Производственное обучение

ББК 22.17я7
К - 64
УДК 519.2
Кондауров М.Т. Методические рекомендации студентам по подготовке к
тестированию по математике. Н.Новгород: ВГИПУ, 2009, - 48с.
Методические рекомендации предназначены для студентов, готовящихся к
тестированию по математике. Рассмотрены 40 заданий демонстрационного
варианта для специальности 190701.65-Организация перевозок и управление
на транспорте. Для каждого задания приведен справочный материал из курса
математики, решение и ответ.
Пособие может быть полезно для студентов других специальностей, у
которых программа курса математики близка к программе специальности
190701.65.
©
©
М.Т.Кондауров, 2009
ВГИПУ
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
При подготовке к Интернет-экзамену по математике студентам полезно
ознакомиться с демонстрационным вариантом заданий, составленном из 40
заданий по десяти темам,
которые в тексте названы дидактическими
единицами (по 4 задания на каждую дидактическую единицу). Среди
сорока заданий более половины требуют от студента выбирать один
вариант ответа из приведенных, около четверти заданий предполагают
выбор нескольких ответов из приведенных; имеются задания, для которых
нужно дать числовой ответ, а также задания, для которых нужно установить
соответствие между предложенными заданиями и приведенными ответами.
В настоящих методических рекомендациях содержатся полный текст
всех сорока заданий. Перед каждым заданием приведен справочный
материал из курса математики, необходимый для выполнения данного
задания. Далее приводится полный текст задания (текст полностью
совпадает с подлинником в Интернете), решение задания и ответ.
При работе с данным пособием студентам рекомендуется внимательно
отнестись к справочному материалу с тем, чтобы хорошо разобраться в
решении рассматриваемого задания и быть готовым применить тот же
материал к аналогичному заданию на Интернет-экзамене.
4
Можно предположить, что задания Интернет-экзамена составлены на те
же дидактические единицы, однако данные (числовые, функциональные и
т.п.) в заданиях будут другими. Кроме того, порядок предъявления заданий
по типам дидактических единиц для двух различных пользователей
Интернета может быть разным: для одного начальные задания, например,
по линейной алгебре, а для другого - по другой теме. Ввиду этого студентам
рекомендуется,
рассмотрев
четверку
родственных
заданий,
заново
разобраться в теории, привлеченной для решения этих заданий, с тем,
чтобы быть готовым определить, на какую дидактическую единицу
ориентировано очередное задание, и справиться с этим заданием.
ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ
Наименование
N
ДЕ дидактической
единицы ГОС
1
Линейная алгебра
2
3
Абстрактная алгебра
Аналитическая
геометрия
N
задания
Тема задания
4
5
Вычисления определителей
Умножение матриц
Системы
линейных
уравнений:
основные понятия
Квадратичные формы
Основные алгебраические структуры
6
Линейные отображения
7
Векторные пространства
8
Алгебра многочленов
9
Основные
задачи
аналитической
геометрии на плоскости
Кривые второго порядка
Полярная система координат
Прямая и плоскость в пространстве
1
2
3
10
11
12
5
4
5
6
Дифференциальная
геометрия
13
14
Математический
анализ
15
16
17
18
19
Комплексный
анализ
20
21
22
23
24
7
Дифференциальные
Уравнения
25
26
27
28
8
Теория
вероятностей
29
30
31
32
9
10
Математическая
статистика
Дискретная
математика
33
34
35
36
37
38
39
40
Дифференциальная геометрия кривых
Дифференциальная
геометрия
поверхностей
Элементы топологии
Кривизна плоской кривой
Предел функции
Производные первого порядка
Приложения
дифференциального
исчисления ФОП
Свойства определенного интеграла
Формы записи комплексного числа
Операции над комплексными числами
Определение функции комплексного
переменного
Дифференцирование
функций
комплексного переменного
Типы дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения первого
порядка
Дифференциальные уравнения высших
порядков
Линейные
дифференциальные
уравнения второго порядка
Основные понятия теории вероятностей
Теорема сложения и умножения
вероятностей
Полная вероятность. Формула Байеса
Непрерывная случайная величина
Статистическое распределение выборки
Точечные
оценки
параметров
распределения
Элементы корреляционного анализа
Проверка статистических гипотез
Элементы
алгебры
логики
высказываний
Элементы теории множеств
Элементы комбинаторики
Основные понятия теории графов
6
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
С
РЕШЕНИЯМИ
1
a a 
А   11 12 
 a 21 a 22 
Определитель второго порядка матрицы
вычисляется по формуле: det А=
Примеры: 1)
1 2
=1∙4-2∙2=0;
24
а11а12
а21а22
2)
1 3
00
 а11а22  а12а21.
=0; 3)
1 2
=1  4  (2)  3  10 .
34
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
а11а12а13
а21а22а23  а11  А11  а12  А12  а13  А13 ,
(1)
а31а32а33
где
А11=
а 21а 23
а31а33
,
А12= 
а 21 а 23
а 31 а 33
, А13=
а 21а 23
а31а33
(здесь алгебраические
дополнения элементов первой строки выражаются через миноры второго
порядка этих элементов: A11=M11, A12=-M12, A13=M13).
Для того чтобы найти алгебраическое дополнение элемента aij квадратной
матрицы третьего порядка, нужно вычеркнуть этот элемент вместе с i-ой
строкой и j-ым столбцом и составить определитель второго порядка из
невычеркнутых
элементов,
т.е.
минор
Mij;
значение
алгебраического
дополнения Aij, в случае, когда i+j являются четным числом, совпадает со
значением Mij, а в случае, когда i+j является нечетным числом, равно –Mij.
7
Задание N1 (выберите один вариант ответа)
2 1 -7
Разложение определителя 3 0 2 по третьей строке имеет вид:
3 2 1
Варианты ответов:
2 1 7
1 7
2 7
2 1
1) 3 0 2 = -3 
-2 
3 2 1
0 2
3 2
3 0
2 1 7
1 7
2 7
2
2) 3 0 2 = 3 
+2 
+
3 2 1
0 2
3 2
3
1
0
2 1 7
1 7
2 7
2 1
3) 3 0 2 = 3 
- 2
+
3 2 1
0 2
3 2
3 0
2 1 7
1 7
2 7 2 1
4) 3 0 2 = -3 
+2 
3 2 1
0 2
3 2
3 0
РЕШЕНИЕ
Элементы третьей строки a31=3,a32=2,a33=1; их алгебраические дополнения
A31=M31, A32=-M32, A33=M33. Сумме произведений a31A31+a32A32+a33A33,
очевидно, соответствует ответ 3.
О Т В Е Т: 3.
Если в задании 1 третью строку заменить другой строкой (или) столбцом,
то для разложения определителя нужно элементы этой строки (или столбца)
8
умножить на их алгебраические дополнения (Aij=(-1)i+jMij) и найти сумму этих
произведений. Формула (1) соответствует разложению определителя по первой
строке.
2
При умножении матриц по правилу «строка на столбец» должно быть
следующее соответствие: число элементов в строке первой матрицы должно
быть равно числу элементов в столбце второй матрицы. Если это не
выполнено, то произведение таких матриц не имеет смысла.
ЗАДАНИЕ №2 (выберите несколько вариантов ответа)
Операция произведения матриц правильно определена для матричного
умножения вида...
Варианты ответов:
2 1
2 1
∙ (-2 3)
1)
0
3 0
2
3
3 1 7
2
1
3
0
∙
2)
3 0
2 1
3) (-2 3) ∙
1
∙
4)
3 0
2 1
3 1 0
3 1 7
∙
5)
3 0
3 1 0
РЕШЕНИЕ
В ответах 1) и 4) , очевидно, «длины строк» первых матриц и «длины
столбцов» вторых матриц не одинаковы. Поэтому произведение матриц в 1) и
4) не имеют смысла.
Условие выполнено в ответах 2, 3, 5.
9
О Т В Е Т: 2, 3, 5.
3
Если в системе однородных линейных уравнений
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,
a21x1+a22x2+…+annxn=0,
an1x1+an2x2+…+annxn=0
ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (r<n) , то n-r неизвестных
нужно объявить свободными, а базисными неизвестными выбрать те r
неизвестных, коэффициенты которых образуют определитель r-того порядка
не равный нулю.
ЗАДАНИЕ №3(введите ответ)
Разность между числом базисных и свободных переменных системы
уравнений
2х1-3х2+х3-х4+х5=0
х2+2х3+х4-х5=0 равна...
х3-2х4
=0
РЕШЕНИЕ
Нетрудно вычислить определитель из коэффициентов при переменных х1,
х2, х3:
2 -3 1
0 1 2 = 2 11  2  0 .
10
0 0 1
На основании этого результата делаем выводы: базисные неизвестные х 1, х2,
х3, а свободные – х4, х5. Для ответа нужна разность между числом базисных и
свободных переменных, т.е. 3-2=1.
О Т В Е Т: 1.
а11 а12
4
Матрице
, где а12=а21, соответствует квадратичная форма
а21 а22
а11х2+2а12ху+а22у2,
которую можно представить в виде следующего матричного произведения
а11 а12
х
(ху)
= а11х2+2а12ху+а22у2.
а21 а22
у
ЗАДАНИЕ №4 (выберите один вариант ответа)
 2 3  соответствует квадратичная форма ...
 3 5 

