ЕЙСКИЙ МОРСКОЙ РЫБОПРОМЫШЛЕННЫЙ ТЕХНИКУМ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО

ЕЙСКИЙ МОРСКОЙ РЫБОПРОМЫШЛЕННЫЙ ТЕХНИКУМ (ФИЛИАЛ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ
по учебным дисциплинам
ЕН.01 МАТЕМАТИКА
ЕН. 01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ЕН.02 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
для студентов специальностей
15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация
промышленного оборудования
11.02.03 Эксплуатация оборудования радиосвязи и
электрорадионавигации судов
09.02.01 Компьютерные системы и комплексы
РАЗРАБОТАЛА:
преподаватель дисциплин
«Математика», «Информатика»
ЕМРТ ФГБОУ ВПО «АГТУ»
Лозинская Светлана Александровна
2014
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………..……………3
Тест 1 Функции, последовательности, их пределы.. ……………….................4
Тест 2 Дифференцирование функций одной переменной ……………………11
Тест 3 Исследование функций с помощью« производной... ………………....17
Тест 4 Аналитическая геометрия и линейная алгебра ..………………………24
Тест 5 Элементы высшей алгебры ..……………………………………………33
Тест 6 Интегральное исчисление функций одной переменной ...……………39
Тест 7 Дифференциальное и интегральное исчисление функций
нескольких переменных………………………………………...………47
Тест 8 Дифференциальные уравнения………………………………………....57
Тест 9 Ряды …………………………...…………………………………………65
Тест 10 Теория вероятностей …………………………………………………..75
Тест 11 Элементы математической статистики ………………………………83
Литература……………………………………………………………………...89
3
Введение
Методическое пособие «Математические тесты» предназначено для
студентов ЕМРТ ФГБОУ ВПО «АГТУ». Цель пособия – систематизировать
контроль знаний обучающихся по темам учебного плана математических
дисциплин, а также упорядочить самостоятельную работу студентов и способствовать более глубокому усвоению учебного материала.
Предложенное пособие содержит 11 тестов по основным разделам математики: «Функции, последовательности, их пределы», «Дифференцирование функций одной переменной», «Исследование функций с помощью производной», «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», «Элементы
высшей алгебры», «Интегральное исчисление функций одной переменной»,
«Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Ряды», «Теория вероятностей»,
«Элементы математической статистики».
Объем заданий в тестах варьируется в пределах от 28 до 47. Задания
разного уровня сложности включают в себя теоретические вопросы и практические задачи. Внимание уделяется и правильным обозначениям, и точности формулировок определений и теорем, и навыкам решения стандартных
задач. Большое внимание уделяется геометрическому и механическому
смыслу основных математических понятий; часть заданий имеет ярко выраженный прикладной характер.
Студент, приступающий к выполнению заданий теста, должен предварительно проработать необходимый теоретический материал и накопить
навык решения практических задач. При поиске ответов он не связан временными рамками. На какие-то задания можно ответить быстро, а над какими-то вопросами надо подумать, даже может что-то решить в тетради.
Тесты удобны тем, что отвечающий на них, поняв, что знаний его недостаточно, может доучить какие-то вопросы и повторно проверить уровень
своей подготовки. Таким образом, у студентов формируется стимул к более
внимательному изучению предмета.
4
Тест 1
Функции, последовательности, их пределы
1. Если в силу некоторого закона для любого x  X соответствует … y  Y ,
то говорят, что на X задана однозначная функция.
1) пустое множество
3) несколько чисел
2) единственное число
4) бесконечно много чисел
2. Для какого способа задания функции зависимость между величинами x и y
определяется с помощью формулы или нескольких формул?
1) графического
3) аналитического
2) табличного
4) многократного
3. Последовательностью называется функция, определенная на множестве …
1) натуральных чисел
3) действительных чисел
2) рациональных чисел
4) целых чисел
4. В какой последовательности должны стоять кванторы в определении :
"Число b называется пределом последовательности  yn  , если …   0 …
N такое, что при всех n  N выполняется неравенство yn  b   ."
1) ; 
3) ; 
2)  ; 
4) ; 
5. В каком порядке должны разместиться окрестности в определении: "Число
b называется пределом функции y  f  x  , при x  x0 , если для любого
  0 существует   0 такое, что для любых x удовлетворяющих
0  x  x0  … выполнено неравенство f  x   b  …"
1) , 
3) ε, ε
2) δ, δ
4) δ, ε
5
x3  x  1
6. Вычислить предел lim 2
.
x 2 x  2
3
1)
6
2
2)
3
7. Вычислите предел lim
x0
1) 
2)

3
2
9
4)
3
3)

x  x3 .
1
3
3
1
3
4)  3
3)
8. Функция y  f  x  называется непрерывной в точке x0 , если она определена в окрестности точки x0 и предел функции при x  x0 равен …
1) lim f  x   
3) lim f  x   f  x0 
2) lim f  x   0
4) lim f  x   
xx0
xx0
xx0
xx0
9. Вычислите предел lim
x


x9  x4 .
1) 
3) 13
2) 0
4) 
10. Функция y  f  x  называется бесконечно большой при x  x0 , если для
любого M  0 существует   0 такое, что для каждого x удовлетворяющего 0  x  x0   , выполняется неравенство …
1) f  x   M
3) f  x   M
2) f  x   M
4) f  x   M


11. Вычислите предел lim n4  3n .
n
1) 0
3) 1
2) 3
4) ∞
6
12. Функция   x  называется бесконечно малой при x  x0 , если …
1) lim   x   0
3) lim   x     x0 
2) lim   x   
4) lim   x   
xx0
xx0
xx0
xx0
5
.
n n 4
13. Вычислите предел lim
1) ∞
3) 5
2) 0
4) 4
14. Выберите неверную формулу.
lim u x
u  x  x x0  

1) lim
при lim v  x   0
x x0 v  x 
xx0
lim v  x 
x x0
2) lim  u  x   v  x    lim u  x   lim v  x 
x x0
3) lim  u  x  
x x0
x x0
v x 


  lim u  x  
 x x0

xx0
v x 
4) lim  u  x   v  x    lim u  x   lim v  x 
x x0
x x0
x x0
15. Назовите в каком варианте ответов возникает неопределенность.

1)       
3)   
c
2)
4)       
0
16. Назовите в каком варианте ответов не возникает неопределенности.
1)
c

2) 0  
3)
0
0
4) 1
7
x2  1
17. Вычислите предел lim 2
.
x1 x  x  2
1)
1
2
3) 
2)
2
3
4)
3
2
3)
5
6
2
3
2 x 2  2 x  12
18. Вычислите предел lim
.
x 2
x3  8
1)
6
5
2) 
5
6
4) 0
1)
P x
равен нулю, если …
x Q  x 
степень числителя больше степени знаменателя
2)
степень числителя равна степени знаменателя
3)
степень числителя меньше степени знаменателя
4)
степень числителя больше либо равна степени знаменателя
19. Предел отношения двух многочленов lim
2 x 2  5 x  28
20. Вычислите предел, используя необходимое правило lim 3
.
x 3 x  6 x  29
1) 0
2) +∞
3) 
2
4)
3
8n3  4n 2  3n  1
.
21. Вычислите предел, используя необходимое правило lim
n
2n3  7 n  2
1) 4
3) 2
2) 3
4) 4
8
7 x 2  3x  3
22. Вычислите предел, используя необходимое правило lim
.
x
x4
3) ∞
1) 7
2)
3
4
4) 0
6n  7
.
n n  8n  11
23. Вычислите предел, используя необходимое правило lim
1) 0
3) 6
2) ∞
4)
2
7
8
5 x3  7 x  21
24. Вычислите предел, используя необходимое правило lim 3
.
x 2 x  3 x 2  6 x  1
1) +∞
2) 0
3) 
5
4)
2
11n 2  3
25. Вычислите предел, используя необходимое правило lim
.
n 2n  10
1) 
3
10
2) ∞
3) 0
4)
11
2
26. Если функция f (x) представима в виде суммы постоянного числа b и некоторой бесконечно малой при x  x0 функции α(x), т.е. f  x   b    x  ,
то при x  x0 она имеет предел, равный …
1) lim f  x     x 
3) lim f  x   
2) lim f  x   0
4) lim f  x   b
xx0
xx0
xx0
xx0
27. Какая функция не является основной элементарной функцией?
1) arcsin x
3) log a x , где a  1, a  1
2) sin a x
4) x a , где a - любое
9
28. Первым замечательным пределом называется предел вида:
sin x
1
x x
x
4) lim
1
x1 sin x
sin x
1
x  x0 x
sin x
2) lim
1
x0 x
1) lim
3) lim
2sin 6 x
.
x0 tg4 x
29. Вычислите предел lim
1
2
1)
1
3
3)
2)
3
2
4) 3
x
3.
30. Вычислите предел lim
x0 1  cos 4 x
8 x arcsin
1)
1
3
3) 2
2)
4
3
4)
3
4
31. Какой вид неопределенности раскрывает второй замечательный предел.
1)


3) 0  
4) 1
2)   
32. Вторым замечательным пределом называется предел вида:
x
1

1) lim 1    e
x 
x
3) lim 1  x   e
x
x0
x
1

2) lim 1    e
x0 
x
4) lim 1  x   e
x
x
33. Вычислите предел lim 1  x 
x0
5
x.
1) е
3) е х
2) e3
4) e5
10
n
1 

34. Вычислите предел lim 1   .
n 
3n 
1) e
2)
3
3) e
1
e3

1
3
4) е
35. Выберите правильную запись эквивалентных бесконечно малых.
1) sin x
1
, при x  0
x
2) ln 1  x 
3) e x  1 e x , при x  0
x , при x  0
4) 1  cos x
x2
, при x  0
4
36. Выберите неправильную запись эквивалентных бесконечно малых.
x
1) 1  x  1
3) arcsin x x, при x  0
, при x  0
2
2) tg x

4) 1  x   1 , при x  0
x, при x  0
x

ln 1  
4
37. Вычислите предел lim  3  .
x0
tg x
1)
1
4
3) 1
4) ∞
2) 0
e5 x  1
.
x0 ln 1  5 x 
38. Вычислите предел lim
1) 1
3) 5x
2) 5
4) 1
39. Вычислите предел lim
x0
2x
.
1  5x  1
5
4
1)
2
5
3)
2)
4
5
4) 2
11
40. Пусть односторонние пределы функции равны lim f  x   a ,
xx0 0
lim f  x   b , где a  b , тогда функция имеет разрыв …
x0 x0 0
1) 1-го рода, устранимый
3) 2-го рода
2) 1-го рода, неустранимый
4) 3-го рода
Тест 2
Дифференцирование функций одной переменной
1.
Выберите верную формулу:
y
y  x
3) f /  x0   lim
x
x y
4) f /  x0   lim
1) f /  x0   lim
2) f /  x0   lim
2.
3.
4.
5.
y
x0 x
x
y0 y
Производная постоянной функции y  c равна …
1) 0
3) ∞
2) с
4) с  1
Скоростью точки в момент t0 (или мгновенной скоростью) называется
предел средней скорости при  t  0 , то есть …
1) v (t0 )  a / (t0 )
3) v (t0 )  v / (t0 )
2) v (t0 )  s / (t0 )
4) v (t0 )  a (t0 )
Ускорение при прямолинейном движении есть производная от …
1) времени
3) скорости
2) ускорения
4) пройденного пути
Укажите уравнение касательной к графику функции y  f ( x) в точке с
абсциссой x0 :
12
6.
7.
8.
1) y  f / ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
3) y  f ( x0 )  f / ( x0 )( x0  x)
2) y  f ( x0 )  f / ( x0 )( x  x0 )
4) y  f ( x0 )  f / ( x0 )( x  x0 )
Для того чтобы функция y  f ( x) была дифференцируема в точке x0 ,
необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке …
1) ограниченную производную
3) бесконечную производную
2) конечную производную
4) непрерывную производную
Если функция y  f ( x) … в точке x0 , то она непрерывна в точке x0 .
1) дифференцируема
3) имеет разрыв
2) монотонна
4) ограничена
Выберите неверную формулу:
1) (u  v)  u  v
/
/
/
/
/
 u  u v  uv
3)   
v2
v
/
2) (uv) /  u / v  uv /
9.
4) (uv) /  u /  v /
Выберите верную формулу:
1) (cos x) /   sin x
2) (tg x) /  
3) (ctg x) / 
1
sin 2 x
1
cos 2 x
4) (sin x) /   cos x
10. Если функция u  x  имеет производную в точке x0 , функция y  u  имеет
производную в точке u0  u ( x0 ) , то сложная функция y  u  x   имеет
производную в точке x0 , причем …

