МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Тепломассообмен

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Специальность 223200 – «Техническая физика»
Лекция 3. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников тепла
Плотность объемного тепловыделения
В рассматриваемых ранее задачах внутренние источники тепла отсутствовали. Однако в ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться тепло, например, выделение джоулева тепла при протекании электрического тока; выделение тепла в ТВЭЛах атомных реакторов;
выделение или поглощение тепла при протекании химических реакций.
Количественно интенсивность объемного выделения (поглощения) тепла характеризуется плотностью объемного тепловыделения qv – тепловым потоком, выделившимся в
единице объема [Вт/м3]. Величина qv также имеет два названия: удельная производительность внутренних источников тепла или объемная плотность теплового потока. В зависимости от знака qv говорят об источниках или стоках тепла; в зависимости от особенностей
изменения величины qv в пространстве различают точечные, линейные, поверхностные и
объемные источники тепла.
Температурное поле в плоской стенке при наличии тепловыделений
Рассмотрим температурное поле в плоской стенке, когда внутренние источники теплоты равномерно распределены по всему объему.
В одномерном случае при стационарном режиме теплообмена дифференциальное
уравнение энергии запишется в виде
d 2t q v

 0.
(1.17)
dx 2 
После интегрирования получим
qx
dt
  v  c1 ;
(1.18)
dx

q
t   v x 2  c1 x  c2 .
(1.19)
2
Постоянные интегрирования определяются в зависимости от условий охлаждения
на поверхности пластины.
Случай 1. Симметричные условия отвода теплоты от пластины
Рассмотрим длинную пластину, толщина которой 2δ – величина малая по сравнению с двумя другими размерами (рис. 1.12). Источники равномерно распределены по всему объему и равны qv. Заданы постоянные коэффициенты теплоотдачи α и температура
жидкости вдали от пластины tf. Благодаря симметричному отводу теплоты температуры
обеих поверхностей пластины одинаковы. При указанных условиях температура пластины
будет изменяться только вдоль оси х, направленной нормально к поверхности тела. Температуры на оси пластины t0 и на ее поверхности tw неизвестны. Кроме этих температур,
необходимо найти распределение температуры в пластине и количество тепла, отданного
в окружающую среду.
Тепломассообмен. Конспект лекций
24
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Специальность 223200 – «Техническая физика»
Рис. 1.12. Температурное поле в плоской стенке
при наличии внутренних источников теплоты
Дифференциальное уравнение (1.17) и его решения (1.18) и (1.19) описывают распределение температуры в пластине. Граничные условия на поверхностях пластины при
x   определяются из уравнения теплоотдачи
 t 
 tw  t f     
.
 x  x 
Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одинаковые, температурное поле внутри пластины должно быть симметричным относительно плоскости x  0 .
В этой точке плотность теплового потока равна нулю. Тепло с одинаковой интенсивностью отводится через левую и правую поверхности тела. Одинаково и тепловыделение в
обеих половинах пластины. Это означает, что можно далее рассматривать лишь одну половину пластины, например, правую, и записать для нее граничные условия в следующем
виде:
а) так как при x  0 , значение температуры максимальное, то
 t 
  0;
 x  x  0
Подставляя последнее выражение в (1.18), получим:
q 0
0   v  c1 , следовательно, c1  0 .

б) так как при x   t  tw , то из (1.19) следует
qv 2
q 2
  c2 , следовательно, c2  t w  v
.
2
 2
Подстановка постоянных интегрирования c1 и c2 в (1.19) приводит к следующему
выражению, определяющему температурное поле плоской стенки с объемным тепловыделением:
q q
t  x   t f  v  v 2  x 2 ,
(1.20)
 2
из которой следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.
q
Так как tw  t     t f  v , то

tw  


Тепломассообмен. Конспект лекций
25
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Специальность 223200 – «Техническая физика»
qv 2
  x2 .
2
Максимальная температура на оси симметрии стенки (при x  0 ):
q
t0  t w  v  2 .
2
Перепад температур между осью симметрии стенки и ее поверхностью
q
t0  t w  v  2 .
2
Если коэффициент теплопроводности материала стенки является линейной функцией температуры    0 1  b  t  , то уравнение температурной кривой определяется выt  x   tw 


ражением
2
1
1  qv x 2

t  x      t0   
.
b
b
 0b

Случай 2. Пластина с одной теплоизолированной поверхностью
Пусть одна из поверхностей пластины, рассмотренной в предыдущем случае, будет
теплоизолированной (рис. 1.13), а на другой ее поверхности заданы условия охлаждения:
коэффициент теплоотдачи  и температура жидкости вдали от пластины tf.
Рис. 1.13. Температурное поле в плоской стенке
с теплоизолированной поверхностью
Источники равномерно распределены по всему объему и равны qv. Обозначим
толщину пластины  и воспользуемся решением предыдущей задачи (1.20) для половины
симметрично охлаждаемой пластины. Здесь максимальное значение температуры пластины t0 будет соответствовать ее левой поверхности, через которую отсутствует поток тепла.
Случай 3. Пластина с разными температурами поверхностей
Рассмотрим длинную пластину, толщина которой  величина малая по сравнению
с двумя другими размерами (рис. 1.14). Источники равномерно распределены по всему
Тепломассообмен. Конспект лекций
26
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Специальность 223200 – «Техническая физика»
объему и равны qv. Температуры стенок поддерживаются постоянными: при x  0 t  tw1 ;
при x   t  t w2 . Температура пластины будет изменяться только вдоль оси х. Необходимо найти распределение температуры в пластине.
Рис. 1.14. Плоская пластина с неодинаковыми
температурами стенок
Дифференциальное уравнение (1.17) и его решение (1.19) такие же. Постоянные
интегрирования находим из граничных условий:
при x  0 t  tw1 ;
при x   t  t w2 .
Тогда распределение температуры в пластине описывается уравнением:
t t
q
q
t  x   tw1  w 2 w1  x  v  x  v  x 2 .