Матрице 
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 10х2-9ху+10у2
2) 2х2+3ху+5у2
3) 2х2+9ху+5у2
4) 2х2+6ху+5у2
РЕШЕНИЕ
В данной матрице элементы а11=2, а22=5 являются в квадратичной форме
коэффициентами при х2 и у2, соответственно, а элементы а12 и а21
11
(здесь а12=а21=3) – коэффициент при ху и ух, т.е квадратичная форма содержит
3ху+3ух=6ху.
Окончательно – данной матрице соответствует квадратичная форма
2х2+6ху+5у2.
О Т В Е Т: 4.
5
Числовое множество замкнуто относительно некоторой операции, если
результат этой операции над элементами данного множества, т.е. полученное
число, принадлежит этому множеству. Например, множество Z целых чисел
замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения.
ЗАДАНИЕ №5 (выберите несколько вариантов ответа)
Множество Z целых чисел замкнуто относительно операций...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) извлечение корня
2) вычитание
3) умножение
4) деление
РЕШЕНИЕ
Ясно, что при извлечении корня (например, квадратного) из целого числа
(например, 2 ) мы не всегда получим целое число. При делении целых чисел
также можем получить не целое число. В то же время разность и произведение
двух целых чисел будет целым числом, т.е. будет принадлежать Z.
О Т В Е Т: 2, 3.
12
6
ЗАДАНИЕ №6 (выберите один вариант ответа)
Линейное отображение задано в стандартном базисе матрицей А=
3 4 


5  6
  2
  являются...
3 
Тогда координатами образа вектора х =
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
  28 

