УДК 533.6.011.8:535.375.5 ТЕПЛО

УДК 533.6.011.8:535.375.5
ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА В КАНАЛЕ
В ПОЛЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
И.В. Чермянинов, В.Г. Черняк, Е.П. Хинкина
Уральский государственный университет, г. Екатеринбург
Рассматриваются процессы тепло- и массопереноса разреженного газа в плоском
канале в поле лазерного излучения. Задача решается на основе линеаризованных кинетических уравнений с модельным интегралом столкновений 3-го порядка, позволяющим корректно описать одновременно светоиндуцированные потоки массы газа и тепла. Исследованы поверхностный и столкновительный механизмы светоиндуцированных потоков при произвольных числах Кнудсена (Kn) для однородного и неоднородного уширений линии поглощения. При больших и малых числах Kn получены аналитические выражения для осредненных по сечению канала потоков массы газа и тепла.
Ключевые слова
Газ, тепломассоперенос, канал, излучение, аккомодация.
Условные обозначения
– однородная
m – постоянная радиационного распада возбужденного уровня, Гц;
полуширина линии поглощения, Гц; E – амплитуда электрического поля, В/м; Gmn –
частота Раби, Гц; I – плотность числового потока газа, 1/м2с; Pxz – касательное напряжение, Н/м2; Q – плотность теплового потока, Дж/м2с; T – средняя температура газа, К;
U – макроскопическая скорость газа, м/с; kB – постоянная Больцмана, Дж/К; h – постоянная Планка, Дж.с; n – плотность молекул, м-3; m – масса молекулы, кг; p – давление
газа, Па; v – средняя скорость теплового движения частиц, м/с; – расстройка частоты
излучения относительно резонанса, с-1; – длина волны излучения, м; – эффективный
диаметр молекулы, м2.
Введение
Известно [1], что в газовой смеси, в которой молекулы одного из компонентов поглощают излучение селективно по скоростям, возникают поток поглощающего газа и
тепловой поток. В неограниченной среде вследствие закона сохранения импульса светоиндуцированный дрейф (СИД) возможен лишь при наличии буферного газа. Светоиндуцированный теплоперенос (СИТ) возможен и в однокомпонентном газе.
В ограниченных системах возникают новые механизмы явлений переноса, стимулирующие светоиндуцированные потоки газа и тепла. В работе [2] предсказан теоретически и исследован экспериментально поверхностный СИД однокомпонентного газа.
Этот механизм обусловлен разным взаимодействием возбужденных и невозбужденных
молекул с граничной поверхностью, которая в рассматриваемом случае выполняет
функции буферного газа.
В работе [3] предсказан так называемый столкновительный механизм СИД однокомпонентного газа вблизи граничной поверхности. Природа этого явления состоит в
том, что кинетические сечения столкновений возбужденных и невозбужденных частиц
отличаются друг от друга. Как правило, при возбуждении частиц их сечения столкновений увеличиваются, а значит, уменьшается средняя длина свободного пробега. Тогда
эффективная толщина пристеночного кнудсеновского слоя для макроскопического потока возбужденных частиц будет больше, чем для противонаправленного потока невозбужденных частиц газа. В результате эти потоки не компенсируют друг друга, как это
происходит в безграничной среде в соответствии с законом сохранения импульса.
Вдоль граничной поверхности возникает поток газа как целого, направленный в сторону движения невозбужденных частиц.
СИД однокомпонентного газа в плоском канале изучался в [4,5] во всем диапазоне
чисел Кнудсена (Kn) и в [6] при малых числах (Kn 0,25). Учитывались оба описанных
выше механизма: поверхностный и столкновительный. В [4] использовался интегрально-моментный метод решения кинетического уравнения с аппроксимирующим интегралом столкновений второго порядка [7]. В [5] представлены результаты расчета скорости СИД методом дискретных ординат на основе этого же кинетического уравнения.
В [6] получено выражение для скорости СИД с использованием дифференциальномоментного метода решения уравнения Больцмана при малых числах Kn.
В данной работе рассматривается не только СИД, но и сопутствующий ему светоиндуцированный поток тепла в плоском канале. В отличие от [4,5] используются кинетические уравнения с аппроксимирующими интегралами столкновений третьего порядка, которые корректно описывают процессы тепло- и массопереноса одновременно.
Постановка задачи
1.
