Математическое моделирование некоторых природных процессов

А.Б. Чебоксаров, С.В. Филиппова
Математическое моделирование
некоторых природных процессов
Естественнонаучные изыскания в настоящее время невозможно
представить без широкого применения методов математического моделирования. Сущность методов математического моделирования состоит в замене исходного объекта его «подобием» – математической моделью – и дальнейшим исследованием полученной модели с помощью
определенных алгоритмов. Этот метод познания сочетает в себе достоинства и теории, и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро
и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых ситуациях. Наиболее распространенный метод построения модели
состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены
опытом, служат основой множества научно-технических достижений.
В течение достаточно долгого времени математическое моделирование
природных явлений и технических процессов в основном строилось на
базе линейных закономерностей. Простейшими примерами могут служить закон Гука Fупр= –kx (k – const), закон Ома для постоянного тока
U=R (R – const) и многие другие известные законы. Однако уже на начальных этапах создания математических моделей стало ясно, что некоторые естественные процессы изначально нелинейны. Так, закон всемирного тяготения
и закон Кулона
фундаментально нелинейны даже при G = const и m1, m2 – const
, т.е. в од(в нерелятивистском приближении) и при
нородной среде.
В настоящее время развитие научных исследований и современных
технологий привело к необходимости разработки теории нелинейных
процессов, которые наблюдаются во многих природных и технологических явлениях. Нелинейность нередко является характерной особенностью этих процессов, определяющей условия их протекания.
Рассмотрим уравнение вида
. Это волновое
уравнение используется при моделировании процессов в плазме, в жидкостях, нелинейной оптике и т.д.
В приведенном виде решить его можно только численными методами [1]. Мы попробуем сделать это аналитически, вариационным методом. Для этого необходимо ввести какое-либо потенциальное представление, например положим
ние примет вид
. Тогда искомое уравне-
.
(1)
Соответствующий этому уравнению лагранжиан таков:
.
(2)
Введем новые функции
,
(3)
тогда искомая функция U может быть представлена в виде
виде
,
(4)
,
(5)
а параметр β отвечает среднему значению u .
Используя новые функции (3), лагранжиан (2) можно записать в
где А и В – некоторые постоянные.
На основе (5) получаем усредненный лагранжиан
(6)
Согласно (4)
(7) и
, где
, (8)
.
Теперь можно записать удобное для построения вариационного
функционала выражение усредненного лагранжиана
Производя варьирование
нения
по γ, β, В, получаем следующие урав-
В силу двух последних уравнений можно положить
следовательно,
и,
(7)
Для величин ω, k, А вариационное уравнение для δθ удобнее заменить уравнением сохранения импульса
,
откуда получаем три уравнения:
импульс:
совместимость:
(8)
(9)
∂β ∂
+ ( kV ) =
0 , ω = kV ∂t ∂x
(10)
Уравнения (7), (9), (10) можно рассматривать как уравнение для нахождения А, В, V с переменной k, заданной уравнением (8).
Систему этих уравнений можно с помощью некоторых преобразований сделать более симметричной:
(11)
Решая уравнения системы (11), можно найти волновое число k, частоту ω и среднее значение u = β искомой функции
.
(12)
Амплитуда а решения искомого уравнения определяется из формул, связывающих нули кубического по W выражения с коэффициентами А, В, V. В нелинейных моделях физических явлений основными параметрами естественно выбрать волновое число k, функцию β (см. (4))
и амплитуду волны а. Набор А, В, V является эквивалентным набором.
Дисперсионное соотношение ω = ω (k, β, а) задается неявно вторым из
уравнений (12).
Искомое уравнение рассматривается, в частности, как приближенная нелинейная модель волн на воде. В этом приближении скорость
жидкости выражается через ее глубину. В выражении (4) β имеет смысл
средней высоты. В естественных условиях этот параметр соответствует
средней скорости жидкости.
В последние десятилетия разработано немало методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, являющихся основой нелинейных математических моделей, однако, завершенной теории и общих
методов решения в настоящее время не разработано [2].
