Е. В. Мамонтов ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА 2-ПОДМОДЕЛЕЙ КЛАССА S УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

УДК 533; 517.958
Е. В. Мамонтов
ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА 2-ПОДМОДЕЛЕЙ КЛАССА S
УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ∗
Для системы уравнений газовой динамики с общим уравнением состояния рассматриваются
инвариантные 2-подмодели (подмодели с двумя независимыми переменными) стационарного
класса. Проводится групповой анализ этих подмоделей: указываются допускаемые операторы,
преобразования эквивалентности и осуществляется групповая классификация.
Ключевые слова: газовая динамика, инвариантная подмодель, допускаемая группа, преобразования эквивалентности.
Как известно [1, 2], все инвариантные 2-подмодели (подмодели с двумя независимыми переменными) уравнений газовой динамики приводятся к одной из двух систем:
системе уравнений E эволюционного класса или системе уравнений S стационарного
класса. Все такие подмодели получаются относительно двухпараметрических подгрупп,
отвечающих подалгебрам L2,l из табл. 6 работы [3] (ниже нумерация из табл. 6 используется при ссылках на соответствующую подмодель).
Системы уравнений стационарного класса (класса S) получаются из подмоделей 2.1–
2.7, 2.11–2.19 и имеют вид
1
1
b11 Pξ + b12 Pη − a1
R
R
1
1
U Vξ + V Vη + b12 Pξ + b22 Pη − a2
R
R
1
1
U Wξ + V Wη + b31 Pξ + b32 Pη − a3
R
R
U Rξ + V Rη + R(Uξ + Vη ) − Ra4
U Uξ + V Uη +
=0
=0
=0
(1)
=0
U Pξ + V Pη + A(R, P )(Uξ + Vη ) − A(R, P )a4 = 0
где bij = bij (ξ, η); функции ai = ai (ξ, η, U, V, W ) — линейные или квадратичные функции
по переменным U, V, W ; A(R, P ) = Rc2 — заданная функция (c = c(R, P ) — скорость
звука). В случае политропного газа A = γ P .
Некоторые из рассматриваемых подмоделей были проанализированы ранее [4, 6].
Система уравнений (1) принадлежит классу систем, рассмотренных в [5], где обсуждались вопросы групповой классификации систем с произвольными правыми частями.
Было отмечено, что окончательная классификация зависит от конкретного вида правых
частей уравнений системы.
∗
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект 05-01-00080), Федерального агенства по науке и инновациям РФ (проект НШ-5245.2006.1 ) и
Сибирского отделения РАН (интеграционный проект № 2.15 ).
ISSN 1818-7897. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7, вып. 1. C. 72–84
c Е. В. Мамонтов, 2007
Групповые свойства 2-подмоделей класса S уравнений газовой динамики
73
В настоящей работе в рамках программы ПОДМОДЕЛИ анализируются инвариантные подмодели стационарного класса в случае общего уравнения состояния. Указываются операторы, допускаемые системой подмодели, преобразования эквивалентности, и
проводится групповая классификация. Для всех подмоделей b11 b22 − b212 > 0. Инвари-
антные переменные ξ, η, U, V, W, R, P и коэффициенты bij , ai для каждой из подмоделей
описаны в [2]. Выбор инвариантных переменных не однозначен.
Вне рамок статьи остались вопросы интерперетации соответствующих инвариантных решений, анализ моделей для специальных уравнений состояния. Это может стать
предметом последующих исследований.
Приведем зависимые U, V, W и независимые ξ, η инвариантные переменные, коэффициенты и правые части рассматриваемых подмоделей (α, β = const). При этом r =
p
z
= y 2 + z 2 , ϑ = arctg . Для подмоделей 2.1, 2.4, 2.12 более удобными оказываются
y
переменные, отличные от указанных в [2].
Подмодель 2.1 (α 6= 0).
ξ = x e−α ϑ ,
η = r e−α ϑ ,
ξ
w,
η
V = v − α w,
W = w,
α2 ξ
αξ
, b22 = 1 + α2 , b31 = − , b32 = −α;
η
η
2
α ξ
α
2αξ
α
1 + α2 2
a1 = 2 W 2 − U W + 2 V W, a2 = V W +
W ,
η
η
η
η
η
2α
α
VW
1
, a4 = − V −
W.
a3 = − W 2 −
η
η
η
η
b11 = 1 + α2
ξ2
,
η2
U =u−α
b12 =
Подмодель 2.2.
r
ξ = , η = x − α ϑ − β ln |t|,
t
b11 = 1,
b12 = 0,
1 2
W ,
ξ
1
a4 = −3 − U.
