1-50 В.Г. Лущик, А.Е. Якубенко Пограничный слой на

УДК 532.526.4
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ ВДУВЕ ИНОРОДНОГО ГАЗА
В.Г. Лущик 1 , А.Е. Якубенко 2
1
НПО Энергомаш им. акад. В.П. Глушко, Химки Моск. обл.
2
Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва
С использованием трехпараметрической (для энергии, трения и завихренности
турбулентности) модели выполнено численное исследование пограничного слоя на проницаемой поверхности при вдуве газа, отличного по плотности и температуре от газа набегающего потока.
Полученные результаты для коэффициента трения и числа Стантона сравниваются с имеющимися экспериментальными данными по вдуву гелия, воздуха, углекислого газа и фреона в поток нагретого воздуха. Показано, что отношение плотностей
вдуваемого газа и газа набегающего потока существенно влияет на зависимость трения и теплообмена от параметра вдува.
Ключевые слова
Пограничный слой, вдув, отсос, модель турбулентности.
Условные обозначения
- параметр вдува; c - относительная массовая концентрация вдувае/2c f 0
мого газа; c f - коэффициент трения; c p - теплоемкость при постоянном давлении,
Дж/(кг К); D - коэффициент бинарной диффузии газа, м 2 /сек; E - энергия турбулентности, м 2 /сек 2 ; I - статическая энтальпия газа, Дж/кг;
v /( ) ew - относительная массовая скорость вдува; L - масштаб турбулентности, м; p - статическое
давление, Па; Pr - число Прандтля; Prt - турбулентное число Прандтля; Re - число
Рейнольдса; Sc - число Шмитда; Sc t - турбулентное число Шмитда; St - число Стантона; T - температура, К; x - координата вдоль стенки, м; y - нормальная координата,
отсчитываемая от стенки, м; u и v - компоненты скорости вдоль осей x и y соответственно, м/сек; ue - скорость газа во внешнем потоке, м/сек; v w - скорость газа; вдуваемого через поверхность, м/сек; e 0 - интенсивность турбулентности во входном сечении; h - динамическая вязкость, Па сек; l - теплопроводность, ватт/(м К);
d
q
0
t
u
ru
1
dy
ru
ue
v' '
- толщина потери импульса, м;
r
- плотность, кг/м 3 ;
- турбулентный поток массы, кг/(м 2 сек); r qc - дополнительный поток
тепла, обусловленный градиентом концентрации в бинарной смеси, ватт/м 2 ;
v' ' - турбулентный поток тепла, ватт/м 2 ; rt r u v
- напряжение
t
турбулентного трения, Па; y
/ 0 - относительный коэффициент трения;
y
/
t0
- относительное число Стантона; w
/
2
- завихренность турбулентно-
сти, сек .
2
Введение
Использование проницаемых поверхностей в различных технических устройствах обусловлено необходимостью либо теплозащиты стенок (при помощи вдува), либо
управления пограничным слоем (при помощи отсоса). Об актуальности упомянутых
проблем можно судить по большому числу публикаций, достаточно полная библиография которых содержится в монографиях [1, 2].
Для пограничного слоя несжимаемой изотермической жидкости с постоянной
скоростью набегающего потока ue на проницаемой поверхности в условиях однородного вдува (отсоса) той же жидкости, что и в набегающем потоке, отличие от пограничного слоя на непроницаемой поверхности будет состоять лишь в наличии потока
жидкости со скоростью v w через поверхность. Такая постановка позволяет выделить
влияние только одного параметра
на характеристики пограничного слоя.
w
e
Расчеты по трехпараметрической модели турбулентности [3] были проведены
[4] в диапазоне параметра вдува (отсоса) F .01 0
, что соответствует области исследования работы [5], с результатами которой проведено сравнение.
Расчеты показали, что по толщине пограничного слоя турбулентное напряжение
сдвига rt при вдуве возрастает по сравнению со случаем F 0 , причем максимум rt
удаляется от стенки. Отсос приводит к уменьшению rt . Аналогично ведет себя и энергия турбулентности E . Масштаб турбулентности, как показали расчеты в диапазоне
F 0.002 , слабо зависит как от вдува, что подтверждается экспериментом, так и от
отсоса.
