Кинематика АТТ

Сложное движение точки
О движении тела судят по движению каждой его точки. Ранее мы рассматривали движение точки в некоторой системе координат, которая условно принималась за неподвижную.
Однако на практике приходиться решать задачи, в которых известно, как движется точка относительно одной системы координат и требуется выяснить, как она движется относительно
другой системы координат, если известно, как эти системы координат движутся друг относительно друга. Чтобы описывать движение точки, переходя от одной системы координат к
другой, необходимо установить, как связаны между собой величины, характеризующие движение точки в этих системах. С этой целью одну систему координат принимают условно за
неподвижную, а другую за подвижную и вводят понятия абсолютного, относительного и переносного движения точки.
Абсолютное движение – движение точки в неподвижной системе координат.
Относительное движение – движение точки в подвижной системе координат.
Переносное движение – движение подвижного пространства относительно неподвижного.
Задачи, в которых задано переносное движение и нужно найти абсолютное движение,
называются задачами на сложение движений.
В ряде случаев приходится решать обратную задачу.
Рациональным выбором подвижной системы координат – часто удаётся сложное абсолютное движение точки свести к двум простым: относительному и переносному. Такие
задачи называются задачами на разложение движений.
Скорость и ускорение точки по отношению к неподвижной системе координат называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.
Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе координат называют относительной скоростью и относительным ускорением.
Переносной скоростью и переносным ускорением движущейся точки называют абсолютную скорость и абсолютное ускорение той точки подвижного пространства, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.
Все полученные ранее результаты для скорости и ускорения полностью применимы к
относительному движению, ибо при их выводе мы не накладываем никаких ограничений на
выбор системы координат.
Закон сложения скоростей
Закон сложения скоростей определяет связь между скоростями точки М в неподвижной системе координат XYZ и подвижной системе координат  .



 абс.   пер.   отн. – закон сложения скоростей.
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1
Перейдём к рассмотрению движения абсолютно твёрдого тела (АТТ). Твёрдое тело
состоит из бесконечного числа точек, однако, как будет показано позднее, для описания
движения АТТ нет необходимости задавать движение каждой его точки.
Основная теорема кинематики твердого тела
Неизменность расстояния между точками твердого тела приводит к зависимости между скоростями отдельных точек. Эта зависимость выражается следующей основной теоремой
кинематики твердого тела: проекции скоростей двух любых точек твердого тела на отрезок, их соединяющий, равны.
Для доказательства рассмотрим произвольные точки А и В твердого тела.
Положения точек А и В в
пространстве зададим радиусами

векторами rA и rB . Направленный
отрезок, проведенный из точки А в
точку В можно рассматривать как
вектор AB , направление которого в
процессе движения тела меняется, а
модуль сохраняется постоянным (в
силу неизменности
расстояния
между точками твердого тела). Данный вектор можно представить в


виде AB  rB  rA . Дифференцируя
это равенство по времени, получаем



d AB drB drA 


 B  A .
dt
dt
dt
 
(2.1)
Для определения вектора
 
 
2
d AB
2
заметим, что AB   AB  , где AB модуль вектора
dt
AB . Так как АВ не изменяется с течение времени, то, продифференцировав это равенство по
t, получим:
d AB
2 AB 
 0,
dt
 
т.е. скалярное произведение вектора AB на его производную равно нулю. Это означает, что производная от вектора AB направлена перпендикулярно к самому вектору AB :
d AB
AB 
.
dt
 
Проектируя теперь каждую часть равенства (2.1) на AB , получим:


пр. AB B – пр. AB A =0
или


пр. AB A  пр. ABB ,
что и доказывает сформулированную теорему.
Поступательное движение твёрдого тела
Рассмотрим вначале простые случаи движения – поступательное движение твёрдого
тела и вращение твёрдого тела.
2
Простейшим видом движения твёрдого тела является такое движение, при котором
векторы скорости трёх его точек, не лежащих на одной прямой, равны между собой в каждый момент времени. Определим положение этих точек в некоторый момент времени ради  
ус-векторами: r1 , r2 , r3 .



dr1 dr2 dr3 



dt
dt
dt
d  
r2  r1   d r3  r1   d r3  r2   0.
Отсюда:
dt
dt
dt
Следовательно,
векторы

 

  
 
r21  r2  r1 ,
r31  r3  r1 r32  r3  r2 не зависят от времени и, следовательно, перемещаются в пространстве,
оставаясь параллельными сами себе. Три точки твёрдого тела определяют систему координат, чётко связанную с твёрдым телом. В рассматриваемом случае движение будет таким, что оси будут перемещаться, оставаясь параллельными сами себе. Но это означает, что любая прямая, проведённая в твёрдом теле, остаётся в процессе движения параллельной самой себе. Такое движение
называется поступательным (например, движение кабины в аттракционе «колесо обозрения»).
Выберем в твёрдом теле, движущимся поступательно, две произвольные точки А и В.



rAB  rB  rA ;



rB  rA  rAB ;
При поступательном движении АТТ

rAB =const.