1) yx/  x0   yu/ u x/  x0 

2) yx/  x0   yx/  x0  uu/ u0 
3) yx/  x0   yu/  x0  ux/ u0 
4) yx/  x0   yu/  u0  ux/  x0 
13
11. Выберите неверную формулу, где u  u  x  , а – числовое значение.
1)
a 
 au ln a  u /
3)  log a u  
 
 ueu  u /
4) u a
u /
2) eu
/
/
 
/
1
 u/
u ln a
 au a 1  u /
12. Выберите верную формулу, где u  u  x  :
1
 u/
2
1 u
1
 u/
2) (arccos u ) /  
u2  1
1) (arctg u ) /  
3) (arcsin u ) / 
1
 u/
1  u2
1
 u/
4) (arcctg u ) / 
2
1 u
13. Производной n-го порядка от функции y  f  x  называется производная от ее производной …
1)
 n  1 -го порядка
3) n-го порядка
2)
 n  2  -го порядка
4)
 n  1 -го порядка
14. Если функция y  f  x  дифференцируема в точке x0 , то дифференциалом функции в точке x0 называется … приращение этой функции в точке x0 .
1) квадратичная часть
3) главная, дробная часть
2) главная, линейная часть
4) иррациональная часть
15. Дифференциал функции y  f  x  равен …
1) dy  f // ( x)dx
3) dy  f / ( x)dx
2) dy  dx
4) dy  f ( x)dx
16. Выберите формулу для приближенного вычисления значений функции:
1) f ( x)  f / ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
3) f ( x)  f ( x0 )  f / ( x0 )( x  x0 )
14
2) f ( x)  f ( x0 )  f / ( x0 )( x  x0 )
4) f ( x)  f / ( x0 )  f ( x0 )( x0  x)
17. Вычислите значение производной функции y 
1)
2)
1


8

sin x
 4 в точке x0  .
2x
2
3) 0
4) 
2
2
18. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
x2
y
 2ln x в точке с абсциссой x0  2 .
2
1) 2
3) 4
2) 3
4) 1,5
19. Вычислите значение производной функции y  ( x 2  x)( x3  x) в точке
x0  1 .
1) 1
3) 3
2) 2
4) 4
20. Найдите производную функции y  e3 x1  x .
1) y /  (3x  1)e3 x1  1
3) y /  3e3 x1  1
2) y /  (3x  1)e x  1
4) y /  3e x  1
21. Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до
данной точки М этой прямой изменяется по закону: 4t 3  5t 2  7t  9
(t  время движения в секундах). Через сколько секунд после начала
движения ускорение тела станет равным 34 м/с2.
1) 1,5
3) 2
2) 4
4) 1
15
x2  2
22. Найдите производную функции y  2
в точке x0  2 .
x 2
4
9
1) 2
3)
2) 3
4) 1
3
23. Тело движется прямолинейно по закону S (t )  2t 3  t 2  5 (расстояние
2
измеряется в метрах). Вычислите скорость движения в момент времени
t  2 с.
1) 18
3) 15
2) 36
4) 21
24. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику
функции f ( x)  5 x3  3 x 2  7 в точке с абсциссой x0  1 .
1) 15
3) 21
2) 14
4) 9
25. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону
v  t    2t  4  м/с. В момент времени t  3 с тело находится на расстоянии
S = 21м от начала отсчета. Укажите формулу, которой задается зависимость расстояния от времени.
1) S (t )  t 2  4t
3) S (t )  t 2  4t  21
2) S (t )  2t 2  4t  9
4) S (t )  t 2  4t  3
26. Найти дифференциал функции u  arcctg5t .
1) du 
5dt
1  25t 2
2) du  
5dt
1  25t 2
3) du  
4) du  
5tdt
1  25t 2
5dt
1  25t 2
16
27. Найти дифференциал функции v  e
eln 4u
1) dv 
du
ln 4u
2) dv 
ln 4u
.
eln 4u
3) dv 
du
4u
eln 4u
du
u
4eln 4u
du
u
4) dv 
28. Движение самолета после приземления на взлетно-посадочную полосу
задается приближенным уравнением S  t   56t  2,8t 2 (м). Найдите время пробега.
1) 15
3) 25
2) 22
4) 10
29. Найдите производную второго порядка функции y   5  2 z  .
3
1) y //  6  5  2 z 
2
2) y //  12(5  2 z )
3) y //  24(5  2 z )
4) y //  24  5  2 z 
30. Найти производную второго порядка функции z 
1) z // 
2) z // 
6
 x  13
3
 x  12
3) z // 
2
3
.
x 1
18
 x  13
4) z // 
6x
 x  13
31. Напишите уравнение касательной к графику функции y  2 x 2  2 x  3 в
точке с абсциссой x0  2 .
1) y  10 x  11
3) y  10 x  11
2) y  11x  10
4) y  11x  10
32. Составить уравнение касательной к функции y  2 x3  3x 2 в точке с абсциссой x0  1 .
1) y  x  1
3) y  2
17
2) y  1
4) y  x  1
33. При прямолинейном движении точки зависимость пути от времени задана уравнением S (t )  t 3  2t 2 , где t измеряется в секундах, S  в метрах.
Найти ускорение точки в конце 3-й секунды.
1) 22
3) 25
2) 20
4) 18
34. Тело движется по закону S (t )  t 4  4t 3  210t 2  7t  5 . Через сколько секунд после начала движения ускорение тела станет равным 0 м/с2.
1) 8
3) 11
2) 10
4) 7
Тест 3
Исследование функций с помощью« производной
f  x
представляет неопределенx x0 g  x 
ность … и f (x), g (x ) дифференцируемы в проколотой окрестности точки x0 , где g / ( x)  0 , то если существует конечный или бесконечный предел отношения производных, то существует предел отношения функций
f ( x)
f / ( x)
 lim /
и эти пределы равны: lim
.
x x0 g ( x )
x  x0 g ( x )
1. Пусть предел отношения функций lim
1) 0   или 0
2)
0

или
0

3) 00 или 1
4)    или 0  
2. Функция y  f ( x) называется возрастающей, если для любых x1 , x2 таких,
что x1  x2 выполнено неравенство …
1) f  x1   f  x2 
3) f  x1   f  x2 
2) f  x1   f  x2 
4) f  x1   f  x2 
18
3. Если дифференцируемая функция y  f ( x) убывает на  a, b  , то ее производная … на  a, b  .
1) неположительна, т.е. y /  0
3) положительна, т.е. y /  0
2) отрицательна, т.е. y /  0
4) неотрицательна, т.е. y /  0
2 x 2  3x
4. Вычислите предел с помощью правила Лопиталя lim
.
x0 sin 5 x
1) 3
3)
4
5
3
5
4)
3
5
2) 
5. Выберите правильный вариант вычисления предела с помощью правила
sin 6 x  sin 3x
Лопиталя lim
.
x0
8x
6cos6 x  3cos3x
x0
8
3) lim
cos6 x  3cos3 x
x0
8
4) lim
1) lim
2) lim
6cos6 x  cos3x
x0
8
6cos6 x  3cos3x
x0
8x
2 x2  5x  3
6. Вычислите предел с помощью правила Лопиталя lim
.
x3
x3
1) 5
3) 7
2) ∞
4) 0
7. Выберите правильный вариант вычисления предела с помощью правила
e4 x  1
Лопиталя lim
.
x 5 x
4e4 x
1) lim
x 5 x
e4 x  1
3) lim
x 5 x
19
4e4 x  1
2) lim
x
5
4e4 x
4) lim
x 5
8. Если производная дифференцируемой функции y  f ( x) положительна,
т.е. y /  0 на интервале  a, b  , то функция на  a, b  …
1) убывает
3) возрастает
2) не возрастает
4) не убывает
9. Укажите промежуток возрастания функции y 
1)  9;  
2)
3x 2
 27 x .
2
3)  ;9 
 ;  9 
4)
 9;   
10. Укажите промежутки убывания функции, если ее производная имеет вид
y /  x x2  4 .


1)
 ,  2
и  0,2 
2)
 2,0 и  0,2 
3)  2,0  и  2,  
4)
 ,  2 и  2,  
11. Укажите промежутки возрастания функции, если ее производная имеет
вид y /  e5 x 1  5x  .
1 1


1)  ,  и  ,   
5 5


2)
 ,5
1

3)  , 
5

1

4)  ,   
5

x3
 3x 2  5 x убывает.
12. На каком интервале функция y 
3
1) 1,5 
2)
 ,1
3) 1,5  и  5,  
и  5,  
4)
 ,1
20
13. Функция y  f  x  имеет локальный минимум в точке x0 , если существует проколотая окрестность x0 , в которой …
1) f  x   f  x0 
3) f  x   f  x0 
2) f  x   f  x0 
4) f  x   f  x0 
14. Если функция имеет экстремум в точке x0 , то ее производная …
1) f /  x0   c , где c  0
3) f /  x0   0
2) f /  x0   0 или не существует
4) не существует
15. Точки, в которых производная равна 0 или не существует,
называются …
1) точки экстремума
2) точки минимума
3) точки максимума
4) критическими точками
16. Укажите критические точки, если производная функции имеет вид
2  ln x
.
y/ 
2 x
1) x  0 , x 
1
e2
2) x  0
3) x 
1
e2
4) x  1 , x  0
17. Укажите критические точки, если производная функции имеет вид
10
.
y/ 
2
x

7


1) x  0 , x  7
3) x  10
2) x  7
4) x  10 , x  7
18. Укажите критические точки, если производная функции имеет вид
2x  8
.
y/ 
2
2
x 1


1) x  4 , x  1
3) x  4 , x  1
21
2) x  4 , x  1
4) x  4
19. Если функция y  f  x  непрерывна в критической точке x0 , ее производная y / при переходе через точку x0 слева направо меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 функция имеет …
1) локальный максимум
3) разрыв 1го рода
2) разрыв 2го рода
4) локальный минимум
20. Пусть f /  x   0 и f //  x   0 . Если f //  x   0 , то данная функция имеет
в точке x0 …
1) разрыв 2го рода
3) максимум
2) минимум
4) разрыв 1го рода
21. Если на промежутке  ,  3 функция убывает, а на промежутке
 3,    функция возрастает, то в точке x  3 …
1) локальный максимум
3) нет экстремума
2) разрыв 1-го рода
4) локальный минимум
22. Найдите наименьшее значение функции y  3 x 2  2 x на отрезке 0,1 .
1
3
3) yнаим  0
2) yнаим  2
4) yнаим  5
1) yнаим  
23. Найдите наибольшее значение функции y   x 2  4 x  1 на отрезке  1,3
1) yнаиб  3
3) yнаиб  6
2) yнаиб  6
4) yнаиб  2
24. График функции называется выпуклым на  a, b  , если он расположен …
любой своей касательной на  a, b  , за исключением точки касания.
1) на одном уровне с
3) ниже
22
2) выше
4) так, что совпадает с
25. Пусть функция y  f  x  имеет вторую производную на  a, b  . Если
y //  0 на  a, b  , то график функции y  f  x  … на  a, b  .
1) выпуклый
3) имеет асимптоты
2) имеет точки разрыва
4) вогнутый
26. Абсциссы точек перегиба следует искать среди критических точек функции по второй производной, то есть среди точек, где …
1) производная не существует
//
3) y  c , где c  0
2) y //  0 или не существует
4) y //  0
27. Укажите критические точки по второй производной, если функция имеет
x 4 x3 3x 2
вид y 
.


12 3
2
1) x  0 ; x0 
33 5
2
2) x  3 ; x  1
3) x  1
4) x  0 ; x  1
28. Укажите критические точки по второй производной, если первая произ1
водная имеет вид y /  5 x  .
x
1
1
1) x  ; x  
5
5
2) x  
1
5
3) x  0
1
4) x   ; x  0
5
29. Укажите критические точки по второй производной, если y // 
1) x  e
3) x  6
2) x  e ; x  6
4) x  0 ; x  1
ln x  1
.
ex 6  x
23
30. Прямая x  a называется вертикальной асимптотой графика функции
y  f  x  , если хотя бы один из пределов: lim f  x  , lim f  x  равен
xa 0
xa 0
…
1)   или  
3) константе
2) f  a 
4) 0
31. Укажите вертикальные асимптоты функции y 
1) y  4
3) y  4
2) x  4
4) x  4
32. Укажите вертикальные асимптоты функции
2 x4  8
.
x 2  16

