Лекция 10(1).Тепловое излучение  Квантовые свойства света

Лекция 10(1).Тепловое излучение







Квантовые свойства света
Противоречия классической физики
Тепловое излучение. Законы Кирхгофа
Закон Стефана-Больцмана, закон смещения Вина
Формула Рэлея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа
Теория Планка
Элементарная квантовая теория излучения Эйнштейна

Тепловое излучение. Законы Кирхгофа
Все тела излучают, поглощают и отражают электромагнитные волны. Интенсивность
этих процессов зависит от свойств тел (точнее, от свойств поверхностей,
ограничивающих тела), температуры и частоты электромагнитных волн. Плотность
энергии электромагнитного излучения, как известно, определяется выражением
1
w
E2  H 2 ,
(0.1)

8
которое можно разложить в спектр по частотам. Распределение энергии по частотам
характеризуется спектральной плотностью излучения
dw
w 
.
(0.2)
d
Обратное соотношение

w   w d 
(0.3)
0
демонстрирует очевидное утверждение: энергию электромагнитного излучения единицы
объема можно рассматривать как непрерывную сумму по частотам энергий, имеющих
определенное значение частоты. Одному значению плотности энергии электромагнитного
излучения могут соответствовать различные спектральные плотности w .
Пусть некоторый объем пространства с расположенными в нем телами погружен в
замкнутую адиабатическую полость. По истечении определенного промежутка времени
между материальными телами в полости, замкнутой оболочкой и заключенным внутри
излучением установится термодинамическое равновесие. Все тела внутри полости, даже
не имеющие механического контакта (обмен энергией в этом случае происходит
посредством обмена излучением), будут иметь одинаковую температуру, а излучение –
определенную спектральную плотность w , называемую равновесной. Излучению в этих
условиях можно сопоставить температуру, равную температуре находящихся с ним в
термодинамическом равновесии окружающих тел и оболочки.
Равновесная спектральная плотность w зависит только от температуры T и не
зависит от свойств и природы тел, находящихся в термодинамическом равновесии с
излучением.
Последнее утверждение иногда называют первым законом Кирхгофа. Как мы
убедились, первый закон Кирхгофа есть логическое следствие экспериментального факта
установления равновесия между излучением и веществом и глубоких термодинамических
заключений.
Приписав равновесному излучению температуру тел, с которыми оно находится в
равновесии, естественно распространить при этом законы равновесной термодинамики на
тепловое излучение. Это означает, что для равновесного теплового излучения можно
определить и рассчитать внутреннюю энергию, давление, энтропию и другие
термодинамические характеристики. Равновесное тепловое излучение однородно, то есть
его плотность энергии одинакова во всех точках внутри полости, где оно заключено.
Такое излучение изотропно,– оно содержит все возможные направления распространения,
и неполяризовано, - направления колебаний векторов E и H принимают все допустимые
возможные значения.
Рис.10.1
Для описания спектрального состава теплового излучения рассмотрим энергию,
излучаемую единицей поверхности нагретого тела в единицу времени в диапазоне частот
от  до  + d. Этот поток лучистой энергии dR, испускаемый с единицы поверхности
тела по всем направлениям, пропорционален ширине спектрального диапазона, то есть
dR = rd. Энергию r , приходящуюся на единичный диапазон частот, называют
спектральной испускательной способностью тела или спектральной плотностью
энергетической светимости. Опыт показывает, что для каждого тела испускательная
способность является определенной функцией частоты, зависящей от свойств
поверхности тела, при этом вид функции изменяется при изменении температуры тела T.
В дальнейшем для такой функциональной зависимости r = r(,T), рассматриваемой при
заданном значении температуры тела как некоторая функция частоты, будем использовать
принятое в теории теплового излучения обозначение: r(,T) = r,T.
Суммарный поток энергии излучения с единицы поверхности тела по всему диапазону
частот

R   r ,T d 
(1.4)
0
называется интегральной испускательной способностью тела или его энергетической
светимостью. В системе СИ энергетическая светимость измеряется в Вт/м2, а
спектральная испускательная способность имеет размерность Дж/м2.
Испускательную способность тела можно представить и как функцию длины волны
излучения , которая связана с частотой  через скорость света в вакууме c по формуле 
= 2c/. Действительно, выделяя потоки излучения, приходящиеся на интервал частот d
и на соответствующий ему интервал длин волн d, и приравнивая их друг другу, находим,
что r,Td = r,Td.
Отсюда получаем формулу связи между испускательными способностями по шкале
частот и шкале длин волн
d
2
2 c
(1.5)
r ,T  r ,T
 r ,T
 r ,T 2 .
d
2 c

