механика жидкости и газа - Томский политехнический университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С. А. СМАЙЛОВ, К. А. КУВШИНОВ
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Рекомендовано в качестве учебного пособия
Редакционно-издательским советом
Томского политехнического университета
Издательство
Томского политехнического университета
2012
УДК 585-82
ББК 00000
C00
Смайлов С.А., Кувшинов К.А.
С00
Механика жидкости и газа: учебное пособие/С.А.
Смайлов, К.А. Кувшинов; Томский политехнический университет. −
Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012. – 12 с.
В пособии изложены вопросы о физических свойствах жидкостей, применяемых в
гидроприводе технологических машин, силах, действующих на жидкость, некоторые вопросы движения жидкостей и газов, а также прикладные задачи механики жидкости и
газа.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 150700 «Машиностроение», 151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств».
УДК585-82
ББК 00000
К 70
Рецензенты
Кандидат технических наук, доцент ТГАСУ
С. А. Ларионов
Кандидат технически наук,
генеральный директор ЗАО «Технотрон», г. Томск
Э. Н. Панкратов
© ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2012
© Смайлов С.А., Кувшинов К.А., 2012
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2012
2
ВВЕДЕНИЕ
Механика жидкости и газа изучает законы равновесия и движения
жидкостей и газов, являющихся основой целого ряда специальных курсов и дисциплин. Трудно назвать какую-либо область инженерной деятельности, в которой не приходилось иметь дело с движением жидкостей или газов и, следовательно, не применять в той или иной мере законы механики жидкостей и газов.
Широко используются законы механики жидкостей и газов в технологическом оборудовании, строительно-дорожной технике, в горнодобывающей промышленности и летательных аппаратах.
Теоретические законы механики жидкости и газов базируются на
законах гидромеханики и гидродинамики, которые устанавливают связь
между действующими силами, скоростями движения и движением, выражающимся обычно в форме сложных дифференциальных уравнений.
Совокупность теории, отражающей физическую сущность явления,
и данных опытов и практики позволила глубоко разработать современные законы прикладной гидравлики.
Следует отметить, что законы движения и равновесия газов в тех
случаях, когда в процессе изменения состояния не изменяется плотность газа, во многом тождественны законам, установленным для жидкостей.
3
1. РАБОЧИЕ ЖИДКОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
Рабочим телом в гидросистемах являются в основном различные
сорта минеральных жидкостей, и реже – жидкости на основе органических и кремний-органических соединений.
Основная функция жидкости – она является главным рабочим телом, носителем энергии.
Вспомогательная функция – смазка сопряжений, охлаждение, защита от коррозии, удаление продуктов износа.
Основными критериями оценки качества жидкости являются плотность, вязкостно-температурные свойства, химическая и физическая
стабильность, агрессивность по отношению к резиновым уплотнительным деталям и смазочная способность, а также огнестойкость и взрывобезопасность.
1.1 Плотность жидкости и газа
Плотность жидкости  – физическая величина, представляющая
отношение массы жидкости к ее объему.
При равномерном распределении массы плотность
m  кг 
   3.
W м 
Удельный вес  = g.
Плотность минеральных масел колеблется для различных их марок
кг
  830  940 3 .
м
Большая плотность жидкости потребует больших затрат энергии на
ее транспортировку:
m V 2
кинетическую энергию – E 
делим на объем – получаем
2
E
1
  V 2 .
W
2
Малая плотность не целесообразна, т.к. жидкость маловязка, а это
приводит к большим утечкам в зазорах подвижных соединений.
4
Плотность жидкости зависит от температуры, т. к. с изменением Т
изменяется объем W.
Эта зависимость характеризуется коэффициентом объемного расширения :
 (1/град),
W
.

W0 T
– изменение температуры от Т0 до Т.
– изменение объема.
W  TW0 , W  W0  TW0 .
Плотность жидкости при заданной

0
1  T .
Для масла АМГ-10,
в
диапазоне давления
0–20 МПа
4
  8 10 1/град. У других минеральных масел с более высокой вязкостью – коэффициент =7∙10-4 1/град.
Максимальное значение температурного коэффициента имеют синтетические масла, которое имеет значение =9,52∙10-4 1/град.
Плотность жидкости вследствие ее сжимаемости зависит от величины давления.
При изменении давления от 0 до 20 МПа плотность  меняется на
10%.
Другие соотношения имеют место для газа.
1
Для газов распространенным является удельный объем: Wу  .

Для идеального газа
где
pWу  RT ,
p – давление;
R – газовая постоянная;
T – температура.
 м 2   дж 
R  287,1 2 0   
 – для сухого воздуха.
сек
×С
кг×К



5
p

 RT
.
Таким образом, существует сложная связь между p, T и .
При изотермическом процессе, т. е. T=const имеет место следующая зависимость (рис. 1).
pWy  const.
При
адиабатическом
процессе,
С
pWyк  const где к  p – показатель адиабаCV
ты, к = 1,4.
С p , CV – удельные теплоемкости при
Рис. 1
постоянном давлении и постоянном объеме.
1
k
1 1  p1 
  
2 1  p2 
;
k
1 T 
  1
2 1  T2  .
1
График приведен на рис. 2.
Политропный процесс – средний между
изометрическим и адиабатным процессами:
p
n
1
n
1
Рис. 1
p 
6
 const
1
1
,
1
n
2
p 
1
2 .
1.2 Вязкость жидкости
Вязкость – это свойство жидкости сопротивляться деформации
сдвига ее слоев.
Механизм возникновения вязкости обусловлен тем, что при течении жидкости вдоль твердой стенки скорость ее слоев в результате торможения потока различна, вследствие чего между слоями возникает сила трения.
Согласно гипотезе Ньютона. Касательные напряжения при трении
пропорциональны градиенту скорости и динамической вязкости (рис.3).
  
Рис. 3
dV
dy
 –коэффициент пропорциональности
или динамическая вязкость – 1 пуаз
(ПЗ) = 0,1 Па∙с≈0,0102 кгс/м2.
В гидравлических расчетах применяется кинематическая вязкость, представляющая собой отношение динамической вязкости к плотности жидкости:


.

1 см2/сек=1 ст= 100 сст=10-4м2/сек.
По стандарту РФ вязкость масла дается при температуре 50С.
Также вязкость измеряется в градусах Энглера Е; ВУ.
Отношение времени tж истечения 200 см3 масла ко времени tв этого
же объема дистиллированной воды через отверстие Ø 2,9мм при одинаковой температуре.
В США и Англии используются секунды Сейблера.
Вязкость зависит от T и p.
С повышением T вязкость уменьшается, см. рис. 4.
С повышением давления р, вязкость возрастает, см. рис. 5.
7
Рис. 4
Рис. 5
При изменении давления р от 0 до 40÷50 МПа вязкость практически меняется линейно.
Зависимость вязкости от Т – нежелательный фактор, поэтому
используют:
а) специальные присадки для стабилизации вязкости,
б) ограничивают рабочий диапазон температур.
Т. к. вязкость незначительно меняется от давления р, то в дальнейшем мы эту зависимость учитывать не будем.
Что определяет вязкость жидкости в приводе?
1.
несущую способность деталей машин, т. е. смазываемость,
2.
демпфирующие свойства машин, т. е. поглощение энергии
колебаний,
3.
она определяет величину зазора или утечек.
Для газов также наблюдается зависимость вязкость от давления р
и температуры Т, см. рис. 6.
Рис. 6
Рис. 7
8
Если от давления р вязкость зависит незначительно (рис. 7), то от
температуры Т зависимость имеет уже выраженный характер.
1.3 Сжимаемость жидкости и газа
Жидкости являются упругими телами и при некотором допущении
подчиняются закону Гука.
Сжимаемость жидкости характеризуется коэффициентом относительного объемного сжатия 
1 W


,
p W
где W – изменение объема W;
W – начальный объем;
p – изменение давления р1 до р2
Величина, обратная  называется объемным модулем упругости
жидкости при всестороннем сжатии
1
p
E   W0
.

W
Е и  зависят от давления р, температуры Т и нерастворенного воздуха в жидкости.
Зависимость модуля упругости Е от давления р можно представить
в виде
E  E0  AP .
А – зависит от типа жидкости и температуры: для турбулентного
А=12, АМГ-10, А=12,75 (20)-10,6(80), рис. 8.
При
быстрых
изменениях давления
Установив, что
dp
Ea  W
dW ,
где Ea   a 2 – адиабатический модуль
упругости,
Рис. 8
9
а – скорость распространения звука в жидкости.
С повышением температуры модуль упругости уменьшается, рис.
9.
Влияние нерастворенного воздуха. Так как
модуль объемной упругости для газа равен приблизительно абсолютному значению давления и
поэтому, он значительно
влияет на модуль упругости
смеси
p
Wв  Wв
– для воздуp
Рис. 9
ха при изотерическом
процессе.
p
Wж  Wж
для жидкости
,
Е
W W 
Wc  Wв  Wж   ж  в  p 
p 
 Eж
 W E 
W
 ж p 1  в  ж  ;
Eж
 Eж p 
p0
p
ов – объем газа при давлении p0.
где Wв  Wов 
Ec 
Wж  Wв
p ;
Wж  Wв
10
Wов p0

Wж p
Ec  Eж 
.
Wов p0
1
  Еж
Wж p
1
Что является следствием упругости жидкости?
1. Энергия, расходуемая на сжатие не может использована для совершения полезной работы, поэтому понижается КПД.
2. В системах со значительной инерционной нагрузкой и большим
трением покоя упругость жидкости приводит к прерывистому неравномерному движению и возможной потере устойчивости.
1.4 Растворение в жидкости газов
Все жидкости обладают способностью растворять газы, которые в
растворенном состоянии не оказывают существенного влияния на работу гидросистемы. Если давление в какой-либо точке объема жидкости
уменьшается, газы выделяются из раствора в виде пузырьков, которые
ухудшают механические свойства жидкости и понижают ее химическую
стойкость.
Растворимость газа определяется коэффициентом растворимости K.
K
Wr p1
 .
Wж p2
Wж – объем жидкости; Wr – объем газа.
p1 и p2 – начальное и конечное давление газа, находящегося в контакте с
жидкостью.
Для минеральных масел плотностью =820-900 кг/м3, К = 0,08÷0,1,
Растворимость кислорода в жидкости выше чем атмосферного воздуха, что интенсифицирует окисление жидкости и способствует разрушению резиновых деталей гидросистем.
Присутствие газа, выделившееся из жидкости во всасывающей магистрали насоса, уменьшает его подачу и ухудшает режим его работы.
11
1.5 Стабильность характеристик масел
Для работы гидросистем необходимо, чтобы жидкости сохраняли
свои физические и химические свойства во время эксплуатации и хранения.
Под стабильностью характеристик жидкостей понимается стабильность их физических и химических свойств.
Основной причиной нарушения физической стабильности является
мятие ее при длительной работе в условиях высоких давлений. В результате этого происходит изменение молекулярной структуры жидкости, сопровождающееся понижением ее вязкости, а также ухудшением
ее смазывающих свойств.
В эксплуатации не допускается снижение вязкости более чем на
20% от первоначального значения.
Химическая стабильность зависит от химического состава и строения составляющих ее компонентов. В результате окисления жидкостей,
и в особенности, минеральных масел, происходит выпадение из них отложений в виде смол, а также понижение вязкости, сопровождающееся
потерей смазывающих качеств.
Интенсивность окисления в значительной мере зависит от температуры на поверхности контакта жидкости с воздухом, например, при повышении температуры на 8–10 интенсивность окисления минерального
масла практически удваивается.
1.6 Теплопроводность и удельная теплоемкость жидкостей
Для поглощения и эвакуации из гидросистемы теплоты, выделяющейся при работе, необходимо, чтобы рабочие жидкости обладали определенными значениями удельной теплоемкости и теплопроводности.
Теплопроводность жидкостей характеризуется количеством теплоты, которая проходит в единицу времени через единицу площади слоя
жидкости толщиной в единицу длины.
Вт ККал
Кал
Размерность
.
,
,
°
м  К м  ч  C см  сек  С°
Для большинства нефтепродуктов теплопроводность равно приКал
мерно (4.0 – 4.8)∙10-4 см  сек  С° .
Удельная теплоемкость рабочих жидкостей, под которой понимается количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы
12
на 1С, определяет интенсивность повышения температуры в гидросистеме.
Для распространенных рабочих жидкостей минерального происхождения удельная теплоемкость в интервале температур 0-100С в средкКал
нем равна 0,45
.
кг  С°
1.7. Кавитация жидкостей
При понижении давления в какой-либо точке потока жидкость
вскипает, выделившиеся при этом пузырьки газа и пара увлекаются потоком и переносятся в область более высокого давления, в которой паровые пузырьки конденсируются, а газовые сжимаются. Т. к. процесс
конденсации парового и сжатия газового пузырьков происходит мгновенно, частицы жидкости перемещаются к их центрам с большой скоростью (до нескольких сот метров в секунду), получают местные гидравлические микроудары. Это сопровождается повышением давления и
температуры в центрах пузырьков (до 1000–1500С).
Если процессы кавитации протекают вблизи стенок ограждающих
каналов, то последние будут подвергаться непрерывным тепловым и
гидравлическим ударом, которые вызывают местные разрушения стенок.
Разрушительному воздействию кавитации подвергаются насосы,
золотники, клапаны и прочие гидроагрегаты. С появлением кавитации в
насосах понижается их подача, а также наблюдаются высокочастотные
колебания давления в нагнетательной линии насоса и ударные нагрузки
на детали.
1.8. Поверхностное натяжение
Жидкость является агрегатным состоянием вещества, промежуточным между газообразным и твердым, поэтому она обладает свойствами
как газообразных, так и твердых веществ. Жидкости, подобно твердым
телам, обладают определенным объемом, а подобно газам, принимают
форму сосуда, в котором они находятся. Молекулы газа практически не
связаны между собой силами межмолекулярного взаимодействия, и в
данном случае средняя энергия теплового движения молекул газа гораздо больше средней потенциальной энергии, обусловленной силами притяжения между ними, поэтому молекулы газа разлетаются в разные стороны, и газ занимает предоставленный ему объем. В твердых и жидких
телах силы притяжения между молекулами yже существенны и удержи13
вают молекулы на определенном расстоянии друг от друга. В этом случае средняя энергия хаотического (теплового) движения молекул меньше средней потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекулярного взаимодействия, и ее недостаточно для преодоления сил притяжения между молекулами, поэтому твердые тела и жидкости имеют
определенный объем.
Рентгеноструктурный анализ жидкостей показал, что характер расположения частиц жидкости промежуточен между газом и твердым телом. В газах молекулы движутся хаотично, поэтому нет никакой закономерности в их взаимном расположении. Для твердых тел наблюдается
так называемый дальний порядок в расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на больших расстояниях. В
жидкостях имеет место так называемый ближний порядок в расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на
расстояниях, сравнимых с межатомными.
Теория жидкости до настоящего времени полностью не развита.
Разработка ряда проблем в исследовании сложных свойств жидкости
принадлежит Я. И. Френкелю (1894–1952). Тепловое движение в жидкости он объяснял тем, что каждая молекула в течение некоторого времени колеблется около определенного положения равновесия, после чего
скачком переходит в новое положение, отстоящее от исходного на расстоянии порядка межатомного. Таким образом, молекулы жидкости довольно медленно перемещаются по всей массе жидкости и диффузия
происходит гораздо медленнее, чем в газах. С повышением температуры жидкости частота колебательного движения резко увеличивается,
возрастает подвижность молекул, что, в свою очередь, является причиной уменьшения вязкости жидкости.
На каждую молекулу жидкости со стороны окружающих молекул
действуют силы притяжения, быстро убывающие с расстоянием; следовательно, начиная с некоторого минимального расстояния силами притяжения между молекулами можно пренебречь. Это расстояние (порядка 10-9 м) называется радиусом молекулярного действия r, а сфера радиуса r – сферой молекулярного действия.
Выделим внутри жидкости какую-либо молекулу А (рис. 14) и проведем вокруг нее сферу радиуса r. Достаточно, согласно определению,
учесть действие на данную молекулу только тех молекул, которые находятся внутри сферы молекулярного действия. Силы, с которыми эти
молекулы действуют на молекулу А, направлены в разные стороны и в
среднем скомпенсированы, поэтому результирующая сила, действующая на молекулу внутри жидкости со стороны других молекул, равна
14
нулю. Иначе обстоит дело, если молекула, например молекула В, расположена от поверхности на расстоянии, меньшем r. В данном случае
сфера молекулярного действия лишь частично расположена внутри
жидкости. Так как концентрация молекул в расположенном над жидкостью газе мала, по сравнению с их концентрацией в жидкости, то равнодействующая сил F, приложенных к каждой молекуле поверхностного слоя, не равна нулю и направлена внутрь жидкости (рис. 10). Таким
образом, результирующие силы всех молекул поверхностного слоя оказывают на жидкость давление, называемое молекулярным (или внутренним). Молекулярное давление не действует на тело, помещенное в
жидкость, так как оно обусловлено силами, действующими только между молекулами самой жидкости.
Рис.10
Суммарная энергия частиц жидкости складывается из энергии их
хаотического (теплового) движения и потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекулярного взаимодействия. Для перемещения
молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой надо затратить
работу. Эта работа совершается за счет кинетической энергии молекул
и идет на увеличение их потенциальной энергии. Поэтому молекулы
поверхностного слоя жидкости обладают большей потенциальной энергией, чем молекулы внутри жидкости. Эта дополнительная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое жидкости, называемая
поверхностной энергией, пропорциональна площади слоя ΔS:
E  S ,
где σ – поверхностное натяжение.
Так как равновесное состояние характеризуется минимумом потенциальной энергии, то жидкость при отсутствии внешних сил будет принимать такую форму, чтобы при заданном объеме она имела минимальную поверхность, т. е. форму шара. Наблюдая мельчайшие капельки,
15
взвешенные в воздухе, можем видеть, что они действительно имеют
форму шариков, но несколько искаженную из-за действия сил земного
тяготения. В условиях невесомости капля любой жидкости (независимо
от ее размеров) имеет сферическую форму, что доказано экспериментально на космических кораблях.
Итак, условием устойчивого равновесия жидкости является минимум поверхностной энергии. Это означает, что жидкость при заданном
объеме должна иметь наименьшую площадь поверхности, т. е. жидкость
стремится сократить площадь свободной поверхности. В этом случае
поверхностный слой жидкости можно уподобить растянутой упругой
пленке, в которой действуют силы натяжения.
Рассмотрим поверхность жидкости (рис. 11), ограниченную замкнутым контуром. Под действием сил поверхностного натяжения (направлены по касательной к поверхности жидкости и перпендикулярно
участку контура, на который они действуют) поверхность жидкости сократилась и рассматриваемый контур переместился в положение, отмеченное светло-серым цветом. Силы, действующие со стороны выделенного участка на граничащие с ним участки, совершают работу
A  flx
где f – сила поверхностного натяжения, действующая на единицу длины
контура поверхности жидкости.
Рис. 11
Из рис. 11 видно, что

