Элементы теории т/г - Костромской государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Костромской государственный технологический университет
Кафедра высшей математики
Т.В. Пыханова, Л.Ю. Филатова
НЕКОТОРЫЕ ГЛАВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ:
ТЕОРИЯ ИГР, ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Учебно-методическое пособие
Кострома
2007
2
УДК 519.8 (075)
Пыханова Т. В., Филатова Л. Ю. Некоторые главы линейного
программирования: теория игр, теория массового обслуживания : учебнометодическое пособие / Т. В.Пыханова, Л. Ю. Филатова. – Кострома : КГТУ,
2007. – 30 с.
Пособие соответствует требованиям Государственного образовательного
стандарта и учебному плану по дисциплине «математика» и рекомендуется для
студентов специальностей 080105, 080109.
Рецензенты: кафедра экономики и управления КГТУ;
к.э.н., доцент Боженко С.В.
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом КГТУ
© Костромской государственный технологический университет, 2007
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие……………………………………………………………..
1. Элементы теории игр………………………………………………….
1.1. Основные понятия……………………………………………….
1.2. Матричные игры. Решение матричных игр в чистых
стратегиях………………………………………………………..
1.3. Упрощение игр…………………………………………………...
1.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях……………
1.5. Решение задач в смешанных стратегиях. Игра 2×2……………
1.6. Критерии принятия решения в играх с «природой».
1.7. Упражнения………………………………………………………
2. Элементы теории массового обслуживания…………………………
2.1. Структура и классификация систем массового обслуживания.
2.2. Марковский случайный процесс в системах массового
обслуживания……………………………………………………
2.3. Уравнения Колмогорова…………………………………………
2.4. Одноканальная система массового обслуживания с отказами..
2.5. Одноканальная система массового обслуживания с очередью.
2.6. Упражнения………………………………………………………
3. Ответы к упражнениям……………………………………………….
4. Библиографический список…………………………………………..
4
4
4
6
9
10
12
16
18
19
19
21
21
22
25
28
29
30
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для изучения
элементов теории игр и основ теории массового обслуживания.
Работа состоит из двух глав и списка литературы. В первой главе
излагаются основные понятия, теоремы и методы решения матричных игр в
чистых и смешанных стратегиях, игр с «природой». Во второй главе излагаются
основные понятия, формулы и подходы к решению задач по теории массового
обслуживания, а именно одноканальные системы массового обслуживания.
Изложение теоретического материала сопровождается подробными
решениями примеров. В конце каждой главы приведены упражнения для
самостоятельного решения. Библиография, приведенная в конце пособия,
может служить путеводителем для более подробного изучения какого-либо из
рассматриваемых вопросов.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР
К задачам теории игр и теории массового обслуживания сводятся многие
прикладные задачи экономики.
Подобно линейному программированию теория игр (ТИ) также является
одной из современных областей математики. Если при исследовании общей
задачи линейного программирования мы определяли способ эффективного
использования или распределения ограниченных ресурсов для достижения
желаемых целей, то в ТИ нас интересует стратегия, с помощью которой
достигается выигрыш, максимально возможный в данной игре. В то время,
когда закладывались основы ТИ, замечательное соответствие между этими
двумя задачами не было известно. Связь между линейным программированием
и ТИ впервые была установлена Джоном фон Нейманом и Данцигом.
Анализ математической стороны и основных принципов ТИ был дан Дж.
фон Нейманом в 1928 году. В 1944 фон Нейман и Моргенштерн опубликовали
известную работу «Теория игр и экономического поведения», положившую
начало бурному развитию математического исследования игр. Эта работа
явилась основным толчком для развития линейного программирования и
теории статистических решений Вальда. Она открыла также новый подход к
задачам выбора решений в конкурентных ситуациях.
1.1. Основные понятия
В природе и обществе часто возникают конфликтные ситуации, в
которых участвуют стороны с различными или даже противоположными
интересами. Конфликтные ситуации возникают при операциях типа куплипродажи (особенно при наличии конкуренции), в судопроизводстве, в спорте и
т.д.
Математическая теория конфликтных ситуаций называется ТИ. Задачей
ТИ является выработка рекомендаций поведения, которое приводило бы к
наибольшей выгоде той или иной стороны.
Методы и рекомендации ТИ разрабатываются применительно к таким
специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством
5
многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется
однократно или ограниченное число раз, то рекомендации ТИ теряют смысл.
Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию с помощью математических
методов ее необходимо упростить, учитывая лишь важнейшие факторы,
влияющие на ход конфликта.
Игра – это упрощенная формализованная модель реальной конфликтной
ситуации.
Для математического описания игры необходимо четко сформулировать:
 правила игры, в которых должны быть описаны возможные
варианты действий игроков;
 объем информации каждой стороны о поведении другой;
 результат игры, к которому приводит каждая совокупность ходов.
Этому результату, хотя бы условно, должно быть приписано число,
которое называется выигрышем или проигрышем.
Игрок – это одна из сторон в игровой ситуации.
Стратегия игрока – это его правила действия в каждой из возможных
ситуаций игр.
Стратегия игрока, обеспечивающая ему максимальный выигрыш,
называется оптимальной стратегией этого игрока.
Основная задача ТИ состоит в выявлении оптимальных стратегий
игроков.
Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают
различные виды игр. Классификацию игр можно проводить по разным
признакам. Различают игры:
 по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное
число игроков. Если игроки объединяются в две группы,
преследующие противоположные цели, то имеет место игра двух
«лиц» (парная игра). Например: шахматы – игра двух партнеров с
конечным числом возможных ходов; покер – игра многих
партнеров с конечным числом возможных ходов.
 В зависимости от взаимоотношений участников различают игры
некооперативные и кооперативные.
Некооперативные игры в сравнении с кооперативными
Экономические игры, в которых играют фирмы, могут быть
кооперативными и некооперативными. Игра кооперативная, если игроки могут
заключать соглашения, обязывающие их планировать совместные стратегии.
Игра некооперативная, если невозможны заключения таких соглашений и
принуждение к их выполнению.
Пример кооперативной игры: торг между покупателем и продавцом
относительно цены ковра. Если издержки производства ковра составляют 100$,
и покупатель оценивает его в 200$, возможна кооперативная игра, потому что
соглашение о продаже ковра по цене между 101$ и 199$ максимизирует сумму
излишка покупателя и прибыли продавца, улучшая положение обоих сторон.
6
Другая кооперативная игра может включать две фирмы в некоторой
отрасли, которые договариваются о совместных инвестициях в развитие новой
технологии (ни одна из фирм не в состоянии сделать это в одиночку). Если
фирмы намерены подписать соглашение о разделе прибыли от совместных
инвестиций, возможно кооперативное решение, улучшающее положение обеих
сторон.
Пример некооперативной игры: две конкурирующие фирмы, учитывая
возможное поведение друг друга, независимо одна от другой определяют
стратегию ценообразования или рекламы для завоевания рынка.
Фундаментальное различие между кооперативными и некооперативными
играми лежит в возможности соглашений.
Будем заниматься некооперативными играми.
1.2. Матричные игры. Решение матричных игр в чистых стратегиях
Рассмотрим парную игру с нулевой суммой, в которой выигрыш одного
игрока равен проигрышу другого.
У каждого игрока А и В конечное число возможных действий – чистых
стратегий.
Игрок А располагает m чистыми стратегиями А1, А2, … , Аm. Игрок В –
n чистыми стратегиями B1, B2, … , Bn. Игра определена, если указано правило,
сопоставляющее каждой паре чистых стратегий Ai и Bj число aij – выигрыш
игрока А за счет игрока B. При aij<0 игрок А платит игроку В сумму |aij|. Если
известны значения aij выигрыша для каждой пары (Ai,Bj) стратегий, то можно
составить матрицу игры – платежную матрицу.
Платежная матрица – это табличная запись функции выигрыша, исхода
игры.
Bj
B1
B2
B3
………………
Bn
Ai
A1
a11
a12
a13
………………
a1n
A2
a21
a22
a23
………………
a2n
…
…
…
…
………………
Am
am1 am2 am3
………………
amn
Целью игроков является выбор наиболее выгодных стратегий,
доставляющих игроку А максимальный выигрыш, а игроку В минимальный
проигрыш. В ТИ исходят из предположения, что каждый игрок считает своего
противника разумным и стремящимся помешать ему достичь наилучшего
результата.
Стратегию игрока А называют оптимальной, если при ее применении
выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы стратегиями не пользовался
игрок В.
Оптимальной стратегией для игрока В называют стратегию, при
использовании которой проигрыш игрока В не увеличивается, какие бы
стратегии ни применял игрок А.
С учетом этого игрок А анализирует матрицу выигрышей: для каждой
чистой
стратегии
Аi
он
определяет
минимальное
значение
7
i  min aij (i  1, m) . Затем по минимальным выигрышам αi он отыскивает
j
такую чистую стратегию Аi0, при которой этот минимальный выигрыш будет
максимальным, т.е. находит
  max  i  max min aij .
i
i
j
Число α называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно
показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, применяя
свои чистые стратегии при любых действиях игрока В. Соответствующая
стратегия Аi0 игрока А называется максиминной.
Игрок В старается максимально уменьшить проигрыш. Для каждой
чистой стратегии Вj он отыскивает  j  max aij ( j  1, n) . Затем по βj находит
i
свою стратегию Bj0, при которой его проигрыш будет минимальным, т.е.
  min  j  min max aij .
j
j
i
Число β называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно
показывает, какой максимальный проигрыш при использовании своих чистых
стратегий может быть у игрока В. Соответствующая чистая стратегия Bj0 игрока
B минимаксной.
Таким образом, используя чистые стратегии игрок А обеспечивает
выигрыш не меньше α, а игрок B в результате применения своих чистых
стратегий не позволит игроку выиграть больше, чем β. Принцип осторожности,
диктующий игрокам выбор максиминной и минимаксной стратегий, называют
принципом минимакса.
Пример. Найти максиминную и минимаксную стратегии в игре с
матрицей
0 4 1 3 