Знак «минус» у производной d/d в (10.2) опущен, так как он лишь показывает, что с
возрастанием длины волны  частота  убывает, т. е. связан с направлением счета.
Помимо излучательной способности поверхность тела характеризуется также
поглощательной способностью. Поглощательная способность a определяется как
отношение энергии, поглощаемой единицей поверхности тела в секунду в интервале
частот (  ,   d  ), ко всей энергии излучения, падающей в секунду на этот участок в том
же интервале частот, причем предполагается, что излучение падает на поверхность
изотропно. Поглощательную способность тела можно сформулировать на языке длин
волн, при этом мы будем пользоваться величиной a .
Поглощательная способность тела aω (как и aλ) - величины безразмерные (это следует
из определения).
Опыт показывает, что любое реальное тело поглощает излучение различных частот поразному в зависимости от его температуры. Поэтому спектральная поглощательная
способность тела a,T (aλ,Т) является функцией частоты  (или длины волны λ), вид
которой изменяется при изменении температуры тела T.
По своему определению поглощательная способность тела не может быть больше
единицы. При этом тело, у которого поглощательная способность меньше единицы и
одинакова по всему диапазону частот, называют серым телом.
Второй закон Кирхгофа. В состоянии равновесия поглощаемая в единицу времени
участком поверхности энергия излучения равна энергии ,излучаемой в тот же
промежуток времени тем же участком поверхности.
Сформулированный закон можно записать в виде
r c
 w ,
(1.6)
a 4
c
в котором множитель
учитывает связь плотности энергии w с плотностью потока
4
энергии при изотропном распределении. Численное значение этого множителя получается
следующим образом. При изотропном распределении равновесного излучения поток,
падающий на участок поверхности, образуется в результате сложения проекций
плотностей потоков произвольных направлений на нормаль к поверхности, причем
необходимо учитывать только потоки с отрицательной проекцией (втекающие). Выберем
сферическую систему координат, причем ось Z направим вдоль нормали к
рассматриваемому участку поверхности. Учитывая, что проекция скорости потока
произвольного направления составляет с осью Z переменное значение c  cos , где 

изменяется в пределах от 0 до , а плотность потока изотропного равновесного
2
w
излучения, распространяющегося в заданном направлении, равна  (суммарный
4
телесный угол, учитывающий все направления, равен 4 ), получим после
интегрирования по всем направлениям
2

2
w
c
 c  cos  sin  d  w .
(1.7)
4
4
0
0
Энергия, поглощаемая единичным участком поверхности в спектральном
интервале частот от  до   d , равна произведению падающего потока изотропного
c
излучения на поглощательную способность, т.е. w  a d  . Энергия, излучаемая в
4
единицу времени этим же участком в этом же интервале частот, равна r d . В состоянии
теплового равновесия оба потока энергий равны друг другу. Равенство (1.6) выражает
этот факт. Как следствие, приходим к выводу, что зная универсальную функцию w T  ,
можно по поглощательной способности определить излучательную способность тела.
 d 
Абсолютно черным называется тело, которое полностью поглощает все падающее
c
на него излучение, т. е. у которого a  1 и, следовательно, r  w . Излучательная
4
способность абсолютно черного тела пропорциональная равновесной плотности энергии
c
излучения с коэффициентом пропорциональности , обозначается универсальной
4
c
функцией f  , T   r *  w T  .
4
Реальное тело всегда отражает часть энергии падающего на него излучения (рис. 10.2).
Даже сажа приближается по свойствам к абсолютно черному телу лишь в оптическом
диапазоне.
Рис. 10.2.
1 - абсолютно черное тело; 2 - серое тело; 3 - реальное тело
Абсолютно черное тело является эталонным телом в теории теплового излучения. И,
хотя в природе нет абсолютно черного тела, достаточно просто реализовать модель, для
которой поглощательная способность на всех частотах будет пренебрежимо мало
отличаться от единицы. Такую модель абсолютно черного тела можно изготовить в виде
замкнутой полости (рис. 10.3), снабженной малым отверстием, диаметр которого
значительно меньше поперечных размеров полости. При этом полость может иметь
практически любую форму и быть изготовленной из любого материала.
Рис. 10.3.
Малое отверстие обладает свойством почти полностью поглощать падающее на него
излучение, причем с уменьшением размера отверстия его поглощательная способность
стремится к единице. Действительно, излучение через отверстие попадает на стенки
полости, частично поглощаясь ими. При малых размерах отверстия луч должен
претерпеть множество отражений, прежде чем он сможет выйти из отверстия, то есть,
формально, отразиться от него. При многократных повторных переотражениях на стенках
полости излучение, попавшее в полость, практически полностью поглотится.
В рассмотренной модели можно считать, что излучение, падающее на отверстие, не
отражается, а полностью поглощается. Поэтому именно малому отверстию и
приписывается свойство абсолютно черного тела. Если стенки полости поддерживать при
некоторой температуре Т, то отверстие будет излучать, и это излучение с большой
степенью точности можно считать излучением абсолютно черного тела, имеющего
температуру Т.
Исследуя распределение энергии этого излучения по спектру, можно экспериментально
определить испускательные способности абсолютно черного тела r*,T (или r*,T).
Результаты таких экспериментов при различных значениях температуры приведены на
рис. 10.4.
Рис. 10.4.
Равновесие в системе может установиться только в том случае, если каждое тело будет
излучать в единицу времени столько же энергии, сколько оно поглощает. Это означает,
что тела, интенсивнее поглощающие излучение какой-либо частоты, будут это излучение
интенсивнее и испускать. Т.е.:
 r ,T   r ,T 
 r ,T   r ,T 
r * ,T
r * ,T
 f ( , T ) или 

