Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1.1. Основные понятия

Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Основные понятия
Различные задачи техники, естествознания, экономики приводят к решению уравнений,
в которых неизвестной является функция одной или нескольких независимых переменных и
содержащих независимые переменные, неизвестную функцию и производные неизвестной
функции. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.
Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное
уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если неизвестная
функция зависит от нескольких переменных, то уравнение называется дифференциальным
уравнением в частных производных.
Простейший пример обыкновенного дифференциального уравнения – вычисление
первообразной для заданной функции, здесь имеем уравнение
F ( x) f ( x) .
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в общем виде:
F ( x, y, y ,, y (n ) ) 0 .
Порядок старшей производной неизвестной функции называется порядком дифференциального
уравнения.
Дифференциальное уравнение называется разрешенным относительно старшей
производной, если оно записано в виде:
y ( n ) F ( x, y, y ,, y ( n 1) ) 0 .
Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) , подстановка
которой в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.
Нахождение решения дифференциального уравнения называется интегрированием
дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой.
В качестве примера решим дифференциальное уравнение y x .
dy
dy
x и найдем его решение
Так как y
, то уравнение примет вид
dx
dx
x2
y
C1 .
2
Отсюда
x2
dy
C1 dx
2
и получим общее решение уравнения
x3
y
C 1x C2 ,
6
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Для выделения единственного решения необходимо задать два условия:
y(0) 1, y (0) 2 ,
из которых находим C1 2 и C2 1 .
Следовательно, единственное решение уравнения
x3
y
2x 1.
6
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n го порядка
у y( x, C1 , C2 ,Cn ) зависит от n произвольных независимых постоянных б. Для выделения
частного решения необходимо задать n начальных условий.
Задача Коши.
Найти решение уравнения
F ( x, y, y ,, y (n ) ) 0 ,
удовлетворяющее начальным условиям:
y ( x0 ) y0 , y ( x0 ) y1 ,, y ( n 1) ( x0 ) yn 1 .
1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
(1)
F ( x, y, y ) 0 .
Если это уравнение можно разрешить относительно y , то записывают уравнение в виде
y f ( x, y) .
Множество решений уравнения (1) может быть получено в виде уравнения
G( x, y, C) 0 ,
которое называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Множество решений уравнения (1) , полученное в виде уравнения
y y( x, C) ,
называется общим решением дифференциального уравнения.
Из общего интеграла и общего решения при каждом фиксированном значении
постоянной C получают частное решение дифференциального уравнения. Для этого задают
начальное условие y0 y( x0 ) .
1.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Дифференциальное уравнение
y
f1 ( x) f 2 ( y) ,
где f1 ( x) и f 2 ( y) - заданные функции, называется уравнением с разделяющимися
переменными. Его общий вид:
dy
dx
f1 ( x) f 2 ( y )
.
Для нахождения решения разделим переменные в уравнении. Предположив,
что f 2 ( y) 0 , преобразуем уравнение:
dy
f1 ( x)dx .
f 2 ( y)
Левая часть полученного уравнения зависит от y , правая - от x . Интегрируя обе части
уравнения
dy
f1 ( x)dx ,
f 2 ( y)
получим общий интеграл уравнения
G( y) F ( x) C ,
1
где G( y ) - первообразная функции
, F (x) - первообразная функции f 2 ( x) , C f1 ( y )
произвольная постоянная.
2
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными записывают и в
дифференциалах:
P1 ( x) P2 ( y)dx Q1 ( x)Q2 ( y)dy .
Разделив это уравнение на P2 ( y)Q1 ( x) 0 , получим уравнение с разделенными переменными
P1 ( x)
Q2 ( y )
dx
dy .
Q1 ( x)
P2 ( y )
Проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл уравнения
P1 ( x)
Q2 ( y )
dx
dy С .
Q1 ( x)
P2 ( y )
При делении уравнения на P2 ( y)Q1 ( x) можно потерять решения x xk , при которых
Q1 ( xk ) 0 , и y yl , при которых P2 ( yl ) 0 . Такие решения x xk и y yl могут входить в
общий интеграл при определенных значениях постоянной C или могут быть решениями
исходного уравнения, но не входить в общий интеграл уравнения. Эти случаи необходимо
проверять отдельно.
Рассмотрим некоторые задачи, которые решаются при помощи дифференциальных
уравнений.
Задача 1. Найти уравнение кривых, в каждой точке которых отрезок касательной,
заключенный между осями координат, делится пополам точкой касания.
Пусть точка M ( x, y) - произвольная точка искомой кривой y f (x) и уравнение
касательной y kx b к кривой в этой точке (рис.1).
