Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà

Ëèñòîê 16
23.12.08
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà
Çàäà÷à 16.1 (1 áàëë).  òóðíèðå ïî øàõìàòàì ó÷àñòâîâàëî 38 ÷åëîâåê. Ïåðâîíà÷àëüíî ïëà-
íèðîâàëîñü, ÷òî êàæäûé ó÷àñòíèê äîëæåí ñûãðàòü 9 ïàðòèé. Îäíàêî ïî ïðè÷èíå áîëåçíè îäèí
ó÷àñòíèê ñûãðàë äâå ïàðòèè, à åùå îäèí øåñòü, îñòàëüíûå ñûãðàëè ïî 9. Ñêîëüêî âñåãî ïàðòèé áûëî ñûãðàíî â òóðíèðå?
Çàäà÷à 16.2 (1 áàëë).  êëàññå 30 ÷åëîâåê. Ìîæåò ëè áûòü òàê, ÷òî 9 èç íèõ èìåþò ïî 3
äðóãà (â ýòîì êëàññå), 11 ïî 4 äðóãà, à 10 ïî 5 äðóçåé?
Çàäà÷à 16.3 (1 áàëë). Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü íà ïëîñêîñòè 17 îòðåçêîâ òàê, ÷òîáû êàæäûé
ïåðåñåêàëñÿ ðîâíî ñ ïÿòüþ äðóãèìè?
Çàäà÷à 16.4 (1 áàëë). Êàæäûé èç ó÷åíèêîâ êëàññà ïîäñ÷èòàë, ñêîëüêî ó íåãî â êëàññå äðóçåé
(íå ñ÷èòàÿ ñåáÿ). Ïîëó÷åííûå ÷èñëà ñëîæèëè. Ïîëó÷èëîñü íå÷åòíîå ÷èñëî. Äîêàçàòü, ÷òî êòîòî èç øêîëüíèêîâ ÷èñëèò ñðåäè ñâîèõ äðóçåé ÷åëîâåêà, êîòîðûé íå ñ÷èòàåò åãî ñâîèì äðóãîì.
Çàäà÷à 16.5 (1 áàëë).  ñòðàíå 15 ãîðîäîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîåäèíåí äîðîãàìè íå ìåíåå,
÷åì ñ 7 äðóãèìè. Äîêàæèòå, ÷òî èç ëþáîãî ãîðîäà ìîæíî äîáðàòüñÿ äî ëþáîãî äðóãîãî.
Çàäà÷à 16.6 (1 áàëë).  Òðèäåâÿòîì öàðñòâå ëèøü îäèí âèä òðàíñïîðòà êîâåð-ñàìîëåò. Èç
ñòîëèöû âûõîäèò 21 êîâðîëèíèÿ, èç ãîðîäà Äàëüíèé îäíà, à èç âñåõ îñòàëüíûõ ãîðîäîâ ïî
20. Äîêàæèòå, ÷òî èç ñòîëèöû ìîæíî äîëåòåòü â Äàëüíèé (âîçìîæíî, ñ ïåðåñàäêàìè).
Çàäà÷à 16.7 (1 áàëë).  ñòðàíå 100 ãîðîäîâ, èç êàæäîãî èç íèõ âåäåò ïî 4 äîðîãè ê îñòàëüíûì, ïðè÷åì îò êàæäîãî ãîðîäà ìîæíî äîáðàòüñÿ äî ëþáîãî äðóãîãî. Ìîæíî ëè îòðåìîíòèðîâàòü âñå ýòè äîðîãè òàê, ÷òîáû â ëþáîé ìîìåíò ðåìîíòà ñóùåñòâîâàëà âîçìîæíîñòü ïðîåõàòü
èç ëþáîãî ãîðîäà â ëþáîé äðóãîé? (Ïðè ðåìîíòå äîðîãè äâèæåíèå ïî íåé ïðåêðàùàåòñÿ.)
Çàäà÷à 16.8 (1 áàëë). Âîëåéáîëüíàÿ ñåòêà èìååò âèä ïðÿìîóãîëüíèêà ðàçìåðîì 50 õ 600
êëåòîê. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî âåðåâî÷åê ìîæíî ïåðåðåçàòü òàê, ÷òîáû ñåòêà íå ðàñïàëàñü
íà êóñêè?