 ... 
  ( , T ) ,
(1.8)

  
  ... 
 a   a 
1
1
 a ,T 1  a ,T 2
  ,T 1   ,T 2
где индексы 1, 2, ... соответствуют различным реальным телам.
Из закона Кирхгофа следует, что универсальные функции f(,T) и (,T) есть
спектральные испускательные способности r*,T и r*,T абсолютно черного тела по шкале
частот или длин волн, соответственно. Поэтому связь между ними определяется
следующими соотношениями:
2 c
f ( , T )  2  ( , T ),

2 c 2 c
f ( , T )  2  ( 2 , T ),


2 c 2 c
 ( , T )  2 f (
,T )


(1.9)
Закон Стефана-Больцмана. Экспериментальные (1879 г. Й. Стефан) и теоретические
(1884 г. Л. Больцман) исследования позволили доказать важный закон теплового
излучения абсолютно черного тела. Этот закон утверждает, что энергетическая
светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной
температуры, то есть

R   r  d   f ( , T )   T 4 .
*
*
(1.10)
0
По современным измерениям постоянная Стефана-Больцмана  = 5,6686x10-8
Вт/(м2К4).
Рис. 10.5.
Для реальных тел закон Стефана-Больцмана выполняется лишь качественно, то есть с
ростом температуры энергетические светимости всех тел увеличиваются. Однако, для
реальных тел зависимость энергетической светимости от температуры уже не
описывается простым соотношением (10.7), а имеет вид R* = ATR = ATT4. Коэффициент
AT, всегда меньше единицы, можно назвать интегральной поглощательной способностью
тела. Он, в общем случае зависит от температуры, и известен для многих технически
важных материалов. Так, в достаточно широком диапазоне температур для металлов AT =
0,1–0,4, а для угля и окислов металлов AT = 0,5–0,9.
Для реальных нечерных тел можно ввести понятие эффективной радиационной
температуры Тр, которая определяется как температура абсолютно черного тела,
имеющего такую же энергетическую светимость, что и реальное тело. Радиационная
температура тела Тр всегда меньше истинной температуры тела Т. Действительно, для
реального тела R = Tp4 = ATT4. Отсюда находим, что Tp = T(AT)1/4, то есть Tp < T, так
как у реальных тел AT < 1.
Закон смещения Вина. В 1893 г. немецкий физик В. Вин, кроме термодинамики
привлек еще и электромагнитную теорию. В результате он показал, что функция
спектрального распределения абсолютно черного тела должна иметь вид: r,T = 3f(/T).
Здесь f – некоторая функция, конкретный вид которой термодинамическими методами
установить нельзя.
Переходя в этой формуле Вина от частоты к длине волны, получим
(2 c)4  2 c 
r ,T 
f
(1.11)