Y
A
y
O
M
x
B
X
Рис. 1
По условию AM BM , значит, b
дифференциальное уравнение
2 y или y
kx 2 y . Так как y
k , то получим
y
.
x
y
Отсюда
С
,
x
где С – произвольная постоянная. Это уравнение определяет множество кривых,
удовлетворяющих условию задачи. Для выбора единственной кривой необходимо задать
начальное условие, например, кривая должна проходить через точку M (2,1) . Запишем условие:
2
.
y(2) 1. Из этого условия находим С 2 . Получили единственное решение y
x
y
3
Задача 2. Эластичность функции спроса для любых значений цены p равна E p (q)
1
.
3
Найти функцию спроса.
По определению эластичности
p dq
.
q dp
Тогда из условия задачи получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными
p dq
1
.
q dp
3
Найдем решение этого уравнения:
E p (q)
3
dq
q
dp
, 3ln | q |
p
ln | p | ln C , q
3
C
.
p
Задача 3. Найти функцию y(t ) изменения численности населения некоторого региона в
зависимости от времени t 0 , если в начальный момент времени численность населения равна
y0 y (0) , а количество новорожденных и количество умерших пропорциональны
соответственно с коэффициентами k1 и k 2 .
Изменение численности населения за промежуток времени t равно разности между
количеством родившихся и количеством умерших за это время:
y k1 y t k2 y t
и отсюда получаем равенство
y
(k1 k2 ) y .
t
Перейдя к пределу в этом равенстве при t 0 , получим дифференциальное уравнение с
начальными условиями:
y (k1 k2 ) y , y0 y (0) .
Решим это уравнение:
dy
(k1 k2 )dt , ln | y | (k1 k2 )t ln C , y Ce( k1 k 2 )t .
y
Из начального условия находим С y0 и окончательно
y y0e( k1 k 2 ) t .
Задача 3. Пусть торговая фирма продает товар, информацию о котором в начальный
момент времени t 0 из рекламы получили x 0 человек из общего числа N потенциальных
покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент
времени t 0 число знающих о продукции людей равно x(t ) . Предположим, что скорость
роста числа знающих о продукции пропорциональна числу осведомлѐнных в данный момент
покупателей и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному
уравнению
dx
dt
kx( N
x)
,
где k – положительный коэффициент пропорциональности. Разделим переменные в
уравнении:
4
dx
xN x
kdt
.
Интегрируя левую и правую части, найдем общее решение дифференциального уравнения:
1
x
ln |
| kt ln | C |
N
N x
,
где C - произвольная постоянная. Отсюда получаем равенство
x
N
Ce kNt
x
,
из которого определим функцию
x
где C1
C1
N
1 С1e
Nkt
,
1
C . Учитывая начальное условие x(0) x0 , найдем значение константы
N x0 N
1 . Тогда, обозначив N
, получим
x0
x0
x0
x
N
1e
1
Nkt
.
Такого вида функция называется логистической, а еѐ график – логистической кривой.
На рис. 2 приведены примеры логистических кривых, полученных при N 1 , k 0,5 при
различных значениях
1,5; 2; 4; 6;8;10 . С помощью логистической функции описываются
многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например,
постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств,
рост популяции определенного вида животных .
0.997
0.8
x( t 1.5)
x( t 2)
x( t 4)
0.6
x( t 6)
x( t 8)
0.4
x( t 10)
0.2
0
0
0
2
4
6
0
t
Рис. 2
5
8
10
10
1.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Функция F ( x, y) называется однородной степени m , если для любого t она
удовлетворяет равенству
F (tx, ty ) t m F ( x, y) .
Примеры однородных и неоднородных функций.
1. Функция
F ( x, y ) 3x3 7 x 2 y 10 xy2
- функция однородная степени 3, так как
F (tx, ty ) 3(tx)3 7(tx) 2 ty 10tx(ty ) 2 t 3 (3x3 7 x 2 y 10 xy2 ) .
2. Функция
F ( x, y) xye
-однородная функция степени 2, действительно,
F (tx, ty ) txtye
tx
ty
x
y
x
y
2
t xye .
3. Функция
x2
F ( x, y )
xy 4 x
-неоднородная функция.
