Кинематика вращательного движения

1.4 Кинематика вращательного движения твердого тела.
Вращательное движение очень распространенно в природе и технике. Недаром, вторая техническая
революция цивилизованного общества началась с изобретения человеком колеса. Без знания основных
законов вращательного движения совершенно невозможно понять ни закономерностей движения
планет и космических аппаратов, ни законов микромира.
Законы вращательного движения- это не новые законы механики, а лишь результат приспособления
законов ньютоновской механики к данной задаче, оформления их математически в удобной для
рассмотрения и решения той или иной задачи, связанной с вращательным движением.
Для описания вращательного движения нельзя пользоваться такой моделью как материальная точка,
здесь уместно говорить о системе материальных точек, из которых состоит твердое тело. Целесообразно
использовать абстрактную модель абсолютно твердого тела.
Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя соседними точками
которого в процессе вращения остается неизменным.
Наиболее простой случай вращательного движения абсолютно твердого тела- это вращение его
относительно закрепленной (неподвижной) оси.
О'
M2
r2
При вращательном движении абсолютно твердого тела все точки
двигаются по окружностям, центры которых лежат на прямой ОО’,
называемой осью вращения.
M1 Точки тела М1, М2, и.т.д. двигаются по окружностям разного радиуса,
т.е. по пути, считая по длине дуги окружности, а, следовательно и
скорости- различны. Поэтому, линейными характеристиками нельзя
охарактеризовать вращательное движение, как это было сделано в
поступательном движении.
Рис.1
r1
O
Рассмотрим, как ведут себя материальные точки твердого тела лежащие в плоскости, перпендикулярной
оси вращения. Пусть точка М двигается по окружности радиуса R, положение которой относительно оси
ОО’ можно задать с помощью радиус-вектора ŕ . Нетрудно заметить, что радиусы-векторы, соединяющие
все точки твердого тела с центрами описываемых ими окружностей, поворачиваются за один и тот же
промежуток времени ∆t на одинаковый угол ∆φ.
O' ] [
d
R
M
O] [
Рис.2
Следовательно, для всех точек твердого тела можно ввести однозначные характеристики за данный
промежуток времени: угловой путь, угловую скорость, угловое ускорение.
В качестве кинематических характеристик вращательного движения твердого тела выбраны: вектор
углового перемещения φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε.
При малых углах поворота |dφ|=dφ и направлен вдоль оси вращения ОО’ против часовой стрелки
(правило правого винта).
1
Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются аксиальными
векторами , которые не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться от любой
точки оси вращения.
При вращательном движении с течением времени угловой путь изменяется. Быстроту изменения
углового пути со временем характеризуют векторная величина , называемая угловой скоростью,
численно равная первой производной от угла поворота по времени
Если радиус-вектор точки М, вращающейся по окружности, за любые равные промежутки времени
R3
ΔS1
поворачивается на одинаковые углы, то такое
вращательное движение принято называть равномерным.
R1
Взяв отношение изменения длин дуг окружностей
по
радиусу, получим значение углового пути:
R2
ΔS2
ΔS3
Таким образом, угловой путь
Рис.3
время
можно вычислить за
как отношение изменения длины дуги к радиусу
окружности, по которой движется точка твердого тела при
вращении.
, выразим (16) точку величину
на величину
, отношение
(17). Поделим правую и левую часть данного уравнения
- характеризует среднюю линейную скорость, а
- характеризует среднюю угловую скорость. Перейдя к пределу этих отношений при условии
что, Δt→0, получим мгновенные значения линейной угловой скорости в данный момент времени
V=R*ω, или в векторной форме можно записать как
(19) так как
Таким образом, быстроту изменения углового пути со временем характеризует векторная физическая
величина , называемая угловой скоростью, численно равная первой производной от угла поворота по
времени.
В системе СИ угловой путь (угол поворота) измеряют в радианах – это центральный угол, опирающийся на
дугу, длина которой равна радиусу.
, т.к длина окружности
При равномерном движении по окружности угловая скорость является постоянной величиной ω=const.
Кроме этих кинематических величин равномерное движение тела по окружности можно выразить через
период и частоту вращения.
2
Время, в течении которого тело (точка) совершает один оборот, называется периодом вращения.
(21)
Число полных оборотов N связано с угловым путем соотношением
(22)
Число оборотов тела (точки) вокруг центра вращения за единицу времени называют частотой вращения.
Исходя из определений периода и частоты можно записать следующее соотношения:
,
(24)
В системе СИ период выражают секундах [T]=[1c]=[c], то частота [ ]=
.
Кроме равномерного вращательного движения твердого тела рассматривают случай, когда ω≠const и
изменяется со временем. Быстроту изменения угловой скорости со временем характеризует физическая
величина – угловое ускорение.
