Определение массы и средней плотности Земли методом

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ухтинский государственный технический университет»
(УГТУ)
6
Определение массы и средней плотности
Земли методом математического маятника
Методические указания к лабораторной работе
для студентов всех технических направлений
дневной и заочной формы обучения
Ухта
2012
УДК 53 (075)
Ш 19
ББК 22.3 Я7
Шамбулина, В. Н.
Определение массы и средней плотности Земли методом математического
маятника [Текст] : метод. указания к лабораторной работе для студентов всех
технических направлений дневной и заочной формы обучения / В. Н. Шамбулина. – Ухта : УГТУ, 2012. – 15 с.: ил.
Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы
по физике по теме "Тяготение. Элементы теории поля" для студентов, обучающихся по всем техническим направлениям дневной и заочной формы обучения.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от
30.11.12 г., пр. №7.
Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе.
Рецензент: И. К. Серов, доцент кафедры физики Ухтинского государственного
технического университета.
Редактор: Н. А. Северова, доцент кафедры физики Ухтинского государственного технического университета.
Корректор: К. В. Коптяева.
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2012 г., позиция 72.
Подписано в печать 30.11.2012 г. Компьютерный набор.
Объём 15 с. Тираж 100 экз. Заказ №269.
© Ухтинский государственный технический университет, 2012
169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.
Типография УГТУ.
169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СРЕДНЕЙ ПЛОТНОСТИ ЗЕМЛИ
МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель данной работы:
измерить ускорение силы тяжести в данной точке Земли с помощью
математического маятника и по измеренному значению g вычислить массу Мз и
среднюю плотность Земли.
Краткая теория
1. Закон всемирного тяготения
Фундаментальным законом механики является закон всемирного
тяготения (гравитации), установленный И. Ньютоном в 1687 году. Согласно
этому закону, любые две материальные точки взаимодействуют с силой,
пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними. Сила взаимного притяжения двух частиц или
тел называется гравитационной силой, или силой всемирного тяготения.
Согласно закону всемирного тяготения, каждая частица планеты и планета в
целом притягивается Солнцем. Солнце же в свою очередь притягивается
планетой. Все тела, находящиеся на данной планете, и планета взаимно
притягиваются. С помощью закона всемирного тяготения описывают с высокой
степенью точности движение космических тел, а также предсказывают на
много лет вперед солнечные и лунные затмения, что является основной
проверкой этого закона.
Закон всемирного тяготении можно выразить математически, обозначив
буквой F – силу всемирного тяготения между двумя телами, массами m1 и m2,
находящимися на расстоянии r друг от друга:
mm .
(1)
F =γ
r
Силы тяготения являются силами притяжения и
направлены вдоль прямой, проходящей через
взаимодействующие тела. Такие силы называются
центральными (см. рис. 1).
Гравитация – от латинского слова “gravitas” –
тяжесть.
1
m
2
2
3
F
m
Рис. 1
r
Коэффициент γ (греческая – гамма) был определен экспериментально
английским физиком Г. Кавендишем (1731-1810) с помощью крутильных весов
и назван гравитационной постоянной. Физический смысл постоянной
тяготения выясняется, если в формуле (1) положить m1 = m2 =1кг , r =1м . Тогда
F =γ . Это значит, что постоянная тяготения равна силе тяготения между двумя
точечными массами в 1 кг каждая, находящимися на расстоянии 1 м друг от
друга.
Значение γ, полученное современными методами, принимается равным:
γ = 6,6745⋅10 H ⋅ м кг 2 .
Такое малое значение постоянной тяготения объясняет, почему мы не
наблюдаем взаимного притяжения тел в повседневной жизни, когда имеем дело
с телами малой массы. По этой же причине гравитационное взаимодействие не
играет никакой роли в атомно-молекулярных явлениях. Но с ростом массы роль
гравитационного взаимодействия возрастает. Практически имеет смысл
учитывать силу всемирного тяготения, когда хотя бы одно из тел является
астрономическим. Движение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет,
вращение Галактики вокруг своего центра полностью определяются
гравитационным взаимодействием.
Постоянная тяготения относится к мировым константам наряду с такими,
как скорость света, заряд электрона и др. Она характеризует с количественной
стороны фундаментальное свойство материи – гравитацию.
Применяя закон всемирного тяготения к случаю взаимодействия земного
шара с телом, расположенным вблизи его поверхности, получим:
Mm
Mm ,
(2)
F =γ 2 =γ
2
r
(R + h )
−11
где
2
M – масса Земли;
r – расстояние между телом и центром Земли;
R – радиус Земли;
m – массса тела;
h – его высота над поверхностью Земли.
