МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА МЕТОДОМ ЧАСТИЦ НА АДАПТИВНО–ВСТРАИВАЕМОЙ СЕТКЕ. РАСЧЕТ ЗАДАЧИ О ТОЧЕЧНОМ ВЗРЫВЕ О.Н. ПАВЛЕНКО, И.А. ЛИТВИНЕНКО Российский федеральный ядерный центр Всероссийский НИИ технической физики им. акад. Е.И. Забабахина, Снежинск, Россия Введение В данной статье рассматривается модернизация метода частиц в ячейках, предложенного Ф. Харлоу [1] в 1955 году. В методе частиц процесс газодинамического движения предполагает наличие двух этапов: эйлерового и лагранжевого. Расчет первого этапа производится без учета эффектов, обусловленных перемещением среды. На втором этапе с помощью модели частиц учитываются процессы переноса. Модернизация, предлагаемая в данной статье, заключается в использовании адаптивно–встраиваемой эйлеровой нерегулярной сетки. Вычислительная модель строится для трехмерного случая. Все достоинства метода частиц при этом сохранены: безавостность и описание больших деформаций. Метод расчета В фиксированном расчетном пространстве вещество разбито на области и представлено набором частиц. Исходя из начальных данных конкретной задачи, каждая область последовательно заполняется частицами. Число частиц в области зависит от плотности вещества в ней. Частицам приписываются массы, начальные скорости и внутренняя энергия. Совокупность частиц по всем областям называется ансамблем. Ансамбль частиц дает полную информацию о рассчитываемой системе. Рассмотрим поэтапно последовательность вычислений на одном временном шаге. На эйлеровом этапе производятся следующие вычислительные действия: − разбиение расчетной области на кубические ячейки; − определение с использованием законов сохранения усредненных параметров (плотности, давления, ско– рости, удельной энергии), все найденные величины приложены в центре ячейки; − выбор шага ∆ t из условия Куранта; − расчет изменения за шаг ∆ t средних параметров ячеек (решение разностных уравнений); − возврат частицам новых значений скоростей и энергии. Ключевым моментом эйлерового этапа является использование нерегулярной адаптивно–встраиваемой сетки. Построение сетки осуществляется следующим способом. Сначала в области решения строится регулярная кубическая сетка, затем осуществляется процедура ее дробления, при котором каждая ячейка делится на 8 одинаковых ячеек. Процесс дробления прекращается, когда в каждой расчетной ячейке попавшее число частиц не станет меньше заданного предельного значения. Система дифференциальных уравнений, решаемая на эйлеровом этапе, имеет вид ρ ρ ∂u ∂p + =0; ∂t ∂x ρ ∂v ∂p + =0; ∂t ∂y ρ ∂w ∂p + =0; ∂t ∂z ∂u ∂v ∂w ∂I + p + + =0. ∂t ∂x ∂y ∂z 2 Снежинск, 812 сентября 2003 г. Здесь u, v, w компоненты скорости по направлениям, ρ плотность в ячейке, P давление в ячейке, I – удельная внутренняя энергия. Полученная система означает, что изменение величин, характеризующих газ, в любой фиксированной области равно работе сил давления на границе области. Для расчета изменения средних величин на шаге ∆t используется конечно–разностная форма уравнений, предложенная в оригинальной работе Харлоу, обобщенная на трехмерный случай. M i , j ,k u i , j ,k − uin, j ,k δx δy δz δt 1 + p n 1 − pn 1 =0 , , , , i j k i j k + − δx 2 2 (1.1) M i , j ,k v i , j ,k − vin, j ,k δx δy δz δt 1 + p n − pn 1 = 0 i, j − 2,k δy i , j + 1 2,k (1.2) i i , j , k − wn M i , j ,k w i , j ,k δx δy δz δt 1 + p n − pn =0 i , j , k − 1 2 δz i , j ,k + 1 2 (1.3) n i 1 Qi , j ,k − Qi , j ,k δx δy δz δt + (1.4) u i + 1 , j ,k − u i − 1 , j ,k vi, j + 1 ,k − vi, j − 1 ,k wi, j , k + 1 − wi, j , k − 1 2 2 2 2 2 2 + pin, j ,k + + =0 δx δy δz где M масса ячейки, Q внутренняя энергия. Величины с целыми значениями нижнего индекса относятся к центру ячейки. Величины с полуцелыми значениями нижнего индекса получены как средние величины по соседним ячейкам соответственно с каждой из шести возможных сторон. В уравнении энергии скорости отмечены черточкой, которая означает, что берется среднее значение между старой и предварительной новой величинами, т. е. 1 1 1 i w≡ w + wn . u ≡ u + u n ; v ≡ v + v n ; 2 2 2 ( ) ( ) ( ) Используемая на эйлеровом этапе схема является явной и имеет второй порядок аппроксимации по пространству и первый по времени. При соответствующих граничных условиях она сохраняет полный импульс и полную энергию. Свойства схемы были изучены в работах Анучиной Н.