5
 T 
Как видно, в выражение для испускательной способности r,T температура входит лишь
в виде произведения T. Уже это обстоятельство позволяет предсказать некоторые
особенности функции r,T. В частности, что она достигает максимума на определенной
длине волны m, которая при изменении температуры тела изменяется так, чтобы
выполнялось условие: mT = const.
Таким образом, В.Вин сформулировал закон теплового излучения, согласно которому
длина волны m, на которую приходится максимум испускательной способности
абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Этот
закон можно записать в виде
b
m 
(1.12)
T
Значение константы в этом законе, полученное из экспериментов, оказалось равным b =
2,898x10-3м/К.
Закон Вина называют законом смещения, подчеркивая тем самым, что при повышении
температуры абсолютно черного тела положение максимума его испускательной
способности смещается в область коротких длин волн. Результаты экспериментов,
приведенные на рис. 10.6, подтверждают этот вывод не только качественно, но и
количественно, строго в соответствии с формулой (1.12).
Рис. 10.6
Из формулы (1.12) для m в спектре излучения Солнца ( T  6000 K ) получается
значение около 0,55 мкм. Для расчета максимума по спектру частот вместо (1.12)
необходимо решить уравнение w   0 . В результате для спектра излучения Солнца
при частоте  m получается значение около 2,11015 c 1 , что соответствует длине волны
2 c
около 0,88 мкм. Нетрудно убедиться, что m 
. Подумайте, почему.
m
Для реальных тел закон Вина выполняется лишь качественно. С ростом температуры
любого тела длина волны, вблизи которой тело излучает больше всего энергии, также
смещается в сторону коротких длин волн. Это смещение, однако, уже не описывается
простой формулой (1.12), которую для излучения реальных тел можно использовать
только в качестве оценочной.
Формула Рэлея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа
Успехи термодинамики, позволившие теоретически вывести законы Стефана–
Больцмана и Вина, вселяли надежду, что из термодинамических соображений удастся
получить всю кривую спектрального распределения излучения черного тела r*,Т. В
1900 году эту проблему пытался решить знаменитый английский физик Д. Релей,
который в основу своих рассуждений положил теорему классической статистической
механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в состоянии
термодинамического равновесия. Эта теорема была применена Релеем к равновесному
излучению в полости. Несколько позже эту идею подробно развил Джинс. Таким путем
удалось получить зависимость излучательной способности абсолютно черного тела от
частоты излучения  и температуры T.
Рассмотрим основные положения теории равновесного теплового излучения. Для этого,
не ограничивая общности выводов, предположим, что полость с идеально отражающими
стенками имеет форму куба с ребром l. Поместим в эту полость малое по размерам
абсолютно черное тело, имеющее температуру T. За счет испускания и поглощения
электромагнитных волн этим телом полость равномерно заполнится равновесным
тепловым излучением с определенной объемной плотностью энергии w(T), зависящей от
температуры. Эту интегральную объемную плотность энергии теплового излучения