Если R>>h, то выражение силы тяготения тел к Земле представляют в
виде:
Mm
F =γ 2 .
R
4
2. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость
G
G
Силой тяжести ( G = mg ) называют равнодействующую двух сил – силы
G
ньютоновского притяжения тела всей массой Земли ( F ) и центробежной силы,
G
возникающей вследствие суточного вращения Земли ( f ) (см. рис. 3):
G G G
G=F + f .
Сила тяжести направлена отвесно вниз, точкою приложения ее является
центр тяжести тела. Вес является следствием статического действия силы
тяжести.
G
Весом тела называется сила ( P ), с которой тело давит на опору или
растягивает нить подвеса. Вес приложен к подставке и действует в направлении
силы тяжести.
1. Во всех тех случаях, когда тело покоится относительно Земли (лежит на
опоре) или движется прямолинейно и равномерно, сила тяжести проявляет себя
статически и вес тела равен силе тяжести. Поэтому в таких случаях вес и силу
не различают и указывают не обе силы, а одну из них (см. рис. 3), т. е.
G G
G
P =G = mg .
G G
2. Если же тело движется вниз с ускорением a < g (см. рис. 2), вес
уменьшается, т. е.
G
G
G
P = m(g − a) .
(3)
0
0
4
12
8
4
12
0
8
4
12
8
G
a
3кг
3 кг
3кг
3 кг
G
a
3кг
3 кг
Рис. 2
Сила тяжести в этом случае лишь частично проявляет себя статически,
деформируя тело, а частично проявляет себя динамически, сообщая телу
G
ускорение a .
3. Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории в
любом направлении, сила тяжести полностью проявляет себя динамически в
G G
сообщении ускорения a = g и статического действия не оказывает. Тело не
5
G
деформируется и не давит на опору, P = 0 , т. е. тело будет невесомым.
Например, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях,
свободно движущихся в космосе.
полюс
G
Gp G
F
G
F
ϕ
G
f
ϕ
G G
G =P G
F
G
Ge
G
f
экватор
Рис. 3
3. Изменение силы тяжести и веса тела с широтой места
Тела в поле сил тяготения Земли испытывают действие нескольких сил. С
точки зрения наблюдателя, находящегося во вращающейся (неинерциальной)
системе отсчета, связанной с Землей, на тело, находящееся на поверхности
Земли, действуют:
G
1) сила гравитационного тяготения ( F ) (1), направленная к центру
Земли;
2)
центробежная
сила
G
( f ),
направленная
по
радиусу
(r),
перпендикулярному оси вращения, и определяемая формулой:
f = mw2 r = mw2 R cos ϕ = f e cos ϕ ,
где
w = 7,3 ⋅ 10−5 рад/с – угловая скорость суточного вращения Земли;
f e = mw2 R – величина центробежной силы на экваторе.
G
Результирующей этих двух сил является сила тяжести G , см. рис. 3. На
рис. 3 схематически изображены различные положения тела
m на поверхности
Земли: в средних широтах, на полюсе и на экваторе.
Если бы Земля была бы шаром и не вращалась вокруг своей оси, то сила
G
G
тяжести G на Земле была бы равна силе тяготения F . Однако Земля вращается
с постоянной скоростью, совершая один оборот за 24 часа. На экваторе ее
6
линейная скорость составляет 465 м/с и центробежная сила
G
f имеет
максимальное значение, на полюсах же она равна нулю. Вследствие этого, при
образовании земного шара, когда его поверхность не была достаточно твердой,
некоторая масса Земли «сползла» от полюсов к экватору и земной шар стал
иметь форму, близкую к эллипсоиду вращения, сплюснутому около полюсов и
вытянутому у экватора. Поверхность этого эллипсоида всюду перпендикулярна
G
направлению действия силы тяжести ( G ).
G
Покажем, что сила тяжести G зависит от места расположения тела, в
частности от широты φ.
Рассмотрим заштрихованный треугольник (см. рис. 3) и, воспользовавшись
теоремой косинусов, найдем значение силы тяжести в любой точке Земли:
G 2 = F 2 + f 2 − 2 fF cos ϕ = F 2 + f e2 cos 2 ϕ − 2 f e F cos 2 ϕ .
Вычисляя отношение второго слагаемого к третьему:
1 ,
f e cos 2 ϕ
f e R 2 mw2 R w2 R 3
=
=
=
=
2
2 f e F cos ϕ 2 F
2γmM
2γM 576
видим, как оно мало, по сравнению с третьим. Пренебрегая им, получим:
f
⎛
⎞
G 2 = F 2 ⎜1 − 2 e cos2 ϕ ⎟ ,
F
⎝
⎠
или
G = F 1− 2
fe
cos2 ϕ .
