1. 2. 3.

Лекция№10
Тема: Геодезические линии поверхности
План лекции
1. Геодезические линии.
2. Полугеодезическая сеть.
3. Свойство геодезической линии.
Геодезические линии
k
Пусть F – гладкая поверхность класса C ( k ≥ 2) . Гладкая линия γ ⊂ F
называется геодезической, если в каждой ее точке геодезическая кривизна равна
нулю: k g = 0 .
Из формулы (17) следует, что k g = 0 тогда и только тогда, когда kv || n . Но
kv вектор кривизны линии γ , поэтому в точке M он параллелен соприкасающейся
плоскости линии γ в этой точке, а n – единичный вектор нормали к поверхности
F в этой точке. Следовательно, геодезическая линия характеризуется тем свойством,
что в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к
поверхности в этой точке. Так, большие окружности на сфере являются геодезическими
линиями.
Докажем следующую теорему о геодезических линиях поверхности.
k
Т е о р е м а 3. Пусть F – гладкая поверхность класса C ( k ≥ 2) .
Через каждую точку M 0 ∈ F по каждому направлению на поверхности в достаточно
малой окрестности точки M 0 проходит геодезическая линия, и притом единственная.
□ Пусть γ – гладкая линия на данной поверхности F , заданная уравнениями
u = u ( s ), v = v( s ) .
(23)
Как показывает формула (16), эта линия является геодезической тогда и только
тогда, когда kT = 0 , т. е. когда равны нулю координаты вектора kT . Из формулы (14)
находим:
2
2
d 2u
1  du 
1 du dv
1  dv 
+
Γ
+
2
Γ
+
Γ


  =0,
11
12
22
ds 2
ds ds
 ds 
 ds 
2
2
d 2v
du dv
 du 
 dv 
+ Γ112   + 2Γ122
+ Γ222   = 0 .
(24)
2
ds
ds ds
 ds 
 ds 
Таким образом, линия γ ⊂ F , задаваемая уравнениями (23), будет
геодезической только в том случае, когда функции u (s ) и v (s ) являются решением
системы (24) дифференциальных уравнений второго порядка.
неизвестными как раз и являются функции u (s ) и v (s ) .
В этой
системе
F – гладкая поверхность класса C k (k ≥ 2) , то функции
Γijk = Γijk (u , v), (i, j , k = 1,2) непрерывны в области G изменения переменных u и v .
Так
как
Следовательно, в системе (24) коэффициенты Γij непрерывны в некоторой области G . Как
k
доказывают в теории дифференциальных уравнений, система (24) в некотором достаточно
малом промежутке изменения переменной s имеет решение u (s ) , v (s ) , и притом
единственное, при заданных начальных условиях:
81
u | s = s = u 0 , v | s = s = v0 ,
0
0
du
dv
| s = s = a , | s = s = b,
dv
ds
0
0
(25)
где (u 0 , v0 ) ∈ G и хоть одно из чисел a, b отлично от нуля.
Геометрический смысл этих начальных условий состоит в следующем.
Произвольно заданной точке (u 0 , v0 ) ∈ G соответствует точка M 0 ∈ F числа a и b
определяют вектор касательной к линии γ : u = u ( s ), v = v( s ) в точке M 0 . Отсюда и
следует справедливость теоремы [1]. ■
Пример 4.
Геодезические линии на сфере суть большие круги и только они.
Действительно, каждый большой круг является геодезической по первой теореме. Из
каждой точки в любом направлении можно провести большой круг и, следовательно, по
второй теореме большими кругами исчерпываются все геодезические [9].
Замечание. Если на поверхности F лежит линия γ , содержащаяся в некоторой
прямой, то в каждой точке M ∈ γ кривизна этой линии равна нулю: k = 0 . Тогда из
формулы (13) получим kT = 0 в каждой точке M ∈ γ . Следовательно, линия γ
геодезическая на поверхности. В частности, прямые линии на плоскости являются
геодезическими линиями. Из доказанной теоремы следует, что других геодезических
линий на плоскости не существует. Точно так же через каждую точку сферы по любому
направлению на сфере проходит, и притом одна, геодезическая линия. Но через каждую
точку сферы по любому направлению проходит единственная большая окружность,
которая также является геодезической линией. Следовательно, геодезическими линиями
на сфере являются только большие окружности [5].
Полугеодезическая сеть
k
Теперь можно показать, что если F – гладкая поверхность класса C ( k ≥ 2) , то
в достаточно малой окрестности каждой точки M ∈ F можно привести первую
квадратичную форму поверхности к некоторому специальному виду. Пусть поверхность
F0 ⊂ F является элементарной. Сеть на поверхности F0 называется
полугеодезической, если она ортогональна и одно семейство ее линий состоит из
геодезических.
Пусть M – точка на поверхности F . На некоторой поверхности F0 , такой, что
M ∈ F0 ⊂ F , можно построить полугеодезическую сеть. Для этого через точку M
проведем на поверхности F гладкую линию γ . В качестве одного семейства линий
сети возьмем геодезические, ортогональные линии, а в качестве линий другого
семейства примем ортогональные траектории этого семейства геодезических линий (т.