y
5x  1
.
x( x  3)( x  8)
1) y  0
3) x  0 ; x  3 ; x  8
2) x  3 ; x  8
4) x 
1
5
33. График функции имеет наклонную асимптоту y  kx  b при x   тогда
и только тогда, когда существуют и конечны пределы …
1) k  lim
f ( x)
, b  lim ( f ( x)  x)
x
x
3) k  lim
2) k  lim
f ( x)
, b  lim ( f ( x)  k )
x
x
4) k  lim f ( x) , b  lim ( f ( x)  kx)
x
x
x
f ( x)
, b  lim ( f ( x)  kx)
x
x
x
34. Выберите наклонную асимптоту функции y 
x
5
.
x2
1) x  0 , при y  
3) y  x , при x  
2) y  5 , при x  
4) y  0 , при x  
35. Выберите наклонную асимптоту функции y 
1
.
ex
24
1) y  0 , при x  
2) y  0 , при x  
3) y  0 , при x  
4) x  0 , при y  
36. Функция y  f  x  называется четной, если выполняется равенство ….
1) f ( x)  f ( x) и график функции симметричен относительно начала
координат
2) f ( x)   f ( x) и график функции симметричен относительно оси О y
3) f ( x)   f ( x) и график симметричен относительно начала координат
4) f ( x)  f ( x) и график функции симметричен относительно оси О y
Тест 4
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1. Определителем матрицы второго порядка называется число …
1)
a11
a21
a12
 a11a21  a12 a22
a22
3)
a11
a21
a12
 a11a22  a12 a21
a22
2)
a11
a21
a12
 a12 a21  a11a22
a22
4)
a11
a21
a12
 a11a12  a21a22
a22
2. Выберите неправильный ответ: «Определитель равен нулю, если …»
1) содержит две одинаковые строки
(столбца)
3) каждую строку заменить на
столбец
2) элементы двух строк (столбцов)
пропорциональны
4) все элементы какой-то строки
(столбца) равны нулю
3. Вычислить определитель
2 1
5
3
.
1) 11
3) 1
2) 0
4) 1
25
4. Алгебраическое дополнение элемента aij определяется формулой ...
i j
1) Aij   1
M ij
2) Aij   1 M ij
i
3) Aij   M ij
i j
4) Aij   1
M ij
5. Если определитель системы линейных уравнений   0 , то система
имеет …
1) пустое множество решений
3) бесконечно много решений
2) единственное решение
4) три решения
6. Квадратичная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а
все остальные элементы равны нулю, называется ...
1) обратной
3) присоединенной
2) транспонированной
4) единичной
7. Какие действия нельзя осуществить над матрицей ?
1) сложение матриц
3) деление матриц
2) умножение матрицы на число
4) умножение матриц
8. Обратная матрица вычисляется по формуле …
1) A1 
1
A
A
3) A1 
1
A
A
2) A1 
1
 AT
A
4) A1  A  A
9. Если определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система имеет единственное решение вида …
1) X  A  A1
3) X  A1  B
2) X  B  A1
4) X  A1  A
10. Вектором называется … отрезок в пространстве, у которого указаны
начало и конец.
1) единичный
3) произвольный
26
2) направленный
4) единственный
11. Даны точки A  2;0;0  и B  1;2;5 . Вычислить координаты вектора ВА .
1) ВА  1; 2; 5
2) ВА  1;2;5
3) ВА  3; 2; 5
4) ВА  3;2;5
12. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются …
1) перпендикулярными
3) сонаправленными
2) компланарными
4) коллинеарными
13. Два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты …
1) пропорциональны
3) компланарны
2) эквивалентны
4) положительны
14. Выберите коллинеарные векторы.
1) m  0;1;  4 и n  0;1; 8
3) c  5;0; 2 и d  10;0;4
2) p  1;1;4 и q  2;2; 8
4) a  7;14;0 и b  1;  2;0
15. Найти при каком значении  и  вектор АС  1; 1; 1 коллинеарен
вектору b    i  3 j    k .
1)   3;   3
1
1
3)   ;   
3
3
2)   3;   3
1
1
4)    ;  
3
3
16. Проекция вектора a на произвольную ось u вычисляется по формуле …,
где   угол между вектором a и осью u .
1) прu a  a  sin 
3) прu a  a  cos 
27
2) прu a  a
4) прu a  a  tg 
17. Выберите стандартный базис пространства.
1) i; j; k
3) a; b; c
2) e1 ; e2 ; e3
4) x; y; z


18. Выберите неправильную формулу, если a  a x ; a y ; a z .
1) cos  
2) cos  
ax
a
; cos  
ay
a
; cos  
ax  a y  az
a
az
a
3) a 0 
a
a
4) a  ax2  a 2y  az2
19. Найдите направляющие косинусы вектора a  4;0; 3 .
4
3
1) cos   ; cos   0; cos   
7
7
4
3
3) cos    ; cos   0; cos   
3
4
4
3
2) cos   ; cos   0; cos   
5
5
3
4
4) cos    ; cos   0; cos  
5
5
20. Дан вектор m  1; 2; 4 . Вычислить длину вектора.
1)
20
3)
7
2)
21
4)
 13
21. Найдите координаты вектора, который в два раза длиннее вектора
a  4;1;  1 и противоположно ему направлен.
1)
8;  2; 2
1 1

3) 2;  ; 
2 2

2)
4;  1; 1
4) 8; 2;  2
28
22. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число равное …, где   угол между векторами.
1) a  b  a  b  sin 
3) ab  a  b  cos 
2) ab  a  b  sin 
4) a  b  a  b  tg 
23. Выберите условие перпендикулярности векторов.
a x a y az


bx by bz
1) a  b  abc  0
3) a  b 
2) a  b  ab  0
4) a  b  a  b  0
24. Выберите перпендикулярные векторы.
1) m  5;1;0; n  1; 2;4
3) c  4;0; 2; d  1;5; 2
2) p  0;4; 3; q  1; 1;0
4) a  1; 1;3; b8;0; 1
25. При каком значении  вектор c  3i   j  5k перпендикулярен вектору
m  2;1;1 .
1)   1
3)   0
2)   11
4)   1
26. Найти орт-вектор для вектора d  1;8; 4 .
1 8
4
1) d 0  i  j  k
5 5
5
1 8
4
3) d 0  i  j  k
9 9
9
4 8
1
2) d 0   i  j  k
9
9
9
8 4
1
4) d 0  i  j  k
5 5
5
27. Даны векторы p  2;  1;2 и q  3; 0;1 . Вычислите скалярное произведение p q .
1) p q  10
3) p q  3
29
2) p q  7
4) p q  8
28. Выберите неправильное условие: «Векторным произведением a  b вектора a на вектор b называется вектор, удовлетворяющий трем условиям: …»
1) векторное произведение a  b перпендикулярно обоим сомножителям
a иb
2) a  b  a  b  sin  , где   угол между векторами a и b
3) векторы a , b , a  b образуют левую тройку векторов
4) векторное произведение направлено так, что векторы a , b , a  b образуют правую тройку векторов
29. Выберите правильную запись нахождения векторного произведения векторов m  4;3; 2 и n  1;  5;0 .
1) m  n  4  1  3  (5)  (2)  0
i
j k
3) m  n  1 5 0
4 3 2
i j k
2) m  n  4 3 2
1 5 0
4) m  n 
4
3
2
1
5
0
30. Выберите верную формулу вычисления площади треугольника, построенного на векторах a и b .
1) S 
1
ab
2
2) S  a  b
1
3) S  a  b
2
4) S 
1
ab
2
31. Выберите правильное обозначение смешанного произведения.
1) ( a  b) c
3) ( ab ) c
30
2) (a  b)  c
4) ab






32. Если a  a x ; a y ; a z , b  bx ; by ; bz , c  cx ; c y ; cz , то смешанное произведение вычисляется по формуле …
i
1) abc  bx
j
by
k
bz
ax
ay
az
3) abc  bx
by
bz
cx
cy
cz
cx
cy
cz
i
2) abc  a x
j
ay
k
az
bx
by
bz
4) abc  ax bx cx  a y by c y  az bz cz
33. Выберите правильную запись нахождения смешанного произведения
векторов a  1;0; 2 , b  4;8;0 , c  4;  1;1 .
0
2
1) abc  4 8
4 1
0
1
1
i j k
2) abc  1 0 2
4 8 0
0
2
3) abc  4 1
4 8
1
1
0
i
j k
4) abc  4 8 0
4 1 1
34. Выберите условие компланарности трех векторов.
1) a, b, c компланарны  ab  0
2) a, b, c компланарны  (a  b)  c  0
3) a, b, c компланарны  (a  b)c  0
4) a, b, c компланарны  (ab)c  0
35. Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах a, b, c , вычисляется по формуле:
1) V 
1
ab
6
3) V 
1
abc
6
31
2) V  abc
4) V 
1
abc
6
36. Если известны координаты точек A  x1; y1; z1  и B  x1; y1; z1  , то координаты точки M , делящей отрезок AB на две части в отношении  вычисляется по формуле:
1) x 
x2  x1
y  y1
z  z1
,y 2
, z 2
1  x1
1  y1
1  z1
2) x 
x1  x2
y  y2
z  z 2
,y 1
, z 1
1 
1 
1 
3) x 
x2  x1
y  y1
z  z1
,y 2
, z 2
1 
1 
1 
4) x 
x1  x2
y  y2
z  z 2
,y 1
, z 1
1 
1 
1 
37. Какое уравнение не является уравнением прямой на плоскости?
1) Ax  By  C  0
2)
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
3)
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
4) y  y0  k  x  x0 
38. Выберите уравнения параллельных прямых на плоскости.
1) y  2 x  4, y  2 x  3
3) y  2 x  4, y  2 x  3
2) y  2 x  4, y  2 x  3
4) y  2 x  4, y  2 x  3
39. Выберите уравнения перпендикулярных прямых на плоскости.
1) y  5x  1, y  5x  1
3) y  x  3, y   x  1
1
2) y  3x  2, y   x  4
3
1
4) y  6 x  2, y  x  2
6
32
40. Выберите уравнение прямой, заданной в пространстве.
1)
x 1 y

7 2
3) 5x  4 y  8  0
2) y  9 x  11
4)
x  2 y 1 z  5


3
4
1
41. Какое задание прямой не является уравнением прямой в пространстве?
1) x  x0  lt y  y0  mt z  z0  nt
2)
x  x1 y  y1 z  z1


l
m
n
3) y  kx  b
4)
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
42. Пусть заданы две плоскости пространства 1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 ,
 2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 . Две плоскости параллельны тогда и только
тогда, когда …
1)
A1 B1 C1


A2 B2 C2
3) A1 B1C1  A2 B2C2  0
2) A1 A2  B1B2  C1C2  0
4)
A1 C1 B2


B1 A2 C2
43. Выберите уравнения перпендикулярных плоскостей в пространстве.
1)  2 A  3B  C  4  0
и
A  2B  8C  1  0
2) A  2B  C  1  0
и
4A  B  C  9  0
3)  A  2B  3C  8  0
и
5 A  B  5C  0
4) B  4C  5  0
и
6A  C  2  0
44. В пространстве задана прямая L , направляющий вектор которой равен a
, и плоскость  , нормальный вектор которой  N . Найдите ответ, соответствующий условию: L ||  .
1) a  3;0;  1
и
N  1;1;  3
3) a  1;2; 2
и
N  4;5; 0
33
2) a  7;2;1 и N  0;1; 2
4) a  4;1;  1 и N   2;0; 3
45. Пусть a1  l1; m1; n1 и a2  l2 ; m2 ; n2 
мых L1 и L2 в пространстве. Прямые L1 и L2 перпендикулярны тогда и
только тогда, когда …
i
j
k
1) l1m1n1  l2 m2 n2  0
3) l1 m1 n1  0
l2 m2 n2
2) l1l2  m1m2  n1n2  0
4)
l1 m1 n1


l2 m2 n2
46. Какая кривая не относится к кривой второго порядка?
1) парабола
3) гипербола
2) эллипс
4) прямая
47. Какая поверхность не относится к поверхности второго порядка?
1) плоскость
3) эллиптический параболоид
2) двуполостный гиперболоид
4) параболический цилиндр
Тест 5
Элементы высшей алгебры
1. Комплексное число – это выражение вида … где x, y – действительные
числа, i – мнимая единица.
1) x  iy
2) x  iy
3) x  iy
x
4)
iy
2. Выберите верный ответ.
1) i   1
3) i  1
2) i  1
4) i  i
3. Пусть z1  4  i , z2  3  2i . Вычислите z1  z2 .
1) 7  i
3) 6  2i
34
2) 7  i
4) 3  6i
4. Пусть z1  2  5i , z2  6  3i . Вычислите z1  z2 .
1) 8  8i
3) 4  8i
2) 8  2i
4) 8  2i
5. Пусть z1  1  2i , z2  3  i . Вычислите z1  z2 .
1) 5  5i
3) 1  5i
2) 3  2i
4) 5  5i
6. Если z  x  iy , то комплексно сопряженным к z называется число z  ...
1) x  iy
3) y  ix
2) x  y
4) y  ix
7. Вычислите
2i
.
3  5i
1)
11 13
 i
3 3
3)
1 13
 i
3 3
2)
1 13
 i
5 5
4)
1 13
 i
5 5
8. Модулем комплексного числа z  x  iy называется полярный радиус точки M  x; y  , обозначается z и вычисляется по формуле …
1) r  x 2   iy 
2) r  x 2  y 2
2
3) r  x 2  y 2
4) r  x 2   iy 
9. Найдите модуль комплексного числа z  6  8i .
1)
28
2) 10i
3)
28 i
4) 10
2
35
10. Найдите модуль комплексного числа z  3i .
1) 3
3) 9i
2) 3i
4) 9
11. Аргументом комплексного числа z  x  iy называется полярный угол 
точки M  x; y  , обозначается Arg z и вычисляется по формуле …
1)  
x
y
2) tg  
3)  
y
x
12. Вычислите аргумент z  1 
1)  

4
2)   

6
y
x
4) tg  
x
y
1
i.
3
3)  

6
4)  

3
13. В какой четверти координатной плоскости находится комплексное число
z  8  5i .
1) в I
3) во II
2) в III
4) в IV
14. Выберите тригонометрическую форму записи комплексного числа z .
1) z  r  sin   i cos 
3) z  r  cos   i sin 
2) z  r  sin   i cos 
4) z  r  cos   i sin 
15. Выберите показательную форму записи комплексного числа z .
1) z  rei
3) z   eir
2) z  rie
4) z  re i
36
16. Выберите неверную формулу.
1)
z1 r1
 cos  1  2   i sin  1  2  
z2 r2 
2) z1  z2   r1  r2 cos 1  2  i sin 1  2 
3) z n  r n  cos n  i sin n
4) z1  z2  r1r2 cos  1  2   i sin  1  2 