18


 21 


26


2) 
18 


28


4) 
1) 
  2


3
 
3) 
РЕШЕНИЕ
Чтобы найти образ вектора х
которого
при линейном отображении, матрица
  2
равна матрице А, нужно найти произведение А на х =   . В данном случае
3 
-3 4
(3)  (2)  4  3
-2
=
5 -6
3
18
=
5  (2)  (6)  3
-28
(Здесь выполнено умножение
матриц по правилу «строка на столбец»).
О Т В Е Т: 3.
7
Любая тройка линейно независимых векторов может служить базисом в
трехмерном пространстве. Такую тройку еще называют некомпланарной
тройкой. Если тройка векторов является компланарной, то такая тройка не
может быть базисом.
13
ЗАДАНИЕ №7 (выберите несколько вариантов ответа)
Тройка векторов, образующих базис в пространстве, изображена на рисунках...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2)
3)
4)
РЕШЕНИЕ
На рисунках 1, 4 изображены компланарные тройки (каждая из них
содержит пару коллинеарных векторов), они не могут служить базисами.
На рисунках 2, 3, очевидно, изображены некомпланарные тройки. Каждая из
них может служить базисом.
О Т В Е Т: 2, 3.
8
ЗАДАНИЕ №8 (выберите один вариант ответа)
Число действительных корней многочлена Р5(х)=(х3-1)(х2-4х+5) с учетом их
крайностей равно...
14
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 1
2) 2
3) 5
4) 3
РЕШЕНИЕ
Корни данного многочлена надо искать среди корней его множителей
х3-1 и х2-4х+5. Первый из них имеет один действительный корень х1=1, а
второй не имеет действительных корней, что можно определить по
дискриминанту Д=b2-4ac=16-20= - 4<0.
О Т В Е Т: 1.
9
ЗАДАНИЕ №9 (выберите несколько вариантов ответа)
Дана координатная ось. Правильными утверждениями являются...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) координата двух точек
2)
начало координат может
координатной оси, лежащей по
разные стороны от начала отсчета,
лежать на отрезке, соединя-ющем две точки координат-
всегда имеют разные знаки
-ной оси, имеющих отрицательные координаты
3) из двух различных точек
4)
координата точки на оси равна
координатной оси, имеющих
расстоянию от этой точки до
отрицательные координаты, дальше
начала отсчета
от начала координат лежит точка,
имеющая меньшую координату
15
РЕШЕНИЕ
Полезно
сопоставить
каждое
из
предложенных
утверждений
с
координатной осью Ох, чтобы убедиться
х
в правильности утверждений 1 и 3. Утверждения 2 и 4 являются
-2
-1
0 1
2
неправильными.
О Т В Е Т: 1, 3.
10
Каноническое уравнение эллипса
х 2 у2

1
а2 b2
задает эллипс с осями 2а (большая ось) и 2b (малая ось), фокусы F1 и F2
эллипса лежат на оси Ох. При этом расстояние между фокусами равно 2с, где
с=
а 2  b2 .
ЗАДАНИЕ №10 (введите ответ)
x2
y2

Расстояние между фокусами эллипса
=1 равно...
100 64
РЕШЕНИЕ
2
2
Имеем, а=10,b=4; найдем c  a  b  100  64  36  6.
Расстояние между фокусами F1F2=2c= 2 6 =12.
16
О Т В Е Т: 12.
11
Точка М(х,у) с декартовыми координатами имеет полярные координаты
2
2
x
y
r= x  y и φ=<МОх. При этом Cosφ = , Sinφ= .
r
r
y
M
у
r
0
φ

x
х
ЗАДАНИЕ №11 (выберете один вариант ответа)
Точка М с декартовыми координатами
3 1
; имеет полярные координаты
2 2
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) r= 2 , φ=
3) ) r=
П
4
2 , φ=
2) r=1, φ= П
6
П
6
4) r=2, φ= П
4
РЕШЕНИЕ
На плоскости хОу строим точку М
3 1
;
2 2
.
y
Находим r=
М
1
2
3 1

2 2
3
3 1
,
 =1; Cosφ=
2
4 4
Sinφ= 1 ,
2
φ=300= П
6
17
0
30°
3
2
х
О Т В Е Т: 2.
Если точка М (х,у) окажется в другой четверти Оху, то угол φ нужно находить
с учетом знаков Cosφ и Sinφ.
12
Уравнение Ах+By+Cz+D=0 задает в декартовой прямоугольной системе
координат Oxyz плоскость П. Если все коэффициенты A, B,C,D не равны
нулю, то это уравнение называют полным уравнением. Если хотя бы один из
перечисленных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется
неполным; такое уравнение задает плоскость П, имеющую некоторую
особенность своего положения в пространстве. Так, например, при D=0
уравнению Ax+By+Cz=0 удовлетворяет таки О(0,0,0). Это означает, что
плоскость П проходит через начало координат. При А=0 плоскость П
параллельна оси Ох и т.д.
ЗАДАНИЕ №12 (выберите варианты согласно тексту задания)
Укажите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в
пространстве
1. -2х+11=0
2. 3у+2z=0
3. 3y+7=0
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
18
А) плоскость хОу
В) параллельна плоскости уОz
C) параллельна плоскости хOz
D) проходит через ось х
РЕШЕНИЕ
1. Уравнение не содержит у и z.
Значит оно задает плоскость П,
параллельную оси Оу и оси Оz, т.е. параллельную координатной плоскости
уОz (соответствует ответу b).
2. В этом уравнении А=0 и D=0. Оно задает плоскости П, которая
параллельна оси Ох и проходит через начало координат. Значит эта плоскость
проходит через ось Ох (соответствует ответу d).
3. Здесь А=0, С=0 => П║хOz (соответствует ответу с).
13
Если уравнение второй степени можно привести к виду (х-х0)2+
+(у-у0)2=R2, то оно задает окружности радиуса R, с центром в точке С (x0, y0).
ЗАДАНИЕ №13 (выберите один вариант ответа)
Радиус окружности, заданной уравнением х2+у2+4у+3=0, равен ...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 4
2) 1
3) 3
4) 2
РЕШЕНИЕ
Выделяя полный квадрат, получаем х2+(у+2)2=1, откуда следует, что R=1.
19
О Т В Е Т: 2.
14
x2 y 2 z 2
Уравнение 2  2  2 =1 задает в пространстве Oxyz сферу радиуса R
R
R
R
с центром в начале координат.
x2 y 2 z 2
Если в уравнении 2  2  2 =1 знаменатели равны (а=b=c=R), то оно
a
b
c
задает ту же сферу; если же эти знаменатели не равны, то это уравнение задает
«сплюснутую» сферу, которая называется эллипсоидом, так как сечения этой
поверхности плоскостью будут некоторыми эллипсами.
ЗАДАНИЕ №14 (выберите один вариант ответа)
x2
y2 z2