Дифференциальное уравнение
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
где P( x, y) и Q( x, y) - однородные функции одной степени называется однородным
дифференциальным уравнением. Это уравнение заменой, где u - новая неизвестная функция
приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, пусть P( x, y) и Q( x, y) - однородные функции степени m . Приняв t
получим
y
P(1, )
x
1
y
P( x, y ) и Q(1, )
m
x
x
1
Q ( x, y ) .
xm
Обозначив теперь,
y
y
y
y
P1 ( ) P(1, ) и Q1 ( ) Q(1, )
x
x
x
x
получим дифференциальное уравнение
y
y
P1 ( )dx Q1 ( )dy 0 .
x
x
Далее, учитывая равенства
y
y u x, dy udx xdu, u
,
x
получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
P1 (u)dx Q1 (u)(udx xdu) 0 ,
( P1 (u) Q1 (u)u)dx xQ1 (u)du 0 .
Пример 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
x2 y2
y
.
xy
Перепишем это уравнение в дифференциалах:
xydy ( x 2 y 2 )dx 0 .
Сделаем замену
6
1
,
x
y
u x, dy udx xdu, u
y
,
x
y
y2
dy (1 2 )dx 0 , u (udx xdu) (1 u 2 )dx 0 , u (udx xdu) (1 u 2 )dx 0 .
x
x
( 1 u 2 u 2 )dx uxdu 0 .
Получили уравнение с разделяющимися переменными
dx uxdu 0 .
Отсюда
dx
udu 0 .
x
Интегрируем это уравнение
u2
u2
u2
ln | x |
ln C ,
ln | Cx | , e 2 Cx .
2
2
y
Сделав обратную замену u
, получим общий интеграл исходного уравнения
x
y2
e2x
2
Cx .
К однородным дифференциальным уравнениям при помощи соответствующей
замены можно свести дифференциальные уравнения
y
1. Пусть
a1 b1
a 2 b2
f
a1x b1 y c1
.
a 2 x b2 y c2
0 и ( х0 , у0 ) - решение системы линейных уравнений
a1x b1 y c1 0,
a 2 x b2 y c2 0.
Тогда заменой
x
u
x0 ,
y v y0
уравнение приводится к однородному уравнению:
a u b1v
.
v f 1
a2u b2v
2. Если
a1
a2
b1
b2
0 , то необходимо сделать замену a1 x b1 y
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение y
z.
2x y 1
.
x 2y 1
2 1
3 0 , следовательно, замену необходимо выполнить по
1 2
первому варианту. Из системы уравнений
2 x y 1 0,
x 2y 1 0
Для этого уравнения
7
находим x0
1 и y0
1 . Отсюда
x u 1, y v 1, dx du, dy dv
и получим однородное дифференциальное уравнение
(u 2v)dv (2u v)du .
Для решения этого уравнения сделаем замену v wu :
(u 2wu)(wdu udw) (2u wu)du ,
2u ( w2 1)du u 2 (1 2w)dw 0 .
Разделим переменные:
2
(1 2w)
du
dw 0 .
u
( w2 1)
Проинтегрируем это уравнение
2
(1 2w)
du
dw 0 ,
u
( w2 1)
2
3 1
1 1
du
dw 0 ,
u
2w 1 2w 1
3
1
2 ln | u |
ln | w 1 |
ln | w 1 | ln | C | ,
2
2
u 2 ( w 1)3 ( w 1) C .
Полученное уравнение – общий интеграл, возведем его в квадрат и последовательно
сделаем обратную замену:
v
u 4 ( w 1)3 ( w 1) C 2 , w
,
u
(v u )3 (v u ) C 2 , u x 1, v y 1 ,
( y x 2)3 ( x y) C 2 .
Последнее равенство представляет общий интеграл исходного уравнения.
x y
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение y
.
2x 2 y 5
1
1
0 , поэтому необходима следующая замена x y z :
Здесь
2
2
dx dz
z
dz
z
dz
z
dz
z 5
1
,1
,
,
.
dx
2z 5
dx 2 z 5 dx
2 z 5 dx 2 z 5
Интегрируем последнее уравнение
5
2z 5
dz dx , 2
dz dx , 2 z 5 ln | z 5 | x C .
z 5
z 5
Подставив z x y , получим общий интеграл исходного уравнения
( x 2 y) 5 ln | x y 5 | C .
1.5. Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
( x) y
( x) y ( x) 0 .
Если (x) 0 , то это уравнение можно представить в виде:
y p( x) y f ( x) ,
8
(1)
(2)
где
p ( x)
( x)
, f ( x)
( x)
( x)
.
( x)
Если правые части уравнений (1) и (2) равны нулю, то эти уравнения называются однородными,
в противном случае – неоднородными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными
коэффициентами
Если в уравнении (1) ( x) а, и ( x) b , то есть эти функции являются константами,
то уравнение (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с
постоянными коэффициентами.