можно разложить по спектру частот, то есть представить в виде
w(T )   w ,T d  .
0
Здесь функция w,T = w(,T) определяет объемную плотность энергии излучения,
приходящуюся на единичный интервал частот вблизи частоты . Назовем ее
спектральной плотностью энергии теплового излучения при данной температуре T.
Очевидно, что спектральная плотность энергии теплового излучения связана с
испускательной способностью абсолютно черного тела, находящегося в равновесии с
этим излучением. Эту связь можно установить, рассмотрев излучение вблизи
элементарной площадки , выделенной на поверхности абсолютно черного тела (рис.
10.7).
Рис. 10.7.
Тепловое излучение в любой точке пространства вблизи выделенной площадки
равномерно распределено по всевозможным направлениям в пределах телесного угла 4.
Поэтому плотность энергии излучения, приходящегося на телесный угол d = sindd,
то есть падающего на площадку S под углом  к ее нормали, можно записать в виде
d
dw*  w(T )
.
4
Но, если излучение с такой плотностью энергии, распространяясь со скоростью света в
вакууме c, падает на площадку S под углом  к нормали, то за время t на эту площадку
попадает вся энергия излучения, заключенная в заштрихованном на рис. 10.7 объеме, то
c
w(T ) cos  sin  d dS t .
есть равная dw  dw * ct S   dw * ct S cos  
4
Суммируя энергии излучения, падающего под всевозможными углами, находим
полный поток энергии Ф излучения, падающего на единицу поверхности в единицу
2
 /2
c
c
w(T )  d  cos  sin  d  w(T ) .
времени:  
4
4
0
0
В состоянии термодинамического равновесия такой же поток должен излучаться с
единицы поверхности абсолютно черного тела. Но этот поток энергии, по определению,
есть энергетическая светимость абсолютно черного тела. Поэтому R* = cw(T)/4, а w(T) =
4R*/c.
Проведенные выше выкладки справедливы и для каждой спектральной составляющей
излучения на частоте . Поэтому аналогичным соотношением связаны спектральная
испускательная способность абсолютно черного тела r*,T и спектральная объемная
плотность энергии равновесного теплового излучения u,T.
4r
(1.13)
r*,T = cw,T/4, а w ,T   ,T
c
В рассмотренной выше полости кубической формы с идеально отражающими стенками
тепловое излучение как электромагнитное поле может существовать только в виде
суперпозиции прямых и отраженных волн, то есть в виде стоячих электромагнитных волн,
имеющих узлы на стенках полости.
Направим оси декартовой системы координат вдоль трех взаимно перпендикулярных
ребер кубической полости (рис. 10.10) и обозначим через ex, ey и ez – единичные орты
вдоль соответствующих осей координат. Тогда для волны, распространяющейся строго
вдоль оси x, условие образования стоячей волны требует, чтобы l = n1/2, n1 = 1, 2, 3, …
Рис. 10.7.
то есть на длине l между отражающими стенками должно укладываться целое число длин
полуволн. Так как для такой волны волновой вектор k = kxex, где kx = 2/, то условие
образования стоячей волны в направлении оси x можно записать и как условие на
волновое число: kx = n1/l, n1 = 1, 2, 3, …
Аналогичные рассуждения для волн, распространяющихся вдоль осей y и z, позволяют
сформулировать общий вывод о том, что для стоячей волны, являющейся суперпозицией
прямых и отраженных волн, распространяющихся в кубической полости в произвольном
направлении, задаваемом волновым вектором k = kxex + kyey + kzez, должны выполняться
условия kx = n1/l, ky = n2/l, kz = n3/l.
Здесь n1, n2, и n3 – целочисленные параметры, принимающие независимо друг от друга
значения 0, 1, 2 и т.д.
Модуль вектора k равен k = (kx2 +ky2 +kz2)1/2 = (/l)(n12 + n22 + n32)1/2, n1, n2, n3 = 0, 1,
2, … .
Так как k = 2/ = /c, то равновесное тепловое излучение в рассматриваемой
кубической полости можно рассматривать как совокупность стоячих электромагнитных
волн различных частот, значения которых определяются соотношением
c 2 2 2

n1  n2  n3 , n1 , n2 , n3  0,1, 2,...
(1.14)
l
Каждой тройке целых неотрицательных чисел (n1, n2, n3) соответствует одна стоячая
волна. Общее число таких стоячих волн бесконечно велико.
Определим число стоячих электромагнитных волн в полости с частотами, которые не
превышают заданного значения . Для этого рассмотрим дискретное трехмерное
пространство Z3 (рис. 10.8), в котором каждая точка с целочисленными неотрицательными
координатами n1, n2, и n3 соответствует отдельной стоячей электромагнитной волне в
полости с равновесным тепловым излучением. Эти точки разбивают пространство Z3 на
ячейки единичного объема.
Рис. 10.8.
Представим теперь условие (1.14) в виде уравнения сферической поверхности в
пространстве Z3. n12 + n22 + n32 = R2. Здесь R = l/c – радиус сферы.
Теперь число N* стоячих волн в полости, частоты которых не превосходят значения ,
можно определить, подсчитав число изображающих точек из положительного октанта
пространства Z3, попавших в шар, радиуса R. Так как с каждой точкой в пространстве Z3
связана ячейка единичного объема, то объем 1/8 части шара радиуса R и определяет
14
1  3l 3 1  3
 R3 

