РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ / Волосникова Л.М./
__________ _____________ 2011 г.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения
направление 090900.62 «Информационная безопасность»,
профиль подготовки «Безопасность распределенных систем».
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы _____________________________/Иванов Д.И./
« 26 » августа 2011г.
Рассмотрено на заседании кафедры алгебры и математической логики (протокол №1 от
26.08.2011). Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 14 стр.
Зав. кафедрой ______________________________/Кутрунов В.Н./
« 26 » августа 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и информационных
технологий (протокол № от
. Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану
образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/Глухих И.Н./
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
И. о. зав. методическим отделом УМУ_____________/Федорова С.А./
«______»_____________2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ИВАНОВ Д. И.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения
направление 090900.62 «Информационная безопасность»,
профиль подготовки «Безопасность распределенных систем».
Тюменский государственный университет
2011
Иванов Д.И. Алгебра. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов очной формы обучения, направления 090900.62
«Информационная безопасность», профиль подготовки «Безопасность
распределенных систем». Тюмень, 2011, 10 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
«ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ» [электронный ресурс]
http://www.umk3.utmn.ru / Режим доступа: свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В.Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Д.И. Иванов, 2011.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью преподавания учебной дисциплины «Дополнительные главы высшей
алгебры» является обучение студентов фундаментальным методам общей и
линейной алгебры.
При преподавании учебной дисциплины «Дополнительные главы высшей
алгебры» ставятся следующие задачи:
- ознакомить студентов с фундаментальными понятиями и методами линейной
алгебры: теорией матриц, линейных уравнений, неравенств, линейных пространств и
линейных операторов;
- дать введение в задачи и методы общей алгебры: теории групп, колец, полей и
алгебр;
- дать понятие о задачах и методах теории вещественных и комплексных чисел,
а также теории многочленов;
- развить у студентов аналитическое мышление и общую математическую
культуру;
- привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную
литературу в области математики.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП специалитета.
«Дополнительные главы высшей алгебры» входит в цикл математических и
естественнонаучных дисциплин по выбору. Для ее успешного изучения достаточно
знаний и умений, приобретенных в средней школе.
Освоение предмета является основанием для успешного освоения как
дальнейших базовых курсов – геометрии, математического анализа, теории чисел и
математической логики; приобретенные знания также могут помочь в научноисследовательской работе.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
- способность к логически правильному мышлению, обобщению, анализу,
критическому осмыслению информации, систематизации, прогнозированию,
постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании
принципов научного познания (ОК-9);
- способность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих
в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физикоматематический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения
(ПК-1);
- способность применять математический аппарат, в том числе с
использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач
(ПК-2);
- способность использовать нормативные правовые документы в своей
профессиональной деятельности (ПК-5).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
3
Знать: основные понятия алгебры, определения и свойства математических
объектов, используемых в этих областях, формулировки утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений, основы построения
математических моделей.
Уметь: решать задачи теоретического и прикладного характера из различных
разделов алгебры, доказывать утверждения, строить модели объектов и понятий.
Владеть: математическим аппаратом алгебры, методами доказательства
утверждений в этих областях, навыками алгоритмизации основных задач.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 2. Формы промежуточной аттестации: зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
Тематический план.
3.
Таблица 1.
1
1.1.
2
Модуль 1
Группы и гомоморфизмы.
3
1–5
1.2.
Конечные абелевы группы.
6–7
Всего
4
Самостоятельна
я работа*
Лекции*
Тема
недели семестра
№
Семинарские
(практические)
занятия*
Тематический план.
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Ито
го
час
ов
по
тем
е
Из них
в
интера
ктивно
й
форме
Итого
количест
во
баллов
5
7
8
9
10
2
10
28
40
5
0 – 20
4
4
34
42
6
14
62
82
0 – 15
5
0 – 35
2.1.
Модуль 2
Кольца и идеалы.
8–9
2
4
28
34
2.2.
Кольца многочленов.
10-11
4
4
20
28
2
0 – 20
6
8
48
62
2
0 – 30
Всего
0 – 10
3.1.
Модуль 3
Поля и их расширения.
12 – 15
4
8
30
42
2
0 – 15
3.2.
Конечные и совершенные поля.