ξ
a1 = −U +
r
U =v− ,
t
α2
,
ξ2
V =u−
x αt
−
w − β,
t
r
W = w,
α
b32 = − ,
ξ
α
α
1
a2 = −β − V − W + 2 2 W, a3 = −W − U W,
ξ
ξ
ξ
b22 = 1 +
b31 = 0,
Подмодель 2.3 (α 6= 0).
r
αt
1
r αϑ
x
ξ = t e−α ϑ , η = ,
U =1−
w, V =
v−
e , W =u− ,
t
r
t
t
t
α2
1
b11 = 2 , b12 = 0, b22 = 2 , b31 = 0, b32 = 0,
η
ξ
1 2
1
1
η
a1 = (1 − U )
+ V , a2 = − V − U V + 2 2 (1 − U ),
ξ η
ξ
ξ
ξ α
1
3 1
a3 = − W, a4 = − − V.
ξ
ξ η
Подмодель 2.4 (α 6= 0).
r
ln |t|
ξ = , η =ϑ−
,
t
α
U = u − β ϑ,
b11 = 1,
V =v−
b12 = 0,
r
,
ϑ
b22 =
W =
1
,
ξ2
t
1
w− ,
r
α
b31 = 0,
b32 = 0,
74
Е. В. Мамонтов
a1 = −U + ξ
a3 = −
U
1
, a2 = − 2 + 1
V +
,
ξ
α
U
a4 = − 2 +
.
ξ
1
+V
α
β
− β V,
α
2
Подмодель 2.5.
ξ = x,
η = r,
b11 = 1,
U = u,
V = v,
W = w,
b12 = 0, b22 = 1, b31 = 0, b32 = 0,
1
1
1
a2 = W 2 , a3 = − V W, a4 = − V.
η
η
η
a1 = 0,
Подмодель 2.6.
ξ = r,
b11 = 1,
a1 =
η = x − ϑ,
b12 = 0,
1 2
W ,
ξ
V =u−
U = v,
b22 = 1 +
2
U W,
ξ2
a2 =
1
,
ξ2
1
w,
r
W = w,
1
b32 = − ,
ξ
1
a4 = − U.
ξ
b31 = 0,
1
a3 = − U W,
ξ
Подмодель 2.7.
η =x−
ξ = r,
b11 = 1,
a1 =
t2
− α ϑ,
2
b12 = 0,
1 2
W ,
ξ
a2 =
U = v,
b22 = 1 +
α2
,
ξ2
2α
U W − 1,
ξ2
α
w,
r
α
=− ,
ξ
V =u−t−
b31 = 0,
b32
1
a3 = − U W,
ξ
W = w,
1
a4 = − U.
ξ
Подмодель 2.11.
ξ = ϑ − t,
η = r,
1
, b12 = 0,
η2
2
a1 = − V (U + 1),
η
b11 =
U=
w
− 1,
r
b22 = 1,
V = v,
b31 = 0,
a2 = η (U + 1)2 ,
W = u − β t,
b32 = 0,
a3 = −β,
1
a4 = − V.
η
Подмодель 2.12.
y
z
, η= ,
U = v − ξ u, V = w − η u, W = w,
x
x
= 1 + ξ 2 , b12 = ξη, b22 = 1 + η 2 , b31 = −ξ, b32 = −η,
ξ=
b11
a1 = −U W,
a2 = −V W,
a3 = 0,
a4 = −2W.
Подмодель 2.13.
y
z
, η= ,
t
t
= 1, b12 = 0,
ξ=
b11
a1 = −U,
y
z
x
U =v− , V =w− , W =u− ,
t
t
t
b22 = 1, b31 = 0, b32 = 0,
a2 = −V,
a3 = −W,
a4 = −3.
Групповые свойства 2-подмоделей класса S уравнений газовой динамики
75
Подмодель 2.14 (α 6= 0).
z
y
y
− α ln |t|, η = ,
U = v − − α,
t
t
t
= b22 = 1, b12 = b31 = b32 = 0,
z
V =w− ,
t
ξ=
b11
a1 = −(U + α),
a2 = −V,
a3 = −W,
W =u−
x
,
t
a4 = −3.