 =1, является...
Поверхность, определяемая уравнением
100 64 4
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ЦИЛИНДРОМ
3) КОНУСОМ
2) эллипсоидом
4) сферой
РЕШЕНИЕ
Это уравнение задает эллипсоид с полуосями а=10, b=8, c=2
О Т В Е Т: 2.
20
15
Если А и В множества некоторых точек на плоскости, то АUВ –
объединение этих множеств, А∩В – пересечение (произведение) этих
множеств. Символом А/В обозначают множество точек, принадлежащих
множеству А, но не принадлежащих множеству В (это множество можно
назвать разностью множеств А и В); символом В\А обозначают множество
мочек, принадлежащих множеству В, но не принадлежащих множеству А.
ЗАДАНИЕ №15 (выберите один вариант ответа)
Операцией над множествами А и В, результат которой выделен на рисунке
является...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) АUВ
2) В\А
3) А\В
4) А∩В
РЕШЕНИЕ
В закрашенную часть попали те точки множества В, которые ему
принадлежат, но при этом не принадлежат множеству А, т.е. на рисунке
выделено множество В\А.
21
О Т В Е Т: 2.
16
Чтобы найти кривизну
1
окружности, надо знать радиус окружности.
R
Если окружность задана не каноническим уравнением, то для нахождения R
нужно привести уравнение к каноническому виду, как это делали в задании 13.
ЗАДАНИЕ №16 (выберите один вариант ответа)
Если R – радиус окружности х2+у2+6у=0, то ее кривизна
1
всюду равна
R
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
1
9
2) 9
3)
1
3
4) 3
РЕШЕНИЕ
Методом выделения полного квадрата данное уравнение приводим к виду
х2+(у+3)2=9, откуда R=3,
1 1
= .
R 3
ОТВЕТ: 3.
17
Предел отношения двух многочленов при х → ∞ равен пределу
отношения их старших членов. Например.
lim
1  x3
= -1,
x   1  x3
lim 1  x 3
= ∞,
x   1  x3
lim 1  x 3
=0,
x   1  x3
22
В рассмотренных примерах можно было бы числители и знаменатели дробей
сначала разделить на старший член (здесь на х3), чтобы вычислить пределы.
Этот способ применим для следующего случая:
lim
x
1
х2  2  х
lim
 
=   =
х
1  2х
 
2
1
x2
(разделили на х в
1
2
x
числителе) = -1.
ЗАДАНИЕ №17 (выберите несколько вариантов ответа)
Конечный предел при х → +∞ имеет следующие функции...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1  3х 2
1) f(X) = 2
х 2
1  х3
3) f(x) =
х7
х2  5х  1
2) f(x) =
3х  2
4) f(x) =
х2  1  2
1 х
РЕШЕНИЕ
В ответах 2, 3 нет конечных пределов, так как в числителях дробей
многочлены имеют большую степень, чем в знаменателях.
В ответе 1 конечный предел равный
lim
x  
 3х 2
=3; в ответе 4, разделив
х2
1
числитель и знаменатель на х, получили
конечный предел)
lim
x  
1 2

х2 х
1
1
х
=
1
=-1 (тоже
1
23
ОТВЕТ: 1, 4.
18
При вычислении производных надо уметь применить таблицу
производных к нахождению производных суммы (разности), произведения,
частного функций и сложной функции.
Таблица производных



х
1)
=  x

  = a
x
2) a
x
 1
Правила дифференцирования
(  R)
ln a ,
1) (u  v)  u  v
2)
,
3)
,
4)
3)
4) у
,
 ( х) 
= f 
u
у х = уu  ux
,
5)
,
ЗАДАНИЕ №18 (выберите один вариант ответа)
Производная функции
ln x
равна...
x
24
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1  ln x
1)
x2
2)
1
x3
4)
3) 
1  ln x
x2
1
x2
РЕШЕНИЕ
Здесь нужно применить формулу

:
1
 x  1  ln x



ln x 
1  ln x
ln x  x  x  ln x x
 =
=
= 2 .
2
2
x
x
x
x
О Т В Е Т: 1.
В наиболее простых заданиях на вычисление производных может оказать
производная суммы, произведения.
19
Если на (а,b) f ( x)  0 , то на этом промежутке f(x) возрастает; если на
(а,b) f ( x)  0 , то f(x) убывает на этом промежутке. В окрестности точки
экстремума функция меняет характер монотонности: возрастание на убывание
или убывание на возрастание. При этом f (x ) меняет свой знак с + на – (либо с
– на -)
25
ЗАДАНИЕ №19 (выберите несколько вариантов ответа)
График производной f (x ) изображен на рисунке:
f (x )
2
1
-2
-1
0
1
1
2
3
x
2
Тогда справедливы следующие утверждения...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) в точке -1 функция f(x) имеет
максимум
3) на промежутке (-1;0) функция
2) на промежутке (0;1) функция
f(x) убывает
4) в точке -2 функция f(x) минимум
f(x) возрастает
РЕШЕНИЕ
1) Утверждение в ответе 1 неверно, т.к. при х= -1 у  =2, в то время как в
точке экстремума у  =0.
2) На промежутке (0;1) производная у  >0 (до некоторых значениях х), потом
у  <0, т.е. на этом промежутке f(x) не является убывающей.
3) На промежутке (-1;0) у  >0  f(x) возрастает. Утверждение верно.
26
4) В окрестности точки х= -2 производная у  меняет знак (с – на +), а в точке
х= -2 она равна О, т.е. х= -2 есть точка минимума.
О Т В Е Т: 3, 4.
20
Если
у=f(x)
а
a
а
0
является
четной
на
отрезке
 а; а,
то
f ( x)dx ; если у=f(x) является нечетной на отрезке  а; а,
 f ( x)dx  2
a
то