F
Вычитаемое выражение под корнем меняется в зависимости от широты
ϕ
в пределах
(ϕ = 90 )
0
0<
2 fe
1
cos2 ϕ <
F
144
(ϕ = 0 ) .
0
Поэтому применим с высокой точностью формулу приближенного
вычисления корня:
1 − 2α ≈ 1 − α , если α << 1.
Тогда имеем:
f
⎛
⎞
G = F ⎜1 − e cos2 ϕ ⎟ ,
⎝ F
⎠
или
G(ϕ ) = F − f e cos 2 ϕ ,
(4)
или
G(ϕ ) = γ
mM
− mw2 R cos2 ϕ .
2
R
7
(5)
Из выражений (4, 5) следует, что из-за несферичности Земли и ее
G
суточного вращения сила тяжести G несколько варьирует с широтой:
уменьшается от полюса к экватору благодаря увеличению в этом направлении
cos ϕ и R приблизительно на 0,02%.
Сила тяжести (вес) тела на полюсе –
Gp = γ
Mm .
R2
Mm
(6)
− mw2 R .
2
R
Для более точных вычислений надо учесть, что экваториальный радиус
Сила тяжести (вес) тела на экваторе –
Ge = γ
(Rэ = 6378 км) на 21 км больше полярного радиуса (Rп = 6357 км).
4. Влияние вращения и формы Земли на ускорение силы тяжести
Любое, ничем не поддерживаемое тело при движении с небольшой высоты
G
h над поверхностью земли (h >>R) приобретает под действием силы тяжести G
ускорение свободного падения g (ускорение силы тяжести).
Найдем зависимость ускорения силы тяжести gφ от широты φ.
Для этого воспользуемся формулой (5):
G (ϕ ) = γ
mM
− mw 2 R cos 2 ϕ =
2
R
mM
− mw 2 R + mw 2 R − mw 2 R cos 2 ϕ =
2
R
mM
= γ 2 − mw 2 R + mw 2 R sin 2 ϕ .
R
=γ
Учитывая (6):
gϕ = Ge + mw2 R sin 2 ϕ .
По второму закону Ньютона:
G
G
gϕ = (ϕ ) = e + w2 R sin 2 ϕ .
m
m
Введем обозначение для ускорения силы тяжести на экваторе g = Ge и в
e
m
результате получим:
gϕ = g e + w2 R sin 2 ϕ ,
или
⎛ w2 R 2 ⎞ .
sin ϕ ⎟⎟
gϕ = g e ⎜⎜1 +
g
⎝
⎠
e
8
В этой формуле w = 2π – угловая скорость вращения Земли;
T
T = 24·3600 с, R = 6400·103 м – экваториальный радиус Земли,
следовательно,
w 2R
≈ 0,0035 ,
ge
gϕ = g e (1 + 0,0035 sin 2 ϕ ).
2
g e ≈ 9,78 м/с
,
(7)
Эта формула в общем виде выведена еще в середине ХVIII в. известным
французским математиком и астрономом А. Клеро и получила его имя
(математическое выражение закона Клеро).
Из закона Клеро (7) следует:
На экваторе (φ = 0°) ge = 9,78049 м/с2 – наименьшее;
На полюсах (φ = 90°) gp = 9,83235 м/с2 – наибольшее;
На широте (φ = 45°) gφ = 9,80665 м/с2 – называется нормальным.
Ускорение силы тяжести варьирует от полюса к экватору на 5,2·10-2 м/с2:
а) за счет центробежной составляющей – на 3,4·10-2 м/с2;
б) за счет изменения радиуса – на 1,8·10-2 м/с2.
В
большинстве
практических
задач
пренебрегают
влиянием
несферичности Земли и ее суточного вращения вокруг своей оси и полагают,
что сила тяжести (3) примерно равна силе гравитационного тяготения (2), т. е.
G =F =γ
mM
(R + h )2
и
g =
G
mM
=γ
= const ,
m
(R + h )2
(8)
для h<<R
G
M
(8′)
= γ 2 = const .
R
m
Из уравнения (8) следует, что:
а) ускорение силы тяжести не зависит от массы, размеров и других
характеристик тела, поэтому все тела свободно падают в безвоздушном
пространстве с одинаковым ускорением;
б) ускорение силы тяжести с изменением высоты на 1 км изменяется на
-3
3 10 м/с2.
