Рассуждения о гипотезе Биля

Рассуждения о гипотезе Биля
Alexander Mit’kovskiy
[email protected]
I
Прежде чем приступить к рассмотрению гипотезы Биля, необходимо рассмотреть один
математический вопрос.
Сравним две формулы: 12+12 =2*1 и 12+12=
2
2 . С точки зрения алгебры правые части обеих этих
формул равны между собой и имеют решение равное 2. Это с точки зрения алгебры. Но так ли однозначно
решение с точки зрения геометрии? Покажем геометрические аналоги обеих формул.
В левой части первой формулы мы имеем два квадрата со стороной каждого квадрата равной 1,
площадь каждого квадрата равна 1, в правой части формулы мы имеем прямоугольник, длина одной стороны
которого равна 2, длина второй стороны равна 1, площадь прямоугольника равна 2, равенство правой и
левой частей формулы не вызывают сомнения.
+
1
1
=
1
2
В левой части второй формулы мы также имеем два квадрата со стороной каждого квадрата равной 1,
площадь каждого квадрата равна 1. В правой части формулы мы имеем квадрат, сторона которого равна
диагонали квадрата со стороной 1 и площадь этого квадрата равна произведению сторон.
Длина диагонали квадрата со стороной 1 равна 2 , что арифметически является иррациональным
числом, которое с точностью до четырех знаков равно 1,4142. Вспомним правило умножения
иррациональных чисел. Умножим 1,4142 на 1,4142 и получим значение 1,9999. Также умножим 1,4143 на
1,4143 и получим значение 2,0002. Таким образом, площадь квадрата со стороной 2 равна числу,
расположенному между 1,9999 и 2,0002, с точностью до четырех знаков после запятой. Если нам нужна
большая точность, мы можем посчитать значение площади квадрата с большей точностью, хоть 10 10 знаков
после запятой, хоть больше, но ни при каких условиях площадь квадрата со стороной 2 не будет равна
точно 2, а будет лишь приближена к этому значению. Таким образом, в природе не существует квадрата,
площадь которого равна 2, площадь такого квадрата есть иррациональное число.
Почему в первой формуле мы получили точное значение при расчете, а во второй формуле только
приближенное? В первой формуле мы выразили площадь фигуры через два числа и это не вызвало у нас
никаких затруднений, а во втором случае мы попытались выразить значение площади фигуры через одно
число и нам не удалось сделать это абсолютно точно. Почему же в алгебре обе формулы считаются
равноценными по значению? Это лишь математическое допущение, которых в математике множество и на
которых основана вся математика. Но это не значит, что мы не должны учитывать это допущение в своих
расчетах и рассуждениях. Например, если мы построим на таком квадрате в качестве основания, прямой
прямоугольный параллелепипед, высота которого будет любое рациональное число, то в любом случае
объем этого параллелепипеда будет иррациональным числом, и мы не сможем найти этот объем в
рациональных числах. И это действительно для всех квадратов, сторона которых есть иррациональной число.
II
Рассмотрим уравнение
(1)
,
где
и
– натуральные числа
Примем, что и имеют общий делитель , где
можно представить в виде
– натуральное число. Таким образом, формулу (1)
или
(2)
,
Где m и n – натуральные числа,
Значение
в формуле (1), которое равноценно значению
в формуле (2) геометрически
можно представить в виде прямого прямоугольного параллелепипеда с основанием
Частью этого параллелепипеда будет параллелепипед с основанием
равен значению
в формуле (1). Оставшаяся часть объема параллелепипеда
представляет собой параллелепипед с основанием
утверждать, что
и высотой
и высотой
и высотой
.
, который численно
будет равна
и
. Таким образом можно
.
Из этого следует, что если в уравнении (1) сумма и одно из слагаемых имеют общий делитель, то и
второе слагаемое в формуле также имеет такой же общий делитель.
Примем, что и имеют общий делитель , где
можно представить в виде
– натуральное число. Таким образом, формулу (1)
или
,
Где m и n – натуральные числа, ,
Сумму
геометрически можно представить в виде прямого прямоугольного
параллелепипеда с основанием
равен
и высотой
и объем этого параллелепипеда численно будет
. Таким образом,
Из этого следует, что если в уравнении (1) слагаемые имеют общий делитель, то и сумма также имеет
такой же общий делитель.
Так, как в уравнении (1) не может быть других вариантов двух чисел с общим делителем, можно
сделать вывод, что
Если в уравнении вида
, где
и
– натуральные числа, любые два числа
имеют общий делитель, то и третье число имеет такой же общий делитель.
Это необходимое и достаточное условие.
Рассмотрим выражение
(3)
,
где
и
– натуральные числа,
Уравнение (3) можно представить в виде:
,
Нетрудно заметить, что, уравнение (3) есть частный случай уравнения (1) и, если два из чисел
имеют общий делитель , его можно представить в виде:
,
(4)
Где m,n, k – натуральные числа,
Формула (4) геометрически представляет собой прямой прямоугольный параллелепипед с
основанием
и высотой
, который состоит из двух параллелепипедов – один с основанием
высотой
, второй с основанием
(4) имеют общий делитель.
и высотой
и
. Из этого следует, что все значения в формуле
Нужно заметить, что общий делитель в этом случае есть необходимое условие, но недостаточное.