16 – 18
2
6
22
30
5
0 – 20
6
18
4
14
36
10
52
162
72
216
7
14
0 – 35
0 – 100
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
4
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
реферат
контрольная
работа
ответ на
семинаре
собеседование
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
Письменные работы
Устный опрос
Итого
количество
баллов
№ темы
0-5
0-5
0-10
0-10
0-20
-
0-10
0-10
0 – 15
0 – 20
0 – 35
0-5
0-5
0-10
0-10
0-10
0-20
-
-
0 – 15
0 – 15
0 – 30
0-2
0-2
0-17
0-10
0-10
0-20
0-60
-
0-13
0-13
0-23
0 – 23
0 – 12
0 – 35
0 – 100
Таблица3.
Планирование самостоятельной работы студентов.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1
Группы и гомоморфизмы.
1.2
Конечные абелевы группы.
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Подготовка
рефератов,
составление задач
Неделя
семестра
Объем
часов
1–5
28
6–7
34
62
0-10
28
20
0-2
0-4
48
0-6
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Кольца и идеалы.
2.2
Кольца многочленов.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Поля и их расширения.
3.2
Конечные и совершенные
поля.
8–9
10-11
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
5
Подготовка
рефератов
Кол-во
баллов
0-10
12 – 15
30
16 – 18
22
0-9
52
162
0-9
0-25
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Геометрия.
Математический
анализ.
Теория чисел.
Математическая
логика.
Темы
дисциплины
необходимые
для
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
+
+
+
+
+
+
+
+
изучения
3.2
+
+
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Группы и гомоморфизмы.
Абелевы группы. Циклические группы. Предложение о порождающих. Гомоморфизм
групп. Предложение о циклических группах. Теорема Кели. Смежные классы группы по
подгруппе. Критерий равенства смежных классов. Теорема Лагранжа. Нормальные
группы. Гомоморфный образ и ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах.
Коммутаторы и коммутанты. Теорема о коммутанте.
Тема 1.2. Конечные абелевы группы.
Прямые суммы групп. Разложение циклических групп по подгруппам. Теорема
Прюффера. Теорема о конечных абелевых группах.
Модуль 2.
Тема 2.1. Кольца и идеалы.
Гомоморфизм и изоморфизм колец. Фактор-кольцо. Делители нуля. Целостные
кольца. Простой элемент кольца. Максимальные кольца. Идеалы. Главные идеалы. Кольца
главных идеалов. Предложение о простых идеалах. Предложение о кольцах главных
идеалов.
Евклидовы
кольца.
Наибольший
общий
делитель.
Алгоритм
Евклида.Факториальные кольца. Критерий факториальности. Теорема о евклидовых
кольцах.
Тема 2.2. Кольца многочленов.
Многочлен над полем. Сумма многочленов. Произведение многочленов. Кольцо
многочленов. Деление многочленов. Теорема о делении многочлена на многочлен с
остатком. Теорема о наибольшем общем делителе многочленов. Корни многочлена.
Теорема Безу. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. Теорема о равенстве
многочленов. Формулы Виета. Многочлены над полем вещественных чисел. Каноническое
разложение многочлена над полем вещественных чисел. Возведение матрицы в
натуральную степень. Многочлен от матрицы.
6
Модуль 3.
Тема 3.1. Поля и их расширения.
Расширение полей. Теорема
трансциндентные расширения. Простые
Теорема о простых расширениях.
расширения. Нормальные расширения.
корни. Теорема о кратных корнях.
о простых расширениях. Алгебраические и
поля. Характеристика поля. Теорема о степенях.
Алгебраические расширения. Эквивалентные
Теорема о нормальных расширениях. Кратные
Тема 3.2. Конечные и совершенные поля.
Сепарабельные элементы и многочлены. Совершенные поля. Теорема о
совершенных полях. Теорема о конечных полях. Теорема о мультипликативных группах.
Примитивный элемент. Теорема о примитивном элементе.
6.
Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1.1. Группы и гомоморфизмы.
Абелевы группы. Циклические группы. Гомоморфизм групп. Предложение о
циклических группах. Смежные классы группы по подгруппе. Критерий равенства
смежных классов. Теорема Лагранжа. Нормальные группы. Гомоморфный образ и ядро
гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах. Коммутаторы и коммутанты. Теорема о
коммутанте.
Тема 1.2. Конечные абелевы группы.
Прямые суммы групп. Разложение циклических групп по подгруппам.
Модуль 2.