f ( x)dx  0 .
a
ЗАДАНИЕ №20 (выберите один вариант ответа)
 5;5. То 
5
Ненулевая функция у=f(x) является нечетной на отрезке
f ( x)dx
5
равен...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
5
1
1) 10 f ( x)dx
0
2) 2

f ( x)dx
0
1
1
f ( x)dx
3)
10 0
4) 0
О Т В Е Т: 4.
21
Комплексное число z=a+bi можно изобразить на плоскости Оху точкой
М(а,b). В задании 11 мы показали, как найти полярные координаты r и φ (для
точки М(а, b). Для комплексного числа z=a+bi (оно изображается точкой
27
М(а,b)
называют
r
2
2
r= а  b , Cos 
модулем,
а
φ
–
аргументом.
При
этом
a
b
, Sin   .
r
r
Комплексное число z=a+bi, заданной алгебраической формой записи, можно
представить в виде z  r (Cos  iSin  ) – комплексная форма записи. Если
i
применить формулу Эйлера Cos  iSin   e , то получим показательную
форму
записи
комплексного
числа
z  r  e i .
Заметим,
что
в
тригонометрической форме и в показательной форме содержится одна и та же
информация о данном комплексном числе. Именно: известно значение модуля
комплексного числа (r) и аргумента комплексного числа (φ).
ЗАДАНИЕ №21 (выберите несколько вариантов ответа)
Комплексное число  2  i 2 можно представить в виде...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)  2e
i
П
4
2) 2e
3П
3П 
 iSin
3) 2 Cos


4)
4 
4
i
3п
4
П
П

 2 Cos  iSin 
4
4

РЕШЕНИЕ
Судя по ответам, надо данное комплексное число представить в
тригонометрической (и в показательной) форме.
у
Найдем
2
M
3П
4
r= а  b  2  2  2; Cos  
2
2
2
2
, Sin 
,
2
2
28
r
 2
0
x

откуда  
3П
(см.рисунок)
4
Получаем
 2
i
3П
3П 

 2  i 2  2 Cos
 iSin

2
*
e

4
4 

3П
4
Данное комплексное число представлено в ответах 2, 4.
О Т В Е Т: 2, 4.
22
Пусть даны 2 комплексных числа z1 и z2 в тригонометрической форме
z1  r1 Cos1  iSin1 , z2  r2 Cos2  iSin2  ,
записи
показательной форме
или
z1  r1e i1 , z 2  r2  ei2 .
Тогда
z1  z 2  z1  z 2  r1  r2 , аrgz1  z 2  аrgz1  аrgz 2  1   2 ,
z
z1
r
z
 1  1 , аrg 1  аrgz1  аrgz 2  1   2 .
z2
z2
r2
z2
ЗАДАНИЕ №22 (введите ответ)
Даны два комплексных числа z1 и z2
у
Z1
y
Z2
150 0
0
х
 z1

arg
Тогда аргумент частного
 z2
РЕШЕНИЕ
60 0
0

 (в градусах) равен...

x
в
29
 z1 
  = arg z1-arg z2=1500-900=900.
arg
Здесь
 z2 
О Т В Е Т: 90.
23
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
выполняются,
как
действия
над
алгебраическими
выражениями
(над
двучленами).
Для чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i сумма равна z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2).
Произведение
можно
найти
так:
a1  b1i a2  b2i   a1a2  b1b2i 2  a1b2  a2b1 i 

a1a2  b1b2
  ia1b2  a2b1  . Здесь использовали тот факт, что i = -1.
2


2
2 2
2
2
Нетрудно найти a  bi   a  2abi  b i  a  b  2abi.
2
ЗАДАНИЕ №23 (выберите один вариант ответа):
Значение функции f(z)=z2+i в точке z0=1+i равно...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 2+3i
2) 3+2i
3) 2i
4) 3i
РЕШЕНИЕ
f(1+i)=(1+i)2+i=1+2i+i2+i=3i
О Т В Е Т: 4
30
24
Для функций комплексной переменной таблица производных строится
аналогично. В частности,
z      z , e   e , Sinz   Cosz и т.д.

 1
z
z
ЗАДАНИЕ №24 (выберите один вариант ответа)
Если f(z)=5z2-7i , тогда значение производной этой функции в точке z0=3-3i
равно...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 30-3i
2) 3-3i
3) 30-30i
4) 3-30i
РЕШЕНИЕ
f ( z )  5( z 2 )   (7i)   5  2 z  10 z ( здесь7i  const ) .
При z=z0=3-3i получим f ( z0 )  30  30i .
О Т В Е Т: 3.
25
n 
Уравнение вида F ( x, y, y,..., y  0 называется дифференциальным
n 
уравнением n-го порядка (здесь у=у(х), y, y,..., y
- производные этой
функции).
Дифференциальное уравнение F ( x, y, y)  0 является уравнением первого
порядка, а дифференциальное уравнение F ( x, y, y, y)  0 - уравнение второго
порядка.
ЗАДАНИЕ №25 (выберите несколько вариантов ответа)
31
Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого
порядка являются:
d2y
dy
dy
1) 2 x 2  x  y  0
2) y 2  x  0
dx
dx
dx
d2y
dy
4) x 2  xy  x 2  y
dx
dx
3) x y  8 y  x  5  0
3
РЕШЕНИЕ
Уравнения 1, 4 содержат производные второго порядка, они являются
уравнениями второго порядка, а уравнения 2, 3 есть уравнения первого
порядка.
О Т В Е Т: 2, 3.
26
Дифференциальные уравнения вида f1(x)dx=f2(y)dy называется
дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
Общее решение этого уравнения:
 f ( x)dx   f ( y)dy  c
1
2
ЗАДАНИЕ №26 (выберите один вариант ответа)
Общий интеграл дифференциального уравнения
dy
dx