Рассмотрим однородное уравнение
(3)
y by 0 .
dy
dy
by или
Перепишем его в виде:
bdx . В этом уравнении равенство дифференциалов
dx
y
функций одного и того же аргумента х . Интегрируя его, получаем общее решение уравнения
(3)
ln y
bx ln C ,
bx
y Ce ,
(4)
где С - произвольная константа.
Это решение зависит от неопределенной константы С , придавая которой различные
значения, можно получить различные интегральные кривые уравнения (3). Если необходимо
найти интегральную кривую, проходящую через точку M ( x0 ; y0 ) , то нужно подставить
координаты точки в общее решение (4) и определить значение константы С . С этим значением
константы формула (4) определяет единственную интегральную кривую и частное решение
уравнения (3).
Для определения частного решения задача формулируется следующим образом: найти
решение уравнения:
y by 0 , если y ( x0 ) y0 .
Такая постановка задачи называется задачей с начальным условием для дифференциального
уравнения или задачей Коши. Эта задача имеет единственное решение, которое определяется
формулой
y y0e bx .
Рассмотрим теперь случай неоднородного дифференциального уравнения первого
порядка с постоянными коэффициентами.
Найти решение уравнения
(5)
y by c
с начальным условием
y ( x0 ) y0 .
c
Предположим, что b 0 и введем новую неизвестную z y
. Получим однородное
b
уравнение:
c
z b z
c или z bz 0 .
b
c
Решением этого уравнения является функция z z0e bx , где z0 y0
.
b
9
Сделав обратную замену, получим решение неоднородного дифференциального
уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами при заданном начальном условии:
с bx с
(6)
yx
y0
e
,b 0.
b
b
Если в уравнении (5) b 0 , то его решением при заданном начальном условии имеет
вид:
y( x) cx y0 .
Решение (6) состоит из двух функций
с bx
с
e и y2 x
.
b
b
Решение y2 x назовем равновесным, оно получается из уравнения (5) при y 0 . Поэтому
решение (6) уравнения (5) представляют как сумму равновесного значения y2 x и отклонения
y1 x от равновесного значения. Это отклонение убывает экспоненциально с ростом x при
b 0 . Такое решение называется асимптотически устойчивым (рис. 3). Если же b 0 , то
отклонение y2 x увеличивается с ростом x и называется неустойчивым (рис. 4).
y1 x
y0
Y
b
0
b
0
с
b
O
X
Рис. 3
Y
b
0
b
0
с
b
O
X
Рис. 4
Динамическая модель Вальраса
Рассмотрим динамическую модель устойчивости рынка одного товара. Имеется
несколько продавцов и несколько покупателей товара. Объявляется цена p на товар, после
чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене. Суммарное
количество товара, выставляемое на продажу при данной цене, называется предложением и
10
обозначается S ( p) . Каждый покупатель также сообщает, сколько товара он собирается купить
при данной цене. Сумма потребностей покупателей в дальнейшем называется спросом и
обозначается D( p) .
Разность между спросом и предложением называется избыточным спросом и
обозначается E( p) D( p) S ( p) . Если избыточный спрос положителен, то цена растет до тех
пор, пока не будет достигнуто равновесие, которое определяется равенством спроса и
предложения, то есть равенством
D( p) S ( p) или E( p) 0 .
При отрицательном избыточном спросе предложение избыточное, поэтому цена снижается,
пока не наступит равновесие. Кроме того, предположим, что скорость изменения цены во
времени пропорциональна избыточному спросу: малый избыточный спрос вызовет медленное
увеличение цены товара, большой избыточный спрос – быстрое увеличение цены, малое
избыточное предложение – медленное понижение цены и т. д. Отсюда следует уравнение
dp
kE p ,
dt
где k - положительный коэффициент пропорциональности.
Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены:
, S ( p) p
D( p)
p
и в начальный момент времени цена товара p(0) p0 . Тогда, получим дифференциальное
уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
p t k
pt k
с начальными условиями
p(0) p0 .
Его решение
pt
p0
e
k
t
устойчиво, если
0 и неустойчиво при
0.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными
коэффициентами
Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с
переменными коэффициентами
y p( x) y f ( x) .
Найдем сначала решение однородного уравнения:
y p( x) y 0 .
Разделим переменные
dy
p x dx ,
y
и после интегрирования получим
ln | y |
p x dx ln | C | ,
y
Ce
p x dx
,
где С - неопределенная константа, которую можно найти из начального условия.
Найдем теперь решение неоднородного линейного дифференциального уравнения
первого порядка с переменными коэффициентами. Применим для этого метод вариации
произвольной постоянной.