17. Пусть z  2  cos  i sin  . Вычислите z 2 .
6
6




1) 2  cos  i sin 
3
3




3) 4  cos 2  i sin 2 
6
6

2
2


 
2) 4  cos    i sin   

6
 6  




4) 4  cos  i sin 
3
3







18. Пусть z1  3 cos  i sin  , z2  5  cos  i sin  . Вычислите z1  z2 .
12
12 
3
3


5
5 

1) 15  cos  i sin 
12
12 


2
2 
15
cos

i
sin
3)


36
36 

2
2 

 i sin 
2) 15  cos
15
15 

  
  
4) 15 cos     i sin    
 4 
  4
z





19. Пусть z1  2  cos  i sin  , z2  cos  i sin . Вычислите 1 .
24
24 
8
8
z2




1) 2  cos  i sin 
6
6




2) 2  cos  i sin 
12
12 

  
  
3) 2 cos     i sin    
 12  
  12 
1


4)  cos  i sin 
2
12
12 
37
20. Пусть a n  z , где a и z – комплексные числа, п – натуральное число.
Тогда a называется корнем п-й степени из z . Если z  r  cos   i sin  ,
то корни находятся по формуле …
1)
n



z  n r  cos  i sin 
n
n

2)
n
  2k
  2k 

z  r  cos
 i sin

n
n 

3)
n
2k
2k 

z  n r  cos
 i sin

n
n 

4)
n
  2k
  2k 

z  n r  cos
 i sin

n
n 

21. Решите уравнение z 2  2 z  2  0 . Выберите правильный ответ.
1) z1,2  1  i
3) z1  2, z2  0
2) нет решений
4) z1,2  1  2i
22. Решите уравнение z 2  4 z  5  0 . Выберите правильный ответ.
1) решений нет
3) z1  2, z2  i
2) z1,2  2  i
4) z1,2  2  i
23. Рациональной дробью называется функция, равная … двух многочленов
1) произведению
3) сумме
2) отношению
4) разности
24. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя …
степени знаменателя.
1) больше
3) равна
2) больше либо равна
4) меньше
38
25. Укажите неправильную рациональную дробь.
x2  4
1) 3
x  3x 2  x  1
2)

x 4  3x  11

x x2  1  x  7 
x4  4 x2  8
3)
x 1
4)
x 1
x  x  8
x2
26. Выделите целую часть у данной рациональной дроби 2
. Выберите
x 1
правильный ответ.
1
1
1) 1  2
3) 1 
x 1
x 1
2) 1 
1
x2  1
4) 1 
2
x2  1
27. Выберите неправильный вид представления правильной дроби в виде
суммы конечного числа простейших дробей.
1)
A
 x  a
n
 n  2,3,4,...
Mx 2  Nx  L
2)
x 2  px  q
3)
Mx  N
x  px  q
4)
A
xa
2
28. Разложите многочлен x3  x 2  6 x на множители. Выберите правильный
ответ.
1)
 x  3 x  2 
3) x  x  3 x  2 
2) x  x  3 x  2 
4) x  x  3 x  2 
29. Разложите многочлен 4 x3  8 x 2  x  2 на множители. Выберите правильный ответ.
1)
 x  2 2 x  1 2 x  1
3)
 x  2   4 x2  1
2)
 x  2  2 x  12
4)
 x  2  2 x  12
39
30. Разложить дробь
x4
на простейшие дроби. Выберите правиль x  1 x  3
ный ответ.
1)
5
1

4  x  1 4  x  3
2) 
5
1

4  x  1 4  x  3
31. Разложить дробь
x 1

 x  2 x2  4

3)
5
1

x 1 x  3
4)
1
5

4  x  3 4  x  1
на простейшие дроби. Выберите пра-
вильный ответ.
1)
1
x6

8 x  2 8 x2  4
2)
1
x6

8 x  2 8 x2  4



3)
1
x6
 2
x2 x 4

4)
x6
1

2
8 x  2 8 x  4


Тест 6
Интегральное исчисление функций
одной переменной
1. Функция F  x  называется … данной функции f  x  на  a; b  , если производная от F  x  равна данной функции f  x  , т.е F /  x   f  x  .
1) первообразной
3) дифференциалом
2) определенным интегралом
4) неопределенным интегралом
2. Выберите правильную первообразную для данной функции
f ( x)  4 x3  3x 2  2 x  8 .
1) F ( x)  12 x 2  6 x  2
3) F ( x)   x 4  x3  x 2  8 x
2) F ( x)  x 4  x3  x 2  8 x
4) F ( x)  4 x 4  3x3  2 x 2  8 x
40
3. Выберите правильную первообразную для данной функции
1
f ( x)  sin x  e x  .
x
1
1) F ( x)  cos x  e x  2
3) F ( x)   cos x  e x  ln x
x
x
2) F ( x)  cos x  e  ln x
4) F ( x)  cos x  e x  ln x
4. Совокупность всех первообразных данной функции f  x  на
вается … от f  x  .
 a; b  назы-
1) определенным интегралом
3) дифференциалом
2) первообразной
4) неопределенным интегралом
5. Выберите правильное обозначение неопределенного интеграла.
1) f
2)
/
b
 x
3)
 f  x  dx
a
4) df  x 
 f  x  dx
6. Выберите неверный ответ, касающийся свойств неопределенного интеграла.
1)


2)
 kf  x  dx  k  f  x  dx
/
f  x  dx  f  x 
3) d  f  x  dx  f  x 
4)
  f  x   g  x  dx   f  x dx   g  x  dx
7. Выберите верную формулу интегрирования.
x n1
1)  x dx 
c
n 1
n
2)
 sinxdx  cos x  c
3)
a
4)
 cos2 x  ctg х  c
x
dx  a x  c
dx
41
8. Выберите неверную формулу интегрирования.
1)
2)
dx
1
x
 a 2  x 2  a arctg a  c

dx
1  x2
 arcsin x  c
dx
3)
 sin 2 x  tg x  c
4)
dx
 x  ln x  c
1


9. Вычислите определенный интеграл   x3   sin x  dx методом непосредx


ственного интегрирования.
x4
1)
 ln x  cos x  c
4
x2
2)
 ln x  cos x  c
2
10. Вычислите неопределенный интеграл
dt
 25  t 2 .
1
arctg t  c
5
1
t
4) arctg  c
5
5
1) arctgt  c
2)
x4 x2
3)

 cos x  c
4
2
x4
4)
 ln x  cos x  c
4
3)
1
t
arctg  c
25
25
11. Вычислите определенный интеграл  6 x dx .
1) 6 x ln 6  c
3) x 6 x1  c
6x
2)
c
ln 6
6 x1
4)
c
x 1
12. Выберите задание, которое можно решить, используя метод подведения
под знак дифференциала.
1)
 6x
2)
 x  2dx
2

 4 x  3 dx
x
13. Вычислите неопределенный интеграл
3)
 x cos xdx
4)
e
8 x 1
dx
dx
 sin 2 2 x методом подведения под
знак дифференциала.
1
1)  ctg2 x  c
2
3) ctg2x  c
42
2) 2ctg2x  c
1
tg2 x  c
2
4)
e x dx
14. Вычислите неопределенный интеграл 
методом подведения под
1  ex
знак дифференциала.
1) e x  x  c
3) ln 1  e x  c
2)  ln 1  e x  c
4) e x ln 1  e x  c


9
15. Вычислите неопределенный интеграл  x 2 x 2  1 dx методом подведения под знак дифференциала.
1)
1

4
2) 4 



8
c

2 x2  1

8
2 x2  1
3)
10
c
10
4)
1

4


2 x2  1
10
c
10

2 x2  1
10
c
10
16. Выберите задание, которое можно решить, используя метод замены переменной.
1)
2)
sin xdx
 cos2 x
xdx
  x  19
17. Вычислите неопределенный интеграл
4
 1
 2cos x   dx
x
x
3)
 
4)
x
3
xdx
ln 5 xdx
  x  2 4
методом замены пере-
менной.
1) 
1
2 x  2
2) x 
4

1 x2

c
2 2
2
3 x  2 
5
c
3) 
1
2
 3 c
2
2t
3t
4) 
1
2 x  2
2

2
3 x  2 
3
c
43
18. Вычислите неопределенный интеграл
x
dx
методом замены переx 1
менной.
1) 2arctg x  c
3) 2arctg x  1  c
2) 2arctgt  c
4)
1
arctg x  1  c
2
19. Выберите формулу интегрирования по частям.
1)
2)
 udv  uv   vdu
 udv   vdu  uv
20. В интеграле
x
n
3)
4)
 udv  uv   vdu
 udv  uv   udv
sin xdx выберите правильно значения u и dv .
1) u  sin x, dv  x n dx
3) u  x n dx, dv  sin x
2) u  x n , dv  sin xdx
4) u  sin xdx, dv  x n
21. В интеграле
x
n
ln xdx выберите правильно значения u и dv .
1) u  ln x, dv  x n dx
3) u  x n , dv  ln xdx
2) u  x n dx, dv  ln x
4) u  ln xdx, dv  x n
22. Вычислите неопределенный интеграл  x ln 9 x dx методом интегрирования по частям.
x2
x2
1)
ln x 
c
2
4
3)
9 x2 x2

c
2
2
x2
x2
x2
x2
2)
4)
ln 9 x 
c
ln 9 x 
c
18
4
2
4
23. Вычислите неопределенный интеграл  x sin x dx методом интегрирова-
ния по частям.
1) x cos x  sin x  c
x2
3)
cos x  c
2
x2
2)  cos  c
2
4)  x cos x  sin x  c
24. Если существует … интегральных сумм S (независимо от выбора точек
c1 , c2 ,...cn ), когда мелкость разбиения стремится к нулю, то этот … называется определенным интегралом от функции f  x  по отрезку  a; b .
1) неопределенный интеграл
3) бесконечный предел
44
2) конечный предел
4) дифференциал
25. Выберите неверное свойство определенного интеграла.
a
1)
 f  x  dx  0
a
b
2)
a
a
a
 f  x  dx   f  x dx
a
b
4)
b
  f  x   g  x  dx   f  x dx   g  x dx
a
b
3)
b
b
b
 kf  x dx  k  f  x dx
a
a
26. Выберите формулу Ньютона-Лейбница.
b
1)
b
 f  x  dx  F  a   F b 
3)
a
b
2)
 f  x  dx  f  b   f  a 
a
b
 f  x dx  F  b   F  a 
4)
a
 f  x  dx  F b   F  a 
a
2
27. Вычислите определенный интеграл  x dx .
0
1) 1
1
2)
2
28. Вычислите определенный интеграл
3) 0
4) 2
3
2
 cos x dx .

1) 1
2) 0
2
29. Вычислите определенный интеграл

0
1) 0
2)

3
3) 1

4)
2
dt
16  t 2

2

4)
6
3)
.
45
30. Какая формула соответствует методу замены переменной в определенном
интеграле?
1)
2)
3)
b
b
a
x2
a
t2
x1
t1
b
b
/
 f  x dx   f u  x    u  x  dx
/
 f  x  dx   f  x  t  x  t  dt
 udv   uv  a   vdu
a
b
4)
b
a
du
 u  ln u
a
b
 ln b  ln a
a
b  a  0
1
31. Вычислите определенный интеграл  e3 x dx .
1
3
1) e  e3
2)

1 3
e e
3
3) e3  e

4)

1
e  e3
3


x
32. Вычислите определенный интеграл  sin dx .
2

2
1)
3)  2
2
2) 
2
2
4)
2
2
33. Несобственный интеграл по промежутку  a;   от функции f  x  , непрерывной на  a;   , определяется формулой …
1)
2)
3)

b
a

a
b
f  x  dx
 f  x  dx  blim
 
f  x  dx
 f  x  dx  alim
 
a

b
a
a
a
 f  x  dx  f  x  dx
46
4)

b
b
a
a
a
f  x  dx  lim  f  x  dx
 f  x  dx  alim
 
b
34. Если криволинейная трапеция задана линиями y  f1  x  , y  f 2  x  ,
x  a, x  b , где f1  x   f 2  x  и f1  x   0, f 2  x   0 , то площадь данной
трапеции вычисляется по формуле …
b
1) S    f 2  x   f1  x  dx
a
b
b
3) S   f1  x  dx
a
b
4) S    f1  x   f 2  x   dx
2) S   f 2  x  dx
a
a
35. Выберите неверную формулу.
b

1) L   1  f
/
 x 
2
b
dx
a
b
3) V    f 2  x dx
a
t2
2) A   F  x  dx
4) V   S  t  dt
a
t1
36. Выберите неверный ответ для высказывания: «При помощи определенного интеграла можно вычислить …»
1) скорость тела
3) объем тела вращения
2) ускорение тела
4) длину дуги
37. Выберите формулу, по которой можно вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y  4 x 2 , y  0, x  2, x  5 .
2
5
1) S   4 x dx
3) S   4 x 2 dx
2
5
5
2


2) S   0  4 x dx
2
4 x2
4) S 
2
  5  2  dx
0
38. Выберите формулу, по которой можно вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y  x  6, y  x 2 , x  2, x  3 .
3
1) S 
  x  6  x  dx
2
2
3
3) S 
 x
2
2

 x  6 dx
47
2
2) S 
  x  6  x  dx
2
3
3
4) S 
 x
2

 x  6 dx
2
39. Выберите формулу вычисления площади криволинейной трапеции в полярных координатах.