Подмодель 2.15 (α 6= 0).
y
z
y
− α ln |t|, η = ,
U = v − − α,
t
t
t
= b22 = 1, b12 = 0, b31 = b32 = 0,
z
V =w− ,
t
ξ=
b11
a1 = −(U + α),
a2 = −V,
a3 = −β,
W = u − β ln |t|,
a4 = −2.
Подмодель 2.16 (α 6= 0).
y
z
y
z
, η= ,
U =v− , V =w− ,
t
t
t
t
= b22 = 1, b12 = 0, b31 = b32 = 0,
ξ=
b11
a1 = −U,
a2 = −V,
a3 = −β,
W = u − β ln |t|,
a4 = −2.
Подмодель 2.17.
ξ = y,
η = z,
b11 = b22 = 1,
U = v,
b12 = 0,
V = w,
W = u,
b31 = b32 = 0,
a1 = a2 = a3 = a4 = 0.
Подмодель 2.18.
t2
, η = y,
U = u − t, V = v, W = w − α t,
2
= b22 = 1, b12 = 0, b31 = b32 = 0, a1 = −1, a2 = a4 = 0,
ξ =x−
b11
a3 = −α.
Подмодель 2.19.
ξ = y,
η = z,
b11 = b22 = 1,
U = v,
b12 = 0,
V = w,
W = u − t,
b31 = b32 = 0,
a1 = a2 = a4 = 0,
a3 = −1.
Операторы алгебры Ли, допускаемой системой (1), ищутся в виде
X = αξ ∂ξ + αη ∂η + αU ∂U + αV ∂V + αW ∂W + αR ∂R + αP ∂P .
Все коэффициенты α — функции переменных ξ, η, U, V, W, R, P . Продолженный операe записывается следующим образом:
тор X
где
e = X + ζ Uξ ∂U + . . . + ζ Pη ∂Pη ,
X
ξ
ζ Uξ = Dξ (αU ) − Uξ Dξ (αξ ) − Uη Dξ (αη ),
ζ Uη = Dη (αU ) − Uξ Dη (αξ ) − Uη Dη (αη ),
76
Е. В. Мамонтов
..............................
ζ Rξ = Dξ (αR ) − Rξ Dξ (αξ ) − Rη Dξ (αη ),
ζ Rη = Dη (αR ) − Rξ Dη (αξ ) − Rη Dη (αη );
Dξ , Dη — операторы полного дифференцирования:
Dξ = ∂ξ + Uξ ∂U + Vξ ∂V + Wξ ∂W + Pξ ∂P + Rξ ∂R ,
Dη = ∂η + Uη ∂U + Vη ∂V + Wη ∂W + Pη ∂P + Rη ∂R .
Подействуем продолженным оператором на систему (1). После подстановки выражений для коэффициентов ζ и исключения производных Uη , Vξ , Wξ , Rξ , Pξ , взятых из
системы (1), получим пять равенств. Приравнивание к нулю коэффициентов при квадратичных слагаемых по производным Uξ , Vη , Wη , Rη , Pη дает «2-уравнения», при линейных слагаемых — «1-уравнения». Остальные слагаемые приводят к «0-уравнениям».
В результате интегрирования 2-, 1-уравнений находим
αξ = αξ (ξ, η),
αη = αη (ξ, η),
!
η
ξ
α
α
η
ξ
(b11 b22 − b212 )
+
=
b11 b22
αξ b22ξ + αη b22η
b12 αξ b11ξ + αη b11η
= αξ b12ξ + αη b12η −
+
,
2
b11
b22
b12 ξ b11ξ αξ + b11η αη
α −
=
b11 η
2b11
b12 η b22ξ αξ + b22η αη
= αηη +
α −
,
b22 ξ
2b22
αξξ +
αU = U ω + U αξξ + V αξη ,
αV = V ω + U αηξ + V αηη ,
W
αW = U αW
1 + V α2 + ζ,
αR = R αPP − 2ω − 2ν ,
αP = αP (ξ, η, P ).
Классифицирующие соотношения имеют вид
AP αP + AR R αPP − 2ω − 2ν = A αPP ,
A αPP P = 0.