11
(7)
(8)
Решение уравнения (7) будем искать в виде, подобном решению однородного уравнения,
заменив в формуле (8) произвольную постоянную С на неизвестную функцию C(x) .
Подставим функцию
y C ( x)e p x dx
в уравнение (7):
y x
C xe
p x dx
p x dx
C xe
p x dx
px ,
p x dx
C xe
pxC xe
pxC xe
Отсюда получаем уравнение относительно функции C(x) :
C xe
p x dx
p x dx
f x .
f x .
Решив его,
C x
f x e
p x dx
dx ,
находим и общее решение уравнения (7):
yx
e
p x dx
f xe
p x dx
dx .
1
y x c начальным условием y(3) 2 .
x
Решим сначала однородное уравнение
1
y
y 0:
x
dy dx
dy y
C
0,
.
0 , ln | y | ln | x | ln | c | , y
dx x
x
y
x
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде
C ( x)
y
.
x
Так как
C ( x) С x
y
x
x2
и, подставив y и y в исходное уравнение, получим:
C ( x) С x С x
x или C ( x) x 2 .
2
2
x
x
x
Значит,
x3
С x
C
3
x2 C
и общее решение исходного уравнения: y
.
3 x
3 и получим
Из начального условия найдем значение неопределенной константы C
2
x
3
окончательный ответ: y
.
3 x
Пример 4. Решить уравнение y
12
1.6. Дифференциальные уравнения Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение
y p ( x) y q ( x) y m , m
Это уравнение заменой u
y1
m
0 , m 1.
сводится к линейному уравнению. Действительно,
y
u
1
1 m
1
1 m
u
1
, y
m
1 m
1
u
m
p( x)u
u
1
1 m
m
1 m
u ,
q( x)u
m
1 m
.
m
Умножив последнее уравнение на 1 m и разделив на u 1 m , получим линейное уравнение
u (1 m) p( x)u (1 m)q( x).
Пример 4. Решить уравнение y
Это уравнение Бернулли ( m
1
c начальным условием y(0) 0 .
y
y
1 ) сделаем замену u
y 2 . Отсюда y
u, y
1
2 u
u .
Получим уравнение
1
u
u
1
,
u
2 u
1
затем умножим его на 2 и разделим на
:
u
u 2u 2 .
Это линейное неоднородное уравнение. Решим его методом вариации произвольной
постоянной.
du
2dx 0 , ln | u | 2dx ln | C | , u Ce 2 x .
u 2u 0 ,
u
u C ( x)e 2 x , u C ( x)e 2 x 2C ( x)e 2 x , C ( x)e 2 x 2C ( x)e 2 x 2C ( x)e 2 x 2 ,
C ( x )e
Общее решение y
частное решение y
1 e
2x
2 , C ( x)
1 C1e
2x
2x
2e2 x dx e2 x
C1 , u 1 C1e
2x
. Из начального условия найдем С1
.
1 . Окончательно,
.
1.7. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть его есть полный
дифференциал некоторой функции u( x, y) , т.е.
P( x, y)dx Q( x, y)dy du( x, y) .
Тогда уравнение можно записать в виде
du( x, y) 0
и его общий интеграл определяется равенством
u( x, y) С .
13
Для того, чтобы уравнение было в полных дифференциалах необходимо и достаточно
выполнение равенства
P( x, y)
Q( x, y)
.
y
x
Действительно, запишем равенство
u( x, y)
u( x, y)
du( x, y)
dx
dy .
x
y
Отсюда следует
u( x, y)
u( x, y)
P( x, y),
Q( x, y) .
x
y
xdy ydx
0.
Пример 5. Решить уравнение
x2
Из уравнения следует
y
y
C.
d
0и
x
x
Пример 6. Решить уравнение ( x 1)dx ( y 2)dy 0 .
Из свойств дифференциала получаем
( x 1)d ( x 1) ( y 2)d ( y 2) 0 ,
( x 1) 2
d
2
d
( x 1) 2
2
( y 2) 2
d
2
( y 2) 2
2
0,
0,
( x 1)2 ( y 2)2
С.
2
2
Пример 7. Найти общий интеграл уравнения
(3x 2 6 xy2 )dx (6 x 2 y 4 y 3 )dy 0 .
Покажем, что это уравнение в полных дифференциалах. Действительно, для
коэффициентов уравнения
P( x, y) 3x 2 6 xy2 и Q( x, y ) 6 x 2 y 4 y 3
вычислим производные
P( x, y)
Q ( x, y )
12 xy
12 xy и
x
y
и равенство
P ( x, y )
y
Q ( x, y )
x
выполняется.