 A  B



drB drA drBA


;
(2.2)
dt
dt 
dt
0


drB  drA 
 B ,
  A , то (2.2) примет вид:
Поскольку
dt
dt
(2.3)
Точки А и В выбраны произвольно. Следовательно: при поступательном движении
все точки твёрдого тела имеют в каждый данный момент времени одинаковые векторы
скорости.


d A d B

Продифференцировав по времени уравнение (2.3) получим:
. Или, учитыdt
dt
вая определение ускорения точки (1.13):


a A  aB
(2.4)
Точки А и В выбраны произвольно. Следовательно: точки твёрдого тела, движущегося поступательно, имеют в каждый данный момент времени одинаковые ускорения.
  
Т.к. rB  rA  rBA , траектории точек А и В являются конгруэнтными, т.е. их.можно
совместить друг с другом при наложении. Таким образом, траектории, описываемые точками твёрдого тела, движущегося поступательно, одинаковы и одинаково расположены.
Из полученных результатов следует сделать вывод: для описания поступательного
движения твёрдого тела достаточно задать движение лишь одной его точки.
Вращение твердого тела
3
Вращением твёрдого тела называется такой вид движения, при котором, по крайней
мере, одна точка твёрдого тела остаётся неподвижной. Рассмотрим, однако, более простой
случай – вращение АТТ вокруг неподвижной оси.
Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси
Закрепим две точки АТТ: 1  2  0 . Рассмотрим, как будут двигаться все точки
твёрдого тела и научимся определять скорости и ускорения этих точек. Ясно, что точки
твёрдого тела, лежащие на прямой, проходящей через две закреплённые точки, двигаться не
будут: эту прямую называют неподвижной осью вращения. Движение твёрдого тела, при
котором по крайней мере две его точки неподвижны, называют вращением АТТ вокруг неподвижной оси.
Ясно, что точки не лежащие на оси вращения описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Плоскости, в которых лежат такие окружности, перпендикулярны оси вращения. Следовательно: нам известны траектории всех точек тела. Это позволяет
приступить к нахождению скорости любой точки твёрдого тела.
При естественном способе задания движения точки:
 dS 
 
(2.5)
dt
Выберем неподвижную систему
отсчёта, ось 0Z которой совпадает с осью
вращения. Угол между неподвижной
плоскостью X0Z, проходящей через ось
вращения и плоскостью, жёстко связанной с твёрдым телом и проходящей через
ось вращения, обозначим через  . В
начальный момент времени 
t t 0
 0 .
Рассмотрим движение точки М по
окружности радиуса R.
S  R ;
S  S 0  R   0  ;
S  S0  R  0 
Продифференцируем по времени
полученное уравнения, учитывая, что
величины R, S0 и  0 являются постоянными:
dS
d
R
(2.6)
dt
dt
Подставив (2.6) в (2.5) получим:

d 
R 
(2.7)
dt

Эта формула неудобна, потому что сюда входит единичный вектор  , которыйзависит от положения точки. Мы привыкли положение точки задавать радиус-вектором r . Он
должен входить в формулу для скорости. Для этого проведём следующие преобразования:
 
используя, что   [n k ] , перепишем соотношение (2.7) в виде
 d 

  [ k , Rn ]
(2.8)
dt
Обозначим:
d  
k   – не зависит от выбора рассматриваемой точки М;
(2.9)
dt


(2.10)
R   Rn – вектор, проведенный из центра окружности к точке М.
4

Ясно, что модуль R равен радиусу окружности.
Подставим (2.9) и (2.10) в (2.8):

 
  [ R ]
(2.11)
 

Докажем, что [ R ]  [ r ]
(2.12)
 
 
[ R ]    R

 
 
[ r ]    r sin     R

R
 


Направления [ R] и [ r ] совпадают с направлением единичного вектора касания  .
Следовательно: тождество (2.12) справедливо. Осуществив замену (2.12) уравнение
(2.11) запишем в виде:
 
  [r ] – линейная скорость точки М.
(2.13)
d 
k – угловая скорость.
(2.14)
dt
Угловая скорость – величина одинаковая для всех точек твердого тела.
Линейная скорость любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, равна векторному произведению угловой скорости АТТ на радиус-вектор, проведённый

из произвольной точки оси вращения, разложим  по ортам:




  xi   y j  z k .
(2.15)
Сравнивая (2.15) и (2.14) получим:
d
 x   y  0,  z 
;
dt
 d  d

k 
; единица измерения [ ]  [c 1 ].
модуль  
dt
dt

Модуль угловой скорости  связан с частотой вращения  абсолютно твердого тела:


  2   
При вращении тела его угловая скорость может изменяться, необходимо уметь определить угловую скорость тела в любой момент времени. Для этого введена величина, которая
характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Эту величину называют угловым ускорением.
Дадим определение углового ускорения.
 