Результаты расчета профилей скорости в широком диапазоне параметра вдува
(отсоса) F и числа Рейнольдса по толщине потери импульса Req согласуются с экспериментом (см. в [4]) не только в качественном, но и количественном отношении. С ростом параметра вдува F профили скорости становятся менее заполненными по сравнению со случаем F 0 , приближаясь по форме к предотрывным профилям скорости.
При отсосе деформация профиля скорости происходит немонотонно. Так, при небольших значениях параметра отсоса F
0.005 профили скорости как в расчете, так и в
эксперименте становятся более заполненными, чем в случае непроницаемой пластины.
При дальнейшем увеличении параметра отсоса (до F 0.01 ) профили скорости становятся более вытянутыми, что является признаком ламинаризации пограничного слоя, о
чем свидетельствует также существенное уменьшение t и E .
Результаты расчета местного коэффициента трения c f , отнесенного к соответствующей величине c f 0 при F 0 и при том же числе Рейнольдса Req по толщине потери импульса, в зависимости от параметра вду
cf0
/2
также согласуются с эксва
периментальными данными [5] во всем исследованном диапазоне параметра вдува (отсоса) F .
При вдуве инородного газа и (или) неизотермичности течения появляется дополнительный параметр – отношение плотностей вдуваемого газа и газа основного потока
/ , либо отношение массовых скоростей
/( u) (интенсивность вдува).
Целью настоящей работы является исследование влияния интенсивности вдува
на трение и теплообмен в пограничном слое на проницаемой поверхности на примерах
вдува гелия, воздуха, углекислого газа и фреона в поток нагретого воздуха.
1. Постановка задачи
Для расчета течения и теплообмена в турбулентном пограничном слое на проницаемой пластине со вдувом газа другого состава, отличного от газа основного потока, была использована система уравнений неразрывности, движения, энергии [6]:
ru
rv
u
x
u
I
u
x
(1.1)
0
xy
u
y
dp
dx
I
v
y
dp
u
dx
v
y
c
cu
v
x y y
u
h
l
y cp
c
rD
u
y
rt
(1.2)
I
ct
y
h
u
y
2
(1.3)
QE
r jt
(1.4)
Здесь dp / dx - градиент статического давления, который считается заданным,
QE диссипация энергии турбулентности, которая полагается равной rt / , что следует из уравнения для энергии турбулентности, если оставить в нем члены с порождением и диссипацией турбулентной энергии.
Так как нормальная компонента скорости v встречается только в комбинации с
плотностью r , то вместо среднего значения v используется среднее значение r v .
Отметим основные предположения, которые были сделаны при записи системы
уравнений (1.1)-(1.4). Уравнение диффузии (1.4) записано для бинарной смеси химически невзаимодействующих газов. В правой части уравнения (1.4) опущен диффузионный поток массы, обусловленный термодиффузией, которым в рассматриваемом случае, как показано в [6], можно пренебречь по сравнению с остальными членами.
В уравнении энергии (1.3) дополнительный поток тепла rqc , обусловленный
градиентом концентрации в бинарной смеси газов имеет вид [6]
l
c
c
21
c
Здесь Pr
cySc
cp /
Pr
y
1
2
)
c
- молекулярное число Прандтля, Sc
(1.5)
/ Di
- число Шмидта,
I1 и I 2 - удельные энтальпии газов, индекс “1” соответствует газу, концентрация которого равна c .
Если принять, что молекулярные числа Прандтля и Шмидта близки т.е. число
Pr/ Sc 1 , то дополнительным членом q c (1.5) в уравнении энергии (1.3) можно пренеб-
речь по сравнению с турбулентным переносом тепла. В настоящей работе предположение о равенстве чисел Pr и Sc не используется.
Система уравнений (1.1)-(1.4) решалась при следующих граничных условиях.
На стенке
:0
0,
j
ew
( v) /( u)
const, ( r v) w cs
( r v) w cw
rD
c
y
w
(1.6)
r I
l I
cp y
r v)
I
1
w
Pr
cw cs
Sc
Здесь cs - заданная относительная массовая концентрация вдуваемого через пористую стенку газа в смеси с газом набегающего потока. В случае вдува чистого газа
cs 1 . Массовая концентрация cw и энтальпия I w (температура Tw ) вдуваемого газа на
пористой стенке со стороны набегающего потока заранее неизвестны и подлежат определению из граничного условия (1.6). Энтальпия (температура) )(охладителя,
подаваемого в пористую стенку, в (1.6) полагается заданной. В предельном случае
сильного вдува, когда поток мас
r v w c и энтальпии r v w I достаточно велики, из
(1.6) следует, что
,
Tw Ts , т.е. концентрация и температура газа на
стенке близки к соответствующим величинам в траке охлаждения.