Теперь уравнение преобразуем последовательно
3x 2 dx 6 xy2 dx 6 x 2 ydy 4 y 3dy 0 ,
dx3 6 xy( ydx xdy) dy4 0 ,
dx3 d (3( xy) 2 ) dy4 0 ,
d ( x 3 3( xy) 2 y 4 ) 0 .
Значит,
x3 3( xy)2 y 4 C .
14
Пример 8. Решить уравнение (2 xy 5)dx (3 y 2 x 2 )dy 0 .
Для коэффициентов уравнения
P( x, y ) 2 xy 5, Q( x, y ) 3 y 2 x 2
частные производные равны:
P( x, y)
Q ( x, y )
2x .
2x и
x
y
Следовательно, исходное уравнение – уравнение в полных дифференциалах.
Найдем функцию u( x, y) , дифференциал которой представляет левую часть уравнения.
Запишем равенства
u ( x, y)
u ( x, y)
2 xy 5,
3 y 2 x2 .
x
y
Интегрируем первое равенство:
,
где (y) - неопределенная функция. Эту функцию найдем из второго равенства:
u( x, y)
( x 2 y 5x
( y)) y 3 y 2 x 2 ,
y
2
x
( y) 3 y 2 x 2 , ( y) 3 y 2 , ( y) y 3 C ,
u ( x, y ) x 2 y 5 x y 3 C .
Общий интеграл уравнения
x2 y 5x y3 C .
1.8. Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения второго порядка записываются в виде
F ( x, y, y , y ) 0
или в виде
y
f ( x, y, y ) .
Общим решением этого уравнения называется функция
y y( x, C1 , C2 ) ,
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Для определения частного решения задают начальные условия (задача Коши):
y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 .
Дифференциальные уравнения второго порядка можно решать методом понижения
порядка.
Пусть дано уравнение
y
f (x) .
Порядок этого уравнения понизим заменой
y g (x) .
Тогда
y g (x)
и получим уравнение первого порядка
g ( x) f ( x) .
Решив это уравнение, найдем функцию
g g (x)
и теперь необходимо решить уравнение
y g (x) .
В итоге получим общее решение дифференциального уравнения второго порядка.
15
Пример 9. Найти общее решение уравнения y
Пусть y g (x) , тогда решим уравнение
2x 1.
(2 x 1)dx
x2
x C1 .
x C1 )dx , y
x3
3
x2
2
g ( x) 2x 1 , g ( x)
Теперь решим уравнение
y
x
2
x C1 , dy
(x
2
Рассмотрим теперь уравнение
C1 x C2 .
y
f ( x, y ) ,
не содержащее явно неизвестную функцию y .
Заменим
y g (x) ,
тогда
y g (x)
и получим уравнение первого порядка
g f ( x, g ) .
Пусть функция g ( x)
( x, C1 ) - общее решение этого уравнения и решив уравнение
y
( x, C1 ) ,
получим общее решение дифференциального уравнения второго порядка
y
( x, C1 )dx C2 .
y
.
х
g (x) и получим уравнение
g
g
.
x
Пример 11. Решить уравнение y
Пусть y
g (x) , тогда y
Решим его:
dg
g
dx
, ln | g | ln | x | ln | C1 | ,.
x
И найдем решение уравнения
y
C1 2
x
2
C1 x , y
С2 .
1.9. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Уравнение
(1)
y py qy f (x) ,
где p, q - действительные числа, f (x) - заданная функция, называется линейным неоднородным
дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если
f (x) 0 , то уравнение называется однородным.
Доказано, что существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее
условиям:
y ( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 ,
где x0 , y0 , y0 - действительные числа.
Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Пусть дано однородное уравнение
16
y
py
(2)
qy 0 .
Уравнение
2
p
q 0
называется характеристическим уравнением уравнения (2). В зависимости от корней 1 и 2
характеристического уравнения записывается общее решение уравнения (2).
Если корни характеристического уравнения 1 и 2 действительны и различны, то
общее решение имеет вид:
y( x) C1e 1 x C2e 2 x ,
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Если характеристическое уравнение имеет один действительный корень 1 кратности, то
общее решение имеет вид:
y ( x) (C1 C2 x)e 1 x ,
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни 1
i и 2
i ,
то общее решение имеет вид:
y( x) (C1 sin x C2 cos x)e x ,
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Пример 12. Найти решение дифференциального уравнения y 3 y 2 y 0 с
начальными условиями y(0) 3 , y (0) 4 .
Запишем характеристическое уравнение:
2
3 2 0.
Найдем его корни: 1 1 и 2 2 .