Рассмотрим однокомпонентный газ, заключенный между бесконечными параллельными пластинами, которые расположены в плоскостях X=±d/2 , где d — расстояние
между пластинами. Вдоль оси z, совпадающей с осью канала, распространяется электромагнитное излучение, частота которого близка к частоте mn перехода частиц газа
из основного состояния «n» в возбужденное «m». Вследствие эффекта Доплера излучение поглощают лишь те частицы, скорости которых близки к резонансному значению
vp=Ω/k, где = – mn<< , mn , k=2π/λ — волновое число. Поглотившие свет частицы
изменяют свои кинетические сечения столкновений. Одновременно с вынужденными
переходами происходит конкурирующий процесс — радиационный распад возбужденного уровня с частотой m . Таким образом, в двухуровневом приближении газовую
среду можно рассматривать как бинарную смесь газов, молекулы которых имеют одинаковые массы m, но различные сечения столкновений. При этом обмен частицами между компонентами происходит в результате радиационного распада возбужденного
уровня и индуцированных переходов.
Состояние такой газовой смеси описывается функциями распределения возбужденных f m и невозбужденных f n молекул, которые удовлетворяют следующим кинетическим уравнениям [8]:
vx
fn
X
1
2
r
v()(f
fn )
m m
vx
fm
X
1
2
r
v()(f
fm)
m m
f
Sn ,
f
Sm ,
(1)
r
v()
2
|mn
4| G
m
r r,G
kv) ]
Ed mn
.
2h
mn
r
Здесь Sm, Sn - интегралы столкновений, k - волновой вектор падающей волны.
Параметр насыщения v( ) характеризует вероятность индуцированных переходов и
является функцией скорости частиц. При этом в случае оптически тонкой среды или на
сравнительно небольших расстояниях скорость дрейфа можно считать независящей от
координаты z. Интенсивность излучения также предполагается однородной по высоте
канала.
В качестве граничных условий используем модель зеркально-диффузного отражения, согласно которой доля1( i ) частиц i-сорта отражается зеркально, а доля i - рассеивается диффузно с максвелловским распределением по скоростям. Пренебрегая неупругими столкновениями частиц с поверхностью канала, имеем:
d
2
f v,
X
0
/32
m
ir
ir
i f ir
exp
BT
1
i
(2)
d
v,x 0 ,
2
fi X
v2
; 2
v
v
2kB T
m
/12
,
где n ir — числовая плотность рассеянных стенкой частиц в i-состоянии.
Кроме того, если аккомодационные свойства поверхностей пластин одинаковы, то
выполняются следующие условия симметрии:
d
2
f v,
X
d
2
fv
X
,
0
0
fi X
fi X
d
,x 0 ,
v
2
(3)
d
,x 0 .
v
2
Если параметр насыщения в среднем мал ( <<1) то состояние каждого компонента
газа является слабонеравновесным. В этом случае в приближении слабого поля функции распределения для частиц газа могут быть представлены в виде возмущенных максвелловских распределений:
i0
1
r
hi X, v ,
fi0 ni
2
k
BT
m
/32
exp
v
v2
2
n, m.
(4)
где hi — неизвестные функции возмущения, ni — равновесная числовая плотность частиц газа в i-м состоянии.
Будем полагать, что столкновения молекул являются упругими, а каждая из частот
ii , ij ( ii , ij - частоты столкновений частиц i-го сорта соответсвенно между собой и
с частицами j-го сорта) много больше постоянной радиационного распада
i
m
m
ii
i, j = n, m ,
,1
i
m,
т.е.
j
(5)
ij
Это накладывает некоторые ограничения на минимальное давление газа в канале.
С учетом принятых предположений кинетические уравнения (1), линеаризованные
относительно функций возмущения hi (4) и параметров )i(m (5), с использованием аппроксимирующих интегралов столкновений третьего порядка [7], после обезразмеривания принимают следующий вид:
hi
ch, i
x
cx
z
(6)
i
где
i
2 im
2
1
ix
4
5
4
5
2
c2
i
i
i
u
3
ij
ixz
1
4
ij
6
ii
/32
iz
/32
5
2
2
i
i
i
ex
H
5
ij
2
ii
Pixz
r
c 2 dc .
