ТЕРМОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ

Вестник СГТУ. 2011. № 4 (59). Выпуск 1
УДК 539.3
С.М. Шляхов, Э.Ф. Кривулина
ТЕРМОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ
БЕЗ ВНУТРЕННЕГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПРИ ПОРИСТОМ ОХЛАЖДЕНИИ
Представлены численные исследования напряженно-деформированного состояния прямоугольной в плане пластинки при пористом ее охлаждении с постоянной пористостью. В решении использован принцип освобождаемости от связей,
учтена чувствительность теплофизических и механических характеристик материалов к температуре.
Пористое охлаждение, прямоугольная пластина без внутреннего источника
тепла
S.М. Shlyakhov, E.F. Krivoulina
THERMOELASTIC CONDITION OF A RECTANGULAR PLATE
WITHOUT AN INTERNAL HEAT SOURCE AT POROUS COOLING
Numerical data of the rectangular plate intense-deformed condition is presented at
its porous cooling with constant porosity. The principle of freedom from communications
is used, and thermophysical and mechanical characteristics of materials sensitivity to
temperature are considered.
Porous cooling, rectangular plate without an internal source of heat
Пористое охлаждение – это процесс теплообмена твердое тело – жидкость. Охлаждение пористых тел происходит путем нагнетания жидкости или газа через капилляры твердого материала. Чтобы упростить решение задачи пористого охлаждения, заменяем реальную совокупность пор на эквивалентную ей систему, состоящую из одинаковых цилиндрических параллельных каналов.
Кроме этого, принимаем температуру твердого тела и температуру жидкости или газа внутри
пор одинаковыми. Это допущение также упрощает решение задачи.
Рассмотрим задачу пористого охлаждения плоской не выделяющей тепло пластины толщиной
h, выполненной из пористого материала со сквозной (капиллярной) пористостью. Температурное поле внутри пластины считается одномерным. Охлаждающая жидкость, нагнетаемая сквозь пластину в
положительном направлении (у), имеет при y = –∞ температуру Т0.
На верхнем торце пластинки поддерживается постоянная температура Т2. Боковые поверхности теплоизолированы. Теплофизические и механические характеристики материала зависят от местной температуры и пористости (рис. 1).
Тепловой режим в пластине – стационарный. Весовой расход охлаждающей жидкости в теле
пластины G, удельная теплоемкость С, коэффициент теплопроводности λ зависят от температуры Т и
пористости Р [1, 2].
Перенос тепла в такой пластине можно определить как сумму двух составляющих [3]. Первая
dТ
составляющая – это теплопроводность внутри твердого тела, равная − λ s (1 − P )
. Вторая составdу
64
Математика и механика
ляющая – это теплообмен твердое тело – жидкость. За счет этой составляющей температура жидкости повышается на dT = dq / GC , где G = ρv , v – скорость движения жидкости в теле.
Исходя из этого, количество тепла, отдаваемого твердым телом жидкости, должно быть равно
количеству тепла, переносимому за счет теплопроводности:
− λ s (1 − P )
 dТ d 2Т 
dТ
+ λ s (1 − P )
+ 2 dу  = GCdT .
dу
 dу dу

(1)
у
λ
Т2
Т1
Т0
G
жидкость
h
Рис. 1. Схема пористого охлаждения пластины в одномерном поле температур.
Таким образом, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет температура пластины, имеет вид
d 2Т
dТ
GC
− ξs
= 0 при 0 ≤ у ≤ h , где ξ s =
.
2
dу
dу
λ s (1 − P )
Тепловой баланс, составленный для жидкости, выглядит следующим образом:
d 2θ
dθ
GC
− ξf
= 0 при − ∞ ≤ у ≤ 0 , где ξ f =
.