Общее решение дифференциального уравнения:
y ( x) C1e x C2e2 x ,
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Найдем постоянные C1 и C2 из начальных условий:
y(0) C1 C2 3 и y (0) C1 2C2 4 .
Из системы уравнений
C1 C2 3,
C1 2C2
4
получим C1 2 и C2 1 .
Решение исходного уравнения :
y( x) 2e x e2 x .
Пример 13. Решить дифференциальное уравнение y 2 y
условиями y(0) 1 , y (0) 0 .
Характеристическое уравнение
2
2 1 0.
имеет один корень 1 1 кратности два.
Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y ( x) (C1 C2 x)e x ,
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Найдем постоянные C1 и C2 из начальных условий:
17
y 0 с начальными
y(0) C1 1 и y (0) C1 C2 0 , C2
1.
Решение исходного уравнения:
y ( x) (1 x)e x .
Пример 14. Решить дифференциальное уравнение y 2 y 2 y 0 с начальными
условиями y(0) 1 , y (0) 1 .
Характеристическое уравнение
2
2 2 0.
имеет два комплексных корня 1 1 i и 2 1 i . Следовательно,
1и
1
Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y( x) (C1 sin x C2 cos x)e x ,
где C1 и C2 - произвольные постоянные.
Найдем постоянные C1 и C2 из начальных условий:
y(0) C2 1 и y (0) C1 C2 1 , C2 1 .
Решение исходного уравнения:
y ( x) e x cos x .
Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами
y py qy f (x)
и соответствующее ему однородное уравнение
y py qy 0 .
(1)
(2)
Пусть y * ( x ) - частное решение неоднородного уравнения (1), y (x ) - общее решение
однородного уравнения (2), тогда общее решение y(x) неоднородного уравнения (1) находится
по формуле
y ( x) y* ( x) y (x ) .
Если правая часть уравнения (1) – функция f (x) общего вида, то частное решение y * ( x )
можно находить методом вариации произвольных постоянных. Для случаев, когда f (x) имеет
специальный вид, применяется метод неопределенных коэффициентов.
Этот метод состоит в том, что по виду функции f (x) определяется предполагаемое
решение y * ( x ) с неопределенными коэффициентами и подставляется в решение (1) а затем из
полученного тождества находятся неопределенные коэффициенты.
1. Пусть уравнение (1) имеет вид
y py qy Pn ( x)e x ,
где Pn (x ) - алгебраический многочлен степени n .
В этом случае частное решение y * ( x ) ищется в виде
y * x r Qn ( x)e x ,
где r - число, равное кратности как корня характеристического уравнения 2 p
Qn (x) - алгебраический многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.
2. Если уравнение (1) имеет вид
y
py qy ( Pn ( x) sin x Qm ( x) cos x)e x ,
18
q
0,
где Pn (x ) и Qm (x) - алгебраические многочлены степени n и m соответственно, то решение
y * ( x ) ищется в виде
y*
где r - число, равное кратности
x r ( Rk ( x) sin x S k ( x) cos x)e x ,
i как корня характеристического уравнения
p
q 0 , Rk (x) , S k (x) - алгебраические многочлены степени k (k
неопределенными коэффициентами.
2
19
max(n, m)) с
1.9. Применение дифференциальных уравнений в экономике
Рассмотрим рынок одного товара. В простых моделях функции спроса D(t ) и
предложения S (t ) зависят от текущей цены на товар p(t ) . Однако в реальных ситуациях
спрос и предложение зависят от скорости изменения цены и темпа изменения цены. Тогда в
моделях такие свойства описываются первой и второй производной функции цены p(t ) . Для
решения таких задач применяются дифференциальные уравнения.
1. Спрос и предложение зависят от цены и скорости изменения цены.
Пусть функции спроса и предложения имеют вид:
D(t ) a1 b1 p(t ) c1 p (t ) , S (t ) a2 b2 p(t ) c2 p (t ) ,
где a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 - числа. Найти равновесную цену в зависимости от времени t , если в
начальный момент времени p(0) p0 .
Из условия равновесия спроса и предложения получим дифференциальное уравнение
первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем решение его
a1 b1 p(t ) c1 p (t ) a2 b2 p(t ) c2 p (t ) ,
(c1 c2 ) p (t ) (a2 a1 ) (b2 b1 ) p(t ) ,
dp(t )
(c1 c2 )
(a2 a1 ) (b2 b1 ) p(t ) ,
dt
(c1 c2 )dp(t )
dt ,
(a2 a1 ) (b2 b1 ) p(t )
(c1 c2 )
ln | (a2 a1 ) (b2 b1 ) p(t ) | t C , C - произвольная постоянная,
(b2 b1 )
(b2 b1 )
ln | (a2 a1 ) (b2 b1 ) p(t ) |
(t C ) ,
(c1 c2 )
(a2
p(t )
p(t )
a1 ) (b2 b1 ) p(t ) e
(a1 a2 )
(b2 b1 )
(a1 a2 )
(b2 b1 )
1
(b2
b1 )
1
(b2
b1 )
e
( b2 b1 )
(t C )
( c1 c 2 )
e
e
( b2 b1 )
t
c2 )
p (t )
b2 b1
Если c1 c2
0 , то lim p (t )
t
р0
a a2
lim 1
t
b2 b1
a2
b2
р0
растет.