1
1) S   r    d 
2

1
2) S     r  dr
2

1
3) S   r 2    d 
2

4) S   r 2    d 

40. Выберите формулу, по которой можно вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y 2  9  x, x  0 вокруг
оси Оу.
3
1) V     9  x  dx
3
3
2) V 
2
  9  y  dy
3
3


3) V    9  y 2 dy
3
3
4) V     9  x  dx
3
Тест 7
Дифференциальное и интегральное исчисление
функций нескольких переменных
1. Функция z  f  x, y  называется функцией двух переменных х и у , если
каждой упорядоченной паре  x, y  из некоторого множества D соответствует по некоторому правилу или закону …
1) бесконечное множество чисел z
3) число z равное нулю
2) одно определенное число z
4) функция f  x, y 
2. Линией уровня функции z  f  x, y  называется множество  x, y  точек
плоскости, в которых функция принимает …
1) одно и то же значение
3) значения равные бесконечности
2) разные значения
4) верные значения
3. Множество D называется открытым, если оно состоит только из …
1) внешних точек
3) различных точек
48
2) граничных точек
4) внутренних точек
4. Число А называется пределом функции z  f  x, y  при стремлении точки
M  x, y  к точке M 0  x0 , y0  , если     0 такое, что для всех
M  x, y   D удовлетворяющих неравенству 0  MM 0   , выполняется
неравенство …
1) f  x, y   A  
3) f  x, y   A  
2) f  x, y   A  
4) f  x, y     A
5. Функция z  f  x, y  называется непрерывной в точке M 0  x0 , y0  , если
она определена в этой точке и выполняется равенство …
1) lim f  x, y    x0 , y0 
3) lim f  x, y   f  x0 , y0 
2) lim f  x, y   f  x, y 
4) lim f  x, y   
x x0
y  y0
x x0
y  y0
x x0
y  y0
x x0
y  y0
6. Если существует конечный предел …, то он называется частной производной функции z  f  x, y  в точке M 0 по переменной х.
yz
z
1) lim
3) lim
y 0 y
z 0 x
x z
x0 x
2) lim
x
x0  x z
4) lim
7. Выберите неверное обозначение частной производной по переменной х.
1)
 z  x, y 
x
2) zx/  x, y 
3) f x/  x, y 
4)
 f  x, y 
y
8. Вычислите частные производные функции z  x y  2 x .
1)
z
 x y ln x
x
3)
z
 xy  2
x
49
z
 yx y 1  2
y
2)
z
 yx  2
x
z
 xy
y
4)
z
 x y ln y
y
z
 yx y 1  2
x
z
 x y ln x
y
9. Вычислите частные производные функции u  4 x 2 y 3  3xy 4 .
1)
u
 12 x 2 y 2  12 xy 3
x
3)
u
 8 xy 3  3 y 4
y
2)
u
 8 xy 3  3 y 4
x
u
 8 xy 3  12 xy 3
x
u
 12 x 2 y 2  3 y 4
y
4)
u
 12 x 2 y 2  12 xy 3
y
u
 12 x 2 y 2  3 y 4
x
u
 8 xy 3  12 xy 3
y
10. Вычислите частные производные функции z  euv  sin 2v .
1)
z
 veuv
u
3)
z
 ueuv  2cos 2v
v
2)
z
 ueuv
u
z
 veuv  2cos 2v
v
z
 veuv  2cos v
u
z
 ueuv  cos 2v
v
4)
z
 ueuv  2cos 2v
u
z
 veuv
v
11. Необходимое условие дифференцируемости: если функция z  f  x, y 
дифференцируема в точке M 0  x0 , y0  , то она имеет в этой точке …
 z  x0 , y0 
 z  x0 , y0 
A и
B
x
y
 z  x0 , y0 
 z  x0 , y0 
2)
 и
B
x
y
1)
50
 z  x0 , y0 
 z  x0 , y0 
 и

x
y
 z  x0 , y0 
 z  x0 , y0 
4)
A и

x
y
12. Пусть функция z  f  x, y  дифференцируема в точке M 0  x0 , y0  . Полным
дифференциалом функции в точке M 0 называется линейная относительно
приращений x и y часть полного приращения этой функции в точке M 0 .
Выберите верную формулу.
3)
1) dz  A  B
3) dz  Ax  By
2) dz  Ax  By
4) dz  x  y
13. Найдите полный дифференциал функции u  2 x 2 y .
1) du  4 x 2 ydx  2 xydy
3) du  2 x 2 dx  4 xydy
2) du  4 xydx  2 x 2 dy
4) du  4 xydx  2 x 2 dy
14. Найдите полный дифференциал функции z  x cos xy .
1) d z   xy sin xydx  x 2 sin xydy
2) dz   x2 sin xydx   cos xy  xy sin xy  dy
3) dz   cos xy  xy sin xy  dx  x2 sin xydy
4) dz   cos xy  x sin xy  dx  x sin xydy
15. Найдите полный дифференциал функции p  u 2  5v .
1) dp  2u  5v du  u 2  5v ln 5 dv
3) dp u 2  5v 5du  2u  5v dv
2) dp  2udu  5v ln 5 dv
4) dp  2u  5v ln 5du  u 2  5v dv
16. Выберите неверное обозначение частной производной высшего порядка.
2 z
1)
 xy
3)
3 z
2)
 x 2 y 2
6 z
4)
 xy 5
4 z
 x 3y
51
 3u
17. Найдите частную производную
от функции u  6 x 2  x 3 y .
2
 x y
 3u
1)
 12  6 xy
 x 2 y
2)
 3u
 6x
 x 2 y
 3u
3)
 12 x  3x 2 y
2
 x y
4)
 3u
 6y
 x 2 y
2 z
18. Вычислите частную производную
от функции z  x5  3 y 2 .
 xy
2 z
 5x4
1)
 xy
2 z
 5x4  6 y
3)
 xy
2 z
 6 y
2)
 xy
2 z
0
4)
 xy
19. Пусть z  f  x, y   функция двух переменных х и у, каждая из которых
является функцией независимой переменной t : x  x  t  , y  y  t  , то есть
z  f  x  t  , y  t   , тогда производная сложной функции вычисляется по
формуле …
z z x z  y




t  x t  y t
z z z
2)


t  x  y
1)
z x  y


t t t
z z  y z x
4)




t  x t  y t
3)
20. Пусть z  f  x, y   функция двух переменных х и у, которые, в свою очередь, зависят от двух переменных u и v , то есть x  x  u, v  , y  y  u, v  .
Тогда частные производные сложной функции z  f  x  u, v  , y u, v  
находятся по формуле …
1)
z z z
z z z
;




u  x  y  v  x  y
2)
z z x z  y z z x z  y








;
u  x u  y u
v  x v  y v
52
3)
z x  y z x  y
;




u u u
v v v
4)
z z  y z x z z  y z x
;








u  x u  y u  v  x  v  y  v
21. Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции, тогда производная неявной функции вычисляется по формуле …
F
y
3) y /  
F
x
F
1) y /   x
F
y
F
y
2) y / 
F
x
F
4) y /  x
F
y
22. Если функция z  f  x, y  имеет в точке M 0  x0 , y0  локальный экстремум
и существуют ее конечные частные производные, то …
1)
 f  x0 , y0 
 1,
x
2)
 f  x0 , y0 
 ,
x
3)
 f  x0 , y0 
 0,
x
4)
 f  x0 , y0 
 ,
x
 f  x0 , y0 
1
y
 f  x0 , y0 
 
y
 f  x0 , y0 
0
y
 f  x0 , y0 
 
y
23. Согласно достаточного условия экстремума функции двух переменных,
A B
если  
 0 и A  0 , то функция в точке M 0 …
B C
1) не имеет экстремума
3) имеет разрыв второго рода
2) имеет локальный минимум
4) имеет локальный максимум
53
24. Двойным интегралом функции z  f  x, y  по области D называется предел, не зависящий от разбиения области D и от выбора точек разбиения
вида …
n
1) lim f  x, y  Si
3) lim
S 0
0
n
2) lim  f  xi , yi  Si
0
 f  x, y  Si
i 1
4) lim f  xi , yi  Si
i
i 1
25. Выберите неверное свойство двойного интеграла,
1)
 k f  x, y  dxdy  k  f  x, y  dxdy
D
2)
D
 f  x, y  dxdy  f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy , где D разбита на две
D
D1
D2
части D1 и D2 .
3)
  f  x, y   g  x, y  dxdy  f  x, y  dxdy   g  x, y  dxdy
D
D
D
4)   f  x, y   g  x, y  dxdy  f  x, y  dxdy   g  x, y dxdy
D
D
D
2
x
1
0
26. Вычислите повторный интеграл  dx  dy .
1
2
x2
4)
2
1) 1
2) 1
3)
1
2
1
27. Вычислите повторный интеграл
4
 x dx  dy .
2
1
3
3
1)
x
3
2) 1
3)
2
3
4) 0
54
28. Масса пластинки, занимающей область D с плотностью распределения
массы     x, y  , вычисляется по формуле …
1) m     x, y dxdy
3) m   x 2  x, y dxdy
D
D
2) m   dxdy
4) m   y 2  x, y dxdy
D
D
29. Выберите неверную формулу.
1) S   dxdy
3) V     x, y  dxdy
D
D
2) I x   y 2  x, y  dxdy
4) xc 
 xdxdy
D
S
D
I y   x 2  x, y  dxdy
D
yc 
 ydxdy
D
S
30. Градиентом скалярного поля u  u  x, y, z  в точке M  x, y, z  называется
вектор …
1) gradu 
u
u
u
i
j
k
x
y
z
2) gradu 
u u u


x  y z
 2u
 2u
 2u
i
j
k
3) gradu 
 x y
 y z
 x z
4) gradu 
x
y
z
i
j
k
u
u
u
31. Вычислите градиент функции z  e x  sin y в точке M 0  0,0  .
1) grad z  i  j
3) grad z  e x i  cos y j
2) grad z  i  j
4) grad z  i  j
55
32. Дивергенция векторного поля a  P  x, y, z  , Q  x, y, z  , R  x, y, z  в точке
M  x, y, z  определяется равенством …
1) div a 
P
Q
R
i
j
k
x
y
z
3) div a 
P Q R


x  y z
2) div a 
Q R P


x  y z
4) div a 
x  y z


 P Q  R
33. Найдите дивергенцию векторного поля a  x 2 i  xy 2 j  e z k в точке
M 0 1; 1;0  .
1) div a  e
3) div a  3
2) div a  1
4) div a  1
34. Ротором векторного поля a  P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k в точке
M  x, y, z  называется вектор …



i
j
k
x  y z



1) rot a 
3) rot a 
x  y z
i
j
k
Q
R
P
R
P
Q
2) rot a 
i
j
k

x
P

y
Q

z
R
R

4) rot a 
x
i
Q

y
P

z
j
k
35. Выберите верную формулу, по которой вычисляется ротор векторного
поля a  z 2 i  x j  y 2 k .
x
1) rot a  i

x
y2
z2
j

y
k

z
i

3) rot a 
x
j

y
k

z
z2
x
y2
56
2) rot a 
i
j
k

x
2z

y
1

z
2y
i

4) rot a 
x
j

y
k

z
x
y2
z2
36. Пусть кривая K задана параметрически, то есть
y  y  t  , t   a; b , где a  b , тогда ds 
x  x t  ,
 x t    y t 
/
2
/
2
и криволинейный интеграл первого рода вычисляется по формуле …
1)
/
/
 f  x, y ds   f  x  t  , y t    x t     y t  
2
K
2)
3)
dt
K
b

f  x, y ds  
K
a

2
 x t    y t 
2
/
/
b
f  x, y ds   f  x  t  , y  t  
K
2
dt
 x t    y t 
/
2
/
2
dt
a
b
4)
 f  x, y ds   f  x t  , y t   dt
K
a
37. Пусть кривая K – график функции y  y  x  где x   a; b , a  b ,

ds  1  y /  x 

2
dx , тогда криволинейный интеграл первого рода вы-
числяется по формуле ...
b
1)
 f  x, y ds   f  x, y  x   dx
K
2)