Если внимательно посмотреть на параллелепипед с основанием
и высотой
, то мы увидим, что этот
параллелепипед представляет собой выстроенные в один ряд единичные кубы со стороной
формула (3) выполнялась, необходимо, чтобы высота параллелепипеда была кратна
и, чтобы
, и сумма высот
параллелепипедов с основанием
и высотой
высоте параллелепипеда с основанием
и с основанием
и высотой
и высотой
была равна
.
Иными словами, достаточным условием выполнения формулы (4) будет являться выполнение
соотношения
Или
,
Или
,
III
Рассмотрим уравнение (3) при условии, что два из чисел
являются взаимно простыми, то есть не
имеют общего делителя. Если два из чисел
взаимно простые, а третье число имеет общий делитель с
каким либо из чисел тройки, то, как мы установили ранее, все числа должны иметь общий делитель. Из этого
следует, что если два из чисел
взаимно простые, то все числа
взаимно простые.
Представим формулу (3) в виде
(5)
,
Примем, что
Правая часть формулы (5) геометрически представляет собой прямой прямоугольный параллелепипед
с основанием квадрат
и высотой
. В объем этого параллелепипеда входит параллелепипед объемом
, в основании которого лежит квадрат
и высотой
. С учетом этого, объем параллелепипеда
можно представить в виде
(6)
,
Оставшийся от вычитания
объем, равный
, нам нужно
выразить через третье число. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора и представим
в виде
. Подставим это значение в формулу (6) и получим
(7)
,
Формула (7) геометрически показывает, что объем параллелепипеда
двух параллелепипедов – один с основанием
Площадь основания параллелепипеда
квадратов -
и высотой
состоит из объемов
и второй с основанием
есть квадрат со стороной
и высотой
.
и состоит из суммы двух
. Для большей наглядности представим это в виде схематического рисунка:
Сравним параллелепипеды
(формула 7) и
(формула 5) и увидим, что они
отличаются высотой. Очевидно, что высота этих параллелепипедов не может быть одинаковой, т.к. числа
по условию задачи взаимно простые, т.е.
либо меньше
. Рассмотрим вариант, когда
Объем параллелепипеда
, высотой
, высотой
и объемом
может быть больше
. Наш рисунок примет вид
будет представлять собой сумму объемов трех параллелепипедов
– первый параллелепипед с основанием
основанием
. Из этого следует, что
и
, высотой
и объемом
и объемом
, второй параллелепипед с
; и третий параллелепипед с основанием
.
(8)
,
Из формул (5) и (8) следует, что
(9)
,
Формула (9) показывает, что объем параллелепипеда
параллелепипеда
параллелепипеда
параллелепипеда
параллелепипеда
и параллелепипеда
состоит из двух объемов –
, который образовался от вычитания объема
из параллелепипеда
Из формулы (9) видно, что высота
, больше высоты параллелепипеда
, так как он больше на объем
. Представим это в виде схематического рисунка.
Таким образом, понятно, что если
, то
, из чего следует, что
рассматривать вариант, когда
нет необходимости, так, как от перемены мест слагаемых сумма
не изменяется. Иначе, если значение одного из слагаемых в степени x, y минус два, меньше значения суммы
в степени z минус два, то значение второго слагаемого в степени x, y минус два, больше значения суммы в
степени z минус два.
Чтобы уравнение (5) имело решение, должно выполняться условие формулы (9), причем объем
параллелепипеда
должен без остатка делиться на
Преобразуем формулу (9) и получим:
,
Правая часть уравнения
После сокращения на
из формулы (3) равна
, запишем ее в виде
, и получим
получим уравнение
(10)
Уравнение (10) есть условие решения уравнения (3) в случае, когда
есть взаимно простые
натуральные числа. Мы знаем, что уравнение (10) имеет решение в целых положительных числах только в
том случае, если
– Пифагоровы числа. В этом случае, из теоремы Пифагора-Эйлера следует, что
существует только один вариант решения уравнения (10) для примитивной Пифагоровой тройки. Так, как
числа
по заданному условию являются взаимно простыми, значит
– примитивная Пифагорова
тройка. Если хотя бы одно из чисел
не относится к примитивной Пифагоровой тройке, значит, это число
будет иррациональным, и объем параллелепипеда, в основе которого она будет лежать, будет
иррациональным числом, и мы не можем выразить его в натуральных числах. Для понимания этого написана
глава I.
Итак, мы имеем уравнение (3) и уравнение (10), которое является условием решения уравнения (3).
Для того, чтобы привести уравнение (10) к уравнению (3), умножим обе части уравнения (10) на
и
получим уже встречавшееся нам ранее уравнение
(11)
Сравним уравнение (11) и уравнение (3), из чего следует, что
и
Или
и
После сокращения правых – левых частей уравнений получаем
и
Или
и
(12)
По условию задачи
являются взаимно простыми числами, значит, уравнения (12) не имеют
решений. Следовательно, уравнение (3) также не имеет решений.
Казалось бы, что на этом можно поставить точку, но мы рассмотрели уравнение (3) для взаимно
простых чисел
только в случае, если
Однако, теоретически возможен вариант
уравнения (3), при котором
. Это возможно, если
слагаемые есть большие числа в маленькой степени.
есть маленькое число в большой степени, а
На момент написания данной статьи я не могу привести однозначные доказательства выполнения или
невыполнения формулы (3) при таких условиях.
Итак, уравнение
, не имеет решений в натуральных числах
взаимно простые числа, для любых натуральных
при условии, когда
, в случае,
Хорошая новость в том, что рассмотренный вариант включает в себя Теорему Ферма.
Alexander Mit’kovskiy
[email protected]