Из уравнения (8) можно практически определить массу Земли:
g=
Μ=
R 2g
γ
9
(9)
и среднюю плотность Земли
ρ=
где
V =
Μ ,
V
(10)
4
πR 3 – объем Земли.
3
Справочные данные:
Радиус Земли
R = 6,37·106м
Масса Земли
M = 5,98·1024кг
Плотность Земли
ρ = 5,5·103кг/м3
Нормальное ускорение свободного падения
g=9,81м/с2
Гравитационная постоянная
γ =6,67·10-11м3/кг·с2
Примечание:
В гравиметрии (наука о силе тяжести) за единицу ускорения силы тяжести
принята названная в честь итальянского физика и астронома Г. Галилея
величина 1 Гал = 10-2 м/с2. Используются также более мелкие единицы:
1 мГал = 10-5 м/с2 и 1 мкГал = 10-8 м/с2.
Измерение ускорения силы тяжести методом математического маятника
Математическим
маятником
называется
материальная
точка,
подвешенная на конце невесомой и нерастяжимой нити, второй конец которой
закреплен неподвижно. Близким к математическому маятнику является
тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (рис. 4).
При отклонении маятника от положения равновесия возникает
возвращающая сила F, которая стремится вернуть его в положение равновесия:
x
F = −mg sin α = −mg ,
A
где A – длина маятника;
x – величина смещения от положения равновесия.
10
A
G
Т
α
G
α F
x
G
mg
Рис. 4
По второму закону Ньютона:
d 2x
F = ma = m 2
dt
или
m
d 2x
x
= −mg ,
2
A
dt
откуда:
d 2x g
+ x=0 .
A
dt 2
(11)
Решением этого дифференциального уравнения является
x = A sin(ωt + ϕ ) ,
(12)
где A – амплитуда колебаний;
A0
ω=
g
A
– круговая частота. Учитывая, что
круговая частота ω связана с периодом колебаний
T соотношением T = 2π , получим:
ω
A /2
T = 2π
A
,
g
(13)
Если определить периоды колебаний двух
маятников с различными длинами, то согласно
формуле (13) можем записать:
T1 = 2 π
A
/
1
A1
g
;
T2 = 2π
A2
,
g
откуда после возведения в квадрат и вычитания
получим:
4 π 2 (A 1 − A 2 )
g=
.
T12 − T22
Рис. 5
11
(14)
Таким образом, для того чтобы определить ускорение силы тяжести,
достаточно измерить периоды колебаний и разность длин двух математических
маятников.
Описание установки
Установка для выполнения работы состоит из математического маятника
(тяжелый шарик на тонкой нити) и шкалы. Начало шкалы смещено
относительно точки подвеса на некоторое расстояние A 0 (рис. 5).
Покажем, что разность длин двух математических маятников A 1 − A 2 равна
разности отсчетов положений нижнего края шарика относительно шкалы
A ′1 − A ′2 :
A 1 = A 0 + A ′1 − r ;
A 2 = A 0 + A′2 − r ,
где
r – радиус шарика.
Вычитая, получим:
A 1 − A 2 = A ′1 − A ′2 .
Примечание:
Для определения ускорения силы тяжести в данной точке Земли с двумя
верными знаками разность длин и разность периодов должны быть измерены с
тремя верными знаками.
Выполнение работы
1. Опустите шарик до некоторого нижнего положения. Приставьте к стене или
шкале треугольник так, чтобы шарик слегка касался верхнего края
треугольника. Определите по шкале положение нижнего края шарика A ′1 с
точностью до 0,5 мм и запишите полученный результат в таблицу.
2. Отведите маятник на угол 5-6 градусов и отпустите. В одном из крайних
положений маятника на счет "ноль" включите секундомер и измерьте время
10-20 колебаний по указанию преподавателя. Повторите измерение времени
еще два раза, при этом расхождение во времени в отдельных измерениях не
должно превышать 0,2 с.
3. Поднимите шарик на 50-60 см и запишите в таблицу его новое положение
относительно шкалы A1/ .
4. Измерьте три раза время 10-20 колебаний маятника.
12
5. По результатам измерений вычислите разность длин A 1 − A 2 , среднее время
_
t
_
и периоды колебаний T1 и T2 ( T = t , где n – число колебаний), ускорение
n
свободного падения g (14), массу Mз (9) и среднюю плотность Земли ρз (10).