 S , т. е.
х
A  f S .
16
Эта работа совершается за счет уменьшения поверхностной энергии, т. е.
A  Е .
Из сравнения выражений видно, что
σ = f.
Т. е. поверхностное натяжение σ равно силе поверхностного натяжения,
приходящейся на единицу длины контура, ограничивающего поверхность. Единица поверхностного натяжения – ньютон на метр (Н/м) или
джоуль на квадратный метр (Дж/м2). Большинство жидкостей при температуре 300 К имеет поверхностное натяжение порядка 10 -2–10-1 Н/м.
Поверхностное натяжение с повышением температуры уменьшается,
так как увеличиваются средние расстояния между молекулами жидкости.
Поверхностное натяжение существенным образом зависит от примесей, имеющихся в жидкостях. Вещества, ослабляющие поверхностное
натяжение жидкости, называют поверхностно-активными. Наиболее известным поверхностно-активным веществом по отношению к воде является мыло. Оно сильно уменьшает ее поверхностное натяжение (примерно с 7,510-2 до 4,510-2 Н/м). Поверхностно-активными веществами,
понижающими поверхностное натяжение воды, являются также спирты,
эфиры, нефть и др.
Существуют вещества (сахар, соль), которые увеличивают поверхностное натяжение жидкости благодаря тому, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости
между собой. Например, если посолить мыльный раствор, то в поверхностный слой жидкости выталкивается молекул мыла больше, чем в
пресной воде. В мыловаренной технике мыло «высаливается» этим способом из раствора.
Из практики известно, что капля воды растекается на стекле и принимает форму, изображенную на рис. 12, в то время как ртуть на той же
поверхности превращается в несколько сплюснутую каплю (рис. 13). В
первом случае говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность,
во втором – не смачивает ее. Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами поверхностных слоев соприкасающихся
сред. Для смачивающей жидкости силы притяжения между молекулами
жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость стремится увеличить поверхность соприкосновения с
17
твердым телом. Для несмачивающей жидкости силы притяжения между
молекулами жидкости и твердого тела меньше, чем между молекулами
жидкости, и жидкость стремится уменьшить поверхность своего соприкосновения с твердым телом.
К линии соприкосновения трех сред (точка 0 есть ее пересечение с
плоскостью чертежа) приложены три силы поверхностного натяжения,
которые направлены по касательной внутрь поверхности соприкосновения соответствующих двух сред (рис. 12 и 13). Эти силы, отнесенные к
единице длины линии соприкосновения, равны соответствующим поверхностным натяжениям σ12, σ13, σ23.Угол θ между касательными к поверхности жидкости и твердого тела называется краевым углом. Условием равновесия капли является равенство нулю суммы проекций сил
поверхностного натяжения на направление касательной к поверхности
твердого тела, т. е.
 12 13   23cos  0 ,
Откуда
cos 
( 13   12 )
 23
.
Из условия вытекает, что краевой угол может быть острым или тупым в зависимости от значений σ13 и σ12. Если σ13 > σ12, то cosθ>0 и угол
θ – острый, т. е. жидкость смачивает твердую поверхность. Если σ13<σ12,
то cosθ<0 и угол θ – тупой т. е. жидкость не смачивает твердую поверхность.
Рис.12
Рис.13
Краевой угол удовлетворяет условию, если
18
 13   12
 1.
 23
Если условие не выполняется, то капля жидкости 2 ни при каких
значениях θ не может находиться в равновесии. Если σ13 > σ12 + σ23, то
жидкость растекается по поверхности твердого тела, покрывая его тонкой пленкой (например, керосин на поверхности стекла), – имеет место
полное смачивание (в данном случае θ =0). Если σ12 > σ13 + σ23, то жидкость стягивается в шаровую каплю, в пределе имея с ней лишь одну
точку соприкосновения (например, капля воды на поверхности парафина), – имеет место полное несмачивание (в данном случае θ =π).
Смачивание и несмачивание являются понятиями относительными,
т. е. жидкость, смачивающая одну твердую поверхность, не смачивает
другую. Например, вода смачивает стекло, но не смачивает парафин;
ртуть не смачивает стекло, но смачивает чистые поверхности металлов.
Явления смачивания и несмачивания имеют большое значение в
технике. Например, в методе флотационного обогащения руды (отделение руды от пустой породы) ее, мелко раздробленную, взбалтывают в
жидкости, смачивающей пустую породу и не смачивающей руду. Через
эту смесь продувается воздух, а затем она отстаивается. При этом смоченные жидкостью частицы породы опускаются на дно, а крупинки минералов «прилипают» к пузырькам воздуха и всплывают на поверхность
жидкости. При механической обработке металлов их смачивают специальными жидкостями, что облегчает и ускоряет обработку.
1.9. Давление под искривленной поверхностью жидкости
Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она
оказывает на жидкость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой
поверхности положительно, а для вогнутой поверхности – отрицательно.
Рис.14
19
Для расчета избыточного давления предположим, что свободная
поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R, от которой мысленно отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса
r  R sin  (рис. 14).
На каждый бесконечно малый элемент длины Δl этого контура действует сила поверхностного натяжения F  l , касательная к поверхности сферы. Разложив ΔF на два компонента (ΔF1 и ΔF2), видим,
что геометрическая сумма сил ΔF2 равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и
взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, действующих на вырезанный сегмент, направлена
перпендикулярно плоскости сечении внутрь жидкости и равна алгебраической сумме составляющих ΔF1:
F   F1   F sin   l
r r
r

l 
2 r .

R R
R
Разделив эту силу на площадь основания сегмента πr2, вычислим
избыточное давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного
натяжения и обусловленное кривизной поверхности:
F 2 r 2 2
p  

.
s
R r 2
R
Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости
и равна
p  
2
R .
Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Δρ.
Формулы являются частным случаем формулы Лапласа, определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости
двоякой кривизны:
1
1 
p      .
 R1 R2 
20
где R1 и R2 – радиусы кривизны двух любых взаимно перпендикулярных
нормальных сечений поверхности жидкости в данной точке. Радиус
кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны
находится вне жидкости.
Для сферической искривленной поверхности (R1=R2 = R) выражение переходит в, для цилиндрической (R1 = R и R2 = ∞) – избыточное
давление
1 1 
p      
R  R
В случае плоской поверхности (R1 = R2 = ∞) силы поверхностного
натяжения избыточного давления не создают.
В таблице 1 приведены значения σ для некоторых жидкостей.
Таблица 1
Поверхностное натяжение жидкостей (при 20°С)
Вещество
Азотная
70%
Анилин
Ацетон
кислота
Бензол
Вода
Глицерин
Керосин
Масло касторовое
Масло оливковое
Поверхностное натяжен
ние   103
м
Вещество
59,4
Нефть
42,9
23,7
Нитробензол
Серная
кислота
85%
Спирт метиловый
Спирт пропиловый
Спирт этиловый
Толуол
Уксусная кислота
Эфир этиловый
29,0
72,8
59,4
28,9 (0°С)
36,4 (18°С)
33,08
(18°С)
21
Поверхностное натяжение
н
  103
м
26
43,9
57,4
22,6
23,8
22,8
28,5
27,8
16,9
В таблице 2 показана зависимость σ для воды и этилового спирта
от температуры.
Таблица 2
н
Поверхностное натяжение воды и этилового спирта   103 при
м
различных температурах
Температура
°С
вещество
Вода
Спирт этиловый
0
30
60
90
120
150
180
210
240
300
370
75,6
24,4
71,18
21,9
66,18
19,2
60,75
16,4
54,9
13,4
48,63
10,1
42,25
6,7
35,4
3,3
28,57
0,1
14,40
-
0,47
-
В таблице 3 приведены значения σ для некоторых металлов в жидком состоянии.
Таблица 3
Металл
Температура °С
Поверхностное натяжение
  103
Алюминий
Висмут
Калий (в атм.СО2)
Натрий
750
300
400
500
64
100
250
н
м
520
376
370
363
410
206,4
199,5
1.10. Капиллярные явления
Если поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости
в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости – мениск – имеет вогнутую форму, если не смачивает – выпуклую (рис. 15).
22
Рис. 15
Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное из2
быточное давление, определяемое по формуле p  
. Наличие этого
R
давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так
как под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то
положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в
капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах
называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или
опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости
(гидростатическое давление) ρgh уравновешивается избыточным давлением Δρ, т. е.
2
  gh ,
R
где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.
Если r – радиус капилляра, θ – краевой угол, то из рис. 15 следует,
что
(2 cos )
  gh ,
r
откуда
(2 cos )
h
.
(  gh)
В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру
поднимается, а несмачивающая – опускается, из формулы при  
(cosθ > 0) получим положительные значения h, а при  >
23

2

2
θ (cos θ<0) –
отрицательные. Из выражения видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В
тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при
полном смачивании (θ = 0) вода (ρ = 1000 кг/м3, σ = 0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h ≈ 3 м.
Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике.
Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет
поднятия воды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано
действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т.д.
Дополнительные свойства жидкости:
1. Пенообразование
2. Давление насыщенных паров.
3. Токсичность.
4. Облитерация – способность заращивать рабочие каналы.
5. Температура вспышки.
1.11. Применяемые жидкости и требования к ним
Издавна жидкостью применяемой в гидросистемах была вода.
Недостатки:
1. Низкая вязкость.
2. Коррозия деталей гидросистем.
3. Трудность обеспечения герметичности.
Положительным является то, что вода имеет малую сжимаемость.
Вода сейчас используется в гидродинамике, но ее используют в
смеси, например, в горном деле – водомасленную эмульсию – из целей
пожаробезопасности.
В гидроприводах станков используются минеральные масла.
Индустриальные ИГП-18; ИГП-30, ИГП-38, ИГП-49, Турбинное
Т22, Т30, Т46, АМГ-10, АМГ-30, МГ-20, МГ-40.
Получили распространение синтетические жидкости, в случаях, когда требуется работа при повышении температур.
При более высоких температурах используются жидкие металлы
(Т≈700). Это эвтектический сплав натрия 77% и калия 23% (Е=52500
кг/см2).
К маслам предъявляются следующие требования
1. Продолжительность работы до замены без ухудшения свойств 12
месяцев.
2. Антикислотной стабильностью при хранении и работе.
24
3. Высокая смазывающая способность.
4. Высокая противопенная стойкость.
5. Отсутствие загрязняющих частиц.
Кислотное число для жидкости А – это содержание КОН в объеме
жидкости
А=в 1 г КОН на 1 л жидкости;
А = (0,4 ÷1,5) – нормальная;
Если А = (1,5 ÷ 3) – слабокислые;
А= (6 ÷8) – агрессивная, ее надо менять.
 20
, чем меньше – тем лучше.
 50
Классы чистоты жидкости:
Различают 18 классов чистоты: от 0 до 17.
Если требования 12÷17 классов, то очистка не применяется.
Если 7÷12 классов – грубая очистка 100% и 10% тонкой очистки.
Если 0÷6 классов – 100% тонкая очистка.
Индекс масла i 
Класс чистоты определяется величиной твердых частиц и их количеством в определенном объеме.
Например: 7 класс – размер частиц 5÷10 мкм 2000 частиц в 100 см3,
12 класс – таких же частиц в том же объеме – 63.000.
25
2. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКОСТЬ
В гидравлике жидкость рассматривается, как непрерывная среда
без пустот и промежутков (однофазная среда).
Вследствие текучести жидкости в ней нет сосредоточенных сил. Т.
е. сил, которые могли бы действовать в отдельных точках жидкости.
На жидкость действуют силы, непрерывно распределенные по объему (массе) и по поверхности. Их называют массовые и поверхностные
силы.
Массовые силы пропорциональны массе и к ним относятся силы
тяжести и силы инерции.
Пользуются в гидромеханике понятием единичной массовой силы
– это сила отнесенная к массе (рис. 16).
Рис. 16
Единичная массовая сила R,
F м
R   2 .
m с 
Обычно R рассматривается в
проекциях на декартовые координаты
м
R  X ,Y , Z  2  .
с 
Пример.
Покоящаяся жидкость в сосуде (рис.17)
X  0; y  0 .
Z  g  
Рис. 17
G
m.
Поверхностные силы – это
силы, непрерывно распределенные
на поверхности и пропорциональны этой поверхности.
Эти силы обусловлены непосредственным воздействием соседних объемов жидкости на данный объем или объемов газа или
твердого тела, контактирующих с
данным объемом.
26
Если на поверхности жидкости
определить площадку S, то равнодействующая R можно разложить на
касательную и нормальную (рис.18).
Сила P нормальная составляющая называется силой давления.
Сила Т – касательная составляющая называется силой трения.
Рис. 18
Эти силы относятся к поверхности.
Единичная поверхностная сила называется напряжением поверхности.
Нормальное напряжение Р, т. е. напряжение от силы давления называется гидродинамическим (в нашем случае гидростатическим) давлением.
P
– при равномерном распределении.
p
S
P
– при неравномерном распределении.
p  lim
S 0 S
В гидравлике существуют понятия абсолютного, атмосферного и
избыточного давлений
pабс  pатм  pизбыт ,
p
P
н
 [ 2 ]  [Па ],
S м
кг
н
 0,1МПа  105  2  .
2
см
м 
Совершенно аналогично определяются касательные напряжения
а раньше1атм 

Т
T
;  lim
S 0 S
S
.
27
3. ГИДРОСТАТИКА
Гидростатика – рассматривает покоящееся состояние жидкости.
Различают два вида покоя:
1. Абсолютно покоящаяся жидкость;
2. Относительно покоящаяся жидкость.
Абсолютная покоящаяся жидкость – это такое состояние, когда
частицы жидкости относительно друг друга не перемещаются и весь
объем тоже неподвижен.
Относительный покой – это когда частицы друг относительно друга не движутся, а весь объем перемещается в пространстве (рис.19).
Уровень жидкости при ускоренном
линейном движении показан на рис. 19.
Поверхности, на которых устанавливается одинаковое давление называются поверхностями уровня.
В покоящейся жидкости нет друРис. 19
гих напряжений кроме напряжений
сжатия.
Она обладает двумя свойствами:
1. На внешней поверхности жидкости гидростатическое давление
всегда направлено по нормали вовнутрь рассматриваемого объема.
Доказательство. Если это давление не нормально, тогда должно
быть касательное напряжение. Это значит, что она выведется из покоя.
Это противоречит определению покоящейся жидкости.
2. В любой точке внутри жидкости гидростатическое давление
одинаково, т. е. давление не зависит от угла наклона площадки на
которую действует сила в данной
точке.
Доказательство. Под внешней поверхностью понимается не
только поверхность раздела жидкости с воздухом, но и поверхности с элементарным объемом,
мысленно, выделенных в жидкости.
Рис. 20
28
Пусть действует массовая сила
(рис. 20)
1
Запишем проекции на ось ОХ силы давления Px  dydz;
2


Pn  dscos  x, n  ; – нормаль к ds,


1
X  dxdydz .
6
Запишем уравнение сил


1
1
Px  dydz  Pn  dscos  x, n   X  dxdydz  0 .
2
6



 1
1
Если учесть, что dscos  x, n   dydz и поделив все на dydz , полу2

 2
1
чим Px  Pn  X  dx  0 .
3
Если от рассматриваемого объема перейти к точке, т. е. dx  0 ,
имеем Px  Pn .
Если запишем уравнение относительно других осей OZ, OY, то
можно записать Px  Py  Pz  Pn .
Это 2-ое свойство справедливо не только для покоящейся жидкости, но и для движущейся идеальной невязкой жидкости.
3.1.
Основное уравнение гидростатики. Уравнение Эйлера
Основное уравнение гидростатики описывает абсолютно покоящуюся жидкость и позволяет определить
давление в любой ее точке.
Рассмотрим объем жидкости на поверхности которой действует давление,
рис. 21.
Определим давление в какой-либо
точке. Выделим площадку dS и объем
жидкости, который действует своим веРис. 21
сом на эту площадку. Запишем уравнение
29
сил, действующих на эту точку, имеющую площадь dS.
p0dS   ghdS  pdS .
p  p0   gh – основное уравнение гидростатики.
Его можно записать и так, учитывая, что h  z0  z; g    .
z
где
p

 z0 
p0
 ,
z – называется невилирная высота;
p
– пьезометрическая высота;

z
p

– гидростатический напор – он характеризует потенциаль-
ную энергию покоящейся жидкости.
Поверхности, в каждой точке которой давления одинаковы, называется поверхностями уровня.
В нашем случае – это горизонтальные плоскости. Нивелир.
3.2.
Пьезометры. Пьезометрическая высота
Вакуум. Измерение давления.
p

 Н  м  – пьезометрическая высота. На этом принципе работают пье-
зометры.
Пьезометры – это трубочки, по уровню жидкости в которых определяется давление (рис.22).
Из уравнения гидростатики:
pA  p0  h1
pA  pатм  h2
Отсюда
Рис. 22.
p0  pатм   h2  h1    pатм  h .
30
В качестве пьезометров используются более сложные приборы. Если измерение измеряемых давлений небольшое, то применяют пьезометры с легкой жидкостью. Если диапазон большой, то применяют тяжелую жидкость. Все зависит от точности измерения.
Трудно применять пьезометры для высоких давлений.
p
H  – однозначно определяет давление.