V . Здесь V =
искомое число точек (стоячих волн). Поэтому N * 
83
6  2c2 6  2c2
l3 – объем полости, в которой заключено рассматриваемое равновесное тепловое
излучение.
Следует учесть, что электромагнитные волны – поперечные волны, и в каждом
направлении k в полости в общем случае могут распространяться две волны,
поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Поэтому число стоячих волн
с частотой, не превышающей заданного значения , следует определить как
1 3
(1.15)
N  2N* 
V
3  2 c3
Дифференцируя (10.12) по частоте, найдем число стоячих волн в полости, попадающих
в интервал частот от  до  +d:
 2 d
(1.16)
dN  2 3 V .
 c
Если теперь через <> обозначить среднюю энергию стоячей электромагнитной волны
частоты , то по определению спектральной плотности энергии равновесного теплового
излучения имеем w,Td = dN<>/V.
Отсюда, с учетом (1.16), находим что
w ,T 
2
 .
 2c3
(1.17)
Развивая теорию теплового излучения, Д. Рэлей (1900 г.) и Д. Джинс (1905 г.)
предложили рассмотреть каждую стоячую электромагнитную волну как объект с двумя
степенями свободы, одна из которых – электрическая, а другая – магнитная.
Согласно классической теореме о равномерном распределении энергии по степеням
свободы, в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы
системы приходится в среднем энергия, равная kT/2, где k = 1,38x10-23 Дж/К – постоянная
Больцмана. Поэтому для равновесного теплового излучения при температуре T на каждую
стоячую электромагнитную волну частоты  приходится в среднем энергия <> = kT/2 +
kT/2 =kT,так как колебательное движение имеет две степени свободы. В этом случае из
(1.17) получаем
w ,T 
2
kT .
 2 c3
(1.18)
С помощью соотношений r*,T = cw,T/4 полученную формулу для спектральной
плотности энергии равновесного теплового излучения можно преобразовать к формуле
Рэлея-Джинса для испускательной способности абсолютно черного тела:
r * ,T 
2
kT .
4 2 c 2
(1.19)
Формула Рэлея-Джинса достаточно хорошо согласуется с экспериментальными
данными об излучении абсолютно черного тела в области малых частот или больших длин
волн и резко расходится с опытом для больших частот или малых длин волн излучения.
Кроме того, интегрируя (1.18) или (1.19) по всем частотам, мы получаем бесконечные
значения для интегральной плотности энергии равновесного теплового излучения w(T) и
для энергетической светимости абсолютно черного тела R*. Действительно


4
kT
w(T )  R*   w ,T d   2 3   2 d    .
c
 c 0
0
Отсюда следует, что как следует из классической теории теплового излучения при
конечных значениях энергии излучения равновесие между веществом и излучением
невозможно. Этот вывод противоречит опыту.
Такой противоречивый результат, содержащийся в формуле Рэлея-Джинса, вывод
которой с точки зрения классической теории не вызывал сомнений, П.С.Эренфест назвал
«ультрафиолетовой катастрофой».
Рисунок 10.9. Сравнение закона распределения энергии по длинам волн r*(λ, T) в
излучении абсолютно черного тела с формулой Рэлея–Джинса при T = 1600 К.

Теория Планка
Итак, мы выяснили, что формула, получаемая классической теорией, находится в
резком противоречии с опытом. В 1900 г. Планку удалось устранить это противоречие, но
ценой отказа от классического закона взаимодействия между веществом и излучением. Он
выдвинул гипотезу о том, что обмен энергией между веществом и излучением
происходит не непрерывным образом, а путем передачи дискретных и неделимых порций
энергии, или квантов энергии. Планк показал, что квант энергии пропорционален
частоте излучения   h и получил согласующееся с опытом выражение для
спектрального распределения, выбирая соответствующим образом постоянную
пропорциональности. Эта постоянная һ с тех пор называется постоянной Планка. Она
имеет размерность действия (энергия × время или импульс × длина). В дальнейшем мы
будем использовать современный вариант постоянной
h

 1, 054 1027 эрг  с  1, 054 10 34 Дж  с
2
При появлении гипотезы Планка она казалась неприемлимой, подавляющее
большинство физиков видело в ней удобный математический прием, который в
дальнейшем удастся объяснить на основе классической доктрины. Даже видимый успех
теории Планка в объяснении результатов опыта не мог служить неопровержимым
доказательством того, что обмен энергией между веществом и квантами действительно
происходит квантами – закон распределения Планка есть лишь макроскопический закон
полученный на основе гипотезы о квантах статистическими методами, что может
служить лишь косвенным подтверждением гипотезы. Можно было поставить под
сомнение квантовую гипотезу, подобно тому как многие годы из-за отсутствия прямых
экспериментов на микроскопическом уровне вызывала сомнение гипотеза об атомном
строении вещества. Однако гипотеза Планка была в дальнейшем подтверждена и
дополнена целой серией опытов, позволивших анализировать элементарные процессы и
доказать скачкообразность и прерывность эволюции физических систем на
микроуровне, где классическая теория предсказывает непрерывную эволюцию.
М. Планк предложил в 1900 г. интерполяционную формулу, которая при малых частотах
переходит в формулу Рэлея – Джинса, а при больших экспоненциально убывает. По сути
Планк предложил следующее выражение для равновесной плотности энергии
3 1
(1.20)
w T   2 3 
,
 c i kT
e 1
34
где ħ = 1,05· 10 Дж·с – новая фундаментальная константа, получившая название
постоянная Планка. Формула связи (1.6), (1.8) позволяет также записать функцию Планка
в виде:
с
3
1
r * ,T  f ( , T )  w  2 2
,
(1.21)
4
4 c
 