Пусть за время ∆t линейная и угловая скорости точки твердого тела получили приращение на величину
∆V,
. Используя соотношение между этими величинами, запишем
Поделим левую часть и правую часть уравнения на ∆t, за которое произошло изменение скоростей
Величина
- характеризует среднее линейное ускорение
- характеризует среднее
угловое ускорение, тогда <a>=R*< > (27)
Для получения мгновенных значений соответствующих величин необходимо использовать формулу (26) и
взять предел этих отношений, устремив
>0
<0
Таким образом, угловое ускорение есть первая
производная от угловой скорости по времени
или в векторной форме
(28)
При ускоренном движении вектор сонаправлен
Рис.4
вектору , а при замедленном меняет свое
направление на противоположное.
3
При вращательном движении абсолютно твердого тела относительно закрепленной оси вращения
угловые характеристики
для всех точек этого тела одинаковы. Линейные характеристика S, V, a различны для разных точек.
Вектор
α
R
O
– носит название полного ускорения, который
описывает изменение величины и направление скорости. Эти
изменения мы рассматривали в формуле (14) и ниже. Теперь
нам необходимо выразить тангенциальное и нормальное
ускорение произвольной точки твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, через угловую скорость и угловое
ускорение этого тела.
Рис.5
тогда модуль полного ускорения
4
1.5 Основные формулы для решения задач.
1. Задание радиус – вектора в координатной форме:
2. Модуль радиус вектора:
3. Приращение радиус-вектора:
4. Средняя скорость:
5. Мгновенная скорость:
6. Задание вектора скорости в координатной форме:
7. Модуль скорости:
8. Вычисление скорости при прямолинейном движении
9.Среднее ускорение:
10. Мгновенное ускорение:
11. Задание вектора ускорения в координатной форме:
12. Модуль ускорения:
5
13. Средняя угловая скорость:
14. Мгновенная угловая скорость:
15. Среднее угловое ускорение:
16. Мгновенное угловое ускорение:
17. Связь линейной скорости с угловой:
18. Полное ускорение:
19. Модуль полного ускорения:
20. Связь между линейными кинематическими характеристиками с соответствующими угловыми:
6
1.6. Задачи для самостоятельного решения.
1. Вектор скорости
изменил направление на обратное. Найти: 1) Приращение вектора скорости
Модуль приращения
; 3) Приращение модуля
.
2. Начальное значение радиус-вектора
1) Приращение радиус вектора
2) Модуль приращения
;
3) Приращение модуля
;
, конечное значение -
. Найти:
;
3. Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону:
ускорение
; 2)
точки, модуль скорости
и ускорения
. Найти модуль скорости
в момент времени
4. Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону:
и
.
. Найти приближенное
значение пути S, пройденного точкой за десятую секунду своего движения.
, где с=1м/с2. Найти:
5. Точка движется со скоростью
1) Модуль скорости
2) Ускорение точки
точки в момент времени t=2c;
и его модуль
;
3)Пройденный путь S точкой с момента времени t1=1c до момента t2=4c.
6. Зависимость координат частиц от времени имеет вид:
,
Найти:
1) Радиус-вектор частицы , скорость , ускорение ;
2) Модуль радиус-вектора
, скорости
, ускорения
;
7. Кинематическое уравнение движения материальной точки оси Ox имеет вид:
, где
3
A=4м, В=2м/с, С=-0,5 м/с . Для момента времени t=2c определить:
1) Координату x точки; 2) Мгновенную скорость V; 3) Мгновенное значение ускорения .
8. Уравнение прямолинейного движения по оси Ох имеет вид:
, где А=3м/с, В=-0,25 м/с2.
Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного вида движения.
, где A=4м, В=-0,05 м/с2. Определить
9. Движение материальной точки задано уравнением:
момент времени t, в который скорость точки V равна нулю. Найти координату, скорость и ускорение в
этот момент времени. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения для
данного вида движения.
10. Точка движется по прямой и зависимость пройденного пути от времени задается уравнением:
, где С=0,1 м/с2, D=0,03 м/с3. Определить: 1) Время t, в момент которого
ускорение точки a=2 м/с2. 2) Среднее значение ускорения <a> точки за этот промежуток времени.
11. Тело участвует в двух вращениях, происходящих со скоростью
какой угол
и
повернется тело за первые 3с? Вокруг какой оси произойдет этот поворот?
7
, где с=1с-2. На
12. Материальная точка движется по плоскости согласно уравнению
зависимость скорости от времени
и ускорения от времени
. Написать
.
, где А=10 м, В=-5м/с2, С=10
13. Движение материальной точки задано уравнением:
м/с. Найти: 1) траекторию движения; 2) найти зависимость скорости и ускорения
момента времени t=1c вычислить: а) модуль скорости
ускорения
; в) модуль нормального ускорения
и ускорения
от времени; Для
; б) модуль тангенциального
.
14. Точка движется по окружности радиусом R=10м согласно уравнению
, где А=2 м/с3. В какой
момент времени t нормальное ускорение аn точки будет равно тангенциальному aτ? Определить полное
ускорение точки а в этот момент.
15. Диск радиусом R=10см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота диска
от времени задается уравнением:
, где В=1с-1, С=1с-2, D=1с-3. Определить для
точек на ободе диска к концу t=2c после начала движения: 1) величину тангенциального aτ ускорения; 2)
нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение а.
16. Движение точки по кривой задано уравнением:
и
, где А=1м/с3; В=2 м/с. Найти
уравнение траектории точки, её скорость V и полоне ускорение a в момент времени t=0,8с.
