный
Вольтметр школьный
Предел
измерения
До 30 см
До 50 см
До 30 см
Цена
деления
1 мм
1 мм
1 мм
100 см
1 см
150 см
до 250 мл
150 мм
25 мм
4Н
100 с
0,5 см
1 мл
0,1 мм
0,01 мм
0,1 Н
0,01 с
720-780 мм.рт.ст
0-100оС
До 250оС
2А
6В
1 мм.рт.ст.
1оС
1оС
0,1 А
0,2 В
Инструментальная
погрешность
 1 мм
 0,2 мм
 0,1 мм

0,5 см
0,25 см
 1 мл
 0,05 мм
 0,005 мм
 0,05 Н
 0,01 с


3 мм.рт.ст.
о
 1 С
о
 0,5 С
 0,05 А
 0,15 В
Погрешность отсчета измерительного прибора (Δ о) связана с тем, что указатель
прибора не всегда точно совпадает с делениями шкалы. В этом случае погрешность
отсчета не превосходит половины цены деления шкалы.
Поэтому абсолютную погрешность прямого измерения находят по формуле
  И +
с
.,
2
где с - цена деления шкалы измерительного прибора.
Учитывать погрешность отсчета надо только в тех случаях, когда указатель прибора
при измерении находится между нанесенными на шкалу прибора делениями. Не имеет
смысла учитывать, погрешности отсчета у цифровых измерительных приборов.
Одновременно учитывать обе составляющие погрешности прямого измерения
следует лишь в том случае, если их значения близки друг к другу. Любым из
этих слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит одной трети или одной
четверти второго. В этом состоит так называемое правило "ничтожных погрешностей".
ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Если результат эксперимента определяется на основе расчетов, то измерения
называются косвенными.
Например, при определении
импульса тела p = mv,
скорости равноускоренного движении V = V0 + at и т.п. Однако нам не удастся
подсчитать погрешность полученного результата косвенных измерений так же просто,
как при проведении прямых измерениях.
Предположим, что нам необходимо определить периметр и площадь прямоугольника.
Произведя измерения линейкой, мы получим длины его сторон. Пусть длина одной
стороны прямоугольника будет равна a, другой - b. Тогда периметр р прямоугольника
будет равен p=2(a + b), а его площадь s = ab. Можно ли утверждать, что погрешности
результатов расчета периметра прямоугольника и его площади будут одинаковыми?
Вряд ли, ведь формулы, которыми пользовались при расчете разные: при нахождении
периметра величины, полученные при измерении, мы складывали, а при подсчете его
площади - перемножали.
При расчете погрешности результатов косвенных измерений нам придется учитывать,
как выглядит формула, по которой производился расчет искомой величины. В теории
погрешностей доказывается, как это можно сделать в общем виде. Мы же
воспользуемся набором готовых формул для вычисления относительной погрешности
результатов косвенных измерений. Формулы расчета относительных погрешностей
для различных случаев приведены в таблице 3.
Таблица 2
Вид
функции
xA B
x
A
B
xA
AB
 x A  B 
n
1 1

A B
A
A
A
A
x


x  sin A
x  cosA
 x  ctgA A
 x  tgA A
x  tgA
 x  2 A
sin 2A
k m
.
p
B
B Значения k, m и p найдены прямыми измерениями во
B
время проведения эксперимента. Их абсолютные
погрешности соответственно равны  k ,  m ,  p .
Подставляя полученные значения в формулу, получим
B приближенное значение x .
пр
n A
A
A
1
x  A 
n
nA
2
2
x  A A  B B
1 A 1 B
 x  n A 
xn A
x
x 
Пусть, например, некоторая физическая величина х
рассчитывается по формуле:
A   B
 x A  B 
x  AB
Как пользоваться этой таблицей?
Относительная
погрешность
Затем следует рассчитать относительную погрешность
результата косвенных измерений -  x , воспользовавшись
соответствующей формулой из таблицы 3.
На первый взгляд может показаться, что такой формулы в
таблице нет. При более внимательном анализе ситуации
заметим, что в нашем случае искомое значение находится
как отношение двух величин k + m = А и р = В, поэтому
нам можно воспользоваться формулой Х = А : В.
В нашем случае из таблицы 3 имеем для отношения А : В:
 x   A   B или   

k m
x
p
Из этой же таблицы мы можем узнать, как рассчитать
относительную погрешность суммы:
Следовательно,
x 

k  m
k m

p
p
 k m 
k  m
k m
.
.
Теперь можно найти значение границе абсолютной погрешности результатов косвенных
измерений, которая рассчитывается несколько иначе, чем при проведении прямых
измерений. Для вычисления абсолютной погрешности результатов косвенных обычно
измерений используют формулу для расчета относительной погрешности