2
n
ij
n
ij
ixz
z
Здесь
H uj
c 2 dc ,
c exp
h
Qi
H
jxz
i
vi
v
i
u ij u
6
5
ij
v
v
Hi
2
ij
ii
Ui
u
ij
5
ii
d
X
,
d
x
r
3
ii
ii
1
c
z
p2i
;
n
ii
n
ii
ij
/32
ii
,
ij
h exp c 2 dc ,
c
zxi
(7)
— параметр разреженности газа, обратно пропорциональный числу Kn. Вы-
ражения для частот
)n(
ij
, зависящих от вида потенциала межмолекулярного взаимо-
действия, приведены в [7].
Граничные условия (2) и условия симметрии (3) для функций возмущения с учетом
линеаризации (4) принимают вид:
1x
2
1
2
h c,
xh c,
xhc,
1
2
0
0
1
0
hi x
hi x
i
hi x
1
c, 0 ,
2x
1
c, 0 .
2x
1
, 0 ,
xc
2
(8)
Коэффициенты
личны ( m n).
i
для возбужденных и невозбужденных атомов в общем случае раз-
Решение кинетических уравнений
2.
Записав кинетические уравнения (6) в интегральной форме с учетом условий (8) и
подставив полученные выражения для функций возмущения hi в соотношения (7), получим систему интегрально-моментных уравнений для парциальных скоростей, напряжений и плотностей потоков тепла. Эта система определяет локальные значения макроскопических величин. Но практический интерес представляют числовой поток I (СИД)
и плотность потока тепла Q (СИТ), осредненные по сечению канала:
/12
nIU
I
I
v
n m u m dx ,
nnun
(9)
/12
/12
Q
kTv
nnHn
n m H m dx .
(10)
/12
~
Для численных расчетов удобно ввести безразмерные величины ,G
ные с размерными потоками следующими соотношениями:
m
I
2
k
vc)(
G ,G
r
~
exp(
Q
c2z )dc z
m
2
~
и ,SS связан-
~
S ,S
(11)
.
Полученные уравнения для макроскопических скоростей, касательных напряжений
и потоков тепла представляют собой линейные интегральные уравнения фредгольмовского типа второго рода. Для их решения воспользуемся методом Бубнова–Галеркина
(БГ) [9]. Выберем бесконечную последовательность координатных функций (1, x, x2,
x3,…, xk,…) и представим неизвестные величины в интегральных уравнениях в виде
разложения в степенной ряд по этим функциям. В N-приближении имеем:
N
i
1N
0k
i() 2 k
xk ,
N
ixz
1N
1k
bi()xk 2 k 1 ,
H iN
1N
ci()xk 2( k
1)
,
i
m, n
(12)
1k
В этих выражениях учтены условия симметрии задачи, в соответствии с которыми
величины ui, Hi должны быть четными, а величины ixz - нечетными функциями коориз требодинаты x. Неизвестные коэффициенты разложений i()k bi)(,kci() определяются
k
вания, чтобы невязки, которые получаются из интегральных уравнений после подстаN
N
, H N вместо ,u
новк
, H , были ортогональны к каждой из координатных
и
i
ixz
i
ix
i
функций.
В работе [5] показано, что уже второе приближение (N=2) обеспечивает удовлетворительную точность результатов во всем диапазоне чисел Kn. Расхождение результатов
расчета скорости СИД методом Бубнова–Галеркина при N=2 и методом дискретных
ординат с заданной точностью 1% максимально при Kn 0,04 и не превышает 18%. Поэтому ограничимся расчетами во втором приближении (N=2).
Экспериментально установлено, что относительное различие эффективных диаметров возбужденных m и невозбужденных n частиц (атомов и молекул) составляет порядка 1%. Кроме того, для реальных поверхностей коэффициенты аккомодации i близки к единице. Таким образом, в теории появляются два малых параметра
nm
,1
1
n
1.
i
(13)
n
В линейном по этим параметрам приближении имеем:
G
~
,
G
,
n
S
n
~
,
S
n
,
(14)
.mn
n
Кинетические коэффициенты G1, G3, S1, S3 и G2, G4, S2, S4, характеризуют вклад в
величины СИД и СИТ поверхностного и столкновительного механизмов соответственно. Для численных расчетов удобно задавать не число Кнудсена, а параметр разреженности δ=
/(2Kn)
При промежуточных числах Kn был проведен численный расчет кинетических коэффициентов для молекулярной модели твердых сфер. Результаты показаны на рис. 1–
3. В предельных случаях почти свободномолекулярного ( <<1) режима и режима со
скольжением ( >>1) получены аналитические выражения для этих коэффициентов.