Пример. Каково должно быть H, чтобы измерить давление жидкости 1 кг/см2 и удельным весом =10-3 кг/см3.
Н
1кг/см 2
=1000 см=10 м .
10-3кг/см3
  13,6 103 кг/см3 .
Если взять ртуть
Н
1
1000

 76 см.
13,6  103 13,6
В машиностроении применяют манометры. Они основаны на том,
что под действием давления жидкости деформируется мембрана или металлическая
трубка. Эти деформации передаются на
стрелку прибора (рис.23).
В некоторых случаях необходимо измерять давление ниже атмосферного
pА  pабс  pатм  h .
Величина давления недостающая до
атмосферного называется вакуумом.
На рис. 24 показано, что давление ваРис. 23
куума pВ  h .
p = 0 – абсолютный нуль.
Давление, измеряемое относительно абсолютного нуля называется абсолютным pабс .
Рис. 24
31
Давление, измеряемое относительно атмосферного – называется
избыточным pизб , рис. 25.
Рис. 25
3.3.
Давление на наклонную плоскость
В этом случае поступают иначе (рис.26).
В пределах площади S можно записать элементарную силу, действующую на элементарную поверхность.
dN   p0  h  dS ,
Чтобы определить силу, необходимо проинтегрировать
N   p0 dS  h dS .
S
ds  S ;
S
h  ysin
s
N  p0 S  sin  ydS .
S
 ydS  y S –
c
S
статический момент площади.
yc – координаты центра тяжести.
N  p0 S   sin yc S ; ycsin  hc .
Рис.26
N  p0 S   hc S или
N  p0 S   hc S
32
pc – это давление в центре тяжести.
N  pc S .
Полная сила давления жидкости на наклонную поверхность определяется площадью этой стенки на гидростатическое давление в центре
тяжести этой площади.
3.4. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости и их интегрирования для простейших случаев
Эти уравнения позволяют определить давление в относительно покоящейся жидкости.
Рассмотрим объем жидкости dW. На него действует массовая сила
Рис. 27
давления жидкости. R имеет проекции на оси X, Y, Z.
Так как объем движется, то на разных гранях могут быть разные
давления.
Рассмотрим действующие силы, рис. 27.
а) Силы давления.
Поскольку давление во всех точках исследуемого объема неодинакова, то имеет место градиент давления. В общем случае его можно
привести по осям.
p
– градиент давления вдоль оси X (некоторое изменение давлеX
ния в каждой точке вдоль оси X).
33
Аналогичны будут градиенты вдоль осей Y и Z.
y
p
;
y
z
p
.
z
Распишем вдоль оси X
px 
p
p


dx , тогда px dydz   px  x dx  dydz .
x 
x

б) Массовые силы.
Снова рассмотрим вдоль оси X.
X    dx  dy  dz – которая уравновешивает силы давления.
px dy  dz  px dy  dz 
px
 dx  dy  dz  X    dx  dy  dz  0 .
x
X  
px
 0.
x
Аналогично можно записать вдоль всех осей:
1 px


 0, 
 x


1 p y
Y 
 0, 
 y


1 pz
Z 
 0. 
 z

X
Выше приведена система дифференциальных уравнений равновесия жидкости Эйлера.
В таком виде интегрировать уравнение трудно, поэтому мы их несколько преобразуем:
1-ое уравнение умножаем на dx, 2-ое – на dy, 3-е – на dz.
Кроме того мы доказывали, что в (∙) p y  px  pz  p, тогда сложив
эти уравнения получим.
34
X  dx  Ydy  Zdz 
p y
1  px
pz 
dx

dy

dz  .
  x
y
z 
полный дифференциал dp
dp    Xdx  Ydy  Zdz  – уравнение Эйлера в свернутом виде.
Этим уравнением легче пользоваться при интегрировании.
Это уравнение позволяет определить в любой точке относительно
покоящейся жидкости давления и перемещения в любом направлении с
каким-то ускорением.
Примеры.
1. Абсолютно покоящаяся жидкость (рис. 28).
z0  z  h. X  0; Y  0; Z   g .
dp     g  dz .
p    gdz  c,
p   z  c .
с – постоянная интегрирования
граничных условий.
Рис. 28
При z=z0  p=p0
p0   z0  c,
c  p0   z0 .
Подставляя в исходное
p
p
z   z0  0 или p  p0   h .


Дадим понятие эквивалентной поверхности.
Эквивалентной поверхностью или поверхностью уровня называется поверхность в жидкости, давление в каждой точке которого одинаково.
2).
35
Сосуд с жидкостью
перемещается в горизонтальном направлении с ускорением a=const, рис. 29.
Определить давления в
любой точке жидкости и
определить эквипотенциальные поверхности.
x  a – единичная
сила направленная обрат-
Рис. 29
но.
Z= –g.
Y=0,
Система координат в центре сосуда.
dp    adx  gdz  ,
p    ax   gz  C,
начальные условия x = 0; z=0; p = p0, отсюда С = p0
p  p0   ax  gz .
Определим эквипотенциальные поверхности:
Условие p = p0,
g
Отсюда x   z .
a
В общем случае поверхности определяются из условия p = pconst
pconst  p0   ax    gz,
 pconst  p0 g
 z.
a
a
Если решить относительно z, то получим
p  pconst a
z 0
 x.
g
g
Тангенс угла наклона равен
a
tg   .
g
x
36
Пример 3). Найти эквипотенциальные поверхности в жидкости, находящейся во вращающемся вокруг
оси сосуде с   const . (рис.30)
X   2 x,
Y   2 y,
Z   g.
dp    2 xdx   2 ydy  gdz .
Эквипотенциальные поверхности, когда p=const, т. е. исходное
давление p = const = 0.
Рис. 30
0   2
z
x2
y2
  2
  gz  const( C ) .
2
2
2
x
2g
2
 y 2   C1 – эквипотенциальные поверхности представ-
ляют собой параболоиды вращения.
3.5.
Основы теории плавания
Приводимый здесь материал в основном излагается по работе выдающегося русского ученого акад. А. Н. Крылова «Теория корабля». В
этой главе освещаются вопросы, относящиеся лишь к одному разделу
этой теории, а именно к остойчивости плавающего тела, огромная роль,
в исследовании которой принадлежит Л. Эйлеру. Такие вопросы теории
корабля, как качка корабля, поворотливость, вибрация, теория непотопляемости и ряд других, которые были разработаны академиком
А. Н. Крыловым и создали мировую славу их автору и всей русской
школе по «теории корабля», здесь не затрагиваются, как выходящие за
пределы программы курса гидравлики.
Основные определения. Закон Архимеда.
На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила,
называемая поддерживающей силой, направленная вверх и равная весу
вытесненной им жидкости.
Поддерживающая сила является равнодействующей сил давления,
с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на покоящееся в
ней тело.
37
Для определения поддерживающей силы (рис. 31) разобьем поверхность плавающего тела на верхнюю и нижнюю части и определим
давление жидкости на каждую из частей. Так как в общем случае поверхность тела может быть криволинейной, то каждая из сил может оказаться расположенной в пространстве. Разложим эти силы и определим
сначала их вертикальные составляющие Р1z и Р2z.
Вертикальная составляющая P1z будет направлена вниз и равна:
P1z  pатм   W1 ,
где ω – проекция на горизонтальную плоскость площади поверхности
верхней части тела, а W1 – объем тела давления, соответствующий ей.
Вертикальная составляющая Р2z будет направлена вверх и равна:
P2 z  pатм   W2 .
где ω1 = ω2 имеют тот же смысл, что и раньше, но соответствуют нижней части поверхности тела, причем
W2  W1  W .
а W – объем тела, равный объему вытесненной телом жидкости.
Поддерживающая сила равна разности вертикальных составляющих
P  P2 z  P1z   W .
Объем жидкости, вытесненный плавающим телом, называется объемным водоизмещением.
Для определения горизонтальной составляющей давлений поверхность тела надо было бы разбить также на две части, но расположенные
слева и справа. Легко при этом доказать, что горизонтальные составляющие взаимно уравновешиваются. Таким образом, давление жидкости на плавающее тело приводится только к одной поддерживающей
силе.
Линия действия поддерживающей силы проходит через центр тяжести вытесненного объема жидкости, который называется центром водоизмещения или центром давления Д. Обычно принято считать, что
поддерживающая сила приложена в центре водоизмещения.
38
Рис. 31. Поддерживающая сила приложена в центре тяжести вытесненного объема – в центре водоизмещения
В общем случае центр водоизмещения Д (рис. 32 и рис. 33) не совпадает с центром тяжести Т плавающего тела. Оба эти центра в нормальном положении плавающего тела располагаются на вертикальной
оси, которая называется осью плавания.
Тело тонет, если вес тела G больше величины поддерживающей
силы Р. Тело всплывает на поверхность, если вес тела G меньше поддерживающей силы Р.
При всплывании тела на поверхность вместе с уменьшением
объема жидкости, вытесняемого телом будет уменьшаться и величина
поддерживающей силы. Тело будет плавать на поверхности, если поддерживающая сила сделается равной весу тела, т. е. Р = G.
Рис. 32. Центр тяжести Т
и центр водоизмещения Д
расположены на оси
плавания
Рис. 33. Центр тяжести расположен ниже
центра водоизмещения
39
Равенство поддерживающей силы и веса тела необходимо также и
для того, чтобы тело плавало на любой глубине (например, подводная
лодка).
Плоскость свободной поверхности жидкости, пересекающая плавающее тело, называется плоскостью плавания.
Периметр сечения плавающего тела плоскостью плавания (линия
abef – рис. 34) называется ватерлинией.
Площадь, ограниченная ватерлинией, называется площадью ватерлинии.
Рис. 34. Площадь abef – площадь ватерлинии
Пловучестью тела называется его способность плавать при заданном весе. Мерой – пловучести плавающего тела является водоизмещение.
Плавающее тело должно обладать запасом пловучести; запасом
пловучести называют допустимую перегрузку плавающего тела, при
которой оно еще не пойдет ко дну. Запас пловучести зависит от высоты
надводного борта и устанавливается законоположениями.
Теорема Эйлера о крене.
Л. Эйлером была доказана следующая теорема. При крене плавающего тела вокруг горизонтальной оси на бесконечно малый угол, при
котором не изменяется величина поддерживающей силы, две смежные
площади ватерлинии пересекаются по прямой, проходящей через центр
тяжести площади ватерлинии, соответствующей данному положению.
В самом деле, в обоих положениях тела поддерживающая сила сохраняет постоянную величину, равную весу тела. Отсюда следует, что
величина объема жидкости, вытесненного телом, в том и другом случае
одна и та же. Изменяется лишь форма вытесненного объема. Объем
40
увеличивается (рис. 35) на клинообразную заштрихованную часть справа (оаа1) и уменьшается на клинообразную заштрихованную часть слева
(obb1).
Рис. 35. Клинообразные объемы равны друг другу
Рис. 36. При малом крене α=sinx
Поэтому увеличение поддерживающей силы справа будет равняться уменьшению поддерживающей силы слева, откуда следует, что заштрихованные клинообразные объемы слева и справа должны быть
равны между собой. Вычислим эти объемы (рис. 36). Клинообразный
объем справа или слева будет равен сумме элементарных объемов. Каждый из элементарных объемов может быть принят за объем бесконечно малого цилиндра, имеющего основанием dω в плоскости ватерлинии
и высоту ht = xα.
Объем справа будет равен:
W1  hi d  x d .
1
1
Объем слева будет равен
W2  hi d   x d .
2
2
Так как объемы равны, т. е. W1= W2, то
Сокращая на а, получаем
x d  x d ,
1
2
41
xd  xd  0 .
1
2
Из формулы следует, что статический момент площади ватерлинии
относительно липни пересечения двух смежных площадей равен нулю,
а это значит, что линия пересечения проходит через центр тяжести
площади ватерлинии, соответствующей данному положению.
Статическая остойчивость
Каждое плавающее тело должно обладать остойчивостью. При
этом различают остойчивость статическую и динамическую. Сначала
исследуем статическую остойчивость.
Под статической остойчивостью подразумевается способность плавающего тела плавать в нормальном положении и в случае статического
нарушения нормального положения вследствие крена возвращаться в
прежнее положение, как только силы, вызвавшие крен, прекратят свое
действие. При статическом нарушении нормального положения силы,
действующие на тело, находятся практически в равновесии и скорость
тела равна практически нулю. При исследовании остойчивости необходимо иметь в виду, что при крене твердого плавающего тела его центр
тяжести является всегда одной и той же точкой (случай, когда на пла-
Рис. 37. При крене центр водоизмещения перемещается по линии центров водоизмещения
Рис. 38. Точка М – метацентр.
Тело остойчиво.
вающем теле находится жидкий груз, здесь не рассматривается). Центр
же водоизмещения вследствие того, что изменяется форма объема вытесненной телом жидкости, перемещается по линии, называемой линией
центров водоизмещения (рис.37), поэтому при крене плавающего тела
сила тяжести и равная ей по величине поддерживающая сила всегда
42
создают пару сил. Для того чтобы тело обладало статической остойчивостью, необходимо, чтобы эта пара сил стремилась возвратить тело в
нормальное положение. Это, например, будет иметь место во всех случаях, когда центр водоизмещения расположен выше центра тяжести
(рис. 38). Но в большинстве случаев центр водоизмещения расположен
ниже центра тяжести (рис. 37, 39). Здесь могут представиться два случая.
Первый случай – устойчивое равновесие (рис. 37). При крене тела
по часовой стрелке центр водоизмещения располагается правее линии
действия силы тяжести. В этом случае линия действия поддерживающей силы Р пересекает ось плавания в точке М, расположенной выше
центра тяжести. Создающаяся при этом пара (Р–G) стремится возвратить тело в положение равновесия.
Второй случай – неустойчивое равновесие (рис. 39). При крене тела
по часовой стрелке центр водоизмещения располагается левее линии
действия силы тяжести. В этом случае линия действия поддерживающей силы Р пересекает ось плавания в точке М расположенной ниже
центра тяжести. Создающаяся при этом пара (P–G) стремится опрокинуть тело.
Рис. 39. Точка М – метацентр. Рис. 40. Точка М – метацентр.
Тело не остойчиво.
Тело остойчиво.
Точка М пересечения линии действия поддерживающей силы с
осью плавания при малых углах крепа называется начальным метацентром.
Расстояние Нм от начального метацентра до центра тяжести плавающего тела называется начальной метацентрической высотой (рис.
40). Расстояние HMh от начального метацентра до центра водоизмещения называется начальным метацентрическим радиусом. В общем слу43
чае крена, т. е. при больших углах крена, метацентрический радиус следует рассматривать как радиус кривизны линии центров водоизмещения, а метацентр как центр кривизны этой линии, причем при больших
углах крена метацентр уже не расположен на оси плавания.
Из сказанного следует, что для того, чтобы тело обладало статической остойчивостью, необходимо, чтобы метацентр находился выше
центра тяжести, т. е. чтобы метацентрическая высота Нм была положительна.
Выразим это условие для начального метацентра аналитически.
Поддерживающую силу Ри соответствующую крену, приложенную
в точке Д, можно рассматривать как равнодействующую поддерживающей силы нормального положения (численно равной Р1) и двух дополнительных сил, возникших в результате погружения клинообразного
объема справа (положительная поддерживающая сила δР(+)) и выхода из
жидкости клинообразного объема слева (отрицательная поддерживающая сила δР(-)). Оба клинообразных объема на рис. 40 заштрихованы.
Поэтому сумма моментов сил Р, δР(+) и δР(-) должна равняться моменту
силы Р1.
Моменты сил Р и P1 вычислим относительно центра водоизмещения Д. Момент сил δР(+) и δР(-) можно вычислять относительно любой
оси (в данном случае относительно продольной оси, проходящей через
центр тяжести площади ватерлинии – точку 0), так как эти силы образуют пару. Но момент силы Р относительно центра водоизмещения Д
равен нулю. Поэтому момент силы Р1 должен быть равен моменту М
пары δР(+) и δР(-), т. е.
P1  H м  h  sin   M .
Момент М равен сумме моментов элементарных поддерживающих
сил (рис. 39 и 40) элементарных объемов, образованных бесконечно малыми цилиндрами, имеющими основанием dω (в плоскости ватерлинии)
и высоту hi =хa.
Момент элементарной поддерживающей силы равен произведению
элементарной поддерживающей силы на плечо х. Так как элементарная
cила равна произведению объемного веса жидкости на элементарный
объем, равный, как уже было найдено раньше, xadω то элементарный
момент будет равен:
dM   xad x   x 2ad .
44
M   x 2 ad   a x 2d   aJ .