1
0
2
2


 3 1  2  1


Решение.
B1
B2
B3
В4
αi
A1
0
4
-1
3
-1
A2
1
0
2
2
0
A3
3
1
-2
-1
-2
βj
3
4
2
3
  max min aij  max{ 1;0;2}  0.
i
j
Максиминной чистой стратегией является А2.
  min max aij  min{ 3,4,2,3}  2.
j
i
Минимаксной для игрока B является стратегия В3.
Теорема 1. В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит
верхней чистой цены игры, т.е. α ≤ β.
8
Доказательство:
По определению
 i  min aij  aij
j
 j  max aij  aij
  i  min aij  aij  max aij   j ,
j
i
i
значит αi ≤ aij ≤ βj или αi ≤ βj.
Это неравенство справедливо при любых комбинациях i и j. Будет оно
справедливо для тех i и j, для которых max  i   и min  j   , и при этих i и j
j
i
получим α ≤ β.
Если в матричной игре нижняя и верхняя чистые цены игры совпадают,
т.е. α = β, то это игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую
цену игры      .
Обозначим через i* и j* номера чистых стратегий, при которых имеет
место равенство α = β. Пару чистых стратегий Ai* , B j*  игроков А и В, при
которых достигается равенство α = β, называют седловой точкой матричной
игры, а элемент ai*j* матрицы, стоящий на пересечении i* строки и j* столбца, –
седловым элементом платежной матрицы.
Седловой элемент ai* j* является наименьшим в i* строке и наибольшим в
j* столбце, т.е. aij*  ai* j*  ai* j . Поэтому, если игрок В отклонится от своей
минимальной стратегии, то его проигрыш может увеличиться. Аналогично,
отклонение игрока А от своей максимальной стратегии ведет к уменьшению его
выигрыша. Таким образом, минимальные стратегии в игре с седловой точкой
обладают свойством устойчивости, создают ситуацию равновесия.
Следовательно, если в матрице игры существует седловой элемент, то
наилучшими для игроков являются их минимальные стратегии. Назовем чистые
стратегии Ai* и B j* , образующие седловой элемент, оптимальными чистыми


