ρ

10 класс
Задача 1.
В бак диаметром 0,2 м налито 40 кг воды и брошен кусок льда m = 9 кг с
кг
кг
примерзшим камнем массой m 2 = 3 кг,ρ в = 1000 3 ,ρ л = 900 3 . Плотность камня ρк
= 3000
кг
м3
м
м
. Как изменится уровень воды в баке ( и на сколько) после того, как лед
растает. (10б)
Решение:
Вычислим объём куска льда и объём камня по отдельности:
𝑉𝑉л =
𝑉𝑉к =
𝑚𝑚л
9
=
= 0.01 м3
900
𝜌𝜌л
𝑚𝑚к
3
=
= 0.001м3 .
𝜌𝜌к 3000
Средняя плотность камня со льдом:
𝜌𝜌лк =
𝑚𝑚л + 𝑚𝑚к
12
кг
=
≈ 1090 3 ,
0.011
м
𝑉𝑉л + 𝑉𝑉к
отсюда следует, что ρ лк >ρ в , что лед с примерзшим камнем утонут и вытеснят при
этом объем воды:
𝑉𝑉в = 𝑉𝑉л + 𝑉𝑉к = 0.011 м3 .
После таяния льда камень по-прежнему будет вытеснять объем воды, равный V к .
А объем воды, вытесненной растаявшим льдом будет равен:
𝑉𝑉л′ =
𝑚𝑚л
9
=
= 0.009 м3 .
1000
𝜌𝜌в
Так как V´ л <V л , то таким образом объем воды в баке уменьшится на
∆𝑉𝑉 = 𝑉𝑉л − 𝑉𝑉л′ =
𝑚𝑚л 𝑚𝑚л
−
= 0.001 м3
𝜌𝜌л
𝜌𝜌в
𝜋𝜋𝑑𝑑 2
∆𝑉𝑉 = 𝑆𝑆 ∙ ∆ℎ =
∆ℎ .
4
Отсюда рассчитаем, как изменится уровень воды в баке:
Баллы
∆ℎ =
4∆𝑉𝑉
0.004
=
≈ 0.03 м
𝜋𝜋𝑑𝑑 2 3.14 ∙ 0.04
Правильность (ошибочность) решения
Полностью верное решение.
Решение верное, но есть ошибки в расчетах
Вычислены объёмы льда и камня
Найден только объём камня или льда
Есть понимание физики явлений, но фактического решение
нет
Решение неверное, или отсутствует.
10
9
7-8
6
4-5
0
Задача 2.
На поверхности воды плавает шарик радиуса R = 5см . В покое центр шарика
находится на глубине H = 3 см. Чему равен период T малых колебаний шарика
вдоль вертикали? Плотность материала шарика ρ = 0,8г / см 3 Ускорение
свободного падения g = 10м/c 2 . Температура воды 270С. (8 б)
Решение:
Когда шарик находится в покое, то границей между ним и водой вдоль
поверхности воды является окружность радиуса r , причем r 2 = R 2 − H 2 , что
следует из теоремы Пифагора. Если шарик погрузится относительно положения
покоя на глубину x << R , то Архимедова сила увеличится на величину
∆FA ≡ f ≅ xπr 2 = π ( R 2 − H 2 ) x . Аналогично, если шарик сместится вверх на высоту x ,