где J   x 2d – момент инерции площади ватерлинии относительно

оси, проходящей через центр тяжести этой площади. Таким образом,
P( H м  h)sin    aJ .
Принимая по-прежнему для малых углов sin = a и учитывая, что
P=γW, получим для метацентрической высоты Hм следующее выражение:
Hм 
J
 h,
W
где W – объемное водоизмещение. Для случая, когда центр водоизмещения расположен выше центра тяжести, величина h отрицательна; при
вычитании отрицательной величины Нм получается всегда положительная.
Метацентрическая высота может быть положительной – в этом
случае равновесие плавающего тела устойчивое, равна нулю – равновесие плавающего тела безразличное, отрицательной – равновесие неустойчивое.
Зная метацентрическую высоту, легко определить и момент пары сил, стремящийся возвратить повернутое плавающее тело в положение равновесия, т. е, определить восстанавливающий момент (метацентрический момент)
М м  PH м sin a  P (
J
 h) sin a .
W
Эта формула называется метацентрической формулой остойчивости.
Следует подчеркнуть, что формула справедлива как для крена относительно продольной оси, так и относительно поперечной оси. Для
каждого из этих случаев в формулу необходимо подставить соответствующее значение момента инерции площади ватерлинии.
При крене относительно продольной оси соответствующий этому
метацентр называется поперечным, а при крене относительно поперечной оси – продольным.
45
Степень точности формулы остойчивости зависит от формы плавающего тела, и пользоваться ею при значительных углах крена надо
осторожно. Акад. А. П. Крылов считал крен еще малым, если он не превышает 15–20° для высокобортных судов, а для низкобортных судов, –
пока кромка палубы не погрузится в воду. Для этих углов положение
метацентра практически остается постоянным.
Из предыдущего следует, что при проектировании плавающего тела необходимо добиться того, чтобы метацентрическая высота была положительна при всяких возможных условиях плавания.
Увеличения метацентрической высоты можно достичь уширением
корпуса плавающего тела в области ватерлинии путем установки специальных плавников или понижением центра тяжести устройством утяжеленного киля.
В зависимости от назначения плавающего тела для поперечной метацентрической высоты ориентировочно можно указать следующие
значения:
а) для небольших судов типа буксиров Нм = 0,3–0,6 м,
б) для коммерческих судов Нм = 0,5–1.2 м,
в) для боевых кораблей Нм=1–1,5 м.
Необходимо отметить, что изменение веса плавающего тела влияет
на остойчивость, а также то, что наличие жидкого груза, который при
крене может переливаться, вызывает уменьшение остойчивости.
Для значительных углов крена
формулы становятся неточными и метацентрический момент М будет более сложной функцией угла крена
М м  М () .
Зависимость метацентрического
момента от угла крена можно установить экспериментально. Для этой цели помещают на равных расстояниях
от оси плавания два одинаковых груза
каждый весом GK (рис.41).
Затем переносят, например, груз
GK слева к грузу GK справа. Это будет Рис.41. Схема сил, действующих
на тело, выведенное из положеравносильно приложению к плаваюния равновесия
щему телу пары сил, создающей крен,
момент которой равен: М к  2Gкb cos
46
Плавающее тело, получив крен на угол а, займет некоторое положение равновесия.
В условиях равновесия момент Мк должен быть равен восстанавливающему (метацентрическому) моменту Мм:
М м  2Gкbcos .
Метацентрическую высоту найдем по формуле
Нм 
Мк
2G bctg
,
 к
G sin 
G
Повторив этот опыт несколько раз для различных значений G,
можно построить зависимости Мм и Нм от угла крена а.
На рис. 42 показана форма кривой Мм.
Формулой можно пользоваться также и для определения центра
тяжести плавающего тела, если ранее, например, аналитически был
найден метацентр.
Динамическая остойчивость
Динамической остойчивостью называется способность плавающего
тела совершать колебания под действием сил, создающих кренящие
моменты, в пределах заданных углов крена.
Законы изменения кренящих моментов Мк весьма разнообразны.
Рис. 42. В положении максимального Рис. 43. В положении максимального
угла крена площадь А2=А1
угла крена площадь А2=А1
47
На рис. 42 и 43 показаны два частных случая. Под действием сил тело
получит перемещение, которое разложим на вращательное вокруг оси,
проходящей через центр соответствующей площади ватерлинии, и на
поступательное вместе с ней. Для исследования остойчивости важным
является только вращательная часть перемещения.
В рассматриваемом случае в отличие от статического кренящие
моменты Мк не равны восстанавливающим Мм. Поэтому при незначительных углах крена, когда восстанавливающий момент Mм меньше Мк,
тело будет крениться с возрастающей угловой скоростью. Увеличение
угловой скорости (разгон) будет происходить до угла крена при котором Мм=Мк . В этом положении плавающее тело приобретет максимальную угловую скорость. При дальнейшем увеличении угла крена
восстанавливающий момент становится больше Мк вращение плавающего тела станет замедленным. Крен на мгновение прекратится при некотором угле αmax, после чего плавающее тело начнет вращаться в обратном направлении.
Если бы силы трения отсутствовали, то плавающее тело колебалось
бы в ту и другую сторону бесконечно. Благодаря силам трения колебания являются затухающими. При остановке крен тела будет соответствовать углу αp.
Чтобы определить максимальный угол крена αmax заметим, что диаграмму моментов можно рассматривать как диаграмму работ, совершаемых моментами Мм и Мк при крене.
Будем считать работу Мк положительной, а работу Мм – отрицательной.
За время крена от угла α=0 до угла αр суммарная работа
p
A1 
  M
к
 M м d будет положительной; на диаграмме работа А1 изо-
бражается площадью А1 и затрачивается на сообщение плавающему телу кинетическую энергию. За время крена от угла αр до угла αmax суммарная работа А2 – отрицательная, что вызывает уменьшением ранее
накопленной кинетической энергии. На диаграмме эта работа изображается площадью А2. Очевидно, крен достигает максимума при угле αmax
при котором А1 = А2.
Максимальный угол крена αmax не должен превосходить допускаемого αдоп,, значение которого устанавливается техническими условиями.
В этом случае Мк обладает динамической остойчивостью. Чем больше
площадь А=пл. (abb1), ограниченная углом αр и αдоп, по сравнению с
площадью А2=А1, тем большей динамической остойчивостью обладает
48
A2
  называется относительным запасом
A1
динамической остойчивости. Если бы при кренящем моменте, изображенном на рис. 42, при первом размахе крен превзошел угол αmax доп, то
плавающее тело опрокинулось бы (соотношение площадей на фигуре
этому случаю не соответствует).
Задача 1. Определить глубину погружения плавающего танка, допуская, что центр тяжести танка Т и центр водоизмещения Д расположены на оси плавания ОО. Вес танка G= 2 925 кг; ширина танка
b=2 м; R=1,25 м; а=2 м.
Решение. Применяя основную формулу плавания, согласно которой
вес танка равен подъемной силе, т. е.
плавающее тело. Отношение
G  P  W ,
определяем объемное водоизмещение:
W
G


2925
 2,925 , м3.
1000
Но водоизмещение танка при принятых на чертеже обозначениях
равно:

  R 2 R 2 sin  cos
W  b  R 1  cos   

2
2



 .

Заштрихованным на рис. 44 объемом можно пренебречь.
Рис. 44. Плавающая машина. К задаче 1
49
Из последнего уравнения методом подбора определим угол θ:
θ=55°.
Зная угол θ, определим глубину погружения по формуле
h  R 1  c cos   1,25(1  0,574)  0,533 м.
Задача 2. Определить меньшую метацентрическую высоту Нм
плавающего танка для условий предыдущей задачи, полагая l=3 м;
hД=0,3 м и hТ=0,4 м (рис. 44).
J

 h  , где J – момент инерции площади ватерРешение. H м  
G

линии относительно оси хх, проходящей через центр тяжести площади ватерлинии:
lb3 3  8
J

 2 м 4 ; h  hТ  hД  0,1 м .
12 12
Подставляя вычисленные значения J и h, находим:
 2

Hм  
 0,1  0,584 м.
 2,925

Так как Hм>0, танк обладает статической остойчивостью.
50
4. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Под движущейся жидкостью понимают совокупность материальных частиц, перемещающихся с различными параметрами движения,
зависящими от координат времени и пространства.
Движение жидкости характеризует скорость, ускорение и координаты положения в пространстве.
Существуют два метода при изучении жидкости (рис.45).
1. Метод Лагранжа.
2. Метод Эйлера.
Метод Лагранжа изучает движение
отдельных частиц жидкости при этом переменными являются скорость, ускорение
координаты, а изучается движение частиц
вдоль траектории.
Метод Эйлера исследует движение
частиц, проходящих через сечение А или
определенную точку пространства. ПереРис. 45
менными являются скорость и ускорение, а
координаты – постоянные.
Большинство задач гидравлики решаются методом Эйлера.
4.1.
Виды движения
По параметрам движения потока различают установившееся и неустановившееся движения.
1. Установившееся движение – это значит, что ускорение потока во
всех направлениях равно 0, т.е.
dVx dVy dVz


 0.
dt
dt
dt
или
Vx ,Vy ,Vz  const.
Установившиеся движения могут быть:
а) равномерными,
51
б) неравномерными.
A=const – равномерные
A=Var – неравномерное
2. Неустановившееся движение – это когда Vx ,Vy ,Vz  Var.
Это наиболее общий случай.
4.2.
Кинематические элементы потока
Линия тока – это линия в каждой точке которой в данный момент
времени направление скорости
совпадает с касательной к этой
линии.
Линия тока совпадает с траекторией движения частиц в усРис. 46
тановившемся режиме (рис.46).
В неустановившемся режиме линия тока не совпадает с траекторией движения.
Трубкой тока называется поверхность ограниченная линиями тока,
проведенными в данный момент времени через все точки замкнутого
контура.
Элементарной струйкой называется часть движущейся жидкости, ограниченная трубкой тока бесконечно малого
сечения, выделенного из данного объема (рис.47).
Основные свойства элементарной
струйки
Рис. 47
1). Частицы жидкости не входят и не выходят через боковую поверхность.
2). Скорость движения частиц во всех направлениях одного и того
же рассматриваемого сечения одинакова по величине.
3). При установившемся движении форма элементарной струйки не
меняется.
52
4.3.
Гидравлические элементы потока
Живое сечение  потока – это поверхность в пределах потока нормальное в каждой своей точке, к проходящей через нее линии тока,
ω=πr2 для круглой трубы.
Смоченный П – это длина контура числового сечения по твердым
стенкам П=2πr.
Гидравлический радиус R – отношение площади живого сечения к
смоченному периметру
R

П.
Гидравлический радиус – не геометрический радиус.
Пример: Определить гидравлический радиус для круглой трубы
при равномерном движении жидкости (рис. 33).
  r 2 ; П  2r;
r 2 r
R
 .
2r 2
Определить для треугольного, квадратного сечения.
4.4.
Поток жидкости
Поток жидкости – совокупность элементарных струек.
Все потоки жидкости можно разделить на 3 класса:
1. Напорный поток.
2. Безнапорный поток.
3. Струи.
Напорным потоком называют поток, ограниченный со всех сторон
твердыми стенками (рис.48).
ω
П
r
Рис. 48
Рис. 49
53
Безнапорный поток – поток, ограниченный твердыми станками не
со всех сторон и имеющий свободную поверхность по всей длине (рис.
49).
Струей называют поток жидкости, ограниченный поверхностью
разрыва скоростей.
Скачкообразное изменение скоростей (рис. 50).
Рис.50
4.5.
Понятие о расходе и средней скорости потока
Расход – это количество жидкости протекающей через живое сечение в единицу времени. Можно говорить о массовом расходе (т/сек) и
объемном расходе (м3/сек).
Мы будем заниматься объемным расходом.
Q
Vср 
– условно усредненная по сечению скорость определяемая
F
расходом и сечением (рис.51).
Рис. 51
54
Уравнение неразрывности
Если жидкость при течении не
рвется, Q1=Q2 (рис.52).
Vср1dS1  Vср 2 dS 2 ,
Рис.52
Vср1
Vср
разрывности для струйки жидкости или

– уравнение не-
dS2
dS1
Vср1
Vср 2

S2
– уравнение неразS1
рывности для потока жидкости.
Если в потоке наблюдается кавитация т. е. разрыв жидкости с выделением газа, то уравнение неразрывности не соблюдается.
4.6.
Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости
Идеальная жидкость – это не вязкая жидкость, когда сопротивление движению равно 0. Такой жидкости нет, но ей удобно пользоваться
при выводе основных закономерностей (рис.53).
Рассмотрим сечение I-I и II-II, обозначим координаты этих сечений
через z1 и z2 и выберем элементарные площади dS1 и dS2.
Пусть за время dt сечение
I-I переместится в I-I, а II-II в
II-II. Скорость при этом была
V1 и V2.
Вследствие неразрывности
жидкости объем перемещения
одинаковый, значит и их вес
одинаков.
dS1  dS2 .
И на площадки dS1 и dS2
Рис.53
действует давление P1 и P2.
Применим теорему теоретической механики – что работа сил, приложенных к телу равна кинетической энергии этого тела.
Работа сил – A  F(сила)  L(путь) .
Приращение кинетической энергии
55
m 2
V2  V12  .

2
Силы, действующие на жидкость:
а) массовые dG  dS1V1dt  dS2V2dt .
Работа этих сил равна dG  z1  z2  .
б) силы давления p1dS1 и p2dS2 .
Работа этих сил
pdS1  V1dt в сечении I  I
p2 dS2  V2 dt в сечении II  II .
в) кинетическая энергия
m 2
dG 2
V2  V12  
V2  V12 .


2
2g
Запишем уравнение:
p1dS1V1dt  p2dS2V2dt  dG  z1  z2   V22  V12 
dG
2g .
Умножим два первых члена уравнения на  и разделим, учитывая
что
dS1V1dt  dS2V2dt  dG .
Получим
p1 p1
1
  z1  z2  V22  V12  


2g .
p1 V12
p V2

 z2  2  2 – уравнение Бернулли для струйки идеальной
 2g
 2g
жидкости.
z1 
Если поток не движется, т. е. V1= V2=0, то наше уравнение обратится в основное уравнение гидростатики.
Составные члены этого уравнения:
56
z1 – невилирная высота,
p1
– пьезометрическая высота;

V2
– скоростной напор;
2g
p V2
z 
 H – называется полным напором.
 2g
Для струйки идеальной жидкости
p V2
z 
 H  const – вдоль струйки.
 2g
Пример (рис.54).
Рис.55
z1  z2  z ,
V2  V1 – на основании уравнения Бернулли p2  p1 .
πmQ=const.
Энергетический смысл членов уравнения Бернулли следующий:
z
p
– потенциальная энергия.

57
V2
– кинетическая энергия потока.
2g
т. е. полная энергия жидкости вдоль идеальной струйки остается постоянной.
Другими словами уравнение Бернулли – это закон сохранения
энергии при движении идеальной жидкости.
В отличие от энергии твердого тела у жидкости имеется дополниp
тельный вид энергии . Это расширяет возможности преобразования

одного вида энергии в другой.
Рассмотрим горизонтальный поток, т. е. z1  z2 , отсюда p2  p1 .
В этом случае, когда в сечении II–II надо иметь max кинетическую
энергию (для вращения турбины) и min статического давления. Для этого необходимо сузить поток до min (рис. 55).
И наоборот можно уменьшить до min кинетическую энергию, а
увеличить потенциальную энергию,
например в гидравлических приводах.
V2  V1 т.к., S2  S1 из уравнения Бернулли p2  p1 . Величина z в
Рис. 55
гидроприводе обычно пренебрегают,
p
т. к. она мала по сравнению с .