стратегиями соответственно игроков А и В. Набор Ai* , B j* , v назовем
решением игры.
Пример. Швейное предприятие планирует к массовому выпуску новую
модель одежды. Спрос на эту модель не может быть точно определен.
Предполагают, что его величина характеризуется тремя возможными
состояниями (I, II, III). С учетом этих состояний анализируется три возможных
варианта выпуска данной модели (А1, А2, А3). Каждый из этих вариантов
требует своих затрат и обеспечивает различный эффект. Прибыль (тыс. руб.),
которую получает предприятие при данном объеме выпуска модели и
соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей
A1
A2
A3
I
22
21
20
II
22
23
21
III
22
23
24
9
Найти объем выпуска модели одежды обеспечивающий среднюю
величину прибыли при любом состоянии спроса.
Решение. Проверим, имеет ли исходная матрица седловую точку.
  max ai  max{22,21,20}  22
i
     22 .
  min  j  min{ 22,23,24}  22
j
Число 22 – цена игры. Игра имеет седловую точку, соответствующую
варианту А1 выпуска модели одежды. Объем выпуска модели,
соответствующий данному варианту, обеспечивает прибыль в 22 тыс. руб. при
любом состоянии спроса.
1.3. Упрощение игр
Если платежная матрица игры не содержит седловой точки, то задача
определения оптимальной смешанной стратегии тем сложнее, чем больше
размерность матрицы. Для игр с платежными матрицами большой размерности
отыскание решения можно упростить, если уменьшить их размерность,
вычеркивая дублирующие и заведомо невыгодные стратегии.
Если в матрице (aij)m×n игры все элементы строки (столбца) равны
соответствующим элементам другой строки (столбца), то соответствующие
строкам (столбцам) стратегии называются дублирующими.
Если в матрице (aij)m×n игры все элементы некоторой строки,
определяющей i-ю стратегию Аi игрока А, не больше (меньше или равны)
соответствующих элементов другой строки, то i-я стратегия Аi называется
заведомо невыгодной.
Если в матрице (aij)m×n игры все элементы некоторого столбца,
определяющего j-ю стратегию Вj игрока В, не меньше (больше или равны)
соответствующих элементов другого столбца, то j-я стратегия Вj называется
заведомо невыгодной.
Рассмотрим платежную матрицу игры:
A1
A2
A3
A4
βj
B1
8
5
6
3
8
B2
6
4
7
3
7
B3
4
3
6
2
6
В4
5
2
3
1
5
В5
1
3
5
2
5
αi
1
2
3
1
  max{1;2;3;1}  3;
  min{8,7,6,5,5}  5.
α = 3 ≠ β = 5. Платежная матрица игры не имеет седловой точки.
Сравнивая почленно элементы второй и третьей строк, видим, что все
элементы второй строки меньше соответствующих элементов третьей строки.
Следовательно, вторая стратегия для игрока А заведомо невыгодна и ее можно
исключить. Аналогично, сравнивая А3 и А4, исключаем А4. Получаем матрицу
игры:
10
B1
B2
B3
В4
В5
A1
8
6
4
5
1
A3
6
7
6
3
5
Замечаем, что 1, 2, 3 стратегии игрока В заведомо невыгодны по
сравнению с 5-й стратегией, поскольку игрок В стремится уменьшить выигрыш
игрока А. Исключая эти стратегии, получаем матрицу 2×2, в которой нет
дублирующих и заведомо невыгодных стратегий.
В4
В5
A1
5
1
A3
3
5
Перенумеруем стратегии, запишем платежную матрицу:
В1
В2
αi
A1
5
1
1
α = 3, β = 5.
A2
3
5
3
βj
5
5
Если для упрощенной матрицы α = β, то число α = β = v есть цена игры
не только с упрощенной, но и со сходной матрицей. Если α < β, то
анализируется упрощенная матрица, а затем осуществляется возвращение к
исходной матрице.
1.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях
Среди игр, имеющих практическое значение, не часто встречаются игры с
седловой точкой, когда принцип минимакса является оправданной
рекомендацией. При отсутствии седловой точки нет и мотивов, которые
удерживают игроков в рамках минимаксных стратегий при повторении игры.
Однако с отклонением от них исчезает и гарантия минимаксного выигрыша.
Возникает вопрос: нельзя ли гарантировать выигрыш больше α, если применять
не одну стратегию, а чередовать случайным образом несколько стратегий.
Такие стратегии называются смешанными. При использовании смешанной
стратегии перед каждой партией игры пускается в ход механизм случайного
выбора (бросание монеты, игральной кости и т.п.). При этом выбирается та
стратегия, на которую пал жребий. В результате тактика становится более
гибкой и противник не знает заранее, с какой обстановкой ему придется
встретиться.
Пример.
В1
В2
αi
A1
2
9
2
α = 3, β = 6.
A2
6
3
3
βj
6
9
Игрок А может выиграть не менее 3 единиц, а игрок В может ограничить
свой проигрыш (выигрыш игрока А) 6 единицами. Область между числами 3 и
6 является как бы нейтральной, и каждый игрок может попытаться улучшить
свой результат за счет этой области. А2 и В1 – минимаксные стратегии игроков.
11
Если игрок В заметит, что игрок А предпочитает стратегию А2, то он может
использовать стратегию В2 и уменьшить выигрыш игрока А до 3. Но если игрок
А раскроет замысел игрока В и применит стратегию А1, то он увеличит свой
выигрыш до 9. В свою очередь, узнав об этом, игрок В выберет стратегию В1 и
понизит выигрыш игрока А до 2. Таким образом, в очередной партии игрокам
надо так выбирать стратегии, чтобы противник о них не догадался, т.е.
использовать механизм случайного выбора.
Пусть имеется игра m×n.
Bj
B1
B2
………
Bn
pi
Ai
A1
a11
a12
………
a1n
p1
A2
a21
a22
………
a2n
p2
…
…
…
………
…
…
Am
am1 am2
………
amn
pm
qj
q1
q2
………
qn
Обозначим через p1, p2, …, pm вероятности, с которыми игрок А
использует чистые стратегии A1, A2, …, Am. Ясно, что
m
pi  0, i  1, m,  pi  1 .
(*)
i 1

p   p1; p2 ;...; pm  (m-мерный вектор),
Упорядоченное множество
элементы которого удовлетворяют условиям (*), называют смешанной
стратегией игрока А. Т.е. смешанной стратегией игрока А является полный
набор вероятностей применения его чистых стратегий. Механизм случайного
выбора чистых стратегий, которым пользуется игрок А, обеспечивает ему
множество смешанных стратегий. Любая чистая стратегия Аi есть частный

случай смешанной стратегии p  0;0;...;1;0 ;...;0  , i-ая компонента которой
равна 1, а остальные равны 0.

Аналогично упорядоченное множество q  q1; q2 ;...; qn  , элементы
которого
удовлетворяют
соотношениям
n
q j  0, j  1, n,  q j  1,
является
j 1
смешанной стратегией игрока В.


Пусть игроки А и В применяют смешанные стратегии p и q . Это
означает, что игрок А использует стратегию Аi с вероятностью pi, а игрок В –
стратегию Вj с вероятностью qj. Вероятность выбора комбинации стратегий
(Аi,Вj) равна P(Аi;Вj) = piqj, при этом будет получен выигрыш aij. При
использовании смешанных стратегий игра носит случайный характер,
случайной становится и величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В).
Средняя величина выигрыша (математическое ожидание) является функцией от
 
смешанных стратегий p и q и определяется:
m n
 
f  p; q   a11 p1q1  a12 p1q2  ...  amn pm qn   aij pi q j .
i 1 j 1
12
 
Функция f  p; q  называется платежной функцией игры с матрицей
(aij)m×n.
Для решения игры с точки зрения игрока А необходимо найти такие


смешанные стратегии p и q , при которых ему обеспечивался бы средний
 
f  p; q  . Эту величину назовем верхней ценой игры
выигрыш, равный min
 max

q
p
 
  min
f  p; q  .
 max

q
p
Аналогичной должна быть ситуация для игрока В: нижняя цена игры
 
  max
min
f  p; q  .


q
p


Оптимальным назовем смешанные стратегии p * и q * игроков А и В,
удовлетворяющие равенству:
 
 
 
min
f  p; q   max
min
f  p; q   f  p*; q * ;
 max



q
p
p
m
q
n
 
v  f  p*; q *   aij pi * q j * – цена игры.
i 1 j 1
Отметим свойства оптимальных смешанных стратегий.
1) Основная теорема теории игр: любая конечная матричная игра с
нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в
смешанных стратегиях.
Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш,
равный цене игры v.
α ≤ v ≤ β.