exp 
 1
 kT 
описывающем испускательную способность абсолютно черного тела во всем диапазоне
частот.
Теперь мы получим формулу Планка для φ(λ,Т). Связь между r*λ и r*ω дает формула
(1.11), применяя ее мы получим формулу Планка для r*,T – спектральной плотности
энергетической светимости в зависимости от длины волны λ:
2 hc 2
1
.
(1.22)

 hc 
exp 
 1
  kT 
График этой функции хорошо совпадает с экспериментальными графиками r*,T для
всех длин волн и температур. А это и означает, что проблем излучения абсолютно
черного тела решена.
При низких частотах формула (10.23) квантовой теории излучения переходит в
r * ,T 
5

формулу Рэлея-Джинса классической теории r * ,T
2
 2 2 kT . При высоких частотах,
4 c
когда ћω >> kT и с высокой точностью exp(ћω/kT) >> 1, формула (10.23) переходит в
соотношение f ( ,T) =
 3  kT
e , структуру которого предсказал еще в 1893 г. В.Вин.
4 2 c 2
Используя основное соотношение квантовой теории излучения черного тела, можно
вывести закон Стефана-Больцмана и определите значение постоянной СтефанаБольцмана. Для этого проинтегрируем функцию Планка (10.23) по всем частотам и
найдем тем самым, энергетическую светимость абсолютно черного тела. В результате



 3d
k 4T 4
x3dx
*
*
 2 2 3 x .
интегрирования имеем R   r  ,T d  2 2 
4 c 0
4 c
e 1
 
0
0
exp 
 1
 kT 
Полученное соотношение соответствует закону Стефана- Больцмана, так как оно может

k4
x 3dx
быть записано в виде R* = T4, где постоянная   2 2 3  x .
4 c
e 1
0


x3 dx
x3 exp( x)dx

можно вычислить,
exp(
x
)

1
1

exp(

x
)
0
0
Значение несобственного интеграла I  
разложив в ряд его знаменатель 1  exp( x)   1  exp(  x)  exp( 2 x)  ... и интегрируя
почленно
полученное
выражение.
В
результате
получим



 


3
6
I   x 3 exp( x) 1  exp( x)  exp(2 x)  ... =   x3e  nx dx    x 2e  nx dx   2  xe  nx dx 
n 1 0
n 1 n 0
n 1 n 0
0
1


6
1 6 4  4
  3  e  nx dx  6 4 

.
90 15
n 1 n 0
n 1 n
Теперь значение постоянной Стефана-Больцмана можно записать через универсальные
 2k 4
 5,67х10-8 Вт м-2 К-4.
константы k, c и ћ в виде  
2 3
60c 
Следует отметить, что сам Планк, пользуясь экспериментальным значением σ, по этой
формуле впервые определил значение постоянной ћ.
С помощью функции Планка для испускательной способности абсолютно черного тела
определим значение постоянной в законе Вина для теплового излучения.
Используем испускательную способность абсолютно черного тела как функцию длины
2hc 2
1

волны: r ,T 
.
5

 hc 
exp 
 1
 kT 
Вводя обозначение z = hc/λkT, представим функцию r,T в виде r,T = Az5/(ez – 1), где A
= const.
Найдем, при каком значении z = zm функция φ имеет максимум. Для этого, надо взять
производную от этой функции и прировнять ее к нулю.

5 z 4 (e z  1)  z 5e z
 0 , получим для экстремального значения z = zm
dz
(e z  1)2
трансцендентное уравнение 5(e zm  1)  zm e zm  0 или zm  5(1  e  zm ) .
Решение этого уравнения можно найти методом последовательных приближений,
считая, что e  zm «1. Тогда в первом приближении получаем zm (1)  5. Во втором
приближении
искомый
корень
уравнения
находим
из
соотношения
(2)
5
zm  5(1  e )  4,966.
Это значение можно взять в качестве приближенного решения рассматриваемого
трансцендентного уравнения.
Следовательно, испускательная способность абсолютно черного тела достигает
максимума при длине волны λ = λm, для которой 2πc  /λmkT = 4,966.
2 c
Отсюда находим, что mT 
 2,9 103 м  К .
4,966k
Обозначив константу в правой части этого равенства через b, получаем закон смещения
Вина: λmT = b, в котором постоянная b выражена через универсальные константы k, c и ћ.
Все формулы, полученные с помощью квантовой теории, содержат постоянную
Планка h. Сравнение их с экспериментальными данными позволяет определить ее
численное значение. Полученные всеми этими различными методами значения
постоянной Планка оказались чрезвычайно близки между собой.
dr ,T

