Математика, 11 класс

МИФ-2, №3, 2008
3
Математика, 11 класс
Тамара Сергеевна Кармакова, доцент кафедры математики ДВГГУ
Задачи на нахождение множества значений функции
Задачи на нахождение множества значений функции предлагаются на ЕГЭ в
частях А и Б. Иногда умения находить множество значений функции требуется
применить и при решении заданий части С.
Прежде, чем рассматривать способы решения указанного типа задач,
определимся с сущностью понятий «область определения функции», «множество
значений функции». Под областью определения функции будем понимать множества
значений, принимаемые независимой переменной. Для функций, заданных формулой,
под областью определения будем понимать все те значения аргумента, для которых
формула имеет смысл, другими словами, все операции над аргументом,
содержащиеся в формуле, можно выполнить. Под множеством значений функции
будем понимать множество значений зависимой переменной при значениях
аргумента из области определения функции. Область определения функции будем
обозначать – ООФ или D  f  ; множество значений функции будем обозначать – МЗФ
или E  f  .
В школьных курсах алгебры, алгебры и начал анализа изучены области
определения и множества значений основных элементарных функций:
E (f): x  0,   .
 y=kx+b, D (f)=R; E(f)=R, если
k  0; E(f): y=b, если k=0.
 y=arctgx D (f) =R,
2
 y=ax + bx + c, D(f)=R;
  
x

E
(f):
 , .
b
2 2
E(f): y  y(x 0 ), где x 0 =
, если a>0,
2a
 y=arcCtgx D (f) =R,
E(f): y  y(x 0 ), если a<0.
E (f): x  0,   .
 y=x 2 D (f) =R; E (f): y  0.
 y= x D (f) =R, E (f): y  0 .
k
D (f): x  0, E (f): y  0 .
x
k
y=y 0 +
D (f): x  x 0 ,
x  x0
 y=

E (f): y  y 0 .
 y=a x D (f) =R, E (f): y>0.
 y=log a x
D (f): x>0, E (f) =R.
 y=Sinx D (f) =R, E (f): y  1.

y=Cosx D (f) =R, E (f): y  1.

 y=tgx D (f): x   k  , где k  Z;
2
E (f) =R.
 y=ctgx D (f): x  k  , где k  Z.
 y=arcSinx D (f): x  1.

E (f): y  .
2
 y=arcCosx
D (f): x  1 ,
4
МИФ-2, Математика, информатика, физика – школьникам Хабаровского края
Рассмотрим способы нахождения множества
значений функции на конкретных примерах.
Графический способ
Этот
способ
используется
для
графического задания функции.
Для нахождения
Е(f) графическим
способом необходимо спроектировать все
точки заданного графика на ось Оу.
Полученный промежуток оси Оу и будет
множеством значений функции.
Пример 1. Функция задана графиком.
Найдите её множество значений.
Ответ:[-1,5;2,5].
Способ оценки (или способ пошагового нахождения МЗФ)
Суть способа заключается в выполнении двух шагов:
1. Выбрать из аналитического задания функции исходную элементарную функцию,
множество значений которой известно.
2. Используя непрерывность и монотонность функций, входящих в аналитическое
выражение заданной функции, и свойства неравенств осуществить
последовательное нахождение МЗФ.
Пример 2. Найдите Е(f), если f(x)=3-0,5Cos x.
Решение. Исходной функцией может быть y=Cos x, для которой E(Cos x)=  1;1
Используя непрерывность и соответствующие свойства неравенств, получаем
E(-0,5 Cos x)=  0,5;0,5; E(3-0,5Cos x)= 2,5;3,5 . Ответ: E(f)= 2,5;3,5
Пример 3. Найдите Е (у), если y= 0,5 х 4 х3
Решение. Выбираем за исходную функцию g(x) = х 2  4 х  3 , оцениваем её, вычислив
2
4
2
х 2  4 х  3  1. Используя монотонность и множество значений
g( )=-1 и определив знак старшего коэффициента квадратного трёхчлена,
функции, запишем результат оценки 0 < 0,5 х
Пример 4. Найдите Е (у), если у =
2
 4 х 3
 2. Ответ: Е(у)= 0;2 .
показательной
2
.
5  3х  2
Решение. Приняв за исходную функцию у = 3х  2 , оцениваем её: 3х  2  0 .
Используя свойства неравенств и непрерывность, получаем 5+ 3х  2  5 ,
0
1
1
2
2
 ,0<
 .
5  3х  2 5
5  3х  2 5
Ответ: Е (у)= 0;0,4.
Способ замены данной функции на равносильную ей
Сущность способа в том, что иногда над аналитическим выражением,
задающим функцию,
в области определения функции можно выполнить
тождественные преобразования, и тогда можно исследовать вместо данной функции,
ей равносильную.
х2  4
Пример 5. Найдите Е (у), если у =
.
х2
Решение. Так как область определения данной функции х  -2 и х 2  4  х  2х  2 ,
то данную функцию можно заменить равносильной смешанной системой:
МИФ-2, №3, 2008
5
 у  х  2,
Функция у=х-2 принимает любые действительные значения, кроме у(-2)=-4.