2) Для того, чтобы смешанные стратегии p*   p1*; p2 *;...; pm * и

q*  q1*; q2 *;...; qn * были оптимальными для игроков А и B в игре с матрицей
(aij)m×n и ценой v необходимо и достаточно выполнение неравенств:
 aij pi *  v  j  1, n ;
m
i 1
 aij qi *  v i  1, m.
n
j 1


3) Пусть p * и q * – оптимальные смешанные стратегии игроков А и B в


игре I с матрицей (aij)m×n и ценой v. Тогда p * и q * будут оптимальными в игре
I' с матрицей (baij + c)m×n, где b>0, и ценой v'=bv+c.
Благодаря этому утверждению любую платежную матрицу можно
преобразовать в платежную матрицу, все элементы которой положительны,
поэтому цена игры v' также положительна.
1.5. Решение задач в смешанных стратегиях. Игра 2×2
В приведенных формулах для α и β функции min и max вычисляются на
бесконечных множествах смешанных стратегий, поэтому значения α и β нельзя
найти путем перебора вариантов. Воспользуемся теоремой об активных
стратегиях.
13
Стратегии игроков, входящие в их оптимальные смешанные стратегии,

называются активными. В оптимальной смешанной стратегии p*  0;0,2;0,8;0
активными являются стратегии А2 и А3.
Теорема 2. Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает
игроку максимальныq средний выигрыш (или минимальный средний
проигрыш), равный цене игры v, независимо от того, какую стратегию
применяет другой игрок, если только тот не выходит за пределы своих
активных стратегий.
Найдем решение в случае игры 2×2. У игроков А и В по две стратегии,
игра не содержит седловую точку. Найдем оптимальную смешанную стратегию

p*   p1*; p2 * .
Решение. Матрица игры имеет вид:
Bj
B1
B2
Ai
A1
a11
a12
A2
a21
a22
Поскольку игра не имеет решения в чистых стратегиях, в оптимальной

стратегии q*  q1*; q2 * игрока В числа q1*  0 и q2 *  0 , т.е. обе стратегии В1 и
В2 активные. Тогда по теореме об активных стратегиях, если игрок А

придерживается своей оптимальной стратегии p*   p1*; p2 * , то игрок В
может, не влияя на значение выигрыша, применять какую-либо из своих
чистых активных стратегий В1 или В2. Игрок А получит средний выигрыш
равный цене игры. Имеем два уравнения:
a11 p1 *  a21 p2 *  v (при стратегии В1);
a12 p1 *  a22 p2 *  v (при стратегии В2).
Учитывая, что p1 *  p2 *  1, будем иметь систему трех линейных
уравнений с тремя неизвестными. Решив ее, найдем оптимальную смешанную

стратегию p*   p1*; p2 * игрока А и цену игры v. Рассуждая аналогично, для
определения оптимальной стратегии игрока В получим систему уравнений:
a11q1 *  a12 q2*  v;

a21q1 *  a22 q2*  v;
q *  q *  1.
2
 1
Пример. Имеются две конкурирующие фирмы А и В, выпускающие
однотипные изделия, соответственно видов I и II, которые могут быть
окрашены в один из двух цветов: красный (кр.) или синий (син.). Изучение
спроса покупателей показало, что если выпущены изделия I кр. и II кр., то 40%
покупателей получают I кр. и 60% – II кр. Если выпущены I кр. и II син., то 90%
покупателей приобретают I кр. Если изготовлены I син. и II кр. будет продано
70% I син. Если сделаны I син. и II син., то 20% покупателей получат I син.
Найти оптимальные стратегии и цену матричной игры.
Решение. Составим платежную матрицу игры (выигрыш аij фирмы А).
B
II кр. II син.
αi
A
I кр.
-20
80
-20
14
I син.
40
-60
-60
βj
40
80
  max{20,60}  20
    – игра не имеет седловой точки.
  min{ 40,80}  40
Найдем оптимальное решение матричной игры в смешанных стратегиях.
Пусть фирма А придерживается своей оптимальной стратегии

p*   p1*; p2 * . По теореме об активных стратегиях, при применении фирмой В
чистой стратегии В1 или В2 фирма А получит средний выигрыш, равный цене
игры, т.е.
 20 p1 * 40 p2*  v;

80 p1 * 60 p2*  v;
 p *  p *  1.
2
 1
Решим систему трех уравнений с тремя неизвестными.
 p1*  1  p2*;

 201  p2 *   40 p2*  801  p2 *   60 p2*,
 p 2*  1 2 ;
 p1*  1 2 ;


 p1*  1  1 2 ,
 p2*  1 2 ,
1
1
v  80   60   10 – цена игры.
2
2
 1 1
p*   ;  ,
v = 10.
2 2

q*  q1*; q2 *
Составим систему уравнений для определения
оптимальной стратегии игрока В.
 20q1 * 80q2*  10;

40q1 * 60q2*  10;
q *  q *  1.
2
 1
 7 3
Решая систему, найдем q*   ;  .
 10 10 
При таких оптимальных стратегиях изделия фирмы А будут покупать
55%, фирмы В – 45% покупателей (55%+45%=100%).
Связь между теорией игр и линейным программированием (ЛП)
Решение любой конечной матричной игры может быть сведено к
решению задачи линейного программирования.
Рассмотрим случай, когда в матрице игры (aij)m×n все aij > 0 (см.
теорему 2). Ясно, что тогда и цена игры v > 0. Найдем оптимальную

смешанную стратегию q  q1; q2 ;...; qn  игрока В. Применяя ее, игрок В
проиграет не более v при любой чистой стратегии игрока А, т.е.
15
 aij qi  v i  1, m .
n
j 1
Разделим обе части неравенства на v:
n
q
 aij vi  1
j 1
Обозначим
qi
 yj
v
Имеем
i  1, m.
 j  1, n .
(1)
 aij y j  1 i  1, m ;
n
j 1
yj  0
n
(2)
 j  1, n ,
(3)
qj
n
1n
1
yj удовлетворяет условию  y j     q j  .
v j 1
v
j 1
j 1 v
Игрок В стремится сделать свой гарантированный проигрыш v возможно
меньше, а значит возможно больше величину
1 n
(4)
  yj   .
v j 1
Учитывая (2), (3), (4), приходим к следующей задаче: максимизировать
линейную функцию
n
   y j  max
j 1
при линейных ограничениях
 aij y j  1 i  1, m ;
n
j 1
yj  0
 j  1, n .
Это типичная задача ЛП, записанная в симметричной форме. Решив ее,
например,
симплекс-методом,
найдем
оптимальный
вектор

y*   y1*; y2 *;...; yn * и  *   max , а затем, используя (4) и (1), определим цену
игры и компонент оптимальной смешанной стратегии q*:
1
v
; q j*  v  y j
j  1, n .
 max


Рассуждая аналогично, приходим к задаче
 aij xi  1  j  1, n  , xi  0 i  1, m,
i 1

решая которую, найдем оптимальный вектор x*   x1*; x2 *;...; xm * и f * 
m
f   xi  min ,
m
i 1
f min , а
т.е.
оптимальную
стратегию
; pi *  v  xi i  1, m  ,
f min