На внешней границе пограничного слоя
d
u x), T
T ( x),
c
0
(1.7)
З десь
) T ( x) - функции, описывающие невязкое течение в ядре набегающего потока. Величина δ выбирается из условия гладкого сопряжения решения.
Во входном ( x 0 ) сечении должны быть заданы профили соответствующих
функций
) I ( y), c( y) .
Для определения величины турбулентного трения ρτ , входящей в уравнение
движения (1.2), использовалась трехпараметрическая модель турбулентности [3],
обобщенная на течения с теплообменом, в которой записаны уравнения переноса для
2'
напряжения сдвига t
u v , энергии турбулентности
и параметра
i
w
/ 2 , имеющего физический смысл завихренности турбулентности и содержащего
поперечный интегральный масштаб турбулентности L . Для определения турбулентных
v' ' и массы
v' ' , входящих в уравнения энерпотоков тепла
t
t
гии (1.3) и диффузии (1.4), использовались гипотезы, основанные на введении постоянных по толщине пограничного слоя турбулентных чисел Прандтля и Шмидта
Pr Sc 0.85 . Эти уравнения с константами модели турбулентности и граничными
условиями приведены в [7].
Теплофизические свойства и числа Pr, Sc задаются в табличном виде – в случае
однородной среды в зависимости от давления и температуры, а при вдуве газа, отличного от основного потока, еще и концентрации. Для смеси газов теплофизические свой-
ства рассчитывались по полуэмпирическим формулам для многокомпонентной смеси
газов, приведенным в [8], а плотность – по уравнению состояния идеального газа.
2. Результаты расчета и сравнение с экспериментом
Расчеты проводились в следующем порядке. Плоская пластина обтекалась потоком воздуха с постоянной скоростью при атмосферном давлении и температуре
310 . Интенсивность турбулентности потока на входе составляла
e
e
,03 , число Рейнольдса турбулентности, определенное по масштабу тур-
e
булентности на входе Re t
E
L
/0
3 103 . Вдув охладителя начинался на некотором (небольшом) расстоянии от начала пластины и на короткой длине возрастал от нуля до номинального значения, которое далее оставалось постоянным. В качестве граничного условия заданы температура и концентрация вдуваемого газа s 290 ,
cs 1 . Вдуваемыми газами в расчете в порядке убывания плотности были: фреон – 12
(дифтордихлорметан CF Cl ), углекислый газ ( CO2 ), воздух и гелий ( He ).
Параметрами задачи являются: число Рейнольдса, определенное по длине
Re xu/
(либо по толщине потери импульса Req
ue / h ), число Прандтля
/( u)
Pr
c p / , относительная массовая скорость вдува
Для сравнения результатов расчета с экспериментом были выбраны работы [5,
9-11], в которых вдувались упомянутые выше газы. Сравнение проводилось по коэффициенту трения c f и числу Стантона St
c
f
2t w
th 2
r eu
qI w
u
w
y
St I
w
r
e
St
q
q
r
w
d
cw
e
Iw
,
h
I
Pr y
h
q
Iw
rq
,
Pr y
Iw
h c
Sc y
S
w
I
r
e
w
w
cw
Здесь St I - число Стантона без учета дополнительного потока энергии qc (1.5),
St - с учетом его, St d - диффузионное число Стантона.
Рис.1 демонстрирует отличие приведенных выше чисел Стантона на примере
вдува гелия (а) и фреона (б) в воздух. Как видно, учет дополнительного потока qc (1.5),
обусловленного градиентом концентрации, дает заметное отличие в числах Стантона
St I (линии 1) и St (линии 2). Но еще большее отличие имеет место при использовании предположения о равенстве чисел Прандтля Pr и Шмидта Sc (линии 4). Диффузионное число Стантона St d (линии 3) может как совпадать с числом Стантона St (при
вдуве фреона - рис. 1,б и углекислого газа), так и отличаться от него (при вдуве гелия рис. 1,а).