Если b12 = 0 (для большинства подмоделей), то
b22ξ
b11ξ
b11η
b22η
η
ξ
ξ
ξ
η
b22 αη + b11 αξ = 0, αξ +
−
α = αη +
−
αη .
2b22 2b11
2b11 2b22
Здесь и ниже
ω = ω(ξ, η, σ, τ, S(R, P )),
ζ = ζ(ξ, η, σ, τ, S(R, P )),
σ = (b12 b32 − b22 b31 ) U + (b12 b31 − b11 b32 ) V + (b11 b22 − b212 ) W,
τ = b22 U 2 − 2b12 U V + b11 V 2 + 2(b11 b22 − b212 ) µ(R, P ),
Групповые свойства 2-подмоделей класса S уравнений газовой динамики
ν = αξξ +
αW
1
b11 b22 − b212
+
αW
2
b12 ξ b11ξ αξ + b11η αη
b12 η b22ξ αξ + b22η αη
αη −
= αηη +
α −
,
b11
2b11
b22 ξ
2b22
b12 (b31 αηξ + b32 αηη ) − b22 (b31 αξξ + b32 αξη )
=
+
(b22 b31 − b12 b32 )(2ν + ω) + b22 (b31ξ αξ + b31η αη ) − b12 (b32ξ αξ + b32η αη )
,
b11 b22 − b212
b12 (b31 αξξ + b32 αξη ) − b11 (b31 αηξ + b32 αηη )
=
77
b11 b22 − b212
+
(b11 b32 − b12 b31 )(2ν + ω) + b11 (b32ξ αξ + b32η αη ) − b12 (b31ξ αξ + b31η αη )
,
b11 b22 − b212
A
A SP + R SR = 0, A µP + R µR = .
R
+
0-уравнения не приводятся ввиду громоздкости.
Ядра допускаемых алгебр (пересечение алгебр, допускаемых системами с различными функциями A) перечислены в табл. 1. Известно [3], что в ядрах заведомо содержатся
факторы нормализаторов, вычисляемые непосредственно по подалгебрам, порождающим подмодель. Расширение фактора нормализатора в ядре указано в последней графе табл. 1.
Таблица 1
Подмодель
Фактор нормализатора
Дополнительные
операторы
2.1
Z4
–
2.2
Z2
–
2.3
Z5
Z10
2.4
Z2 , Z3
–
2.5
Z1 , Z4
–
2.6
Z2
–
2.7
Z2
–
2.11
Z1 , Z3
–
2.12
Z6 , Z7 , Z8
–
2.13
Z1 , Z2 , Z7
Z10
2.14
Z1 , Z2
Z10
2.15
Z1 , Z2 , Z3
–
2.16
Z1 , Z2 , Z7
Z9
2.17
Z1 , Z2 , Z4 , Z7
Zζ
2.18
Z1 , Z2 , Z3
Z9
2.19
Z1 , Z2 , Z3 , Z7
Z11
Для специальных уравнений состояния возможны расширения ядра допускаемых
алгебр. В табл. 2, 3 приведены все возможные расширения (F — произвольная функция).
78
Е. В. Мамонтов
Операторы
Z1 = ∂ξ ,
Z2 = ∂η ,
Z6 = ξη∂ξ + 1 + η
2
Z3 = ∂W ,
Z4 = ξ ∂ξ + η ∂η ,
Z5 = ξ ∂ξ − V ∂V ,
∂η + ξV ∂U + ηV ∂V − (V + ηW ) ∂W ,
Z7 = ξ∂η − η∂ξ + U ∂V − V ∂U ,
Z8 = 1 + ξ 2 ∂ξ + ξη∂η + ξU ∂U + ηU ∂V − (U + ξW ) ∂W ,
Z9 = ζ(S(R, P )) ∂W ,
Z10 = ζ(S(R, P )) W ∂W ,
Z11 = ξ ∂ξ + η ∂η + W ∂W ,
Zζ = ζ(W )) ∂W
принадлежат ядрам допускаемых групп, а операторы
Y1 = R∂R + P ∂P ,
Y2 = ∂P ,
Y3 = ξ ∂ξ + U ∂U − 2R ∂R ,
Y4 = η ∂η + V ∂V − 2R ∂R ,
Y5 = ξ ∂ξ + η ∂η + U ∂U + V ∂V + W ∂W − 2R ∂R ,
Y6 = U ∂U + V ∂V − W ∂W − 2R ∂R ,
Y7 = U ∂U + V ∂V − 2R ∂R ,
Y8 = 2ξ ∂ξ + 2η ∂η + U ∂U + V ∂V + W ∂W − 2R ∂R ,
Y9 = ξ ∂ξ + η ∂η + U ∂U + V ∂V − 2R ∂R ,
Yζ = ζ(S(R, P )) ∂W ,
Yg = Rg0 (P ) ∂R + g(P ) ∂P
ζ(S(R, P )) — произвольная функция, являются «расширяющими».