 х  2
х2  4
Значит, множества значений функций у =
и у=х-2 будут совпадать, если из
х2
множества значений у=х-2 исключить у=-4. Ответ: Е (у)=  ;4   4; .
Пример 6. Найдите Е (у), если у = 3Sin x+4Cos x.
Решение. Аналитическое выражение данной функции можно преобразовать к виду
32  4 2 Sin(x+  ), где Sin  
4
3 4
2
2
3
5
, Cos   .
Тогда множество значений
полученной функции по способу оценки будет  5;5. Этот приём применяется не
только для определения множества значений функций вида y=aSin x+ bCos x, но и
функций вида y= aSin х  bCos х . Ответ: Е(у)=  5;5.
Пример 7. Найдите Е(у), если у =
6х  7
.
3  10 х
Решение. Областью определения данной функции является х  0,3. Выполнив
деление, заменим аналитическое выражение данной функции на равносильное
8,8
. Получили табличную функцию, множество значений которой в её
3  10 х
области определения  ;0,6   0,6; . Ответ:  ;0,6   0,6; .
y=  0,6 
Рассмотреть формулу, задающую функцию, как уравнение с переменной х и
параметром у
Пример 8. Найдите Е(у), если у =
8  4х
.
х2  5
Решение. Функция определена на множестве действительных чисел, так как
х 2  5  0 при всех х   ;. Поэтому достаточно найти множество тех значений
8  4х
имеет решением любое действительное
х2  5
значение х. Запишем это уравнение в виде ух 2  4 х  5 у  8 =0 (1).
1) Если у  0 , то уравнение (1) – квадратное, имеющее решение тогда и только тогда,
параметра у, при которых уравнение у=
когда
его
дискриминант
неотрицателен.
Найдём
дискриминант
2
2
D= 16  4 у5 у  8  20 у  32 у  16 . Решив неравенство  20 у  32 у  16  0, получим
у   0,4;2. Но так как по предположению у  0, то у   0.4;0  0;2 .
2) Если у=0, то уравнение (1) принимает вид  4х  8  0 . Его решением является х=-2,
следовательно, у=0 тоже принадлежит множеству значений функции у 
Объединив результаты исследования, получаем Е (у)=  0,4;2.
Пример 9. Найдите Е (у), если у 
8  4х
.
х2  5
х2  3
.
х2  4
Решение. Область определения данной функции – множество действительных чисел.
Рассмотрим данную формулу, как уравнение с переменной х и параметром у.
Определим, при каких у решением этого уравнения является любое действительное
число из области определения. Перепишем данную формулу в виде
 у  1х 2  3  4 у. (1). 1)Если у=1, то уравнение (1) не имеет решений, так как оно
принимает вид 0=-1. Следовательно, у не принимает значение, равное 1.
МИФ-2, Математика, информатика, физика – школьникам Хабаровского края
6
2) Если у  1 , то уравнение (1) можно записать в виде х 2 
имеет решение, если
3  4у
. Это уравнение
у 1
3  4у
 0 , так как х 2  0 . Решив полученное неравенство, будем
у 1
3 
4 
3 
Ответ:E(y) =  ;1.
4 
иметь у   ;1 . Объединив результаты исследования, получаем окончательный ответ.
Использование производной
Элементарные методы отыскания множества значений функций применимы лишь
для ограниченного круга задач. Общий метод отыскания таких значений даёт
дифференциальное исчисление.
Пример 10. Найдите множество значений функции у  2 х  14  6  х.
Решение. Область определения данной функции D(у) =  14;6. Найдём производную
и
определим
критические
точки,
принадлежащие
ООФ: у  =
2 6  х  х  14
2 х  14 6  х
;
2 6  х  х  14  0 х  2, 2   14;6. Вычислим значения функции на концах D(y) и
при х=2: f(-14)= 2 5 , f(2)=10, f(6)= 4 5 . Сделаем вывод: 2 5  у  10.
Ответ: Е(у)=  2 5 ;10 .
Пример 11. Найдите Е(у), если y=4Sin 3 х -13Sinx.
Решение. Пусть Sinx=t, причём t   1;1 , тогда у(t)= 4 t 3 - 13 t. Найдём производную:
у  = 12 t 2 13 . Видим, что производная при всех t из промежутка  1;1 принимает
отрицательные значения, следовательно, функция y(t) в своей области определения
является возрастающей. Значит наибольшее её значение равно у(1), а наименьшее –
у(-1), а потому Е(у)=  9;9 .
Ответ:  9;9 .
Пример 12. Найдите наибольшее значение функции

f(x)=

1  х 2  2  1  х 2  х 3  3х 2 .
Решение. Область определения данной функции х   1;1, причём при всех х из
области определения выражение
следовательно,
1  х 2  2 принимает отрицательные значения,
1  х 2  2  2  1  х 2 . Задание свели к нахождению наибольшего
значения функции f(x)= х 3  3 х 2  2 на промежутке  1;1 . Найдём производную и
определим критические точки, принадлежащие  1;1 .
у  = 3 х 3  6 х ; х1  0   1;1 , х2  2   1;1. Вычислим значения функции f(x) на концах
области определения и при х  2 : f(-1)=-2, f(0)=2, f(1)=0. Наибольшим значением
является 2.
Ответ: у наиб.  2
Пример 13. Найдите наименьшее значение функции у = х х  6 х .
1 
 32
 3 1 6 1 3х  6
Решение. ООФ= 0;   . у    х  6х 2  = х 2  х 2 
. у   0 при х=2, 2  0;  ,
2
2
2
х