20
,
( b2 b1 ) ( b2 b1 )
t
C
( c1 c 2 ) ( c1 c 2 )
(a1 a2 )
1
p(t )
C1
e ( c1
(b2 b1 )
(b2 b1 )
Найдем константу C1 из начального условия:
(a1 a2 )
1
p(0)
C1
p0 , C1
(b2 b1 )
(b2 b1 )
a1 a2
b2 b1
,
( b2 b1 )
(t C )
( c1 c 2 )
, C1
e
,
( b2 b1 )
C
( c1 c 2 )
.
p0 (b2 b1 ) (a2
b2 b1
t
c2
a1 c1
e
b1
a2
b2
a1 ) ,
.
b2 b1
t
c2
a1 c1
e
b1
, то равновесная цена
b2 b1
Если c1 c2
0
, то lim p (t )
t
a a2
lim 1
t
b2 b1
р0
a2
b2
b2 b1
t
c2
a1 c1
e
b1
a1 a2
и равновесная
b2 b1
a1 a2
(рис. 5). Это приближение может быть
b2 b1
a2 a1
0 , или снизу, если р0
0.
b2 b1
цена приближается к фиксированному значению
сверху, если р0
a2 a1
b2 b1
p
a1 a2
b2 b1
O
t
Рис. 5
2. Спрос и предложение зависят от цены, скорости изменения и темпа изменения
цены.
Пусть функции спроса и предложения зависят от цены и еѐ производных:
D(t ) 3 p p 2 p 18 , S (t ) 4 p p 3 p 3
и в начальный момент времени известны цена и скорость еѐ изменения:
p(0) 4, p (0) 1 .
Необходимо найти зависимость цены от времени.
Темп изменения цены стимулирует спрос. Если темп растет, при этом p 0 , то
покупатели проявляют повышенный интерес к товару. Поэтому в функции спроса коэффициент
при p положителен. Предложение в большей мере усиливается темпом изменения цены.
Поэтому в функции предложения S (t ) коэффициент при p также положителен, но он больше,
чем в функции D(t ) .
Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому коэффициент при p
отрицательный. При этом предложение увеличивается и в функции S (t ) коэффициент при p
положителен.
21
1.10. Задачи для состоятельного решения
В следующих задачах для заданных функций спроса и предложения
D(t ) a1 b1 p(t ) c1 p (t ) , S (t ) a2 b2 p(t ) c2 p (t ) ,
найти зависимость равновесной цены от времени t , если в начальный момент времени
p(0) p0 . Построить график функции p(t ) . Выяснить, является ли равновесная цена
устойчивой.
А.1. D(t ) 60 2 p(t ) 3 p (t ) , S (t ) 40 2 p(t ) p (t ) , p(0) 20 .
А.2. D(t ) 40 p(t ) 3 p (t ) , S (t ) 30 3 p(t ) 2 p (t ) , p(0) 4 .
А.3. D(t ) 140 p(t ) 4 p (t ) , S (t ) 120 4 p(t ) 5 p (t ) , p(0) 100 .
А.4. D(t ) 110 p(t ) 4 p (t ) , S (t ) 100 5 p(t ) 2 p (t ) , p(0) 80 .
А.5. D(t ) 30 2 p(t ) 4 p (t ) , S (t ) 22 4 p(t ) 3 p (t ) , p(0) 60 .
А.6. D(t ) 40 3 p(t ) 5 p (t ) , S (t ) 30 2 p(t ) 4 p (t ) , p(0) 50 .
Ответы.
А.1. p (t ) 15e
2t
5, lim p(t )
t
А.3. p(t ) 10 90e
А.5. p(t )
4
3
2
t
10
5. А.2. p (t )
5 e
, lim p (t ) 10. А.4. p(t )
t
146 2t
e , lim p(t )
t
3
. А.6. p (t )
2
t
5
5
2
, lim p (t )
t
5.
155 2t
e , lim p(t )
t
2
2 48e5t , lim p (t )
t
22
.
.