При <<1, пренебрегая членами порядка и выше, имеем:
ln
2G
1,5042 ... ,
ln
S
4
G
4.0084 ... ,
S
1,
G1
S2
1
nn
3
4
1
1
5
1 21
2
1
2
1
nn
5
1 21
2
S3
2,
1
При >>1 с точностью до членов порядка
1
G3
G1 ,
... ,
G2
2
S4
0,
S4
(15)
G2 .
, получаем:
1
... ,
G4
1
nn
1
2
1
1
5
1 21
2
4
1
nn
5
1 21
2
1
... ,
... ,
(16)
(17)
1
3.
2
nn
5
nn
2
nn
1
nn
2
4
nn
3
nn
3
,
4
1
nn
5
nn
.
Обсуждение результатов
Решение кинетического уравнения соответствует качественному выводу о том, что
СИД однокомпонентного газа возможен только в ограниченных системах, в то время
как СИТ имеет место и в безграничном газе. Из выражения (17) в гидродинамическом
пределе ( →∞) получаем следующую формулу для плотности теплового потока:
Q
3
2
(
vp
m
13nn
2
5
2
5()
)1(
nn
5
2
) )1(
nn
2()
nn
)2(
1
2()
nn
(18)
n
nn
Заметим, что формула (18) в точности совпадает с выражением для плотности теплового потока, которое получается из решения кинетического уравнения для безграничного пространственно–однородного газа.
В случае типичного для разреженных газов неоднородного уширения ( <<k v ) в
числителе и знаменателе выражения (18) можно пренебречь членами пропорциональными частоте 2() nn
, так как 1 0,07 и
лового потока заметно упрощается
3vp
Q
|G
5()
nn
k
v
mn
|
2
0,1. При этом выражение для плотности теп-
2
(19)
,
n
В случае однородного уширения ( >>k v ) имеем
3=3 1/2
и, следовательно, СИТ
является эффектом второго порядка, пропорциональном частоте
)2(
ij
, (порядка эффек-
та Дюфура). Отсюда, в частности, следует, что аппроксимирующий интеграл столкновений второго порядка [7], который не содержит члены порядка
)2(
ij
, не дает коррект-
ного описания явления СИТ. Более того, во втором приближении интеграла столкновений при однородном уширении явление СИТ в безграничном газе не существует.
Кинетические коэффициенты G1, G3 и S1, S3, характеризующие поверхностный механизм дрейфа и теплопереноса соответственно, являются знакопостоянными функциями параметра разреженности δ (рис. 1–3). Поэтому направление поверхностных составляющих СИД и СИТ определяется знаками разности коэффициентов аккомодации
возбужденных и невозбужденных частиц
= n– m и отстройки частоты Ω. Если n> m,
то направление поверхностной составляющей СИД при Ω>0 совпадает с направлением
распространения света, а при Ω<0 — противоположно ему.
Простого объяснения явлению поверхностного СИТ найти не удалось. Выяснилось,
что при малых числах Кнудсена — это эффект порядка Kn2, т.е. в рамках метода Чепмена–Энскога он может быть зафиксирован только в барнеттовском приближении. Поверхностный СИТ направлен противоположно поверхностному СИД при всех числах
Kn. Это связано с тем, что СИТ определяется разностью между потоками энергии и энтальпии. Оба направлены в ту же сторону, что и СИД, но в случае поверхностного СИТ
поток энтальпии по модулю больше потока энергии.
0 .4
G1
12
G2
0 .2
10
3
0 .0
8
-0 .2
6
-0 .4
-0 .6
1
2
4
1
-0 .8
3
2
2
-1 .0
0
-3
-2
-1
0
1
lg
-3
-2
-1
0
1
lg
Рис.1. Зависимость кинетических коэффициентов G1 и G2 от параметра разреженности δ.
1 – численный расчет, 2 – формулы (15), 3 – формулы (16).
Кинетические коэффициенты G2, G4 и S2,S4 определяют столкновительный механизм
дрейфа и теплопереноса, соответственно. Зависимость коэффициента G2 от параметра
разреженности δ представлена на рис. 1. Видно, что G2 является знакопеременной
функцией δ. Смена знака происходит при inv 0,9. Отсюда следует, что в промежуточном режиме существует инверсное значение давления газа, при котором происходит
изменение направления СИД на противоположное. Кроме этого, направление столкновительного СИД определяется знаками отстройки Ω и разности диаметров возбужденных и невозбужденных молекул Δσ. Например, при
inv и Δσ>0 столкновительный
СИД направлен против распространения излучения, если Ω>0, и в противоположную
сторону, если Ω<0. Столкновительный СИТ во всем диапазоне чисел Kn при Ω>0,
Δσ>0 направлен в сторону распространения излучения, если Ω<0 – то в противоположную сторону.