Архимедова сила уменьшится на величину f . Иными словами, сила f

направлена противоположно смещению x шарика из положения равновесия:
2
2
f x = −kx , где величина k = π ( R − H ) играет роль коэффициента жесткости
в аналогичной ситуации колебаний шарика массой m под действием упругой
силы пружины с жесткостью k . Значит, период малых колебаний
4 3
πR ρ
m
3
T = 2π
= 2π
≅ 5,7c
k
π (R 2 − H 2 )
Ответ: T = 5,7c
Баллы
8
7
6-7
4-5
3-1
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение. Решена система уравнений.
Верное решение. Имеются небольшие недочеты.
Правильно записаны выражения для силы Архимеда и периода
колебаний груз на пружинке
Есть понимание физики явления.
Есть уравнения, но отсутствует решение.
Задача 3.
Человек массой M = 60кг поднялся по легкому канату, перекинутому через
блок, на высоту H = 2 м за 4с . На другом конце каната висит груз массой m = M
.Какую энергию затратил человек при подъеме? Начальные скорости равны нулю.
(10 б)
Решение:
Пусть FН - сила натяжения каната. В проекции на вертикальную ось Ox
имеем:
2H
- ускорение человека и t - время подъема,
t2
причем скорость человека в конце подъема равна V = At . Аналогичное уравнение
FН − Mg = MA (1),где
A=
Ньютона можно написать для груза:
FН − mg = ma (2),
откуда при сравнении (1) с (2) видно, что при m = M ускорение груза a = A ,
т.е. груз повторяет вверх движение человека. Энергия человека (или груза) за
время t изменится на величину
∆E = MgH +
2 MH 2
1
MV 2 = MgH +
2
t2
(3)
Суммарное изменение энергии человека и груза, очевидно, есть искомая
энергетическая затрата человека
E = 2∆E = 2 MgH +
4 MH 2
= 2460 Дж .
t2
Ответ: E = 2MgH +
Баллы
10
9
6-7
4 MH 2
= 2460 Дж
t2
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение. Решена система уравнений.
Верное решение. Имеются небольшие недочеты.
Правильно записаны выражения для сил и полной механической
энергии
4-5
Есть понимание физики явления.
3-1
Есть уравнения, но отсутствует решение.
Задача 4.
Металлический
стержень
при
температуре
00С
помещен
в
теплонепроницаемую изоляционную оболочку. К концам стержня прилагается
электрическое напряжение U . Как меняется ток в стержне со временем t ?
Начальное
сопротивление стержня r0 , температурный коэффициент
сопротивления α , теплоемкость стержня C . (Сопротивление зависит от
температуры T 0 C по формуле r = r0 (1+ αT ) ). (10 б)
Решение:
За небольшой промежуток времени ∆t в проводнике выделится количество
Джоулева тепла
𝑄𝑄 =
𝑈𝑈 2
𝑟𝑟
∆𝑡𝑡
(1)
которое пойдет только на разогрев проводника при изменении его
температуры на величину ΔT, т.е.
𝑄𝑄 = 𝐶𝐶∆𝑇𝑇
(2)
Из (1) — (2) следует, что
Q=
U2
Δt = C (1 + αT )ΔT
r0
(3)
Принимая за начало отсчета времени t = 0 и температуры T = 0 , положим в
(3) Δt = t , ΔT = T , а за время t величину (1 + αT ) заменим средним значением
1+ (1+ αT )
1
= 1+ αT
2
2
Из (3) получим
(4)
U2
t = C (1+ αT / 2)T
r0
(5)
Обозначив x = 1+ αT
(6)
преобразуем (5) к виду
x2 −1
U2
t=C
r0
2α
откуда
2αU 2
t +1
Cr0
x=
(7)
(8)
Таким образом, учитывая (6), получим, что ток
временем t меняется по закону
I=
U
U
=
=
r r0 x
r0
2αU 2
t +1
Cr0
(9)
U
Ответ: I =
r0
Баллы
10
9
6-7
4-5
3-1
U
в проводнике cо
2αU 2
t +1
Cr0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение. Решена система уравнений.
Верное решение. Имеются небольшие недочеты.
Правильно записаны выражения для теплового баланса
Есть понимание физики явления.
Есть уравнения, но отсутствует решение.
Задача 5.
Тонкий обруч радиусом 0,5м раскрутили до угловой скорости 30,2 рад/с и
затем поместили в угол (коэффициент трения между стенкой, полом и обручем
0,5). Сколько оборотов сделает обруч до остановки? (10б)
Решение:
Пусть mg – сила тяжести обруча;
F тр1 – сила трения между полом и обручем;
F тр2 – сила трения между стеной и обручем;
N 1 – сила реакции опоры, действующая со стороны пола на обруч;
N 2 – сила реакции опоры, действующая со стороны стены на обруч.
Поскольку между обручем, стенкой и полом есть трение, угловая скорость
вращения обруча со временем уменьшится до нуля, причём изменение
кинетической энергии обруча равно работе сил трения, действующих на обруч:
𝑚𝑚 𝑣𝑣 2
∆𝐸𝐸𝑘𝑘 = 0 − 𝐸𝐸𝑘𝑘0 = −
= 𝐴𝐴тр1 + 𝐴𝐴тр2 = −�𝐹𝐹тр1 + 𝐹𝐹тр2 � ∙ 𝑆𝑆.
2
При этом очевидны равенства: 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔𝜔𝜔; 𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋, где n – число оборотов
обруча до его остановки.
Найдём силы трения. Тело поступательно не перемещается. Это означает,
что равнодействующая всех сил, равна нулю, т.е. в проекциях на вертикальную и
горизонтальную оси имеют место два равенства:
𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑁𝑁1 − 𝐹𝐹тр2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑁𝑁1 − 𝜇𝜇𝑁𝑁2 = 0
𝑁𝑁2 − 𝐹𝐹тр1 = 𝑁𝑁2 − 𝜇𝜇𝑁𝑁1 = 0.
Из них находим:
𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇
𝜇𝜇2 𝑚𝑚𝑚𝑚
;
𝐹𝐹тр2 =
.
𝐹𝐹тр1 =
1 + 𝜇𝜇2
1 + 𝜇𝜇2
Объединяя все полученные выражения, получим:
𝜔𝜔2 𝑅𝑅(1 + 𝜇𝜇2 )
= 6 оборотов
𝑛𝑛 =
4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋(1 + 𝜇𝜇)
Ответ: 6 оборотов.
Баллы
10
8
6-7
4-5
3-2
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение и расчеты
Решение верное, получено выражение для числа оборотов, но есть
ошибки в расчетах
Правильно получены выражения для сил трения
Правильно записано выражение для кинетической энергии
Правильно расставлены все силы
Решение отсутствует полностью