6. Погрешность определения
∆g
вычислите по формуле:
g
2
⎛ ∆A 1 + ∆A 2
∆g
⎛ 2 ∆π ⎞
= ⎜
⎟ + ⎜⎜
g
⎝ π ⎠
⎝ A1 − A 2
2
⎞
⎛ ∆T + ∆T 2
⎟⎟ + ⎜⎜ 1
⎠
⎝ T1 + T2
2
⎞
⎛ ∆T + ∆T 2
⎟⎟ + ⎜⎜ 1
⎠
⎝ T1 − T2
⎞
⎟⎟
⎠
2
,
где ∆π – абсолютная погрешность числа π (π = 3,1415826) Принимая π
равным 3,14 мы допускаем погрешность 0,0015926;
∆ A 1 и ∆ A 2 – абсолютные погрешности, допускаемые при измерении
положения шарика относительно шкалы. Принимаются равными половине
наименьшего деления шкалы;
∆T1 и ∆T2 – абсолютные погрешности измерения периодов, определяются
по результатам измерения времени.
∆t
∆T = ,
n
где ∆t =
Таблица
1
№ опыта
A / (мм)
n
1
2
3
t
t ± ∆t
T ± ∆T
(A1' −A'2) ±∆A
gср
∆g⁄g
∆g
MЗ
ρЗ
13
∑ t −t
n
i
.
2
Контрольные вопросы
1. Дать определение силы тяготения (гравитации) F через закон всемирного
тяготения.
2. В чем заключается физический смысл гравитационной постоянной γ?
3. Какая сила называется силой тяжести G, весом тела P? Назовите точки
приложения этих сил и их направление. Всегда ли сила тяжести G равна весу
тела P?
4. Какое различие имеется между весом тела P и силой притяжения F тела к
Земле, если учесть суточное вращение Земли?
5. Опишите опыты по измерению гравитационной постоянной. Можно ли
провести опыт Кавендиша в условиях невесомости? Как это сделать?
Изменится ли при этом результат?
6. Что называется ускорением силы тяжести? Как ускорение силы тяжести
варьирует: а) от полюса к экватору; б) при удалении от поверхности Земли?
Записать формулу Клеро.
7. Докажите, что ускорение силы тяжести не зависит от массы падающего тела.
8. Что собой представляет математический маятник? Вывести формулу для
определения периода T колебаний математического маятника.
Индивидуальные задания
1. Найти амплитуду А, период Т, частоту ν и начальную фазу φ0 колебания,
заданного уравнением:
x = 5 ⋅ sin
39,2 ⋅ t + 5,2
5
(см).
Вычислить скорость данного маятника при t = 1 c.
2. Начертить на одном графике два гармонических колебания, имеющих
π π
одинаковую амплитуду А, период Т, но имеющих разность фаз , , π .
4 2
3. Какой наименьшей длины l надо взять нить, к которой подвешен однородный
шарик диаметром D = 4 см, чтобы при определении периода малых колебаний T
шарика рассматривать его как математический маятник? Ошибка δ при таком
допущении не должна превышать 1%. Ответ: l = 0,069 м.
4. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой l равна радиусу
шарика R. Во сколько раз период малых колебаний T1 математического
маятника больше периода малых колебаний T2 математического маятника с
таким же расстоянием от центра масс до точки подвеса. Ответ: T1/T2 = 1,05.
14
5. Определить напряженность G гравитационного поля на высоте h = 1000 км
над поверхностью Земли. Считать известными ускорение g свободного падения
у поверхности Земли и ее радиус R. Ответ: 7,5 м/с2.
6. Какая работа A будет совершена силами гравитационного поля при падении
на Землю m = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности.
Ответ: А1 = 3,8·107 Дж, А2 = 1,46·108 Дж.
7. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой m = 30 кг.
Определить работу A, которая при этом будет совершаться силами
гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности
Земли и ее радиус R считать известными. Ответ: 1875 МДж.
8. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом
T = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у
поверхности Земли и ее радиус R считать известными. Ответ: 280 км.
9. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой
напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю.
Принять, что масса Земли в 81 раз больше Луны и что расстояние от центра
Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли. Ответ: 54R3.
10. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте
h = 520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного
падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
Ответ: 94,9 мин.
11. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося
по круговой орбите на высоте h = 1000 км. Ускорение свободного падения g у
поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
Ответ: 7,35 км/с, 0,99 с-1.
12. Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13
обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно.
Ответ: 5,7·1024 кг.
Библиографический список
Трофимова Т. И. Тяготение. Элементы теории поля // Курс физики : учеб. /
Т. И. Трофимова. – М. , 2000. – Гл. 5, §22-27. – С. 46-52.
15