2
λf
dу
dу
(2)
(3)
Из общего решения уравнения (2)
Т = C1e ξS у + C2
(4)
получим частное решение, которое удовлетворяет граничным условиям T = T1 при y = 0, T = T2 при
y = h:
(Т − Т )
(5)
Т = Т1 + ξ2S h 1 (eξS у − 1) для 0 ≤ у ≤ h .
(e − 1)
Общее решение уравнения (3) имеет вид
θ = C3e
ξf у
+ C4 .
(6)
Граничные условия для потока жидкости θ = T0 при у = −∞ , λ f
dθ
dТ
при y = 0.
= λ s (1 − P)
dу
dу
Частное решение уравнения (3), удовлетворяющее этим условиям, принимает вид
(Т − Т ) ξ у
θ = Т 0 + ξ2S h 1 e f для − ∞ ≤ у ≤ 0 .
(e − 1)
(7)
Исключая температуру T1 из уравнений (5) и (7), окончательно получим
Т = Т 0 + (Т 2 − Т 0 )e
у
−ξ S h (1− )
h
.
(8)
Рассмотрим тонкую, прямоугольную в плане пластинку, выполненную из пористого материала (рис. 2). Пластинка может быть как свободной, так и закрепленной по внешнему контуру.
65
Вестник СГТУ. 2011. № 4 (59). Выпуск 1
Y = y+(h – y0)
h << (a, b)
Q
y
Y
x
P(Y)
Mx
Mz
Y
y
hn
Т2
z
NP
O1
T(Y)
hi
Т2
O
y0
b
O
x
h
Т1
h
y0
b
h1
O1
Т1
а
Рис. 2. Схема прямоугольной пластины в одномерном поле температур
Для поиска нормальных температурных напряжений в пластинке исходим из посылки, что
толщиной h по сравнению с размерами в плане (a, b) и краевыми эффектами можно пренебречь. Полагаем также, что для случая капиллярной пористости справедливы прежние уравнения МДТ, принятые для несквозной (кажущейся) пористости. В этом случае с достаточной точностью можно использовать прием, основанный на принципе освобождаемости от связей [4, 5]. Расчетная схема свободной
пластины отражена на рис. 2.
При полном закреплении пластинки по краям в ней возникнут напряжения, обусловленные
стесненным тепловым расширением [5],
σ′x = σ′z ( y ) =
− E ( y )α( y )Т ( y )
.
1 − µ( y )
(9)
Здесь α(T(y)) – средний в рабочем диапазоне температур коэффициент линейного расширения материала как функция координаты (у)
1 Т
(10)
α(Т ( y )) =
∫ α(τ)dτ,
Т − Т 0 T0
T0 – начальная температура бруса, принимаемая чаще за ноль; E ( y ) = E (Т ) ⋅ E ( Р ) – переменный по
толщине пластинки модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры; µ( y ) = µ( Р ( y )) – переменный по толщине пластинки коэффициент Пуассона, зависящий от пористости.
Окончательные формулы для свободной пластины имеют вид
σ z (i ) = σ x (i ) = −
α( y ) E ( y )T ( y ) 1 − µ 0 Ei
+
n
1 − µ( y )
1 − µi ∑ E h
i i
α ( y ) E ( y )T ( y ) y
dy
1 − µ( y )
−( h0 − y0 )
y0
∫
i =1
(11)
Ei y
α( y ) E ( y )T ( y ) y
+
dy.
∫
(1 − µi )(1 − µ 0 ) D −( h0 − y0 )
1 − µ( y )
y0
Заметим, что в случае однородной пластины, т.е. при E = const, µ = const (i = 1, 2, …, n) из
формул (11) вытекают известные зависимости [6]
66
Математика и механика
h/2
αET ( y )
1
+
∫ αET ( y )dy
1− µ
h(1 − µ) −h / 2
12 y h / 2
+ 3
∫ αET ( y ) ydy.
h (1 − µ) −h / 2
σz = σx = −
(12)
На основании полученных формул проведено исследование полей температур и напряжений
прямоугольной пластины, выполненной из пористого железа. Высота пластины h = 0,05 м. Пористость постоянна по высоте сечения Р=0,3. Пластинка может быть свободной или защемленной по
контуру.