Таблица 2
Подмодель
A
2.1
2.2, α = β = 0
2.2, α2 + β 2 > 0
P F (P R−γ )
–
–
P F (P R−1 )
(γ − 1)Y5 + 2γY1
Y1
Y1
Y1
F (P )
−−
Y5
–
P F (R)
−−
2Y1 + Y5
–
Y1
Y1 , Y5
Y1
F (R e−P )
–
Y5 − 2Y2
–
F (R)
Y2
Y2
Y2
γRγ
Y2
Y2
R
Y1 , Y2
Y2 , (γ − 1)Y5 + 2γY1
1
0
γP
Y1 , Y2
Y1 , Y2
Y2
Y2 , Y5
Y2
Yg
Y5 , Yg
Yg
Групповые свойства 2-подмоделей класса S уравнений газовой динамики
79
Таблица 2 (продолжение)
Подмодель
A
2.7, 2.18
2.11
2.16
P F (P R−γ )
2γY1 + (γ − 1)Y8
2γY1 + (γ − 1)Y4 , Yζ
2γY1 + (γ − 1)Y9
P F (P R−1 )
Y1
Y1 , Yζ
Y1
F (P )
Y8
Y4 , Yζ
Y9
P F (R)
2Y1 + Y8
Y1 + Y4 , Yζ
2Y1 + Y9
γP
Y1 , Y8
Y1 , Y4 , Yζ
Y1 , Y9
F (R e−P )
2Y2 + Y8
Y4 − 2Y2 , Yζ
Y9 − 2Y2
F (R)
Y2
Y2 , Yζ
Y2
γRγ
Y2 , 2γY1 + (γ − 1)Y8
2γY2 + (γ − 1)Y4 , Yζ
2γY1 + (γ − 1)Y2 , Y9
R
Y1 , Y2
Y1 , Y2 , Yζ
Y1 , Y2
1
Y2 , Y8
Y2 , Y4 , Yζ
Y2 , Y9
0
Y8 , Yg
Y4 , Yζ , Yg
Y9 , Yg
Таблица 2 (продолжение)
Подмодель
A
2.7, 2.18
2.11
2.16
P F (P R−γ )
2γY1 + (γ − 1)Y8
2γY1 + (γ − 1)Y4 , Yζ
2γY1 + (γ − 1)Y9
P F (P R−1 )
Y1
Y1 , Yζ
Y1
F (P )
Y8
Y4 , Yζ
Y9
P F (R)
2Y1 + Y8
Y1 + Y4 , Yζ
2Y1 + Y9
γP
Y1 , Y8
Y1 , Y4 , Yζ
Y1 , Y9
F (R e−P )
2Y2 + Y8
Y4 − 2Y2 , Yζ
Y9 − 2Y2
F (R)
Y2
Y2 , Yζ
Y2
γRγ
Y2 , 2γY1 + (γ − 1)Y8
2γY2 + (γ − 1)Y4 , Yζ
2γY1 + (γ − 1)Y2 , Y9
R
Y1 , Y2
Y1 , Y2 , Yζ
Y1 , Y2
1
Y2 , Y8
Y2 , Y4 , Yζ
Y2 , Y9
0
Y8 , Yg
Y4 , Yζ , Yg
Y9 , Yg
В табл. 3 для подмоделей 2.17, 2.19 в случаях 1–3 присутствуют произвольные элементы. Возникает задача о нахождении преобразований эквивалентности в указанных
случаях.
Укажем, как находить коэффициенты продолженного оператора.