Н. [24]. В расчетах мы не используем искусственную вязкость. Необходимую диссипацию в областях со скачком газодинамических величин обеспечивает схемная вязкость и вязкость, возникающая при вычислении средней скорости ячейки при попадании в нее частиц с разными скоростями. Эйлеров этап заканчивается возвратом частицам новых значений скорости и внутренней энергии. Задача лагранжева этапа передвинуть частицы. Частицы передвигаются не со своей скоростью, определенной на эйлеровом этапе, а с некоторой скоростью передвижения. Для ее определения используется сетка, полученная на эйлеровом этапе со значениями скоростей в центрах ячеек. Скорость передвижения вычисляется с помощью интерполяции сеточных значений скоростей в точку расположения частицы. Таким образом, перемещение частицы зависит от временного шага, расположения частицы в начале шага, расположения узлов сетки и значений скоростей в этих узлах. На следующий шаг по времени уходит «обновленный» ансамбль частиц: новые координаты, энергия, скорости. Сетка текущего шага на следующем шаге не используется.Результаты расчета задач Задача №1. О точечном взрыве Рассматривается одномерная сферическая задача о точечном взрыве в однородном идеальном газе без противодавления. Задача является автомодельной и решена Л.И.Седовым [5]. Целью теста является − Определение величины энергетического дисбаланса. − Определение точности расчета скорости распространения сильной ударной волны. − Проверка сохранения симметрии сферического движения на кубической адаптивно–встраиваемой сетке.Постановка задачи взята из [6]. В шаре радиусом 0,1 (область 1) задана начальная внутренняя энергия единицы массы 107. В сферическом слое 0,1< r <20 (область 2) начальная энергия равна 0. Для обеих областей: в начальный момент времени плотность равна 1, газ покоится. Модель среды идеальный газ с показателем 3 VII Забабахинские научные чтения адиабаты 1,4. При уходе ударной волны на расстояние существенно большее, чем радиус области 1, влияние размера области 1 становится несущественным и решение должно выйти на автомодельное. Для расчета была выбрана кубическая область с размерами −20 ≤ x, y, z ≤ 20 . На границах расчетной области были выбраны условия типа жесткая стенка, поскольку ударная волна не достигает границ расчетной области. Ансамбль на начальный момент времени создавался следующим образом: частицами заполнялась сферическая область радиуса r = 20, им приписывались начальные скорости и энергии согласно условиям задачи. Несмотря на то, что материальная плотность по условию теста везде одинакова, плотность частиц в начале расчета была задана разная. Для области энерговыделения она была максимальная и далее ступенчато уменьшалась. В результате на начальный момент времени шаг сетки в области энерговыделения был в 5 раз меньше радиуса области 1. Всего было проведено два расчета: грубый с 572 483 частицами и основной (подробный), в котором использовалось 4 579 785 частиц. Задача решалась с момента взрыва (t = 0 ) до времени t = 4. В основном варианте задача сосчиталась за 13900 шагов. На рис. 1 приведена картина распределения плотности и расчетной сетки на моменты времени t = 0,1; 0,5, 1,0; 4,0. Рисунки получены разрезанием трехмерной расчетной области тремя плоскостями, проходящими через центр координат. Обратимся более подробно к результатам расчета. Рис. 1. Трехмерное распределение плотности на моменты времени t = 0,1; 0,5; 1.0, 4,0 На рис. 2. проведено сравнение аналитического профиля плотности с одномерной зависимость ρ(r ) вдоль двух лучей с направляющими векторами (0,1; 0,5) и (–2,1; –2), пронизывающих кубические ячейки сетки, на момент времени t = 3,0. Как видно скачок уплотнения размазывается на три интервала сетки, и наблюдается удовлетворительное совпадение с аналитическим решением. ρ ρ r r Рис. 2. Профиль плотности вдоль луча c направляющими векторами (0,1; 0,5) и (–2,1; –2)на момент времени t = 3,0. Сплошная линия расчет, пунктир аналитика. На рис. 3 приведен профиль плотности на луче, с направляющим вектором (1; 1; 1) на разные моменты времени t = 0.05; 0,1; 0,6; 1,95; 3,85. 4 Снежинск, 812 сентября 2003 г. ρ r Рис. 3. Профиль плотности на луче с направляющим вектором (1,1,1) на моменты времени t = 0.05; 0,6; 1,95; 3,85 Сплошная расчет, пунктир аналитика. Также для сравнения аналитического профиля с расчетным была использована процедура вычисления расчетной плотности, определенной в сферических слоях. Массы частиц, попавших в слой, суммировались, и вычислялось значение плотности в центре слоя. Такие расчетные зависимости на моменты времени 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 2,0; 3,0; 3,95 приведены на рис. 4. Построенная зависимость позволила определить эффективный расчетный радиус фронта ударной волны. Его значение совпадает с радиусом расположения пика в построенной функции плотности. На