p*   p1*; p2 *;...; pm * игрока А. Эти две задачи образуют пару двойственных
задач ЛП.
затем
v
1
16
Теория матричных игр по существу эквивалентна теории задач ЛП. Эта
эквивалентность полезна ТИ, оптимальное решение которых можно находить
методами ЛП. Эквивалентность полезна и для ЛП, ибо существуют
приближенные числовые методы решения матричных игр, которые в случае
большой размерности более эффективны, чем СМ и его модификация решения
ЗЛП.
1.6. Критерии принятия решений в играх с «природой»
Ранее мы рассматривали игры, в основе которых лежало предположение,
что каждый из участников сознательно стремится использовать ошибки
противоположной стороны с тем, чтобы добиться наилучшего результата.
Однако на практике встречаются ситуации, в которых один из игроков
безразличен к выигрышу и не стремится воспользоваться промахами второго
участника. Так бывает, когда в качестве одного из игроков выступает
«природа». Под термином «природа» будем понимать комплекс внешних
обстоятельств, при которых приходится принимать решения. Такая игра
возникает, когда заранее неизвестен покупательный спрос на производимую
продукцию или объем перевозок, который должна выполнить железная дорога
и т.д. Игру такого типа называют игрой с «природой».
Пусть игрок А может использовать только стратегии А1, А2, …, Аm.
Природа П также обладает множеством стратегий П1, П2, …, Пn. Под стратегией
природы будем понимать совокупность внешних условий (или состояния
природы), в которых игроку А приходится выбирать свою стратегию. Из
прежнего опыта игроку А обычно известны возможные состояния природы, а
иногда и вероятности, с которыми природа реализует их.
Если игрок А имеет возможность оценить последствия применения
каждой своей чистой стратегии Аi в зависимости от любого состояния Пj
природы, т.е. если ему известен численный результат аij для каждой
допустимой комбинации (Аi;Пj), то игру можно задать платежной матрицей
(aij)m×n.
Иногда выгодно от платежной матрицы перейти к матрице рисков,
которая более четко выявляет преимущество одной стратегии по сравнению с
другой при данном состоянии природы.
Риском называют величину rij   j   ij  0 ; где  j  max  ij –
i
максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Пj (максимальный
элемент j-го столбца платежной матрицы).
Рассмотрим критерии, на основе которых игрок А принимает решение,
анализируя матрицу выигрышей или матрицу рисков.
Максимальный критерий Вальда для чистых стратегий является
критерием крайнего пессимизма, т.к. игрок А исходит из предположения, что
природа «действует» против него наихудшим образом. Игрок А выбирает такую
чистую стратегию Аi, при которой наименьший выигрыш min  ij будет
j
17
максимальным, т.е. обеспечивается максимум W  max min  ij . Иначе, здесь
j
i
определяется обычная максимальная чистая стратегия игрока А.
Критерий минимального риска Сэвиджа, как и критерий Вальда,
является критерием крайнего пессимизма. Критерий Сэвиджа рекомендует
выбирать в качестве оптимальной ту чистую из стратегий Аi, при которой
минимизируется величина max rij максимального риска, т.е. S  min max rij .
i
j
j
Критерий Гурвица (критерий пессимизма-оптимизма) рекомендует
рассчитывать на нечто среднее. В области чистых стратегий оптимальной
считается стратегия, найденная из условия:
H  max{ min  ij  (1   ) max  ij } , где λ(0;1) и выбирается из
i
j
j
субъективных соображений. При λ=1
H  max min  ij . Критерий Гурвица
превращается в критерий Вальда. При λ=0
i
j
H  max max  ij – в критерий
i
j
крайнего оптимизма. При 0 < λ < 1 получается нечто среднее между крайним
пессимизмом и крайним оптимизмом.
На практике анализируют ситуацию с точки зрения нескольких
критериев, и если рекомендации совпадают, то выбирают рекомендуемое
решение.
Пример. Руководство SM (супермаркета) заказывает товар вида А. Спрос
на данный вид товара лежит в пределах от 6 до 9 единиц. Если заказать товара
недостаточно, то его можно срочно заказать еще. Если спрос будет меньше
наличного товара, то нереализуемый товар хранится на складе SM. Требуется
определить такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты,
связанные с хранением и срочным завозом, были бы минимальными, если
расходы на хранение единицы товара составляют 1 млн. руб., а по срочному
заказу и завозу – 2 млн. руб.
Решение. Покупательский спрос выступает в качестве второго игрока –
природы, стратегии которого определяются данными спроса, т.е. П1 = 6 ед.,
П2 = 7 ед., П3 = 8 ед., П4 = 9 ед. Игрок А – руководство SM, стратегии которого
лежат в тех же пределах. Составим платежную матрицу игры. Найдем решение
игры по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица при λ = 0,2.
1. Критерий Вальда.
Пj
П1=6 П2=7 П3=8 П4=9 αi
Ai
A1=6
0
-2
-4
-6
-6
A2=7 -1
0
-2
-4
-4
A3=8 -2
-1
0
-2
-2
A4=9 -3
-2
-1
0
-3
βj
0
0
0
0
W  max 6;4;2;3  2 .
i
Оптимальной является стратегия А3, т.е. необходимо заказывать по 8
единиц товара.
18
2. Критерий Сэвиджа. Перейдем к матрице рисков, поместим в правом
добавочном столбце значения максимального риска ri.
rij   j  aij ,  j  max aij .
i
Пj
П1
П2
П3
П4
ri
A1
0
2
4
6
6
A2
1
0
2
4
4
A3
2
1
0
2
2
A4
3
2
1
0
3
S  min 6;4;2;3  2 . Оптимальной является также стратегия А3.
3. Критерий Гурвица. В добавочных столбцах платежной матрицы
запишем оценки:
 i  min aij , wi  max aij , H i  i  ( 1   )wi при λ = 0,2.
Ai
j
j
Пj
П1
П2
П3
П4
αi
A1
0
-2
-4
-6
-6
A2
-1
0
-2
-4
-4
A3
-2
-1
0
-2
-2
A4
-3
-2
-1
0
-3
H  max 1,2;0,8;0,4;0,6  0,4 , значит,
Ai
i
wi
hi
0
-1,2
0
-0,8
0
-0,4
0
-0,6
оптимальной
является
стратегия А3. Следовательно, руководство SM имеет все основание заказывать
по 8 единиц товара, т.к. все три критерия говорят в пользу стратегии А3.
1.7. Упражнения
1. Решить и привести графическую иллюстрацию игр, заданных
следующими матрицами:
1 0 
 0,4 0,2 
1.1. 
1.2. 
 .
 .
2
1
0
,
1
0
,
5




2. Найти оптимальные стратегии и цену игр, заданных платежными
матрицами:
 2 3
 1 0
  2 4
2.1. 
2.2. 
2.3. 
 .
 .
 .
1
4
5
2

1
2






0 2 6
 5 0  3
2.4. 
2.5. 
 .
 .
 4 4 2 
 3 1 2
3. Для приведенных ниже платежных матриц вычислить верхнюю и
нижнюю цены игры, найти максиминные и минимаксные стратегии, выявить
наличие седловых точек. При наличии седловых точек выписать цену игры и
оптимальные решения.
2 
  2 1 0 1
 1 1 1 1 




  1 0 1 2  3
 1 1 1 1 
3.1. 
.
3.2. 
.
0
1 2 1 1
1 1 1 1 




1
2
3

1
0

1

1

1

1




19
1 2 3 4
1  2 3  4
 1  2 3  4






0 1 2 3
 0 1 2  3
 2 3  4 3 
3.3. 
. 3.4. 
. 3.5. 
.
0 0 1 2
0 0 1  2
3  4 3  2






0
0
0
1
0
0
0

1

4
3

2
1






4. Для приведенных ниже платежных матриц матричных игр выявить
доминирующие строки, доминирующие столбцы и найти для упрощенных
матриц α и β. В случае равенства α = β выписать цену игры и оптимальные
стратегии не только для упрощенных, но и для исходных матриц.
4 
 6  2 5


1 2 3 4
1 1 1 1 




 1  3 2  2
 0 1 2 3
1 1 1 1 
4.1. 
.
4.2.
. 4.3.   3  2 4  1  .