80
Е. В. Мамонтов
Таблица 3
Подмодель
A
AAP + RAR = P ψ
A
P
AAP + RAR = ψ(A)
AAP + RAR = γA
2.17
2.19
Y1 + h1 Y7 , Yζ
Y1 + h1 Y6
Y2 + h2 Y7 , Yζ
Y2 + h2 Y6
Y1 + h1 Y7 ,
F (P )
Y9 ,
Y2 + h2 Y7 , Yζ
Y1 + h1 Y6 ,
ω Y7 , Yζ
Y9 ,
Y2 + h2 Y6
ω Y6
γP
Y1 ,
Y9 ,
ω Y7 , Yζ
Y1 ,
Y9 ,
ω Y6
1
Y2 ,
Y9 ,
ω Y7 , Yζ
Y2 ,
Y9 ,
ω Y6
0
Y9 ,
Yg ,
ω Y7 , Yζ
Y9 ,
Yg ,
ω Y6
Здесь
h1 = −
R AR + P AP − A
,
2RAR
h2 = −
AP
.
2RAR
Случаи 1, 2. Произвольные элементы: A = A(R, P ), ψ = ψ(A).
Операторы преобразований эквивалентности ищутся в виде
X = αξ ∂ξ + αη ∂η + αU ∂U + αV ∂V + αW ∂W + αR ∂R + αP ∂P + αA ∂A + αψ ∂ψ .
Все коэффициенты α — функции переменных ξ, η, U, V, W, R, P, A, ψ.
Рассматриваем три пространства:
1) U, V, W, R, P — функции от ξ, η;
2) A = A(ξ, η, U, V, W, R, P ).
Через l, λ будем обозначать любую из компонент набора ξ, η, U, V, W, R, P .
3) ψ = ψ(ξ, η, U, V, W, R, P, A).
Через m, µ будем обозначать любую из компонент набора ξ, η, U, V, W, R, P, A.
Введем операторы полного дифференцирования (по повторяющимся греческим индексам — суммирование)
Dξ = ∂ξ ,
Dη = ∂η ,
DU = ∂U , . . . , DA = ∂A ,
fl = ∂l + Al ∂A + Aλl ∂A ,
D
λ
f
fξ = ∂ξ + Uξ ∂U + · · · + Pξ ∂P + (Aξ + Uξ AU + · · · + Pξ AP ) ∂A +
D
+ (Aλξ + Uξ AλU + · · · + Pξ AλP ) ∂Aλ ,
f
fη = ∂η + Uη ∂U + · · · + Pη ∂P + (Aη + Uη AU + · · · + Pη AP ) ∂A +
D
+ (Aλη + Uη AλU + · · · + Pη AλP ) ∂Aλ .
Коэффициенты продолженного оператора
e = X + ζ Uξ ∂U + . . . + ζ Pη ∂Pη + ζ Aξ ∂A + . . . + ζ AP ∂A + ζ ψξ ∂ψ + · · · + ζ ψA ∂ψ (2)
X
P
ξ
ξ
A
ξ
81
Групповые свойства 2-подмоделей класса S уравнений газовой динамики
даются равенствами
f
f
f
fξ αU − Uξ D
fξ αξ − Uη D
fξ αη ,
ζ Uξ = D
f
f
f
fη αU − Uξ D
fη αξ − Uη D
fη αη ,
ζ Uη = D
........................................................................
f
f
f
f
f
f
fξ αP − Pξ D
fξ αξ − Pη D
fξ αη , ζ Pη = D
fη αP − Pξ D
fη αξ − Pη D
fη αη ,
ζ Pξ = D
fl αA − Aλ D
fl αλ ,
ζ Al = D
ζ ψm = Dm αψ − ψµ Dm αµ .
Случай 3. Произвольные элементы: A = A(R, P ), γ = const.
Операторы преобразований эквивалентности ищутся в виде
X = αξ ∂ξ + αη ∂η + αU ∂U + αV ∂V + αW ∂W + αR ∂R + αP ∂P + αA ∂A + αγ ∂γ
Все коэффициенты α — функции переменных ξ, η, U, V, W, R, P, A, γ.
Продолженный оператор имеет вид
e = X + ζ Uξ ∂U + . . . + ζ Pη ∂Pη + ζ Aξ ∂A + . . . +
X
ξ
ξ
+ ζ AP ∂AP + ζ γξ ∂γξ + · · · + ζ γA ∂γA .