имеет вид:
y2 1  x2
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1
1
 arctg  c
y
x
1) 
3) 
1
 arctgx  C
y
РЕШЕНИЕ
2)
4)
1
  ln( 1  x 2 )  C
y
1
 ln( 1  x 2 )  C
y
32
С помощью табличных интегралов получаем
dy
y
2

dx
1 x
2
C  
1
 arctgx  C .
y
что
результат
О Т В Е Т: 3.
Напомним,
интегрирования
можно
проверить

 1
1
1
.
дифференцированием. В данном случае:     2 , (arctgx  C ) 
y
1  x2
 y
27
Дифференциальное уравнение вида y  f (x) решается с помощью
интегрирования:
y    f ( x)dx  C1 , y   



x2
f ( x)dx dx  C1 x  c 2 , y     f ( x)dxdx dx  C1
2

С 2 x  C3
Например: а)
y   sin x  y   Cosx  C1  y    Sinx  c1 x  c 2  y  Cosx  c11 *
x2
 c 2 x  c3 ;
2
б)
x2
x3 x2
 x  c1  y  

 c1 x  c 2 
2
6
2
x4 x3
x2
y

 c1 *
 c 2 x  c3 .
24 6
2
y   x  1  y  
ЗАДАНИЕ №27 (выберите один вариант ответа)
Общее решение дифференциального уравнения y  2 x  1 имеет вид:
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
33
1) y 
1 4 1 3
x  x C
12
6
2) y 
3) y 
1 4 1 3 C1 2
x  x  x  C2 x  C3
12
6
2
4
3
2
4) y  x  x  C1 x  C2 x  C3
1 4 1 3 C1 2
x  x  x  C3
24
6
2
РЕШЕНИЕ
Последовательно интегрируя, получим
y  2 x  1  y   (2 x  1)dx  x 2  x  C1  y   ( x 2  x  C1 )dx 
 x3 x

x3 x 2
x 4 x3
x2


 C1 x  C2 dx 
  C1  C2 x  C3 .
=   C1 x  C2  y    

3
2
3
2
12
6
2


2
О Т В Е Т: 3.
Для проверки решения можно найти
y для
полученной функции:

 x4 x3
 x3 x2
x2
x3 x2

y      C1   C 2 x  C 3     C1 x  C 2 , y   
  C1 x  C 2  
2
3 2
3 2
 12 6

x 2  x  C1 , y   ( x 2  x  C1 )   2 x  1.
Получим исходное уравнение y  2 x  1.
Функция ответа 1) является решением данного уравнения, но это решение не
является общим, функции ответов 2, 4 не являются решениями данного
уравнения, в чем можно убедиться, выполнив дифференцирование.
28
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами нетрудно найти, если известны корни
характеристического уравнения.
34
Если исходное дифференциальное уравнение является уравнением второго
порядка, то его характеристическое уравнение является квадратным
уравнением. В случае, когда это квадратное уравнение имеет два различных
корня k1  k2 , общее решение дифференциального уравнения равно линейной
комбинацией функций
e k1x и e k
2x
.
В случае, когда характеристическое уравнение имеет кратный корень
k1=k2=k0, то общее решение дифференциального уравнения равно линейной
комбинацией функций
e k 0 x и x * ek x .
0
Если исходной линейное однородное дифференциальное уравнение является
уравнением третьего порядка, то его характеристическое уравнение является
кубическим уравнением (уравнением третьей степени).
Для случая, когда корни характеристического уравнения различные k1,k2,k3
(различные действительные числа), общее решение дифференциального
уравнения равно линейной комбинации функций
e k1x , e k
2x
и
ek3 x .
Если окажется, что k2=k3, то общее решение равно линейной комбинацией
k1 x
k2 x
k2 x
функций
, e
и xe
.
e
ЗАДАНИЕ №28 (выберите один вариант ответа)
Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами и характеристическими корнями k1=k2=5, k3= 2 является...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
35
1) y  (C1  C2 x) Sin5x  (C3  C4 x)Cos5 x  C5 Sin 2 x  C6Cos2 x
2) y  C1e
5x
 C2e2 x
3) y  C1Sin5 x  C2Cos5 x  C3Sin 2 x  C4Cos2 x
4) y  (C1  C2 x)e
5x
 C3e 2 x
РЕШЕНИЕ
По
корням
характеристического
y1  e 5 x , y 2  x  e 5 x , y3  e 2 x .
Общее
уравнения
решение
строим
функции
дифференциального
уравнения равно линейной комбинацией (с произвольными коэффициентами)
5x
5x
2 x
этих функций, т.е. y  C1 e  C2 xe  C3e , что совпадает с ответом 4.
О Т В Е Т: 4.
29
Случайные события А и В называются несовместными, если они в
рассматриваемых условиях не могут одновременно произойти; в противном
случае они называются совместными.
Случайные события А и В называются независимыми, если вероятность
одного из этих событий не зависит от того, произошло другое событие или не
произошло; в противном случае они называются зависимыми.
ЗАДАНИЕ №29 (выберите несколько вариантов ответа)
Бросают две монеты. События А – «цифра на первой монете» и В – «герб на
второй монете» являются:
36
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) совместными
2) зависимыми
3) независимыми
4) несовместными
РЕШЕНИЕ
Ясно, что эти события совместны и независимы.
О Т В Е Т: 1, 3.
30
Если случайные события А и В независимы, то р(АВ)=р(А)р(В)
(вероятность произведения равна произведению вероятностей); если А и В –
зависимые, то р(АВ)=р(А)∙р(В/А), где р(В/А) – условная вероятность
(вероятность появления события В при условии, что событие А наступило)
ЗАДАНИЕ №30 (выберите один вариант ответа)
По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий,
производящих разнотипную продукцию 0,2 и 0,35. Тогда вероятность
банкротства обоих предприятий равна...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 0,07
2) 0,55
3) 0,7
4) 0,52
РЕШЕНИЕ
Здесь надо найти вероятность произведения (совместного осуществления)
двух независимых событий = р(АВ)=р(А)р(В)=0,2∙0,35=0,07.
37
О Т В Е Т: 1.
31
Если событие А может наступить при условии одного из нескольких
событий, образующих полную группу событий, то вероятность р(А)
вычисляется по формуле полной вероятности как сумма произведений
вероятностей событий, образующих полную группу событий, на условные
вероятности появления события А при осуществлении соответствующего
события.
Так, например, если событие А может наступить при условии появления трех
событий
Н1 ,
Н2,
Н3,
образующих
полную
группу
событий,
то
р(А)=р(Н1)∙р(А/Н1)+р(Н2)∙р(А/Н2)+р(Н3)∙р(А/Н2).
Если в аналогичных предположениях А наступает при появлении двух
событий Н1, Н2, то р(А)=р(Н1)∙р(А/Н1)+р(Н2)∙р(А∙Н2).
ЗАДАНИЕ №31 (выберите один вариант ответа)
Событие А может наступить лишь при условии появления одного из двух
несовместных событий В1 и В2, образующих полную группу событий.
Известны
вероятность Р(В1)=
1
3
1
2
и условные вероятности Р(А/В1)= ,
1
4
Р(А/В2)= .
Тогда вероятность Р(А) равна...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1)
2
3
2)
1
2
38
3)
1
3
4)
3
4
РЕШЕНИЕ
В данном случае В1 и В2 – противоположные события. Поэтому р(В2)=11
3
2
3
р(В1)=1-  .
Применим формулу полной вероятности:
1 1
3 2
2 1
3 4
р(А)=р(В1)∙р(А/В1)+р(В2)∙р(А/В2)=    
22 1
 .∙
12
3
О Т В Е Т: 3.
32
Если у=f(x) является плотностью распределения случайной величины,