K
3)
4)
a
b

f  x, y ds   f  x, y  x   1  y /  x 
b


K
a
K
2
dx
a
f  x, y ds   1  y /  x 



2
dx

f  x, y ds   f  x, y  x   1  y /  x 
K

2
dx
dt
57
38. Выберите верный определенный интеграл, с помощью которого можно
вычислить криволинейный интеграл первого рода  xyds , где K – отреK
зок прямой y  4 x  1 , заключенный между точками A  0,0  и B 1,1 .
1
1)
2)
 x  4 x  1
0
3)
17 dx
  4 x  1
0
1
1
1
 xy
4)
17 dx
0
 x  4 x  1
17 dx
5 dx
0
39. При помощи криволинейного интеграла первого рода нельзя вычислить …
1) массу кривой K
3) длину кривой K
2) момент инерции кривой K
4) работу переменной силы
40. Выберите неверную формулу вычисления криволинейного интеграла
второго рода.
tB
1)
 P  x, y dx  Q  x, y  dy    P  x t  , y t    Q  x t  , y t   dt
AB
tA
xB
2)
/
 P  x, y dx  Q  x, y  dy    P  x, y  x    Q  x, y  x   y  x  dx
AB
xA
tB
3)
/
/
 P  x, y dx  Q  x, y  dy    P  x t  , y t   x t   Q  x t  , y t   y t  dt
AB
tA
yB
4)
/
 P  x, y dx  Q  x, y  dy    P  x  y  , y  x  y   Q  x  y  , y  dy
AB
yA
Тест 8
Дифференциальные уравнения
1. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида …


n
1) F x, y, y / , y // ,..., y    0
3) F ( x)  0
58

2) F  x, y   0

4) F x, y, y 2 , y 3 ,..., y n  0
2. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
вида…
 
2) F  x, y, y   0
3) F  x, y   0
1) F y, y //  0


4) F x, y, y /  0
2
3. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, зависящая …
1) от произвольной постоянной с
2) от независимой переменной х и произвольной постоянной с
3) от независимой переменной х
4) от зависимой переменной у и произвольной постоянной
4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида…

1) y /  f x, y, y /

3) y /  f  x   g  y 
2) y /  f  x   g  y 
4) y /  f  x   g  y 
5. Выберите верный ответ, решив дифференциальное уравнение с разделенdy
dx
ными переменными
.

y 1  x2
1
1) ln y  ln 1  x 2  c
3)  2  2x  c
y


y2
x3
2)
4) ln y  arctg x  c
x
c
2
3
6. Решите дифференциальное уравнение с разделенными переменными
dx
6dy 
.
x 1
1) 6 y 
 x  12
2
c
3) 6  
1
 x  1
2
c
59
2) 6 
1
c
x 1
4) 6 y  ln x  1  c
7. Выберите верный ответ, решив дифференциальное уравнение с разделяю4
щимися переменными e x dy  dx  0 .
y
4
1) e  x  2  c
3) 4ln y  e x  c
y
2)
y2
 4e x  c
2
4)
e x1 4 y 2

c
x  1
2
8. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
x
10 y /  .
y
1)
y 2 x2

c
2
2
3) 5 y 2 
x2
c
2
4) 10y  x  c
2) 10ln y  ln x  ln c
9. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, получаемое из … при конкретном значении постоянной с.
1) общего решения
3) граничных условий
2) начальных условий
4) частного решения
10. Вычислите значение с, если общее решение дифференциального уравне
ния имеет вид y  c sin x , а начальное условие y    1.
2

1) c  1
3) c 
2
2) c  0
4) c  sin x
11. Вычислите значение с, если общий интеграл имеет вид
x
ln x  1  2sin  c , а начальное условие y  0    .
2
1) c  
3) c  0
2) c  2
4) c  2
60
12. Выберите частное решение, если общее решение дифференциального
уравнения имеет вид y  4 x 2  ln x  c , где начальное условие y 1  3 .
1) y  4 x2  ln x  1
3) y  4 x2  ln x  7
2) y  4 x2  ln x  7
4) y  4 x 2  ln x  3
13. Выберите частный интеграл, зная общий интеграл e3 y 1  cos x  c и
1

начальное условие y     .
3
3
1) e3 y 1  cos x 
2) e3 y1  cos x 
1
2
3
2
3) e3 y 1  cos x 
3
2
4) e3 y 1  cos x 
1
2
14. Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное
уравнение вида …
1) y /  p  x  y  f  y 
3) y /  p  x  y  f  x 
2) y /  p  y  y  f  y 
4) y /  p  x   f  x 
15. Если в дифференциальном уравнении y /  p  x  y  f  x  правая часть
тождественно равна нулю, то уравнение называется …
1) линейным однородным
2) нелинейным
3) линейным неоднородным
4) уравнением высшего порядка
16. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищется при помощи формулы …
v x 
1) y  u  x   v  x 
3) y  u  x 
2) y 
u  x
v x
4) y  u  x   v  x 
61
17. Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка
y/  y  ex .
1) y   x  c  ln x
3) y  x  c
 x2

2) y    c  e x
 2

4) y   x  c  e x
18. Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде …


4) F  x, y, y , y
1) F ( x, y)  0

3) F x, y, y /  0

2) F x, y, y / , y //  0
/
//

, y ///  0
19. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка представляет собой функцию …
1) y    x, C 
3) y    x 
2) y    C1 , C2 
4) y    x, C1 , C2 
20. Выберите вид уравнения, которое не является дифференциальным уравнением второго порядка, допускающее понижение порядка.

1) y //  f y, y /

3) y //  py /  qy  0

2) y //  f  x 
4) y //  f x, y /

21. Дифференциальное уравнение y //  f x, y /


можно решить произведя
замену …
1) y /  p  x  , y //  p /  x 
2) y /  p  y  , y //  p
dp
dy
3) y /  p  x, y  , y //  p /  x, y 
4) y /  p  x  , y //  p
dp
dy
62
22. Решите дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее поy //
нижение порядка
 1.
x
x2
1) y 
 c1
2
3) y  ln x  x  c1  c2
x3
2) y 
 c1 x  c2
6
x2
4) y 
 c1 x  c2
2
/
23. Найдите частное решение дифференциального уравнения y //  sin x ,
y  0   1 , y  0   1 .
1) y   sin x  2 x  1
3) y   sin x  2 x  1
2) y   sin x  2 x  1
4) y   sin x  2 x  1
24. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется
уравнение вида …
1) y /  p  x  y  f  x 
3) y //  p  x  y  f  x 
2) y ///  p  x  y //  q  x  y /  f  x 
4) y //  p  x  y /  q  x  y  f  x 
25. Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. вида y //  py /  qy  0 решается с помощью замены …
1) y  u  x   v  x 
3) y  p  y  , y //  p
2) y  e kx
4) y  ln kx
dp
dy
26. Выберите неверный ответ: характеристическое уравнение k 2  pk  q  0
может иметь …
1) комплексно-сопряженные корни
3) пустое множество корней
2) действительные равные корни
4) действительные разные корни
63
27. Если характеристическое уравнение k 2  pk  q  0 имеет комплексносопряженные корни k1,2    i  , то решение ищем в виде …
1) y  c1e k1x  c2 e k2 x
3) y   c1  c2 x  ekx
2) y  ex  c1 cos  x  c2 sin  x 
4) y  ex  c1 cos  x  c2 sin  x 
28. Найдите общее решение ЛОУ y //  y /  2 y  0 .
1) y   c1  c2 x  e x
3) y  c1e x  c2 e 2 x
2) y  e2 x  c1 cos x  c2 sin x 
4) y  c1e x  c2 e 2 x
29. Найдите общее решение ЛОУ y //  2 y /  y  0 .
1) y  c1e x  c2 e x
3) y   c1  c2 x  e x
2) y  c1e 2 x  c2 e x
4) y  e x  c1 cos x  c2 sin x 
30. Найдите общее решение ЛОУ y //  4 y /  13 y  0 .
1) y   c1  c2 x  e3x
3) y   c1  c2 x  e2 x
2) y  e2 x  c1 cos3x  c2 sin3 x 
4) y  c1e 2 x  c2 e3 x
31. Решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вычисляется по формуле …, где y  общее
решение ЛОУ, y  частное решение ЛНУ.
1) y  y  y
3) y  y  y
2) y  y
4) y  y
32. Выберите верный ответ решения ЛНУ, если y  e x  c1 cos2 x  c2 sin 2 x  , а
y  4cos 2 x  3sin 2 x .
1) y  4cos2 x  3sin 2 x
2) y  e x  c1 cos2 x  c2 sin 2 x   4cos2 x  3sin 2 x
3) y  e x  c1 cos2 x  c2 sin 2 x 
4) y  e x  c1 cos2 x  c2 sin 2 x  4cos2 x  3sin 2 x 
64
33. Если правая часть ЛНУ y //  py /  qy  f  x  имеет вид f  x   Pn  x  eax
где Pn  x  – многочлен степени п, а – действительное число, то частное
решение дифференциального уравнения ищется в виде …
1) y  xr Qn  x 
3) y  xr Qn  x  eax
2) y  Qn  x  eax
4) y  xr Pn  x  eax
34. Выберите частное решение ЛНУ, если дифференциальное уравнение
имеет вид y //  2 y /  y  2 x 2  4 .
1) y  Ax 2  Bx  C

2) y  x Ax 2  Bx  C


3) y  Ax 2  Bx  C e x

4) y  Ax  B
35. Выберите частное решение ЛНУ, если дифференциальное уравнение имеет вид y //  y  e x .


1) y  Ae  x
3) y  Ax 2  Bx  C e x
2) y  Ax
4) y  Axe  x
36. Составьте общее решение ЛНУ, если y  xe2x , а линейное однородное
уравнение имеет вид y //  y  0 .
1) y   c1  c2 x  e x
3) y  e x  c1 cos x  c2 sin x   xe2 x
2) y   c1  c2 x  e x  xe2 x
4) y  xe2x
37. Если правая часть ЛНУ y //  py /  qy  f  x  имеет вид
f  x   M cos bx  N sin bx , где M, N, b – действительные числа, то частное
решение дифференциального уравнения ищется в виде …
1) y  M cos bx  N sin bx
3) y  xr  M cos bx  N sin bx 
2) y  xr  A cos bx  B sin bx 
4) y  xb  A cos r x  B sin r x 
65
38. Выберите частное решение ЛНУ, если дифференциальное уравнение имеет вид y //  y  cos x .
1) y  Ax cos x
3) y  x  A cos x  B sin x 
2) y  A cos x  B sin x
4) y  x2  A cos x  B sin x 
39. Выберите частное решение ЛНУ, если дифференциальное уравнение имеет вид y //  4 y /  sin 2 x .
1) y  x  A cos2 x  B sin 2 x 
3) y  x2  A cos2 x  B sin 2 x 
2) y  A cos 2 x  B sin 2 x
4) y  B sin 2 x
40. Выберите расчетные формулы метода Эйлера.
1) yk  f  xk , yk  x , yk 1  yk  yk
2) yk 
1
   2  2    , yk 1  yk  yk
6
f /  xk 
3) yk 
, yk 1  yk  yk
f  xk 
4) yk 
f  xk , yk 
f /  xk , yk 
, yk 1  yk  yk
Тест 9
Ряды
1. Числовым рядом называется выражение вида:
1) а1  а2  а3  ...  ап  ... ;
3) а1  а2  а3  ...  ап  ... ;
2) а1 , а2 , а3 , ..., ап , ... ;
4) S1 , S2 , S3 , ..., Sп , ... .
2. Ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности
частичных сумм ряда:
S  lim Sn , где …
n
1) S    ;
3) S    ;
66
4) S  функция, зависящая от п .
2) S  const ;
3. Геометрический ряд

 aq n сходится тогда и только тогда, когда его зна-
n0
менатель …
1)
3) q  1 ;
q 1 ;
2) q  1 ;
4)
q  1.
4. Выберите первые пять членов ряда по заданному общему члену
1
, n  1, 2, 3, ...
an 
2n  1
1) 1,
1 1 1 1
, , , ;
3 5 7 9
2) 1, 1,
3)
1 1 1
;
, ,
3 5 7
1 1 1 1 1
;
, , , ,
3 5 7 9 11
4) 1, 3, 5, 7, 9 .
5. Выберите первые четыре члена ряда по заданному общему члену
5n
an  , n  0,1, 2, ...
n!
5 52 53
,
1) 5, ,
;
1! 2 ! 3!
3) 1, 5,
25 125 625
2) 5,
;
,
,
2
6
24
52 53 54
,
,
4) 5,
.
2 ! 3! 4 !
6. Составить формулу общего члена ряда:
1) an 
2) an 
2n  1
, n  1, 2, 3, ... ;
n  n  1
2n  1
n
2
 n  1
2
, n  1, 2, 3, ... ;
25 125
;
,
2
6
3
5
7


 ...
12  22 22  32 32  42
3) an 
4) an 
2n
 n  1  n  12
2
2n  1
n
2
 n  1
2
, n  1, 2, 3, ... ;
, n  1, 2, 3, ... .
67
7. Составить формулу общего члена ряда:
n 1
, n  1, 2, 3, ... ;
2 n1
n
2) an  n1 , n  0,1, 2, ... ;
2
n 1
, n  0,1, 2, ... ;
2n
n
4) an  n , n  1, 2, 3, ... .
2
1) an 
8. Исследуйте на сходимость ряд:
1 2
3
 2  3  ...
2 2
2
3) an 

1
 5n  2 :
n 1
1) сходится абсолютно;
3) сходится условно;
2) расходится;
4) сходится.