(3)
Рассматриваем три пространства:
1) U, V, W, R, P — функции от ξ, η;
2) A = A(ξ, η, U, V, W, R, P ),
3) γ = γ(ξ, η, U, V, W, R, P, A).
Коэффициенты продолженного оператора (3) даются равенствами
f
f
f
fξ αU − Uξ D
fξ αξ − Uη D
fξ αη ,
ζ Uξ = D
f
f
f
fη αU − Uξ D
fη αξ − Uη D
fη αη ,
ζ Uη = D
........................................................................
f
f
f
f
f
f
fξ αP − Pξ D
fξ αξ − Pη D
fξ αη , ζ Pη = D
fη αP − Pξ D
fη αξ − Pη D
fη αη ,
ζ Pξ = D
fl αA − Aλ D
fl αλ ,
ζ Al = D
ζ γm = Dm αγ − γµ Dm αµ .
Найдем теперь коэффициенты оператора X.
A
Случай 1. AAP + RAR = P ψ
. Исходную систему (1) дополняем уравнениями
P
Aξ = Aη = AU = AV = AW = 0,
(4)
AAP + RAR − P ψ = 0,
(5)
ψξ = ψη = ψU = ψV = ψW = 0 .
(6)
Действуя оператором (2) на (1), (4), (5), (6) и решая определяющие уравнения, находим, что для подмодели 2.17
αξ = C1 ξ + C2 η + C3 ,
αU = C1 U + C2 V,
αη = C1 η − C2 ξ + C4 ,
αV = C1 V − C2 U,
82
Е. В. Мамонтов
αW = ζ(W ),
αR = (C6 − 2 C1 ) R,
αP = C6 P,
αA = C6 A,
αψ = 0
и для подмодели 2.19
αξ = C1 ξ + C2 η + C3 ,
αη = C1 η − C2 ξ + C4 ,
αU = (C1 + C5 ) U + C2 V,
αW = −C5 W + C8 ,
αR = (C6 − 2C1 − 2C5 ) R,
αV = (C1 + C5 ) V − C2 U,
αP = C6 P,
αA = C6 A,
αψ = 0,
где Ck — произвольные постоянные, ζ(W ) — произвольная функция.
Случай 2. AAP + RAR = ψ(A). Исходную систему (1) дополняем уравнениями
Aξ = Aη = AU = AV = AW = 0,
(7)
AAP + RAR = ψ(A),
(8)
ψξ = ψη = ψU = ψV = ψW = 0 .
(9)
Действуя оператором (2) на (1), (7), (8), (9) и решая определяющие уравнения, находим, что для подмодели 2.17
αξ = C1 ξ + C2 η + C3 ,
αU = C1 U + C2 V,
αη = C1 η − C2 ξ + C4 ,
αV = C1 V − C2 U,
αW = ζ(W ),
αR = (C6 − 2 C1 ) R,
αP = C6 P + C7 ,
αA = C6 A,
αψ = C6 ψ
и для подмодели 2.19
αξ = C1 ξ + C2 η + C3 ,
αη = C1 η − C2 ξ + C4 ,
αU = (C1 + C5 ) U + C2 V,
αW = −C5 W + C8 ,
αV = (C1 + C5 ) V − C2 U,
αR = (C6 − 2C1 − 2C5 ) R,
αP = C6 P + C7 ,
αA = C6 A,
αψ = C6 ψ ,
где Ck — произвольные постоянные, ζ(W ) — произвольная функция.
Случай 3. AAP + RAR = γ A. Исходную систему (1) дополняем уравнениями
Aξ = Aη = AU = AV = AW = 0,
(10)
AAP + RAR = γ A,
(11)
γξ = γη = γU = γV = γW = γR = γP = γA = 0 .
(12)
Действуя оператором (3) на (1), (10), (11), (12) и решая определяющие уравнения,
находим, что для подмодели 2.17
αξ = C1 ξ + C2 η + C3 ,
αU = C1 U + C2 V,
αη = C1 η − C2 ξ + C4 ,
αV = C1 V − C2 U,
Групповые свойства 2-подмоделей класса S уравнений газовой динамики
αW = ζ(W ),
αA = C6 A,
αR = (C6 − 2 C1 ) R,
83
αP = C6 P + C7 ,
αγ = 0
и для подмодели 2.19
αξ = C1 ξ + C2 η + C3 ,
αη = C1 η − C2 ξ + C4 ,
αU = (C1 + C5 ) U + C2 V,
αW = − C5 W + C8 ,
αA = C6 A,
αγ = 0,
αV = (C1 + C5 ) V − C2 U,
αR = (C6 − 2 C1 − 2 C5 ) R,
αP = C6 P + C7 ,
где Ck — произвольные постоянные, ζ(W ) — произвольная функция.