2
2
Или после преобразований
qv 2  x x 2 
x
t  x   tw1   tw1  tw 2  
  .

2    2 
Отнимем от правой и левой частей уравнения температуру стенки tw2, тогда
qv 2  x x 2 
x
t  x   tw 2  tw1  tw 2   t w1  tw 2  
  .

2    2 
Разделив правую и левую части на  tw1  tw 2  , получим

t  x   tw 2
x Po  x x 2 
 1 
  ,
t w1  tw 2
 2   2 
qv  2
– число Померанцева, характеризующее отношение мощности
  tw1  t w2 
внутреннего источника теплоты qv к мощности теплового потока, переносимого в единице объема за счет теплопроводности при перепаде температур  tw1  tw 2  .
где Po 
Обозначим X =x /  как безразмерную координату, тогда
Po
Po
Po
1 X 
X  X 2  1  X   X
1  X   1  X  1  X  .
2
2
2 



Тепломассообмен. Конспект лекций
27
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Специальность 223200 – «Техническая физика»
Окончательно распределение температуры в безразмерном виде описывается выражением
 1

  1  X  1  Po X  .
(1.21)
 2

В зависимости от величины числа Померанцева распределение температуры может
иметь вид выпуклой или вогнутой кривой, причем максимальная температура может лежать либо внутри пластины, либо на одной из ее поверхностей. В случае отсутствия внутренних источников тепла ( Po  0 ) распределение температуры, описываемое уравнением
(1.21), совпадает с формулой (1.15).
Случай 4. Несимметричные условия охлаждения пластины
Рассмотрим пластину толщиной  с равномерно распределенными внутренними
источниками тепла, условия отвода теплоты от которой различны (рис. 1.15): с одной стороны пластины находится одна жидкость с коэффициентом теплоотдачи 1 и температурой вдали от пластины tf1, а с другой стороны – другая жидкость с коэффициентом теплоотдачи  2 и температурой вдали от пластины tf2. Необходимо найти распределение температуры в пластине.
Рис. 1.15. Плоская пластина с несимметричными
условиями отвода теплоты
В случае несимметричных условий отвода теплоты от пластины плоскость, через
которую тепловой поток отсутствует, сместится из центра пластины к одной из ее поверхностей в некоторую точку x0. Решения следует искать отдельно для левой половины пластины и для ее правой половины (воспользовавшись общим решением (1.19) дифференциального уравнения (1.17)), в которых будут разными граничные условия и, следовательно,
изменятся значения постоянных интегрирования.
Граничные условия для правой половины пластины:
1) при x  x0 плотность теплового потока
 dt 
 0;
 
 dx  x  x
2) на поверхности пластины при x   из уравнения теплоотдачи
0
Тепломассообмен. Конспект лекций
28
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Специальность 223200 – «Техническая физика»
 dt 
     2  tw 2  t f 2  .
 dx  x 
Подставляя значения постоянных интегрирования из таких граничных условий в
уравнение (1.19) и выполнив группировку подобных членов, получим распределение температуры в правой части пластины для x0  x   :
q
qx
q
t прав  x   t f 2  v    x0   v 0    x   v 2  x 2 .
(1.22)
2

2
Температура правой поверхности пластины
q
tw 2  t  x     t f 2  v    x0  .
2
Граничные условия для левой половины пластины:
1) при x  x0 плотность теплового потока:


 dt 
 0;
 
 dx  x  x
2) на внешней границе при x  0 из уравнения теплоотдачи
 dt 
    1  tw1  t f 1  .
 dx  x 0
Подставляя значения постоянных интегрирования из данных граничных условий в
уравнение (1.19) и выполнив группировку подобных членов, получим распределение температуры в левой части пластины для 0  x  x0 :
qx qx
q
t лев  x   t f 1  v 0  v 0 x  v x 2 .
(1.23)
1

2
Температура левой поверхности пластины
qx
tw1  t  x  0   t f 1  v 0 .
1
Для определения координаты x0 необходимо приравняем решения для правой и левой частей пластины в этой точке
t прав  x0   t лев  x0  ,
получим
tf 2  tf1
 1
 
 


qv
 2 2 

x0 
.
1  1
 
1   2
Значение температуры в данном сечении (максимальная температура) можно определить по (1.22) или (1.23):
t0  t  x0  .
0
Тепломассообмен. Конспект лекций
29