A
Элементарная квантовая теория излучения Эйнштейна
Получить формулу Планка в рамках классической физики невозможно. Обосновать ее
можно, используя квантовые представления об излучении и поглощении света. Тепловое
излучение в полости находится в термодинамическом равновесии с атомами,
составляющими внутреннюю оболочку полости. Излучение представляет собой
дискретную совокупность квантов с энерией E   каждый, имеющий частоту  .
Кванты могут поглощаться атомами, при этом атом, поглощая квант, переходит на более
высокий энергетический уровень с энергией E  E   , где E
- начальный
n
m
m
энергетический уровень атома.
Наоборот, при переходе атома с более высокого уровня En на Em
излучается квант света с энергией En  Em  .
1. Энергетические уровни атома квантованы.
2. При переходе с более высокого энергетического уровня на низкий атом излучает
квант энергии электромагнитного поля.
3. При поглощении кванта электромагнитного поля атом переходит на более высокий
энергетический уровень.
En
Nn
n
En
Em
Nm

m
Em

En
Em
En  Em   ,
En  Em  .
  nm   En  Em  .
Спонтанные и вынужденные переходы.
С нижнего уровня на верхний по закону сохранения энергии переходы возможны только с
поглощением кванта энергии, т.е. под влиянием излучения, падающего на атом. Такие
переходы называются вынужденными. Переходы с верхнего уровня на нижний могут
быть как вынужденными, под влиянием падающего на атом излучения, так и
спонтанными (самопроизвольными), происходящими независимо от падающего на атом
излучения.
Коэффициенты Эйнштейна.
Anm -вероятность спонтанного перехода в секунду с n-ого уровня на m-ый.
N n -концентрация атомов на n-ом уровне (заселенность уровня).
Nn  Anm - число переходов атомов спонтанно с n-ого (верхнего) уровня на нижний в
секунду, при этом происходит излучение кванта энергии электромагнитного поля.
Частота вынужденных переходов пропорциональна плотности вызывающего излучения.
Bnm , Bmn - вероятности вынужденных переходов n  m и m  n в секунду, отнесенных к
спектральной плотности излучения.
Nn , Nm -концентрации атомов на соответствующих уровнях.
N n  w  Bnm - число вынужденных переходов с верхнего уровня на нижний в секунду.
Nm  w  Bmn - число вынужденных переходов с нижнего уровня на верхний в секунду.
Условие динамического равновесия между излучением и атомами оболочки:
Nn Anm  Nn w Bnm  N m w Bmn .
В равновесном состоянии справедливо распределение Больцмана, которое для
концентраций атомов имеет вид:
N n  C  e  En kT , N m  C  e  Em kT ,

С – нормировочная постоянная, определяемая из условия C   e  El
kT
 N.
l 1
Условие динамического равновесия на n - ом энергетическом уровне принимает вид
Anm e En kT  Bnm w e  En kT  Bmn w e  Em kT .
Величины Anm , Bnm , Bmn называют коэффициентами Эйнштейна.
Естественно ожидать, что при T   спектральная равновесная плотность w   ,
отсюда следует равенство коэффициентов Bnm  Bmn  B. Коэффициент Anm обозначим А,
тогда решая последнее уравнение относительно неизвестной равновесной спектральной
плотности w , получим
A
1
w    kT
,
B e
1
A
где   En  Em . Отношение
в рамках рассматриваемой наивной теории не
B
вычисляется, но мы можем определить его из соображений соответствия полученного
выражения классической формуле Рэлея – Джинса при малых частотах.
При   kT можно считать e  kT  1   kT  , тогда спектральная плотность
равновесного излучения принимает вид
A kT
w 
.
B 
Сравнивая полученное приближенное выражение с формулой Рэлея – Джинса, находим
искомое отношение
A
3

.
B  2c3
Теперь мы готовы написать окончательное выражение для равновесной спектральной
плотности излучения
3
1
w  2 3  kT
,
 c e
1
совпадающее с формулой Планка.
Испущенные в результате спонтанных переходов кванты имеют случайное
направление распространения, случайную поляризацию и случайную фазу. Кванты,
испущенные в результате вынужденных переходов, коррелируют по своим свойствам с
излучением, которое вызывает переход. Вынужденное излучение обладает той же
поляризацией, тем же направлением распространения и той же фазой, что и вынуждающее
переход излучение. Это свойство вынужденного излучения интенсивно используется в
практической деятельности (например, лазеры).