7n
9. Исследуйте на сходимость ряд: 
:
2
n 0
1) расходится;
3) сходится условно;
2) сходится абсолютно;
4) сходится.
10. Если ряд сходится, то его общий член стремится …
1) к единице;
3) к бесконечности;
2) к нулю;
4) к последовательности частичных
сумм.
11. Числовой ряд расходится, если …
1) lim an   ;
3) lim an  0 ;
2) lim an  0 ;
4) lim an  1 .
n
n
n
n

12. Исследуйте на сходимость ряд:
2n
 2n  1 :
n 1
1) расходится;
3) сходится условно;
2) сходится абсолютно;
4) сходится.
68
13. Если для знакоположительного ряда

 an
существует конечный или
n 1
1) при
при
an1
, то…
n   an
3) при
 1 ряд сходится
при
 1 ряд расходится
 1 ряд сходится
 1 ряд расходится
2) при
при
 1 ряд сходится
 1 ряд расходится
 1 ряд сходится
 1 ряд расходится
бесконечный предел
 lim
4) при
при
14. Выберите неверный ответ: для определения поведения знакоположительного ряда используют …
1) признак Даламбера;
3) признак сравнения;
2) признак Лейбница;
4) интегральный признак Коши.
15. Какой признак сходимости необходимо применить для ответа на вопрос о

n
 n 
поведении ряда:  
 .
2
n

1


n 1
1) признак Даламбера;
3) радикальный признак Коши;
2) признак сравнения;
4) интегральный признак Коши.
16. Какой признак сходимости необходимо применить для ответа на вопрос о

4n
поведении ряда: 
.
n

1
!


n 1
1) признак сравнения;
3) радикальный признак Коши;
2) интегральный признак Коши; 4) признак Даламбера.
17. Выберите лишний ответ при проверке выполнений условий интегрального признака Коши.
1) f  x   0 на 1;    ;
2) f  x 
0 на 1;    ;
3) f  x   0  четная на 1;    ;
4) f  x   0  непрерывна на 1;    .
69
18. Согласно интегральному признаку Коши, если несобственный интеграл

 f  x  dx сходится, то…
1
1) ряд сходится;
2) ряд условно сходится;
3) признак не дает ответа о поведении ряда;
4) ряд расходится.
19. Выберите правильный ответ: гармонический ряд…
1) сходится;
3) расходится;
2) абсолютно сходится;
4) условно сходится.
20. Выберите обобщенно-гармонический ряд.


1
1)  ;
n 1 n

2)

3)
n0
 1n ;
n 1
 aq n ;

4)
n
1
 np .
n 1
21. Обобщенно-гармонический ряд расходится при …
1) p  1 ;
3) p   ;
2) p  1 ;
4) любом значении р .
22. Исследуйте на сходимость ряд:

5
 n3  4 :
n0
1) сходится условно;
3) расходится;
2) сходится;
4) сходится абсолютно.

23. Исследуйте на сходимость ряд:
5
n1
3
n
2
:
1) сходится ;
3) сходится абсолютно;
2) сходится условно;
4) расходится.
70
24. Выберите неверный ответ: знакопеременные ряды могут…
1) абсолютно сходиться;
2) одновременно сходиться и расходиться;
3) расходиться;
4) условно сходиться.
25. Выберите знакочередующийся ряд.
1) b1  b2  b3  b4  ...   1
n1
bn  ... ; 3) b1  b2  b3  ...  bn  ... ;
2) b1  b2  b3  b4  ...  bn  ... ;
4) b1  b2  b3  b4  b5  b6  ... .
26. Выберите признак, который применяется только для знакочередующегося
ряда.
1) признак сравнения;
3) признак Лейбница;
2) интегральный признак Коши;
4) радикальный признак Коши.

27. Исследуйте на сходимость ряд:
 1n
 n2  1 :
n 1
1) сходится условно ;
3) сходится;
2) расходится;
4) сходится абсолютно.

28. Исследуйте на сходимость ряд:

n1
 1n  2n
3n  8
:
1) расходится;
3) сходится условно;
2) сходится абсолютно;
4) сходится.

29. Исследуйте на сходимость ряд:
 1n1
 4n  2 :
n 1
1) сходится абсолютно;
3) расходится;
2) сходится условно;
4) сходится.
30. Степенным рядом (по степеням х) называется функциональный ряд вида…
1) C0  C1  C2  ...  Cn  ... ;
71
2) C0  C1 x  C2 x 2  ...  Cn x n  ... ;
3) C0  C1  x  a   C2  x  a   ...  Cn  x  a   ... , где a  0 ;
2
n
4) C0 x  C1 x 2  C3  x  a   ...  Cn x n  ... .
3
31. Радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле…
1) R  lim
Cn1
n
2) R  lim
;
3) R  lim
Cn ;
4) R  lim
Cn
n
n0
Cn
Cn1
Cn
;
.
Cn1
32. Выберите свойство, не являющееся верным для степенных рядов в интервале сходимости.
n
n
1) степенной ряд можно почленно дифференцировать;
2) степенной ряд можно почленно обнулить;
3) сумма степенного ряда непрерывна;
4) степенной ряд можно почленно интегрировать.

n2  3
n
33. Найдите радиус сходимости ряда:  n   x  3 :
n 0 3
1) R  1;
3) R  3 ;
1
2) R  ;
3
4) R   .
34. Найдите радиус сходимости ряда:

n5
  n  1!  x n :
n 1
1) R   ;
3) R  2 ;
2) R  0 ;
4) R  1.

nx n
35. Найдите интервал сходимости ряда:  n :
n 1 2
1)
 ;  
;
3)
 2;2  ;
72
 1 1
2)   ;  ;
 2 2
4)
36. Найдите интервал сходимости ряда:
 1;1 .

  2n2  1  x  2 
n
n 1
1)
 1;1 ;
3)
2) 1;3 ;
 3; 1 ;
4)  ;   .
37. Найдите интервал сходимости ряда:

 1n1  x  5n
n1
n  3n

1)
 8; 2  ;
3)  ;   ;
2)
 3;3 ;
4)
38. Найдите интервал сходимости ряда:
 2;8  .

 1n x n
n 1
n!

:
1)
 2;2  ;
3) x  0 ;
2)
 ;   ;
4)  1;1 .

39. Найдите область сходимости ряда:
xn
  2 n  3   5n :
n1
1)  5;5 ;
3)
2) 5;5 ;
4)  5;5 .
40. Найдите область сходимости ряда:
 5;5 ;

  4n  1 x  3
n1
1)
 2;4 ;
3)  2;4 ;
2)  2;4  ;
4)
 2;4  .

xn
41. Найдите область сходимости ряда:  2
:
n

9
n 1
1)
 1;1 ;
3)  1;1 ;
n
:
:
:
73
2)  1;1 ;
4)  1;1 .
42. Выберите неверную формулу разложения функции в ряд Маклорена.
x 2 x3 x 4


 ... , при 1  x  1 ;
2
3
4
x2 x4
2) cos x  1 

 ... , при   x   ;
2! 4!
x x 2 x3
3) sin x  

 ... , при   x   ;
1! 2! 3!
x x2
xn
x
4) e  1  
 ... 
 ... , при   x   .
1! 2!
n!
1) ln 1  x   x 
43. Если функция f ( x) в окрестности точки x0 имеет производные всех порядков, то рядом Тейлора функции f ( x) называется степенной ряд вида…
n
f /  x0 
f    x0 
1) f  x0  
 x  x0   ... 
 x  x0 n  ... ;
1!
n!
n
f /  0
f    0 n
x  ... 
x  ... ;
2) f  0  
1!
n!
n
f /  x0 
f    x0  n
x  ... 
x  ... ;
3) f  x0  
1!
n!
n
f /  x0 
f    xn 
4) f  x0  
 x  x0   ... 
 x  x0 n  ....
1
n
44. Разложить функцию f  x   xe2x в ряд Маклорена и указать интервалы,
где разложение верно.
 2 x 
2 x  2 x 

 ... 
 ... на  ;   ;
1) f ( x)  1 
1!
2!
n!
2
2) f ( x)  1  2 x  2 x  ... 
2
n
 2 x n
n!
 ... на  ;   ;
 2  x n1
1
 ... на  ;   ;
3) f ( x)   2  2 x  ... 
x
n!
n
74
4) f ( x)  x  2 x  2 x  ... 
2
3
 2 n x n1
n!
 ... на  ;   .
45. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x)  sin x 2 и указать интервал,
где разложение верно.
1) f ( x)  x 
x3 x5 x 7


 ... на  ;   ;
3! 5! 7!
x3 x5 x 7
2) f ( x)  1 


 ... на  ;   ;
2! 4! 6!
x6 x10 x14
3) f ( x)  x 


 ... на  ;   ;
3! 5!
7!
2
x2 x4 x6
4) f ( x)  1 


 ... на  ;   .
2! 4! 6!
46. Разложить функцию f ( x)  ln x в ряд Тейлора по степеням x  1 и указать
интервалы, где разложение верно.
x 2 x3 x 4
1) f ( x)  x 


 ... на  0;2 ;
2
3
4
2) f ( x)   x  1 
 x  12  x  13  x  14
2!

3!

4!
 ... на  1;1 ;
x 2 x3 x 4
3) f ( x)  x 


 ... на  1;1 ;
2! 3! 4!
4) f ( x)   x  1 
 x  12  x  13  x  14
2

3

4
 ... на  0;2 .
47. Тригонометрическим рядом называется ряд вида…
a0 
   an cos x  bn sin x  ;
1)
2 n1

2) a0   bn sin nx ;
n 1

3) a0    a cos nx  b sin nx  ;
n 1
a0 
   an cos nx  bn sin nx  .
4)
2 n1
75
Тест 10
Теория вероятностей
1. Два события, которые не могут наступить одновременно в данном опыте,
называются…
1) противоположными
3) достоверными
2) несовместными
4) совместными
2. Событие, которое обязательно произойдет в результате данного опыта,
называется…
1) невозможным
3) противоположным
2) совместным
4) достоверным
3. Событие А «выпадение семи очков при подбрасывании игральной кости
является » …
1) противоположным
3) несовместным
2) невозможным
4) достоверным
4. Группа событий А1, А2, …, Ап называется полной группой событий, если в
результате данного опыта должно наступить…
1) хотя бы одно из этих событий
2) только одно из этих событий
3) достоверное и невозможное событие одновременно
4) противоположное событие
5. Опыт: производится два выстрела по мишени. Какие высказывания образуют полную группу событий
1) хотя бы одно попадание и два промаха
2) два попадания и два промаха
3) хотя бы одно попадание и одно попадание
4) хотя бы один промах и один промах
76
6. Суммой событий А и В называется событие, состоящее в наступлении…
1) только одного события А или В
2) обоих событий А и В
3) хотя бы одного из событий А и В
4) не более одного события А или В
7. Произведением событий А и В называется событие, состоящее в наступлении…
1) обоих событий А и В
2) не менее одного события А или В
3) не более одного события А или В
4) быть может событий А и В
8. Имеется три основных подхода в определении вероятности. Укажите лишнее.
1) классический
3) статистический
2) аксиоматический
4) гиперболический
9. Частота события А определяется формулой…
N
1) P  A 
3) P  A  Cnm p m q nm
MA
M
2) P  A  A
4) P  A  P  A  PA  B 
N
10. По цели производится 22 выстрела, причем зарегистрировано 16 попаданий. Найти частоту непопаданий по цели.
1) P 
3
11
3) P 
11
8
2) P 
8
11
4) P 
3
22
11. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено
100 выстрелов.
1) 15
3) 35
77
2) 85
4) 55
12. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность появления нечетного числа очков.
1)
1
3
3)
1
2
2)
1
6
4)
6
3
13. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность появления не менее трех очков.
1)
1
2
3)
2
5
2)
2
3
4)
1
3
14. В группе из 8 самолетов имеется 2 самолета-носителя ядерного боеприпаса. По группе выпускается одна зенитная управляемая ракета. Места самолетов-носителей в группе неизвестны. Найти вероятность того, что будет сбит один самолет-носитель.
1) 0,75
3) 0,2
2) 1,8
4) 0,25
15. В ящике 50 взрывателей среди них 5 неисправных. Из ящика наугад извлекают один взрыватель. Найти вероятность того, что вынутый взрыватель исправный.
1) 0,1
3) 45
2) 0,5
4) 0,9
16. Укажите верную формулу для нахождения числа сочетаний.
1) Cnm 
n!
m! n  m !
3) Cnm 
m! n  m !
n!
2) Cnm 
m!
n! n  m !
4) Cnm 
n! n  m !
m!
78
17. В классном отделении 30 курсантов, из них 24 успевающих. Укажите
верную формулу для вычисления вероятности того, что из 7 вызванных к
доске курсантов 6 являются успевающими?
1) P 
2) P 
6
C24
 C61
7
C30
24
C30
 C71
6
C30
3) P 
7
C30
 C61
6
C24
4) P 
1
C76  C24
24
C30
18. В команде шесть отличных стрелков и четыре хороших. Из команды
наугад вызывают трех человек. Выберите верную формулу, вычисляющую вероятность того, что все стрелки окажутся отличными.
1) P 
C62  C41
2) P 
C63  C40
6
C10
C43
3) P 
C63  C40
4) P 
3
C10
C43  C63
C63
19. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна…
1) числу сочетаний из п по т
2) произведению вероятностей этих событий
3) формуле полной вероятности
4) сумме вероятностей этих событий
20. Пусть А1, А2, …, Ап – полная группа попарно-несовместных событий, тогда выполнено равенство…
1
2
1) P  A1   P  A2   ...  P  An   0
3) P  A1   P  A2   ...  P  An  
2) P  A1   P  A2   ...  P  An   1
4) P  A1   P  A2   ...  P  An   
21. Сумма вероятностей противоположных событий равна …
1) 0
3) 1
79
2)
1
2
4) 
22. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков равна
0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,2; вероятность выбить 8 или
меньше очков равна 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле
стрелок выбьет не менее 9 очков.
1) 0,3
3) 0,9
2) 0,8
4) 0,02
23. Выберите верную формулу соответствующую теореме умножения вероятностей, если наступление события В зависит от того наступило или нет
событие А.
1) P  AB   P  B   PB  A
3) P  AB   P  A  P  B 
2) P  AB   P  A  PA  B 
4) P  AB   P  A  PA  B 
24. Вероятность попадания в танк противотанковой бомбы равна 0,5. Вероятность поражения танка при попадании в него одной бомбы равна 0,8.
Определить вероятность вывода танка из строя.
1) 0,625
3) 1,3
2) 0,3
4) 0,4
25. Два торпедных катера одновременно выпускаю по одной торпеде по кораблю. Вероятность попадания торпедой с первого катера равна 0,6, со
второго – 0,2. Считая попадания торпедами независимыми, определить
вероятность промаха.
1) 0,32
3) 0,36
2) 0,8
4) 0,04
26. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если
вероятность промаха первым орудием равна 0,4, а вторым – 0,1.
1) 0,04
3) 0,4
2) 0,5
4) 0,54
80
27. Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р , то вероятность
появления события А ровно т раз равна…
1) Pm,n  Cmn p n q nm
3) Pm,n  Cnm p n q mn
2) Pm,n  Cnm p m q nm
4) Pm,n  Cmn p m q nm
28. Вероятность прохода самолета через зону ПВО равна 0,3. Выберите верную формулу для определения вероятности прохода зоны ПВО двумя самолетами из трех.
1) P2,3  C32  0,72  0,3
3) P2,3  C32  0,32  0,7
2) P2,3  C23  0,72  0,3
4) P2,3  C23  0,32  0,7
29. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работ вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой,
равна 0,9. Выберите верную формулу для определения вероятности того,
что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.
1) P10,12  P11,12  P12,12
3) P10,12
2) P0,12  P1,12  P2,12  ...  P9,12
4) P11,12  P12,12
30. Вероятность изготовления стандартного изделия равна р. Выберите верную формулу для нахождения вероятности того, что среди 10 изделий не
более одного нестандартного.
1) P2,10  P3,10  ...  P10,10
3) P0,10  P1,10
2) 1   P0,10  P1,10 
4) P1,10
31. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая
может принять…
1) возможные значения из некоторого интервала
2) конечное или счетное число возможных значений
3) всего два возможных значения
4) возможные значения из некоторого отрезка
81
32. Выберите неверный ответ: ДСВ характеризуется…
1) многоугольником распределения
2) функцией распределения
3) рядом распределения
4) плотностью распределения
33. Найдите математическое ожидание ДСВ Х, заданной рядом распределения.
xi
0
1
2
3
pi
0,2
0,4
0,3
0,1
1) 1,3
3) 1,5
2) 1
4) 0,9
34. Найдите дисперсию ДСВ Х, заданной рядом распределения.
xi
pi
0
0,3
1
0,5
2
0,2
1) 3
3) 0,49
2) 1,3
4) 1
35. Функцией распределения случайной величины Х называется функция
F ( x) от одной переменной х такая, что…
1) F ( x)  P  X  x
3) F ( x)  P  X  x
2) F ( x)  P  X  x
4) F ( x)  P  X  x
36. Плотность распределения НСВ Х вычисляется по формуле…