графике рис. 5 приведено выраженное в процентах относительное отклонение расчетного радиуса фронта ударной волны от аналитического с течением времени для двух расчетов грубого и подробного. Видно, что уменьшение размера сетки в два раза реализующегося в подробном расчете вдвое уменьшает относительную погрешность расчета расположения фронта ударной волны. ρ r Рис. 4. Средняя плотность сферических слоев на моменты времени t = 0,05; 0,6; 1,95; 3,95. Сплошная линия расчет, пунктир аналитика. % t Рис. 5. Относительное отклонение расчетного радиуса фронта ударной волны от аналитического с течением времени для двух расчетов: 1 572 483частиц, 2 4 579 785 частиц. VII Забабахинские научные чтения 5 Для иллюстрации сферичности решения рассмотрим на рис. 6 сечение трехмерного распределения плотности плоскостью z = 0 на момент времени t = 3,95. Видно, что сферичность скачка уплотнения на сетке, представленной тут же реализуется с хорошей точностью. Рис. 6. Сечение трехмерного распределения плотности плоскостью z = 0 на момент времени t = 3,95 Результаты расчета показали следующее: − Условие сохранения полной энергии выполнялось с точностью до 13 знака. − Точности расчета скорости распространения сильной ударной волны для основного расчета менее 3%. − Симметрии сферического движения на кубической адаптивно–встраиваемой сетке сохраняется. Получено удовлетворительно согласие с аналитическим решением.Задача № 2. О взаимодействии сферической ударной волны, порожденной точечным взрывом, с плотным телом сферической формы В условие задачи № 1 внесены изменения. Внутри области 2 помещен неподвижный шар радиусом 1 из того же вещества с плотностью ρ = 20, начальная энергия равна 0. Координаты центра шара (0; 4; 4). Эта задача со сложным движением вещества. Аналитическое решение поставленной задачи неизвестно, однако она допускает двумерную постановку, что позволяет сравнить результаты трехмерного расчета с результатами, полученными по двумерной программе в цилиндрической системе координат. В расчете участвовало 4 620 496 частиц. На рис. 7 приведена картина распределения плотности и расчетной сетки на моменты времени t = 0,1; 0,5, 1,0; 1,5; 2,0; 4,0. Рисунки получены разрезанием трехмерной расчетной области тремя плоскостями, проходящими через центр координат. Видна сложная картина обтекания, сжатия и разгрузки шара. Внесение плотного тела не влияет на решение в далеких точках пространства. Сферичность ударной волны от точечного взрыва нарушается вблизи плотного тела. Вследствие возникающих различных комбинаций ударных волн шар приобретает форму близкую к вытянутому цилиндру, практически пустому внутри. Рис. 7. Трехмерное распределение плотности на разрезе тремя плоскостями, проходящими через центр координат. t = 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 4,0 6 Снежинск, 812 сентября 2003 г. На рис. 8 представлено положение частиц, изменение плотности и расчетной сетки на момент окончания счета t = 4. Для иллюстрации изменения плотностью во времени, выбрали логарифмическую шкалу, чтобы на одном рисунке показать изменение плотности в широком диапазоне: от 0 до 6 на границе скачка в области сферической волны и выше 100 в области плотного тела. На рис. 9 мы видим качественное совпадение результатов по двумерной и трехмерной методике. t = 4,0 Рис. 8. Частицы, распределение плотности и сетка на момент времени t = 4,0 в сечении трехмерного пространства плоскостью x = 0 3D 2D 3D 2D Рис. 9. Сравнение расчетов по 3D– и 2D–программам. Распределение плотности в сечении трехмерного пространства плоскостью x = 0 на момент времени t = 1,45; 4,0 Ссылки 1. Харлоу Ф.Х. Численные методы частиц в ячейках для задач гидродинамики. // Вычислительные методы в гидродинамике,1967. 2. Яненко Н.Н., Анучина Н.Н., Петренко В.Е., Шокин Ю.И. О методах расчета задач газовой динамики с большими деформациями // Численные методы механики сплошной среды, 1970. 3. Анучина Н.Н. О методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими деформациями // Численные методы механики сплошной среды, 1970 4. Анучина Н.Н. О решении нестационарных задач газовой динамики методом «частиц в ячейке» Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. / Под ред. К.И. Бабенко, 1979. 5. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. Москва, Наука, 1981 6. Бондаренко Ю.А., Воронин Б.Л., Делов В.И., Зубов Е.В., Ковалев Н.П., Соколов С.С., Шемарулин В.Е. Описание системы тестов для двумерных газодинамических методик и программ. Ч.1.Требования к тестам. Тесты 17. ВАНТ, серия Математическое моделирование физических процессов. 1991. Вып. 2.