Кинетическая энергия преобразовалась в энергию давления p2, которая используется как движущая сила в механизме (рис.56)
F  p2 S2 .
Очевидно
Q
V2  .
S2
Рис. 56
Мощность развиваемая поршнем будет
 кг см3 
N  F  V2  p2  Q  2 
  0,1Вт .
см
сек


58
Иногда уравнение Бернулли записывается так

z1  p1  V 2  p  const .
2
где
z – весовое давление,
p1 – гидростатическое давление,
V2 – динамическое давление,
p – полное давление.
4.7.
Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
1. Из-за наличия вязкости жидкости скорость в
поперечном сечении: в
стенки min – в середине –
max.
2. Вследствие градиента скорости имеет место относительное
скольжение
слоев жидкости. Кроме того
жидкость завихряеется, что
Рис. 57
вызывает дополнительную
энергию на потери.
Таким образом, полная энергия в сечениях I-I и II-II неодинакова
из-за потерь (рис.57).
1. Учет неравномерности распределения скорости по сечению.
Мощность элементарной струйки реального потока определяется
полным давлением в точке и элементарным расходом.
dN  p dQ

p V2 
p   z  
 ,

2
g


тогда
59

p V2 
dN   z  
    VdS
 2g 

VdS  dQ

p
V2
N     z  VdS    VdS

2g
S
S
p
– величина полного статического давления, которую можно счи
тать постоянной.
z
VdS  Q – расход жидкости,
S
тогда

p
V3
N    z   Q    dS .

2g

S
Разделим обе части Q   .
N
 H 0 – полный напор реального потока.
Величина
Q
Если учесть, что Q  Vср S , то
H0  z 
p
1
V3

  dS .
 Vср S S 2 g
Умножим последний член на Vср2 и разделим
V
3
dS
p V S
H0  z  

,
 2 g Vср3  S
2
ср

V
3
dS
S
Vср3  S
,
2
p Vср
H0  z  
 .
 2g
60
Коэффициент  представляет собой отношение кинетической энергии реального потока с неравномерным распределением скорости по сечению к кинетической энергии того же потока с равномерным распределением скоростей.
 – коэффициент Кориолиса, >1, min=1 – это величина справочная.
2. Учет трения, т. е. H 0 I  H 0 II . При таком направлении движения
H 0 I  H 0 II . (рис. 58)
h обозначим потери полного давления
вдоль потока от сечения I до II. Тогда
H 0 II  H 0 II  h .
Уравнение h пока нам не известно.
Уравнение Бернулии
Vср21
Vср2 2
p1
p2
z1   1
 z2 
 2
 h .
Рис. 58

2g

2g
Оно отличается от уравнения Бернулли для идеальной жидкости:
1) наличием коэффициента ;
2) наличием h потери полного давления;
3) скорость здесь средняя Vср.
Уравнение для потока реальной жидкости является законом сохранения энергии с учетом потерь энергии внутри жидкости, необратимо
превращающихся в тепло.
Примеры использования уравнения Бернулли.
Пример 1.
Ввиду близости сечений
сечения I и II можно принять, что z1=z и потери напора считать малыми сечения
h  0 .
Так же из-за малости
сечения трубки, т. е малости
рассматриваемого сечения
0==1. При таких допущениях можно записать (рис.
59)
Рис.59
61
p0 V02 p V 2
.

 
 2g  2g
1. Скорость V на торце трубки при установившемся режиме равна
0.
2. Давление в точке A  h  p .
p0 V02
Тогда получим, что

 h.
 2g
Измеренное таким образом давление имеет некоторую погрешность. Но величина этих погрешностей незначительна около 1%, т. е.
p0 V02

 Kh , K≈0,99.
 2g
Прибор этот неудобен при измерении больших давлений, поэтому
ее в таких случаях подсоединяют к манометру.
Пример 2.
Часто на практике необходимо измерять скорость потока, а не полное давление.
Для измерения скорости есть
специальный прибор – трубка
для измерения скорости или
трубка
Пито-Прандтля
(рис.60).
z1=z2=z.
p V2
h2  0  0 – в точке А.
Рис. 60
 2g
p0  h1 – в точке В.
Вторая трубка в точке В ориентирована так, что приемное отверстие лежит в параллельном направлении с вектором скорости. Поэтому
скоростной напор на это отверстие не действует
p0 V02 p0 V02
.
h  h2  h1 



 2g  2g
отсюда скорость V0
V0  2 gh ; V0  C 2 gh .
Коэффициент С учитывает погрешности потерь, разность высот, но
они невелики. С≈0,98.
При измерении очень больших скоростей трубки применять нельзя.
Вместо их используются 2 манометра или дифференциальный манометр.
62
Пример 3.
Прибор для измерения
расхода жидкости или расходомер Вентури.
Так же пренебрегаем потерями на пути движения жидкости и пренебрегаем распределением скоростей, т. е. h=0
и 1=2=1 (рис.61).
Рис. 61
2
2
p1 V1ср
p2 V2 ср
z1  
 z2 

,
 2g

2g
V22ср
2g

p p 
  z1  z2    1  2  .
2g
 
 
V12ср
Так как измеряем статическое давление, то имеем
p p 
h   z1  z2    1  2  ,
 
 
V22ср V12ср

 h.
2g 2g
На основании уравнения неразрывности
Q  V1ср S1; Q  V2 ср S2 ;
1  Q 2 Q 2  Q 2 S12  S22
h

;
.


2 g  S22 S12  2 g S12  S22
обозначим через
S12  S22
K
;
S12  S22
Q  K 2 gh .
63
4.8.
Гидравлическое моделирование
Моделированием называется исследование явлений на моделях.
Сущность моделирования заключается в том, что на модели меньшего, а
иногда и большего масштаба создается гидравлическое явление, подобное явлению, которое имеет место или должно возникнуть в натуре, что
и позволяет изучить это явление. Основной задачей теории моделирования является выявление условий, обеспечивающих подобие явлений.
Явления называются подобными, если по известным характеристикам
одного явления можно получить простым пересчетом аналогичные характеристики другого явления.
Одним из существеннейших достоинств метода моделирования является возможность обобщения результатов единичного опыта на целый
класс явлений. Этот метод, например, позволит результаты исследований движения воды обобщить на случай движения воздуха, масла и т.
п., или наоборот. Даже больше, он позволяет распространить результаты исследования явления одного класса на явления другого класса, но
описываемые одинаковыми математическими уравнениями. Метод моделирования обеспечивает наиболее рациональную организацию исследования, значительно сокращая тем самым объем экспериментальных
работ, а значит и затраты средств, особенно, если исследования происходят на моделях меньших натуры.
Научной базой метода моделирования является теория подобия,
переплетающаяся с методами теории размерностей.
Основные законы подобия. Критерий подобия Ньютона
Одним из важнейших условий, которым должны удовлетворять подобные явления, является так называемое геометрическое подобие.
Явления будут геометрически подобны, если существует геометрическое подобие размеров потока натуры и модели. Под этим понимают
подобие размеров каналов, в которых протекает поток натуры и модели,
подобие шероховатостей стенок, ограничивающих поток, в открытых
потоках подобие свободных поверхностей, подобие запорных приспособлений, подобие твердых тел, помещаемых а натуре и в модели.
Если обозначить какие-либо характерные величины, например
длину l, диаметр d, некоторую площадь или некоторый объем W, относящиеся к натуре, индексом н, а к модели индексом м, то между одноименными величинами геометрически подобных систем будет существовать соотношение
64

н
Wн
lн d н



.
lм d м
м
Wм
Постоянная называется константой геометрического подобия.
В требования, предъявляемые к условиям геометрического подобия, должно быть включено взаимное и однозначное соответствие между частицами потока натуры и модели, заключающееся, в том, что каждой частице потока натуры должна соответствовать частица потока модели, и наоборот.
Однако одного геометрического подобия еще недостаточно, чтобы
явление было подобно. Известно, что в геометрически подобных каналах движение может быть различным. В подобных явлениях должно
существовать и определенное соотношение между скоростями и ускорениями в соответственных точках, выражающееся условиями так называемого кинематического подобия.
Кинематическое подобие требует, чтобы траектории, описываемые
соответствующими частицами потока натуры и модели, за любые соответствующие отрезки времени были подобны с константой подобия .
Это значит, что зависимость между уравнениями траекторий соответствующих частиц должна определяться равенствами:
xн   xм ; yн   yм ; zн   zм ,
в которых координаты являются функциями времени.
Примем также при этом, что если соответствующие участки траекторий lн и lм или dlн и dlм соответствующие частицы проходят за время
tн и tм или dtн и dtм, то отношение
tн dtн

,
tм dtм
должно быть независимым от времени и одним и тем же для любых соответствующих частиц.
Из условий кинематического подобия следует, что отношения соответствующих участков траекторий lн и lм или dlн и dlм или радиусов
кривизны траекторий rн и rм, если траектории криволинейны, также находятся между собой в отношении , т. е.
65
lн dlн rн

  .
lм dl м rм
Из тех же условий кинематического подобия вытекает зависимость
между скоростями в соответствующих точках uн и uм, а именно:
dlн
uн dtн 

 .
uм dlм 
dtм
Такая же зависимость должна существовать и между максимальными скоростями umax или средними скоростями потока натуры и модели, т. е. должно быть:
uн umax н н

 .
uм umax м м
Из этого соотношения следует, что
uн
н
Отношение

uм
м
.
u
можно рассматривать как безразмерную относи
тельную скорость, т. е. как значение скорости, выраженное в системе, в
которой за единицу скорости принята средняя скорость .
Таким образом, кинематическое подобие потока требует, чтобы
поля безразмерных скоростей натуры и модели были бы тождественны.
Впрочем это требование распространяется и на все другие одноименные
величины.
Из условий кинематического и геометрического подобия вытекает
зависимость между ускорениями aн и aм или между проекциями ускорений (например, между проекциями на нормаль, т. е. между нормальu2
ными ускорениями
, если траектории криволинейны), а именно:
r
66
u2
)н
aн
r
 2 .
u
aм
( )м
r
(
Материальное подобие требует взаимного соответствия между материальными частицами потока натуры и модели, при этом массы соответственных частиц
, где – плотность, а W – объем, также
должны находиться в одном и том же отношении
M н нWн

 P 3  m ,
M м мWм
где
P
н
отношение плотностей,
м
а m – константа подобия масс.
Силовое подобие требует, чтобы равнодействующие силы F=Ma
сил, действующих на соответствующие материальные частицы потока
натуры и модели в соответствующие моменты времени, также находились бы в отношении
Fн М н aн
.

Fм М м aм
Из последнего следует равенство
Fнlн
Fl
 м м2  Ne .
2
M нuн M мuм
Fl
Величина
 Ne называется критерием механического подоMu 2
бия – критерием Ньютона. Из полученного следует, что для любых двух
соответственных точек подобных потоков натуры и модели значения
критерия механического подобия – числа Ньютона – имеют одно и то
же значение, т. е.
Neн  Neм
Критерии подобия Рейнольдса, Фруда, Эйлера и Вебера
Критерий Ньютона Ne выражает зависимость между силами, массами, скоростями и линейными размерами в динамически подобных по67
токах в общем виде. В гидравлике приходится иметь дело главным образом с тремя видами сил: силой веса, силой давления и силой трения. В
некоторых случаях приходится принимать во внимание силы поверхностного натяжения. При этом чаще всего в различных явлениях главную
роль играет только один из этих видов сил. В общем случае полного подобия необходимо иметь подобие всех сил. Однако каждый из этих видов сил требует своих условий подобия, причем иногда эти условия
оказываются несовместимыми. Один такой пример будет приведен ниже. Таким образом, удовлетворить основному условию подобия – равенству критериев Ньютона – не всегда возможно. В таких случаях необходимо обеспечить подобие того вида сил, который оказывается наиболее существенным в изучаемом явлении.
Например, при исследовании законов гидравлических сопротивлений трубопроводов главную роль играют силы трения. При исследовании протекания жидкости через водосливы главную рать играют силы
тяжести, Таких примеров можно было бы привести много. Критерии
частичного подобия можно получить из критерия Ньютона, подставляя
du
в него вместо силы F или силу трения Т   , при этом получим усdn
ловие подобия только сил трения (критерий Рейнольдса Re), или силу
тяжести G = Mg – получим условие подобия только сил тяжести (критерий Фруда – Fr), или силу давления Р =рω – условие подобия, только
сил давления (критерий Эйлера – Еu) и т. п.
Подставив в формулу силу трения T, получим:
duн
du
lн мм м lм
dnн
dnм
.

2
М н uн
М мuм2
нн
Имея в виду, что M = ρW, а в подобных системах
нlн
Wн

мlм
Wм
.
duн
: uн
1
dnн

duм
: uм 
dnм
68
будем иметь:
нuнlн мuмlм

н
м
где Re = Re 
 ul
– критерий (число) Рейнольдса.

Таким образом, подобие сил трения в потоках, удовлетворяющих
условиям геометрического, кинематического и материального подобия,
будет только в том случае, если для каждой пары соответственных точек потока натуры и модели число Рейнольдса будет иметь одно и то же
значение. В числе Рейнольдса за величину u может быть принята средняя скорость потока  , а за l – любая характерная линейная величина.
Например, при изучении законов движения жидкости в трубах принимается диаметр трубы d или гидравлический радиус R. При этом число
Рейнольдса будет представлено в виде:
Red 
 d
 R
; ReR 
.


Следует иметь в виду, что для подобия двух явлений существенно
не численное значение критерия, а лишь его равенство для потоков натуры и модели.
Подставив в силу тяжести G=Mg, получим:
gн M нlн gм M мlм

М нuн2
М мuм2
или после сокращения
uн2
u2
 м ,
g нlн g мlм
u2
где Fr 
– критерий (число) Фруда. Иногда число Фруда Fr выраgl
жают через среднюю скорость
u2
Fr  .
gl
69
Равенство чисел Фруда Fr в соответственных точках потоков,
удовлетворяющих геометрическому, кинематическому и материальному
подобию, обеспечивает подобие сил тяжести. За величину может быть
принята любая характерная линейная величина. Например, при изучении волнового сопротивления, которое испытывает движущийся корабль, за принимается длина корабля.
Подставим силу давления P   . Получим:
pннlн pммlм

М нuн2
М мuм2
имея в виду, что M = pW и, кроме того, в геометрически подобных
l l
системах м м  н н , найдем:
Wм
Wн
pн
p
 м2 ,
2
нuн мuм
p
где 2  Eu – критерий (число) Эйлера.
u
Числу Эйлера придают несколько иной вид, вводя вместо абсолютного давления р разность давления δр, а именно
Eu 
p
u 2
Число Эйлера играет большую роль в исследовании явлений, связанных с кавитацией. В этом случае за δр принимается δр = р – pп, где
рп – давление парообразования.
Число k  2Eu называется числом кавитации. Таким образом, равенство чисел Эйлера обеспечивает в динамически подобных потоках
подобие сил давления.
В некоторых гидравлических исследованиях существенное значение имеет поверхностное натяжение. Для получения соответствующих
условий подобия можно также исходить из критерия, подставляя в него
значение силы поверхностного натяжений F   l , где – коэффициент
поверхностного натяжения. Преобразования, не отличающиеся от предыдущих, позволяют получить число Вебера – критерий подобия сил
поверхностного натяжения в виде:
70
We 

,
 u 2l
где – характерная линейная величина.
Выше мы уже отмечали, что полное подобие осуществить не всегда
возможно. Покажем, что этого нельзя сделать во всех случаях, если для
модели и для натуры применяется одна и та же жидкость. Рассмотрим
один такой пример. Испытывается модель плотины при протекании через нее воды (рис. 62). Примем за характерный линейный размер напор
над гребнем плотины р. В этом случае числа Рейнольдса и Фруда представятся в следующем виде:
нн H н мм H м
н2
м2
Re 

; Fr 

.
н
м
gн H н gм H м
Рис. 62. Схема водослива с тонкой стенкой
Имея в виду, что в натуре и на модели жидкость одна и та же, у которой ρ, μ имеют одно и то же значение, получим, следующие несовместимые равенства:
71
 н Н н н
Нн
.