0 0 1 2
1 1 1 1




 1  4 1  3
0 0 0 1
  1  1  1  1
 2  5  3  6


2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Теория систем массового обслуживания (СМО) начала развиваться в
начале XX столетия. Иохансен в 1907 г. сформулировал основные предпосылки
новой теории. В 1909 г. шведский математик Эрланг применил теорию
вероятностей к исследованию зависимости обслуживания телефонных вызовов
от числа поступающих на телефонную станцию вызовов. В нашей стране
известный математик А.Я. Хинчин систематизировал основные положения
СМО в монографии «Теория очередей». Именно такое название теории СМО
используется за рубежом.
В последние годы применение теории СМО в экономике приобрело
особую актуальность в связи с использованием ряда ее аспектов в финансовоэкономической сфере (банки различных типов, страховые организации,
налоговые инспекции, аудиторские службы). Теория СМО широко применяется
также в сфере обслуживания (различные системы связи, АЗС, магазины,
ремонтные предприятия и т.д.) и в современных высоких технологиях
(компьютерные сети, базы данных, военные системы ПВО).
2.1. Структура и классификация систем массового обслуживания
СМО представляют собой системы специфического вида. Системой
называется целостное множество взаимосвязанных элементов, которые нельзя
разделить на независимые подмножества. Основой СМО является
определенное число обслуживающих устройств – каналы обслуживания. Роль
каналов в реальности могут выполнять приборы, операторы, продавцы и пр.
Предназначение СМО состоит в обслуживании потоков заявок
(требований), представляющих последовательность событий, поступающих
нерегулярно и в случайные моменты времени. Само обслуживание заявок
также имеет непостоянный характер, происходит в случайные промежутки
20
времени. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания
обуславливает неравномерность загрузки СМО: на входе могут накапливаться
необслуженные заявки либо заявок нет или их меньше, чем свободных каналов.
Таким образом, часть заявок принимается на обслуживание, часть ждет в
очереди, часть покидает системы необслуженными.
Основными элементами СМО являются:
1) входной поток заявок;
2) очередь;
3) каналы обслуживания;
4) выходной поток заявок (обслуженные заявки).
По числу каналов n все СМО разделяются на одноканальные (n=1) и
многоканальные (n>1). По дисциплине обслуживания различают СМО с
отказами (заявка получает отказ при условии занятости каналов, например,
вызовов абонента через АТС) и с ожиданием (очередью) (в случае занятости
системы заявка поступает в очередь, например, обслуживание покупателей в
магазине).
СМО, состояние которых влияет на поток заявок, требующих
обслуживания, называются замкнутыми. В таких системах характеристики
входного потока заявок зависят от того, сколько заявок уже находится в
системе в данный момент. Если же поток заявок, требующих обслуживания, не
влияет на состояние системы, то СМО называется разомкнутой.
Целью теории СМО является выработка рекомендаций по рациональному
построению системы и рациональной организации ее работы. Отсюда вытекают
задачи, связанные с теорией массового обслуживания: установление
зависимостей работы СМО от ее организации, характера потока заявок, числа
каналов и ее производительности, правил работы СМО.
Показатели эффективности СМО описывают ее возможность
справляться с потоком заявок.
К числу показателей эффективности СМО с отказами относятся:
 абсолютная пропускная способность СМО (среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени);
 вероятность приема (вероятность того, что заявка будет принята на
обслуживание);
 вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО
необслуженной);
 среднее число занятых каналов.
К числу показателей эффективности СМО с очередью относятся:
 среднее время ожидания обслуживания;
 среднее число заявок в очереди;
 среднее время пребывания заявки в очереди;
 вероятность того, что канал занят.
21
2.2. Марковский случайный процесс в СМО
Процессы поступления и обслуживания заявок в СМО являются
случайными, что обусловлено случайным характером потока заявок и
длительности их обслуживания.
Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при
любом значении аргумента t является случайной величиной. При
фиксированном t=t0 X(t0) представляет собой обычную величину. Случайные
процессы упрощают исследование СМО.
По характеру потоков событий СМО разделяются на марковские и
немарковские. В дальнейшем мы будем иметь дело с системами первого типа.
Преимущества и полезность такого подхода состоят в том, что для выработки
основных рекомендаций нужно знать не точные характеристики СМО, а лишь
их приближенные значения. В основе СМО будем предполагать марковский
случайный процесс (процесс без последствия), когда вероятность состояния
СМО в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от
прошлого (название по имени известного российского математика
А.А.Маркова). Условие марковского случайного процесса: необходимо, чтобы
все потоки событий, при которых система переходит из одного состояния в
другое (потоки заявок, потоки обслуживания и т.д.) были пуассоновскими.
Пуассоновский поток событий обладает следующими свойствами:
— отсутствия последствия (число событий, попавших на заданный
временной интервал, не зависит от числа событий, попавших на другие
интервалы);
— ординарности (вероятность попадания на элементарный временной
интервал двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с
вероятностью попадания одного события);
— стационарности (число событий, попавших на заданный временной
интервал зависит лишь от длины интервала и не зависит от числа событий,
попавших на другие интервалы).
Известно, что для простейшего потока, т.е. обладающего
вышеперечисленными свойствами, справедлив закон Пуассона. Плотность
вероятности случайной величины при этом:
f (t )  e  t ,
где λ – интенсивность потока.
2.3. Уравнения Колмогорова
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями
пользуются графом состояний, где прямоугольниками изображают состояния
системы, а переходы из состояния в состояние – стрелками. Если у стрелок
проставлены интенсивности, то граф состояния называется размеченным.
Переходы системы из состояния Si в состояние Sj происходят под воздействием
простейших потоков событий с интенсивностями λij.
Простейший граф состояний представлен на рис.1.
22
λ01
S0
λ10
S1
Рис. 1
На рис. 1 изображена СМО, состоящая из одного телефонного аппарата,
который находится в двух возможных состояниях: либо свободен (S0), либо
занят (S1); λ01 – интенсивность нагрузки аппарата, или количество заявок на
переговоры в единицу времени; λ10 – интенсивность обслуживания аппаратом,
или количество обслуживаемых заявок в единицу времени.
Стрелка из S0 в S1 означает переход системы из состояния «аппарат
свободен» в состояние «аппарат занят». Стрелка из S1 в S0 означает обратный
переход.
Анализ состояния СМО сводится к определению вероятности, с которой
система пребывает в данном состоянии.
В общем случае вероятностью i-го состояния pi(t) называется
вероятность того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si.
Для любого момента t справедливо соотношение:
n
 pi (t )  1 ,
(5)
i 0
где n+1 – общее число состояний СМО.
Определить вероятности состояний СМО можно, решив систему
уравнений Колмогорова.
Алгоритм составления системы уравнений Колмогорова:
1. В левую часть каждого уравнения ставится производная вероятности
i-го состояния по времени.
2. В правую часть каждого управления ставится:
а) сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут
стрелки в i-е состояние, на интенсивности соответствующих потоков
событий;
б) минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из
данного состояния, умноженная на вероятность i-го состояния.
В полученной системе Колмогорова независимых уравнений на единицу
меньше их общего числа. Для решения системы добавим уравнение (5).
Задав начальные условия и решив систему дифференциальных уравнений
Колмогорова, находят систему функций времени pi(t), где i – номер состояния.
Это позволяет получить дискретное распределение вероятностей СМО для
любого момента времени. Для достаточно большого значения времени t
независимо
от
начальных
условий
распределение
вероятностей
стабилизируется и практически не зависит от времени.
23
2.4. Одноканальная система массового обслуживания с отказами
Пусть СМО включает только один канал обслуживания и на ее вход
подается пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, т.е. непрерывная
случайная величина T – время между двумя соседними заявками –
распределена по закону Пуассона:
f (t )  e  t .
Другая случайная величина Ts – время обслуживания каналом одной
заявки – также распределена по закону Пуассона с параметром μ:
f1 (t )  e t .
Параметры λ и μ называются соответственно интенсивностью потока
заявок и интенсивностью потока обслуживания. Например, среднее
значение Ts равно математическому ожиданию M(Ts), откуда и следует
формула и название μ:
T
T
1
 (TS )   tf (t )dt   te  t dt  .
0