На рис. 1 также видно, что при
inv коэф0.00
фициент G2 достигает максимального значения
-0.02
1
G
при δ≈3,5 и стремится к нулю как
при даль-0.04
нейшем увеличении параметра разреженности. В
G
почти свободномолекулярном режиме при δ→0
-0.06
величина G2 стремится к постоянному значению
-0.08
G2=–1. Кажущаяся парадоксальность этого результата связана с вырожденной геометрией кана-0.10
ла. В бесконечно широком канале свободномоле-3
-2
-1
0
1
lg
кулярный режим недостижим. В случае капилляра
Рис.2.Зависимость кинетических
круглого поперечного сечения в свободномолекукоэффициентов G3 и G4 от
лярном режиме происходит «выключение» столкпараметра разреженности δ.
новительного СИД (G2=0) [10].
Зависимость кинетических коэффициентов G3 и G4 от параметра разреженности δ
показана на рис. 2. Заметим, что эти коэффициенты появляются при использовании модельных интегралов столкновений высших порядков, начиная с третьего [7]. Они про4
3
порциональны частоте
)2(
nn
и, как правило, имеют второй порядок малости по отноше-
нию к величинам коэффициентов G1 и G2, за исключением узкой области значений параметра
kv,
inv , где G2≈0. При неоднородном уширении ( <<k v ), когда 3/ 1
вкладом в СИД коэффициентов G3 и G4 можно пренебречь. В этом случае вклад коэффициентов S3 и S4 в величину СИТ также пренебрежимо мал, порядка k v . Однако
при однородном уширении ( >>k v ) все кинетические коэффициенты S1, S2, S3, S4 дают
вклад в величину СИТ одного порядка.
S3
1.5
4
S2
1
2
0
2
2.0
8
1.0
-2
-1
0
1
-4
S1
lg
1
3
0.5
2
0.0
-8
-3
-2
-0.5
-1.0
-1
0
S4
-12
-16
1
1
lg
3
1
2
Рис.3. Зависимость кинетических коэффициентов S1, S2, S3 и S4 от параметра разреженности δ.
1 – численный расчет, 2 – формулы (15), 3 – формулы (17).
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований
(грант № 03-01-00049).
Литература
1. Гельмуханов Ф.Х., Шалагин А.М. Светоиндуцированная диффузия газов//
Письма в ЖЭТФ. 1978. т.29. №12. C. 773–776.
2. Ghiner A.V., Stockman M.I., Vaksman M.A. Surface light–induced drift of a rarefied
gas// Phys. Lett. 1983. V.96A. №2. P. 79–85.
3. Чермянинов И.В., Черняк В.Г. Скольжение газа в поле оптического излучения//
ИФЖ. 1988. Т.55. №6. С. 906–909.
4. Чермянинов И.В., Черняк В.Г. Дрейф разреженного газа в плоском канале под
действием монохроматического излучения// ИФЖ. 1991. Т.60. №6. С.1015–1021.
5. Черняк В.Г., Чермянинов И.В., Вилисова Е.А., Субботин Е.А. Светоиндуцированный дрейф однокомпонентного газа в плоском канале// ПМТФ. 1994. №5. С.
3–13.
6. Жданов В.М., Крылов А.А., Ролдугин В.И. Кинетическая теория светоиндуцированного дрейфа в канале// ЖЭТФ. 1994. Т.105. вып.1. С. 94–105.
7. McCormack F.J. Construction of linearized kinetic models for gaseous mixtures and
molecular gases// Phys. Fluids. 1973. V.16. №12. P. 2095–2106.
8. Раутиан С.Г., Смирнов Г.И., Шалагин А.М. Нелинейные резонансы в спектрах
атомов и молекул. Новосибирск.: Наука. 1979. 312 с.
9. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970.
512 с.
10. Черняк В.Г., Винтовкина Е.А., Чермянинов И.В. Светоиндуцированный дрейф
однокомпонентного газа в капиллярах//ЖЭТФ. 1993. Т.103. Вып.5. С.1571–1583.