Далее будут использоваться результаты расчетов, полученные для числа Стантона St = St , определенного с учетом дополнительного потока qc (1.5).
Рис. 1. Изменение числа Стантона по длине пластины при вдуве гелия (а) и фреона (б) в
воздух: 1 - St I , 2 - St , 3 - St d , 4 - St I = St ( Pr Sc )
В литературе по исследованию пограничного слоя на проницаемой поверхности
[1, 2] результаты принято представлять в безразмерном виде зависимостей относительных величин коэффициента трени я y
/ f 0 и числа Стантона y sx St / St0 , отнесенных к соответствующим величинам при отсутствии вдува при том же числе Рейнольдса Re x . В качестве аргументов использовались параметры вдува
j c 0
и
j / St0 .
На рис. 2, 3 представлены расчетные (линии) и экспериментальные (точки) зависимости y b и y Tx bTx для вдува воздуха и гелия. Расчеты проведены в широком
диапазоне значений относительной массовой скорости вдува j . По числу Рейнольдса
расчетами охвачен диапазон от Re x 2 105 , где заканчивается переход от ламинарного
Tx
T
режима к турбулентному, до Re x 10 9 .
Как видно, результаты расчета вполне удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Заметное расслоение расчетных данных по параметру j
имеет место при невысоких числах Рейнольдса Re x 2 10 ...10 . При больших числах
Re x зависимости y b и y Tx bTx стремятся к некоторой огибающей, которая близка
к предельной (при бесконечных числах Рейнольдса) зависимости Кутателадзе –
Леонтьева [1] (штриховая линия на рис. 2, 3)
y
b
b*
2
2.0
1
b
b*
,b
b b*
2.0
(2.1)
Здесь b* - критическое значение параметра вдува, которое зависит от относительной плотности вдуваемого газа n
/ .
Рис. 2. Зависимости y b (а) и y Tx bTx (б) при вдуве воздуха в воздух: точки 1 - эксперимент 5 , 2 - 10 , 3 - 12 , линии - расчет, штриховая линия - предельная зависимость Кутателадзе – Леонтьева (2.1) [1]
Рис. 3. Зависимости
b (а) и y Tx bTx (б) при вдуве гелия в воздух: точки 1 - эксперимент 9 , линии - расчет, штриховая линия - предельная зависимость Кутателадзе –
Леонтьева (2.1) [1]
Сравнение расчетной (линия) зависимости o
/ b 1 от n ( b1* - критическое
значение параметра вдува при n 1 ) с экспериментальными данными (точки), полу5
ченными в [2] интерферометрическим методом при числе Re x 2 10 для тех же газов,
для которых проведены расчеты, представлены на рис. 4. Там же (штриховая линия)
приведена зависимость 1
bo
3
1 2/n
(2.2)
Как видно из рис. 4, обе расчетные зависимости близки к экспериментальным
данным.
Рис. 4. Зависимость относительной величины критического параметра вдува b o от отношения плотностей вдуваемого газа и газа основного потока n : линия 1 - расчет, 2 зависимость (2.2) 1 , точки - эксперимент 2
Рис. 5. Расчетное изменение коэффициента аналогии Рейнольдса St c f по длине пластины в зависимости от величины вдува углекислого газа в воздух
Отметим, что зависимости
bTx (рис. 2, 3) по виду аналогичны зависимостям
y b , однако количественно от них отличаются. Это связано с тем, что аналогия Рейнольдса (рис. 5) при вдуве нарушается тем заметнее, чем более интенсивность вдува j
и число Рейнольдса Re x . В отсутствие вдува (линия 1, рис. 5) коэффициент аналогии
Рейнольдса практически не зависит от числа Рейнольдса и близок величине
St c f 1.18 (штриховая линия на рис. 5), следующей из известных зависимостей для
коэффициента трения и числа Стантона для пограничного слоя воздуха на непроницаемой пластине.