0
Состояния СМО характеризуются простаиванием или занятостью ее
канала, т.е. система может находиться в одном из двух состояний: S0 – канал
свободен или S1 – канал занят. Из состояния S0 в состояние S1 систему
переводит поток входящих заявок, а из состояния S1 в состояние S0 – поток
обслуживаний. Плотности вероятностей перехода из состояния S0 в
состояние S1 и обратно равны соответственно λ и μ. Граф состояний СМО
показан на рис.2.
λ
S0
μ
S1
Рис. 2
Пусть p0(t) и p1(t) соответственно вероятности состояний системы S0 и S1 в
момент времени t. Справедливо условие (5):
p0(t) + p1(t) = 1.
(6)
В силу того, что процесс является марковским, вероятности p0(t) и p1(t)
удовлетворяют системе уравнений Колмогорова:
 dp0 ( t )
 dt  p1( t )  p0 ( t );

 dp1( t )  p ( t )  p ( t ).
0
1
 dt
Подстановка условия (6) в систему приводит к обыкновенному
дифференциальному уравнению относительно p0(t)
dp0 (t )
 (   ) p0 (t )   , t  0 .
(7)
dt
При условии, что в начальный момент времени t=0 канал свободен:
24
p0(0) = 1, p1(0) = 0,
получаем решение уравнения (7)
  e  (    ) t
p0 (t ) 
.
(8)

Далее из условия (6) имеем
 1  e  (    )t 
p1 (t ) 
.
(9)

Из формул (8) и (9) видно, что с ростом времени t вторые слагаемые в
числителях стремятся к нулю, т.е. p0(t) и p1(t) заметно отличны от постоянных
величин лишь в начале работы СМО. Рассмотрим предельные значения
вероятностей состояния СМО, т.е. при t   . Тогда из (8) и (9) получаем:
lim p0 (t )  p0  
t 
(   )
,
lim p1 (t )  p1  
.
(   )
Заметим, что при μ<λ вероятность отказа выше 0,5 и превышает
вероятность обслуживания.
Теперь установим основные характеристики СМО. Поскольку
вероятность обслуживания поступивших заявок равна p0, а относительная
пропускная способность Q равна отношению среднего числа обслуженных
заявок к среднему числу заявок, поступивших за единицу времени, то Q = p0,
т.е. для одноканальной СМО с отказами
t 
Q


.
Абсолютная пропускная способность СМО – это среднее число заявок,
обслуживаемое СМО в единицу времени, или интенсивность выходящего
потока обслуженных заявок – это часть интенсивности входящего потока
заявок
A

.

Вероятность отказа в обслуживании заявки, когда канал занят, это
вероятность p1:
pr  p1 


.
Среднее время обслуживания заявки есть величина, обратная μ
Ts  1 .

Аналогично, среднее время простоя канала равно
Tst  1 .

Среднее время пребывания заявки в системе рассчитывается по
формуле:
25
Tsys  p0 Ts 
1
TT
 s st .
   Ts  Tst
Пример. Телефонная АТС имеет одну линию, на которую в среднем
приходит 0,8 вызовов в минуту. Среднее время разговора 1,5 мин. Вызов,
пришедший во время разговора, не обслуживается. Считая потоки вызовов
пуассоновскими, найти абсолютную и относительную пропускную способность
станции и вероятность отказа абоненту.
Решение. Телефонную станцию рассматриваем как одноканальную СМО
с отказами. Ts  1  1,5 мин.; интенсивности поступающего и обслуженного

потоков заявок равны соответственно λ = 0,8; μ = 0,67. Тогда по формулам,
приведенным выше, имеем: Q = 0,455; pr = 0,545; А = λQ = 0,364 выз./мин.
Заметим здесь, что абсолютная пропускная способность СМО А оказалась
почти вдвое меньше интенсивности μ потока обслуживания, это обусловлено
случайным характером потока заявок.
2.5. Одноканальная система массового обслуживания
с неограниченной очередью
Примером одноканальной СМО с неограниченной очередью является
одна касса в универмаге.
Пусть поток заявок, поступающих в систему, имеет интенсивность λ, а
поток обслуживания – интенсивность μ. Граф состояний подобной системы
представлен на рис.3.
λ
S0
λ
μ
S1
λ
μ
S2
λ
λ
μ
μ
Sk
μ
Рис. 3
На рис.3 введены следующие обозначения:
состояние S0 – канал свободен;
состояние S1 – канал занят, очереди нет;
состояние S2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; …;
состояние Sk – канал занят, k-1 заявок стоит в очереди и т.д.
Таким образом, на рис.3 представлен процесс гибели и размножения для
бесконечного числа состояний.
В общем случае название процесса гибели и размножения связано с
биологией и используется для исследования динамики колебаний численности
популяций животных, что возможно в рамках теории массового обслуживания.
Граф состояний процесса гибели и размножения представлен на рис.4.
26
λ01
S0
λ10
λ12
S1
λ21
λ23
S2
λn-1,n
λ32
λn,n-1
Sn
Рис. 4
Система алгебраических уравнений для предельных состояний
рассматриваемой СМО имеет вид:
01 p0  10 p1 ;

12 p1  21 p2 ;

...

p
 n ,n 1 pn ;
 n 1,n n 1
 p0  p1  ...  pn  1.
Здесь pi  lim pi (t ) , где pi(t) – вероятность того, что в момент времени t
t 
СМО находится в состоянии Si.
Решение полученной системы из n+1 уравнений имеет вид:
1





...




 p0   1  01  01 12  ...  01 12 n 1,n  ;


10 2110
n ,n 1 ...2110 


0112 ...n 1,n

01
0112
p0 .
 p1   p0 , p2    p0 , ..., pn  
...