В связи с этим необходим поиск новых методов получения точных или приближенных решений нелинейных задач. Рассмотрим разработанный нами метод эталонного моделирования для приближенного
решения нелинейных дифференциальных уравнений, являющихся основой математических моделей нелинейных природных и технологических процессов [3].
Достоинства метода: прозрачность физического смысла моделей – эталонов, применимость во всем диапазоне изменения основных параметров
задачи, непрерывность получаемых решений, одинаковость расчетной схемы для всех типов задач и относительно быстрая сходимость разложений.
В основе метода лежит идея моделирования свойств и поведения
одной нелинейной системы, которая не поддается точному решению с
помощью другой нелинейной же (здесь могут быть различные варианты) системы, имеющей точное решение. Для краткости будем называть
первую систему исследуемой, а вторую – моделью.
Рассмотрим метод эталонного моделирования на примере следующей пространственно одномерной задачи.
Пусть исследуемая система описывается уравнением:
(
) · u(x,t)=0 (13)
где – дифференциальный оператор,
– нелинейный оператор,
связанный с условиями эволюции системы, α – параметр нелинейности,
u(x,t) – функция состояния исследуемой системы.
Операторы и таковы, что (13) не имеет точного решения. Будем
моделировать систему (1) с помощью другой системы – модели, описываемой уравнением:
(
где
,
)
(14)
– дифференциальный оператор, формально совпадающий с
– нелинейный оператор, связанный с условиями эволюции модели,
качественно сходный с
, U(S,t) – функция состояния модели, S(x,t) –
переменная модели. Оператор
таков, что (14) допускает точное аналитическое решение, т.е. точная функция U(S,t) – решение уравнения
(14) считается известной.
Система (14) может служить эталонной моделью системы (13),
если имеется качественное сходство операторов условий эволюции
и
. Приближенное решение исследуемой системы ищем в виде:
(15)
где
тогда (15) примет вид:
(16)
Расчетная схема разработанного нами метода эталонного моделирования включает следующие этапы:
1. Отыскание оператора , определяющего условия эволюции модели, и исследование его качественного сходства с аналогичным оператором исследуемой системы.
2. Получение дифференциальных и интегральных уравнений для
функции S(x,t) в соответствующем приближении.
3. Решение этих уравнений и нахождение фазовой функции S(x,t) с
необходимой степенью точности.
4. Определение искомой функции u(x,t) – приближенного решения
уравнения для исследуемой системы.
Для проверки работоспособности метода рассмотрим задачу расчета прозрачности нелинейного потенциального барьера, на который
налетает частица массы µ (уже решенную в квантовой физике численными методами) [4]. Рассмотрим уравнение:
(17)
где оператор
Действие оператора
φ(х) на
сводится к умножению волновой функции
(18)
Здесь Е – полная энергия частиц, U(x) – нелинейный потенциал
внешнего поля.
Считаем,
(19)
Это известный в квантовой физике потенциал Эккарта. Выберем в
качестве модельного потенциал:
(20)
где U0и γ те же, что и у U(x). Для коэффициента прозрачности D
потенциала (19) найдены точные значения. Решая приближенно (нулевое приближение) задачу для модельного потенциала (20) (предполагая,
что точных значений нет, или они неизвестны), получаем значения и
сравнивая их с точными, получаем результат с минимальной погрешностью, – порядка одного процента. Таким образом, мы приходим к заключению, что примененный нами метод довольно успешен.
Библиографический список
1.
2.
3.
4.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 2003.
Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с.
Игропуло B.C., Чебоксаров А.Б. Эталонная модель нелинейной физической
проблемы: создание, анализ особенностей //Физико-математические науки в
Ставропольском государственном университете. Материалы 50-й юбилейной
научно-методической конференции. Ставрополь, 2005. С. 87-90.
Игропуло В.С., Чебоксаров А.Б. Теоретические основы метода эталонного
моделирования нелинейных уравнений математической физики. Материалы
региональной научной конференции. Ставрополь, 2002. С. 353-359.