Дистанционная подготовка Abitu.ru ФИЗИКА Статья №5. Гравитация. Теоретический материал. В этой статье мы рассмотрим задачи на применение закона Всемирного тяготения. Закон Всемирного тяготения утверждает, что сила притяжения между двумя материальными точками массами m1 и m2 , находящимися на расстоянии R друг от друга, направлена вдоль прямой, их соединяющей, и равна F m1m2 , R2 Н м2 - гравитационная постоянная. кг 2 Большинство задач по теме гравитации сводятся к записям второго закона Ньютона и Закона всемирного тяготения. где 6, 67 10 11 Первой космической скоростью VI для некоторой планеты называется минимальная скорость, при которой тело, брошенное горизонтально с поверхности этой планеты, начнёт вращаться вокруг неё. Орбита тела, брошенного горизонтально с первой космической скоростью, будет представлять собой окружность. VI gR M , R где R - радиус круговой орбиты, M - масса планеты, g - ускорение свободного падения на планете. Рассмотрим примеры решения задач. Ниже будет использоваться следующая аббревиатура: 2ЗН – второй закон Ньютона. Примеры решения задач. Пример 1. [МФТИ 1995] Спутник Фобос обращается вокруг Марса по орбите радиуса R=9400 км с периодом T=7ч.39мин. Радиус Марса R0=3400 км. Найти по этим данным ускорение свободного падения на поверхности Марса. Решение: Ускорение свободного падения на поверхности Марса g M , где M - масса Марса, - гравитационная R02 2 mM 2 3 постоянная. Пусть m - масса Фобоса. Найдём M . 2ЗН для спутника: m R , откуда M R . 2 R T 2 2 3 м 2 R Следовательно, g 2 3,7 2 . с T R0 2 Ответ: 3 м 2 R g 2 3,7 2 . с T R0 Пример 2. Определите минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Её плотность 1017 кг / м3 . Решение: Сила притяжения между нейтронной звездой и её спутником равна F mM , где m - масса спутника, R2 4 M r 3 - масса нейтронной звезды, - гравитационная постоянная, R - радиус орбиты спутника. Запишем 3 v2 mM M 2 R 2 2ЗН для спутника: m F , откуда v . Период обращения спутника T R R 2 R R R V M прямо пропорционален радиусу орбиты R и будет минимальным в случае, когда радиус орбиты будет минимальным, т.е. при R r . Следовательно, Tmin Ответ: Tmin 2 3 r r 1, 2 103 c. M 3 1, 2 103 c. Пример 3. [МФТИ 1993] Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх с некоторой скоростью, упало на Землю через 3 с. Через какое время упадет тело, брошенное вертикально вверх с той же скоростью на Луне? Радиус Земли в 3,8 раза больше радиуса Луны, а масса Земли в 81 раз больше массы Луны. Решение: Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли равно g з Mз , где - гравитационная постоянная, Rз M з - масса Земли, Rз - радиус Земли, аналогично для ускорения свободного падения вблизи поверхности Луны можно записать g л Mл . Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v будет двигаться с постоянным Rл ускорением, равным ускорению свободного падения g . Из кинематики V V gt , откуда 2V gt , где t время, в течение которого тело находилось в воздухе. Запишем это соотношение для тела, брошенного с g зt з . Аналогично для тела, брошенного с поверхности Луны 2V g лt л . 2 g M R2 Подставив выражение для V , находим, что t л з t з з л 2 t з 16,8 с. gл M л Rз поверхности Земли: 2V g з t з , откуда V Ответ: M з Rл 2 tл t з 16,8 с. M л Rз 2 Пример 4. Искусственный спутник, используемый в системе телесвязи, запущен в плоскости земного экватора так, что всё время находится в зените одной и той же точки земного шара. Во сколько раз радиус орбиты спутника R больше радиуса Земли RЗ 6400 км ? Считать известным ускорение свободного падения у поверхности Земли: g 9,8 м / с 2 . Решение: Чтобы спутник постоянно находился над одной и той же точкой поверхности Земли необходимо, чтобы период обращения спутника вокруг Земли был равен периоду обращения Земли вокруг своей оси: 2 R T , где V V скорость спутника, T 86400 c - период обращения Земли вокруг своей оси. Запишем 2ЗН для спутника: m V2 Mm 2 , где m - масса спутника, M - масса Земли. Выразим из последнего соотношения V и подставим его R R в первое. Используя равенство g Ответ: M R gT 2 3 , получаем, что: 6,7 . RЗ 4 2 RЗ RЗ2 R gT 2 3 6,7 . RЗ 4 2 RЗ Домашнее задание. Задача 1. [МФТИ 1995] Луна движется вокруг Земли с периодом T 27, 3 суток по орбите, которую можно считать круговой. Радиус Земли r 6400 км . Ускорение свободного падения на поверхности Земли g 9, 8 м / с2 . Определить по этим данным расстояние между Землей и Луной. Задача 2. [МФТИ 1993] Во сколько раз отличаются минимальные периоды обращения спутников для Марса и Земли? Масса Марса составляет = 0,11 Массы Земли, а радиус = 0,53 радиуса Земли. Задача 3. [МФТИ 1979] Искусственный спутник Земли запущен с экватора и вращается по круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли, при котором он периодически проходит над точкой запуска ровно через двое суток. Радиус Земли R 6400 км . Задача 4. Каково ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если радиус Солнца в 108 раз больше радиуса Земли, а его плотность относится к плотности Земли как 1 : 4 ? 6 октября 2009 г. Межвузовский центр воспитания и развития талантливой молодежи в области естественно-математических наук "Физтех-центр" Составители: Пенкин М.А., Шимко О.В., Шувалов Н.Д. E-mail: [email protected], [email protected] Сайт: www.abitu.ru