Тема 2.1. Кольца и идеалы.
Гомоморфизм и изоморфизм колец. Фактор-кольцо. Делители нуля. Целостные
кольца. Простой элемент кольца. Максимальные кольца. Идеалы. Главные идеалы. Кольца
главных идеалов. Предложение о простых идеалах. Предложение о кольцах главных
идеалов. Евклидовы кольца. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
Факториальные кольца. Критерий факториальности.
Тема 2.2. Кольца многочленов.
Многочлен над полем. Сумма многочленов. Произведение многочленов. Кольцо
многочленов. Деление многочленов. Теорема о делении многочлена на многочлен с
остатком. Теорема о наибольшем общем делителе многочленов. Корни многочлена.
Теорема Безу. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. Теорема о равенстве
многочленов. Формулы Виета. Многочлены над полем вещественных чисел. Каноническое
разложение многочлена над полем вещественных чисел. Возведение матрицы в
натуральную степень. Многочлен от матрицы.
7
Модуль 3.
Тема 3.1. Поля и их расширения.
Расширение полей. Алгебраические и трансциндентные расширения. Простые
поля. Характеристика поля. Теорема о степенях. Теорема о простых расширениях.
Алгебраические расширения. Эквивалентные расширения. Нормальные расширения.
Теорема о нормальных расширениях. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
Тема 3.2. Конечные и совершенные поля.
Сепарабельные элементы и многочлены. Совершенные поля. Теорема о
совершенных полях. Теорема о конечных полях. Теорема о мультипликативных группах.
Примитивный элемент.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются.
8.
Примерная тематика курсовых.
Не планируются.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
a) Текущая аттестация:
 контрольная работа; В течении семестра проводится контрольная работа
(на семинаре).
b) Промежуточная аттестация:
 зачёт (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения всех
задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.
9.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Вариант контрольной работы:
1. Разложить дробь в сумму простейших:
4𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
,
(𝑥 2 + 1)(2𝑥 2 + 𝑥 + 1)2
2. Выразить через элементарные симметрические многочлены:
𝑥14 𝑥23 + 𝑥14 𝑥33 + 𝑥13 𝑥24 + 𝑥24 𝑥33 + 𝑥13 𝑥34 + 𝑥23 𝑥34
8
Вопросы к зачёту:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Группы и гомоморфизмы.
Критерий равенства смежных классов.
Конечные абелевы группы.
Кольца и идеалы.
Кольца многочленов.
Теорема о полях частных.
Теорема о рациональных дробях.
Теорема о симметрических многочленах.
Теорема о простых расширениях.
Теоремы о степенях и конечных расширениях.
Теорема о нормальных расширениях.
Конечные и совершенные поля.
10. Образовательные технологии.
a) аудиторные занятия:
 лекционные и практические занятия (семинары, специализированные
практикумы); на практических занятиях контроль осуществляется при ответе у
доски и при проверке домашних заданий. В течение семестра студенты решают
задачи, указанные преподавателем к каждому семинару.
 активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме по темам
1.1, 2.1, 2.2 компьютерное моделирование и практический анализ результатов,
научные дискуссии по темам 3.1, 3.2, работа студенческих исследовательских
групп)
b) внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и
уровня сложности на практических занятиях, подготовка к аудиторным
занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов,
подготовка индивидуальных заданий: докладов, сообщений, рефератов,
решение задач, выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка
ко всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и
промежуточной аттестации);
 индивидуальные консультации.
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
11.1. Основная литература:
1. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – СПб.: Лань, 2003.
2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. – М.:
Физматлит, 2001.
3. Кострикин А. И. Введение в алгебру: Учебник для вузов: в 3-х ч. – М.:
Физматлит, 2001.
4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры: Учебник для вузов. – СПб.: Лань, 2003.
9
11.2. Дополнительная литература:
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре: Учебное пособие
для вузов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2003.
2. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре: Учебное
пособие для вузов. – СПб.: Лань, 2001.
1.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. http://bugtraq.ru/library/books/crypto/toc/
2. http://www.vuithelp.ru/files/1880.html
3. http://bybin.narod.ru/shneier_self/source.html
4. http://www.ssl.stu.neva.ru/psw/crypto.html
5. http://algolist.manual.ru/defence/intro.php
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
12.
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том
числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютеру с
Microsoft Office.
10