;

 м Н м м
Нм
По первому равенству уменьшение модели в λ раз потребует увеличение скорости протекания жидкости через модель в λ раз, а по второму равенству – уменьшение скорости протекания в  раз. Ввиду
того, что существенное значение при моделировании водослива играют
силы тяжести, очевидно, режим работы модели необходимо подчинить
тяжести. Если бы можно было изменять вязкость жидкости на модели,
то при известных условиях можно было бы обеспечить условия подобия
и сил тяжести и сил трения.
Заметим, что весьма часто не удается осуществить полное подобие
и вследствие трудностей создания подобия шероховатостей поверхностей.
В результате тех или других пренебрежений, допускаемых при моделировании, возникают погрешности при переносе на натуру результатов, полученных при исследовании модели, характеризующиеся так называемым масштабным эффектом.
72
5. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ
Гидродинамика рассматривает неустановившееся движение жидкости в 3-х мерном течении, т. е. здесь учитывается еще и изменения скорости, кроме массовых сил и сил давления.
Задача гидродинамики – определить под действием заданных массовых сил движение каждой частицы жидкости и гидродинамические
давления в каждой точке в каждый момент времени при заданных начальных и граничных условиях.
Будут следующие переменные: X, Y, Z, p(x, y, z, t) Vx, Vy, Vz.
Координаты x, y, z и время t.
Если учитывать сжимаемость жидкости (газа) то переменной является и плотность .
Согласно задачи переменными будут 5 названных x, y, z, t, , т.е.
необходимо иметь для решения 5 уравнений.
Это уравнения:
1) 3 уравнения динамики Эйлера.
2) Уравнение неразрывности в общем виде.
3) Уравнение состояния.
5.1.
Уравнение Эйлера
В рассматриваемой жидкости выделим элемент. Объем в виде прямоугольного параллелепипеда с гранями dx, dy, dz, на который действует массовая сила R(X, Y, Z) и сила давления px (рис.63).
Рассмотрим движение жидкости вдоль оси x.
Силы инерции жидкости
Fин  ma  dx  dy  dz 
Рис. 63
делим на W и получаем
dVx
.
dt
X, Y, Z – единичные массовые силы,
чтобы перейти к силе нужно умножить на массу
W .
Уравнение равновесия
p
dV
X W  x dxdydz   x W  0 .
x
dt
73
1 p
dV
X  x x,
 x
dt
аналогично получим, проектируя на оси y и z
dV
1 p
Y  y  y,
 y
dt
1 p dV
Z  z  z.
 z
dt
При движении идеальной жидкости давление в данной точке не зависит от угла наклона площадки, т. е.
px  p y  pz  p .
Уравнение примет вид
1 p dVx 
X 

,
 x
dt 

1 p dVy 
Y 

,  – система дифференциальных уравнений дина y
dt 
1 p dVz 
Z 

.
 z
dt 
мики жидкости Эйлера. Эти уравнения обращаются в уравнения статики Эйлера при V(Vx, Vy, Vz)=const.
5.2. Уравнение неразрывности сжимаемой жидкости в общем виде
Определим массу
M жидкости, протекающей через грань
АВСД с плотностью 
и скоростью Vx (рис.
64)
M kA  Vx dt  dy  dz .
Vx dt –  – путь за
время t.
dy  dz – площадь грани.
Аналогично опA
x
Рис. 64
74
ределим массу жидкости, протекающую через грань EFGH. Учитывая
сжимаемость, а это значит, что плотность и скорость жидкости в правой
грани отличается от левой грани.
Vx запишем через градиент скорости, тогда
V
Vx  Vx  Vx  x  dx .
x
Vx
– градиент скорости вдоль оси ОХ.
x
dx – изменение на участке dx.
Аналогично и для плотности

  dx .
x
Тогда
V
 
 

M xE   dx      Vx  x dx  dt  dy  dz 
x
 x
 


V
 Vx
2

 Vx  Vx
dx   x dx 

 dx   dtdydz.
x
x
x x


Vx
 Vx   

V
dx   x dx 
dx.
x
x
x
 Vx
2

 dx  – величина второго порядка малости по сравнению с друx x
гими.
Тогда
 Vx    

M xE  Vx 
dx  dt  dy  dz.

x


Определим изменение массы жидкости протекающей вдоль оси ОХ
за время dt, протекающей через рассматриваемый объем.
 Vx   
H x  M xA  M xE  
dt  dxdydz .
x
dxdydz – W.
Рассуждая аналогично для осей y и z получим
75
M y  
 Vy   
dy
dt  W ,
 Vz   
dt  W .
dz
Определим полное изменение массы жидкости, протекающей через
объем М.
M  M x  M y  M z .
Wz  
  Vx     Vy     Vz    
M   


  dt  W .

x

y

z


Изменение массы жидкости с другой стороны за время dt можно
определить так, т. к. объем один и тот же.
M  W ,

 
 dt ,
t

M  dt W .
t
Приравнивая эти изменения масс можно записать
  Vx     Vy     Vz   



 0.
t
x
y
dz
Это уравнение неразрывности для 3-х мерного сечения.
Если не учитывать сжимаемость, тогда   const имеем
Vx Vy Vz


 0 – уравнение неразрывности для несжимаемой жидx
y
dz
кости.
5.3.
Уравнение состояния
Например: если речь идет о газах и процесс изотерический
(Т=const), то уравнение является уравнением Бойля-Мариотта.
pW  const .
При других процессах имеются соответствующие формулы (адиабатический процесс, политропный процесс).
76
При рассмотрении жесткости только специального нет. Поэтому
пятым уравнением будет приниматься уравнение   const – это значит,
что задача решается без учета сжимаемости.
Решение задач гидродинамики в общем виде часто затруднено или
невозможно из-за:
1) нелинейности дифференциальных уравнений,
2) отсутствием начальных и конечных условий, т. е. граничных условий.
5.4.
Дифференциальное уравнение вихревого движения идеальной
жидкости
dVx 
V
Vx
V
V
dt  x dx  y dy  x dz
t
x
y
z
разделим на dt, получим
V
dVx Vx Vx
V


Vx  y Vy  x Vz .
dt
t
x
y
z
Vx
– местное ускорение частицы и может быть только при неустаноt
вившемся движении.
Vx
V
V
Vx  x Vy  x Vz – носят название конвективные ускорения. Они
x
y
z
от температуры не зависят, поэтому они могут иметь место при установившемся режиме (рис. 65).
Теперь уравнение Эйлера вдоль оси ОХ запишется так
X
V
1 p Vx Vx
V


 Vx  y  Vy  z  Vz 
 x t
x
x
x
 V V 
 V V 
Vy  x  y   Vz  x  z  .
x 
x 
 z
 y
при условии, что мы добавили и отняли следующие члены
77
Vy
Vz
к X–части уравнения для Y–составляющей уравнения
x
x
V
V
V
V
это члены Vx x  Vz z , для Z–составляющей Vx x  Vy y .
y
y
z
z
Учитывая, что
Vy
 Vz
2
2
2
Vy
Vx
Vz  Vx  Vy  Vz  V 2
Vx
 Vy
 Vz


. Vx2  Vy2  Vz2  V 2 .
x
x
x
x
2x
Рассмотрим физическую сущность членов полученного уравнения
 V V 
 V V 
Vy  x  y  Vz  x  z 
x 
x 
 z
 y
.
 V V 
Vy  x  y   Vy  z  z   2Vy z ,
x 
 y
 V V 
Vz  x  z   Vz  y  (z )   2Vz  y .
x 
 z
Рис. 65
78
Тогда можно записать:

1 p Vx V 2
X 


 2Vy z  2Vz  y 
 x t
2x

2

1 p Vy V
имя
Громеко-Лэмба
Y 


 2Vz x  2Vx z  носят
 x
t
2y

2

1 p Vz V
Z 


 2Vx y  2Vy x 
 z
t
2z

(1891).
Это уравнения в более явном виде содержат гидродинамические
величины. Они отличаются от уравнений Эйлера.
1. Выражают полную энергию жидкости.
2. В них видны местные и конвективные ускорения.
В общем виде уравнения Громеко не интегрируются. Интеграл
этих уравнений для неустановившегося движения может быть найден
только для безвихревого движения
Проинтегрируем его для невихревого движения.
Введем два понятия.
Говоря, что массовые силы допускают потенциал, если существует
u
u
u
 X ;  Y ;  Z , в этом случае функцию u натакая функция, что
x
y
z
зывают потенциалом массовой силы.
Аналогично, если скорость V допускает потенциал, то существует
такая функция , что называется потенциалом скорости.
Введя потенциал, решим уравнение
вдоль оси ОХ
1 p Vx V 2
X 


,
 x t
2x
u 1 p V 2  2
  

x  x 2x tx
или

p V 2   2
.
u  

x 
 2  tx
79
Все члены в скобке характеризуют энергию жидкости, они зависят
от времени, но координат здесь нет. Мы можем проинтегрировать по
координате Х, получим
p V 2 
u 

 ct – это уравнение называется интеграл Лагранжа.
 2 t
сt – постоянная времени и оно различно для различных моментов времени.
Рассмотрим более частный случай, движение установившееся, т. е.
V
 0,
t

тогда
 0 и сt  c  const .
t
Получим
p V2
u 
 c – интеграл Эйлера.
 2
Рассмотрим еще более частный случай, когда в качестве массовых
сил действуют только силы тяжести, тогда
u
 X  0;
x
u
 Y  0;
y
u
 Z   g.
y
u
 Z   g , интегрируем, получим
y
u   gz  c ,
подставим в интеграл Эйлера.
z
p V2

 c  c  c0 ,
g 2 g
p V2
z 
 const
 2g
– интеграл Бернулли.
В заключение необходимо отметить уравнения Громеко являются
наиболее общими и универсальными, но они не учитывают вязкость.
Существуют более общие уравнения, которые учитывают вязкость – это
уравнение Новье-Стокса.
80
5.5.
Основы гидродинамической теории смазки
Виды трения
Гидродинамическая теория смазки занимается изучением гидравлических явлений, возникающих в смазочном слое при относительном
движении двух твердых тел, разделенных этим слоем. Основоположником этой теории является выдающийся русский ученый Н. П. Петров.
Заслуга Н. П. Петрова заключается в том, что он впервые в мире, в
1883 году разработал теорию трения в хорошо смазанных подшипниках,
исходя из положения, что трение в подшипниках подчиняется гидродинамическим законам. В обоснование своей теории Н. П. Петров проделал огромное количество экспериментальных исследований по изучению вязкостных свойств различных жидкостей. Дальнейшее развитие
гидродинамической теории обязано трудам О. Рейнольдса, Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, Л. С. Лейбензона и других. Представляют значительный интерес также работы немецких ученых А. Зоммерфельда,
Гюмбеля и др.
Первая работа Н. Е. Жуковского «О гидродинамической теории
трения хорошо смазанных тел» была опубликована в 1886 году. В 1904
году Н .Е. Жуковским совместно с С. А. Чаплыгиным было дано точное
решение задачи о движении вязкой жидкости в двух измерениях между
двумя эксцентричными окружностями. Эта работа послужила основой
дальнейших работ в этой области. Следует указать, что до исследований
Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина считалось, по утверждениям немецкого ученого А. Зоммерфельда, что точное решение этой задачи (подшипник бесконечной длины) невозможно.
Л. С. Лейбензоном была исследована кинематика потока в масляном слое, установлены «границы приложимости гидродинамической
теории смазки».
В наше время гидродинамическая теория трения развивается применительно к работе подшипников конечной длины.
В развитии этой теории большую роль сыграли и советские ученые
Н. И. Мерцалов, М. И. Яновский, Е. М. Гутьяр, А. К. Дьяташ и другие.
Подробное изложение гидродинамической теории смазки выходит
за рамки учебника по гидравлике.
В этой главе будут исследованы несколько частных вопросов этой
теории: кинематика потока, способность жидкости в смазочном слое
81
воспринимать большие усилия, не выжимаясь из зазора, понятие о коэффициенте трения и некоторые другие.
Теоретической основой гидродинамической теории смазки служат
дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости.
При этом жидкость смазочного слоя рассматривается однородной,
хотя ее структура в смазочном слое весьма сложна. В общем случае этот
слой может быть представлен, как показано на рис. 66. Непосредственно на поверхности твердых тел, например цапфы или вкладыша, образуется пленка 1 окислов металла или его неорганических соединений
(сульфидов, хлоридов и т. п.) толщиной 10-4 мм. Такие пленки обладают
слоистой структурой, легко сдвигаются друг относительно друга, тем
самым уменьшая трение.
Рис. 66. Структура смазочного слоя
К пленке окислов или неорганических соединений примыкает так
называемый граничный адсорбционный слой 2 смазочного вещества,
удерживающийся возле поверхностей твердых тел под действием молекулярных сил, исходящих от этих тел. По своим механическим свойствам адсорбционный слой отличается от остальной жидкости смазочного слоя. Молекулы адсорбционного слоя располагаются около поверхности тел упорядоченными слоями. Иногда ближайшие к твердому телу
молекулы адсорбционного слоя вступают с ним в химическую реакцию
(хемо-сорбция). Граничный слой образуется вследствие содержания в
смазочном веществе поверхностно активных молекул (так называемых
присадок, добавляемых к маслам для улучшения их смазочных
свойств), способных адсорбироваться на трущихся поверхностях (к
числу присадок относится, например, олеиновая кислота). Остальная
часть смазочного слоя 3 образована нормальной смазкой.
Рис. 67. Положение цапфы в подшипнике в состоянии покоя
82
Рассмотрим явления, возникающие в смазочном слое подшипника.
В состоянии покоя (рис. 67) цапфа занимает самое нижнее положение.
Она лежит на вкладыше подшипника, выдавливая под действием тяжести смазку в местах соприкосновения. Поверхности трения твердых тел
в этом положении отделены друг от друга окисным и адсорбционным
слоем, поэтому в момент трогания (начала вращения) начальная сила
трения, имеющая максимальное значение, в основном зависит от состояния этих двух слоев. Такое трение называется граничным и всегда
включает в себя элементы сухого трения, являясь по существу полусухим трением. При граничном трении, кроме вязкости жидкости, проявляют влияние еще и особые свойства адсорбционного слоя в совокупности с вязкостью, называемые маслянистостью. Благодаря трению повышается температура окисного и адсорбционного слоев, вследствие чего
начальная сила трения уменьшается. Смазка, заполняющая внутреннюю
полость подшипника, увлекается вращающейся цапфой. Цапфа нагнетает смазку в клинообразную полость, образованную поверхностями цапфы и вкладыша.
Вследствие этого в пространстве Ц в жидкости создается повышенное давление, передающееся на поверхность цапфы.
Возникающие силы стремятся приподнять цапфу. По мере всплывания цапфы увеличивается толщина смазочного слоя, изменяется режим трения. Полусухое и граничное трение переходит в полужидкостное, характеризующееся тем, что наряду с влиянием на трение адсорбционного граничного слоя на него начинает оказывать более значительное влияние главным образом вязкость жидкости.
Рис. 68. Положение цапфы в подшипнике при её вращении при гидродинамическом трении и распределении гидродинамического давления по поверхности цапфы
83
В дальнейшем при увеличении скорости цапфы и вследствие все
большего нагревания смазочного слоя давление возрастает, и при некотором его значении, соответствующем динамическому равновесию системы, всплывание цапфы достигает максимального значения и она оказывается расположенной в подшипнике эксцентрично относительно его
оси (рис. 68). В этом состоянии на трение оказывает влияние только
вязкость жидкости. Такое трение называется жидкостным. Исследованию этого состояния смазочного слоя будут посвящены следующие параграфы.
При всплывании цапфы ее центральная ось перемещается относительно оси подшипника в направлении вращения цапфы, т. е. при вращении цапфы, например, в направлении часовой стрелки (рис. 68), в том
же направлении относительно оси подшипника переместится и ось цапфы. Пространство между цапфой и вкладышем заполняется смазкой.
Чем больше скорость вращения, тем значительнее смещается цапфа.
При угловой скорости вращения, равной бесконечности
Ω
цапфа стремится занять в подшипнике центральное положение. Однако
такое центральное положение теоретически возможно лишь, как показал в 1886 г. Н. Е. Жуковский, только при отсутствии нагрузки.
В положении, соответствующем определенной нагрузке на поверхности цапфы, действуют две системы сил: силы гидродинамического
давления направленные перпендикулярно к поверхности цапфы, и силы
трения , направленные по касательной. Сила трения обусловливается
вязкостью жидкости. Только этим отличаются силы жидкостного трения от сил трения, возникающих при вращении цапфы в отсутствии
смазки при так называемом сухом трении.
Рис. 69. Положение цапфы в подшипнике при
её вращении и сухом трении
При сухом трении цапфа занимает в подшипнике положение, показанное на рис. 69.
По причинам аналогичным повышенное давление создается и в
масляном слое между ползуном и опорной поверхностью.
84
На рис. 68 и 70 показано изменение гидродинамического давления
в смазочном слое в подшипнике и под ползуном. Обратим внимание на
то, что на краях смазочного слоя давление равно давлению окружающей
среды (весьма часто атмосферному) и достигает максимума где-то
внутри масляного слоя. Опыт подтверждает, что весьма тонкий слой
смазки оказывается способным воспринимать значительные усилия,
осуществляя тем самым наиболее благоприятные условия работы трущихся поверхностей в условиях жидкостного трения.
Важными величинами, характеризующими свойства смазочного слоя
являются динамический коэффициент вязкости жидкости µ, нагрузка,
характеризующаяся средним давлением Рср в смазочиом слое, а также
величина угловой скорости . Из этих величин можно образовать только один безразмерный комплекс играющий роль критерия подобия в
гидродинамической теории смазки.
Рис. 70.
Рис. 71
 