то

f ( x) dx  1 . Геометрический смысл этого условия состоит в

следующем: площадь, лежащая под графиком функции y=f(x), равна 1.
ЗАДАНИЕ №32 (выберите один вариант ответа)
График плотности распределения вероятностей f(x) случайной величины
приведен на рисунке
у
а
у=f(x)
0
0,5 1
х
Тогда значение a равно...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
39
1)
4
3
2) 1,2
3) 0,9
4)
3
4
РЕШЕНИЕ
Площадь, лежащая под графиком функции у=f(x), равна сумме площадей
1
2
(S1  0,5  a) и треугольника ( S 2   0,5  a  0,25a ), т.е.
прямоугольника
S=0,5a+0,25a=1 или 0,75а=1, откуда а=
1
4
 .
0,75 3
ОТВЕТ: 1.
33
Для изучения выборки строят для нее статистический ряд. Это таблица,
в первой строке которой перечислены наблюдаемые значения случайной
величины, а во второй соответствующие частоты наблюдаемых значений.
xi x1 x2 …..
ni n1 n2 …..
Очевидно, что

xk
nk
ni  n , где n – объем выборки.
i
ЗАДАНИЕ №33 (выберите один вариант ответа)
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:
xi
1
2
3
4
ni
10
n2
8
7
Тогда n2 равен...
40
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 26
2) 25
3) 9
4) 50
РЕШЕНИЕ
Сумма частот 10+n2+8+7 будет равна n=50 при n2=25.
О Т В Е Т: 2.
34
Выборочная дисперсия DB является смещенной оценкой генеральной
дисперсии.
S2 
Исправленная
дисперсия
S2
определяется
по
формуле
n
 D B , где n-объем выборки.
n 1
Оценка S2 является несмещенной оценкой для генеральной дисперсии.
ЗАДАНИЕ №34 (выберите один вариант ответа)
Для выборки объема n=10 вычислена выборочная дисперсия DB=180,
исправленная дисперсия S2 для этой выборки равна...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 324
2) 200
3) 162
4) 400
РЕШЕНИЕ
2
Имеем S 
О Т В Е Т: 2.
n
10
.D B   180  200.
n 1
9
41
35
Выборочный коэффициент корреляции rB по модулю не превосходит 1,
т.е. rB  1 . Если в уравнении регрессии у=ах+b коэффициент а>0, то rB>0;
если же а<0, то rB<0.
ЗАДАНИЕ №35 (выберите один вариант ответа)
Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид у=4,4-2,2х. Тогда
выборочный коэффициент корреляции может быть равен...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 4,4
2) 0,9
3) -0,9
4) 0,5
РЕШЕНИЕ
Здесь коэффициент при х меньше нуля, поэтому rB<0.
О Т В Е Т: 3.
Если бы этот коэффициент был больше нуля, то верными были бы ответы 2 и 4
(числа 0,9 и 0,5 меньше 1). Ответ 1 неверный, так как 4,4>1.
36 Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения
или о параметрах известных распределений. Выдвинутую гипотезу называют
основной (нулевой) и обозначают Н0. Конкурирующей (альтернативной)
называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой гипотезе H0. Например:
Н0:а=10, Н1:а  10.
ЗАДАНИЕ №36 (выберите один вариант ответа)
42
Если основная гипотеза имеет вид Н0: а=9, то конкурирующей может быть
гипотеза...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) Н1: а  8
3) Н1: а<9
2) Н1: а  9
4) Н1: а  9
РЕШЕНИЕ
Ясно, что гипотезы ответов 2 и 4 не противоречат Н0. Гипотеза ответа 1 –
просто другая гипотеза, а гипотеза ответа 3 противоречит гипотезе Н0.
О Т В Е Т: 3.
37
В признаках делимости включают делимость на взаимно простые
множители.
ЗАДАНИЕ №37 (выберите один вариант ответа)
Необходимым и достаточным условием делимости натурального числа N на 60
является его делимость...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) на 2, на 10 и на 3
2) на 6 и на 10
3) на 3, на 4 и на 5
4) на 2 и на 30
РЕШЕНИЕ
В ответе 3 множители 3, 4, 5 являются взаимно простыми.
43
О Т В Е Т: 3.
Например, число 90 делится на 2, 10 и 3 (см. отв.1), но не делится на 60;
оно также делится на 6, 10 (см.отв.2), но не делится на 60; это число делится на
2, 30 (см.отв.4), но не делится на 60.
38
 -окрестность точки (числа) х=а является интервал ( a   , a   ) . Ясно,
что a  (a   , a   )
a 
a 
a
ЗАДАНИЕ №38 (выберите несколько вариантов ответа)
 -окрестность точки (числа) х= -4 может принадлежать множеству...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
1) (-5;-4]U(-4;-3)
2) (-6; -2) \ [-4; 0)
3) (-5; -3)  (-4; -2)
4) (-6; -2)\ [-3;-1)
РЕШЕНИЕ
На числовой оси построим множество ответа 2, оно состоит из тех точек