при х  0;2 у <0, при х  2;  у  >0, следовательно, х=2-точка минимума. Это
МИФ-2, №3, 2008
7
единственная критическая точка в области определения. Значит наименьшее значение
данной функции равно у(2)=  4 2 . Ответ: унаим.  4 2 .
Рассмотрим примеры задач на использование множества значений функции
Пример 14. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
4Sin 3 x=a-7Cos2x не имеет корней.
Решение. Преобразуем данное уравнение к виду 4Sin 3 x-14Sin 2 x+7=a. Полученное
уравнение не будет иметь корней тогда и только тогда, когда a  Е ( у ) , где у = 4Sin 3 x14Sin 2 x+7. Найдём множество значений введённой функции. Пусть Sinx=t, t   1;1,
тогда у = 4t 3 -14t 2 +7, у  =12t 2 -14t, у  =0 при х1  0   1;1 , х 2    1;1 . Вычислив у(7
3
1)=-11, у(0)=7 и у(1)=-3, определяем, что Е(у)=  11;7 . Следовательно, уравнение не
имеет решений при а<-11 и при a>7. Ответ: а   ;11  7;  .
Пример 15. Точка А перемещается по оси Ох, а точка В по оси Оу. Абсцисса точки А
изменяется по закону х(t)= t 2 +2t+6, a ордината точки В изменяется по закону
у ( t)= t 2 -10t+33,
где 3,3  t  5,5 . Найдите наименьшее значение площади
треугольника АВС, где точка С(0;3).
Решение. Определимся с расположением точки С(0;3) на оси ординат, с выбором
основания и высоты треугольника АВС. Так как x(t)= t 2 +2t+6= (t+1) 2 +5, то x(t)  5;
y(t)=t 2 -10t+33=(t-5) 2 +8, то x(t)  8; точка С(0;3) имеет ординату меньше, чем 8, значит
точка С лежит между началом координат и точкой В. За основание треугольника
можно принять СВ, а за высоту – АО.
1
2
1) Площадь треугольника АВС равна S= x(t)(y(t)-3),
S=0,5(t 2 +2t+6)(t 2 -10t+30), S= 0,5(t 4 -8t 3 +16t 2 +180), t  3,3;5,5 . Получили типовую
задачу на нахождение наименьшего значения функции
S(t)=0,5(t 4 -8t 3 +16t 2 +180) на промежутке 3,3;5,5 .
3)Найдём производную и её критические точки на промежутке 3,3;5,5 .
S’=2t 3 -12t+16t, t 1 =0, t 2 =2, t 3 =4; 4  3,3;5,5 .
2) Определим знаки производной на промежутке 3,3;5,5 : применяя метод
интервалов, получаем S’<0 при t  3,3;4 , S’>0 при t  4;5,5 . Значит , t=4 – точка
минимума. Это единственная
критическая точка на промежутке 3,3;5,5 .
Следовательно, S наим. = S(4)=90.
Ответ: 90.
Контрольная работа №1 для учащихся 11 классов
Приведенные ниже задания являются контрольной работой №1 для учащихся 11
классов. Каждая задача оценивается в 5 баллов, для зачета нужно набрать не менее
20 баллов.
Правила оформления работ:
Решения по каждому предмету оформляется отдельно. Каждое задание имеет свой
шифр (М11.1.1 и т.д.), который указывается перед записью решения. Переписывать
текст задачи не надо, достаточно краткой записи, если это необходимо.
Оформлять решения в порядке следования заданий. Можно присылать нам столько
решений, сколько удалось вам сделать, даже если оказалось невозможным
выполнить всю работу. Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48,
ХКЦТТ (ХКЗФМШ).
8
МИФ-2, Математика, информатика, физика – школьникам Хабаровского края
Подробнее познакомиться со школой, ее традициями можно на нашем сайте:
www.khspu.ru/~khpms/. Там же, на форуме, можно проконсультироваться по
вопросам, связанным с решением задач (и не только).
11.1.1. Найдите множество значений функции у = Sin 2 x-4.
11.1.2. Найдите наименьшее значение функции у = log 5 (625-600  3  х ).
11.1.3. Найдите сумму целых значений функции у = 2 9Со 2 х  6пх  26 .
11.1.4. Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции
у = 2 Cos 2 x+Sin x+0,875.
11.1.5. Найдите Е(у), если у = ( 4  х 2  2 )( 4  х 2  2 )+10 х 2 -4 х 3 -1,5.
11.1.6. Площадь прямоугольника 64 см 2 . Какую длину должны иметь его стороны,
чтобы периметр был наименьшим.