Рср
S
На рис. 71 показан характер зависимости коэффициента трения f
 
 S при
(отношение нагрузки на смазочный слой к силе трения) от
Рср
различных режимах трения.
85
Основные уравнения
В дальнейшем будем считать толщину смазочного слоя малой, хотя
и значительно большей, чем шероховатость трущихся поверхностей. В
рассматриваемых случаях трущиеся поверхности всегда будут разделены смазочным слоем. Ширину трущихся поверхностей будем считать
достаточно большой (как говорят, равной бесконечности). В этом случае можно пренебречь утечками жидкости через торцевые зазоры
(иy=0), а поток рассматривать как плоский со скоростями.
Пренебрегая влиянием веса жидкости, кривизной траекторий и ускорением движения для приближенного исследования, достаточно будет воспользоваться дифференциальным уравнением движения, для потока в плоской щели, обозначая их=и
p
 2u
 2 .
x
z
В этом уравнении в отличие от равномерного движения
p
 const ,
x
причем, по толщине смазочного слоя давление имеет одно и то же значение.
Исследование изменения скорости uz не
представляет интереса.
При
сделанных
оговорках это уравнение справедливо и для
смазочного слоя подшипника и для слоя в
ползуне. Оно могло
быть получено и из
уравнения
НавьеСтокса как частный
случай. В дальнейшем
вязкость жидкости рассматривается, не завиРис. 72
сящей от давления, что
86
делает весь расчет еще более приближенным.
Сперва изучим распределение скоростей по живым сечениям смазочного слоя. Для этого проинтегрируем уравнение для большей определенности применительно к паре цапфа – подшипник (рис. 72). Дважды интегрируя, получим:

u p

zC
z x
и
p z 2
u 
 Cz  D.
x 2
Постоянные интегрирования определим из условия: на внутренней
поверхности вкладыша» т. е. при z =0 и =0, вследствие чего D = 0; на
поверхности цапфы, т. е. при z= h и u =+U, где U – окружная скорость
цапфы
C
U   p h
.

h
x 2
Поэтому

u p 
h
U
 z   ,
z x 
2
h
u  U
z 1 p

z (h  z ) .
h 2 x
Для последующего определим расход Q, отнесенный к единице
ширины подшипника b=1. Для этого вычислим интеграл
h p h3
.
Qb1  udz  U 
2 x 12
0
h
87
На основании уравнения неразрывности расход через любое сечение имеет одно и то же значение. Вычислим его для сечения, в котором
 p

давление достигло экстремума   0  .
 x

Обозначим толщину слоя в этом сечении через h0 (в подшипнике
таких сечений будет два: одно для pmax другое для pmin).
Получим:
Q
При этом для
Uh0
.
2
p
будем иметь следующее уравнение:
x
p
h  h0
 6U
x
h3
Уравнение называется уравнением Рейнольдса к может быть использовано для приближенного исследования смазочного слоя как в
подшипнике, так и в ползуне. Из полученного уравнения следует, что
при постоянной толщине смазочного слоя давление р также оказывается
постоянным и должно быть равно давлению на границах. В этом случае
смазочный слой не может развить необходимых усилий для поддержания цапфы во взвешенном состоянии.
Для подшипника или ползуна конечной ширины уравнение Рейнольдса имеет следующий вид:
  3 p    3 p 
h
 6U
h
  h

x  x  y  y 
x
p
 0.
Для подшипника или ползуна бесконечной ширины
y
p
Подставляя значение
:
x
hh
z

u  U   3 3 0 (hz  z 2 )  .
h
h

88
Исследуем уравнение . В сечении h=h0 т. е. в сечении с экстремальp
ным значением давления –
 0 , скорости изменяются по уравнению
x
u U
z
h
т.е. по прямолинейному закону.
p
Левее этого сечения
 0 (отрицательно) и поэтому профили
x
скоростей изображаются параболами, вытягивающимися в сторону U, и,
p
наоборот, правее этого сечения
 0 и профили скоростей изображаx
ются параболами со скоростями, имеющими даже различное направление.
Наибольший интерес представляет сечение, в котором касательная
к эпюре скоростей в точке z= 0 образует с радиусом цапфы угол Θ=0.
До этого сечения, как показал Л. С. Лейбензон, смазочный слой не разu
рушается. Для этого сечения
 0 и из уравнения следует, что при
z
этом
3
hΘ0  h0 .
2
Это сечение определяет границу смазочного слоя. Справа от этого
сечения возникают обратные течения, разрушающие смазочный слой.
Аналогичная картина наблюдается и в смазочном слое ползуна.
При исследовании смазочного слоя ползуна всей системы, включая
и жидкость, сообщается движение со скоростью, противоположной скорости ползуна.
Распределение давления в смазочном слое ползуна и
коэффициент трения
В дальнейшем распределение давления будет исследовано только
для смазочного слоя ползуна, с тем, чтобы показать способность смазочного слоя развивать поддерживающее усилие и тем самым не допус89
кать сухого соприкосновения трущихся поверхностей, а также определить коэффициент трения.
Для исследования закона распределения давления введем в уравнение величину:
h   a  x  tgΘ
и проинтегрируем его. Получим:
x
x
6U 
dx
h0
dx 
p  p0  2  


2

tg Θ  0 (a  x) tgΘ x (a  x)3 
или
6U 
x
b0 2ax  x 2 
p  p0  2 


tg Θ   a  x  a 2 (a  x)2 a 2 
где p0 — давление в начале (x= 0) и в конце ползуна x  (a  b) .
b0 
h0
– размер, определяющий сечение с максимальным давлением.
tgΘ
Этот размер можно определить, положив в уравнении
р  р0 и x  a  b
Для b0 получим:
b0 
2ab
.
ab
Подставляя в уравнение значение b 0 и обозначая
дем иметь:
бу-
x
6U
e x
e .
p  p0 
2
2
x
(a  b)tg  a e (1  ) 2
a
2
1
Эпюра разности давлений изображена на рис. 70. Величину поддерживающей силы Р найдем, взяв интеграл
90
6UB
x (e  x )
U
P    p  p0  Bdx 
dx

Ф,
(2a  e)tg 2 0 (a  x)2
tg 2
0
b
b
где B – ширина ползуна, а
a b
 a
Ф  6 ln  2
B.
a  b 
 b
Интегрирование осуществлено подстановкой
a  x .
Среднее давление по поверхности ползуна рср, возникающее в масляном слое, будет равно:
pср 
P
U

Ф.
(a  b) B (a  b)tg 2Θ
91
6. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
6.1.
Режим течения жидкости
По характеру течения различают 2 режима течения жидкости:
1. Ламинарный,
2. Турбулентный.
Ламинарный режим – это безвихревое, слоистое, без перемешивания и пульсации скорости течение.
Турбулентный режим характеризуется перемешиванием масс жидкости, наличием переменных масс жидкости и поперечных скоростей в
одномерном потоке.
Режим движения жидкости зависит от параметров (для круглой
трубы) V –скорость;  – вязкость; d – Ø трубы.
Это три основных фактора, определяющих режим движения жидкости. Установлены они Рейнольдсом при проведении опытов.
Он взял два сосуда с жидкостями различного цвета (рис.73).
В трубке А наблюдал
Подкрашенная жидкость
визуально за потоком. Он
установил, что при некоПрозрачная жидкость
торой скорости происходит переход от слоистого к
  const
турбулентному потоку и
эта скорость равна
d  const

Vкр  Reкр
d
Re – число Рейнольдса.
Число Re определяется параметрами потока,
Рис. 73
оно безразмерно и характеризует режим движения
жидкости
Re 
Reкр 
Vкр d

Vd
.

 2320 – при нормальных условиях.
92
При Re < Reкр – режим ламинарный.
При Re  Reкр – режим турбулентный.
Граничная цифра 2320 может несколько меняться в зависимости от
таких второстепенных факторов 1) вибрация; 2) шероховатость; 3)
пульсация и ряд других.
6.2.
Ламинарный режим течения жидкости
Для простоты изложения будем рассматривать течение в круглых
трубах.
Рассмотрим следующие задачи.
1. Закон распределения V по сечению ламинарного потока.
2. Интегральный (суммарный) расход потока.
3. Распределение касательных напряжений по сечению.
4. Потери напора или путевые потери, представляющие собой потери давления по пути необходимой для перемещения жидкости.
I. Распределение скоростей по сечению ламинарного потока
Выделим элемент – цилиндрик
длиной ℓ и радиусом r. Рассмотрим
силы, действующие на цилиндр
вдоль движения жидкости (рис.74).
Сила давления, которая равна
Рис. 74
 p1  p2  r 2 .
Сила сопротивления, которая равна 2r  ,
тогда
 p1  p2  r 2  2r

.
Касательные напряжения определяются так
93
  
dV
dr ,
тогда
dV
,
dr
 p1  p2  rdr  2 dV .
 p1  p2  r  2

Проинтегрируем и выразим V
p1  p2  r 2

V 
  C,
2
2
С – постоянная интегрирования.
Для смачивающих жидкостей, скорость на твердой поверхности
равна 0, т. е. при r=r0; V=0,
тогда
C
p1  p2 2
r0 ,
4
учитывая это получим
p  p2 2 2
V 1
 r0  r  – закон Стокса или закон распределения ско4
ростей по сечению.
Если обозначим скорость на оси трубы через V0 , т. е. r=0; V=V0.
p  p2 2
V0  1
r0 .
4
Взяв отношение V и V0 получим
 r2 
V  V0 1  2  .
 r0 
Два вывода:
1. Закон распределения скорости по сечению параболический (рис.
75).
94
2. При ламинарном режиме скорость течения пропорциональна давлению вызывающему это течение.
Рис. 75
II. Определение расхода при ламинарном режиме в круглой
трубе.
Ламинарный расход протекает
через кольцо (рис.76)
dQ  V  dS ,
dS  2rdr ,
p  p2
V 1
  r02  r 2  2rdr.
4
Рис. 76
Проинтегрируем в пределах от 0
до r0
2
0
p1  p2 
p1  p2  r04
p1  p2 2
p1  p2


3
2 r0
Q
r0 2rdr  
2r dr 
2r0

2 .
4

4

4

2
4

4
0
0
или
r0
r
Q
p1  p2 4
r0 – уравнение Пуазейля.
8
Здесь необходимо отметить, что Q пропорционален давлению выбирающим этот расход.
Обычно в машиностроительном гидроприводе ламинарное течение
имеет место при течении через малые зазоры. Эти расходы называются
расходами утечек и они согласно нашего уравнения определяются очень
просто
Q    p1  p2 
95
,
r04
– критерий герметичности для круглой трубы.
8
Для других форм каналов имеются либо расчетные, либо статические величины .
где  
Пример.
Иногда необходимо знать расход утечек (рис. 77)
Qут1  1  p1  p2  ,
Qут 2  2 p2 ,
т.к
pатм  0.
С другой стороны Q трубке
можно определить через среднюю скорость
Q  Vср r02 .
Приравниваем к уравнению Пуазейля.
 p  p2  r 4 ,
V r02  1
0
8
Рис.77
а Vср  0,5V0
III. Потери напора при ламинарном режиме течения
в круглой трубе
p1
p
; h2  2 .


p  p2
h 1
– пьезометриче
ский уклон (рис.78).
Пьезометрический уклон – это потери напора
(давления)
необходимые
Рис. 78
для перемещения жидкости
на длине ℓ.
На практике необходимо знать потери энергии в трубах, соединяющих различные элементы гидропривода.
Единым условием является наличие трения, т. е. жидкость вязкая.
h
Иногда рассматривают такую величину i  – гидравлический уклон.
h1 
96
Запишем уравнение расхода
Q
 p1  p2  r 4  
8
учитывая, что
Qi
,
0
p1  p2
i.

 4
r0 с другой стороны
8
Q  Vср r02 ,
i  Vср
8
.
r02
Проведем преобразования
p  p2
h
d


h 1
; i  ; r0  ;   ;   .

2

g
h 8
32
32

V 
V

Vср ;
ср
2 ср
d
gd 2
gd 2

4
2
2Vср 64 Vср
32
h  2 Vср

 .
d g
2Vср Vср d 2 2 g
Учитывая, что
Vср d
 Re,

64
V2
h
 
Re d 2 g
или
h
где  – коэффициент потерь    л
Vср2
2g
,
.
d
л – коэффициент путевых потерь.
Выводы отсюда:
1. Потери при ламинарном движении пропорциональны скорости в
1-ой степени (рис.79) до Vкр
97
2. Потери давления физически представлены частью потерь
скоростного напора
Vср2
p  
.
2g
IV. Распределение касательных напряжений по сечению круглой трубы
Рис. 79
  
dV
 p  p2  r 2  r 2 ,
; т. к. V  1
0 
4
dr
тогда имеем
  
d   p1  p2  2 2 
 r0  r  .
dr  4

Берем производную по dr
 p  p2  2r   p1  p2  r . (а)
 1
4
2
 p  p2  r – тогда умножив и
При r=r0; =0 (у стенки трубы) 0  1
0
2
разделив (а) r0 получим
 p  p2  r r   r .
 1
0
0
2
r0
r0
Графический (рис.80)
0 – определяет относитель-
ное скольжение слоев жидкости
вдоль стенки трубы.
Рис. 80
98
6.3.
Турбулентный режим течения жидкости
Турбулентный режим характеризуется интенсивным перемешиванием жидкости, пульсацией местной скорости и давления, вихревым течением и имеет место при скоростях боше критических.

Критическая скорость, это когда Vкр  2320 .
d
Получение основных закономерностей турбулентного режима сопряжено с большими трудностями, поэтому большинство этих зависимостей получены полуэмпирически или чисто эмпирически.
Основные отличия турбулентного режима от ламинарного в энергетическом смысле заключается в том, что
1. Касательные напряжение значит больше, и они определяются
квадрантом градиента
2
 dV  .
   

 dr 
2. Распределение скоростей по сечению вдоль оси потока более
равномерное распределения подчиняются логарифмическому закону.
Средняя скорость Vср составляет 80100% от скорости
на оси, а при ламинарном режиме она составляет 50% скорости на оси (рис. 81)
Q
Vср  2   0,8  1V0 .
r
Чем > турбулентность, т.
е. чем >Re, тем равномернее
распределяются скорости по
Рис. 81
сечению.
3. В соответствии с распределением скорости по сечению можно
оценить распределение касательных напряжений (рис. 82).
4. Путевые потери на трение жидкости при турбулентном режиме
больше, потому, что они теперь пропорциональны квадрату скорости.
Потери определяются по той же формуле, но с некоторыми отличиями.
Vср2
h
2g
99
   т , но  т определяется
в
иначе.
Образованию турбулентности
способствует в значительной мере
Рис. 78
микронеровности и вибрация, поэтому коэффициент  аналитически
получить тяжело, и он определяется эмпирически.
Существует много таких зависимостей, которые в большей или
меньшей мере учитывают влияние факторов.
0,3164
а) формула Блазиуса  т  4
– позволяет рассчитать потери
Re
без учета шероховатости и справедливо, когда число Re105.
б) Есть формула с учетом шероховатости и больших чисел Re –
формула Мизеса
M
3
,
 т  0,0096 

D
Re
где М – это абсолютная величина микронеровностей стенки трубы по
шкале Мизеса.
Перепад давления через потери
Vср2
T
p   

D 2g
Что показано на рис. 83?
1). Потери тем >, чем > длина трубы, по этой причине в производственных условиях трудно
обеспечить питание от одной насосной станции, роботы и другие
машины имеют автономную
станцию
2) Чем больше диаметр труРис. 83
бы, тем меньше потери. Это не
значит, что всегда выгодно иметь большой диаметр трубы. Диаметр выбирается из условий, так называемых допустимых скоростей течения
жидкости
а) для напорных трубопроводов
Vсрmax  (3  5) м/с
б) для труб всасывающих
100
и
Vсрmax  (1  1,5) м/с
в) в элементах управления и гидродвигателях эта скорость доходит
до 60 м/с
3) Влияние  на потери для ламинарного режима
64 64
.
л 

Re Vср d
p   л , а следовательно p   .
4) Влияние температуры на потери
Чем > T, тем <  и тем ниже потери (рис.84).
6.4.
ния
Местные гидравлические сопротивле-
Кроме потерь в рубах имеются и другие виды потерь.
В качестве местных сопротивлений
необходимо рассматривать все, что не явРис. 84
ляется длинными протяженными магистралями.
Это вентили, дроссели, элементы управления потоком, расширение
и сужение труб, повороты и т. д.
Определим местные потери при турбулентном движении жидкости
для случая ступенчатого внезапного расширения трубы (рис. 85).
Выводы обобщим на все сопротивления
Для определения потерь сопротивления применим теорему механики о равенстве количества движения импульсу сил проложенных к
телу
F t  mV .
Распишем применительно к нашему случаю за время t
mt  Qt  ; V  V2  V1 .
Силы в проекции на ось движения (силы давления)
F   p1  p2   S2 ,
101
тогда
Qt V2  V1    p1  p2  S2t ,
заменим
Q  V2 S2 ;  

,
g
V2 V2  V1  p1  p2

.
g

Рис. 85
Запишем уравнение Бернулли для сечений I и II, т. к. z1=z2.
p1
V12 p2
V22
 1

 2
 hM .