интервала (-6; -2), которые не принадлежат интервала [-4; 0), т.е. х=4
множеству ответа 2 не принадлежит.
В ответе 3 надо найти пересечение интервалов (-5; -3) и (-4;-2):
-5
-4
-3
-2
0
44
Число х = -4 этому множеству не принадлежит. Таким образом ответы 2 и 3
неверны.
Для ответа 1 построим объединение промежутков (-5; -4] и (-4; -3). Здесь (5; -4] U(-4; -3)=
=(-5; -3). Число х=-4  (-5; -3). Ответ 1 – верный.
Для ответа 4 построим множество (-6;-2)\[-3; -1). Для этого из интервала
(-6; -2) выбросим те его точки, которые принадлежат промежутку [-3; -1). Из
рисунка видно, что
(-6; -2) \ [-3;-1)=(-6; -3). Число х=-4  (-6;-3). Ответ 4 – верный.
-6
О Т В Е Т: 1,4
39
-3
-2
-1
Выборки из данных n элементов по k элементов, отличающиеся друг от
друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число таких
сочетаний обозначают через Ckn и вычисляют по формуле
Ckn=
n!
.
k!( n  k )!
Выборки из данных n элементов по k элементов, отличающиеся друг от друга
хотя бы одним элементом либо их порядком, называют размещениями. Число
таких размещений обозначают через
A k n =n(n-1)(n-2)…..[n-(k-1)].
Ak n
и вычисляют по формуле
45
Размещения из данных n элементов по n элементов называют перестановками
(они отличаются лишь порядком элементов). Число перестановок из n
элементов
обозначают
через
Рn.
Ясно,
что
Pn  A n n  n(n  1)( n  2).....3  2  1  1  2  3.....n  n! (n-факториал).
ЗАДАНИЕ №39 (выберите один вариант ответа)
Число всевозможных способов, которыми можно извлечь из 6 различных
учебников 3, равно...
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) 18
2) 20
3) 120
4) 12
РЕШЕНИЕ
Здесь способы отличаются друг от друга только составом выборки, то есть
надо подсчитать С
3
6

6! 1  2  3  4  5  6

 20 .
3!3! 1  2  3  1  2  3
О Т В Е Т: 2.
40
А
На рисунке изображен граф с вершинами А, В, С, D и Е.
В
Ребрами графа являются пути, которые
Е
С
D
соединяют вершины графа.
Перечислим их: (А,В), (А,С), (В,Е),
(С,D), (D,Е), (Е,Е).
ЗАДАНИЕ №40 (выберите варианты согласно тексту задания)
46
Неориентированные графы имеют множество вершин {A, B, C, D}. Множества
их ребер заданы отношением инцидентности: каждое ребро представлено как
пара вершин. Поставьте в соответствии каждому графу его графическое
изображение.
1) {(A,C), (B,C), (C,D),(B,D)}
2) {(A,B), (A,C), (B,C), (C,D)}
3) {(A,C), (B,C), (B,D), (B,B)}
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
А
В
а)
A
B
b)
С
A
D
C
B 
c)
D
A
B
C
D
d)
C
D
A
B
C
D
e)
РЕШЕНИЕ
Сравним перечень ребер с графиками.
1. Ребра (А,С) нет на графе а); оно есть на графе в).
47
Следующее ребро (В,С) есть на граве в), но на этом графе нет ребра (С,D), т.е.
для первого случая ответы а) и b) неверные.
Ответ с) тоже неверен (нет ребра (В,С); ответ е) тоже не соответствует
перечню ребер. На рисунке d) представляет граф с ребрами (А,С), (В,С),
(С,D),(B,D).
О Т В Е Т: d.
2. В этом случае ребра (А,В) нет на рисунках а,b,c,d. Рисунок е) соответствует
этому перечню ребер.
О Т В Е Т: е.
3. Ребро (В,В) имеется на графах в) и е). Сопоставляя эти графы с ребрами
(А,С), (В,С) и (В,D) убеждаемся, что верный ответ для этого случае – граф в).
О Т В Е Т: в.
48
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...................................................................................3
Задания 1-4 (линейная алгебра)................................................... 6
Задания 5-8 (абстрактная алгебра)............................................ 11
Задания 9-12 (аналитическая геометрия)..................................14
Задания 13-16 (дифференциальная геометрия)........................18
Задания 17-20 (математический анализ)...................................21
Задания 21-24 (комплексный анализ)........................................26
Задания 25-28 (дифференциальные уравнения).......................30
Задания 29-32 (теория вероятностей)........................................35
Задания 33-36 (математическая статистика)............................39
Задания 37-40 (дискретная математика)...................................42
Содержание..................................................................................48