е. такие линии, которые пересекают каждую из построенных геодезических под прямым
углом). В частности, линия γ будет одной из линий этого семейства. Оба эти семейства
и образуют полугеодезическую сеть.
Так как линии каждого из названных семейств получаются с помощью решения
соответствующих систем дифференциальных уравнений, то построенная сеть будет
определена лишь на некоторой элементарной поверхности F0 ⊂ F содержащей точку
M (рис. 3).
Пусть на поверхности F0 координатная сеть u, v полугеодезическая, причем
линии u геодезические. Уравнения (23) для этих линий имеют вид u = s, v = v0 , и
du
dv
d 2v
так как
= 0, 2 = 0, но
≠ 0, то из второго уравнения системы (24) находим
ds
ds
ds
82
Γ112 = 0 . Второе из равнений (6) в силу формулы (10) имеет вид:
∂γ
1 ∂γ 11
γ 21Γ111 + γ 22 Γ112 = 12 −
.
(26)
∂u 2 ∂v
2
Здесь Γ11 = 0 и к тому же γ 12 = γ 21 = 0 , (так как координатная сеть
dγ 11
ортогональна). Поэтому из равенства
(26) следует:
= 0 . Значит, γ 11 есть
dv
функция только переменной u : γ 11 = γ 11 (u ) . Первая квадратичная форма поверхности
F0 имеет вид:
ds 2 = γ 11 (u )du 2 + γ 22 (u , v)dv 2 .
γ 11 (u )du = du ,
Обозначим
т.
u = ∫ γ 11 (u )du + c .
е.
Тогда
ds 2 = du 2 + γ 22 dv 2 . Считая такую замену уже сделанной, можно заключить, что если
координатная сеть на поверхности F0 ⊂ F полугеодезическая и линии u геодезические,
то первая квадратичная форма поверхности имеет вид:
ds = du + γ 22 dv
2
2
2
[7].
(27)
Рис. 2
Рис. 3
Свойство геодезической линии
Пусть F – гладкая поверхность и M 1 , M 2 – две
поверхности (рис. 4). Обозначим через
различные точки
α ( M 1 , M 2 ) множество длин гладких дуг,
лежащих на поверхности и имеющих своими концами точки M 1 , M 2 . Это множество
ограничено снизу (например, нулем). Значит, оно имеет точную нижнюю грань, которая
называется расстоянием между точками M 1 и M 2 на поверхности F . Это расстояние
обозначается
так:
ρ F (M 1 , M 2 ) .
Значит,
по
определению
ρ F ( M 1 , M 2 ) = inf α ( M 1 , M 2 ) .
Следующая теорема выражает важное свойство геодезической линии.
Т е о р е м а 4. Если точки M 1 , M 2 лежат на геодезической линии γ поверхности
F и расстояние ρ F ( M 1 , M 2 ) достаточно мало, то это расстояние есть длина дуги
M 1 M 2 геодезической линии γ .
83
□ На поверхности F проведем через точку M 1 гладкую линию
геодезической линии
γ 0 , ортогональную
γ (рис. 4). С помощью линии γ 0 построим на поверхности F в
некоторой окрестности точки M 1 полугеодезическую систему криволинейных координат
так, как это описано выше. Обозначим через F0 элементарную поверхность, на которой
γ ∩ F0 – одна из линий этой сети. Пусть
ρ F ( M 1 , M 2 ) настолько мало, что M 2 ∈ F0 и ρ F ( M 1 , M 2 ) = ρ F ( M 1 , M 2 )
(рис. 4).
Рассмотрим произвольную гладкую дугу γ ⊂ F0 с концами в точках M 1 и M 2 ,
эта сеть служит координатной сетью. Линия
0
заданную уравнениями u = u (t ), v = v(t ), a ≤ t ≤ b, так что при t = a получим точку
M 1 , а при t = b – точку M 2 . Если s – длинна дуги γ , то
b
⋅ 2
⋅ 2
b
⋅
b
s = ∫ u + γ 22 v dt ≥ ∫ u dt ≥ ∫ du = u (b) − u (a ) .
a
a
(28)
a
γ (как одной из линий u ) точка M 1 определяется значением
координаты u = u1 , а точка M 2 значением u = u 2 . Следовательно, u ( a ) = u1 , u (b) = u 2 и
Пусть на линии
формула (28) принимает вид:
s = u 2 − u1 .
(29)
Так как система криволинейных координат u, v на поверхности
F0
полугеодезическая, то первая квадратичная форма этой поверхности имеет вид (27).
2
2
Для дифференциала ds1 длины дуги линии u получим ds1 = du . Значит, длина
дуги M 1 M 2 геодезической линии
γ:
u2
s1 = ∫ du = u 2 − u1 , и формулу (29) можно записать теперь так: s ≥ s1 . Так как
u1
γ – произвольная гладкая дуга с концами в точках M 1 и M 2 на поверхности F0 ,
то из последнего равенства следует: ρ F ( M 1 , M 2 ) = s1 , и, значит, ρ F ( M 1 , M 2 ) = s1 .
0
■
Свойство геодезической линии, о котором говорится в этой теореме, и другое
свойство, установленное в теореме 1 настоящего параграфа, позволяют заключить,
что геодезические линии на поверхности являются аналогом прямых линий на
плоскости [2].
84