Для нахождения преобразований эквивалентности рассматриваемых подмоделей исходную систему (1) дополняем уравнениями
Aξ = Aη = AU = AV = AW = 0.
Операторы преобразований эквивалентности ищутся в виде
X e = αξ ∂ξ + αη ∂η + αU ∂U + αV ∂V + αW ∂W + αR ∂R + αP ∂P + αA ∂A .
Все коэффициенты α — функции переменных ξ, η, U, V, W, R, P, A.
Введем операторы полного дифференцирования
Dξe = ∂ξ + Uξ ∂U + Vξ ∂V + . . . + (AR Rξ + AP Pξ )∂A ,
Dηe = ∂η + Uη ∂U + Vη ∂V + . . . + (AR Rη + AP Pη )∂A ,
fe = ∂ξ ,
D
ξ
fe = ∂η ,
D
η
e
g
D
R = ∂R + AR ∂A ,
e
g
D
U = ∂U ,
e
g
D
V = ∂V ,
e
g
D
P = ∂P + AP ∂A .
e
g
D
W = ∂W ,
Коэффициенты продолженного оператора
fe = X e + ζ Uξ ∂U + . . . + ζ Rη ∂Rη + ζ Aξ ∂A + . . . + ζ AR ∂A
X
R
ξ
ξ
находятся по формулам:
ζ Uξ = Dξe αU − Uξ Dξe (αξ ) − Uη Dξe (αη ),
....................................
ζ Rη = Dηe αR − Rξ Dηe (αξ ) − Rη Dηe (αη ),
fe αA − AR D
fe (αR ) − AP D
fe (αP ),
ζ Aξ = D
ξ
ξ
ξ
....................................
R
P
e A
e
e
g
g
g
ζ AP = D
P α − AR DP (α ) − AP DP (α ).
Подействуем продолженным оператором на систему. После исключения производных Uξ , Vη , Wη , Rη , Pη получим 10 равенств. Приравнивание к нулю коэффициентов при
кубичных слагаемых по производным Uη , Vξ , Wξ , Rξ , Pξ , AR , AP дает 3-уравнения, при
84
Е. В. Мамонтов
квадратичных — 2-уравнения, при линейных слагаемых — 1-уравнения. Остальные слагаемые приводят к 0-уравнениям.
Последовательно решая указанные уравнения, находим преобразования эквивалентности. Оказывается, что для всех рассматриваемых подмоделей преобразования эквивалентности, отличные от преобразований допускаемой группы, сводятся к растяжениям
величин ξ, η, U , V , W , R, P , A, α, β и переносу по P .
Автор выражает благодарность Л. В. Овсянникову и участникам программы ПОДМОДЕЛИ С. В. Хабирову, А. П. Чупахину, С. В. Головину, А. А. Черевко за полезное
обсуждение статьи.
Список литературы
1. Хабиров С.В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Докл. РАН. 1995. Т. 341, № 6. С. 764–766.
2. Мамонтов Е.В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики //
ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 50–55.
3. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, № 4. С. 30–55.
4. Хабиров С.В. Течения газа со спиральными поверхностями уровня // ПМТФ. 1999.
Т. 40, № 2. С. 34–39.
5. Гарифуллин А.Р. Групповая классификация гидродинамической системы ранга два
стационарного типа // СибЖИМ. 2004. Т. VII, № 3 (19). С. 66–75.
6. Khabirov S.V. Submodel of the spiral stationary motion in gas dynamics // Modern Group
Analysis VII. Thondheim: Mars Publ., 1999. P. 181–187.
Материал поступил в редколлегию 22.08.2006
Адрес автора
МАМОНТОВ Евгений Владимирович
РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск
пр. Акад. Лаврентьева, 15
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН
тел.: (383) 333-24-59
e-mail: [email protected]