Откуда

x  x пр  ..

x
x пр
.
Окончательный результат косвенных измерений записывают в виде:
x  x пр   x .
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЦ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ, СРАВНЕНИЕ
РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ.
ЗАПИСЬ ОКОНЧАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
При использовании таблиц следует помнить о том, что погрешности приведенных в них
значений имеют границу, равную ±0,5 в следующем разряде за последней значащей
цифрой. Например, если в таблице указано, что плотность равна 2,7 103 кг/м3, то на
самом деле ее значение - (2,7 ± 0,5) 103 кг/м3.
При построении графиков следует иметь в
виду, что по результатам опытов мы
получаем не точку, а прямоугольник со
сторонами 2Δх и 2Δy (рис. 3). Поэтому при
построении графиков необходимо проводить
плавную линию так, чтобы по разные
стороны от кривой оказалось примерно
одинаковое число точек.
Погрешность измерения следует также
учитывать, если вы хотите убедиться в
достоверности измерения физической
величины,
действительное значение
которой известно. В этом случае надо
убедиться в принадлежности известного
значения физической величины интервалу
Рисунок 2
Рисунок 3
x
пр

  x (см. рис.4.).
Если вы проверяете закон А = В, то результат проверки будет достоверен лишь при
наличии общих точек у интервалов
 A   A и  B   B  ,
то есть при
частичном или
полном перекрывании этих интервалов
(рис.5),.
После того, как будет вычислена
Рисунок 4
граница абсолютной погрешности, ее
значение обычно округляется до одной значащей цифры. Затем результат измерения
записывается с числом десятичных знаков, не большим, чем их имеется в абсолютной
погрешности. Например, запись V = 0,56032 ± 0,028 м/с плоха. Из такой записи
следует, что мы как то сумели рассчитать численное значение скорости в тысячу раз
точнее, чем позволяли нам приборы. (Действительно, ответ дан с точностью до 5-го
знака после запятой, а погрешность имеется уже во втором знаке после запятой, что
полностью дискредитирует как сам результат, так и человека его записавшего).
В приведенном примере следует округлить значение абсолютной погрешности до одной
значащей цифры: ΔV = 0,03 м/с , а в приближенном значении скорости оставить два
знака после запятой (столько же, сколько и в абсолютной погрешности): V = 0,56 м/с.
Правильная запись ответа должна выглядеть так: V = 0,56 ± 0,03 м/с.
Погрешность взвешивания
Погрешности при взвешивании возникают не только из-за погрешностей гирь, но еще и
потому, что точность показания весов зависит от нагрузки на них.
График зависимости погрешности весов (ВТ2-200) от нагрузки приведен на рисунке 2,.
А погрешности гирь из набора Г4-210 для лабораторных работ приведены в таблице 2.
Номинальное значение
массы гири.
10мг; 20мг; 50мг; 100мг
200 мг
500 мг
1г
2г
5г
10 г
20 г
50 г
100 г
Рисунок 5
Границы
погрешности
 1 мг
 2 мг
 3 мг
 4 мг
 6 мг
 8 мг
 12 мг
 20 мг
 30 мг
 40 мг
Таблица 3
Таким образом, при использовании весов приходиться учитывать:
1) погрешность весов  Ивесов ;
2) погрешность гирь и разновесов
3) погрешность подбора гирь
 Игирь ;
 Ипо дб.гирь .
Погрешность подбора гирь аналогична погрешности отсчета и равна половине массы
наименьшей гири, лежащей на весах (либо выводящей ее из равновесия). Поэтому при
прямом измерении массы на весах:  =  Ивесов +  Игирь +  Ипо дб.гирь .
Пусть, например, взвешиваемое тело уравновешено на весах при помощи гирь,
номинальные значения которых (указанные на гирях) равны 50 г, 20 г, 100 мг и
выводятся из равновесия разновесом в 10 мг. Определим абсолютную погрешность
взвешивания. По графику зависимости погрешности весов от нагрузки найдем
погрешность весов  Ивесов . Она равна примерно 25 мг (для груза массой ~70 г).
Погрешность гирь найдем по таблице 2.
 Игирь =30+20+1=51 мг. Погрешность подбора будет равна
 Ипо дб.гирь =10 мг/2=5 мг.
Поэтому граница погрешности при взвешивании будет равна:
Следовательно, m = 70,10  0,081 г.
 =25+51+5=81
мг.
Инструментальные погрешности электроизмерительных приборов
Если при выполнении работы приходится пользоваться электроизмерительными
приборами, не указанными в таблице 1, то инструментальную погрешность прибора все
равно можно определить. Каждый электроизмерительный прибор в зависимости от
качества изготовления имеет определенный класс точности. Значение класса точности
наносится на его шкалу (изображается на шкале отдельно стоящим числом или числом в
кружке), который позволяет определить погрешность этого прибора.
Если класс точности миллиамперметра 4, а предел измерения этого прибора равен 250
мА; то абсолютная инструментальная погрешность прибора составляет 4% от 250 мА,
т.е.  И =10 мА.
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ.
Необходимо иметь ввиду, что во всех наших оценках границ погрешностей мы не
учитывали, что существуют так называемые
систематические погрешности. Эти
погрешности возникают по разным причинам: из-за влияния измерительного прибора на
процессы в измерительной установке; недостаточной корректности методики измерения;
неправильных показаний прибора (например из-за первоначального смещения стрелки
прибора от нулевого деления шкалы) и по другим причинам.
В школьном эксперименте устранить систематические погрешности довольно трудно изза того, что ограничен выбор средств измерения, и они имеют не очень высокое
качество. Поэтому при подготовке и проведении практических работ УЧИТЕЛЮ
приходится продумывать методику проведения эксперимента и тщательно подбирать
соответствующие приборы для сведения систематических погрешностей к минимуму.
Поэтому будем считать систематические ошибки не существенными и учитывать их при
расчете погрешности (во всяком случае пока) не будем.
СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
Часто при проведении повторных измерений какой-либо величины получаются несколько
различные результаты, отличающиеся друг от друга на величину большую, чем сумма
погрешностей прибора и отсчета. Это вызвано действием случайных факторов, которые
невозможно устранить в процессе эксперимента.
Допустим, что мы определяем дальность полета шарика, пущенного из баллистического
пистолета в горизонтальном направлении. Даже при неизменных условиях поведения
эксперимента шарик не будет попадать в одну и ту же точку поверхности стола. Это
связано с тем, что шарик имеет не совсем правильную форму, так как на боек ударного
механизма при движении в канале пистолета действует сила трения, изменяющаяся по
величине, положение пистолета в пространстве не совсем жестко зафиксировано и т.д.
Такой «разброс» результатов наблюдается практически всегда при выполнении серии
экспериментов. В этом случае за приближенное значение измеряемой величины берут
среднее арифметическое.
xср 
x 1  x 2  x 3 ... x n
n
Причем, чем больше будет проведено экспериментов, тем ближе будет среднее
арифметическое к истинному значению измеряемой величины.
Но и среднее арифметическое, вообще говоря, не совпадает с истинным значением
измеряемой величины. Как же найти границу интервала, в котором находится истинное
значение? Эта граница называется границей случайной погрешности -  x с л .
В теории расчета погрешностей показывается, что