17. Диск радиусом R=10см, находившийся в состоянии покоя начал вращаться с постоянным угловым
ускорением
. Найти тангенциальное aτ ускорения, нормальное ускорение аn, полное
ускорение а точек на окружности диска в конус второй секунды после начала вращения.
18. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени
достиг частоты
-1
вращения n=300 мин . Определить угловое ускорение маховика и число полных N оборотов, которое он
сделал за это время.
19. Диск вращается с угловым ускорением
-1
. Сколько оборотов N сделает диск, при изменении
-1
частоты вращения от n1=240мин до n2=90мин ? Найти промежуток времени
, в течении которого это
изменение произойдет.
20. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через
движения вектор полного ускорения
вектора линейной скорости
после начала равноускоренного
точки, лежащей на оводе, составляет угол α=600 с направлением
этой точки.
8
1.7 Тест-контроль.
1. Радиус-вектор это:
а) коллинеарный вектор;
б) направленный отрезок прямой, начало которого в начале координат, а конец упирается в движущуюся
материальную точку;
в) направленный отрезок прямой заданный только числовым значением.
2. Каким способом можно разложить радиус-вектор
?
а)
б)
в)
3. Если
, то модуль радиус-вектора
:
а)
б)
в)
4. Радиус-вектор
, то модуль радиус-вектора
а) 5;
равен:
б) 25;
в)
.
5. Перемещение это:
а) вектор, соединяющий начальное положение мат. Точки с её конечным положением;
б) расстояние, пройденное точкой вдоль траектории её движения;
в) отрезок прямой, соединяющий начало траектории движения мат. точки с концом этой траектории.
6. В каком случае
а) криволинейного движения;
б) прямолинейного движения;
в) движения по окружности, эллипсу, гиперболе.
7. В координатной форме вектор скорости
задается:
а)
б)
в)
9
8. Модуль вектора скорости
можно вычислить по формуле:
а)
б)
в)
г)
9. Какое из движущихся равномерно, тел имеет большую скорость:
4
S
3
2
1
S0
0
t
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
10. Равномерным называют движение скорость которого:
а) остается постоянной с изменением времени;
б) изменяется одинаково за любые равные промежутки времени;
в) монотонно возрастает за любые промежутки времени;
11. Среднее ускорение
мат. точки это:
а) скалярная величина, равная отношению изменения скорости к тому промежутку времени, за которое
это изменение произошло;
б) предел отношения изменения скорости к тому промежутку времени, за которое это изменение
произошло;
в) векторная величина, равная отношению изменения скорости к тому промежутку времени, за которое
это изменение произошло.
12. Мгновенное значение ускорения
а) первая производная от скорости
это:
по времени t;
б) отношение изменения скорости к изменению времени;
в) первая производная от пройденного пути по времени.
10
13. В координатной форме вектор ускорения
а)
можно задать только:
;
б)
;
в)
.
14. Модуль вектора ускорения
можно вычислить:
а)
б)
в)
15. Выбрать правильную последовательность определений ускорений:
а) Тангенциальное, полное, нормальное;
б) Нормальное, полное, тангенциальное;
в) Полное, тангенциальное, нормальное.
16. Выбрать правильное направление вектора полного ускорения
при равноускоренном движении мат.
точки:
2
1
4
O
3
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4;
17. Если
то движение мат. точки является:
а) прямолинейным ускоренным;
б) равномерным по окружности;
в) ускоренным по окружности.
18. Если
то движение мат. точки:
а) ускоренное по окружности;
б) равномерное прямолинейное;
в) криволинейное с переменным ускорением.
11
19. Направление вектора
определяется правилом правого винта, то это:
а) радиальный вектор;
б) аксиальный вектор;
в) коллинеарный вектор.
20. При вращательном движении твердого тела, если соблюдается условие что
а) вектор
то
не совпадает по направлению с вектором вдоль оси вращения;
б) оба вектора коллинеарные;
в) оба вектора взаимно перпендикулярны.
21. При условии, что
, то оба вектора…:
а) сонаправленны;
б) взаимно перпендикулярны;
в) имеют противоположное направление вдоль оси вращения;
22. Диск радиуса R катится равномерно и прямолинейно, без скольжения. Модуль перемещения
произвольной точки на ободе диска за один полный оборот равен:
а) 2πR; б)2R; в) 0; г) R.
23. Изменение модуля скорости тела, двигающегося по окружности со скоростью V=5 м/с, при
прохождении четверти окружности равно:
а) 4,8 м/с; б) 3,5 м/с; в) 6,2 м/с; г) 1,4 м/с; д) 0 м/с.
24. Траектория движения точки на конце лопасти винта вертолета, равномерно поднимающегося
вертикально вверх в системе отсчета связанной с корпусом вертолета, представляет собой:
а) окружность; б) винтовую линию; в) параболу; г) прямую линию.
25. За время t=6 c точка прошла путь, равный половине длины окружности радиусом R=0,8 м. Определить
среднюю путевую скорость <V> за это время и модуль вектора средней скорости
12
.