Пусть в момент времени t угловая скорость    (t ) . А в момент времени t+∆t угло 
вая скорость равна    (t  t ) . Составим отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение происходит, и найдём предел этого отношения при ∆t → 0. В механике этот предел называют угловым ускорением тела и обо
значают  поэтому:




 (t  t )   (t ) d
  lim

.
t 0
t
dt
Угловое ускорение – величина одинаковая для всех точек твердого тела.
Единицей измерения углового ускорения является [ ]  [c 2 ] .
Используя (2.13) определим линейное ускорение точки М:



 d d    d     dr 
a
 [ , r ]  
, r  ,
.
dt dt
 dt   dt 
Для углового ускорения, его проекции на ось 0Z, модуля углового ускорения справедливы соотношения:
5
d z
d 2 
d 2  d 2
;
  2 k;z  2 ;   2 ;  z 
dt
dt
dt
dt

(2.16)
Перепишем выражение для ускорения точки:
 
  
a  [ , r ]  [ , r ]
  
[ , r ]  a ;
  
[, ]  an ;
(2.17)
 
a    r sin(  , r )    R;
 
an    sin( , )   ;
Тангенциальное ускорение любой точки
твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, равно векторному произведению углового
ускорения тела на радиус – вектор этой точки,
проведённой из произвольной точки оси вращения.
Вращение твёрдого тела с постоянным угловым ускорением
Посмотрим, как при этом движении запишется кинематическое уравнение движения
тела. Вначале получим формулу, по которой в данном случае можно найти угловую скорость
тела. Направим ось 0Z вдоль оси вращения тела.

 d
d z
;  d z   z dt
Так как  
, то  z 
dt
dt
Проинтегрируем полученное уравнение:
z
t
 d    d
z
0 z
(т.к.  z  const )   z  0 z   z t
(2.18)
0
Найдём кинематическое уравнение:
d
z 
; с учетом (2.18) d  0 z   z t dt .
dt

t
t
t
0
0
0
0
Проинтегрируем полученное уравнение:  d   (0 z   z )d  0 z  d   z   d ;
(т.к.  z  const , 0 z  const )
В результате:
   0  0 z 
 zt 2
(2.19)
2
Общий случай движения твёрдого тела
Покажем, что любое движение твёрдого тела можно представить как сумму двух
его движений: поступательного и вращательного.
Пусть тело движется произвольным образом. Выделим произвольную точку. Этой
точкой может быть какая-либо точка твёрдого тела или точка пространства. Назовём эту

точку полюсом. Обозначим  p – о скорость полюса относительно неподвижной системы
координат XYZ. Запишем для полюса и каждой точки тела тождества:
6










 р   р  0;1   р  (1   р ); 2   р  ( 2   р );
..............................


 
 n   р  ( n   р )
Рассматривая эти тождества мы видим, что движение твёрдого тела можно представить в виде суммы двух движений: В первом движении все точки тела имеют одну и ту же
скорость. Следовательно, первое движение есть поступательное движение АТТ со скоростью
полюса, во втором движении у всех точек твёрдого тела, кроме полюса, скорость не равна
нулю. Следовательно, второе движение есть вращение тела вокруг полюса. Можно показать,
что угловая скорость вращения вокруг полюса не зависит от выбора полюса. Таким образом,
можно сделать вывод: любое движение абсолютно твёрдого тела можно представить как
сумму двух его движений: поступательного со скоростью полюса и вращательного
движения вокруг полюса с угловой скоростью, не зависящей от выбора полюса.
Можно показать, что скорость любой точки тела относительно неподвижной системы
координат равна:


 

   р  [ р , r  rр ] ,
(2.20)


где  – скорость точки твёрдого тела относительно неподвижной системы координат;  р –

скорость полюса относительно неподвижной системы координат;  р – угловая скорость

вращения тела относительно полюса; r – радиус-вектор, задающий положение в неподвиж 
ной системе координат точки, скорость которой  ; rp – радиус-вектор, задающий положение полюса в неподвижной системе координат;
  
  
 
a  a р  [ р , r  rр ]  [ p ,   p ] ,
(2.21)


где a – ускорение точки твёрдого тела относительно неподвижной системы координат; a р –

ускорение полюса относительно неподвижной системы координат;  р – угловое ускорение
вращения тела относительно полюса.
Закон сложения ускорений
Формулу, выражающую закон сложения ускорений в сложном движении называют
формулой Кориолиса, а выражаемый ею факт – теоремой Кориолиса. Согласно этой теореме
абсолютное ускорение точки равно сумме трёх векторов: вектора относительного ускорения,
вектора переносного ускорения и вектора, представляющего собой поворотное или кориолисово ускорение:





aабс.  aотн.  aпер.  2 [пер. ,отн. ]

  

(2.21)
aк
Оно появляется вследствие двух причин, не учитываемых относительным и перенос
ным ускорениями: aотн. не учитывает изменение направления относительной скорости в неподвижном пространстве вследствие вращения подвижной системы координат в переносном

движении. aпер. не учитывает изменения переносной скорости, получающегося при переходе
движущейся точки от одной точки подвижного пространства к другой (этот переход вызван
относительным движением).

aк  0 в следующих случаях:


1) отн.  0 .
2) пер.  0 .


3) пер.  (коллинеарен) отн. .



Модуль aк  2  пер. отн. sin( пер. ,отн. ).
7
8