Çàäà÷à 16.9 (1 áàëë). Ãîðîä èìååò ôîðìó êâàäðàòà 1000 × 1000 ìåòðîâ ñ 11 ïðÿìîëèíåéíûìè óëèöàìè, èäóùåé ïàðàëëåëüíî îäíîé ñòîðîíå êâàäðàòà, è 11 ïðÿìîëèíåéíûìè óëèöàìè,
èäóùèìè ïàðàëëåëüíî äðóãîé ñòîðîíå. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè ïàðàëëåëüíûìè óëèöàìè 100 ìåòðîâ, äëèíà êàæäîé ïàðàëëåëüíîé óëèöû 1000 ìåòðîâ. Ìýð ãîðîäà
ðåøèë âûïîëíèòü ñâîå ïðåäâûáîðíîå îáåùàíèå: çààñôàëüòèðîâàòü çà ñâîé ñ÷åò óëèöû òàê,
÷òîáû ñ ëþáîãî ïåðåêðåñòêà íà ëþáîé äðóãîé ìîæíî áûëî ïðîåõàòü ïî àñôàëüòó. Êîíå÷íî
ìýð õî÷åò èñòðàòèòü êàê ìîæíî ìåíüøå ñâîèõ äåíåã. Êàêîé íàèìåíüøåé äëèíû àñôàëüòîâîå
ïîêðûòèå ìýð ìîæåò ñäåëàòü?
Çàäà÷à 16.10 (2 áàëëà).  íåêîòîðîì êîðîëåâñòâå áûëî 32 ðûöàðÿ. Íåêîòîðûå èç íèõ áûëè
âàññàëàìè äðóãèõ (âàññàë ìîæåò èìåòü òîëüêî îäíîãî ñþçåðåíà, ïðè÷åì ñþçåðåí âñåãäà áîãà÷å
ñâîåãî âàññàëà). Ðûöàðü, èìåâøèé íå ìåíåå ÷åòûðåõ âàññàëîâ, íîñèë òèòóë áàðîíà. Êàêîå
íàèáîëüøåå ÷èñëî áàðîíîâ ìîãëî áûòü ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ? ( êîðîëåâñòâå äåéñòâîâàë çàêîí:
¾âàññàë ìîåãî âàññàëà íå ìîé âàññàë¿).
Çàäà÷à 16.11 (2 áàëëà). Âàñÿ íàðèñîâàë ñâÿçíûé ãðàô ñ 47 ðåáðàìè, â êîòîðîì ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû 1, 5 èëè 10 (âîçìîæíî, ÷òî âåðøèí êàêîé-òî èç ýòèõ ñòåïåíåé íåò ñîâñåì).
à) Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî óäàëèòü èç ýòîãî ãðàôà îäíî ðåáðî òàê, ÷òî îí ïåðåñòàíåò áûòü
ñâÿçíûì. á) Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî óäàëèòü ÷åòûðå ðåáðà òàê, ÷òî ãðàô ðàñïàäåòñÿ íà ïÿòü
êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè.
Çàäà÷à 16.12 (2 áàëëà). Äâàäöàòü ãîðîäîâ ñîåäèíåíû 172-ìÿ àâèàëèíèÿìè. Äîêàçàòü, ÷òî,
èñïîëüçóÿ ýòè àâèàëèíèè, ìîæíî èç ëþáîãî ãîðîäà ïåðåëåòåòü â ëþáîé äðóãîé (áûòü ìîæåò,
äåëàÿ ïåðåñàäêè).
Çàäà÷à 16.13 (2 áàëëà).  ïîñåëêå 100 äîìîâ. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ
çàáîðîâ ìîæíî ïîñòðîèòü òàê, ÷òîáû êàæäûé çàáîð îãîðàæèâàë õîòÿ áû îäèí äîì, è íèêàêèå
äâà çàáîðà íå îãîðàæèâàëè áû îäíó è òó æå ñîâîêóïíîñòü äîìîâ?