1) f ( x)  dF ( x)
3) f ( x)   F ( x)dx


2) f ( x) 
 F ( x)dx

4) f ( x)  F / ( x)
82
37. Какое свойство плотности распределения записано неверно.


1)

3) P   X     f ( x)dx
f ( x)dx  1


x
2) f ( x)  0

4) F ( x) 
f ( x)dx

38. Выберите формулу, которая не подходит для вычисления числовых характеристик НСВ Х.

1) Dx 

n
3) mx   xi  pi
x 2 f ( x)dx  mx2
i 1


2)  x  Dx
4) mx 
 x  f ( x)dx

39. Вычислите математическое ожидание НСВ Х, если
0 при x  0,

f ( x)  0,5 при 0  х  2,
0 при x  2.

1) 3
3) 2
3) 1
4) 0
40. Выберите формулу, которая вычисляет вероятность попадания в цель –
прямоугольник (D).
1     mx
1) PD  Фˆ 
2   Ex
 ˆ    mx
  Ф

 Ex



1     mx
2) PD  Фˆ 
4   Ex
 ˆ    mx    ˆ    m y
  Ф
   Ф 
E
x


    E y
1     mx
3) PD  Ф 
4   x

   mx  
  Ф


 x 

   my
  Фˆ 

 Ey

 
 
83
1  ˆ    mx  ˆ    mx    ˆ    m y
4) PD  Ф 
  Ф
   Ф 
2   x 
  x      y

   my
  Фˆ 

 y

 
 
Тест 11
Элементы математической статистики
1. Число повторений соответствующих вариант называется …
1) относительно частотой
3) выборкой
2) абсолютной частотой
4) статистическим рядом
2. Дана выборка случайной величины Х: 4, 1, 8, 8, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 8, 10.
Определить объем данной выборки.
1) п = 10
3) п = 12
2) п = 1
4) п = 44
3. Для выборки: 11, 15, 12, 0, 16, 19, 6, 11, 12, 13, 16, 8, 9, 14, 5, 11, 3, определить объем.
1) п = 17
3) п = 0
2) п = 19
4) п = 3
4. Дана выборка случайной величины Х  число очков выбитых стрелком:
9, 6, 6, 8, 9, 10, 9, 10, 8, 9. Выберите правильную таблицу.
1)
2)
xi 6 8 9 10
ni 0,2 0,2 0,4 0,2
3)
xi 0,2 0,2 0,4 0,2
ni 6 8 9 10
4)
xi
ni
6
8
9
10
2
2
4
2
xi
ni
2
2
4
2
6
8
9
10
5. Отношение абсолютной частоты ni варианты xi случайной величины Х к
объему выборки п называется …
1) абсолютной частотой
3) статистическим рядом
2) выборкой
4) относительной частотой
84
6. Выберите обозначение относительной частоты.
1) ni
3)  i
2) wi
4) xi
7. Сумма относительных частот случайной величины Х равна …
1) единице
3) нулю
2) абсолютно частоте
4) бесконечности
8. Таблица, в которой перечислены все варианты случайной величины Х и
их относительные частоты называется …
1) гистограммой
3) статистическим рядом
2) прямоугольником распределения
4) полигоном распределения
9. Дана выборка СВ У: 2, 4, 0, 2, 3, 4, 4, 0, 1, 4. Выберите статистический
ряд распределения СВ У.
1)
2)
yi
ni
2
1
0
3
4
2
1
2
1
4
yi 2 1 0 3 4
wi 0,2 0,1 0,2 0,1 0,4
3)
yi 0,2 0,1 0,2 0,1 0,4
wi 2 1 0 3 4
4)
yi
ni
2
1
2
1
4
2
1
0
3
4
10. Распределение выборки задано в виде таблицы:
xi 18,4
5
ni
18,9
10
19,3 19,6
20
15
.
.
Составить статистический ряд распределения СВ Х, если объем n  50 .
1)
2)
xi 18,4
wi 10
18,9
xi 18,4
wi 55
18,9
5
60
19,3 19,6
2,5
10,3
19,3 19,6
70
3)
65
4)
xi 18,4
wi 250
18,9
19,3
19,6
500
1000
750
xi 18,4
wi 0,1
18,9
19,3 19,6
0,2
0,4
0,3
85
11. Графическое изображение группированного статистического ряда называется …
1) гистограммой
3) монограммой
2) круговой диаграммой
4) полиграммной
12. Статистической функцией распределения называется функция F   x  от
переменной x   ;    такая, что …
1) F   x   P  Х  x
3) F   x   P  Х  x
2) F   x   P  Х  x
4) F   x   P  Х  x
13. Выберите неверное свойство статистической функции распределения
СВ Х.
1) если x1  наименьшее наблюденное значение СВ Х, а xk  наибольшее, то F   x   0 при X  x1 и F   x   1 , при X  xk .
2) F   x   неубывающая разрывная ступенчатая функция, непрерывная
слева.
3) значения F   x  принадлежат отрезку 0; 1 .
4) F   x   четная функция.
14. Выборочным средним СВ Х называется среднее арифметическое ее
наблюденных значений, т.е. …
1 n
1 n
1) m   xi
3) m   xi  pi
n i 1
n i 1
n
2) m   xi
i 1
n
4) m   x i2  pi
i 1
15. Дан статистический ряд распределения СВ Z:
0
1
2
1
zi
wi 0,2 0,3 0,4 0,1 .
Найти выборочное среднее СВ Z.
1) m z  2
3) m z  0,2
2) m z  0,4
4) m z  1
86
16. Результаты сопротивлений 10 резисторов (в Омах) дали следующие значения: 682, 712, 705, 684, 677, 699, 670, 706, 667, 698. Измерительный
прибор систематических ошибок не имел. Определить оценку математического ожидания сопротивления.
1) m  691
3) m  690
2) m  6900
4) m  689
17. Выберите верную формулу для выборочной дисперсии.
1) D 

1 n
 xi  m
n i 1
n

2) D   xi  m
i 1


n
3) D   xi2  m 2
2
i 1
2
4) D 
1 n
 xi  m
n i 1
18. Исправленной выборочной дисперсией СВ Х называется величина …
n 1
D
n
n
2) S 2 
D
n 1
1
D
n 1
1
4) S 2  D
n
1) S 2 
3) S 2 
19. Дан статистический ряд распределения
xi
wi
x1
w1
x2
w2
…
…
xk
wk .
Выберите неверную формулу оценки числовых характеристик случайной
величины.
k
k
1) D    xi  m  wi
3) m   xi  wi
2) S  S 2
4)   m
2
i 1
i 1
20. Дан статистический ряд распределения случайной величины У:
yi
wi
0
1
3
5
0,5
0,2
0,1
0,2
.
Зная выборочное среднее m y  1,5 , вычислите выборочную дисперсию.
87
1) D y  2,25
3) D y  3,85
2) D y  8,35
4) D y  6,1
21. Для выборки объема n  20 вычислена выборочная дисперсия D  38 .
Найдите несмещенную выборочную дисперсию.
1) S 2  40
3) S 2  18
2) S 2  58
4) S 2  1,9
22. Для выборки объема n  5 вычислена выборочная дисперсия D  12 .
Найдите исправленную выборочную дисперсию.
1) S 2  7
3) S 2  15
2) S 2  17
4) S 2  60
23. На полигоне произведено 8 независимых выстрелов и зарегистрированы
следующие величины боковых отклонений Z (км) в каждом выстреле
i 1 2 3 4 5 6
Z i 2 0,5 1,5 1 2,5 1
7
8
1,2 0,3
.
Определить несмещенную оценку математического ожидания для бокового отклонения центра рассеивания.
1) 1,3
3) 0,5
2) 0,1
4) 0,2
24. Определить исправленное среднее квадратическое отклонение СВ Х, если исправленная дисперсия равна 169, а объем выборки n  10 .
1) 13
3) 1690
2) 1,3
4) 130
25. Задача обработки результатов стрельб сводится к оценкам …
1) Dx , Dy , Ex , E y
3)  x ,  y , Ex , E y
2) mx , my , Ex , E y
4) mx , my ,  x ,  y
26. Выберите верное равенство.
1) E x  0,675 S x
3) E x  0,675 S x2
88
2) S x  0,675 E x
4) E x  0,675 D x
27. Координаты точек попадания при одиночной стрельбе из орудия по
наземной цели сведена в регистрационную таблицу
i
1
0
2
1
3
1
4
2
5
1
уi  м 
1
2
0
1
1
xi  м 
.
Найти центр рассеивания.
1) m x  5, m y  5
3) m x  2, m y  1
2) m x  1, m y  2
4) m x  1, m y  1
28. Производится четыре сбрасывания авиационной торпеды с самолетаторпедоносца по кораблю противника. Зарегистрированы координаты точек попадания (Х,У) в метрах. Статистический материал представлен в
виде таблицы
i
xi
уi
1
1
2
0
3
1
4
2
1
3
2
1
.
Определить положение центра рассеивания случайных величин Х и У.
1) (0,25; 0,5)
3) (0,5; 0,25)
2) (2; 1)
4) (1; 2)
89
Список использованных источников
1. Андриенко П. И. (ред.). Теория вероятностей и боевой эффективности. М.:
Военное издательство, 2008.-176 с.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука,
2003.- 432 с.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука, 2000.- 480 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
Высшая школа, 2004.- 479 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М.: Высшая школа, 2004.- 404 с.
6. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть I.
М.: Оникс 21 век, Мир и образование, 2003.- 304 с.
7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II.
М.: Оникс 21 век, Мир и образование, 2003.- 416 с.
8. Кудрявцев В.А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.:
Наука, 1989.- 656 с.
9. Шипачев B.C. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2002.- 479 с.
10.Шипачев B.C.Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 2002.304 с.