2g 
2g
где hM – потери при местном сопротивлении.
Поскольку движение турбулентное, то скорости примерно равномерно распределены по сечению, то =1=2=1. Тогда преобразуем
уравнение Бернулли:
p1  p2 V22  V12

 hM ,

2g
p  p2 V2 V2  V1 

учитывая для нашего случая, что 1
, перепишем

g
уравнение
V2 V2  V1  V22  V12

 hM .
g
2g
Выразим hM
2
hM
V
2
 V1
2g

2
 V1

  1
V
 .
 V22  2
2g
Выразим одну скорость через другую
V1  S1  V2  S2 ; V1  V2
2

V2  S
hM  2  2  1 .
2 g  S1 
102
S2
,
S1
2
 S2 
  1   – коэффициент местных сопротивлений.
 S1 
V22
.
hM   M
2g
Аналогично можно получить  для других местных сопротивлений.
Но в то же время эти коэффициенты аналитически определяются очень
трудно для большинства видов местных сопротивлений.
Поэтому коэффициент  имеется в справочной литературе.
6.5.
Расчет трубопроводов
Здесь мы будем говорить о проверочном расчете, т. е. определять
потери при известной конфигурации трубопроводов, длине, диаметре и
т. д.
Возьмем простой трубопровод с местными сопротивлениями и с
Ø=const (рис. 86). Запишем уравнение Бернулли
2
2
V
V
p
p
z1  1  1 1ср  z2  2   2 2ср  h .

2g

2g
Для простых трубопроводов при турбулентном режиме, когда d1  d2  1  2 ,
а значит V1ср  V2ср , тогда
p1  p2
  z1  z2   h .

h = hпутевые + hместные.
Теперь рассмотрим конкретные примеры.
1. Последовательное соединение трубопроводов (рис.
87).
Рис. 86
Q1  Q2  Q3...Qn , отсюда
103
n
h  h1  h2  ...hn   hi .
i 1
Графически это выглядит так (рис.88).
Рис. 88
Рис. 87
2. Параллельное соединение трубопроводов (рис. 89).
n
Q  Q1  Q2  ...  Qn   Qi
i 1
Рис. 90
Рис. 89
Отсюда следует, что h  h1  h2  ...  hn .
Графически это выглядит так (рис. 90).
Пример 1.
Определить избыточное давление p0 в баке, необходимое для получения скорости V2=20
м/с течения воды из
брансбойта в атмосферу
(рис. 91).
Длина шланга ℓ=40
Рис. 91
104
м, d1=40 мм, d2=20 мм, высота H= 5 м. 1=0,5; 2=3,5; 3=0,1; =0,01;
стокса=0,01см2/с; g=103кг/м3.
РЕШЕНИЕ
Необходимо определить режим движения. Для этого определим
скорость V1 в трубе. Уравнение неразрывности
d 22
d12
.
V2 
 V1 
4
4
d 22
4
V1  V2 2  2  103  2  0,5  103 см/с.
d1
4
Число Рейнольдса
V1d1 0,5  103  4
Re 

 2  105 .

0,01
Re>Reкр= 2320
Значит режим движения турбулентный.
Определим потери в трубе, пользуясь уравнением для турбулентного потока
0,3164
T  4
 0,015 .
Re
Запишем уравнение Бернулли для сечений I и II
p0
V22
0
 0  H  0  2
 h

2g

считаем
что V0=0


p2=0
2=1, т.к.
поток турб.
V22
p0  
 H   h   .
2g
Теперь определи потери
V12
V12
V12
V22
,
h  hпут  hмест  Т 
 1
 2
 3
d1 2 g
2g
2g
2g
учтем что
V22
d14 V12
, т. к. V1S1  V2 S2
3
 3 4 
2g
d2 2 g
из-за
105
V2  V1
S1
d2
 V1  12 ,
S2
d2
тогда

V12
d14  V12
h   Т 
 1  2  3 4  
,
d2  2 g
 d1 2 g

V22
V12
d14  V12
p0  
 H   h    Т 
 1   2  3 4  
.
2g
d2  2 g
 d1 2 g
4  106
p0  5  10  10  10 
 103 
3
2  10

4000
44  0,25  106
кг
  0,015
 0,5  3,5  0,1 4  
 5,15 2 .
3
4
2  2  10
см

2
3
3
Пример 2.
Определим потери давления в трубопроводе напорного гидропривода, по которому течет жидкость.
Задано
ℓ= 5 м;
D=1,5 см;
=10 сст=0,1 см2/с;
=0,8 г/см3=0,810-3кг/см3
Q=36л/мин=600 см3/с
_______________________
Найти pℓ
Решение:
D 4  Q  D



  D2  
1. Определим режим движения жидкости
.
4  600
3

 6  10
  1,5  0,1
Значит режим турбулентный.
2. Определи потери:
V2
0,316
Q 2  16
p  T 
 4
 

2 4
D 2g
Re d 2 g  D
.
0,316 500 62  104  8
кг
3
 0,8  10 


 0,5 2
2
4
4
4
1,5
10

10

1,5
см
0,6  10
Re 
106
6.6.
Истечения жидкости через отверстие
Мы будем рассматривать V и Q, текущие через отверстие в зависимости от площади отверстий и давлений.
Большинство элементов гидросистем оценивается так называемой
гидравлической характеристикой, которая представляет собой зависимость расхода от давления при заданных геометрических параметрах.
Основные особенности течения жидкости через отверстия, (рис. 92)
1. Перепад давления на отверстии
p  p2  p1 .
2. Площадь струи меньше геометрической площади отверстия
SО  Sc .
S
  c – коэффициент сжатия струи.
SО
Рис. 93
Рис. 92
Рассмотрим течение жидкости из емкости через отверстие (рис.
93).
Оговорим, что VI≈0 и II = 1 т.к. считаем поток турбулентным. За
уровень отсчета берем ось отверстия. Запишем уравнение Бернулли.
pО
p2
V2
HО 
00
 h0 
.


2g
V2
– местные потери на отверстии.
hО  отв
2g
p
p
p
p
2 1
Обозначим H О  О  H , тогда H  2  V
1  отв  .




2g
Выразим скорость, учитывая что pH  p1  p
V
1
2g

 p .

1  отв
107
1
и назовем коэффициентом скорости, опре1  отв
деляющим сопротивление отверстия.
Тогда
2g
V  
 p .

При истечении маловязкой, а в пределе идеальной жидкости
Обозначим  
отв  0, тогда   1
и
теор
Vид.ж

2g
 p .

Можно представить  и так
V
  теор – поэтому его называют коэффициентом скорости и он
Vид.ж
для реальной жидкости, меньше 1.
Расход получается следующим образом
2g
Q  VSc  SOV  SO  SO
 p .

Обозначим = – коэффициент расхода жидкости.
2g
Тогда Q  SO
 p .

Это уравнение очень универсально. Она справедливо для всех видов острокромочных отверстий (любой формы).
Для остроконечных отверстий величина местного сопротивления
отв=0,060,1.
Это значит, что величина  очень немного отличается от 1.
1

 0,9  0,98 .
1  отв
В тоже время
V
 1.
теор
Vид.ж
Поэтому  является коэффициентом распределения скорости по
сечению и поскольку он близок к 1, то скорость в струе имеет распределение, близкое к 1 (рис. 94).
108
На (210)% отличается от идеального
распределения скорости (рис. 94), то это значит, что:
1. Течение жидкости через острую
кромку всегда турбулентное.
2. Поскольку скорость распределения
Рис. 94
равномерна, то отсутствует градиент скорости, т. е. отсутствует скольжение слоев жидкости друг относительно друга и отсутствуют силы трения, хотя жидкость вязкая.
Поэтому в выражении для Q отсутствует вязкость   0,65  0,75 –
для острых кромок.
На рис. 96 показан безинерционный гидравлический диод.
=0,98
  0,65  0,75
Рис. 95
=0,98
=0,20,4
Рис. 96. Безинерционный гидравлический диод
       0,6  0,7 
Эта формула справедлива для отверстий с относительно небольшой
d
их протяженностью, т. е.  4  5 (рис. 97)
109
Рис. 97
Рис. 98
Если отверстие протяженное, то происходит перераспределение
скорости по сечению, т. е. (рис. 98) градиент скорости и есть трение, которое зависит от вязкости.
При очень малых площадях отверстий наблюдается изменение коэффициента расхода  и его необходимо рассчитывать (рис. 99). Квадратичным расходом называется, потому что зависимость расхода от
давления квадратична в отличие от течения жидкости при ламинарном
режиме.
Рис. 99
Рис. 100
Qлам  p .
Пример. Построить регулировочную и гидравлическую характеристику для гидравлического управляющего элемента сопло-заслонка
(рис. 100).
2g
Q  dx
 p ,

p  p1  pc ( 0)  p1 ,
Q  f  x, p  .
110
В этом случае говорят о двух характеристиках.
Рис. 101
1.Q  f ( x) / p  const  регулировочная,
2.Q  f (p) / x  const  гидравлическая.
111
7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
Гидравлический удар – это колебательный процесс, возникающий в
упругом трубопроводе с жидкостью при внезапном изменении скорости
течения. Это быстро протекающий процесс, который характеризуется
резким изменением давления р в трубе.
Он возникает при быстром открывании или закрывании регулируемого устройства.
При прямых гидравлических ударах скачки давления могут в 10 раз
превышать давления при установившемся режиме.
Во многих случаях – это явление отрицательное, но иногда его используют в качестве источников для ударных механизмов.
Впервые это явление описал русский ученый Жуковский Н.Е.
Изобразим механику этого процесса
Рис. 102
После мгновенного закрывания крана будет следующее рис. 102.
возникает
p0  p уд
ударная волна, которая
распространяется по
трубопроводу со скоростью а рис. 103.
В некоторый момент времени эта вол-
Рис. 103
на распределяется по всей трубе.
112
т. к. давление выравнивается, то труба
уменьшается и возникает обратный процесс, стенки даже проходят первоначальное
значение т. к. они
Рис. 104
имеют какую-то массу (рис.105).
В опытах Жуковского датчик устанавливался
на
трубе.
Рис.105
При использовании маловязких
жидкостей наблюдается до 12 циклов
колебаний давления
около среднего значения p0 рис. 106.
Ударная волна
Рис. 106
проходит до 12 раз
туда и обратно.
Величину ударного давления pуд найдем исходя из того, что кинетическая энергия жидкости переходит в работу деформации трубы и
жидкости.
Кинетическая энергия движения жидкости
mV02
,
2
обозначим
ℓ – длина трубы,
113
R – радиус трубы,
R – изменение радиуса.
Определим массу жидкости
m  R 2  .
Тогда кинетическая энергия
 2
R V02 .
2
Работу деформации надо определить для 2х элементов трубы и для
жидкости.
Для трубы рис. 107.
1
Работа деформации =
производная силы на величину деформа2
ции
1
A  F R
2
F  Pуд 2R
E 
R – величина деформации, тогда
можно записать
1
A  Pуд 2R R .
2
Выразим R через известные
параметры.
R
Eтр   ,
Из закона Гука
R
с другой стороны
P R
  уд ,

Рис. 107
где  – толщина стенки трубы,
тогда
R 
Pуд R 2
.
Eтр
Работа деформации для трубы выразится следующим образом
114
1
1
.
Aтр  Pуд2 2R3
2
Eтр
Определим работу деформации жидкости рис. 108.
1
Aж  Fж  ; Fж  PR 2 ;
2
1
Aж  Pуд R 2  .
2
Рис. 108
Выразим через известные параметры:
1
W  W0Pуд 
W0Pуд , W0  R 2 .
Eж
2
Pуд
W R Pуд
,
 


2
2
R
Eж R
Eж
тогда работа Аж
Pуд 1 2 R 2
1
2
Aж  Pуд R
 Pуд
.
2
E
2
Eж
Запишем общее уравнение
Eкин  Aтр  Aж .
 2
1
1
1
R 2
.
R V02  Pуд2 2R3 R
 Pуд2
2
2
Eж 2
Eж
P
R
V02  2Pуд2
 уд
Eтр Eж
или
P  V0
Умножим и разделим на

2R
1

Eтр Eж

115
.
Pуд  V0
1
2R 

Eтр Eж
или
P  V0a – формула Жуковского,
где
a
1
.
2R 

Eтр Eж
Выясним физический смысл а. Размерность коэффициента а [м/с] –
скорости.
1. Предположим, что труба абсолютно жесткая, т. е. Eтр   , тогда
a
Eж
– это скорость распространения звука в жидкой среде.

1
Естественно предположить, что a 
– представляет со 2R

Eж Eтр
бой скорость распространения звука в упругой трубе, заполненной жидкость.
Докажем это предположение.
Рассмотрим опять процесс упругой деформации рис. 109.
Пусть деформация распространяется за время dt на величину dx
Применим теорему механики о равенстве импульса силы количеству движения
Fdt  m V1  V2  ,
где F – сила давления.
Массовые силы здесь небольшие и их не учитываем.
F   P0  Pуд  P0  Sdt  Sdx V0  V ( 0) 
Sdx  m.
116
отсюда
Pуд
V0

dx
.
dt
dx
– это скорость
dt
распространения ударной волны
или скорость деформации, тогда
Pуд  aV0 ,
что и требовалось доказать.
Из схемы
Для реальных жидкостей:
вода – а  1450 м/с,
Рис.109


минеральное масло – а  1300 м/с.
Полученные нами уравнения описывают так называемый пряой
гидравлический удар. Он характеризуется тем, что начальная скорость
гасится до 0.
При непрямом остается некоторая скорость V1 (при неполном закрытии крана).
При непрямом гидравлическом ударе мы получили бы
Pуд  a V0  V1  .
Формула Жуковского справедлива для очень быстрого закрытия
крана.
Доказано, что это справедливо в случаях когда время закрытия
2
t ,
a
где ℓ – длина трубы; а – скорость звука.
2
При t 
– непрямой удар.
a
Меры борьбы с гидравлическим ударом.
2
1) Увеличение времени закрытия управляющим элементом t  .
a
Пример: ℓ = 2 м; а = 1200 м/с;
22
t
 0,003 с.
1200
2) Волновые процессы при гидравлическом ударе высокочастотные. Поэтому для борьбы используются фильтры волновых частей.
117
Рис. 110. Пневмогидравлический
аккумулятор
газа>>ж, поэтому происходит демпфирование колебаний т.
е. поглощение энергии.
7.4. Соответствующее повышение прочности слабых звеньев, т.
е. где нельзя другими способами
избежать гидравлического удара.
118
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ......................................................................................................3
1.
Рабочие жидкости и их свойства................................................4
1.1 Плотность жидкости и газа ......................................................................4
1.2 Вязкость жидкости....................................................................................7
1.3 Сжимаемость жидкости и газа ................................................................9
1.4 Растворение в жидкости газов ...............................................................11
1.5 Стабильность характеристик масел ......................................................12
1.6 Теплопроводность и удельная теплоемкость жидкостей ...................12
1.7. Кавитация жидкостей ............................................................................13
1.8. Поверхностное натяжение ....................................................................13
1.9. Давление под искривленной поверхностью жидкости ......................19
1.10. Капиллярные явления..........................................................................22
1.11.
Применяемые жидкости и требования к ним ................................24
2.
3.
Силы, действующие на жидкость ............................................26
Гидростатика ..............................................................................28
3.1. Основное уравнение гидростатики. Уравнение Эйлера..................29
3.2. Пьезометры. Пьезометрическая высота ............................................30
3.3. Давление на наклонную плоскость ...................................................32
3.4. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости и их
интегрирования для простейших случаев ..................................................33
3.5.
Основы теории плавания ....................................................37
4.
Некоторые вопросы движения жидкости ................................51
4.1. Виды движения ....................................................................................51
4.2. Кинематические элементы потока.....................................................52
4.3. Гидравлические элементы потока .....................................................53
4.4. Поток жидкости ...................................................................................53
4.5. Понятие о расходе и средней скорости потока ................................54
4.6. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости .................55
4.7. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости .........................59
119
4.8. Гидравлическое моделирование ........................................................64
5.
Основы гидродинамики ............................................................73
5.1. Уравнение Эйлера ...............................................................................73
5.2. Уравнение неразрывности сжимаемой жидкости в общем виде ...74
5.3. Уравнение состояния ..........................................................................76
5.4. Дифференциальное уравнение вихревого движения идеальной
жидкости ........................................................................................................77
5.5. Основы гидродинамической теории смазки .....................................81
6. Некоторые прикладные задачи механики жидкости и газа ...........92
6.1. Режим течения жидкости....................................................................92
6.2. Ламинарный режим течения жидкости.............................................93
6.3. Турбулентный режим течения жидкости .........................................99
6.4. Местные гидравлические сопротивления .......................................101
6.5. Расчет трубопроводов .......................................................................103
6.6. Истечения жидкости через отверстие .............................................107
7.
Гидравлический удар...............................................................112
120
Учебное издание
СМАЙЛОВ Садык Арифович,
КУВШИНОВ Кирилл Александрович
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Учебное пособие
Издано в авторской редакции
Научный редактор доктор техн. наук,
профессор П. Я. Крауиньш
Дизайн обложки
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати 05.11.2012. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл. печ. л.
. Уч.-изд. л.
.
Заказ . Тираж 100 экз.
Национальный исследовательский Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Издательства Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту BS EN ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru
121