10
21 10
n ,n 1
21 10

(10)
Вернемся к одноканальной СМО с неограниченной очередью. При ее
анализе полезно знать положение о конечной величине очереди, которое
связано с оценкой предельной интенсивности потока заявок    . Если в

единицу времени среднее число пришедших заявок меньше среднего числа
обслуженных заявок, т.е. ρ<1, то предельные вероятности существуют. Если же
ρ>1, то очередь растет до бесконечности. Поэтому предельные вероятности
состояний СМО следует искать только в том случае, если ρ<1.
Как следует из первого уравнения системы (10), предельные вероятности
СМО, представленной на рис.3, определяются соотношениями
p0  1     2  ...   k  ...
(в скобках стоит сумма бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем ρ). Если ρ<1, то эта сумма равна
1
.
1     2  ...   k  ... 
1 
Таким образом, предельная вероятность состояния S0 СМО определяется
соотношением p0  1   .
Предельная вероятность любого состояния Sk СМО вычисляется по
формуле (см. систему (10)):
1
27
pk   k p0   k (1   ) .
(11)
Т.к. ρ<1, то из последнего равенства следует, что вероятность p0
наибольшая.
Рассмотрим среднее число заявок, находящихся на обслуживании k обсл ,
среднее число заявок в очереди k оч и среднее число заявок в системе k сист .
При этом выполняется соотношение
k сист  k оч  k обсл .
Среднее число заявок на обслуживании находят как среднее
арифметическое взвешенное от двух состояний: канал свободен и каналом
обслуживается одна заявка, т.е.
k обсл  0  p0  1  ( 1  p0 ) .
Сомножители 0 и 1 в этой системе означают, что в системе на
обслуживании находятся ноль заявок, когда канал свободен, или одна заявка,
когда канал занят. Вероятности того, что канал свободен или занят
соответственно равны p0 и 1- p0. Следовательно
(12)
k обсл  ( 1  p0 )   .
Среднее число заявок в системе k сист также определяется по формуле
взвешенного арифметического среднего:


k 0
k 0
k сист   k  pk  ( 1   )  k   k .
Сумма

k  k
называется бесконечной арифметико-геометрической
k 0
прогрессией и вычисляется по формуле:


 k   k  (1   )2 .
k 0
Таким образом получим
k сист 

1 
.
(13)
Среднее число заявок в очереди k оч найдем как разность двух
предыдущих величин:

2
k оч  k сист  k обсл 

.
14)
1 
1 
Среднее время нахождения системы в том или ином состоянии равно
среднему числу заявок, деленному на интенсивность потока заявок:
k
 1
T обсл  обсл   ,

 
28
k
T сист  сист 

k
T оч  оч 

( 1   )
2


1
,
 

.

( 1   )   
Пример. В универмаге имеется одна касса. Интенсивность потока
покупателей составляет 0,9 покупателей в минуту. Интенсивность
обслуживания покупателей кассой – один покупатель в минуту.
Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Определить
показатели эффективности работы кассы и вероятность того, что ожидает своей
очереди не более трех покупателей.
Решение. Найдем предельную интенсивность потока заявок:
 0,9
 
 0,9.
 1
Т.к. ρ<1, то очередь не может бесконечно возрастать и предельные
вероятности существуют.
Предельная вероятность того, что у кассы нет ни одного покупателя
p0  1  0,9  0,1.
Соответственно вероятность того, что касса занята,
pзан  1  p0  0,9.
Среднее число заявок на обслуживании, в системе, в очереди найдем по
приведенным выше формулам (12-14).
k обсл  0 ,9 заявок,
0 ,9
k сист 
 9 заявок,
1  0 ,9
0 ,9 2
k оч 
 8 ,1 заявок.
1  0 ,9
Среднее время нахождения системы в том или ином состоянии будет
равно:
1
T обсл   1 мин.;
1
1
T сист 
 10 мин.;
1  0 ,9
0 ,9
T оч 
 9 мин.
1  0 ,9
Вероятность того, что у кассы ожидают не более трех покупателей,
складывается из предельных вероятностей того, что у кассы нет покупателей
или ожидает один, либо два, либо три покупателя, т.е.
P(k  4)  p1  p2  p3  p4 .
Рассчитав предельные вероятности по вышеприведенной формуле,
получим:
p1   (1   )  0,9(1  0,9)  0,09;
29
p2   2 (1   )  0,92  0,1  0,081;
p3   3 (1   )  0,93  0,1  0,0729;
p2   4 (1   )  0,94  0,1  0,06561;
P(k  4)  0,09  0,081  0,0729  0,06561  0,30951 .
2.6. Упражнения
1. На телефонную линию приходит простейший поток вызовов с
интенсивностью 0,9 выз./мин.; производительность линии 0,7 выз./мин. Вызов,
пришедший на линию во время ее занятости, не обслуживается. Найти
абсолютную пропускную способность линии, среднее время обслуживания
одного вызова, вероятность отказа в обслуживании, среднее время пребывания
заявки в системе.
2. Известно, что заявки на телефонные переговоры поступают с
интенсивностью 90 заявок в час. Средняя продолжительность разговора равна
2 мин. В случае занятости системы заявка не обслуживается. Определить
показатели эффективности работы СМО при наличии одного телефонного
номера.
3. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения
профилактического осмотра автомашин с одним каналом. На осмотр и
выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр
поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний –
простейшие. В случае занятости канала машина покидает пункт осмотра
необслуженной. Определить предельные вероятностные состояния и основные
характеристики системы.
4. СМО состоит из одного телефонного аппарата. Интенсивность потока
желающих воспользоваться телефонным аппаратом составляет 0,25 чел./мин. В
среднем каждый человек разговаривает 3 мин. Предполагается, что очередь
может быть неограниченной длины. Определить показатели эффективности
СМО и вероятность того, что ожидают своей очереди не более двух человек.
5. В отделении сберегательного банка кассир обслуживает клиентов с
интенсивностью 0,5 чел./мин. Среднее число клиентов, находящихся на
обслуживании, равно 0,7. Предполагается, что нет ограничений на длину
очереди. Определить показатели эффективности СМО и вероятность того, что
ожидают своей очереди не более одного человека.
3. ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
К главе 1: 1.1. p*=(1;0), q*=(0;1), v=0; 1.2. p*=(2/3;1/3), q*=(1/2;1/2),
v=0,3. 2.1. p*=(1;0), q*=(1;0), v=2; 2.2. p*=(3/4;1/4), q*=(1/2;1/2), v=1/2; 2.3.
p*=(1/3;2/3), q*=(2/9,7/9), v=8/3; 2.4. p*=(2/3;1/3), q*=(1/2;1/2;0), v=1; 2.5.
p*=(3/7;4/7), q*=(5/14;0;9/14), v=-1/7.
К главе 2: 1. A=0,394 выз./мин.; pr=0,5625; T s  1,43 мин; T sys  0,625 мин;
2. μ=0,5 ед./мин=30 ед./ч; Q=0,25; pr=0,75; A = 22,5; 3. μ=2 маш./мин; p0=0,571;
p1=0,429; Q=0,571; pr=0,429; A = 0,857; T st  0 ,666 ч; T sys  0 ,286 ч; 4. μ=1/3;
30
ρ=0,75; p0=0,25; pзан=0,75; k обсл  0 ,75 заявок; k сист  3 заявки; k оч  2,25
заявок; T обсл  3 мин; T сист  12 мин; T оч  9 мин; P(k≤3)=0,4336; 5. λ=0,35;
ρ=0,7; p0=0,3; pзан=0,7; k сист  2,333; k оч  1,633 ; T обсл  2 ; T сист  6 ,666 ;
T оч  4,666 ; P(k≤1)=0,375.
Библиографический список
1. Количественные методы в экономических исследованиях / Под ред.
М.В. Грачевой [и др.] – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
2. Костевич Л.С. Математическое программирование: информационные
технологии оптимальных решений / Л.С. Костевич. – Минск : Новые знания,
2003.
3. Кузнецов А.В. Математическое программирование / А.В. Кузнецов,
Н.И. Холод. – Минск : Вышейш. школа, 1984.
4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей / М.С.
Красс. – М. : Дело, 2002.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш.
Кремер. – М. : ЮНИТИ, 2006.
6. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования
операций / Б.Т.Кузнецов. – М. : ЮНИТИ, 2005.