Tx
Рис. 6. Профили скорости (линия, точки 1) и концентрации (линия, точки 2) при вдуве
фреона в воздух: линии - расчет, точки - эксперимент 11
Сравнение расчетных зависимостей для профилей относительных величин скорости o
/ u e и концентрации вдуваемого газа o
c w (линии 1, 2, рис. 6) с
экспериментальными данными 11 (точки 1, 2 соответственно) на примере вдува фреона в воздух позволило установить следующее. Экспериментальные профили скорости
и концентрации с ростом параметра вдува приближаются к линейным и различие между ними мало. Расчетные профили имеют ту же тенденцию и близки к экспериментальным.
Проведенное численное исследование позволило разработать методику расчета
пограничного слоя на проницаемой поверхности, основанную на трехпараметрической
модели турбулентности и тестированную в широком диапазоне отношения плотностей
вдуваемого газа и газа набегающего потока, величин параметра вдува и числа Рейнольдса. Эта методика может быть использована для расчета пористого охлаждения теплонапряженных элементов конструкций, например, лопаток газовых турбин, огневых
стенок сопел ЖРД и в ряде других случаев, где пористый вдув является наиболее экономичным способом охлаждения.
Выводы
С использованием трехпараметрической (для энергии, трения и завихренности
турбулентности) модели выполнено численное исследование пограничного слоя на
проницаемой поверхности при вдуве газа, отличного по плотности и температуре от газа набегающего потока. В уравнении энергии учтен дополнительный поток тепла, обусловленный градиентом концентрации в смеси газов, т.е. число Шмидта не полагается
равным числу Прандтля.
Полученные результаты для коэффициента трения и числа Стантона сравниваются с имеющимися экспериментальными данными по вдуву гелия, воздуха, углекислого газа и фреона в поток нагретого воздуха. Показано, что отношение плотностей
вдуваемого газа и газа набегающего потока существенно влияет на зависимость трения
и теплообмена от параметра вдува.
В расчете получено расслоение зависимостей относительных величин трения и
теплообмена по параметру вдува при небольших числах Рейнольдса. При больших числах Рейнольдса расчетные зависимости стремятся к некоторой огибающей, которая
близка к предельной зависимости Кутателадзе – Леонтьева.
Показано, что при вдуве имеет место нарушение аналогии Рейнольдса, возрастающее с ростом параметра вдува и числа Рейнольдса.
Разработанная методика может быть использована для расчета пористого охлаждения теплонапряженных элементов конструкций, где пористый вдув является наиболее экономичным способом охлаждения.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 03-01-00196).
Литература
1. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Теплообмен и трение в турбулентном пограничном
слое. М.: Энергия, 1985. 320 с.
2. Ерошенко В.М., Зайчик Л.И. Гидродинамика и теплообмен на проницаемых поверхностях. М.: Наука, 1984. 276 с.
3. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Трехпараметрическая модель сдвиговой
турбулентности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 3. С. 13-25.
4. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Уравнения переноса для характеристик
турбулентности: модели и результаты расчетов // Итоги науки и техники. ВИНИТИ.
Механика жидкости и газа. 1988. Т. 22. С. 3-61.
5. Simpson R.L., Moffat R.J., Kays W.M. The turbulent boundary layer on a porous plate:
experimental skin friction with variable injection and suction // Int. J. Heat and Mass
Transfer. 1969. V. 12. N 7. P. 771-789.
6. Иевлев В.М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М.:
Наука, 1975. 256 с.
7. Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Пристенная газовая щелевая завеса на пластине. Сравнение расчета с экспериментом // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 6. С. 48-62.
8. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Г. Свойства газов и жидкостей. Л.: Химия, 1982. 592
с.
9. Романенко П.Н., Харченко В.Н. Влияние поперечного потока массы на сопротивление и теплообмен при турбулентном течении сжимаемого газа // Инженернофизический журнал. 1963. Т. VI. № 2. С. 52-59.
10. Moffat R.J., Kays W.M. The turbulent boundary layer on a porous plate: experimental
heat transfer with uniform blowing and suction // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1968. V.
11. N 10. P. 1547-1566.
11. Baker R.J., Launder B.E. The turbulent boundary layer with foreign gas injection – I.
Measurement in zero pressure gradient // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1974. V. 17. N 2.
P. 275-291.
12. Барышев Ю.В.,Леонтьев А.И., Пейкер Н.К. Турбулентный пограничный слой на
проницаемой поверхности при интенсивных вдувах // ИФЖ. 1976. Т.XXX. № 5. C.
773-779.