Взяты следующие охлаждающие агенты: вода, моторное масло, воздух (вода
, моторное
масло
, воздух
).
модуль Юнга
h
коэф. Пуассона
0,05
0,045
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,04
0,035
h
0,03
0,025
0,02
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
0,172
0,015
0,01
0,005
0
75
80
85
90
0,1725
а
0,173
б
2
Рис. 3. а – модуль Юнга (ГН/м ); б – коэффициент Пуассона
Температуры при y = –∞ равны T0 воды и моторного масла 20°С, T0 воздуха –10°С. Температура горячей поверхности пластины T2 во всех случаях равна 260°С. Весовой расход жидкостей и газа
кг
G одинаков и равен 2
.
с * м2
Изменение физических параметров – модуля Юнга и коэффициента Пуассона – по высоте
пластины для разных охлаждающих агентов изображено на рис. 3.
Влияние пористости на теплофизические характеристики – температуру и коэффициент линейного расширения – показано на рис. 4.
Рис. 5 отражает напряженное состояние при различных закреплениях пластины.
h
коэфф. лин. pасшире ния
темпе ратура
0,05
0,05
0,045
0,04
0,035
0,045
0,04
0,035
0,03
0,03
0,025
0,02
0,025
0,02
0,015
0,015
0,01
0,005
0
11,6
h
0,01
0,005
0
11,8
12
а
12,2
12,4
12,6
0
50
100
150
200
250
300
б
6
Рис. 4. а – температура (°С); б – коэффициент линейного расширения (⋅10 1/°С)
67
Вестник СГТУ. 2011. № 4 (59). Выпуск 1
h
h
скользящая заделка
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
-300
0,015
0,01
0,005
0
-300
-200
-100
0
осевые напряжения за счет теплового
расширения (жесткая заделка)
100
-200
а
-100
0
б
пластина свободна от связей
h
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
-200
-100
0
100
в
Рис. 5. а – напряжения в случае жесткого закрепления по контуру (МПа); б – напряжения в случае скользящей
заделки (МПа); в – напряжения в свободной от закрепления пластине (МПа)
Таким образом, полученное решение позволяет оценить НДС пластины при различных
условиях ее охлаждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Крэйт Ф. Основы теплопередачи / Ф. Крэйт, У. Блэк. М.: Мир, 1983. 512 с.
2. Кашталян Ю. А. Характеристики упругости материалов при высоких температурах /
Ю.А. Кашталян. Киев: Наукова думка, 1970. 112 с.
3. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности / П. Шнейдер. М.: Иностр. лит.,
1960. 479 с.
4. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер; под ред. Г.С. Шапиро.
2-е изд. М.: Наука, 1979. 560 с.
5. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения / Б.Е. Гейтвуд. М.: Иностр. лит., 1959. 349 с.
6. Справочник по машиностроительным материалам: в 4 т. / под ред. д-ра техн. наук проф.
Г.И. Погодина-Алексеева. М.: Машгиз, 1959.
Шляхов Станислав Михайлович –
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры
«Механика деформируемого твердого тела»
Саратовского государственного технического
университета имени Гагарина Ю.А.
Stanislav М. Shlyakhov –
Dr. Sc., Professor
Department of Deformable Solid Mechanics,
Yu. Gagarin Saratov State Technical University
Кривулина Эльвира Федоровна –
кандидат технических наук, доцент кафедры
«Информационные технологии
и прикладная математика»
Саратовского государственного аграрного
университета имени Н.И. Вавилова
Elvira F. Krivoulina –
PhD, Associate Professor
Department of Information Technology
and Applied Mathematics,
N. Vavilov Saratov State Agrarian University
Статья поступила в редакцию 27.10.11, принята к опубликованию15.11.11
68