xс л  3
(x1  x с р ) 2  (x 2  x с р ) 2  . . .  (x n  x с р ) 2
n
физической величины в 1, 2,...n опыте
, где
x1 , x 2 ,...x n
- значения
Погрешность среднего арифметического значения определяемой величины.
Когда мы находим среднее арифметическое значение некоторой величины по
результатам серии опытов, то естественно считать, что оно имеет меньшее отклонение
от истинного значения, чем каждый отдельный опыт серии. Другими словами,
погрешность среднего меньше, чем погрешность каждого опыта серии. В теории
погрешностей доказывается, что граница погрешности среднего значения равна:

xср 

xс л
n

3
(x1  x с р ) 2  (x 2  x с р ) 2  . . .  (x n  x с р ) 2
n
n
.
Окончательно имеем:

xср 
3 (x1  x с р )2 (x 2  x с р )2  ... (x n  x с р )2
n
.
Из этой формулы следует, что граница случайной погрешности среднего значения
стремится к нулю при увеличении числа опытов в серии. Это не значит, однако, что
можно проводить абсолютно точные измерения - ведь приборы, с помощью которых мы
получили результаты, также имеют погрешности. Поэтому погрешность среднего при
бесконечном увеличении числа опытов стремится к погрешности прибора.
Очевидно, что число опытов имеет смысл выбрать таким, чтобы случайная погрешность
среднего сравнялась с погрешностью прибора, либо стала меньше ее. Дальнейшее
увеличение
числа измерений теряет смысл, так как не увеличивает точность
получаемого результата: x  x с р   x , где  x - граница погрешности измерительного
прибора.
Если нет возможности по каким-либо причинам провести достаточное количество опытов
(т.е. не удается сделать погрешность среднего равной погрешности приборов), то
результат должен быть взят в виде: x  x с р   x с р , где  x с р - граница случайной
погрешности среднего.